Eigenschaften der Exponential- und Logarithmusfunktion

Namen:__________________________________
Eigenschaften der Exponential- und
Logarithmusfunktion
Bearbeite die folgenden Aufgaben, wenn nötig mit Hilfe des GeoGebra Applets
„Exponentialfunktion mit allen Parametern“
(http://tube.geogebra.org/material/simple/id/332805)
1) Untersuche den Einfluss der Basis 𝑎 auf den Verlauf des Graphen:

Welche Fälle lassen sich für 𝑎 unterscheiden? Beschreibe jeweils, wie der
Graph verläuft und gib an, welche Art von Prozess damit beschrieben werden
kann.

Welche Eigenschaften kannst du den Graphen ansonsten über
Exponentialfunktionen im Allgemeinen entnehmen?
2) Betrachte die Funktionen
Gib an, für welche x-Werte folgende Beziehungen gelten:



Namen:__________________________________
Kreuze an, welche Aussagen jeweils auf die Funktion zutreffen.
1.
Die Funktion ist exponentiell wachsend.
Die Funktion ist exponentiell fallend.
Der Graph geht durch den Punkt (0/1).
Alle Funktionswerte sind positiv.
Der Graph ist symmetrisch zur y-Achse.
2. v
Die Funktion ist exponentiell wachsend.
Die Funktion ist exponentiell fallend.
Der Graph geht durch den Punkt (0 / 1).
Alle Funktionswerte sind positiv.
Der Graph stellt die Spiegelung von f(x) an der y-Achse dar.
3.
Die Funktion ist exponentiell wachsend.
Die Funktion ist exponentiell fallend.
Alle Funktionswerte sind positiv.
Der Graph ist symmetrisch zur y-Achse.
Der Graph entspricht dem Graphen zu f(x).
Der Graph entspricht dem Graphen zu g(x).
4.
Die Funktion ist exponentiell wachsend.
Die Funktion ist exponentiell fallend.
Der Graph geht durch den Punkt (0 / 1).
Alle Funktionswerte sind positiv.
Der Graph ist eine Spiegelung von f(x) an der x-Achse.
Namen:__________________________________
5.
Die Funktion ist exponentiell wachsend.
Die Funktion ist exponentiell fallend.
Der Graph geht durch den Punkt (0 / 1).
Alle Funktionswerte sind positiv.
Die Steigung des Graphen ist geringer als bei f(x).
6.
Die Funktion ist exponentiell wachsend.
Die Funktion ist exponentiell fallend.
Der Graph geht durch den Punkt (0 / -1).
Alle Funktionswerte sind negativ.
Der Graph ist eine Spiegelung von j an der x-Achse.
Wie musst du die verschiedenen Parameter der Funktion 𝑓(𝑥) = 𝑐 ⋅ 𝑎𝑟⋅𝑥+𝑏 + 𝑑
verändern, damit du die folgenden Transformationen erhältst?

eine Streckung bzw. Stauchung der Funktion in Richtung der y-Achse,
______________________________

eine Verschiebung in Richtung der y-Achse sowie
_______________________________

eine Verschiebung in Richtung der x-Achse und
________________________________

eine Spiegelung an der x-Achse
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Fabian und Christina diskutieren. Christina behauptet: "Ich habe vorhin eine
Entdeckung gemacht. Für Exponentialfunktionen gilt:
und
."
Fabian entgegnet: "Das ist ja wieder mal typisch Mädchen - keine Ahnung von
Mathe!
gibt doch eine Streckung in Richtung der y-Achse und
eine Verschiebung in Richtung der x-Achse an. Das kann doch gar nicht gleich sein!"
Schlichte den Streit: Wer hat Recht? Wähle Beispiele und überprüfe die
Behauptungen mithilfe von einigen selbstgewählten Beispielen
Benutze nun das Applet (http://tube.geogebra.org/material/simple/id/54733)

Welche Fälle lassen sich für 𝑏 unterscheiden? Beschreibe jeweils, wie der
Graph verläuft und gib an, welche Art von Prozess damit beschrieben werden
kann.
Wie du weißt, ist der Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.
Beschreibe anhand einer Skizze wie man graphisch die Funktion 𝑔(𝑥) = ln(𝑥) aus
dem Graph der Funktion 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 bestimmen kann.
Benutze nun das Applet http://tube.geogebra.org/m/2173851
Geben ist die Funktion 𝑓(𝑥) = ln⁡(𝑎⁡𝑥)
Wie würdest du die Änderung des Graphen bei Veränderung des Parameters 𝑎
beschreiben?
Warum ist das so? Kannst du das vielleicht mit den Logarithmus-Rechenregeln
erklären?