Faktorisieren quadratischer Gleichnungen (Satz von Vieta)

II año
Arbeitsblatt: Faktorisieren quadratischer Gleichungen –
Hat die quadratische Gleichung · Vieta
die Lösungen x1 und x2, so gilt:
(Zerlegung eines quadratischen Terms in Linearfaktoren)
Wurzelsatz von Vieta
Hat die quadratische Gleichung die Lösungen x1 und x2, so gilt:
x1 + x2 = ─ p und x1 • x2 = q
Bestimme alle äquivalenten Aussagen (Rechnung im Heft) und notiere den Lösungssatz!
Gleichung
Linearfaktoren
Lösung
1
x² + 7x + 10 = 0
1
(x + 2) (x - 1) = 0
x1 = 4, x2 = - 6
T
2
x² - 3x - 18 = 0
2
(x - 2) (x - 7) = 0
x1 = - 1, x2 = 4
O
3
x² + 2x - 24 = 0
3
(x + 11) (x + 3) = 0
x1 = 1, x2 = - 2
I
4
x² - 12x + 27 = 0
4
(x + 3) (x - 8) = 0
x1 = - 3, x2 = - 11
V
5
x² + 14x + 33 = 0
5
(x - 4) (x + 6) = 0
x1 = - 8, x2 = 2
A
6
x² - 3x - 4 = 0
6
(x + 8) (x - 2) = 0
x1 = - 3, x2 = 8
V
7
x² - 9x + 14 = 0
7
(x + 5) (x + 2) = 0
x1 = 9, x2 = 3
Z
8
x² - 5x - 24 = 0
8
(x - 2) (x - 2) = 0
x1 = 6, x2 = - 3
A
9
x² + x - 2 = 0
9
(x - 6) (x + 3) = 0
x1 = 2, x2 = 7
N
10
x² - x - 2 = 0
10
(x - 4) (x + 1) = 0
x1 = - 1, x2 = 2
E
11
x² - 4x + 4 = 0
11
(x - 3) (x - 9) = 0
x1 = - 5, x2 = - 2
S
12
x² + 6x - 16 = 0
12
(x + 1) (x - 2) = 0
x1 = 2, x2 = 2
T
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Vieta
Arbeitsblatt: Faktorisieren quadratischer Gleichungen –
Lösungssatz:
Gleichung Nr.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Linearfaktoren Nr.
7
9
5
11
3
10
2
4
1
12
8
6
Lösung Nr.
S
A
T
Z
V
O
N
V
I
E
T
A
Der „Wurzelsatz von Vieta“ kann helfen, die Lösungen durch Probieren zu bestimmen!
2
Ist die quadratische Gleichung x + 7x + 10 = 0 (die erste oben links in der Liste) gegeben,
dann muss für die Nullstellen x1, x2 gelten:
x1 + x2 = – 7
x1 — x2 = 10
Nun kann man als erstes nach ganzzahligen Lösungen suchen, die ein Teiler der Zahl 10
sein müssen.
Die möglichen Faktoren aus ganzen Zahlen x1 und x2, deren Produkt 10 ist, sind:
x1
x2
x1+x2
1
2
–1
–2
10
5
–10
–5
11
7
–11
–7
Nur für x1 = –2 und x2 = –5 gilt:
x1 + x2 = – 7
x1 — x2 = 10
2
Also sind x1 = –2 und x2 = –5 die Lösungen von x + 7x + 10 = 0 und es gilt:
2
x + 7x + 10 = (x –(–2)) (x– (–5)) = (x+2) (x+5)
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