Einführung der Exponentialfunktionen mit GeoGebra

U n t e r r i c h t e n m it n eu e n Me d i e n
http://www.lehrer-online.de/url/exponentialfunktion-geogebra
Autoren: Sandra Schmidtpott, Markus Hohenwarter
Einführung der Exponentialfunktionen mit GeoGebra
Dynamische Arbeitsblätter, die mit der kostenfreien Software GeoGebra erzeugt wurden,
ermöglichen eine anschauliche Bearbeitung der Thematik.
Die Einführung in die Exponentialfunktionen erfolgt in dieser Unterrichtseinheit über die Theorie von Thomas Malthus (1766-1834), die auch als „Bevölkerungsgesetz“ bekannt wurde.
Die Theorie stellt Lineare Funktionen und Exponentialfunktionen einander gegenüber. Nach
der Einführung in das Thema findet die Erarbeitung der Eigenschaften von Exponentialfunktionen bis hin zu deren Anwendung im Computerraum statt. Mithilfe dynamischer Arbeitsblätter wird der Einfluss des Wachstumsfaktors auf die Graphen von Exponentialfunktionen in
Partnerarbeit oder in Kleingruppen am Rechner erarbeitet. Der Zusammenhang zwischen
dem Wachstumsfaktor und seinem Kehrwert und der damit verbunden Anwendung der Begriffe Exponentielles Wachstum und Exponentieller Zerfall werden dabei ebenfalls anschaulich
vermittelt.
Lernziele
Die Schülerinnen und Schüler sollen
§
den Unterschied zwischen Linearen Funktionen und Exponentialfunktionen kennen.
§
die Begriffe Wachstumsrate und Wachstumsfaktor kennen und anwenden können.
§
den Unterschied zwischen Linearem Wachstum und Exponentiellem Wachstum (Zerfall)
kennen und aus Anwendungsbezügen das entsprechende Wachstumsmodell bestimmen
können.
§
die Begriffe Anfangswert und Wachstums-(Zerfalls-)faktor kennen und anwenden können.
§
den Einfluss des Wachstumsfaktors a beziehungsweise des Zerfallsfaktors 1/a auf den
Graphen der Exponentialfunktion kennen.
§
die Eigenschaften der Exponentialfunktionen kennen.
§
verschiedene Wachstums-(Zerfalls-)faktoren bestimmen und Funktionsvorschriften angeben können.
Kurzinformation
Thema
Autoren
Fach
Zielgruppe
Zeitraum
Technische Voraussetzungen
© 2005, Schulen ans Netz e.V.
Einführung der Exponentialfunktionen mit GeoGebra
Sandra Schmidtpott, Markus Hohenwarter
Mathematik
Klasse 10
6-8 Unterrichtsstunden
Computer in ausreichender Anzahl (Partner- oder
Kleingruppenarbeit), Beamer, GeoGebra, Java-Plugin
(http://www.java.com/de/download/download_the_late
st.jsp)
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Lehrer-Online
Didaktisch-methodischer Kommentar
Das Bevölkerungsmodell von Malthus
Lineares und Exponentielles Wachstum
Der thematische Einstieg erfolgt mithilfe der Theorie von Thomas Malthus (1766-1834), einem Pastor aus England, der sich vor mehr als 200 Jahren Gedanken zum Wachstum der
Weltbevölkerung und der Sicherung ihrer Ernährung machte. Seine Hauptthese besagt, dass
Bevölkerungswachstum grundsätzlich exponentiell, das Wachstum der verfügbaren Nahrungsmittelressourcen jedoch stets linear verlaufe. Demnach komme es früher oder später
zu einem Überschreiten der Tragfähigkeitsgrenze (Hintergrundinformationen dazu finden Sie
zum Beispiel bei Wikipedia (http://de.wikipedia.org/wiki/Bev%C3%B6lkerungswachstum). In
seiner Theorie werden auf eine für Schülerinnen und Schüler sehr anschauliche Weise Lineares und Exponentielles Wachstum einander gegenübergestellt. Mithilfe der dazu entwickelten dynamischen Arbeitsblätter, in die GeoGebra-Applets eingebunden sind, können die Unterschiede zwischen den beiden Wachstumsmodellen leicht erarbeitet werden.
Einsatz der dynamischen Arbeitsblätter
Mit dem ersten Malthus-Arbeitsblatt lernen die Schülerinnen und Schüler die direkte Anwendung von Exponentialfunktionen und deren Nutzen kennen. Insbesondere die Begriffe Verdoppelungszeit und Halbierungszeit werden eingeführt und gefestigt. Mit der Überprüfung
der angegebenen Wachstumsraten wird das Lösen von Gleichungen geübt. Die Arbeit mit
der ersten Seite des Online-Materials zu Malthus erfolgt im Unterrichtsgespräch per Laptop
und Beamer. Die wesentlichen Ergebnisse werden an der Tafel festgehalten. Die Arbeit mit
den beiden folgenden Malthus-Seiten erfolgt dann in Partnerarbeit beziehungsweise in
Kleingruppen aus je drei Lernenden pro Rechner. Die Ergebnisse werden im Heft gesichert.
§
Das Bevölkerungsmodell von Malthus
http://www.geogebra.at/de/examples/malthus/malthus01.htm
Drei dynamische Arbeitsblätter mit interaktiven GeoGebra-Applets.
Erfahrungen aus dem Unterricht
Die Schülerinnen und Schüler haben diese Thematik in meinem Unterricht als anregend
empfunden und waren bei der Diskussion der Verdoppelungszeit (insbesondere der der
Entwicklungsländer und Deutschlands) sehr engagiert. Sie arbeiteten mit den OnlineArbeitsblättern motiviert und konzentriert. Einige Schülerinnen und Schüler haben zwar zunächst lieber mit den Schiebereglern der Applets „gespielt“, anstatt konstruktiv zur Ergebnisfindung beizutragen. Durch den intensiven Einsatz von GeoGebra ist diese Faszination des
Schiebereglers im Unterrichtsverlauf aber schnell verschwunden.
Verzinsung und Exponentialfunktionen
Einsatz der dynamischen Arbeitsblätter
Mit einem dynamischen Arbeitsblatt zur Verzinsung wird der Einfluss des Wachstumsfaktors
noch einmal sehr anschaulich und leicht nachvollziehbar aufgezeigt. Die Darstellungsmöglichkeiten, die die GeoGebra-Schieberegler dabei bieten, bewähren sich dabei einmal mehr.
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Verzinsung
http://www.geogebra.at/de/examples/exp/verzinsung.html
Mithilfe von Exponentialfunktionen wird die Vermehrung von Kapital dargestellt.
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Exponentialfunktion
http://www.geogebra.at/de/examples/exp/exp01.html
Beschreibung von Wachstumsprozessen mit Exponentialfunktionen.
Die dynamischen Arbeitsblätter der Unterrichtseinheit können Sie auf der GeoGebraHomepage herunterladen (http://www.geogebra.at).
© 2005, Schulen ans Netz e.V.
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Lehrer-Online
Zusatzinformationen
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Dynamische Mathematik mit GeoGebra
http://www.lehrer-online.de/url/geogebra
Vorstellung der Software mit einer Übersicht über alle Lehrer-Online-Unterrichtseinheiten
mit GeoGebra.
Informationen zu den Autoren
Sandra Schmidtpott (schmidtpott@lehrer-online.de)
unterrichtet die Fächer Mathematik und Geographie an der Elsa-Brändström-Schule
(http://www.ebs-hannover.de) in Hannover und unterstützt die Redaktion von Lehrer-Online
als Fachberaterin.
Markus Hohenwarter (Markus.Hohenwarter@sbg.ac.at)
ist zurzeit Dissertant an der Abteilung für Didaktik der Mathematik
(http://www.sbg.ac.at/did/main_mathe.html), Universität Salzburg. Sein Dissertationsprojekt
GeoGebra wird von der Österreichischen Akademie der Wissenschaften gefördert.
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