Physik I Übung 10

Physik I
Übung 10 - Lösungshinweise
Stefan Reutter
Moritz Kütt
Franz Fujara
WS 2011/12
Stand: 7. Februar 2012
Aufgabe 1 War die Weihnachtspause vielleicht doch zu lang?
Bei der Translation eines Massenpunktes und der Rotation eines ausgedehnten Körpers kann
man gewisse Ähnlichkeiten bei den benötigten Größen identifizieren. Erstelle eine Tabelle mit
den entsprechenden wichtigen Größen.
Translation Rotation
Weg s
Winkel ϕ
...
...
Lösungshinweise:
Translation
Ort ~r
Geschwindigkeit v~
Beschleunigung ~a
Masse m
Kraft F~
Impuls ~p = m~
v
Bewegungsgleichung F~ = ~˙p = m~a
Erhaltungsgröße Impuls ~p
kinetische Energie Ekin = 21 mv 2 =
p2
2m
Rotation
Winkel ϕ
Winkelgeschwindigkeit ω
~
˙
Winkelbeschleunigung ω
~
Trägheitsmoment J
~
Drehmoment M
Drehimpuls ~L = J ω
~
~ = ~˙L = J ω̇
Bewegungsgleichung M
Erhaltungsgröße Drehimpuls ~L
kinetische Energie Ekin = 12 Jω2 =
L2
2J
Aufgabe 2 Rollige Rollen
Ein Zylinder, eine Kugel und ein Hohlzylinder rollen einen Hang hinunter. Sagt der Zylinder zu
den anderen: “Wetten, ich bin schneller unten als ihr?” Sagt die Kugel: “Gar nicht! Ich bin die
schnellste!” Wer hat recht? Berechne die Geschwindigkeit, die die drei Körper jeweils am Ende
haben, wenn sie aus einer Höhe 20 m mit einer Geschwindigkeit von 0 starten. Sie haben jeweils
die gleiche Masse und den gleichen Radius, Reibung kann vernachlässigt werden.
Hinweis: Die notwendigen Trägheitsmomente entnehme man der letzten Übung.
Lösungshinweise:
1
Hier nochmal die Trägheitsmomente
Kugel
Zylinder
Hohlzylinder
JK = 52 M R2
J Z = 12 M R2
J H = M R2
Damit ist schon klar, dass die Kugel am schnellsten unten ankommt. Zur Vereinfachung setzen
wir J = αM R2 für die verschiedenen Körper, wobei α die verschiedenen Vorfaktoren berücksichtigt
Die Geschwindigkeit berechnet man mittels Energieerhaltung
!
M gh = E t r ans + E r ot =
1
M v 2 + Jω2
2
2
1
Mit v = ωR (weil die Körper rollen) ergibt sich
M gh =
1
1
M v 2 + αM v 2
2
2
r
2gh
v=
1+α
v K = 16.7 m/s
v Z = 16.2 m/s
v H = 14 m/s
Aufgabe 3 Steinerscher Satz
Berechne das Trägheitsmoment einer unsymmetrischen Hantel
um eine Achse durch den Schwerpunkt. Die Hantel besteht aus
einer Kugel mit Radius r1 = 10 cm und Masse m1 = 1 kg sowie
einer zweiten Kugel mit Radius r2 = 20 cm und einer Masse m2 =
5 kg. Der Abstand zwischen den beiden Kugelmittelpunkten ist
60 cm. Vernachlässige die Masse der Verbindungsstange.
m1
m2
d
Lösungshinweise:
Das Trägheitsmoment jeder Kugel beträgt Ji = 25 mi R2i . Der Steinersche Satz besagt, dass man die Drehung der Kugel um eine Drehachse, die nicht durch den
Mittelpunkt (die Hauptträgheitsachsen gehen durch den Mittelpunkt) geht, schreiben kann als
Ji0 = Ji + mi x i2
Wobei x i der Abstand zwischen Drehachse und Mittelpunkt der Kugel ist.
2
Zunächst muss man sich die Abstände zum Schwerpunkt beschaffen. Bekanntermaßen ist per
Definition des Schwerpunktes
x1 =
x2 =
m2
m1 + m2
m1
m1 + m2
d
d
Das Gesamtträgheitsmoment ist dann
J = J10 + J20 =
=
=
Wobei µ =
m1 m2
m1 +m2
2€
5
2€
5
2€
5
‚
Š
m1 R21 + m2 R22 +
m1
‚
m1 R21
+ m2 R22
Š
+
2
m2
m1 + m2
m1 m2 (m1 + m2 )
2
m1 + m2
+ m2
m1
m1 + m2
2 Œ
d2
Œ
d2
Š
m1 R21 + m2 R22 + µd 2
die reduzierte Masse ist.
Aufgabe 4 Billard
Wo muss man beim Billard eine Kugel mit dem horizontalen Queue anstoßen, damit sie direkt
losrollt ohne zu rutschen?
Lösungshinweise:
Bei einem Kraftstoß gibt es wie bei der Rolle im Weltraum sowohl durch die Kraft F eine Translationsbeschleunigung als auch durch das Drehmoment D = x F eine Winkelbeschleunigung (x
ist der Stoßparameter, Höhendifferenz zwischen Schwerpunkt und Stoßpunkt).
ω̇ =
v̇ =
D
J
F
M
wobei J = 52 M R2 das Trägheitsmoment der Kugel ist.
Damit die Kugel direkt rollt, muss v = ωR erfüllt sein, damit gilt dann natürlich auch für deren
Ableitungen v̇ = ω̇R
xF
2
MR
5
!
= ω̇R = v̇ =
F
M
2
x = Ry
5
3
Aufgabe 5 Urodynamik
Manchmal gehen Vorlesungen einfach zu lange, vor allem wenn man zuviel Kaffee getrunken
hat. Nachdem die sich scheinbar endlos hinziehende Studentenquälerei endlich zu Ende ist,
rennt dein Sitznachbar, der schon die ganze Zeit nervös auf seinem Platz rumgerutscht ist, so
schnell wie nur möglich aus dem Hörsaal. Kurze Zeit später hörst du ein erleichtertes Seufzen
aus der Herrentoilette.
Berechne, wie groß die Geschwindigkeit deines Sitznachbarn Strahls (er pinkelt eine ideale
Flüssigkeit mit der Dichte von Wasser) am Anfang des Vorgangs bei Austritt aus der Harnröhre
ist, wenn sich in seiner Blase ein Überdruck von 10 hPa aufgebaut hat und die Füllhöhe 10 cm
über dem Abfluss beträgt. Welche Höhe müsste ein oben geschlossener Behälter haben, um den
gleichen Überdruck zu erzeugen?
Lösungshinweise:
Laut Bernoulli-Gleichung gilt
1
1
p1 + ρu21 = p2 + ρu22
2
2
Der Druck am Ende des Strahlemanns ist der Luftdruck p2 = p0 , im Innern der Blase ist er
p1 = p0 + ∆p + ρ gh. Die Geschwindigkeit im Innern der Blase ist u1 = 0. Damit gilt
1
∆p + ρ gh = ρu22
2
r
2∆p
u2 =
+ 2gh = 2 m/s
ρ
Um das gleiche mit einem Behälter ohne inneren Überdruck zu erreichen, muss folgendes gelten
ρ gh b =∆p + ρ gh
∆p
hb =
+ h = 0.2 m
ρg
4
Hausaufgabe 1 Kinder-Kreisel
Egon (m E = 40 kg) und Manni (m M = 30 kg) hat es schon wieder erwischt. Dieses mal haben
sich jedoch die Halbstarken etwas besonders fieses ausgedacht, um die beiden kleinen zu ärgern.
Sie binden Egon und Manni so an eine stabile Stange, dass ein ”Kinder-Kreisel” entsteht. Der
gemeinsame Schwerpunkt dieses Kreisels liegt 1 müber dem unteren Ende der Stange. Die Halbstarken setzen diesen Kreisel nun mit einer Drehfrequenz von ω = 30 s−1 und mit der Drehachse
um α = 10◦ zur Senkrechten verkippt in Bewegung. Der Kinder-Kreisel beginnt dann unter dem
Einfluss der Gewichtskraft mit einer Präzessionsfrequenz von ω p = 4 s−1 zu präzedieren. Wie
groß ist das Trägheitsmoment des Kinderkreisels?
Lösungshinweise:
Für die Präzessionsfrequenz gilt:
ωp =
D
L sin α
=
(me + mm )g r sin α
Jω sin α
Damit ist das Trägheitsmoment:
J=
(m E + m M )g r
ωp ω
= 5.7 kgm2
Hausaufgabe 2 Noch mehr Trägheitsmomente? Bah!
Berechne das Trägheitsmoment
a) eines rotationssymmetrischen Körpers mit der Berandungsfunktion r(z) = kz 2 , der von z = 0
bis z = H geht, die konstante Dichte ρ hat und um die z-Achse rotiert.
b) eines Zylinders mit Symmetrieachse entlang der z-Achse, Höhe h, Radius R und Dichteverteilung ρ(r) = k0 r um die z-Achse.
Lösungshinweise:
Hier muss man fröhlich integrieren, jedoch darauf achten, dass eine Integrationsgrenze von
einer anderen Integrationskonstanten abhängig ist.
a)
2
J=
ZH Zkz Z2π
ZH
0
0
ρr 3 dφdrdz = 2πρ
0
0
1
4
(kz 2 )4 dz =
π
18
k4 H 9 ρ
5
Man kann noch die Masse einsetzen, das bringt einem allerdings bei dieser Aufgabe nicht sehr
viel
2
M=
ZH Zkz Z2π
ρrdφdrdz = 2πρ
0
J=
5
18
0
0
ZH
1
2
(kz 2 )2 dz =
π
5
k2 H 5 ρ
0
M k2 H 4
b)
J=
ZH ZR Z2π
0
0
1
k0 r 4 dφdrdz = 2πk0 H R5
5
0
Die Masse ist hier
M=
ZH ZR Z2π
0
J=
3
5
0
1
k0 r 2 dφdrdz = 2πk0 H R3
3
0
M R2
Hausaufgabe 3 Wie Hund und Katz und Fuchs, Teil 17
Hund, Katze und Fuchs wollen schon wieder springen. Diesmal planen sie Großes. Alle haben
sich in Startposition begeben, Hund auf dem Boden, Katze auf einem Baum, Fuchs etwas weiter
weg. Plötzlich bellt der Hund laut, die Katze erschrickt sich und fällt mit dem Rücken zuerst
vom Baum.
Mit welcher Frequenz müsste die Katze mit ihrem Schwanz rotieren, damit sie bei einer Fallhöhe
von h = 2 m wieder auf ihre Beine fällt? Idealisiere die Katze durch einen Zylinder mit der Länge
40 cm und Durchmesser 10 cm. Den Schwanz kannst du als dazu senkrechten Stab mit einer
Länge von 30 cmund einem Durchmesser von 1 cm darstellen. Die Katze hat eine homogene
Dichte und die Masse M .
Lösungshinweise:
Benennung einiger Größen:
Radius Katzenkörper
Höhe (Länge) Katzenkörper
Volumen Katzenkörper
Radius Schwanz
Länge Schwanz
Volumen Schwanz
Masse der Katze
RK
HK
VK
RS
LS
VS
M
= 5 cm
= 40 cm
= 0.5 cm
= 30 cm
= VK ρ + VS ρ
6
Nötige Rotation des Katzenkörpers:
π
ωK =
t fall
Fallzeit
1
2
g t fall
2
q
s=
2s
g
t fall =
Das Trägheitsmoment des Katzenkörpers (Zylinder):
JK =
1
2
VK ρR2K
Trägheitsmoment eines Dünnen Stabes bei Rotation um Achse durch Schwerpunkt:
J=
1
12
M L2
Trägheitsmoment des Schwanzes (Dünner Stab + Steinersche Satz)
2
1
L
JS = J + M
= VS ρ LS2
2
3
Betragsweise Drehimpulserhaltung für Rotation des Schwanzes (die Vektoren ωS und ωK zeigen
in natürlich in gegensätzliche Richtungen, müssen aber für das Problem vom Betrag her gleich
sein)
JS ω S = J K ω K
ωs =
JK
ωK
JS
=
3VK ρR2K
2VS ρ LS2
qπ
2s
g
=
3πH K R4K
q
R2 L 3
2 2s
g S S
= 27s−1
Hausaufgabe 4 Da dreh ich am Rad
Das Trägheitsmoment eines Rades ist J = 100 kg m2 . Seine Winkelgeschwindigkeit ist zu einem
bestimmten Zeitpunkt 2 s−1 . Nachdem es sich um einen Winkel von 100 gedreht hat, ist seine
Winkelgeschwindigkeit durch ein konstantes Drehmoment auf 10 s−1 angewachsen. Berechne
dieses Drehmoment und die Zunahme an kinetischer Energie.
Lösungshinweise:
Es gelten folgende Relationen
~˙
~L = J ω
~ = Jφ
~˙L = D
~
~¨ = D
~
Jφ
7
Damit ergibt sich für ein konstantes Drehmoment durch Integrieren (alle Vektoren zeigen in die
gleiche Richtung, deshalb betrachten wir das Problem nun eindimensional)
D
t + ω0
J
D 2
φ=
t + ω 0 t + φ0
2J
ω=
Den Zeitpunkt kann man sich aus der ersten Gleichung beschaffen. Setzt man das in die zweite
ein, erhält man das Drehmoment
J
(ω − ω0 ) = ∆ω
D
D
1
J
(ω1 − ω0 ) + ω0
∆φ = ∆ω
D
2
J
1
D=
(ω1 − ω0 )
(ω1 + ω0 )
∆φ
2
Š
J € 2
=
ω1 − ω20 = 48 Nm
2∆φ
t=
J
Die Drehenergiedifferenz ist
∆E =
Š
1 € 2
J ω1 − ω20 = 4.8 kJ
2
8