Erste Schnittpunktsätze und Anfänge einer Dreiecksgeometrie

Christoph Vogelsang
Nils Martin Stahl
Matr.Nr. 6265347
Matr.Nr. 6263224
Seminar:
Geometrie
Dozent:
Epkenhans
Wintersemester 2005/2006
Erste Schnittpunktsätze und Anfänge einer
Dreiecksgeometrie
Ausarbeitung der Paragraphen 2 bis 4 des 2.Kapitels in „Ebene Geometrie“
von Koecher/Krieg S. 60 -74
Der Übersichtlichkeit halber führen wir die Nummerierung unserer Vorgängergruppe fort.
§7 Erste Schnittpunktsätze
Worum geht’s?
- Betrachtung schon bekannter Schnittpunktsätze in der Koordinatenebene über einem
Körper K
- Satz von Pascal & Allgemeiner Satz von Desargues als weitere Schnittpunktsätze
Satz 1 (Einfacher Strahlensatz)
Seien !
a,b " K linear unabhängig und seien ", # , $ ,% & K /{0} .
Folgende Aussagen sind äquivalent:
!
(i)
(ii)
Die Verbindungsgeraden "a # $b und "a # $b sind parallel.
!
Es gilt "# = $%
Beweis:
Es sind
!
!
H := "a # $b = "a + K("a % $b) und
!
G := "a # $b = "a + K("a % $b) .
Nach Satz 2.8. gilt H G genau dann, wenn "a # $b und "a # $b linear abhängig sind,
also wenn
gilt det("a # $b, %a # &b) = 0 .
!
" a1 %
" b1 %
Seien!nun a = $ ' und b = $ ' mit a1,a2 ,b1,b2 " K .
#b2 & !
!
! # a2 &
Dann!gilt
det("a # $b, %a # &b)
!
'
*
!
!= det) "a1 # $b1 %a1 # &b1 ,
("a2 # $b2 %a2 # &b2 +
= "a1%a2 # "a1&b2 # $b1%a2 + $b1&b2 # %a1"a2 + %a1$b2 + &b1"a2 # $b2&b1
= a1b2 (%$ # "& ) # a2b1 ($% # &" ) = (%$ # "& )(a1b2 # b1a2 )
= (%$ # "& )det(a,b)
!
!
!
Setze nun
"
" !
"
!
!
!
!
det("a # $b, %a # &b) = 0
("# $ %& )det(a,b) = 0
"# $ %& = 0 , da a,b linear unabhängig sind, ist det(a,b) " 0 .
"# = $%
!
Abb.1: Einfacher Strahlensatz
!
Abb. 2: Allgemeiner Strahlensatz
Satz 2 (Allgemeiner Strahlensatz)
Seien a,b,c,d " K paarweise verschieden und nicht-kollinear, wobei p := (a " b) # (c " d)
existiert. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
(i)
(ii)
!
Die Verbindungsgeraden a " c und b " d sind parallel.
! p) und d " p = #(c " p) .
Es existiert ein " # K mit b " p = #(a "
Beweis:
!
!
Die Aussagen (i) und (ii) sind nach Lemma 5.4 invariant unter affinen Abbildungen.
!
!
! Einschränkungen
Wir nehmen daher ohne
an p = 0 , verschieben
die Situation also in
den Ursprung. Wende nun den einfachen Strahlensatz an.
(i) " (ii)
Gesucht ist ein " # K mit
!
!
b " 0 =!#(a " 0) $ b = #a und
d " 0 = #(c " 0) $ d = #c .
Da a,b und c,d kollinear sind, existieren ", # $ K mit b = "a und d = "c .
Betrachte nun 1a "1c b " d = #a " $c .
!
!
Nach Satz 1 folgt nun
! 1" = #1 $ # = " . Setze " = # .
(ii) " (i)
!
!
!
!
!
Es existiert ein " # K mit 1b = "a und
!
1d = "c .
!
!
Betrachte nun 1a "1c und b " d = #a " #c .
Da hierbei gilt 1" = "1 folgt mit Satz 1 a " c b " d .
!
!
!
Bemerkung
3
!
!
Mit Hilfe des Einfachen Strahlensatzes lassen sich auch die schon bekannten Sätze von
!
Desargues !
und Pappus in der Koordinatenebene
über K beweisen.
Die Beweisstrukturen sind ähnlich der Beweisstruktur von Satz 2.
Satz 4 (Satz von Pascal)
!seien a,a",a"" # F /G und b,b",b"" # G /F
Seien F,G zwei nicht-parallele Geraden und
paarweise verschiedene Punkte so, dass die folgenden Schnittpunkte existieren.
p := (a " b#) $ (a#" b)
q := (a#" b##) $ (a##" b#)
!
!
!
r := (a " b##) $ (a##" b)
Dann liegen p,q und r auf einer Geraden.
!
!
!
Abb. 3: Satz von Pascal
Beweis:
Die Behauptung und die Voraussetzungen sind nach Lemma 5.4 invariant unter affinen
Abbildungen. Insbesondere bilden affine Abbildungen Geraden auf Geraden ab. Daher
sei ohne Einschränkungen F " G = 0 .
Dann sind a,b " K 2 linear unabhängig und es existieren ", # , $ ,% & K mit
a" = #a , a"" = #a , b" = #b und b"" = #b .
Es gilt (" , #, $ ,% ) !
& (0,0,0,0) , ansonsten wären a,a",a"",b,b",b""
nicht
paarweise
verschieden.
!
!
!
!
!
!
!
!
Mit Hilfe der Schnittpunktformel erhält man folgende Gleichung
!
!
1
p = ("a # b) $ (a # %b) =
("% (1a + 1b) &1'1("a + %b))
"% &1'1
(1)
1
1
=
("% (a + b) & ("a + %b)) =
("%u & v)
"% &1
"% &1
Hierbei setze u := a + b und v := "a + #b .
Analog erhält man mit w := "a + #b folgende Gleichungen.
1
!
q=
("#v $ %&w) und
(2)
!
!"# $ %&
1
!r =
(w " #$u)
(3)
1" #$
Forme
! Gleichung (1) nun um.
1
p=
("#u $ v)
"# $1
!
"
p("# $1) = "#u $ v
(1´) "
"# ($% &1) p = $%u"# & v"#
! analoge Schritte gelangt man von (2) zu (2´) und von (3) zu (3´).
Durch
!
!
(2´)
("# $ %& )q = "#v $ %&w
(3´)
"# (1$ %& )r = w"# $ %&u"#
Addiere nun (1´), (2´) und (3´) und zwar jeweils die linke und die rechte Seite.
!
Man erhält
! &1) p + ("# & $% )q + $% (1& "# )r = $%u"# & v"# + "#v & $%w + w$% & "#u$% = 0 .
"# ($%
!
!
Dies ist eine Linearkombination von p,q und r , die Null ergibt.
Betrachte nun die Summe der Koeffizienten.
"# ($% &1) + ("# & $% ) + $% (1& "# ) = "#$% & "# + "# & $% + $% & $%"# = 0
!
Bleibt zu zeigen, dass jeder!Koeffizient nicht gleich Null ist.
Zeige hierzu "# $ 1, da sonst "# ($% &1) = 0 .
Annahme: "# = 1. Es folgt, dass gilt " = # = ±1. Daraus folgt a = a" und b = b".
Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung a,a",b,b" sind paarweise verschieden.
Es folgt "# $ 1. Zeige analog "# $ 1.
!
!
Damit sind alle Voraussetzungen für die Anwendung!des Korollars
! 2.5 erfüllt, aus dem
!
!
nun direkt folgt: p,q und r sind kollinear.
!
!
!
!
!
Satz 5 (Allgemeiner Satz von Desargues)
Seien a,b,c " K 2 und a",b",c" # K 2 paarweise verschiedene, nicht-kollineare Punkte so, dass
die folgenden Schnittpunkte existieren.
p := (a " b) # (a$" b$)
q := (b " c) # (b$" c$)
!
!
r := (c " a) # (c$" a$)
Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
(i)
(ii)
Die Verbindungsgeraden a " a# , b " b# und c " c# sind entweder parallel
! oder schneiden sich in einem Punkt.
Die Schnittpunkte p,q und r liegen auf einer Geraden.
!
!
!
!
!
Abb. 4: Allgemeiner Satz von Desargues
Beweis:
Ohne Beweis. Siehe Koecher/Krieg S.66f
§8 Anfänge einer Dreiecksgeometrie
Für das gesamte Kapitel wird vorausgesetzt:
K ist ein Körper mit charK = 0 .
Definition 1
Ein geordnetes Tripel a,b,c " K 2 heißt Dreieck, wenn die Eckpunkte a,b,c nicht kollinear
!
!
sind. Wenn also gilt [ a,b,c ] " 0 .
Die Geraden a " b , b " c und a " c heißen Seiten des Dreiecks a,b,c .
!
Bemerkungen 2
(1) !
!
!
(2)
(3)
!
(4)
!
Mit a,b,c sind alle daraus durch Permutation entstehende Tripel
!
!
ebenfalls Dreiecke.
2
Die Menge der Dreiecke im K ist gegenüber affinen Abbildungen
invariant.
Zu zwei Dreiecken a,b,c " K 2 und a",b",c" # K 2 existiert genau eine
affine Abbildung f mit f (a) = a" , f (b) = b" und f (c) = c" .
!
1
1
1
Die Punkte a" = (b + c) , b" = (a + c) und c" = (a + b) heißen
2
2
!
! 2
2
Seitenmitten des Dreiecks a,b,c " K .
!
!
!
!
Das Tripel a",b",c" # K 2 bildet wieder ein Dreieck, das so genannte
Mittendreieck von a,b,c " K 2 .
!
!
!
!
!
!
Abb.5 Mittendreieck
Beweisskizzen:
Zu (2):
Zu (3):
Zu (4) !
Sei f " Aff (K 2 ) beliebig mit x " f (x) := Mx + q .
Nach 5.1 gilt [ f (a), f (b), f (c)] = det M [ a,b,c ] .
folgt direkt aus Lemma 5.3.
1
:Durch Nachrechnen!ergibt sich [ a",b",c"] = [ a,b,c ] .
4
!
!
Definition 3
Sei a,b,c " K 2 ein Dreieck,
Die Verbindungsgerade eines Eckpunktes mit der „gegenüberliegenden“ Seitenmitte des
Dreiecks heißt Seitenhalbierende. Die Seitenhalbierenden sind folgende Geraden:
Sa := G 1
= Ga,b +c"2a
a, (b +c )"a
2
!
Sb := G
Sc := G
1
b, (a +c )"b
2
1
c, (a +b )"c
2
= Gb,a +c"2b
= Gc,a +b"2c
Satz 4 (Schwerpunktsatz)
In jedem Dreieck a,b,c " K 2 schneiden sich die drei Seitenhalbierenden in genau einem
1!
Punkt s mit s := (a + b + c) . s heißt Schwerpunkt des Dreiecks a,b,c " K 2 .
3
!
!
!
!
!
Abb. 6 Schwerpunktsatz
Beweis:
Alle Punkte der Geraden Sa haben die Form a + " (b + c # 2a) mit " # K .
1
1
1
1
2
1
Wähle nun " = . s = a + (b + c " 2a) = a + b + c " a = (a + b + c) = s .
3
3
3
3
3
3
Hieraus folgt s " Sa . Durch analoge Wahl von " für die!
Geraden Sb und Sc ergibt
!
!
sich: s " Sa und s " Sb .
!
!
!
!
!
Zeige nun die Eindeutigkeit.
!
!
!
!
Hierzu zeigen wir, dass Sa ,Sb und S c paarweise verschieden sind.
!
!
Annahme: Sei Sa = Sb . Es folgt b " Sa und es existiert ein " # K /{0} mit
b = a + " (b + c # 2a) .
" 0 = a " b + # (b + c " 2a) = a " b + #b + #c " 2#a = (1" 2# )a + (# "1)b " #c
!
!
Dies ist eine Linearkombination von a,b und c, die Null ergibt,
! nun die Summe
! der Koeffizienten.
!
Betrachte
(1" 2# ) + (# "1) + # = 0
Wegen " # 0 gilt auch (1" 2#,# "1,# ) $ (0,0,0) .
!
Damit sind alle Voraussetzungen
für die Anwendung von Korollar 2.5 erfüllt und es
folgt: a,b und c sind kollinear.
!
Dies ist aber ein Widerspruch zu der Voraussetzung a,b,c " K 2 ist ein Dreieck.
!
!
Daher gilt b " Sa # Sa $ Sb .
Analog
! zeigt man Sa " Sc und Sb " Sc .
!
!
!
!
!
Lemma 5 (Dreieckskoordinaten)
Sei a,b,c " K 2 ein Dreieck. Dann existieren zu jedem x " K 2 eindeutig bestimmte
", # , $ % K , für die folgende Aussagen gelten.
(i)
(ii)
!
!
x = "a + #b + $c
!
" + # + $ =1
[ x,b,c ] , " = [a, x,c ] und " = [a,b, x ]
"=
[a,b,c ]
[a,b,c ]
[a,b,c ]
(iii)
!
!
Beweis:
(1) Existenz:
!
Eine !
solche Darstellung
von x mit!
(i) und (ii) existiert nach Lemma 5.
(2) Eindeutigkeit:
Seien " #, $ #, % # & K mit x = " #a + $ #b + % #c und " # + $ # + % # = 1.
Subtrahiere hiervon!(ii) und es ergibt sich:
0 = (" # $ " )a + (% # $ % )b + (& # $ & )c
Da a,b,c nicht kollinear sind, folgt mit 2.5 " # $ " = 0 % " # = " .
! Analog ergibt!sich " # = " und " # = " .!
!
Das Tripel (" , #, $ ) mit den Nebenbedingungen
(i) und (ii) heißt die auf das Dreieck
!
!
2
a,b,c " K bezogenen Dreieckskoordinaten beziehungsweise baryzentrischen Koordinaten
!
!
des Punktes x " K 2 .
!
Beispiel 6 (Geradengleichung in Dreieckskoordinaten)
Sei a,b,c " K 2 ein Dreieck.
!
Die Punkte einer beliebigen Geraden q(" ) erhält man in der Form
q(" ) := (#" + # )a + ($" + $ )b + (%" + % )c mit " # K und den Nebenbedingungen
!
!
a)
b)
!
" + # + $ =1
!
" + # + $ = 0 , wobei!(" , #, $ ) % (0,0,0)
q(" ) = Gu, p mit u := "a + #b + $c und p := " a + #b + $c .
Dabei gilt !
Da a,b,c nicht
! kollinear sind und
! wegen der Nebenbedingung b) gilt p " 0 .
!
!
!
!
!
Literatur:
Koecher, Max / Krieg, Aloys: Ebene Geometrie. Berlin/Heidelberg/New York: Springer (2.
Aufl.) 2000, S. 60 -74