Lösungen IV.1 (Stark 7 S. 162ff) a) gleichschenklig 101) a) (1) α = β

Lösungen IV.1
(Stark 7 S. 162ff)
a) gleichschenklig
101) a) (1) α = β = 61,75° (2) β = 72,8°; γ = 34,4° (3) α = 33°24’; γ = 113°12’
(4) α = β = (180° − γ)/2
b) 79,6° und 20,8° oder 50,2° und 50,2°
c) α = β = 64°; γ = 52°
d) gleichschenklig; zwei gleich große Winkel
102) β = 54,8°; γ = 70,4°
106) a) 65°
b) 65° (115°?)
d) 57,5°
107) a) α = γ1, δ = γ2 (ABC, BDC sind gleichschenklig)
damit: ε’ = 180° − 2γ1 (Winkelsumme Dreieck ABC)
ε = 2γ1 (Nebenwinkel)
γ2 = (180° − 2γ1) / 2 = 90° − γ1 (Winkelsumme Dreieck BDC)
γ = γ1 + γ2 = 90°
b) ε = 2α; δ = 90° – α
111) Innenwinkel im inneren Fünfeck: 108°
Basiswinkel in einem der gleichschenkligen Dreiecke:
72°
Winkel an Spitze: 36°
Winkelsumme: 180°
b) gleichseitig
103) a) z. B.: 90°-Winkel konstruieren (Lot), 60°-Winkel konstruieren (gleichseitiges Dreieck),
beide addieren
der Nebenwinkel ist 30°; diesen halbieren
b) z. B. 90°-Winkel zweimal halbieren, Ergebnis vom Winkel in (a) subtrahieren; oder: zwei 60°-Winkel
plus ein viertel 90°-Winkel; oder: 180° minus 60° plus ein viertel von 90°
104) a) z. B. 90° plus 60°, zweimal halbieren
105) 6 gleichseitige Dreiecke
b) 60°
alle 6 Seiten gleich lang, alle 6 Winkel gleich groß
regelm. Sechseck
c) rechtwinklig
113) Thaleskreis über [AB] geht durch C
115) a) α = β = 45°
114) α = 65°; β = 25°
b) α (oder β) = 30°
116) a) Spiegeln an längerer Kathete
gleichseitiges Dreieck
b) gleichschenklig
Höhe ist Mittelsenkrechte; C liegt auf Thaleskreis
wie Grundseite; aus beidem zusammen folgt Behauptung (Skizze!)
118) a) allgemein: δ = 45° − γ / 4; hier: 35°
Höhe ist doppelt so lang
b) 60° (oder mit Thaleskreis begründen!)
Stark 8 S. 173/76) vom Standpunkt der Maus aus Tangente an Kreis; Weg: längs Tangente und Kreis
Stark 8 S. 176/82) a) Kreis um P mit Radius 5 cm schneidet Schenkel in Berührpunkten (gleichseitiges
Dreieck); Lote in Berührpunkten schneiden sich und Winkelhalbierende in Mittelpunkt (oder: Parallelen
zu Winkelhalbierende im Abstand 2,5 cm schneiden Schenkel in Berührpunkten)
b) Lot auf Winkelhalbierende in Q
(c) nicht auf Übungsblatt)
Lösungen IV.2
(Stark 7 S. 151ff)
71) a) Schnittpunkt der Mittelsenkrechten
b) Schnittpunkt der Winkelhalbierenden
c) (1) Schnittpunkt der Seitenhalbierenden (2) im Gleichgewicht
75) Schnittpunkt der Winkelhalbierenden; etwa: I(3,05|–0,60)
76) a) Kreise um zwei beliebige Punkte von a durch B schneiden sich in B’; etwa: B(8,3|2,3)
b) Grundkonstruktion
c) Schnittpunkt von a mit einer anderen Mittelsenkrechten von ABB’
d) Verbindung von Punkt und Spiegelpunkt steht immer senkrecht auf Spiegelachse
77) Winkel BAW (im Uhrzeigersinn) und WBA (dagegen) verdoppeln; C: Schnitt der freien Schenkel
Lösungen IV.3
Lambacher-Schweizer Geometrie 2 S. 162f:
3) r2 + s2 = t2; v2 + w2 = u2; b2 + c2 = a2; x2 + z2 = y2; a2 + c2 = b2
4) x = 89 ≈ 9,4; y = 85 ≈ 9,2; z = 125 ≈ 11,2; u = 1241 ≈ 35,2; v = 80 ≈ 8,9
5) a) 41
b) 89
c)
208 ≈ 14,4
d) 7
6) beide rechtwinklig: 282 + 452 = 532;
e) 12
f)
45 = 3 5 ≈ 6,7
i) 10 3 ≈ 17,3
h) 72
0,482 + 2,862 = 2,902
7) a) s = 22564 cm ≈ 150 cm ( 0,85 m ≈ 92 cm)
b) c = 24 cm
c) hc = 63 cm ≈ 7,9 cm ( 13,44 m ≈ 3,7 m)
10) a) d = 25 cm
g) 8
11) a) 8 cm (1,45 m)
b) dFenster = 3,4 m ≈ 1,84 m
12) a) 10 cm ( 41,41 dm ≈ 6,44 dm)
( 2 1924 cm ≈ 87,7 cm)
nein
b) 41,42 cm (2,53 m)
c) 20 cm – 157 cm ≈ 7,5 cm
b) ha = 12 cm; A = 252 cm2
13) 13,5 m
14) 17,89 cm; 35,78 cm (12,65 cm; 37,95 cm)
Lambacher-Schweizer Geometrie 2 S. 176:
2) 6cm ( 1,75 cm ≈ 1,32 cm)
3) e ≈ 6,82 cm; f ≈ 15,01 cm (e ≈ 6,10 cm; f ≈ 10,43 cm)
4) a) d ≈ 3,61 cm; e ≈ 6,71 cm; f ≈ 8,54 cm
b) b ≈ 4,1 cm; e ≈ 8,2 cm; f ≈ 6,2 cm
6) s ≈ 5,81 cm (s ≈ 12,12 cm)
Lambacher-Schweizer Geometrie 2 S. 171:
6
40) r3 =
41) a) h = 12 Fuß b) h = 4,55 Fuß
7
42) 22,5 bzw. 37,5 eln
43) h = 15 Ellen
Lambacher-Schweizer Geometrie 2 S. 178:
18) stures Rechnen, z. B. 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52 usw.
19) a) z. B. mit 2. binomischer Formel linke Seite vereinfachen: = x4 + 2x2y2 + y4; mit 1. binomischer
Formel rückwärts
rechte Seite
2
2
b) a= x – y ; b = 2xy; c = x2 + y2
c) wählt man beliebige ganze Zahlen x und y (mit x > y), so ergeben sich mit den Formeln in (b) immer
ganze Zahlen a, b, c; laut (a) erfüllen diese a, b, c dann immer auch die Bedingung a2 + b2 = c2;
z. B. (8;6;10), (12;16;20), (24;10;26), (16;30;34), (32;24;40); da x und y beliebig sind: unendlich viele!
Lambacher-Schweizer Geometrie 2 S. 170:
38) p2 + h2 = b2
h2 = b2 – p2 (I)
q2 + h2 = a2
h2 = a2 – q2 = a2 – (c – p)2 = a2 – c2 + 2cp – p2 (II)
b2 + c2 − a2
a2 + c2 − b2
I und II gleichsetzen: b2 – p2 = a2 – c2 + 2cp – p2
p=
;q=c–p=
2c
2c
Lösungen IV.4
1) a) 4 2 cm ≈ 5,66 cm (1,5 2 m ≈ 2,12 m; 2 dm)
(1,125 3 m ≈ 1,95 m; 2,19 m2;
2) a) 6 2 cm ≈ 8,49 cm
3) a)
3 2
m ≈ 0,048 m2
36
4) a) 13,86 cm (4,62 cm)
5) a) 13 cm
b) 29 cm
7) b) 3 3 cm ≈ 5,20 cm
b) 5 3 cm ≈ 8,66 cm; 25 3 cm2 ≈ 43,30 cm2
3 dm; 3 3 dm2 ≈ 5,20 dm2)
b) 18 3 cm ≈ 31,18 cm (; 27 3 cm2 ≈ 46,77 cm2)
b)
6
m = 2 3 3 ≈ 4,56 m
3
b) 11,2 cm; 10,2 cm; 5,4 cm; 11,4 cm
c) 85 cm
d) ≈ 74,34 cm
c) rInkreis =
2
h (Höhe = Seitenhalb.)
3
6) 84 cm (21 cm)
aDreieck =
3r
ADreieck =
3
3 a2
4
1
ASechseck; zeichnerisch: Dreiecksseiten halbieren jeweils die 6 gleichseitigen Dreiecke des Sechsecks
2
Lambacher-Schweizer Geometrie 2 S. 165:
=
8) 96 3 cm2 ≈ 166,3 cm2
9) a) A = 2 3 r2; u = 4 3 r
b) Umfang: etwa 15,5% größer; Flächeninhalt: 33, 3 % größer
10) AS = 2 + 3 a ≈ 1,93 a; Abstand:
11) a) 5
b) 10
c) 13
d)
1
3
−
a ≈ 0,26 a
2 4
( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2
12) 73312; 43351; 39816
13) g: y = –x + 2; l : y = x – 1; F(1,5|0,5); d(P ;g) = 1,5 2 ≈ 2,12
Lösungen IV.5
Lambacher-Schweizer Geometrie 2 S. 287:
12 5
5 12 5
2) 13 cm;
; ; 2,4;
;
;
3)
13 13
13 13 12
a b h p h q
b a p h q h
4) a) Umkehrung Pythagoras: 3,32 + 5,62 = 6,52
b) 0,5077; 0,8615; 0,5893; 0,8615; 0,5077; 1,6970
5) 0,9; 0,4; 2,5; 0,4; 0,9; 0,4
Lambacher-Schweizer Geometrie 2 S. 292f:
5) c ≈ 25,6 m; α ≈ 31,6°; β ≈ 58,4°
6) a) c= 6,5 cm; α ≈ 67,4°; β ≈ 22,6° b) c ≈ 456 m; α ≈ 37,9°; β ≈ 52,1°
c) c ≈ 42,2 m; α ≈ 35,9°; β ≈ 54,1° d) c ≈ 59,6 m; b ≈ 36,7 m; α = 52°
e) a ≈ 47 m; c ≈ 53 m; β = 27,5° f) b ≈ 138 m; c ≈ 183 m; β = 49°
g) a ≈ 3,4 km; b ≈ 5,4 km; β ≈ 58° h) b ≈ 18,5 m; α ≈ 40,6°; β ≈ 49,4°
i) a ≈ 40,6 m; α ≈ 46,0°; β ≈ 44,0°
7) a) 6,4 cm; 3,6 cm; 4,8 cm b) ≈ 3,3 m; ≈ 2,9 m; ≈ 3,1 m c) ≈ 13,3 m; ≈ 3,8 m; ≈ 7,1 m
d) ≈ 1,1 cm; ≈ 10,9 cm; ≈ 3,5 cm e) ≈ 8,1 m; ≈ 6,4 m; ≈ 7,2 cm f) ≈ 22,6 cm; ≈ 6,8 cm; ≈ 12,3 cm
8) a) β = 62°; γ = 56°; a = 58,6 m; c ≈ 55,0 m b) α = β = 41°; b = 45,2 m; c ≈ 68,2 m
c) α = 36°; γ = 108°; a = b ≈ 77,1 m d) α = β = 50,25°; a = b ≈ 7,63 m
e) α = β ≈ 65,3°; γ ≈ 49,4°; b = 65,4 m
10) 52,1°
11) 61,6°
12) 46,8°
16) ≈ 24,2°; ≈ 877 m
15) 21,9 m (34,6 m?)
21) a) ≈ 54,7° b) ≈ 35,3°
7) a) sin α =
1 + tan 2 α
2
)
3
4)
b)
1 − sin 2 α
3
21 ≈ 0,9820
14
14) ≈ 1,3 cm
18) ≈ 9,75 m
=
8)
19) ≈ 5,3 cm
24) ≈ 303 N; 36,2°
3 12 2
( ;
2 ; 0,8; ≈ 0,4359;
5 13 3
sin α
6) a) tan α =
3
tan α
17) ≈ 60,2 m
22) 45°; ≈ 55,6°; ≈ 64,9°
Zusammenhänge:
4
3
5
2
3)
(
;
; 0,6; ≈ 0,9837;
;
5
2
3
2
3
3
3
5)
;
;
;
2
3
2
13) a) 8,5° b) 12,4° c) 14,0°
1 − cos 2 α
cos α
b)
25) ≈ 706 N
23
;
5
13
)
4
3
3
7 ≈ 1,1339 (
)
7
3
2
7 ≈ 0,7559
7
15
15
≈ 0,9682; tan α =
≈ 0,2582 b) cos α = 0,51 ≈ 0,7141; tan α ≈ 0,9802
4
15
18
14
5
5
c) cos α =
≈ 0,8485; tan α =
≈ 0,6236 d) sin α =
≈ 0,7454; tan α =
≈ 1,1180
5
6
3
2
3
2
e) sin α = 0,99 ≈ 0,9950; tan α ≈ 9,9499
f) sin α =
≈ 0,5774; tan α =
≈ 0,7071
3
2
3
4
5
2
g) sin α = ; cos α =
h) sin α =
≈ 0,7454; cos α =
5
5
3
3
10) nachrechnen!
9) a) cos α =
1
sin α
11) a) sin α
b) cos α
c) sin α
f) 1 + tan2α
g) sin α
h) sin2α – cos2α
d)
e)
i)
cos 2 α 1 − sin 2 α
1
=
=
− sin α
sin α
sin α
sin α
1
cos α
15) a) benutze Definition des Tangens und trigonometrischen Pythagoras
b) benutze sin α = cos(90° –α) und (a)
Lösungen IV.6
Lambacher-Schweizer Geometrie 2 S. 295:
1) a) 0; 1; 0; –1
b) 1; 0; –1; 0
c) 0; 0
2) a) 15,0°; 165,0° b) 29,2°; 209,2°
f) 131,8°; 311,8° g) 331,4°; 208,6°
c) 24,3°; 335,7°
h) 94,9°; 265,1°
d) 286,7°; 253,3°
i) 63,2°; 243,2°
e) 172,3°; 187,7°
Lösungen IV.7
a) Sinussatz
(Lambacher-Schweizer Geometrie 2 S. 299?)
3) a) der übliche...
c)
b)
c
: sc : b = sin γ2 : sin α : sin(180° – γ2 – α)
2
c
: a : sc = sin γ1 : sin(180° – γ1 – α) : sin β
2
e) wα : a2 : b = sin β : sin
α
2
: sin(180° –
5) a) α ≈ 47,9°; γ ≈ 62,1°; c ≈ 5,4 cm
c) γ ≈ 63,9°; α ≈ 36,1°; a ≈ 4,1 cm
e) γ ≈ 23,7°; α ≈ 14,8°; a ≈ 3,7 cm
α
2
d) c : a1 : wα = sin(180° –
α
2
– β) : sin
α
2
: sin β
– β)
b) α ≈ 19,8°; β ≈ 135,2°; b ≈ 8,3 cm
d) β ≈ 38,8°; γ ≈ 31,2°; c ≈ 4,1 cm
f) β ≈ 26,4°; α ≈ 54,6°; a ≈ 6,6 cm
6) a) β ≈ 64,7°; γ ≈ 80,3°; c ≈ 5,7 cm oder β ≈ 115,3°; γ ≈ 29,7°; c ≈ 2,8 cm
b) γ ≈ 81,2°; α ≈ 68,8°; a ≈ 7,8 cm oder γ ≈ 98,8°; α ≈ 51,2°; a ≈ 6,5 cm
c) α ≈ 51,4°; γ ≈ 95,1°; b ≈ 10,8 cm oder α ≈ 128,6°; γ ≈ 17,9°; b ≈ 3,3 cm
d) β ≈ 73,2°; α ≈ 56,8°; a ≈ 6,1 cm oder β ≈ 106,8°; α ≈ 23,2°; a ≈ 2,9 cm
e) α ≈ 75,5°; γ ≈ 50,5°; c ≈ 5,3 cm oder α ≈ 104,5°; γ ≈ 21,5°; c ≈ 2,5 cm
f) β ≈ 64,9°; α ≈ 66,1°; a ≈ 6,1 cm oder β ≈ 115,1°; α ≈ 15,9°; a ≈ 1,8 cm
a
b
; sin β =
b) folgt mit Winkelsumme im Dreieck und sin(180°–2α) = sin 2α
c
c
b) Kosinussatz
(Lambacher-Schweizer Geometrie 2 S. 301?)
9) a) sin α =
3) q2 = p2 + r2 – 2 p r cos α;
r2 = p2 + q2 – 2 p q cos β;
p2 = q2 + r2 – 2 q r cos γ
4) a) α ≈ 41,4°; β ≈ 55,8°; γ ≈ 82,8°
c) α ≈ 102,4°; β ≈ 31,4°; γ ≈ 46,2°
b) α ≈ 26,4°; β ≈ 117,3°; γ ≈ 36,3°
d) α ≈ 64,1°; β ≈ 71,7°; γ ≈ 44,2°
5) a) b ≈ 4,6 cm; α ≈ 70,9°; γ ≈ 49,1°
c) c ≈ 73,1 m; α ≈ 37,6°; β ≈ 64,9°
b) a ≈ 9,3 cm; β ≈ 40,9°; γ ≈ 19,1°
d) b ≈ 427 m; α ≈ 31,1°; γ ≈ 45,9°
6) a) g2 = 2 l2 (1 – cos γ)
und
cos α =
g
2l
b) l ≈ 5,10 cm
c) g ≈ 16,55 m