Impuls- und Energieerhaltung

Experimentalphysik für ET
Aufgabensammlung
1. Erhaltungsgrößen
An einem massenlosen Faden der Länge L = 1 m hängt ein Holzklotz mit der Masse m2 = 1 kg.
Eine Kugel der Masse m1 = 15 g wird mit der Geschwindigkeit v in den Klotz geschossen und
bleibt stecken. Der maximale Auslenkwinkel des Klotzes beträgt γ = 36◦ .
a) Geben Sie einen Ausdruck für die Geschwindigkeit des Klotzes nach dem Einschlag (γ = 0)
der Kugel in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit der Kugel an.
b) Ermitteln sie den Ausdruck für die Geschwindigkeit des Systems aus Klotz und Kugel als
Funktion des Auslenkwinkels γ.
c) Berechnen Sie ausgehend von den Formeln aus a) und b) die Geschwindigkeit und die kinetische Energie der Kugel vor dem Einschlag. Geben Sie für beide Größen die Zahlenwerte
an.v = 130 m/s, Ekin = 128 J
2. Erhaltungsgrößen
Ein Puck der Masse m = 5 kg und der Geschwindigkeit v0 = 2 m/s stößt auf einen identischen
Puck, der auf einer reibungsfreien Eisfläche liegt. Nach dem Stoß entferne sich der erste Puck
mit einer Geschwindigkeit v1 im Winkel von θ1 = 25◦ zu seiner ursprünglichen Richtung; der
zweite Puck entfernt sich mit der Geschwindigkeit v2 unter einem Winkel von θ2 = 55◦ .
a) Geben Sie die Ausdrücke und Werte für die Geschwindigkeiten v1 und v2 an. v1 = 1.66 m/s,
v2 = 0.85 m/s
b) Wie viel Energie wurde beim Stoß in Wärme umgewandelt? ΔEkin = 1.27 J
3. Erhaltungsgrößen
Ein Smart und ein LKW kollidieren ungebremst auf einer Kreuzung. Der Smart ( mS = 800 kg)
fahre dabei mit einer Geschwindigkeit von vS = 72 km/h aus westlicher Richtung kommend
in die Kreuzung ein, während der LKW mit einer Masse von mL = 4 t mit vL = 36 km/h
in Richtung Süden fährt. Es soll angenommen werden, dass sich beide Fahrzeuge ineinander
verkeilen
a) Geben Sie den Ausdruck und den Zahlenwert für die Geschwindigkeit von Smart und LKW
nach dem Stoß an. v 0 = 8.97 m/s
c) In welche Richtung bewegen sie sich nach dem Stoß? −68.1◦ zur x-Achse
b) Wie viel Energie wurde beim Stoß in Wärme umgewandelt? ΔEkin = 167 kJ
4. Erhaltungsgrößen
Ein unbeladener LKW der Masse m1 = 10 t fährt mit einer Geschwindigkeit von
v1 = 36 km/h auf einen ruhenden Wagen mit der Masse m2 = 4 ∙ m1 = 40 t auf. Der Puffer
am ruhenden Wagen kann als Feder mit der Federkonstante D angesehen werden. Es soll angenommen werden, dass der Zusammenstoß elastisch verläuft, d.h. es treten keine Energieverluste
aufgrund von Reibung oder dauerhaften Verformungen auf.
a) Im Moment größter Annäherung haben beide Wagen die gleiche Geschwindigkeit. Wie viel
Energie steckt zu diesem Zeitpunkt in der Feder? Gesucht sind Ausdruck und Zahlenwert. EF =
400 kJ
b) Wie stark wird die Feder eingedrückt, wenn die Federkonstante D = 800 kN/cm ist? x =
10 cm
c) Geben Sie die Ausdrücke und Zahlenwerte für die Geschwindigkeit der beiden Wagen nach
dem Zusammenstoß, wenn sie sich voneinander gelöst haben, an. v1 = −6 m/s, v2 = 4 m/s
5. Erhaltungsgrößen
Ein unbeladener Wagon der Masse m1 = 20 t fährt mit einer Geschwindigkeit von v1 = 36 km/h
auf einen zweiten Wagon mit der Masse m2 = 5 ∙ m1 = 100 t auf, der sich mit einer Geschwindigkeit von v2 = v1 /5 = 7, 2 km/h nähert. Die Puffer an beiden Wagons können als Feder mit
der Federkonstante D angesehen werden. Es soll angenommen werden, dass der Zusammenstoß
elastisch verläuft, d.h. es treten keine Energieverluste aufgrund von Reibung oder dauerhaften
Verformungen auf. Nutzen Sie die für diesen Fall geltenden Erhaltungssätze.
a) Im Moment größter Annäherung haben beide Wagen die gleiche Geschwindigkeit. Wie groß ist
diese? Wie viel Energie steckt zu diesem Zeitpunkt in den Federn? Gesucht sind Ausdruck
und Zahlenwert. EF = 1.2 ∙ 106 J
b) Wie stark werden die Federn eingedrückt, wenn die Federkonstante D = 15 kN/cm ist?
Gesucht ist der Zahlenwert. xF = 0.89 m
c) Geben Sie die Ausdrücke und Zahlenwerte für die Geschwindigkeit der beiden Wagons nach
dem Zusammenstoß, d. h. wenn sie sich voneinander gelöst haben, an. v1 = −10 m/s,
v2 = 2 m/s
6. Erhaltungsgrößen
Ein Newtonpendel bestehe aus drei Kugeln, die an gleich langen Fäden in einer Reihe aufgehängt
sind. Der Abstand der Aufhängepunkte entspricht genau dem Durchmesser der Kugeln, so dass
die Fäden in Ruhe senkrecht hängen und die Kugeln sich gerade berühren. Die Massen der
beiden äußeren Kugeln seien identisch, d.h. m1 = m3 = m. Die Masse der mittleren Kugel
m2 ist unbekannt. Die erste Kugel wird so ausgelenkt, dass ihr Schwerpunkt um die H öhe h1
angehoben wird. Nehmen Sie an, dass alle Stöße elastisch verlaufen.
a) Geben Sie einen Ausdruck für die Geschwindigkeit v1 der ersten Kugel unmittelbar vor dem
Stoß mit der zweiten Kugel an.
b) Geben Sie einen Ausdruck für die Geschwindigkeit der zweiten Kugel nach dem Stoß mit der
ersten Kugel an.
c) Geben Sie einen Ausdruck für die Geschwindigkeit der dritten Kugel unmittelbar nach dem
Stoß mit der zweiten Kugel an.
d) Geben Sie einen Ausdruck für die Höhe h3 an, die die dritte Kugel mit der Geschwindigkeit
aus c) erreicht.
e) Leiten Sie mit den Ergebnissen der Aufgaben a)-d) einen Ausdruck f ür die Masse m2 der
zweiten Kugel als Funktion von m, h1 und h3 ab.
f ) Welcher Wert ergibt sich für m2 mit m = 100 g und h3 /h1 = 0, 25? m2 = 582.8 g oder
m2 = 17.1 g
7. Erhaltungsgrößen
Ein Strom von 100 Kügelchen der Masse mK = 0, 5 g trete pro Sekunde aus einem horizontalen
Röhrchen aus. Die Kügelchen fallen h = 0, 5 m tief auf die Schale einer Balkenwaage und prallen
von dieser so ab, dass sie wieder ihre ursprüngliche Höhe erreichen.
a) Geben Sie einen Ausdruck für den Impuls an, den ein Kügelchen auf die Schale der Balkenwaage überträgt.
b) Ermitteln sie mit dem Ergebnis aus a) einen Ausdruck für die Masse m, die in der anderen
Schale platziert werden muss, damit der Zeiger der Waage in der Mitte bleibt. Geben Sie
zusätzlich den Zahlenwert für m an. m = 31.9 g
Ein Teilchen der Masse m1 mit der Anfangsgeschwindigkeit v1 stoße mit einem ruhenden Teilchen
der Masse m2 zusammen und werde um den Winkel ϕ abgelenkt. Seine Geschwindigkeit nach dem
Stoß sei v10 . Das zweite Teilchen werde gestreut, wobei der Winkel zwischen der urspr ünglichen
Ausbreitungsrichtung des Teilchens m1 und der Geschwindigkeit des Teilchens m2 nach dem
Stoß θ sei.
c) Zeigen Sie, dass gilt tan(θ) = v10 sin(ϕ)/(v1 − v10 cos(ϕ))
d) Müssen Sie für Ihren Ansatz in c) einen elastischen, einen inelastischen Stoß oder keinen von
beiden annehmen, um das Ergebnis zu erhalten? Begründen Sie Ihre Antwort.
8. Erhaltungsgrößen
Ein dünner langer Stab der Länge L = 1 m mit einer Masse von M = 10 kg ist an seinem oberen
Ende drehbar aufgehängt. Eine Kugel der Masse m1 = 18, 6 g wird mit der Geschwindigkeit
v in das untere Ende des Stabes geschossen und bleibt stecken. Der anschließend beobachtete
maximale Auslenkwinkel des Stabes ist α = 25◦ .
a) Das Trägheitsmoment des Stabes um die Achse durch seinen Mittelpunkt ist Js = M L2 /12.
Wie groß ist nach dem Steinerschen Satz das Trägheitsmoment im hier vorliegenden Fall?
Geben Sie den Zahlenwert an. I = 10/3 kg m2
b) Geben Sie den Ausdruck für den Drehimpuls der Kugel bezogen auf die Drehachse des Stabes
kurz bevor die Kugel einschlägt an?
c) Welcher Ausdruck ergibt sich für die Winkelgeschwindigkeit von Stab und Kugel direkt nach
dem Einschlag? Welcher Ausdruck ergibt sich für die zugehörige Rotationsenergie?
d) Geben Sie den Ausdruck für die potentielle Energie des Stabes an, wenn dieser um den
Winkel α ausgelenkt ist.
e) Nutzen Sie die Ergebnisse aus c) und d), um den Zahlenwert für die Geschwindigkeit der
Kugel vor dem Einschlag zu ermitteln. v = 298.4 m/s
9. Erhaltungsgrößen
Ein Massenpunkt m bewegt sich mit der konstanten Geschwindigkeit v0 reibungsfrei auf einer
Kreisbahn mit dem Radius r0 in der Ebene. Ein massenloser Faden, der durch ein kleines Loch
in der Mitte der Ebene geführt wird, hält den Massenpunkt auf seiner Kreisbahn.
a) Berechnen sie die Geschwindigkeit des Massenpunktes für den Fall, dass der Faden langsam
auf die Länge r0 /4 verkürzt wird.
b) Geben Sie die Formel für die Zentrifugalkraft an.
c) Geben Sie die allgemeine Definition der Arbeit bei einer ortsabhängigen Kraft an.
d) Berechnen die Arbeit, die beim Kürzen des Fadens verrichtet werden muss?
e) Zeigen Sie, dass diese Arbeit gleich der Änderung der kinetischen Energie ist.
10. Erhaltungsgrößen
Ein Junge mit der Masse m = 20 kg steht auf einer rotierenden Scheibe im Abstand r0 = 5 m vom
Mittelpunkt der Scheibe. Die Scheibe mit einem Trägheitsmoment von I = 500 kgm2 braucht 6 s
für eine Umdrehung. Mit Hilfe eines Seils bewegt sich der Junge in Richtung des Mittelpunktes
der Scheibe.
a) Wie schnell rotiert die Scheibe, wenn der Junge den Abstand r = r0 /2 erreicht hat? ω = 1.6ω0
b) Geben Sie die Formel für die Zentrifugalkraft an.
c) Geben Sie die allgemeine Definition der Arbeit bei einer ortsabhängigen Kraft an.
d) Berechnen Sie die Arbeit, die der Junge verrichten muss, um seinem Abstand zum Mittelpunkt von r0 auf r zu verkleinern. (Tipp: Substituieren Sie im Integral z = (I + mr2 ))
W = 328.98 J
e) Wie viel Rotationsenergie steckt zu Beginn im System und wie viel Energie enthält das
System, wenn der Junge den Abstand r erreicht hat?Erot,0 = 548.33 J, Erot,1 = 877.29 J