und Spannungsmessung Ohmsches Gesetz - Physik

Physikpraktikum für Pharmazeuten
Universität Regensburg
Fakultät Physik
5. Versuch: Strom- und
Spannungsmessung
Ohmsches Gesetz
1. Einführung
In Versuch 3 und 4 haben wir begonnen einfache mechanische Systeme mit ziemlich einfachen Methoden zu untersuchen. Wir erkannten die vorhandenen Kräfte, summierten
diese, fanden so die resultierende Gesamtkraft und wendeten die F = ma Formel an.
Danach war es nur noch eine Frage der Mathematik. Die Kräfte, welche wir fanden,
waren im Wesentlichen die Gravitation und die Spannkraft der Seile. Die erste ist eine fundamentale Kraft in der Physik: alle Objekte mit Massen m1 und m2 ziehen sich
gegenseitig mit der Kraft Fgr = Gm1 m2 /r2 an. Dabei ist r der Abstand zwischen den
Massen und G die Gravitationskonstante. Die Tatsache, dass die Gewichtskraft als mg
gegeben ist, kommt daher, dass Gm2 /r2 genau g entspricht, falls m2 die Masse der Erde
und r deren Radius sind.
Die Spannkraft der Seile ist keine fundamentale Kraft in der Physik. Ihr Ursprung befindet sich stattdessen in der Struktur der Materie, die aus elektrisch geladenen Partikeln
aufgebaut ist, welche stark miteinander wechselwirken. Die elektrische Wechselwirkung
arbeitet mehr oder weniger wie die Gravitation. Sie wird durch die Formel Fel = kq1 q2 /r2
beschrieben, wobei dieses mal q nicht die Masse sondern etwas anderes, das wir als elektrische Ladungen bezeichnen, ist. Die Konstante k ist die Coulombkonstante. Es gibt
zwei entscheidende Unterschiede zwischen dieser und der Gravitationskraft. Die Coulombkraft ist attraktiv (anziehend), falls das Produkt q1 q2 ein negatives Vorzeichen hat
und repulsiv (abstoßend), falls es positiv ist. Außerdem ist wichtig, dass elektrische Ladungen beide Vorzeichen haben können. Der zweite Unterschied liegt in der Stärke der
Wechselwirkungen, da die elektrische VIEL STÄRKER ist. Das Verhältnis von elektrischer zu Gravitationskraft zwischen zwei Elektronen ist:
Fel /Fgr = 4, 16 × 1000000000000000000000000000000000000000000
Die zweite Nummer ist dabei eine 1 gefolgt von 42 Nullen. Es is ziemlich schwer sich solch
eine große Zahl vorzustellen. Um ein Beispiel zu geben, stellen wir uns vor wir würden
alle Elektronen entfernen, die sich auf zwei benachbarten Tischen im Labor befinden,
sodass sich diese positiv aufladen würden. Durch die gleichnamige Aufladung würden sie
sich nun mit einer Kraft abstoßen, die vergleichbar wäre mit dem Gewicht eines Planeten!
Warum sind wir dann überhaupt in der Lage die Gravitationskraft zu sehen, wenn wir
bedenken, dass die genauesten jemals durchgeführten Experimente eine Auflösung von
≈ 10−16 haben? Der Grund liegt darin, dass normale Materie die gleiche Anzahl an
positiven und negativen Ladungen besitzt, sodass die totale Nettokraft recht klein ist.
Da jedes Teilchen eine mehr oder weniger gleiche Anzahl an positiven und negativen
Ladungen sieht, gleicht sich die attraktive Kraft des ersten mit der negativen Kraft des
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letzten aus. Schlussendlich spielt die elektrische Kraft auf dem makroskopischen Level
eine nebensächliche Rolle.
In mikroskopischen Größenordnungen verändert sich die Situation. Wenn sich Atome
ein Elektron teilen, wird der Bereich zwischen ihnen negativ geladen, während der Rest
leicht positiv bleibt. Daraus folgt, dass die negativ geladene Wolke in der Mitte als Kleber wirkt, der die Atome in einer chemischen Bindung zusammenhält. Dies ist die Kraft,
die alle Dinge zusammenhält.
Neben dem Verständnis der Struktur der Materie kann das Studium von elektrischen
Phänomenen ebenfalls für die makroskopische Welt wichtig sein. Insbesondere erlaubt es
uns die Fähigkeit den Fluss der Elektronen zu kontrollieren, Arbeit zu erzeugen (elektrische Motoren), Hitze zu generieren (Öfen) oder ein Signal zu manipulieren (elektronische
Geräte, Computer, etc.). Jedoch gehorchen die elektrischen Phänomene Gesetzen (Maxwell Gesetze), die komplizierter als das einfache F = ma sind. Daher geht deren systematische Untersuchung weit über die Grenzen dieses Praktikums hinaus. Wir werden
stattdessen die einfachsten Situationen mit statischen Ladungen und statischen Strömen analysieren. In diesen Experiment werden wir damit beginnen, statische Ströme,
das Ohmsche Gesetz und Joule Effekte zu studieren. Im nächsten Versuch werden wir
dann den dynamischen Fall mit zeitveränderlichen Strömen und Spannungen untersuchen.
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2. Theorie
2.1. Das Rutherford’sche Atommodell
Das sogenannte Rutherford’sche Atommodell wurde von Ernest Rutherford als Ergebnis seiner Streuversuche im Jahr 1911 aufgestellt. In diesem Modell wird das Atom aus
einem (positiv geladenen) Kern von (negativ geladenen) Elektronen - entsprechend der
Kernladungszahl des Atoms - umgeben. Der Kern besteht dabei aus Protonen und Neutronen, in ihm konzentriert sich die gesamte positive Ladung sowie einen Großteil der
Atommasse. Dieses Modell ist nützlich um ein qualitatives Bild des Atoms zu erhalten.
Jedoch ist für eine quantitative Beschreibung des Atoms Quantentheorie erforderlich.
(a)
(b)
Abbildung 2.1.: (a) Das Rutherford’sche Atommodell. (b) Anziehung und Abstoßung
elektrischer Ladungen.
2.2. Elektrische Ladungen und das Coulomb’sche Gesetz
Es gibt zwei unterschiedliche Ladungen, die sich durch ihr Vorzeichen unterscheiden: positive (+) und negative (-). Die Wahl der + und - Zeichen ist reine Konvention und
hat historische Gründe. Elektrische Ladungen haben die Eigenschaft, dass sich gleichnamige Ladungen abstoßen und nicht-gleichnamige Ladungen gegenseitig anziehen. Man
hat festgestellt, dass elektrische Ladung gequantelt ist, sie kommt nur als ganzzahliges
Vielfaches der Elementarladung
|e| = 1, 602 × 10−19 C
vor1 . Die Einheit der Ladung ist Coulomb und wird mit dem Buchstaben „C“ abgekürzt.
1
Streng genommen, ist dies nur für elementare Teilchen, welche isoliert werden können, wahr. Eine
Ausnahme stellen zum Beispiel Quarks dar.
4
Der Betrag der Elementarladung wurde zuerst 1910 durch Millikan und seinen Tröpfchenversuch bestimmt. Die negative Elementarladung wird Elektron genannt und hat
eine Masse von me ≈ 9, 110−31 kg, die positive Elementarladung heißt Proton und wiegt
mp ≈ 1, 673 · 10−27 kg.
Die Kraft zwischen zwei Ladungen (q1 , q2 ) wird dabei durch das Coulomb’sche Gesetz
beschrieben:
1
q q
F =
· 12 2
4π0 r
wobei 0 = 8, 85 · 10−12 C2 /J m. Die Kraft zwischen den beiden Ladungen ist also umgekehrt proportional zum Quadrat ihres Abstandes r.
2.3. Das elektrische Feld
Eine Ladung übt über große Entfernungen hinweg einen Einfluss auf andere Ladungen
aus. Man geht davon aus, dass an jedem Ort, an dem eine Kraft F~ auf eine positive
~ existiert. Diese elektrische Feldstärke
Testladung q ausgeübt wird, ein elektrisches Feld E
~
~
E ist ein Vektor, der die Kraft F auf eine positive Einheitsladung q an dieser Stelle angibt.
~
~ =F
E
q
Kraft
Das elektrische Feld hat die Dimension Kraft pro Ladung Ladung
und die Einheit [V/m].
Eine Punktladung erzeugt ein elektrisches Feld. Dieses zeigt in Richtung des Vektors ~r
und hat im Punkt r nach obigen Formeln den Wert:
E=
1 q
4π0 r2
Um diese Fernwirkung zu verdeutlichen führte man das Konzept der Feldlinien ein, die
den Verlauf des elektrischen Feldes grafisch darstellen. Die Tangente in jedem Punkt
einer Feldlinie illustriert die Richtung der Kraft, die auf eine (Probe-)Ladung an diesem
Punkt wirken würde. Elektrische Feldlinien beginnen bei der positiven Ladung und enden
an der negativen Ladung.
2.4. Das elektrische Potential
Lasst uns einen Bereich im Raum vorstellen an dem sich ein elektrisches Feld befindet.
Eine Ladung q wird zum Beispiel durch die Kraft F = Eq von Punkt A nach Punkt B
beschleunigt. Sie wird daher Punkt B mit einer bestimmten kinetischen Energie erreichen. Diese Tatsache können wir dadurch beschreiben, indem wir annehmen, die Ladung
hatte im Punkt A eine potentielle Energie, welche eventuell durch die Arbeit von elektrischen Kräften in eine andere Energieform umgewandelt werden kann. In diesem Fall
ist die Differenz der potentiellen Energien in den Punkten A und B ∆EAB entscheidend.
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Abbildung 2.2.: Feldlinien einer Punktladung, zwischen zwei ungleichen Ladungen und
zwei gleichnamigen Ladungen
Die Arbeit, die von der elektrischen Kraft verrichtet wird um von A zu B zu kommen,
ist:
Z B
∆EAB =
F~ d~r = q
Z B
A
~ r
Ed~
A
Hier haben wir F = qE benutzt, wie wir es im vorherigen Abschnitt gesehen haben. Für
die meisten elektrischen Probleme benötigen wir die Differenz der potentiellen Energie
pro Einheitsladung. Dies wird Potentialdifferenz genannt und ist einfach durch ∆φAB =
∆EAB /q definiert. Es gilt daher:
UAB ≡ ∆φAB
∆EAB
=
=
q
Z B
~ r
Ed~
A
Alle oben betrachteten Größen sind Differenzen von Werten (worauf es auch in den
meisten Problem ankommt). Wir können das Potential in einem Punkt ausdrücken,
indem wir einen Referenzwert festlegen. Beispielweise kann das Potential im Unendlichen
auf Null gesetzt werden, womit folgt:
Z ∞
φA =
~ r
Ed~
A
Potential und Potentialdifferenz werden in Volt [V] gemessen.
2.5. Elektrischer Strom
Elektrische Ströme werden durch die Bewegung von Ladungsträgern erzeugt. Der elektrische Strom I, welcher durch einen Draht fließt, gibt an, wie viel Ladung sich pro
Sekunde durch die Querschnittfläche eines Drahtes bewegt. Die Einheit der Stromstärke
ist Cs und heißt Ampere (A).
Die Phänomene des Elektronendrifts unter dem Einfluss eines elektrischen Feldes werden detailliert in der Festkörperphysik studiert. Dies geht jedoch über den Rahmen dieses
Praktikums hinaus.
6
Abbildung 2.3.: Der elektrische Strom ergibt sich aus der Anzahl an Ladungen, welche
die Querschnittfläche A in einer bestimmten Zeit passieren.
Abbildung 2.4.: Stromfluss durch einen Widerstand bei einer Spannung ∆V
2.6. Der elektrische Widerstand und das Ohm’sche Gesetz
Der elektrische Widerstand ist ein Maß dafür, welche Spannung U nötig ist um eine
bestimmte Stromstärke I durch einen elektrischen Leiter (Widerstand) fließen zu lassen.
Genauer gesagt ist der Widerstand R durch den Quotienten zwischen der Spannung U
und den Strom I definiert:
U
R≡ .
(2.1)
I
Der elektrische Widerstand R wird in der Einheit Ohm [Ω] angegeben. Prinzipiell kann
der Widerstand R von der angelegten Spannung U abhängig sein. In vielen Leitern (z.B.
Metallen) hängt jedoch der Widerstand R nicht von der Spannung U ab, d.h. R ist eine
Konstante [R = UI = konstant]. In diesem Fall sagt man, der Leiter sei „ohm’sch“, der
Strom I ändert sich dann proportional zur Spannung U .
Zur Charakterisierung elektrischer Bauteile erstellt man üblicherweise sogenannte U -
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I-Kennlinien. In ihnen wird der fließende Strom I gegen die Spannung U angetragen. Für
ohm’sche Leiter ergibt diese U -I-Kennlinie eine Gerade, deren Steigung dem Widerstand
R entspricht.
U-I Kennlinie
30
Spannung [V]
20
10
0
−10
−20
−30
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
Strom [A]
Abbildung 2.5.: Kennlinie eines Ohmschen Widerstands (R = 4Ω)
Verwendet man nun einen Draht als Widerstand, so lassen sich weitere Proportionalitäten finden. Der Widerstand R ist indirekt proportional zur Draht-Querschnittfläche
A. Außerdem ist er proportional zur Länge L des verwendeten Drahtstücks.
R∝
1
A
R∝L
Insgesamt ergibt sich die Proportionalität
R∝
L
A
und damit
L
A
Die hier eingeführte Proportionalitätskonstannte ρ heißt spezifischer Widerstand und
hat die Einheit [Ωm]. Über diese Größe lässt sich der Widerstand berechnen, wenn Länge und Durchmesser des Drahtes bekannt sind.
R=ρ
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2.7. Die Kirchhoffschen Regeln
2.7.1. Kirchhoffsche Knotenregel
Die Knotenregel besagt, dass die Summe aller in einem Knotenpunkt zusammenfließenden Ströme, der Summe aller aus diesem Knotenpunkt abfließenden Ströme entsprechen
muss:
N
X
In = 0
n=0
Hierbei gehen zu- und abfließende Ströme mit entgegengesetztem Vorzeichen ein. Abbildung 2.6 zeigt ein konkretes Beispiel. Durch die Anwendung der Knotenregel finden
wir, dass hier I1 + I2 + I3 = I4 + I5 gelten muss. Wie bereits bekannt sein sollte, ist der
Strom als Anzahl der Ladungen, welche pro Zeitintervall durch einen Leiter fließen, definiert. Wäre dieses Gesetz nicht erfüllt würden hier Ladungen verschwinden oder erzeugt
werden.
Abbildung 2.6.: Knotenpunkt und die dort zu-/abfließenden Ströme
2.7.2. Kirchhoffsche Maschenregel
Nach der zweiten Regel müssen alle Teilspannungen, welche in einer Masche abfallen,
sich in Summe kompensieren:
N
X
Un = 0
n=0
In Abbildung 2.7 ist ein Schaltkreis mit Spannungsquelle zu sehen. Hier ist die Umlaufrichtung im Uhrzeigersinn gewählt, kann aber im Grunde umgekehrt definiert werden.
Alle Spannungspfeile die der Umlaufrichtung entsprechen, gehen mit einem positiven,
Spannungen entgegen der Umlaufrichtung mit negativem Vorzeichen in die Summe ein.
Angenommen es liegen 9 V Versorgungsspannung an und alle drei Widerstände wären
gleich groß, so würde man an jedem Widerstand eine Spannung von 3 V messen. Wir
haben hier den Leitungswiderstand vernachlässigt. Grundsätzlich wären die Leitungen
auch nur ein relativ kleiner ohmscher Widerstand und könnten als solcher berücksichtigt werden. Dadurch würden wir an unseren Widerständen natürlich nicht mehr diese
9
Abbildung 2.7.: Eine geschlossene Masche in einem Schaltkreis
3 V messen, weil ja ein kleiner Teil der 9 V Versorgungsspannung tatsächlich an den
Leitungen abfällt.
2.8. Rechenregeln für Widerstände in Schaltungen
2.8.1. Die Serienschaltung
In einer Serienschaltung sind verschiedene Widerstände (z.B. R1 und R2 ) in Serie, das
heißt direkt hintereinander geschaltet. Der elektrische Gesamt-Widerstand RGes dieser
Schaltung wird berechnet, indem man die Einzelwiderstände addiert:
RGes = R1 + R2
Abbildung 2.8.: Serienschaltung von zwei Widerständen R1 und R2
2.8.2. Parallelschaltung
In einer Parallelschaltung sind zwei (oder mehr) Widerstände parallel geschaltet. Der
reziproke elektrische Gesamtwiderstand ergibt sich in diesem Fall durch die reziproke
Addition aller Einzelwiderstände:
1
RGes
=
1
1
+
⇒ RGes =
R1 R2
10
1
R1
1
+
1
R2
Abbildung 2.9.: Parallelschaltung von zwei Widerständen R1 und R2
2.9. Leistung und Energie im Stromkreis
Wenn sich eine Ladung q in einem elektrischen Feld bewegt und dabei eine Potentialdifferenz bzw. Spannung U durchquert, so hat das elektrische Feld dabei an der Ladung
q die Arbeit q · U geleistet. Fließt nun durch einen Widerstand R die Stromstärke I,
dann durchqueren dq Ladungen pro Sekunde die Potentialdifferenz U . Somit leistet das
elektrische Feld die Arbeit
dW
=P =U ·I
dt
pro Sekunde. Die pro Sekunde geleistete Arbeit P nennt man elektrische Leistung. Sie
hat die Einheit Watt [W]. In Kombination mit einem Ohm’schen Widerstand ergeben
sich insbesondere:
U2
P = U · I = I2 · R =
R
Die verbrauchte Energie ergibt sich aus der Integration der Leistung über den betrachteten Zeitraum. Diese Energie entspricht der Erwärmung des Widerstands (Heizeffekt, im
engl. Joule-heating). Da in unserem Fall die Leistung P über den Zeitraum t konstant
bleibt, genügt uns die Formel
E =P ·t
Die elektrische Arbeit kann in Joule J angegeben werden, jedoch wird sie im Alltag
häufig in Kilowattstunden [kWh] angegeben (z.B. wird die Stromrechnung stets in Kilowattstunden abgerechnet). Eine kWh entspricht 3600000 J.
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3. Versuchsdurchführung
3.1. Computergesteuerte Messungen
Abbildung 3.1.: Aufbau für die computergesteuerten Messungen mit 330 Ω-Widerstand
und Glühbirne
1. Schließen Sie den 330 Ω-Widerstand wie in dem Schaltbild gezeigt an das HP
66312A an. Nehmen Sie nun mit dem Computermessprogramm „U-I-Kennlinie.vi“
eine Spannungs-Strom-Kennlinie auf. Legen Sie dafür einen Spannungsbereich von
0-10 Volt fest. Speichern Sie diese ab und werten diese mit Hilfe von QTI-Plot aus.
Verwenden Sie hierfür den linearen Fit und lesen Sie die Steigung ab. Bei einem
I-U-Diagramm entspricht die Steigung R1 . Berechnen Sie zuletzt R.
2. Ersetzen Sie den Widerstand durch eine 12V Glühlampe und nehmen sie die Messkurve auf. Was fällt Ihnen am Diagramm auf? Übernehmen Sie die Messwerte
in QTI-Plot und zeichnen Sie die Diagramme Spannung über Strom, Widerstand
über Strom, und Widerstand über Leistung.
3.2. Manuelle Messungen - ohne Computer
3. Auf einem langen Brett sind zwischen Polklemmen zwei Manganin-Drähte gespannt. Messen Sie zunächst Durchmesser und Länge mit Mikrometerschraube
und Meterstab. Schließen Sie anschließend einen Draht an. Stellen Sie am HP Netzteil einen festen Strom von 1 A ein und messen Sie den Spannungsabfall über dem
Draht mit Hilfe des Keithley Voltmeters. Vergleichen Sie die angezeigten Spannungen des Keithley-Voltmeters und der HP-Stromversorgung. Durch was könnte diese
Abweichung zustande kommen?1 Schließen Sie anschließend die Manganindrähte
in Reihe und parallel und führen Sie die gleichen Messungen durch. Bestimmen Sie
1
Versuchen Sie diese Frage in Ihrem Protokoll zu beantworten.
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den Widerstand des Manganindrahts und berechnen Sie den spezifischen Widerstand ρ. Bestimmen Sie außerdem den Innenwiderstand des HP-Stromversorgung.
Zeichnen Sie die zugehörigen Schaltbilder in Ihre Ausarbeitung.
Abbildung 3.2.: links: einzelner Manganindraht, Mitte: Reihenschaltung, Rechts: Parallelschaltung
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A. Materialien und Messprogramm
A.1. Materialien und Geräte
1. Vielfach-Meßgerät für Spannung, Strom und Widerstand (Keithley 2000)
2. Netzgerät – mit Digitalanzeige (HP 66312A)
3. Holzschaltbrett mit Buchsen
4. 330 Ω - Widerstand
5. Glühlampe 12 V, 21 W
6. Bretter mit Buchsen für Manganindraht, inklusive Manganindraht
7. Labor-Kabel mit Bananenstecker
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A.2. Das Computer-Messprogramm
Zur Aufnahme der U-I-Kennlinie verwenden Sie das Programm „U-I-Kennlinie.vi“. Es
ist mit dem Netzgerät „HP 66312A“ verbunden. Nachdem Sie das LabVIEW Programm
geöffnet haben, müssen Sie es zuerst starten, indem Sie auf den linken oberen Pfeil „Run“
drücken. Dann können Sie eine minimale und eine maximale Spannung (z.B. 0-10V)
wählen. Über den Button Messung starten! starten Sie anschließend den Messvorgang.
Das Programm beginnt damit, den minimalen Spannungswert am Netzgerät anzulegen
und nimmt die daraufhin fließende Stromstärke auf. Nach einem Messvorgang erhöht das
Programm die Spannung in gleich großen Schritten und führt jedes Mal eine Messung
der Stromstärke durch, bis der maximale Spannungswert erreicht ist. Unten links sehen
Sie die Anzahl der Messungen und welche Messung aktuell durchgeführt wird. Darunter
befindet sich ein Button Messung unterbrechen!, mit dem Sie die Messreihe abbrechen und die bisherigen Ergebnisse abspeichern können. Nach Beendigung der letzten
Messung stoppt das Programm und möchte die Ergebnisse speichern. Rechts befindet
sich eine graphische Auftragung der gemessenen Werte.
Beim Abspeichern ist darauf zu achten, Ihre älteren Ergebnisse nicht zu überschreiben!
Achten Sie daher auf die Namensgebung der abgespeicherten Dateien!
Die Hewlett Packard Stromversorgung HP66312 A liefert Spannungen von 0 bis 20V
und eine Stromstärke von 0 bis 2A.
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A.3. Manuelle Bedienung der Stromversorgung HP 66312A
Drücken Sie zunächst „Voltage“ (1) für die Einheit des einzustellenden Werts, dann
„Enter Number“ (2). Nun können Sie anhand der Zahlen, die links neben den Tasten
im Feld (3) abgebildet sind, eine Spannung eintippen. Bestätigen Sie mit „Enter“ (4).
Nun passiert – gar nichts, denn erst, wenn man (5) „Output On“ wählt, legt das Gerät
die einprogrammierte Spannung auf die Ausgangsbuchsen. Wiederholen Sie den Vorgang
anschließend für die Stromstärke. Dabei gehen Sie ganz genau so vor wie oben beschrieben, nur dass Sie statt „Voltage“ (1) „Current“ (6) aktivieren. Geben Sie als Zahlenwert
2 Ampere an. Das Netzgerät regelt sich nun selbst: Sie können die Spannung beliebig
hoch schrauben – bis zu einem Grenzwert, bei dem 2 Ampere durch die Leitung fließen,
dann schaltet die Stabilisierung, und der Strom kann nicht weiter gesteigert werden.
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