Der Fundamentalsatz der Algebra

Der Fundamentalsatz der Algebra
Proseminar: Buch der Beweise, Catherine Lorenz
27.Juni 2015
1 Satz
Jedes nicht konstante, komplexe Polynom p der Form
p(z) =
n
X
ck z k = c0 + c1 z 1 + c2 z 2 + ... + cn z n mit ck ∈ C ∀k ∈ 0, ..., n und cn 6= 0
k=0
besitzt in eine komplexe Nullstelle z0 ∈ C mit p(z0 ) = 0.
2 historischer Kontext und Bedeutung des Satzes
• Babylonier 2000 v.Chr. Nullstellen von Polynomen in 2 Dimensionen als Schnittstelle eines Graphen mit
der x-Achse
• 16.Jh: heutige Lösungsformeln für quadratische Gleichungen
• Rafael Bombelli (1526-1572): erste Regeln für Wurzeln negativer Zahlen
• Durch Erweiterung von R durch den Körper C unendliche viele Nullstellen?
• Peter Roth (1608): Polynom vom Grad n maximal n Nullstelen
• Albert Girard (1595-1632): Vermutung (unbewiesen!): Jede algebraische Gleichung besitzt genausoviele
Nullstellen wie ihr Grad
• Leonard Euler(1749) und Jean d'Alembert (1746): erste Beweisansätze mit logischen Fehlern, dienten als
Baustein für andere Mathematiker
• Durchbruch: Carl Friedrich Gauÿ gelang 1795 der erste schlüssige und komplette Beweis, später noch 3
weitere.
erst durch Beweis des Satzes vollständige Anerkennung der komplexen Zahlen als Erweiterung der
reellen Zahlen
Lösung von Gleichungen wie x2 + 1 = 0
• Mittlerweile existieren ca. 200 anerkannte Beweise
Der Vorgetragene Beweis entstand nach der Idee von Alembert, und wurde dann 1806 von Jean-Robert
Argand vervollständigt.
3 Beweisskizze
3.1 Argrandsche Ungleichung
Ist p(a) 6= 0, so enthält jede Scheibe D um a im Inneren einen Punkt b mit |p(b)|<|p(a)|.
Beweis
o.B.d.A: a=0 und p(a)=1, d.h p(z) = 1 + c1 z + ... + cn z n
Schreibe: p(z) = 1 + cm z m + z m+1 (cm+1 + ... + cn z n−m−1 ) = 1 + cm z m + r(z)
1
•
1. Schritt:
∀ρ mit 0 < ρ <min{ρ1 , ρ2 , 1} gilt: |r(z)| < |cm z m | < 1 falls 0 < |z| ≤ ρ (*)
ρ 1 :=
•
|cm |
|cm+1 |+...+|cn |
; ρ2 := |cm |−1/m
2. Schritt:
m
ρ erfülle (*) und ρ < Radius(D), und sei ζ m-te Wurzel von −c
|cm |
Dann ist b:= ρζ genau der gesuchte Punkt in D, mit: |p(b)| < 1 = |p(a)|
3.2 Folgern auf Nullstelle
p(z)z −n → cn wenn |z| → ∞ ⇒ |p(z)| → ∞ wenn |z| → ∞
⇒ ∃R1 > 0 sodass |p(z)| > |p(0)|∀z mit |z| = R1
Die Funktion |p(z)| nimmt im Inneren von D1 = {z : |z| ≤ R1 } ihr Minimum z0 an.
Agrandsche Ungleichung ⇒ dieser Minimumswert |p(z0 )| muss 0 sein!
4 grasche Veranschaulichung
Zur Verbildlichung kann man das komplexe Polynom als Funktion f: C −→ C im Zweidimensionalen darstellen,
indem man jeder Zahl der Komplexen Ebene eine Farbe zuordnet. Zur Abbildung des Bildes unter f erhällt
dann jeder Punkt x der Komplexen Ebene die Farbe, welche dem Bild f(x) zugeordnet ist.
5 Folgen:
Jedes Polynom p(z) = nk=0 ck z k lässt sich eindeutig in n normierte Linearfaktoren zerlegen :
p(z) = cn (z − λ1 )...(z − λn ), mit λi die (nicht notwendigerweise verschiedenen) Nullstellen von p.
P
Beweis (nicht im Vortrag)
1. (x − a) teilt p(x) = c0 + c1 x + ... + cn xn ohne Rest falls a Nullstelle ist.
Sei h Automorphismus x 7→ x + a und g:= p ◦ h, d.h g(x) = c0 + c1 (x + a) + ... + cn (x + a)n .
Oensichtlich ist 0 eine Nullstelle von g.
⇒ konstanter Koezient von g muss null sein
⇒ x teilt g(x) ⇔ g(x) = x ∗ m(x) mit deg(m)= n-1.
⇒ p(x) = g ◦ h−1 (x) = g(x − a) = (x − a) ∗ m(x − a) = (x − a) ∗ r1 (x)
2. Laut Fundamentalsatz der Algebra hat das Polynom r1 (x) vom Grad n-1 aber auch eine Nullstelle. Wiederhole
das Verfahren mit den ri 's n mal, bis rn den Grad 0 hat.
6 Literatur
- K. Reiss und G. Schmieder, Basiswissen Zahlentheorie, Berlin/Heidelberg/New York:Springer-Verlag 2. Auage, 2007.
- H.-W. Alten, A. Djafari Naini, M. Folkerts, H. Schlosser, K.-H. Schlote und H. Wuÿing, 4000 Jahre Algebra - Geschichte,
Kulturen, Menschen, Berlin: Springer-Verlag, 2003.
- Elisabeth Meidinger, Der Fundamentalsatz der Algebra, Beweise, Geschichte und Bedeutung, Schyren-Gymnasium
Pfaenhofen, 2013
- Daniel J. Velleman, The Fundamental Theorem of Algebra: A Visual Approach, Department of Mathematics and
Computer Science, Amherst Collage, MA 01002
- Martin Aigner, Günther M. Ziegler Das BUCH der Beweise, Dritte Auage, Berlin Heidelberg : Springer Verlag, 2010
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