Lösungen zur 34.¨Ubung

Lösungen zur 34. Übung
Höhere Mathematik II (MB)
34.1 Mit
i=
dq
= C · u̇C
dt
(6)
ist
uR = i · R = RC · u̇C .
Dies, eingesetzt in (1), führt auf die lineare Differentialgleichung erster Ordnung
u̇C +
1
U0
uC =
RC
RC
mit der Lösung
t
,
uC (t) = U0 + K exp −
RC
K ∈ R.
Danach ist uC (0) = U0 + K. Andererseits gilt anfangs 0 = q = C · uC , also uC (0) = 0 .
Mithin ist U0 + K = 0 und
t
uC (t) = U0 1 − exp −
,
RC
t>0
(7)
die gesuchte Spannung uC .
Aus (6) und (7) erhält man
1
t
t
i(t) = C · u̇C (t) = C · U0
= I0 exp −
,
exp −
RC
RC
RC
mit der anfänglichen Stromstärke I0 =
U0
R
t>0
.
34.2 Durch Einsetzen des Biegemoments in die Biegegleichung findet man die homogene
lineare Differentialgleichung zweiter Art
u′′ +
F
u = 0,
EI
die mit a2 =
F
EI
> 0 abkürzend
u′′ + a2 u = 0 ,
a 6= 0
geschrieben wird.
Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung ist
u(x) = C1 cos ax + C2 sin ax ,
0 ≤ x ≤ l,
C1 , C2 ∈ R .
Die Anpassung an die Randbedingungen liefert zunächst
0 = u(0) = C1 · 1 + C2 · 0 = C1
und daraus folgend
0 = u(l) = C2 sin al .
Letzteres bedeutet C2 = 0 , was mit C1 = 0 zur trivialen Lösung u(x) ≡ 0 (kein
Ausknicken) führt. Nichttriviale Lösungen (C2 6= 0) sind nur möglich für spezielle
Werte a = ak , nämlich
ak =
kπ
,
l
k ∈ Z,
denen die Knicklasten
Fk =
k2π2
EI
l2
entsprechen und die Biegelinien
uk (x) = C2 sin ak x ,
0 ≤ x ≤ l,
C2 ∈ R .
Speziell erhält man für k = ±1 die betragskleinste Knicklast
F1 =
π2
EI
l2
mit der Biegelinien-Schar
u(x) = C2 sin
x π ,
l
0 ≤ x ≤ l,
C2 ∈ R ,
d.i. ein Sinusbogen mit der maximalen Amplitude |C2 | .
(Für k = 2 erhält man die Knicklast F2 = 4F1 und eine volle Sinuskurve als
Biegelinie, d.h. einen Sinusbogen noch oben und einen Sinusbogen nach unten.)
34.3 Es bezeichne x die Auslenkung der Feder im Vergleich zur Ruhelage,
d.h. x(t) = r(t) − l . Nach dem Newtonschen Gesetz gilt
m ẍ = FZ + FR
mit Zentrifugalkraft (nach außen gerichtet) und Rückstellkraft (nach innen gerichtet) :
FZ = m ω02 r = m ω02 (l + x) ,
FR = −k x .
Zusammengefasst und sortiert erhält man eine inhomogene lineare
Differentialgleichung zweiter Ordnung für x :
ẍ +
k
2
− ω0 x = ω02 l .
m
Für ω02 <
k
m
kann die Differentialgleichung als
ẍ + ω 2 x = ω02 l ,
ω2 =
k
− ω02 > 0
m
geschrieben werden und hat die allgemeine Lösung
x(t) = C1 sin ωt + C2 cos ωt +
ω02
l,
ω2
t > 0,
C1 , C2 ∈ R .
Die Anfangsbedingung ẋ(0) = 0 erzwingt C1 = 0 . Die Bedingung
r0 − l = x0 = x(0) = C2 +
ω02
l
ω2
liefert C2 . Die Lösung der Randwertaufgabe lautet
ω02
ω2
x(t) = r0 − l − 2 l cos ωt + 02 l , t > 0
ω
ω
und beschreibt
Schwingung mit der Kreisfrequenz ω und der
eine harmonische
ω02 Amplitude r0 − l − ω2 l .
34.4 Durch Einsetzen von (5) in (4) und Division durch ∆x folgt
u′ (x + ∆x) − u′ (x)
ρgA ∆s
=
∆x
T1 ∆x
und nach Grenzübergang ∆x → 0 weiter
u′′ =
Mit ds =
Ordnung
√
ρgA ds
.
T1 dx
1 + u′ 2 dx erhält man so die nichtlineare Differentialgleichung zweiter
u′′ = k
√
1 + u′ 2 ,
k=
ρgA
> 0,
T1
die mit v(x) = u′ (x) übergeht in die Differentialgleichung erster Ordnung
√
v′ = k 1 + v2 ,
deren Lösung mittels Trennung der Veränderlichen zu
v(x) = sinh(kx + C1 ) ,
C1 ∈ R
bestimmt wird.
Durch Integration erhält man schließlich u :
Z
1
cosh(kx + C1 ) + C2 ,
u(x) = v(x) dx =
k
C1 , C2 ∈ R .
Aufgaben und Lösungen im Web : http://www.tu-chemnitz.de/∼ustreit
Bemerkungen an : u.streit@mathematik.tu-chemnitz.de
[17. Juli 2013]
Abbildung 1: Aufgabe 1 - Spannung und Stromstärke
Abbildung 2: Aufgabe 2 - Biegelinien-Schar (l = 5)
Abbildung 3: Aufgabe 3 - Harmonische Schwingung
Abbildung 4: Aufgabe 4 - Seil der Länge l = 3, aufgehängt in A(0, 2) und B(2, 2)
(k = 1.62213)