Vom Fussball zum Flugzeug - Moodle Lernplattform der ZHAW

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Vom Fussball zum Flugzeug
Vom Abstoss eines Fussballs zur Flugbahn eines Flugzeugs unter
Berücksichtigung von Windscherungen.
KST
Maturaarbeit 2011
Philipp Bischof
Betreuer: Herr Bertram Reichardt
Hilfestellung: Prof. Werner Maurer
Philipp Bischof
Inhaltsverzeichnis
1.
EINLEITUNG ..................................................................................................................... 1
2.
SYSTEMPHYSIK ............................................................................................................... 2
3.
4.
2.1.
KARLSRUHER PHYSIKKURS ........................................................................................ 2
2.2.
SYSTEMDYNAMIK ...................................................................................................... 2
2.3.
BILANZ ..................................................................................................................... 3
2.4.
ROLLE DER ENERGIE ................................................................................................. 4
2.5.
KONSTITUTIVE GESETZE............................................................................................ 4
BERKELEY MADONNA ....................................................................................................... 5
3.1.
ELEMENTE ................................................................................................................ 5
3.2.
BEISPIEL .................................................................................................................. 7
3.2.1.
FLUSS UND MENGE ............................................................................................ 7
3.2.2.
KONSTRUKTION FLUSS UND MENGE? .................................................................. 9
ABSTOSS EINES FUSSBALLS ........................................................................................... 10
4.1.
TECHNISCHE DATEN:............................................................................................... 10
4.2.
MODELLIEREN DES ABSTOSSES ............................................................................... 11
4.2.1.
GRUNDLAGEN .................................................................................................. 11
4.2.2.
IMPULS ............................................................................................................ 12
4.2.3.
GESCHWINDIGKEIT ........................................................................................... 13
4.2.4.
WIDERSTANDSKRAFT ....................................................................................... 14
4.2.5.
GEWICHTSKRAFT ............................................................................................. 16
4.3.
5.
KOMPLETTER ABSTOSS ........................................................................................... 16
HINZUFÜGEN DER ROTATION .......................................................................................... 18
5.1.
TECHNISCHE DATEN................................................................................................ 20
5.2.
MAGNUS-EFFEKT .................................................................................................... 21
5.3.
MODELLIEREN DES ABSTOSSES MIT ROTATION ......................................................... 22
5.3.1.
5.4.
6.
MAGNUSKRAFT ................................................................................................ 22
KOMPLETTER ABSTOSS MIT ROTATION ..................................................................... 26
VOM FUSSBALL ZUM FLUGZEUG ...................................................................................... 27
6.1.
DATEN EINER CESSNA 172 ...................................................................................... 27
6.2.
DREI WICHTIGE W INKEL ........................................................................................... 28
6.3.
WIND ..................................................................................................................... 29
6.4.
AUFTRIEB UND W IDERSTAND ................................................................................... 30
6.5.
CW UND CA ..............................................................................................................
6.6.
HORIZONTALFLUG ................................................................................................... 35
6.7.
SCHUBKRAFT .......................................................................................................... 37
6.8.
LUFTDICHTE ........................................................................................................... 38
31
7.
Philipp Bischof
VERSUCHE: W INDSCHERUNGEN ...................................................................................... 38
7.1.
DEFINITION W INDSCHERUNG ................................................................................... 38
7.2.
ABWIND .................................................................................................................. 39
7.3.
AUFWIND ................................................................................................................ 41
7.4.
GEWITTERWOLKE.................................................................................................... 42
8.
SCHLUSSWORT .............................................................................................................. 45
9.
LITERATURVERZEICHNIS ................................................................................................. 46
9.1.
BÜCHER ................................................................................................................. 46
9.2.
INTERNETARTIKEL ................................................................................................... 46
9.3.
MÜNDLICHE MITTEILUNGEN ......................................................................................
47
10.
ABBILDUNGSVERZEICHNIS ........................................................................................... 48
11.
ANHANG:.................................................................................................................... 49
11.1.
ZEICHENERKLÄRUNG ........................................................................................... 49
11.2.
FLOWCHART FLUGZEUG ....................................................................................... 50
11.3.
EQUATIONS ......................................................................................................... 54
11.3.1.
ABSTOSS OHNE ROTATION ............................................................................ 54
11.3.2.
ABSTOSS MIT ROTATION ............................................................................... 55
11.3.3.
FLUGZEUG ................................................................................................... 57
Philipp Bischof
Vorwort
Mir war von Anfang an klar, dass meine Maturaarbeit etwas mit dem Fliegen zu tun haben
sollte. Ich bin seit ein paar Jahren fasziniert vom Fliegen. In den Herbstferien des Jahres
2009 durfte ich einen zweiwöchigen SPHAIR-Kurs in Altenrhein besuchen. SPHAIR ist der
militärische Vorunterricht für Piloten. Ich hatte eine solche Freude, dass ich dreiviertel Jahre
später meine Privat-Piloten-Lizenz (PPL) erworben habe. Ebenfalls wichtig war mir, nicht
einfach Stoff aus verschiedenen Quellen zusammenzufassen, sondern damit zu arbeiten.
Viele Vorschläge, die ich meinem Physiklehrer, Herrn Bertram Reichardt unterbreitet habe,
waren leider zu kompliziert oder gaben zu wenig zu schreiben. Herr Reichardt empfahl mir
darum, mit Herrn Prof. Werner Maurer von der ZHAW in Winterthur Kontakt aufzunehmen.
Herr Maurer bietet Hilfe für Maturaarbeiten im Bereich der Aerodynamik an. Er machte mir
den Vorschlag, die Flugbahn eines Flugzeugs zu modellieren, vereinfacht auf die zweite Dimension und damit das Verhalten eines Flugzeugs in einer Windscherung zu untersuchen.
Ich fand dies eine gute Idee und nahm den Vorschlag gerne an.
An dieser Stelle möchte ich Herrn Bertram Reichardt für seine Unterstützung und Vermittlung
danken. Ebenso Herrn Werner Maurer, der sich Zeit genommen hat und mir beim Modellieren wertvolle Tipps und Hinweise geben konnte.
Philipp Bischof
1. Einleitung
In dieser Maturaarbeit geht es um die vereinfachte Modellbildung von einer Flugbahn eines
Flugzeugs mit dem Programm Berkeley Madonna. Weiter werden mit dem Modell des Flugzeugs Versuche zu dessen Verhalten in Windscherungen durchgeführt.
Um zum Modell vom Flugzeug zu gelangen, wird der Weg über die Modellierung eines Abstosses von einem Fussball beschrieben. Die Problemstellung beinhaltet, dass das Modell
möglichst nahe an der Realität bleibt und trotzdem nicht zu kompliziert wird. Das Ziel dieser
Arbeit ist, ein besseres Verständnis für das Verhalten eines Flugzeugs in verschiedenen
Strömungsarten (Windscherungen) zu gewinnen, weil die Strömungslehre ein sehr komplexes Gebiet in der Physik darstellt. Die Ausführungen sollen auch zum besseren Verständnis
von systemdynamischen Modellen führen.
Das Modellieren baut auf der SystemPhysik auf. Bei der SystemPhysik sowie auch beim
Programm Berkeley Madonna, werden die wichtigsten Zusammenhänge erklärt.
1
Philipp Bischof
2. SystemPhysik
Die Physik der dynamischen Systeme oder einfach die SystemPhysik bezieht sich auf den
Karlsruher Physikkurs, benutzt die systemdynamische Modellierungstechnik und bedient sich
der mathematischen Sprache der Kontinuumsphysik. Das Fundament bildet die Bilanz, die
Rolle der Energie und die konstitutiven Gesetze.1
2.1.
Karlsruher Physikkurs
Der Karlsruher Physikkurs ist ein Vorschlag zur Neustrukturierung des Physikunterrichts. Als
Ausgangspunkt werden mengenartige Grössen und die jeweiligen Potentiale, sowie die Aufstellung von Bilanzgleichungen gewählt.2
2.2.
Systemdynamik
Die Anfänge der Systemdynamik oder System Dynamics stammen aus Amerika. Entwickelt
wurde die Methodik zur ganzheitlichen Modellbildung und Simulation komplexer dynamischer
Systeme von Jay W. Forrester an der Solan School of Management des Massachusetts Institute of Technology.
Bei der Systemdynamik ist die Identifikation und Untersuchung in geschlossenen Wirkungsketten massgebend. Diese werden im Englischen als Feedback Loops bezeichnet. Es gibt
zwei Arten von Loops die einen mit positiver (reinforcing loops), die anderen mit negativer
(balancing loops) Rückkopplung. Die Dynamik wird bei der positiven Rückkopplung verstärkt
und bei der negativen Rückkopplung abgeschwächt.
Zum besseren Verständnis werden die dynamischen Systeme als Modell in einem Systemdiagramm (Flowchart) dargestellt und anschliessend simuliert. Das Systemdiagramm ist eine
grafische Oberfläche. Auf dieser Oberfläche werden die grundlegenden Systemzusammenhänge durch Speicher (Stocks, Reservoirs) und Ströme (Flows) dargestellt. Verbindungen
oder Rückkopplungen zwischen den einzelnen Elementen werden mit Wirkpfeilen (Arrows,
Arcs) geknüpft. Mit sogenannten Zusatzelementen (Auxilliaries, Formula) werden weitere
Rückkopplungen gemacht. Mit Simulationsprogrammen wie STELLA, Berkeley Madonna,
Vensim oder Powersim werden die modellierten, dynamischen Systeme mit numerischen
Algoritmen simuliert. Mehrere Simulationen mit unterschiedlichen Parametern bezüglich der
Anfangsbedingungen fördern das Verständnis des komplexen Systems sowie die Wirkung
1
Maurer, Werner, Physik der dynamischen Systeme,
http://www.systemdesign.ch/index.php?title=Physik_der_dynamischen_Systeme, 12.12.10, 11:40.
2
Maurer, Werner, Karlsruher Physikkurs,
http://www.systemdesign.ch/index.php?title=Physik_der_dynamischen_Systeme, 28.12.10, 11:15.
2
Philipp Bischof
einzelner Parameter und Anfangsbedingungen auf das ganze System. Verschiedene Simulationen werden auch als Runs bezeichnet.3
2.3.
Bilanz
Abb. 1: Bilanz:
Beispiel in Berkeley Madonna
In der klassischen Physik kennt man acht bilanzierbare Grössen: Energie, Masse, Volumen,
Impuls, Drehimpuls, elektrische Ladung, Entropie und Stoffmenge. Diese acht Grössen werden als Reservoirs dargestellt. Die Masse, der Impuls, der Drehimpuls sowie die elektrische
Ladung bleiben bei allen Prozessen erhalten.
Die Bilanz in einem System besagt, dass die Summe aller Stromstärken zusammen mit der
Quellenstärke und der Erzeugungsrate (Produktionsrate) gleich der Änderungsrate des Inhaltes ist.4
3
Maurer, Werner, http://www.systemdesign.ch/index.php?title=System_Dynamics, 12.12.10, 11:40.
4
Maurer, Werner, http://www.systemdesign.ch/index.php?title=System_Dynamics, 12.12.10, 11:40.
3
2.4.
Philipp Bischof
Rolle der Energie
Die Energie hat in einem dynamischen System eine klar definierte Rolle. Gespeichert ist die
Energie als innere Energie, Bewegungsenergie oder als potentielle Energie. Die Energie wird
durch mindestens eine mengenartige Grösse ausgetauscht.
Menge
Einheit
Potential
Einheit
Masse
kg
Gravitationspotential
Volumen
m3
Druck
Pa
Impuls
Ns
Geschwindigkeit
m/s
Nms
Winkelgeschwindigkeit
1/s
Ladung
C
Elektrisches Potential
J/C
Entropie
J/K
Temperatur
Stoffmenge
Mol
Chemisches Potential
Drehimpuls
2.5.
J/kg
K
J/mol
Konstitutive Gesetze
Es gibt drei konstitutive Gesetze:
Das kapazitive Gesetz ordnet der gespeicherten Menge ein Potenzial zu.
Das resistive Gesetz stellt zwischen Stromstärke und Potenzialdifferenz einen Zusammenhang her.
Das induktive Gesetz stellt zwischen der Änderungsrate der Stromstärke und Potenzialdifferenz einen Zusammenhang her.5
5
Maurer, Werner, http://www.systemdesign.ch/index.php?title=Physik_der_dynamischen_Systeme,
12.12.10, 11:40.
4
Philipp Bischof
3. Berkeley Madonna
Berkeley Madonna ist ein Programm mit dem man dynamische Systeme modellieren und
berechnen kann. Entweder man modelliert ein dynamisches System auf einer grafischen
Oberfläche, die sich Flowchart nennt, oder man gibt die Differentialgleichung direkt in das
Berechnungsfenster ein. Die zweite Variante ist nur zu empfehlen wenn man die Beziehungen zwischen den einzelnen Komponenten schon kennt.6
Abb. 2: Flowchart
3.1.
Elemente
Die bilanzierbaren Grössen werden mit Reservoirs dargestellt. Die Reservoirs werden auch als Bestandesgrösse,
Stock oder umgangssprachlich Topf bezeichnet. In die Reservoirs kann man eine Anfangsgrösse oder eine Formel
eingeben.
Abb. 3: Reservoir
In die Reservoirs hinein oder hinaus werden sogenannte Flows (Flussgrössen) gezogen. In diese
Flows kann man auch Formeln oder Werte eingeben.
Ein Flow in ein Reservoir wird zum Wert im Reservoir
addiert und ein Flow aus dem Reservoir wird subtra-
Abb. 4: Flow
hiert. Das Programm formuliert eine Bilanz. Die Vorzeichen werden automatisch gesetzt, das heisst, einem Flow in das Reservoir hinein wird ein
6
Stark, Ulrich, Simulation mit Madonna, http://www.ls-bw.de/beruf/projektg/hls/mitteil/05_4_10.pdf,
21.11.10, 12:17.
5
Philipp Bischof
positives Vorzeichen zugewiesen. Bei einem Flow aus dem Reservoir hinaus wird ein negatives Vorzeichen zugewiesen.
Die kugelförmigen Gebilde heissen in Berkeley Madonna Formula. In diese Formula gibt man Anfangswerte, Parameter oder eine
Funktion ein.
Abb. 5: Formula
Mit den Arcs, kleinen schwarzen Pfeilen, kann man die Formulas, Reservoirs und Flows mit
einander verbinden. Verbindet man eine
Formula mit einem Reservoir so wird der
Parameter oder Anfangswert, der in der
Formula steht, auch im Reservoir angezeigt
und man kann mit ihnen dort weiterrechnen.
Darum heissen die Arcs auch Action Connector oder Information.7
Abb. 6: Arc
Weiter gibt es noch ein sogenanntes Submodell. Dieses
dient der Übersicht. Wenn man ein Submodell erstellt,
entsteht eine neue Flowchart in der man das Untermodel,
wie das Wort schon sagt, erstellen kann. Diese neue
Flowchart ist mit der ersten verbunden.
Abb. 7: Submodell
Für jedes Reservoir, Formula oder Flow kann man ein Double (alias) erstellen. Diese Doubles enthalten den gleichen Wert oder die
gleiche Formel und haben auch die gleiche grafische Form wie die
ursprünglichen Reservoirs, Formulas oder Flows. Sie haben lediglich eine etwas hellere Farbe. Diese Doubles verhelfen zu einer
Abb. 8: Double
besseren Übersicht, weil man kürzere Arcs machen kann und nicht von einem Ende der
Flowchart zum anderen Arcs machen muss.8
7
Maurer, Werner, Einführung in die Systemphysik,
https://cast.switch.ch/vod/clips/15tc4ljkvb/flash.html, 12.12.10, 11:40.
8
Macey, Robert/Oster, George/Zahnley, Tim, Berkeley Madonna User’s Guide,
http://mcb.berkeley.edu/courses/mcb137/exercises/madonnamanual.pdf, 09.10.10, 14:26, S. 54-55.
6
3.2.
Philipp Bischof
Beispiel
Ein Beispiel soll helfen zu verstehen was Berkeley Madonna mit einem Modell macht.
3.2.1. Fluss und Menge
Als erstes Beispiel nehmen wir eine Menge dargestellt durch ein Reservoir. Dieses hat zwei
Zuflüsse und einen Abfluss. Die Menge hat den Anfangswert 1000. Zum besseren Verständnis kann angenommen werden, dass diese Menge ein Stausee mit zwei Zuflüssen und einem Abfluss ist.
Abb. 9: Flowchart Stausee
Der eine Zufluss ist zum Beispiel ein Gletscherbach, der momentan konstant 50 m3/s Wasser
in den Stausee bringt. Der zweite Zufluss ist ein Bergbach, der schwankend Wasser bringt
und durch eine Sinus-Funktion dargestellt wird. Dies ist nicht ganz korrekt, da eine SinusFunktion auch ins Negative gehen kann. Die Bezeichnung Bergbach ist nur zur besseren
Vorstellung gedacht, eigentlich ist es ein Mengenstrom. Der Ausfluss aus dem Stausee wird
als linear wachsende Funktion dargestellt. Momentan wird die Schleuse geöffnet.
Modelliert man das Modell wie in Abb. 9, dann schreibt Berkeley Madonna folgende Gleichungen auf:
{Top model}
{Reservoirs}
d/dt (Stausee) = + Gletscherbach + Bergbach - Ausfluss
INIT Stausee = 1000
{Flows}
Gletscherbach = 50{Zufluss pro Sekunde}
Bergbach = 50*cos(0.5*time)
Ausfluss = 0.05*time
{Globals}
{End Globals}
7
Philipp Bischof
Berkeley Madonna formuliert die Bilanz in den Reservoirs. Zu sehen unter {Reservoirs}. Änderungsrate der Menge ist gleich den Zuflüssen minus den Abflüssen. Unter dem Titel Flows
sieht man die eingegebenen Gleichungen oder Mengen in den Flows.9
Abb. 10: Diagramm Inhalt Stausee in m3
9
8
Philipp Bischof
3.2.2. Konstruktion Fluss und Menge?
Bei einer einfachen Konstruktion von einer Menge mit einem linearen Zufluss, wird der Zufluss über die Zeit integriert und ergibt die Menge.
Abb. 11: Menge mit Zufluss
Dies sieht man sehr schön beim Diagramm. Eine lineare Funktion, die integriert wurde, ergibt
eine Parabel. 10
Abb. 12: Diagramm Menge und Zufluss
10
9
Philipp Bischof
4. Abstoss eines Fussballs
Bevor man das Flugzeug modelliert, kann man sich zuerst dem Abstoss eines Fussballs annehmen. Das Modell des Fussballs ist leichter zu verstehen und weniger komplex als das
Modell des Flugzeugs. Dennoch ist das Modell vom Fussball sehr ähnlich aufgebaut wie
dasjenige des Flugzeugs. Vom Modell des Fussballs zum Modell des Flugzeugs sind es nur
noch ein paar wesentliche Änderungen.11
Abb. 13: Kompletter Abstoss des Fussballs
4.1.
Technische Daten:
Einheiten
Formelzeichen
Formelzeichen im
Wert
Programm
Masse
m
m
0.44 kg
Oberfläche vom Ball
A
A
0.038 m2
dimensionsloser
cw
cW
0.2
Luftdichte
ρ
Rho
1.2 kg/m3
Anfangsgeschwindigkeit
v0
v0
30 m/s
γ0 (Grad)
Gamma Grad 0
45˚
Widerstandsbeiwert
Abschusswinkel
Bemerkung: Alle Werte immer in SI-Einheiten!12
11
Maurer, Werner, mündliche Mitteilung 21.06.10.
12
Maurer, Werner, Bild:Fussball SD.Jpg,
http://www.systemdesign.ch/index.php?title=Bild:Fussball_SD.jpg, 03.12.10, 13:04.
10
4.2.
Philipp Bischof
Modellieren des Abstosses
Der Fussball wird nur in der zweiten Dimension modelliert, wie auch später das Flugzeug.
Das vereinfacht die Darstellung und kommt nahe an die Realität heran. Das heisst die xAchse ist als Horizontale definiert und die y-Achse als die Höhe.
Die Kräfte, Geschwindigkeiten und Impulse des Balls werden in x- und y-Richtung aufgeteilt.
Der Hauptteil des Programms besteht aus den x- und y-Impulsen (Px, Py), den Geschwindigkeiten in x- und y-Richtung (vx,vy) sowie den x- und y-Koordinaten (x,y), der Position des
Balls. 13
4.2.1. Grundlagen
Die x- und y-Impulse werden als zwei Reservoirs auf der Flowchart dargestellt. Beim xImpuls px wird die Widerstandskraft in x-Richtung FWx abgezogen. Das heisst, FWx wird als
ein Flow aus dem Reservoir px hinaus dargestellt.
Dasselbe wird beim y-Impuls py gemacht. Allerdings wird dort die Widerstandskraft in yRichtung FWy als Flow aus dem Reservoir py hinaus dargestellt wird. Beim y-Impuls wird noch
die Gewichtskraft FG abgezogen, die nur in der y-Richtung wirkt. Dies ist die „Impulsebene“.14
Abb. 14: Impulsebene Abstoss
13
Maurer, Werner, mündliche Mitteilung, 21.06.10.
14
Maurer, Werner, mündliche Mitteilung, 21.06.10.
11
Philipp Bischof
Die Geschwindigkeit wird über die Zeit integriert und daraus folgt jeweils die x- oder yKoordinate des Aufenthaltsortes des Balls (x, y Anfangswert = 0):
Abb. 15: Geschwindigkeit und Position des Balls
4.2.2. Impuls
Für den Impuls braucht man die Masse m und die Anfangsgeschwindigkeit v0:
(Gl. 4.2.2.1)
Um den Impuls in x- und y-Richtung zu zerlegen braucht man den Abschusswinkel Gamma
Grad 0
. Dieser muss zuerst in das Bogenmass umgerechnet werde, weil das Pro-
gramm nur im Bogenmass rechnet. Es gilt:
(Gl. 4.2.2.2)
Der Winkel Gamma
ist zwischen der Anströmung und der Horizontalen (x-Achse). Dieser
Winkel ist der gleiche wie der zwischen der Horizontalen und dem Impuls p.
Abb. 16: Impulsvektoren
Die x-Komponente vom Impuls px errechnet sich aus:
(Gl. 4.2.2.3)
Die y-Komponente vom Impuls py errechnet sich aus:
12
Philipp Bischof
(Gl. 4.2.2.4)
Die oben stehenden zwei Gleichungen kommen in das jeweilige Reservoir px und py.
4.2.3. Geschwindigkeit
Die Geschwindigkeit rechnet sich aus dem Impuls dividiert durch die Masse m
(Vgl. Gl. 3.2.2.1):
(Gl. 4.2.3.1)
(Gl. 4.2.3.2)
Hier werden die oben stehenden Gleichungen in die jeweiligen Flows vx und vy eingegeben.
13
Philipp Bischof
4.2.4. Widerstandskraft
Die Widerstandskraft ist in Anströmungsrichtung und berechnet sich aus:
(Gl. 4.2.4.1)15
Die Widerstandskraft berechnet sich beim Fussball genauso wie beim Flugzeug.16
Auch die Widerstandskraft wird in x- und y-Komponenten zerlegt. Die Widerstandskraft wirkt
in der Anströmrichtung auf den Fussball. Das heisst, dass die Widerstandskraft genau gegen
die Flugrichtung des Balls wirkt, wenn man von einer windstillen Situation ausgeht. Gamma
ist der Winkel zwischen der Anströmung und der Horizontalen.
Abb. 17: Widerstandskraftvektoren
Aus der Abbildung 17 folgt, dass man die Widerstandskraft in x-Richtung FWx wie folgt berechnet:
(Gl. 4.2.4.2)
Winkelfunktionen wie Sinus, Cosinus oder Tangens können im Programm zu Problemen
führen. Deswegen bedient man sich eines Tricks. Es gilt, wenn man die Geschwindigkeit in
x- und y-Richtung aufteilt:
(Gl. 4.2.4.3)
15
Maurer, Werner, Fussball, http://www.systemdesign.ch/index.php?title=Fussball, 03.12.10, 12:55.
16
Bohl, Willi/Elmendorf, Wolfgang,Technische Strömungslehre, 14.Auflage,Würzburg 2008, S.294.
14
Philipp Bischof
Ersetzt man nun ein v vom v2 der Gleichung 4.2.4.2 durch die obenstehende Gleichung
4.2.4.3, so kürzt sich
weg und es ergibt sich:
(Gl. 4.2.4.4)
Das Gleiche kann man für die Widerstandskraft in y-Richtung FWy machen. Dort ist es ein
der sich weg kürzt:
(Gl. 4.2.4.5)
Das einzige was FWx und FWy unterscheidet, ist jeweils die entsprechende Geschwindigkeit vx
oder vy. Deswegen wird im Programm der Einfachheit halber zuerst der „Widerstandswert“
(willkürliche Bezeichnung) berechnet. Dieser setzt sich aus derselben Formel ohne die jeweiligen Komponenten vx oder vy zusammen.
(Gl. 4.2.4.6)
Die Gleichung für den Widerstandswert wird in die Formula Widerstandswert eingegeben.
Abb. 18: Widerstandswert
Erst nachher, bei den Flows FWx und FWy, wird der Widerstandswert mit der entsprechenden
Geschwindigkeit vx oder vy multipliziert:
(Gl. 4.2.4.7)
(Gl. 4.2.4.8) 17
17
15
Philipp Bischof
4.2.5. Gewichtskraft
Als Letztes wird noch die Gewichtskraft beigefügt. Sie wird als Flow hinaus aus dem yImpuls py dargestellt und berechnet sich aus:
(Gl. 4.2.5.1)
4.3.
Kompletter Abstoss
Abb. 19: Kompletter Abstoss des Fussballs
Das ist die Flowchart des funktionierenden Programms. Den Quellcode findet man im Anhang unter Equations →Abstoss ohne Rotation. Es gilt zu beachten, dass der Aufschlag, das
heisst, das Auftreffen des Fussballs auf dem Boden, nicht modelliert wurde. Der Fussball fällt
nach Erreichen des Bodens (y = 0) weiter. Das hat für das Flugzeug keine weiteren Folgen,
weil beim Flugzeug die Simulation in einer bestimmten Höhe beginnt.
16
Philipp Bischof
Abb. 20: Abschusskurve des Fussballs
17
Philipp Bischof
5. Hinzufügen der Rotation
Meistens wird der Fussball beim Abstoss nicht zentral vom Fuss getroffen. Somit wird dem
Fussball nicht nur ein Impuls sondern auch ein Drehimpuls zugeführt. Aus diesem Drehimpuls resultiert eine Magnuskraft, die für Auftrieb sowie auch für Abtrieb sorgen kann.18
Abb. 21: Kompletter Abstoss mit Rotation
18
18
Philipp Bischof
Abb. 22: Submodel: Widerstandswert und
Magnuswert
(Abb. 21 rot umkreist)
19
5.1.
Philipp Bischof
Technische Daten
Die technischen Daten bleiben dieselben wie beim Abstoss ohne Rotation. Dazu kommt ein
cM Wert, der Durchmesser des Balls d und eine Winkelgeschwindigkeit . Die Oberfläche
des Balls wird neuerdings nicht als Wert eingegeben sondern rechnet sich aus dem Durchmesser. Es ergibt sich aber der gleiche Wert.
Einheiten
Formelzeichen
Formelzeichen im
Wert
Programm
Masse
m
m
0.44 kg
Oberfläche vom Ball
A
A
0.038 m2
dimensionsloser
cw
cW
0.2
Luftdichte
ρ
Rho
1.2 kg/m3
v0
v0
30 m/s
γ0 (Grad)
Gamma Grad 0
45˚
Winkelges
60 1/s
Widerstandsbeiwert
Abschusswinkel
Durchmesser
d
d
0.22m
Dimensionsloser Mag-
cM
cM
0.15
nusbeiwert
Bemerkung: Alle Werte immer in SI-Einheiten!19
19
Maurer, Werner, Bild:Fussball 2SD.jpg,
http://www.systemdesign.ch/index.php?title=Bild:Fussball_2SD.jpg, 29.12.10, 14:00.
20
5.2.
Philipp Bischof
Magnus-Effekt
Wenn ein Fussball in der Luft rotiert nimmt er je nach
Richtung der Drehachse eine andere Flugbahn ein.
Entweder taucht er ab, bleibt länger als erwartet in der
Luft oder bricht seitlich weg. Dies führt dazu, dass ein
Fussballer seinen Eckball gleich direkt verwerten kann.
Um den Magnus-Effekt zu erklären, wird die reale
Strömung durch eine Strömung ohne Reibung, und das
den Körper umgebende Medium wird durch ein inkompressibles Fluid ersetzt. Die Strömung, die den
rotierenden Körper umgibt, setzt sich aus einer Potenzialströmung (Abb. 23: oberstes Bild) und einem Potentialwirbel (Abb. 23: mittleres Bild) zusammen. Bei
der Potentialströmung ist die Winkelgeschwindigkeit
überall gleich Null. Auch beim Potentialwirbel gibt es
keinen weiteren Wirbel. Vereinfacht gesagt fliesst
durch die Rotation des Balls im Urzeigersinn die Strömung im untersten Bild der Abb. 23 oberhalb schneller
als unterhalb. Durch diesen Effekt entsteht ein Unterdruck oberhalb des Balls und ein Überdruck unterhalb
des Balls. Die zwei Drücke sorgen in diesem Fall für
Abb. 23: Strömung Magnus-Effekt
Auftrieb. Zu beachten ist, dass die reibungsbedingte
Kraftwirkung parallel zur Anströmungsrichtung, sowie das Drehmoment, das durch die Reibung entsteht, ausser Acht gelassen wurden. Auch der statische Auftrieb ist nicht einbezogen.20
Die Magnuskraft berechnet sich wie folgt:
(Gl. 5.2.1)21
20
Maurer, Werner, Magnus-Effekt, http://www.systemdesign.ch/index.php?title=Magnus-Effekt,
27.12.10, 15:20.
21
21
5.3.
Philipp Bischof
Modellieren des Abstosses mit Rotation
Um vom Abstoss ohne Rotation zum Abstoss mit Rotation zu kommen, muss man drei Änderungen vornehmen. Zuerst wird ein „Magnuswert“ (willkürliche Bezeichnung) berechnet. Danach werden beim x- und y- Impuls die jeweiligen x- und y-Komponenten der Magnuskraft
als Flows hinaus, beziehungsweise hinein, ergänzt. Die Magnuskraft rechnet sich dann, wie
bei der Widerstandkraft, aus Magnuswert multipliziert mit der entsprechenden Geschwindigkeit. Achtung die Geschwindigkeit vx wird bei FMy mit dem Magnuswert multipliziert und bei
FMx wird mit vy multipliziert.
5.3.1. Magnuskraft
Zuerst muss man die Magnuskraft in die x- und y- Komponenten zerlegen. Man geht immer
noch von einer windstillen Situation aus. Daraus folgt, dass die Anströmrichtung genau entgegengesetzt der Flugrichtung ist.
Abb. 24: Magnuskraftvektoren
Aus der Abbildung 24 folgt:
(Gl. 5.3.1.1)
(Gl. 5.3.1.2)
22
Philipp Bischof
Einsetzen von FM (Gl. 5.2.1):
(Gl. 5.3.1.3)
(Gl. 5.3.1.4)
Winkelfunktionen wie Sinus, Cosinus oder Tangens können im Programm Probleme verursachen. Darum wird auch bei der Magnuskraft ein Trick angewendet, wie schon bei der Widerstandskraft.
Die Geschwindigkeit v rechnet sich aus:
(Gl. 5.3.1.5)
oder aus:
(Gl. 5.3.1.6)
Setzt man die obenstehenden zwei Gleichungen in die entsprechende Gleichung 5.3.1.3
oder 5.3.1.4 ein. So kann man die Winkelfunktionen hinauskürzen und es ergibt sich:
(Gl. 5.3.1.7)
(Gl. 5.3.1.8)
23
Philipp Bischof
Der einzige Unterschied in der Berechnung von FMx und FMy sind die Geschwindigkeiten.
Also berechnet man im Modell zuerst den „Magnuswert“ (willkürliche Bezeichnung), wie auch
schon beim Widerstand den „Widerstandswert“.
Abb. 25: Magnuswert
In der Formula, die als Magnuswert bezeichnet wurde, steht die folgende Gleichung:
(Gl. 5.3.1.9)
Die Gleichung, die in der Formula Volumen steht, ist die Formel für die Berechnung einer
Kugel. Dies ist eine Näherung an den Fussball, weil kein Fussball eine perfekte Kugel ist.
(Gl. 5.3.1.10)
Bei der Impulsebene wird nun die x-Komponente der Magnuskraft FMx am Reservoir Px als
Flow hinausgezogen, weil die FMx nach hinten gerichtet ist. Das heisst die x- Komponente
der Magnuskraft wirkt gegen die x-Richtung (Vgl. Abb. 24).
24
Philipp Bischof
Die y-Komponente der Magnuskraft FMy wirkt in der y-Richtung und wird als Flow in das Reservoir Py hinein dargestellt (Vgl. Abb. 24).
Abb. 26: Impulsebene Fussball mit Rotation
Der Flow FMx berechnet sich aus:
(Gl. 5.3.1.11)
Der Flow FMy berechnet sich aus:
(Gl. 5.3.1.12)
25
5.4.
Philipp Bischof
Kompletter Abstoss mit Rotation
Abb. 27: Kompletter Abstoss mit Rotation
Das Submodel (rot umkreist) ist weiter oben abgebildet (Abb. 22). Den Quellcode zum Programm findet man im Anhang unter Equations (Kap. 11.3.) →Abstoss mit Rotation (Kap.
11.3.2.). Auch bei diesem Abstoss ist der Aufschlag nicht modelliert.
Abb. 28: Abschusskurve des Fussballs mit Rotation
26
Philipp Bischof
6. Vom Fussball zum Flugzeug
Vom Fussball zum Flugzeug sind einige Änderungen vorzunehmen. Wenn man die Schubkraft FS zerlegt, findet man drei Winkel. Diese Winkel braucht man zum Teil für weitere Berechnungen. Der Luftwiderstand berechnet sich gleich wie beim Fussball. Der Auftrieb muss
aber geändert werden, weil beim Flugzeug keine Rotation und somit keine Magnuskraft vorhanden ist. Eine neue Komponente der Geschwindigkeit, der Wind (Luftgeschwindigkeit),
kommt dazu. Weiter werden die cW und cA Werte in Abhängigkeit des Anstellwinkels (angle
of attack) berechnet.22
Die gesamte Flowchart findet man im Anhang unter Flowchart Flugzeug (Kap. 11.2).
6.1.
Daten einer Cessna 172
Einheiten
Formelzeichen
Formelzeichen im
Wert
Programm
Besatzung
-
-
1
Passagiere
-
-
3
Flügeloberfläche
A
A
16.16 m2
Nutzlast
m
m
591 kg
Leergewicht
m
m
815 kg
Max. Startgewicht
m
m
1406 kg
Reisegeschwindigkeit
vR
vR
≈89 m/s
Höchstgeschwindigkeit
vH
vH
≈96 m/s
Masse (Flugzeug+
m
m
975 kg
2 Pers. (80 kg))
23
Die gelb hinterlegten Werte werden im Modell verwendet. Die anderen dienen als Reve-
renz.
22
Maurer, Werner, mündliche Mitteilung, 25.11.10
23
O.V. (=ohne Verfasser), Cessna 172, http://de.wikipedia.org/wiki/Cessna_172, 31.12.10, 17:40.
27
6.2.
Philipp Bischof
Drei wichtige Winkel
Bei einem Flugzeug gibt es drei Winkel die essentiell sind:
1. Winkel Alpha , auch als Angle of Attack bezeichnet. Dies ist der Winkel zwischen
der Anströmung und der Flugzeugachse.
2. Winkel Beta , auch als Pitch oder als Lage des Flugzeugs bezeichnet. Dies ist der
Winkel zwischen der Horizontalen und der Flugzeugachse. Diesen Winkel kann der
Pilot mit Hilfe des Höhenruders selber bestimmen.
3. Winkel Gamma
ist der Winkel zwischen der Anströmung und der Horizontalen. Die-
ser Winkel war beim Fussball der Abschusswinkel.
Abb. 29: drei Winkel
Alle Winkel wurden im ersten Quadranten des Koordinatensystems dargestellt. Damit werden Probleme mit Vorzeichen ausgeschlossen. Aus der Abbildung 29 folgt, dass der Winkel
Beta der Summe vom Winkel Alpha und Gamma entspricht.
(Gl. 6.2.1)
oder:
(Gl. 6.2.2)24
24
28
6.3.
Philipp Bischof
Wind
Bei einer windstillen Situation ist die Anströmungsgeschwindigkeit gleich der Fluggeschwindigkeit in entgegengesetzter Richtung. Die Geschwindigkeit der Luft vLuft wird als x- und yKomponente in je einer Formula dargestellt. Somit kann man die x- und y-Komponenten der
Luftgeschwindigkeit vLuftx, vLufty selber bestimmen. Die beiden Werte vLuftx und vLufty addiert
ergeben vLuft.
(Gl. 6.3.1)
Wenn man zu vLuft die Geschwindigkeit v des Flugzeugs addiert, erhält man die Anströmungsgeschwindigkeit vAN.
(Gl. 6.3.2)
Die Anströmungsgeschwindigkeit wird mit Hilfe des Winkels Gamma
in ihre x- und y- Kom-
ponenten zerlegt (Vgl. Abb. 29).
(Gl. 6.3.3)
(Gl. 6.3.4)25
Abb. 30: Wind (Luftgeschwindigkeit)
25
29
6.4.
Philipp Bischof
Auftrieb und Widerstand
Beim Flugzeug gibt es keine Magnuskraft, weil das Flugzeug nicht um die eigene Achse rotiert und kein Zylinder oder keine Kugel ist. Die Magnuskraft, die den Auftrieb beim Fussball
generiert, wird durch die folgende Gleichung für die Auftriebskraft ersetzt. Die Richtung der
Flows bleibt gleich.
(Gl. 6.4.1)
Die Widerstandskraft bleibt die Gleiche:
(Gl. 6.4.2)26
Auch hier wird wieder in die x- und y- Komponente der Kraft zerlegt. Derselbe Trick wie zur
Eliminierung der Winkelfunktionen wird angewendet. Die Widerstandskraft entspricht dem
Kapitel 4.2.4.„Widerstandskraft“ mit den dazugehörigen Gleichungen 4.2.4.1-8.
Die Auftriebskraft wird gleich wie die Magnuskraft (Vgl. 5.3.1 Magnuskraft) aufgeteilt. Auch
der gleiche Trick um die Winkelfunktionen wegzubekommen wird angewendet.
Daraus ergeben sich folgende Gleichungen für die Auftriebskraft:
(Gl. 6.4.3)
(Gl. 6.4.4)
Es wird wieder zuerst der „Auftriebswert“ (willkürliche Bezeichnung) berechnet:
(Gl. 6.4.5)
Die Fläche A ist die Flügelfläche. Die Fläche des Rumpfs und seine Form werden vernachlässigt. Bei der Widerstandskraft wie auch bei der Auftriebskraft ist es dieselbe Fläche, der
Unterschied ist im cA- beziehungsweise im cW-Wert gegeben.
26
Bohl, Willi/Elmendorf, Wolfgang,Technische Strömungslehre, 14.Auflage,Würzburg 2008, S.294.
30
Philipp Bischof
Abb. 31: Widerstandswert und Auftriebswert
Bei der Impulsebene wird, wie auch schon beim Widerstand, der Auftriebswert mit der entsprechenden Geschwindigkeit multipliziert. Daraus erhält man die Kräfte für die Flows FAx
und FAy:
(Gl. 6.4.6)
(Gl. 6.4.7) 27
6.5.
cW und cA
Der Widerstands- und der Auftriebsbeiwert ist abhängig vom Winkel Alpha
(Angle of At-
tack). Der Angle of Attack berechnet sich nach der Gleichung 6.3.2. Der Auftriebsbeiwert
berechnet sich folgendermassen:
(Gl. 6.5.1)
wobei:
AR = wing aspect ratio
cA0 = Auftriebsbeiwert bei Alpha gleich null (cA0 = 0.375)28
Die Gleichung 6.6.1 steht in der Formula cA (Abb. 34).
27
28
Scott, Jeff, Drag Coefficient & Lifting Line Theory,
http://www.aerospaceweb.org/question/aerodynamics/q0184.shtml, 29.07.10, 18:06.
31
Philipp Bischof
Der Wing Aspect Ratio berechnet sich aus dem Quadrat der Flügelspannweite, dividiert
durch die Flügeloberfläche A:
(Gl. 6.5.2)
Der Wing Aspect Ratio ist ein einheitsloser Wert zur Beschreibung der Flügelform.29 Bei der
Cessna ergibt das einen Wert von etwa 7.37.
Abb. 32: Auftriebsbeiwert in Abhängigkeit des Angle of Attack
bei einer Cessna
Die Gleichung 6.5.1 beschreibt die grüne Linie in der Abbildung 32. Die roten Punkte sind
Werte einer Cessna 172, gemessen in einem Windkanal. Man sieht, dass die ganze Berechnung nur eine Näherung an die Realität ist. Das modellierte Flugzeug wird mit dieser Gleichung nie einen Strömungsabriss haben. 30
29
O.V., Aspect ratio (wing), http://en.wikipedia.org/wiki/Aspect_ratio_(wing), 31.12.10, 18:00.
30
32
Philipp Bischof
Der Widerstandsbeiwert cW berechnet sich folgendermassen:
(Gl. 6.5.3)
wobei:
e = Oswald’s efficiency factor (e = 0.7) (Korrektur Konstante)
cW0 = Widerstandsbeiwert bei Alpha gleich null (cW0 = 0.025)31
Die Gleichung 6.5.3 steht in der Formula cW (Abb. 34).
Abb. 33: Widerstandsbeiwert in Abhängigkeit des Angle of Attack
bei einer Cessna
Die Gleichung 6.5.3 beschreibt die schwarze Kurve in der Abbildung 33. Die roten Punkte
sind wieder die gemessenen Werte im Windkanal. Es ist wieder eine Näherung, aber eine
weitaus bessere als beim Auftriebsbeiwert. 32
31
32
33
Philipp Bischof
Abb. 34: Abhängigkeit der cA bzw. der cw Werte vom
Angle of Attack
34
6.6.
Philipp Bischof
Horizontalflug
Die Schubkraft FS und die Anfangsgeschwindigkeit v0 werden als Werte berechnet, weil ein
Modell von einem Propeller oder von einem Triebwerk zu komplex ist. Die Ausgangslage bei
den Versuchen ist ein Horizontalflug. Daraus folgt, dass der Auftrieb genauso gross wie die
Gewichtskraft FG ist und die Schubkraft gleich gross wie die Widerstandskraft:
(Gl. 6.6.1)
(Gl. 6.6.2)
daraus folgt:
(Gl. 6.6.3)
(Gl. 6.6.4)
Dividiert man die Gleichung 6.6.3 durch die Gleichung 6.6.4 erhält man:
(Gl. 6.6.5)
daraus folgt:
(Gl. 6.6.6)
(Gl. 6.6.7)
Achtung: Die c-Werte müssen im Programm abgelesen werden, weil man sie im Modell abhängig von Angle of Attack berechnet hat!
35
Philipp Bischof
Um die Anfangsgeschwindigkeit v0 zu berechnen löst man die Gleichung 6.6.4 nach v auf.
(Gl. 6.6.8)
(Gl. 6.6.9)
Es gilt zu beachten, dass die Geschwindigkeit abhängig ist von der Luftdichte, das heisst,
wenn man die Starthöhe im Programm ändert, muss man die Geschwindigkeit noch einmal
berechnen!
Abb. 35: Horizontalflug
36
6.7.
Philipp Bischof
Schubkraft
Die Schubkraft FS wird in ihre x- und y-Komponenten zerlegt und als Flows zu dem jeweiligen Impuls hinein dargestellt.
Abb. 36: Schubkraftvektoren
Aus der Abbildung 36 ergeben sich folgende Gleichungen:
(Gl. 6.7.1)
(Gl. 6.7.2)
Leider lassen sich bei der Schubkraft die Winkelfunktionen nicht vermeiden.
33
37
33
6.8.
Philipp Bischof
Luftdichte
Die Luftdichte nimmt mit der Höhe immer mehr ab. Dies geschieht nicht regelmässig. Für die
Luftdichte im Programm wurde eine Tabelle im txt Format importiert und abhängig von der
Höhe (y-Achse) gemacht. Dazu ist folgender Befehl nötig: #„Name der importierten Datei“(y).
Dieser Befehl steht in der Formula Rho.
y
Rho
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
1.24
1
0.82
0.66
0.52
0.42
0.32 34
7. Versuche: Windscherungen
Die Versuche sollen zum besseren Verständnis des Verhaltens eines Flugzeugs in einer
Windscherung führen.
7.1.
Definition Windscherung
Windscherungen sind plötzliche, markante Änderungen in der Windrichtung und/oder der
Windgeschwindigkeit vom einen Punkt im Raum zum anderen.
Hat es zum Beispiel auf einem Flugplatz zwei Windmesser, die nicht die gleiche Windgeschwindigkeit und/oder Windrichtung anzeigen, spricht man von einer Windscherung. Windscherungen können immer und überall in der Atmosphäre auftreten, meist erzeugt durch
Wetterlagen wie zum Beispiel Föhn und Inversionslage. Stärkere Windscherungen treten in
der Nähe von Gewitterwolken auf. Es darf auch nicht ausser Acht gelassen werden, dass die
Geländestrukturen einen grossen Einfluss darauf haben.
Windscherungen im Reiseflug sind meist ungefährlich für die Luftfahrt. Doch im An- und Abflug können sie ein Problem darstellen.35
34
Leiter, Ernst / Finckh, Uli / Fritsche, Frank, Heliumballon,
http://www.leifiphysik.de/web_ph09/musteraufgaben/02gasgesetz/heliumballon/helium.htm, 01.12.10
18:03.
35
Hack, Karl Heinz, Flugwetter 2, 2. Auflage, Gossau SG 2004, S. 142-143.
38
7.2.
Philipp Bischof
Abwind
Abwinde können vor allem in den Alpen bei Passüberquerungen zu Problemen führen. Wenn
ein Flugzeug zu tief über einen Pass fliegt und schliesslich über der Kante ist, besteht die
Gefahr des Absinkens. Im schlimmsten Fall ist der Abwind so gross, dass der Pilot nicht
mehr korrigieren kann. 36
Bei dem folgenden Diagramm wurden beim Modell für die Simulation vier verschiedene Werte für die y-Komponente der Luftgeschwindigkeit eingegeben: 0, -20, -40, -60 m/s. Diese
Werte entsprechen etwa 0, 39, 78 und 116 Knoten Abwind. Der letzte Wert ist etwas extrem.
Simuliert werden 180 Sekunden, weil sich nach dieser Zeit das Flugzeug auf einer Höhe
stabilisiert hat.
Noch eine zusätzliche Anmerkung: Die Mindestflughöhe bei einem Sichtflug ist 150m über
Grund.37
Abb. 37: Abwind: Höhe und Distanz
36
Hack, Karl Heinz, Flugwetter 2, 2. Auflage, Gossau SG 2004, S. 47.
37
Müller, Roland, BAK Aviatisches Grundwissen, Recht der Luftfahrt, 8.Auflage, Alpnach Dorf 2007,
4-7/S.5.
39
Philipp Bischof
Abb. 38: Abwind: Höhe und Zeit
Eine der Gefahren besteht darin, dass der Pass zu tief überflogen wird. Aus der Abbildung
38 ist ersichtlich, dass das Flugzeug nach etwa 10 Sekunden 150 Meter an Höhe verloren
hat. In der Realität wird der Pilot sofort Korrekturen einleiten, was nicht simuliert wurde.
Abbildung 39 zeigt, dass die Geschwindigkeit des Flugzeugs rapide ansteigt, wenn nicht
sofort reagiert wird. Dies kann zu grossen Kräften führen, die Beschädigungen am Flugzeug
hervorrufen.
Abb. 39: Abwind: Geschwindigkeit und Zeit
40
7.3.
Philipp Bischof
Aufwind
Der Aufwind ist normalerweise nicht gefährlich. Er wird meistens hervorgerufen durch Thermik, Wettererscheinungen, oder geografische Gegebenheiten. Die Gefahr des Strömungsabrisses (Stalls) besteht, weil sich die Fluggeschwindigkeit verlangsamt. Meist stellt dies keine
Gefahr in einer gewissen Höhe über Grund dar, weil diese Aufwinde, wenn sie stark sind
plötzlich und nur kurz auftreten (Böen), kurzes „Stallen“ ist die Folge. Doch im An- oder Abflug ist dies wegen der reduzierten Geschwindigkeit sehr gefährlich.
Bei dieser Simulation wurden Werte mit der gleichen Differenz zueinander, wie auch schon
beim Abwind, verwendet. Diesmal sind es positive Werte: 0, 20, 40, 60 m/s.
Abb. 40: Aufwind: Höhe und Distanz
Abb. 41: Aufwind: Höhe und Zeit
41
Philipp Bischof
Abb. 42: Aufwind: Geschwindigkeit und Zeit
In der Abbildung 42 ist ersichtlich, dass die Fluggeschwindigkeit extrem schnell abnimmt.
Dies erklärt auch weshalb die blaue Kurve in der Abbildung 40, die einer Luftgeschwindigkeit
von 60 m/s entspricht annähernd linear steigt und fast keine Distanz zurücklegt. Die Fluggeschwindigkeit sinkt bis auf null (Abb. 42).
Auch schon bei einer Luftgeschwindigkeit von 40 m/s fällt die Fluggeschwindigkeit auf etwa
16 m/s (31 Knoten) ab. Bei einer Cessna 172 liegt die Stallgeschwindigkeit etwa bei 47 Knoten.38
Es kann zusätzlich festgestellt werden dass man beim Aufwind viel weniger Höhe gewinnt
als beim gleichen Abwind verloren gegangen ist.
7.4.
Gewitterwolke
Betrachtet wird eine Gewitterwolke im Reife-Stadium. Im diesem Stadium herrschen Aufund Abwinde bis zu 30 m/s. Im Aussenbereich gibt es vor allem Aufwinde und im inneren der
Wolke vor allem Abwinde.39
In der Simulation für den Durchflug einer Gewitterwolke wird folgende Winkelfunktion für die
Luftgeschwindigkeit vLuft eingegeben:
if TIME>32 and TIME<126 then 30*cos(0.1*TIME+1.5) else 0
Mit dieser Funktion wird zweimal ein Aufwind und einmal ein Abwind ab der Simulationszeit
von 32 Sekunden mit Hilfe einer Cosinus Funktion simuliert (Abb. 43).
38
Thomas, Steve, Rental Aircraft, http://www.poplargroveairmotive.com/Flight_Training/rentals.html,
02.01.11 8:56.
39
42
Philipp Bischof
Abb. 43: Gewitterwolke: Luftgeschwindigkeit und Zeit
Abb. 44: Gewitterwolke: Höhe und Distanz
Wie man in der Abbildung 44 sehen kann, wird das Flugzeug stark durchgeschüttelt. Es wird
sehr wahrscheinlich zum Spielball der Wolke. Die Fluggeschwindigkeit (Abb. 45) bleibt einigermassen konstant.
Diese Simulation verharmlost die Gewitterwolken. In einer richtigen Gewitterwolke sind nicht
so regelmässige Ab- und Aufwinde vorhanden, sondern auch andere Gefahren, wie Turbulenzen, Rotoren, Windscherungen, Hagel und unterkühlter Regen.40
40
43
Philipp Bischof
Abb. 45: Gewitterwolke: Fluggeschwindigkeit und Zeit
44
Philipp Bischof
8. Schlusswort
Es zeigt sich, dass das Modell der Flugbahn des Flugzeugs trotz fehlenden Aspekten funktioniert und relativ nahe an der Realität ist. Wie in den Versuchen erwähnt, werden Phänomene aus der Realität bestätigt und vorhandene Mankos aufgezeigt. Die fehlenden Aspekte
sind die nicht ganz genauen cA- und cW-Werte, das Weglassen des Effekts der verwirbelten
Strömung nach der Flügelaustrittskante, der fehlende Propeller oder das fehlende Triebwerk
und die Vernachlässigung des Flugzeugrumpfes. Es gibt sicherlich noch weitere hier nicht
aufgeführte Aspekte, die eine Auswirkung auf das Flugverhalten haben.
Das Einbeziehen der fehlenden Aspekte würde aber weit über eine Maturaarbeit hinausgehen.
45
Philipp Bischof
9. Literaturverzeichnis
9.1.
Bücher
Bohl, Willi/Elmendorf, Wolfgang,Technische Strömungslehre, 14.Auflage,Würzburg 2008.
Hack, Karl Heinz, Flugwetter 2, 2. Auflage, Gossau SG 2004.
Müller, Roland, BAK Aviatisches Grundwissen, Recht der Luftfahrt, 8.Auflage, Alpnach Dorf
2007.
9.2.
Internetartikel
Leiter, Ernst / Finckh, Uli / Fritsche, Frank, Heliumballon,
http://www.leifiphysik.de/web_ph09/musteraufgaben/02gasgesetz/heliumballon/helium.htm,
01.12.10 18:03.
Macey, Robert/Oster, George/Zahnley, Tim, Berkeley Madonna User’s Guide,
http://mcb.berkeley.edu/courses/mcb137/exercises/madonnamanual.pdf, 09.10.10, 14:26, S.
54-55.
Maurer, Werner, Bild:Fussball 2SD.jpg,
http://www.systemdesign.ch/index.php?title=Bild:Fussball_2SD.jpg, 29.12.10, 14:00.
Maurer, Werner, Bild:Fussball SD.Jpg,
http://www.systemdesign.ch/index.php?title=Bild:Fussball_SD.jpg, 03.12.10, 13:04.
Maurer, Werner, Fussball, http://www.systemdesign.ch/index.php?title=Fussball, 03.12.10,
12:55.
Maurer, Werner,
http://www.systemdesign.ch/index.php?title=Physik_der_dynamischen_Systeme, 12.12.10,
11:40.
Maurer, Werner, Karlsruher Physikkurs,
11:15.
Maurer, Werner, Magnus-Effekt, http://www.systemdesign.ch/index.php?title=Magnus-Effekt,
27.12.10, 15:20.
Maurer, Werner, Physik der dynamischen Systeme,
11:40.
46
Philipp Bischof
O.V. (=ohne Verfasser), Cessna 172, http://de.wikipedia.org/wiki/Cessna_172, 31.12.10,
17:40.
O.V., Aspect ratio (wing), http://en.wikipedia.org/wiki/Aspect_ratio_(wing), 31.12.10, 18:00.
Stark, Ulrich, Simulation mit Madonna, http://www.lsbw.de/beruf/projektg/hls/mitteil/05_4_10.pdf, 21.11.10, 12:17.
Thomas, Steve, Rental Aircraft,
http://www.poplargroveairmotive.com/Flight_Training/rentals.html, 02.01.11 8:56.
9.3.
mündliche Mitteilungen
Maurer, Werner, mündliche Mitteilung 21.06.10.
47
10.
Philipp Bischof
Abbildungsverzeichnis
Titelbild: Screenshots von Bischof Philipp (selbst erstellte Grafiken)
Abbildungen 1-22: Screenshots von Bischof Philipp (selbst erstellte Grafiken)
Abbildung 23: Maurer, Werner, Magnus-Effekt,
http://www.systemdesign.ch/index.php?title=Magnus-Effekt, 27.12.10, 15:20.
Abbildungen 32-33: Scott, Jeff, Drag Coefficient & Lifting Line Theory,
48
11.
Philipp Bischof
Anhang:
11.1.
Zeichenerklärung
A
Fläche (meistens Flügeloberfläche)
AR
Wing Aspectet Ratio
b
Flügelspannweite
ca/cA
Auftriebsbeiwert
cM/cM
Magnuskraftbeiwert
cw/cW
Widerstandsbeiwert
d
Durchmesser
e
Oswald’s efficiency factor
FA/FA
Auftriebskraft
FG/FG
Gewichtskraft
FM/FM
Magnuskraft
FS/FS
Schubkraft
Fw/FW
Widerstandskraft
g
Gravitationsfeldstärke (9.81N/kg)
m
Masse
p
Impuls
s
Strecke
v
Geschwindigkeit
V
Volumen
v0/v0
vAN/vAN
Anströmgeschwindigkeit
vLuft/vLuft
Luftgeschwindigkeit
x0/x0
Anfangswert x
α
Alpha (Angle of Attack)
β
Beta (Pitch/Winkel zwischen der Horizontalen und der Flugzeugachse)
γ
Gamma (Winkel zwischen der Anströmung und der Horizontalen)
ρ/Rho
Luftdichte
Nummerierung der Gleichungen: Kapitelnummer.Gleichungsnummer z.B. (Gl. 11.1.1)
49
11.2.
Philipp Bischof
Flowchart Flugzeug
Abb. : komplette Flowchart des Flugzeugs
50
Philipp Bischof
Abb. : Oberer Teil der Flowchart des Flugzeugs
51
Philipp Bischof
Abb. : Unterer Teil der Flowchart des Flugzeugs
x-Impuls der Impulsebene
Abb. : Unterer Teil der Flowchart des Flugzeugs
y-Impuls der Impulsebene
52
Philipp Bischof
Abb. : Flowchart Flugzeug Submodel:
Widerstandswert, Auftriebswert und Schubkraft
Wind (Luftgeschwindigkeit)
Abhängigkeit der cA bzw. der cw Werte vom
Angle of Attack
53
11.3.
Philipp Bischof
Equations
11.3.1. Abstoss ohne Rotation
{Top model}
{Reservoirs}
d/dt (px) = - FWx
INIT px = v0*m*cos(Gamma_0)
d/dt (py) = - FG - FWy
INIT py = m*v0*sin(Gamma_0)
d/dt (x) = + vx
INIT x = 0
d/dt (y) = + vy
INIT y = 0
{Flows}
FWx = Widerstandswert*vx
FG = m*g
FWy = Widerstandswert*vy
vx = px/m
vy = py/m
{Functions}
m = 0.44{kg (WM-Ball)}
v = sqrt(vx**2+vy**2)
v0 = 30{m/s}
Rho = 1.2{kg/m3}
cW = 0.2
A = 0.038
Gamma_Grad_0 = 45
Gamma_0 = Gamma_Grad_0*pi/180
Widerstandswert = 0.5*Rho*cW*A*v
Alpha = arctan(vy/vx)
{Globals}
g=9.81{N/kg}
{End Globals}
54
Philipp Bischof
11.3.2. Abstoss mit Rotation
{Top model}
{Reservoirs}
d/dt (px) = - FWx - FMx
d/dt (py) = - FG - FWy + FMy
d/dt (x) = + vx
INIT x = 0
d/dt (y) = + vy
INIT y = 0
{Flows}
FWx = Widerstandswert*vx
FG = m*g
FWy = Widerstandswert*vy
vx = px/m
vy = py/m
FMy = vx*Magnuswert
FMx = Magnuswert*vy
{Functions}
m = 0.44{kg (WM-Ball)}
v = sqrt(vx**2+vy**2)>=0
v0 = 30{m/s}
Gamma_Grad_0 = 25
Gamma_0 = Gamma_Grad_0*2*pi/360
Gamma = arctan(vy/vx)
{Submodel "Widerstandswert u. Magnuswert"}
{Functions}
cW = 0.2
A = pi*d**2/4
Widerstandswert = 0.5*Rho*cW*A*v
Volumen = 4/3*pi*((d/2)**3)
55
Philipp Bischof
Magnuswert = 2*Rho*cM*Volumen*Winkelgeschwindigkeit
cM = 0.15
Winkelgeschwindigkeit = 60{s^-1}
d = 0.22{m}
Rho = 1.2{kg/m3}
{Globals}
g=9.81{N/kg}
{End Globals}
56
Philipp Bischof
11.3.3. Flugzeug
{Top model}
{Reservoirs}
d/dt (px) = - FWx - FAx + FSx
d/dt (py) = - FG - FWy + FAy + FSy
d/dt (x) = + vx
INIT x = 0
d/dt (y) = + vy
INIT y = 2000{m}
{Flows}
FWx = Widerstandswert*vANx
FG = m*g
FWy = Widerstandswert*vANy
vx = px/m
vy = py/m
FAy = Auftriebswert*vANx
FAx = Auftriebswert*vANy
FSx = FS*cos(Pitch_Beta)
FSy = FS*sin(Pitch_Beta)
{Functions}
m = 975{kg (Cessna 172 RG Turbo u. 2 Pers.)}
v = sqrt(vx**2+vy**2)
v0 = 56.1843676508{m/s}
Gamma_Grad_0 = 0
Gamma_0 = Gamma_Grad_0*2*pi/360
Widerstandswert = 0.5*Rho*cW*A*vAN
Auftriebswert = 0.5*Rho*cA*A*vAN
FS = 858.0575{N}
Pitch_Beta = Pitch_Beta_Grad*2*pi/360
A = 16.16{m^2}
Pitch_Beta_Grad = 0{Grad}
vAN = v+vLuft
57
Philipp Bischof
vLuft = vLuftx+vLufty
Gamma = arctan(vy/vx)
vANx = cos(Gamma)*vAN
vANy = sin(Gamma)*vAN
vLuftx = 0
vLufty = 0
Angle_of_Attack = Pitch_Beta-Gamma
cA = 2*pi*(AR/(2+AR))*Angle_of_Attack+cA0
AR = 7.4
cA0 = 0.375
cW = cW0+(cA**2)/(pi*AR*e)
e = 0.7
cW0 = 0.025
Rho = #hRho(y)
{Globals}
g=9.81{N/kg}
{End Globals}
58
Philipp Bischof
Selbständigkeitserklärung
Ich erkläre hiermit,
•
dass ich die vorliegende Arbeit ohne fremde Hilfe und ohne Benützung anderer als
der angegebenen Hilfsmittel verfasst habe;
•
dass ich ohne schriftliche Zustimmung der Schulleitung die Arbeit nicht veröffentli-
chen werde und keine Kopien dieser Arbeit an dritte aushändigen werde, ausgenommen
nach Abschluss des Verfahrens an Schulkolleginnen/Schulkollegen oder an Personen, die
mir wesentliche Informationen für die Maturaarbeit zur Verfügung gestellt haben.
Ort, Datum
Unterschrift: Philipp Bischof
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Vom Fussball zum Flugzeug - Moodle Lernplattform der ZHAW

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