Fortgeschrittene VWL Theorie

Transcription

Mikroökonomische Theorie
I
Entscheidungen unter Unsicherheit
Problem: Das Einkommen des Haushaltes hängt vom Zustand der
Welt s ab.
I
Nehmen wir an, dass es 2 dieser Zustände gibt. Das Einkommen ist
dann y1 = y und y2 = y − L.
I
L mögen dabei die Kosten eines Unfalls darstellen.
Jörg Lingens (WWU Münster)
VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL
July 3, 2009
180 / 280
I
Dem Haushalt bietet sich nun die Möglichkeit über einen
Versicherungskontrakt Ressourcen von einem Zustand in den anderen
Zustand zu verschieben.
I
Der Preis um einen Euro zu verschieben sei nun p.
I
Bezahlt der Haushalt also pq, so erhält dieser q falls der Zustand 2
eintritt.
July 3, 2009
181 / 280
I
Weiterhin nehmen wir an, dass πi die Wahrscheinlichkeit für den
Zustand i ist.
I
Sowohl das Individuum als auch der Versicherer kennen diese
Wahrscheinlichkeit → keine Adverse Selektion.
I
Der Versicherungsnehmer hat weder Einfluss auf die Schadenshöhe
noch auf die Schadenswahrscheinlickeit → kein Moral Hazard
July 3, 2009
182 / 280
I
Gegeben diese Information, kann das Einkommen des Haushaltes in
den beiden Situationen dargestellt werden:
I
y1 = y − pq
I
y2 = y − pq − L + q
July 3, 2009
183 / 280
I
Damit konstituieren diese beiden Gleichungen so etwas wie eine
Budgetrestriktion.
I
Das verbindende Element zwischen diesen beiden Zuständen der Welt
ist die Höhe der Versicherung q.
I
Der Haushalt wählt endogen die Versicherungssumme q, die den
erwarteten Nutzen maximiert.
July 3, 2009
184 / 280
I
Bevor wir uns dem Maximierungsproblem des Haushaltes widmen
wollen wir uns noch die Bedingung für eine faire Versicherungsprämie
anschauen.
I
Eine faire Versicherungsprämie liegt immer dann vor, wenn sich das
erwartete Einkommen nicht ändert.
I
Erwartetes Einkommen ohne Versicherung
π1 (y ) + π2 (y − L) = y − π2 L, wobei natürlich π1 + π2 = 1.
July 3, 2009
185 / 280
I
Erwartetes Einkommen mit Versicherung
π1 (y − pq) + π2 (y − L − pq + q) = y − pq − π2 L + π2 q
I
Wenn also die Prämie p der Schadenseintrittswahrscheinlichkeit π2
entspricht, so handelt es sich um eine faire Versicherung.
July 3, 2009
186 / 280
I
Wie sieht nun das optimal Verhalten eines Haushaltes aus?
I
Zielfunktion E(u) = π1 u(y − pq) + π2 u(y − L − pq + q)
I
Die Bedingung erster Ordnung für die optimale Wahl des
Versicherungsschutzes (alle anderen Größen sind exogen!) ist dann:
I
π1 u 0 (y − pq)(−1)p + π2 u 0 (y − L − pq + q)(1 − p) = 0
July 3, 2009
187 / 280
I
Dies Bedingung kann umgeschrieben werden zu:
I
p(π1 u 0 (y − pq) + π2 u 0 (y − L − pq + q)) = π2 u 0 (y − L − pq + q)
I
Die Grenzkosten der Versicherung (linke Seite), d.h. der
Einkommenverlust in Höhe von p muss im Optimum genau so groß
sein wie der Grenzertrag.
July 3, 2009
188 / 280
I
Wie hoch wir nun der optimale Versicherungsschutz sein, wenn die
Prämie der Versicherung fair ist, d.h. p = π2 ?
I
In diesem Fall gilt im Optimum
π1 u 0 (y − pq) + (1 − π1 )u 0 (y − L − pq + q) = u 0 (y − L − pq + q)
I
Dies impliziert aber, dass u 0 (y − pq) = u 0 (y − L − pq + q). Dies kann
nur wahr sein, wenn q = L
I
Der Haushalt wird sich also bei fairer Prämie komplett absichern.
July 3, 2009
189 / 280
I
In der bisherigen Analyse haben wir angenommen, dass die
Schadenshöhe exogen ist und die Eintrittswahrscheinlichkeit allgemein
bekannt ist.
I
Damit schließen wir aber zwei extrem wichtige Charakteristika in
real-typischen Versicherungsmärkten aus:
1. Adverse Selektion: Unsicherheit über die Schadenswahrscheinlichkeit
2. Moral Hazard: endogene Schadenshöhe.
July 3, 2009
190 / 280
I
Adverse Selektion ist also ein strukturelles Charakteristikum des
Marktes.
I
Moral Hazard wird durch ’Fehlverhalten’ verursacht: kann also durch
Market Design verhindert/abgeschwächt werden.
July 3, 2009
191 / 280
I
Schauen wir uns in einem ersten Schritt Adverse Selektion an.
I
Das Modell entspricht dem obigen, d.h. es gibt 2 Zustände. In einem
Zustand erfährt der Haushalt einen Einkommensverlust L.
I
Dieser Einkommensverlust kann versichert werden durch Zahlung
einer Versicherungsprämie.
July 3, 2009
192 / 280
I
Die zusätzliche Annahme hier ist, dass es 2 Gruppen von Haushalten
gibt, die unterschiedliche Schadenseintrittswahrscheinlichkeiten haben.
I
Die Wahrscheinlichkeit für den Eintritt des Schadens bei Gruppe l sei
πl bzw. πh bei Gruppe h mit πl < πh .
I
Wenn der Versicherer dies genau beobachten könnte, dann würde
dieser natürlich keine einheitliche Prämie verlangen (keinen
einheitlichen Kontrakt anbieten).
July 3, 2009
193 / 280
I
Schauen wir uns die Einkommenssituation des Haushaltes i in den
beiden Zuständen an für den Fall, dass nur faire Kontrakte angeboten
werden:
I
Einkommen in Zustand 1: y1 = y − πi qi
I
Einkommen in Zustand 2: y2 = y − L + qi − πi qi
I
Erwarteter Nutzen:
E(u)i = (1 − πi )u(y − πi qi ) + πi u(y − L + (1 − πi )qi )
July 3, 2009
194 / 280
I
Die Bedingung für die optimale Wahl des Versicherungsschutzes ist
dann:
I
∂E(u)i
∂qi
I
Das Einkommen in den beiden Perioden ist also identisch und es wird
= −(1 − πi )u 0 (y − πi qi )πi + πi u 0 (y − L + (1 − πi )qi )(1 − πi ) = 0
voller Schutz gewählt.
July 3, 2009
195 / 280
I
Bisher haben wir uns das separierende Gleichgewicht angeschaut.
I
Es gibt typabhängige Versicherungskontrakte und jeder Typ wählt den
passenden Kontrakt.
I
Was passiert, wenn die Versicherung die beiden Risiken nicht
unterscheiden kann aber trotzdem unterschiedliche Kontrakte
anbietet?
July 3, 2009
196 / 280
I
Die Versicherung geht pleite!
I
Die Schadensabdeckung ist bei beiden Kontrakten gleich qi∗ = L, aber
die Versicherung für das niedrigere Risiko ist günstiger.
I
Alle tun so als ob sie das niedrige Risiko sind.
I
Einnahmen πl L + πl L; (erwarete) Ausgaben πl L + πh L →
Ausgaben>Einnahmen.
July 3, 2009
197 / 280
I
Stellen wir uns nun vor, dass die Versicherung (da die W’keit des
Schadens nicht beobachtet werden kann) einen einheitlichen Kontrakt
anbietet.
I
Nehmen wir an, dass der Kontrakt den Preis π̄qi hat, wobei
¯ = λπl + (1 − λ)πh .
pi
I
λ bezeichnet also den Anteil der niedrigen Risiken in der Population.
July 3, 2009
198 / 280
I
Die Bedingung erster Ordnung für die optimale Versicherungsmenge
ändert sich dann zu:
I
−(1 − πi )u 0 (y − π̄qi )π̄ + πi u 0 (y − L + (1 − π̄)qi )(1 − π̄) = 0
I
In diesem Fall würden beide Haushalte eine unterschiedliche
Kontrakthöhe qi im Optimum wählen.
July 3, 2009
199 / 280
I
Es gilt nun, dass qh∗ > ql∗ . (Warum?)
I
Damit könnte aber die Versicherung die Riskiken durch
Selbstselektion unterscheiden.
I
Ein Kontrakt qh∗ wird damit niemals angeboten. Der einheitliche
Kontrakt wäre dann ql∗ .
July 3, 2009
200 / 280
I
Wenn es also einen einheitlichen Kontrakt gäbe, dann wäre dieser ql∗
und dieser Kontrakt würde ein Pooling Gleichgewicht darstellen.
I
Ein kompetitiver Versicherungsmarkt würde aber zu keinem Pooling
Gleichgewicht führen.
I
Idee: Durch verschiedene Arten von Kontrakten kann so etwas wie
eine Selbstselektion erreicht werden.
I
Eine Versicherung kann damit lukrative niedrig Risiko Haushalte aus
dem Pooling GG abwerben.
July 3, 2009
201 / 280
I
In einem kompetitiven Markt wird es somit keine Pooling Kontrakte
geben.
I
Es werden nur Versicherungskontrakte angeboten, die eine korrekte
Selbstselektion implizieren.
I
Bei der Auswahl des optimalen Versicherungskontraktes muss also die
Selbstselektions-Restriktion beachtet werden
I
V i (πi qi , qi ) ≥ V i (πj qj , qj ) i, j = h, l und i 6= j
July 3, 2009
202 / 280
I
Man kann nun zeigen, dass die Selektions-Restriktion nicht für niedrig
Risiko Haushalte gilt.
I
Dazu muss man ’nur’ zeigen wie hoch die Versicherung im Fall der
Offenbarung des Typs und der Verschleierung des Typs ist.
I
Im ersten Fall ist dann qll = L und im zweiten qhl < L (bei ’freier’
Optimierung).
July 3, 2009
203 / 280
I
Ist in dieser Situation die Restriktion bindend? Dann ist zu zeigen,
dass
I
(1 − πl )u(y − πl L) + πi u(y − πl L) >
(1 − πl )u(y − πh qhl ) + πl u(y − L + (1 − πh )qhl )
I
Dies kann (intuitiv) gezeigt werden, wenn man sich das erwartete
Einkommen in beiden Situationen anschaut.
July 3, 2009
204 / 280
I
erwartetes Einkommen niedrig Risiko Kontrakt: y − πl L
I
erwartetes Einkommen hoch Risiko Kontrakt: y − πl L + (πl − πh )qhl
I
Wenn aber das erwartete Einkommen beim hoch Risiko Kontrakt
kleiner ist, dann gilt dies erst Recht für die (konkave) Nutzenfunktion.
July 3, 2009
205 / 280
I
Die Restriktion ist also für den Haushalt mit niedrigem Risiko nicht
bindend.
I
Sie ist jedoch bindend für den Haushalt mit dem hohen Risiko (der
Haushalt wird sich überversichern und damit können analoge
Argumente angewendet werden).
I
Die Versicherungen wollen eben solch einen Kontrakt anbieten, der
unrentabel für die hoch Risiko Haushalte ist; nur dann kann die
Selektion funktionieren.
July 3, 2009
206 / 280
I
Die Versicherung weiß, dass nur die Selbstselektion für hoch Risiko
Haushalte bindend ist.
I
Es gibt also ’nur’ ein Problem beim Kontrakt für niedrig Risiko
Haushalte.
I
Wie groß ist die optimale Versicherung für den hoch Risiko Kontrakt?
July 3, 2009
207 / 280
I
Die Versicherung weiß, dass nur tatsächlich hoch Risiko Haushalte
diesen Kontrakt nachfragen.
I
Diese können also ohne Restriktion maximieren und werden sich voll
versichern qh∗ = L
I
Beim niedrig Risiko Kontrakt muss die Versicherung verhindern, dass
hoch Risiko Haushalte diesen nachfragen.
July 3, 2009
208 / 280
I
Die niedrig Risiko Haushalte sehen sich also bei ihrer Optimierung der
Selbstselektionsrestriktion gegenüber.
I
Andere Kontrakte werden nicht angeboten.
I
Das Maximierungsproblem ist damit:
maxql (1 − πl )u(y − πl ql ) + πl u(y − L + (1 − πl )ql )
I
Nebenbedingung:(1 − πh )u(y − πh L) + πh u(y − L + (1 − πh )L) =
(1 − πh )u(y − πl ql ) + πh u(y − L + (1 − πl )ql )
July 3, 2009
209 / 280
I
Die Lösung der Maximierung entspricht einer ’Ecklösung’.
I
Das Set der möglichen Versicherungskontrakte wird eingeschränkt
durch die Nebenbedingung, d.h. der Nutzen aus diesem Kontrakt für
hoch Risiko Haushalte muss niedriger sein als deren Gleichgewicht.
I
Aus diesem beschränkten Set werden die niedrig Risiko Haushalte den
höchsten Versicherungschutz q̂l wählen.
July 3, 2009
210 / 280
I
Wie hoch ist dieser Versicherungsschutz dann im Vergleich zum
Optimum mit ql = L?
I
Schauen wir uns dazu die Nebenbedingung an. Wenn ql = L dann
gilt:
I
u(y − πh L) < u(y − πl L) (dies ist eben das Problem)
I
Was muss geschehen mit ql passieren damit die rechte Seite kleiner
wird (bzw. die recht Seite stärker als die Linke Seite sinkt)?
July 3, 2009
211 / 280
I
Schauen wir uns die Ableitung der Gleichung u(y − πh q) − u(y − πl q)
nach q an der Stelle L an, so gilt:
I
−u 0 (y − πh q) + u(y − πl q) < 0, dies ist wg. sinkenden Grenznutzens
und πl < πh kleiner als Null.
I
Der Versicherungsschutz muss also sinken damit die Selbstselektion
funktioniert und es muss gelten q̂l < L
July 3, 2009
212 / 280
I
Die Versicherung macht also den niedrig Risiko Vertrag relativ
unattraktiv und bietet eine zu kleine Versicherung an.
I
Die niedrig Risiko Haushalte werden also rationiert und verlieren
dadurch Nutzen im Vergleich zum Zustand perfekter Info.
I
Für die hoch Risiko Haushalte ändert sich nichts.
July 3, 2009
213 / 280
I
Ist dieses separierende Gleichgewicht stabil in dem Sinn, dass kein
Pooling Kontrakt dieses zerstören kann?
I
Wir wissen, dass ein pooling Kontrakt π̄q für die hoch Risiko
Haushalte immer attraktiver ist als qh = L.
I
Damit ein pooling Kontrakt das separierende GG zum
Zusammenbruch führt muss dieses auch für die niedrig Risiko
Haushalte attraktiv sein.
July 3, 2009
214 / 280
I
Der Pooling Kontrakt ist dann attraktiv, wenn gilt
(1 − πl )u(y − π̄q) + πl u(y − L + (1 − π̄)q) >
(1 − πl )u(y − πl q̂l ) + πl u(y − L + (1 − πl )q̂)
I
Ob diese Relation erfüllt ist hängt letztlich davon ab wie hoch der
Preis des Pooling Kontraktes pro versicherten Euro π̄ ist.
I
Ist dieser sehr hoch, weil es sehr viele hoch Risiko Haushalte gibt, so
wird sich der Pooling Kontrakt nicht durchsetzten.
July 3, 2009
215 / 280
I
Ist dieser Preis aber niedrig genug, weil es z.B. sehr viele niedrig
Risiko Haushalte gibt, dann ist der Pooling Kontrakt attraktiv.
I
Dieser ist zwar immer noch teurer als der separierende Kontrakt, aber
die Haushalte werden nicht rationiert.
I
Deshalb kann es für die niedrig Risiko Haushalte sinnvoll sein
’umzusteigen’
July 3, 2009
216 / 280
I
Dies hat aber dann zur Konsequenz, dass der Markt zusammenbricht
(das haben wir weiter oben gezeigt).
I
In kompetitive Versicherungsmärkten mit Informationsasymmetrie
sind 2 Szenarien vorstellbar:
I
Zwei unterschiedliche Kontrakte existieren oder es gibt keinen Markt.
July 3, 2009
217 / 280
I
Bisher haben wir angenommen, dass die W’keit eines Schadens für
einen Haushalt exogen war.
I
In der Realität ist es aber doch wohl so, dass HH diese
Wahrscheinlichkeit durch Sorgfalt beeinflussen können.
I
Wenn aber diese Sorgfalt nicht kostenlos ist, dann wird die Existenz
der Versicherung das Verhalten der Versicherten beeinflussen.
I
Es entsteht ’Moral Hazard’
July 3, 2009
218 / 280
I
Die formale Analyse von Moral Hazard ist der Analyse der Adversen
Selektion relativ ähnlich.
I
Dies sollte aber nicht darüber hinwegtäuschen, dass beides sehr
unterschiedliche Sachverhalte sind.
I
Moral Hazard wird durch endogene Verhaltensänderung beeinflusst;
Adverse Selektion ergibt sich exogen.
July 3, 2009
219 / 280
I
Betrachten wir Moral Hazard im obigen Versicherungsrahmen.
Nehmen wir aus Vereinfachungsgründen an, dass es nur einen
Haushaltstyp gibt.
I
Dieser kann zwei Anstrengungsniveaus a0 = 0 und a1 = a frei wählen.
Durch die Anstrengung sinkt die W’keit des Schadens.
I
Diese ist dann π0 bzw. π1 mit π0 > π1 .
July 3, 2009
220 / 280
I
Nehmen wir in einem ersten Schritt an, dass die Versicherung die
Anstrengung perfekt beobachten kann.
I
Die Versicherung wird dann zwei Kontrakte konditional zum
Anstrengungsniveau anbieten.
I
Die optimale Versicherungshöhe q maximiert (wie gehabt) den
erwarteten Nutzen, wobei wir hier die Kosten der Anstrengung
berücksichtigen:
(1 − πi )u(y − ai − πi q) + πi u(y − L − ai + (1 − πi )q)
July 3, 2009
221 / 280
I
Aus der Bedingung erster Ordnung ergibt sich dann wiederum, dass
q ∗ = L.
I
Bei einem fairen Kontrakt wird sich der Haushalt also vollständig
versichern.
I
Das Anstrengungsniveau wählt er dann nach Vergleich der erwarteten
Nutzen für a0 und a1 .
July 3, 2009
222 / 280
I
Aus dem Vergleich u(y − π0 L) ≤ u(y − a − π1 L) ergibt sich:
I
a ≤ (π0 − π1 )L
I
Der Haushalt wird sich also anstrengen, wenn der erwartete Nutzen
aus der Anstrengung (Erhöhung des erwarteten Einkommens)
größer/gleich den Kosten ist.
I
Nehmen wir an, dass dies der Fall sein wird, d.h. der Haushalt wird
Anstrengung zeigen. (Der andere Fall wäre uninteressant. Warum?)
July 3, 2009
223 / 280
I
Was passiert nun, wenn die Versicherung das Anstrengungsniveau
eben nicht beobachten kann?
I
Gehen wir für den Moment von einer extrem naiven Versicherung aus,
die annimmt, dass der HH Anstrengung erbracht hat.
I
Gegeben die Versicherungshöhe wäre L, dann würde der Haushalt
keine Anstrengung zeigen (Warum?).
July 3, 2009
224 / 280
I
Kann der Haushalt auch noch endogen die Versicherungshöhe wählen,
so ergibt sich Bedingung erster Ordnung:
I
u 0 (y −π1 q ∗ )
u 0 (y −L+(1−π1 )q ∗ )
I
Die rechte Seite ist größer als 1. Somit muss dies auch für die linke
=
π0 (1−π1 )
π1 (1−π0 )
Seite gelten.
I
Dies impliziert aber, dass q ∗ > L; der Haushalt würde sich also
überversichern.
July 3, 2009
225 / 280
I
Da die Versicherung um das potentielle Fehlverhalten (eben das Moral
Hazard) weiß, wird dieser nur Versicherungskontrakte anbieten, die
anreizkompatibel sind.
I
Anreizkompatibilität bedeutet in diesem Fall, dass die im Vertrag
spezifizierte Anstrengung kompatibel ist mit der optimalen
Anstrengung für den Versicherten.
I
In dem oben vorgestellten Kontrakt war dies ja offensichtlich nicht der
Fall.
July 3, 2009
226 / 280
I
Die Vorgehensweise ist nun wieder so ähnlich wie die im Fall der
adversen Selektion.
I
Der Versicherte maximiert seinen erwarteten Nutzen durch die Wahl
des Versicherungsschutzes, wobei nur solche Kontrakte angeboten
werden, die eben anreizkompatibel sind.
I
Es muss also gelten:
(1 − π1 )u(y − a1 − π1 q) + π1 u(y − L − a1 + (1 − π1 )q) ≥
{z
}
|
U 1 (q)
(1 − π0 )u(y − π1 q) + π0 u(y − L + (1 − π1 )q)
|
{z
}
U 2 (q)
July 3, 2009
227 / 280
I
Damit ergibt sich das Maximierunsgproblem des Haushaltes als
maxq U 1 (q) (der Haushalt soll Anstrengung zeigen)
I
unter der Nebenbedingung, dass der Kontrakt anreizkompatibel ist,
d.h. U 1 (q) ≥ U 2 (q)
I
Die Lagrange Funktion lautet somit L = U 1 (q) + λ(U 1 (q) − U 2 (q))
July 3, 2009
228 / 280
I
Die Kuhn-Tucker Bedingungen (d.h. also die Bedingungen erster
Ordnung unter Beachtung der Nebenbedingung sind dann)
∗)
∂U 2 (q ∗ )
)
∂q
I
∂U 1 (q ∗ )
∂q
I
λ(U 1 (q ∗ ) − U 2 (q ∗ )) = 0
I
wobei q ∗ den optimalen Kontrakt darstellt.
1
+ λ( ∂U∂q(q
−
July 3, 2009
229 / 280
I
Die Lösung der Kuhn-Tucker Bedingungen ist immer etwas
aufwendiger, da verschiedene Fallunterscheidungen getroffen werden
müssen.
I
Nehmen wir an, dass in einem Optimum die Nebenbedingung nicht
bindend wäre, d.h. λ = 0
I
Damit ergäbe sich aber aus der foc, dass
∂U 1 (q ∗ )
∂q
= 0 und somit
q∗ = L
I
Wir wissen aber, dass diese Lösung die Bedingung verletzt.
July 3, 2009
230 / 280
I
Damit bleibt als Lösung nur noch die ’Randlösung’ für die gerade gilt
U 1 = U 2.
I
Das q welches die Nebenbedingung gerade noch erfüllt ist dann das
Optimum.
I
In diesem Kontrakt ist der Versicherte indifferent zwischen der
Situation in der er Anstrengung zeigt oder dies unterlässt.
July 3, 2009
231 / 280
I
Was können wir nun bzgl. des optimalen anreizkompatiblen
Versicherungskontrakt q ∗ sagen?
I
An der Stelle q = L gilt U 1 < U 0 . In welche Richtung muss sich dann
der Kontrakt bewegen, damit U 0 sinkt (bzw. stärker sinkt als U 1 )
I
Die Analyse ist dabei wiederum identisch zu der Frage im Rahmen des
Models mit adverser Selektion.
July 3, 2009
232 / 280
I
Die Differenz U 1 − U 0 muss also steigen, damit die
anreizkompatibilität erfüllt ist. Wohin muss sich also q bewegen?
I
Ableiten zeigt, dass an der Stelle q = L folgendes gelten wird
u 0 (y − π1 L) − u 0 (y − a1 − π1 L)
I
Da dieser Term (bei der Annahme sinkenden Grenznutzens negativ
ist) muss also q∗ < L sein damit der Kontrakt anreizkompatibel ist.
I
Es kann sich also wieder ein Unterversicherungsgleichgewicht
einstellen.
July 3, 2009
233 / 280
I
Dies ist aber nicht das einzige Gleichgewicht.
I
Es kann auch sein, dass die Versicherung einen vollen Schutz zum
Tarif π0 L anbietet, also eine Versicherung, die davon ausgeht, dass
keine Anstrengung gezeigt wird.
I
Welcher Kontrakt sich letztlich durchsetzen wird ist ad-hoc unklar. Es
kommt eben auf die Erwartungsnutzendifferenz zwischen beiden
Verträgen an.
July 3, 2009
234 / 280
I
Ein interessanter Punkt im Modell mit Moral Hazard ist, dass durch
staatlichen Eingriff (Steuer und Subvention) die Wohlfahrt erhöht
werden kann.
I
Die Idee ist einfach die Anstrengung zu subventionieren und dies
durch eine allgemeine (lump-sum) Steuer zu finanzieren.
I
Damit kann aber die anreizkompatibilität (zumindest in unserem
einfachen Beispiel so verändert werden, dass wieder ein Optimum
erreicht wird.
July 3, 2009
235 / 280
I
In dem oben dargestellten Versicherungsmodell haben wir uns das
Leben einfach gemacht, weil wir uns ’nur’ ein partielles Gleichgewicht
angeschaut haben.
I
Die Versicherung war einfach eine riskoneutrale black-box, die diesen
Vertrag angeboten hat.
I
Im folgenden wollen wir uns wieder stärker dem Allgemeinen
Gleichgewicht widmen.
July 3, 2009
236 / 280
I
In einem ersten Schritt wollen wir uns wieder auf den reinen Tausch
zwischen zwei Individuen konzentrieren.
I
Im Prinzip ist dabei die Vorgehensweise fast genauso, wie in einem
Modell ohne Unsicherheit.
I
Der Trick hier: Das Einkommen in den s Zuständen wird einfach als s
Güter behandelt. Damit ist man eben wieder nah am Modell ohne
Unsicherheit.
July 3, 2009
237 / 280
I
Zur Vereinfachung schauen wir uns eine Ökonomie mit zwei
Haushalten und zwei Zuständen der Welt an.
I
Die Haushalte haben ein ursprüngliches Einkommen ȳis (also die
Ausstattung von Haushalt i in Zustand s).
I
Die Haushalte können sich nun gegenseitig versichern und eben
Einkommen tauschen. Das konsumierbare Einkommen ist dann yis .
July 3, 2009
238 / 280
I
Es können nun zwei Arten von Risiko unterschieden werden:
1. Aggregiertes Risiko (nicht versicherbar):
P
i
y¯i1 ≷
P
i
y¯i2 . Das
Gesamteinkommen ist in Zustand 2 niedriger als in Zustand 1.
2. Individuelles Risiko (versicherbar): y¯i1 ≷ y¯i2 . Das individuelle
Einkommen variiert über die Zustände der Welt.
July 3, 2009
239 / 280
I
Welche Einkommensaufteilung wird nun ein individueller Haushalt i
wählen?
I
Der Haushalt maximiert den erwarteten Nutzen
E(u) = πi1 u(yi1 ) + πi2 u(yi2 ), wobei πis die W’keitseinschätzung des
HH i für den Zustand s.
I
Zur Herleitung der Nebenbedingung müssen wir uns Gedanken
darüber machen, wie der Markt für zustandsabhängiges Einkommen
funktioniert.
July 3, 2009
240 / 280
I
Stellen wir uns vor, dass es einen dezentralen Markt gibt auf dem
Einkommensrechte gekauft und verkauft werden können.
I
Diese Rechte (bzw. Versprechen bzw. Wertpapiere) heißen
Arrow-Securities.
I
Ein Haushalt a kann z.B. zum Preis ps das Recht für eine Zahlung
von 1 Euro in Zustand s erwerben (oder verkaufen).
July 3, 2009
241 / 280
I
Damit kann man aber die Nebenbedingung ermitteln.
I
p1 (y¯i1 − yi1 ) + p2 (y¯i2 − yi2 ) = 0
I
Die Einnahmen aus dem Kauf und Verkauf von Arrow-Securities
müssen sich also ausgleichen.
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I
Die Lagrange Funktion für das Problem lautet dann:
I
L = πi1 u(yi1 ) + πi2 u(yi2 ) + λ(p1 (y¯i1 − yi1 ) + p2 (y¯i2 − yi2 ) − 0)
I
Der Haushalt wählt das Einkommen für die beiden Zustände.
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I
Die Bedingungen erster Ordnung sind dann:
I
πi1 u 0 (yi1 ) − λp1 = 0 und πi2 u 0 (yi2 ) − λp2 = 0
I
Daraus ergibt sich dann die Bedingung für den optimalen
Einkommenspfad πi1 u 0 (yi1 ) =
p1
0
p2 πi2 u (yi2 )
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I
Da wir uns ein allgemeines Gleichgewicht anschauen muss diese
Relation für beide Haushalte (a und b) halten.
I
Somit ergibt sich:
I
πa1 u 0 (ya1 )
πb1 u 0 (yb1 )
=
πa2 u 0 (ya2 )
πb2 u 0 (yb2 )
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Fortgeschrittene VWL Theorie

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