Bestimmung von e m mit dem Fadenstrahlrohr e m

Gruppe 8 (Montag)
Simone Lingitz; Sebastian Jakob
Bestimmung von
e
mit dem Fadenstrahlrohr
m
Gruppe 8
-1-
⎛e⎞
⎜ ⎟
⎝m⎠
Gruppe 8 (Montag)
Simone Lingitz; Sebastian Jakob
1 Einführung
Dieser Versuch beschäftigt sich mit der Bestimmung der spezifischen Ladung
e
eines
m
Elektrons. Dies wird mit folgendem Versuchsaufbau realisiert:
In einen mit gasförmigem Wasserstoff (Druck bei 1,33 Pa) gefüllten Glaskolben ist ein
Elektrodensystem eingebaut, das aus einer (indirekt) geheizten Kathode zur
„Elektronenerzeugung“, einem Wehneltzylinder sowie einer Anode (kegelförmig) mit einer
Bohrung längs ihrer Symmetrieachse besteht. Die von der Kathode emittierten Elektronen
werden durch die zwischen Kathode und Anode anliegenden Spannung beschleunigt,
durchfliegen die Bohrung der Anode und gelangen somit als Elektronenstrahl in den Kolben.
Da sich der Kolben zwischen zwei Helmholtzspulen befindet, wird der Elektronenstrahl durch
die im von den Spulen erzeugten Magnetfeld (Lorentzkraft) auf eine Kreisbahn abgelenkt.
Zur Bestimmung der spezifischen Ladung wird die Gleichheit von Lorentz- und
Zentripetalkraft ausgenutzt. So kann nun die spezifische Ladung durch die leicht zu
messenden Größen Elektronengeschwindigkeit (aus anliegender Spannung), Magnetfeldstärke
(auszurechnen über den messbaren Strom durch die Spulen) und Radius der Kreisbahn
ausgedrückt werden. Die kinetische Energie der Elektronen ist durch das zu ihrer
Beschleunigung benutzte elektrische Feld gegeben, das Magnetfeld über den Stromfluß, beide
Größen sind also einfach mit Volt- bzw. Amperemeter messbar. Die Bestimmung des Radius
gestaltet sich etwas schwieriger, da sich die Kreisbahn im Inneren des Kolbens befindet und
nicht einfach durch Anlegen eines Meterstabes o.ä. gemessen werden kann. Die zur Lösung
des Problems herangezogene Methode basiert zwar auf der Variante „Meterstab anlegen“,
allerdings ein klein wenig anders. Hinter dem Kolben wird ein Spiegel aufgestellt, in dem die
Kreisbahn als Spiegelbild zu sehen ist, zwischen Originalbahn und Bild wird ein
Höhenmesser platziert. Zur Messung positioniert sich der Experimentator so, daß das obere
(bzw. untere) Extrem der Kreisbahn zur Deckung kommen und stellt den Schieber auf der
Skala so ein, daß er sich auf direkter Linie dazwischen befindet. Aus den so ermittelten
Messwerten wird durch Differenzbildung der Kreisdurchmesser und daraus wiederum der
Radius der Elektronenflugbahn bestimmt.
Theorie Berechnung und Fehlerrechnung:
e/m berechnet sich aus der Formel e / m =
2U
B2r 2
3
I
⎛ 4⎞2
wobei B = µ 0 ⎜ ⎟ ⋅ N ⋅
und r = ( x1 − x 2 ) / 2
R
⎝5⎠
Der Fehler, der in die Messung einfließt richtet sich nach folgenden Kriterien:
Die Spannung konnte auf ein Volt genau abgelesen werden, da die Spannung in diesem
Bereich schwankte. Der Fehler des Messgerätes konnte auch nach Absprache mit dem Tutor
nicht festgestellt werden. Die Ungenauigkeit des Strommessgerätes betrug 3% vom
Vollausschlag also 0,048A. Die Skala zur Längenmessung konnte auf 0,005cm genau
abgelesen werden.
Es handelt sich bei den angeführten Fehlern um systematische Fehler, d.h. die Fehler werden
linear addiert (laut ABW).
-2-
Gruppe 8 (Montag)
Simone Lingitz; Sebastian Jakob
Der systematische Fehler von e/m berechnet sich dann nach der Formel
∆ (e / m)
∆B
∆r ∆U
∆I
2∆x ∆U
,
=2
+2
+
=2
+2
+
e/m
B
r
U
I
r
U
wobei ∆x die Ablesetungenauigkeit der Skala ist.
(Zusammensetzung aus drei Spezialfällen; Summe, Exponent und Produkt bzw. Quotient)
Der statistische Fehler berechnet sich mit Hilfe des Mittelwertes und der
Standardabweichung.
Mittelwerte und Fehler werden nachfolgenden Formeln berechnet:
1 n
Mittelwert: x = ∑ xi , wobei n die Anzahl der Versuche ist.
n i =1
Der Fehler dieses Mittelwerts, also der statistische Fehler berechnet sich auf einem
Vertrauensniveau von 68,26% mit der Formel:
n
t
mit t=1,15 für n=5 . und der Standardabweichung s =
n
Da nur die Längenmessung mit einem statistischen Fehler behaftet ist gilt:
∆x = s
∑ (x
i =1
i
− x )2
n −1
(∆x1 ) 2 + (∆x 2 ) 2
∆ (e / m)
∆r
=2
=2
e/m
r
r
Der statistische und der lineare Fehler von e/m werden nun linear addiert und man hat
somit zu jedem e/m (bei verschiedener Spannung) einen Gesamtfehler.
Der Mittelwert aller e/m-Werte mit Fehler wird über Wichtungsfaktoren berechnet.
Wobei der jeweilige Wichtungsfaktor über folgende Formel berechnet wird:
Der gesamte Fehler berechnet sich dann mit dieser Formel:
-3-
Gruppe 8 (Montag)
Simone Lingitz; Sebastian Jakob
2 Versuchsdurchführung
Die Versuchsanordnung wird, wie oben beschrieben, aufgebaut. Für die
Beschleunigungsspannung U0 werden nacheinander die Werte 150V ,180V, 210V, 240V und
300V eingestellt, die Stromstärke durch die Helmholtzspulen ist über den gesamten Versuch
hinweg konstant bei 1,48A (eigentlich 1,5A, aber am Ende wurde bemerkt, dass das
Messgerät nur 1,48A anzeigte, was aber der Messung nicht schadet). Zu jeder Spannung
werden jeweils fünf Messungen des Durchmessers vorgenommen. Im einzelnen:
Das Magnetfeld, das von den Spulen erzeugt wird berechnet sich mit dieser Formel:
3
3
I
1, 48
Vs
⎛ 4 ⎞2
⎛ 4 ⎞2
B = µ0 ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ N ⋅ = 4π ⋅10−7 ⋅ ⎜ ⎟ ⋅130 ⋅
= 0, 001153343 2
0,15
R
m
⎝5⎠
⎝5⎠
e/m berechnet sich dann über:
2 ⋅U
e
= 2 02
m B ⋅r
Messung 1: U0=150V
Messung
oberer Wert
[cm]
unterer Wert Radius
[cm]
[cm]
1
20,250
13,405
3,423
2
20,400
13,410
3,495
3
20,550
13,310
3,620
4
20,170
13,485
3,343
5
20,175
13,470
3,353
Mittelwerte
20,309
13,416
3,447
Messung
oberer Wert
[cm]
e/m [C/kg]
1,899E+11
(prozentualer) Fehler für e/m
statistisch
systematisch
0,053
0,077
e/m [C/kg]
1,673E+11
gesamt
0,130
Messung 2: U0=180V
unterer Wert Radius
[cm]
[cm]
1
20,760
12,610
4,075
2
20,580
12,640
3,970
3
20,730
12,510
4,110
4
20,650
12,620
4,015
5
20,780
12,900
3,940
Mittelwerte
20,700
12,656
4,022
Messung
oberer Wert
[cm]
(prozentualer) Fehler für e/m
statistisch
systematisch
0,043
0,075
e/m [C/kg]
1,804E+11
gesamt
0,118
Messung 3: U0=210V
unterer Wert Radius
[cm]
[cm]
1
21,010
12,500
4,255
2
20,870
12,650
4,110
3
21,055
12,580
4,238
4
21,030
12,700
4,165
5
20,970
12,665
4,153
20,987
12,619
4,184
Mittelwerte
-4-
(prozentualer) Fehler für e/m
statistisch
0,026
systematisch
0,074
gesamt
0,101
Gruppe 8 (Montag)
Simone Lingitz; Sebastian Jakob
Messung 4: U0=240V
Messung
oberer Wert
[cm]
unterer Wert Radius
[cm]
[cm]
1
21,610
12,070
4,770
2
21,550
12,240
4,655
3
21,300
12,100
4,600
4
21,170
12,250
4,460
5
21,600
12,330
4,635
Mittelwerte
21,446
12,198
4,624
Messung
oberer Wert
[cm]
e/m [C/kg]
1,688E+11
(prozentualer) Fehler für e/m
statistisch
systematisch
0,051
0,073
e/m [C/kg]
1,809E+11
gesamt
0,124
Messung 5: U0=300V
unterer Wert Radius
[cm]
[cm]
1
22,000
11,960
5,020
2
21,900
11,880
5,010
3
21,860
11,570
5,145
4
21,560
11,910
4,825
5
21,640
11,710
4,965
21,792
11,806
4,993
Mittelwerte
(prozentualer) Fehler für e/m
statistisch
systematisch
0,051
gesamt
0,072
0,123
Nun wird e/m mit Hilfe der Wichtungsfaktoren bestimmt.
e/m [C/kg]
1,766E+11
Der Gesamtfehler ist hierbei
prozentual ausgedrückt:
∆e/m [%]
0,053
Graphisch dargestellt ergeben die Messungen den Graphen:
Spannung - spezifische Ladung
2,2E+11
2,1E+11
e/m [C/kg]
2E+11
1,9E+11
1,8E+11
1,7E+11
1,6E+11
1,5E+11
1,4E+11
140
160
180
200
220
240
260
280
300
Spannung U [V]
Messreihe
Literaturwert
Mittelwert
Die spezifische Ladung konnte trotz etwas größerer Messungenauigkeiten (z.B. Breite des
Elektronenstrahls) relativ gut bestimmt werden, indem man mehrere Messreihen durchführte.
-5-
Gruppe 8 (Montag)
Simone Lingitz; Sebastian Jakob
3. Fragen:
1. Welche anderen experimentellen Möglichkeiten kennen Sie, um die spezifische
Elektronenladung zu bestimmen?
Außer der Methode, e/m mit dem hier verwendeten Aufbau „Fadenstrahlrohr“ zu
bestimmen können auch die Methode nach Thomson oder der Versuch von Tolman
durchgeführt werden. Hierbei wird wie folgt vorgangen:
- Thomson: Auch hier werden Elektronen im elektrischen Längsfeld beschleunigt und
dann durch ein elektrisches Querfeld abgelenkt. Aus der Stärke der
Ablenkung kann nun e/m berechnet werden
- Tolman: In diesem Versuch wird ein metallischer Körper in schnelle Rotation
versetzt. Aufgrund der Zentrifugalkraft werden die Elektronen nach Außen
hin abgelenkt. Durch die hierbei auftretende Ladungstrennung zwischen im
Material festsitzenden (nach der Trennung positiven) Atomrümpfen und den
nach Außen hin abgelenkten Elektronen baut sich ein elektrisches Feld auf.
Aus dem Kräftegleichgewicht zwischen elektrostatischer Anziehung und
Zentrifugalkraft, läßt sich e/m bestimmen.
r
r
2. Wie sieht die Elektronenbahn aus, wenn v nicht senkrecht auf B steht? Wann können Sie
diese Erscheinung im Experiment sehen?
Stehen die beiden Komponenten nicht aufeinander senkrecht, so ergibt sich als Flugbahn
der Elektronen eine Schraubenlinie (Idealergebnis, nur bei homogenem Magnetfeld). Dies
ist so zu erklären, daß in diesem Fall die Geschwindigkeitskomponente zerlegt werden
kann, in einen Teil senkrecht zum Magnetfeld (dieser Teil ist für die Kreisbewegung
zuständig) und einen Teil parallel zum Magnetfeld (dieser Teil ist für die Steckung der
Kreisbewegung zur Schaubenlinie verantwortlich.
Im Experiment kann die Schraubenlinie erzeugt werden, indem der Glaskolben zwischen
dem Spulenpaar gedreht wird, nun treten die Elektronen nicht mehr senkrecht ins
Magnetfeld ein und werden auf die Schraubenlinie abgelenkt.
3. Warum können Sie die Elektronenbahn sehen? Welche Erklärung können sie dafür geben?
Warum steht der Wasserstoff unter solch einem geringen Druck?
Die Elektronenbahn wird sichtbar, da ein Teil der Elektronen auf ihrem Flug mit den
Wasserstoffatomen kollidieren, die sich im Glaskolben befinden und hierbei Elektronen
der Wasserstoffatoms auf ein höheres Energieniveau (Schalen) bringen. Diese angeregten
Elektronen kehren in ihren Grundzustand zurück und emittieren hierbei die vorher durch
den Stoß gewonnene Energie in Form von Lichtquanten mit der entsprechenden
charakteristischen Wellenlänge (Balmer-Linien).
Wäre der Druck, unter dem der Wasserstoff steht zu hoch, würde nicht mehr nur ein
geringer Teil, sondern mit zunehmendem Druck letztendlich jedes Versuchselektron mit
den Gasatomen stoßen und somit wäre keine Bahnkurve mehr sichtbar, da durch die
ständigen Kollisionen die Elektronen zuviel Energie verlieren würden um noch eine
Bahnkurve zu durchlaufen (die Elektronen werden im Magnetfeld nicht mehr
beschleunigt). Des weiteren werden die Elektronen bei Stößen bisweilen gestreut und
durch die hierbei entstehende Ablenkung würde sich der Strahl aufweiten, was keine
genaue Bestimmung der Bahnkurve und somit e/m zulassen würde.
-6-
Gruppe 8 (Montag)
Simone Lingitz; Sebastian Jakob
4. Diskutieren Sie ausführlich den Einfluss des Erdmagnetfeldes! Wie müsste man vorgehen
um diesen Effekt nachzuweisen (Tipp: Drehung der Grundplatte um 180°)? Welchen
maximalen Effekt kann man erwarten? Könnte man diesen mit dem vorliegenden
Versuchsaufbau nachweisen (Fehler)?
Der Einfluß des Erdmagnetfeldes kann sich auf drei Arten auswirken:
- Das Erdmagnetfeld steht parallel oder antiparallel zum Geschwindigkeitvektor der
Elektronen (senkrecht zum Spulenmagnetfeld): Die Flugbahn der Elektronen wird nicht
beeinflusst.
- Das Erdmagnetfeld steht senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor der Elektronen,
und parallel zum Magnetfeld der Spulen: Die Magnetfelder addieren sich, der
Bahnradius der Elektronen verringert sich.
- Erdmagnetfeld steht senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor der Elektronen, und
antiparallel zum Magnetfeld der Spulen: Das Spulenmagnetfeld verringert sich um den
Betrag des Erdmagnetfeldes, der Bahnradius der Elektronen vergrößert sich.
Um diese Effekte nachzuweisen, müsste der Versuch zweimal durchgeführt werden,
wobei beim zweiten Durchlauf die Platte, wie vorgeschlagen um 180° gedreht würde. Die
beiden gemessenen Radien der Elektronenbahn müssten sich unterscheiden (s.o.). Wenn
die Apparatur nicht genau entlang bzw. senkrecht zum Erdmagnetfeld ausgerichtet wurde,
geht der Effekt (bzw. das Magnetfeld) nur zu einem bestimmten Grad (Winkelfunktionen)
ein.
Das Erdmagnetfeld liegt mit 0,030 mT zwei Größenordnungen unterhalb dem Magnetfeld der
Helmholzspulen (ca. 1,2 mT). Mit einem korrekt arbeitenden Fadenstrahlrohr sollte sich der
Einfluss dieses überlagerten Feldes prinzipiell nachweisen lassen. Da sich beim verwendeten
Versuchsaufbau allerdings der Strahl kaum fokussieren währe dies hier wohl nicht möglich
gewesen.
Der Nachweis könnte prinzipiell folgendermaßen durchgeführt werden: Man führt die
Messung mit Spulenachse parallel zum Erdmagnetfeld (hier wäre der größte Einfluss auf den
Radius festzustellen) bzw. senkrecht dazu. Im zweiten Fall würde das M-Feld den Strahl
leicht seitlich von der Kreisbahn ablenken was aber auf die Messgrößen nur einen kleinen
Einfluss haben sollte. (dadurch verändert sich der Geschwindigkeitsanteil in der Kreisebene
leicht, da die Gesamtgeschwindigkeit unverändert bleibt). Auf der anderen Seite lässt sich der
Einfluss des Erdmagnetfeldes auf die e/m Bestimmung kaum berücksichtigen, da seine Größe
und Richtung nicht genau bekannt sind.
-7-