2 Strahlenoptik

2 Strahlenoptik
2.1 Fermatsches Prinzip
Fermatsches Prinzip: Der Weg, den das Licht nimmt, um von einem Punkt zu einem
anderen zu gelangen, ist stets so, dass die benötigte Zeit extremal ist.
Licht breitet sich in einem homogenen Medium geradlinig aus.
Lichtgeschwindigkeit
• im Vakuum: c0 = 299792458 m s−1 .
• in einem Medium mit der Brechzahl n: c = c0 /n.
Formulierung als Variationsprinzip:
δLopt = c0 δ
Z
S
Z
ds
= δ n(r)ds = 0
c0 /n(r)
S
(2.1.1)
Lopt : Optische Weglänge, S: Trajektorie des Lichtstrahls.
Folgerungen:
• Brechungsgesetz an der Grenzfläche zweier homogener Medien:
n1 sin (α1 ) = n2 sin (α2 ) .
(2.1.2)
• Reflexion an einer Grenzfläche: Der Einfallswinkel (relativ zur Flächennormalen)
ist stets genau so groß wie der Ausfallswinkel.
• Ideale Linse: Optisches Element, das alle Strahlen einer punktförmigen Quelle
wieder in einem Punkt vereinigt.
Fermatsches Prinzip: Die optische Weglänge aller Strahlen muss gleich sein!
Betrachte sehr weit entfernte Quelle, die eine plankonvexe Linse mit einem parallelen Strahlenbündel ausleuchtet.
Der geometrische Weg l(r) von der Linse zum Brennpunkt im Abstand f nimmt
für achsennahe Strahlen näherungsweise quadratisch mit dem Achsenabstand r
zu:
!
q
2
r
(2.1.3)
l(r) = f 2 + r2 ≈ f 1 + 2 .
2f
2-1
2 Strahlenoptik
l(r)
r
d(r)
d(0)
f
Abbildung 2.1: Das parallele Strahlenbündel einer weit entfernten Punktquelle wird durch
eine plankonvexe Linse im Brennpunkt vereinigt.
Um dem Fermatschen Prinzip zu genügen, muss die Dicke der Linse d(r) quadratisch mit dem Achsenabstand abnehmen:
r2
.
(2.1.4)
d(r) = d(0) −
2R
In Achsennähe wird diese Bedingung näherungsweise durch eine Kugelfläche
erfüllt.
Vergleiche die optische Weglänge für zwei Strahlen:
!
nd(0) + l(0) = [d(0) − d(r)] + nd(r) + l(r).
Damit:
f=
R
.
n−1
(2.1.5)
(2.1.6)
2.2 Matrizenoptik
Ein Lichtstrahl wird durch den Abstand r von der optischen Achse und die Steigung
r′ = tan (α) charakterisiert.
Betrachte Propagation von Lichtstrahlen unter einem kleinen Winkel zur optischen
Achse.
Paraxiale Näherung: tan (α) ≈ α.
Beschreibe Lichtstrahl durch Strahlvektor r = (r, α).
Der Einfluss eines optischen Elements auf den Lichtstrahl kann durch eine 2×2-Matrix
(ABCD-Matrix) beschrieben werden:
r2
α2
2-2
!
=
A B
C D
!
r1
α1
!
(2.2.1)
2.2 Matrizenoptik
(a)
(b)
α2
α1
r1
α2
α1
r2
z
d
r1
r2
n1
n2
z
(d)
(c)
r1
α1
α2
r1
f α1
z
α1
α1
α2
f
f
Abbildung 2.2: (a) Propagation eines Lichtstrahls in einem homogenem Medium. (b) Brechung an einer planaren dielektrischen Grenzfläche. (c) Strahlengang durch
eine dünne Linse mit Brennweite f . (d) Reflexion an einem sphärischen Spiegel mit Krümmungsradius R und Brennweite f = R/2.
Die ABCD-Matrix einer Abfolge von j optischen Elementen kann durch einfache
Matrixmultiplikation berechnet werden:
A B
C D
!
=
Aj Bj
Cj Dj
!
···
A2 B2
C2 D2
!
A1 B1
C1 D1
!
.
(2.2.2)
Propagation in einem homogenen Medium
Strahlvektor am Anfang der Strecke: r1 = (r1 , α1 )
Strahlvektor nach der Propagation um die Strecke d entlang der optischen Achse [siehe
Abbildung 2.2 (a)]:
r2 = r1 + α1 d
(2.2.3)
α2 = α1
Matrixschreibweise:
r2
α2
!
=
1 d
0 1
(2.2.4)
!
r1
α1
!
(2.2.5)
2-3
2 Strahlenoptik
Brechung an einer ebenen Fläche
Brechungsgesetz in paraxialer Näherung [sin (α) ≈ α]:
n1 α1 = n2 α2
(2.2.6)
Strahlvektor in Medium 2 direkt hinter der Grenzfläche [siehe Abbildung 2.2 (b)]:
r2 = r1
α2 =
Matrixschreibweise:
r2
α2
!
=
1
0
(2.2.7)
n1
α1
n2
(2.2.8)
!
0
n1
n2
r1
α1
!
(2.2.9)
Dünne Linse mit Brennweite f
Strahlvektor direkt hinter der Linse [siehe Abbildung 2.2 (c)]:
r2 = r1
α2 = α1 −
Matrixschreibweise:
r2
α2
!
=
(2.2.10)
r1
f
1 0
− f1 1
!
(2.2.11)
r1
α1
!
(2.2.12)
Sphärischer Spiegel mit Brennweite f (Krümmungsradius R = 2f )
Beachte: Bei reflektierenden optischen Elementen wird der Strahlengang „umgeklappt“.
Strahlvektor direkt nach der Reflexion [siehe Abbildung 2.2 (d)]:
r2 = r1
α2 = α1 −
Matrixschreibweise:
r2
α2
2-4
!
=
(2.2.13)
r1
f
1 0
− f1 1
!
(2.2.14)
r1
α1
!
(2.2.15)
2.2 Matrizenoptik
(a)
d
f1
(b)
f2
f1
f2
f1
f2
d
f2
d
„Round trip“
Abbildung 2.3: (a) Spiegelresonator bestehend aus zwei sphärischen Spiegeln mit Brennweiten f1 und f2 . (b) Äquivalentes Linsensystem bestehend aus dünnen Linsen
mit Brennweiten f1 und f2 .
Stabilitätskriterium für Spiegelresonatoren
Eine dünne Linse und ein sphärischer Spiegel besitzen die selbe ABCD-Matrix.
Idee: Analysiere Spiegelresonator als periodisches Linsensystem.
Die ABCD-Matrix für einen Umlauf („Round trip“) lautet (siehe Abbildung 2.3)1 :
M=
1
0
− 2f11 1
!
1 d
0 1
!
1 0
− f12 1
!
1 d
0 1
!
1
0
− 2f11 1
!
.
(2.2.16)
Ausmultiplizieren liefert:
M=
(2g1 g2 − 1)
2g2 d
2g1 (g1 g2 − 1) /d (2g1 g2 − 1)
!
(2.2.17)
mit gi = 1 − d/2fi ; i = 1, 2.
Eigenwertgleichung liefert Moden des Spiegelresonators:
M rj = κj rj ; j = 1, 2
1
(2.2.18)
Hier wird eine Linse in zwei „Halblinsen“ mit doppelter Brennweite aufgeteilt.
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Nichttriviale Lösungen erfordern |M − κ1| = 0.
Damit folgt:
κ1,2 = (2g1 g2 − 1) ±
q
(2g1 g2 − 1)2 − 1
(2.2.19)
Die zugehörigen Eigenvektoren rκ1 und rκ2 bilden eine Basis.
Stelle beliebigen Strahlvektor als Linearkombination dar:
r1 = c1 rκ1 + c2 rκ2 .
(2.2.20)
Nach N -Umläufen im Resonator gilt:
N
r2 = MN r1 = c1 κN
1 rκ1 + c2 κ2 rκ2 .
(2.2.21)
Stabiler Resonator: Kein Strahl darf den Resonator verlassen.
Stabilitätskriterium: |κ1 | = |κ2 | = 1 ⇒ |2g1 g2 − 1| ≤ 1.
Beispiele für stabile Resonatoren (siehe Abbildung 2.4):
• Planarer Resonator: R1 = R2 = ∞, g1 = g2 = 1.
• Konfokaler Resonator: R1 = R2 = d, f1 = f2 = d/2, g1 = g2 = 0.
• Konzentrischer Resonator: R1 = R2 = d/2, f1 = f2 = d/4, g1 = g2 = −1.
2
(b)
planar
(a)
1.5
planar
1
(c)
konfokal
0.5
g2
d
0
konfokal
R1
R2
d
konzentrisch
(d)
-1
-1.5
-2
-2
-1
0
1
konzentrisch
-0.5
R1
d
R2
2
g1
Abbildung 2.4: (a) Stabilitätsbereich (graue Fläche) eines Spiegelresonators. (b) Planarer
Resonator: R1 = R2 = ∞, g1 = g2 = 1. (c) Konfokaler Resonator: R1 =
R2 = d, f1 = f2 = d/2, g1 = g2 = 0. (d) Konzentrischer Resonator: R1 =
R2 = d/2, f1 = f2 = d/4, g1 = g2 = −1.
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