Mathematikskript Realschule Klasse 10 - Mathe

Mathematikskript Realschule Klasse 10
(Baden-Württemberg)
Vorbereitung Realschulabschlussprüfung 2017
Unterrichtsbegleitung im 10. Schuljahr
inkl. aller Prüfungsaufgaben von 2006 - 2016
Dipl.-Math. Alexander Schwarz
E-Mail: aschwarz@mathe-aufgaben.com
Homepage: www.mathe-aufgaben.com
Wichtiger Hinweis:
Ich bitte den Eigentümer dieses Skriptes, weder das gesamte Skript noch
Teilauszüge daraus zu kopieren, einzuscannen oder auf andere Art und Weise
zu vervielfältigen, um es an andere weiterzugeben.
Der Preis dieser Unterlagen steht in keinem Verhältnis zu dem Zeitaufwand,
den ich dafür investiert habe und für den Inhalt, den man bekommt.
Ich bitte um Fairness und danke dafür – Alexander Schwarz
Einige Hinweise
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Einige Hinweise
Zunächst einmal bedanke ich mich für das Vertrauen, das ihr mir mit dem Kauf dieses Skriptes
entgegengebracht habt !
Der darin enthaltene Stoff ist auf den Lehrplan von Baden-Württemberg für die Abschlussprüfung
2017 abgestimmt.
Das Skript ist sowohl ein Begleiter beim Lernen auf die Klassenarbeiten während des 10.Schuljahres
als auch ein wertvolles Vorbereitungsbuch für eure Matheprüfung.
In den Kapiteln 1 bis 7 werden die einzelnen Themengebiete der Prüfung ausführlich und verständlich
anhand vieler Beispiele vorgestellt und wiederholt.
Im Anschluss an jedes Kapitel findet ihr viele Übungsaufgaben, mit denen ihr kontrollieren könnt, ob
ihr den Stoff eines Kapitels verstanden habt. Damit ihr bei den Übungsaufgaben Prüfungsniveau
erreicht, habe ich in den ersten 7 Kapiteln alle Prüfungsaufgaben der Jahrgänge 2006 – 2013
eingebaut.
Damit ihr vor der Abschlussprüfung die Möglichkeit habt, komplette Prüfungsjahrgänge am Stück
durchzurechnen, findet ihr in den Kapiteln 8 bis 10 die zusammenhängenden
Abschlussprüfungsaufgaben der Jahre 2014 bis 2016.
Hinweis zu den Lösungen der Übungs-/ und Prüfungsaufgaben:
Am Ende der jeweiligen Kapitel befindet sich ein Kasten, in dem die Ergebnisse der einzelnen
Übungsaufgaben dargestellt sind (so genannte "Kurzlösungen").
Falls ihr eine Aufgabe durchgerechnet habt, könnt ihr anhand der Kurzlösungen kontrollieren, ob eure
Ergebnisse stimmen.
Falls ihr eine Aufgabe nicht vollständig lösen könnt oder euer Ergebnis nicht mit der Kurzlösung
übereinstimmt, ist dies auch kein Problem. Denn ihr findet die ausführlich durchgerechneten
Musterlösungen aller Aufgaben in einer pdf-Datei, die ich euch als Besteller des Skriptes per
Download-Link auf meiner Homepage zum Herunterladen zur Verfügung stellen werde.
Natürlich gibt es auch Aufgaben (insbesondere bei der Trigonometrie), bei denen man auf
verschiedenen Wegen zum Ziel kommt. Falls ihr mit einem anderen Lösungsweg als in der
Musterlösung dargestellt auf dasselbe Ergebnis kommt, kann dies natürlich auch richtig sein.
Wichtige Formeln, die ihr häufig in der Prüfung benötigt oder Rechenverfahren, die ihr auswendig
lernen solltet sind grau hinterlegt.
Nach meiner Erfahrung hilft es Schülern, wenn man nicht nur darstellt, wie etwas gemacht wird,
sondern auch, wie (und warum) etwas nicht gemacht werden darf.
Ich habe daher in dem Skript auch typische Fehler und Irrtümer dargestellt, die Schüler aufgrund
meiner langjährigen Erfahrung immer wieder unterlaufen.
Sie sind durch das entsprechende Symbol am Rand gekennzeichnet.
Wer diese "Fettnäpfchen" kennt, kann ihnen besser ausweichen.
Auch wenn ich mir viel Mühe gebe, Tipp- und Flüchtigkeitsfehler zu vermeiden, kann ich diese
natürlich nicht komplett ausschließen. Solltet ihr Fehler entdecken, bin ich für eine Mitteilung dankbar.
Auch Anregungen und konstruktive Kritik werden von mir gerne entgegengenommen und bei der
Aktualisierung berücksichtigt.
Viel Erfolg bei der Bearbeitung dieses Skriptes und alles Gute für eure Prüfung !
Alexander Schwarz
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Inhaltsverzeichnis
0. Abflauf der schriftlichen Prüfung
1. Gleichungen lösen
1.1 Lineare Gleichungssysteme
1.2 Quadratische Gleichungen
1.3 Bruchgleichungen
2. Geraden und Parabeln
2.1 Geraden zeichnen
2.2 Aufstellen einer Geradengleichung
2.3 Parabeln der Bauart y = ax²
2.4 Parabeln der Bauart y = ax² + c
2.4.1 Aufstellen der Gleichung einer Parabel y = ax² +c
2.5 Parabeln der Bauart y = x² + px + q
2.5.1 Scheitelpunktberechnung der Parabel y = x² + px + q
2.5.2 Aufstellen der Gleichung einer nach oben geöffneten Normalparabel
2.6 Allgemeine Aufgaben/Fragen zu Geraden und Parabeln
3. Sachrechnen
3.1 Prozentrechnen
3.2 Zinsrechnen
4. Diagramme und Auswertung von Daten
4.1 Diagramme
4.2 Daten auswerten
5. Wahrscheinlichkeitsrechnung
6. Trigonometrie
6.1 Berechnung von Dreiecken und Vielecken ohne Parameter e
6.2 Berechnung von Dreiecken und Vielecken mit Formvariable e
7. Stereometrie / Körperberechnung
7.1 Rotationskörper: Kugel, Zylinder, Kegel
7.2 Prismen und Pyramiden
7.3 Zusammengesetzte Körper
8. Prüfungsaufgaben 2014
9. Prüfungsaufgaben 2015
10. Prüfungsaufgaben 2016
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0. Ablauf der schriftlichen Prüfung
Die schriftliche Abschlussprüfung besteht aus zwei Teilen:
Teil 1: Pflichtbereich
Teil 2: Wahlbereich
Die Arbeitszeit beträgt insgesamt 180 Minuten.
Folgende Themengebiete umfasst die Abschlussprüfung:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Lösung von linearen Gleichungssystemen
Lösung von quadratischen Gleichungen
Lösung von Bruchgleichungen
Parabeln und Geraden
Prozent- und Zinsrechnung
Daten und Diagramme
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Trigonometrie
Körperrechnung
Pflichtbereich:
Der Pflichtbereich umfasst in der Regel 8 Aufgaben, wobei alle Aufgaben gelöst werden
müssen. Im Pflichtbereich werden Grundkenntnisse und Grundfertigkeiten sowie
grundlegende Lösungsstrategien geprüft.
Im Pflichtbereich können 30 Punkte erreicht werden.
Wahlbereich:
Der Wahlbereich umfasst vier Aufgaben, von denen die Fachlehrer den Schülern drei zur
Wahl stellen. Die Schüler müssen zwei der drei Aufgaben bearbeiten. Bearbeiten die Schüler
alle drei Aufgaben, werden die beiden besten bewertet. Die Aufgaben des Wahlbereichs
stellen erhöhte Ansprüche bezüglich der Lösungsstrategien und Begründungen.
Im Wahlbereich können 20 Punkte erreicht werden.
Insgesamt können 50 Punkte erzielt werden. Der gesamte Pflichtbereich (30 Punkte)
entspricht der Note 3,0.
Hinweis zur Rundung der Ergebnisse in den Musterlösungen:
Beim Thema "Algebra" (Gleichungen, Geraden, Parabeln) darf generell nicht gerundet werden.
In der Trigonometrie und bei Körperaufgaben mit Formvariablen (Aufgaben mit "e") darf ebenfalls nicht
gerundet werden. Ansonsten werden die Ergebnisse in diesem Skript in den Musterlösungen auf
1 oder 2 Stellen nach dem Komma gerundet. Handelt es sich dabei um Zwischenergebnisse, wird mit
diesen gerundeten Ergebnissen weitergerechnet.
Hierdurch kann es zu leichten Abweichungen zwischen den Ergebnissen der Musterlösungen und
euren Lösungen kommen.
Die von mir angewandten Rundungsregeln sind nicht allgemein verbindlich. Diese solltet ihr
für die Klassenarbeiten und die Prüfung bei eurem Lehrer/in erfragen.
4
1. Gleichungen lösen
Das Lösen von Gleichungen ist als Handwerkszeug in der Abschlussprüfung unbedingt
erforderlich.
Im Pflichtbereich muss in der Regel entweder ein lineares Gleichungssystem, eine
quadratische Gleichung oder eine Bruchgleichung gelöst werden.
Im Wahlbereich muss man hin und wieder Bruchgleichungen lösen.
Wie die genannten Gleichungstypen gelöst werden müssen, wird in den folgenden Kapiteln
ausführlich erklärt.
1.1 Lineare Gleichungssysteme
Ein lineares Gleichungssystem besteht aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.
Das Ziel besteht darin, dass wir für die beiden Variablen (die meistens mit x und y
bezeichnet werden) Zahlen finden, so dass beide Gleichungen erfüllt sind.
Für die Lösung solcher Gleichungssysteme können wir das Additionsverfahren oder das
Gleichsetzungsverfahren oder das Einsetzungsverfahren anwenden.
Es genügt jedoch, wenn wir eines der Verfahren beherrschen.
Da ich das Additionsverfahren für das Beste der drei Verfahren halte, werden wir uns in
den folgenden Beispielen nur dieses Verfahren betrachten - und auch in den Musterlösungen
der Übungsaufgaben wird nur das Additionsverfahren herangezogen.
Wer lieber mit einem der beiden anderen Verfahren rechnen möchte, kann dies natürlich
gerne tun. Für die Variablen x und y kommen unabhängig vom gewählten Verfahren
natürlich immer dieselben Ergebnisse heraus.
Beispiel 1.1: Erklärung Additionsverfahren
Löse das Gleichungssystem rechnerisch:
2x = 7 − 3y
−3x + 2y = −4
1.Schritt: Sortieren
Zunächst müssen wir beide Gleichungen so sortieren, dass auf der linken Seite die Terme
mit den Variablen und auf der rechten Seite die Zahlen ohne die Variablen stehen.
Außerdem müssen die Terme mit x und y jeweils genau untereinander stehen:
2x +3y = 7
−3x +2y = −4
2.Schritt: Gleichungen durchmultiplizieren
Die Gleichungen müssen wir nun so multiplizieren, dass vor x (oder vor y) zwei gleiche
Zahlen mit unterschiedlichem Vorzeichen stehen.
Wir wählen hierfür die Zahlen vor x aus:
Bei der 1.Gleichung steht vor der Variablen x die Zahl 2 und bei der 2.Gleichung die Zahl -3.
Wir suchen nun eine möglichst kleine Zahl, in der 2 und 3 als Teiler enthalten sind - dies ist
hier 6. Wir multiplizieren beide Gleichungen nun so, dass bei beiden Gleichungen die Zahl 6
vor der Variable x steht - einmal jedoch mit positivem und einmal mit negativem Vorzeichen.
1.Gleichung (mit 3 durchmultipliziert):
2.Gleichung (mit 2 durchmultipliziert):
6x + 9y = 21
−6x + 4y = −8
5
Beim Durchmultiplizieren einer Gleichung müssen alle Ausdrücke berücksichtigt werden.
Bei der 1.Gleichung darf nicht nur "2x" mit 3 multipliziert werden, sondern auch "3y" und auf
der anderen Seite die Zahl 7.
3.Schritt: Gleichungen addieren und eine Variable berechnen
Beide Gleichungen werden nun addiert. Dabei fällt eine Variable weg und wir müssen nur
noch die Ergebnisgleichung, die nur noch eine Variable enthält, lösen.
6x +9y = 21
−6x +4y = −8
13y
= 13
:13
⇒y =1
13y = 13
4.Schritt: Zweite Variable berechnen
Die erhaltene Lösung für die eine Variable müssen wir in eine der gegebenen Gleichungen
aus dem 1.Schritt eingesetzt. Hier setzen wir y = 1 in die 1.Gleichung ein:
2x + 3 ⋅ 1 = 7 ⇒ 2x = 4
⇒x=2
Lösungsmenge: L= {(2/1)}
Die runde Klammer in den geschweiften Klammern dürfen wir nicht vergessen !
Zunächst wird der x-Wert und dann der y-Wert in die Lösungsmenge geschrieben.
Es kann auch vorkommen, dass wir das Gleichungssystem zunächst vereinfachen müssen,
bevor wir das Additionsverfahren anwenden können:
Beispiel 1.2:
Löse das Gleichungssystem rechnerisch:
3(x − 2y) − 2(y − x) = 14
8(x − y) − 2x = 16
1.Schritt: Zusammenfassen und Sortieren
Hier müssen wir zunächst die Klammern auflösen und alles zusammenfassen:
1.Gleichung:
2.Gleichung:
3( x − 2y ) − 2( y − x ) = 14
⇔ 3 x − 6y − 2y + 2x = 14
8( x − y ) − 2 x = 16
⇔ 8 x − 8 y − 2x = 16
⇔ 5 x − 8y = 14
⇔ 6x − 8y = 16
Damit erhalten wir folgendes Gleichungssystem:
5x −8y = 14
6x −8y = 16
2.Schritt: Gleichungen durchmultiplizieren
Beim Addieren soll die Variable y herausfallen. Deshalb müssen wir die 1.Gleichung mit -1
durchmultiplizieren, damit vor y einmal 8 und einmal -8 steht.
5x
−8 y
= 14
6 x − 8 y = 16
| ⋅( −1)
⇒
−5 x
+8 y
6x
− 8y =
6
= −14
16
3.Schritt: Gleichungen addieren und eine Variable berechnen
−5x +8y = −14
6x −8y = 16
x
=
2
4.Schritt: Zweite Variable berechnen
Einsetzen von x = 2 in eine Gleichung aus dem 1.Schritt: 5 ⋅ 2 − 8y = 14
Lösungsmenge: L = { (2 / − 0,5) }
⇒ y = −0,5
Bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen kann es auch zu Sonderfällen kommen:
Beispiel 1.3: Gleichungssystem besitzt keine Lösung
Löse das Gleichungssystem rechnerisch:
x
+3y = −5
−2x −6y = −8
1.Schritt: Sortieren
entfällt, da beide Gleichungen schon sortiert sind
2.Schritt: Gleichungen durchmultiplizieren
Beim Addieren soll hier die Variable x herausfallen.
1.Gleichung (mit 2 durchmultipliziert): 2x + 6y = −10
2.Gleichung (nicht durchmultipliziert): −2x − 6y = −8
3.Schritt: Gleichungen addieren und eine Variable berechnen
2x +6y = −10
−2x −6y = −8
0
= −18
Da bei der Addition nun beide Variablen weggefallen sind und eine falsche Aussage 0 = -18
übrig geblieben ist, besitzt das Gleichungssystem keine Lösung.
Lösungsmenge: L= { } (leere Menge)
Beispiel 1.4: Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen
Löse das Gleichungssystem rechnerisch:
x
+3y = −5
−2x −6y = 10
1.Schritt: Sortieren
entfällt, da beide Gleichungen schon sortiert sind
7
2.Schritt: Gleichungen durchmultiplizieren
Beim Addieren soll die Variable x herausfallen.
1.Gleichung (mit 2 durchmultipliziert): 2x + 6y = −10
2.Gleichung (nicht durchmultipliziert): −2x − 6y = 10
3.Schritt: Gleichungen addieren und eine Variable berechnen
2x +6y = −10
−2x −6y = 10
0
=
0
Da bei der Addition nun beide Variablen weggefallen sind und eine wahre Aussage 0 = 0
übrig geblieben ist, besitzt das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.
Die Lösungsmenge enthält unendlich viele Paare (x,y) und sieht nun etwas komplizierter
aus:
L= { (x,y): x+3y = -5 } oder L = { (x,y): -2x-6y = 10 }
Wir schreiben einfach eine der beiden Ausgangsgleichungen in die Lösungsmenge hinein.
Hinweis für die Prüfung:
In den Prüfungsaufgaben der letzten Jahre sind Sonderfälle wie in Beispiel 1.3 und 1.4 nicht
vorgekommen. Trotzdem ist es nicht auszuschließen, dass sowohl in Klassenarbeiten als
auch in kommenden Prüfungen einer der Fälle mal vorkommen kann.
Übungsaufgaben zu Kapitel 1.1
Aufgabe 1-1:
Löse die folgenden linearen Gleichungssysteme rechnerisch.
a)
d)
8x + 8 = 3y
4x + 4y = 18
b) 12x − 8y + 12 = 0
2(3x − y) − (x + 2y) = 14
c) −4(2y − 3x) + 11y − 21x = 87
3x + 2y = 0
e)
3(2x + 3y) − 2(y − x) = 9
4x −
7(y − x) − (2y − 9,5x) = 5
y
= −27
2
3y = 22 + 4x
Aufgabe 1-2 (Pflichtbereich Jahr 2006)
Lösen Sie das Gleichungssystem:
5(y − 1) − 3(x − 7) = 1
2
20 + x
y+
=1
3
3
Aufgabe 1-3 (Pflichtbereich Jahr 2008)
Lösen Sie das Gleichungssystem:
3y − 7
−5 = x
2
x+3
y−6=
5
8
f)
x−y 1 7
+ =
3
4 12
x
y 77
+2+ =
5
6 30
Aufgabe 1-4 (Pflichtbereich Jahr 2010)
Lösen Sie das Gleichungssystem:
Aufgabe 1-5 (Pflichtbereich 2012)
x−3
= y +1
2
2x − 5
− 10(y − 1) = 16
3
Lösen Sie das Gleichungssystem:
2(x − 3y) − (x − y) =
2(5y − x) + 16
=
7
4x − 2
3
Lösungen zur Kontrolle:
1-1: a) x = 0,5 ; y = 4
b) x = -0,5 ; y = 0,75 c) x = -8 ; y = 5
e) x = -7 ; y = -2
f) x = 2 ; y = 1
1-2: x = -5 ; y = -6
1-3: x = 2 ; y = 7
1-4: x = 4 ; y = -0,5
9
d) x = 2 ; y = -1
1-5: x = 2 ; y = -1
8. Prüfungsaufgaben 2014
Pflichtbereich:
Aufgabe P1/2014: (4 Punkte)
Im Viereck ABCD sind gegeben:
AE = 3,2 cm
CD = 5,8 cm
ε1 = 54,6°
Berechnen Sie den Umfang des Dreiecks
EBC.
Aufgabe P2/2014: (4 Punkte)
Das Dreieck ABC und das Dreieck DBE
überdecken sich teilweise.
Es gilt:
AB = 6,2 cm
α = 36,2°
M ist Mittelpunkt von AC
Berechnen Sie die Länge DE
Aufgabe P3/2014: (4 Punkte)
Eine quadratische Pyramide wurde aus Wachs
hergestellt.
Es gilt: s = 11,2 cm
γ = 34,0°
Die Pyramide wird eingeschmolzen und zu
einer Kugel umgeformt.
Berechnen Sie den Radius der Kugel.
10
Auszug aus den Musterlösungen
(Die Musterlösungen werden als pdf-Datei zur Verfügung gestellt)
Aufgabe 1-1:
Lösungshinweise:
1. Schritt: Falls erforderlich zunächst Klammern in den Gleichungen auflösen und vorhandene Brüche
per Durchmultiplizieren mit dem Hauptnenner auflösen. Danach beide Gleichungen so
sortieren, dass links die Ausdrücke mit x und y stehen und rechts die Zahlen ohne Variable
2. Schritt: Entscheidung, ob die Variable x oder y entfernt werden soll; danach eine oder beide
Gleichungen so durchmultiplizieren, dass an die Variable, die entfernt werden soll, zwei
gleiche Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen stehen.
3. Schritt: Gleichungen addieren; es entsteht im Ergebnis eine Gleichung mit einer Variable, die dann
berechnet werden kann.
4. Schritt: Die berechnete Variable in eine Gleichung einsetzen und damit die andere Variable
berechnen.
a) 1.Schritt: Sortieren
8x
−3 y
= −8
4 x + 4y = 18
2.Schritt: Gleichungen durchmultiplizieren
Beim Addieren soll die Variable x herausfallen
8x
−3 y
= −8
4 x + 4y = 18
| ⋅( −2)
⇒
8x
−3 y
=
−8
− 8 x − 8 y = − 36
3.Schritt: Gleichungen addieren und eine Variable berechnen
−11y = −44 ⇔ y = 4
4.Schritt: Zweite Variable berechnen
Einsetzen von y = 4 in eine Gleichung aus dem 1.Schritt: 8 x − 3 ⋅ 4 = −8 ⇔ x =
1
,
2
1
Lösungsmenge: L = { ( / 4 ) }
2
b) 1.Schritt: Sortieren
12x
−8 y
= −12
3x
+ 2y =
0
2.Schritt: Gleichungen durchmultiplizieren
Beim Addieren soll die Variable y herausfallen
12x
−8 y
3x
+ 2y =
= −12
0
| ⋅4
⇒
12x
−8 y
= −12
12x + 8 y =
0
3.Schritt: Gleichungen addieren und eine Variable berechnen
1
24x = −12 ⇔ x = −
2
4.Schritt: Zweite Variable berechnen
1
1
3
Einsetzen von x = − in eine Gleichung aus dem 1.Schritt: 3 ⋅ ( − ) + 2 y = 0 ⇔ y = ,
2
2
4
1 3
Lösungsmenge: L = { (− / ) }
2 4
11