5 Gebrochen-rationale Funktionen 5.1 Definition

5 Gebrochen-rationale Funktionen
5.1 Definition:
Z(x)
Eine Funktion f, deren Term f(x) als Bruch N(x) von zwei Polynomfunktion Z(x)
und N(x) geschrieben werden kann und deren Nennergrad größer als 0 ist,
heißt gebrochen-rationale Funktion. Des Weiteren ist eine gebrochen-rationale
Funktion eine Bruchfunktion f(x), die im Nenner mindestens eine Variable x
stehen hat. Sie kann Definitionslücken besitzen.
Im Folgenden wird die Funktion anhand der Grundfunktion und weiteren
Beispielen genauer erläutert:
Grundfunktion:
1
x Beispiel:
x
x²-1
x³
x²-1
x³
x 1 x-1 Abb. 1
Abb. 2
5.2 Ableitung
‘
1
x²
‘
1 ∙3∙
∙2∙
1
3∙
1
Mit Hilfe der Quotientenregel wird die
Funktion abgeleitet und im Anschluss
vereinfacht.
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5.3 Grenzwerte
Das Verhalten der Funktion im Unendlichen wird untersucht:
lim
0
lim →
lim
→
→
lim
0
→
∞
²
Der Bruch fällt weg, da sein Nenner
unendlich groß wird und der Bruch somit 0.
lim
lim
→
→
²
1
∞
Das Verhalten der Funktion gegen die Definitionslücke wird untersucht:
Tipp: Einsetzen von Zahlen nahe der Lücke erleichtert suche.
lim
∞
lim
∞
→!
lim
→!
→
∞
lim
∞
lim
∞
lim
∞
→
→
→
5.4 Nullstellen
Nullstellen erhält man, wenn man den Zähler der Funktion gleich null setzt und
nach x auflöst.
Bei einer Normalhyperbel gibt es
0
0 (dreifache NST)
keine Nullstellen. Da der Zähler
immer 1 " 0
5.5 Asymptoten
Es gibt drei verschiedene Arten von Asymptoten, die eine gebrochen-rationale
Funktion besitzen kann:
Waagrecht
Eine waagrechte Asymptote liegt dann vor, wenn sich die Funktion im
Unendlichen einem bestimmten y-Wert annähert. Die Asymptote lässt sich
ganz einfach aus der Summenform ablesen.
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Beispiel:
1
(siehe Abb. 3)
1
2
lim
1
lim
1
→
→
Senkrecht
Um eine senkrechte Asymptote zu finden setzt man den Nenner gleich null.
Man kann sie jedoch auch aus der Definitionsmenge erschließen, falls die
Definitionslücke eine Polstelle ist.
Beispiel:
#
0
1
(siehe Abb. 3)
2
2 (doppelte Nullstelle)
Schräg
Eine schräge Asymptote ist dann vorhanden, wenn der höchste Exponent im
Zähler um 1 größer ist als der höchste Exponent im Nenner. Um die Gleichung
dieser Asymptote zu berechnen, wandelt man den Funktionsterm in die
Summenform um.
#
Beispiel:
$
0,5 ∙
∙
'
∙
0,5 ∙
Abb. 3
Abb.4
26
(siehe Abb. 4)
5.6 Schreibformen der gebrochen-rationalen Funktion
Die gebrochen-rationale Funktion kann man in verschiedene Schreibformen
darstellen. Jede Schreibform ist für das Herauslesen bestimmter Kriterien gut
geeignet.
Bruchform
(
Beispiel:
#
Vorteile:
• Aus der Bruchform kann man die waagrechte Asymptote herauslesen.
Beispiel: Da der Zählergrad größer ist als der Nennergrad gibt es
keine waagrechte Asymptote.
• Zudem lässt sich die Funktion aus der Bruchform gut ableiten.
Beispiel:
)
#
∙ ∙ #
#
(∙
*
∙
∙ #
#
²
#
• Ebenso kann man die Symmetrie überprüfen.
(
Beispiel:
³
#
#
Es liegt eine Punktsymmetrie zum Ursprung vor
Summenform
Beispiel:
#
Vorteil:
• Aus der Summenform lässt sich die schräge Asymptote ablesen.
Beispiel: + Faktorisierte Form
(
Beispiel:
∙
Vorteile:
• Aus der faktorisierten Form kann man die Definitionslücken
herausfinden. (Die Definitionslücken sind die Nullstellen des Nenners.)
Beispiel: Nullstellen des Nenners:
1;
1; - .\{ 1; 1}
• Zudem lassen sich die Nullstellen der Funktion herauslesen (Zähler)
Beispiel: 0
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5.7 Umwandlung der Formen
Bruchform
Faktorisierte Form
Der Nenner wird mit Hilfe der Binomischen Formel (in diesem Fall Plus-MinusFormel) umgeformt, so dass ein Malzeichen zwischen den Faktoren steht.
³
1 ∙
1
² 1
Bruchform Summenform
Um die Summenform zu erhalten, muss eine Polynomdivision durchgeführt
werden. (Siehe Verfahrensweisen zur Nullstellenbestimmung.)
1
→
÷
³
1
²
1
1∙
Da ²
Rest
1 nicht durch
teilbar ist, bleibt der
stehen.
²
1
²
1
Faktorisierte Form
Bruchform
Um die Bruchform zu erhalten, muss man den Nenner ausmultiplizieren.
³
1 ∙
1
² 1
Summenform
Bruchform
Um von der Summenform auf die Bruchform zu kommen muss man den
Summanden ohne mit den Nenner des Bruchs (2. Summand) erweitern.
∙
1
³
²
² 1
² 1
² 1
² 1
² 1
Summenform Faktorisierte Form
Um von der Summenform auf die Faktorisierte Form zu kommen, wandelt man
die Summenform zunächst in die Bruchform um und dann die Bruchform in die
Faktorisierte Form.
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