Übungsaufgaben zu gebrochen rationalen Funktionen

Übungsaufgaben zu gebrochen rationalen Funktionen
1. Bestimme den maximalen Definitionsbereich und bilde die erste Ableitung:
2
1
a) f(x) = 2
b) f(x) = 4x3 +
c) f(x) =
x
x
1− x
2x − 4
d) f(x) =
e) f(x) =
f) f(x) =
1+ x
1− x
x2 − a
1
g) f(x) =
; a∈
h) f(x) =
i) f(x) =
3
x
( x + 1) 2
j) f(x) =
x2 − 2
x2 + 4
k) f(x) =
( x + 2) 2
x2
l) f(x) =
1+ x
1− x
1
1
−
x x−2
x2
x +1
4−x
x−2
2. Bestimme den maximalen Definitionsbereich, die Nullstellen, alle Asymptoten sowie mögliche Extrema und
zeichne den Graphen.
x2 − x
a) f : x a
( x − 1) 3
6x 2
b) f : x a 2
3x + 1
3x 3 − 2 x 2 + x
c) f : x a
2x 2 + 1
Weitere Aufgaben zu b):
A) An welchen Stellen nimmt die Funktion den Wert 1 an?
B) Stelle im Punkt P(1 | f(1)) die Gleichung der Tangente auf und zeichne die Tangente ein.
Lösungen:
zu 1.)
2
a) f(x) = 2
x
1− x
d) f(x) =
1+ x
x2 − a
g) f(x) =
; a∈
x3
j) f(x) =
x2 − 2
x2 + 4
k) f(x) =
x 2 ⋅ 0 − 2 ⋅ 2x
f ′( x ) =
b) Df = \ {0}
f ′( x ) = 12x2 −
c) Df = \ {1}
f ′( x ) =
d) Df = \ {−1}
f ′( x ) =
e) Df = \ {1}
f ′( x ) =
f) Df = \ {0; 2}
f ′( x ) =
h) Df = c) f(x) =
( x + 2) 2
x2
a) Df = \ {0}
g) Df = \ {0}
1+ x
1− x
1
1
f) f(x) = −
x x−2
x2
i) f(x) =
x +1
1
x
2x − 4
e) f(x) =
1− x
1
h) f(x) =
( x + 1) 2
b) f(x) = 4x3 +
(x )
2 2
l) f(x) =
=−
4−x
x−2
4x
4
=− 3
4
x
x
1
x2
(1 − x ) ⋅ 1 − (1 + x ) ⋅ (−1) 1 − x + 1 + x
2
=
=
2
2
(1 − x )
(1 − x )
(1 − x ) 2
(1 + x ) ⋅ ( −1) − (1 − x ) ⋅ 1 − 1 − x − 1 + x
2
=
=−
2
2
(1 + x )
(1 + x )
(1 + x ) 2
(1 − x ) ⋅ 2 − ( 2x − 4) ⋅ (−1) 2 − 2x + 2 x − 4
2
=
=−
2
2
(1 − x )
(1 − x )
(1 − x ) 2
1
0 − 1⋅1
1
1
− 2−
=− 2 +
2
x
( x − 2)
x
( x − 2) 2
x 3 ⋅ 2 x − ( x 2 − a ) ⋅ 3x 2 x 2 (2 x 2 − 3x 2 + 3a ) − x 2 + 3a
=
=
x6
x6
x4
0 − 1 ⋅ ( x 2 + 2 x + 1)′ − (2 x + 2) − 2( x + 1)
2
f ′( x ) =
=
=
=−
4
4
4
( x + 1)
( x + 1)
( x + 1)
( x + 1)3
f ′( x ) =
i) Df = \ {−1}
f ′( x ) =
( x + 1) ⋅ 2 x − x 2 ⋅ 1 2 x 2 + 2 x − x 2 x 2 + 2x x ( x + 2)
=
=
=
( x + 1) 2
( x + 1) 2
( x + 1) 2 ( x + 1) 2
j) Df = f ′( x ) =
( x 2 + 4) ⋅ 2 x − ( x 2 − 2) ⋅ 2 x 2 x ( x 2 + 4 − x 2 + 2)
12 x
=
= 2
2
2
2
2
( x + 4)
( x + 4)
( x + 4) 2
( x + 2) 2 x 2 + 4 x + 4
=
Df = \ {0}
x2
x2
x 2 ( 2 x + 4) − ( x 2 + 4 x + 4) ⋅ 2 x 2 x 3 + 4 x 2 − 2 x 3 − 8 x 2 − 8 x
=
f ′( x ) =
x4
x2
− 4 x 2 − 8x − x (4x + 8)
4x + 8
=
=
=−
2
2
x
x
x
( x − 2) ⋅ ( −1) − (4 − x ) ⋅ 1 − x + 2 − 4 + x
2
l) Df = \ {2}
f ′( x ) =
=
=−
2
2
( x − 2)
( x − 2)
( x − 2) 2
k) f(x) =
zu 2.)
a) f : x a
x2 − x
⇒ Df = \ {1}
( x − 1)3
Hinweis: f(x) ist zwar mit (x−1) kürzbar, allerdings bleibt im Nenner weiterhin der Term x−1 übrig ⇒ keine stetig
behebbare Definitionslücke bei x0 = 1, sondern Polstelle.
Weiterrechnen mit der gekürzten Term: f ( x ) =
x 2 − x x ( x − 1)
x
=
=
3
3
( x − 1)
( x − 1)
( x − 1) 2
Nullstelle: x = 0
Polstelle: x0 = 1
lim f ( x ) = lim
x →1−
x →1−
x
>0
x
>0
="
" = ∞ ; lim f ( x ) = lim
="
"= ∞
2
2
x
→
1
+
x
→
1
+
>0
>0
( x − 1)
( x − 1)
⇒ Polstelle 2. Ordnung (ohne Vorzeichenwechsel)
⇒ Senkrechte Asymptote: x = 1
Verhalten im Unendlichen:
x
x
1
≈ lim 2 = lim = 0 ; entsprechend für x → −∝
2
x → ∞ ( x − 1)
x →∞ x
x →∞ x
lim f ( x ) = lim
x→∞
⇒ waagrechte Asymptote y = 0
Ableitung:
f (x) =
x
( x − 1) 2 ⋅ 1 − x ⋅ 2( x − 1) ( x − 1)[(x − 1) − 2 x ] − x − 1
′
⇒
f
(
x
)
=
=
=
( x − 1) 2
( x − 1) 4
( x − 1) 4
( x − 1)3
⇒ f ′( x ) = 0 ⇔ −x − 1 = 0 ⇔ x = −1 ⇒ mögliches Extremum bei E(−1 | f(−1)) bzw. E (−1 | −0,25)
Art des Extremums (evtl. über 2. Ableitung oder) durch Begründung:
für x → −1− geht f(x) → ∝; Nullstelle bei x = 0 ⇒ Gf schneidet bei x = 0 die x-Achse und bleibt für x < 0
unterhalb der x-Achse; für x → −∝ geht f(x) → 0
⇒ E ist ein Tiefpunkt (lokales Minimum)
y
Graph:
7
Gf
6
5
4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
x
y=0
6x 2
⇒ Df = 3x 2 + 1
Nullstelle: x = 0
Polstelle: keine ⇒ keine senkrechte Asymptote
b) f : x a
Verhalten im Unendlichen:
2
6 x 2 :x
6
= lim
= 2 ; entsprechend für x → −∝
2
x →∞ 3x + 1
x →∞ 3 + 12
x
lim f ( x ) = lim
x →∞
⇒ waagrechte Asymptote y = 2
Ableitung:
f (x) =
6x 2
(3x 2 + 1) ⋅ 12x − 6 x 2 ⋅ 6 x 36 x 3 + 12x − 36x 3
12 x
12x
′
⇒
f
(
x
)
=
=
=
=
2
2
2
2
2
2
2
3x + 1
(3x + 1)
(3x + 1)
(3x + 1)
(3x 2 + 1) 2
⇒ f ′( x ) = 0 ⇔ 12x = 0 ⇔ x = 0 ⇒ mögliches Extremum bei E(0 | 0)
Art des Extremums (evtl. über 2. Ableitung oder) durch Begründung:
für x → ±∝ geht f(x) →
2
3
> 0 ⇒ E ist ein Tiefpunkt (lokales Minimum)
Graph:
y
y=2
2
Gf
1
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
Weitere Aufgaben:
A) An welchen Stellen nimmt die Funktion den Wert 1 an?
6x 2
f(x) = 1 ⇒
= 1 ⇒ 6x2 = 3x2 + 1 ⇒ x2 = 13 ⇒ |x| =
3x 2 + 1
also an den Stellen x1 = − 13 3 und x2 = 13 3 .
1
3
=
1
3
3 ≈ 0,58
B) Stelle im Punkt P(1 | f(1)) die Gleichung der Tangente auf und zeichne die Tangente ein.
f(1) = 1,5 ⇒ P(1 | 1,5)
12
12 3
f ′(1) =
=
=
2
2
16 4
(3 ⋅1 + 1)
Gleichung der Tangente: y = m⋅x + t
mit m = f ′(1) = 0,75 und P folgt: 1,5 = 0,75⋅1 + t ⇒ t = 0,75 ⇒ Glg: y = 0,75x + 0,75
y
t
2
1
-4
-3
-2
-1
Gf
P
1
y=2
2
3
4
x
3x 3 − 2 x 2 + x
⇒ Df = 2x 2 + 1
Nullstellen: f(x) = 0 ⇒ 3x3 − 2x2 + x = 0 ⇔ x(3x2 − 2x + 1) = 0 ⇒ eine Nullstelle bei x = 0
Restterm betrachten:
c) f : x a
3x2 − 2x + 1 = 0 ⇒ x1,2 =
2 ± 4 − 4 ⋅ 3 ⋅1
⇒ Radikand negativ ⇒ keine weiteren Nullstellen
6
Polstelle: keine
Verhalten im Unendlichen:
3x 3 − 2 x 2 + x
= ∞ , da x3 überwiegt
x →∞
x →∞
2x 2 + 1
Da Grad Z = 3 und Grad N = 2 ⇒ schiefe Asymptote
Gleichung der schiefen Asymptote durch Polynomdivision
− 0,5x + 1
(3x 3 − 2x 2
+x
) : (2x 2 + 1) = 1,5x − 1 +
2x 2 + 1
3
3x
+ 1,5x
lim f ( x ) = lim
− 2x 2
− 2x 2
⇒ Glg: y = 1,5x − 1
− 0,5x
−1
− 0,5x
+1
Ableitung:
f (x) =
3x 3 − 2 x 2 + x
⇒
2x 2 + 1
f ′( x ) =
=
(2 x 2 + 1) ⋅ (9 x 2 − 4x + 1) − (3x 3 − 2x 2 + x ) ⋅ 4 x
=
(2 x 2 + 1) 2
18x 4 − 8x 3 + 2x 2 + 9 x 2 − 4 x + 1 − 12 x 4 + 8x 3 − 4 x 2 6x 4 + 7 x 2 − 4 x + 1
=
(2 x 2 + 1) 2
(2x 2 + 1) 2
⇒ Es ist etwas mühsam zu zeigen, dass f ′( x ) keine Nullstellen hat.
Gehen wir also davon aus, dass es keine Extrema gibt.
Bemerkung: Um den exakten Verlauf des Graphen insb. in der Umgebung des Ursprungs erkennen zu können,
müssten weitere Betrachtung wie z. B. die Berechnung verschiedener Funktionswerte und Ableitungswerte
durchgeführt werden.
Graph:
y
4
3
2
1
-3
-2
-1
Gf
1
2
3
-1
-2
-3
schiefe Asymptote
x