1.2 Der Begriff des Vektors

Transcription

Lerneinheit
Vektorgeometrie
Theorie, €bungen, Partnerinterviews,
dynamische Experimentiervorlagen
Benno Frei
Vektorgeometrie Theorie
Seite - II -
Inhalt
1
EINF€HRUNG
1
1.1 Vektorgeometrie
1.1.1 Bedeutung von Vektoren
1.1.2 Erfinder (Entdecker) der Vektoren
1
1
2
1.2.1 Definition: Gleichheit von zwei Vektoren
1.2.2 Repr€sentant eines freien Vektors
1.2.3 Dynamisches Arbeitsblatt: Verschiebung_Dreieck
1.2.4 Kontrollfragen
1.2.5 Bezeichnungen von Vektoren
1.2.6 Beispiel Parallelogramm
1.2.8 Vektoren in der Physik
3
3
4
4
4
5
5
6
6
1.3 €bungen
1.3.1 Partnerinterview Grundlagen
1.3.2 •bung 2 : Repr€sentanten von Vektoren in der Ebene
1.3.3 •bung 3 : Repr€sentanten von Vektoren im Raum
7
7
8
8
2
9
ELEMENTARE OPERATIONEN MIT VEKTOREN
2.1 Die Vektoraddition
2.1.1 Summe zweier Vektoren
2.1.2 Dynamisches Arbeitsblatt: Vektoraddition
2.1.3 Dynamisches Arbeitsblatt: Vektoraddition_Spezialf€lle
2.1.4 Partnerinterview Vektoraddition Spezialfall
2.1.5 Partnerinterview Summenvektor Betrag
2.1.6 Gesetze f‚r die Vektorenaddition
2.1.7 Vektorkette
2.1.8 Partnerinterview Vektorkette
2.1.9 Definition: Der Nullvektor
2.1.10 Definition: Der Gegenvektor
9
9
11
11
12
13
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16
17
18
18
2.2 Kraft als Vektor
2.2.1 Addition von Kr€ften, das Parallelogrammprinzip
2.2.2 Die Zerlegung einer Kraft
20
20
21
2.3 Die Geschwindigkeit als Vektor
2.3.1 •berlagerung von Bewegungen
2.3.2 Beispiel: horizontaler Wurf
2.3.3 Beispiel: Schiefer Wurf
22
22
23
24
Lerneinheit Vektorgeometrie Theorie, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen 2006 / BF
Seite - III -
2.4 Differenz zweier Vektoren
2.4.1 Anwendung: •berlagerung von Bewegungen
2.4.2 •bungen
26
27
2.5 Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl
2.5.1 Dynamisches Arbeitsblatt Gesetze Multiplikation Skalar
2.5.2 Partnerinterview Multiplikation mit einem Skalar
2.5.3 Kollineare Vektoren
2.5.4 •bungen
2.5.5 Beispiele
29
30
31
32
32
33
2.6 Linearkombination
2.6.1 Partnerinterview Linearkombination, triviale Nullsumme
2.6.2 Lineare Abh€ngigkeit und lineare Unabh€ngigkeit
2.6.3 Partnerinterview zwei Vektoren linear abh€ngig unabh€ngig
2.6.4 •bungen
2.6.5 Anwendung: Teilverh€ltnisse
2.6.6 Partnerinterview Teilverh€ltnisse Parallelogramm
2.6.7 Dynamisches Arbeitsblatt Teilverh€ltnisse Parallelogramm
2.6.8 •bungen Teilverh€ltnisse
2.6.9 Komplanare Vektoren
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36
37
38
39
40
41
43
43
45
3
46
VEKTOREN IM KOORDINATENSYSTEM
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3.1 Vektorielle Darstellung eines Punktes
3.1.1 Der Ortsvektor
3.1.2 Anwendungen: Mittelpunkt, Schwerpunkt
46
46
47
3.2 Vektorielle Darstellung einer Geraden g
3.2.1 Dynamisches Arbeitsblatt: Gerade in der Ebene
3.2.2 Parameterdarstellung einer Geraden g
3.2.3 Partnerinterview Parameterdarstellung einer Geraden
48
48
49
49
3.3 Vektoren in der Ebene
3.3.1 Basis einer Ebene
3.3.2 •bungen
3.3.3 Partnerinterview Basisvektoren f‚r eine Ebene
3.3.4 Orthonormalbasis einer Ebene
3.3.5 Vektoren in Polarform
3.3.6 Partnerinterview Vektoren in Polarform
3.3.7 •bungen Aufgabenbuch Frommenwiler / Studer
3.3.8 Vektoren in Koordinatendarstellung
3.3.9 Rechnen mit Koordinaten
3.3.10 Dynamische Arbeitsbl€tter Koordinatendarstellung
3.3.11 Einheitsvektoren
3.3.13 Repetitionstest
51
51
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3.4 Anwendungen
3.4.1 Zerlegung eines Vektors
3.4.2 Abstand Punkt zu Punkt (Betrag)
3.4.3 Dynamisches Arbeitsblatt Normalvektor
3.4.4 Winkelhalbierende
3.4.5 Gerade in der Ebene
3.4.6 Punkt auf einer Geraden
3.4.7 Schnittpunkt von zwei Geraden
3.4.8 Schwerpunkt Dreieck
70
70
70
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75
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78
4
79
DAS SKALARPRODUKT
4.1
Definition der Arbeit
W F

einer Kraft F
4.1.1 Spezialf€lle
4.1.2 •berblick
80
80
81
4.2 Skalarprodukt in der Mathematik
4.2.1 Definition Skalarprodukt zweier Vektoren
4.2.2 Rechengesetze
4.2.3 Wichtiger Spezialfall
4.2.4 Skalarprodukt in Komponenten
4.2.5 Zwischenwinkel
4.2.6 •bungen
83
83
84
84
85
86
86
86
5
87
VEKTOREN IM RAUM
5.1
Orthonormalbasis des Raumes
87
5.2
Vektoren in Koordinatendarstellung
88
5.3
Repetitionstest
89
5.4 Anwendungen
5.4.2 Vektorzerlegung
5.4.3 Durchstosspunkt
5.4.4 Punkte auf einer Geraden
5.4.5 Verl€ngerung einer Strecke
5.4.6 Abstandsproblem
5.4.7 Abstandsproblem (Kugel)
5.4.8 Mittelpunkt, Schwerpunkt, Spurpunkt
5.4.9 Das Skalarprodukt im Raum
5.4.10 Vektorgeometrie mit dem Taschenrechner
5.4.12 Maturaaufgabe
94
94
94
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6
L•SUNGEN
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6.1 L‚sungen Kapitel 1
6.1.1 Kontrollfragen (S4, Kap. 1.2.4)
6.1.2 Beispiel Parallelogramm (S5, Kap. 1.2.6)
6.1.4 •bung 2 (S8, Kap. 1.3.2)
6.1.5 •bung 3 (S8, Kap. 1.3.3)
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6.2.1 Beispiele (S10, Kap. 2.1.1)
6.2.2 Beispiel (S19, Kap. 2.1.10)
6.2.3 •bung (S28, Kap. 2.4.2)
6.2.4 •bung (S32, Kap. 2.5.4)
6.2.5 •bung(S39, Kap. 2.6.4)
6.2.6 •bung( S43, Kap. 2.6.8)
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Verwendetes Aufgabenbuch
Mathematik f‚r Mittelschulen, Geometrie von Peter Frommemwiler und Kurt
Studer (6. korrigierte Auflage ISBN – 10: 3-0345-0034-3) Sauerl€nder Verlag
L„sungsheft ISBN – 10: 3-0345-0150-1
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€bersicht: wichtige Bestandteile der Lerneinheit
1) Das Skript gibt dir kompakt die n„tigen Informationen und f‚hrt dich in die
Vektorgeometrie ein.
Dynamische Arbeitsblƒtter
2) Mit Hilfe der dynamischen Arbeitsbl€tter (zusammen mit den
Arbeitsauftr€gen) kannst du experimentell die interessanten
mathematischen Zusammenh€nge erkunden, oder sogar eigene
Hypothesen auf ihre Richtigkeit ‚berpr‚fen. Du musst nicht alle
Arbeitsbl€tter durcharbeiten, nimm dir Zeit um eigene Fragen zu
beantworten. Wenn du Begriffe oder Definitionen nicht verstehst, versuche
mit Hilfe eines vorhandenen Arbeitsblattes dir Klarheit zu verschaffen.
Diskutiere auch mit deinen Mitsch‚lerinnen und Mitsch‚lern. Hast du
jeweils wichtige Erkenntnisse gewonnen, dann dokumentiere sie in deinem
Lernjournal. Dies garantiert dir ein effizientes Lernen.
Partnerinterview
3) Partnerinterviews. N‚tze diese um mit deinen Mitsch‚lern zu diskutieren.
Lass dir Sachverhalte erkl€ren und vergleiche mit deinen Vorstellungen.
Treten Unsicherheiten auf, formuliere Fragen oder benutze ein
dynamisches Arbeitsblatt um dir Klarheit zu verschaffen. Dokumentiere
jeweils den Lernprozess des Partnerinterviews in deinem Lernjournal.
€bungen
Repetitionstests
4) •bungsaufgaben. N‚tze diese um dich mit dem Stoff auseinander zu
setzen. •berpr‚fe dein Verst€ndnis immer wieder mit Hilfe der
•bungsaufgaben. Falls dir der Einstieg in ein Problem nicht gelingt,
diskutiere mit deinen Mitsch‚lern oder formuliere eine Frage und diskutiere
diese mit deinem Lehrer. Die •bungsaufgaben werden dir zeigen, wie weit
dein mathematisches K„nnen (Wissen und Verst€ndnis) entwickelt ist. Sie
werden dir auch zeigen, was du nochmals repetieren musst. Treten
Unklarheiten auf, behebe sie! Falls du bei einer •bungsaufgabe etwas
entdeckt hast, oder eine interessante L„sungsstrategie gefunden hast,
halte diese in deinem Lernjournalfest.
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5) Repetitionstests. Hast du die Sache Verstanden? Die wichtigsten
Definitionen im Kopf? Dann ‚berpr‚fe deinen Wissenstand mit Hilfe eines
Repetitionstests. Die Repetitionstests beinhalten wichtige Grundaufgaben,
Definitionen und Verst€ndnisfragen. Die Bearbeitungszeit ist bewusst sehr
knapp gehalten, da diese Aufgaben von dir schnell und sicher gel„st
werden m‚ssen. Treten Probleme auf, ‚berspringe die Aufgabe und
analysiere diese bei der Nachbearbeitung des Tests. So wirst du am
meisten von den Repetitionstests profitieren!
6) Wende das Konzept des dialogischen Mathematikunterrichts an um
Mathematik zu betreiben nur so wirst du sie verstehen.
Hast du das Verst€ndnis erworben, kannst du die Mathematik dazu
ben‚tzen, um Probleme zu analysieren und zu l„sen. Studiere das
Konzept des dialogischen Mathematikunterrichts auf der folgenden Seite.
Im Unterricht lernen wir, wie Probleme gel„st werden k„nnen. Dieser
eindimensionale Unterricht ist in obenstehender Figur auf der Horizontalen als
regul€re Schnellverbindung dargestellt. Die vertikale Dimension der Dialog,
soll durch einen Austausch von Gedanken in einem Dreischritt Ich, Du, Wir
den Unterricht zweidimensional gestalten. So wird f‚r dich erfahrbar, wie all
die Definitionen und Gesetze letztlich ein Resultat eines Dialogs sind, also als
ausgehandelte Wir – Positionen verbindliche Spielregeln markieren. Der
Computer dient dir als Werkzeug, um den Dialog zu unterst‚tzen. Dynamische
Arbeitsbl€tter sollen dir Helfen Mathematik zu treiben und letztlich, beim
Bearbeiten von Problemen, die Mathematik zu verstehen.
7) Das Lernjournal oder Lerntagebuch ist der wichtigste Bestandteil zu
erfolgreichen Lernen! Lese dazu auf Seite IX.
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Dialogischer Mathematikunterricht
Quelle
Peter Gallin, Urs Ruf, Dialogisches Lernen in Sprache und Mathematik
Das Konzept des dialogischen Mathematikunterrichts beinhaltet den
Dreischritt „Ich, Du, Wir“. Er zeigt einen Weg auf, wie das Lernen und Arbeiten
im Mathematikunterricht organisiert und strukturiert werden kann, um
individuelle Lernprozesse m„glichst wirksam und nachhaltig anzuregen.
ICH – Phase
Du musst dich immer zuerst selber auf den Weg machen. Es geht hier nicht in
erster Linie um Richtig oder Falsch, sondern um deinen ganz pers„nlichen
Dialog mit dem Stoff. Nimm dir Zeit, lass dich nicht hetzen,
verweile so lange beim Auftrag, bis du sp‚rst, wer du bist und was der Stoff
von dir will.
DU – Phase
Um Fortschritte zu machen, brauchst du Gespr€chspartner.
Gespr€chspartner sind keine Besserwisser, sondern Menschen, die dir ihr Du
entgegensetzen und dir erz€hlen, wie sie die Sache sehen und anpacken.
Beim Austausch mit anderen erweiterst du deinen Horizont.
Du kannst deine Ideen mit den Ideen anderer vergleichen und merkst dabei,
was alles man auch anders machen k„nnte.
WIR – Phase
Erst wenn du ein Fachgebiet kreuz und quer erkundet hast, erst wenn du
deine pers„nlichen Lernwege mit den Wegen und Irrwegen anderer verglichen
hast, kannst du verstehen und w‚rdigen, warum es Fach-leute so und nicht
anders machen. Menschen, die sich lange und intensiv mit der gleichen
Sache befassen, entdecken nach und nach ein gemeinsames Wir. Das ist in
einer Schulklasse nicht anders als in der Wissenschaft.
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Ein eigenes Lerntagebuch anlegen!
"Doch nicht im Matheunterricht, was bringt denn das?" - Lies erst mal weiter!
Die Idee
Lege ein "Tagebuch" ‚ber den Mathematikunterricht an, das folgende Aspekte
enthalten kann:

Pers„nliche Anmerkungen. Was du verstehst, was du noch nicht
verstanden hast. Was du bei einem Thema dazugelernt hast. Was dir
zu einem Thema erw€hnenswert erscheint. Selbstbeobachtungen und
Lernerfahrungen. Du k„nntest beschreiben, wie es dir gelingt,
jemandem ein Thema zu erkl€ren.

Stelle zu den Unterrichtsthemen eigene Fragen und bet€tige dich als
Forscher im Finden von Antworten. Experimentiere und stelle
Vermutungen auf! Entdecken macht mehr Spass als Nachmachen!

Ideenb…chlein, schreibe alle Ideen auf, die du beim L„sen von
mathematischen Problemen gebrauchen kannst. Fasse diese zu
L„sungsprinzipien zusammen und analysiere Aufgabentypen, auf die
du diese Prinzipien anwenden kannst.

S…ndenb…chlein, schreibe alle deine gemachten Fehler auf und
versuche sie zu analysieren. Warum habe ich den Fehler gemacht,
gegen welche Regeln habe ich verstossen, wie kann ich sicher sein,
dass ich den Fehler nicht wieder mache!

Das Tagebuch kann auch deine Gedanken zu Problemen, die du mit
dem Unterrichtsstil und dem Lernen allgemein hast, enthalten.

Alles, was zu einem aktuellen Thema von Bedeutung sein k„nnte.
Sammle (und kommentiere) Zeitungsausschnitte und andere
Unterlagen zum aktuellen Thema, zu fr‚heren Themen, stelle
herausfordernde Fragen, kn‚pfe Verbindungen zwischen dem
Unterrichtsthema und eigenen Lebenserfahrungen.
Seite - X -
Ein gutes Tagebuch
. . . beantwortet Fragen, wirft neue Fragen auf, so dass sichtbar wird, dass du
dich einige Zeit mit dem Thema besch€ftigt hast.
. . . soll auch den Nachweis eigener Gedanken bringen. Versuche dich klar
auszudr…cken, formuliere die Fragen, die du beantwortest.
. . . gibt auch Zusammenfassungen von Gesprƒchen und €berlegungen
im Unterricht wieder. Ideen anderer Personen sollen als solche
gekennzeichnet sein.
. . . gibt eine periodische Arbeitsr…ckschau. Besonders sch„n w€ren
schriftliche Zusammenfassungen wesentlicher Aspekte einer Thematik
bzw. eigener •berlegungen in Form von Dossiers.
O.K. Und was geschieht damit?

Du kannst die eigenen Tagebucheintragungen mit denen anderer
vergleichen, siehst dabei wie andere denken und welche Ideen sie
haben. Vielleicht haben andere die Dinge, die f‚r dich besonders
schwer waren, besonders gut und verst€ndlich erkl€rt.

Das F‚hren eines Tagebuchs bedeutet nat‚rlich M‚he. Du hast mit
diesem Tagebuch nat‚rlich direkt eine ganz auf dich pers„nlich
zugeschnittenes - aber selbst erstelltes Schulbuch - zwar nicht mit
neuen Aufgaben (daf‚r gibt es das normale Schulbuch) - aber daf‚r
mit einigen Musterl„sungen und weiteren Tipps.

Du kannst dem Mathelehrer dein Tagebuch zum Lesen geben.
Seite - XI -
Anleitung : Lerntagebuch
1. Warum soll ein Lerntagebuch gef…hrt werden?
Das Lerntagebuch soll kein besseres Hausaufgabenheft sein,
sondern es soll dir helfen, den roten Faden im Unterricht und
bei deiner selbst€ndigen Arbeit nicht zu verlieren. Im
Lerntagebuch sollst du notieren, welche neuen Inhalte du
erarbeitet oder in der Unterrichtsstunde gelernt hast.
Ausserdem sollst du dort erl€utern, wie du deinen Lern –
Arbeitsprozess strukturieren willst.
2. Anleitung zur ƒusseren Form
Dein Lerntagebuch sollte ein etwas dickeres Heft im DINA4- Format sein. Am Ende jeder
Unterrichtsstunde bzw. noch am gleichen Tag zu Hause vor der Bearbeitung der
Hausaufgaben solltest du eine Eintragung machen.
Es ist hilfreich, wenn du zwei Farben benutzt. So kannst du neue Inhalte in einer Farbe
gestalten und offene Fragen oder Probleme, die du noch hast, oder auch die Planung von
weiteren Arbeitsprozessen in einer anderen Farbe gestalten.
3. Fragestellungen
Bei deinen Eintragungen solltest du versuchen, einige der folgenden Fragestellungen zu
ber‚cksichtigen.
3.1. Inhalte
a) Was war das Thema der Stunde? Was konntest du da lernen? (Vergiss das Datum nicht!)
b) Wusstest du schon etwas ‚ber das Thema?
c) Wurden neue Begriffe eingef‚hrt (Definitionen)? In welchem Zusammenhang stehen diese
neuen Begriffe mit bereits bekannten Begriffen? Versuche eine Mindmap zu erstellen.
d) Ist dir etwas nicht klar geworden? Wenn ja, dann formuliere eine Frage, die du deinen
Mitsch‚lern oder deinem Lehrer stellen willst.
e) Gab es verschiedene L„sungswege? Hast du andere Ideen zur L„sung gehabt?
3.2. Planung von Arbeitsprozessen
a) Versuche das Problem (die Aufgabe) mit eigenen Worten zu formulieren.
b) •berlege dir eine L„sungsstrategie.
c) In welchen Schritten willst du vorgehen?
d) L€sst sich die Aufgabe arbeitsteilig l„sen?
e) Werden zus€tzliche Hilfsmittel (Lexika, Fachb‚cher, Computer) ben„tigt?
f) Erstelle dir gegebenenfalls einen Arbeitsplan oder eine Mindmap.
3.3. Reflexion deiner Arbeit
a) Welche Schwierigkeiten sind bei der L„sung aufgetreten?
b) Warum bist du nicht weiter gekommen? Versuche eine Frage zu formulieren, die du den
Kursmitgliedern stellen k„nntest.
c) An welchen Stellen hast du etwas f‚r dich Neues gelernt? Hattest du Aha Erlebnisse?
d) Bist du mit deiner Arbeit zufrieden?
e) Hast du dein Arbeitsziel in dieser Stunde erreicht? Wenn nicht, woran lag es?
f) Wie hast du dich in dieser Stunde im Unterricht oder in der Gruppenarbeit beteiligt?
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Aufbau der Lerneinheit, €berblick dynamische Arbeitsblƒtter
Wichtig: Empfohlene Bildschirmaufl‚sung 1280 x 1024 f…r die Arbeitsblƒtter!!!
Kapitel 1 Einf…hrung
Du lernst hier ein neues mathematisches Objekt den Vektor kennen. Mit Hilfe
der Vektoren k„nnen in der Technik Probleme einfach gel„st werden. Ziel
dieses einf‚hrenden Kapitels ist es, dass du den Vektorbegriff verstehst. Wir
werden den Vektor unabh€ngig von einem Koordinatensystem als
Verschiebung behandeln und so versuchen die wesentlichen Dinge zu
erfassen. Diese werden dir sp€ter Helfen, L„sungsstrategien f‚r Probleme zu
entwickeln.
Dynamische Arbeitsblƒtter Kapitel 1
Verschiebung_ Dreieck (Seite 4)
Definition des Vektors als Verschiebung. Ein Vektor hat eine Richtung und
eine L€nge (Betrag).
Kapitel 2 Elementare Operationen mit Vektoren
Es gilt nun mit den neuen Objekten zu rechnen. Dazu werden wir
Verkn‚pfungen (Operationen) zwischen den Vektoren definieren und du wirst
die dazu notwendigen Rechenregeln kennen lernen. Auch in diesem Kapitel
behandeln wir die Vektoren unabh€ngig von einem Koordinatensystem als
Verschiebungen. Erst im n€chsten Kapitel werden wir dann die Vektoren in
einem Koordinatensystem darstellen, so dass wir mit ihnen einfach rechnen
k„nnen.
Vektoraddition_Verschiebung (Seite 11)
Wir erkl€ren die Addition von zwei Vektoren als Zusammensetzung von zwei
Verschiebungen. Diese Interpretation ist sehr wichtig und wird dir sp€ter
immer wieder behilflich sein. Versuche sie daher zu verstehen.
Vektoraddition_Spezialfƒlle (Seite 11)
Das neue an den Vektoren ist die Richtung. Dies wird am Anfang etwas
ungewohnt sein. Wir betrachten einige Spezialf€lle, die dir zeigen, wie die
Richtung die Vektoren beeinflussen.
Vektoraddition_Gesetze (Seite 15)
Hier kannst du die wichtigsten Rechengesetze graphisch analysieren.
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Vektorkette (Seite 16)
H€ufig m‚ssen mehr als zwei Vektoren addiert werden. Versuche anhand des
Arbeitsblattes den Begriff der Vektorkette und dessen Eigenschaften zu
verstehen.
Zerlegung_Kraft in der Ebene (Seite 21)
Kr€fte lassen sich durch das Vektormodell beschreiben. Eine Kraft kann in
Teilkr€fte zerlegt werden. Mach dir klar, dass die Zerlegung eines Vektors mit
der Addition von zwei Vektoren zusammenh€ngt.
Schiefe Ebene Zerlegung_Gewichtskraft (Seite 22)
Hier lernst du eine wichtige Anwendung der Zerlegung einer Kraft kennen.
Voraussetzung: Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck.
Horizontaler Wurf (Seite 24)
Bewegungen (Geschwindigkeit) k„nnen durch das Vektormodell beschrieben
werden. Dadurch kannst du Bewegungen in Teilbewegungen zerlegen. Diese
wichtige Eigenschaft (Unabh€ngigkeitsprinzip) wird dir helfen, komplex
zusammengesetzte Bewegungen durch Teilbewegungen zu verstehen und zu
berechnen.
Schiefer Wurf Experiment (Seite 25)
Die Beschreibung von komplexen Bewegungen wird durch den Einsatz von
Vektoren sehr einfach. Versuche das Prinzip zu verstehen!
Gesetze Multiplikation_Skalar (Seite 30)
Du lernst die Gesetzte f‚r das Multiplizieren eines Vektors mit einer Zahl.
Interpretiere dies auch graphisch. Vektoren k„nnen mit einer Zahl multipliziert
und dann addiert werden. So entsteht der wichtige Begriff einer
Linearkombination.
Linearkombination_trivialeNullsumme (Seite 36)
Linearkombination_Nullsumme (Seite 36)
Versuche die abstrakten Zusammenh€nge zu erfassen und zu verstehen!
Teilverhƒltnisse_Parallelogramm (Seite 43)
Mit Hilfe der eingef‚hrten Begriffe k„nnen wir geometrische Probleme mit
Teilverh€ltnissen l„sen. Beim l„sen dieser Probleme erf€hrst du, wie sich die
Vektoren (als Verschiebung interpretiert) eignen um bestimmte
L„sungsstrategien zu entwickeln.
Winkelhalbierend (Seite 44)
Geometrische Eigenschaften lassen sich durch die Vektoren ausn‚tzen, um
Berechnungen durchzuf‚hren.
Seite - XIV -
Kapitel 3 Vektoren im Koordinatensystem
Mit Hilfe eines Koordinatensystems k„nnen wir die Vektoren so beschreiben,
dass es uns gelingt mit ihnen einfach zu rechnen. Zuerst werden wir aber
noch die Darstellung eines Punktes und einer Geraden in der Ebene mit Hilfe
der Vektoren beschreiben.
Versuche die einfachen Prinzipien (Verschiebung, Multiplikation eines Vektors
mit einer Zahl, Linearkombination) zu verstehen.
Gerade in der Ebene (Seite 48)
Versuche anhand der dynamischen Konstruktion das Prinzip der Darstellung
einer Geraden zu erfassen.
Polarform_Vektoren in der Ebene (Seite58)
Diese Form der Vektorbeschreibung wird h€ufig benutzt, um mit Kr€ften zu
rechnen (ebenes Kr€ftesystem).
Vektoraddition_Koordinatendarstellung (Seite 63)
Das, was wir in Kapitel 2 entwickelt haben, kann nun mit der
Koordinatendarstellung gerechnet werden.
Koordinatendarstellung_Ortsvektor_freierVektor (Seite 63)
Der Ortsvektor ist ein wichtiger Begriff den wir sp€ter immer wieder brauchen
werden. Versuche ihn mit Hilfe des dynamischen Arbeitsblattes zu erfassen.
Beim schiefen Wurf (Arbeitsblatt: Schiefer Wurf Experiment Seite 25) hast
du gesehen, wie mit Ortsvektoren die gegenseitige Bewegungen von
Objekten, einfach beschrieben werden k„nnen.
In den folgenden Arbeitsbl€ttern werden die Konzepte aus Kapitel 2 nun
rechnerisch durchgef‚hrt. Es werden auch L„sungskonzepte vorgestellt, die
sich direkt auf die Definitionen des Vektorbegriffes oder auf das Prinzip
Verschiebung st‚tzen.
DifferenzOrtsvektoren_Koordinatendarstellung (Seite 64)
Einheitsvektor_Koordinatendarstellung (Seite 65)
Abstand_Punkt_Punkt_Betrag (Seite 71)
Normalvektor(Seite 72)
Seite - XV -
Vektor in Richtung der Winkelhalbierenden (Seite 73)
Gerade_Parameterdarstellung (Seite 74)
Punkt auf einer Geraden (Seite 76)
Schnittpunkt von zwei Geraden (Seite 77)
Schwerpunkt_Dreick(Seite 78)
Kapitel 4 Das Skalarprodukt
Wir behandeln hier nur ein Produkt n€mlich Vektor mal Vektor = Zahl.
Die Definition bekommst du einmal physikalisch und dann noch
mathematisch.
Skalarprodukt_DefArbeit KraftmalWeg (Seite 82)
Versuche das Skalarprodukt ‚ber den Arbeitsbegriff aus der Physik zu
verstehen.
Skalarprodukt_Mathematik (Seite 82)
Versuche das Skalarprodukt abstrakt mathematisch zu verstehen.
Kapitel 5 Vektoren im Raum
Du kannst alles, was du in der Ebene gelernt hast in den Raum ‚bertragen.
Versuche die Probleme im Raum durch Schaufiguren auf deinem
L„sungsblatt zu erfassen. F‚r die Rechnung mit den Vektoren spielt die
Dimension keine Rolle. Es lassen sich alle Prinzipien ‚bertragen.
Leider ist es noch nicht m„glich mit GeoGebra dreidimensionale Arbeitsbl€tter
zu erstellen. Aber es d‚rfte nicht mehr lange dauern bis auch das m„glich
wird!
Seite - 1 -
1 Einf…hrung
1.1 Vektorgeometrie
Das neue Stoffgebiet – Vektorgeometrie – das Du in dieser Lerneinheit
kennen lernen wirst, ist ein sehr starkes mathematisches Werkzeug f‚r
verschiedene Anwendungsgebiete.
Vektorgeometrie
Physik
Mathematik
Technische Anwendungen
Geometrie des Raumes
Beispiele
Beispiele
Statik
Winkelberechnung
Festigkeitslehre
Abstandsberechnung
Mechanik
Durchdringungen
Elektrodynamik
1.1.1 Bedeutung von Vektoren
Sowohl in der Ebene als auch im dreidimensionalen Raum k„nnen viele
Aufgabenstellungen konstruktiv gel„st werden. Mit Hilfe von Vektoren werden
diese zu Berechnungsproblemen. Vektoren haben aber nicht nur geometrisch
eine Bedeutung, sie sind allgemein als mathematische Objekte aufzufassen
und k„nnen bei der Modellierung in ganz verschiedenen
Anwendungsbereichen ausserhalb der Geometrie auftreten.
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1.1.2 Erfinder (Entdecker) der Vektoren
Hermann Grassmann
Willard Gibbs
Mathematiker
Physiker
Der deutsche Gymnasialprofessor Hermann Grassmann hatte Mitte des 19.
Jahrhunderts eine bahnbrechende Idee zur Behandlung der Geometrie. 1844
verfasste er ein Buch, in dem er die Grundlagen der Vektorrechnung legte.
Doch gelang es ihm nicht seine Ideen seinen Mitmenschen zu vermitteln. Sein
Genie wurde verkannt und die neue Vektorrechnung zu den Akten gelegt.
Grassmann €rgerte sich und widmete sich in der Folge nur noch
Sprachstudien.
Etwa 40 Jahre sp€ter fand der Physiker Willard Gibbs heraus, dass sich mit
Hilfe der Vektoren komplizierte Sachverhalte viel einfacher und ‚bersichtlicher
darstellen lassen. Die Physiker waren begeistert und verwendeten das neue
Hilfsmittel immer mehr. Als die Mathematiker das sahen, besannen sie sich
reum‚tig auf die Ver„ffentlichung von Hermann Grassmann. In der Folge
entstand eine sich kr€ftig entwickelnde mathematische Theorie der Vektoren.
Diese ist heute ein wesentlicher Teil der Mathematik und das Modell des
Vektors wird in vielen anderen Bereichen z.B. der Physik, der Technik und
den Wirtschaftswissenschaften erfolgreich angewendet.
Seite - 3 -
Durch eine Parallelverschiebung in der Ebene oder im Raum geht jede Figur
in eine zu ihr deckungsgleiche Figur ‚ber.
Jede Parallelverschiebung kann durch einen Pfeil, einen so genannten Vektor
dargestellt werden, der von einem Punkt P zu seinem Bildpunkt P’ weist.
 
a  PP'

Der Vektor a verschiebt das Dreieck ABC in das Dreieck A’B’C’, wobei A in
A’, B in B’ und C in C’ verschoben wird. Die Punkte A, B und C werden gleich
  

weit und in die gleiche Richtung bewegt. Die Pfeile PP ' , AA ' , BB ' und CC'

stellen den gleichen Vektor a dar. Daraus l€sst sich die Frage, wann zwei


Vektoren gleich sind, beantworten. Zwei Vektoren a und b sind gleich, wenn



sie die gleiche Verschiebung bewirken, d.h. wenn a  b ist, so m‚ssen a

und b die gleiche Richtung und die gleiche L€nge haben.
1.2.1 Definition: Gleichheit von zwei Vektoren
Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie gleiche L€nge und gleiche
Richtung haben.
Da es somit gleichg‚ltig ist, von welchem Ausgangspunkt aus wir einen Vektor
zeichnen, sprechen wir auch von „freien Vektoren“.
Seite - 4 -
1.2.2 Reprƒsentant eines freien Vektors
Vektor = Pfeil
Als naive Mathematiker stellen wir uns den
Vektor einfach als Pfeil vor.
Vektor = Menge aller Pfeile des Raumes oder der Ebene, mit einer
bestimmten Lƒnge und Richtung
Als raffinierte Mathematiker
sehen wir eine Menge gleich
langer und gleich gerichteter
Pfeile als Vektor an.
Jeder Pfeil der Menge heisst Repr€sentant des Vektors.
1.2.3 Dynamisches Arbeitsblatt: Verschiebung_Dreieck
Dynamisches Arbeitsblatt
GeoGebra Datei: Verschiebung_Dreieck
Zeit: 10 Minuten
Welche der folgenden Behauptungen sind richtig?
a) Je zwei Repr€sentanten desselben Vektors sind immer gleich lang.
b) Je zwei Repr€sentanten desselben Vektors sind immer parallel.
c) Wenn zwei Pfeile gleich lang und parallel sind, dann handelt es sich
um den gleichen Vektor.
d) Wenn zwei Pfeile gleich lang sind und gleiche Richtung haben, dann
handelt es sich um den gleichen Vektor.
e) Verbinden wir die Spitzen zweier Repr€sentanten desselben Vektors
miteinander, und machen wir dasselbe mit den Anfangspunkten, so
erhalten wir immer ein Parallelogramm.
Seite - 5 -
1.2.5 Bezeichnungen von Vektoren
Ein Vektor mit Anfangspunkt A und dem Endpunkt B bezeichnen

wir mit AB . Wir k„nnen einen Vektor auch mit einem lateinischen
Buchstaben mit dar‚ber gesetztem Pfeil bezeichnen.




Beispiele: a , v , F , G , . . . . . . . . .
Betrag eines Vektors (Lƒnge)



Die L€nge eines Vektors a bezeichnen wir mit a (Betrag von a ) oder kurz

mit a (ohne Pfeil). Der Betrag des Vektors AB ist die L€nge der Strecke AB :

AB  AB
1.2.6 Beispiel Parallelogramm
Ist ABCD ein Parallelogramm, so
folgt nach der Definition der
Gleichheit von zwei Vektoren:



AB  DC  a






( AB und DC sind Repr€sentanten des Vektors a )



BC  AD  b ( BC und AD sind Repr€sentanten des Vektors b )



Weiter gilt: AB  AB  a  a (L€nge des Vektors a )


Worin stimmen die Vektoren AB und BA ‚berein?
Wodurch unterscheiden sich die beiden Vektoren?
Seite - 6 -
ABCDEFGH ist ein W‚rfel.






AB  a , AD  b , AE  c
a) Welche Vektoren werden durch
folgende Repr€sentanten
dargestellt?


DC 
DH 



EH 
FG 
HG 

b) Gebe einen weiteren Repr€sentanten des Vektors HF an:

HF 

c) Durch wie viele Repr€sentanten ist in der Zeichnung der Vektor a
vertreten, wie heissen sie?

a


1.2.8 Vektoren in der Physik
Skalare Gr‚ssen
Viele physikalische Gr„ssen lassen sich durch eine einzige Zahl beschreiben.
Diese Zahl heisst Masszahl und ist das Verh€ltnis der zu messenden Gr„sse
zu einer gew€hlten Masseinheit definiert. Solche durch eine Zahl bestimmte
Gr„ssen heissen skalare Gr„ssen.
Beispiele: Masse, Temperatur, Druck, Arbeit, . . .
Vektorielle Gr‚ssen
Andere Gr„ssen bed‚rfen zu ihrer Bestimmung nebst einer Masszahl und
einer Masseinheit noch die Angabe einer Richtung. In der Physik nennen wir
Gr„ssen mit einer Richtung und einem Betrag, die durch Angabe eines
Vektors festgelegt werden k„nnen, Vektorgr„ssen.
Beispiele: Kraft, Geschwindigkeit, Beschleunigung, . . . . .
Gebundene Vektoren
Bei physikalischen Vektorgr„ssen kommt oftmals der Angriffspunkt
dazu. Wir sprechen dann von einem gebundenen Vektor.
Seite - 7 -
1.3 €bungen
1.3.1 Partnerinterview Grundlagen
Partnerinterview Vektorgeometrie
Vektor_Grundlagen
Zeit: 10 Minuten
Frage 1: Was ist ein Skalar? Was ist ein Vektor?
Gebe je drei Beispiele.
Frage 2: Wie viele verschiedene Vektoren werden dargestellt?
Frage 3: Welche Folgerung ist falsch? Begr‚nde!
1)
 
ab

ab
2)
ab 
 
ab
Seite - 8 -
1.3.2 €bung 2 : Reprƒsentanten von Vektoren in der Ebene
Die Figur besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken.

Gebe alle Pfeile an, die 1) den Vektor a repr€sentieren.

2) den Vektor b repr€sentieren.
1.3.3 €bung 3 : Reprƒsentanten von Vektoren im Raum
Die Figur stellt einen W‚rfel dar. Gebe mit Hilfe der Eckpunkte alle Pfeile an,
die den folgenden Vektor repr€sentieren:



1) BC
2) DE
3) AG
Seite - 9 -
2 Elementare Operationen mit Vektoren
Wir haben mit den Vektoren neue mathematische Objekte eingef‚hrt. Wenn
diese z.B. in der Physik n‚tzlich sein sollen, so m‚ssen wir mit ihnen auch
rechnen k„nnen. Kr€fte zum Beispiel will der Physiker nicht nur einzeichnen,
er will die Wirkung verschiedener Kr€fte auf denselben K„rper auch
rechnerisch erfassen k„nnen.
Wir werden also in diesem Kapitel Rechenoperationen f‚r Vektoren einf‚hren
und ihre Rechengesetze untersuchen. Die Operationszeichen werden
meistens dieselben sein wie wir sie aus dem gew„hnlichen Rechnen mit
Zahlen kennen. Es kann aber nicht genug betont werden, dass sie ‚berhaupt
nicht dasselbe darstellen! Vektoren und Zahlen sind nicht dasselbe. Aus
diesem Grund k„nnen wir auch nicht unbedingt erwarten, dass die
Rechengesetze mit jenen aus den Zahlen ‚bereinstimmen. Diese Gesetze
m‚ssen sorgf€ltig hergeleitet werden. Gl‚cklicherweise zeigt es sich aber,
dass immerhin in vielen F€llen diese •bereinstimmung doch vorhanden ist.
2.1 Die Vektoraddition
Bei der Addition von Zahlen haben wir folgende Gesetze kennengelernt:
1) Kommutativgesetz [ a + b = b + a ]
2) Assoziativgesetz [ (a + b) + c = a + (b + c) ]
3) Neutralelement (Null) [ a + 0 = a ]
4) Inverses Element (Gegenzahl) [ a + ( – a) = 0 ]
Wenn wir diese Gesetze auch f‚r Vektoren best€tigen k„nnen, wird die
Vektoralgebra genau so einfach wie die Zahlenalgebra.
2.1.1 Summe zweier Vektoren
Die Addition von zwei Vektoren l€sst sich durch die Parallel -verschiebung
erkl€ren.





Die Summe a  b der Vektoren a und b ist jener Vektor c , welcher der


Zusammensetzung der zu a und b geh„renden Parallelverschiebungen entspricht.
Seite - 10 -
Beispiel


a  AB , d.h. , der Punkt A wird nach B verschoben.


b  BC , d.h. , der Punkt B wird nach C verschoben.


c  AC , d.h. , der Punkt A wird nach C verschoben.



AB  BC  AC
Wir verschieben A …ber B nach C = A direkt nach C verschieben


Der Vektor b wird zum Vektor a addiert, indem der Anfangspunkt von




b an den Endpunkt von a verschoben. Der Summenvektor a  b zeigt


dann von Anfangspunkt von a zum Endpunkt von b
Beachte
Beim Addieren von zwei Vektoren, die mit Anfangs- und Endpunkten gegeben
sind, kann folgende Vereinfachung vorgenommen werden.



A B  B C  AC
B

B

weggelassen
Wenn also bei einer Vektoraddition recht und links vom „+“ Zeichen derselbe
Buchstabe steht, kƒnnen wir ihn mitsamt dem „+“ Zeichen weglassen. Oder
Wenn wir den Punkt von A nach B verschieben und dann von B nach C, so
kƒnnen wir den Punkt A direkt nach C verschieben.
Beispiele



a) AB  BC  CD 


b) CA  BC 


c) PQ  QP 
Seite - 11 -
2.1.2 Dynamisches Arbeitsblatt: Vektoraddition
GeoGebra Datei: Vektoraddition_Verschiebung
Zeit: 10 Minuten
2.1.3 Dynamisches Arbeitsblatt: Vektoraddition_Spezialfƒlle
GeoGebra Datei: Vektoraddition_Spezialfƒlle
Zeit: 10 Minuten
Seite - 12 -
2.1.4 Partnerinterview Vektoraddition Spezialfall
Vektoraddition_Spezialfall
Zeit: 15 Minuten
Frage: Welche Aussagen sind falsch? (Begr‚nde kurz!)
 

Gegeben sind die drei Vektoren a , b und c gem€ss folgender Figur.
1.

c 
2.

c
3.
2

a 

b

a


2

b
2
 
c  ab



4. a  b  c
5.

c 
 
a b
6.

a 

b


c
Seite - 13 -
2.1.5 Partnerinterview Summenvektor Betrag
Summenvektor_Betrag
Zeit: 10 Minuten
 

Frage : Was kannst du ‚ber die Vektoren a , b und c aussagen, wenn sie jeweils die
folgenden zwei Gleichungen erf‚llen?
1.
  
c  ab
und

c 

a 

b
2.
  
c  ab
und

c 

a 

b
3.
  
c  ab
und

c 

b 

a
4.
  
c  ab
und

c 

a
Seite - 14 -
GeoGebra Datei: Ergebnis_Summenvektor_Betrag
Zeit: 10 Minuten
1)
  
c  ab

c 
und

a 

b


a und b sind parallel und haben gleiche Richtung. [P,Q ,R liegen auf einer
Geraden. Punkt Q liegt zwischen P und R]. Verschiebe den Punkt Q mit der
Maus zwischen P und R. •berpr‚fe die beiden Gleichungen.
2)
  
c  ab

c 
und

a 

b




a und b sind antiparallel. Vektor a ist l€nger als b . [P,Q ,R liegen auf einer
Geraden. Punkt Q liegt z.B. zwischen R und S]. Verschiebe den Punkt Q mit
der Maus zwischen R und S. •berpr‚fe die beiden Gleichungen.
  
3) c  a  b

c 
und

b 

a




a und b sind antiparallel. Vektor a ist k‚rzer als b . [P,Q ,R liegen auf einer
Geraden. Punkt Q liegt z.B. zwischen P und T] .Verschiebe den Punkt Q mit
der Maus zwischen P und T. •berpr‚fe die beiden Gleichungen.
  
4) c  a  b und

c 

a


a und b sind Schenkel eines gleichschenkligen Dreieckes.


Die Spitzen von a und b liegen auf einem Kreis. Die Punkte A und C k„nnen
mit der Maus auf dem Kreis bewegt werden. •berpr‚fe folgende Spezialf€lle:



a) a  c , was folgt dann f‚r den Vektor b ?



b) a   c , was folgt dann f‚r den Vektor b ?
c)



a  b  c
d)



b  2 c  2 a
Seite - 15 -
2.1.6 Gesetze f…r die Vektorenaddition
Das Addieren von Vektoren ist




a) kommutativ: a  b  b  a





 

b) assoziativ: a   b  c    a  b   c

 

Begr…ndung
Das Zusammensetzen von Parallelverschiebungen ist kommutativ und
assoziativ.
GeoGebra Datei: Vektoraddition_Gesetze
Zeit: 10 Minuten
a) Graphisches Beispiel zum Kommutativgesetz
b) Graphisches Beispiel zum
Assoziativgesetz
c) Beispiel Assoziativgesetz:
 




 
 AB  BC   CD  AC  CD  AD



 



 
AB   BC  CD   AB  BD  AD


Seite - 16 -
2.1.7 Vektorkette
Eine Vektorkette ist die Addition von
mehreren Vektoren.
Beispiel: Addition von f‚nf Vektoren





AB  BC  CD  DE  EF
Resultierende

Der Vektor AF heisst Summe oder
Resultierende der f‚nf Vektoren.
Wir erhalten ihn durch den Pfeil vom
Anfangspunkt des ersten bis zum Endpunkt
des letzten Vektors.
Geschlossene Vektorkette





Spezialfall: AB  BC  CD  DE  EA

Der Summenvektor ist der Nullvektor 0 .
GeoGebra Datei: Vektorkette
Zeit: 10 Minuten
Seite - 17 -
2.1.8 Partnerinterview Vektorkette
Vektorkette
Zeit: 20 Minuten
Als Hilfe f‚r die Problemstellung 2 kann das dynamische Arbeitsblatt
Vektorkette benutzt werden.
Frage: Was verstehen wir unter einer Vektorkette?
Problem 1: Diskutiere und l„se die folgende Problemstellung.
 


Die drei Vektoren a , b und c haben denselben Betrag: a 

b 

c .
Zeichne die drei Vektoren so, dass folgende Gleichung gilt:




(1) a  b  c  0



(2) a  b  c
Problem 2: Diskutiere und l„se die folgende Problemstellung.
•bertrage den mathematischen Sachverhalt auf das Vektormodell der Kr€fte in der Physik!

Gegeben sind die beiden Vektorketten:




(1) a  b  c  d1  0




(2) a  b  c  d2
a) Stelle die beiden Vektorketten grafisch dar!
b) Worin unterscheiden sich die beiden Vektorketten?


c) Welcher Zusammenhang besteht zwischen d1 und d2 ?
d) Anwendung in der Physik: In der Physik k„nnen Kr€fte mit Hilfe von Vektoren dargestellt
werden. Nehme an, dass die Vektoren in (1) und (2) Kr€fte sind.
    
   
(1) Fa  Fb  Fc  F1  0
(2) Fa  Fb  Fc  F2
Welche Bedeutung haben die beiden Vektorketten?


Welcher Zusammenhang besteht zwischen F1 und F2 ?
Seite - 18 -
2.1.9 Definition: Der Nullvektor
Den zur identischen Abbildung geh„rigen Vektor nennen wir Nullvektor.

Bezeichnung: 0
Repetition: Dynamisches Arbeitsblatt
GeoGebra Datei: Verschiebung_Dreieck
(Arbeitsauftrag 3)

Offensichtlich gilt f‚r jeden Vektor a :






1) a  0  a oder AB  BB  AB







2) a    a   0



oder AB  BA  AA
GeoGebra Datei: Vektoraddition_Spezialfƒlle
(Arbeitsauftrag 2 e , f)



Zu 1) : a  5 ; b  0 ;  beliebig
a ; b  0
zu 2) : a  5 ; b  5 ;   1800
a ; b  a



2.1.10 Definition: Der Gegenvektor

Ist a ein Vektor, so heisst der Vektor mit derselben L€nge, aber

entgegengesetzter Richtung der Gegenvektor von a .

Bezeichnung :  a
Bemerkungen




1. Aus a  AB folgt  a  BA






2.    a   a


3. Addieren wir zum Vektor a seinen Gegenvektor  a , so erhalten wir






keinen Pfeil. Die zu a    a  geh„rige Abbildung ist die identische
Abbildung. Damit die Zusammensetzung zweier
Seite - 19 -
Parallelverschiebungen stets wieder eine Parallelverschiebung ist,
z€hlen wir die identische Abbildung auch zu den
Parallelverschiebungen.













4. Mit a  AB und  a  BA folgt a    a   AB  BA  AA .
Punkt A wird nach B verschoben und dann Punkt B nach A, d.h., der


Punkt A wird nicht verschoben. AA  0
Beispiel
In der untenstehenden Zeichnung ist das Drahtmodell eines Quaders dar-
 

gestellt. Drei Vektoren (Verschiebungen) a,b und c sind eingezeichnet.


Beschreibe durch 2 Vektorgleichungen, wie der Vektor x  CE und wie der





Vektor y  HB durch die Vektoren a, b und c zusammengesetzt werden
k„nnen.
Seite - 20 -
2.2 Kraft als Vektor
Die Kr€fte k„nnen durch das Vektormodell beschrieben werden.
2.2.1 Addition von Krƒften, das Parallelogrammprinzip


Zwei Kr€fte F1 und F2 mit gemeinsamen Angriffspunkt A lassen sich durch

eine einzige Kraft Fres ersetzen. Diese hat in jeder Beziehung die gleiche

 
Wirkung wie F1 und F2 . Fres besitzt denselben Angriffspunkt A und wird als


Diagonale des von beiden Kr€ften F1 und F2 aufgespann-ten

Parallelogramms erhalten. Die Ersatzkraft Fres wird Resultierende der Kr€fte


F1 und F2 genannt.
Dies ist nichts anderes als die
Vektoraddition:



F res  F1  F 2
Beachte :
Statt des vollst€ndigen Parallelogramms
gen‚gt es nur ein Kr€ftedreieck zu
zeichnen.


„ F2 an den Kopf von F1 anh„ngen “
Haben wir mehr als zwei Kr„fte, so
ergibt sich ein Kr„ftepolygon.
Bei manchen Problemen ist es vorteilhaft, umgekehrt vorzugehen und eine
gegebene Kraft durch zwei andere Kr„fte zu ersetzen.
Seite - 21 -
2.2.2 Die Zerlegung einer Kraft





Ist F1 und F2 gegeben, so k„nnen wir F res  F 1  F 2 bestimmen. Umgekehrt




k„nnen wir eine gegebene Kraft F ( = F res ) in zwei Teilkr€fte F1 und F2 von
vorgeschriebener Richtung zerlegen.

Diese nennen wir die Komponenten von F .
Beispiele

Gegeben: Eine Kraft F und zwei Richtungen g1 und g2 .



Gesucht : Komponenten F1 , F2 von F mit den Richtungen g1 , g2
GeoGebra Datei: Zerlegung_Kraft in der Ebene
Zeit: 10 Minuten
Schiefe Ebene


Zerlege die Gewichtskraft G in eine Komponente G  parallel und eine

Komponente G senkrecht zur Unterlage.
Seite - 22 -
GeoGebra Datei: Schiefe Ebene Zerlegung_Gewichtskraft
Zeit: 20 Minuten
2.3 Die Geschwindigkeit als Vektor
2.3.1 €berlagerung von Bewegungen
Die Erfahrung lehrt uns, dass Bewegungen sich ‚berlagern k„nnen ohne sich
gegenseitig zu beeinflussen. Diese Eigenschaft nennen wir das
Unabh€ngigkeitsprinzip der Bewegungen.
Unabhƒngigkeitsprinzip
Die Bewegung eines K„rpers l€sst sich so in mehrere Teilbewegungen
in verschiedenen Richtungen zerlegen, dass diese in der gleichen Zeit
wie die Gesamtbewegung und unabh€ngig voneinander ablaufen.
Seite - 23 -
2.3.2 Beispiel: horizontaler Wurf
Eine Kugel rollt mit vK  2ms1 ‚ber einen Tisch, der eine H„he von
H  1,2m besitzt. In welcher Entfernung L von der Tischkante schl€gt die
Kugel auf dem Boden auf?
L„sungsidee : Die Kugel schl€gt nach der Zeit t A am Boden auf. Die
Bahnkurve ist eine Parabel. Wir zerlegen die Bewegung in eine horizontale
und eine vertikale Teilbewegung.
Teilbewegungen
Horizontal: ( „wir schalten gedanklich die Erdbeschleunigung g aus“ )
Gleichfƒrmige Bewegung mit der Geschwindigkeit vK  2ms1 .
Die Kugel legt in der Zeit t A den Weg L zur‚ck: L  vK  t A (Bahnkurve
horizontale Gerade)
Vertikal: ( „wir schalten gedanklich die Geschwindigkeit v K aus“ )
Freier Fall d.h. gleichm„ssig beschleunigte Bewegung aus der Ruhelage
a  g  9,81ms2 . Die Kugel legt in der Zeit t A den Weg H
zur‚ck: H 
g 2
 t A (Bahnkurve vertikale Gerade)
2
Nun ben‚tzen wir den Freien Fall um die Flugzeit t A zu berechnen:
H 
g 2
 tA
2

tA 
2H

g
2  1,2m
 0,495 s
9,81ms2
Mit Hilfe der Flugzeit t A erhalten wir aus der Gleichf„rmigen Bewegung die
Wurfweite L:
L  v K  t A  2ms1  0,495 s  0,98m
Seite - 24 -
GeoGebra Datei: Horizontaler Wurf
Zeit: 10 Minuten
2.3.3 Beispiel: Schiefer Wurf
Beim schiefen Wurf wird ein K„rper mit der Anfangsgeschwindigkeit v 0 unter
den Winkel  schr€g nach oben geworfen. Auch diese komplexe Bewegung
l€sst sich als •berlagerung von Teilbewegungen einfach beschreiben. Da sich
die Teilbewegungen ungest„rt ‚berlagern, d‚rfen wir zur Berechnung des
schiefen Wurfes diese zeitlich hintereinander ablaufen lassen. F‚r den
schiefen Wurf gibt es zwei M„glichkeiten:
1.M‚glichkeit:
Teilbewegung 1 : gleichf„rmige Bewegung l€ngs der Geraden, die durch den

Geschwindigkeitsvektor v 0 (Abschussgeschwindigkeit) vorgegeben ist.
Teilbewegung 2 : freier Fall (gleichm€ssig beschleunigte Bewegung)
Seite - 25 -
2.M‚glichkeit:
Aufteilung der Bewegung in die Achsenrichtungen.
Teilbewegung 1: Horizontale Teilbewegung : gleichf„rmige Bewegung l€ngs
der x – Achse (Bei senkrechter Beleuchtung w‚rde sich der Schatten auf der x
– Achse gleichf„rmig mit v 0x = konstant bewegen)
Teilbewegung 2: Vertikale Teilbewegungen : gleichm€ssig beschleunigte
Bewegung in y – Achse (Ein Beobachter, der mit einem Wagen auf der xAchse mit v 0x f€hrt, w‚rde einen einfachen
vertikalen Wurf sehen.)
GeoGebra Datei: Schiefer Wurf_Experiment
Zeit: 20 Minuten
Seite - 26 -
2.4 Differenz zweier Vektoren




Unter der Differenz a  b zweier Vektoren a und b verstehen wir den

 
Vektor a    b  .





 
a  b  a   b


Subtraktion = Addition des Gegenvektors!
Graphische Subtraktion
1. M‚glichkeit:


Der Vektor b wird vom Vektor a subtrahiert,


indem wir a und b in einen gemeinsamen
Anfangspunkt (A) verschieben. Die Differenz


a  b ist dann der Vektor, der vom Endpunkt


von b zum Endpunkt von a zeigt.







BC  BA  AC   b  a  a  b
2.M‚glichkeit:


Aus b den Gegenvektor  b bilden.


Zum Vektor a den Gegenvektor  b
addieren.




Es gilt: a  b  b  a




b  a ist der Gegenvektor von a  b :




 
 a  b    a  b  b  a


Seite - 27 -
2.4.1 Anwendung: €berlagerung von Bewegungen
Ein Boot soll einen Fluss, dessen Str„mungsgeschwindigkeit vF  5ms 1
betr€gt, ‚berqueren. In welcher Richtung und wie schnell muss das Boot

fahren ( vB ), damit es trotz der Abdrift durch die Str„mung den Fluss
senkrecht mit vR  12ms1 ‚berquert.
•berlagerung von zwei Bewegungen (Geschwindigkeiten)
  
vB  v F  vR
Bootsgeschwindigkeit plus Str„mungsgeschwindigkeit ergibt die resultierende
Geschwindigkeit
 

 
vR  v B   vF  v B  vF



vF : Str„mungsgeschwindigkeit des Flusses

vB : Geschwindigkeit des Bootes in ruigem Wasser
(Eigengeschwindigkeit)

vR : Resultierende Geschwindigkeit

Betr€ge der Vektoren: v F  5ms 1 ;

vB 

vR
2

 vF
2


v R  12ms1
122  52 

vF
5
Abdriftwinkel: tan      
12
vR

169  13ms 1
 5 
  arctan    22,62 0
 12 
Seite - 28 -
2.4.2 €bungen

€bung 1





In einem Rechteck ABCD sei a  AB ; b  AC und c  AD .
Vereinfache folgende Ausdr‚cke mit Hilfe einer Figur.


a  b  c
b)
a  b  c
c)
a  b  c
d)
a  b  c



€bung 2

a)






Vereifache die folgenden Ausdr‚cke so weit wie m„glich:


a)
AB  BC
b)
UV  VW
c)
CD  ED



d)



AB  CA



e)
UV  VW  WZ
f)
PQ  QR  SR






g)
AB  BC  CA
h)
UY  XY  UX



Seite - 29 -
2.5 Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl




Wir fassen 3  a auf als Abk‚rzung f‚r a  a  a .












Wir fassen   3   a auf als Abk‚rzung f‚r   3  a     a  a  a  .
Definition:


Ist a ein Vektor und k eine reelle Zahl, so verstehen wir unter k  a den
Vektor:

1) mit k - facher L€nge von a und

2) mit der gleichen Richtung wie a , wenn k positiv ist

mit der entgegengesetzter Richtung wie a , wenn k negativ ist.


  35   a ;
3 a ;
Beispiele:
Spezialfƒlle:

Multiplikation mit 1 :
Multiplikation mit

 1 :
 1  a

Multiplikation mit 0 :
Gesetze:

1 a  a

 a

(Gegenvektor von a )

0a  0
(Nullvektor)
Es gelten folgende Gesetze:
 
Voraussetzungen: k , k1 , k 2 , n  R (reelle Zahlen) ;

 k1  k 2   a 


 k1  k 2   a 

k1  a  k 2  a


 
k a  b    k  a  k b





k1   k 2  a 


a, b Vektoren
(Distributivgesetz)
(Distributivgesetz)
(Assoziativgesetz)

a
1 
 a
n
n
n  0 
Seite - 30 -
2.5.1 Dynamisches Arbeitsblatt Gesetze Multiplikation Skalar
GeoGebra Datei: Gesetze_Multiplikation_Skalar
Zeit: 10 Minuten
Seite - 31 -
2.5.2 Partnerinterview Multiplikation mit einem Skalar
Multiplikation mit einem Skalar
Zeit: 10 Minuten
Frage 1: Welche Gleichungen sind falsch? (Begr‚nde kurz!)
 

Gegeben sind die drei Vektoren a , b und c
gem€ss Figur.


1) b  sin     c
2)


a  cos     c
3)

b
  t an   
a
4)

b

a
5)

b

a
 tan   
 t an   

Frage 2: Welche L€nge hat der Vektor u ?

u 
1
 
a

a
Seite - 32 -
2.5.3 Kollineare Vektoren
Definition kollinear
Zwei Vektoren heissen kollinear, wenn sie zu einer einzigen Geraden
parallel sind (dabei wird der Nullvektor als zu jeder Geraden parallel
betrachtet). Haben sie denselben Anfangspunkt, so liegen sie auf einer
einzigen Geraden.
Beispiele:


a und b sind kollinear, es gilt


a und c sind kollinear, es gilt


a und d sind kollinear, es gilt




b  21  a ( a und b sind parallel)




c  2  a ( a und c sind parallel)




d   1  a ( a und d sind antiparallel)
Folgerung:





Jedes Vielfache k  a eines Vektors a (also auch 0  a  0 ) ist mit a kollinear,


und umgekehrt ist jeder mit a kollineare Vektor ein Vielfaches von a .
2.5.4 €bungen
€bung 1
Zeichne ein Parallelogramm ABCD mit dem Diagonalenschnittpunkt M.








Setze a  CB und b  CM . Dr‚cke die Vektoren AD , AM , DM , AB ,



CD durch a und b aus.
€bung 2
K ist der Schnittpunkt der K„rperdiagonalen des
W‚rfels. M ist der Mittelpunkt der Kante FG.






a  AB , b  AD , c  AE Dr‚cke die






Vektoren AF , AM , CM , AK , MK , CK



durch a , b und c aus.
Seite - 33 -
2.5.5 Beispiele
Beispiel 1


Gegeben ist ein quadratisches Gitternetz mit den Vektoren a und b .






Dr‚cke den Vektor x durch die Vektoren a und b aus.
Dr‚cke den Vektor y durch die Vektoren a und b aus.

 
x  b  21 a

 

 
y   x  a   b  21 a  a

 
 
  b  21 a  a  12 a  b


Beispiel 2
Die Pyramide ABCDS hat eine rechteckige
Grundfl€che. M ist der Diagonalschnittpunkt
des Rechtecks ABCD.
     
a  AB , b  AD , c  AS

 

Dr‚cke den Vektor MS durch a , b und c
aus.
  
 
MS  MA  AS ; AS  c


 
MA   21  AC   21  AB  BC  
  

 
MS  MA  AS   21  a  21  b  c

Beispiel 3

1
2


 ab 


  21  a  21  b


Die beiden Vektoren a und b bilden ein allgemeines Dreieck ABC. F‚r den
Punkt D auf der Seite AB gilt: AD : DB  2 : 1.



Bestimme den Vektor DC aus a und b .
  
DC  DA  AC
;


AC   b


 
DA  32  BA  32  BC  CA
 


 23   a  b   23  a  23  b




  

 


DC  DA  AC   23  a  32  b  b   23  a  31  b
Seite - 34 -
2.6 Linearkombination
Definition Linearkombination
   
Gegeben sind die Vektoren a , b , c , d ,.... und
beliebige reelle Zahlen k1 , k 2 , k 3 , k 4 ,  .

Wir nennen jeden Vektor u der Form





u  k1  a  k 2  b  k 3  c  k 4  d  ........... eine Linearkombination der
   
Vektoren a , b , c , d ,.... .

Terme der folgenden Form heissen Linearkombinationen: k1  a ;









k1  a  k 2  b ; k1  a  k 2  b  k 3  c ; k1  a  k 2  b  k 3  c  k 4  d ; usw.
Merke: Eine Linearkombination ist ein Vektor!




u1  k1  a : Der Vektor u1 ist eine Linearkombination des Vektors a .




u2  k1  a  k 2  b : Der Vektor u2 ist eine Linearkombination der


Vektoren a und b .





u3  k1  a  k 2  b  k 3  c : Der Vektor u3 ist eine Linearkombination der
 

Vektoren a , b und c .
Beispiele von Linearkombinationen
In den Beispielen 1, 2 und 3 auf der vorangehenden Seite werden Vektoren
als Linearkombinationen von gegebenen Vektoren dargestellt.
Beispiel 1:
 

x  b  21 a ;

 
y  12 a  b ;



x ist eine Linearkombination der Vektoren a und b .



y ist eine Linearkombination der Vektoren a und b .
Beispiel 2:


  

MS   21  a  12  b  c ; MS ist eine Linearkombination der Vektoren a ,


b und c .
Seite - 35 -
Grafisches Beispiel:
 

Gegeben sind die Vektoren a , b und c .
Dann ist zum Beispiel der




Vektor u  3  a  2  b  5  c
eine Linearkombination der
 

Vektoren a , b und c .
Die Linearkombination
entspricht grafisch einer

Vektorkette, wobei der Gegenvektor von u die Vektorkette schliesst.
Definition Nullsumme
Eine Linearkombination von Vektoren, die den Nullvektor ergibt, heisst
Nullsumme.
Die Nullsumme heisst trivial, wenn alle Koeffizienten 0 sind.
Sie heisst nicht trivial, wenn wenigstens ein Koeffizient nicht 0 ist.
Frage: Gibt es im Beispiel oben drei Zahlen k1 , k 2 , k 3 , so dass die



Linearkombination k1  a  k 2  b  k 3  c
den Nullvektor ergibt, d.h.


 
k1  a  k 2  b  k 3  c  0 muss eine
geschlossene Vektorkette sein.
Nebenstehende Figur zeigt eine nicht
triviale Nullsumme (geschlossene




Vektorkette) 3  a  2  b  4  c  0
Triviale Nullsumme
Ein Spezialfall ist die triviale Nullsumme, bei der alle Koeffizienten k1 , k 2 , k 3




gleich 0 sind: 0  a  0  b  0  c  0 .
Seite - 36 -
GeoGebra Datei: Linearkombination_trivialeNullsumme
Zeit: 10 Minuten
GeoGebra Datei: Linearkombination_Nullsumme
Zeit: 10 Minuten
2.6.1 Partnerinterview Linearkombination, triviale Nullsumme
Linearkombination, triviale Nullsumme
Zeit: 10 Minuten
Diskutiere folgende Aussage:
Satz:




a und b sind zwei nicht kollineare Vektoren. Wenn die Linearkombination von a und b den
 

Nullvektor darstellen soll k1  a  k 2  b  0 , dann folgt k1  k 2  0 .

 


Beweis: Sind a und b nicht kollinear, ist k1  a  k 2  b  0 und w€re z.B. k 2  0 , so w€re




k1  
k1 
,
also
,
also
w€ren
a
und
kollinear.

a

b

0
b



a
b
k
k
2
2
Dies ergibt einen Widerspruch.
 





Sind a und b kollinear, so ist z.B. b  k1  a , also k1  a   1  b  0 , also ist die Gleichung
 

k1  a  k 2  b  0 erf‚llt f‚r ein k 2  0 .
Diskussion:
Als Hilfsmittel eignen sich folgende zwei Arbeitsbl€tter:
Dynamisches Arbeitsblatt: Linearkombination_trivialeNullsumme
Dynamisches Arbeitsblatt: Linearkombination_Nullsumme
Seite - 37 -
2.6.2 Lineare Abhƒngigkeit und lineare Unabhƒngigkeit
Vektoren heissen linear abh€ngig, wenn es m„glich ist, mit ihnen eine
nicht triviale Nullsumme zu bilden.
Wenn dies auf keine Art und Weise m„glich ist, d.h. wenn eine
Nullsumme nur auf triviale Weise – mit lauter Nullen als Koeffizienten –
m„glich ist, dann nennen wir die Vektoren linear unabh€ngig.
Behauptung
Kollineare Vektoren sind linear abh€ngig. Zeige, dass zwei parallele

oder antiparallele Vektoren stets linear abh€ngig sind.
Nicht kollineare Vektoren sind linear unabh€ngig. Zeige, dass zwei

nicht parallele Vektoren stets linear unabh€ngig sind.
Satz
Beweis


a und b sind dann und nur dann nicht kollinear, wenn die Gleichung
 

k1  a  k 2  b  0 nur erf‚llt ist f‚r k1  k 2  0 . (triviale Nullsumme)





Sind a und b nicht kollinear, ist k1  a  k 2  b  0 und w€re z.B. k 2  0 , so
k




k



w€re k 1  a  b  0 , also b   k 1  a , also w€ren a und b kollinear.
2
2
Dies ergibt einen Widerspruch.







Sind a und b kollinear, so ist z.B. b  k1  a , also k1  a   1  b  0 , also ist



die Gleichung k1  a  k 2  b  0 erf‚llt f‚r ein k 2  0 .
Andere Formulierung des Satzes:
Sind die Vektoren einer Nullsumme linear unabh€ngig, so muss die
Nullsumme trivial sein , d.h. alle Koeffizienten m‚ssen 0 sein.
Seite - 38 -
2.6.3 Partnerinterview zwei Vektoren linear abhƒngig unabhƒngig
Zwei Vektoren linear abhƒngig unabhƒngig
Zeit: 10 Minuten
Frage 1: Wann sind zwei Vektoren linear abh€ngig?

Spezialfall: Nullvektor 0


Zeige: Ein beliebiger Vektor a und der Nullvektor 0 sind linear abh€ngig.
Frage 2: Wann k„nnen Vektoren eine geschlossene Vektorkette bilden?
Diskutiere: Es ist nicht m„glich mit beliebigen Vektoren eine geschlossene Vektorkette zu
bilden. Welche Eigenschaften m‚ssen die Vektoren haben?
Seite - 39 -
2.6.4 €bungen
€bung 1
Sind die folgenden Vektoren linear abh€ngig oder linear unabh€ngig?


a) AP , CD


b) AB , AM



c) AP , AM , BC


d) AM , MD
€bung 2
Gegeben ist der W‚rfel ABCDEFGH. Sind
die folgenden Vektoren linear abh€ngig
oder linear unabh€ngig?



a) AB , AD , AE



b) AB , BC , GF




c) AC , AF , AG , AE
€bung 3
Wie k„nnen wir mit Hilfe der Vektorgeometrie nachweisen, ob ein Punkt auf
einer Geraden AB liegt?
€bung 4
Wie k„nnen wir mit Hilfe der Vektorgeometrie nachweisen, ob vier Punkte in
einer Ebene liegen?
Seite - 40 -
2.6.5 Anwendung: Teilverhƒltnisse
In einem Dreieck ABC liegt D auf
AC und E auf AB , so dass
CD  52  AC und AE  31  AB .
BD und CE schneiden sich in F.
Welche Bruchteile machen die
Strecken BF und CF von BD bzw. CE aus?
L‚sung
1) Wahl von zwei nicht kollinearen Vektoren
 
 
a  BC ; b  CA
2) Bildung einer geschlossenen Vektorkette:
   
BC  CF  FB  0
  
3) Die drei Vektoren BC, CF, FB mit Hilfe von


a und b ausdr‚cken. Es m‚ssen zwei Unbekannte x und y eingef‚hrt
werden.
   

 
BA  a  b ; BE  23  BA  32  a  b




 


 

CF  x  CE  x  CB  BE   x   a  32  a  b   x    31  a  32  b 




  31 x  a  32 x  b




 
 


FB  y  DB  y  DC  CB   y    52  b  a    y  a  52 y  b
    




BC  CF  FB  0  a  31 x  a  23 x  b  y  a  52 y  b


 1  31 x  y   a   23 x  25 y   b


0
0


a und b sind nicht kollinear, also m‚ssen die Koeffizienten der beiden
Vektoren 0 sein (triviale Nullsumme). Somit erhalten wir zwei Gleichungen f‚r
die beiden Unbekannten x und y.
1  31 x  y  0
2
2
3x5y
0

1x y 1
3
 31 x  51 y  0
6
5y
BF  56  BD ;
1 
y
5
6

x  35 y 
3
6

1
2
CF  21  CE
Seite - 41 -
2.6.6 Partnerinterview Teilverhƒltnisse Parallelogramm
Teilverhƒltnisse Parallelogramm
Zeit: 20 Minuten
Diskutiere die Vorgehensweise bei der L‚sung der folgenden Problemstellung.
Erstelle einen L‚sungsplan und gliedere diesen in einzelne Teilschritte. Halte
diese Teilschritte schriftlich fest und f…hre dann die L‚sung durch.
Im Parallelogramm ABCD teilt der Punkt N die Seite DC im Verh€ltnis1 : 3 .
In welchem Verh€ltnis teilt dann der Punkt T die Diagonale AC .
AT
Berechne das Verh€ltnis v 
.
TC
 
 
Verwende zur L„sung die beiden nicht kollinearen Vektoren: a  AB und b  AD .
L‚sungsplan:
Seite - 42 -
L‚sung
1) geschlossene Vektorkette:




z.B. AB  BT  TA  0
  
2) Die drei Vektoren AB, BT, TA


durch a und b ausdr‚cken.


( a und b sind nicht kollinear)
Dazu m‚ssen wir zwei Unbekannte x und y einf‚hren.
 
AB  a




BT  x  BN  x  b  34  a


 
TA  y  CA  y  b  a




   

 


AB  BT  TA  a  x  b  34  a  y  b  a  0








 
a  x  b  34 x  a  y  b  y  a  0


Alle a Vektoren und alle b Vektoren zusammenfassen:



y  a   x  y   b  0
134x





0
0
3) triviale Nullsumme


Da a und b nicht kollinear sind, m‚ssen die Koeffizienten Null sein. Dies ergibt ein
Gleichungssystem f‚r die Unbekannten x und y.
1  34 x  y  0
xy0
Nach x und y aufl„sen [mit dem Taschenrechner oder von Hand mit Hilfe einer
L„sungsstrategie (eine Unbekannte eliminieren)]
3
4
xy1
xy0

TA 
7
4
x
4
7

 CA
1


x
AT 
4
7
4
7

yx
 AC und
4
7
TC  37  AC
;
v
AT

TC
4  AC
7
3  AC
7

4
3
Seite - 43 -
2.6.7 Dynamisches Arbeitsblatt Teilverhƒltnisse Parallelogramm
GeoGebra Datei: Teilverhƒltnisse_Parallelogramm
Zeit: 30 Minuten
2.6.8 €bungen Teilverhƒltnisse
€bung 1:
Gegeben ist ein Dreieck ABC mit dem Schwerpunkt S.
 

a) Stelle die Vektoren SA , SB und SC als Linearkombinationen der




Vektoren a  BC und b  CA dar.



b) Berechne die Vektorsumme : SA  SB  SC
c) Zeige, dass der Schwerpunkt S die Seitenhalbierende im Verh€ltnis
2:1 teilt.
Seite - 44 -
€bung 2:


Die zwei Vektoren a und b sind gleich lang. Daher halbiert der




Summenvektor a  b den spitzen Winkel zwischen a und b .


( a und b spannen einen
Rhombus auf!).
Die Seiten AB bzw. AC des
Dreiecks ABC sind parallel


zu a bzw. b und dreimal
bzw. zweimal so lang.
Zeige, dass die Winkelhalbierende w  die Seite BC im Verh€ltnis der
anliegenden Seiten, also im Verh€ltnis 3:2 teilt.
GeoGebra Datei: Winkelhalbierende
Zeit: 10 Minuten
Seite - 45 -
2.6.9 Komplanare Vektoren
Drei Vektoren heissen komplanar, wenn sie zu einer einzigen Ebene
parallel sind (dabei wird der Nullvektor als zu jeder Ebene parallel
betrachtet). Haben sie denselben Anfangspunkt, so liegen sie in einer
einzigen Ebene.
Beispiele:
 

a , b und c sind komplanar
Folgerung

Jede Linearkombination

Zeige: Komplanare Vektoren




x  a  y  b von a und b ist mit


a und b komplanar.
sind linear abh€ngig. Nicht komplanare Vektoren sind linear
unabh€ngig und diskutiere folgende zwei S€tze.
Satz: Zerlegung eines Vektors nach zwei nicht – kollinearen Vektoren.



Sind a und b zwei nicht kollineare Vektoren, so l€sst sich jeder mit a


und b komplanare Vektor c eindeutig als Summe von zwei Vektoren,


die mit a bzw. b kollinear sind, darstellen, d.h. als Linearkombination





c  x  a  y  b . Die beiden Vektoren x  a und y  b heissen die
vektoriellen Komponenten, die Zahlen x und y die skalaren



Komponenten von c nach a und b .
Satz: Zerlegung eines Vektors nach drei nicht – komplanaren Vektoren.
 

Sind a , b und c drei nicht komplanare Vektoren, so kann jeder

beliebige Vektor d eindeutig in drei Summanden zerlegt werden, die zu
den einzelnen gegebenen Vektoren kollinear sind, d.h. er ist eine

 
 


Linearkombination a , b und c d  x  a  y  b  z  c .



Die Vektoren x  a , y  b und z  c heissen wieder die vektoriellen
Komponenten, die Zahlen x, y und z die skalaren Komponenten von

 

d nach a , b und c .
Seite - 46 -
3 Vektoren im Koordinatensystem
3.1 Vektorielle Darstellung eines Punktes
Die absolute Lage eines Punktes P in der Ebene und im Raum k„nnen wir
nicht angegeben. Wir k„nnen die Lage eines Punktes P relativ zu einem
Bezugspunkt O angeben. In der Praxis ben‚tzen wir Koordinatensysteme, um
die Lage von Punkten zu beschreiben.
Der Koordinatenursprung O dient dann als Bezugspunkt.
3.1.1 Der Ortsvektor
Definition

Der Vektor OP vom Koordinatenursprung O zum Punkt P heisst
Ortsvektor des Punktes P.
Merke:
Ortsvektoren gehen immer vom
Koordinatenursprung O aus, d.h.
sie sind an den Anfangspunkt O
gebunden. Somit sind
Ortsvektoren keine freien
Vektoren, sondern
gebundene Vektoren.
Es gilt: Die Differenz zweier
Ortsvektoren ist ein freier Vektor.




OQ  OP  PQ  a




OQ  OP   OP  OQ



 PO  OQ  PQ
Der Punkt P wird ‚ber den
Koordinatenursprung O nach Q
verschoben.
Die Summe eines Ortsvektors und
eines freien Vektors ist wieder ein Ortsvektor.



OP  a  OQ



OP  PQ  OQ
Seite - 47 -
3.1.2 Anwendungen: Mittelpunkt, Schwerpunkt
Gegeben: Ortsvektoren zu den Eckpunkten eines Dreiecks ABC:
  
OA , OB , OC

Gesucht: Ortsvektor OM des Mittelpunktes M der Strecke BC

Gesucht: Ortsvektor des Schwerpunktes OS

   
AB  OA  OB  OB  OA
;

   
BC  OB  OC  OC  OB

Ortsvektor OM zum Mittelpunkt M der Strecke BC
  
   
 
OM  OA  AB  12 BC  OA  OA  OB  21 OB  OC





 OB  21 OB  21 OC  21 OB  21 OC


Merke: OM 
1
2



 OB  OC 

Ortsvektor OS zum Schwerpunkt S des Dreiecks ABC

 



AM  OA  OM  OA  21 OB  21 OC
 
 






OS  OA  32 AM  OA  32 OA  31 OB  31 OC  31 OA  31 OB  31 OC

Merke: OS 
1
3



 OA  OB  OC
Seite - 48 -
3.2 Vektorielle Darstellung einer Geraden g
Eine Gerade g in der Ebene oder im Raum ist eindeutig durch zwei Punkte A
und B festgelegt ( A  B ).
Wir ‚berlegen uns, wie die Gerade g vektoriell beschrieben werden kann. Die
Gerade g besteht aus unendlich vielen Punkten P. Durch die Angabe aller
Ortsvektoren zu diesen Punkten P, kann die Gerade g beschrieben werden.
3.2.1 Dynamisches Arbeitsblatt: Gerade in der Ebene
GeoGebra Datei: Gerade in der Ebene
Zeit: 10 Minuten
Seite - 49 -
3.2.2 Parameterdarstellung einer Geraden g
Definition



OP  OA  t  AB
Parameterdarstellung der Geraden

wobei t  R Parameter und AB Richtungsvektor der Geraden g heisst.
Jede reelle Zahl t liefert einen

Ortsvektor OP so, dass der Punkt
P auf der Geraden g liegt. Durch
die obige Gleichung wird die
Gerade g beschrieben.
Welchen Parameter t
besitzen die Punkt A und B?
Welche Punkte ergeben sich
wenn t negativ ist ( t  0 )?
3.2.3 Partnerinterview Parameterdarstellung einer Geraden
Parameterdarstellung einer Geraden
Zeit: 20 Minuten
Frage 1: Parameterdarstellung, Ortsvektor, freier Vektor
 

Erkl€re anhand der Parameterdarstellung r  r0  t  u den Unterschied zwischen einem
Ortsvektor und einem freien Vektor.
Seite - 50 -
Frage 2: Parameterdarstellung, Beispiele f…r verschiedene Parameter
Welche geometrische Figur (Punkt, Halbgerade, Strecke) wird durch die Gleichung
 

r  r0  t  u und die folgenden Parameter definiert?
a) t  0
 t  R
c) t  3
 t  R
b) 0  t  1  t  R 
d) t  Z (ganze Zahlen)
Seite - 51 -
3.3 Vektoren in der Ebene
3.3.1 Basis einer Ebene
Satz


Ein beliebiges Paar linear unabh€ngiger Vektoren b1 und b2 bilden
eine Basis der Ebene, d.h.:



(1) Jeder weitere Vektor a kann als Linearkombination von b1 und b2



dargestellt werden: a  a1  b1  a2  b2
( a1 und a2 sind reelle Zahlen)
(2) Diese Darstellung ist eindeutig.


Die Summanden a1  b1 und a2  b2 der Linearkombination heissen
vektorielle Komponenten, die reellen Zahlen a1 und a2 heissen die

 
skalaren Komponenten von a bez‚glich der Basis b1 , b2 .
 
Die Vektoren b1 , b2 heissen Basisvektoren.
Beweis

Wir wollen grafisch und algebraisch beweisen, dass es f‚r a Darstellungen



der folgenden Form gibt: a  a1  b1  a2  b2 .
Grafischer Beweis
Wir finden die Zerlegung konstruktiv,
 
indem wir die Vektoren b1  OB1 ,
 
 
b2  OB2 und a  OA mit gemeinsamem
Anfangspunkt O zeichnen (siehe Figur).
Die drei Vektoren liegen in einer Ebene.
Die Parallelen durch A zu OB1 und
OB2 schneiden die Geraden OB1 und OB1 in den Punkten B1 ' und B 2 ' .

 '

'
Dann ist OB1  a1  b1 , OB 2  a2  b2 und
   




a  OA  OB1'  OB'2  a1  b1  a2  b2 d.h. a ist eine Linearkombination




von b1 und b2 . Diese Konstruktion ist nicht m„glich, wenn b1 und b2
kollinear (d.h. linear abh€ngig) sind.
Seite - 52 -
Algebraischer Beweis
Drei komplanare Vektoren sind stets linear abh€ngig, d.h. es gibt nicht triviale
Nullsummen dieser drei Vektoren. Da voraussetzungsgem€ss unsere drei



Vektoren b1 , b2 und a in einer Ebene liegen, gibt es also Darstellungen der
Form:




x  b1  y  b2  z  a  0 ,
wobei wenigstens einer der Koeffizienten x, y und z ungleich Null ist.
Wir k„nnen sogar behaupten: z  0 . Die gegenteilige Annahme ( z  0 ) f‚hrt
n€mlich auf einen Widerspruch: wenn z  0 w€re, so m‚sste x  0 oder



y  0 sein und es w‚rde gelten x  b1  y  b2  0 ,


d.h. es g€be eine nichttriviale Nullsumme von b1 und b2 . Da diese Vektoren
aber linear unabh€ngig sind, ist das unm„glich. Wir k„nnen den Widerspruch
nur durch die Annahme z  0 l„sen.



In diesem Fall folgt aber z  a   x  b1  y  b2 und weil z  0 ist, d‚rfen wir

beide Seiten durch z dividieren: a  
x  y 
 b1   b2 .
z
z
x
y
und a2   und sehen, dass es eine Darstellung
z
z



von der Form a  a1  b1  a2  b2 gibt.
Wir setzen nun a1  
Im zweiten Schritt wollen wir nun die Eindeutigkeit dieser Darstellung

beweisen, d.h. wir wollen zeigen: Es ist nicht m„glich, einen Vektor a der
Ebene auf zwei verschiedene Weisen als Linearkombination der linear


unabh€ngigen Vektoren b1 und b2 darzustellen. Nehmen wir an wir h€tten



zwei Darstellungen gefunden: a  a1  b1  a2  b2



und a  a1'  b1  a'2  b2 .
Subtrahieren wir die beiden Gleichungen voneinander, so erhalten wir:



0   a1  a1'   b1   a2  a'2   b2 .


Nun sind die Vektoren b1 und b2 aber linear unabh€ngig! Also m‚ssen die


beiden Koeffizienten a1  a1' und
a1  a1'  0

a
2
 a'2  dieser Nullsumme 0 sein:
a1  a1' und a2  a'2  0

a2  a'2 . Die beiden
Darstellungen sind also notwendigerweise gleich. Damit ist auch die
Eindeutigkeit der Darstellung bewiesen.
Seite - 53 -
3.3.2 €bungen
 
Aufgabe 1
Welche der nebenstehenden Vektorpaare b1 , b2 bilden eine Basis der
Ebene? Begr‚nde deine Antwort kurz.
Aufgabe 2
Es ist m„glich, jeden Vektor der Ebene als Linearkombination der drei
 

gezeichneten Vektoren b1 , b2 und b3 darzustellen. So gilt z.B. f‚r den





gezeichneten Vektor a :
a  3  b1  2  b2  b3
Warum bezeichnen wir wohl diese drei Vektoren nicht auch als Basis der
Ebene?
Aufgabe 3


Konstruiere die Linearkombination der Basisvektoren b1 und b2 , die

den Vektor a darstellt, und bestimme die Koeffizienten durch Messen.
Seite - 54 -
3.3.3 Partnerinterview Basisvektoren f…r eine Ebene
Parameterdarstellung einer Geraden
Zeit: 10 Minuten
Frage: Welche Aussagen sind richtig, welche falsch? (Begr‚nde kurz!)


Als Basis der Ebene sind zwei Vektoren b1 und b 2 brauchbar, wenn sie
1) nicht zur gleichen Geraden parallel sind.
2) entgegengesetzt gerichtet sind.
3) linear abh€ngig sind.
4) linear unabh€ngig sind.
5) jeden anderen Vektor der Ebene als Linearkombination darstellen k„nnen.
6) gleich lang sind.
7) aufeinander senkrecht stehen.
8) gleich lang sind und aufeinander senkrecht stehen.
Seite - 55 -
3.3.4 Orthonormalbasis einer Ebene


Eine Basis e1 und e2 der Ebene heisst Orthonormalbasis, wenn die
beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen und die L€nge 1 haben.
Oft bezeichnet man die Basisvektoren einer Orthonormalbasis auch mit


e x und e y .
Zur Bezeichnung: Ortho - wegen orthogonal ( = senkrecht) und normal
wegen der Normierung der L€nge auf 1.
Beispiel: Ortsvektoren

1) Der Ortsvektor OP kann als
Linearkombination der orthonormalen


Basis e1 und e2 dargestellt werden.



Linearkombination: OP  4  e1  3  e2
2) Die vektoriellen und die skalaren

Komponenten des Ortsvektors OP

bez‚glich der orthonormalen Basis e1

und e2 sind:


Vektorielle Komponenten: 4  e1 , 3  e2
Skalare Komponenten: 4 , 3



Komponentendarstellung : OP  4  e1  3  e2
  4 
Koordinatendarstellung (kurzschreibweise des Ortsvektors) : OP   
3 
Beachte:
Bei der Koordinatendarstellung eines Ortsvektors, werden die skalaren
Komponenten in runder Klammer untereinander geschrieben. Die skalaren
Komponenten entsprechen den Koordinaten des Punktes P, welche aber in
runder Klammer nebeneinander geschrieben werden.
Koordinaten des Punktes P:
P  4 / 3

3) Mit dem Pythagoras folgt f‚r die L€nge des Ortsvektors OP :
Betrag:

OP 
42  32 
25  5
Seite - 56 -


Entnehme die Daten f‚r die Ortsvektoren OQ und OR dem Bild auf der Seite
55 und vervollst€ndige die Tabelle:


Ortsvektor OQ
Ortsvektor OR
Linear kombination:
Vektorielle
Komponenten:
Skalare
Komponenten:
Koordinaten darstellung:
Betrag (L€nge)
Beispiel : Freie Vektoren

1) Der freie Vektor a kann als
Linearkombination der


orthonormalen Basis e1 und e2
dargestellt werden.



Linearkombination: a  5  e1  3  e2
2) Die vektoriellen und die skalaren

Komponenten des freien Vektors a
bez‚glich der orthonormalen Basis


e1 und e2 sind:


Vektorielle Komponenten: 5  e1 , 3  e2
Skalare Komponenten: 5 , 3



Komponentendarstellung : a  5  e1  3  e2

5
Koordinatendarstellung (kurzschreibweise des freien Vektors) : a   
3
Seite - 57 -
3) Mit dem Pythagoras folgt f‚r die L€nge des freien Vektors

a  52  32  34  5,83
 

Entnehme die Daten f‚r die freien Vektoren b , c und d dem Bild auf der
Seite 56 und vervollst€ndige die folgenden Tabellen:

Linearkombination Vektor b
Vektorielle Komponenten
Skalare Komponenten
Koordinatendarstellung:
Betrag (L€nge)

Linearkombination Vektor c
Skalare Komponenten
Betrag (L€nge)

Linearkombination Vektor d
Skalare Komponenten
Betrag (L€nge)
Seite - 58 -
3.3.5 Vektoren in Polarform
Vektoren in der Ebene k„nnen durch den Betrag (L€nge) und einen Winkel
zur Horizontalen beschrieben werden.

a   a /     Betrag / Winkel 
Zeichne jeweils den Winkel bei den gezeichneten Vektoren ein!
Beachte:
  00 ; 1800  und   00 ;  1800  (Winkel im Urzeigersinn sind negativ)
In der Praxis ist es oft zweckm€ssig die Vektoren in Polarform anzugeben.,
z.B. beim Schiefen Wurf: Abschussgeschwindigkeit (Schnelligkeit /
Abschusswinkel) siehe Beispiel S25.
GeoGebra Datei: Polarform_Vektoren in der Ebene
Zeit: 10 Minuten
Seite - 59 -
3.3.6 Partnerinterview Vektoren in Polarform
Vektoren in Polarform
Zeit: 5 Minuten
Frage : Welche Aussagen sind richtig, welche falsch ? Begr‚nde deine Antwort kurz!




Gegeben sind die zwei Vektoren a und b in Polarform: a  3 / 00

   

Der Vektor d ist die Differenz von a und b : d  a  b



; b  4 / 900

Zeichne die Vektoren in das nebenstehende
Gitter ein.
richtig
falsch
d7

d5
d5
d  a b



d  a  b
  3
d 
 4 
 
d  a b
Seite - 60 -


Anwendung: Kr€fte in der Physik: F1   80N / 00  , F2  100N/ 450  ,

F3   50N /  600  . Die drei Kr€fte greifen in einem Punkt eines K„rpers an.

Bestimme die Resultierende Kraft FR
€bung
Gebe die drei Vektoren in Koordinatendarstellung und in Polarform an.
3.3.7 €bungen Aufgabenbuch Frommenwiler / Studer
Aufgabenbuch Mathematik f…r Mittelschulen, Geometrie
Seite 182/183 : Aufgaben 19 – 31 Aufgaben aus der Physik
Seite - 61 -
3.3.8 Vektoren in Koordinatendarstellung


 

Ein Vektor a habe bez‚glich der Basis e1 und e2 ( e1  e2  1 und
 



e1  e2 ) in der Ebene die Komponentendarstellung a  a1  e1  a2  e2 .
Wir bezeichnen dann die Koeffizienten a1 , a2 als erste, zweite

Koordinate von a bez‚glich dieser Basis.

Unter der Koordinatendarstellung von a verstehen wir die abgek‚rzte
Schreibweise
 a 
a   1  f‚r die Komponentendarstellung.
 a2 


F‚r den Betrag von a erhalten wir: a 
a12  a22
 0
  1    0 
Speziell: 0    ; e1    ; e2   
0
0
1 


e1  12  0 2  1  1 ;
e2 

0 2  12 
1 1

 8 
 ; a 
 6
Aufgabe: Berechne den Betrag von a  
Zusammenhang zwischen dem Ortsvektor und den Koordinaten eines
Punktes.

Ortsvektor rP
Komponentendarstellung
Koordinatendarstellung
Punkt P
Koordinaten

 
rP  2  e1  e2
   3 
rP   
 1
P 5 /  3 
Seite - 62 -
Merke
Um den Unterschied zwischen Punkt – und Vektorkoordinaten klar zu mache,
schreiben wir die Punktkoordinaten nicht untereinander, sondern
nebeneinander und mit Schr€gstrich getrennt:
  x 
rP    ; P  x / y  Man schreibt eigenartigerweise und nicht sehr logisch
y
beim Punkt die Koordinaten ohne „=“ direkt hinter den Namen des Punktes.
3.3.9 Rechnen mit Koordinaten
 
a 
b 
 a  b1 
Addition von Vektoren: a  b   1    1    1

 a2 
 b2 
 a 2  b2 
Subtraktion von Vektoren:
 
a 
b 
 a  b1 
ab   1   1   1

 a2 
 b2 
 a2  b2 
Wichtige Grundaufgabe
Gegeben sind die Punkte A(5 / 3) und B(8 / 4) . Welche Koordinaten hat der

Vektor AB ?


L„sung: Den Vektor AB erhalten wir als Differenz der Ortsvektoren rB

(Endpunkt) und rA (Anfangspunkt)
    8   5   8  5   3 
AB  rB  rA        
 
 4   3   4  3  1 
    b  a 
allgemein: AB  rB  rA   1 1  „Endpunkt minus Anfangspunkt“
 b 2  a2 
Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl:

a 
 x  a1 
x a  x   1   

 a2 
 x  a2 
Seite - 63 -
3.3.10 Dynamische Arbeitsblƒtter Koordinatendarstellung
GeoGebra Datei: Vektoraddition_Koordinatendarstellung
Zeit: 10 Minuten
GeoGebra: Koordinatendarstellung_Ortsvektor_freierVektor
Zeit: 10 Minuten
Seite - 64 -
GeoGebra: DifferenzOrtsvektoren_Koordinatendarstellung
Zeit: 10 Minuten
3.3.11 Einheitsvektoren
Ein Vektor mit dem Betrag 1 heisst

Einheitsvektor. Symbol: e

Einheitsvektor in Richtung des Vektors a :

ea 

a

a

Umgekehrt k„nnen wir jeden Vektor a unter Verwendung seiner L€nge



 
a und dem Einheitsvektor ea darstellen: a  a  ea
Seite - 65 -
GeoGebra Datei: Einheitsvektor_Koordinatendarstellung
Zeit: 10 Minuten
Beispiel

Gegeben sind die zwei Punkte P(3 / 6) , Q(6 / 2) . Bestimme den Vektor a mit
folgenden Eigenschaften:




a hat die Richtung von PQ

a hat die L€nge 1
  3 

2
PQ    ; PQ  32   4   9  16  25  5
 4

 3


PQ
1
1  3
a      PQ       5 
 4
5 4
PQ
PQ
 5
€bungen
Seite 188 : Aufgaben 42 – 46 Vektoren im Koordinatensystem
Seite 189/190: Aufgaben 47 – 53 elementare Vektoroperationen
Seite 190: Aufgaben 54 – 57 Vektor aus Anfangs – und Endpunkt
Seite 191/192: Aufgaben 58 – 63 Einheitsvektoren
Seite 192: Aufgaben 64 – 66 Winkelhalbierende
Seite - 66 -
3.3.13 Repetitionstest
Repetitionstest
Bearbeitungszeit: 30 Minuten
Der folgende Test besteht aus 11 Kurzaufgaben zur Repetition. Gepr‚ft wird
vor allem das Verst€ndnis f‚r die neu definierten Vektorbegriffe (Definitionen)
sowie das rechnerische Handwerk (Rechnen mit der Koordinatendarstellung
von Vektoren) .
Aufgabe 1 :
Gegeben sind die zwei Punkte A(2 / 5) undB(8 /  3) . Bestimme:

a) den Vektor AB .

b) den Betrag des Vektors AB .
 
AB  





AB 
Aufgabe 2 :
Welchen Abstand d hat der Punkt P(8 / 6) vom Ursprung O?
d
Aufgabe 3 :

  4 
  2 
AB    ; BC    . Berechne AC .
3
 5 
 
AC  




 
d




Aufgabe 4 :
 3
a 
2
 1
b 
5
  0
c 
1

 

Berechne den Vektor d  2a  b  5c
Seite - 67 -
Aufgabe 5 :
  5 
  1 
Gegeben sind die Ortsvektoren : OA    und OB   
1
 3

Bestimme den Vektor AB
 
AB  




Aufgabe 6 :

Bestimme die Komponenten des Vektors a :

 2 
 0
 5   a   0
 
 
 
a





7
1 
 3  a   0
 
 
 
a





 1
 1
 3  a   3
 
 
 
a




Aufgabe 7 :
3
9
Bestimme y so, dass die Vektoren   und   kollinear sind.
8
 y
y
Aufgabe 8 :

Gegeben sind die zwei Punkte P(3 / 6) , Q(6 / 2) . Bestimme den Vektor a mit



a hat die L€nge 1

a










Seite - 68 -
Aufgabe 9 :
Gegeben sind die zwei Punkte P (1/ 2) und Q (7 /  4) .
Bestimme:

a) Den Ortsvektor OP


 

OP  






b) den VektorPQ .


 

PQ  





c) die L€nge der Strecke PQ .
PQ 

d) den Einheitsvektor in Richtung PQ .


 

ePQ  





e) Die Koordinaten des Mittelpunktes M der Strecke PQ

M


;





f) den VektorPM .


 

PM  





Seite - 69 -
Aufgabe 10 :
Verdoppeln wir die Strecke AB ‚ber B hinaus, so erhalten wir den Punkt C. Wie
lauten die Koordinaten des Punktes C?
A(2 / 2) , B(4 /  2) .
Aufgabe 11 :
 1
  8
  4
Ein Vektor c    soll in Richtung der Vektoren a    und b    zerlegt
 9
2
3
werden. Wie lautet die Zerlegung?
Seite - 70 -
3.4 Anwendungen
3.4.1 Zerlegung eines Vektors
  7
 5
Stelle den Vektor c    als Linearkombination von a    und
 1 
3
   4
b
 dar.
 5



Ansatz: c  x  a  y  b
(Unbekannte x und y)
 7
5
  4
Vektorgleichung:    x     y  

 1 
3
 5
Gleichungssystem f‚r x und y:
7  5x  4y
 1  3x  5y
(Additionsmethode: Gleichung 1 mit 5 und Gleichung 2 mit ( – 4 )
multiplizieren und dann die Gleichungen addieren)
35  25x  20y
4   12x  20y
39  13x

x3
5y  3x  1  9  1  10
y2




Linearkombination: c  3  a  2  b
3.4.2 Abstand Punkt zu Punkt (Betrag)
Welcher Punkt auf der x - Achse ist von den
Punkten A(0/6) und B(10/12) gleich weit
entfernt?
Ansatz f…r Punkt P auf der x – Achse:
P x /0 


L‚sungsidee: PA  PB

oder PA
2

 PB
2
Seite - 71 -
Durchf…hrung der L‚sung:
   x 
PA    ;
 6

PA 
  10  x 
PB  

 12 

; PB 
 x 
2
;

PA
 122
;
 62
10  x 
2
2
2
   x   62

PB
2
2
 10  x   122
2
x 2  62  10  x   122
x 2  36  100  20x  x 2  144
208
20x  208  x 
 10,4
20

P 10,4 / 0 
GeoGebra Datei: Abstand_Punkt_Punkt_Betrag
Zeit: 10 Minuten
Zweite L‚sungsvariante:
Das Dreieck ABP ist gleichschenklig. Die Spitze P liegt auf der
Mittelsenkrechten der Strecke AB .





Der Punkt P liegt auf der Geraden r  rM  t  nAB , wobei rM  OM der

Ortsvektor zum Mittelpunkt M der Strecke AB ist und nAB der Normalvektor



zu AB . Den Parameter t, der zu r  OP geh„rt, finden wir durch Null setzen
der y – Koordinate (P liegt auf der x – Achse!).
Seite - 72 -
3.4.3 Dynamisches Arbeitsblatt Normalvektor
GeoGebra Datei: Normalvektor
Zeit: 10 Minuten
F‚r die Ausarbeitung der L„sung siehe auch Kap. 3.4.4 Gerade in der Ebene.

 10    5    6 
 , OM    , nAB  
 erhalten wir:
 6
9
 10 
Mit AB  
 x 5
 6 
      t 
 und damit das Gleichungssystem
 y 9
 10 
x  5  6t
y  9  10t
Da P auf der x – Achse liegt ist y = 0:
0  9  10t

9
t  10
x  5  6t  5  5,4  10,4
Seite - 73 -
3.4.4 Winkelhalbierende
Berechne einen Vektor, der den Winkel 
des Dreiecks ABC halbiert.
A  4 / 0  ; B  12 / 6  ; C  0 / 3 
  
AW  e AB  eAC
  12  4   8 
AB  
 
 6  0   6

AB  64  36  100  10
  0  4    4 
AC  
  ;
3  0  3 

AC  16  9  25  5

1  1  8   0,8 
e AB    AB 
   
 ;
10  6   0,6 
AB

 1   4    0,8 
1
eAC    AC   


5  3   0,6 
AC
    0,8    0,8   0 
AW  e AB  eAC  

 
 0,6   0,6   1,2 
GeoGebra Datei: Vektor in Richtung der Winkelhalbierenden
Zeit: 10 Minuten
Seite - 74 -
3.4.5 Gerade in der Ebene
GeoGebra Datei: Gerade_Parameterdarstellung
Zeit: 10 Minuten
 

r  r0  t  u (Parameterdarstellung)

r : Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Geraden

r0 : Ortsvektor eines Ausgangspunktes der Geraden

u : Richtungsvektor der Geraden
t : Parameter  t  R 
Parameterdarstellung:
 ux 
 x0 
 x
      t   u 
 y
 y0 
 y
Komponentendarstellung:
x  x 0  t  ux
y  y 0  t  uy
Seite - 75 -
 x
 y
 1 
 6
  t  
 4
 4
Beispiel    
x  1  6  t
y  4  4t
Elimination des Parameters t ergibt:
2x  2  12  t
3y  12  12  t
2x  3y  10
2
10
y   x
3
3

(Vergleiche mit der Funktionslehre: Lineare Funktion, Funktionsgleichung
einer Geraden:
Steigung m  
2
10
und y-Achsenabschnitt q 
)
3
3
3.4.6 Punkt auf einer Geraden
 x
 y
9 
 4
  1
 und zwei Punkte A  11 / 8  ; B  5 /14 
 1
Gegeben:
Gerade g:       t  
Auftrag:
Bestimme die Koordinaten eines Punktes P  x / y  , der folgende
Eigenschaften hat:
L‚sungsidee:
Ansatz f…r P:

P liegt auf der Geraden g

PA  PB

PA
2

 PB
x 9t
y 4t
2
P 9  t / t  4 
L‚sung:
  11   9  t    2  t 
PA  

 8   t  4    4  t 


;

PA
2
  5   9  t    t  4 
PB  

 14   4  t    10  t 


;

PB
2
2
 2  t  4  t
2
2
  t  4   10  t 
2
2  t
2
Seite - 76 -
2
2
  4  t    t  4   10  t 
2
4  4t  t 2  16  8t  t 2  t 2  8t  16  100  20t  t 2
24t  96  t  4
x 9 t 94 5
y  4 t  44 8
P  5 / 8
•berdenke deinen L„sungsweg nochmals mit Hilfe des folgenden
Arbeitsblattes. Zeichne dann eine Schaufigur und beschreibe den
L„sungsweg in Worten!
GeoGebra Datei: Punkt auf einer Geraden
Zeit: 10 Minuten
Seite - 77 -
3.4.7 Schnittpunkt von zwei Geraden
Auftrag:
Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden g und h.
  x 
 y
 0
3
  t  
 3 
5
  x 
y
9 
 4
Gerade g: rg     
  1

 1
Gerade h: rh        s  
GeoGebra Datei: Schnittpunkt von zwei Geraden
Zeit: 10 Minuten
L‚sungsidee:
L‚sung:
 
rg  rh
 0
3 9
  1
  t       s 
 3 
5  4
 1
Vektorgleichung 
0  3t  9  s
3  5t  4  s
Schnittpunkt:
3t  s  9
5t  s  7
Gleichungssystem
8t
 16
   x S 
 0
3 6
rg  OS        2      
 3 
5 7
 yS 

t2
S  6 / 7
Zeichne eine Schaufigur und ‚berdenke deinen L„sungsweg nochmals!

Bestimme den Schnittpunkt, indem du rh verwendest!
Seite - 78 -
3.4.8 Schwerpunkt Dreieck
Gegeben: Ortsvektoren zu den Eckpunkten eines Dreiecks ABC:
  
OA , OB , OC

Gesucht: Ortsvektor des Schwerpunktes OS

OS 
1
3

  
OA  OB  OC

[Siehe Kap. 3.1.2 Seite 47]
Die Koordinaten des Schwerpunktes S kann aus den Koordinaten der
Eckpunkten des Dreiecks A  x A / y A  , B  xB / yB  und C  x C / y C  berechnet
y  yB  y C 
 x A  xB  x C
/ A
.
3
3


werden: S 
GeoGebra Datei: Schwerpunkt_Dreick
Zeit: 10 Minuten
Seite - 79 -
4 Das Skalarprodukt
In diesem Kapitel wird es sich leider zeigen, dass sich doch nicht alle
Operationen, die wir von Zahlen her kennen auf Vektoren ‚bertragen lassen.
In der Vektoralgebra gibt es zwei v„llig verschiedene Arten der
Vektormultiplikation, das Skalarprodukt und das Vektorprodukt. Dabei
stimmen die zugeh„rigen Rechenregeln nur teilweise mit jenen der
Zahlenmultiplikation ‚berein.
Das Produkt, welches wir in diesem Kapitel behandeln werden, liefert als
Produkt zweier Vektoren keinen Vektor, sondern das Resultat wird ein Skalar
(Zahl) sein. Deshalb nennen wir dies auch Skalarprodukt.
Das andere Produkt (das Vektorprodukt) behandeln wir hier nicht. Du wirst es
sp€ter im Studium kennen lernen.
Die Motivation f‚r die Definition dieser Operationen stammt aus der Physik. In


der Newton’schen Mechanik wird die Arbeit W als Kraft F mal Weg s definiert.
Da die Kraft und der Weg Vektoren sind, die Arbeit aber ein Skalar, brauchen
wir ein Produkt das aus zwei Vektoren als Resultat ein Skalar liefert:
 
W  Fs
Dieses wird in der Mechanik durch folgendes Modell erreicht: Haben die Kraft
und der Weg verschiedene Richtungen, so tr€gt nur die Kraftkomponente
l€ngs der Verschiebung zur Arbeit bei. Diese Kraftkomponente erhalten wir,
wenn der Kraftvektor auf den Verschiebungsvektor projiziert wird.
Achtung: Diese Definition der Arbeit ist in der Physik vern‚nftig, im allt€glichen
Leben f‚hrt sie aber h€ufig zu Widerspr‚chen. Es ist daher wichtig, dass du

dir im Klaren bist, dass die physikalische Arbeit f‚r eine Kraft F definiert ist
und nicht f‚r uns Menschen.
Mit Hilfe der Definition der Arbeit wird die Energie in die Newtonsche
Mechanik eingef‚hrt und zusammen mit dem Energieerhaltungssatz zu dem
wichtigsten Modell, das wir kennen. Mit diesem lassen sich komplexe
Probleme auch in anderen Naturwissenschaften einfach l„sen.
Seite - 80 -

4.1 Definition der Arbeit W F einer Kraft F
Unter der Arbeit
W F
der konstanten Kraft

F
l€ngs des Weges

s
verstehen
wir den Ausdruck:
W F 
Definition





F  s  cos     F  cos     s  Fs  s  F  s

F

 F
s

s


 : Zwischenwinkel von F und s
Fs  F  cos : Kraftkomponente in Wegrichtung
 


F  s : Skalarprodukt der Vektoren F (Kraft) und s (Weg)
 
F  s  F  s  cos
Einheiten: Kraft mal Weg = Arbeit (Newton  Meter  N  m  J  Joule )
4.1.1 Spezialfƒlle
1 Kraft und Verschiebung gleichgerichtet
. Beispiel: F1 = 100N ; s1 = 10m ; 1 = 0o
WF1  F1  s1  cos  1   100N  10m  cos  00   1000Nm  1kJ

1
2 Kraft und Verschiebung senkrecht zueinander
. F = 1200N ; s = 40m ;  = 90 o
2
2
2
WF2  F2  s2  cos  2   1200N  40m  cos  900   0 J

0
3 Kraft und Verschiebung entgegengesetzt
. F3 = 50N ; s3 = 100m ; 3 = 180o
WF3  F3  s3  cos  3   50N  100m  cos 1800    5000Nm   5 kJ

1
4.1.2 €berblick


Kraft F , Weg s ; Arbeit W F 
Seite - 81 -


F  s  cos    ; Projektion cos   
Seite - 82 -
GeoGebra Datei: Skalarprodukt_DefArbeit KraftmalWeg
Zeit: 10 Minuten
GeoGebra Datei: Skalarprodukt_Mathematik
Zeit: 10 Minuten
Seite - 83 -
4.2 Skalarprodukt in der Mathematik
4.2.1 Definition Skalarprodukt zweier Vektoren




Das Skalarprodukt a  b zweier Vektoren a und b ist die Zahl (der
 
 
Skalar) a  b  a  b  cos    , wobei    der Zwischenwinkel von


a und b ist.
Vorzeichen: Das Skalarprodukt ist



positiv : a  b  0 f‚r Zwischenwinkel 0    
2

Null :

negativ: a  b  0 f‚r Zwischenwinkel     
2




a  b  0 f‚r den Zwischenwinkel   2
Interpretation des Skalarprodukts als Normalprojektion
 
 
Die Formel a  b  a  b  cos    k„nnen wir auf zwei verschiedene Arten
interpretieren.
1)
 


 

a  b  a  b  cos     a  ba : Normalprojektion von b auf a

( ba  b  cos    kann positiv oder negativ sein)
2)
 


 

a  b  b  a  cos     b  ab : Normalprojektion von a auf b

( ab  a  cos    kann positiv oder negativ sein)
Seite - 84 -
4.2.2 Rechengesetze
   
a b  b a
Kommutativgesetz
 
 
 
 
a  b  a  b  cos     b  a  cos     b  a
Distributivgesetz
  
   
a  b  c  a b  a c


Assoziativgesetz
gilt nicht!
  
Das Produkt a  b  c ist missverst€ndlich. Wir m‚ssen Klammern setzen!
  


a  b  c  k1  c : Vektor in Richtung von c
 
  
a  b  c   k


:
Vektor
in
Richtung
von

a
a
2
Das Assoziativgesetz f‚r das Skalarprodukt gilt nicht.
     
a b c  a  b c
 
 
4.2.3 Wichtiger Spezialfall
Satz:
 


Aus der Definition a  b  a  b  cos    folgt:
Das Skalarprodukt ist dann, und nur dann gleich Null, wenn einer der
Vektoren der Nullvektor ist oder wenn die Vektoren normal
(rechtwinklig) zueinander stehen.

Der Betrag eines Vektors a ist gleich der Wurzel aus dem

 

Skalarprodukt von a mit sich selbst:
a  aa
 
 

a  a  a  a  cos  00   a
2
Seite - 85 -
4.2.4 Skalarprodukt in Komponenten

 a1    b1 
 , b 
 a2 
 b2 
Gegeben: a  
 
Gesucht: a  b
Um dieses Produkt berechnen zu k„nnen, stellen wir die beiden Vektoren als
Linearkobinationen der Basisvektoren dar:



a  a1  e1  a2  e2



b  b1  e1  b2  e2
 




a  b  a1  e1  a2  e2  b1  e1  b2  e2
 
 
 
 
 a1  b1  e1  e1  a1  b2  e1  e2  a2  b1  e2  e1  a2  b2  e2  e2



Hier gilt:
  
e1  e1  e1
2
  
 1 und e2  e2  e2
Zwischenwinkel   00

2
1
cos  00   1 , Einheitsvektor, L€nge 1
 
 
e1  e2  0 und e2  e1  0
 
e1  e2 , Zwischenwinkel   900

cos  900   0
Somit erhalten wir:
 
 
 
 
 
a  b  a1  b1  e1  e1  a1  b2  e1  e2  a2  b1  e2  e1  a2  b2  e2  e2  a1  b1  a2  b2




1
0
0
1
  a  b 
a  b   1    1   a1  b1  a2  b2
 a 2   b2 
Das Skalarprodukt zweier Spaltenvektoren ist die Summe der Produkte
entsprechender Komponenten.
Seite - 86 -
4.2.5 Zwischenwinkel


F‚r den Zwischenwinkel  zweier Vektoren a und b erhalten wir direkt aus
der Definition des Skalaproduktes
 
 
a  b  a  b  cos   

 
a b
cos      
a  b


a
b
cos       
a
b
 
 e a  e b
4.2.6 €bungen
€bung 1

 2 
1 
3
 4
Gegeben: a    , b   


Gesucht: Zwischenwinkel von a und b .
€bung 2
Gegeben ist ein Dreieck ABC mit den Koordinaten der Punkte
A (2/5), B (0/2) und C (4/0).
Berechnen Sie die L€nge der Seite b, den Winkel  , den Einheitsvektor in

Richtung von AB , den Schnittwinkel der Schwerelinie sa und der H„he
hb sowie einen Richtungsvektor der Winkelhalbierenden w  .
€bungen
Seite 202 : Aufgaben 102 – 105 Skalarprodukt (Ebene)
Seite 203 / 204: Aufgaben 115 – 121 Skalarprodukt allgemein
Seite 207: Aufgabe 138, 140 Arbeit, Kraft, Verschiebungsvektor
Seite - 87 -
5 Vektoren im Raum
5.1 Orthonormalbasis des Raumes
Definition
 

Eine Basis e1 , e2 und e3 des Raumes heisst Orthonormalbasis, wenn
die drei Vektoren senkrecht aufeinander stehen und die L€nge 1 haben.
Oft bezeichnet man die Basisvektoren einer Orthonormalbasis auch mit
 

e x , e y und ez .
Beispiel: Ortsvektor
6
  
Der Ortsvektor OP   8  zum Punkt P   6 / 8 / 5  ist die Kurzschreibweise
5
 




f‚r die Linearkombination OP  6  e1  8  e2  5  e3
Die vektoriellen und die skalaren Komponenten des Ortsvektors:
Skalare Komponenten: 6, 8, 5



Vektorielle Komponenten: 6  e1 , 8  e2 , 5  e3
Betrag des Ortsvektors: OP 
62  82  52 
125  5  5  11,2
Beispiel : Freier Vektor
Gegeben sind die zwei Punkte A(2 /  1/ 3) und B( 2 / 7 / 4) . Der
 2  2    4 
 
  
Vektor AB   7  ( 1)    8  ist die Kurzschreibweise f‚r die
 43   1 

  




Linearkombination AB    4   e1  8  e2  1 e3
Die vektoriellen und die skalaren Komponenten des freien Vektors:
Skalare Komponenten: – 4, 8, 1



Vektorielle Komponenten:   4   e1 , 8  e2 , e3
Betrag des Ortsvektors: AB 
 4 
2
 82  12 
81  9
Seite - 88 -
5.2 Vektoren in Koordinatendarstellung

 

Ein Vektor a habe bez‚glich der Basis e1 , e2 und e3



     
( e1  e2  e3  1 und e1  e2 , e1  e3 , e2  e3 ) im Raum die




Komponentendarstellung a  a1  e1  a2  e2  a3  e3 .
Wir bezeichnen dann die Koeffizienten a1 , a2 , a3 als erste, zweite, dritte

Koordinate von a bez‚glich dieser Basis.

Unter der Koordinatendarstellung von a verstehen wir die abgek‚rzte
a 
  1
Schreibweise a   a2  f‚r die Komponentendarstellung.
a 
 3


F‚r den Betrag von a erhalten wir: a  a12  a22  a23
0
1 
0
0
  
        
Speziell: 0   0  ; e1   0  ; e2   1  ; e3   0 
0
0
0
1 
 
 
 
 


e1  12  02  02  1; e2  02  12  02  1 ;

e2 
02  02  12  1
Zusammenhang Ortsvektor und Koordinaten eines Punktes.

Ortsvektor rP
Komponentendarstellung
Koordinatendarstellung
Punkt P
Koordinaten

 

rP  2  e1  e2  5e3
 3
  
rP   5 
 1
 
P 5 /  4 /  3 
Seite - 89 -
5.3 Repetitionstest
Repetitionstest
Bearbeitungszeit f…r den: 45 Minuten
Der folgende Test besteht aus 15 Kurzaufgaben zur Repetition. Gepr‚ft
wird vor allem das Verst€ndnis f‚r die neu definierten Vektorbegriffe
(Definitionen) sowie das rechnerische Handwerk (Rechnen mit der
Koordinatendarstellung von Vektoren) .
Aufgabe 1
Gegeben sind die zwei Punkte A(3 / 2 /  1) und B(4 /  2 / 7) . Bestimme:

a) den Vektor AB .

 
AB  


b) die L€nge der Strecke AB .
AB 





c) Die Koordinaten des Mittelpunktes M der Strecke AB

M


;




;
Aufgabe 2
Welchen Abstand d hat der Punkt P(8 /  4 / 1) vom Ursprung O?
d
Aufgabe 3
 4
 2

  
  
AB   3  ; BC   5  . Berechne AC .
7
 3 
 
 

 
AC  







Aufgabe 4
3
  
a  2
5
 
 1 
  
b   5 
 3
 
 0

  
 

c   1  . Berechne den Vektor d  2a  b  5c
 5 
 

 
d







Seite - 90 -
Aufgabe 5
5
 1 
  
  
Gegeben sind die Ortsvektoren : OA   1  und OB   3 
2
 2 
 
 

 
AB  



Bestimme den Vektor AB





Aufgabe 6
Gegeben sind die zwei Punkte A (6 /  2 / 3) und B ( 2 / 2 / 4) . Bestimme:

a) Den Ortsvektor OA


 
OA  








 
AB  







b) den Vektor AB
.
c) die L€nge der Strecke AB .
AB 

 
e AB  




d) den Einheitsvektor in Richtung AB .






e) Die Koordinaten des Mittelpunktes M der Strecke AB

M



f) den Vektor AM .
g) den Ortsvektor zum Mittelpunkt M.
;




;

 
AM  








 
OM  







Seite - 91 -
Aufgabe 7
 6
x


 
Bestimme x und z so, dass die Vektoren  8  und  4  kollinear sind.
 2 
z
 
 
x
z
Aufgabe 8
Gegeben sind die Koordinaten der Punkte A,B und C : A(3 /  2 / 5) , B(7 / 5 / 10) , C(5 / 9 / 3)
Berechne die Vektorensummen :






a) AB  BC  CA 
b) BA  AC  BC 
Aufgabe 9
Gegeben ist das Dreieck ABC mit: A(3 /  2 / 5) , B(7 / 5 / 10) , C(5 / 9 / 3) :Bestimme die
Komponenten des Ortsvektors zum Schwerpunkt S des Dreiecks ABC.

 
OS  








 
CA  







Aufgabe 10
5
 4
  
  
Gegeben sind die Vektoren AB   1  und BC   3  .
3
2
 
 

Berechne den Vektor CA .
Aufgabe 11

Gegeben sind die zwei Punkte P(3 / 6 /  1) , Q(6 / 2 /  1) . Bestimme den Vektor a mit



a hat die L€nge 1

a










Seite - 92 -
Aufgabe 12
Von der Pyramide ABCDE kennen wir die
Koordinaten von den Eckpunkten. M ist der
Mittelpunkt der Kante BE.
A(4 / 0 / 0) , B(4 / 3 / 0) ,
C(0 / 3 / 0) , D(0 / 0 / 0) , E(2 / 1,5 / 10)

 
OM  


a) Bestimme den Ortsvektor zum Punkt M.








b) Berechne die Vektorensumme : MB  BA  AE 
c) Bestimme die Koordinaten des Diagonalschnittpunktes S des Rechtecks ABCD.

S


d) Bestimme die H„he h der Pyramide.
;
;




h
Seite - 93 -
Aufgabe 13
 4
  
Bestimme den Einheitsvektor in Richtung des Vektors a   0 
 3
 
Aufgabe 14
Verdoppeln wir die Strecke AB ‚ber B hinaus, so erhalten wir den Punkt C. Wie lauten die
Koordinaten des Punktes C. A(2 / 2 /  1) , B(4 /  2 / 7) .
Aufgabe 15
Von einem Dreieck sind zwei Ecken A, B und der Schwerpunkt S gegeben.
Bestimme die Koordinaten der Ecke C.
A  0 / 0 / 4  ; B  5 / 2 / 0  ; S  3 /  1/ 3 
Seite - 94 -
5.4 Anwendungen
€bungen
Seite 193 - 196 : Aufgaben 67 – 77 Vektoren im r€umlichen
Koordinatensystem
Seite 196 - 198: Aufgaben 78 – 95 elementare Vektoroperationen
Seite 199 / 200: Aufgaben 96 – 100 Aufgaben aus der Physik
5.4.2 Vektorzerlegung

 

Stelle den Vektor d als Linearkombination von a , b und c dar, d.h. , zerlege

 

den Vektor d nach den Vektoren a , b und c .
 4
 1
 1
 1
 
        

d   2  ; a   1 , b   1 , c   1 .
 12 
 1
 1
 1


 
 
 


 


 
d als Linearkombination von a , b und c : x  a  y  b  z  c  d
ergibt ein Gleichungssystem f‚r die Unbekannten x, y und z.
 1
 1
 1  4 
 
 
  

x   1  y   1  z   1   2 
 1
 1
 1  12 
 
 
  


xyz4
xyz2
 x  y  z  12
L„sung mit Taschenrechner: A/b simultaneous


 
3  a  4 b  5  c  d
Seite - 95 -
5.4.3 Durchstosspunkt
Gegeben sind die zwei
Punkte A(2 / 0 / 6) , B(3 / 5 / 2) .
Bestimme die Koordinaten des
Durchstosspunktes D der Geraden AB mit
der xy – Ebene.
L‚sungsidee

Den Ortsvektor OD ‚ber den Punkt A darstellen.



Der Vektor AD  t  AB kann durch den Vektor AB dargestellt werden. Der

Streckungsfaktor t l€sst sich aus der z – Komponente des Ortsvektors OD
bestimmen. Es gilt z = 0.
   

OD  OA  AD  OA  t  AB
 x 2
1 
   
 
 y    0   t   5  Gleichungssystem :
 z  6
 4 
   
 
z  6  4t  0

 x   3,5 
   

OD   y    7,5 
z  0 
  

t
3
2

y  5t 
x  2t
y  5t
z  6  4t
15
 7,5
2
und
x  2 t 
7
 3,5
2
 D  3,5 / 7,5 / 0 
5.4.4 Punkte auf einer Geraden
Kl€re ab, ob der Punkt C ( 8 / 8 /  6) auf der Geraden durch
A( 2 / 5 /  4) und B(10 /  1/ 0) liegt.
Wenn C auf der Geraden AB liegt, dann gibt es ein t so dass gilt:

 
OA  t  AB  OC
 2 
  
OA   5  ;
 4 
 
 12 
 8 
  
  
AB   6  ; OC   8 
 4
 6 
 
 
 2 
 
 5
 4 
 
Seite - 96 -
 12 
 
 t   6 
 4
 
 2  12t  8
5  6t  8
 4  4t  6
?

t 
1
2

 8 
 
 8
 6 
 

 2  6  8
53  8
 4  2  6
C liegt auf der Geraden AB.
5.4.5 Verlƒngerung einer Strecke
Gegeben ist die Strecke AB durch A 1/ 5 / 9  und B  7 / 5 /1 .
a) Bestimme die L€nge der Strecke AB .

b) Bestimme den Einheitsvektor in Richtung AB .
c) Verl€ngere die Strecke AB ‚ber B hinaus um 3 L€ngeneinheiten. Wie
lauten die Koordinaten des neuen Endpunktes C?
 6
 
a) AB   0
 8






;

AB  AB  36  0  64  100  10

b)
Einheitsvektor in Richtung AB :

e
AB
6 
 10

 6


AB
1 

  
 0    0 
10 
AB
 8 

  8
 10 
c) Verl€ngerung:
7
 0,6   7 
 1,8   8,8 


   

  

 

OC  OB  3  e AB   5   3   0    5    0    5 
 1
 0,8   1
 2,4   1,4 
 

  

 

C:
 8,8 / 5 /  1,4 
oder
 8 45 / 5 /  1 25 
Seite - 97 -
5.4.6 Abstandsproblem
Welche Punkte auf der y – Achse haben
vom Punkt A 12 /12 /  6  doppelte
Entfernung wie vom Punkt B  6 /15 / 3  ?
Ansatz f…r Punkt auf der y – Achse: Y  0 / y / 0 
Bestimmungsgleichung f‚r die Unbekannte y:


AY  2  BY
 12 
 6 
 
 


AY   y  12  ; BY   y  15 
 6 
 3 




 12 
2
2
  y  12   62  2 
 6 
2
2
  y  15    3 
2
/ quadrieren
2
2
144   y  12   36  4  36   y  15   9 


y 2  32y  252  0
y1  18 ;
; y1,2 
y 2  14
32  322  200 32  4

2
2
Y1  0 /18 / 0  ; Y2  0 /14 / 0 
5.4.7 Abstandsproblem (Kugel)
Wo schneidet die Kugel mit dem Mittelpunkt M (2 / 3 /  6) und dem Radius r =
9 die x – Achse?
Ansatz f…r Schnittpunkt :
2  x
 

XM   3  ;
 6 


2  x
x1,2 
2
X (x/0/0)

XM 
 45  81 
2  x
2
 9  36  9
x 2  4x  32  0
4  16  128 4  144 4  12


2
2
2
; x1  8 ; x 2  4
Seite - 98 -
5.4.8 Mittelpunkt, Schwerpunkt, Spurpunkt
Gegeben sind die Punkte A  8 / 4 / 2  , B  6 /10 / 0  und C  2 /10 / 4  .
M ist der Mittelpunkt der Strecke AB , S der Schwerpunkt des Dreiecks ABC.
Bestimme die Koordinaten des Punktes P mit den folgenden Eigenschaften:
- P liegt auf der Geraden SM und
- P liegt in der Grundebene ( xy – Ebene, Spurpunkt )
Koordinaten des Mittelpunktes von AB : MAB  7 / 7 / 1 
Koordinaten des Schwerpunktes des Dreiecks ABC: S  4 / 8 / 2 
L‚sungsidee
Wir w€hlen einen Umweg vom Ursprung O ‚ber S nach P. Vom Punkt S

gehen wir in Richtung SM bis wir in der Grundebene sind.
 

OP  OS  t  SM

Der Ortsvektor OP hat die z – Komponente z = 0, da P  x / y / 0  in der

xy – Ebene liegt. So l€sst sich der Parameter t beim Richtungsvektor SM
bestimmen.
 3
  
SM   1
 1 
 
 4
  
OS   8 
2
 
 x 4
 3
   
 
 y    8   t   1
0  2
 1
   
 
x
  
OP   y  
0
 
 

OP  OS  t  SM
 Gleichungssystem
x  4  3t
y 8t
0  2t
aus 0  2  t ergibt sich t  2 und daraus x  4  3t  10 und y  8  t  6
die Koordinaten von P
P  10 / 6 / 0 
Seite - 99 -
5.4.9 Das Skalarprodukt im Raum
a 
b 
  1   1
Gegeben: a   a2  , b   b2 
a 
b 
 3
 3
 
Gesucht: a  b
Um dieses Produkt berechnen zu k„nnen, stellen wir die beiden Vektoren als
Linearkobinationen der Basisvektoren dar:




a  a1  e1  a2  e2  a3  e3




b  b1  e1  b2  e2  b3  e3
 






a  b  a1  e1  a2  e2  a3  e3  b1  e1  b2  e2  b3  e3
 
 
 
 a1  b1  e1  e1  a1  b2  e1  e2  a1  b3  e1  e3
 
 
 
 a2  b1  e2  e1  a2  b2  e2  e2  a2  b3  e2  e3
 
 
 
 a3  b1  e3  e1  a3  b2  e3  e2  a3  b3  e3  e3



Hier gilt:
  
e1  e1  e1
2
1 ,
  
e2  e2  e2
Zwischenwinkel   00

2
  
 1 , e3  e3  e3
2
1
cos  00   1 , Einheitsvektor, L€nge 1
 
 
 
e1  e2  0 , e1  e3  0 und e2  e3  0
  
e1  e2  e3 , Zwischenwinkel   900

cos  900   0
Somit erhalten wir:
a  b 
   1  1
a  b   a2    b2   a1  b1  a2  b2  a3  b3
a  b 
 3  3
Das Skalarprodukt zweier Spaltenvektoren ist die Summe der Produkte
entsprechender Komponenten.
Seite - 100 -
5.4.10 Vektorgeometrie mit dem Taschenrechner
 0
 5
  
  
 
Skalarprodukt a   6  ; b   2  Bestimme das Skalarprodukt a  b .
 2 
 6 
 
 
 0  5
   
 6    2   0  5  6   2    2    6   0  12  12  0
 2   6 
   
TR: dotP([0,6, 2],[5, 2.  6])
 1
 2x 


 
Bestimme x so, dass die Vektoren  6  und  2  senkrecht aufeinander
 2
 x2 
 


stehen.
 1   2x 

  
2
 6    2   2x  12  2x  0
 x2   2 

  
x2  x  6  0

x1,2 
1  1  24 1  5

2
2
;
x1  2 ; x 2  3
TR: solve(dotP([1, 6, x 2 ],[2x,2,2])  0, x)
Betrag
 4
  
Bestimme den Einheitsvektor in Richtung des Vektors a   0 
 3
 


a
ea   
a
 4
 
 0
 3
 
16  0  9
 4
 0,8 
1  



 0   0 
5  
 0,6 
 3


Seite - 101 -
Anwendung
Vom Rechteck ABCD kennen wir die Ecken A(9 / 6 / 3) und C( 1/  6 / 4) .
Die Ecke B liegt auf der positiven x – Achse.
Berechne die Koordinaten von B und D sowie den Fl€cheninhalt des
Rechtecks.
Ansatz: Ecke B auf der x – Achse B ( x / 0 / 0 )
 x  9
 x  1
 
 


AB    6  ; CB   6 
 3 
 4 




 x  9   x  1
 

 

AB  CB  0    6    6    x  9  x  1  36  12
  3   4 

 

x 2  8x  33  0

x1,2 
8  64  132 8  14

2
2
; x1  11 ; x 2  3
B(11/ 0 / 0)
 9   12   3 
     
  
OD  OA  BC   6    6    0 
3  4   7
  
  
 D( 3 / 0 / 7)
A  AB  CB
 2
 12 
 
  

AB    6  ; CB   6 
 3 
 4 


 
AB  4  36  9  49  7 ; CB  144  36  16  196  14
A  AB  CB  7  14  98
Seite - 102 -
€bungen
Seite 202 - 203 : Aufgaben 106 – 114 Skalarprodukt (Raum)
Seite 205 : Aufgaben 122 – 127 orthogonale Vektoren
Seite 206: Aufgaben 130 – 133 Normalprjektion eines Vektors
Seite 206 – 211: Aufgaben 145 – 166 Gerade im Raum
Seite 212 / 213 : Aufgaben 167 – 174 Gegenseitige Lage von Geraden
Seite 214: Aufgaben 175 -179 Abstandsprobleme
€bungsaufgabe
ABCDEFGH ist ein W‚rfel mit der Kantenl€nge k  4 .
M ist die Mitte der Kante AE .
Die Aufgaben a) und b) sind voneinander unabh€ngig.

 
a) Stelle den Vektor DF als Linearkombination der Vektoren DB , DE

und DG dar.
b) Welche Koordinaten hat der Punkt P auf der Geraden durch C und G,
der von B und M den gleichen Abstand hat?
Seite - 103 -
L‚sung




a) DF  x  DB  y  DE  z  DG
 4
 4
0
 4
           
DB   4  ; DE   0  ; DG   4  ; DF   4 
0 
 4
 4
 4
 
 
 
 
 4
 4
 4
0 
 
 
 
 
 4  x  4  y 0  z  4
 4
0 
 4
 4
 
 
 
 

4x  4y
4
4x
 4z  4
4y  4z  4

x y 1
x  z 1
y  z 1
x  y  z  0,5




  
DF  0,5  DB  0,5  DE  0,5  DG  0,5  DB  DE  DG


b) Ansatz : P(0 / 4 / z)
M(4 / 0 / 2) ; B(4 / 4 / 0)


PM  PB
 4 
 4
 
  

; PM    4  ; PB   0 
2  z
 z 


 

2
PM  16  16   2  z   32  4  4z  z 2  36  4z  z 2

PB  16  z2
36  4z  z2  16  z2
36  4z  z2  16  z2

4z  20

z5
 P(0 / 4 / 5)
Seite - 104 -
5.4.12 Maturaaufgabe
Gegeben sind der Punkt D und die Gerade g im
Raum.
Punkt D  2 / 21 / 10 
 3 
 1





Gerade g: r   4   t    2 
 6 
 2
 


Gesucht ist das Quadrat ABCD, so dass A und B auf
der Geraden g liegen. Bestimme die Koordinaten der
Eckpunkte A, B und C.
Berechnung von A:
 x 
 3 
 1
 
 
 
 y    4   t    2 
 z 
 6 
 2
 
 
 
 2  3  t   1  t 
 
 

AD   21  4  2t    17  2t 
 10  6  2t   4  2t 

 

x 3t
y  4  2t
z  6  2t
Ansatz f‚r A: A  3  t / 4  2t / 6  2t 
 1   1  t   1 
   
  
AD    2    17  2t     2   1  t  34  4t  8  4t  9t  27  0
 2   4  2t   2 
  
  
A  0 / 10 / 0 
 1  t   2 
 
  
AD   17  2t    11  ;
 4  2t   10 

  

AD 
22  112  102 
t  3

225  15
Berechnung von B:
 x 
 3 
 1
 
 
 
 y    4   t    2 
 z 
 6 
 2
 
 
 
3  t
  3t 
 
 

AB   4  2t  10    6  2t 
 6  2t
  6  2t 

 

x 3t
y  4  2t
z  6  2t


AB 
Ansatz f‚r B: B  3  t / 4  2t / 6  2t 
3  t 
2
2
2
  6  2t    6  2t   15
B1  5 / 0 / 10  ; B2  5 / 20 /  10 
Berechnung von C
 2  5   7 
     
  
OC  OD  AB   21   10    11 
 10   10   20 
  
  
C1  7 / 11 / 20 
; C2  3 / 31 / 0 
Seite - 105 -
2. L„sungsvariante:
Berechnung von A:
 x 
 3 
 1
 
 
 
 y    4   t    2
 z 
 6 
 2
 
 
 

x 3t
y  4  2t
z  6  2t
Ansatz f‚r A: A  3  t / 4  2t / 6  2t 
 2  3  t   1  t 
 
 

AD   21  4  2t    17  2t 
 10  6  2t   4  2t 

 


AD 
 1  t 
y t 
9t 2  54t  306
2
2
2
 17  2t    4  2t   y  t  , t so, dass y(t) minimal
Mit Rechner:
t  3

A  3  t / 4  2t / 6  2t 

von Hand: 91  AD
2

A  0 / 10 / 0 
3
 y  t   t 2  6t  34   t  3   25 minimal
nach oben ge„ffnete Parabel (x – Koordinate des Scheitelpunktes)
t  x S  3
Seite - 106 -
6 L‚sungen
Behauptungen a) , b) und d) sind richtig.
Zu c) Behauptung ist falsch. Parallele Vektoren k„nnen gleiche
Richtung oder entgegengesetzte Richtung (antiparallel) haben.
Zu e) Spezialfall: Wenn die beiden Repr€sentanten auf einer Geraden
liegen ergibt sich ein „entartetes Parallelogramm“ (keine Fl€che)
6.1.2 Beispiel Parallelogramm (S5, Kap. 1.2.6)


Worin stimmen die Vektoren AB und BA ‚berein?


AB  BA : Die Vektoren haben die gleiche L€nge.
Wodurch unterscheiden sich die beiden Vektoren?


In der Richtung. BA hat die entgegengesetzte Richtung von AB .


AB verschiebt den Punkt A nach B. BA verschiebt den Punkt B wieder


nach A. BA nennen wir den Gegenvektor von AB (siehe Kap. 2)







  
a) DC  a ; DH  c ; EH  b ; FG  b ; HG  a


b) HF  DB






c) a  AB  DC  EF  HG ; a ist durch 4 Repr€sentanten vertreten.
6.1.4 €bung 2 (S8, Kap. 1.3.2)





1) Vektor a : AM ; FE ; MD ; BC





2) Vektor b : AF ; ME ; BM ; CD
6.1.5 €bung 3 (S8, Kap. 1.3.3)




1) BC  AD  EH  FG


2) DE  CF

3) F‚r AG gibt es in der Figur keinen Repr€sentant!
Seite - 107 -
6.2.1 Beispiele (S10, Kap. 2.1.1)






a) AB  BC  CD  AC  CD  AD





b) CA  BC  BC  CA  BA
Beachte: Kommutativgesetz anwenden!




c) PQ  QP  PP  0


Beachte: QP ist der Gegenvektor von PQ !

PQ : Verschiebt P nach Q.

QP : Verschiebt Q nach P zur‚ck



Zusammen PQ  QP  PP : P wird nicht verschoben!
6.2.2 Beispiel (S19, Kap. 2.1.10)

  
    


x  CE  CB  BA  AE   b    c    a    b  c  a
  
    
y  HB  HE  EF  FB   b  c  a
6.2.3 €bung (S28, Kap. 2.4.2)

€bung 1








a)
a  b  c  a  c  b  b  b  2 b
b)
a  b  c  a  a  2 a
c)
a  b  c a  c  b b  b 0
d)
a  b  c   c  c   2   c






















€bung 2
Seite - 108 

a)
AB  BC  AC
b)
UV  VW  UW
c)
CD  ED  CD  DE  CE





d)








AB  CA  CA  AB  CB






e)
UV  VW  WZ  UW  WZ  UZ
f)
PQ  QR  SR  PR  RS  PS



g)
h)









AB  BC  CA  AC  AC  2  AC










UY  XY  UX  UY  YX  XU  UX  XU  UU  0
6.2.4 €bung (S32, Kap. 2.5.4)

€bung 1

AD   a


AM   b



DM  a  b



AB  a  2 b



CD  2 b  a

€bung 2


AF  a  c




AM  a 
1b
2
 c



CM  
1b
2


AK 

1
2
a 

MK   12  a 


CK   21  a 
 c

1b
2


1c
2

1 c
2

1
2b


1c
2
Seite - 109 -
6.2.5 €bung(S39, Kap. 2.6.4)
€bung 1


a) AP , CD sind linear abh€ngig (kollinear)


b) AB , AM sind linear unabh€ngig (nicht kollinear)



c) AP , AM , BC sind linear abh€ngig
(3 Vektoren in der Ebene sind immer linear abh€ngig)


d) AM , MD sind linear unabh€ngig (nicht kollinear)

€bung 2


a) AB , AD , AE sind linear unabh€ngig ( liegen nicht in einer Ebene)



b) AB , BC , GF sind linear abh€ngig ( sind parallel zu einer Ebene)




c) AC , AF , AG , AE sind linear abh€ngig
(4 Vektoren im Raum sind immer linear abh€ngig)
€bung 3
Wie k„nnen wir mit Hilfe der Vektorgeometrie nachweisen, ob ein Punkt
auf einer Geraden AB liegt?


P  AB wenn AP und AB linear abh€ngig sind


P  AB wenn AP und AB linear unabh€ngig sind
€bung 4
Wie k„nnen wir mit Hilfe der Vektorgeometrie nachweisen, ob vier
Punkte in einer Ebene liegen?


Die vier Punkte A, B, C und D liegen in einer Ebene, wenn AB , AC und

AD linear abh€ngig sind.
Seite - 110 -
6.2.6 €bung( S43, Kap. 2.6.8)
€bung 1:



 

a) SA  23  Ma A  32  12  a  b  31  a  32  b


 


SB  32  MbB  32   21  b  a   31  b  23  a


 

  

SC  23  Mc C  32   21  AB  a   23   21  a  b  a   31  a  31  b








  


 



b) SA  SB  SC  31  a  23  b  31  b  23  a  31  a  31  b  0




c) geschlossene Vektorkette: z.B. CMb  MbS  SC  0

CMb 
1
2

b


 


MbS  x  MbB  x   12 b  a   x2 b  x a




 


   
SC  y  Mc C  y   McB  a   y   21 b  21 a  a   2y b  2y a




 


McB  21  AB  21   b  a   21 b  12 a









CMb  MbS  SC  0




 
1b x bxa y b ya 0
2
2
2
2

 
y
1  x  y b  0

x

a

2
2
2
2



y
2 x 0
1 x y
2
2
2
€bung 2:

y  2x
x y 1

0

3x  1 
x
1
2
; y
3
3




geschlossene Vektorkette: z.B. AD  DB  BA  0

 


AD  x  a  b  x  a  x  b







DB  y  CB  y  2b  3a  2y  b  3y  a




BA  3a




 
x  a  x  b  2y  b  3y  a  3a  0

 
 x  3y  3   a   x  2y   b  0

x  3y  3  0
x  2y  0

5y  3

x  3y  3
x  2y

y
3
5
DB 
3
2
 CB ; CD   CB
5
5

1.2 Der Begriff des Vektors

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