– Eine quadratische Funktion lässt sich so … Eine quadratische

–
Lösungsweg
Quadratische
Funktion
Eine quadratische Funktion lässt sich so …
f(x) = y = ax² + px + c als Normalform oder so …
f(x) = y = (x + d)² + c als Scheitelpunktsform schreiben.
Gleichung
Eine quadratische Gleichung lässt sich so …
f(x) = y = ax² + px + c als Normalform oder so …
f(x) = y = (x + d)² + c als Scheitelpunktsform schreiben.
Beispiele:
f(x) = y = x² + 6x – 7
f(x) = y = 3x² – 12x – 3
f(x) = y = (x – 3)² – 4
f(x) = y = (x + 2)² – 1
Lösung: graphisch oder rechnerisch
Beispiele:
x² + 6x – 7 = 0
3x² – 12x – 3 = 0
(x – 3)² – 4 = 0
(x + 2)² – 1 = 0
Lösung: rechnerisch oder graphisch
A) 1. Möglichkeit:
Lösung mit einer Wertetabelle .
Frage: Für welches x ist y gleich Null?
f(x) = y = (x + 2)² – 1
Normalparabel (NP)!
A) 1. Möglichkeit:
x
y=(x+2)²–1
–4
3
–3
0
–2
–1
–1
0
0
3
+1
8
+2
15
.
Frage: Für welches x ist die Gleichung gleich Null?
Rechnerische Lösung mit der p,q-Formel
Achte auf die Vorzeichen!
+3
24
3x² – 12x – 3 = 0
1x² – 4x – 1 = 0
p = –4 q = –1
Schon fertig. Mit günstigen Werten geht das!
Lösung: Für
|:3
(Zahl vor x² soll 1 werden!)
| p , q bestimmen
√( )
und
ist y = 0 (Null).
 Probe  Lösungsmenge L = { | }
√( )
(zwei Lösungen)
B) 2. Möglichkeit:
Graphisch mit: Scheitelpunkt S(x|y), Normalparabel
f(x) = y = (x + 2)² – 1
√
√
NP
√
√
1. S(–2 | –1)
minus , minus  plus!


Antwort: Für die beiden x-Werte
und
ist die Gleichung „0“ (Null).
|
 Probe  Lösungsmenge L = {
}
(zwei Lösungen)
2. Funktion ist
eine NP.
B) 2. Möglichkeit:
Rechnerische Lösung mit der quadratischen
1.Nullstelle
2.Nullstelle
Lösungsschritte:
1. Zeichne den Scheitelpunkt S(–2|–1) ein.
2. Zeichne die Normalparabel.
3. Lies die Schnittpunkte der NP mit der x-Achse ab.
Nullstellen:  P1(–3|0) und P2(–1|0)
Lösung: Für
und
ist y = 0 (Null).
 Probe  Lösungsmenge L = { | }
(zwei Lösungen)
Nachteil der Lösung mit Wertetabelle oder
Graphik!
Bei ungünstigen Funktionswerten findet man
nur ungenaue Ergebnisse!
Aufgabe:
a) Mache die Probe für
und
b) Löse f(x) = y = (x – 3)² – 4 mit Wertetabelle und
graphischer Darstellung! Wertebereich: W = {x|–5<x<+5}
3x² – 12x – 3
1x² – 4x – 1
=0
=0
x² – 4x
= +1
x² – 4x + 4 = 1 + 4
(x –2)²
=5
x –2 = √
√

√

√
Ergänzung(qE)
|:3
|+1
qE
immer addieren!
|+qE = +( ) = +4
|li. Seite 2. Binom, quadrieren
|√
√
|+2
√
Antwort: Für die beiden x-Werte
und
ist die Gleichung „0“ (Null).
|
 Probe  Lösungsmenge L = {
Aufgabe:
a) Berechne
genau. Führe dann die Probe für die
Werte
und
durch.
b) Löse die Gleichung: x² + 6x – 7 = 0. Wähle dein
Lösungsverfahren! A) oder B)
Es gibt quadratische Funktionen/Gleichungen, die nur eine oder keine Lösung haben!
}