Exponentialfunktion Exponentialfunktion Training Training

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Mathematik Lerneinheit 5
Exponentialfunktion
Training Logarithmen
Leitideen
Leitideen Wachstum,
Wachstum, Systemdenken
Modellbildung und Simulation
Theorie, Übungen,
Übungen, Partnerinterviews,
dynamische Experimentiervorlagen,
Experimentiervorlagen,
Lernkontrollen
„Die Mathematiker sind eine Art Franzosen:
Franzosen:
Redet man mit ihnen, so übersetzen sie es in ihre
Sprache, und dann ist es etwas ganz anderes.“
(Johann Wolfgang Goethe)
Benno Frei ©2012/13
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung ........................................................................................................................................... 1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Was ist ein Logarithmus ................................................................................................................... 1
Von der Notwendigkeit, die Exponentialfunktion zu begreifen! ............................................... 3
Mathematische Modellbildung dynamischer Systeme ................................................................ 7
Finanzmathematik für Fortgeschrittene ....................................................................................... 16
Repetition Potenzen ........................................................................................................................ 19
2 Definition des Logarithmus ............................................................................................................ 23
2.1 Logarithmus = Exponent ................................................................................................................ 23
2.2 Rechengesetze für Logarithmen .................................................................................................... 40
3 Gleichungen ....................................................................................................................................... 57
3.1 Exponentialgleichungen ................................................................................................................. 57
3.2 Logarithmengleichungen ............................................................................................................... 60
3.3 Übungen Gleichungen .................................................................................................................... 62
4 Funktionen ......................................................................................................................................... 77
4.1 Die Exponentialfunktion ................................................................................................................ 78
4.2 Modellbildung mit der Exponentialfunktion .............................................................................. 80
5 Leitidee Wachstum............................................................................................................................ 87
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
Einführendes Beispiel ..................................................................................................................... 87
Exponentielles Wachstum und exponentieller Zerfall .............................................................. 91
Musterbeispiele ................................................................................................................................ 98
Wachstumsmodelle ....................................................................................................................... 106
Anwendungen Wachstum........................................................................................................... 110
6 Modellbildung und Simulation ................................................................................................... 116
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
Modellbildungsprozess ................................................................................................................ 116
Simulation mit graphischen Modellbildungsprogrammen ..................................................... 117
Das Modellbildungsprogramm DynaSim .................................................................................. 120
Anwendung Systeme mit Zu- und Abflüsse ............................................................................. 126
Anwendungen Bewegung ............................................................................................................ 132
7 Leitidee Systemdenken .................................................................................................................. 137
7.1
7.2
7.3
7.4
Beispiel Lotka-Volterra-Systeme ................................................................................................. 137
System und Modell........................................................................................................................ 142
System Typologie in den Sozialwissenschaften ........................................................................ 145
Komplexe Systeme ........................................................................................................................ 151
„Die Mathematiker sind eine Art Franzosen: Redet man mit ihnen, so übersetzen sie es in ihre
Sprache, und dann ist es etwas ganz anderes.“ (Johann Wolfgang Goethe)
DialogMathe © Mathematik Lerneinheit 5: Skript Exponentialfunktion, Training Logarithmen,
Leitidee Wachstum 20123, Theorie, Übungen, Partnerinterviews, Lernkontrollen, dynamische
Experimentiervorlagen von Benno Frei ©
Elch hoch Elch
Wurzelelch
Logarithmus Elch
Vorwort
Mathematik ist in unserem Leben allgegenwärtig, wird aber in ihrer Vielfalt
kaum wahrgenommen. Sie kann Prozesse in der Natur und Gesellschaft erklären.
Das vorliegende Skript enthält 7 Kapitel jedoch sind für die Maturaprüfung nur
die ersten 5 Kapitel relevant.
In Kapitel 1 wird dir der Logarithmus und die Exponentialfunktion kurz
vorgestellt. Insbesondere wird aufgezeigt welche Rolle die Exponentialfunktion
beim Wachstum hat. Die Exponentialfunktion kommt in der Wirtschaft sehr
häufig zur Anwendung. Für deine Zukunft ist das Verständnis der Modelle, die
auf der Exponentialfunktion beruhen, ganz entscheidend.
In Kapitel 2 lernst du eine neue Struktur kennen, den Logarithmus, eine
Operation dritter Stufe! Da du den Logarithmus unbedingt beherrschen musst,
werden wir diese Struktur trainieren. Logaritmieren ist die Umkehrung des
Potenzierens, d.h. das Beherrschen der Potenzgesetze ist Pflicht!. Wenn du Fehler
machst, so analysiere diese in deinem „Sündenbüchlein“. Deine Entdeckungen
halte in einem Ideenbüchlein fest!
In Kapitel 3 lernst du Strategien kennen, um Exponential- und Logarithmengleichungen zu lösen und in Kapitel 4 studieren wir die Exponentialfunktion und
die Lograrithmusfunktion als dessen Umkehrung. Schliesslich werden wir die
erworbenen Kenntnisse im Kapitel 5 in vielen praxisnahen Problemstellungen
anwenden.
Kapitel 6 gibt dir eine Einführung in die Modellbildung und Simulation. In
Kapitel 7 lernst du das Systemdenken kennen.
April 2013, B. Frei
Was ist ein Logarithmus
DialogMathe
1 Einführung
1.1 Was ist ein Logarithmus
Schon das Wort klingt aussergewöhnlich. Und viele von euch halten das, was
sich hinter dem Wort verbirgt, für aussergewöhnlich schwierig. Auch eure
Eltern und Geschwister verbinden oft ungute Gefühle mit dem Logarithmus.
Dabei ist doch das Wort Logarithmus lediglich eine andere Bezeichnung für
Exponent. Logarithmen und die damit eng zusammenhängenden
Exponentialgleichungen spielen, um einmal die ewige Schülerfrage „Wozu
brauchen wir das?“ zu beantworten, nicht nur in Naturwissenschaft und
Technik, sondern auch in Ökologie, Wirtschafts- und Sozialwissenschaften
und in jeder Art von Statistik eine wichtige Rolle. Ohne den Logarithmus
könnten Physiker die Flugbahn einer Trägerrakete oder Chemiker die
Halbwertszeit von radioaktiven Stoffen nicht berechnen. Um die Entwicklung
der Bevölkerung eines Landes oder der ganzen Erde vorausberechnen zu
können, brauchen die Zukunftsforscher Logarithmen und Exponentialfunktionen. Die Aussagen von Wahl- und Meinungsforschern sind nur
möglich unter Verwendung von Logarithmen und Exponentialgleichungen.
Und das Fernsehsender ihren Werbekunden gegenüber behaupten können,
60% aller Zuschauer hätten eine bestimmte Sendung gesehen, obwohl sie nur
2000 Fernsehzuschauer befragt haben, wäre ohne Verwendung von
Logarithmen und Exponentialgleichungen nicht möglich. Selbst Forstwirte
können die Entwicklung ihres Waldes nur mithilfe von Logarithmen und
Exponentialgleichungen vorausberechnen. Und schliesslich bedienen sich
auch die Mediziner zum Verständnis der Ausbreitung von Krankheitskeimen
und ansteckenden Krankheiten des Logarithmus und der
Exponentialfunktion.
1.1.1 Übersicht: Rechenarten
Potenzieren ist keine Grundrechenart wie Addieren und Mukltiplizieren.
Beim Potenzieren gibt es zwei Umkehrungen: Radizieren und Logarithmieren.
Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF
1
Einführung
DialogMathe
Verschiedene Stufen
Stufe
Rechenart
Umkehrung
I
Addieren
a+b = c
Multiplizieren
a⋅b = c
Subtrahieren
a = c −b ; b = c −a
Dividieren
c
c
a=
; b=
b
a
Radizieren
II
III
Potenzieren
b = ax
a= x b
Logarithmieren
x = log a ( b )
1.1.2 Beispiel Umkehrung des Potenzierens
Erste Umkehrung Radizieren: Fragestellung x2 = 16
→
x=?
Gesucht ist die Basis x, welche mit dem Exponenten 2 als Potenz den Wert 16
hat. Oder: Wir suchen eine Zahl x, die mit sich selbst multipliziert 16 ergibt.
Strategie: Wenn es uns gelingt die Zahl 16 als Potenz mit dem Exponenten 2
darzustellen, dann können wir x direkt ablesen:
x 2 = 42
→
x=4
Da auch 16 = ( −4 ) ist haben wir eine zweite Lösung: x = −4
2
Radizieren
x = ± 16 = ±4
Allgemein: x 2 = a
→
x2 =
a
→
x =
a
→
x=± a
Wenn a eine Quadratzahl ist, können wir die Gleichung im Kopf lösen.
Zweite Umkehrung Logarithmieren: Fragestellung 2x = 16
→
x=?
Gesucht ist der Exponent x, der mit der Basis 2 als Potenz den Wert 16 hat.
Strategie: Wenn es uns gelingt die Zahl 16 als Potenz mit der Basis 2
darzustellen, dann können wir x direkt ablesen:
2x = 24
→
x=4
Logarithmieren x = log2 ( 16 ) = log2 ( 24 ) = 4 (x ist der Logarithmus zur Basis 2 von 16)
Allgemein: 2 x = a
→
x = log2 ( a ) . Wenn a eine Potenz mit der Basis 2 ist,
können wir die Gleichung im Kopf lösen.
2
DialogMathe
Von der Notwendigkeit, die Exponentialfunktion zu begreifen!
1.2 Von der Notwendigkeit, die Exponentialfunktion zu begreifen!
„Ohne eine Vorstellung von exponentiellem Wachstum und Zerfall kann kein
Verständnis für ökologische und ökonomische Zusammenhänge zustande
kommen.“ (Heinrich Winter, Professor für Didaktik der Mathematik)
„Die grösste Schwäche von uns Menschen ist unsere Unfähigkeit, die
Exponentialfunktion wirklich zu verstehen.“ (Albert Bartlett, Physiker)
Steckt hinter exponentiellen Funktionen etwa mehr als abstraktes
Schulwissen? Tatsächlich bestimmen sie unser Leben in nahezu allen
existenziellen Bereichen. Exponentielle Funktionen fungieren letzten Endes als
Motor von Wirtschaftswunder, Crashs und Kriege. Die jüngste Finanzkriese
lässt sich unmöglich ohne exponentielle Funktionen verstehen.
Die Zusammenhänge von Mathematik und Gesellschaft können sowohl dem
Experten als auch dem interessierten Laien anschauliche Erklärungsmodelle
zu folgenden Fragen liefern. Wie werden wir in Zukunft leben? Warum wird
die Weltwirtschaft kollabieren?
Wirtschaftswachstum
Seit mehr als einem Jahrhundert unterliegen viele Bereiche des globalen
Systems einem raschen Wachstum. Diese Zunahme folgt einem Muster, das
Mathematiker als exponentielles Wachstum bezeichnen. Ein solches
Wachstum kommt extrem häufig vor und führt uns in die Irre, weil sich die
meisten Menschen Wachstum als linearen Prozess vorstellen. Exponentielles
Wachstum zeigt überraschende Merkmale, durch die man es nur sehr schwer
in den Griff bekommt.
3
Einführung
DialogMathe
1.2.1 Das Märchen vom Reiskorn und dem Schachbrett
Im alten Persien erzählten sich die Menschen einst
dieses Märchen: Es war einmal ein kluger Höfling,
der seinem König ein kostbares Schachbrett
schenkte. Der König war über den Zeitvertreib sehr
dankbar, weil er sich mit seinen Ministern bei Hofe
oft ein wenig langweilte. So sprach er zu seinem
Höfling: "Sage mir, wie ich dich zum Dank für dieses
wunderschöne Geschenk belohnen kann. Ich werde dir jeden Wunsch
erfüllen." Nachdenklich rieb der Höfling seine Nase. Nachdem er eine Weile
nachgedacht hatte, sagte er: "Nichts weiter will ich, edler Gebieter, als dass Ihr
das Schachbrett mit Reis auffüllen möget. Legt ein Reiskorn auf das erste Feld,
und dann auf jedes weitere Feld stets die doppelte Anzahl an Körnern. Also
zwei Reiskörner auf das zweite Feld, vier Reiskörner auf das dritte, acht auf
das vierte und so fort." Der König war erstaunt. "Es ehrt dich, lieber Höfling,
dass du einen so bescheidenen Wunsch äusserst", sprach er. "Er möge dir auf
der Stelle erfüllt werden." Der Höfling lächelte, eine Spur zu breit vielleicht,
und verneigte sich tief vor seinem Herrscher.
Sofort traten Diener mit einem Sack Reis herbei und schickten sich an, die
Felder auf dem Schachbrett nach den Wünschen des Höflings zu füllen. Bald
stellten sie fest, dass ein Sack Reis gar nicht ausreichen würde, und liessen
noch mehr Säcke aus dem Getreidespeicher holen.
64 Felder hatte das Schachspiel. Schon das zehnte Feld musste für den Höfling
mit 512 Körnern gefüllt werden. Beim 21. Feld waren es schon über eine
Million Körner. Und beim 64. Feld stellten die Diener fest, dass es im ganzen
Reich des Königs nicht genug Reiskörner gab, um es aufzufüllen. Mit seinem
Wunsch wurde der Höfling zum reichsten Mann im ganzen Land, und der
König wünschte, er hätte ihm nie etwas geschuldet.
Auf allen Feldern eines Schachbretts zusammen wären es 264 − 1 oder
18‘446‘744‘073‘709‘551‘615 Weizenkörner. Exponentielles Wachstum, bei dem
eine solche Verdopplung auf die andere folgt, überrascht immer wieder, weil
es sehr rasch zu solch hohen Zahlen führt.
4
DialogMathe
Von der Notwendigkeit, die Exponentialfunktion zu begreifen!
1.2.2 Im Spannungsfeld: Wachstum und Beständigkeit.
Die Weltbevölkerung umfasste im Jahr 1959 drei
Milliarden Menschen. Heute liegt sie bei mehr als
sieben Milliarden, ist also innerhalb von rund zwei
Generationen um vier Milliarden angewachsen.
Zwei unverträgliche Prinzipien verschärfen die
dadurch entstehende globale Situation: Wachstum als Interesse der Wirtschaft
und Beständigkeit als Lebensbedingung der Natur. Unsere moderne
Zivilisation mit der physischen Begrenztheit der Erde in Einklang zu bringen
– dies ist eine gesellschaftspolitische Herausforderung, die es zu meistern gilt.
Wachstum ist der Treibstoff unserer Wirtschaft. Löhne, Renten, Investitionen,
Staatsausgaben – alles hängt von unserer
Fähigkeit ab, immer mehr zu produzieren und
zu konsumieren. Unsere Wirtschaftpolitik
braucht exponentielles Wachstum um zu
funktionieren. Doch was tun, wenn Wachstum
teuer wird und Ressourcen zur Neige gehen?
Ist eine Abkopplung vom permanenten
Wachstum wirtschaftlich möglich und politisch
durchsetzbar? Gibt es ein Wachstum ohne
Ende? Wachstum muss irgendwann
zwangsläufig aufhören. Aber wann wird das
sein? Welche Kräfte werden es aufhalten?
5
Einführung
DialogMathe
In welchem Zustand werden sich die Menschheit und das globale Ökosystem
nach Beendigung des Wachstums befinden?
Um diese Fragen beantworten zu können, musst du die Struktur des Systems
verstehen, das die menschliche Bevölkerung und die Wirtschaft ständig nach
Wachstum streben lässt.
Schweizer Börse (Psychologie: Gleichgewicht zwischen Angst und Gier!)
Das schnelle Anwachsen des Index wird immer wieder durch abrupte
Abstürze korrigiert.
6
Mathematische Modellbildung dynamischer Systeme
DialogMathe
Treibhauseffekt: Gelingt es uns nicht
den CO2 -Ausstoss nachhaltig zu
reduzieren, wird die mittlere
Temperatur der Erde weiter
ansteigen. Dies hat zur Folge, dass
wir unsere Lebensgrundlagen
zerstören. Solche existentiellen
Problemstellungen können heute
durch mathematische Modelle simuliert werden.
1.3 Mathematische Modellbildung dynamischer Systeme
Mathematische Modellbildung ist „die Kunst, Mathematik auf Probleme
anderer Wissensbereiche anzuwenden und zu deren Lösung bzw. Verständnis
beizutragen“, Joachim Engel Anwendungsorientierte Mathematik. In den
Natur-, Sozial, Wirtschafts- und Ingenieurwissenschaften werden
mathematische Modelle für Naturphänomene bzw. für ökonomische, soziale
oder für technische Prozesse formuliert, um eine vorgegebene Fragestellung
zu beantworten. Jedes Modelliervorhaben braucht eine Leitfrage oder ein Ziel.
Dies ist wichtig, da die Art und die Komplexität eines Modells von dieser
Zielvorgabe abhängen. Zur Modellbildung gehört auch die Entscheidung,
welche Prozesse und Einflüsse im Modell berücksichtigt bzw. welche
vernachlässigt werden. Prinzipiell sollte ein Modell so einfach wie möglich
und so detailliert wie nötig sein. Es gibt niemals das richtige Modell - ein
Modell ist immer nur eine vereinfachende Beschreibung der Realität, und
Beschreibungsmöglichkeiten gibt es viele!
Problemstellungen der heutigen Zeit sind vernetzt und interdisziplinär.
Feedback und Verzögerungen führen dazu, dass einfache UrsachenWirkungsbeziehungen nicht mehr zielführend sind. Eine Ursache kann
mehrere Wirkungen haben und mehrere Ursachen können auf dieselbe Grösse
wirken. Wirkungen können auch auf Ursachen zurückwirken. Kann die
7
Einführung
DialogMathe
mathematische Modellbildung auch komplexe Systeme beschreiben? Die
Antwort lieferte der Computerpionier Jay W. Forrester vom Massachusetts
Institute of Technology (MIT) in den 60-er Jahren, der eine neuartige Methode
der computergestützten Simulation entwickelte, die Systemdynamik. Die
Weiterentwicklung der Systemdynamik ist heute eine Methode, komplexe
Systeme in der Technik, Natur- Sozial- und Wirtschaftswissenschaften zu
analysieren, zu verstehen und zu steuern. Im Zentrum der Systemdynamik
stehen die Überführung disziplinspezifischem Wissen in quantitative Modelle
und die praktische Umsetzung mit Hilfe von Simulationswerkzeugen, die es
möglich machen Prozesse virtuell ablaufen zu lassen. Simulationen lassen sich
heute mit graphischen Modellbildungsprogrammen wie Stella, Vensim oder
Berkeley Madonna einfach durchführen. Dabei wird ein Modell graphisch,
ein sogenanntes Flussmodell, mit wenigen Werkzeugen am Computerbildschirm entwickelt.
1.3.1
Grenzen des Wachstums
1972 beschrieb der Club of Rome in seinem Bericht „Die Grenzen des
Wachstums“ die Gefahren eines ungebremsten Wirtschafts- und
Bevölkerungswachstums. Die Studie warnte vor sich erschöpfenden Vorräten
und explodierenden Preisen für Rohstoffe und Energie. Jay W. Forrester, der
„Vater der Systemdynamik“, hatte den jungen Dennis Meadows als
Projektleiter für die Studie vorgeschlagen. Meadows und sein Team erstellten
8
DialogMathe
mit Hilfe der Systemdynamik drei Szenarien: Zwei sagten ein Überschreiten
der Wachstumsgrenzen und den darauf folgenden Zusammenbruch des
globalen Wirtschaftssystems in der zweiten Hälfte
des 21. Jahrhunderts voraus. Das dritte Szenario
ergab eine stabile Welt mit nachhaltiger Wirtschaft.
Den Voraussagen von „Die Grenzen des
Wachstums“ liegt ein mathematisches Modell
namens World3 zu Grunde, welches das Weltgeschehen mit Hilfe von 12 Zuständen und 21
Ventilen (Änderungsraten) in 150 Gleichungen
abbildet. Es berücksichtigte die Wechselwirkungen
zwischen Bevölkerungsdichte, Nahrungsmittelressourcen, Energie, Material und Kapital,
Umweltzerstörung und Landnutzung.
World3 ist ein sehr stark vereinfachtes Modell und
enthält willkürlich gewählte Zahlenwerte und
ungerechtfertigte Annahmen, so dass es als
Prognoseinstrument unbrauchbar ist.
Flussdiagram von World3
9
Einführung
DialogMathe
Gleichwohl hat das Buch wesentlich dazu beigetragen, dass die Begrenztheit
der irdischen Ressourcen und das Konzept der Nachhaltigkeit ins öffentliche
Bewusstsein gedrungen sind. Meadows Metapher vom Lilienteich machte die
Dynamik exponentiellen Wachstums allgemeinverständlich. „In einem
Gartenteich wächst eine Lilie, die jeden Tag auf die doppelte Grösse
wächst. Innerhalb von dreissig Tagen kann die Lilie den ganzen Teich
bedecken und alles andere Leben in dem Wasser ersticken. Aber ehe sie
nicht mindestens die Hälfte der Wasseroberfläche einnimmt, erscheint ihr
Wachstum nicht beängstigend; es gibt ja noch genügend Platz, und
niemand denkt daran, sie zurückzuschneiden, auch nicht am 29. Tag; noch
ist ja die Hälfte des Teiches frei. Aber schon am nächsten Tag ist kein
Wasser mehr zu sehen.“
Die Aufgestellten Thesen wurden in Folgestudien 1992 „Die neuen Grenzen
des Wachstums“ und 2004 „30 Jahre-Update“ überprüft, verfeinert und
weiterentwickelt.
2012 veröffentlichte der Club of Rome den Report „2052“, die Welt in 40
Jahren. So weiter machen wie bisher geht nicht, unbegrenztes Wachstum
zerstört begrenzte Systeme, dies die Kernaussage des Berichts von Jorgen
Randers, ein norwegischer Zukunftsforscher. Der Bericht prognostiziert, dass
das weltweite Bruttoinlandsprodukt (BIP) langsamer steigt als erwartet. Um
das Jahr 2050 wird es nur 2,2 mal grösser sein als heute. Die Weltbevölkerung
wird kurz nach 2040 bei 8,1 Milliarden ihren Höchststand erreicht haben und
dann zurückgehen.
Beispiel Energiekonsum, Energiewende:
Die weltweite Zunahme des Energieverbrauchs beträgt etwa 2% pro Jahr. Dies
entspricht einer Verdoppelungsperiode von ca. 36 Jahren. Ein exponentielles
Wachstum mag sich über mehrere Verdopplungsperioden hinweg nicht stark
bemerkbar machen. Schwierigkeiten im System (begrenzte Ressourcen,
Umweltschäden, usw.) werden oft erst innerhalb der letzten Verdopplungsperiode deutlich spürbar und können sich dann so verstärken, dass es für eine
Lösung dieser Schwierigkeiten ohne rechtzeitige Planung oft zu spät ist.
10
DialogMathe
Entwicklung des Energieverbrauchs in der Schweiz
(Quelle: BFS, Schweizer Gesamtenergiestatistik)
1.3.2
Modell aus der Finanzmathematik: Die 72er Regel
Die 72er Regel, tatsächlich nur eine Abschätzung, gibt an, nach wie vielen
Jahren sich eine Kapitalanlage verdoppelt. Dazu teilt man 72 durch den
Zinsfuss (Prozentzahl p des jährlichen Zinssatzes) des angelegten Betrages,
daher auch der Name dieser Regel. Die Formel für die Abschätzung der
Verdopplungszeit T (in Jahren) lautet dann: T ≈
72
.
p
Bei der prozentualen Verzinsung eines Kapitals ( K 0 = Anfangskapital,
K n =Kapital nach n Jahren), handelt es sich um exponentielles Wachstum.
p = Zinsfuss = Prozentzahl des jährlichen Zinssatzes
n
p 

Kn = K 0 ⋅  1 +
(diskrete Verzinsung n ∈ N0 )
100 

p
⋅t
K ( t ) = K o ⋅ e 100 (kontinuierliche Verzinsung t ∈ R )
p 
p
Näherung: ln  1 +
≈

100
100


n=
ln [ 2 ]
p 
ln  1 +
 100 
≈
Näherung
ln [ 2 ] 100 ⋅ ln [ 2 ] 69,3
=
=
p
p
p
100
In der Finanzwelt wird 69,3 durch 72 ersetzt (72 hat viele Teiler).
11
Einführung
DialogMathe
Überprüfung des Modells (72er-Regel) für ein Sparkonto
In untenstehender Tabelle ist die Entwicklung des Zinssatzes auf einem
Sparkonto einer Schweizer Bank dargestellt.
Welches Kapital steht uns am Ende des Jahres 2012 zur Verfügung, wenn wir
am Anfang des Jahres 1991 ein Startkapital von 100 Franken eingezahlt
hätten. Bestimme den mittleren Zinssatz für die Jahre 1991 bis 2012.
Jahr
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
Zinssatz 5.0 5.1 4.4 3.4 3.1 2.4 1.8 1.4 1.2 1.4 1.5
Jahr
Zinssatz
2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
1.2 0.6 0.5 0.5 0.5 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.2
Im Jahr 1991 betrug der Zinssatz auf einer Schweizer Bank 5%. Wenn wir
anfangs des Jahres 100 Franken angelegt hätten, so sollte sich das Kapital nach
72
5
= 14, 4 , also nach ca. 15 Jahren auf 200 Franken verdoppelt haben.
Tatsächlich hätten wir aber 2005 nur 139 Franken auf unserem Konto gehabt
und nach 22 Jahren im Jahr 2012 erst 142,8 Franken. Das Modell kann für
unseren Fall nicht angewendet werden, da der Zinssatz nicht konstant ist.
Die nebenstehende Graphik
zeigt den Verlauf des Kapitals
von 1991 bis 2012.
Auch das Modell mit einem
mittleren Zinssatz von 2,2% für
die 15 Jahre von 1991 bis 2005
beschreibt den tatsächlichen
Verlauf des Kapitals nicht
korrekt. Ohne die Kenntnis der
Änderungsrate kann der Verlauf
des Kapitals nicht korrekt
beschrieben werden,
insbesondere ist K(t) keine Exponentialfunktion, da p nicht konstant ist.
12
DialogMathe
1.3.3 Anwendung Kapitalwachstum
Gleichungen, bei denen die Unbekannte im Exponenten ist, kommen in der
Praxis häufig vor, z.B. bei Wachstumsprozessen. Wir wollen als Beispiel das
Wachstum eines Kapitals auf einem Konto einer Bank analysieren.
Fragestellung
In welcher Zeit wächst ein Rappen beim Zinssatz 4% zu einem Franken an?
K 0 = Anfangskapital (1 Rappen = 0,01 Fr. )
K n = Kapital nach n Jahren mit Zinssatz p = 0,04 ( K n = 1 Fr. )
Manchmal wird präzise zwischen Zinsfuss und Zinssatz unterschieden. Der
Zinsfuss ist dann die Zahl vor dem %-Zeichen, bei einem Zinssatz von 4 % ist
also der Zinsfuss p = 4, dagegen ist der Zinssatz p = 4 % =
4
100
= 0,04.
Analyse: Wachstum des Kapitals (exponentielles Wachstum ! )
Kapital nach dem 1. Jahr: K1 = K 0 + p ⋅ K 0 = K 0 ⋅ ( 1 + p )
Anfangskapital wird mit dem Faktor 1 + p multipliziert.
Kapital nach dem 2. Jahr: K 2 = K1 + p ⋅ K1 = K1 ⋅ ( 1 + p ) = K 0 ⋅ ( 1 + p )
2
Kapital nach dem 3. Jahr: K 3 = K 2 + p ⋅ K 2 = K 2 ⋅ ( 1 + p ) = K 0 ⋅ ( 1 + p )
3
usw. allgemein für das Kapital nach n Jahren :
Kn = K0 ⋅ ( 1 + p )
n
1 + p heisst Wachstumsfaktor. Wir erhalten das Kapital K n indem wir den
Wachstumsfaktor mit n potenzieren und mit dem Anfangskapital K 0
multiplizieren. Dieses Verhalten des Kapitals nennen wir exponentielles
Wachstum. Sind alle Grössen ausser n bekannt, so muss die Gleichung nach n
aufgelöst werden!
Kn = K 0 ⋅ ( 1 + p )
n
; n=?
Schwierigkeit : Unbekannte im Exponent!
Strategie: Gleichung logarithmieren!
Kn = K0 ⋅ ( 1 + p )
n
Kn
n
= (1 + p )
K0
/ : K0
/ logarithmieren , [ log( ) = Logarithmus zur Basis 10 ]
K
n
log  n  = log  ( 1 + p ) 
K
 0
Der Exponent n kann nun als Faktor vor dem
Logarithmus geschrieben werden, so dass nach n aufgelöst werden kann.
13
Einführung
DialogMathe
K
log  n  = n ⋅ log [ 1 + p ]
 K0 
/ : log [ 1 + p ]
K
1 
log  n 
log 
2
 K0  =
 0,01  = log [ 100 ] =
= 117,4 Jahre
n=
log [ 1 + p ] log [ 1 + 0,04 ] log [ 1,04 ] 0,01703
Lösung mit dem Rechner
Der Rechner verwendet den ln( ) = Logarithmus zur Basis e (Eulersche Zahl).
Bei der allgemeinen Lösung verlangt der Rechner, dass die Zahl innnerhalb
K
des Logarithmuses positiv sein muss: Kn > 0 .
0
Betrachten wir die Gleichung vor dem logarithmieren:
Kn
n
= (1+ p ) .
K0
( 1 + p )n ist für alle n positiv, wenn 1 + p > 0 ist.
Funktional
Wir betrachten den Term ( 1 + p ) für p = 0,04 und alle möglichen n ∈ R .
n
Somit erhalten wir die Funktion f ( x ) = 1,04 x , die uns der Rechner graphisch
darstellen kann.
Der Graph zeigt uns, dass die Funktionswerte immer positiv sind! Der
Funktionsgraph verläuft für
negative x-Werte (zweiter
Quadrant) zwischen 0 und 1
für positive x-Werte (erster
Quadrant) zwischen 1 und
unendlich.
Der Graph verläuft immer steiler. Für x = 0 erhalten wir den Funktionswert 1.
14
DialogMathe
Für die Lösung der
Exponentialgleichung
( 1,04 )x = 100 erhalten wir
x = 117,4168.
Für den Logarithmus zur Basis 1,04 von 100 erhalten wir ebenfalls 117,4168.
Merke
Einen Logarithmus berechnen, heisst einen Exponenten bestimmen.
Übung
Wie lange dauert es, bis sich ein Kapital bei einem Zinssatz von 4%
verdoppelt?
1.3.4 Partnerinterview Bakterien in einem Jogurt
Partnerinterview Bakterien in einem Jogurt
Verdoppelung von Bakterien
Zeit: 10 Minuten
Löse das folgende Problem mit deinem Rechner:
In einem Jogurt befinden sich 1000 Bakterien. Die Bakterien können sich bei
Zimmertemperatur pro Stunde verdoppeln. Wenn sich 1‘000‘000 Bakterien im
Jogurt befinden bricht es. Nach wie vielen Stunden ist dies der Fall?
15
Einführung
DialogMathe
1.4 Finanzmathematik für Fortgeschrittene
1.4.1
Das Black-Scholes-Modell
Es handelt sich um ein finanzmathematisches Modell zur Bewertung von
Finanzoptionen, das von Fischer Black und Myron Samuel Scholes 1973 (nach
zweimaliger Ablehnung durch renommierte Zeitschriften) veröffentlicht
wurde und als ein Meilenstein der Finanzwirtschaft gilt. Erst mehr als zwei
Jahrzehnte später (1997) hat die Formel die ihr gebührende weltweite
Anerkennung bekommen: den „Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften“
Die Black-Scholes-Differentialgleichung kann durch geeignete Substitutionen
auf die Gestalt einer Wärmeleitungsgleichung transformiert werden. Es
ergeben sich als explizite Lösungen die Werte von Call und Put:
C ( S,t ) = S ⋅ Φ ( d1 ) − K ⋅ e −r ⋅( T − t ) ⋅ Φ ( d2 )
P ( S,t ) = K ⋅ e −r ⋅( T − t ) ⋅ Φ ( −d2 ) − S ⋅ Φ ( −d1 )
S
ln   + ( r + 21 ⋅ σ2 ) ⋅ ( T − t )
K
wobei d1 =  
, d2 = d1 − σ ⋅
σ⋅ T −t
Φ( x) =
T − t und
x
1
− 1 ⋅ z2
⋅ ∫ e 2 dz die Verteilungsfunktion der Standardnormal2π −∞
verteilung bezeichnet. Der Wert einer Option ist also durch 5 Parameter
bestimmt:
S: aktueller Aktienkurs
r: mit der Restlaufzeit der Option kongruenter Zinssatz
σ : Die zukünftige Volatilität des Basiswertes. Diese ist bei Vertragsabschluss
die einzige unbekannte Grösse und damit letztlich Gegenstand der
Preisfindung zwischen den Vertragsparteien. Im Black-Scholes-Modell
wird die Volatilität σ als konstant angenommen, was jedoch nicht zutrifft.
T – t: Restlaufzeit der Option mit Gesamtlaufzeit T zum Zeitpunkt t
K: Basispreis, als Vertragsbestandteil festgelegt
Anwendungsgebiete für das Black-Scholes-Modell
Zahlreiche Händler und Investoren von heute benutzen täglich das bewährte
Black-Scholes-Modell, um Aktienoptionen weltweit zu bewerten. Es existieren
16
Finanzmathematik für Fortgeschrittene
DialogMathe
inzwischen auch Methoden zur Bewertung von Anleihen, Futures, Devisen
und Gold. Auf seiner Basis sind zahlreiche neue Klassen von Finanzinstrumente ins Leben gerufen und etabliert worden. Aber auch Bürgschaften
und Versicherungsverträge werden nach dem Black-Scholes- Modell bewertet.
Das Modell gilt ebenfalls als Fundament von modernen Methoden für
effizientes Risikomanagement, ohne das die Verluste schwer unter einem
gewünschten Niveau zu halten wären. Mit Hilfe von Abwandlungen des
Black-Scholes-Modells werden auch zahlreiche ökonomische Probleme
analysiert. Viele der neuesten Einsatzgebiete der Black-Scholes-Formel
verdanken es dem dritten im Bunde, dem Amerikaner Robert Merton, der
u. a. Hedge Fonds betreut.
1.4.2
Finanzkrisen, Krise der Finanzmathematik?
Wenn zwei Nobelpreisträger und ein ehemaliger Vizepräsident der amerikanischen Notenbank einen Hedgefonds managen, kann eigentlich nicht viel
schief gehen … glaubte man zumindest bis zum September 1998. Dann bewies
die Beinahepleite des „Long Term Capital Management (LTCM)“-Fonds, dass
auch geballter ökonomischer Sachverstand nicht vor dem Bankrott schützt.
Die Schieflage von LTCM sandte Schockwellen durch das weltweite
Finanzsystem, die nur durch eine konzertierte Aktion der US-Notenbank und
mehrer internationaler Grossbanken eingedämmt werden konnten.
Die entscheidende Lehre aus dem LTCM-Debakel dürfte darin bestehen, dass
auch das ausgeklügeltste und komplexeste theoretische Modell niemals in der
Lage sein wird, das Verhalten der Welt im Allgemeinen und das der
Finanzmärkte im Besonderen adäquat zu beschreiben. Insofern können
Unternehmen nur davor gewarnt werden, ihre Entscheidungen
ausschliesslich auf derartige Modelle zu stützen und die Irrationalität
menschlichen Verhaltens auszublenden. In turbulenten Zeiten wie der
unsrigen sind die Nobelpreisträger des Jahres 1997 (Merton und Scholes)
offensichtlich schlechtere Ratgeber als die Nobelpreisträger des Jahres 2002
(Kahneman und Tversky), die das Bild vom „homo oeconomicus“ als
rationalem Entscheider gehörig relativiert haben.
17
Einführung
1.4.3
DialogMathe
Nachdenken statt Intuition
Die Verhaltensökonomie ist ein Teilgebiet der Wirtschaftswissenschaft. Sie
beschäftigt sich mit menschlichem Verhalten in wirtschaftlichen Situationen.
Dabei werden Konstellationen untersucht, in denen Menschen im
Widerspruch zur Modell-Annahme des Homo oeconomicus, also des
rationalen Nutzenmaximierers, agieren. Das Spezialfeld verhaltensorientierte
Finanzierungslehre beschäftigt sich mit irrationalem Verhalten auf Finanzund Kapitalmärkten.
Ob die moderne Verhaltensökonomie die Finanzkrisen hätte verhindern
können, bleibt ungeklärt. Nobelpreisträger Daniel Kahneman glaubt aber,
dass zukünftige Krisen vermeidbar sind - mit Nachdenken statt Intuition.
Beispiel: Ein Ball und ein Schläger
kosten zusammen 12 Franken. Der
Schläger kostet 10 Franken mehr als
der Ball. Was kostet der Ball?
Zwei Franken wirst du wahrscheinlich
sofort sagen. Jedenfalls tun das
regelmässig 80 Prozent der Befragten.
Doch richtig ist natürlich ein Franken. "Viele Menschen vertrauen ihren
Intuitionen allzu sehr", schreibt Kahneman. Der Bereich des Hirns, der für das
langsame Denken zuständig ist, schaffe es dann nicht, den spontanen ersten
Antwort-Impuls zu kontrollieren. Dabei hätten einige wenige Sekunden
mentaler Arbeit ausgereicht, tadelt Kahneman. Doch das sei nun einmal auch
sehr anstrengend.
18
Repetition Potenzen
DialogMathe
1.5 Repetition Potenzen
Grundlage für das Logarithmieren sind die Potenzgesetze. Daher repetieren
wir in diesem Kapitel die Potenzgesetze (potenzieren und radizieren).
1.5.1 Potenzgesetze
Multiplizieren von Potenzen
Gleiche Basen: am ⋅ an = am + n
Gleiche Exponenten: an ⋅ bn = ( a ⋅ b )
n
Dividieren von Potenzen
Gleiche Basen:
am
= am − n
an
an  a 
Gleiche Exponenten: n =  
b
b
n
Potenzieren von Potenzen
( am )
= ( an ) = am ⋅ n
n
Spezialfälle
m
a0 = 1
; a1 = a
Negative Exponenten
a −n =
Beachte
a
b
 
1
an
−2
b
=  
a
2
2a −2 = 2 ⋅
;
1
2
= 2
2
a
a
Eine Summe als Basis: ( a + b ) = a2 + 2ab + b2 Binom
2
( a + b )3 Pascalsches Dreieck
 1 + 1
a b


 a − 1
2



−1
−2
b+a
= 

 ab 
a−2
= 

 2 
−1
−2
=
ab
und
a+b
2
2 
4
= 
=

a−2
( a − 2 )2
Merke
Nie in eine Summe hineinpotenzieren, gleichnamig machen, dann
Potenzgesetzte benützen! Es gibt keine Potenzgesetze für Strichoperationen
(Addition und Subtraktion).
19
Einführung
DialogMathe
1.5.2 Schnellübung Potenzen
Repetitionstest, Potenzen, Zeit: 15 Minuten
1
a3 ⋅ a 3 =
26
2
a7 ⋅ a−4 =
3
4a4 + 3a4 =
27 5 ⋅  b ⋅ b3 ⋅ b−7  − 2 =


28 3n 2n − 2
a :a
=
4
4a4 ⋅ 3a4 =
5
a6 : a 4 =
6
( a3 )
7
( ab )4
4
=
a2b3
=
( − a4 )
9
 ( − a )4 


5
29
((a ) )
30
( −2a )3 =
31
( − a−3 )
32
b3
−2
−2 3
( −b )−3
8
=
5
=
51 1 : x −4 =
6a 6 : 3a9 =
−2
=
=
52
510 ⋅ 25 −5 =
53 x1−a : xa −1 =
54
( −2x )2 =
55
(( −a) )
4 5
56 x7 : x0 =
57 ( a − b )5
=
=
( b − a )4
=
33
( − a2 ) + ( −a )2 =
58 am +n : am −n =
34
( −1)10 ⋅ ( −1)19 =
59
( − a )0 =
10  2a2 3
 3  =
 b 
11 an + an =
35 ( 2a )2
=
4a2
2
36
( 2a2 ⋅ 3b3 ) =
60 4n +1
61
( a0 )
12 an ⋅ an =
62
a5 ⋅ 5a −5 =
13 an − an =
37  a−1 + a−1  − 2 =


38 3x 3x
a ⋅a ⋅a =
63
( − a4 )
14 an : an =
39 a5 : a− 4 =
64 a−2x + 3 : a−2x + 3 =
15 ( −a )3 ⋅ − a3 =
( )
40
( 3a3b4 )
16 ( −a )3 + − a3 =
( )
41
3a3 + 2a 2 =
17
( a6 :
a3 ) =
2
18 2 ⋅ ( −a )3 + 3a3 =
19
( a3 )
n +1
=
20  − a2  5 =


21 2a2b3 2 =
(
22
( −2a2b−3 )
4
=
−7
5
=
=
65 ( a + b )0 =
66
ax + y ⋅ a− x − y =
67 ( ab )5 : a5b3 =
(
)
43 3 a3b2 2 =
(
)
68
4x 0 ⋅ 2x ⋅ 3x 4 =
44 ( x − y )4 : ( y − x )2 =
69
( 2−1 + 3−1 ) =
( −a )2 ⋅ ( −a−2 ) =
( ax )
−y
=
70
−1
46 ( 6ab )2 : 3b =
71
47 ( −1)− 8 + ( −1) − 7 =
72 − a−10 0 =
( )
23 4 a4 ⋅ 3a−3 =
48
24 ( − a )7 : a7 =
49
25  a3 + a3  2 =


50
20
=
=
42 36 4 : 66 =
45
)
2
22n
a3 ⋅ a 4 ⋅ b0 ⋅ a1 =
( 5a5 y3 ) =
( −a−4 ) : ( −a )−4 =
73
( −a0 )
74
4a 2 + 2a 4 − 4a 2 =
75
( an −1 ) =
−2
( − a −n ) =
0
5
=
n +1
Repetition Potenzen
DialogMathe
1.5.3 Wurzeln
Definition
Die n – te Wurzel aus einer positiven Zahl a ist diejenige positive Zahl x, deren
n – te Potenz gleich a ist.
n
a = x , x ≥ 0 , Wurzelexponent n ∈ N , Radikand (Basis) a > 0
Wir können auch sagen
n
a ist die nicht – negative Lösung der Gleichung
xn = a .
n
1
a = an
n
a kann als Potenz dargestellt werden:
Zusammenhang Radizieren und Potenzieren
Radizieren
Potenzieren
a⋅b = n a ⋅n b
n
Radizieren von Produkten:
Faktor unter die Wurzel bringen:
n
Radizieren von Quotienten:
n
Radizieren von Potenzen:
Kürzen und Erweitern:
Radizieren von Wurzeln:
n
a⋅
n
b =
a
=
b
n
a
n
b
am =
am =
n m
x ⋅n
n
an ⋅ b
1
a ⋅ b n = ( an ⋅ b ) n
1
1
1
(n a )
m
m
1
1
( am ) n =  a n 
ax⋅m
n m
1
 a n = an
b
1
 
bn
m
an =a
x⋅m
x⋅n
1
a = n ⋅m a
Vertauschen der Wurzelexponenten:
1
1
(a ⋅b)n = an ⋅bn
1
1 n
am

 = a m ⋅n


a =
m n
a
1
1
1 n
 am
 1 m

 = an 




21
Einführung
DialogMathe
1.5.4 Schnellübung Wurzeln
Repetitionstest, Wurzeln, Zeit: 15 Minuten
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
1
x5
19.
1
⋅ x4 =
2
1
 a 54  2 =




1
1
1 x2 + 1 x2 =
4
2
1
1
1 x2 ⋅ 1 x2 =
4
2
3
1
 x12
 ⋅  x 81 

 


 

( 23 ⋅ x6 ⋅ y0 )
 1
  x 2

=
1
0 4
 
 x− 4 
 4 
 x 
− 1
4
=
Schreibe als Wurzel:
4
b3 =
x6 ⋅ 5 x4 =
5
(4 x )
4
3
x =
:
4
22.
5
24.
5 3
25.
9
x6 ⋅ 4 x12
26.
n
x 2n =
27.
2n
28.
x −1
1 y⋅
4
−5
y5 ⋅
4
3 ⋅ x 9 ⋅ x3 ⋅
3
x⋅
x =
x5 =
=
xn =
ax
2
−1
=
29.
( 3a )2 + ( 4a )2 =
30.
x6 + x ⋅ 3 x6 =
31.
4x + 3
32.
a2 + 2ab + b2 =
34.
17.
x
=
x
3
x 4 ⋅ y ⋅ 4 y3 =
4
0
−1
x 3 ⋅  x 3  =


23.
33.
16.
2
 5 x 2 ⋅ x 35  =




21.
7
x 8 ⋅ 4 x −3 =
x8 =
3
x :
  =
 
14.
22
1
3
=
1
x3
=
x⋅3 x
18.
−2
 22 ⋅ a 53 ⋅ a 31  2 =




13.
15.
20.
1
y3 : y4 =
4
9x =
16
+ 1 =
9
Mache den Nenner wurzelfrei
1
=
2+ 3
)
y7 ⋅ 4 y 3 ⋅ y − 6 =
35.
(
x2
36.
Vereinfache so weit wie möglich (Nenner wurzelfrei)
a−b
=
a− b
2
3
x
=
6
x10 ⋅
3 4
x2
2
=
Logarithmus = Exponent
DialogMathe
2 Definition des Logarithmus
Die Exponentialgleichung a x = b mit a,b ∈ R + und a ≠ 1 besitzt stets genau
eine Lösung x. Die Zahl x nennen wir den Logarithmus von b zur Basis a.
Beispiel
2x = 64 →
x=6
( weil 64 = 26 )
x = 6 ist der Logaritmus zur Basis 2 von 64 [ x = log 2 ( 64 ) = 6 ].
Im folgenden definieren wir den Logarithmus als Lösung einer
Exponentialgleichung.
2.1 Logarithmus = Exponent
Definition
Der Logarithmus einer Zahl b zur Basis a ist derjenige Exponent, mit dem wir
a potenzieren müssen, um b zu erhalten.
ax = b
⇔
x = log a ( b )
; a,b ∈ R + und a ≠ 1
Merke
Einen Logarithmus zu berechnen heisst , den Exponenten einer Potenz zu
bestimmen.
log a ( b )
Folgerung: a
Beispiele
=b
„Logarithmieren und potenzieren heben sich auf“
1) Berechne log 4 ( 16 )
Strategie: Übergang zur Exponentialgleichung: x = log 4 ( 16 ) ⇒ 4x = 16
Wir suchen eine Zahl x mit der wir die Basis 4 potenzieren müssen, so
dass wir 16 erhalten. Da wir 16 = 4 2 als Potenz zur Basis 4 schreiben
können folgt mit 4 x = 16 = 42 durch den Vergleich der Exponenten: x = 2
und somit log 4 ( 16 ) = 2 .
Also können wir sagen: log 4 ( 16 ) = 2 , denn 42 = 16 .
2) log 3 ( 81) = 4 , denn 3 4 = 81
( )
3) log 2 1 = −2 , denn 2 −2 = 1
4
4
23
Definition des Logarithmus
DialogMathe
4) log 10 ( 100 ) = 2 , denn 102 = 100
5) log 10 ( 110 ) = ?
x = log 10 ( 110 )
⇒ 10x = 110 . Diese Gleichung
lässt sich nicht mehr im Kopf berechnen.
Einsatz Rechner
Der Logarithmus lässt sich von Hand nur für spezielle Zahlen bestimmen, im
allgemeinen müssen wir die Berechnung von Logarithmen dem Rechner
überlassen, so wie wir das bei den trigonometrischen Funktionen tun müssen.
Beispiel: log 10 ( 110 ) = ? Rechner : log 10 ( 110 ) = 2,04139
Der Logarithmus von 110 zur Basis 10 ist 2,04139, weil 10 2,04139 = 110 ist.
log 10 ( 110 ) = 2,04139 ist also der Exponent mit dem die Basis 10 potenziert
werden muss, damit wir 110 erhalten.
2.1.1 Verschiedene Logarithmen (Basen)
Als Basis können alle positiven reellen Zahlen ausser 1 verwendet werden.
Die wichtigsten Basen sind die folgenden.
10 – er Logarithmus
Basis a = 10
10 – er Logarithmus (Dekadischer Logarithmus): log(x)
[ log10 (x) = log(x) ; log ohne Angabe der Basis bedeutet Basis 10]
Beispiele
log(1) = 0 , denn 100 = 1
log(10) = 1 , denn 101 = 10
log(100) = 2 , denn 102 = 100
1 ) = −1 , denn 10−1 = 1
log(10
10
1 ) = −2 , denn 10 −2 = 1
log(100
100
24
usw.
DialogMathe
2 – er Logarithmus
Basis a = 2
2 – er Logarithmus (Binärlogarithmus): lb(x)
[ log2 ( x ) = lb(x) ]
Beispiele
lb(2) = 1 , denn 21 = 2
lb(16) = 4 , denn 24 = 16
lb(1024) = 10 , denn 210 = 1024
natürliche Logarithmus
Basis a = e = 2,71828......
Logarithmus naturalis: ln(x)
[ loge ( x ) = ln(x) ]
Der natürliche Logarithmus hat eine besondere Bedeutung in den
Anwendungen der Naturwissenschaften und der Technik.
Basiszahl ist die Eulersche Zahl e = 2,71828......
Beispiel: ln(10) = ?
Mit dem Rechner ln(10) = 2,30259 , denn e 2,30259 = 10
Eulersche Zahl
Die Eulersche Zahl kann als
Grenzwert dargestellt
werden.
(
)
k

lim  1 + 1  = e
k 
k →∞ 
e ≈ 2,71828183…
Rechner
Viele Rechner können nur mit dem 10er und dem natürlichen Logarithmus
rechnen. Um beliebige Logarithmen zu
berechnen, muss jeweils ein Basiswechsel gemacht werden (siehe Kap. 2.2.8).
Unser TI-Nspire kann beliebige Logarithmen berechnen.
25
DialogMathe
2.1.2 Übungsaufgaben zur Definition des Logarithmus
1) Schreibe die Lösung x der folgenden Gleichungen als Logarithmus.
1a)
1b)
1c)
1d)
5 x = 10
ax = b
px = a
b
( 21 )
x
=g
ux = v − 3
1e)
2) Welche Exponentialgleichung hat die Lösung x?
2a)
x = loga ( k )
2b)
x = log3 ( 5 )
2c)
x = logb a1
2d)
2e)
2f)
2g)
( )
x = log
2
( 10 )
x = ln ( 3 )
x = log ( a )
x = lb ( 100 )
x = ln ( 10 )
2h)
3) Berechne die folgenden Logarithmen
(Schreibe um in die Exponentialgleichung und löse diese)
3a)
3b)
3c)
3d)
3e)
26
log3 ( 9 ) =
log5 ( 5 ) =
( )
log4 41 =
log7 ( 1) =
4 log 4 ( 2 )
3f)
log ( 1000 ) =
3g)
lb ( 32 ) =
3h)
ln (
e
)=
DialogMathe
Spezialfälle
Die folgenden vier Spezialfälle helfen uns schnell und einfach mit den
Logarithmen im Kopf zu rechnen.
1.
aloga ( b ) = b
2.
loga ( 1) = 0
3.
loga ( a ) = 1
4.
loga ( a x ) = x
Merke: Strategie zur Berechnung von speziellen Logarithmen
Bei der Schnellübung 2.1.4 kannst du bei den Berechnungen der Logarithmen
oftmals die Spezialfälle 1 bis 4 verwenden. Hin und wieder lassen sich sogar
mehrere Spezialfälle auf eine Aufgabe anwenden. Falls es dir nicht gelingt
einen Spezialfall zu erkennen, so schreibe den Logarithmus um in die
Exponentialgleichung und versuche diese zu lösen.
Beispiele von Übung 3
log3 ( 9 ) = log3 ( 32 ) = 2
Spezialfall 4 (Logarithmus und Potenz haben gleiche Basis) 9 als Potenz zur
Basis 3 schreiben. Der Logarithmus ist dann der Exponent!
Alternativ: Exponentialgleichung log3 ( 9 ) = x
⇔
3 x = 9 = 32
→
x=2
→
x =1
log5 ( 5 ) = 1
Spezialfall 3 (Basis und Numerus sind gleich) oder
log5 ( 51 ) = 1
Spezialfall 4 (Logarithmus und Potenz haben gleiche Basis)
⇔
5 x = 5 = 51
27
DialogMathe
( )
log4 41 = log4 ( 4−1 ) = −1
Spezialfall 4
( )
Alternativ: Exponentialgleichung log4 41 = x
⇔
4 x = 41 = 4−1 → x = −1
log7 ( 1) = 0 Spezialfall 2 oder
log7 ( 70 ) = 0 Spezialfall 4
⇔
7 x = 1 = 70
→
x=0
4 log 4 ( 2 ) = 2 Spezialfall 1 (Potenz und Logarithmus haben gleiche Basis)
1
Oder log 4 ( 2 ) = log 4  4 2  = 1

 2
→
1
4 log 4 ( 2 ) = 4 2 = 2
log ( 1000 ) = log ( 103 ) = 3 Spezialfall 4
Alternativ: Exponentialgleichung log ( 1000 ) = x ⇔ 10 x = 1000 = 103 → x = 3
lb ( 32 ) = log2 ( 2 5 ) = 5 Spezialfall 4
Alternativ: Exponentialgleichung
log2 ( 32 ) = x
ln (
⇔
2 x = 32 = 2 5
) = loge  e 2  = 21
1
e
→
x=5
Spezialfall 4
Alternativ: Exponentialgleichung
ln (
28
e
)=x
⇔
ex =
1
e = e 2 → x = 21
DialogMathe
2.1.3 Partnerinterview Grundbeziehungen
Partnerinterview Logarithmen
Vier wichtige Grundbeziehungen
Zeit: 20 Minuten
Erkläre die folgenden Gleichungen. Mache dir klar, dass diese Beziehung
direkt aus der Definition ax = b ⇔ x = log a ( b ) folgt. Analysiere die
Gleichungen und mache Beispiele!
loga ( b )
=b
Spezialfall 1 : a
Spezialfall 2 :
loga ( 1 ) = 0
Spezialfall 3 :
loga ( a ) = 1
Spezialfall 4 :
loga ( a x ) = x
29
DialogMathe
2.1.4 Schnellübungen Logarithmen
Repetitionstest 1
Logarithmen
Zeit: 15 Minuten
Schreibe die Lösung x der
Gleichung als Logarithmus
1 ax = b
Welche Exponentialgleichung hat die Lösung x?
x = logb ( a )
6
Berechne x
11
log6 ( x ) = 1
x=
2
3
4
2) = a
x
12
13
x = logc b1
x = log
9
5
loga ( x ) = 0
x=
( )
8
ex = π
(
x = log5 ( 6 )
7
3 x = 30
log3 ( x ) = −3
x=
( 15 )
14
1 
logx 
 = −4
25


x=
5
( 0,5 ) x = p
Berechne
16 log3 ( 9 ) =
10
x = ln ( e2 )
15
x=
28
2
log4 ( 9 )
=
17
log3 ( 312 ) =
29
log ( 0,01) =
18
log 1 ( 125 ) =
30
log3
31
log
5
19
7
log7 ( 5 )
=
( )
(
2
)
33 =
(8) =
20
log16 21 =
32
log ( 10 ' 000 ) =
21
log5 ( 1) =
33
log9 ( 3 ) =
22
loga2 ( a8 ) =
34
log 1 ( a ) =
23
log ( 10100 ) =
35
log 1 ( 1 ) =
24
log2
36
25
log ( 1) =
1
loga  a b  =


2
log1 ( a ) =
(4 2) =
37
logx ( 9 ) = 1
a
a
a
( 15 ) =
26
log5
27
ln ( e ) =
30
( )
38
log2 81 =
39
ln ( 1) =
DialogMathe
40
41
log2
(
ln ( e
3
42
46
)
25 =
47
)=
4
45
a
log2 ( 1)
log a ( 1)
( )
48
( 25 ) =
loga
(
log
2
49
log27 ( 3 ) =
44
log2 ( 16 ) =
ln 12 =
e
1 ⋅ ln
e2
43
6
50
=
)
a5 =
(8) =
log81 ( 9 ) =
51
=
4
16
log4 (
3
)=
Berechne x
52
log5 ( x ) = 0
x=
53
logx ( 16 ) = 2
x=
54
logx 21 = 21
( )
x=
55
logx ( 8 ) = − 3
x=
56
log4 ( x ) = 21
x=
57
logx ( 2 ) = − 21
x=
58
log
59
5log( x ) = 1
x=
60
logx ( an ) = 2n
x=
x
( 31 ) = −2
x=
31
DialogMathe
Lösungen Repetitionstest 1
Aufgabe 1 bis 5: Schreibe
die Lösung x der Gleichung als Logarithmus
1 ax = b
x = loga ( b )
Aufgabe 6 bis 10: Welche
Exponentialgleichung hat
die Lösung x?
x = logb ( a )
6
2
3 = 30
x = log3 ( 30 )
7
ex = π
x = ln ( π )
8
(
9
3
4
5
x
17
log3 ( 312 ) = 12
18
log1 ( 125 ) = log 1
/ a0 = x
cx = 1
b
x = log
5
(
= 15
5
)
x
5
((
( 15 )
x = ln ( e2 )
log3 ( x ) = −3
x= 1
27
14
1 
−4
1
logx 
 = − 4 / x = 25
 25 
15
)
/ 3 −3 = x
x 4 = 25 = (
5
)
logx ( 9 ) = 1
/ x1 = 9
4
x=
5
x=9
Spezialfall 4¨
3 x = 9 = 32
Spezialfall 4
1
5
61 = x
13
9 zur Basis 3 schreiben!
−3
) = −3
( 51 )
Exponentialgleichung:
x
3 x = 312
( )
= 125 = 53 = 51
Spezialfall 4
−3
7 7 ( ) = 5 Spezialfall 1
Logarithmieren als Umkehrung des Potenzierens (gleiche Basen 7)
1
−1
1 zur Basis 16 schreiben! Spezialfall 4
log16 ( 21 ) = log16 ( 16 ) 4 = −
2
4
log 5
)
(
1 4
Exponentialgleichung: 16 x = 21 = ( 16
) = ( 16 )− 4
log5 ( 1) = 0
Spezialfall 2: Logarithmus von 1 ist immer 0!
1
21
12
x=6
loga ( x ) = 0
e x = e2
20
/
x =1
( )
10
Berechne
16 log3 ( 9 ) = log3 ( 32 ) = 2
19
log6 ( x ) = 1
6
x = logc b1
(a)
( 0,5 ) x = p
x = log0,5 ( p )
5
x = log5 ( 6 )
5x =
2) = a
2
11
bx = a
x
x = log
Berechne x
1
Exponentialgleichung: 5 x = 1 = 50
22
loga2 ( a8 ) = loga2
((a ) ) = 4
2 4
23
24
log ( 10100 ) = 100
x
( 4 2 ) = log2  24  = 41
Spezialfall 4
= a2x = a8 ⇒ 2x = 8 ⇒ x = 4
Spezialfall 4
1
log2
( a2 )
a 8 zur Basis a 2 schreiben!
Wurzel als Potenz schreiben!
10 x = 10100
Spezialfall 4
1
25
Exponentialgleichung: 2 x = 4 2 = 2 4
log ( 1) = 0
Exponentialgleichung: 10 x = 1 = 100
32
DialogMathe
26
log5
( 15 ) = log
 5− 21  = − 1


2


5
1
−1
5 x = 1 = ( 5 ) =  5 2 
5


27
1
1
ln ( e ) = ln  e 2  =

 2
2
log4 ( 9 )
( )
1
= 42
log4 ( 9 )
29
log ( 0,01) = log ( 10
=5
Spezialfall 4
−1
2
Spezialfall 4
1
ex =
e = e2
(
= 4 log4 ( 9 )
−2
−1
e als Potenz schreiben!
28
5
)
1
2
1
= ( 9 )2 = 3
Spezialfall 1
Reihenfolge des Potenzierens vertauschen
) = −2
0,01 als Zehnerpotenz schreiben!
Spezialfall 4
Exponentialgleichung: 10 x = 0,01 = 10−2
30
log3
(
)
 3 3
33 = log3  3 2  =

 2
33 in eine Potenz umschreiben! Spezialfall 4
3
Exponentialgleichung: 3 x =
31
log
2
( 8 ) = log
2
((
2
)
32
)=6
2
x
8 zur Basis
= 8 = 23 =
log ( 10 ' 000 ) = log ( 104 ) = 4
1
1
log9 ( 3 ) = log9  9 2  =
2


log1 ( a ) = log1
Spezialfall 4
( 32 )
2x = 1 ⇒
a
a
−1
log 1 ( 1) = 0
a
36
1
1
loga  ab  =

 b
37
log 1 ( a2 ) = log 1
38
40
((
1
a
( a1 )
x
−2
log2
(
6
⇒
x=
1
2
( )
x
−1
= 1=
( a1 )
0
Spezialfall 4
1
a x = ab
( )
Exponentialgleichung: a1
8
2x = 81 = 13 = 2− 3
2
x
( )
= a2 = a1
−2
Spezialfall 4
)
 5 5
25 = log2  2 6  =

 6
41
( a1 )
) ) = −2
a
a
log2 ( 81 ) = log2 ( 2− 3 ) = −3
ln ( 1) = 0
= 32x
a zur Basis a1 schreiben!
Spezialfall 4
39
x
= a = a1
35
⇒
( ( ) ) = −1
1
a
6
10'000 als Zehnerpotenz schreiben! Spezialfall 4
Exponentialgleichung: 9x = 31
34
2
2 schreiben! Spezialfall 4
10 x = 10 ' 000 = 10 4
33
6
33 = 3 2
Wurzel als Potenz schreiben! Spezialfall 4
2x =
6
5
25 = 26
ln ( e3 ) = 3 ; ln ( e3 ) = loge ( e3 ) = 3
Spezialfall 4 Exponentialgleichung: e x = e3
33
42
43
(
( 25 ) = e ln( 25 )
1 ⋅ ln
e2
)
DialogMathe
1
2
1
= ( 25 ) 2 = 5
Potenzgesetze! Spezialfall 1
1
1
log27 ( 3 ) = log27  27 3  =

 3
Spezialfall 4
Exponentialgleichung: 27 x = 3 = ( 33 ) 3 = ( 27 ) 3
1
44
45
4
log2 ( 1)
4
log2 ( 1)
a
log a ( 1)
a
log a ( 1)
Exponent berechnen : log2 ( 1) = 0
= 40 = 1
= ( 22 )
(
log2 ( 1)
47
log
2
4
)
 5
a5 = loga  a4

( 8 ) = log
2
((
 5
=
 4
)=6
6
(
3
1
e2
Spezialfall 4 Exponentialgleichung: ax =
4
= e−2
5
a5 = a 4
Spezialfall 4
2 ) = 8 = 23 = ( 2 )
x
1
1
log81 ( 9 ) = log81  81 2  =
2


log4 (
Exponentialgleichung: ex =
Spezialfall 4
6
Spezialfall 4
81x = ( 92 ) = 92x = 91 ⇒ 2x = 1 ⇒ x =
x
51
Spezialfall 4
2 x = 16 = 2 4
2)
50
Spezialfall 1
( )
(
= 12 = 1
= a0 = 1 Exponent berechnen, Spezialfall 2
ln 12 = ln ( e−2 ) = −2
e
loga
)
2
Spezialfall 2 oder
= 1 Spezialfall 1 oder
log2 ( 16 ) = log2 ( 24 ) = 4
49
log2 ( 1)
= 2
46
48
1
1
2
) = ( 42 ) log4 ( 3 ) =  4log4 ( 3 )  2 = ( 3 ) 2 = 3


Spezialfall 1


16 zur Basis 4 schreiben! Reihenfolge des Potenzierens vertauschen
16
Wechsle jeweils von der Logarithmengleichung zur Exponentialgleichung!
Berechne x
log5 ( x ) = 0
52
50 = x
x =1
x=
53
logx ( 16 ) = 2
x = 16
54
logx 21 = 21
x2 =
55
logx ( 8 ) = − 3
56
log4 ( x ) = 21
logx ( 2 ) = − 21
57
( )
( 31 ) = −2
58
log
59
5log( x ) = 1
60
34
x
logx ( an ) = 2n
2
1
2
1
2
( )
x −3 = 8 = 23 = 21
−3
1
42 = x
−1
x 2
(
=2=
x)
−2
16 = 4
1
42
( )
= 41
−1
2
1
1
x =   =
2
4
 
1
x=
2
x=2
1
x=
4
1 1
=
x=3
x 3
Exponent muss 0 sein: log ( x ) = 0 ; 100 = x ;
x =1
x 2n = an
=
;
x2 = a
x=
a
DialogMathe
Fehleranalysen und Ideensammlung
Zeit: 20 Minuten
Analysiere deine Fehler in der vorangegangenen Schnellübung!
Erstelle eine Ideensammlung! Mache analoge Beispiele!
Beispiel
Analoges Beispiel
35
DialogMathe
Repetitionstest 2
Logarithmen
Zeit: 15 Minuten
Zeit: 20 Minuten
Aufgabe 1 bis 3: Schreibe die Lösung x der Gleichung als Logarithmus
1
x=
px = a
2
3
ex = 3
x=
5 x = 10
x=
Aufgabe 4 bis 11: Gebe die Exponentialgleichung der Lösung x an und berechne dann x!
4
x = log ( 10 )
⇔
5
6
x = log3 ( 1)
⇔
7
8
x = ln ( e5 )
⇔
9
10
x = log4 ( 2 )
11
⇔
x=
x=
x=
x=
Aufgabe 12 bis 15: Entscheide, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind!
12
Der Logarithmus ist ein Exponent
13
b = loga ( c ) bedeutet in Worten: „Der Logarithmus zur Basis a von c ist
14
die reelle Zahl c, mit der ich b potenzieren muss, um a zu erhalten.
Es gilt : log ( −10 ) = − log ( 10 )
15
Es gilt : loga ( an ) = n und deshalb auch loga ( a ) = 1 und loga ( 1) = 0
Aufgabe 16 bis 29: Berechne
16 log4 ( 16 ) =
25
25
log ( 100 ) =
log3 (
18
log 1 ( 51 ) =
24
log9 ( 33 ) =
19
5
log5 ( 7 )
=
25
log
20
log4 21 =
26
1
log ( 1000
)=
21
ln ( 1) =
27
log 1 ( 8−3 ) =
28
loga ( an − 2 ) =
29
log1 ( 2 ) =
5
( )
(
)=
22
ln
23
log ( 10 ) =
36
5
e
2
2
richtig
falsch
richtig
falsch
=
17
3
)=
log5 ( 2 )
24
richtig
falsch
richtig
falsch
(4) =
8
2
DialogMathe
30 loga ( 1) =
31
log2n ( 4n2 ) =
32
log
33
log
34
5log( 1) =
35
log5
36
eln( 5 ) =
37
log2
((
2
10 )
10
(
)=
)
23 =
( 15 ) =
(
6
)
25 =
38
3log9 ( 3 ) =
39
101 + log( 3 ) =
40
ln ( e ⋅ 5 e
41
23 − log2 ( 3 ) =
42
log 8 ( 41 ) =
43
1 =
log5 25
44
ln ( 1) =
45
(
)=
( )
3
) log ( 81) =
9
Aufgabe 46 bis 60: Berechne x
log8 ( x ) = 0
46
x=
47
log5 ( x2 ) = 2
x=
48
log3 ( x ) = −2
x=
49
log7 ( x ) = 1
2
x=
50
logx ( 5 ) = 1
2
x=
51
log
(x) = 4
x=
52
log7 ( x ) = 1
x=
53
logx 21 = −1
( )
x=
54
logx ( 8 ) = − 3
x=
55
log4 ( x ) = 21
x=
56
logx ( 2 ) = − 21
x=
57
log
58
5log( x ) = 5
x=
59
logx ( 43 ) = 6
x=
60
loga 1x = −5
(a )
x=
a
x
( 51 ) = −2
x=
37
DialogMathe
Lösungen Repetitionstest 2
Aufgabe 1 bis 3: Schreibe die Lösung x der Gleichung als Logarithmus
1
x = log p ( a )
px = a
2
3
ex = 3
x = ln ( 3 )
5 x = 10
x = log 5 ( 10 )
Aufgabe 4 bis 11: Gebe die Exponentialgleichung der Lösung x an und berechne dann x!
4
x = log ( 10 )
⇔
10 x = 10
5
6
x = log 3 ( 1)
⇔
3x = 1
7
8
x = ln ( e5 )
⇔
e x = e5
10
x = log 4 ( 2 )
⇔
4x = 2
x =1
x=0
9
x=5
1
x=
2
11
Aufgabe 12 bis 15: Entscheide, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind!
12
Der Logarithmus ist ein Exponent
13
b = loga ( c ) bedeutet in Worten: „Der Logarithmus zur Basis a von c ist
14
die reelle Zahl c, mit der ich b potenzieren muss, um a zu erhalten.
Es gilt : log ( −10 ) = − log ( 10 )
15
Es gilt : loga ( an ) = n und deshalb auch loga ( a ) = 1 und loga ( 1) = 0
16
log4 ( 16 ) = log4 ( 42 ) = 2
17
log3 (
18
log1 ( 51 ) = 1
19
5
3
) = log3 ( 3
1
2
) = 21
5
log5 ( 7 )
=7
24
25
log5 ( 2 )
(
= 5
log5 ( 2 )
)
2
log ( 100 ) = log ( 102 ) = 2
24
 1
log9 ( 33 ) = log9  9 2

log
2
( 4 ) = log
( )  = log ( 9 ) = 32
(( 2) ) = 4
3
9
−1
log4 21 = log4  4 2  = − 21


26
1
log ( 1000
) = log ( 10−3 ) = −3
21
ln ( 1) = 0
27
log 1 ( 8 −3 ) = log 1
8
22
23
38
ln
(
5
)
2
e2 = ln  e5  = 52


1
log ( 10 ) = log  102  = 21


8
(( ) ) = 3
1 3
8
28
loga ( an − 2 ) = n − 2
29
log 1 ( 2 ) = log 1
2
2
3
2
4
2
20
( )
richtig
falsch
richtig
falsch
= 22 = 4
25
25
richtig
falsch
richtig
falsch
((
)
1 −1
2
) = −1
DialogMathe
30 loga ( 1) = 0
(
31
log2n ( 4n2 ) = log2n ( 2n )
32
log
33
log
34
5log( 1) = 50 = 1
((
2
10 )
23
)=2
) = log ( 10 ) = 5
) = log ( ( 2 ) ) = 3
10
(
2
5
3
2
38
3log9 ( 3 ) = 9log9 ( 3 )
39
101 + log( 3 ) = 10 ⋅ 10 log( 3 ) = 10 ⋅ 3 = 30
40
ln ( e ⋅ 5 e
41
23 − log2 ( 3 ) =
42
log 8 ( 41 ) = − 32
(
)2 = ( 3 )2 =
1
1
3
) = ln  e5  = 56
6
23
8
=
2 log2 ( 3 ) 3
8x = 41 → 23x = 2−2 → 3x = −2 → x = − 32
35
36
37
log5
( 15 ) = log
5
 5 − 21  = − 1


2


eln( 5 ) = 5
log2
(
6
)
25 = log2 

5
26
=5

 6
( )
43
1 = log 5 −2 = −2
log5 25
)
5(
44
45
ln ( 1) = 0
(
(
) log ( 81) = ( 9log ( 81) ) 4 = ( 81) 4 = 3
2
log 9
3 ) log ( 81) = ( 3 ) ( ) = ( 3 ) = 3
1
3
9
9
9
Aufgabe 46 bis 60: Berechne x
log8 ( x ) = 0
46
80 = x
log5 ( x 2 ) = 2
52 = x 2
x=5
48
log3 ( x ) = −2
3 −2 = x
x=1
9
49
log7 ( x ) = 1
2
72 = x
50
logx ( 5 ) = 1
2
x2 = 5
1
x=
1
(
)
log
52
log7 ( x ) = 1
71=
53
logx 21 = −1
( )
x −1 =
54
logx ( 8 ) = − 3
x −3 = 8
55
log4 ( x ) = 21
42 = x
x=2
56
logx ( 2 ) = − 21
−1
2
x= 1
4
( 51 ) = −2
57
log
58
5log( x ) = 5
59
logx ( 43 ) = 6
60
loga 1x = −5
x
(a )
a
4
=x
x = a2
x = 49
x
x=2
1
2
x=1
2
1
x
(
x
=2
)
−2
7
x = 25
51
(x) = 4
= 51
x=5
log ( x ) = 1
x = 10
x 6 = 43 = 26
x=2
a −5 =
1
a5
2
x =1
47
a
1
9
=
1
ax
x=5
39
DialogMathe
2.2 Rechengesetze für Logarithmen
2.2.1 Logarithmus eines Produkts
Satz
Ein Produkt wird logarithmiert, indem wir die Logarithmen der Faktoren
log ( u ⋅ v ) = log ( u ) + log ( v )
addieren.
Beweis
Ist loga ( u ) = x und loga ( v ) = y
→ ax = u und a y = v
→ u ⋅ v = ax ⋅ ay = a x + y
Somit ist loga ( u ⋅ v ) = x + y = loga ( u ) + loga ( v )
Beispiele
1)
log ( 2 z ) = log ( 2 ) + log ( z )
2)
log ( p qr ) = log ( p ) + log ( q ) + log ( r )
3)
log ( ab − a c ) = log ( a ⋅ [ b − c ] ) = log ( a ) + log ( b − c )
4)
log ( x 2 − y 2 ) = log ( [ x + y ] ⋅ [ x − y ] ) = log ( x + y ) + log ( x − y )
2.2.2 Logarithmus eines Quotienten
Satz
Ein Quotient (Bruch) wird logarithmiert, indem wir vom Logarithmus des
Zählers den Logarithmus des Nenners subtrahieren.
u
log   = log ( u ) − log ( v )
v
Beweis
Ist loga ( u ) = x und loga ( v ) = y
→ ax = u und a y = v
→
u ax
=
= ax − y
v ay
u
Somit ist loga   = x − y = loga ( u ) − loga ( v )
v
Spezialfall
1
log   = − log ( v )
v
Beispiele
1)
2)
( )
log ( 41 ) = log ( 1) − log ( 4 ) = − log ( 4 )
log 78 = log ( 7 ) − log ( 8 )
=0
40
3)
a−b 
log 
 = log ( a − b ) − log ( x + y )
x+y
4)
 x2 − y2 
log  2
= log ( x 2 − y 2 ) − log ( x 2 + y 2 )
2 
x +y 
Rechengesetze für Logarithmen
DialogMathe
= log ( [ x + y ] ⋅ [ x − y ] ) − log ( x 2 + y2 )
= log ( x + y ) + log ( x − y ) − log ( x 2 + y 2 )
2.2.3 Partnerinterview Rechengesetze
Rechengesetze
Zeit: 20 Minuten
MERKE:
Der Logarithmus aus einer Summe oder einer Differenz kann nicht
„gezogen“ werden!!!
Diskutiere und mache dir folgendes klar!
•
Ist im Logarithmus eine Summe oder eine Differenz vorhanden, so
müssen wir faktorisieren (d.h. in ein Produkt verwandeln), bevor wir
den Logarithmus ziehen können!
•
Die Strichoperationen (1. Stufe) blockieren den Logarithmus
(Operation 3. Stufe).
•
Für den Logarithmus gibt es nur Rechengesetze für die Operationen 2.
Stufe (Multiplikation, siehe Kap. 2.2.1 und Division, siehe Kap. 2.2.2)
und 3. Stufe (Potenzieren, siehe Kap. 2.2.5)
Logarithmengesetz:
log ( u ⋅ v ) = log ( u ) + log ( v )
Analysiere die folgenden Gleichungen (Wo liegt der Fehler?):
log ( u + v ) = log ( u ) + log ( v )
log ( u + v ) = log ( u ) ⋅ log ( v )
log ( u ⋅ v ) = log ( u ) ⋅ log ( v )
41
DialogMathe
u
log   = log ( u ) − log ( v )
v
Logarithmengesetz:
Analysiere die folgenden Gleichungen (Wo liegt der Fehler?):
log ( u − v ) = log ( u ) − log ( v )
log ( u − v ) =
log ( u )
log ( v )
log ( u )
u
log   =
 v  log ( v )
Analogien:
•
Logarithmus: log ( u + v ) ≠ log ( u ) + log ( v )
•
Wurzelziehen:
a2 + b 2 ≠
a2 +
b2 = a + b ,
denn ( a + b ) = a2 + 2ab + b2 (Binom mit Doppelprodukt !!!)
2
•
Potenzieren einer Summe:
Falsch: ( a + b )
−1
Richtig: ( a + b )
•
−1
≠ a−1 + b−1 =
=
1 1
a+b
+ =
a b
ab
1
a+b
Kürzen eines Bruches: „Über Summen kürzen nur die Dummen!“
Richtig oder falsch?
log ( x + 5 ) = log ( x ) + log ( 5 )
log ( 5 ⋅ x ) = log ( 5 ) + log ( x )
log ( x + x ) = log ( 2 ) + log ( x )
log ( 5 ⋅ x ) = 5 ⋅ log ( x )
log ( x + x ) = 2 ⋅ log ( x )
42
DialogMathe
2.2.4
Übungsaufgaben Rechengesetze
Übung 1: Zerlege die Terme mit Hilfe der Logarithmengesetze.
a) log ( 5xy ) =
b) log ( 4a2 − 9b2 ) =
c) log ( ap + bp + aq + bq ) =
1 
d) log 
=
x−y
ab − ac 
e) log 
=
ab
+ ac 

abc 
f) log 
=
 de 
17xy 
g) log 
=
 5z 
h) log ( x 2 + y 2 ) =
 5[ a + b ] 
i) log 
=
 3c [ x − y ] 
 1 − a2 
k) log  2
=
2 
a −b 
43
DialogMathe
Übung 2: Gegeben ist log ( a ) = 1,5 und log ( b ) = 0,5
a) Berechne (ohne Rechner) das Produkt a ⋅ b .
b) Berechne (ohne Rechner) den Quotienten
a
.
b
Übung 3: Fass zu einem einzigen Logarithmus zusammen!
a) log ( a ) + log ( b ) =
b) log ( a ) − log ( b ) =
c) log ( x ) + log ( y ) − [ log ( u ) + log ( v ) ] =
d) − log ( c ) =
e) − log ( a ) − log ( b ) − log ( c ) =
1
f) − log   =
x
a+b
g) − log 
=
x+y
a
b
c
a⋅x 
h) log   + log   + log   − log 
=
b
c
d
 
 
 
 d⋅y 
44
DialogMathe
2.2.5 Logarithmus einer Potenz
Satz
Eine Potenz wird logarithmiert, indem wir den Logarithmus der Basis mit
dem Exponenten multiplizieren.
log ( bn ) = n ⋅ log ( b )
Beweis
Ist loga ( b ) = x
→ ax = b
→ bn = ( ax ) = an ⋅ x
n
Somit ist loga ( bn ) = loga ( an ⋅ x ) = n ⋅ x = n ⋅ loga ( b )
Der Exponent n kann eine beliebige reelle Zahl sein, z.B. ein Bruch n = uv .
Dann gilt nach obigem Rechengesetz:
loga
(
Beispiele
( )
)
u
b u = loga b v = u
v ⋅ loga ( b )
v
( )
1) log a5 = 5 ⋅ log ( a )
(
2) log ( x + y )
3) log
(
3
3
) = 3 ⋅ log ( x + y )
)
x 4n = 4n
⋅ log ( x )
3
 ( a + b )3
4) log  2
 x − y2


 = 3 ⋅ log ( a + b ) − log ( x + y ) − log ( x − y )


Richtig oder falsch?
log ( 5 + 2x ) = log ( 5 ) + x ⋅ log ( 2 )
log ( 5 ⋅ 2x ) = log ( 5 ) + x ⋅ log ( 2 )
log ( 5 ⋅ x ) = 5 ⋅ log ( x )
log ( 5 ⋅ x ) = log ( 5 ) + log ( x )
log ( x5 ) = 5 ⋅ log ( x )
45
DialogMathe
2.2.6 Partnerinterview Rechengesetze
Rechengesetze
Zeit: 15 Minuten
MERKE: Struktur der Logarithmengesetze
log ( u ⋅ v ) = log ( u ) + log ( v )
Operation 2. Stufe →
Operation 1. Stufe
Logarithmus eines Produktes = Summe der Logarithmen der Faktoren
u
log   = log ( u ) − log ( v )
v
Operation 2. Stufe →
Operation 1. Stufe
Logarithmus eines Quotienten = Differenz der Logarithmen
(Zähler minus Nenner)
log ( bn ) = n ⋅ log ( b )
Operation 3. Stufe
→
Operation 2. Stufe
Logarithmus einer Potenz = Produkt Exponent mal Logarithmus der Basis
Notiere jeweils deine eigenen Fehler und analysiere sie!
46
DialogMathe
2.2.7 Übungsaufgaben Rechengesetze
( )
a) log c 6 =
(
b) log ( x − y )
9
(
)=
)
c) log a−3 =
1 
d) log 
=
 x2 
e) log (
y
)=
 1
f) log  4
 a

=

g) log ( a3 b5 ) =
 5x 2c 5 
h) log 
=
3 
 7a 
i) log (
j) log
(
ab
5
a
c
)=
)=
47
DialogMathe
Übung 2: Fasse zu einem einzigen Logarithmus zusammen
a) a ⋅ log ( x ) − b ⋅ log ( y ) =
b) 3 ⋅ log ( a ) + 2 ⋅ log ( b ) − 4 ⋅ log ( c ) =
c)
2 ⋅ log ( x ) + 3 ⋅ log ( y ) − 5 ⋅ [ log ( z ) + log ( u ) + log ( v ) ] =
d) 21 ⋅ log ( b ) =
e) m
n ⋅ log ( c ) =
f) 41 ⋅ log ( x2 ) − 21 ⋅ log ( y ) + 34 ⋅ log ( z ) =
g) 31 ⋅ [ log ( b ) + 2 ⋅ log ( c ) ] − 21 ⋅ [ 5 ⋅ log ( d ) + log ( e ) ] =
 + log  a 32




 − log c =
( )


h)
log  a 2

i)
1 ⋅ log a2⋅n − ( n + 2 ) ⋅ log ( a ) =
2
j)
2 ⋅ log ( x ) − log ( c ) − 3 ⋅ log ( y ) =
log ( b ) + m
n
48
1
(
)
DialogMathe
(
a) log 7 ⋅ [ a + b ]
2
[ a − c ]4 ) =
 a2 − ( b + c )2
b) log 

2ab

c)
(
log a ⋅ b2 ⋅
d) log
(
4
4
c3

 =

)=
a ⋅ a2 ⋅ 3 a
−2
 xy
x
e) log  2 ⋅  
y
 z
)=

 =

1
1
f) log   − log   =
x
 
y
  3b3 z  −3
g) log  
  17cy 2 

h)
 b3 ⋅ x 31
log  2
c ⋅ y


=



=


49
DialogMathe
Übung 4: Fasse zu einem einzigen Logarithmus zusammen und vereinfache.
Beachte: Eine beliebige Zahl z kann immer in einen Logarithmus verpackt werden.
z = loga ( az )
Beispiel 3 = log ( 103 ) oder 7 = log5 ( 57 )
a) 2 + log ( x ) − log ( x 2 ) =
b) lb ( x 2 − 1) − lb ( x − 1) − 1 =
c)
ln ( 5 ) + ln ( x + 1) − 5 =
d) − log ( 7 ) − log ( 25 ) + log ( 91) − log ( 52 ) =
e) ln ( 3 ) + ln ( 32 ) + ln ( 33 ) + ……… + ln ( 3100 ) =
50
DialogMathe
2.2.8 Basiswechsel
Umrechnen zwischen Logarithmen mit verschiedenen Basen.
Wir logarithmieren die Gleichung a x = b mit log c
ax = b
/ log c
log c ( ax ) = log c ( b )
x ⋅ log c ( a ) = log c ( b )
→
x =
log c ( b )
log c ( a )
Aus ax = b ⇔ x = log a ( b ) folgt dann:
log a ( b ) =
log c ( b )
log c ( a )
Basiswechsel a (alte Basis) → c (neue Basis)
Schritte für Basiswechsel
Wir schreiben den Logarithmus von b zur neuen Basis c.
Dann dividieren wir durch den Logarithmus von der alten Basis a zur
neuen Basis c.
Beispiele
log 4 ( 5 ) = ? Um diesen Wert mit dem
Rechner zu bestimmen, müssen wir zuerst die Basis wechseln, denn der Rechner kann nur Zehner – oder natürliche
Logarithmen berechnen.
log 4 ( 5 ) =
log 8 ( 10 ) =
log ( 5 )
= 1,16096
log ( 4 )
log 5 ( 10 )
log 5 ( 8 )
Übungsaufgaben
Berechne: log 5 ( 27 ) =
lb ( 50 ) =
Schreibe den Logarithmus mit der neuen Basis c.
c = 3 ; log 9 ( 10 ) =
c = 5 ; ln ( 15 ) =
51
DialogMathe
2.2.9 Repetitionstest
Vereinfache so weit wie möglich! (Zeit 15 Minuten)
1.
log ( a2 + a ) − log ( a + 1) =
2.

1 
2
log  2
+ log  ( x + y )  + log [ x − y ] =
2 
x
y
−


(
) + log ( a ) =
3.
log
4.
2 ⋅ log ( a − b ) − log ( a2 − 2ab + b2 ) =
5.
1 ⋅ log a6
2
6.
a 
2 ⋅ log 
 + 2 − 2 ⋅ log ( a ) =
 10 
52
3
a⋅ a
( )
4
3
− 4 ⋅ log ( a ) + log ( a2 ) =
DialogMathe
Knacknuss 1
Berechne!
log ( 101 ) + log ( 102 ) + log ( 103 ) + log ( 104 ) + ⋯⋯⋯ + log ( 10199 ) + log ( 10200 ) =
Knacknuss 2
Bestimme x !
2 x + 2 x +1 = 96
53
DialogMathe
2.2.10 Lösungen Übungsaufgaben Kapitel 2
Lösungen Übungsaufgaben Rechengesetze Kap. 2.2.4
a) log ( 5xy ) = log ( 5 ) + log ( x ) + log ( y )
b) log ( 4a2 − 9b2 ) = log ( [ 2a + 3b ] ⋅ [ 2a − 3b ] ) = log ( 2a + 3b ) + log ( 2a − 3b )
c) log ( ap + bp + aq + bq ) = log ( p ⋅ [ a + b ] + q ⋅ [ a + b ] )
= log ( [ a + b ] ⋅ [ p + q ] ) = log ( a + b ) + log ( p + q )
1 
d) log 
= − log ( x − y )
x
−
y 

ab − ac 
 a [b − c ] 
e) log 
 = log 
 = log ( b − c ) − log ( b + c )
ab
+
ac


 a [b + c ] 
abc 
f) log 
 = log ( a ) + log ( b ) + log ( c ) − log ( d ) − log ( e )
 de 
17xy 
g) log 
 = log ( 17 ) + log ( x ) + log ( y ) − log ( 5 ) − log ( z )
 5z 
h) log ( x 2 + y 2 ) = kann nicht zerlegt werden!
 5[ a + b ] 
i) log 
 = log ( 5 ) + log ( a + b ) − log ( 3 ) − log ( c ) − log ( x − y )
 3c [ x − y ] 
 1 − a2 
k) log  2
= log ( 1 + a ) + log ( 1 − a ) − log ( a + b ) − log ( a − b )
2 
a −b 
Übung 3: Fasse zu einem einzigen Logarithmus zusammen!
a) log ( a ) + log ( b ) = log ( a ⋅ b )
a
b) log ( a ) − log ( b ) = log  
b
x⋅y
c) log ( x ) + log ( y ) − [ log ( u ) + log ( v ) ] = log 

u
 ⋅v 
1
d) − log ( c ) = log  
c
1 
e) − log ( a ) − log ( b ) − log ( c ) = log 
a
⋅
b
⋅ c 

1
f) − log   = log ( x )
x
a+b
x+y
g) − log 
 = log  a + b 
x
+
y




a
b
c
a⋅x 
h) log   + log   + log   − log 

b
c
d
 d⋅y 
y
 a ⋅b ⋅c ⋅d⋅y
= log  
= log 

x
 b ⋅c ⋅d⋅a ⋅x
54
DialogMathe
Lösungen Übungsaufgaben Rechengesetze Kap. 2.2.7
( )
a) log c 6 = 6 ⋅ log ( c )
(
b) log ( x − y )
9
(
1 
d) log 
 = ( −2 ) ⋅ log ( x )
 x2 
) = 9 ⋅ log ( x − y )
e) log (
)
c) log a −3 = ( −3 ) ⋅ log ( a )
y
) = 21 ⋅ log ( y )
 1 
f) log  4  = − 41 ⋅ log ( a )
 a
g) log ( a3 b5 ) = 3 ⋅ log ( a ) + 5 ⋅ log ( b )
 5x 2c 5 
h) log 
= log ( 5 ) + 2log ( x ) + 5 log ( c ) − log ( 7 ) − 3 log ( a )
3 
 7a 
i) log (
j) log
(
ab
5
a
c
) = 21 ⋅ log ( a ) + 21 ⋅ log ( b )
) = 51 ⋅ log ( a ) − 51 ⋅ log ( c )
Übung 2: Fasse zu einem einzigen Logarithmus zusammen

a) a ⋅ log ( x ) − b ⋅ log ( y ) = log 

xa 

yb 
 a3 b 2 
b) 3 ⋅ log ( a ) + 2 ⋅ log ( b ) − 4 ⋅ log ( c ) = log  4 
 c 
c)
 x2 y3 
2 ⋅ log ( x ) + 3 ⋅ log ( y ) − 5 ⋅ [ log ( z ) + log ( u ) + log ( v ) ] = log  5 5 5 
z u v 
d) 21 ⋅ log ( b ) = log (
e) m
n ⋅ log ( c ) = log
(
b
n
)
cm
)

f) 41 ⋅ log ( x 2 ) − 21 ⋅ log ( y ) + 34 ⋅ log ( z ) = log 


x ⋅ 4 z3 

y


g) 31 ⋅ [ log ( b ) + 2 ⋅ log ( c ) ] − 21 ⋅ [ 5 ⋅ log ( d ) + log ( e ) ] = log 


 + log  a 32




log  a 2

i)
n
1 ⋅ log a 2⋅n − ( n + 2 ) ⋅ log ( a ) = log  a  = log a −2

n+2 
2
a

j)

2 ⋅ log ( x ) − log ( c ) − 3 ⋅ log ( y ) = log b ⋅
log ( b ) + m

n
(
b ⋅ 3 c2 

d5 ⋅ e 
2
 − log c = log  a 
( )




 c
h)
1
3
)
(
)
x2 

n 3 
c⋅ y 
m
55
DialogMathe
(
a) log 7 ⋅ [ a + b ]
2
[ a − c ]4 ) = log ( 7 ) + 2 ⋅ log ( a + b ) + 4 ⋅ log ( a − c )
 a2 − ( b + c ) 2
b) log 

2ab




= log ( a + b + c ) + log ( a − b − c ) − log ( 2 ) − log ( a ) − log ( b )
c)
(
4
log a ⋅ b2 ⋅ c 3
d) log
(
4
) = log ( a ) + 2 ⋅ log ( b ) + 34 ⋅ log ( c )
a ⋅ a2 ⋅ 3 a
 xy
e) log  2
 z
x
⋅  
y
−2
31 ⋅ log ( a )
) = 24
 y2

 = log  3
2

 x2 ⋅ z
5
 5
3
 = ⋅ log ( y ) − ⋅ log ( x ) − 2 ⋅ log ( z )
 2
2

1
1
f) log   − log   = − log ( x ) + log ( y ) = log ( y ) − log ( x )
x
y
 173 c 3 y 6 
g) log  3 9 3 
 3 b z 
= 3 ⋅ log ( 17 ) + 3log ( c ) + 6 ⋅ log ( y ) − 3 log ( 3 ) − 9log ( b ) − 3 ⋅ log ( z )
 b3 ⋅ x 31
h) log  2
c ⋅ y


 = 3 ⋅ log ( b ) + 1 ⋅ log ( x ) − 2 ⋅ log ( c ) − 1 ⋅ log ( y )
3
2


Übung 4: Fasse zu einem einzigen Logarithmus zusammen und vereinfache.
a) 2 + log ( x ) − log ( x 2 ) = log ( 102 ) + log ( x ) − log ( x 2 )
 102 ⋅ x 
 100 
= log 
 = log  x 
2


 x

b) lb ( x 2 − 1) − lb ( x − 1) − 1 = lb ( x 2 − 1) − lb ( x − 1) − lb ( 2 )
 x2 − 1 
x + 1
= lb 
= lb 


 2 
 2 ⋅ ( x − 1) 
c)
 5 ⋅ ( x + 1) 
ln ( 5 ) + ln ( x + 1) − 5 = ln ( 5 ) + ln ( x + 1) − ln ( e5 ) = ln 

e5


91
 = log  1 
d) − log ( 7 ) − log ( 25 ) + log ( 91) − log ( 52 ) = log 

 100 
 7 ⋅ 25 ⋅ 52 


e) ln ( 3 ) + ln ( 32 ) + ln ( 33 ) + ……… + ln ( 3100 ) = 101 ⋅ 50 ⋅ ln ( 3 ) = 5547,99
56
Exponentialgleichungen
DialogMathe
3 Gleichungen
Für Exponential- und Logarithmengleichungen lässt sich kein allgemeines
Lösungsverfahren angeben. Je nach Aufgabe formen wir um und hoffen durch
Logarithmieren oder Potenzieren unter Verwendung der Logarithmusdefinition und der Potenz- und Logarithmengesetze ans Ziel zu gelangen.
In Beispielen wollen wir einige Ideen entwickeln.
3.1 Exponentialgleichungen
In den folgenden drei Beispielen erhältst du drei mögliche Lösungsstrategien,
die du auf andere Beispiele anwenden kannst. Vergleiche die Beispiele. Worin
unterscheiden sie sich? Woran erkennst du an den Gleichungen, welche Strategie dich ans Ziel führt? Mache eine Gegenüberstellung. Oftmals gibt es Exponentialgleichungen, die sich nicht nur mit einer Strategie auflösen lassen.
Dann musst du die Strategien kombinieren!
3.1.1 Strategie Exponentenvergleich
Eine Exponentialgleichung kann bisweilen gelöst werden, indem sie auf die
T x
T x
Form a 1 ( ) = a 2 ( ) gebracht wird, woraus dann folgt: T1 ( x ) = T2 ( x ) .
( T1 ( x ) und T2 ( x ) stehen für Terme in x)
Merke
T x
T x
Analyse der Form: a 1 ( ) = a 2 ( ) . Auf beiden Seiten der Gleichung darf nur
eine Potenz stehen. Die beiden Potenzen müssen die gleiche Basis haben und
die Exponenten dürfen beliebige Terme in x sein.
Beispiel
4 x + 1 ⋅ 83 − x =
( 21 )
4x
(alle Faktoren z.B. als Potenz zur Basis 2 schreiben)
2 2 ⋅( x +1) ⋅ 23 ⋅( 3 − x ) = 14x
2
2 2x + 2 + 9 − 3x = 2 − 4x
2 − x +11 = 2 − 4x (Exponentenvergleich)
− x + 11 = − 4x
(es entsteht eine einfache lineareGleichung!)
3x = − 11
x = − 11
3
57
Gleichungen
DialogMathe
3.1.2 Strategie Logarithmieren
Damit wir logarithmieren können, muss auf beiden Seiten der Gleichung ein
Produkt stehen. Beachte eine Summe blockiert den Logarithmus!
Strategie:
Beide Seiten der Gleichung faktorisieren (in ein Produkt umwandeln).
Beispiel 2 ⋅ 3 x = 5 ⋅ 7 2 − x
Rechts und links der Gleichung steht ein Produkt. Wir logarithmieren die
Gleichung beidseitig. Dabei spielt die Basis des Logarithmus keine Rolle. Am
besten wir verwenden log oder ln, da diese von allen Rechnern berechnet
werden können.
2 ⋅ 3 x = 5 ⋅ 7 2− x
/ log()
log ( 2 ⋅ 3 x ) = log ( 5 ⋅ 7 2 − x )
/ Vereinfachen mit Hilfe der
Logarithmengesetze!
log ( 2 ) + x ⋅ log ( 3 ) = log ( 5 ) + ( 2 − x ) ⋅ log ( 7 ) / alle Terme mit x auf eine Seite
x ⋅ log ( 3 ) + x ⋅ log ( 7 ) = log ( 5 ) + 2 ⋅ log ( 7 ) − log ( 2 )
5 ⋅ 49 
x ⋅ [ log ( 3 ) + log ( 7 ) ] = log 

 2 
x=
/ : [ log ( 3 ) + log ( 7 ) ] = log ( 21)
log ( 122,5 )
= 1,579
log ( 21)
Beispiel 5 3x +1 − 5 3x −1 = 48
Auf der linken Seite der Gleichung steht eine Differenz.
Faktorisieren:
24 ⋅ 5 3x −1 = 48
5 3x −1 = 2
5 3x +1 − 5 3x −1 = 5 3x −1 ⋅  52 − 1 = 24 ⋅ 5 3x −1
/ : 24
/ log
log ( 5 3x −1 ) = log ( 2 )
( 3x − 1) ⋅ log ( 5 ) = log ( 2 ) / : log ( 5 )
3x − 1 =
x=
58
log ( 2 )
log ( 5 )
/ +1/ : 3
1  log ( 2 )

⋅
+ 1 = 0,4769
3  log ( 5 )

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3.1.3
Strategie Substitution
Spezielle Gleichungen, die durch substituieren auf eine quadratische Gleichung führen.
Beispiel 4 x + 3 ⋅ 2 x = 88
Speziell: 4 x = ( 22 ) = ( 2x )
x
2
Substitution: u = 2 x
Umschreiben: 4 x + 3 ⋅ 2 x = 88
→ u2 + 3u = 88 (quadratische Gleichung)
→ u2 + 3u − 88 = 0 (Auflösungsformel oder faktorisieren)
u1,2 =
−3 ±
3 2 + 4 ⋅ 88 −3 ± 19
=
2
2
; u1 = 8 ; u2 = −11
Rücksubstitution
u = 2 x = 8 = 23
→
x=3
u = 2 x = −11 (2 x kann nicht negativ sein)
3.1.4 Partnerinterview Exponentialgleichungen
Zeit: 15 Minuten
Diskutiere die drei Exponentialgleichungen! Welche Lösungsstrategie verwendest du? Warum? Worin unterscheiden sich die Gleichungen?
a) 2 x −3 + 2 x +1 = 17
b) 2 x + 6 = 4 x
c) 2 3x − 4 ⋅ 4 2x −3 = 8 x + 2
Löse die Exponentialgleichungen ohne Rechner nach x auf.
59
Gleichungen
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3.2 Logarithmengleichungen
3.2.1 Strategie Numerusvergleich (in einen log verpacken)
Eine Logarithmengleichung kann bisweilen gelöst werden, indem wir die
Gleichung mit Hilfe der Logarithmengesetze auf die Form
loga [ T1 ( x ) ] = loga [ T2 ( x ) ] bringen, woraus dann folgt: T1 ( x ) = T2 ( x ) .
( T1 ( x ) und T2 ( x ) stehen für Terme in x)
Beispiel log5 ( x + 3 ) + log5 ( x − 1) = 1
Rechte und linke Seite der Gleichung in einen Logarithmus verpacken.
Die Zahl 1 auf der rechten Seite als Logarithmus schreiben: 1 = log5 ( 5 ) .
log5 ( [ x + 3 ] ⋅ [ x − 1] ) = log5 ( 5 )
/ Numerusvergleich
Wir erhalten eine Gleichung ohne Logarithmen.
[ x + 3 ] ⋅ [ x − 1] = 5
x2 + 2x − 3 = 5
x2 + 2x − 8 = 0
x1,2 =
−2 ±
(Auflösungsformel oder faktorisieren)
22 + 32 −2 ± 6
; x1 = 2 ; x 2 = − 4
=
2
2
Nach dem auflösen einer Lograrthmengleichung müssen die erhaltenen
Lösungen in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt werden.
Merke: Nach dem Auflösen müssen wir immer die Probe machen!
Probe: x1 = 2 : log5 ( 5 ) + log5 ( 1) = 1 → 1 = 1 (wahre Aussage)
x 2 = −4 : log5 ( −1) + log5 ( −5 ) = 1 (Linke Seite ist nicht definiert)
x 2 = −4 ist keine Lösung
L ={ 2 }
Beachte: Eine beliebige Zahl z kann immer in einen Logarithmus verpackt
werden. z = loga ( az )
Beispiel 3 = log ( 103 ) oder 7 = log5 ( 57 )
(Siehe Übung 4 Seite 38)
60
Logarithmengleichungen
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3.2.2 Strategie Substitution
Spezielle Gleichungen, die durch substituieren auf eine quadratische Gleichung führen.
Beispiel log 2 ( x ) + 2 ⋅ log ( x ) = 15
Beachte: log 2 ( x ) = [ log ( x ) ] = log ( x ) ⋅ log ( x )
2
Substitution: u = log ( x )
Umschreiben: log 2 ( x ) + 2 ⋅ log ( x ) = 15
→ u2 + 2u = 15 (quadratische Gleichung)
→ u2 + 2u − 15 = 0 (Auflösungsformel oder faktorisieren)
Faktorisieren (Vieta): u2 + 2u − 15 = ( u + 5 ) ⋅ ( u − 3 ) = 0
Auflösungsformel für quadratische Gleichung:
u1,2 =
−2 ±
22 + 4 ⋅ 15 −2 ± 8
=
2
2
; u1 = 3 ; u2 = −5
Rücksubstitution
u1 = log ( x ) = 3
u2 = log ( x ) = −5
→
→
x1 = 103
x 2 = 10 − 5
Probe:
x1 = 103 : log 2 ( 103 ) + 2 ⋅ log ( 103 ) = 32 + 2 ⋅ 3 = 15
x 2 = 10 −5 : log 2 ( 10−5 ) + 2 ⋅ log ( 10−5 ) = ( −5 ) + 2 ⋅ ( −5 ) = 25 − 10 = 15
2
61
Gleichungen
DialogMathe
3.3 Übungen Gleichungen
3.3.1 Aufgaben Exponential – und Logarithmengleichungen
Aufgabe 1
Bestimme die Lösungen x der Gleichung: log6
(
x 2 + 71
)=2
Auflösung – Strategie:
Aufgabe 2
3x − 5 
Bestimme die Lösungen x der Gleichung: log 
 = 0
 4 − 2x 
Auflösung – Strategie:
62
Übungen Gleichungen
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Aufgabe 3
Bestimme die Lösungen x der Gleichung:
log ( x 2 − 1) − log ( x + 1) = 3 ⋅ log ( x − 1) − 2
Lösungsvarianten:
1) Auf beiden Seiten in einen Logarithmus verpacken!
2) Logarithmen zerlegen (einfacher!)
63
Gleichungen
DialogMathe
Aufgabe 4
Aufgabe 5
Bestimme die Lösungen x der Gleichung: 3 ⋅ 4 x + 5 = 6 ⋅ 4 x − 19
64
log 2 ( x ) − 2 ⋅ log ( x ) = 9 − log ( x 2 )
DialogMathe
Aufgabe 6
Bestimme die Lösungen x der Gleichung: 9 x +0,5 − 9 x = 9 x −0,5 + 135
Aufgabe 7
Bestimme die Lösungen x der Gleichung: 16 x + 16 = 10 ⋅ 4 x
65
Gleichungen
DialogMathe
Aufgabe 8
Bestimme die Lösungen x der Gleichung: 5 2x −1 + 5 x + 2 = 750
Aufgabe 9
Bestimme die Lösungen x der Gleichung: 8
66
2 − 3x
= 32
3x −1
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Aufgabe 10
Bestimme die Lösungen x der Gleichung: 2 ⋅ log(x) −
Aufgabe 11
x+2
2 ⋅ log 
 = log(7) − 1 + log ( x + 2 )
 10 
1
+ 1 = 0
log(x)
67
Gleichungen
DialogMathe
Aufgabe 12 log ( 5x − 5 ) + log ( 3x + 3 ) − log ( x 2 − 1) = log ( 3x − 2 ) + log ( 3x )
Aufgabe 13 ( 2x + 1) ⋅ log ( 3 ) = log ( 32x − 3 + 80 )
68
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3.3.2 Lösungsstrategien Übungsaufgaben
x = loga ( b ) : x = Logaritmus ; a = Basis ; b = Numerus
Aufgabe 1
log6
(
)=2
x 2 + 71
Lösungsstrategie: Numerusvergleich
1. Schritt: Auf der rechten Seite die Zahl 2 in einen Logarithmus verpacken.
2 = log6 ( 62 )
log6
(
) = log ( 6 )
x 2 + 71
6
2
2. Schritt: Logarithmus kann weggelassen werden.
x 2 + 71 = 36
Gleichung quadrieren!
x 2 + 71 = 1296
Probe:
x1 = 35 : log6
→
(
x2 = −35 : log6
x 2 = 1225
352 + 71
(
→
) = log (
6
x1,2 = ± 35
1296
) = log6 ( 36 ) = log6 ( 62 ) = 2
)
( −35 )2 + 71 = log6 ( 1296 ) = log6 ( 36 ) = log6 ( 62 ) = 2
Lösung:
x1,2 = ± 35 oder L = { −35; 35 }
Aufgabe 2
3x − 5 
log 
 = 0
 4 − 2x 
1. Schritt: Auf der rechten Seite die Zahl 0 in einen Logarithmus verpacken.
0 = log ( 1)
3x − 5 
log 
 = log ( 1)
 4 − 2x 
3x − 5
= 1
4 − 2x
3x − 5 = 4 − 2x
→
5x = 9
→
x = 95
Probe:
 3⋅9 −5 
 27 − 5 
 2
5
log 
 = log  5
 = log  5
 2
 4 − 2⋅9 
 4 − 18 
 5


5
5 
Lösung:
x = 95 oder L =

 = log ( 1) = 0


{ 95 }
69
Gleichungen
Aufgabe 3
DialogMathe
log ( x 2 − 1) − log ( x + 1) = 3 ⋅ log ( x − 1) − 2
1. Schritt: Beide Seiten der Gleichung in einen Logarithmus verpacken.
log ( x 2 − 1) − log ( x + 1) = log
( [ x − 1] )
3
− log ( 102 )
 [ x − 1] 3 
 x2 − 1 
log 
=
log



 x +1 
 100 
x2 − 1
[ x − 1]
=
x +1
100
( x + 1) ⋅ ( x − 1)
[ x − 1] 3
=
100
x +1
3
[ x − 1] 3
100 ⋅ ( x − 1) =
/ ⋅100
− [ x − 1]
/
100 ⋅ ( x − 1) − [ x − 1] = 0
3
/ ( x − 1) ausklammern
3
Lösungsstrategie: Linke Seite der Gleichung faktorisieren und dann die
einzelnen Linearfaktoren Null setzen.
( x − 1) ⋅  100 − ( x − 1)2  = 0 / eckige Klammer (Binom A 2 − B2 ) faktorisieren
( x − 1 ) ⋅  10 2 − ( x − 1 )2  = ( x − 1) ⋅ [ 10 + ( x − 1 ) ] ⋅ [ 10 − ( x − 1 ) ]
= ( x − 1) ⋅ [ x + 9 ] ⋅ [ 11 − x ]
( x − 1) ⋅ [ x + 9 ] ⋅ [ 11 − x ] = 0
x −1= 0
Linearfaktoren Null setzen!
x+9=0
Probe:
→
x2 = − 9
→
; 11 − x = 0
→
x1 = 1
x 3 = 11
log ( 0 ) − log ( 2 ) = 3 ⋅ log ( 0 ) − 2 : log ( 0 ) ist nicht definiert!
x1 = 1:
x1 = 1 ist keine Lösung!
x2 = − 9 :
log ( 80 ) − log ( −8 ) = 3 ⋅ log ( −10 ) − 2 : log aus negativen Zahlen
sind nicht definiert! x 2 = − 9 ist keine Lösung!
120 
x3 = 11: log ( 120 ) − log ( 12 ) = 3 ⋅ log ( 10 ) − 2 → log 
=3−2
 12 
→ log ( 10 ) = 1 ; x 3 = 11 ist eine Lösung
Lösung:
x = 11 oder L = { 11 }
Bemerkung zur Lösung der Gleichung:
( x − 1) =
[ x − 1] 3
100
Da x = 1 keine Lösung ist kann die Gleichung durch (x-1) dividiert werden!
( x − 1) =
70
[ x − 1] 3
100
100 = ( x − 1)
2
x − 1 = ±10
→
/ : ( x − 1)
x ≠ 1 / ⋅100
/
x1 = 11 ;
x 2 = −9
DialogMathe
Lösungsvariante: Logarithmen zerlegen
log ( x 2 − 1) − log ( x + 1) = 3 ⋅ log ( x − 1) − 2
log ( x − 1) + log ( x + 1) − log ( x + 1) = 3 ⋅ log ( x − 1) − 2
2 = 2 ⋅ log ( x − 1)
log ( x − 1) = 1 = log10
x − 1 = 10
Aufgabe 4
→
x = 11
log 2 ( x ) − 2 ⋅ log ( x ) = 9 − log ( x 2 )
Lösungsstrategie: Substitution u = log ( x )
log ( x 2 ) = 2 ⋅ log ( x )
log 2 ( x ) − 2 ⋅ log ( x ) = 9 − 2 ⋅ log ( x )
u2 − 2 ⋅ u = 9 − 2 ⋅ u
u2 = 9
/ +2u
/ Wurzel ziehen
u = ±3
u1 = log ( x ) = 3
u2 = log ( x ) = − 3
Aufgabe 5
→
x1 = 103
→
x 2 = 10 −3
Eine Probe ist nicht nötig!
3 ⋅ 4 x + 5 = 6 ⋅ 4 x − 19
Lösungsstrategie: Exponentenvergleich. Umformen, so dass auf beiden Seiten der Gleichung
eine Potenz mit der gleichen Basis entsteht. Exponenten gleich setzen!
3 ⋅ 4 x + 5 = 6 ⋅ 4 x − 19
24 = 3 ⋅ 4 x
8 = 4x
23 = 2 2x
3 = 2x
/ −3 ⋅ 4 x / +19
/:3
/ gemeinsame Basis 2
/ Exponentenvergleich
/:2
x = 1,5
71
Gleichungen
Aufgabe 6
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9 x +0,5 − 9 x = 9 x −0,5 + 135
9 x + 0,5 − 9 x = 9 x −0,5 + 135
9 x + 0,5 − 9 x − 9 x −0,5 = 135
9 x −0,5 ⋅ ( 91 − 90,5 − 90 ) = 135
/ −9 x −0,5
/ 9 x −0,5 ausklammern
9 x −0,5 ⋅ ( 9 − 3 − 1) = 135
9 x −0,5 ⋅ 5 = 135
/:5
9 x −0,5 = 27
2⋅ x − 0,5 )
= 33
3 (
2 ⋅ ( x − 0,5 ) = 3
Aufgabe 7
→
2x − 1 = 3
→
2x = 4
→
x=2
16 x + 16 = 10 ⋅ 4 x
Lösungsstrategie: Substitution u = 4 x
16 x = ( 42 ) = ( 4 x ) = u2
x
2
16 x + 16 = 10 ⋅ 4 x
4 2x − 10 ⋅ 4 x + 16 = 0
u 2 − 10 ⋅ u + 16 = 0
Quadratische Gleichung (Auflösungsformel oder faktorisieren)
(u − 2) ⋅ (u − 8) = 0
u1 = 2 = 4 x
(Exponentenvergleich)
→
u2 = 8 = 4 x (Exponentenvergleich) →
Aufgabe 8
2 = 2 2x
→
2x = 1 →
x1 = 21
2 3 = 2 2x
→
2x = 3
x 2 = 32
→
5 2x −1 + 5 x + 2 = 750
Umformen mit Potenzgesetzen: 5 2x −1 = 5 2x ⋅ 5−1 = = 51 ⋅ 5 2x
5 x + 2 = 5 x ⋅ 52 = 25 ⋅ 5 x
1 ⋅ 5 2x + 25 ⋅ 5 x = 750
5
72
DialogMathe
Lösungsstrategie: Substitution: u = 5 x
1 ⋅ 5 2x + 25 ⋅ 5 x = 750
5
1 ⋅ u2 + 25 ⋅ u = 750
5
u 2 + 125 ⋅ u = 3750
/ ⋅5
/ −3750
u 2 + 125 ⋅ u − 3750 = 0
( u + 150 ) ⋅ ( u − 25 ) = 0
u1 = 25 = 5 x
→ 52 = 5x → x = 2
u2 = −150 = 5 x → keine Lösung
Aufgabe 9
8
2 − 3x
= 32
3x −1
8
2 − 3x
= 32
3x −1
2 3⋅
2 − 3x
= 2 5⋅
3⋅
2 − 3x = 5 ⋅
3x −1
3x − 1
9 ⋅ ( 2 − 3x ) = 25 ⋅ ( 3x − 1)
/ quadrieren
/ ausmultiplizieren
18 − 27x = 75x − 25
43 = 102x
43
x=
= 0,4216
102
Probe:
3⋅
43
43
43
43
= 5⋅ 3⋅
−1 → 3⋅ 2 −
= 5⋅
−1
102
102
34
34
68 − 43
43 − 34
25
9
3⋅
= 5⋅
→ 3⋅
= 5⋅
34
34
34
34
1
1
1
1
3⋅5⋅
= 5⋅3⋅
→ 15 ⋅
= 15 ⋅
34
34
34
34
2−3⋅
→
→
Lösung:
x=
43
= 0,4216
102
73
Gleichungen
DialogMathe
Aufgabe 10 2 ⋅ log(x) −
1
+ 1 = 0
log(x)
Lösungsstrategie: Substitution: u = log(x)
1
+ 1 = 0
u
2u −
→
→ 2u2 + u − 1 = 0
2u2 − 1 + u = 0
−1 ± 1 + 8 −1 ± 9 −1 ± 3
=
=
4
4
4
u1,2 =
Aufgabe 11
u1 =
−1 + 3 2 1
= =
4
4 2
u2 =
−1 − 3 −4
=
= −1
4
4
;
log(x) = u =
1
2
→
1
x1 = 10 2
; log(x) = u = −1 →
1
x 2 = 10−1 = 10
x+2
2 ⋅ log 
 = log(7) − 1 + log ( x + 2 )
 10 
 x + 2 2
log  

  10 

 = log(7) − log(10) + log ( x + 2 )

 ( x + 2 )2
log 
 10


 7( x + 2 ) 
 = log 

10



( x + 2 )2
10
=
7( x + 2)
10
x2 + 4x + 4 = 7x + 14
x2 − 3x − 10 = 0
x1,2 =
74
3 ± 9 + 40 3 ± 49 3 ± 7
=
=
2
2
2
x1 =
3 + 7 10
=
=5
2
2
x2 =
3 − 7 −4
=
= −2 keine Lösung
2
2
DialogMathe
Aufgabe 12
log ( 5x − 5 ) + log ( 3x + 3 ) − log ( x 2 − 1) = log ( 3x − 2 ) + log ( 3x )
 5 ⋅ ( x − 1 ) ⋅ 3 ⋅ ( x + 1)
log 

( x 2 − 1)


 = log  32x − 2 ⋅ 3 x 


log ( 15 ) = log  32x − 2 ⋅ 3 x 
15 = 3 2x − 2 ⋅ 3 x
32x − 2 ⋅ 3 x − 15 = 0
Lösungsstrategie: Substitution u = 3 x
→
u2 − 2 ⋅ u − 15 = 0
(u − 5) ⋅ (u + 3) = 0
u = 5 = 3x
→ x=
u = −3 = 3x
Aufgabe 13
log ( 5 )
= 1,465
log ( 3 )
→ 3x > 0 keine Lösung
( 2x + 1) ⋅ log ( 3 ) = log ( 32x − 3 + 80 )
(
log 32x +1
)
(
= log 32x − 3 + 80
)
32x +1 = 32x − 3 + 80
Lösungsstrategie: linke Seite der Gleichung faktorisieren, Exponentenvergleich
32x +1 − 32x −3 = 80
32x −3 ⋅  34 − 1 = 80
/ 80
80
32x −3 = 1 = 30
→
2x − 3 = 0
→
x = 1,5
75
Gleichungen
DialogMathe
3.3.3 Lösungen mit Rechner
Aufgaben 1 bis 4
Aufgaben 5 bis 9
Aufgaben 10 bis 13
76
DialogMathe
4 Funktionen
Die Exponentialfunktionen z. B. f ( x ) = 2 x sind wichtige Zuordnungen, die in
der Natur, der Technik oder auch in unserem Alltag immer wieder in
Erscheinung treten. Etwa bei folgenden Fragestellungen:
• Wie lange stand ein Bierglas an der Theke, bevor es serviert wurde?
• Wann und warum bricht Milch, wenn wir sie ungekühlt stehen lassen?
• Wie stark wächst die Erdbevölkerung und wie stark die Menge der zur
Verfügung stehenden Nahrungsmittel?
• Wie würde sich die Vogelgrippe ausbreiten, wenn sie auf den Menschen
übertragen wird?
• Wie kann ich durch eine Rente meine Altervorsorge sichern?
• Wie lässt sich die Luftqualität im Schulzimmer, im Kino optimieren?
Da diese Funktionen häufig die zeitliche Entwicklung eines Systems
beschreiben (Wachstum oder Zerfall), wird die unabhängige Variable x durch
t ersetzt: aus f ( x ) = 2 x wird dann f ( t ) = 2 t .
Erinnere dich an das Sparkonto, dessen Kapital sich durch Zinsen und
Zinseszinsen vergrössert, wobei wir für die Zeitvariable n (Anzahl Jahre)
gewählt haben Kn = K 0 ⋅ ( 1 + p ) (siehe Seite 3).
n
In diesem Kapitel versuchen wir die Exponentialfunktion und dessen Eigenschaften zu verstehen. Die Entwicklung eines Systems kann in Zeitschritten
∆t berechnet werden. Wir können zwei Arten von Systemen unterscheiden:
diskrete und kontinuierliche Systeme. Ein diskretes System haben wir schon
kennen gelernt, nämlich das Sparkonto. Das Kapital wächst jeweils am Ende
einer Zeitperiode (1Jahr). Würde die Zeitperiode für die Verzinsung beim
Sparkonto verkleinert z.B. jede Sekunde, so bekämen wir ein kontinuierliches
System (Grenzwert: Zeitperiode wird beliebig klein, d.h. sie strebt gegen
Null). Beim Übergang von einem diskreten zu einem kontinuierlichen System
(
)
k

entsteht der Grenzwert lim  1 + 1  = e ≈ 2,71828183… (Eulersche Zahl)
k
k →∞ 

Die „natürliche“ Exponentialfunktion f ( x ) = e x spielt in der Natur und der
77
Funktionen
DialogMathe
Technik eine wichtige Rolle, da es sich dort häufig um kontinuierliche
Systeme handelt. Als Umkehrfunktion
Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion erhalten wir
die Logarithmusfunktion: z.B. f ( x ) = e x
→
f −1 ( x ) = ln ( x )
4.1 Die Exponentialfunktion
4.1.1 Definition der Exponentialfunktion
Lassen wir für den Exponenten n in einer Potenz qn mit positiver Basis
B
q
beliebige reelle Werte zu, so gelangen wir zur Exponentialfunktion f ( x ) = qx .
Definition Exponentialfunktion
Funktionen vom Typ f ( x ) = y = qx mit positiver Basis q > 0 ,(q ≠ 1) heissen
Exponentialfunktionen.
Merke:
f:
R
→ R+
x
֏ y = qx
Der Wertebereich von f ( x ) = qx ist R+ , d.h. nur die positiven reellen Zahlen
sind möglich.
4.1.2 Die allgemeine Exponentialfunktion
Grundfunktion
ion mit Funktionstransformationen
Basis e (Eulersche Zahl) : f ( x ) = e x → y = a ⋅ eb ⋅ x + c + d
Beliebige Basis ( q ∈ R+ ): f ( x ) = qx
→
y = a ⋅ qb ⋅ x + c + d
Dynamisches
misches Arbeitsblatt Leitidee Wachstum
GeoGebra Datei: a_b_c_d_exp_Funktion
Zeit: 10 Minuten
Überlege dir die Effekte
der vier Parameter a, b, c
und d.
Funktionstransformation
78
Die Exponentialfunktion
DialogMathe
4.1.3 Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion
f ( x ) = ex
→
f ( x ) = ln ( x )
→
y = a ⋅ ln ( b ⋅ x + c ) + d
Wie erhältst du den Funktionsgraph y = ln ( x ) aus y = ex ?
f ( x ) = qx
→
f ( x ) = log q ( x )
→
y = a ⋅ log q ( b ⋅ x + c ) + d
Dynamisches
GeoGebra Datei: a_b_c_d_log_Funktion
Zeit: 10 Minuten
Funktionstransformationen
en
Überlege dir die Effekte der vier Parameter a, b, c und
un d.
Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion,
entialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF
79
Funktionen
DialogMathe
4.2 Modellbildung mit der Exponentialfunktion
4.2.1 Ansatz für die Exponentialfunktion
Die allgemeine Exponentialfunktion enthält vier Parameter a, b, c, d und den
Wachstumsfaktor q:
y = a ⋅ q b⋅ x + c + d
Um Wachstumsvorgänge in der Natur, der Technik oder der Wirtschaft zu
modellieren genügt häufig ein vereinfachter Ansatz mit zwei Parametern.
y = A ⋅ B x (Ansatz mit zwei Parameter A und B)
oder
y = A ⋅ e λ⋅ x (Ansatz mit zwei Parameter A und λ )
Beispiel
Gegeben: Zwei Punkte P1 ( 2 | 40 ) ; P2 ( 5 | 320 )
Gesucht: Exponentialfunktion, dessen Graph durch die beiden Punkte geht.
Ansatz:
y = A ⋅Bx
Satz von Anan liefert das folgende Gleichungssystem:
P1 ( 2 | 40 )
→
40 = A ⋅ B2
P2 ( 5 | 320 )
→
320 = A ⋅ B5
Wie lässt sich dieses Gleichungssystem am besten auflösen!
40 = A ⋅ B2
320 = A ⋅ B5
Gleichung 2 durch Gleichung 1 dividieren ergibt:
320
A ⋅ B5
=8=
= B3
40
A ⋅ B2
A=
Ansatz:
40 40
=
= 10
B 2 22
→
B=38=2
Exponentialfunktion: y = 10 ⋅ 2 x
y = A ⋅ e λ⋅ x
Satz von Anan liefert das folgende Gleichungssystem:
40 = A ⋅ e2⋅λ
320 = A ⋅ e5 ⋅λ
Gleichung 2 durch Gleichung 1 dividieren ergibt:
320
A ⋅ e5⋅λ
=8=
= e3⋅λ
40
A ⋅ e2⋅λ
A=
40
40
= 2 = 10
2⋅λ
e
2
→
λ=
ln ( 8 )
= ln ( 2 )
3
Exponentialfunktion: y = 10 ⋅ eln( 2 ) ⋅ x
Beachte: y = 10 ⋅ eln( 2 ) ⋅ x = 10 ⋅  eln( 2 )  = 10 ⋅ 2x
x
80
Modellbildung mit der Exponentialfunktion
DialogMathe
4.2.2 Partnerinterview Eigenschaften der Exponentialfunktion
Partnerinterview Exponentialfunktion
Eigenschaften der Exponentialfunktion
Zeit: 30 Minuten
Auftrag 1
Zeichne die Graphen der Exponentialfunktionen y = q x für q = 2, 3 und 10:
y = 2 x , y = 3 x und y = 10 x
Wie verlagert sich der Funktionsgraph, wenn du q vergrösserst?
Welche Eigenschaft ist allen Graphen gemeinsam?
Welcher Graph ergibt sich für q = 1: y = 1x
y
10
5
1
-4
-3
-2
-1
O
1
2
3
4x
81
Funktionen
DialogMathe
Auftrag 2
( )
Zeichne die Graphen der beiden Exponentialfunktionen y = 2 x und y = 21
x
.
Welcher Zusammenhang besteht zwischen den beiden Graphen?
( )
Interpretiere die folgende Gleichung y = 21
x
= 2− x
y
10
5
1
-4
82
-3
-2
-1
O
1
2
3
4x
DialogMathe
Auftrag 3
Wir multiplizieren die Exponentialfunktion y = q x mit einem Faktor a ∈ R :
y = a ⋅ qx
Welchen Effekt hat dies auf den Funktionsgraphen?
Zeichne ein Beispiel: y = 2 x und y = 5 ⋅ 2 x
Spezialfall : a = −1.
y
10
5
1
-4
-3
-2
-1
O
1
2
3
4x
83
Funktionen
DialogMathe
Auftrag 4
Wir betrachten Exponentialfunktionen vom Typ y = q b⋅ x , b ∈ R .
Welchen Effekt hat b auf den Funktionsgraphen?
1
Zeichne Beispiele: y = 3 x , y = 3 2
⋅x
und y = 3 2⋅ x
1
Interpretiere die folgenden Gleichungen y = 3 2
⋅x
=(
3
)
x
, y = 3 2⋅ x = 9 x
Spezialfall : b = −1 (siehe Auftrag 2).
y
10
5
1
-4
84
-3
-2
-1
O
1
2
3
4x
DialogMathe
4.2.3 Beispiel Bakterienwachstum
Wachstum von Bakterien: Bakterien vermehren sich durch Teilung.
Nach einer gewissen Zeit können sie sich teilen, d.h. die Bakterienzahl
verdoppelt sich.
Situation 1:
Wir starten mit einem Bakterium, das sich jeweils nach einer Stunde teilt.
Dieses Wachstum kann durch folgende Funktion beschrieben werden:
f ( t ) = 2 t (t in Stunden). Wie viele Bakterien gibt es nach t = 10h?
Situation 2:
Wir starten mit 10 Bakterien und einer Teilungszeit von 1h.
Ermittle die Wachstumsfunktion!
85
Funktionen
DialogMathe
Situation 3:
Wir starten mit 10 Bakterien und einer Teilungszeit von 20min.
Situation 4:
Wir starten mit 10 Bakterien und einer Teilungszeit von 5h.
86
Einführendes Beispiel
DialogMathe
5 Leitidee Wachstum
5.1 Einführendes Beispiel
5.1.1 Lineares Wachstum einer Sonnenblume
Wir pflanzen eine
h0 = 50cm hohe Sonnen-
blume. Diese wächst pro
Woche
um ∆h = 10cm .
Anzahl
Wochen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Höhe am Anfang
der Woche in cm
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
Rekursiv festgelegter Wachstumsprozess:
Höhenzuwachs
in cm
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
Höhe am Ende
der Woche in cm
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
h ( n ) = h ( n − 1) + ∆h
(n = Anzahl Wochen [ n = 1, 2, 3, . . . . ] , h = Höhe der Sonnenblume in cm)
h ( 1) = h ( 0 ) + 10 = 50 + 10 = 60
h ( 2 ) = h ( 1) + 10 = 60 + 10 = 70
h ( 3 ) = h ( 2 ) + 10 = 70 + 10 = 80
usw.
Bei der rekursiven Berechnungsart bekommen wir diskrete Werte für die Höhe der Sonnenblume jeweils am Ende der Woche, d.h., wir können uns vorstellen, dass wir die Höhe jeweils am Ende einer Woche messen. Über die Höhe der Sonnenblume während der Woche haben wir keine Information. Zur
Berechnung von h ( n ) muss h ( n − 1) bekannt sein.
87
Leitidee Wachstum
DialogMathe
Funktional festgelegter Wachstumsprozess:
wobei a =
Ansatz: h ( t ) = a ⋅ t + b
∆h
= konstant die Änderungsrate der Höhe („Steigung“)
∆t
und b = h0 die Anfangshöhe ist. [a = 10cm pro Woche und b = 50cm]
Höhe der Sonnenblume als Funktion der Zeit:
h ( t ) = 10 ⋅ t + 50
[ t in Wochen, h in cm]
Mit dieser Funktionsgleichung können wir die Höhe der Sonnenblume zu einem beliebigen Zeitpunkt berechnen, z.B.
h ( 12 ) = 10 ⋅ 12 + 50 = 170
oder h ( 5,5 ) = 10 ⋅ 5,5 + 50 = 105
5.1.2 Exponentielles Wachstum einer Sonnenblume
Wir pflanzen eine h0 = 50cm hohe Sonnenblume. Die Höhe der Sonnenblume
nimmt jede Woche um 20% zu: ∆h = 0,2 ⋅ h
Anzahl
Wochen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
88
Höhe am Anfang
der Woche in cm
50
60
72
86,4
103,68
124,416
149,299
179,159
214,991
257,989
309,587
371,504
Höhenzuwachs
in cm
10
12
14,4
17,28
20,736
24,883
29,860
35,832
42,998
51,598
61,917
74,301
Höhe am Ende
der Woche in cm
60
72
86,4
103,68
124,416
149,299
179,159
214,991
257,989
309,587
371,504
445,805
Einführendes Beispiel
DialogMathe
Rekursiv festgelegter Wachstumsprozess:
h ( n ) = h ( n − 1) + 0,2 ⋅ h ( n − 1) = 1,2 ⋅ h ( n − 1)
(n = Anzahl Wochen [ n = 1, 2, 3, . . . . ] , h = Höhe der Sonnenblume in cm)
h ( 1) = 1,2 ⋅ h ( 0 ) = 1,2 ⋅ 50 = 60
h ( 2 ) = 1,2 ⋅ h ( 1) = 1,2 ⋅ 60 = 72
h ( 3 ) = 1,2 ⋅ h ( 2 ) = 1,2 ⋅ 72 = 86, 4 usw.
Auch hier muss zur Berechnung von h ( n ) h ( n − 1) bekannt sein.
Funktional festgelegter Wachstumsprozess:
Ansatz: h ( t ) = b ⋅ a t ,
derungsrate
wobei a der Wachstumsfaktor, der sich aus der Än-
∆h
= 0,2 ⋅ h ergibt und b = h0 die Anfangshöhe ist.
∆t
Höhe der Sonnenblume als Funktion der Zeit:
h ( t ) = 50 ⋅ 1,2t
[ t in Wochen, h in cm]
Mit dieser Funktionsgleichung können wir die Höhe der Sonnenblume zu einem beliebigen Zeitpunkt berechnen, z.B. h ( 12 ) = 50 ⋅ 1,212 = 445,81
Alternativ kann auch folgender Ansatz verwendet werden: h ( t ) = b ⋅ ec ⋅ t
[ e = Euler‘sche Zahl] Bestimme die Zahlen b und c für das obige Beispiel!
89
Leitidee Wachstum
DialogMathe
5.1.3 Graphische Darstellung der Wachstumsprozesse
Beschreibt
ibt das Modell des linearen Wachstums oder das Modell des exponentiellen Wachstums die Höhe der Sonnenblume richtig?
Bei beiden Modellen
Modelle wird die Höhe bei zunehmender Zeit immer grösser.
Entspricht dies der Wirklichkeit?
Dynamisches
misches Arbeitsblatt Leitidee
Leit
Wachstum
GeoGebra Datei: Sonnenblume
Zeit: 10 Minuten
G = Grenze (maximale Höhe, die die Sonnenblume erreichen kann)
Beschränktes Wachstum
Beschreibe
be das Verhalten des beschränkten Wachstums!
Wachstums
Interpretiere den Graph (Verlauf,
(V
Änderungsrate).
Logistisches Wachstum
Beschreibe
be das Verhalten des logistischen Wachstums!
Wachstums
Interpretiere den Graph (Verlauf, Änderungsrate).
90
Exponentielles Wachstum und exponentieller Zerfall
DialogMathe
5.2 Exponentielles Wachstum und exponentieller Zerfall
Alle Vorgänge, bei denen eine Grösse pro Zeiteinheit um einen konstanten
Faktor zu- oder abnimmt (wo also das Wachstum bzw. die Abnahme proporpropo
tional zur vorhandenen Grösse ist), können durch eine Exponentialfunktion
beschrieben werden. Das bekannteste Beispiel ist wohl die Formel für die Berechnung eines Kapitals
Ka
mit Zinseszinsen:
(
p
K t = K 0 ⋅ 1 + 100
)
t
(t : Anzahl Jahre, K 0 : Anfangskapital, K t : Kapital nach t Jahren)
p
Wie man sieht, beträgt der Wachstumsfaktor hier q = 1 + 100 , bei einem Zinssatz von 5% also 1,05.
Dynamisches
GeoGebra Datei: Zinseszins
Zeit: 10 Minuten
Gegeben: Anfangskapital K 0 , Zinssatz p, Endkapital K t nach t Jahren.
Fragestellung:
Wie gross ist t? Wie lange dauert es bis das Anfangskapital auf das Endkapital
angewachsen ist?
91
Leitidee Wachstum
DialogMathe
5.2.1 Diskrete und kontinuierliche Systeme
Ist das Wachstum eines Systems proportional zum Bestand, so spielt das Zeitintervall ∆t nach dem wir jeweils den neuen Bestand berechnen eine Rolle.
Beispiel: p = 0,5
Anfangswert: y 0
Änderungsrate:
∆y p
= ⋅y
∆t n
n : Anzahl Rechenschritte
∆t
n
: Zeitschritt pro Rechenschritt
n =1 →
∆t
y1 = y0 + p ⋅ y0 = ( 1 + p ) ⋅ y0
n=2
→
∆t
2
( p2 ) ⋅ y0
2
y 2 = y1 + p2 ⋅ y1 = ( 1 + p2 ) ⋅ y1 = ( 1 + p2 ) ⋅ y 0
y1 = y 0 + p2 ⋅ y 0 = 1 +
n=3
→
∆t
3
( p3 ) ⋅ y0
2
y 2 = y1 + 3p ⋅ y1 = ( 1 + p3 ) ⋅ y1 = ( 1 + p3 ) ⋅ y 0
3
y3 = y 2 + p3 ⋅ y 2 = ( 1 + 3p ) ⋅ y 2 = ( 1 + p3 ) ⋅ y 0
y1 = y0 + 3 ⋅ y 0 = 1 +
p
→
Allgemein n
(
∆t
n
(
(
)
n
⋅ y0
( ∆nt → 0 )
n→∞
Kontinuierliches System
)
yn = yn −1 + pn ⋅ yn −1 = 1 + np ⋅ yn −1 = 1 + pn
)
p n
lim yn = lim  1 + n ⋅ y 0 


n →∞
n →∞ 
n
= y 0 ⋅ lim  1 + np  = y 0 ⋅ ep

n →∞ 

(
92
)
DialogMathe
Beispiel Bakterienwachstum
Bakterien vermehren sich durch Teilung.
Wir betrachten einen Bakterienstamm, der zum Zeitpunkt t = 0 aus einem Bakterium besteht ( y 0 = 1 ) und sich pro Stunde ( ∆t = 1h ) verdoppeln
kann. Wie gross ist p?
Berechne die untenstehende Tabelle mit Hilfe des Rechners.
n Anzahl
Rechenschritte
(
yn = 1 + pn
)
n
⋅ y0 = ( 1 + n1 )
n
1
2
3
4
5
100
100‘000
93
Leitidee Wachstum
DialogMathe
Beispiel Kapitalwachstum
Jährliche Verzinsung eines Kapitals: Kn = K 0 ⋅ ( 1 + p )
n
Anzahl Jahre: n
Zinssatz pro Jahr : p
t
Kapital in Funktion der Zeit: K ( t ) = K 0 ⋅ ( 1 + p ) 1 Jahr
Verzinsung nach einem Bruchteil eines Jahres:
∆t =
1
m
Jahr (pro Monat: m = 12)
Zinssatz pro
1
m
Jahr:
(
K ( t ) = K0 ⋅ 1 +
p
m
m⋅ t
p 1 Jahr
m
)
p
m
=k ,
K ( t ) = K0 ⋅ ( 1 +
p ⋅k ⋅ t
1 1 Jahr
k
Substitution:
)
p⋅t
k
= K 0 ⋅  ( 1 + k1 )  1 Jahr


Kontinuierliches System
∆t → 0
⇒
m = p⋅k
( p = konstant )
⇒
m→∞
k→∞
k
lim  ( 1 + k1 )  = ?

k →∞ 
lim  ( 1 +
k →∞ 
)
1 k
k
 = 2,71828182…

e = 2,71828182… (Euler ' sche Zahl)
Die Euler‘sche Zahl ist
irrational (analog π ).
p⋅ t
p⋅ t
k
K ( t ) = K 0 ⋅  ( 1 + k1 )  1 Jahr = K 0 ⋅ e1 Jahr


94
DialogMathe
Beispiel
Du legst ein Kapital von 1000.- Franken auf ein Sparkonto, dass zu 2% verzinst wird. Wie viel Geld bekommst du von der Bank nach 10 Jahren?
a) Berechne das Kapital nach 10 Jahren bei diskreter Verzinsung jeweils am
Jahresende.
t
K ( t ) = K 0 ⋅ ( 1 + p ) 1 Jahr = 1000 ⋅ ( 1 + 0,02 )
10
= 1' 219,00
b) Berechne das Kapital nach 10 Jahren bei kontinuierlicher Verzinsung.
p⋅t
K ( t ) = K 0 ⋅ e1 Jahr = 1000 ⋅ e0,02⋅10 = 1' 221, 40
Erstaunliches Resultat:
Durch die kontinuierliche Verzinsung (z.B. jede Sekunde) erhalten wir nur 2,4
Franken mehr!
Analyse der Abweichung:
t
p⋅ t
t
K ( t ) = K 0 ⋅ ( 1 + p ) 1 Jahr = K 0 ⋅ e1 Jahr = K 0 ⋅ ( ep )1 Jahr
1 + p = ep ???
e0,02 = 1,0202
Merke
Identische Beschreibung von kontinuierlichen Systemen durch die Exponentialfunktion mit beliebiger Basis.
K ( t ) = K 0 ⋅ ( 1 + p ) = K 0 ⋅ eλ⋅ t = K 0 ⋅ ( eλ )
t
1 + p = q = eλ →
t
λ = ln ( 1 + p ) = ln ( q )
95
Leitidee Wachstum
DialogMathe
5.2.2 Darstellungsformen
Die Exponentialfunktion kann dargestellt werden mit beliebiger Basis oder
mit der Basis e. In der zweiten Form ist sie einfacher zu logarithmieren, da
ln(e) = 1. Wir werden im Folgenden beide Formen nebeneinander verwenden.
Eine Funktion, die exponentielles Wachstum beschreibt, ist immer nach dem
gleichen Schema aufgebaut:
Exponentielles Wachstum
speziell: e – Funktion
f(t) = k ⋅ q t
f(t) = k ⋅ e λ⋅t
f(t): Wert nach der Zeit t
k: Anfangswert
q: Wachstumsfaktor
bei Wachstum ist q > 1
λ (sprich: Lambda): Wachs-
tumskonstante
Exponentieller Zerfall
Exponentieller Zerfall
bei Abnahme ist q < 1, z.B. q = 21
bei Abnahme schreibt man
f(t) = k ⋅ ( 21 ) = k ⋅ 2 − t
f(t) = k ⋅ e −λ⋅t
t
λ : Zerfallskonstante
Wenn wir die beiden Formen vergleichen, sehen wir, dass
q = eλ , d.h. λ = ln ( q ) .
)
(
ln q t
ln q ⋅t
f ( t ) = k ⋅ qt = k ⋅ e ( ) = k ⋅ e ( )
= k ⋅ e λ⋅ t
Merke
Beide Ansätze enthalten zwei Unbekannte. Wir brauchen also zwei Punkte
um die Funktionsgleichung oder den Graph der Funktion zu bestimmen.
(Satz von Anan!)
Siehe auch Kap. 4.2.1.
96
DialogMathe
5.2.3 Übersicht Exponentialfunktion und Wachstum
Übersicht: Exponentialfunktion
t
y
t
=
y
⋅
q
(
)
Ansatz:
0
oder
y ( t ) = y0 ⋅ e λ⋅t
Änderungsrate
Rekursiv
∆y
= λ⋅y
∆t
y t = q ⋅ y t −1
Zunahme
Abnahme
q>1
q<1
λ = ln ( q ) > 0
λ = ln ( q) < 0
Mögliche Problemstellungen
y(t)
Bestand
zum Zeitpunkt t
multiplizieren
Gegeben
Gegeben
Gegeben
y0
Bestand
q
Wachstumsfaktor
t
Zeit
am Anfang (t = 0)
Gegeben
dividieren
Gegeben
Gegeben
Gegeben
Gegeben
radizieren
Gegeben
Gegeben
Gegeben
Gegeben
logarithmieren
97
Leitidee Wachstum
DialogMathe
5.3 Musterbeispiele
5.3.1 Beispiel 1: Insektenpopulation
Eine Insektenart vermehrt sich in einem Biotop exponentiell. Auszählungen
ergaben folgendes Resultat:
Nach 8 Wochen zählte man 1718 Insekten, nach 15 Wochen 2759 Insekten.
a) Wie viel Insekten wurden zu Beginn ins Biotop gegeben?
b) Wie viel Prozent nimmt die Insektenzahl pro Woche zu?
c) Wie viel Insekten würde man nach 30 Wochen zählen?
d) Nach wie vielen Wochen haben sich die Insekten verfünffacht?
Ansatz
Anzahl Insekten als Funktion der Zeit N ( t ) = b ⋅ a t
Gegeben: N ( 8 ) = 1718 und N ( 15 ) = 2759 . Aus diesen beiden Zuordnungen
können wir a und b bestimmen:
b ⋅ a8 = 1718
b ⋅ a15 = 2759
Wir dividieren die Gleichung 2 durch die Gleichung 1:
a7 =
2759
1718
→
a=
7
2759
= 1,07 ;
1718
b=
b ⋅ a15 2759
=
b ⋅ a8 1718
1718 1718
=
= 999,89 ≈ 1000
a8
1,078
Daraus ergibt sich die Insektenzahl in Funktion der Zeit: N ( t ) = 1000 ⋅ 1,07 t
Aus dieser Funktion lassen sich die oben gestellten Fragen beantworten.
a) Wie viel Insekten wurden zu Beginn ins Biotop gegeben?
N ( 0 ) = 1000 ⋅ 1,070 = 1000 Insekten ( = b )
b) Wie viel Prozent nimmt die Insektenzahl pro Woche zu?
p
Wachstumsfaktor a = 1,07 = 1 + 100
→
p
100
= 0,07
→ p = 7%
c) Wie viel Insekten würde man nach 30 Wochen zählen?
N ( 30 ) = 1000 ⋅ 1,0730 = 7612,26 ≈ 7612 Insekten
d) Nach wie vielen Wochen haben sich die Insekten verfünffacht?
b ⋅ at = 5b
→ at = 5 → 1,07t = 5
t ⋅ log ( 1,07 ) = log ( 5 )
98
→ t=
→ log ( 1,07t ) = log ( 5 )
log ( 5 )
= 23,79 ≈ 24 Wochen
log ( 1,07 )
Musterbeispiele
DialogMathe
5.3.2 Beispiel 2: Baumbestand
In einem Land werden jährlich die Bäume gezählt. Der Bestand von Apfelbäumen und Birnbäumen für das Jahr 2000 und die mittlere jährliche prozentuale Veränderung sind in untenstehender Tabelle aufgeführt.
Baumstatistik
Bestand im Jahr
2000 in Mio.
9,245
14,874
Apfelbäume
Birnbäume
Mittlere jährliche
prozentuale Veränderung
Zunahme 5%
Abnahme 3%
Bestimme die Wachstumsfunktionen für den Bestand von Apfelbäumen A(t)
und von Birnbäumen B(t).
Apfelbäume: A ( t ) = 9, 245 ⋅ 1,05 t
5
(Wachstumsfaktor a = 1 + 100
= 1,05 )
Birnbäume: B ( t ) = 14,874 ⋅ 0,97 t
3
(Wachstumsfaktor a = 1 − 100
= 0,97 )
a) Wie viele Millionen Apfelbäume gibt es im Jahr 2012 in diesem Land?
A ( 12 ) = 9,245 ⋅ 1,05 12 = 16,603 Mio
b) Nach wie vielen Jahren hat sich der Bestand der Birnbäume halbiert?
0,97 t = 0,5
→ log ( 0,97 t ) = log ( 0,5 )
/ log
t ⋅ log ( 0,97 ) = log ( 0,5 )
→ t=
log ( 0,5 )
= 22,76 Jahre
log ( 0,97 )
c) Nach wie vielen Jahren gibt es in diesem Land gleich viele Apfelbäume wie
Birnbäume?
A ( t ) = B( t )
9,245 ⋅ 1,05 t = 14,874 ⋅ 0,97 t
→
t
 1,05  14,874
 0,97  = 9,245


→
14,874 
log 
 9,245  = 6 Jahre
t=
1,05 
log 
 0,97 
d) Im Jahr 1990 gab es in diesem Land 5,635 Mio. Kirschbäume. 10 Jahre später
zählte man 6,869 Mio. Kirschbäume. Berechne die mittlere jährliche prozentuale Zunahme.
K ( t ) = 5,635 ⋅ q t
;
K ( 10 ) = 6,869
5,635 ⋅ q 10 = 6,869
q 10 =
6,869
5,635
→ q = 10
6,869
= 1,02 → p = 2%
5,635
99
Leitidee Wachstum
DialogMathe
5.3.3 Beispiel 3: radioaktiver Zerfall
Bei radioaktiven Zerfallsprozessen gibt man meist die Halbwertszeit T1 an 2
die Zeit, nach der nur mehr die Hälfte der ursprünglichen Menge übrig ist.
a) Die Halbwertszeit von radioaktivem Jod beträgt 8 Tage. Gib die Zerfallsfunktion an! ( N0 : Anfangsmenge, N(t): Menge nach t Tagen)
Wie viel Jod ist nach 10 Tagen noch vorhanden?
Ansatz: N(t) = N0 ⋅ q t
Bestimmung des Wachstumsfaktors q
Ansatz: N(t) = N0 ⋅ e −λ⋅t
Bestimmung der Zerfallskonstante λ
N(8) =
N0
= N0 ⋅ q8
2
N(8) =
q=
1 = 0,917
2
λ=
8
N0
= N0 ⋅ e−λ⋅8
2
ln(2)
= 0,0866
8
N(t) = N0 ⋅ 0,917 t
N(t) = N0 ⋅ e −0,0866⋅t
N(10) = N0 ⋅ 0,917 10 = 0,42 ⋅ N0
N(10) = N0 ⋅ e −0,0866⋅10 = 0,42 ⋅ N0
⇒ 42% der ursprünglichen Menge N0
⇒ 42% der ursprünglichen Menge N0
b) Wie viel Prozent der vorhandenen Menge zerfallen pro Tag?
Nach 1 Tag ist die Restmenge
q = 0,917 = 91,7%
N(1) = N0·e-0,0866 = N0·0,917
⇒ die Abnahme beträgt 8,3%
⇒ es sind 8,3% zerfallen.
c) Wann ist nur mehr 1% der ursprünglichen Menge vorhanden?
0,01 ⋅ N0 = N0 ⋅ 0,917 t
0,01 ⋅ N0 = N0 ⋅ e − 0,0866t
e − 0,0866t = 0,01
ln(0,01)
t=
≈ 53,2
−0,0866
0,917 = 0,01
t
t=
ln(0,01)
≈ 53,2
ln(0,917)
⇒ nach 53,2 Tagen
Anmerkung:
Aus der Gleichung
100
−λ⋅T1
N0
2 erhält man die Beziehung λ ⋅ T = ln(2)
= N0 ⋅ e
1
2
2
Musterbeispiele
DialogMathe
5.3.4 Dynamisches Arbeitsblatt radioaktiver Zerfall
Beim radioaktiven Zerfall nimmt die Masse m einer radioaktiven Substanz
exponentiell mit der Zeit ab. Wismut hat eine Zerfallsrate von 13% pro Tag.
Im Zeitpunkt t = 0 sind m0 = 10g radioaktives Wismut vorhanden
a) Bestimme die Funktion m(t).
b) Skizziere den Graph.
c) Bestimme die Halbwertszeit von Wismut. (Halbwertszeit: Zeit, nach
welcher nur noch die Hälfte der ursprünglichen Masse vorhanden ist.)
Lösung
•
Bestimme die Funktion m(t).
m ( t ) = m0 ⋅ qt = 10 ⋅ 0,87 t
Anfangsmasse: m0 = 10 ; Wachstumsfaktor: q = 1 −
•
13
= 0,87
100
Skizziere den Graph.
Beachte: Die Halbwertszeit ist unabhängig vom Anfangswert m0 .
•
Halbwertszeit von Wismut
m( T ) =
m0
= m0 ⋅ 0,87 T
2
(
1
log   = log 0,87 T
2 
)
→
1
= 0,87 T / log
2
1
log  
 2  = 4,98 Tage
T=
log ( 0,87 )
→
101
Leitidee Wachstum
DialogMathe
5.3.5 Lösungen mit dem Rechner
Beispiel 1: Insektenpopulation
Berechnungen
Ansatz: n ( t ) = b ⋅ a t
Berechnung der Parameter a und b durch ein Gleichungssystem.
Definition der Funktion n(t)
Funktionsaufruf: z.B. n(0) oder n(30)
Graphische Darstellungen
102
Musterbeispiele
DialogMathe
Beispiel 2: Baumbestand
Berechnungen
Graphische Darstellungen
Nach wie vielen Jahren gibt es in diesem Land gleich viele Apfelbäume a(x)
wie Birnbäume b(x)?
Schnittpunkt der beiden Graphen ( 6 | 12,39 ) :
Nach 6 Jahren hat es 12,39 Mio. Apfelbäume und 12,39 Mio. Birnenbäume.
103
Leitidee Wachstum
DialogMathe
5.3.6 Beispiel 4: Grenzen des Wachstums
Thomas R. Malthus, ein englischer Philosoph vermutete,
dass die Nahrungsmittelerzeugung dem rasanten Bevölkerungswachstum im Zuge der industriellen Revolution nicht
würde folgen können, und prognostizierte permanente
Hungersnöte. Zur Begründung seiner Thesen entwickelte er
einfache Modelle für das Wachstum von Populationen: die
Bevölkerung wachse exponentiell, die zur Verfügung stehenden Nahrungsmittel jedoch nur linear. Im Jahre 1798 veröffentlichte er sein "Essay on the
Principles of Population". Mit seiner Wachstumsfunktion B ( t ) = B0 ⋅ q t versuchte Malthus, das Bevölkerungswachstum in den USA zu beschreiben.
a) Mit den Zahlen aus den Volkszählungen in den USA errechnete Malthus
den Wachstumsfaktor q = 1,03 , wobei er die Zahlen von 1780 und 1790 benutzte.
1790 wurden in den USA 3,9 Mio. Einwohner gezählt. Wie viele Einwohner
hatten die USA 1780?
B = B0 ⋅ q t
→
3,9 = B0 ⋅ 1,03 10
→
B0 =
3,9
= 2,902 ;
1,03 10
B ( 1780 ) = 2,9Mio
b) In wie vielen Jahren würde sich die Bevölkerung der USA verdoppeln,
wenn das Modell von Malthus zutrifft?
B = 2B0 = B0 ⋅ q t
→
qt = 2
→
t=
log(2)
log(2)
=
= 23, 45 Jahre
log ( q ) log ( 1,03 )
c) Wie viele Einwohner ergibt das Modell für die USA im Jahre 2000?
B ( 2000 ) = B ( 1790 ) ⋅ 1,03 210 = 3,9 ⋅ 1,03 210 = 1935,9Mio
d) Malthus hat folgendes Modell für die Grenzen des Wachstums gerechnet:
Betrachtet wird eine Bevölkerung, die zu Beginn eines bestimmten Jahres aus
5 Millionen Personen besteht und jährlich um 3% wächst.
Zum gleichen Zeitpunkt wären Nahrungsmittel für 10 Millionen Personen
verfügbar, wobei die Produktion der Nahrungsmittel für jährlich 100’000 Personen gesteigert werden könnte.
104
Musterbeispiele
DialogMathe
d1) Gib die Gleichungen für das Wachstum der Bevölkerung sowie der
Nahrungsmittelprod
Nahrungsmittelproduktion
an.
Bevölkerungswachstum: B ( t ) = 5 ⋅ 1,03 t
Nahrungsmittelwachstu N ( t ) = 0,1 ⋅ t + 10
Nahrungsmittelwachstum:
d2) In welchem Jahr übersteigt die
Anzahl der Personen
rsonen die zur VerVe
fügung stehenden Nahrungsmittel?
B ( t ) = N ( t ) ; Rechner (graphisch
Intersection oder solve)
t = 33 Jahre
e) Bestimme die Wachstumsfunktion
Wachstumsfunktion für die Bevölkerung in den USA, wenn
aus Volkszählungen folgende Zahlen bekannt sind:
Im
m Jahr 1800: 5,3 Mio. Einwohner; im
im Jahr 2000: 281,4 Mio. Einwohner
Vergleiche dein erhaltener Wachstumsfaktor mit dem Modell von Malthus!
Ansatz: B = B0 ⋅ q t
→ 281,4 = 5,3 ⋅ q 200
→ q = 200
281,4
= 1,02
5,3
Mittleres Bevölkerungswachstum
Bevölkerungs
von 1800 bis 2000: 2%. Modell von Malthus
rechnete mit 3% (1780 bis 1790), zu grosse Wachstumsrate!
Dynamisches
GeoGebra Datei: Grenzen des Wachstums
Zeit: 10 Minuten
105
Leitidee Wachstum
DialogMathe
5.4 Wachstumsmodelle
5.4.1 Lineares Wachstum
Anfangswert : y ( 0 ) = y 0
Konstante Änderungsrate:
∆y
=m
∆t
→
∆y = m ⋅ ∆t
Bestand: y ( t ) = m ⋅ t + y 0
m > 0 Bestand nimmt zu.
m < 0 Bestand nimmt ab.
Dynamisches
GeoGebra Datei: lineares Wachstum Bewegung
Zeit: 10 Minuten
Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit.
Geschwindigkeit = Änderungsrate
Änderungsrate des Weges (Steigung) = konstant
Weg – Zeit – Gesetz : s ( t ) = v ⋅ t + s0 (linear)
v=
∆s
∆t
→
∆s = v ⋅ ∆t (in gleichen Zeitabschnitten gleiche Wegänderung)
Beachte: Die Anfangsposition s 0 beeinflusst die Änderungsrate
srate v nicht.
106
Wachstumsmodelle
DialogMathe
5.4.2 Exponentielles Wachstum
Änderungsrate proportional zum Bestand:
∆y
=k⋅y
∆t
→
∆y = k ⋅ y ⋅ ∆t
Bestand: y ( t ) = y 0 ⋅ ek ⋅t
k > 0 : exponentielles
exponent
Wachstum
k < 0 : exponentieller Zerfall
Dynamisches
GeoGebra Datei: exponentielles Wachstum Bewegung
Zeit: 10 Minuten
Bewegung mit einer Geschwindigkeit proportional zum Weg.
Geschwindigkeit
gkeit = Änderungsrate des Weges (Steigung) = k ⋅ s
Weg – Zeit – Gesetz : s ( t ) = s0 ⋅ ek ⋅ t (exponentiell)
v=
∆s
= k⋅s
∆t
→
∆s = k ⋅ s ⋅ ∆t (Wegänderung ist vom Weg abhängig)
Die Steigungsdreiecke werden immer steiler!
Beachte: Die Anfangsposition s 0 beeinflusst die Änderungsrate v.
107
Leitidee Wachstum
DialogMathe
5.4.3 Begrenztes Wachstum
Änderungsrate proportional zur Differenz Grenze - Bestand:
∆y
= k ⋅(G − y)
∆t
Derr Bestand y besitzt eine Grenze,
Grenz , d.h. eine maximale Grösse, die sie nicht
übersteigen kann. Die Differenz G − y bezeichnen wir mit Sättigungsmanko.
Bestand: y ( t ) = G − ( G − y 0 ) ⋅ e−k ⋅t
k > 0 : Bestand nimmt zu.
k < 0 : Bestand
tand nimmt ab.
Dynamisches
GeoGebra Datei: beschränktes Wachstum Bewegung
Zeit: 10 Minuten
Bei dieser Bewegung ist der Weg beschränkt. Die Änderungsrate ist proportiproport
onal zur Differenz ( G − s ) . Zu Beginn der Bewegung ist die Geschwindigkeit
(Änderungsrate) am grössten und nimmt dann ab bis der Weg die Grenze G
erreicht hat ( s = G
→
v = 0 ).
Die Steigungsdreiecke werden immer flacher.
108
Wachstumsmodelle
DialogMathe
5.4.4 Logistisches Wachstum
Änderungsrate proportional zum Bestand und zur Differenz
Grenze - Bestand:
Bestand: y ( t ) =
∆y
= k ⋅ y ⋅ ( G − y ) (Änderungsrate quadratisch!!)
∆t
y0 ⋅ G
y 0 + ( G − y 0 ) ⋅ e−G⋅k ⋅ t
k > 0 : Bestand nimmt zu.
k < 0 : Bestand nimmt ab.
Dynamisches
GeoGebra Datei: logistisches Wachstum Bewegung
Zeit: 10 Minuten
Exponentielles und beschränktes Wachstum kombiniert.
Steigungsdreiecke am Anfang der Bewegung flach,
flach, in der Mitte am steilsten,
gegen Ende wieder flach. Typische S – Kurve!
Erkläre diesen Verlauf mit Hilfe der Änderungsrate.
109
Leitidee Wachstum
DialogMathe
5.5 Anwendungen Wachstum
5.5.1 Physik: Bewegungen
Wie werden in einem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm die folgenden Bewegungen dargestellt? Wie sehen jeweils die Weg-Zeit-Diagramme aus?
a) Eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit
b) Eine gleichmässig beschleunigte Bewegung
c) Eine gleichmässig verzögerte Bewegung
110
Anwendungen Wachstum
DialogMathe
5.5.2 Wirtschaft: Sparen (lineares und exponentielles Wachstum)
Lineares Wachstum: In eine Spardose, die anfangs leer war, wird monatlich
ein Betrag von 100 Franken eingeworfen. Stelle den Geldinhalt der Spardose
in Abhängigkeit von der Zeit graphisch dar.
Exponentielles Wachstum: Du hast zu deiner Geburt 1000 Franken geschenkt
bekommen. Deine Eltern haben das Geld auf einem Sparbuch mit 4 % Zinsen
(pro Jahr) angelegt. Wie viel Geld hast du an deinem 18. Geburtstag auf dem
Sparbuch?
111
Leitidee Wachstum
DialogMathe
5.5.3 Biologie: Bakterienkultur (exponentielles Wachstum)
Eine Bakterienkultur wächst pro Stunde um 15%. Stelle B(t) (die Anzahl der
Bakterien nach t Stunden) als Exponentialfunktion dar, wenn zur Zeit t = 0
B0 = 100 Bakterien vorhanden sind. Wann wird die kritische Zahl von
1’000'000 Bakterien erreicht?
112
DialogMathe
5.5.4 Chemie: Radioaktivität (exponentieller Zerfall)
Bei radioaktiven Zerfallsprozessen gibt man meist die Halbwertszeit T12 an die Zeit, nach der nur mehr die Hälfte der ursprünglichen Menge übrig ist.
Die Halbwertszeit von radioaktivem Jod beträgt 8 Tage. Gib die Zerfallsfunktion an! ( N0 : Anfangsmenge, N(t): Menge nach t Tagen) Wie viel Jod ist nach
10 Tagen noch vorhanden? Wie viel Prozent der vorhandenen Menge zerfallen pro Tag? Wann ist nur mehr 1% der ursprünglichen Menge vorhanden?
113
Leitidee Wachstum
DialogMathe
5.5.5 Geographie: Zunahme der Bevölkerung
Im Jahr 1985 lebten auf der Erde ungefähr 4,9 Milliarden Menschen. Die
Wachstumsrate beträgt 1,8% jährlich. Die Grösse der gesamten Erdoberfläche
(also einschliesslich Meere, Wüsten, Polarregionen und Gebirge) beträgt 150
Milliarden m2 . In welchem Jahr wird - gleiche Wachstumsrate vorausgesetzt für jeden Menschen weniger als 1m2 zur Verfügung stehen?
114
DialogMathe
5.5.6 Umwelt: Kohlendioxidkonzentration
Die Weltorganisation für Meteorologie schätzt, dass sich in unserer Atmosphäre die CO2-Konzentration jährlich um 0,4 % erhöht. Um wie viel ist die
CO2 -Konzentration nach 10 Jahren höher als heute, wenn sich die Zuwachsrate nicht ändert? Seit einiger Zeit wird der Treibhauseffekt analysiert, als
dessen Hauptursache der Anstieg des CO2 -Gehaltes in der Luft gilt.
Wissenschaftler prognostizieren, dass es zu einer Klimakatastrophe kommt,
wenn sich der CO2 -Gehalt von 1960 verdoppelt haben wird.
Die Messwerte in der Einheit parts per million (ppm) lauten dazu:
Jahr
CO2 – Anteil in ppm
1960
316
1964
319
1968
322
1972
327
1976
331
1980
337
115
DialogMathe
6 Modellbildung und Simulation
Unser tägliches Leben und die Entwicklung unserer Welt werden bestimmt
durch komplexe, miteinander verkoppelte dynamische Systeme: Menschen,
Tiere, Pflanzen, Wälder, Technik, Wirtschaft, Finanzen, Betriebe, Städte,
Staaten. Obwohl oft beständig in ihrer äusseren Gestalt, werden sie von meist
unsichtbaren Prozessen laufend verändert und verändern dabei ihre Umwelt.
Kenntnis über die mögliche Dynamik ist in vielen Bereichen lebenswichtig.
Die dynamischen Prozesse müssen mit den Mitteln der Systemanalyse
erschlossen werden: mit der mathematischen Modellbildung und der
Computersimulation.
6.1 Modellbildungsprozess
Modellbildung
Modelle sind Abbildungen von Ausschnitten aus unserer Wirklichkeit und
eignen sich unser Denken und Handeln zu reflektieren.
116
Simulation mit graphischen Modellbildungsprogrammen
DialogMathe
6.2 Simulation mit graphischen Modellbildungsprogrammen
Wesentlich bei der Modellierung und Simulation von Wachstumsprozessen ist
die Unterscheidung von Bestandsgrössen und Änderungsraten.
Bestandsgrösse
Eine Bestandsgrösse ist eine Grösse, die zu Beginn der Simulation einen
bestimmten Anfangswert besitzen muss und die im Laufe der Simulation
durch Einwirkungen (Zuflüsse/Abflüsse) ihren Wert additiv ändert.
Ein Synonym für die Bestandsgrösse ist die Zustandsgrösse.
Änderungsrate
Eine Änderungsrate kann mehrere Eingänge besitzen, aus denen der Wert der
Änderungsrate berechnet werden kann. Die Änderungsrate beinhaltet (mathematisch gesehen) die Änderungsgeschwindigkeit der zugeordneten Zustandsgrösse. Eine Änderungsrate besitzt keinen vorzugebenden Anfangswert. Der Wert wird für jeden Rechenschritt der Simulation aus den einwirkenden Systemelementen neu berechnet.
6.2.1
Grundschema der numerischen Simulation
Das Grundschema der numerischen Simulation eines dynamischen Systems
sieht folgendermassen aus:
1. Es ist eine Simulationsschrittweite dt sowie Anfangs- und Endzeitpunkt der Simulation festzulegen.
Bei zeitlich "diskreten" Systemen ist die Schrittweite dt bereits vom
Sachkontext her vorgegeben. (Rechenverfahren: Euler- Cauchy)
Bei "kontinuierlichen" Systemen ist eine "ausreichend kleine" Schrittweite zu wählen. (Rechenverfahren: Runge-Kutta)
2. Für den Anfangszeitpunkt t 0 müssen die Bestandsgrössen bereits bestimmte Startwerte (Anfangswerte) besitzen. Für jede Bestandsgrösse
muss in einem Simulationsmodell ein numerischer Startwert festgelegt
werden.
3. Aus diesen Anfangswerten werden die im Zeitintervall [ t 0 , t1 ]
(mit t1 = t 0 + dt ) gültigen Flussgrössen, sowie allfällige Hilfsgrössen
errechnet.
117
DialogMathe
4. Aus den für das Zeitintervall [ t 0 , t1 ] vorliegenden Flüssen, den Hilfsgrössen und den Beständen zum Zeitpunkt t 0 werden die neuen
Bestände zum Zeitpunkt ( t1 ) ermittelt.
5. Solange der Endzeitpunkt der Simulation noch nicht erreicht ist, wird
der Zeitpunkt ( t1 ) als neuer "Anfangszeitpunkt" t1 für den nächsten
Simulationsschritt festgelegt und die Rechenschritte 3. und 4. wiederholt.
6. Die Simulationsgleichungen sind im wesentlichen Beschreibungen
(Berechnungsvorschriften), wie die neuen Bestandsgrössen, Flussgrössen und Hilfsgrössen aus den bereits gegebenen Grössen errechnet
werden. t 0 : Ausgangszeitpunkt, dt : Dauer des Zeitschritts, t1 : Endzeitpunkt des Simulationsschritts: t1 = t 0 + dt , [ t 0 , t1 ] : Zeitintervall
zwischen den Zeitpunkten t 0 und t1 mit Dauer dt .
Wir benützen folgende Notationsweise:
Bei zeitpunktbezogenen Grössen wird der Zeitpunkt als Index in
Klammer an die betreffende Grösse angefügt:
Bestand ( t 0 ): Bestand zum "alten" Zeitpunkt t 0
Bestand ( t1 ): Bestand zum "neuen" Zeitpunkt t1 usw.
Bei zeitraumbezogenen Grössen wird das Zeitintervall als Index in
Klammer an die betreffende Grösse angefügt:
Fluss [ t 0 , t1 ] : Veränderung pro Zeiteinheit im Zeitintervall [ t 0 , t1 ] .
118
Simulation mit graphischen Modellbildungsprogrammen
DialogMathe
Die Rechenvorschrift zur Berechnung neuer Bestandsgrössen nennen
wir "Zustandsgleichungen". Zustandsgleichungen sind durchwegs
folgend aufgebaut:
Bestand ( t1 ) = Bestand ( t 0 ) + dt ⋅ ( Zuflüsse [ t 0 ,t1 ] − Abflüsse [ t 0 , t1 ] )
bzw. wenn wir die Zuflüsse und Abflüsse im Intervall [ t 0 , t1 ] zur
"Änderungsrate [ t 0 , t1 ] " saldieren:
Bestand ( t1 ) = Bestand ( t0 ) + dt ⋅ Änderungsrate [ t0 , t1 ]
Dabei sind mit "Zuflüsse", "Abflüsse" bzw. " Änderungsrate" die jeweiligen Flussgrössen, gemessen in der Einheit "Bestandsänderung pro
Zeiteinheit", gemeint. Wir können uns vereinfacht die Berechnung des
neuen Bestandes Bestand ( t1 ) folgend vorstellen:
Bestand_neu = Bestand_alt + Veränderungen
Im Gegensatz zu den Bestandsgrössen gibt es bei den Gleichungen
(Rechenvorschriften) für Flussgrössen und Hilfsgrössen keinerlei
standardisierte Struktur. Fluss- und Hilfsgrössen können irgendwie
rechnerisch definiert sein.
6.2.2 Beispiele für Bestandsgrössen und Änderungsraten
Zustandsgrössen
Bestandsgrösse
Änderungsraten
Zuflüsse
Abflüsse
Benzin im Autotank
Tanken an der Tankstelle
Benzinverbrauch,
Verdunstung
Wasser in einer Badewanne
Wasserzufluss
Wasserabfluss
Bevölkerung eines Ortes
Geburten,
Zuwanderung
Sterbefälle,
Abwanderung
Kontostand
Zubuchungen, Zins
Abbuchungen
Staatsvermögen
Staatseinnahmen
Staatsausgaben
119
DialogMathe
6.3 Das Modellbildungsprogramm DynaSim
Ein DynaSim - Modell wird in zwei Schritten erstellt.
Zuerst wird ein qualitatives Modell erstellt. Es setzt sich aus den folgenden
vier Arten von Objekten zusammen:
Werkzeug
Bedeutung
Zustandsgrössen definieren einen Zustand des Systems, welcher sich im Laufe
der Zeit durch Zuflüsse oder Abflüsse ändert.
Ventile (= Zuflüsse und Abflüsse) werden auch als Änderungsraten bezeichnet,
sie geben an, um wie viel sich die Zustandsgrösse pro gewählter Zeiteinheit
verändert.
Parameter, exogene Grössen, Zwischengrössen.
Parameter sind Grössen, die über die Beobachtungszeit konstant bleiben. Exogene Grössen sind Veränderliche, die ein System beeinflussen, auf die das System aber selber keinen Einfluss nehmen kann. Dazu gehören insbesondere auch
die Tabellenfunktionen.
Zwischengrössen sind Grössen, die sich zwar im Laufe der Zeit verändern, die
sich aber ständig aus den Zustandsgrössen berechnen lassen.
Wirkungspfeile zeigen Wirkungen von Objekten aufeinander an. Dabei bedeutet ein Pfeil von Objekt A auf B „A wirkt auf B“.
Im zweiten Schritt wird das Modell durch Zuweisung von Werten und Formeln zu einem quantitativen Modell erweitert:
•
Startwerte für Zustandsgrössen
•
Formeln für Ventile und Zwischengrössen
•
Tabellenfunktionen bzw. Konstanten für exogene Grössen und
Parameter
Im Hintergrund, also für den Benutzer unsichtbar, werden dadurch die für die
Berechnung der Simulationen notwendigen Modellgleichungen erzeugt.
120
Das Modellbildungsprogramm DynaSim
DialogMathe
6.3.1
Verzinsung eines Kapitals
Wir legen ein Kapital von Fr. 1000.- zu einem Zinssatz von 4 % am Anfang des
Jahres 2000 bei einer Bank an. Wie entwickelt sich das Kapital in den kommenden 20 Jahren, wenn wir den erhaltenen Zins jeweils stehen lassen?
Es handelt sich hier um ein diskretes System (Euler-Cauchy Rechenverfahren).
Der Zins wird nicht kontinuierlich auf das Konto fliessen, sondern jeweils am
Ende einer Zeitperiode (z.B. ein Jahr) zum Kapital dazu addiert.
Flussdiagramm
Das Kapital ist die Bestandsgrösse mit dem Anfangswert Fr. 1000.Der Zins ist die Änderungsrate des Kapitals: Zins =
In der 1. Zeitperiode beträgt der Zins Fr. 40.- :
∆K
.
∆t
∆K = 40 ; ∆t = 1
(DynaSim verwendet für die Zeitdifferenz ∆t die Schreibweise dt.)
Der Zins lässt sich also durch ein Verhältnis aus zwei Differenzen
∆K K1 − K 0
(Differenzenquotient) darstellen.
=
∆t
t1 − t 0
K 0 = 1000 Kapital am Anfang des Jahres t 0 = 2000
K1 = 1040 Kapital am Anfang des Jahres t1 = 2001
Der Zinssatz ist eine exogenen Grössen (eine Grösse die von aussen auf das
System einwirkt aber vom System nicht beeinflusst wird).
Das oben dargestellte
Flussdiagramm erzeugt die
nebenstehenden Gleichungen.
121
DialogMathe
Die Simulation berechnet die Zahlenwerte für die ersten 20 Jahre in einer
Tabelle:
Diese sind auch als Zeitdiagramm darstellbar (Exponentielles Wachstum).
122
DialogMathe
6.3.2
Beispiel Kontostand
Ein Kapital von Fr. 100'000.- wird am Anfang des Jahres auf ein Konto einer
Bank (Zinssatz 3,5%) eingezahlt.
Mit Hilfe einer Simulation sollen nun die folgenden drei Varianten berechnet
und verglichen werden:
Wie gross ist das Kapital K15 nach 15 Jahren, wenn am Ende des Jahres jeweils
folgende Beträge abgehoben werden.
a) Fr. 2000.b) Fr. 3'500.c) Fr. 6000.Vergleiche jeweils K15 mit dem Anfangskapital und kommentiere kurz die
drei Varianten. Erkläre das unterschiedliche Verhalten!
Flussdiagramm
123
DialogMathe
Tabelle und Diagramm Ergebnis der Simulation
124
DialogMathe
6.3.3
Darstellungsformen von dynamischen Systemen
Dynamische Systeme werden durch Zustandsgrössen und deren Änderungsraten beschrieben (1). Die Vernetzung von Ursache und Wirkung wird mit
Hilfe von Diagrammen analysiert (2). Graphische Modellbildungsprogramme
benutzen Flussdiagramme (3, Ventil = Änderungsrate, Rechteck = Zustand)
um Differenzialgleichungen numerisch zu lösen (4). Als Resultate werden
Wertetabellen (7) oder Zeitdiagramme (8) ausgegeben. Die analytische Lösung
von Differenzialgleichungen liefert eine Zeitfunktion (5), die mit Hilfe von
Anfangsbedingungen (6) die Entwicklung von dynamischen Systemen beschreibt.
125
DialogMathe
6.4 Anwendung Systeme mit Zu- und Abflüsse
6.4.1
Verabreichung von Schmerzmitteln
Problem
Damit ein Patient keine Schmerzen hat, sollte er eine gleich bleibende Menge
eines Medikaments im Blut haben. Ein Medikament kann auf verschiedene
Arten verabreicht werden. Spritze, Pille, Infusion usw. Wir untersuchen die
Tropfinfusion.
Einem Patient wird durch eine Tropfinfusion ein Medikament verabreicht.
Dabei gelangt je Minute eine gleich bleibende Menge von a = 5mg des Medikaments ins Blut. Das dort angereicherte Medikament wird über die Nieren
wieder ausgeschieden. Die Ausscheidungsrate je Minute beträgt
b = 5% der jeweils im Blut vorhandenen Menge des Medikaments.
Bestand
y(t): Im Körper vorhandene Menge des Medikaments
Änderungsrate
∆y
: Änderung des Bestandes y(t) pro Zeiteinheit.
∆t
Zufluss:
∆y
= 5 (konstant)
∆t
Abfluss:
∆y
= − 0,05 ⋅ y (Proportional zum Bestand y)
∆t
Totale Änderungsrate:
126
∆y
= 5 − 0,05 ⋅ y
∆t
Anwendung Systeme mit Zu- und Abflüsse
DialogMathe
Aus der Änderungsrate können wir den Bestand y(t) berechnen.
∆y
= 5 − 0,05 ⋅ y
∆t
→
∆y
= 0,05 ⋅ ( 100 − y )
∆t
(
y ( t ) = 100 ⋅ 1 − e− 0,05⋅ t
)
Die Änderungsrate ist
maximal, wenn y = 0 ist.
Die Änderungsrate ist
Null, wenn y = 100 ist, d.h.
y = 100 ist der maximale
Bestand.
Dieses Modell heisst beschränktes Wachstum. Mit ihm lassen sich folgende
Fragen aus der Praxis beantworten:
a) Wie viel mg des Medikaments befinden sich nach einer halben Stunde nach
Anlegen des „Tropfes“ im Blut, wenn vorher nichts vorhanden war (y(0) = 0).
(
)
y ( 30 ) = 100 ⋅ 1 − e− 0,05 ⋅30 = 77,7 mg
b) Welche Menge des Medikaments ist langfristig im Blut vorhanden?
ymax = 100mg (Zufluss = Abfluss)
Damit ein Medikament wirkt, muss eine gewisse Konzentration vorhanden
sein (therapeutischer Konzentrationsbereich). Ist die Konzentration tiefer,
wirkt das Medikament nicht, ist sie höher, so schadet sie dem Patienten!
Die Grafik zeigt, wie
von einer nicht wirksamen Konzentration
durch Vergrössern
des Zuflusses eine
wirksame Konzentration erreicht wird.
127
DialogMathe
Das Modell sagt uns, dass es nach Änderung des Zuflusses noch 25 Minuten
dauert, bis die Wirkung eintritt. Dies ist eine wichtige Information. Patienten,
die über Schmerzen klagen, müssen nach der Änderung des Zuflusses etwas
Geduld haben, denn wenn wir den Zufluss weiter vergrössern, wird die
Konzentration zu hoch und dem Patienten wird schlecht.
Wie verhält sich der Bestand y, wenn der Zufluss gestoppt wird.
Bestand (t = 0): y ( 0 ) = 100
Abfluss:
∆y
= − 0,05 ⋅ y (Proportional zum Bestand y)
∆t
y ( t ) = 100 ⋅ e − 0,05 ⋅ t (exponentielle Abnahme oder exponentieller „Zerfall“ )
Setzen wir die beiden Funktionsgraphen zusammen, so ergibt sich folgendes
Bild:
Dieses Verhalten zeigen in der Praxis sehr viele Systeme! Unter anderem das
folgende Beispiel, wo die CO2 - Konzentration in einem Schulzimmer gemessen wurde.
128
Anwendung Systeme mit ZuZu und Abflüsse
DialogMathe
6.4.2
Luftqualität im Schulzimmer
Wenn wir atmen produzieren wir Kohlendioxid ( CO2 ), d.h. in einem SchulSchu
zimmer sind die Schüler Quellen für CO2 (ca. 25 Liter pro Stunde). Sie
bestimmen den Zufluss. Der Abfluss wird durch den Luftaustausch erreicht.
Die CO 2 - Konzentration
onzentration wird in ppm gemessen (parts per million). Frischluft
hat ca. 350 ppm CO2 . Für die Kohlendioxidkonzentration existieren GrenzGren
werte. In einem Schulzimmer dürfen 1500 ppm nicht überschritten werden.
Für die Suva
va gilt der
d MAK-Wert
Wert (Maximale Arbeitsplatz Konzentration) von
5000 ppm. Bei 20'000 ppm (2 Volumenprozent oder 36 g pro m3 ) spüren wir
Beschwerden (Kopfweh, Übelkeit, Konzentrationsmangel,
Konzentrationsmangel, Müdigkeit).
Müdigkeit
100'000 ppm sind lebensgefährlich! Die CO2 - Konzentration
onzentration bildet einen
Indikator für die Raumluftqualität. Interpretiere die gemessene CO2 - Konzentration (Physikzimmer der Fachhochschule für Technik in St. Gallen).
Gallen)
4000
CO2-Konzentration
Konzentration im Physikzimmer R42: 11.2.99
CO2 - Konz. in ppm
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
Modell
129
6.4.3
DialogMathe
Newton‘sches Abkühlungsgesetz
Lassen wir eine Tasse heissen Kaffee stehen, kühlt sich dieser
bis auf die Umgebungstemperatur ab. Die Abkühlung erfolgt umso schneller, je grösser die Temperaturdifferenz
zwischen der Kaffeetemperatur und der Umgebungstemperatur ist. Ausserdem beeinflussen die Wärmeleitfähigkeit der Tasse und das Verhältnis von Volumen und Oberfläche den Abkühlprozess. Diese komplexen Prozesse können mit Hilfe eines Abkühlungsfaktors k berücksichtigt werden. So erhalten wir ein einfaches Modell:
Die Temperaturänderungsrate ist proportional zur Temperaturdifferenz
∆T
= − k ⋅ ( T − TU ) (Kaffeetemperatur T, Umgebungstemperatur TU , An∆t
fangstemperatur T0 ). Durch welche Funktion T(t) wird die Temperaturabnahme beschrieben? Mit unserem Rechner kann diese Problemstellung gelöst
werden. Wir müssen die Gleichung mit der Änderungsrate und die Anfangsbedingung eingeben.
( x = Zeit t)
T(t) = ( T0 − TU ) ⋅
e
− k⋅t
+ TU
Flussdiagramm des
Abkühlvorgangs
Abkühlkurve Interpretiere den Verlauf des Abkühlvorgangs.
Benutze dazu die Änderungsrate.
Beachte:
Die Temperatur beschreit den Wärmezustand des Kaffees.
Dieser wird geändert,
wenn Wärme Q abfliesst!
130
Anwendung Systeme mit Zu- und Abflüsse
DialogMathe
6.4.4
Strukturgleichheit: Analogie Elektrizitätslehre/Wärmelehre
Aufladen eines Kondensators
Erwärmen einer Betonwand
Die Flussdiagramme im Modellbildungsprogramm sind identisch
(R = Widerstand, C = Kapazität)
Aufladen des Kondensators
Ursache: Spannung U0
(Spannungsquelle)
Erwärmen der Betonwand
Ursache: Temperaturdifferenz T0
(Wärmequelle)
Zustand Q: gespeicherte Ladung
Zustand Q: gespeicherte Wärme
ɺ (el. Strom)
Änderungsrate_Q : Q
ɺ (Wärmestrom)
Änderungsrate_Q : Q
U0 = UR + UC
T0 = TR + TC
Spannungsabfall Widerstand
Temperaturabfall Wärmeübergang
ɺ
UR = R ⋅ I = R ⋅ Q
ɺ
TR = R ⋅ Q
Änderung der Spannung im
Änderung der Temperatur der Beton-
Kondensator
wand
UC = 1 ⋅ Q
TC = 1 ⋅ Q
C
C
ɺ + 1 ⋅Q
U0 = R ⋅ Q
C
ɺ = 1 ⋅[ U ⋅C − Q ]
Q
0
RC
Elektrische Daten : U0 = 200V
R = 100 Ω , C = 100mF
ɺ + 1 ⋅Q
T0 = R ⋅ Q
C
1
ɺ =
⋅ [ T0 ⋅ C − Q ]
Q
RC
Wärmetechnische Daten: T0 = 80K ,
α = 20Wm−2K −1 , A = 10m2 ,
m = 4 ' 000kg , c = 840 Jkg−1K −1
Maximales Q, das der Speicher aufnehmen kann.
Qmax = U0 ⋅ C
= 200V ⋅ 0,1F = 20C
Qmax = T0 ⋅ C
= 80K ⋅ 4000kg ⋅ 840Jkg−1K −1 = 268,8MJ
Zeit T, welche nötig ist um die Speicher zu füllen.
T = 5 τ = 5RC
T = 5 ⋅ 100 ⋅ 0,1 = 50s
T = 5 τ = 5RC , R =
T = 5⋅
1
α⋅A
,
C = mc
4000 ⋅ 840
= 84 ' 000s
20 ⋅ 10
131
DialogMathe
6.5 Anwendungen Bewegung
6.5.1
Rückkopplung Weg mit Änderungsrate der Geschwindigkeit
Eine Kugel (Masse m ) bewegt sich
an einer Feder (Federkonstante D ).
Die Kugel wird aus der Ruhelage
(Weg = 0) 0,4m nach rechts ausgelenkt und dann aus der Ruhelage (v = 0) losgelassen.
v
a=
Fres
m
Weg = 0,4
v =0
Fres = −D ⋅ Weg
Federschwingung: Freie ungedämpfte Schwingung
z.B. Federpendel Bewegungsgleichung:
Fres = m ⋅ a = − D ⋅ y
y Änderungsrate der Geschwindigkeit
mit a = vɺ = ɺɺ
m ⋅ ɺɺ
y +D⋅ y = 0
→
ɺɺ
y=−
D
⋅y
m
y ist
Die Änderungsrate der Geschwindigkeit vɺ = ɺɺ
rückgekoppelt mit dem Weg y .
Modellansatz: y ( t ) = A ⋅ sin ( ω0 ⋅ t + ϕ0 )
⇒ ω02 =
D
; ω0 = 2π ⋅ f0 Kreisfrequenz
m
M : Masse des Federpendels, D: Federkonstante
132
Anwendungen Bewegung
DialogMathe
Messung einer Federschwingung mit Bewegungssensor
Interaktive Kurvenanpassung (Schwingungsdiagramm)
6.5.2
Rückkopplung Geschwindigkeit mit Änderungsrate der Geschwindigkeit
Der Motor eines Bootes liefert eine konstante Antriebskraft FM . Der
Fahrtwiderstand R des Bootes mit der Masse m ist proportional zur
Geschwindigkeit: R = b ⋅ v . Das Boot fährt aus der Ruhe [v(0) = 0] auf
einem langen, geraden und ruhigen See an.
v
a=
Fres
m
Weg = 0
v=0
R = b⋅v
Fres = FM − R
133
6.5.3
DialogMathe
Strukturgleichheit: Analogien Mechanik/Elektrotechnik
Anfahrendes Boot
Stromkreis einschalten
m
Wir betrachten ein Motorboot mit
Wir betrachten einen Stromkreis mit
der Masse m, wobei der Motor eine
der Spannungsquelle U0 , dem
konstante Antriebskraft FM liefert.
Widerstand R und der Spule L.
Der Fahrtwiderstand FR des Bootes
Zum Zeitpunkt t = 0 wird der
ist proportional zur Geschwindig-
Schalter S geschlossen.
keit.
Kirchoff’sches Maschengesetz
2. Newtonsches Axiom, Differential-
Differentialgleichung für den Strom I
gleichung für die Geschwindigkeit v.
( FR = − β ⋅ v )
m ⋅ vɺ = FM − β ⋅ v
→
vɺ +
U0 − L ⋅ ɺI = R ⋅ I
β
F
⋅v = M
m
m
Form der Differentialgleichungen yɺ = k ⋅ ( G − y ) .
( y entspricht v bzw. I )


β  FM m
β  FM


⋅ − v  = ⋅
−v
vɺ = ⋅ 
m m β
 m  β

k  G



ɺI = R ⋅  U0 − I 

L  R

k  G
Maximale Geschwindigkeit v max , die
das Boot erreicht?
F
vɺ = 0 → v max = M
β
Maximaler Strom Imax , der in der
Schaltung fliesst?
U0
ɺI = 0 → I
max =
R
Zeit t nach der v max erreicht wird:
Zeit t nach der Imax erreicht wird:
τ=
1 m
5m
=
; t = 5τ =
k β
β
Skizziere v (t) !
134
R
U
→ ɺI + ⋅ I = 0
L
L
τ=
1 L
=
k R
; t = 5τ =
5L
R
Skizziere I (t) !
Anwendungen Bewegung
DialogMathe
Schwingende Masse an einer Feder
LC Schwingkreis
Die Masse m kann sich an einer hori-
Die elektrische Schaltung besteht aus
zontalen Feder (Federkonstante D)
einem Kondensator mit der Kapazi-
reibungsfrei bewegen. Sie wird aus
tät C und einer Spule mit der Induk-
ihrer Ruhelage (y = 0) ausgelenkt
tivität L. Zum Zeitpunkt t = 0 wird
(y = A) und dann losgelassen.
der Schalter S geschlossen, wobei der
Newtonsche Bewegungsgleichung
Kondensator vollständig geladen ist
Fres = m ⋅ a
[Q(0) = Q0]
Differentialgleichung für den Weg
Kirchoff’sches Maschengesetz
y(t)
Fres = −D ⋅ y
→ m ⋅ ɺɺ
y = −D⋅ y
UL = UC
→
Q
− L ⋅ ɺI =
C
Differentialgleichung für die Ladung
Q(t) im Kondensator.
y + ω2 ⋅ y = 0
Form der Differentialgleichungen: ɺɺ
m ⋅ ɺɺ
y +D⋅y = 0
ɺɺ
y +
D
⋅y = 0
m
⇒ ω2 =
D
m
y(t) und v(t). Frequenz f, mit der die
Masse schwingt.
D
1
D
= 2πf → f =
⋅
m
2π
m
ɺ
Geschwindigkeit : v(t) = y (Steigung)
ω=
ɺɺ + 1 ⋅ Q = 0
L⋅Q
C
1
ɺɺ +
Q
⋅Q = 0
LC
⇒ ω2 =
1
LC
Q(t) und I(t). Frequenz f, mit der die
Ladung schwingt.
1
1
1
ω=
= 2πf → f =
⋅
2
π
LC
LC
ɺ
Strom: I(t) = Q (Steigung)
y
v
135
6.5.4
DialogMathe
Chaotische Systeme
Beispiel: Logistisches Wachstum
∆y
Änderungsrate:
= k ⋅ y ⋅ ( G − y ) = −k ⋅ y 2 + G ⋅ k ⋅ y (Parabel)
∆t
Bestand: S-Kurve (chaotisches Verhalten, bedingt durch Numerik!)
136
Beispiel Lotka-Volterra-Systeme
DialogMathe
7 Leitidee Systemdenken
Das Systemdenken vernetzt strukturelles und funktionales Denken. In einem
System existieren Strukturen die durch Zusammenhänge miteinander wechselwirken. Dadurch entstehen funktionale Zusammenhänge. Systemisches
Denken und Handeln heisst in einem System optimale Strukturen zu schaffen,
die optimal miteinander wechselwirken. Dazu müssen die Strukturen und
dessen funktionale Zusammenhänge in einem System analysiert werden.
Systemdynamik
Systemdynamik ist eine Methode, komplexe Systeme in der Technik, NaturSozial- und Wirtschaftswissenschaften zu analysieren, zu verstehen und zu
steuern. Feedback und Verzögerungen führen dazu, dass einfache UrsachenWirkungsbeziehungen nicht mehr zielführend sind. Systemdynamik geht
davon aus, dass alle Prozesse in der beobachtbaren Welt die Folge von
Erzeugung, Speicherung und des Fliessens realer oder gedachter Grössen
sind. Systemdynamik analysiert und beschreibt die zeitliche Entwicklung von
so unterschiedlichen Grössen wie Geld, Ozon, Motivation, Adrenalin und
Drehimpuls. Im Zentrum der Systemdynamik steht die Modellbildung:
•
Disziplinspezifisches Wissen wird in quantitative Modelle überführt.
•
Simulationswerkzeuge unterstützen die praktische Umsetzung und
erlauben, Prozesse virtuell ablaufen zu lassen.
7.1 Beispiel Lotka-Volterra-Systeme
In den seit 1845 über mehr als neun Jahrzehnte geführten Aufzeichnungen
der Hudson-Bay-Company (Kanada) über den Eingang von Fellen von
Luchsen und Schneehasen finden sich starke und regelmässige
Schwankungen mit einer Periode von etwa 9,6 Jahren. Auf ähnliche
periodische Schwankungen von Fischbeständen in der Adria hingewiesen,
formulierte Vito Volterra 1931 ein mathematisches Modell, das die Dynamik
von Räuber-Beute-Systemen beschreibt. Unabhängig von ihm entwickelte
Alfred Lotka den gleichen Ansatz. Ihre Arbeit ist unter dem Begriff „Lotka-
137
Leitidee Systemdenken
DialogMathe
Volterra-Systeme“ bekannt geworden.
Betrachten wir die Populationen von Räuber und Beute jeweils getrennt, so
gilt für jede das lineare Wachstums- bzw. Zerfallsmodell. Die Veränderung
der Population ist dann proportional zu ihrer jeweiligen Grösse und der
spezifischen Netto-Wachstumsrate. Unbegrenzte Weidekapazität
vorausgesetzt, vermehrt sich der Beutebestand ohne Räuber exponentiell mit
der Wachstumsrate a, während der Räuberbestand ohne Beute durch
Verhungern ebenfalls exponentiell mit der Schwundrate d abnimmt. Die
Differentialgleichungen für die Veränderungsraten der Beutepopulation B
und der Räuberpopulation R lauten:
∆B
= a⋅B
∆t
;
∆R
= −d⋅R
∆t
Die besonderen dynamischen Eigenschaften eines Räuber-Beute-Systems
beruhen nun darauf, dass die beiden Populationen nichtlinear miteinander
verkoppelt sind. Die Verluste der Beutepopulation durch Gefressenwerden
und die entsprechenden Gewinne der Räuberpopulation durch das Fressen
werden nämlich von der Häufigkeit der Begegnungen zwischen Räuber und
Beute abhängen, und damit von dem Produkt beider Populationen B ⋅ R :
Die Chance, dass Räuber und Beute aufeinander treffen, nimmt mit der
Grösse beider Bestände zu. Bei einem Teil dieser Begegnungen wird Beute
von Räubern gefressen. Entsprechen verringert sich der Beutebestand
(Faktor b), während der Bestand der Räuber durch den Energiegewinn
zunimmt (Faktor c).
Die Differentialgleichungen des Lotka-Volterra-Systems lauten daher:
∆B
= a ⋅B − b⋅B ⋅R
∆t
∆R
= c ⋅B ⋅R −d⋅R
∆t
Dieses einfache Grundmodell lässt sich durch Hinzufügen weiterer Glieder
ausbauen, mit denen die Wirkung von begrenzter Weidekapazität, von
Konkurrenz unter den Räubern, von Beuteüberangebot, von
Zeitverzögerungen und Zufallseffekten berücksichtigt werden können.
138
DialogMathe
Die nichtlineare Kopplung zwischen Populationen führt zu Erscheinungen,
wie sie an linearen Systemen nicht beobachtet werden können.
Seine Erkenntnisse über das Verhalten eines Räuber-Beute-Systems in
der einfachen Formulierung hat Volterra in drei Gesetzen zusammengefasst.
Gesetz des periodischen Zyklus
Die Fluktuationen zweier Arten, deren eine sich auch Kosten der anderen
ernährt, sind periodisch, und die Periode hängt nur von den Koeffizienten des
Wachstums und der Abnahme (a und d) und den Anfangsbedingungen
( B0 , R0 ) ab.
Gesetz der Erhaltung der Mittelwerte
Die Mittelwerte der Individuenzahlen der beiden Arten sind konstant,
unabhängig von den Anfangszahlen der Individuen der Arten, wenn nur
die Koeffizienten des Wachstums und der Abnahme sowie die Bedingungen
der Verluste der Beute und die Gewinne der Räuber (also die vier Grössen a,
d, b, c) konstant bleiben.
Gesetz der Störung der Mittelwerte
Werden Individuen der beiden Arten gleichmässig und proportional zu ihren
Gesamtzahlen vertilgt, so erhält man eine Vermehrung des Mittelwerts der
verzehrten Art, dagegen eine Verminderung des Mittelwerts der fressenden
Art. Umgekehrt lässt vermehrter Schutz der verzehrenden Art beide Arten
zunehmen.
Weiterentwicklung des Modells
•
Räuber Beute System mit begrenzter Weidekapazität
•
Räuber mit zwei Beuten
•
Beute mit zwei Räubern
May Modell
B0 = 2000, R 0 = 50, a = 0.6, b = 1000, c = 50, d = 100, e = 0.1, f = 0.02
∆B
B
c ⋅B ⋅R
= a ⋅ B ⋅  1 −  −
∆t
b
B+d

∆R
R 
= e ⋅ R ⋅  1 −
∆t
f ⋅ B 

139
7.1.1
140
DialogMathe
Beispiel: Räuber Beute Modell
DialogMathe
7.1.2
Mechanische Systeme
Mit der Gleichung Fres = m ⋅ a können wir Bewegungen berechnen. Sind alle
Kräfte, die einwirken bekannt und kennen wir ferner die Masse des Körpers
und seine Geschwindigkeit und Lage zu einem bestimmten Zeitpunkt, so
können wir die Bewegung für jeden zukünftigen Zeitpunkt berechnen.
Das physikalische Verhalten kann also vorhergesagt werden.
Laplace’scher Dämon
Der französische Mathematiker Pierre Simon de Laplace (1749 –1827) schrieb:
„Ein Geist, der alle Kräfte der Natur kennen würde und für einen Augenblick
die Lage und die Geschwindigkeit aller Teilchen, aus denen die Natur besteht,
erfassen könnte und der genügend gross wäre, alle diese Daten einer
Rechnung zugrunde zu legen, könnte die Bewegung der grössten Körper des
Weltalls und der kleinsten Atome vorhersagen. Für ihn würde nichts
unbestimmt sein und die Zukunft und die Vergangenheit würden offen vor
ihm liegen“. Dieser Geist wird heute Laplacescher Dämon genannt. Der
gegenwärtige Zustand des Weltalls wäre demnach nur ein Ergebnis eines
früheren Zustandes und die Ursache eines künftigen Zustandes. Die Welt
gleicht einem ablaufenden Uhrwerk, dessen Gang durch Kraftgesetze und
durch die Grundgesetze der Mechanik festgelegt wird. Diese Überlegungen
sind allerdings durch die Erkenntnisse der Quantentheorie und der Theorie
über chaotische Systeme modifiziert worden. Dynamische Systeme z.B.
Zirkulationssysteme der Atmosphäre reagieren auf kleinste Störungen mitunter völlig unvorhersehbar, weil sich diese Störungen durch Rückkopplungsmechanismen zu beherrschenden Faktoren aufschaukeln. Das ist ein charakteristisches Merkmal chaotischen Verhaltens: Wenn die Anfangsbedingungen
nicht in Form von exakten Werten angegeben werden können, lässt sich der
Zustand des Systems für einen späteren Zeitpunkt nicht vorhersagen – auch
nur geringfügig verschiedene Werte können völlig andere Ergebnisse bewirken. Mathematisch führen die Rückkopplungen auf eine neue Sprache, mit
der sich die möglichen Entwicklungsmuster eines Systems für verschiedene
Parameter beschreiben lassen: die Sprache der fraktalen Geometrie. Mit Hilfe
von Simulationsprogrammen können dynamische Systeme analysiert werden.
141
DialogMathe
7.2 System und Modell
„Unsere Welt ist ein vernetztes System.“ (F. Vester)
Die komplexen Strukturen in allen Bereichen der Gesellschaft, Wissenschaft
und Technik sowie die schnelle Zunahme und der rasche Wandel des Wissens
erfordern in zunehmendem Masse übergreifendes Denken in Zusammenhängen, d.h. dass die klassische Trennung von Ursache und Wirkung als globales
Ordnungsprinzip der logischen Erfassung und Strukturierung unserer Welt
aufgegeben wird. Auf der Ebene systemischer Betrachtungsweise sind Rückwirkungen von den Wirkungen auf die Ursachen typisch und lassen daher
nur mehr eine lokale Unterscheidung zwischen Ursache und Wirkung zu. Da
verschiedenste Bereiche von ähnlichen dynamischen Strukturen bzw. Entwicklungsmustern geprägt sind, werden auch die Grenzen von Fächern und
Wissenschaftsdisziplinen aufgelockert. In der Schule muss auf die entsprechenden Sachsituationen eingegangen werden. Die mathematischen Darstellungsmittel sind nur die Werkzeuge, um das System zu untersuchen.
7.2.1
Die Kunst, vernetzt zu denken von Frederic Vester
Ideen und Werkzeuge für einen neuen Umgang mit Komplexität. Strukturelle
Arbeitslosigkeit, alarmierende Umweltveränderungen, wiederkehrende Anzeichen eines Börsencrashs, Finanz-und Wirtschaftskrise, die Verstrickung in
kriegerische Auseinandersetzungen: angesichts einer immer komplexeren
Welt wird die Unzulänglichkeit herkömmlicher Denkweisen immer
deutlicher. Für sich perfekt geplant, können die
Folgen jedes Eingriffs in vielschichtige Gefüge fatale
Konsequenzen haben: Rückkopplungen, Zeitverzögerungen, Spätfolgen. Über zwanzigjährige Erfahrung mit solchen Fragen ist hier zusammengefasst zu
einem Praxisbuch für Politiker, Manager und alle
anderen, die in solchen Zusammenhängen denken
müssen und wollen. Für die Taschenbuchausgabe
durchgehend aktualisiert und erweitert um ein
Kapitel zur Gentechnologie.
142
System und Modell
DialogMathe
7.2.2
Entwicklung systemischen Denkens von Günther Ossimitz
„Im meinem Buch sind die Ergebnisse langjähriger
Forschungsarbeit zum Erlernen systemischen Denkens in einer auch für Laien verständlichen Form
zusammengefasst. Die Grundbotschaft lautet: Systemisches Denken kann auch in der Schule gelernt
werden - wenn man entsprechende systemische
Darstellungsmittel einsetzt! Es würde mich freuen,
wenn dieses Buch dazu anregen würde, im eigenen
Leben oder in der schulischen Ausbildung der
Entwicklung systemischen Denkens breiteren Raum zu geben.“
In den beiden ersten Kapiteln gibt der Autor eine leicht verständliche Einführung über verschiedene "Wege zum systemischen Denken und Handeln". Er
bespricht die biokybernetische Systemauffassung von Frederic Vester genauso
wie die kognitionspsychologische Forschung zum "Komplexen Problemlösen"
(Dietrich Dörner) oder das Verständnis von systemischem Denken in Peter
Senge's Bestseller "Die fünfte Disziplin". Der Ansatz "Vernetztes Denken im
Management" der St. Gallener Wirtschaftsprofessoren Gomez und Probst wird
genauso behandelt wie Ansätze zu systemischem Denken im Rahmen von
systemdynamischer Modellierung.
7.2.3
Das Metanoia-Prinzip: Einführung in systemisches Denken und Handeln
Die Systemwissenschaftler Ossimitz und Lapp
bieten mit ihrem Buch „Das Metanoia-Prinzip“
eine auch für interessierte Laien verständliche,
aber dennoch wissenschaftlich orientierte Einführung in systemgerechtes Denken und Handeln.
Das Wissen, die Prinzipien und die Beispiele, die
in diesem Buch präsentiert werden, liegen oft
quer zu unseren üblichen Denkmustern. Die Autoren betonen, dass Systeme,
Systemdenken und systemgerechtes Handeln einfach anders – bisweilen sogar
total anders sind als unser herkömmliches Denken. Das „Metanoia-Prinzip“
143
DialogMathe
steht genau dafür, dass der Umgang mit Systemen eine fundamental neue Art
des Denkens und Handelns braucht. Die ersten vier Kapitel des Buches beschäftigen sich mit vier grundlegenden Dimensionen im Umgang mit Systemen: Vernetztes Denken, zeitliche Dynamiken verstehen · Denken in Modellen · Systemgerechtes Handeln.
7.2.4
Heuristische Strategien
Die Heuristik befasst sich mit Strategien und Methoden zur Klärung der folgenden Fragen.
Fragestellung
Wie kann ich etwas wissen und in Erfahrung bringen?
Wie finde ich am geschicktesten die Lösung zu meinem Problem?
Wie lässt sich das System planvoll analysieren und ordnen?
Arbeitsmethoden
Dazu werden verschiedene Arbeitsmethoden verwendet.
Induktion
Probiere systematisch, versuche zu verallgemeinern
Variation
Variiere das Gegebene, variiere den Allgemeinheitsgrad
Interpretation
Übersetze in einen anderen Kontext, verfertige ein Modell,
suche Analogien
Reduktion
Unterscheide Fälle, argumentiere durch Widerspruch
Experimente
Mit Hilfe von Experimenten können wir die Natur befragen.
Welche Schlüsse ziehe ich aus den beobachteten Zusammenhängen?
Welche könnte die geschickteste Strategie sein, das beobachtete Phänomen
bestmöglich zu verstehen?
Mathematik
Die Mathematik liefert Darstellungsmittel zur Beschreibung und Analyse von
komplexen Systemen.
144
System Typologie in den Sozialwissenschaften
DialogMathe
7.3 System Typologie in den Sozialwissenschaften
7.3.1
Peter Senge: Die fünfte Disziplin
Die Zukunft der Arbeit wird anders aussehen.
Die Lösung heisst: die lernende Organisation.
Was lernende Organisationen von herkömmlichen
Organisationen unterscheidet, ist die Beherrschung
von fünf Disziplinen: Personal Mastery, Denkmodelle,
Gemeinsame Visionen, Teamlernen und Systemdenken.
Peter Senges Bestseller verbindet wissenschaftliche Erkenntnisse, spirituelle
Weisheit, Psychologie, neueste Führungstheorien und die praktischen Erfahrungen von Spitzenunternehmen, die seine Methoden anwenden.
7.3.2
Systemische Zusammenhänge im Unternehmen für ein allseitiges win-win
Ein bahnbrechendes Buch, intelligent, kraftvoll und visionär. Peter Senge vom
MIT schafft Überblick im grossen Sammelsurium systemischer Denkansätze.
Er entwickelt eine eigene "Grammatik" zur grafischen Darstellung systemischer Zusammenhänge. Wie unser Handeln unsere Wirklichkeit erzeugt ...
und wie wir sie verändern können.
Wir lernen von frühester Kindheit an, Probleme in ihre Einzelteile zu zerlegen
und die Welt zu fragmentieren. Wir verlieren dabei die innere Verbindung zu
einem umfassenderen Ganzen.
„Die Fähigkeit, schneller zu lernen als die Konkurrenz, ist vielleicht der einzig
wirklich dauerhafte Wettbewerbsvorteil.“ Das Lernpotential auf allen Ebenen
einer Organisation muss erschlossen werden – das führt zur lernenden Organisation. Wir alle lernen leidenschaftlich gern. Echte Teamarbeit ist ein Beispiel für eine lernende Organisation. Senge analysiert Situationen aus dem
Unternehmensalltag. Diese werden unter systemischen Gesichtspunkten dargestellt und es werden Handlungsmöglichkeiten beschrieben, um scheinbaren
Sachzwängen und Begrenzungen zu entkommen.
145
7.3.3
DialogMathe
Die Disziplinen der lernenden Organisation
Personal Mastery – die Disziplin der Selbstführung und Persönlichkeitsentwicklung
Die Fähigkeit, seine wahren Ziele konsequent zu verwirklichen – an das Leben
heranzugehen, wie ein Künstler an ein Kunstwerk. Wichtig auch die Verbindung zwischen individuellem Lernen und dem Lernen von Organisationen.
Mentale Modelle
Tief verwurzelte Annahmen, Verallgemeinerungen, wie wir die Welt wahrnehmen und handeln. Institutionelles Lernen wird nur möglich, wenn mentale Modelle an die Oberfläche geholt, einer kritischen Betrachtung unterzogen
und geändert werden können.
Eine gemeinsame Vision entwickeln
Eine echte Vision – ein Gefühl von gemeinsamer Bestimmung – lässt Menschen über sich hinauswachsen. Was oft fehlt, ist das Wissen, wie man eine
individuelle Vision in eine kollektive umsetzt – um Zukunftsbilder freizulegen, die echtes Engagement fördern.
Team-Lernen
Teams sind die elementare Lerneinheit in heutigen Organisationen. TeamLernen beginnt mit dem „Dialog“, der Fähigkeit der Teammitglieder, eigene
Annahmen „aufzuheben“ und sich auf „gemeinsames Denken“ einzulassen.
Dies ist nicht möglich, wenn Abwehrstrukturen unerkannt bleiben – sie machen das Lernen unmöglich.
Systemdenken
Ein konzeptuelles Rahmenwerk, Set von Informationen und Instrumenten, um
übergreifende Muster klarer zu erkennen und besser verändern zu können.
146
DialogMathe
Probleme sind oft Systeme, die zu Interventionen verleiten, mit denen auffällige Symptome und nicht die eigentlichen Ursachen bekämpft werden – was
das Problem auf lange Sicht oft noch verschlimmert.
Systemdenken ist die integrative Disziplin, die alle anderen miteinander verknüpft. Aber auch sie braucht die anderen Disziplinen, um ihr Potential zu
entfalten – systemisches Denken allein reicht nicht aus.
Der subtilste Aspekt der lernenden Organisation wird durch Systemdenken
deutlich: Die Menschen entdecken, dass sie ihre Realität selbst erschaffen –
und sie daher auch verändern können.
Diese Disziplinen ähneln mehr künstlerischen Disziplinen als traditionellen
Managementdisziplinen. Sie sind nicht durch Nachahmung auszuüben – sie
handeln davon, wie wir denken, was wir wirklich erreichen wollen und wie
wir mit anderen interagieren und mit ihnen gemeinsam lernen.
7.3.4
Die Systemarchetypen
Für Netzwerkarbeit scheint vor allem Senges Beschreibung der Systemarchetypen von Bedeutung: Eine Beschreibung von mindestens problematischen,
häufig hinderlichen oder sogar selbstzerstörerischen Mechanismen, die in Unternehmen wirken und oft alle Beteiligten hilflos lassen. Sie sind nicht grundsätzlich neu, einiges ist der klassischen Regelungstechnik entnommen. Bestechend ist die Klarheit und Einfachheit, mit der sie beschrieben sind, und den
unmittelbaren Bezug zum Unternehmensalltag.
Die folgenden zehn Systemarchetypen sind die am besten dokumentierten
Strukturen. Bevor eine bestimmte schwierige Situation mithilfe dieser Analysetechnik bearbeitet werden kann, muss das entsprechend wirksame Muster
identifiziert werden. Möglicherweise bestehen noch weitere subtile Verknüpfungen in der zu analysierenden Situation. Dies ist systemtheoretisch immer
möglich.
147
DialogMathe
Systemarchetyp ist ein vom US-Amerikaner Peter M. Senge kreierter Begriff
zur systemischen Beschreibung und Darstellung von Strukturen häufig beobachtbarer Verhaltensmuster von Menschen. Als derart veranschaulichte
Muster sollen sie die jeweils zugrunde liegende Dynamik allgemein verständlich und über den Lerneffekt mögliche Folgen bestimmter Handlungen
vorhersagbar machen. Insbesondere soll die Eigendynamik der Verhaltensmuster nachvollziehbar werden, um unerwünschte, bzw. unbeabsichtigte
Auswirkungen des eigenen Handelns vermeiden zu können.
7.3.5
Zeitliche Dynamiken in sozialen Systemen
Das „streitende Ehepaar“ (nach P. Watzlawick)
Sie: „Ich nörgle, weil du dauernd in die Kneipe gehst!“
Er: „Ich gehe in die Kneipe, weil du dauernd nörgelst!“
Systemischer Prozess: Eskalierende Rückkoppelung!
148
DialogMathe
Analyse des Systems: Beide Partner sehen das Verhalten des Anderen als das
„Problem“ und ihr eigenes Verhalten als „die Lösung“.
Systemdynamisch ergibt sich ein eskalierender Kreislauf.
Konflikttheoretisch: Aporie (Systemische Konflikte nach G. Schwarz: „Konfliktmanagement“, zwei einander entgegengesetzte Positionen)
•
beide sind wahr bzw. berechtigt
•
beide sind voneinander abhängig
Lösung durch (scheinbar) paradoxes Verhalten:
ER: geht nicht mehr in die Kneipe, obwohl sie meckert.
SIE: meckert nicht mehr, obwohl er noch in die Kneipe geht.
Aporien sind logisch unmöglich - und trotzdem real. Aporien kann man nicht
lösen, man muss sie „leben“!
Beispiele: Streik, Konflikt zwischen Arbeitgeber und Arbeitnehmer, Freiheit
und Ordnung, Wettrüsten.
149
7.3.6
DialogMathe
Systemarchetyp: Abrutschende Ziele (Erodierende/Abdriftende Ziele)
(original: Eroding Goals)
Struktur
Hier sind zwei balancierende Kreisläufe über einen Soll-Ist-Vergleich miteinander gekoppelt; der eine ist handlungsgeregelt, der andere erwartungsgeregelt. Verglichen werden also Handlungsergebnisse und Zielsetzungen.
Dynamik
Ein angestrebtes Ziel (= Erwartung) führt zunächst zu entsprechenden Handlungen. Gleichzeitig besteht ein latenter Druck, das Ziel zu erreichen. Führen
die Handlungen nicht in angemessener Zeit zum Erfolg, erhöht sich der
Druck. Nun können äussere oder innere Umstände dazu führen, das Ziel entweder zu senken oder um zu definieren, was in der Praxis aufs Gleiche hinausläuft; das Ziel rutscht ab. Solange die Möglichkeit besteht, werden lieber
Zielmarken gesenkt als Anstrengungen gesteigert, das Ziel doch noch zu erreichen.
Beispiele
1) Um ein giftiges, aber mit hohem Kapitalaufwand hergestelltes Produkt
rentabel auf den Markt zu bringen, werden die Grenzwerte gesenkt, ab
denen es als unbedenklich gilt (Alternative: auf Giftstoffe verzichten).
2) Um schuldenabhängige Kriterien zu erfüllen, definiert ein Staat seine
Schulden um, indem er den bedenklichen Teil davon aus der Berechnung
auslagert.
Lösung
Es kann gute Gründe für das Absenken von Zielen geben, etwa wenn sie aus
Erfahrungsmangel unrealistisch waren. Wird ein Ziel aber bewusst gesenkt
oder umdefiniert, obwohl es erreichbar wäre, müssen die Strukturen kritisiert
werden, die den Druck in diese Richtung erzeugt haben.
150
Komplexe Systeme
DialogMathe
7.4 Komplexe Systeme
Im Zeitalter der Globalisierung werden die Lebensbedingungen der Menschen
immer komplexer und unübersichtlicher. Täglich erleben wir die labilen
Gleichgewichte in Politik, Wirtschaft und Gesellschaft. Einige Länder fürchten
den Verlust gewohnter Besitzstände und den Absturz ins Chaos. Andere
sehen die Chancen kreativer Innovation und den Aufbruch zu neuen Märkten.
Chaos, Ordnung und Selbstorganisation entstehen nach den Gesetzen
komplexer dynamischer Systeme – in der Natur und der Gesellschaft.
Komplexe dynamische Systeme werden bereits erfolgreich in Technik- und
Naturwissenschaft untersucht – von atomaren und molekularen Systemen in
Physik und Chemie über zelluläre Organismen und ökologische Systeme der
Biologie bis zu neuronalen Netzen der Gehirnforschung und den
Computernetzen im Internet. Mittlerweile werden auch Anwendungen in
Wirtschafts- und Sozialwissenschaften diskutiert. Was können wir aus
Chaos, der Entstehung von Ordnung und Selbstorganisation in der Natur
lernen? Welche Konsequenzen lassen sich für das Komplexitätsmanagement
in Unternehmen, Firmen, und Verwaltungen ziehen? Welche Perspektiven
ergeben sich für Länder, Kulturen und Religionen in Asien und Europa? In
der Diversität moderner Welt bietet die Komplexitätsforschung Integration
oder- mit den Worten von Leibniz- „Einheit in der Vielheit“.
7.4.1
Komplexität und Selbstorganisation in der Natur
Nichtlineare Dynamik führt jedoch nicht nur zu Chaos, sondern ermöglicht
auch Selbstorganisation von Ordnung in komplexen Systemen. Dabei kommt
es zu charakteristischen Rückkopplungen von Systemelementen, bei denen
Wirkungen von Ursachen selber wieder zu Ursachen werden, um ihre
Ursachen zu beeinflussen. So entstehen makroskopische Strukturen, die nicht
durch die Systemelemente vorgegeben sind, aber durch ihre Wechselwirkung
bei geeigneten Anfangs- und Nebenbedingungen (d.h. Einstellung von
Kontrollparametern) möglich werden. Man spricht dann auch von Emergenz
151
DialogMathe
von Ordnung. Der menschliche Organismus ist ein komplexes zelluläres
System, in dem beständig labile Gleichgewichte durch Stoffwechselreaktionen
aufrecht erhalten werden müssen. Das Netzwerk der Stoffwechselreaktionen
einer einzigen Leberzelle zeigt, wie ausbalanciert die lokalen Gleichgewichte
sein müssen, um die globalen Lebensfunktionen zu garantieren. Die dabei
auftretenden Rückkopplungsschleifen von Zirkelkausalitäten entsprechen
genau den gekoppelten nichtlinearen Gleichungen komplexer dynamischer
Systeme. Gesundheit als medizinischer Ordnungsparameter des Organismus
beschreibt eine Balance zwischen Ordnung und Chaos. Starre Regulation
würde verhindern, auf Störungen flexibel zu reagieren. So funktioniert unser
Herz nicht wie eine ideale Pendeluhr. Seine nichtlineare Dynamik ist ein gut
untersuchtes Anwendungsgebiet komplexer Systeme in der Medizin.
Dazu wird das Herz als ein komplexes zelluläres Organ aufgefasst.
Elektrische Wechselwirkungen der Zellen lösen Aktionspotentiale aus, die zu
oszillierenden Kontraktionen (Herzschlag) als makroskopischen Mustern
(,Ordnungsparametern’) führen. Ein Elektrodiagramm ist eine Zeitreihe mit
charakteristischen Mustern für die Herzschläge. Um diese Dynamik zu
studieren, müssen geeignete Kontrollparameter verändert werden. Dabei
kann die Herzdynamik einen periodenverdoppelnden Kaskadenverlauf beginnen, der schliesslich im Chaos als Zustand des Herzkammerflimmerns
mündet. In der Sprache der Mathematik wäre Herzkammerflimmern wieder
ein Beispiel für die Emergenz eines Makrozustands nichtlinearer Dynamik. Es
gibt also unerwünschte und unkontrollierbare Emergenz. Sie lässt sich nur
vermeiden, indem wir die kritischen Kontrollparameter, unter denen sie eintritt, kennen und vermeiden.
Eine der aufregendsten fachübergreifenden Anwendungen komplexer
Systeme ist das menschliche Gehirn. Dazu wird das Gehirn als ein komplexes
System von Nervenzellen (Neuronen) aufgefasst, die über Synapsen elektrisch
oder neurochemisch wechselwirken und sich zu Aktivitätsmustern verschalten können. Die Dynamik von Gehirnzuständen lässt sich dann durch
152
Komplexe Systeme
DialogMathe
Gleichungen von (makroskopischen) Ordnungsparametern modellieren, die
solchen neuronalen Verschaltungsmustern entsprechen.
Der Mensch ist als komplexer Organismus mit vielen rückgekoppelten lokalen
Gleichgewichten aufzufassen und nicht als auseinander- und
zusammensetzbare Maschine nach dem Vorbild linearer Kausalität. In der
Medizin wurde daher bereits der Begriff der dynamischen Krankheiten
eingeführt. Bei Patienten mit dynamischer Systemerkrankung ist der Körper
nicht mehr in der Lage, physiologische Gleichgewichte selbstständig
auszubalancieren und weitvernetzte Koordinationen zu übernehmen. Auf der
Makroebene sind neben dem Herzschlag die lebenserhaltenden Rhythmen
der Atemfrequenz, der regelmässigen Verdauung oder der Hormonzyklen zu
erwähnen.
7.4.2
Literatur
Um die in komplexen Systemen ablaufenden dynamischen Prozesse
verstehen zu können, müssen sie mit den Mitteln der Systemanalyse, der
mathematischen Modellbildung und der Computersimulation erschlossen
werden. In den drei Bänden des 'Systemzoos' werden etwa hundert
Simulationsmodelle aus allen Lebensbereichen vollständig dokumentiert. Sie
sind ausgeprüft und lauffähig und können mit frei verfügbarer
Simulationssoftware betrieben werden.
H. Bossel: Systemzoo 1 - Elementarsysteme, Technik und Physik.
Der 'Systemzoo 1' enthält Modelle elementarer Systeme und komplexerer
Systeme aus Technik und Physik, darunter: exponentielles und logistisches
Wachstum, Schwingungen, Verzögerungen, Speicher-, Ansteckungs-,
Übergangs- und Überlastungsphänomene, komplexe Systeme mit
Grenzzyklen, mehrfachen Gleichgewichtspunkten und chaotischen
Attraktoren, sowie Anwendungen aus Regeltechnik, Flugdynamik,
Aerodynamik und Wärmeübergang.
153
DialogMathe
H. Bossel: Systemzoo 2 - Klima, Ökosysteme und Ressourcen.
Der 'Systemzoo 2' enthält Simulationsmodelle des Wasser- und KohlenstoffHaushalts, der Photoproduktion der Pflanzen, des Waldwachstums und des
Wasser-, Energie- und Nährstoffhaushalts in der Landwirtschaft sowie der
Interaktion von Pflanzen, Tieren und Menschen mit anderen Organismen und
Ressourcen durch Konkurrenz um Nahrung und Nährstoffe und durch
Nutzung erneuerbarer und Ausbeutung nicht erneuerbarer Ressourcen.
H. Bossel: Systemzoo 3 - Wirtschaft, Gesellschaft und Entwicklung.
Der 'Systemzoo 3' enthält Modelle aus Wirtschaft, Gesellschaft und globaler
Entwicklung: Produktion, Lagerhaltung, Verkauf und Konsum, Konkurrenz,
Lebensplanung, Arbeitslosigkeit, Ökosteuer, Eskalation, Abhängigkeit,
Aggression, Bevölkerungsentwicklung, kommunale Entwicklung,
Schuldenkrise, Globalisierung, sowie die Weltmodelle des Club of Rome von
Forrester und Meadows und Beispiele der nichtnumerischen
Wissensverarbeitung für Folgenabschätzungen und zur Simulation von
Entscheidungsvorgängen.
H. Bossel: Systemzoo – 100 Simulationsmodelle aus Systemdynamik,
Technik, Physik, Ökologie, Land- und Forstwirtschaft, Ressourcendynamik,
Wirtschaft, Gesellschaft und Entwicklung. CD-Rom, co.Tec, Rosenheim, 2005.
154

Exponentialfunktion Exponentialfunktion Training Training

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