Das skalare Produkt

R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 1
17.11.2010
Das skalare Produkt
Die Definition der Arbeit im physikalischen Sinne ist eine Verknüpfung zwischen zwei
Vektoren, deren Ergebnis eine reelle Zahl ist.
F
G G G G
W = F ⋅ s = F ⋅ s ⋅ cos ( ϕ )
ϕ
s
Definition:
G G
G
G
Das skalare Produkt a ⋅ b zweier Vektoren a und b wird berechnet,
indem man das Produkt der Beträge dieser Vektoren mit dem Kosinus
des von den Vektoren
G Geingeschlossenen
JG JG
G G Winkels multipliziert:
a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos a,b
( )
Merke:
Ein skalares Produkt zweier Vektoren wird gleich Null, wenn mindestens
einer der beiden Vektoren der Nullvektor ist oder wenn beide Vektoren
senkrecht aufeinander stehen.
G G
G G
G G
G G
a ⋅ b = 0 , wenn a = 0 oder b = 0 oder a ⊥ b.
G G
G G
G G
G G
Denn aus a ⊥ b folgt cos a,b = 0 d.h. ) a,b = 90 0 oder ) a,b = 270 0
( )
( )
( )
Für die skalare Multiplikation zweier gleicher Vektoren folgt:
G G G G
G
a ⋅ a = a ⋅ a ⋅ cos 0 0 = a ⋅ a ⋅ 1 = a2 Bemerkung: a = a
(
( )
)
Mit Hilfe des skalaren Produktes kann der Betrag eines Vektors dargestellt werden.
Betrag eines Vektors:
G
G G
a = a = a⋅a
Rechengesetze für skalare Produkte.
G G G
Für alle a,b,c und k ∈ \ gilt:
G G G G
Kommutativgesetz
a ⋅b = b ⋅a
G G G
G
G G
Assoziativgesetz
ka ⋅ b = a ⋅ kb = k a ⋅ b
G G G
G G G G
Distributivgesetz
a⋅ b + c = a⋅b + a⋅c
( )
( ) ( )
( )
Erstellt von R. Brinkmann p50_vektor_03.doc
15.11.2010 00:48
Seite 1 von 5
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 2
17.11.2010
Beispiel:
G
G
Gegeben sind zwei Vektoren a und b, die
G unterschiedliche
G Richtungen haben.
Gesucht ist die Projektion des Vektors
b
auf
den
Vektor
a
, G
G
bzw. die Komponente
des Vektors b in Richtung des Vektors a
JJG
also der Vektor b a
b
b
α
α
ba
a
G G
α := ) a,b
( )
ba
a
G
JJG
JJG JJG
JJG
G
JJG a
Es gilt b a = b a ⋅ e a , wobei e a der Einheitsvektor von a ist. Es ist e a = G
a
G
JJG
JJG a
⇒ ba = ba ⋅ G
(1)
a
G
G
G G JG JG
Für das Skalarprodukt von a und b gilt: a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos ( α )
( 2)
JJG
ba
JJG
JG
Weiterhin gilt für den Kosinus: cos ( α ) = JG ⇔ b a = b ⋅ cos ( α )
b
G G JG JJG
eingesetzt in ( 2 ) : a ⋅ b = a ⋅ b a
(3)
JJG
G
G
Der Vektor b a ist die Projektion des Vektors b auf den Vektor a.
G
JJG
Da beide die gleiche Richtung haben, gilt für das Skalarprodukt von a und b a :
G JJG JG JJG
JG JJG
a ⋅ b a = a ⋅ b a ⋅ cos 0 0 = a ⋅ b a
( 4)
( )
JG JJG G G
a ⋅ ba = a ⋅b
G G G JJG
Aus ( 3 ) und ( 4 ) folgt somit: JG JJG G JJG ⇒ a ⋅ b = a ⋅ b a
a ⋅ ba = a ⋅ba
G
G
G G JJG G
⋅ b = ab ⋅b
Bei Vertauschung von a und b gilt
ebenfalls
a
G G
JJG a ⋅ b
Aus ( 3 ) folgt weiterhin: b a = JG eingesetzt in (1) ergibt das:
a
G G G
G G
G G
JJG a ⋅ b a a ⋅ b G a ⋅ b G
b a = JG ⋅ G = JG 2 ⋅ a = 2 ⋅ a
a
a a
a
G G
G G
JJG a ⋅ b G
JJG a ⋅ b G
Bei Vertauschung der Vektoren gilt: b a = 2 ⋅ a bzw. a b = 2 ⋅ b
a
b
Erstellt von R. Brinkmann p50_vektor_03.doc
15.11.2010 00:48
Seite 2 von 5
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 3
Zusammenfassend lässt sich sagen:
Der Wert des skalaren Produktes zweier
Vektoren ändert sich nicht, wenn man
einen der Vektoren durch seine
Komponente längs des anderen ersetzt.
Da die Division zweier Vektoren nicht
definiert ist, kann folgende Beziehung
manchmal hilfreich sein:
17.11.2010
G G G JJG JJG G
a ⋅ b = a ⋅ ba = ab ⋅ b
G G
G G
JJG a ⋅ b G
JJG a ⋅ b G
b a = 2 ⋅ a bzw. a b = 2 ⋅ b
a
b
Beispiel:
G
G
Zwei Vektoren a und b mit den Beträgen a = 4LE und b = 3LE
0
bilden einen Winkel
JJG vonJJG60 miteinander.
Berechnen Sie b a und a b . Überprüfen Sie das Ergebnis zeichnerisch.
a
b
0
60
0
ba
60
a
G G
JJG a ⋅ b G
ba = 2 ⋅ a
a
G G JG JG
a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos 60 0 = 4 ⋅ 3 ⋅ 0,5 = 6
JG JG
a2 = a ⋅ a = 4 ⋅ 4 = 16
(
)
JJG 6 G 3 G
⇒ ba =
⋅a = ⋅a
16
8
ab
G G
JJG a ⋅ b G
ab = 2 ⋅ b
b
JG JG
2
b = b ⋅ b = 3⋅3 = 9
b
JJG 6 G 2 G
⇒ ab = ⋅ b = ⋅ b
9
3
Beispiel:
Der Kosinussatz der ebenen Trigonometrie soll Ghergeleitet
G G G werden.
G G
a − b + c = 0 | +b − c
A
G G G
⇔ a = b − c quadrieren
α
G G
G G 2
G G
c
b
⇒ a2 = a ⋅ a = b − c = b2 − 2b ⋅ c + c 2
G G
= b2 + c 2 − 2b ⋅ c
B
C
= b2 + c 2 − 2bc ⋅ cos ( α )
a
(
Erstellt von R. Brinkmann p50_vektor_03.doc
15.11.2010 00:48
)
Seite 3 von 5
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 4
G G G G G G
b − c + a = 0 | +c − a
G G G
⇔ b = c − a quadrieren
G G
G G 2
G G
⇒ b2 = b ⋅ b = c − a = c 2 − 2a ⋅ c + a2
G G
= a2 + c 2 − 2a ⋅ c
B
β
(
c
a
C
17.11.2010
= a2 + c 2 − 2ac ⋅ cos (β )
A
b
G G G G G G
c − a + b = 0 | +a − b
G G G
⇔ c = a − b quadrieren
G G
G G 2
G G
⇒ c 2 = c ⋅ c = a − b = a2 − 2a ⋅ b + b2
G G
= a2 + b2 − 2a ⋅ b
C
λ
(
a
b
)
)
B
= a2 + b2 − 2ab ⋅ cos ( γ )
c
Besonderheit für ein rechtwinkliges Dreieck:
Da das Skalarprodukt zweier rechtwinklig aufeinanderstehender Vektoren Null ist,
erhält man für obiges Beispiel den Satz des Pythagoras.
c 2 = a2 + b2
A
Beispiel:
Beweisen Sie, das die Seitenhalbierende der Basis eines gleichschenkligen Dreiecks
senkrecht auf dieser steht.
C
C
b
a
sc
A
A
B
c
α1 = 180 0 − α
a
α
α
β
α
sc
b
1
2c
B
c
G
G
a = b a = b und cos 180 0 − α = − cos ( α )
a = b und α = β
(
)
G G G G
G G G
Vektorgleichungen: c + a − b = 0 ⇔ c = b − a
(1)
JJG 1 G G
1 G G JJG
c + a − sc = 0 ⇔ sc = c + a
( 2)
2
2
JJG 1 G G G 1 G 1 G G 1 G 1 G 1 G G
Mit (1) wird s c = b − a + a = b − a + a = b + a = a + b
2
2
2
2
2
2
JJG G
JJG G
Um zu zeigen das s c ⊥ c ist, muss gelten: s c ⋅ c = 0
JJG G 1 G G G 1 G G 1 G G 1
1
s c ⋅ c = a + b ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c = ac ⋅ cos 1800 − α + bc ⋅ cos ( α )
2
2
2
2
2
(
(
)
(
)
(
(
)
)
)
Mit b = a und cos 1800 − α = − cos ( α ) ist
JJG G
JJG G
1
1
s c ⋅ c = − ac ⋅ cos ( α ) + ac ⋅ cos ( α ) = 0 ⇒ s c ⊥ c
2
2
Erstellt von R. Brinkmann p50_vektor_03.doc
15.11.2010 00:48
q.e.d
Seite 4 von 5
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 5
17.11.2010
Euklidischer Vektorraum
Gelten zusätzlich zur algebraischen Struktur eines reellen Vektorraums, wie
nachfolgend aufgelistet,
G G G
Für jede Zahl k; k 1 ;k 2 ∈ \ und a;b;c ∈ V als Vektoren gilt:
G G
G G G G
a+b +c = a+ b+c
Assoziativgesetz der Addition
G G G
a+0 = a
Nullelement bezüglich der Addition in V
G
G
G
a + −a = 0
Inverses Element bezüglich der Addition
G G G G
a+b = b+a
Kommutativgesetz der Addition
G
G
k 1 k 2 a = k1 ⋅ k 2 a
Assoziativgesetz der Multiplikation
G
G
G
Distributivgesetz bei der Addition von Skalaren
( k1 + k 2 ) a = k1 a + k 2 a
G
G
G G
Distributivgesetz bei der Addition von Vektoren
k a + b = ka + kb
G G
1a = a
Unitäres Gesetz
folgende Gesetze,
G G G
Für jede Zahl {k ;a}∈ \ und a;b;c ∈ V als Vektoren gilt:
G G G G
a ⋅b = b ⋅a
Kommutativgesetz der Skalarmultiplikation
G G G
G G G G
a⋅ b + c = a ⋅b + a ⋅c
Distributivgesetz der Skalarmultiplikation
G G
G G
ka ⋅ b = k a ⋅ b
Gemischtes Assoziativgesetz
G G G2
G
2
a ⋅ a = a = a = a2
Betrag des Vektors a
{
(
)
{
}
(
)
}
( )
( )
(
)
{
(
( )
)
}
( )
dann spricht man von einem euklidischen Vektorraum.
Bemerkungen:
Zu einem Vektor gibt es bezüglich der Skalarmultiplikation kein inverses Element.
Das bedeutet, man kann durch einen Vektor nicht dividieren.
Bezüglich der Skalarmultiplikation von Vektoren gibt es kein neutrales Element, denn
das Ergebnis ist eine reelle Zahl und kein Vektor.
Erstellt von R. Brinkmann p50_vektor_03.doc
15.11.2010 00:48
Seite 5 von 5