b - Leuphana Universität Lüneburg

Transcription

Infinitesimales
Hier wächst Ihr Wissen über das
unendlich Kleine
1
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http://www.leuphana.de/matheomnibus
Infinitesimal Thinking
Your knowledge about infinitely
small objects increases.
2
Der Modellierungskreislauf
g
Ein erfundenes Beispiel:
16 Uhr Unfall mit Fahrerflucht in Hann. Münden
Ein Zeuge glaubt einen Transporter mit reichlich
Werbeschrift gesehen zu haben.
Der Besitzer behauptet er sei um 16 Uhr gar nicht in
Hann.Münden gewesen.
3
A faked example:
The Modelling
g Circuit
At 4 pm o‘clock there had been an accident in H.-Münden, the driver escaped.
A witness had seen a van with multiple commertial marking
how the picture shows.
The owner affirm that at 4 o‘clock
o clock he had not been in H
H.-Münden.
-Münden
4
g
Um 15 Uhr war er nachweislich noch in Bodenwerder,
80 km entfernt.
R l Sit
Reale
Situation
ti
Der Fahrtenschreiber zeigt:
Länge der gefahrenen Strecke ist gesucht.
•Die Weser entsteht in Hannoversch Münden durch Zusammenfluss von Werra und Fulda.
Si d
Sie
durchfließt
hfli ß Ni
Niedersachen
d
h bi
bis zur N
Nordsee.
d
IIn B
Bodenwerder
d
d iist d
das S
Schloss
hl
d
des Lü
Lügenbarons
b
Freiherr von Münchhausern. Er zog sich am eigenen Zopf aus dem Sumpf usw….
5
The Modeling
g Circuit
At 5 pm o‘clock he was verifiably still in Bodenwerder*, 80 km
downstream the river Weser.
reall situation
it ti
The trip recorder shows:
We are interested in the length of his drive.
*Notice: the river Weser starts in Hannoversch Münden in Lower Saxony and goes
in the North Sea. In Boderwerder is the castle of the „Lying Lord Münchhausen“.
6
g
Um 15 Uhr war er nachweislich noch in Bodenwerder*,
80 km entfernt.
R l Sit
Reale
Situation
ti
mathematisches Modell
Fläche unter der Modellkurve gesucht
gesucht.
•Die Weser entsteht in Hannoversch Münden durch Zusammenfluss von Werra und Fulda.
Si d
Sie
durchfließt
hfli ß Ni
Niedersachen
d
h bi
bis zur N
Nordsee.
d
IIn B
Bodenwerder
d
d iist d
das S
Schloss
hl
d
des Lü
Lügenbarons
b
Freiherr von Münchhausern. Er zog sich am eigenen Zopf aus dem Sumpf usw….
7
The Modeling
g Circuit
reall situation
it ti
mathematical model
We search the area under the modeling curve
curve.
*Notice: the river Weser starts in Hannoversch Münden in Lower Saxony and goes
in the North Sea. In Boderwerder is the castle of the „Lying Lord Münchhausen“.
8
g
80 km entfernt
entfernt.
R l Sit
Reale
Situation
ti
gesucht.
0.75
mathematische Lösungsidee
s

0
v(t ) d t
9
The Modeling
g Circuit
reall situation
it ti
mathematical model
curve.
0.75
mathematical idea of solving this
s

0
v(t ) d t
10
80 km entfernt
entfernt.
R l Sit
Reale
Situation
ti
gesucht.
mathematische Lösungsidee
0 75
0.75
s

v(t ) d t
mathematische Antwort
s  60 km
11
0
The Modeling
g Circuit
reall situation
it ti
mathematical model
curve.
mathematical idea of solving this
0.75
s

0
v(t ) d t
mathematical solution
s  60 km
12
Funktionen werden zum
Werkzeug
Man erhält Antworten beim
Blick auf „das Ganze“ mit dem Integral
integer (lat.)= ganz
pane integrale (it.) = Vollkornbot
 f ( x)d x
Funktionen beschreiben
Zusammenhänge
Man erhält punktuelle Antworten
mit dem Differential
d f,
dy
,
d x
f '(( x)
13
F
Functions
ti
B
Become
a Tool
T l
You have solution with looking
on on the whole issue with the Integral
integer (lat.)= whole
pane integrale (it
(it.)) = whohe –grain
grain breadn
 f ( x)d x
functions are describing
g
connections
Youe have punctual solutions
with the differential
d f,
dy
,
d x
f '(( x)
14
Das Integral
 f ( x)d x
Man erhält Antworten beim
b
integer (lat.)=
(lat.) ganz
a
f ( x)d x
Blick auf „das Ganze“ mit dem Integral
pane integrale (it.) = Vollkornbot
15
The Integral

b
a
f ( x)d x
You have solution with looking
on on the whole issue with the Integral
integer
g ((lat.)=
) whole
f ( x)d x
pane integrale (it.) = whohe –grain bread
16
Das Riemannsche Integral
b
a f ( x)d x
Bernhard Riemann
Abi 1846
Johanneum Lüneburg
Originaltext aus „Gesammelte Werke“
17
The Riemannian Integral
b
a f ( x)d x
Bernhard Riemann
Abitur 1846
Johanneum Lüneburg
original text out of „Gesammelte Werke“
On the conception of
th definite
the
d fi it iintegral
t
l
and the range of its
validity.
validity
……
So at first: What is the meaning of
b
a
f ( x)d x
?
18
b
a
f ( x)d x Riemannsches Integral
Bernhard Riemann
Abi 1846
Johanneum Lüneburg
, bei jeder Zerlegung denselben Grenzwert zu haben,
O i i lt t aus „Gesammelte
Originaltext
G
lt Werke“
W k “
19
b
a f ( x)d x
Riemannian Integral
Bernhard Riemann
Abitur 1846
Johanneum Lüneburg
If the function has not this property, so the symbol
, to have the same limit with every dissection,
b
a f ( x)d x
has no meaning.
original
i i l ttextt outt off „Gesammelte
G
lt Werke“
W k “
20
Das Integral als verallgemeinertes Produkt
v
konstant
G
Geschwindigkeit
h i di k it
v  v(t )
s  v t
W
Weg
Z it
Zeit
variabel
b
s   v(t ) d t
a
Integral für 3D-Flächen, Volumen, Schwerpunkt, Bilanzen....
21
The Integral as a Generalized Product
v
constant
s  v t
velocity
l it
path
th
time
v  v(t )
variable
b
s   v(t ) d t
a
Integral for 3D-areas, volumes, balance points, balances,…
22
v
G
Geschwindigkeit
h i di k it
F
konstant
Kraft
v  v(t )
s  v t
konstant
W
Weg
Z it
Zeit
W  F s
A b it
Arbeit
Weg
variabel
b
s   v(t ) d t
a
F  F (s)
b
W   F ( s) d s
a
23
v
F
constant
s  v t
velocity
l it
path
th
constant
forth
time
W  F s
work
energy
v  v(t )
variable
b
s   v(t ) d t
a
F  F (s)
b
W   F ( s) d s
a
24
v
G
Geschwindigkeit
h i di k it
F
konstant
Kraft
R
W
Weg
Widerstand
Z it
Zeit
W  F s
Arbeit
Energie
konstant
v  v(t )
s  v t
konstant
Weg
U  R I
Spannung
Stromstärke
variabel
b
s   v(t ) d t
a
F  F (s)
b
W   F ( s) d s
a
R  R( I )
variabel
b
U   R( I ) d I
a
25
v
F
constant
s  v t
velocity
l it
path
th
constant
forth
R
resistor
Ohn‘s law
s   v(t ) d t
a
W  F s
F  F (s)
b
W   F ( s) d s
a
U  R I
voltage
variable
b
time
work
energy
constant
v  v(t )
R  R( I )
variable
b
U   R( I ) d I
electric current
a
26
Das Integral
g für den
verallgemeinerten Mittelwert
Wetter
T
Temperaturverlauf
t
l f
1
Tmittel  4 T7  T14  2  T21 
Integral für Mittelwert und Bilanzen....
27
The Integral for the Generalized Mean
weather
t
temperature
t
profile
fil
1
Tmean  4 T7  T14  2  T21 
Integral for means and financial balances....
28
Das Integral
g für den
Ist die Modellierung der
M t
Metereologen
l
nicht viel zu grob?????
1
Tmittel  4 T7  T14  2  T21 
Flächenbilanz=0
29
Is the modeling of the
meterologists
t l i t too
t rough?
h?
1
Tmean  4 T7  T14  2  T21 
balance of area =0
integral for means and balances....
30
Das Integral
g für den
1
Tmittel  4 T7  T14  2  T21 
Flächenbilanz=0
31
1
Tmean  4 T7  T14  2  T21 
balance of area =0
integral for means and balances....
32
Das Integral
g für den
Mittelwert
der Funktionswerte
1 b
Mittelwert 
f ( x )dx

a
ba
33
mean
of the functions values
1 b
mean 
f ( x )dx

a
ba
integral 3D-areas aund volumes, for means and balances....
34
Eigenschaften des Integrals
b
a
f ( x)d x
Intervall [A
[A,B]
B]
Sind die Werte von f im ganzen Intervall negativ,
dann ist auch das Integral negativ.
35
Properties of the Integrals
b
a
f ( x)d x
interval [A,B]
[A B]
If the values of f are negative in the whole interval
than the integral is negativ.
36
b
a
f ( x)d x
Intervall [A
[A,B]
B]
Das IIntegral
D
t
l ist
i t eine
i Flä
Flächenbilanz
h bil
mit
it negativen
ti
und positiven Flächen.
37
b
a
f ( x)d x
interval [A,B]
[A B]
The iintegral
Th
t
l iis a b
balance
l
off areas with
ith negative
ti
and positive values.
38
b
a
f ( x)d x
Intervall [A
[A,B]
B]
Das IIntegral
D
t
l ist
i t eine
i Flä
Flächenbilanz
h bil
mit
it negativen
ti
und positiven Flächen.
Beim Vertauschen der Grenzen
ändert sich das Vorzeichen
des Integrals
39
b
a
f ( x)d x
interval [A,B]
[A B]
The iintegral
Th
t
l iis a b
balance
l
off areas with
ith negative
ti
and positive values.
By changing the borders
the sign
of the integral changes.
changes
40
Übungen zum Integral
b
a
f ( x)d x
 8,
8  20
20,  24
mögliche Werte
Intervall [A,B]
41
Exercise with the Integral
b
a
f ( x)d x
 8,
8  20
20,  24
possible values
interval [A,B]
42
Übungen zum Integral
b
a
f ( x)d x
 8,
8  20
20,  24
mögliche Werte
Intervall [A,B]
43
Exercise with the Integral
b
a
f ( x)d x
 8,
8  20
20,  24
possible values
interval [A,B]
44
Die Integralfunktion
„Teppich-Abroll-Funktion
Teppich Abroll Funktion“
a
F ( x, a ) :
a
x
x
a
f (t ) d t
x
45
The Integral Funktion
„carpet
carpet scrolling funktion
funktion“
a
F ( x, a ) :
a
x
x
a
f (t ) d t
x
46
F ( x, a ) :
x
a
f (t ) d t
„Teppich-Abroll-Funktion“
Ordinate von P zeigt die abgerollte Fläche an.
47
F ( x, a ) :
x
a
f (t ) d t
„carpet scrolling funktion“
The ordinate of P shows the scrolled area.
48
F ( x, a ) :
x
a
f (t ) d t
Der Z
D
Zuwachs
h d
der
Integralfunktion
hängt nur vom
Zuwachs der Fläche ab.
Also sind die verschiedenen
Integralfunktionen an jeder
Stelle x gleich steil.
(x ist hier die Stelle von B)
49
F ( x, a ) :
x
a
f (t ) d t
The growth
Th
th off the
th
integral-function
depends only on the
growth of the area.
Therefore all the different
integral functions have in
every position x the same
slope.
l
(here x is the position of B)
50
F ( x, a ) :
x
a
f (t ) d t
All IIntegralfunktionen
Alle
t
lf kti
haben dieselbe Form.
An den Extremstellen
von F hat f eine Nullstelle.
Nullstelle
An der Sattelstelle von F
hat f eine Berühr-Nullstelle.
W F eine
Wo
i Wendestelle
W d t ll h
hat,
t h
hatt f eine
i E
Extremstelle.
t
t ll
51
F ( x, a ) :
x
a
f (t ) d t
All integral functions
have the same form.
In the extrem abscissas of
F the function f has a zero.
In the saddle-abscissa
saddle abscissa of F
the function f has the x-axis
as a tangent.
tangent
I the
In
th position
iti off inflection
i fl ti off F there
th
is
i an extreme
t
position
iti off f.
f
52
Nochmal die
Teppichabrollfunktion
53
Once Again the
Carpet scrolling funktion
54
Die Intergralfunktion F von f
=„Teppichabrollfunktion“
T
i h b llf kti “
55
The Integral Function F von f
=„ Carpet
C
t scrolling
lli funktion“
f kti “
56
Hauptsatz der Differentialund
d IIntegralrechnung
l h
f ( x )  F '( x )
d. h. Alle Integralfunktionen F zu f mit beliebigem Start
h b ih
haben
ihr f auch
h als
l Abl
Ableitung.
it
Si
Sie h
heißen
iß d
daher
h auch
h
„Stammfunktionen“ von f,
sie unterscheiden sich nur um eine
additive Konstante c. Man schreibt:
57
Principal Theorem of the
C l l
Calculus
f ( x )  F '( x )
That is: All integral functions F of f with arbitrary start
h
have
th i own f as their
their
th i derivative.
d i ti
F that
For
th t we callll them
th
„antiderivative“ von f.
All possible F differ only in an
additive constant c. One write:
58

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