Der Fundamentalsatz der Algebra

Der Fundamentalsatz der Algebra
Proseminar: Buch Der Beweise, Chris Löchel
17. Januar 2015
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Jedes nicht konstante Polynom in C der Form
p(z) =
n
X
ck z k = co + c1 z 1 + c2 z 2 + ... + cn z n mit ck ∈ C ∀k ∈ {0, ..., n} und cn 6= 0
k=0
besitzt in C eine Nullstelle, d.h. es existiert ein z0 ∈ C mit p(z0 ) = 0. Des Weiteren lässt sich p
eindeutig in n normierte Linearfaktoren zerlegen: p(z) = cn ∗(z−λ1 )∗...∗(z−λn), wobei λ1 , ..., λn
die (nicht notwendigerweise verschiedenen) Nullstellen von p sind.
Einführung und historischer Kontext
Obenstehenden Satz hört vermutlich jeder Mathematikstudent während seines Studiums mehrmals, da der Fundamentalsatz der Algebra von zentraler Bedeutung für zahlreiche Gebiete der
Mathematik ist, insbesondere für die Lösung von Gleichungen. Ein Paradebeispiel ist die Gleichung x2 + 1 = 0, welche keine reelle Lösung besitzt.
Mit dem Lösen von Gleichungen haben sich Mathematiker seit langer Zeit beschäftigt. Bereits
2500 bis 100 v.Chr. fanden babylonische Mathematiker Approximationen zur Berechnung von
Quadratwurzeln, wobei man Quadratwurzeln negativer Zahlen vorerst auÿer Acht lies.
Diese rückten jedoch im 15. und 16. Jahrhundert in den Fokus einiger italienischer Wissenschaftler, welche die Nullstellen von kubischen Gleichungen allgemeiner Form berechnen wollten. Rafael Bombelli(1526-1572) war einer der ersten, der mit den Wurzeln negativer Zahlen
Gleichungen löste und systematische Regeln dafür aufstellte. Anerkannt wurde die Erweiterung
der reellen Zahlen durch die komplexen Zahlen jedoch erst, als der Fundamentalsatz bewiesen
wurde und man mit Sicherheit sagen konnte, dass der Körper der komplexen Zahlen algebraisch
abgeschlossen ist. Nachdem Albert Girard (1595-1632) als erster vermutete, dass "jede algebraische Gleichung [...] genauso viele Lösungen wie ihr Grad"besitzt, blieb die Aussage lange Zeit
unbewiesen.
Erst Gauÿ gelang es im Jahre 1799 einen ersten Beweis zu liefern. In der Folgezeit konstruierte
er sechs weitere, wobei heute insgesamt ca. 200 Beweise existieren.
Beweis des Satzes nach d'Alembert und Argand
Ein sehr eleganter Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra, der auf elementaren Ergebnissen der Analysis 1 basiert, wurde von Jean-Baptiste le Rond d'Alembert, einem französischen
Mathematiker und Physiker des 18. Jahrhunderts, vorgeschlagen, und wenig später von JeanRobert Argand fertiggestellt.
1
Da man den Beweis ausführlich im BUCH der Beweise ndet, möchte ich in dieser Ausarbeitung
zu meinem Vortrag darauf verzichten. Während des Vortrages kann neben dem Tafelbild auch
Kapitel 19 des Buches als Begleitlektüre dienen.
Anwendung: Lineare Algebra ohne Determinanten
Die Bestimmung der Eigenwerte einer Matrix A∈ Cn∗n erfolgt üblicherweise über die Berechnung
der Nullstellen des charakteristischen Polynoms χA (λ) = det(A − λ ∗ Id), wobei die algebraische
Vielfachheit eines Eigenwertes angibt, zu welchem Exponent dieser in der faktorisierten Form
des Polynoms vorkommt. Die Existenz von genau n (nicht notwendigerweise verschiedenen)
Nullstellen garantiert der Fundamentalsatz der Algebra.
Im folgenden soll nun ein Verfahren präsentiert werden, mit dem die Existenz eines Eigenwertes
für eine beliebige Matrix A auch ohne Determinante garantiert ist.
Sei v ∈ Cn , v 6= 0 beliebig. Dann sind die n+1 Vektoren v, Av, A2 v, ..., An v linear abhängig (da Cn n-dimensionaler C-Vektorraum ist). Es existieren folglich c0 , ..., cm ∈
C \ {0} (m ≤ n) mit c0 v + ... + cm Am v = 0.
Schritt 1:
k
Betrachte nun das Polynom p(z) = m
k=0 ck z . Dieses zerfällt auf Grund des Hauptsatzes der Algebra in Linearfaktoren, also gilt p(z) = cm ∗ (z − λ1 ) ∗ ... ∗ (z − λm ).
P
Schritt 2:
Nach Identikation wie in der Linearen Algebra 2 können wir nun für z die Matrix A einsetzen und erhalten
Schritt 3:
p(A) =
m
X
ck Ak = cm ∗ (A − λ1 ∗ Id) ∗ ... ∗ (A − λm ∗ Id).
k=0
Nach Konstruktion gilt aber
m
X
ck Ak ) ∗ v = cm ∗ (A − λ1 ∗ Id) ∗ ... ∗ (A − λm ∗ Id) ∗ v,
0=(
k=0
weshalb wegen v 6= 0 eine der Matrizen (A − λi ∗ Id) (i ∈ {0, ..., m}) nicht vollen Rang hat.
→ ∃ w ∈ Cn \ {0}, w ∈ kern(A − λi Id) : (A − λi Id) ∗ w = 0 ↔ A ∗ w = λi ∗ w
w ist also ein Eigenvektor zum Eigenwert λ der Matrix A, womit die Existenz eines Eigenwertes
bewiesen ist.
Literaturverzeichnis
Das BUCH der Beweise. Dritte Auage, Berlin Heidelberg: Springer
Verlag
Tilo Ahrens, Rolf Busam, Frank Hettlich, Christian Karpnger, Hellmuth Stachel (2013). Grundwissen Mathematikstudium. Berlin Heidelberg: Springer Verlag
Rupert Lasser, Frank Hofmaier (2012). Analysis 1+2. Berlin Heidelberg: Springer Verlag
Joachim Franz (2009). Fundamentalsatz der Algebra. Ausarbeitung zum Vortrag, Fachbereich Mathematik, PhilippsUniversität Marburg
Elisabeth Meidinger (2013). Der Fundamentalsatz der Algebra, Beweise, Geschichte und Bedeutung. SchyrenGymnasium Pfaenhofen
Michael Eisermann (2009). Der Hauptsatz der Algebra in eektiver Gestalt: ein reell-algebraischer Beweis mittels
sturmscher Ketten. Institut Fourier, Université Grenoble I
• Martin Aigner, Günther M. Ziegler (2010).
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