Mikroökonomie 2

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Mikroökonomie 2

Mikroökonomie 2 (Allgemeine Wirtschaftspolitik) - SS 2003
1
1
Marktformen, Wohlfahrtsbegriffe
und spieltheoretische Lösungskonzepte
Aufgabe 1.1 Team-Dilemma
Zwei Studenten i ∈ {A, B} arbeiten getrennt an einem gemeinsamen Seminarthema. Jeder der Studenten
kann arbeiten“ (a) oder faulenzen“ (f). Arbeiten beide gewissenhaft, entsteht eine gute Arbeit, für die
”
”
jeder 10 Bonuspunkte erhält. Arbeitet nur einer, ist die Arbeit mittelmäßig und es gibt 5 Bonuspunkte.
Faulenzen beide, gibt es 0 Bonuspunkte. Fleißig zu sein kostet 6 Nutzeneinheiten, faul zu sein dagegen
0 Nutzeneinheiten. Der Nutzen jeder Strategie ergibt sich aus der Differenz zwischen Bonuspunkten und
Kosten.
(a) Stellen Sie das Spiel in Normalform dar?
(b) Ermitteln Sie die Nash-Gleichgewichte? Wie werden sich A und B voraussichtlich verhalten?
(c) Zeichnen Sie die Nutzenkombinationen in ein (uA , uB ) Diagramm?
(d) Welche der Zustände sind Pareto-Effizient?
(e) Vergleichen Sie das Ergebnis der Teilaufgaben (b) und (d). Was stellen Sie fest?
Lösungsskizze zu Aufgabe 1.1
(a) Normalform des Spiels:
uA /uB
a
f
A
B
a
(10 − 6)/(10 − 6)
(5 − 0)/(5 − 6)
f
(5-6)/(5-0)
0/0
(b) Nash-Gleichgewicht: (Af , Bf ) ⇒ Gleichgewicht in dominanten Strategien
(c) Nutzendiagramm:
UB
UA
(d) Pareto-Effizient sind: (Af , Ba ), (Aa , Bf ), (Aa , Ba ) ⇒ weder A noch B können sich besser stellen,
ohne den anderen schlechter zu stellen
(e) Das Nash Gleichgewicht ist nicht pareto-effizient.
Aufgabe 1.2 Pareto-Effizienz, Kaldor-Hicks Kompensation
2
Der Spieler A verfügt über die Strategien 1-3, der Spieler B über die Strategien 1-2, die zu folgenden
Auszahlungen führen.
Ai /Bi
A1
A2
A3
B1
3/15
4/1
2/16
B2
5/1
8/2
7/8
(a) Bestimmen Sie das Nash-Gleichgewicht! Was glauben Sie, werden sich A und B das Nash-Gleichgewicht
spielen?
(b) Zeichnen Sie die Nutzenkombinationen in ein (uA , uB ) Diagramm.
(c) Ermitteln Sie alle pareto-effizienten Zustände.
(d) Welche der pareto-effizienten Zustände dominieren einander nach Kaldor-Hicks?
(a) Nash-GG: (A2 , B2 ), A hat die dominante Strategie A2 , die beste Antwort des B ist die Strategie
B2 ⇒ Koordination im Nash-Gleichgewicht ist daher wahrscheinlich
(b) Nutzendiagramm:
UA
A 2 ,B 2
A 3 ,B 2
A 1 ,B 2
A 2 ,B 1
A1 ,B 1
A 3 ,B 1
UB
(c) Pareto-Effizient: {(A2 , B2 ), (A3 , B2 ), (A1 , B1 ), (A3 , B1 )}
(d) Kaldor-Hicks-Dominanz: {(A1 , B1 ), (A3 , B1 )}
Aufgabe 1.3 Pareto-Effizienz und Kaldor-Hicks Kriterium
Die Akteure A,B und C können in den Umweltzuständen 1,2,3 und 4 folgende Auszahlungen erwarten:
A
B
C
1
6
8
0
2
5
8
10
3
8
4
7
(a) Welche der Zustände sind pareto-effizient?
(b) Welche Zustände sind nach Kaldor-Hicks überlegen?
(a) {2; 3; 4} sind pareto-effizient
4
6
12
8
3
(b) {2} ist {3}, {4} ist {2} und damit ist {4} auch {3} überlegen nach Kaldor-Hicks
Aufgabe 1.4 Nash-Gleichgewicht, Pareto-Effizienz, Kaldor-Hicks
Die Zwillinge X und Y begeistern sich außerordentlich für Sport. Während X sich gerne Pferdepolo
ansieht, ist Y ein fanatischer Fußballfan. Beide haben den gemeinsamen Besuch einer Sportveranstaltung
verabredet, jedoch vergessen festzulegen, wo sie zuschauen werden. Zum Glück kennen sie sowohl den
eigenen Nutzen, als auch den des Geschwisters fast vollständig. Allerdings hängt der Nutzen von Y beim
gemeinsam besuchten Fußballspiel immer davon ab, wie viele Tore s fallen (s > 0 gilt immer).
X
(P)olo
(F)ußball
(P)olo
10/5
0/0
Y
(F)ußball
0/0
5/s
(a) Ermitteln Sie die Nash-Gleichgewichte?
(b) Welche pareto-effizienten Zustände gibt es in Abhängigkeit von s?
(c) Für welche s gibt es nach Kaldor-Hicks überlegene Strategiekombinationen?
Aufgabe 1.5 Multiple Nash-Gleichgewichte, Pareto-Effizienz und Kaldor-Hicks Kriterium
Ai /Bi
A1
A2
A3
A4
B1
7/2
1/3
7/7
2/10
B2
2/5
6/4
11/3
2/8
B3
1/3
9/4
8/3
2/4
B4
9/9
4/3
4/1
2/10
(a) Bestimmen Sie alle Nash-Gleichgewichte (Hinweis: Eliminieren Sie zunächst die strikt dominierten
Strategien).
(b) Welche der Nash-Gleichgewichte sind Pareto-Effizient?
(c) Bestimmen Sie alle Pareto-Effizienten Zustände.
(d) Ordnen Sie die Pareto-Effizienten Zustände mit Hilfe des Kaldor-Hicks Kriteriums.
(a) A4 ist eine strikt dominierte Strategie und entfällt für die Suche nach Nash-Gleichgewichten; NashGleichgewichte: (A1 , B4 ), (A2 , B3 ), (A3 , B1 )
(b) Pareto-Effizientes Nash-Gleichgewicht: (A1 , B4 )
(c) Menge aller pareto-effizienten Zustände: {(A1 , B4 ), (A3 , B2 ), (A4 , B1 ), (A4 , B4 )}
(d) Reihenfolge der Aufzählung in (c) entspricht der Überlegenheit nach Kaldor-Hicks
Aufgabe 1.6 Nash-Gleichgewichte, Pareto-Effizienz
Zwei nach einem Korruptionsskandal angeklagte Personen (1 und 2) werden getrennt vernommen. Beide
haben die Möglichkeit, ihr Vergehen zu gestehen (g) oder nicht zu gestehen (ng). Die Aussagen bleiben
wechselseitig voreinander verborgen.
(a) Nutzen Sie nachfolgende Darstellung des Spieles in extensiver Form zur Ermittlung aller NashGleichgewichte in reinen Strategien. Kennzeichnen Sie alle pareto-effizienten Zustände. Welches
Vernehmungsergebnis erwarten Sie? (Begründung)
ng ©©
¡u1 ¢
u2
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2 ©

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¡−5¢
−10
−5
4
(b) Person 1“ weiß mit Sicherheit, dass der Richter ein enger Freund ist (Typ t = f ). Dieser spricht
”
ihn trotz Nicht-Gestehens“ frei, solange 1“ nicht durch die Aussage von 2“ belastet wird. Über”
”
”
nehmen Sie unten gezeichneten Baum auf Ihr Lösungsblatt und passen Sie die Auszahlungen an
den erforderlichen Stellen an.
b
t=f
r 1
©H
HH g
ng ©©
HH
® ©©
©
©
r
Hr 2
2

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ng ¡
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@g
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¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
(c) Welche Änderungen ergeben sich bezüglich der Anzahl der Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien,
der pareto-effizienten Zustände und des Vernehmungsresultats gegenüber Teilaufgabe (a), wenn
t = f gilt? (Begründung)
Lösungsskizze zu Aufgabe 1.6: folgt
Aufgabe 1.7 Gefangenen-Dilemma?
Ein Spiel habe 2 Spieler. Jeder Spieler habe zwei mögliche Strategien. Eine Strategie heißt ”kooperieren”,
die andere äbweichen”. Jeder Spieler notiert auf einem Zettel entweder K für kooperieren oder A für
abweichen. Wenn beide Spieler K aufschreiben, erhält jeder 100. Wenn beide A aufschreiben, erhalten sie
beide 0. Wenn ein Spieler kooperiert und der andere abweicht, erhält der kooperierende Spieler S und
der abweichende Spieler T . Abweichen ist eine dominante Strategie, wenn
(a) S + T > 100
(b) T > 2S
(c) S < 0 und T > 100
(d) S < T und T > 100
(e) immer, für alle S und T
Korrekt: c) (einfach eine pay-off Matrix wie für das Gefangenendilemma zeichnen!)
Aufgabe 1.8 Richtig oder falsch?
1. Ein Situation, in der jeder eine dominante Strategie spielt, muss auch ein Nash- Gleichgewicht sein.
2. In einem Nash-Gleichgewicht spielt jeder eine dominante Strategie.
3. Wenn im Gefangenendilemma jeder glaubt, daß der andere leugnet, werden beide tatsächlich leugnen.
4. Während die Spieltheorie für ein einzelnes Spiel des Gefangenendilemmas unkooperatives Verhalten
voraussagt, sagt sie für ein 20-fach wiederholtes Gefangenendilemma kooperatives Verhalten voraus.
Korrekt: 1. richtig, 2. - 4. falsch
Aufgabe 1.9 Top/Bottom, Left/Right
Betrachten Sie die folgende pay-off Matrix der Spieler A (Strategien Top und Bottom) und B (Strategien
Left und Right):
Top
Bottom
Left
a/b
e/f
5
Right
c/d
g/h
(a) Welche Relationen müssen zwischen den Parametern a bis h erfüllt sein, damit Top/Left ein Gleichgewicht in dominanten Strategien ist?
(b) Welche dieser Ungleichungen müssen erfüllt sein, damit Top/Left ein Nash-Gleichgewicht ist?
(a) a > e, b > d, c > g, f > h
(b) a > e, b > d
Aufgabe 1.10 Clarissa + Arno
Clarissa und Arno treffen sich auf einer Uni-Party. Beide möchten sich unbedingt wiedersehen, aber sie
haben vergessen, ihre Namen oder Telefonnummern auszutauschen. Jedem von ihnen stehen jetzt zwei
Strategien zur Verfügung: Entweder zu Hause bleiben und lernen oder auf eine Party gehen. Wenn sie
beide zu der Party gehen, treffen sie sich mit Sicherheit, ansonsten treffen sie sich auf keinen Fall. Der
Nutzen, wenn sie sich treffen, beträgt 1.000 für beide, treffen sie sich nicht, haben beide einen Nutzen
von 0. Die pay-offs sehen also wie folgt aus:
Clarissa
Party
Lernen
Arno
Party
Lernen
1000/1000
0/0
0/0
0/0
(a) Welche Gleichgewichte in dominanten Strategien gibt es?
(b) Welche Nash-Gleichgewichte gibt es?
(c) Ändern wir die Spielsituation ein wenig, so dass Clarissa und Arno jetzt die Möglichkeit haben,
entweder zu einer kleinen Party zu gehen, bei der sie sich mit Sicherheit treffen und so einen
Nutzen von 1.000 haben oder zu einer großen Party zu gehen, bei der sie sich, auf wenn beide sich
für diese Strategie entscheiden aufgrund der Masse der Anwesenden nur mit Wahrscheinlichkeit 0,5
treffen und so nur je einen Erwartungsnutzen von 500 haben. Die pay-off Matrix sieht wie folgt aus:
Clarissa
kleine Party
große Party
Arno
kleine Party große Party
1000/1000
0/0
0/0
500/500
Gibt es hier ein Gleichgewicht in dominanten Strategien?
(d) Welche Nash-Gleichgewichte gibt es?
(e) Warum ist es relativ wahrscheinlich, dass beide zur kleinen Party gehen?
(a) Beide gehen zur Party
(b) Entweder gehen beide zur Party oder beide bleiben zu Hause.
(c) Nein
(d) Beide gehen zur kleinen Party oder beide gehen zur großen Party
(e) Das Gleichgewicht große Party/große Party ist pareto-ineffizient gegen”ber dem Gleichgewicht kleine Party/kleine Party. Wenn beide die pay-off Matrix kennen, kann man annehmen, dass sie sich
für das pareto-effiziente Gleichgewicht entscheiden werden.
Aufgabe 1.11 Abstimmung
6
Innen-, Justiz- und Finanzministerium diskutieren drei mögliche Sicherheitspakete (t)ough“, (m)edium“
”
”
und (w)eak“. Da Sicherheitsbedürfnisse, Bürgerrechte und Finanzbedarf unterschiedliche Berücksichtung
”
finden, hat jeder Minister andere Präferenzen, nämlich:
t
2
0
1
Inneres
Justiz
Finanzen
m
1
2
0
w
0
1
2
Gibt es keine einfache Mehrheit, wird die vom Innenministerium bevorzugte Variante (t)ough“ beschlos”
sen.
(a) Veranschaulichen Sie das Spiel mit Hilfe der dynamischen Form.
(b) Hat eines der Ministerien eine strikt dominante Strategie?
(c) Überprüfen Sie, ob die Einstimmigkeitszustände Nash-Gleichgewichte darstellen.
(d) Überprüfen Sie, ob die Fälle, in denen keine einfache Mehrheit besteht und jeder der Akteure durch
einseitiges Abweichen eine einfache Mehrheit erreichen kann, Nash-Gleichgewichte sind.
(e) Prüfen Sie die Fälle einer bestehenden einfachen Mehrheit, die durch einseitiges Abweichen verändert
werden kann, auf die Existenz von Nash-Gleichgewichten.
(f) Welche Pakete könnten beschlossen werden?
(a) Das Spiel in dynamischer Form:
Innen
t
m
w
Justiz
m
t
w
m
t
w
m
t
w
Finanz
t m w
I
J
F
(b)
2
0
1
2
0
1
t m w
2
0
1
2 1
0 2
1 0
2
0
1
t m
2 2
0 0
1 1
w
t m w t m w
t m w
0
1
2
2
0
1
2
0
1
1
2
0
2
0
1
1 1
2 2
0 0
1
2
0
1
2
0
0
1
2
t m w
2
0
1
2
0
1
0
1
2
t m w
2 1
0 2
1 0
0
1
2
t m w
0 0
1 1
2 2
0
1
2
– Innenministerium: (w) und (m) werden (schwach) dominiert durch (t) ⇒ (t) ist keine strikt
dominante Strategie
– Justizministerium: (t) wird durch (w) (schwach) dominiert ⇒ keine strikt dominante Strategie
(c)
– Finanzministerium: (m) wird durch (t) (schwach) dominiert, (t) wird durch (w) schwach dominiert ⇒ keine strikt dominante Strategie
 


t
 (t, t, t) 
– m resultiert, wenn (I, J, F ) = (m, m, m)
 


w
(w, w, w)
– diese Abstimmungsergebnisse sind Nash-Gleichgewichte
(d)
– (I, J, F )²{(t, m, w), (t, w, m), (m, t, w), (m, w, t), (w, m, t), (w, t, m)}
– dann resultiert Paket t und somit immer (2,0,1)
– J hat immer Anreiz, nach m oder w auszuweichen (sofern nicht schon gewählt)
7
– F hat immer Anreiz, nach w auszuweichen (sofern nicht schon gewählt)
– Zustände sind keine Nash-Gleichgewichte
(e) Fallunterscheidung:
einfache Mehrheit
tt
mögliche Mehrheit für
m
(I,J,F)
(t, t, m)
(t, m, t)
(m, t, t)
(t, t, w)
(t, w, t)
(w, t, t)
w
einfache Mehrheit
mm
t
w
einfache Mehrheit
ww
t
m
(f)
Stabilität
0
1
0
0
0
0
(I,J,F)
(m, m, t)
(m, t, m)
(t, m, m)
(m, m, w)
(m, w, m)
(w, m, m)
Stabilität
0
0
0
0
0
0
(I,J,F)
(w, w, t)
(w, t, w)
(t, w, w)
(w, w, m)
(w, m, w)
(m, w, w)
Stabilität
0
0
1
0
0
0
– Die Menge der Nash-Gleichgewichte ist {(t, t, t); (m, m, m); (w, w, w); (t, w, w); (t, m, t)}
– sowohl t,m als auch w könnten akzeptiert werden
Aufgabe 1.12 Schwaches Monopol
Ein Monopolist hat die Kostenfunktion K = 20 + y 2 (20 sind versunkene Kosten) und bedient einen
Markt mit der Preis-Absatz-Funktion p = 10 − y.
(a) Bestimmen Sie die gewinnmaximierende Preis-Mengen Kombination.
(b) Welcher Wohlfahrtsverlust entsteht im Vergleich zu einem Markt mit vollständiger Konkurrenz?
(a)
dE
dy
=
dK
dy
d2 G
∗
dy 2 |y=y
⇔ y ∗ = 2, 5
< 0 → y ∗ ist ein Maximum; p(y ∗ ) =
Gewinn: G(y)|y=y∗ =
75
4
−
105
4
15
2
= − 30
4
y=y∗ 50
4
Deckungsbeitrag: DB(y) = E(y) − Kvar (y) =
(b) first best: p =
dK
dy
10
1st
= 20
3 ;p
3
50
1st
KR = 9 ; Produzentenrente:
150
9
= 12, 5
⇔ y 1st =
Konsumentenrente:
Wohlfahrt: W 1st =
P R1st =
Monopol:
M
=
Konsumentenrente: KRM = 25
8 ; Produzentenrente: P R
M
Wohlfahrt: W = 15, 625
∆W = W 1st − W M = 1, 0416
Aufgabe 1.13 Wohlfahrtsmaximierung im schwachen Monopol
100
9 ;
50
4
8
In Monopolist sieht sich sich der Preis-Absatzfunktion p = 16 − y gegenübergestellt und hat die Kostenfunktion K(y) = 4y + 11.
(a) Um welche Art von Monopol handelt es sich?
(b) Bestimmen Sie Preis, Menge, Gewinn (zeichnerisch und rechnerisch) sowie Produzentenrente, Konsumentenrente und Gesamtwohlfahrt im first best“.
”
(c) Bestimmen Sie Preis, Menge, Gewinn (zeichnerisch und rechnerisch) sowie Produzentenrente, Konsumentenrente und Gesamtwohlfahrt im second best“.
”
(d) Subventionen und Steuern:
(d1) Wie hoch müsste die Stücksubvention s sein, damit das Monopol freiwillig die wohlfahrtsmaximale Menge anbietet (Hinweis: Die Regulierungsbehörde setzt keine Preisobergrenze. Der
Monopolist ist folglich frei in der Wahl seiner Preispolitik)?
(d2) In welcher Höhe darf der Staat eine Pauschalsteuer T maximal festsetzen, damit der Monopolist gerade noch bereit ist, die first-best Menge auf dem Markt anzubieten (Hinweis: Die
Stücksubvention aus (d1) wird beibehalten)?
(d3) Der von der Regulierungsbehörde festgelegte Preis betrage p1st = 4. Wie hoch ist die Stücksubvention s, die beim Monopolisten gerade zu einem Gewinn von NULL führt, wenn er die
first-best Menge anbietet.
(a) natürliches Monopol (die Durchschnittskosten sinken mit steigender Ausbringungsmenge)
(b) first best:
p = K 0 (y) −→ y 1st = 12, p1st = 4, G1st = −11
Produzentenrente: P R1st = 0, Konsumentenrente: KR1st = 72
Wohlfahrt: W 1st = 72
(c) p =
K(y)
y
−→ y 2nd = 11, p2nd = 5, G2nd = 0
Produzentenrente: P R2nd = 11, Konsumentenrente: KR2nd =
Wohlfahrt: W 2nd = 143
2
121
2
(d) Subventionen und Steuern:
(d1) Ansatz:
E(y) = py + sy = (16 − y)y + sy
K(y) = 4y + 11 | y 1st = 12
E 0 (y) = K 0 (y) −→ s = 12
(d2) Ansatz:
G(y) = (16 − y)y + sy − K(y) − T ≡ 0 | y = y 1st = 12, s = 12
⇔ T = (16 − 12)12 + 12 · 12 − (4 · 12 + 11)
⇔
T = 48 + 144 − 59 = 133
(d3) Ansatz 1: p1st = 4, y 1st = 12, der Monopolist erlöst 4 · 12 = 48, seine variablen Kosten sind
4 · 12 = 48, die Fixkosten betragen 11, die Fixkostendeckung muss pro Stück folglich 11/12
betragen. Die Regulierungsbehörde muss pro Stück einen Betrag von s = 11/12 zahlen, damit
der Monopolist bei einer Ausbringungsmenge von y 1st = 12 einen Gewinn von NULL erreicht
(Gesamtkosten sind gedeckt).
Ansatz 2 (so geht es auch): G = p1st y 1st +sy 1st −(4y 1st +11) ≡ 0 ⇒ 4·12+s·12−(4·12+11) ≡ 0
⇒ s = 11/12
2
9
Allgemeine Darstellung statischer Oligopolspiele
Aufgabe 2.1 Statischer Mengenwettbewerb im homogenen Oligopol
Der Markt für Importbananen wir von zwei großen Anbietern (A und B) dominiert. Die Grenzkosten
beider Unternehmen sind konstant und gleich 1. Die inverse Nachfragefunktion ist durch p = 10 − y
gegeben.
(a) Beide Anbieter überlegen, welche Menge sie auf dem Markt anbieten sollen. Dabei müssen sie
berücksichtigen, dass die Bananen aus der Perspektive der Konsumenten völlig gleich beurteilt
werden. Der Bananenpreis ist daher allein davon abhängig, welche Gesamtmenge auf den Markt geworfen wird. Wie viel werden die Unternehmen im Cournot-Nash-Gleichgewicht anbieten? Welcher
Marktpreis resultiert? Wie hoch sind Gewinn und Wohlfahrt?
(b) A und B vereinbaren eine abgestimmte Vorgehensweise zur Maximierung ihrer gemeinsamen Gewinne. Wie hoch ist die Menge, wie hoch der Marktpreis? Wie hoch sind die jeweiligen Gewinne
der Unternehmen? Beurteilen sie die Wohlfahrtswirkung!
(c) Die Regulierungsbehörde beobachtet die Kartellabsprachen aufmerksam, entscheidet sich jedoch,
nichts dagegen zu unternehmen, da die Absprachen nicht von Dauer, also nicht stabil sind. Ist das
so?
(a) A: G(y1 , y2 ) = p(y1 , y2 )y1 − K(y1 ) = [10 − (y1 + y2 )]y1 − y1
notwendige Bedingung für Gewinnmaximum:
dG
= 10 − 2y1 − y2 − 1 ≡ 0
dy1
⇒
y1 =
1
(9 − y2 )
2
Reaktionsfunktion des A auf eine Mengenänderung von B.
B: identisches Vorgehen für Exporteur B ⇒ y2 = 12 (9 − y1 )
folgende Gleichungen resultieren:
1
(9 − y2 )
2
1
y1 = (9 − y1 )
2
y1 =
(1)
(2)
durch Einsetzen erhält man: y1c = y2c = 3
Marktpreis: p = (10 − 3 − 3) = 4
Gewinne: GA = GB = 9
Produzentenrente: ohne Fixkosten gilt G = P R
Konsumentenrente: KR = (10 − 4)6 12 = 18
Wohlfahrt: W = KR + P R = 36
(b) im Gewinnmaximum muss gelten
dKB
dKA
=
dyA
dyB
– beide Unternehmen haben konstante und identische Grenzkosten
– die Grenzkosten hängen demnach nicht von den produzierten Mengen ab
– die Gesamtkosten sind davon unabhängig, wer wieviel produziert
– hier Produktionsaufteilung
gemeinsame Gewinnfunktion:
GK (y) = p(y)y − K(y) = (10 − y)y − y
(3)
notwendige Bedingung für ein Optimum:
dG
= (−1)y + (10 − y) − 1 ≡ 0
⇒
y K = 4, 5
(4)
10
K
K
jeder produziert die Hälfte: yA
= yB
= 2, 25
Marktpreis: p = (10 − 4, 5) = 5, 5
Gewinne: GA = GB = 10, 125
Produzentenrente: P R = (5, 5 − 1)4, 5 = 20, 25
Konsumentenrente: KR = (10 − 5, 5)4, 5 12 = 10, 125
Wohlfahrt: W = P R + KR = 30, 375
C
K
C
⇒ GK
j > Gj ; Wj < Wj
(c) Wieviel bietet A an, wenn sich B an die Kartellabsprache hält?
– Reaktionsfunktion des A: y1 = 21 (9 − y2 )
– ⇒
d
= 12 (9 − 2, 25) = 3, 375
yA
– Marktpreis: p = (10 − 3, 375 − 2, 25) = 4, 375
– Gewinne: GA = 11, 390625
GB = 7, 59375
betrachtete Strategien:
– yiM - Kartellvereinbarung
– yid - optimale Abweichung von Kartellvereinbarung
– yic - Cournot-Nash Menge
Gewinnmatrix:
M
A/B
yB = yB
M
yA = yA
10, 125/10, 125
d
yA = yA
11, 390625/7, 59375
c
yA = yA
11, 25/8, 4375
d
yB = yB
7, 59375/11, 390625
7, 59375/7, 59375
7, 875/8, 859375
c
yB = yB
8, 4375/11, 25
8, 859375/7, 875
9/9
Die Kartellabsprache ist nicht stabil. Für jeden Anbieter besteht ein Anreiz, mehr als die festgelegte
Kartellmenge anzubieten.
Aufgabe 2.2 Subventionierung im statischen Mengenwettbewerb homogener Oligopole
Der Erdgasmarkt der Schweiz werde von einem russischen und einem britischen Unternehmen beliefert.
Beide Anbieter haben konstante Grenzkosten in Höhe von 1. Fixkosten müssen nicht gedeckt werden.
(a) B und R stehen im Cournot-Mengenwettbewerb (britisches und russisches Erdgas sind homogene
Güter). Wie viel Erdgas bieten B und R an, wenn die Preisabsatzfunktion durch p = 10 − (yB + yR )
ausgedrückt werden kann? Welche Wohlfahrt resultiert?
(b) Die russische Regierung möchte den Erdgasexport ausdehnen und subventioniert daher jede exportierte Einheit mit einer halben Geldeinheit. Welche Auswirkung hat das auf die abgesetzten Mengen
im Cournot-Nash-Gleichgewicht? Beurteilen Sie die Wohlfahrtswirkung!
(a) Reaktionsfunktionen wie in Aufgabe 5.1 (a): yi = 12 (9 − yj )
yr = yb = 3; p∗ = 4; P R = 18; KR = 18; W = 36
(b) Ansatz:
Gr = (10 − [yr + yb ])yr − yb +
1
yr
2
|{z}
Subventionserlös
notwendige Bedingung erster Ordnung:
⇒
dG
1
= (−1)yr + [10 − (yr + yb )] − 1 + ≡ 0
dyr
2
1
yr = (9, 5 − yb )
Reaktionsfunktion des r“
”
2
Reaktionsfunktion des b“: yb = 21 (9 − yr )
(5)
(6)
11
– einsetzen der Reaktionsfunktionen führt zum Cournot-Nash-Gleichgewicht
10
3
Gr = 170
18
– yrc =
–
ybc =
17
6
pc =
23
6
Gb = 8, 027̄
– Produzentenrente: ohne Fixkosten gilt G = P R
– Konsumentenrente: KR = (10 −
– Subventionsaufwand: S =
1 10
2 3
=
23 10
6 )( 3
10
6
+
17 1
6 )2
= 19, 01
– Wohlfahrt:W = P R + KR − S = 34, 8194̄
Aufgabe 2.3
Freedom Fries“
”
Zwei Anbieter (i und j) von Freedom Fries“ entscheiden über ihren Werbeaufwand αk , wobei die Gewinn
”
der Unternehmen von der Höhe des Etats wie folgt beeinflusst werden:
Πi (αi , αj ) ≡ 4αi + 3αi αj − (αi )2
und
Πj (αi , αj ) ≡ 2αj + αi αj − (αj )2
(a) Berechnen und zeichnen Sie die best-response“ Funktionen jedes Unternehmens (Hinweis: Für jeden
”
Werbeetat des Unternehmens j muss der gewinnmaximierende Werbeaufwand des Unternehmens i
bestimmt werden.)
(b) Untersuchen Sie, ob es sich bei den Strategien um strategische Substitute oder strategische Komplemente handelt.
(c) Bestimmen Sie den Werbeaufwand von i und j im Nash-Gleichgewicht sowie die Gewinne.
Aufgabe 2.4 Simultaner Mengenwettbewerb im heterogenen Oligopol
Zwei große Anbieter von Soft-Drinks“ unterscheiden sich nur geringfügig in ihrer Produktcharakteristik,
”
d.h. das die Produkte keine perfekten Substitute sind, die Kreuzpreiselastizität der Nachfrage folglich
nicht gegen unendlich strebt. Die erzielbaren Preise sind daher
pA = 10 − 2yA − yB
sowie
pB = 10 − 2yB − yA
Die Grenzkosten beider Anbieter sind gleich 1.
(a) Wie hoch sind die im Nash-Gleichgewicht angebotenen Mengen?
(b) Ist ein Mengenkartell in diesem Fall stabil?
(a) keine perfekten Substitute, eigene Mengenveränderung mit größerer Auswirkung auf den erzielbaren
Preis als die Mengenänderung des oder der Konkurrenten
Gewinnfunktion des a“:
”
Ga = pa ya − Ka = (10 − 2ya − yb )ya − ya
(7)
dGa
notwendige Bedingung 1. Ordnung:
=0
(8)
dya
1
⇒ ya = (9 − yb )
(9)
4
gleiche Vorgehensweise für b: yb = 14 (9 − ya )
Nash-Gleichgewicht: yan = ybn = 1, 8 ⇒ pa = pb = 4, 6
Gewinne: Ga = Gb = 6, 48
(b) gemeinsame Gewinnfunktion:
G(ya , yb ) = (10 − 2ya − yb )ya + (10 − 2yb − ya )yb − (ya + yb )
dG
dG
≡0
≡0
notwendige Bedingungen 1. Ordnung:
dya
dyb
1
1
ya = (9 − 2yb ) yb = (9 − 2ya )
4
4
yaK = ybK = 1, 5 pa = pb = 5, 5 Ga = Gb = 6, 75
(10)
(11)
(12)
(13)
12
optimale Abweichung des a“: yad = 1/4(9 − ybK ) = 1, 875
”
Marktpreise: pa = 4, 75 pb = 5, 125
Gewinne: Ga = 7, 03125 Gb = 6, 1875
Gewinnmatrix:
A/B
yaK
yad
yaN
ybK
6, 75/6, 75
7, 030125/6, 1878
7, 02/6, 3
ybd
6, 1875/7, 030125
6, 328125/6, 328125
6, 345/6, 46875
ybN
6, 3/7, 02
6, 46875/6, 345
6, 48/6, 48
⇒ Das Mengenkartell ist auch im simultanen, einstufigen Mengenwettbewerb des heterogenen Oligopols nicht stabil, da für jeden Akteur ein Anreiz existiert, von der Absprache abzuweichen.
Aufgabe 2.5 Simultaner Preiswettbewerb im homogenen Oligopol
Eine kleine Stadt wird von einer Straße durchquert, an der sich in unmittelbarer Nachbarschaft zwei
Tankstellen befinden. In der Stadt gibt es Ȳ = 2000 Autos. Wenn der Preis pro Liter 10 EUR überschreitet, gehen alle Fahrzeuginhaber lieber zu Fuß, beträgt er 5 EUR, tankt genau die Hälfte und ist Benzin
kostenlos, werden alle Wagen betankt. Die Konsumenten kaufen den Treibstoff nur an der Tankstelle,
die den geringeren Preis offeriert. Sind die Preise der Anbieter gleich, teilen sich die Unternehmen die
Gesamtnachfrage. Die Grenzkosten jedes der beiden Unternehmen betragen genau 1 EUR.
(a) Bestimmen Sie die lineare Nachfrage nach Kraftstoff.
(b) Bestimmen Sie Gleichgewichtspreise in einem einstufigen Bertrand-Spiel, wenn die Unternehmen
ihre Preise simultan festlegen.
(c) Nehmen Sie an, dass die Grenzkosten bei Unternehmen 2 auf 4 EUR ansteigen, während die von Unternehmen 1 unverändert bleiben. Wie hoch sind jetzt die Gleichgewichtspreise in einem einstufigen
Bertrand-Spiel?
(a) Die direkte Nachfragefunktion für das Intervall 10 ≥ p ≥ 0 beträgt y = 200(10 − p). Die inverse
1
Nachfragefunktion ist folglich p = 10 − 200
y.
(b) Die Gewinnfunktion der Unternehmen ist
Gi = (pi − ci )yi
(14)
Beide Unternehmen erzielen Gi ≥ 0, solange pi ≥ ci , pi < 10 und pi ≤ pj . Als Bertrand-GG
resultiert p1 = p2 = 1. Somit folgt q1 = q2 = 900 und G1 = G2 = 0.
(c) Unternehmen 1 ist bei Preisen unterhalb von c2 = 4 Monopolist. Liegt dieser über dem Monopolpreis, wird U1 den Monopolpreis wählen, liegt er darunter, wird p1 = 4 gewählt.1 Monopolpreis:
1
y1 )y1 − c1 y1
200
1
dG1
= 10 −
y1 − c1 ≡ 0
dy1
100
⇒
y1 = 900
p1 = 5, 5
G1 = (p1 − c1 )y1 = (10 −
y1 = 1200
⇒ pM
1 > c2
G1 = E1 − K1 = 4800 − 1200 = 3600
⇒ p1 = 4
G2 = 0
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
Aufgabe 2.6 Simultaner Preiswettbewerb im heterogenen Oligopol
Statt im Mengenwettbewerb stehen die Softdrinkhersteller aus Aufgabe 2.4 nun im Preiswettbewerb. Die
Grenzkosten der Produzenten bleiben unverändert bei 1.
1 Im
diskreten Fall (² = 0, 01) muss genau genommen mit EUR 3,99 gerechnet werden.
13
(a) Bestimmen Sie die direkten Nachfragefunktionen aus den in Aufgabe 6.2 gegebenen inversen Nachfragefunktionen
pA = 10 − 2yA − yB
sowie
pB = 10 − 2yB − yA
(b) Wie lauten die Reaktionsfunktionen der beiden Unternehmen?
(c) Wie hoch sind die Gleichgewichtspreise, die im Gleichgewicht offerierten Mengen und die Gewinne
beider Unternehmen? Vergleichen Sie die Ergebnisse mit denen des heterogenen Mengenwettbewerbs.
(a) Umformen der inversen Nachfragefunktionen ergibt:
yA = 1/3(pB − 2pA + 10)
sowie yB = 1/3(pA − 2pB + 10)
(20)
(b)
GA = yA pA − yA = yA (pA − 1) = 1/3(pB − 2pA + 10)(1 − pA )
(21)
Die notwendige Bedingung erster Ordnung bei A ist:
dGA
= −2/3(pA − 1) + 1/3(−2pA + pB + 10) ≡ 0
dpA
(22)
Reaktionsfunktion des A: pA = 1/4(12 + pB )
Aufgrund der Symmetrie folgt für B: pB = 1/4(12 + pA )
Die Reaktionsfunktionen sind im heterogenen Preiswettbewerb monoton steigend; ein aggressiveres
Verhalten des A zieht also ein aggressiveres Verhalten des B nach sich.
(c) Einsetzen der Reaktionsfunktion führt zu: pA = pB = 4. Es folgt yA = yB = 2 und GA = GB = 6.
Die Marktpreise sind geringer, die Mengen folglich höher und die Gewinne wiederum geringer als
beim heterogenen Mengenwettbewerb. Das ist ein allgemeines Ergebnis.
3
14
Dynamische Oligopolspiele
Aufgabe 3.1 Richtig oder falsch?
1. Im Cournot-Nash-Gleichgewicht wählt jedes Unternehmen seine gewinnmaximale Menge unter der
Annahme, dass die anderen Unternehmen ihren Preis beibehalten werden.
2. Je größer die Anzahl identischer Firmen im Cournot Gleichgewicht, desto näher Preis dem, der sich
bei vollständiger Konkurrenz ergäbe.
3. Ein Führer im Stackelberg-Wettbewerb wählt seine Aktion unter der Annahme, dass die nach im
ziehenden Spieler sich seinen Handlungen so anpassen werden, dass irh Gewinn maximiert wird.
4. Im Bertrand Wettbewerb im Duopol wird sich der Preis einstellen, der sich auch bei vollständiger
Konkurrenz ergäbe.
Lösungsskizze zu Aufgabe 3.1: 1. falsch, 2. - 4. richtig
Aufgabe 3.2
P
In einem Markt sei die Nachfragefunktion p = 10 − i xi , wobei xi die Menge eines Unternehmens i ist.
Jedes möglicherweise am Markt tätige Unternehmen hat die Kostenfunktion Ki = xi + 2.
(a) Nehmen Sie an, dass nur ein Unternehmen am Markt agiert. Bestimmen Sie die Menge, den Preis
und den Gewinn.
(b) Nehmen Sie an, dass zwei Unternehmen in einem Cournot-Wettbewerb agieren. Bestimmen Sie
Menge, Preis und Gewinn.
(c) Nehmen Sie an, dass zwei Unternehmen in einem Stackelberg-Wettbewerb agieren. Bestimmen Sie
Menge, Preis und Gewinn.
Lösungsskizze zu Aufgabe 3.2:
(a) xM = 4, 5, pM = 5, 5, GM = 18, 25
C
C
C
C
(b) xC
1 = x2 = 3, p = 4, G1 = G2 = 7
(c) (Annahme: 1 zieht zuerst): xS1 = 4, 5, xS2 = 2, 25, pS = 3, 25, GS1 = 8, 125, GS2 = 3, 0625
Aufgabe 3.3 Kreps-Scheinkman-Wettbewerb
Zwei Unternehmen befinden sich in einem Kreps-Scheinkman-Wettbewerb. Die Preis-Absatzfunktionen
lauten p1 = 200 − y1 − y2 und p2 = 200 − y1 − y2 . Die Kosten der Kapazitätserrichtung belaufen sich auf
K1 (y1+ ) = 2y1 und K2 (y2+ ) = 2y2 . Bestimmen Sie die Mengen, die sich im Gleichgewicht ergeben.
Lösungsskizze zu Aufgabe 3.3: y1+ = 66, y2+ = 66
Aufgabe 3.4
In einem homogenen Oligopol agieren 3 Unternehmen in einem Stackelberg-Wettbewerb. Die PreisAbsatz-Funktion lautet p = 100 − y1 − y2 − y3 . Kosten fallen keine an. Zuerst setzt Unternehmen 1
seine Menge fest, dann Unternehmen 2 und zuletzt Unternehmen 3 (es gibt hier also 3 Informationsbezirke!!). Bestimmen Sie die teilspielperfekten Angebotsmengen der 3 Unternehmen.
Lösungsskizze zu Aufgabe 3.4: Man kann hier genauso vorgehen wie auch bei einem 2-stufigen
Stackelberg-Wettbewerb: Zuerst ermittelt man die Reaktionsfunktion des zuletzt ziehenden Unternehmens 3 (y3∗ = 50 − 0, 5y1 − 0, 5y2 ) und setzt diese in die Gewinnfunktion von Unternehmen 2 ein. Daraus
kann dann Unternehmen 1 die Reaktionsfunktion von 2 (y2∗ = 50 − 0, 5y1 ) ermitteln und diese in seine
Gewinnfunktion einsetzen (dabei muß auch in der Reaktionsfunktion von Unternehmen 3 das y2 durch die
Reaktionsfunktion substituiert werden!) Damit erhält Unternehmen 1 wieder eine Gewinnfunktion, die
nur noch von y1 abhängt (G1 = 25y1 −0, 25y12 ) und kann damit seine gewinnmaximale Menge bestimmen:
y1 = 50, y2 = 25, y3 = 12, 5.
15
Aufgabe 3.5 Sequenzieller Mengenwettbewerb - Stackelberg Modell
Unternehmen A und B bauen kristallines Gestein ab, das sie auf einem gemeinsamen Absatzmarkt an2
bieten. Die Preis-Absatz-Funktion ist p = 20 − (yA + yB ). Die Kostenfunktion von A ist KA (yA ) = yA
,
2
die von B ist KB (yB ) = 2yB .
(a) Wie hoch sind die Mengen bei gemeinsamer Gewinnmaximierung?
(b) Wieviel bieten A und B im Cournot-Mengenwettbewerb an?
(c) Wieviel Gestein wird angeboten, wenn das Unternehmen A aufgrund der besseren Kostensituation
zuerst in den Markt eintreten kann?
(a) im gemeinsamen Gewinnmaximum muss gelten:
dK
dK
=
dya
dyb
⇔
ya = 2yb
1
2
y ya = y
3
3
2 2
1 2
G(y) = y(20 − y) − ( y) − 2( y)
3
3
dG
≡0
dy
⇒ y = 6 ⇒ ya = 4 yb = 2 p = 14
Teilen sie den Gesamtgewinn, dann Ga,b = 30
yb =
(b) Reaktionsfunktion des a“: ya = 1/4(20 − yb )
”
Reaktionsfunktion des b“: yb = 1/6(20 − ya )
”
⇒ ya = 100/23 yb = 60/23 p = 300/23 Ga = 37, 807
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
Gb = 20, 4158
(c) a“ zieht zuerst und kann davon ausgehen, dass sich b“ nach der Mengenentscheidung des a“
”
”
”
gemäß der Reaktionsfunktion verhalten wird. Jede Ankündigung des b“, sich anders zu verhalten,
”
ist nicht glaubwürdig, da die Reaktionsfunktion die optimale Antwort widerspiegelt.
Reaktionsfunktion des b“: yb = 1/6(20 − ya )
”
Gewinnfunktion des a“:
”
G(ya ; yb ) = (20 − [ya + yb ]) − ya2 = (20 − [ya + (16(20 − ya ))]) − ya2
dG
50
≡ 0 ⇔ ya =
dya
11
170
⇒ yb =
p = 12.8787 Ga = 37, 8787 Gb = 19, 9033
66
(29)
(30)
(31)
Aufgabe 3.6 Deny/Waffle/Confess
Zwei Spieler A und B spielen folgendes Spiel über drei Perioden (ohne Diskontierung der Pay-offs).
A
Deny
Waffle
Confess
Deny
10,10
-12,-1
15,-1
B
Waffle
-1,-12
8,8
8,-1
Confess
-1,15
-1,-1
0,0
(a) Warum gibt es kein Gleichgewicht, in dem beide Spieler über alle 3 Perioden hinweg leugnen?
(b) Beschreiben Sie ein teilspielperfektes Gleichgewicht, in dem beide Spieler in den ersten beiden
Perioden leugnen.
(c) Wie sieht dieses teilspielperfekte Gleichgewicht aus, wenn A und B das Spiel zweimal wiederholen?
16
(d) Wie sieht es für ein T-mal wiederholtes Spiel aus?
(e) Was ist die maximale Diskontrate, für die das teilspielperfekte Gleichgewicht aus dem 3-mal wiederholten Spiel gerade noch hält?
(a) Jeder der beiden Spieler kann in der dritten Periode seinen Nutzen durch gestehen erhöhen, wenn
das Gleichgewicht für die dritte Periode leugnen vorsieht.
(b) Spiele leugnen“ in den ersten beiden Perioden und waffle“ in der dritten Periode. Weicht der
”
”
andere Spieler in Periode 1 oder 2 ab, spiele von da an gestehen“. Es handelt sich dabei um ein
”
Gleichgewicht, da der abweichende Spieler durch den Wechsel zu gestehen“ einen Gewinn von 5
”
macht (15 - 10), in der letzten Periode aber 8 verliert (0 - 8).
(c) Spiele leugnen“ in der ersten Periode und waffle“ in der zweiten. Weicht der andere Spieler in der
”
”
ersten Periode ab, spiele in der zweiten gestehen“.
”
(d) Spiele leugnen“ in den ersten T-1 Perioden und waffle“ in der letzten. Weicht der andere Spieler
”
”
irgendwann in den ersten T − 1 Perioden ab, spiele von da an gestehen“.
”
(e) Der Nutzen im Gleichgewicht ist
U ∗ = 10 +
10
8
+
(1 + r) (1 + r)2
Der Nutzen der profitabelsten Abweichung (Gestehen in der zweiten Periode) ist
U A = 10 +
15
+0
1+r
Gleichsetzen und nach r auflösen der beiden Gleichungen ergibt r = 0, 6.
Aufgabe 3.7 Wiederholtes Gefangenendilemma
Zeigen Sie, dass tit-for-tat kein teilspielperfektes Gleichgewicht in einem unendlich oft wiederholten Gefangenendilemma ohne Diskontierung ist!
A
Deny
Confess
Deny
R,R
T,S
B
Confess
S,T
P,P
P sei 0 und 2R > S + T !
Nehmen Sie an, A hat ”gestehen”gespielt. Wird sich B jetzt rächen, indem er in der nächsten Periode auch
gesteht? Wenn beide nach der Abweichung tit-for-tat folgen, wiederholt sich immer wieder das Ergebnis
(gestehen, leugnen), (leugnen, gestehen). Der payoff von B wäre dann T + S + T + S + .... Wenn B
vergeben würde, wäre sein payoff R + R + R + R + .... Für die ersten vier Perioden nach A’s Abweichung
hätte also Vergeben einen höheren payoff als Rache, da 4R > 2S + 2T . Dieser payoff wiederholt sich
in einem unendlich oft wiederholten Spiel noch unendlich oft, so dass der payoff von Vergeben den von
Rache immer dominiert und tit-for-tat nicht teilspielperfekt sein kann.
Aufgabe 3.8 Gemischte Strategien
Zwei risikoneutrale Nachbarn A und B verklagen sich gegenseitig wegen eines Grundstücks, das beide
besitzen möchten. Beide ziehen in Erwägung, den vorsitzenden Richter des Prozesses zu bestechen. Jeder
macht dem Richter ein Geschenk und der mit dem teureren Geschenk erhält das Grundstück, das für beide
einen Wert von EUR 2.000 hat. Bestechen sie den Richter mit dem gleichen Betrag, sind die Chancen
für den Erhalt des Grundstücks 50:50. Zulässig sind nur Geschenke im Wert von EUR 0, EUR 900 und
EUR 2.000.
(a) Was ist das einzige Gleichgewicht in reinen Strategien?
17
(b) Nehmen Sie jetzt an, es sei auch möglich EUR 1.500 zu schenken. Zeigen Sie, dass es jetzt kein
Gleichgewicht in reinen Strategien mehr gibt.
(c) Wie lautet das Gleichgewicht in gemischten Strategien in diesem Fall? Wie hoch ist der erwartete
Epayoff des Richters?
(a) In der folgenden Tabelle sind die erwarteten payoffs der Spieler dargestellt:
A
0
900
2000
0
1.000/1.000
1.100/0
0/0
B
900
0/1.100
100/100
0/-900
2000
0/0
-900/0
-1.000/-1.000
2.000 zu schenken ist für beide eine dominierte Strategie. Das einzige Nash-Gleichgewicht in reinen
Strategien ist 900/900.
(b) In der folgenden Tabelle sind wieder die erwarteten payoffs dargestellt:
B
A
0
900
1.500
2.000
0
1.000/1.000
1.100/0
500/0
0/0
900
0/1.100
100/100
500/-900
0/-900
1500
0/500
-900/500
-500/-500
0/-1.500
2000
0/0
-900/0
-1.500/0
-1.000/-1.000
2.000 zu schenken ist auch hier wieder eine dominierte Strategie. Überprüfen Sie bitte selbst, dass
keine der verbleibenden Strategienkombinationen ein Nash-Gleichgewicht ist.
(c) p0 , p900 , p1500 und p2000 seien die Wahrscheinlichkeiten mit denen das jeweilige Geschenk gemacht
werden. 2.000 zu bieten ist sinnlos, da diese Strategie nur payoffs kleiner oder gleiche 0 erm”glicht.
Also is p2000 = 0. Damit ein Spieler seine Strategien mischt, müssen sie ihm den gleichen Erwartungsnutzen bringen, also muss gelten: ΠA (0) = ΠA (900) = ΠA (1500). Der Erwartungsnutzen des Spielers
A hängt offensichtlich von den Wahrscheinlichkeiten ab, die B seinen verschiedenen Strategien zuordnet (da das Spiel symmetrisch ist und daher beide mit den gleichen Wahrscheinlichkeiten spielen
werden, wird bei p auf den Index A bzw. B verzichtet): ΠA (0) = 1.000p0 + 0p900 + 0p1500 pA (900);
ΠA (900) = 1.100p0 + 100p900 − 900p1500 ; ΠA (1500) = 500p0 + 500p900 − 500p1500 . Weiterhin müssen
sich die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Strategien zu 1 addieren: p0 +p900 +p1500 +p2000 = 1
(wobei p2000 = 0) Damit stehen genügend Gleichungen zur Verfügung, um die Wahrscheinlichkeiten
berechnen: p0 = 0, 4; p900 = 0, 5; p1500 = 0, 1; p2 000 = 0. Der erwartete payoff des Richters ist dann
P = 2 · 0, 5 · 900 + 2 · 0, 1 · 1.500 = 1.200.
4
18
Natürliches Monopol und Regulierung
Aufgabe 4.1
Auf einem Markt mit einem Anbieter gelte die Nachfragefunktion p = 100/y + 100. Die Kostenfunktion
sei K(y) = 120y.
(a) Bestimmen Sie Gleichgewichtsmenge und -preis sowie den Gewinn des Anbieters im Gewinnmaximum.
(b) Angenommen, die Kosten pro Outputeinheit sinken um 25 Geldeinheiten. Welche Angebotsmenge
wird der Anbieter nun wählen?
(c) Gehen Sie nun davon aus, daß der gleiche Markt von 2 Anbietern (A und B) beliefert wird, die
folgende Kostenfunktionen haben: KA(y) = 90y KB(y) = 120y Bestimmen Sie Preis, Mengen und
Gewinne.
(a) G = y - 120y = 100 - 20y. Dieser Ausdruck wird maximiert, wenn y = 0. Damit geht der Preis
gegen und G = 100.
(b) G = y - 95y = 100 + 5y Dieser Ausdruck wird maximiert für y gegen ∞.
(c) y1 gegen ∞ (wie b)) p = 100 G = y2 = 0 (wie a)) G =0
Aufgabe 4.2
Wenn ein Monopolist seinen Preis so setzt, dass seine gesamten Durchschnittskosten gedeckt sind, wird
er
(a) mehr als die wohlfahrtsoptimale Menge produzieren
(b) einen Verlust machen
(c) weniger als die wohlfahrtsoptimale Menge produzieren
(d) seinen Gewinn maximieren
(e) sich einer Übernachfrage gegenübersehen
Lösungsskizze zu Aufgabe 4.2 Korrekt: c)
Aufgabe 4.3
In einem monopolistischen Markt laute die Preis-Absatz-Funktion q = 50 − p/2. Der Monopolist habe
konstante Grenzkosten von 20 und fixe, aber bei Einstellung der Produktion abbaubare (also keine sunk
costs!), von C. Wie hoch darf C maximal sein, damit der Monopolist eine positive Menge anbietet?
(a) 20
(b) 1000
(c) 800
(d) 50
Lösungsskizze zu Aufgabe 4.3 Korrekt: c)
Aufgabe 4.4
Ein natürliches Monopol habe die totale Kostenfunktion K(q) = 350+q. Die Preis-Absatz-Funktion laute
p = 100 − 2q. Die Regulierungsbehörde verlangt, dass der Monopolist eine positive Menge anbietet und
einen Preis in Höhe der totalen Durchschnittskosten verlangt. Um diese Bedingungen zu erfüllen, muss
der Monopolist
(a) es ist unmöglich, das zu erfüllen
19
(b) eine Menge von q = 40 anbieten
(c) entweder q = 5 oder q = 35 anbieten
(d) einen Preis von 70 verlangen
(e) q = 20 anbieten
Lösungsskizze zu Aufgabe 4.4 Korrekt: (b),(c),(e)
Aufgabe 4.5 Price Caps Regulierung
(a) Charakterisieren Sie die wesentlichen Elemente der price caps“-Regulierung eines natürlichen Mo”
nopols.
(b) Ein natürliches Monopol bietet die beiden Güter x1 und x2 an. Dabei gelten die Nachfragefunktionen p1 = 1 − x1 und p2 = 2 − x2 . Für die Produktion der beiden Güter fallen gemeinsame Fixkosten
von 1 an, während die Grenzkosten bei beiden Gütern gleich Null sind. Berechnen Sie die gewinnmaximierenden Angebotsmengen beider Güter, den Gewinn des Monopols und die aggregierte
Wohlfahrt.
(c) Gehen Sie nun davon aus, dass die Regulierungsbehörde dem natürlichen Monopol als Bedingung für
die Preise vorgibt p1 + 2p2 = 2. Ermitteln Sie die Angebotsmengen, die den Gewinn des Monopols
unter dieser Nebenbedingung maximieren. Wie wirkt sich die Vorgabe der Regulierungsbehörde auf
den Gewinn des Monopols und die aggregierte Wohlfahrt aus?
(a)
– bei MPU wird Preisindex für Warenkorb festgelegt
– Anpassung PI nicht an Kostenentwicklung des MPU orientiert
– Anreiz zur Produktivitätssteigerung bleibt erhalten
(b) Ansatz: Max G = (1 − x1 )x1 + (2 − x2 )x2 − 1
B1O: dG/dx1 = 1 − 2x1 ≡ 0
B2O: dG/dx2 = 2 − 2x2 ≡ 0
x1 = 1/2, x2 = 1
G = (1 − 1/2)1/2 + (2 − 1)1 − 1 = 1/4
KR1 = 1/2(1 − 1/2)1/2 = 1/8
KR2 = 1/2(2 − 1)1 = 1/2
W = KR1 + KR2 + G = 7/8 o. W = KR1 + KR2 + G + 1 = 15/8
(c) Ansatz: Max G = (1 − x1 )x1 + (2 − x2 )x2 − 1 + λ(2 − (1 − x1 ) − 2(2 − x2 ))
B1O: ∂G/∂x1 = 1 − 2x1 + λ ≡ 0
B1O: ∂G/∂x2 = 2 − 2x2 + 2λ ≡ 0
B1O: ∂G/∂λ = 2 − (1 − x1 ) − 2(2 − x2 ) ≡ 0
x1 = 3/5, x2 = 6/5
G = (1 − 3/5)3/5 + (2 − 6/5)6/5 − 1 = 1/5
KR1 = 1/2(1 − 2/5)3/5 = 1/2 · 9/25
KR2 = 1/2(2 − 4/5)6/5 = 1/2 · 36/25
W = KR1 + KR2 + G = 11/10 o. W = KR1 + KR2 + G + 1 = 21/10
Gc < Gb und Wc > Wb
Aufgabe 4.6 Marktsegmentierung
in großer PKW-Hersteller hat folgende Nachfragefunktionen für den inländischen und den ausländischen
Markt für PKW identifiziert.
yI (pI ) = 100 − pI
yA (pA ) = 100 − 2pA
Er kann seine Fahrzeuge auf der Basis konstanter Grenzkosten in Höhe von C 0 (y) = 20 anbieten. Arbitrage sei ausgeschlossen.
20
(a) Welchen Preis legt er für jeden der Teilmärkte fest? Wieviele PKW werden dann jeweils angeboten?
Wie hoch ist der Gewinn des Monopolisten?
(b) Die Regulierungsbehörden des In- und des Auslandes vereinbaren, dem Monopolisten die Preisdiskriminierung zu untersagen - er muss jetzt auf jedem Markt zum gleichen Preis anbieten. Welchen
Preis wählt er und welche Menge wird angeboten? Ist die Entscheidung der Regulierungsbehörde
wirtschaftspolitisch sinnvoll?
P
(a) Zielfunktion: max{G = i Ei − K}
∂G
Bedingung erster Ordnung: gyI = gyA = 0 mit gyi = ∂y
i
Bedingung zweiter Ordnung: gyI yI , gyA yA < 0
und
gyI yI gyA yA > gy2I yA
∗
∗
∗
D
∗
yI = 40; yA = 30; pI = 60; pA = 35; GM = 2050
D
D
KRA
= 225; P RA
= 450; KRID = 800; P RID = 1600; ⇒ W D = 3075
(b) Preisabsatzfunktion:
(
p(y) =
(ba) 100 − y
100 − y ∀ y ≤ 50
1/3(200 − y) ∀ y > 50
∀ y ≤ 50: y = 40, p = 60, G = 1600
(bb) 1/3(200 − y) ∀ y > 50: y = 70, p = 130/3, G = 1633 31
⇒ (po ; y o ) = (130/3; 70)
o
o
KRA
= 400/9; P RA
= 2800/9; KRIo = 11050/9; P RIo = 18700/9
o
¯
⇒ W = 32950/9 = 3661, 11
⇒ G D > Go ; W D < W o
Aufgabe 4.7 Ramsey Pricing
Ein regionaler Monopolist produziert mit der gleichen Technologie fetthaltige und fettarme Milch. Die
Fixkosten der Produktion betragen CF > 0; beide Produkte werden also auf Grundlage des gleichen
Kapitalstockes hergestellt. Die Grenzkosten für beide Produkte betragen cl bzw. ch wobei cl < ch gelten
soll. Die inverse Nachfrage nach fettarmer und fetthaltiger Milch lautet:
pl (yl ) = A − αyl
(α > 0)
ph (yh ) = B − βyh
(β > 0)
(32)
Durch staatliche Regulierung der Preise soll sichergestellt werden, dass möglichst viele Konsumenten auf
beiden Teilmärkten bedient werden, wobei beachtet werden muss, das der Milchproduzent kostendeckend
produziert.
(a) Bestimmen Sie die Funktion der aggregierten Wohlfahrt.
(b) Welche Nebenbedingung muss die Regulierungsbehörde bei der Bestimmung wohlfahrtsmaximalen
Preise beachten?
(c) Wie lauten die Bedingungen 1. Ordnung für ein Wohlfahrtsmaximum?
(d) Zeigen Sie, dass die notwendige Bedingung eines Wohlfahrtsoptimums impliziert, dass das Verhältnis der relativen Preisaufschläge, ( p−c
p ), dem umgekehrten Verhältnis der Preiselastizitäten der
Nachfrage entsprechen muss.
(a) aggregierte Wohlfahrt:
Z
W =
Z
yl
pl (τl )dτl − cl yl +
0
yh
ph (τh )dτh − ch yh − CF
0
(b) Kostendeckung: pl (yl )yl + ph (yh )yh = cl yl + ch yh + CF
(33)
21
(c) Lagrange-Ansatz:
Z
max
yl
L=
0
Z yh
pl (τl )dτl − cl yl +
ph (τh )dτh − ch yh − CF +
0
³
´
µ pl (yl )yl + ph (yh )yh − (cl yl + ch yh + CF )
∂L
≡0
∂yl
∂L
(2)
≡0
∂yh
∂L
≡0
(3)
∂µ
(1)
(34)
(35)
(36)
(37)
(38)
(d)
∂pl
yl ) = 0
∂xl
∂ph
(20 ) (ph − ch )(1 − µ) − µ(
yh ) = 0
∂xh
(pl − cl )(1 − µ)
1
⇒ (100 )
= µ( ∂yl pl )
pl
∂p y
(10 )
(pl − cl )(1 − µ) − µ(
l
⇒
00
(2 )
(39)
(40)
(41)
l
(ph − ch )(1 − µ)
1
= µ( ∂yh ph )
ph
∂p y
(42)
∂y p
folgt
∂p y
(43)
h
mit εp,y =
(pl −cl )
pl
(ph −ch )
ph
=
h
εh
εl
(44)
Aufgabe 4.8 Monopolregulierung mit vermindertem Informationsbedarf und Wettbewerb um das Natürliche Monopol
Die Nachfrage nach Trinkwasser kann durch die Preis-Absatz Funktion p = 16 − y beschreiben werden.
Das Versorgungsunternehmen A muss für die Trinkwasserherstellung Kosten in Höhe von K A (y) = 4y+11
aufwenden. Der Regulierungsbehörde sind die Kosten von A nicht bekannt.
(a) Welchen mengenabhängigen Transfer t(y) muss die Regulierungsbehörde dem Unternehmen A
gewähren, damit A die Wohlfahrt maximiert. Wie hoch ist der Transfer für die wohlfahrtsmaximale Menge? Welche Informationen benötigt die Regulierungsbehörde für die Bestimmung des
Transfers?
(b) Wie hoch ist dann der Gewinn des Unternehmens A? Welche Konsumentenrente verbleibt nach
Abzug des Unternehmenstransfers?
(c) Warum ist eine Verbesserung der Verteilung der Renten durch eine Pauschalbesteuerung des Unternehmens A in diesem Fall ungeeignet?
(d) Nach dem Auslaufen der Lizenz des Unternehmens A beschließt die Regulierungsbehörde, das Recht
zur Ausübung eines Versorgungsmonopols zu versteigern. Neben Erzeuger A bewirbt sich nun Erzeuger B, der die Kostenfunktion K B = 3y + 11 hat. Der Gewinner der Auktion zahlt einen Preis
in Höhe des zweithöchsten Gebotes (Vickrey Auktion). Jedes der Unternehmen kann aus folgenden
fünf (Gebots-) Strategien bij wählen (Gebote werden verdeckt abgegeben):
– bi1 = Gi − 20 ⇔ biete den Gewinn aus dem Natürlichen Monopol weniger 20
– bi2 = Gi − 10
– bi3 = Gi
– bi4 = Gi + 10
22
– bi5 = Gi + 20
(d1) Stellen Sie das (Auktions-)Spiel in Normalform dar!
(d2) Ermitteln Sie das Nash-Gleichgewicht in schwach dominanten Strategien!
(d3) Ermitteln Sie alle anderen Nash-Gleichgewichte!
(a) Transferberechnung:
– Gewinn des Unternehmens: G(y) = p(y)y − K(y) + t(y)
R ȳ
– Wohlfahrt: W (y) = 0 p(y)dy − K(y)
– Vergleich von Gewinnfunktion
und Wohlfahrtsfunktion:
R ȳ
W (y) = G(y) ⇔ 0 p(y)dy − K(y) = p(y)y − K(y) + t(y)
R ȳ
⇒ t(y) = 0 p(y)dy − p(y)y
– mit p = 16 − y folgt: t(y) = 1/2y 2
– y 1st = 12 ⇒ t(y 1st ) = 72
– Informationsbedarf: Nachfragefunktion und Stückpreis (auf Angebotsmenge kann dann rückgeschlossen werden)
R y1st
1st
(b) G(y) = 0 p(y)dy − K(y)|y=y1st = (16y − 1/2y 2 )|y0 − (4y 1st + 11) = 61
Konsumentenrente: KR = 1/2(16 − 4)12 = 6 · 12 = 72 ⇒ KR − t(y 1st ) = 0
(c) Die Kostenfunktion des Erzeugers A ist der Regulierungsbehörde nicht bekannt.
(d) Gewinne (Regulierungsbehörde zahlt t(y)): GA = 61, GB = 73, 5 (Hinweis: Unternehmen B hat
geringere Grenzkosten. Folglich ergibt sich ein neues first-best ⇒ y 1st = 13. )
(d1) Auktionsspiel in Normalform:
U B /U A
53,5
63,5
73,5
83,5
93,5
41
32,5/0
32,5/0
32,5/0
32,5/0
32,5/0
51
22,5/0
22,5/0
22,5/0
22,5/0
22,5/0
61
0/7,5
12,5/0
12,5/0
12,5/0
12,5/0
71
0/7,5
0/-2,5
2,5/0
2,5/0
2,5/0
81
0/7,5
0/-2,5
0/-12,5
-7,5/0
-7,5/0
(d2) Schwach dominante Strategie jedes der Anbieter ist das Bieten des tatsächlichen Gewinns
(bi3 = Gi ). Das Nash-Gleichgewicht in schwach dominanten Strategien ist folglich 12, 5/0. B
erhält den Zuschlag und zahlt des Gebot des A in Höhe von 61, womit ein Gewinn von 12,5
verbleibt.
(d3) Weitere Nash-Gleichgewichte sind in (d1) kursiv hervorgehoben.
Aufgabe 4.9 Kapitalrenditenregulierung im Monopol
Der Produzent von Solaranlagen hat sich durch eine Prokuktinnovation eine marktbeherrschende Stellung
gesichert. Die Nachfragefunktion ist
y = 1000 − 2p
(45)
Die Technologie kann wiederum durch eine Cobb-Douglas Produktionsfunktion beschrieben werden, wobei
jetzt α = β = 0, 25 gilt. Der Preis der Arbeit sei wA = 10, der des Kapitals wK = 0, 1.
(a) Berechnen Sie die Kostenfunktion des Unternehmens (Hinweis: Nutzen Sie das Ergebnis aus Übung
3.2f).
(b) Bestimmen Sie die gewinnmaximale Produktionsmenge, den Marktpreis und den Gewinn des Unternehmens. Wie viel Arbeit und wie viel Kapital wird das Unternehmen einsetzen?
(c) Bestimmen Sie die gewinnmaximale Faktornachfrage aus dem Ansatz
G(y(A, K)) = p(y(A, K))y(A, K) − (wA A + wK K)
(46)
Achten Sie bei der Herleitung der notwendigen Bedingungen auf das Verhältnis der Grenzproduktivitäten.
23
(d) Die Regulierungsbehörde entscheidet sich, die Kapitalrendite des Unternehmens zu regulieren. Das
bedeutet, dass der Unternehmensgewinn eine bestimmten Teil s des eingesetzten Kapitals nicht
überschreiten darf, also G(y(A, K)) ≤ sK gelten muss. Zeigen Sie die diesem Verfahren innewohnende Ineffizienz! Hinweis: Wie verhalten sich das Verhältnis der Grenzproduktivitäten und das der
Faktorpreise jetzt zueinander? Vergleichen Sie mit Teilaufgabe (c)!
(a) nach dem Einsetzen der Parameter α = β = 0, 25 in die Kostenfunktion aus Aufgabe 3.2 (f) folgt:
C(y) = 2y 2
(b) Ansatz:
max G(y) = p(y)y − C(y)
dG
Bed. 1. Ordnung:
≡0
dy
y M = 100, pM = 450, G = 25000
Bed. 2. Ordnung: sinkende Skalenerträge → erfüllt
(47)
(48)
(49)
(50)
Faktornachfrage (benutze 7.1 e):
y=y M
K(y) = 10y
2
z}|{
−→
y=y
A(y) = 0, 1y 2
K = 100000
(51)
A = 1000
(52)
M
z}|{
−→
(c) Ansatz:
maxG(A, K) = p(y(A, K))y(A, K) − (wA A + wK K)
∂G
(1)
= 1/8A−3/4 K 1/4 (1000 − 2A1/4 K 1/4 ) − wA ≡ 0
∂A
∂G
(2)
= 1/8K −3/4 A1/4 (1000 − 2A1/4 K 1/4 ) − wK ≡ 0
∂K
(53)
(54)
(55)
umformen und dividieren von (1) und (2) führt zu:
yA
K
wA
=
=
yK
A
wK
(56)
es folgt: K = wA /wK A = 100A bzw. A = wK /wA K = 0, 01K
einsetzen in Bed. 1 Ordnung und auflösen: A = 1000, K = 100000
(d) Lagrangeansatz (s-Kapitalrendite):
max
(1)
(2)
G(y) = p(y)y − (wA A + wK K) − µ(p(y)y − (wA A + wK K) − sK)
∂G
= (1/8A−3/4 K 1/4 (1000 − 2A1/4 K 1/4 ))(1 − µ) − wA (1 − µ) ≡ 0
∂A
∂G
= (1/8K −3/4 A1/4 (1000 − 2A1/4 K 1/4 ))(1 − µ) − wK (1 − µ) + µs ≡ 0
∂K
∂G
(3)
≡ 0 wird nicht benötigt
∂µ
(57)
(58)
(59)
(60)
nach umformen und dividieren von Gleichung (1) und (2) folgt:
wA (1 − µ)
K
=
A
wK (1 − µ) − µs
(61)
– rechte Seite von Gleichung 61 größer als die von Gleichung 56
– folglich ist das Verhältnis der Grenzproduktivitäten in Gleichung 61 größer als in Gleichung
56
– aufgrund abnehmender Grenzproduktivität der Faktoren setzt das Unternehmen mehr Kapital
und weniger Arbeit ein
24
– Verhältnis der Grenzproduktivitäten und Verhältnis der Faktorpreise sind nicht ausgeglichen
– das Unternehmen produziert nicht mit der kostenminimalen Faktorkombination → Ineffizienz
Aufgabe 4.10 Monopolistische Konkurrenz I
(a) Nennen Sie die wesentlichen Annahmen, die dem Modell der monopolistischen Konkurrenz zugrunde
liegen, und illustrieren Sie das langfristige Gleichgewicht bei monopolistischer Konkurrenz anhand
einer geeigneten Graphik.
(b) Gehen Sie davon aus, dass ein einzelnes Unternehmen bei monopolistischer Konkurrenz der Nachfragefunktion p = 2n−1/4 y −1/2 gegenübersteht. Dabei bezeichnet y die Ausbringungsmenge des
Unternehmens, und n ist die Gesamtzahl der Unternehmen auf dem Markt. Die Kostenfunktion des
Unternehmens lautet K = y + 1/100. Bestimmen Sie das gewinnmaximierende y des Unternehmens
in Abhängigkeit von n. Wie hoch ist der Gewinn des Unternehmens?
(c) Ermitteln Sie die Zahl der Unternehmen n im langfristigen Gleichgewicht.
Aufgabe 4.11 Monopolistische Konkurrenz II
Auf dem Markt für Schrauben bieten zahlreiche Anbieter ihre Produkte an, die sich lediglich in Farbe,
Gewindepräzision und Werkstoffzusammensetzung unterscheiden. Die Technologie zur Herstellung von
Schrauben ist hinlänglich bekannt und standardisiert, weshalb die Kostenfunktion aller Anbieter k ∈
{i, −i} identisch ist. Für Anbieter i kann sie so geschrieben werden:
Ki (y) = 5yi3 − 16yi2 + 22yi + 18
(a) Skizzieren Sie die Grenzkostenfunktion und die Durchschnittskostenfunktion in ein (y, p)-Diagramm.
An welchem charakteristischen Punkt schneidet die Grenzkostenfunktion die Durchschnittskostenfunktion?
(b) Die Nachfragefunktion, die von unveränderten Preisen der Anbieter −i bei einer Preisänderung
des Anbieters i ausgeht, sei anfänglich p = 200 − 60yi . Zeichnen Sie auch diese Funktion in das
(y, p)-Diagramm.
(c) Welchen Preis setzt Unternehmen i für seine Schraubenpakete (kurzfristiges Gleichgewicht)? Wie
hoch ist der Gewinn von Unternehmen i? Skizzieren Sie die Grenzerlösfunktion und das kurzfristige
Gleichgewicht im (y, p)-Diagramm.
(d) Nehmen Sie an, dass weitere Anbieter mit identischen Kostenfunktionen in den Markt eintreten und
sich dadurch die individuelle Nachfragefunktion parallel zum Koordinatenursprung hin (nach innen)
verschiebt. Wie lange treten neue Unternehmen in den Markt ein? Skizzieren Sie ihr Ergebnis im
(y, p) - Diagramm! (Hinweis: Es geht um den Zusammenhang zwischen der Preis-Absatz Funktion
und der Durchschnittskostenfunktion.)
(e) Wie viele Pakete Schrauben bietet ein Unternehmen ungefähr an, nachdem der Markteintritt zum
Stillstand gekommen ist und wie hoch ist der Preis eines Pakets (langfristiges Gleichgewicht, graphische Lösung)? Wie hoch ist der Gewinn im langfristigen Gleichgewicht?
(a) DK := Ki (yi )/yi =
18+22yi −16yi2 +5yi3
,
yi
0
Ki (yi ) = 22 − 32yi + 15yi2
p
250
200
150
100
50
1
2
3
4
y_i
25
Die Grenzkostenfunktion schneidet das Minimum der Durchschnittskostenfunktion. Schnittpunkt
ist folglich (2, 03476; 18, 9913).
(b) Mit der Nachfragefunktion ergibt sich:
p
300
250
200
150
100
50
1
2
3
4
y_i
(c) Gleichsetzen von Grenzerlös und Grenzkosten führt zur gewinnmaximalen Preis-Mengen-Kombination
(p; y) = (104, 53; 1.59117). Der Gewinn beträgt Gmax = 133, 685
p
200
150
100
50
1
2
3
4
y_i
-50
-100
-150
(d) Wenn die Nachfragefunktion die Durchschnittskostenfunktion tangiert, verbleibt kein weiterer Gewinnspielraum.
(e) Ansatz:
– erste Ableitung der Durchschnittskostenfunktion muss gleich −60 sein ⇒ y = 0, 6, p = 44, 2
– individuelle Preis-Absatz Funktion ist dann p = 80, 2 − 60y
– Gewinn im langfristigen Gleichgewicht ist gleich NULL
5
26
Theorie externer Effekte
Aufgabe 5.1
Mit x als emittiertem Schadstoff sei die wirkliche Grenznutzenfunktion der Emissionen für die Unterneh0
men UR0 = 20 − x. Die Umweltbehörde geht fälschlicherweise von UG
= 30 − 0, 5x aus. Die volkswirt0
schaftlichen Grenzkosten durch die Emissionen seien K = x.
(a) Berechnen Sie den von der Umweltbehörde vorgegebenen Steuersatz und die Höhe der Emissionen,
für die sich die Unternehmen entscheiden.
(b) Berechnen Sie den Wohlfahrtsverlust, der im Vergleich zum Optimum entsteht.
(a) Die Umweltbehörde bestimmt den Steuersatz wie folgt:
0
UG
= K 0 = 30 − 0, 5x = x ⇒ xG = 20
0
(x) = K 0 (x) ⇒ t = 20
t = UG
Beim Steuersatz von t = 20 emittieren die Unternehmen jedoch nicht 20, wie die Umweltbehörde
erwartet, sondern
t = UR0
⇒
20 = 20 − x
⇒
xR = 0
U’,K’
K’
t=20
UG’
UR’
x
(b) Die pareto-effizienten Emissionen wären
UR0 = K 0
⇒
20 − x = x
⇒
x∗ = 10
Die tatsächlichen Emissionen sind folglich xR = 0, womit sich der Wohlfahrtsverlust wie folgt
berechnen lässt.
Z 10
Z 10
∆W =
(20 − x)dx −
xdx = 20 · 10 − 0, 5 · 102 − 0, 5 · 102 = 100
0
0
Der Wohlfahrtsverlust ist in der Grafik schraffiert hervorgehoben.
Aufgabe 5.2
Auf einem Monopolmarkt sei folgende Nachfragefunktion gegeben:
p = a − by
(a > 0; b > 0)
Die Kostenfunktion sei K(y) = cy, wobei c > 0 gelten soll. Weiterhin werden bei der Produktion Emissionen E in Abhängigkeit vom Output freigesetzt:
E(y) = ey
(e > 0)
Die Schadensfunktion sei S(E) = sE mit s > 0. Zur Internalisierung der externen Effekte wird nun eine
Emissionssteuer pro emittierter Einheit erhoben.
27
(a) Wie hoch muss die Emissionssteuer im Wohlfahrtsoptimum sein?
(b) In welcher Beziehung müssen die Parameter zueinander stehen, damit keine Steuer notwendig ist,
um das Wohlfahrtsoptimum zu erreichen? Zeichnen und interpretieren Sie diese Situation.
Aufgabe 5.3
Die Wohlfahrt bei der Produktion der Ware y in Land A sei WA = 10y − y 2 . Dabei werden Emissionen freigesetzt, die in Land B niedergehen. Bei jeder produzierten Einheit wird eine Emissionseinheit x
freigesetzt. Die entstehenden Schäden in Land B seien durch S = x2 charakterisiert.
(a) Nehmen Sie an, dass die Eigentumsrechte bei Land A liegen und es zu keiner Verhandlung kommt.
Welche Emissionshöhe kommt zustande?
(b) Bestimmen Sie die zugehörige Wohlfahrt in Land A, die zugehörige Wohlfahrt in Land B und die
Gesamtwohlfahrt.
(c) Nehmen Sie nun an, dass Land B Land A ein take-it-or-leave-it“ Verhandlungsangebot macht.
”
(c1) Bestimmen Sie die angebotene Emissionshöhe x∗ und die Kompensationszahlung z.
(c2) Zeigen Sie, dass die Annahme dieses Angebots für A rational ist.
(c3) Bestimmen Sie weiterhin die zugehörige Wohlfahrt in Land A, die zugehörige Wohlfahrt in
Land B sowie die Gesamtwohlfahrt.
(a) WA = 10y − y 2
(b) WA = 25
WA0 = 10 − 2y ⇒
P
WB = −25
W =0
y = 5, x = 5
(c) Wir wissen, dass Verhandlungen unter diesen Annahmen zum Pareto-Optimum führen.
(c1) ⇒ WG = 10y − y 2 − y 2 = 10y − 2y 2 WG0 = 10 − 4y ⇔ y = x = 2, 5
⇒ z = WA (y = 5) − WA (y = 2, 5) = 25 − (25 − 6, 25) = 6, 25
(c2) Land A hat bei Annahme des Angebots den gleichen Nutzen wie bei dessen Ablehnung.
P
(c3) WA = 25 WB = −12, 5
W = 12, 5
Aufgabe 5.4
Ein Monopolist sieht sich der Preis-Absatz-Funktion p = 10 − y gegenüber. Seine Kostenfunktion sei
KU = 2y. Da bei der Produktion des Monopolisten ein negativer externer Effekt anfällt, lautet die
gesamtwirtschaftliche Kostenfunktion KG = 6y.
(a) Bestimmen Sie die Angebotsmenge des Monopolisten.
(b) Wie lautet die pareto-effiziente Produktionsmenge?
(c) Welche Steuer muss erhoben werden, damit der Monopolist die pareto-effiziente Menge produziert?
(a) KU0 = E 0
⇔
0
(b) KG
= U0 = p
(c) t = 0
Aufgabe 5.5
2 = 10 − 2y
⇒
⇒
6 = 10 − y
yM = 4
⇒
y∗ = 4
28
In Land A und B werden bei der Produktion eines Gutes grenzüberschreitende Emissionen frei. Der
2
Nutzen des Landes A aus seinen Emissionen EA sei gegeben durch UA = 10EA − EA
, der des Landes
2
B sei UB = 11EB − EB . Die Schäden, die durch die Emissionen entstehen, werden durch folgende
Schadensfunktionenen bestimmt:
S − A = E − A + 0, 5E − B + 0, 5EA EB
SB = 0, 25EA + 0, 5EB + 0, 5EA EB
Die Wohlfahrt in beiden Ländern ergibt sich aus
WA (EA , EB ) = UA (EA ) − SA (EA , EB )
WB (EA , EB ) = UB (EB ) − SB (EA , EB )
(a) Bestimmen Sie die wohlfahrtsoptimalen Emissionen sowie die Wohlfahrt in den beiden Länder.
(b) Wieviel emittieren die Länder, wenn sie ihren eigenen Nutzen maximieren (d.h. wieviel emittieren
beide im Nash-Gleichgewicht!)? Wie groß ist jetzt die Wohlfahrt?
2
2
−0, 25EA −0, 5EB −0, 5EA EB
−EA −0, 5EB −0, 5EA EB +11EB −EB
(a) WG (EA , EB ) = 10EA −EA
∗
∗
∗
∗
EA = 2, 5 EB = 3, 75 WA = 9, 6875 WB = 20
⇒
(b) ∂WA /∂EA = 9 − 2EA ≡ 0
∂WB /∂EB = 10, 5 − 2EA − 0, 5EB ≡ 0
N
N
EA
= 3, 4 EB
= 4, 4 WAN = 7, 36 WBN = 10, 51
Aufgabe 5.6
Die Preis-Absatz-Funktion eines Monopolisten lautet p = a − bx wobei (a, b > 0) gilt. Bei der Produktion fällt zusätzlich zu den Kosten K(x) des Monopolisten ein negativer externer Effekt an, dessen
Grenzschaden mit S 0 = nx (n > 0) bewertet wird. Wie müssen die Parameter der PAF und der Grenzschadensfunktion zusammenhängen, damit der Monopolist genau die wohlfahrtsoptimale Menge produziert?
Monopolist: E = x(a − bx) E 0 = a − 2bx
E0 = K0
⇔
K 0 = a − 2bx
⇒
0
xm =
(a−K 0 )
2b
)
Wohlfahrsoptimum: U 0 = K 0 + S 0 ⇔ a − bx = K 0 + nx ⇒ x∗ = (a−K
(n+b)
Wenn n = b ist die gewinnmaximale Menge des Monopolist gleich der pareto-effizienten Menge, d.h.
wenn die Steigung der Preis-Absatz-Funktion im Betrag gleich der Steigung der Grenzschadensfunktion
ist. Der Monopolist bietet dagegen eine zu große Menge an, wenn n + b > 2b (bzw. n > b) ist, also wenn
der Grenzschaden schneller steigt als der Grenzerlös des Monopolisten sinkt.
Aufgabe 5.7
In Deutschland (D) und Ungarn (U) werden bei der Produktion eines Gutes grenzüberschreitende Emis2
sionen frei. Der Nutzen aus den Emissionen ist gegeben durch UU = 15EU − EU2 , bzw. UD = 12ED − ED
.
Die Schäden, die durch die Emissionen entstehen, werden durch folgende Schadensfunktionenen bestimmt:
SU = EU + 0, 25ED + 0, 25ED EU
S − D = 0, 5EU + 2ED + 0, 75ED EU .
Die Wohlfahrt in beiden Ländern ergibt sich aus
WD (ED , EU ) = UD (ED ) − SD (ED , EU )
WU (ED , EU ) = UU (EU ) − SU (ED , EU )
(a) Bestimmen Sie die wohlfahrtsoptimalen Emissionen in den beiden Länder.
(b) Wieviel emittieren die Länder, wenn sie ihren eigenen Nutzen maximieren (d.h. wieviel emittieren
beide im Nash-Gleichgewicht!)?
(a) EU = 5, 75
ED = 2
(b) EU = 6, 688
29
ED = 2, 49
Aufgabe 5.8
Richtig oder falsch?
1. Die Internalisierung externer Effekte ist nur durch Steuern möglich.
2. Die pareto-effiziente Verschmutzung ist unabhängig davon, ob dem Schädiger oder dem Geschädigten die Eigentumsrechte zugesprochen werden.
3. Eine Pigou-Steuer ist so berechnet, dass sie genau genug Steuereinnahmen erbringt, um die Kosten
des Staates für die Kontrolle der Emissionsmenge zu decken.
4. Wenn negative externe Effekte vorliegen, führt vollständige Konkurrenz nicht zum Pareto-Optimum.
Positive externe Effekte verbessern dagegen die Effizienz einen Marktes bei vollständiger Konkurrenz.
Lösungsskizze zu Aufgabe 5.8: alle falsch
Aufgabe 5.9
Ein Flughafen liegt direkt neben einem großen Grundstück, das einem Projektentwickler gehört. Dieser
Developer möchte auf dem Grundstück ein Wohnungsbauprojekt errichten. Der Wert der Wohnungen
wird jedoch durch den Lärm der Flugzeuge reduziert. Je mehr Flugzeuge fliegen, desto geringer wird der
Profit des Developers. X sei die Zahl der pro Tag fliegenden Flugzeuge und Y die Anzahl der gebauten
Häuser. Die Gewinnfunktion des Flughafens lautet dann GF = 48X − X 2 und die Gewinnfunktion des
Developers GD = 60Y − Y 2 − XY .
(a) Nehmen Sie an, es kommt nicht zu Verhandlungen zwischen dem Flughafen und dem Developer.
– Wieviele Flugzeuge fliegen pro Tag?
– Wieviele Häuser baut der Developer?
– Welchen Gewinn machen der Flughafen und der Developer?
(b) Nehmen Sie jetzt an, die örtlichen Behörden verbieten aufgrund der Lärmbelästigung den Flugverkehr komplett.
– Wieviele Häuser baut der Developer jetzt?
– Wie groß ist sein Gewinn?
(c) Nehmen Sie jetzt an, dass ein Gesetz verabschiedet wird, dass den Flughafen für alle dem Developer entstehenden Schäden aus dem Luftverkehr haftbar macht. Da die Gewinne des Developers
ohne Flugverkehr 60Y − Y 2 wären, mit Flugverkehr jedoch nur 60Y − Y 2 − XY belaufen sich die
Schadensersatzzahlungen des Flughafens an den Developer auf XY Geldeinheiten.
– Was ist jetzt die gewinnmaximale Häusermenge des Developers?
– Welche Flugzeugmenge maximiert den Gewinn nach Schadensersatzzahlung des Flughafens?
– Welchen Gewinn machen der Flughafen und der Developer?
(c) Ein Investor kauft sowohl den Flughafen als auch das Grundstück des Developers und maximiert
jetzt den gemeinsamen Gewinn dieser zwei Unternehmen.
– Welche Mengen X und Y wird er wählen um seinen Gewinn zu maximieren?
– Wie hoch ist dann der Gewinn?
(a) X = 24
Y = 18
GF = 576
(b) Y = 30
GD = 900
(c) Y = 30
X=9
GD = 900
GD = 324
GF = 81
(d) G = 48X − X 2 + 60Y − Y 2 − XY
P
P
X = 12
G = 900
G = 981
Y = 24
G = 1.008
30
Aufgabe 5.10
Imkerei und Obstplantage grenzen aneinander. Um Nektar zu sammeln, fliegt das Bienenvolk der Stärke
x zur Plantage. Je mehr Tiere emsig Nektar saugen, desto reicher ist die Honigausbeute V . Zudem
steigt die Obstproduktion W an. Neben der Stärke des Bienenvolks ist die Anzahl der Obstbäume y für
den Output der Plantage bestimmend. Wenn mehr Obstbäume vorhanden sind, steigt jedoch auch die
Honigproduktion an. Die Produktionsfunktionen lauten wie folgt:
Imkerei: V = x1/2 + y 1/2
Plantage: W = x1/2 + y 1/2
Die Kosten der Imkerei sind CV = x/2, die der Obstplantage CW = y. Der Marktpreis für Honig ist
PV = 8 und der für Äpfel ist PW = 6.
(a) Charakterisieren Sie die vorliegende Externalität. Errechnen Sie die Stärke des Bienenvolkes, die
Anzahl der Obstbäume sowie den aggregierten Gewinn, wenn Imkerei und Obstplantage ihre Gewinne getrennt voneinander maximieren.
(b) Imkerei und der Obstplantage haben sich auf eine Fusion geeinigt. Berechnen Sie die Stärke des
Bienenvolkes und die Anzahl der Obstbäume, die den gemeinsamen Gewinn von Imkerei und Obstplantage maximieren. Bestimmen Sie den aggregierten Gewinn und vergleichen Sie ihn mit dem
Ergebnis aus Teilaufgabe (a).
(c) Die Fusion wird für gescheitert erklärt. Wie hoch müsste eine Stücksubvention sx sein, die der Imkerei für die Bienen gezahlt wird und wie hoch die Stücksubvention sy an die Obstplantage für deren
Obstbäume sein, damit beide Unternehmen getrennt voneinander die Stückzahlen produzieren, die
Sie in Aufgabenstellung (b) ermittelt haben?
(a)
– positive, wechselseitige Produktionsexternalität
– Ansatz:
√
√
- Max GV = PV ( x + y) − 1/2x dGV /dx = 1/2PV x−1/2 − 1/2 ≡ 0 ⇒ x = 64
√
√
−1/2
- Max GW = PW ( x +
−1≡0 ⇒ y =9
P y) − 1x dGW /dy = 1/2PW y
- GV = 56, GW = 57;
G = 113
(b) Ansatz:
√
√
√
√
- Max G = PV ( x + y) + PW ( x + y)) − 1/2x − x
- ∂G/∂x ≡ 0 ⇒ x∗ = 196
- ∂G/∂y ≡ 0 ⇒ y ∗ = 49 - G∗ = 147 ⇒ G∗ > G(a)
(c) Ansatz:
√
√
- GV = PV ( x + y) − 1/2x + sx x
√
√
- GW = PW ( x + y) − 1x + sy y
x∗ =196
z}|{
⇒
dGV /dx ≡ 0
sx = 3/14
∗
y =49
dGW /dy ≡ 0
z}|{
⇒
sy = 4/7
Aufgabe 5.11
Die Gemeinden Süd“ und Nord“ grenzen an das Gewerbegebiet Ödland I“, auf dem die Entsorgungs”
”
”
firma T eine Schrottpresse betreiben will. Der Marktpreis für Schrott ist P und kann durch T nicht
beeinflusst werden. T entstehen keine Kosten.
Die Schrottpresse verursacht Lärmemissionen, welche die Anwohner gemäß der Leidensfunktion L(y)
belästigen. Die Höhe der absoluten Belästigung hängt von der Betriebsgröße y der Schrottpresse ab. Für
Nord“ gilt LN (y) = 1/2y 2 . Die Belästigung für Süd“ ist bei gleichem Durchsatz höher, da meist ein
”
”
rauher Nordwind weht. Dort gilt LS = y 2 .
(a) Bestimmen Sie rechnerisch und graphisch die Betriebsgröße y, welche die aggregierte Wohlfahrt,
d.h. die Differenz zwischen dem Gewinn der Entsorgungsfirma und der Lärmbelästigung in beiden
Gemeinden, maximiert.
31
(b) Gehen Sie davon aus, dass der Gewinn der Firma T an die Gemeinden verteilt wird. Der Gewinnanteil von Nord“ ist αN = 0, 5 und der von Süd“ ist (1 − αN ) = 0, 5. Ermitteln Sie rechnerisch und
”
”
graphisch die Betriebsgröße y, wenn sie durch (b1) Nord“ bzw. durch (b2) Süd“ festgelegt wird?
”
”
Ermitteln Sie die Höhe der aggregierten Wohlfahrt für beide Fälle.
∗
(c) Bestimmen Sie den wohlfahrtsoptimalen Gewinnanteil αN
, wenn (c1) Nord“ die Betriebsgröße
”
bestimmt bzw. wenn (c2) Süd“ diese Entscheidung trifft.
”
(a)
– Grafik: Preisgerade; vertikale Aggregation der Grenzleidfunktionen; Kennzeichnung Schnittpunkt/wohlfahrtsoptimale Menge; Achsenbeschriftung
– Rechnung:
Ansatz: Max G = P y − 1/2y 2 − y 2
B1O: dG/dy = P − 3y ≡ 0
y = P/3
(b)
– Grafik: Achsenbeschriftung; Preisgerade auf halber Höhe; Grenzleidfunktionen; Kennzeichnung
Schnittpunkte/gewinnmaximierenden Mengen
– Rechnung: Ansätze: Max GN = 1/2P y − 1/2y 2 bzw. Max GS = 1/2P y − y 2
yN = P/2 > P/3 bzw. yS = P/4 < P/3 mit B1O.
Nord bestimmt:
- GN = 1/2 · P · P/2 − 1/2(P/2)2 = P 2 /8
- GS = 1/2 · P · P/2 − (P/2)2 = 0
- G = P 2 /8
Süd bestimmt:
- GN = 1/2 · P · P/4 − 1/2(P/4)2 = (3/32)P 2
- GS = 1/2 · P · P/4 − (P/4)2 = P 2 /16
- G = (5/32)P 2
(c) Nord:
- G = αP y − 1/2y 2
- dG/dy = αP − y ≡ 0
- ⇒ α = y/P ⇒ y := P/3 ⇒ α = 1/3
Süd:
- G = (1 − α)P y − y 2
- dG/dy = (1 − α)P − 2y ≡ 0
- ⇒ α = 1 − (2y)/P ⇒ y := P/3 ⇒ α = 1 − 2/3 = 1/3
Alternative: Verteilung im Verhältnis der Grenzkosten
Aufgabe 5.12 Produktionsexternalität, Ökosteuer, Coase-Theorem
Die Kosten eines Pharmaunternehmen sind erstens abhängig von der Menge y hergestellter Kopfschmerztabletten. Desweiteren hängen sie von der Brauchwassermenge b ab, die in einen Fluss geleitet wird. Bis
zu einer bestimmte Höhe können dadurch die Entsorgungskosten verringert werden. Die Kostenfunktion
kann wie folgt geschrieben werden.
K P = 0.05y 2 + (b − 30)2
(62)
Die flussabwärts gelegene Großstadt kostet die Trinkwasseraufbereitung dagegen
K W = x2 + 20b
(63)
Auf dem Markt für Kopfschmerztabletten kann von vollkommener Konkurrenz bei einem Marktpreis von
pP = 18 ausgegangen werden. Der Trinkwasserpreis ist pW = 100.
(a) Wie viele Tabletten, wie viel Brauchwasser und wie viel Trinkwasser wird produziert, wenn die
Anbieter ihre Gewinn getrennt maximieren? Wie hoch sind die Gewinne, wie hoch ist der Effizienzverlust?
(b) Kann eine Ökosteuer den Effizienverlust mindern? Wie hoch sollte die Regulierungsbehörde die
Steuer wählen?
32
(c) Aufgrund zu hoher Kosten der Steuerberechnung und -erhebung wird beschlossen, der Stadt die Einleitungsrechte in den Fluss zu übertragen. Wie hoch würde diese den Preis für das Recht festsetzen.
Wäre das Ergebnis effizient?
(d) Nehmen Sie an, die Eigentumsrechte werden auf einem Markt bei vollständiger Konkurrenz gehandelt, so dass sowohl die Stadt, als auch das Pharmaunternehmen Preisnehmer sind. Ist es dann von
Bedeutung, wer die Eigentumsrechte erwirbt? Vergleichen Sie mit dem pareto-effizienten Ergebnis.
(a) Pharmaunternehmen:
³
´
max GP = 18y − 0.5y 2 + (b − 30)2
∂GP
≡ 0 ⇔ y = 180
∂y
∂GP
≡ 0 ⇔ b = 30
(2)
∂b
GP |y=180,b=30 = 1620
(1)
(64)
(65)
(66)
(67)
Stadt:
max GK = 100x − (x2 + 20b)
∂GW
(1)
≡ 0 ⇔ x = 50
∂x
GW |x=50,b=30 = 1900
Effizienz: maximal möglicher Gesamtgewinn
³
´
max GP +W = 18y − 0.5y 2 + (b − 30)2 + 100x − (x2 + 20b)
∂GP +W
≡ 0 ⇔ y = 180
∂y
∂GP +W
(2)
≡ 0 ⇔ x = 50
∂x
∂GP +W
(3)
≡ 0 ⇔ b = 20
∂b
GP +W |y=180,x=50,b=20 = 3620 > (GP + GW )
⇒ ∆G = 3620 − (1900 + 1620) = 100
(1)
(b) Öko-Steuer auf das die Externalität verursachende Produkt → b
Pharmaunternehmen:
´
³
GP = 18y − 0.5y 2 + (b − 30)2 − tb
(1)
∂GP
≡0
∂y
⇔
y = 180
∂GP
(60 − t)
≡0 ⇔ b=
∂b
2
⇔ t = 60 − 2b|b=20 ⇔ t = 20
(2)
(68)
(69)
(70)
(71)
(72)
(73)
(74)
(75)
(76)
(77)
(78)
(79)
(80)
Gesamtgewinn unter der Ökosteuer:
GP |y=180,t=20,b=20 = 1120
GW |x=50,b=20 = 2100
(81)
(82)
GRB |t=20,b=20 = 400
X
Gi = 3620
(83)
i²{P,W,RB}
(84)
33
(c) zuerst setzt Stadt den Preis, dann legt Unternehmen Mengen fest ⇒ Kommune kann optimale
Reaktion des Unternehmens in Preisfestlegung einbeziehen
³
´
max GP = 18y − 0.5y 2 + (b − 30)2 − eb
(85)
∂GP
≡ 0 ⇔ y = 180
∂y
(60 − e)
⇔ b=
= 30 − e/2
2
(1)
(2)
∂GP
≡0
∂b
(86)
(87)
Gewinn der Stadt:
max GW = 100x − (x2 + 20b) + eb | b = 30 − e/2
∂GW
≡ 0 ⇔ x = 50
(1)
∂x
∂GW
(2)
≡ 0 ⇔ e = 40 ⇒ b = 10
∂e
(88)
(89)
(90)
Gesamtgewinne:
GP = 820, GW = 2700
X
Gi = 3520 < Gef f
(91)
i
(d) Eigentumsrecht der Stadt auf sauberes Wasser:
max GW = 100x − (x2 + 20b) + eb
∂GW
(1)
≡ 0 ⇔ x = 50
∂x
∂GW
(2)
≡ 0 ⇔ e = 20
³ ∂b
´
GP = 18y − 0.5y 2 + (b − 30)2 − eb
max
∂GP
≡ 0 ⇔ y = 180
∂y
(60 − e)
b=
= 30 − e/2 | e = 20
2
⇒ b = 20
(1)
(2)
∂GP
≡0
∂b
Gewinne: GP = 1120, GW = 2500,
⇔
P
i
(92)
(93)
(94)
(95)
(96)
(97)
(98)
Gi = 3620 = Gef f
Eigentumsrecht des Unternehmens auf Verschmutzung:
gegebenes Einleitungsniveau b∗
max GW = 100x − (x2 + 20b) − e(b∗ − b)
∂GW
(1)
≡ 0 ⇔ x = 50
∂x
∂GW
(2)
≡ 0 ⇔ e = 20
∂b
´
³
max GP = 18y − 0.5y 2 + (b − 30)2 + e(b∗ − b)
(1)
(2)
∂GP
≡0
∂b
⇔
∂GP
≡0
∂y
b = 30 − e/2
Gewinne: AusgangssituationPb∗ = 30
⇒ GP = 1720, GW = 1900, i Gi = 3620 = Gef f
Aufgabe 5.13 Öffentliche Güter
⇔
(99)
(100)
(101)
(102)
y = 180
(103)
|
e = 20
(104)
⇒
b = 20
(105)
34
Die Straßenbeleuchtung einer Straße ist ein typisches öffentliches Gut. Gehen Sie zunächst einmal davon
aus, dass lediglich zwei Anlieger (i und j) mit der Nachfragefunktion p = 20 − y existieren (y sei die
gesamte Zahl der Straßenlaternen). Die Grenzkosten der Bereitstellung der Leuchten betragen 10.
(a) Wie hoch ist die sozial optimale Anzahl der Straßenlaternen (Hinweis: Ermitteln Sie zunächst die
Gesamtnachfrage durch vertikale Addition der individuellen Nachfragefunktionen)?
(b) Nehmen Sie an, dass die Straßenbeleuchtung nicht durch die öffentliche Hand bereitgestellt wird.
(b1) Wie viele Laternen würde i anbieten, wenn j gar keine Straßenbeleuchtung bereitstellt?
(b2) Wie viele Laternen würde i anbieten, wenn j fünf Straßenlaternen bereitstellt?
(b3) Wie viele Laternen würde i anbieten, wenn j zehn Straßenlaternen bereitstellt?
(b4) Zeigen Sie auf der Basis Ihrer Ergebnisse aus Aufgabenstellung (b1-b3), dass die Bereitsstellung
von insgesamt zehn Laternen ein Nash-Gleichgewicht darstellt.
(c) Nehmen Sie nun an, dass sich die Anwohnerzahl der Straße auf 100 erhöht.
(c1) Wie hoch ist die sozial optimale Anzahl Straßenlaternen nun?
(c2) Zeigen Sie, dass im Nash-Gleichgewicht wiederum 10 Laternen angeboten werden.
(d) Zeigen und erklären sie, dass es sich in den (b) und (c) um ein Trittbrettfahrerproblem handelt.
(a) Vertikale Addition der Nachfragefunktionen bedeutet den aggregierten Grenznutzen der q-ten Laterne (0 ≤ q ≤ 20) zu bestimmen.
Aggregierte Nachfrage nach Laternen: pc = pi (y) + pj (y) = 40 − 2y
Kostenfunktion: C(y) = 10y
soziales Optimum, wenn sozialer Grenznutzen und Grenzkosten übereinstimmen, also:
pc = C 0 (y)
⇒
(40 − 2y) = 10
⇒
y ∗ = 15
(106)
(b) individuell nutzenmaximierendes Angebot, wenn Grenznutzen und Grenzkosten identisch sind:
pi (yi , yj ) = C 0 (yi )
⇒ (20 − (yi + yj )) = 10
⇒ yi = 10 − yj
yj = 0
⇒
yio = 10
yj = 5
⇒
yio = 5
yj = 10
⇒
yio = 0
⇒
⇒
⇒
U i (y) = 150, C i (yi ) = 100, U i − C i = 50
U i (y) = 150, C i (yi ) = 50, U i − C i = 100
U i (y) = 150, C i (yi ) = 0, U i − C i = 150
Aggregiertes Angebot von 10 ist ein Nash-Gleichgewicht, da es für beide Anwohner nutzenmaximierend ist, bei gegebenem Angebot des anderen Anwohners die Differenz anzubieten.
p
40
30
20
10
5
10
15
20
y
35
(c) (c1) Gesamtnachfrage:
pc =
100
X
(20 − y) = 100(20 − y)
(107)
y ∗ = 199/10
(108)
i=1
100(20 − y) = 10
⇒
(c2) individuelles Angebot:
pi (yi ,
X
y−i )yi
= C 0 (yi )
⇒
yio = 10 −
P
−i
y−i
(109)
−i
Auch wenn es 100 Anwohner gibt, bietet jeder den Differenzbetrag zwischen dem Angebot
der anderen Anwohner und zehn Laternen an und maximiert damit den individuellen Nutzen.
Folglich handelt ist es auch hier um ein Nash-Gleichgewicht, wenn insgesamt zehn Laternen
angeboten werden.
(d) Trittbrettfahrerproblem wird deutlich, wenn man den Nettonutzen betrachtet (z.B. in Aufgabe
(b), analog in (c)). Dieser steigt, je höher das aggregierte Angebot der anderen Anwohner ist. Der
einzelne Akteur maximiert den Nutzen, wenn er keine Laternen anbieten muss und auf Kosten“
”
der anderen Akteure die Beleuchtung der Straße konsumieren kann.
6
36
Theorie asymmetrischer Informationsverteilung
Aufgabe 6.1
Diskutieren Sie unterschiedliche Formen einer asymmetrischen Informationsverteilung und deren Bedeutung!
Aufgabe 6.2 Market for Lemons
Betrachtet werden soll ein Gebrauchtwagenmarkt, auf dem unterschiedliche Qualitäten gehandelt werden.
Die Verkäufer können die Qualität x beobachten, Käufer dagegen kennen lediglich die Durchschnittsqualität bzw. die erwartete Qualität - die Qualität ist aus der Sicht der Käufer eine Zufallsvariable, die durch
X gekennzeichnet werden soll.
Der Käufer weiß, dass vom völlig nutzlosen Unfallwagen (schick lackiert aber es gilt eben doch xl = 0)
bis zum Spitzenmodell (xh = 30000) alle Qualitätsstufen mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten können
- die Qualität ist folglich im Intervall [0, 30000] gleich verteilt.
(a) Die Wertschätzung des Verkäufers (U S ) entspricht der Qualität des PKW, die des Käufers (U D )
liegt α = 0, 10 höher als die des Verkäufers (orientiert sich aber an der erwarteten Qualität).
(a1) Berechnen und skizzieren Sie die Angebots- und die Nachfragefunktion im (x, U i ) - Diagramm.
(a2) Wie viele Autos wechseln den Besitzer?
(a3) Ist das Ergebnis effizient?
(b) Bestimmen Sie unter Verwendung der Ergebnisse aus Teilaufgabe (a) den Mindestwert des Parameters α > 1, mit dem ein völliger Zusammenbruch des Marktes abgewendet werden kann.
(c) Wie sind Institutionen wie der TÜV oder Gebrauchtwagengarantien zu beurteilen? Können diese
das Problem asymmetrischer Informationen auf dem Gebrauchtwagenmarkt mildern?
(d) Würde der Markt zusammenbrechen, wenn weder Käufer noch Verkäufer über die Qualität der
PKW informiert wären?
(a) Es handelt sich asymmetrischer Information auf dem Gebrauchtwagenmarkt.
(a1) Berechnung der Angebots- und der Nachfragefunktion:
∗ Angebotsfunktion: U S = x
∗ Nachfragefunktion:
Z
U D (x) = (1 + α)E{X} = (1 + α)
x
xl
(1 + α)
1
xdx =
x
(x − xl )
2
Skizze des Marktes (U d - solide Linie, U s - gestrichelte Linie):
U
30000
25000
20000
15000
10000
5000
5000
x
10000 15000 20000 25000 30000
(a2) für jede maximale Qualität ist die Zahlungsbereitschaft der Käufer kleiner als der Angebotspreis der Verkäufer ⇒ kein Auto wechselt den Besitzer
(a3) ineffizientes Ergebnis, da die Wertschätzung potenzieller Käufer für jede Qualitätsstufe größer
als die Wertschätzung der Verkäufer ist; es wäre effizient, wenn alle PKW den Eigentümer
wechseln würden
37
(b) Nutzen der Verkäufer entspricht dem Nutzen der Verkäufer ⇔ U d = U s :
x = (1 + α)1/2x
⇒
α=1
Die Wertschätzung der Käufer müsste doppelt so hoch wie jener der Verkäufer sein, damit der
Markt nicht zusammenbricht.
(c) Institutionen, die die Qualität eines Produktes glaubhaft machen, können das Marktversagen lindern; TÜV und Gebrauchtwagengarantien sind solche Institutionen; beachte allerdings auch die
Kosten solcher Institutionen
(d) nein
Aufgabe 6.3 Regulierung eines Monopols mit unbekanntem Kostentyp
Die Nachfrage auf dem Markt für Telefongespräche sei p = a − y, wobei p den Preis und y die Menge
symbolisiert. Der Markt wird von nur einer Telefongesellschaft bedient, das konstante Grenzkosten in
Höhe von c hat. Die Regulierungsbehörde weiß nur, dass der Monopolist mit einer Wahrscheinlichkeit σ
hohe Grenzkosten ch und mit einer Wahrscheinlichkeit 1 − σ niedrige Grenzkosten ch hat (das Unternehmen weiß natürlich, ob es hohe oder niedrige Grenzkosten hat). Ziel der Regulierungsbehörde ist die
Maximierung der sozialen Wohlfahrt. Zwei Instrumente stehen ihr zur Verfügung:
1. Festlegung des Marktpreises entsprechend der bekannt gegebenen Grenzkosten ⇔ p(ĉ)
2. Bestimmung einer Pauschalsubvention in Abhängigkeit der bekannt gegebenen Grenzkosten ⇔ s(ĉ)
(a) Bestimmen Sie die Gewinnfunktion des Monopolisten G(ĉ, c).
(b) Bestimmen Sie die Gewinnfunktion des Monopolisten G∗ (c), wenn er seine wahren Grenzkosten
bekannt gibt.
(c) Bestimmen Sie die Bedingungen für Anreizkompatibilität eines Mechanismus für die Fälle ĉ ∈
{cl , ch }.
(d) Bestimmen Sie die Bedingungen für die individuelle Rationalität des Mechanismus für die Fälle
ĉ ∈ {cl , ch }.
(e) Zeigen Sie, dass folgender Mechanismus das Unternehmen veranlasst, den wahren Kostentyp offenzulegen, anreizkompatibel und individuell rational ist sowie die soziale Wohlfahrt maximiert.
p(ch ) = ch und p(cl ) = cl
s(ch ) ≥ 0 und s(cl ) ≥ 0 solange
(ch − cl )(a − ch ) ≤ s(cl ) − s(ch ) ≤ (ch − cl )(a − cl )
(a) G(ĉ, c) = p(ĉ) − cy + s(ĉ) = [p(ĉ) − c][a − p(ĉ)] + s(ĉ)
(b) G∗ (c) ≡ G(c, c) = [p(c) − c][a − p(c)] + s(c)
(c) wahre Grenzkosten sind ch :
[p(ch ) − ch ][a − p(ch )] + s(ch ) ≥ [p(cl ) − ch ][a − p(cl )] + s(cl )
(110)
wahre Grenzkosten sind cl :
[p(cl ) − cl ][a − p(cl )] + s(cl ) ≥ [p(ch ) − ch ][a − p(ch )] + s(ch )
(111)
(d) wahre Grenzkosten sind ch :
[p(ch ) − ch ][a − p(ch )] + s(ch ) ≥ 0
(112)
[p(cl ) − cl ][a − p(cl )] + s(cl ) ≥ 0
(113)
wahre Grenzkosten sind cl :
(e) Beweis:
38
– Unternehmen (jedes Kostentyps) macht positiven Gewinn, wenn es die Wahrheit sagt, da
s(ch ) ≥ 0 und s(cl ) ≥ 0 (individuelle Rationalität)
– mit p(ch ) = ch und p(cl ) = cl in den Anreizkompatibilitätsbedingungen folgt
(ch − cl )(a − ch ) ≤ s(cl ) − s(ch ) ≤ (ch − cl )(a − cl )
(114)
– um zu verhindern, dass Unternehmen mit niedrigeren Grenzkosten vorgibt, hohe Grenzkosten
zu haben, muss die Pauschalsubvention bei niedrigen Grenzkosten höher sein als bei hohen
Grenzkosten ⇔ s(cl ) > s(ch ).
Aufgabe 6.4 Signalisierung auf dem Arbeitsmarkt
Ein Unternehmen, dass sich einer großen Zahl Bewerber gegenüber. Unter den Bewerbern haben 60%
eine sehr niedrige Produktivität (Typ Θl ), 30% eine mittlere Produktivität (Typ Θm ) und 10% eine sehr
hohe Produktivität (Typ Θh ). Die Erlöse des Unternehmens hängen von nur von der Produktivität des
Bewerbers ab. Pro Person eines bestimmten Typs könne folgende Erträge erwirtschaftet werden:
E(Θl ) = 600000
E(Θm ) = 690000
E(Θh ) = 900000
(115)
Wie schon erwähnt, sind die Erlöse durch den Typ des Bewerbers eindeutig bestimmt. Die Bewerber
können jedoch eine Ausbildung wählen, die Kosten in unterschiedlicher Höhe nach Ausbildungsart und
Typ des Bewerbers verursacht. Es gibt die drei Ausbildungsniveaus e: (k)eine Ausbildung“, (A)bitur“,
”
”
(D)iplom“. Folgende Kosten C(Θi , e) entstehen hierfür:
”
C(Θl , k) = C(Θm , k) = C(Θh , k) ≡ 0
C(Θl , A) = 150000
C(Θm , A) = 80000
C(Θh , A) = 70000
C(Θl , D) = 600000
C(Θm , D) = 400000
C(Θh , D) = 120000
(116)
(117)
(118)
(a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit der jeweiligen Produktivitätstypen?
(b) Angenommen, der Unternehmer zahlt einen Lohn in Höhe der erwarteten Produktivität.
(b1) Wie hoch ist der Lohn?
(b2) Welcher Produktivitätstyp hätte dann eine Ausbildung gewählt?
(c) Das Unternehmen zieht folgende Lebensgehälter in Betracht...
w(k) = 600000
w(A) = 690000
w(D) = 900000
(119)
(c1) Welche Ausbildung wählen die Individuen von Typ Θl , Θm , Θh , wenn sie sich individuell rational verhalten? Um welchen Gleichgewichtstyp handelt es sich? Ist das Gleichgewicht effizient?
(c2) Wie wäre die Effizienz des Gleichgewichts zu beurteilen, wenn durch die Ausbildung die Produktivität gestiegen wäre (Abitur um 5%, Diplom um 10%). Wie hätte ein Signalisierungsgleichgewicht in diesem Fall ausgesehen?
(d) Der Staat erhebt für das Gymnasium eine Gebühr von 15000, ein Diplom erfordert Investitionen von
30000. Welche Auswirkungen haben Schul- bzw. Studiengebühren auf die Ausbildungsentscheidung
der Bewerber unterschiedlicher Typen (Ausbildung hat keine Produktivitätswirkung).
(e) Wie hoch müssten die Gebühren für die Ausbildungsarten mindestens sein, damit sich kein zukünftiger Arbeitnehmer für eine mögliche Ausbildungart entscheidet? Sind Schul- bzw. Hochschulgebühren
in diesem Zusammenhang effizient?
(f) Wie hoch wären die Gewinne/Verluste der einzelnen Typen, wenn die zusätzliche Ausbildung einfach
verboten wird? Wie ist ein Verbot insgesamt zu beurteilen?
(a) Aus den Anteilen Gruppen ergibt sich: σl = 0, 6, σm = 0, 3 und σh = 0,.
(b) Die erwartete Produktivität ist: M ε = 0, 6 · 600000 + 0, 3 · 690000 + 0, 1 · 900000 = 657000.
39
(b1) Die Lohnhöhe ist 657000.
(b2) Kein Bewerber wählt eine Ausbildung, da diese Kosten verursacht ohne zu höherer Entlohnung
zu führen.
(c) Die Kalkulation der Typen ist wie folgt:
(c1)
Θl :
Θm :
Θh :
G(k) = 600000 − 0 = 600000
G(A) = 690000 − 150000 = 540000
G(D) = 900000 − 150000 − 600000 = 150000
⇒ Θl wird keine weitere Ausbildung anstreben.
G(k) = 600000
G(A) = 690000 − 80000 = 610000
G(D) = 900000 − 80000 − 400000 = 420000
⇒ Θm wird das Abitur anstreben.
G(k) = 600000
G(A) = 690000 − 70000 = 620000
G(D) = 900000 − 70000 − 120000 = 710000
⇒ Θm wird das Diplom anstreben.
Es handelt sich um ein separierendes Gleichgewicht (separating equilibrium), da jedem Typ
ein Ausbildungsniveau zugeordnet werden kann und umgekehrt. Man kann folglich aus der
Ausbildung des Bewerbers auf dessen Produktivität zurückschließen. Das Gleichgewicht ist
aber nicht effizient, da Ausbildungskosten anfallen ohne das die Produktivität der Bewerber
steigt.
(c2) Die mittlere Gruppe wählt weiterhin das Abitur. Hier gibt sich ein absoluter Produktivitätszuwachs von 34500, dem Ausbildungskosten von 80000 gegenüber stehen. Die hochproduktive
Gruppe wählt weiterhin das Diplom. Sie erlangt einen Zuwachs von 90000, dem Ausbildungskosten von 190000 gegenüber stehen. Da für beide Gruppen die Produktivitätszuwächse kleiner
sind als die zusätzlichen Ausbildungskosten, ist das Gleichgewicht weiterhin als ineffizient einzustufen.
(d) Betrachtung der Veränderungen für die Gruppen:
Θl : wählt weiterhin k“
”
Θm : wählt jetzt k“ an Stelle von A“
”
”
Θh : wählt weiterhin D“
”
⇒ Separating Gleichgewicht bei drei unterschiedlichen Löhnen und drei unterschiedlichen Gleichgewichtsniveaus kommt nicht mehr zustande.
(e) Um auch Θh zu veranlassen, keine Ausbildung zu wählen, müss die minimale Abiturgebühr 20000
und die minimale Diplomgebühr 90000 betragen. Studiengebühren sind nützlich, insofern diese
ineffiziente Ausbildung verhindern. Letzteres ist hier der Fall, da durch die Ausbildung kein Produktivitätszuwachs erfolgt (aber selbst moderate Zuwächse rechtfertigen die Ausbildung nicht).
(f) Bei einem Ausbildungsverbot erhalten alle den Durchschnittslohn von 657000. Folglich
– profitiert Θl , da 657000 − 600000 = 57000
– profitiert Θm , da 657000 − (690000 − 80000) = 47000
– verliert Θh , da 657000 − (900000 − 70000 − 120000) = −53000
Gewichtung mit der relativen Gruppengröße ergibt:
0, 6 · 57000 + 0, 3 · 47000 + 0, 1(−53000) = 43000
Das Verbot wirkt analog zu prohibitiv hohen Studiengebühren effizienzsteigernd.
40
Aufgabe 6.5 Arbeitsverträge bei Unsicherheit und symmetrischer Information
Ein Unternehmer möchte einen Arbeitnehmer einstellen. Folgende Interaktion im Zeitablauf sei gegeben.
1. Der Unternehmer spezifiziert im Arbeitsvertrag den Lohn w des Arbeitnehmers in Abhängigkeit
des Erlöses E des Unternehmens, also w(E).
2. Der Unternehmer unterbreitet dem Arbeitnehmer ein take-it-or-leave-it“Angebot.
”
3. Der Arbeitnehmer akzeptiert (es geht weiter mit [4]) oder lehnt ab (das Spiel“ ist zu Ende, der
”
Arbeitnehmer arbeitet anderen Orts und a erzielt damit einen Reservationsnutzen U = 10).
4. Nachdem der Arbeitnehmer den Vertrag akzeptiert hat, spezifiziert er seinen Arbeitseinsatz a. Der
Arbeitseinsatz ist entweder ah = 2 oder al = 0.
5. Der Unternehmer beobachtet den Ertrag und zahlt dem Arbeitnehmer den in (1) festgelegten Lohn
w(E).
6. Der Nutzen des Arbeitnehmers ist U = w − e.
(a) Der Erlös sei vom Aktivitätsniveau des Arbeitnehmers wie folgt abhängig: E(ah ) = H und E(al ) =
L. Der Gewinn des Unternehmers ist G = E(ai ) − w. Es wird angenommen, dass H − L so groß ist,
dass sich der Unternehmer immer besser stellt, wenn er den Arbeitnehmer Anreize zu hoher Aktivität gibt. Ziel ist dann die Minimierung des Lohnes w bei Erhaltung des hohen Aktivitätsniveaus
ah .
(a1) Wie hoch muss der Lohn wh des Arbeitnehmers sein, dass sich hohe Aktivität gegenüber
alternativer Beschäftigung lohnt (individuelle Rationalität)?
(a2) Wie hoch muss der Lohn bei hohem Aktiviätsniveau gegenüber dem bei niedrigem Aktivitätsniveau sein (Anreizkompatibilität)?
(a3) Bestimmen Sie den Mindestlohn für ein hohes Aktivitätsniveau aus der individuellen Anreizbedingung und den Höchstlohn für ein niedriges Aktivitätsniveau aus der Anreizkompatibilitätsbedingung!
(a4) Bestimmen Sie den Gewinn des Unternehmers für a = 2 und a = 0. Welcher Zusammenhang
zwischen H und L muss gelten, damit sich der Vertrag für den Unternehmer lohnt?
(b) Erlös und Aktivitätsniveau hängen neben der Anstrengung des Arbeitnehmers nun auch von einer
Zufallskomponente ab. Es gilt daher:
(
H mit Wahrscheinlichkeit σ = 0, 8
E(ah ) =
(120)
L mit Wahrscheinlichkeit (1 − σ) = 0, 2
(
H mit Wahrscheinlichkeit θ = 0, 4
E(al ) =
(121)
L mit Wahrscheinlichkeit (1 − θ) = 0, 6
Der Arbeitnehmer weiß in diesem Fall nicht genau, ob er bei hohem (niedrigem) Aktivitätsniveau
einen hohen (niedrigen) Lohn erhält, da die Wahrscheinlichkeit für einen niedrigen (hohen) Erlös
größer als NULL ist. Der Lohn ist folglich eine Zufallsgröße, die mit Ω bezeichnet wird. Die Nutzenfunktion des Arbeitnehmers ist daher:
(
M Ω − a bei Aktivitätsnivau a
U=
(122)
10 bei alternativer Beschäftigung
M steht hierbei für den Erwartungswert der Zufallsgröße.
(b1) Bestimmen Sie den erwarteten Lohn des Arbeitnehmers für die Fälle ai ∈ {ah , al }.
(b2) Bestimmen Sie die individuelle Rationalitätsbedingung.
(b3) Wie lautet die Anreizverträglichkeitsbedingung?
(b4) Bestimmen Sie die optimale (hohe und niedrige) Lohnhöhe aus der individuellen Rationalitätsbedingung und der Anreizverträglichkeitsbedingung.
41
(c) Vergleichen Sie die erwarteten Lohnzahlungen des Unternehmers der Aufgabenteile (a) und (b),
wenn sich der Arbeitnehmer für ein hohes Aktivitätsniveau entscheidet. Verursacht die Implementierung eine Anreizvertrages in diesem Fall zusätzliche Kosten? Warum (nicht)?
(a) Für den Fall, dass aus dem Erlös mit Wahrscheinlichkeit EINS auf das Aktivitätsniveau zurückgeschlossen werden kann, ergibt sich...
(a1) individuelle Rationalität...
wh − ah ≥ 10
(123)
wh − ah ≥ wl − 0
(124)
(a2) Anreizkompatibilität...
(a3) Aus der individuellen Rationalität folgt wh ≥ 10 + ah = 12. Folglich ist muss wh mindestens
12 sein. Aus der Anreizverträglichkeitsbedingung folgt mit wh = 12: wl ≤ 12 − 2
(a4)
GH = H − wh = H − 12
GL = L − wl = L − 10
⇒ Folglich muss GH ≥ GL sein, damit sich der Vertrag für den Unternehmer lohnt, bzw.
H ≥ L + 2.
(b) Für den Fall, dass aus dem Erlös nicht mit Wahrscheinlichkeit EINS auf das Aktivitätsniveau
zurückgeschlossen werden kann, ergibt sich...
(b1) Die erwarteten Lohnzahlungen sind...
ai = ah :
ai = al :
M Ω = 0, 8 · wh + 0, 2 · wl
M Ω = 0, 4 · wh + 0, 6 · wl
(b2) individuelle Rationalität (IRU) unter Unsicherheit:
0, 8 · wh + 0, 2 · wl − 2 ≥ 10
(b3) Anreizverträglichkeit (AVU) unter Unsicherheit:
0, 8 · wh + 0, 2 · wl − 2 ≥ 0, 4 · wh + 0, 6 · wl − 0
(b4) Aus IRU folgt wl = 60 − 4wh . Aus AVU folgt wl = wh − 5. Folglich ist die optimale Lohnhöhe
für die Realisation L wl = 8 und für die Realisation H wh = 13.
(c) Wenn der Arbeitnehmer ein hohes Aktivitätsniveau wählt und nicht beobachtet werden kann, ist
die erwartete Auszahlung: 0, 8 · 13 + 0, 2 · 8 = 12. Das entspricht der Lohnzahlung, wenn das
Niveau beobachtbar und hoch ist. Die Implementierung des Anreizvertrages ist somit ex-ante (im
Erwartungswert) ohne zusätzliche Kosten möglich.
Aufgabe 6.6 Arbeitsverträge bei Unsicherheit und asymmetrischer Information
Es gelten die Annahmen aus Aufgabe 8.2 - der Unternehmer zahlt wh bei hohem Erlös und wl bei
niedrigem ERlös (wh > wl ). Unternehmer (U) und Arbeitnehmer (A) haben aber nun unterschiedliche
Informationen hinsichtlich der Wahrscheinlichkeit, mit der ein hohes (niedriges) Aktivitätsniveau zum
hohen (niedrigem) Erlös führt. Es gilt:
(
(
H
mit
σ
=
0,
8
H mit θ = 0, 4
RU (ah ) =
RU (al ) =
L mit 1 − σ = 0, 2
L mit 1 − θ = 0, 6
(
H mit σ = 0, 7
RA (ah ) =
RA (al ) = RU (al )
L mit 1 − σ = 0, 3
(125)
(126)
(a) Bestimmen und vergleichen Sie den Erwartungswert des Lohns aus der Perspektive von Unternehmer und Arbeitnehmer für den Fall eines hohen Aktivitätsniveaus seitens des Arbeitnehmers.
42
(b) Bestimmen Sie die Teilnahmebedingung (individuelle Rationalität) des Arbeitnehmers.
(c) Bestimmen Sie die Anreizkompatibilitätsbedingung des Arbeitnehmers.
(d) (Be)Zeichnen Sie beide Bedingungen in ein(em) (wl , wh ) Diagramm.
(e) Bestimmen Sie die erwartete Lohnzahlung des Unternehmers, wenn sich der Arbeitnehmer zuvor
für ein hohes Aktivitätsniveau entschieden hat. Welchen Verlauf hat die Iso-Lohn-Kurve im (wl , wh )
Diagramm.
(f) Welche Lohnkombination (wl , wh ) minimiert die erwartete Lohnzahlung des Unternehmers, wenn
sich der Arbeitnehmer für ein hohes Aktivitätsniveau entschieden hat? Nutzen Sie hierfür das
(wl , wh ) Diagramm. Wie hoch ist dann die erwartete Lohnzahlung des Unternehmers?
(g) Wie hoch sind die Gesamtkosten des Arbeitnehmers, wenn er viel leistet (Opportunitätskosten
der Teilnahme zuzüglich der Kosten des Arbeitsleids)? Vergleichen Sie diese mit der erwarteten
Lohnzahlung. Wie erklärt sich eine mögliche Differenz?
(a) Für die erwartete Lohnzahlung bei hohem Aktivitätsniveau ergibt sich aus der Perspektive...
des Unternehmers: M U Ω = 0, 8 · wh + 0, 2 · wl
des Angestellten: M A Ω = 0, 7 · wh + 0, 3 · wl
⇒ Der erwartete Lohn des Arbeitnehmers ist niedriger als der des Unternehmers.
(b) Teilnahmebedingung des Arbeitnehmers unter Unsicherheit und asymmetrischer Information (IRUA):
0, 7 · wh + 0, 3 · wl − 2 ≥ 10
⇒
wh =
12 − 0, 3wl
0, 7
(c) Anreizkompatibilitätsbedingung des Arbeitnehmers unter Unsicherheit und asymmetrischer Information (AVUA):
0, 7 · wh + 0, 3 · wl − 2 ≥ 0, 4 · wh + 0, 6 · wl − 0
⇒
wh =
20
+ wl
3
(d) (wl , wh ) Diagramm (IRUA - solide Linie, AVUA - gestrichelteLinie):
wh
22
20
18
16
14
12
10
2
4
6
8
10
12
14
wl
(e) minimiere erwartete Lohnzahlung:
minwh ,wl M U Ω = 0, 8wh + 0, 2wl
(wl , wh ) Diagramm mit Iso-Lohn-Funktion (IRUA - solide Linie, AVUA - gestrichelte Linie, IsoLohn-Funktion - graue Linie):
wh
22
20
18
16
14
12
10
2
4
6
8
10
12
14
wl
43
(f) Schnittpunkt aller drei Geraden ergibt die optimale Lohnkombination. Da die erwartete Lohnzahlung des Unternehmers immer kleiner wird, je weiter innen die Iso-Lohn-Funktion liegt, muss das
Minium im Schnittpunkt aller drei Geraden liegen. Zur Bestimmung der Löhne löst man IRUA
und AVUA nach wl bzw. wh auf. Es folgt wh = 14 und wl = 22/3. Die erwartete Lohnzahlung des
Unternehmers für den Fall H ist M U Ω = 12, 66.
(g) Die Gesamtkosten des Arbeitnehmers sind 10 + 2 = 12. Die Differenz zwischen M U Ω = 12, 66 und
12 ist als Kompensation des Arbeitnehmers zu verstehen, den Arbeitsvertrag inklusive des hohen
Aktivitätsniveaus gegenüber einer sicheren Alternative zu bevorzugen (der Arbeitnehmer ist relativ
zum Unternehmer einem höheren Risiko ausgesetzt).

Mikroökonomie 2

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