Fünfzehn Beweise Lehrsatzes von Pythagoras

Fünfzehn Beweise
des
Lehrsatzes von Pythagoras
Seminararbeit von Patrik Matter
patrik.matter@unibas.ch
Mathematik der Sekundarstufe I
2006 Universität Basel
Dozent: W.Walser
Seite 1
Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung ........................................................................................................................... 3
2
Lehrsatz des Pythagoras ..................................................................................................... 3
3
Theorie, die für das Verständnis der Beweise benötigt wird ............................................. 4
3.1
Flächenberechnungen................................................................................................. 4
3.1.1
Flächenberechnung von Rechtecken.................................................................. 4
3.1.2
Flächenberechnung von Parallelogrammen ....................................................... 4
3.1.3
Flächenberechnung von Trapezen...................................................................... 4
3.1.4
Flächenberechnung von Dreiecken .................................................................... 5
3.2
Binomische Formeln .................................................................................................. 5
3.3
Winkelberechnung ..................................................................................................... 6
3.4
Winkel im gleichseitigen Dreieck (Bsp.eines Beweises mit Winkelberechnungen) . 6
3.5
Fasskreisbogen
(Bsp. eines Beweises mit Winkelberechnungen) 7
3.6
Kongruenz .................................................................................................................. 8
3.7
Ähnlichkeit ................................................................................................................. 8
3.8
Sehnen-Tangentensatz (Bsp. eines Beweises mit Ähnlichkeit) ............................... 8
3.9
Lehrsatz des Ptolemäus (Bsp. eines Beweises mit Ähnlichkeit)................................ 9
4
Beweise des Lehrsatzes von Pythagoras .......................................................................... 10
4.1
Der 1. Beweis des Euklid ......................................................................................... 10
4.2
Beweise, die auf Zerlegung basieren........................................................................ 11
4.2.1
Erstes Beispiel nach J.Wipper (1911) Seite 23....................................................... 11
4.2.2
Zweites Beispiel nach J.Wipper (1911) Seite 28.................................................... 11
4.3
Beweise, die auf Ähnlichkeit basieren ..................................................................... 12
4.3.1
Erstes Beispiel nach J.Wipper (1911) Seite 37....................................................... 12
4.3.2
Zweites Beispiel F. Huberti (1792) ...................................................................... 13
4.4
Beweise, die auf untersch. Berechnungsarten derselben Fläche basieren............... 14
4.4.1
Erstes Beispiel US-Präsident J.A. Garfield (1876) ................................................ 14
4.4.2
Zweites Beispiel Unbekannter Entdecker ............................................................ 14
4.4.3
Drittes Beispiel I. Rufus (1975) .......................................................................... 14
4.4.4
Viertes Beispiel nach J.Wipper (1911) S. 18 ......................................................... 15
4.4.5
Fünftes Beispiel Abu' l'Hasan Thâbit ibn Qurra Marwân al'Harrani (826-901) .............. 16
4.4.6
Sechstes Beispiel nach J.Wipper (1911) Seite 30 ................................................... 17
4.5
Rechnerische Beweise.............................................................................................. 18
4.5.1
Erstes Beispiel J. Oliver (1997) ........................................................................... 18
4.5.2
Zweites Beispiel Unbekannter Entdecker .......................................................... 18
4.6
Beweise, die auf anderen Lehrsätzen basieren......................................................... 19
4.6.1
Erstes Beispiel J. A. Calderhead and B.F. Yanney (1897)......................................... 19
4.6.2
Zweites Beispiel Unbekannter Entdecker .......................................................... 19
Quellen ..................................................................................................................................... 20
Links......................................................................................................................................... 20
Seite 2
1 Einleitung
Im Rahmen meiner Ausbildung zum Sekundarlehrer ist es vorgegeben, zwei Semesterarbeiten
zu verfassen. Für die erste dieser Arbeiten habe ich mich für das Thema „Unterschiedliche
Beweise für den Lehrsatz des Pythagoras“ entschieden.
Als erstes werde ich mich kurz der Geschichte des Satzes des Pythagoras widmen. Da es mir
ein Anliegen ist, dass meine Arbeit auch von interessierten Laien gelesen und verstanden
werden kann, führe ich danach in einem allgemeinen Theorieteil die mathematischen
Grundlagen ein, die zum Verständnis der Beweise für den Lehrsatz des Pythagoras benötigt
werden. Zum Schluss werde ich im Hauptteil meiner Arbeit den Lehrsatz des Pythagoras auf
fünfzehn unterschiedliche Arten herleiten.
2 Lehrsatz des Pythagoras
In den rechtwinkligen Dreiecken ist das Quadrat, welches von der dem rechten Winkel
gegenüberliegende Seite beschrieben wird, den Quadraten, welche von dem ihn
umschliessenden Seiten beschrieben werden, flächengleich.
oder
In jedem Dreieck mit rechtem Winkel in C gilt:
a2 + b2 = c2
Schon den alten Ägyptern war bekannt, dass man mit einer 12 Knoten Schnur einen rechten
Winkel abmessen kann, indem man sie zu einem Dreieck spannt. ( 3 2 + 4 2 = 5 2 = 9 + 16 = 25
(Fig.2a)) Auch die indischen Priester kannten ein solches Zahlentripel, mit welchem sie ihre
Altäre konstruierten ( 15 2 + 36 2 = 39 2 = 225 + 1296 = 1521 ). Chinesische Schriften
enthalten das Verhältnis 3:4:5 und dessen Bedeutung bereits 300 v. Chr.
Die verallgemeinerte Form und deren Beweis lieferte jedoch 540 v. Chr. Euklid der
diesen Satz zu ehren seines Entdeckers Samos von Pythagoras „Satz des
Pythagoras“ nannte.
Heute gilt dieser Satz als einer der grundlegendsten Sätze der
zweidimensionalen Geometrie, da durch ihn der Abstand zweier Punkte
kartesischen
Koordinatensystem
( x 1 − x 0 ) 2 + ( y 1 − y 0 ) 2 im
bestimmt wird.
Fig. 2a: Zwölf-Knotenschnur
Seite 3
3 Theorie die für das Verständnis der Beweise benötigt wird
3.1 Flächenberechnungen
3.1.1 Flächenberechnung von Rechtecken
b
Wie man in Fig. 3.1.1a leicht sehen kann, ergibt sich die Fläche
eines Rechteckes, indem man die Einheitsquadrate zählt, was der a
Multiplikation der beiden Rechteckseiten entspricht.
A = a ∗b
Fig 3.1.1a
3.1.2 Flächenberechnung von Parallelogrammen
ha
Fig 3.1.2a
a
Jedes Parallelogramm lässt sich, wie Fig.3.1.2a darstellt in ein gleichflächiges Rechteck
umwandeln in dem man den rot-blau gestrichelten Teil abschneidet und links als weiss-blau
gestrichelten Teil wieder hinsetzt. Daher lautet die Flächenformel für alle Parallelogramme:
A = a ∗ ha
3.1.3 Flächenberechnung von Trapezen
ha
a
Fig 3.1.3a
c
Das ursprüngliche, rote Trapez (Fig. 3.1.3a) wird durch ein zweites rot gestricheltes um 180°
gedrehtes Trapez ergänzt. So entsteht ein Parallelogramm mit der doppelten Trapezfläche.
Daher lautet die Flächenformel für Trapeze:
A=
a+c
∗ ha
2
Seite 4
3.1.4 Flächenberechnung von Dreiecken
3.1.4.1 Berechnung mit Hilfe einer Ergänzung zu einem Vieleck
ha
a
ha
ha
a
a
Fig 3.1.4.1a
Wie in Figur 3.4.1a zu erkennen ist, kann man jedes Dreieck (ausgefüllt) in ein doppelt so
grosses Viereck verwandeln, das dieselbe Grundlinie und Höhe besitzt, daher ist die
allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks:
A=
a ∗ ha
2
C
3.1.4.2 Berechnung mit Inkreis
Wie Figur 3.1.4.2a zeigt, kann man ein Dreieck auch als eine
Summe von Teildreiecken auffassen, wodurch sich eine
zweite allgemeine Dreiecksformel aufstellen lässt, die Fläche
eines Dreiecks entspricht dem halben Umfang multipliziert
mit dem Radius des Inkreises.
r ∗a r ∗b r ∗c
a +b + c
+
+
=r∗
A=
2
2
2
2
b
a
r
r
r
A
c
3.2 Binomische Formeln
Fig 3.1.4.2a
(a + b)(a + b) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a − b)(a − b) = a 2 − ab − ba + b 2 = a 2 − 2ab + b 2
(a + b)(a − b) = a 2 − ab + ba + b 2 = a 2 − b 2
Seite 5
B
3.3 Winkelberechnung
C
Fig 3.3a
α + δ = 180°
Nebenwinkel (z.B. α und δ) ergänzen sich zu 180°
α 1 + δ 2 = 180°
δ = δ 2 (parallel verschoben, da p1 parallel zu p)
α = α1
Wechselwinkel (z.B. α und α1 ) an Parallelen sind gleich gross.
α 1 + γ + β 1 = 180°
und β = β 1
α + β + γ = 180°
Die Winkelsumme im Dreieck ist 180°
α 1 + δ 2 = 180°
α 2 + δ 2 = 180 °
α1 = α 2
Gegenwinkel (z.B α1 und α2) sind gleich gross.
3.4 Winkel im gleichschenkligen Dreieck
(als erstes Beispiel eines Beweises mit Winkelberechnungen)
=M
Im gleichschenkligen, achsensymmetrischen
Dreieck (Fig.3.4a) fallen Winkelhalbierende γ
und Höhe c aufeinander.
ε1 ε2
δ 1 = 90° = δ 2
γ
ε1 = ε 2 =
2
α + ε 1 + δ 1 = 180°
β + ε 2 + δ 2 = 180°
δ1 δ2
Hc=Wγ
Fig 3.4a
α =β
Seite 6
3.5 Fasskreis
(als zweites Beispiel eines Beweises mit Winkelberechnungen)
Für diesen Beweis müssen drei Fälle unterschieden werden:
A) Steigung BM > Steigung BC (Fig. 3.5a)
ε 1 = ε 2 und ϕ = γ + ε 2 (Gleichschenklige Dreiecke)
ϕ + γ + ε 2 + η = 2(γ + ε 2 ) + η = 180 °
η = 180° − 2(γ + ε 2 )
ε 1 + δ + η + ε 2 = 2ε 2 + [180 ° − 2(γ + ε 2 )] + δ = 180°
δ = 2γ
B) Steigung AM > Steigung AC
Analog zu A)
Fig 3.5a
C) Die Steigung AM < Steigung AC und Steigung BM < Steigung BC (Fig. 3.4b)
ϕ1 = ϕ 2 und η1 = η 2 (Gleichschenklige Dreiecke)
λ = 180° − 2ϕ 2
μ = 180° − 2η 2
λ + μ + δ = (180° − 2ϕ 2 ) + (180 − 2η 2 ) + δ = 360°
δ = 360° − 180° + 2ϕ 2 − 180 + 2η 2 = 2(ϕ 2 + η 2 )
(ϕ 2 + η 2 ) = γ
δ = 2γ
Fig 3.5b
Der Winkel γ entspricht also im Fasskreis über der Sehne
AB immer zweimal dem Zentriwinkel δ.
ε 1 = ε 2 und δ = 2γ
2ε 1 + δ = 2ε 1 + 2γ = 180°
ε 1 + γ = 90°
ε 1 + γ 1 = 90° (da t die Tangente des Kreises ist, die diesen in A berührt)
γ1 = γ
Daher kann man den Fasskreis mit Hilfe des Winkels γ1 konstruieren.
Seite 7
3.6 Kongruenz
Kongruenz bedeutet, dass zwei Figuren deckungsgleich sind. Für diese Arbeit ist nur wichtig
zu verstehen, dass ein Dreieck eindeutig bestimmt (konstruierbar) ist, wenn eine Seite mit den
zwei anliegenden Winkeln oder zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel bekannt sind.
Daher sind zwei unterschiedliche Dreiecke mit diesen Merkmalen kongruent, was in vielen
Pythagoras-Beweisen benutzt wird.
3.7 Ähnlichkeit
Zwei Figuren heissen ähnlich, wenn sie sich in einander durch zentrische Streckung und/oder
Kongruenzabbildungen (Achsenspiegelung, Punktspiegelung und Parallel-Verschiebung)
verwandeln lassen. Bei ähnlichen Figuren sind die Streckenverhältnisse und Winkel gleich.
Bei einigen Beweisen wird darauf zurückgegriffen, dass Dreiecke, die in zwei Winkel
übereinstimmen, ähnlich sind.
3.8 tSehnen-Tangentensatz
(als erstes Beispiel eines Beweises mit Ähnlichkeit)
Die Gerade t geht durch P und ist eine Tangente, die den Kreis in T berührt.
Die Gerade s ist eine Sekante des Kreises,
die diesen in Q1 und Q2 schneidet und durch P geht.
Da der Kreis M1 auch der Fasskreis der Strecke CQ1 mit dem Winkel β1 ist,
muss der Winkel β2 = Winkel β1 .
Da die Dreiecke PQ2T und PQ1T die gleichen
Winkel α und β besitzen, sind sie sich ähnlich.
PT
PQ1
=
PQ2
PT
2
PT = PQ1 ∗ PQ2
Seite 8
Fig 3.8a
3.9 Lehrsatz des Ptolemäus
(als zweites Beispiel eines Beweises mit Ähnlichkeit)
Beim Sehnenviereck (Fig. 3.7a) ist Punkt K auf AC so
gewählt, dass gilt Winkel ABK = Winkel DBC.
Auch die grünen Winkel sind gleich, da sie
Winkel
ABK
+
Winkel
KBD
respektive
Winkel DBC
+ Winkel KBD entsprechen.
Die beiden roten Winkel liegen auf dem Fasskreis über
der Strecke BC und die beiden blauen Winkel über dem
Fasskreis der Strecke AB, daher sind auch sie jeweils
gleich. Folglich sind sich die Dreiecke ABK und DBC,
sowie ABD und KBC ähnlich, da sie dieselben Winkel
besitzen.
AK
AB
=
CD
BD
CK AD
=
BC BD
AK ∗ BD = CD ∗ AB
Fig 3.9a
CK ∗ BD = AD ∗ BC
( AK + KC ) ∗ BD = CD ∗ AB + AD ∗ BC
( AC ) ∗ BD = CD ∗ AB + AD ∗ BC
da AK + KC = AC
Seite 9
4 Beweise des Lehrsatzes von Pythagoras
4.1 Der 1. Beweis des Euklid
Da in Fig.4.1a das rote Dreieck
ABK und das orange Dreieck
DBC zwei gleiche Seiten (a und
c) besitzen, welche denselben
Winkel (β +90°) einschliessen,
sind sie kongruent.
(siehe Theorie/Kongruenzsätze)
a2
b2
Das Dreieck ABK besitzt die
Grundseite BK und die Höhe
HK, ist also halb so gross wie
das Quadrat CBKH.
Das Dreieck DBC hat die
Grundseite BD und die Höhe
MB, ist also halb so gross wie
das Rechteck BMLD.
c2
Fig 4.1a
Ebenso:
Da das hellgrüne Dreieck ABF und das grasgrüne Dreieck AEC zwei gleiche Seiten (b und c)
besitzen, die denselben Winkel (90°+α) einschliessen, sind sie kongruent (siehe
Theorie/Kongruenzsätze). Das Dreieck ABF ist halb so gross wie das Quadrat ACGF und das
Dreieck AEC ist halb so gross wie das Rechteck AELM
½ Quadrat ACGF = Dreieck ABF = Dreieck AEC = ½ Rechteck AELM
und
½ Quadrat CBKH = Dreieck ABK = Dreieck DBC = ½ Rechteck BMLD
½ Quadrat ACGF + ½ Quadrat CBKH = ½ Rechteck AELM + ½ Rechteck BMLD
= ½ Quadrat AEDB
Quadrat ACGF + Quadrat CBKH = Quadrat AEDB
Der 1. Beweis von Euklid ist wohl einer der berühmtesten – wenn nicht sogar der
verschollene erste Beweis des Satzes des Pythagoras. Auf der Seite http://www.cut-theknot.org/pythagoras/morey.shtml findet man ein hilfreiches Applet. (vgl. TL Heath (1965)
Seite 10
4.2 Beweise, die auf Zerlegung basieren
4.2.1 Erstes Beispiel
nach J.Wipper (1911) Seite 23
In Fig. 4.2.1 wird das rechtwinklige Dreieck ABC mit einer Parallelen zu AC ergänzt die
durch E geht und BC in H schneidet. Mit dieser schneidet sich die Parallele zu CB, die durch
A geht, in I und die Parallele zu CB, die durch D geht in G. Als Letztes haben wir noch die
Parallele zu AC die durch D geht und die Gerade CB in F schneidet.
Da die Dreiecke ABC , DGE , BDF und AEI alle
die gleiche Grundseite c und die gleichen Winkel
haben, sind sie gleich. Somit hat die Strecke GD die
Länge a.
Fig 4.2.1a
II
III
AIHC ist daher das kleinere Kathetenquadrat, AEDB
das Quadrat der Hypothenuse und DFHG das
Quadrat der grossen Kathete.
V
2
?
VII
IV
a2+ b2 =(I+IV+VII)+ (II+III)
= III+IV+V+VI
c2
2
I
VI
2
a +b
=? c
I+IV+VII+II+III = III+IV+V+VI
( I+II) + VII
= V+ VI
da ABC , DGE , BDF und AEI gleich gross sind
4.2.2 Zweites Beispiel
nach J.Wipper (1911) Seite 28
b
Bei einem in C rechtwinkligen Dreieck werden
durch die Eckpunkte des Hypothenusen-quadrates
Parallelen zu a und b gezogen. (Fig.4.2.2a)
A
c
B
Da die Dreiecke A jeweils die gleiche Grundseite
mit den gleichen anliegenden Winkeln besitzen,
sind sie flächengleich. Dasselbe gilt auch für die
Dreiecke C. Ebenso sind die Trapeze B
flächengleich, da sie alle die gleichen Winkel
besitzen und auch noch in der roten Seite
übereinstimmen.
2
a + b = (C+D)+(C+D +2A+2B+E)
= 4B+4C+E
c2
B
A
E
B
C
B
Fig 4.2.2a
?
a2+ b2
=
c2
?
2(A+D) +E+2(B +C)= 4(B+C)+E
(A+D)
= (B+C)
C
C
C
2
a
D
Fläche des ursprünglichen rechtwinkligen Dreiecks
Seite 11
4.3 Beweise, die auf Ähnlichkeit basieren
4.3.1 Erstes Beispiel
nach J.Wipper (1911) Seite 37
Fig 4.3.1a
In Fig.4.3.1 wird bei einem beliebigen in C rechtwinkligen Dreieck die Höhe c eingezeichnet.
Das ursprüngliche Dreieck ABC und das Dreieck ACHc sind sich ähnlich, da beide die
gleichen Winkel (α und 90°) besitzen. Auch das Teildreieck CBHc hat mit dem
ursprünglichen Dreieck ABC zwei Winkel (β und 90°) gemein und ist diesem somit ähnlich.
AB
AC
=
AC AHc
und
AB BC
=
BC BHc
2
2
AC = AB ∗ AHc
2
BC = AB ∗ BHc
2
AC + BC = AB ∗ AHc + AB ∗ BHc = AB ( AHc + BHc) = AB ( AB ) = AB
Seite 12
2
4.3.2 Zweites Beispiel
nach J.Wipper (1911) Seite 39 urspr. F. Huberti (1792)
Fig 4.3.2a
In Fig. 4.3.2 wird das ursprüngliche rechtwinklige Dreieck ABC durch einen Kreis um A mit
dem Radius b ergänzt, der die Gerade AB in E und D schneidet.
δ = 180° − α
α
180° − α
= 90° − (gleichschenkliges Dreieck CDA )
2
2
ε1 = ε2 =
ζ1 = 180° −
η1= η2 =
180° − α α
= + 90°
2
2
180° − δ 180° − (180° − α ) α
=
=
(gleichschenkliges Dreieck CEA)
2
2
2
α
ζ2 = η2 + 90° =
+ 90° =ζ1
2
ζ2 = η2 + 90° = η 3 + 90° η2 = η 3
Da das entstandene blaue und das rote Dreieck den gemeinsamen Winkel β haben und auch
die Winkel η und ζ gleich sind, sind sie sich ähnlich.
BC
=
BD
BE
BC
2
= BC = BD ∗ BE
BE = ( BD + DE ) sowie DE = 2 AD
2
BC = BD ∗ ( BD + 2 AD)
2
2
2
2
BC + AC = BD + (2 AD ∗ BD) + AD = ( BD + A D) 2
(1. Binomische Formel)
( BD + AD) = BA
2
2
BC + AC = BA
2
da BD + AD = BA
Seite 13
4.4 Beweise, die auf zwei unterschiedlichen Berechnungsarten
derselben Fläche basieren
4.4.1 Erstes Beispiel
US-Präsident J.A Garfield (1876) resp. T Pappas (1989)
Die Fig. 4.4.1a entspricht mit der Flächenformel für das Trapez gerechnet
a+b
a 2 + 2ab + b 2
∗ ( a + b) =
2
2
Rechnet man die Teildreiecke zusammen, ergibt sich folgender Ausdruck
a * b a * b c 2 2ab + c 2
+
+
=
2
2
2
2
Fig 4.4.1a
Da beide Ausdrücke die gleiche Fläche beschreiben, setzt man sie gleich und erhält:
a 2 + 2 ab + b 2
2 ab + c 2
=
2
2
a2 + b2 = c2
4.4.2 Zweites Beispiel
Unbekannter Entdecker
http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml
c
a
b
a-b
Einerseits entspricht Fig.4.2.2a der Fläche des grossen Quadrats
c2
andererseits
4∗
a *b
+ (a − b) 2 = 2ab + a 2 − 2ab + b 2 = a 2 + b 2
2
Fig 4.4.2a
Da beide Ausdrücke die gleiche Fläche beschreiben, setzt man sie gleich und erhält:
c2 = a2 + b2
4.4.3 Drittes Beispiel
I Rufus (1975) entspricht der grafischen Variante von 4.5.2
Einerseits ist die Fläche des Quadrates
ab
(Fig. 4.4.3a)
a2 + b2 + 4 ∗
2
andererseits
ab
(Fig. 4.4.3b)
c2 + 4 ∗
2
a2 + b2 + 4 ∗
a
a
b
ab
ab
= c2 + 4 ∗
2
2
Seite 14
c
c
Fig. 4.4.3a
a2 + b2 = c2
b
Fig. 4.4.3b
4.4.4 Viertes Beispiel
G
nach J.Wipper (1911) S. 18
Bei der Fig. 4.4.4a wird die
Aussenkante EF und HI der
Kathetenquadrate verlängert. So ergibt
sich das Rechteck DGJN. Ausserdem
werden auch noch die beiden
Hilfslinien BK (Verlängerung von CB)
und AM (Verlängerung von EA)
gezeichnet.
Da die gelben Dreiecke ABC, OAP,
LON und BLK alle die gleichen
Winkel und die gleiche Grundseite
besitzen, sind sie flächengleich.
Auch die orangen Rechtecke APDE,
CFGH und BIJK sind flächengleich
und da sie die gleiche Grundseite und
Höhe, wie die gelben Dreiecke
besitzen, haben sie die doppelte
Dreiecksfläche.
N
Fig 4.4.4a
Fig 4.4.4c
Fig 4.4.4b
Die Fläche des Rechteckes DGJN kann man nun auf zwei Arten berechnen:
a2
+ b2 + BIJK + ACKM + AMNP + DPE + APE + CGF + CHG (Figur 4.4.4b)
=
c2
+ AEDP + AHGE + CKJH + ABC + APO + LON + BLK (Figur 4.4.4c)
Wenn man nun die gleichfarbigen flächengleichen Flächen wegkürzt, ergibt sich der bekannte
Ausdruck
a2 + b2 = c2
Seite 15
4.4.5 Fünftes Beispiel
M Ash (1683) oder Abu' l'Hasan Thâbit ibn Qurra Marwân al'Harrani (826-901)
Fig 4.4.5a
Da die Dreiecke ABC, FBD, GCE, CGH, IFG und AIJ alle die gleichen Winkel und die
gleichen Seiten haben, sind sie flächengleich.
Einerseits entspricht die Fläche der Figur 4.4.5a
a2
+ b2 + ABC + CEG + CGH
andererseits aber auch
c2
+ BDF + FGI + AIJ
Da beide Ausdrücke die gleiche Fläche beschreiben und alle Dreiecke gleich sind, folgt
daraus direkt:
a2+ b2 = c2
Seite 16
4.4.6 Sechstes Beispiel
nach J.Wipper (1911) Seite 30
A
A
A
E
D
E
A
Fig 4.4.6a
C
B
In Fig. 4.4.6a haben die Dreiecke mit dem Buchstaben A alle die Seite a , den Winkel α und
den rechten Winkel γ gemeinsam. Somit sind sie kongruent. Auch die grossen Dreiecke (blau
und rot) sind kongruent, da sie die gleiche Grundseite und gleichen Winkel (α und β)
besitzen.
Durch die gestrichelten Linien sieht man:
Dreieck B hat die gleiche Fläche wie die Dreiecke A und E zusammen.
Dreieck C hat die gleiche Fläche wie die Dreiecke A und D zusammen.
Einerseits entspricht die Fläche des grossen Dreiecks
a2+ b2 + A+A+A+D+E
andererseits aber auch
c2 + A + B + C
Da beide Ausdrücke die gleiche Fläche beschreiben, setzt man sie gleich und erhält:
a2+ b2 + A+ (A+D) +(A+E) = c2 + A + B + C
a2+ b2 + A+ (C) + (B)
= c2 + A + B + C
Seite 17
da B =A+E und C = A+E
a2+ b2 = c2
4.5 Rechnerische Beweise
4.5.1 Erstes Beispiel
J Oliver (1997)
Die bekannteste Formel für die Dreieckberechnung ist ohne Zweifel
Grundseite ∗ Höhe
A=
.
2
Bei diesem Beweis wird auch noch die daraus abgeleitete Formel
A=
Dreieckumfang
∗ Inkreisradius (vgl. 3.1.4.2a) benötigt.
2
Fig 4.5.1a
Die Fläche von Fig. 4.5.1a ist daher einerseits
A=
a ∗ b 2ab
=
2
4
Andererseits mit der weniger berühmten Dreiecksflächenformel gerechnet:
A=
UΔ
∗r
2
c = (a − r ) + (b − r )
U Δ a + b + c {(a − r ) + r}+ {(b − r ) + r} + {(a − r ) + (b − r )}
=
=
= (a − r ) + (b − r ) + r
2
2
2
r=
UΔ
−c
2
UΔ UΔ
a+b+c ⎧ a+b+c
⎫ a + b + c a + b − c ( a + b) 2 − c 2
) − c⎬ =
∗
∗ ⎨(
=
∗(
− c) =
2
2
2
2
4
2
2
⎩
⎭
Da beide Ausdrücke die gleiche Fläche beschreiben, setzt man sie gleich und erhält:
2ab ( a + b) 2 − c 2
=
4
4
2ab = a 2 + 2ab + b 2 − c 2
c2 = a2 + b2
4.5.2 Zweites Beispiel
Unbekannter Entdecker
http://www.cut-the knot.org/pythagoras/index.shtml
Einerseits entspricht die Fläche des grossen Quadrats in Fig. 4.5.2a
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Andererseits entspricht sie
a *b
4∗
+ c 2 = 2ab + c 2
2
Fig 4.5.2a
Da beide Ausdrücke die gleiche Fläche beschreiben, setzt man sie gleich und erhält:
a 2 + 2ab + b 2 = c 2 + 2ab
a2 + b2 = c2
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4.6 Beweise, die auf anderen Lehrsätzen basieren
4.6.1 Erstes Beispiel
J. A. Calderhead and B.F. Yanney (1897)
In Fig 4.6.1a werden bei einem in C
rechtwinkligen Dreieck der Höhenfusspunkt Hc
und die beiden Thaleskreise (90°-Fasskreise) über
a und b eingezeichnet. Der Höhenfusspunkt
unterteilt die Strecke c in die Abschnitte x und y.
Nach dem Sehnen-Tangenten-Satz gilt:
2
BC = BHc ∗ BA = a 2 = yc
2
Fig 4.6.1a
AC = AHc ∗ BHc = b = xc
2
a 2 + b 2 = yc + xc = ( y + x) ∗ c = c 2
4.6.2 Zweites Beispiel
Unbekannter Entdecker
http://www.cut-the knot.org/pythagoras/index.shtml#4
Gemäss dem Lehrsatz des Ptolemäus gilt in einem
Sehnenviereck der Bezug:
AD ∗ BC + AB ∗ CD = AC ∗ BD
b
c
In Fig. 4.6.2a enspricht
a
AD = BC = a
AB = CD = b
AC = BD = c
Fig 4.6.2a
AD ∗ BC + AB ∗ CD = AC ∗ BD = a 2 + b 2 = c 2
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Quellen
Ash M (1683) A new way of demonstrating some propositions in Euclid
Philosophical Transactions , Dublin
Calderhead JA and Yanney BF (1897) Collection of proofs
American Math Monthly v. 4, n. 1, pp. 11-12, Washington
Heath TL (1956), Euclid: The Thirteen Books of The Elements
Dover
Huberti F(1792) Rudimenta Algebra
Würzburg
Oliver J (1997) Mathematical Gazette 81 (March 1997), p 117-118.)
Polytechnic Institute Mathematical Sciences Department, Worcester
Pappas T (1989) The Joy of Mathematics, p. 200
Wide World Publishing/Tetra
Rufus I (1975)
Mathematics Magazine, Vol. 48 (1975), p. 198.
Wipper J (1911) Sechsundvierzig Beweise des pythagoreischen Lehrsatzes
Herman Barsdorf, Berlin
Links
Ein mathematisch begabter US-Präsident: http://de.wikipedia.org/wiki/James_A._Garfield
69 Proofs of the Pythagorean Theorem: http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml
Geschichtliches über Pythagoras: http://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoras_von_Samos
Geschichtliches zu Ptolemäus:
http://de.wikipedia.org/wiki/Ptolem%C3%A4us
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