Die Fermatsche Vermutung und der Wolfskehlpreis

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Julius-Maximilians-Universität Würzburg
Institut für Mathematik
Lehrstuhl für Mathematik IV (Zahlentheorie)
Bachelorarbeit
Die Fermatsche Vermutung und der
Wolfskehlpreis
Maria Schmid
Eingereicht am 25.06.2015
Betreuer:
Prof. Dr. Jörn Steuding
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
3
2 Historische Fakten
2.1 Pierre de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Fermats Leben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Die Fermatsche Vermutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Lösungsversuche vor Wolfskehl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Der Fall n = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Der Fall n = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Der Fall n = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Die Fälle n = 14 und n = 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Erfolge von Abel, Barlow, Germain, Kummer, Lamé und Wendt
2.3 Paul Wolfskehl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Wolfskehls Leben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Der Wolfskehlpreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Auswirkung des Wolfskehlpreises . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Der Beweis der Fermatschen Vermutung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Analyse mathematischer Preise am Beispiel des Wolfskehlpreises
3.1 Die Rolle von Preisen in der Mathematik . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Geschichte der Preise in der Mathematik . . . . . . . . . .
3.1.2 Do prizes motivate mathematics? . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Analyse des Wolfskehlpreises durch Vergleich mit anderen Preisen
3.2.1 Vergleich der Initiatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Vergleich der Zeitlänge der Preisausschreiben . . . . . . . .
3.2.3 Vergleich der Reaktionen auf die Preisausschreiben . . . . .
3.2.4 Vergleich der Gewinner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5 Vergleich der Fehler in Beweisen . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.6 Zusammenfassung der Analyse des Wolskehlpreises . . . . .
4 Schluss
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1 Einleitung
Simon Flagg succeeded in summoning the devil.[...]
„I will pose a certain question.“ Simon began, and the devil brightened, „to be
answered within twenty-four hours [...]“
„If I can’t answer your question in the given time, [..] I offer health and happiness as
long as you live. If I do answer it - well, you know the consequences. That’s the very
best I can offer.“ [...] „All right,“ said Simon. He took a deep breath. „My question is
this: Is Fermat’s Last Theorem correct?“ [...]
It was the following afternoon. [...] The devil stood before [him.] [...]
„You win, Simon,“ he said, almost in a whisper, eying him with ungrudging respect.
„[...] Do you know,[...] not even the best mathematicians on other planets - all far
ahead of yours - have solved it? Why, there’s a chap on Saturn he looks something like
a mushroom on stilts - who solves partial differential equations mentally; and even he’s
given up.“
[vdP96, S. 201-206]
Dieser Auszug aus Arthur Porges Kurzgeschichte „The Devil and Simon Flagg“ verdeutlicht, dass die Fermatsche Vermutung nicht nur in wissenschaftlichen Mathematikbüchern enthalten ist. Sie ist bekannt, beliebt und begegnet jedem Menschen im Alltagsgeschehen. „Fermats letzter Satz [taucht] [...] in Romanen auf (Verdammnis von Stieg
Larsson), in Filmen (Teuflisch mit Brendan Fraser und Elizabeth Hurley) und Theaterstücken (Arkadien von Tom Stoppard). Den wohl berühmtesten Gastauftritt hatte
Fermats letzter Satz in der Episode ’Hotel Royale’ von Raumschiff Enterprise - Das
nächste Jahrhundert aus dem Jahr 1989.“ [Sin13, S. 51] Diese Omnipräsenz muss einen
Grund haben.
Zwei Dinge zeichnen die Fermatsche Vermutung aus: Sie ist einfach zu verstehen und
den Beweis zu finden dauerte hunderte von Jahre. Diese Zeitspanne in der Geschichte der
Fermatschen Vermutung bis zu ihrem Beweis war kein Stillstand. Immer wieder wurden
kleine Fortschritte erzielt, neue Beweismethoden versucht und Preise dafür ausgeschrieben. Ein wichtiges Ereignis in diesem zeitlichen Ablauf war der Wolfskehlpreis, der dem
Gewinner nicht nur Ruhm sondern auch 100.000 Mark einbringen sollte.
Diese Bachelorarbeit hat das Ziel die Fermatsche Vermutung und den Wolfskehlpreis
vorzustellen und eine Antwort darauf zu geben, ob der Wolfskehlpreis oder auch andere
mathematische Preise zu Problemlösungen beitragen und beeinflussen, welche mathematischen Fragen in den nächsten Jahren und Dekaden von Bedeutung sind.
Meine Arbeit gliedert sich in zwei Teile. Zunächst wird Pierre de Fermats Leben dargestellt und im Zuge dessen auch erklärt, was die Fermatsche Vermutung ist. Nach einer
3
Abhandlung der Erfolge, die hinsichtlich eines Fortschritts zum Beweis der Fermatschen
Vermutung erzielt wurden, folgt Paul Wolfskehls Leben und eine Beschreibung des Wolfskehlpreises. Anschließend geht es darum, welche Auswirkungen der Wolfskehlpreis hatte.
Mit Auswirkungen sind die Menge und Art der Einsendungen, der Hintergrund der Autoren der Lösungsversuche und die Veränderungen in der Höhe des Preisgeldes gemeint.
Am Schluss des ersten Teils wird erklärt, wie der Beweis letztendlich geführt werden
konnte und wer ihn führte.
Der zweite Teil meiner Arbeit beginnt mit einer kurzen Abhandlung über die Geschichte der Preise in der Mathematik, damit der Leser dem anschließenden Kapitel
folgen kann. Dieses behandelt die Frage, ob Preise allgemein etwas zur Mathematik beitragen. Danach wird dieses Thema auch anhand des Wolfskehlpreises untersucht. Ob
dieser Preis zum Beweis der Fermatschen Vermutung beigetragen hat und ob er beeinflusst hat, woran in der Mathematik gearbeitet wurde, wird vor allem durch Vergleiche
mit anderen Preisen hinsichtlich des Initiators, der Zeitlänge, den Reaktionen, den Gewinnern eines Preises und den Fehlern in den Beweisen untersucht. Am Ende der Arbeit
folgt noch eine kurze Zusammenfassung der Resultate.
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2 Historische Fakten
Im Abschnitt Historische Fakten werden alle Fakten zu der gegebenen Themenstellung
zusammengetragen. Dem Leser soll die Gelegenheit gegeben werden, sich ein möglichst
umfangreiches Bild über den Wolfskehlpreis zu machen, um später der Analyse im zweiten Teil der Arbeit besser folgen zu können. Für dieses umfassende Bild werde ich auf
Pierre de Fermat eingehen, die erzielten Ergebnisse bezüglich der Fermatschen Vermutung zwischen Fermat und Wolfskehl ansprechen und Paul Wolfskehls Leben, sowie seinen Preis und dessen Auswirkungen beschreiben. Um das Kapitel abzurunden, folgt ein
kurzer Absatz zum Beweis der Fermatschen Vermutung durch Andrew Wiles.
2.1 Pierre de Fermat
Im ersten Teil dieses Kapitels wird das Leben von Pierre de Fermat geschildert, wohingegen sich der zweite Teil ausschließlich mit der Fermatschen Vermutung beschäftigt.
Dabei soll auch geklärt werden, wie es zu dem verbreiteten Namen Fermats letzter Satz
kam und ob dieser berechtigt ist. Ebenso befasse ich mich mit der Frage, ob Fermat
tatsächlich - wie er schrieb - einen Beweis seiner Vermutung besaß. Zudem wäge ich die
Meinungen verschiedener Autoren gegeneinander ab.
2.1.1 Fermats Leben
Pierre de Fermat ist der Mann, über den viele schreiben, dass er der Urheber der höheren Arithmetik bzw. der Zahlentheorie sei. Paul Bachmann schreibt gleich zu Beginn
seines Buches „Das Fermatproblem“, dass Fermat „unstreitig der größte französische
Mathematiker des 17. Jahrhunderts und zugleich [...] ein ganz ungewöhnlich reiches und
vielseitiges Genie“ [Bac19, S. 1] sei. Eric Temple Bell bezeichnet ihn gar als „the prince
of amateurs“ [Bel37, vgl. Kap. 4]. Dem gegenüber steht die Beschreibung seines Lebens
als ruhig, fleißig und ereignislos [Bel37, vgl. S. 76]. Wer war der Mann, auf den alle diese
Aussagen zutreffen?
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Pierre Fermat, geboren im August 1601 in Beaumontde-Lomagne (überliefert ist nur das Datum seiner Taufe,
der 20. August 1601), war der Sohn des wohlhabenden
Lederwarenhändlers Dominique Fermat und seiner Gattin Claire de Long, die aus einer Juristenfamilie stammte. Auch wenn man nicht viel über seine Schulbildung
in Toulouse weiß, kann man doch aufgrund seines fundierten Wissens in der Mathematik und seiner beeindruckenden Kenntnisse in Griechisch und Latein davon ausgehen, dass er eine hervorragende Schule besuchte und
ein guter Schüler war. Im Anschluss an seine Schullaufbahn studierte er Rechtswissenschaften und am 14. Mai
1631 wurde Fermat mit gerade einmal 30 Jahren zum
Hofrat an der Petitionskammer ernannt. Am 01. Juni
1631 heiratete Pierre Fermat Louise de Long, mit der er
Abb. 2.1: Pierre de Fermat,
drei Söhne und zwei Töchter zeugte. 1634 wurde Fermat
[Sin98, S. 58]
Rat am obersten Gerichtshof in Toulouse und bekleidete weiter bis zu seinem Tod am 12. Januar 1665 diverse
Ämter am obersten Gerichtshof. Diese brachten ihm nicht nur einen Adelstitel ein, sondern auch eine gesellschaftliche Isolation, da dies im 17. Jahrhundert die Garantie für
Unbestechlichkeit war. Die dadurch erhaltene freie Zeit nutzte Pierre de Fermat, um
Mathematik in einer Weise zu betreiben, die viele daran zweifeln lässt, ob der Ausdruck
Amateur wirklich zutreffend ist [Sin98, vgl. S. 61].
Im Gegensatz zu vielen anderen Mathematikern seiner Zeit weiß man heute von Fermats Leistungen nicht durch seine Veröffentlichungen, sondern hauptsächlich durch Briefe, in denen Fermat anderen Gelehrten Mathematikrätsel, die er selbst schon gelöst hatte,
als Aufgabe stellte. Dieser Nachlass wurde von Fermats Sohn Clément-Samuel geordnet
und herausgegeben. Durch die Aufgabe, antike Schriften von Euklid und Apollonius wiederherzustellen, [Wuß75, vgl. S. 157] begeisterte sich Fermat für Geometrie und begründete die Analytische Geometrie. Ebenso sind Fortschritte in der Analysis, insbesondere
Vorläufer der Differential- und Integralrechnung, die Einführung der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Neuerungen in der Optik Fermat zuzuschreiben [Hel97, vgl. S. 3]. Als
Claude Bachet 1621 Diophants „Arithmetica“ zum ersten Mal in das Lateinische übersetzte, wurde Fermat bei deren Lektüre auf die Zahlentheorie aufmerksam [Dev88, vgl. S.
204]. Dieser Bereich der Mathematik sollte sich zu seiner Hauptdisziplin entwickeln. So
ist er unter anderem verantwortlich für die - irrtümlich Pellsche und nicht Fermatsche gen
nannte - Gleichung x2 −Ay 2 = 1, die Fermatzahlen Fn = 22 +1 und den kleinen Fermatschen Satz ap−1 ≡ 1 mod p für alle primen p und a ∈ Z, die nicht durch p teilbar sind
[Hel97, vgl. S. 3-4]. Der Satz jedoch, weswegen jeder Schüler Fermats Namen kennt,
wurde bisher noch nicht genannt: Fermats letzter Satz.
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2.1.2 Die Fermatsche Vermutung
Ebenso wie die Ägypter, besaßen auch die Griechen in der Antike ein großes Wissen über Mathematik. Trotzdem blieb ihnen viel verwehrt, da sie vor dem Abstrakten zurückschreckten. Eine Ausnahme bildete darin der Alexandriner Diophant. Er
machte sich wider des damals Anerkannten auf die Suche nach Lösungen von Gleichungen und beschäftigte sich dabei auch mit pythagoräischen Tripeln, also Zahlen
a, b, c ∈ N, die der Gleichung a2 + b2 = c2 genügen. Als im 16. Jahrhundert eine Art
„Renaissancemathematik“ [Gra98, S. 85] anbrach, beschäftigten sich viele Mathematiker mit dem griechischen Gedankengut und dadurch auch mit der - in Hinblick auf
Diophant - naheliegenden Frage, ob man ebenfalls Tripel finden könnte, die die Gleichung an + bn = cn für ein n > 2 lösen [Gra98, vgl. S. 85] - so auch Pierre de Fermat.
Er besaß eine der lateinischen Ausgaben von Diophants Arithmetica und machte sich
beim Studieren derselben allerlei Notizen am Rande. Neben der oben aufgeführte Gleichung an + bn = cn für n > 2 schrieb er: „Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere [...]“ [Bac19, S. 2] (sinngemäß:
es ist unmöglich, eine Potenz mit einem Exponenten größer 2 in die Summe zweier Potenzen mit demselben Exponenten aufzuteilen). Diese Beobachtung wird als Fermatsche
Vermutung bezeichnet. Fermat beendete sie mit den Worten „[...]cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.“ [Bac19, S. 2] (Ich habe
für dieses einen wunderbaren Beweis. Dieser Rand ist zu schmal, um ihn zu fassen). Formuliert man diese Vermutung in der heutigen mathematischen Schreibweise, so lautet sie:
Vermutung 2.1 (Fermatsche Vermutung). Die Gleichung an + bn = cn hat für n > 2
keine Lösungen in den ganzen Zahlen mit abc 6= 0.
Wie im vorherigen Kapitel erwähnt, sind Fermats Vermutungen, Sätze und Beweise
nicht durch Veröffentlichungen oder den Kontakt zur Pariser Mathematikerschule publik
geworden. Vielmehr wären sie niemals entdeckt worden, hätte nicht Clément-Samuel de
Fermat verstanden, dass die Notizen seines Vaters die Gedanken eines Genies enthalten. Er nahm sich fünf Jahre Zeit, um alles zu ordnen, zu sortieren und zu entziffern.
1670 schließlich wurde „Diophanti Alexandrini arithmeticorum cum observationibus P.
de Fermat“ veröffentlicht und allen zugänglich gemacht [Sin98, S. 88].
Zwei große Fragen sind es nun, die man sich stellen könnte. Hatte Fermat wirklich
einen Beweis und warum heißt die Aussage landläufig Fermats letzter Satz?
Zur ersten Frage gibt es viele Antworten, da beinahe jeder, der in den vergangenen
hundert Jahren ein Buch über die Fermatsche Vermutung veröffentlichte, auch etwas
zur Existenz eines Beweises von Fermat schrieb. Interessant sind wohl vor allem diese
Ansätze:
Eric Temple Bell ist in seinem Buch „Men of Mathematics“ davon überzeugt, dass
Fermat einen Beweis besaß, denn „[...]whenever Fermat asserted that he had proved
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anything, the statement [...] has subsequently been proved. Both his scrupulously honest
character and his unrivalled penetration as an arithmetician substantiate the claim made
for him [...] that he knew, what he was takling about when he asserted that he possessed
a proof of his theorem.“ [Bel37, S. 91]. Hans Wußing hingegen führt an, dass Fermat
n
ebenfalls davon überzeugt war, dass alle Zahlen der Form 22 + 1 für n ∈ N Primzahlen
sind, was Euler für n = 5 widerlegte. Genauso könnte er sich in Bezug auf die Fermatsche
Vermutung irren [Wuß75, vgl. S. 136-164]. Sowohl Winfried Scharlau, als auch Keith
Devlin sind überzeugt davon, dass Fermat glaubte die Fälle n = 3 und n = 4 auf
alle n ∈ N erweitern zu können. Als Fermat jedoch später seinen Irrtum bemerkte,
besserte er die Randbemerkung nicht aus, da sie ja nur eine private Notiz und nicht zur
Veröffentlichung gedacht war [OS80, vgl. S. 15] und [Dev88, vgl. S. 206-207]. Underwood
Dudley vermutete gar im Buch „Elementary Number Theory“: „[H]e may have realized
how deep the proof must lie and wrote the comment to keep future generations of
mathematicians at work.“ [Dud69, S. 129] und schickt die Frage hinterher, ob Franzosen
Witzbolde seien [Dud69, vgl. S. 129]. Oystein Ore bringt die Sachlage auf den Punkt:
„The question whether Fermat possessed a demonstration of his last problem will in
all likelihood forever remain an enigma“ [Ore48, S. 205], Paul Bachmann fügt noch
hinzu: „Man kann gegenwärtig Zweifel hegen, ob Fermat sich über die Beweiskraft seiner
Schlüsse nicht getäuscht haben mag; an der Wahrhaftigkeit seiner Aussage darf man es
nicht.“ [Bac19, S. 2].
Auch wenn sich unter Mathematikern die Bezeichnung Fermatsche Vermutung nahezu
durchgesetzt hat, stellt sich die Frage, wie die Behauptung zum Namen Fermats letzter
Satz bzw. Fermat’s last theorem kam. Auch wenn diese Vermutung eher am Anfang der
zahlentheoretischen Karriere Fermats entstand, war sie bereits wenige Jahre nach seinem
Tod die letzte Aussage, die weder bewiesen noch widerlegt worden war. Dadurch kam sie
zu dem Namen Letzte Vermutung. Dennoch hätte der Name Letzte Vermutung erst dann
durch Letzter Satz ersetzt werden dürfen, als die Vermutung wirklich bewiesen worden
war. In der Mathematik ist es üblich, schon im Namen zu unterscheiden, ob etwas bewiesen wurde oder der Beweis noch aussteht. Hierbei liegt der Fall allerdings schwieriger, da
Fermat ja behauptete einen Beweis zu haben. Nur in der Annahme, dass dies wirklich
der Wahrheit entspräche, dürfte man die Aussage als Fermats letzten Satz bezeichnen.
Da sich unter Wissenschaftlern trotz des Beweises durch Wiles 1997 die Bezeichnung
Fermatsche Vermutung etabliert hat, werde ich diese Bezeichnung auch im Folgenden
verwenden.
Ich möchte hier noch zwei Zitate anführen, die die Relevanz und Popularität der
Fermatschen Vermutung belegen.
Michael Rosen schreibt in der Einleitung zu seiner Abhandlung über die Geschichte
der Fermatschen Vermutung: „It is arguably true that Fermat’s Last Theorem (FLT)
has been the most famous of all mathematical problems for at least three centuries.
There has been debate about whether it is a serious and important problem or merely
a curiosity, but there can be no denying its popularity.“ [Ros97, S. 505].
Uwe Jannsen veröffentlichte: „Das Fermatsche Problem besticht durch zwei Dinge:
erstens durch seine einfache Formulierung und zweitens durch seine Unangreifbarkeit,
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die dem ersten Punkt hohnspricht. Eigentlich ist an dieser speziellen Gleichung nichts
Besonderes, dennoch ist es eine Tatsache, daß die Beschäftigung mit ihr die Entdeckung
von wichtigen neuen Begriffen und Methoden der Mathematik verursachte.“ [Jan93, S.
9] und gab als Beispiel ebenso wie Underwood Dudley in „Mathematical Cranks“ den
Begriff der Ideale und die Einführung der algebraischen Geometrie an [Dud92, vgl. S.
106].
Nach dieser Darlegung gilt es nun zu zeigen, wie die ersten Resultate zur (Re-) Konstruktion eines Beweises aussahen, denn wenngleich jeder Laie die Fermatsche Vermutung begreifen kann und man auch meinen könnte, dass sie deshalb leicht zu beweisen
wäre, so sollte sich doch herausstellen, dass dem nicht so ist [Gra98, vgl. S. 85].
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2.2 Lösungsversuche vor Wolfskehl
In diesem Kapitel werden die Ergebnisse beschrieben, die bereits vor dem Wolfskehlpreis
erzielt wurden und einen Fortschritt für den Beweis der Fermatschen Vermutung darstellten. Da allein dieses Kapitel ganze Bücher füllen könnte, beschränke ich mich auf die
Fälle n = 3 und n = 4 und werde kurze Einblicke in die Fälle n = 5, n = 7 und n = 14
sowie in die Erkenntnisse von Abel, Barlow, Germain, Kummer, Lamé und Wendt geben.
2.2.1 Der Fall n = 4
Es mag verwunderlich erscheinen, dass ich hier nicht mit n = 3 beginne, doch beruht
die Fragestellung in Diophants Arithmetica, die Fermat zu seiner Vermutung verleitete
auf dem Fall n = 4, weshalb dieser zuerst genannt werden sollte. Neben der Tatsache,
dass die Fermatsche Vermutung für n = 4 weitaus leichter zu beweisen ist als für n = 3,
„stellt [der Fall n = 4] praktisch die einzige aus Fermats Feder stammende Beweisführung dar, die jemals ein anderer als Fermat selbst zu Gesicht bekam“ [Dev88, S. 209]
und ist deshalb als durchaus wichtig anzusehen.
Um den Beweis verständlich zu machen, soll zuerst der Begriff der pythagoräischen
Tripel eingeführt werden.
Definition 2.2. Pythagoräische Tripel sind Zahlentripel (a, b, c) ∈ N3 mit a2 + b2 = c2 .
Sind a und b teilerfremd, so existieren teilerfremde Zahlen p und q mit p > q, sodass
a, b und c für o.B.d.A. a gerade dargestellt werden können durch
a = 2pq ,
b = p2 − q 2 und c = p2 + q 2
(2.1)
[Hel97, S. 7]. Dies zeigte schon Euklid.
Der nachfolgende Satz wurde von Fermat in einer Briefkorrespondenz erwähnt und
grob bewiesen [OS80, vgl. S. 9-10]:
Satz 2.3. Die Gleichung
x4 + y 4 = z 2
(2.2)
besitzt keine nichttriviale Lösung.
Hier sollte noch erwähnt werden, dass triviale Lösungen von der Art xyz = 0 sind.
Beweis. Sei (x, y, z) ein pythagoräisches Tripel, das (2.2) erfüllt. Zusätzlich kann man
annehmen, dass x, y und z paarweise teilerfremd sind und x o.B.d.A. gerade ist. Dann ist
(x2 , y 2 , z) ein pythagoräisches Tripel mit (x2 )2 + (y 2 )2 = z 2 . Mithilfe von (2.1) existieren
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teilerfremde Zahlen a und b mit o.B.d.A. a > b > 0 und unterschiedlichen Paritäten
sowie
x2 = 2ab , y 2 = a2 − b2 und z = a2 + b2 .
Da oben angenommen wurde, dass x gerade ist und x und y teilerfremd sind, muss
y ungerade sein, weshalb b gerade ist. Wäre hingegen a gerade, müsste a2 modulo 4
betrachtet kongruent Null sein und b2 kongruent 1 mod 4. Damit wäre aber y 2 wegen
y 2 = a2 − b2 kongruent −1 mod 4, was unmöglich ist. Also muss b, und nicht a, gerade
sein.
Da nun mit (b, y, a) und b2 + y 2 = a2 ein neues pythagoräisches Tripel gefunden ist,
existieren wiederum nach (2.1) teilerfremde Zahlen c und d mit o.B.d.A. c > d > 0 und
unterschiedlichen Paritäten sowie
b = 2cd , y = c2 − d2 und a = c2 + d2
Also gilt
x2 = 2ab = 4cd(c2 + d2 )
(2.3)
Da c, d und c2 + d2 paarweise teilerfremd sind, kann man mithilfe der eindeutigen
Primfaktorzerlegung aus (2.3) schließen, dass e, f und g existieren mit
c = e2 , d = f 2 und c2 + d2 = g 2
Also ist mit (e, f, g) und
e4 + f 4 = g 2
neben (x, y, z) eine weitere Lösung für (2.2) gefunden, wobei
z = a2 + b2 = (c2 + d2 )2 + 4c2 d2 > g 4 > g > 0.
Mithilfe des unendlichen Abstiegs (siehe unten) führt dies zu einem Widerspruch [Rib79,
vgl. S. 37-38].
Und schließlich folgt das Gewünschte:
Korollar 2.4. Die Gleichung
x4 + y 4 = z 4
Das Korollar folgt sofort aus Satz 2.3 und der Unmöglichkeit von x4 + y 4 = (z 2 )2 .
Der Beweis von Satz 2.3 wurde mit Hilfe der Methode des infiniten Abstiegs geführt.
Der infinite oder unendliche Abstieg bedient sich der Tatsache, dass die Menge N nach
unten beschränkt ist. Irgendwann wird in einer absteigenden Folge von natürlichen Zahlen die 1 erreicht, womit die Folge - falls sie in den natürlichen Zahlen bleiben soll enden muss. Findet sich nun die Möglichkeit in einem Beweis zu zeigen, dass zu jeder
beliebig kleinen Lösung eine noch kleinere Lösung existiert und kann somit eine absteigende Folge von Lösungen konstruiert werden, ist dies ein Widerspruch dazu, dass in
den natürlichen Zahlen irgendwann die 1 als kleinstes Element die Folge beschränken
müsste. Damit kann geschlussfolgert werden, dass es keine Lösung geben darf.
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Leonhard Euler verwendete die oben erwähnte Methode des infiniten Abstiegs für den
Beweis von n = 3. Auch wenn er schon 1753 brieflich mitteilte, dass er einen Beweis
für n = 3 habe, wurde dieser doch erst 1770 in dem Werk „Vollständige Anleitung zur
Algebra“ veröffentlicht [Dev88, vgl. S. 214-215]. Hier soll nun der Beweis wiedergeben
werden, wie ihn in einer ähnlichen Form Euler erstellte:
Satz 2.5. Die Gleichung
x3 + y 3 + z 3 = 0
(2.4)
Beweis. Angenommen x, y und z sind paarweise teilerfremde Zahlen ungleich Null derart, dass (2.4) gelte. Außerdem seien o.B.d.A. x und y ungerade, z gerade und x, y und
z so unter allen möglichen Lösungen gewählt, dass |z| kleinstmöglich ist.
Da x + y und x − y gerade sind, existieren teilerfremde ganze Zahlen a und b mit unterschiedlichen Paritäten, sodass
x + y = 2a und
x − y = 2b.
Damit gilt
− z 3 = x3 + y 3 = (a + b)3 + (a − b)3 = 2a(a2 + 3b2 ).
(2.5)
Da a und b verschiedene Paritäten haben, muss eine der beiden Zahlen ungerade sein,
weshalb auch (a2 + 3b2 ) ungerade sein muss. Da z als gerade angenommen wurde, gilt
2 | z und daher auch 8 | z 3 . Damit muss 8 ebenfalls 2a teilen und b ist ungerade, womit
folgt, dass der größte gemeinsame Teiler ggT (2a, a2 + 3b2 ) gleich 1 oder 3 ist.
Fall 1: ggT (2a, a2 + 3b2 ) = 1
In diesem Fall gilt 3 - a. Mit (2.5) und der eindeutigen Primfaktorzerlegung ist klar, dass
es r und s gibt mit
r3 = 2a und s3 = a2 + 3b2 .
Hierbei muss s ungerade sein. Euler nimmt nun an, man könnte s in die Form s = u2 +3v 2
bringen (dazu später mehr, siehe Bemerkung). Also gilt für u, v ∈ Z
a = u(u2 − 9v 2 )
und
b = 3v(u2 − v 2 ).
Dabei ergibt sich, dass v ungerade ist, u jedoch gerade, u 6= 0, 3 - u und ggT (u, v) = 1.
Mit den paarweise teilerfremden Zahlen 2u, u + 3v und u − 3v gilt
r3 = 2a = 2u(u2 − 9v 2 ) = 2u(u + 3v)(u − 3v),
womit gezeigt wurde, dass 2u, u + 3v und u − 3v Kuben sein müssen und also in der
Form
2u = −n3 , u + 3v = m3 und u − 3v = l3
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dargestellt werden können. Nun haben wir die Darstellung
l 3 + m 3 + n3 = 0
erreicht mit l, m und n alle ungleich Null und n gerade. Betrachtet man nun noch
|z 3 | = |2a(a2 + 3b2 )| = |n3 (u2 − 9v 2 )(a2 + 3b2 )| ≥ 3|n3 | > |n3 |,
wobei u2 − 9v 2 = l3 m3 6= 0 und b 6= 0, sieht man sofort, dass |n| < |z|, was den infiniten
Abstieg verursacht und einen Widerspruch zur Minimalität von |z| darstellt.
Fall 2: ggT (2a, a2 + 3b2 ) = 3
Da in diesem Fall a = 3c, oben im Beweis jedoch festgestellt wurde, dass 8 | 2a, ist c
durch 4 teilbar und somit gerade. b jedoch ist ungerade und nicht durch 3 teilbar, da a
und b anfangs teilerfremd gewählt wurden. Es gilt
−z 3 = 6c(9c2 + 3b2 ) = 18c(3c2 + b2 )
mit ggT (18c, 3c2 + b2 ) = 1, also 3c2 + b2 ungerade und nicht durch 3 teilbar. Damit
müssen 18c und 3c2 + b2 Kuben sein, folglich gilt
18c = r3
und
3c2 + b2 = s3
mit s ungerade und r durch 3 teilbar. Jetzt kann man wie in Fall 1 vorgehen: Schreibt
man s = u2 + 3v 2 , so erhält man
b = u(u2 − 9v 2 )
und
c = 3v(u2 − v 2 )
für u ungerade und v gerade und nicht Null sowie ggT (u, v) = 1. Damit sind 2v, u + v
und u − v teilerfremd und führen mithilfe von ( 3r )3 = 2v(u + v)(u − v) zu
2v = −n3
und
u + v = l3
, u − v = −m3 .
Aus l3 + m3 + n3 = 0 mit l, m und n nicht Null sowie n gerade folgt zusammen mit
|z|3 = 18|c|(3c2 + b2 ) = 54|v(u2 − v 2 )|(3c2 + b2 ) = 27|n|3 |u2 − v 2 |(3c2 + b2 ) > |n|3
wegen u2 − v 2 = −l3 m3 6= 0 und |3c2 + b2 | ≥ 1, dass |n| < |z| im Widerspruch zur
Minimalität von z. [Rib79, vgl. S. 39-41] und [Rib99, vgl. S. 25-27]
Bemerkung:
Die Aussage, dass bestimmte Zahlen in der Form a2 + 3b2 dargestellt werden können, ist
zwar richtig, wurde von Euler aber nicht näher begründet. Auch Legendre gab bei der
Übersetzung des Buches keine näheren Erklärungen an. Erst Schumacher arbeitete die
Richtigkeit 1894 Schritt für Schritt aus. Carl Friedrich Gauß, der ebenfalls einen Beweis
für den kubischen Fall gefunden hat, kämpfte mit dem selben Problem.
Er löste es durch
√
die Betrachtung komplexer algebraischer Zahlen der Form a + b −3 [Rib79, vgl. S. 39].
Ich werde hier weder die Ausarbeitung von Gauß noch die von Schumacher angeben,
eine Version kann aber bei [Rib99, Kap. I.4] nachgelesen werden.
13
Bezüglich des Falles n = 5 lässt sich nicht klar sagen, wem dieser Erfolg zuzuordnen ist.
1825 reichte Peter Gustav Lejeune Dirichlet bei der Akademie der Wissenschaften in Paris einen vollständigen Beweis der Fermatschen Vermutung für n = 5 ein, der sich jedoch
als lückenhaft erwies. Während Dirichlet noch mit der Ausarbeitung der Lücken beschäftigt war, veröffentlichte Adrien-Marie Legendre einen vollständigen Beweis [Rib79, vgl.
S. 45]. Die Schwierigkeit, die Dirichlet bei seinem Beweis hatte, hing damit zusammen,
die Methode von Fall n = 3 so zu erweitern, dass man sie auch auf n = 5 anwenden konn2
2
te. Euler hatte in seinem Beweis unter anderem
√ Zahlen der Form (a + 3b ) verwendet.
√
Heute bezeichnet man die diese Menge {a + 3b | a,√
b ∈ Q} als den Körper Q( 3). Um
die selben Eigenschaften, die Euler für Zahlen aus Q( 3) benötigte,
auch für den Beweis
√
von n = 5 verwenden zu können, mussten diese erst für Q( 5) nachgewiesen werden,
was Dirichlet schließlich in seinem vollständigen Beweis √
tat. Dieser Beweis umfasst zwei
wichtige Teile, die eindeutige Primfaktorzerlegung in Q( 5) und einen infiniten Abstieg
ähnlich dem Verfahren von Euler [Rib79, vgl. S. 45].
2.2.4 Die Fälle n = 14 und n = 7
Nur ein paar Jahre nachdem Dirichlet den Fall n = 5 bewiesen hatte, wagte er sich auch
an den Beweis der Fermatschen Vermutung für n = 7. Er erkannte jedoch bald, dass eine
Erweiterung ähnlich der von n = 3 auf n = 5 nicht möglich war. 1832 vollbrachte er den
Beweis für n = 14. Es dauerte weitere sieben Jahre, bis Gabriel Lamé „sich mit großem
Einfallsreichtum einige eng mit der Zahl 7 verbundene Eigenschaften zunutze gemacht
hatte“ [Dev88, S. 217] und den Fall n = 7 bewies. Ihm war dabei klar, dass ein Beweis
für n = 11 und größere Primzahlen weitaus schwieriger werden würde [Dev88, vgl. S.
217].
2.2.5 Erfolge von Abel, Barlow, Germain, Kummer, Lamé und Wendt
Die nachfolgend genannten Personen haben alle konstruktiv zur Lösung der Fermatschen
Vermutung beigetragen und neue Verfahren und Denkansätze in die Überlegungen zum
Beweis gebracht, weshalb ich sie hier nennen möchte. Dabei stellt die Aufzählung keineswegs eine vollständige Liste aller dar, die sich mit dem Thema beschäftigt und etwas
Relevantes geleistet haben. Dennoch war eine Auswahl nötig; meine orientiert sich an
der von Keith Devlin in „Sternstunden der modernen Mathematik“ [Dev88] und Paulo
Ribenboims in „13 Lectures on Fermat’s Last Theorem“ [Rib79].
1847 präsentierte Gabriel Lamé - so schreibt Keith Devlin - der Akademie der Wissenschaften in Paris eine vollständige Lösung der Fermatschen Vermutung. Joseph Liouville
hatte ihn auf die Idee gebracht, es mit primitiven Einheitswurzeln zu versuchen.
j
Definition 2.6. Zahlen der Form (exp 2πi
n ) mit j teilerfremd zu n heißen primitive n-te
Einheitswurzeln.
14
Durch diese primitiven n-ten Einheitswurzeln ließ sich eine Zerlegung der linken Seite
der Fermatschen Vermutung xn + y n in Faktoren vom Grad 1 bewerkstelligen. Liouville bemerkte direkt im Anschluss den Fehler, dass eine Faktorisierung zwar möglich
war, diese jedoch nicht eindeutig ist [Dev88, vgl. S. 218-219]. Dies hatte Ernst Eduard
Kummer schon 1844 bewiesen, wovon Lamé allerdings nichts wusste. Kummer selbst
hatte diese Erkenntnis bis 1847 benutzt, um die Primfaktorzerlegung in Kreisteilungskörpern zu modifizieren, und stieß so auf die Ideale, eine der größten mathematischen
Errungenschaften seiner Zeit [Dev88, vgl. S. 220-221]. Dazu später mehr.
Paulo Ribenboim beginnt mit seiner Aufzählung wesentlich früher, nämlich 1810, als
Peter Barlow erste Erkenntnisse veröffentlichte. Dieselben Ergebnisse erreichte 1823 unabhängig davon Niels Henrik Abel, weshalb folgender Satz nun als Barlow-Abel-Relation
bezeichnet wird:
Satz 2.7. Sind x,y und z paarweise teilerfremde Zahlen ungleich Null, die xp +y p +z p = 0
sowie 2 6= p - z erfüllen, dann existieren t und t1 mit
x + y = tp
,
xp + y p
= tp1
x+y
und
z = −tt1 .
Insbesondere gilt p - tt1 , ggT (t, t1 ) = 1, t1 ist ungerade und t1 > 1.
[Rib79, vgl. S. 53]. Im selben Jahr vermutete Abel:
Vermutung 2.8. Ist n > 2 und sind x, y und z paarweise teilerfremde Zahlen ungleich
Null mit xn + y n = z n , dann kann weder x noch y noch z eine Primzahlpotenz sein.
Diese Vermutung ist bis heute nicht bewiesen [Rib79, vgl. S. 63-64].
Sophie Germain verallgemeinerte einzelne Lösungen 1823 so stark, dass sie weitere Erkenntnisse aus der modularen Arithmetik und den Legendre-Symbolen ziehen konnte,
sodass man getrost behaupten kann, dass alle verbleibenden Fälle für n < 100 ihr und
ihrer Korrespondenz mit Legendre zuzuschreiben ist. An ihren Ansätzen arbeiteten später unter anderem Krasner 1940 und Dénes 1951 weiter, doch sei das nur am Rande
erwähnt [Rib79, vgl. S. 54-57].
Im Jahre 1894 versuchte Ernst Wendt Germains Arbeit auf eine neuere Weise fortzusetzen. Er verwendete die Determinanten von Matrizen, deren Einträge Binomialkoeffizienten waren. Aus zwei Gründen war dieses Unterfangen müßig, zum einen „because
of the size of the matrix, his [attempt was] quite awkward. Even worse, it was later
recognized, that it is essentially equivalent to Sophie Germain’s theorem“ [Rib79, S. 61].
Als letzter in dieser Reihe sei hier Ernst Eduard Kummer erwähnt. In einer solchen
Aufzählung - so sehr sie auch gekürzt sein mag - darf er auf keinen Fall fehlen. Ich möchte
hier kurz sein Vorgehen schildern: Zunächst beschäftigte er sich mit den primitiven nten Einheitswurzeln und deren Körper, dem n-ten Kreisteilungskörper Q(exp 2πij
n ) (vgl.
Definition 2.6) [Rib79, vgl. S. 75-77]. Aufgrund dessen konnte Kummer einen neuen
Begriff formulieren, nämlich den der regulären Primzahlen.
Definition 2.9. Eine Primzahl p heißt regulär, wenn p nicht die Klassenzahl des p-ten
Kreisteilungskörpers teilt.
15
[Rib79, vgl. S. 86]. Die Klassenzahl ist dabei die Ordnung der Idealklassengruppe des
jeweiligen Körpers, womit der Bezug zu den erwähnten von Kummer initiierten Idealen
geschaffen ist. Kummers große Errungenschaft war es, die Fermatsche Vermutung für alle
regulären Primzahlen zu beweisen. Um die gesamte Fermatsche Vermutung zu beweisen
stand damit nur noch ein Beweis für irreguläre Primzahlen aus. Obwohl Kummer diesen Beweis nie fand, trieb er dadurch die Theorie der Kreisteilungskörper enorm voran
[Rib79, vgl. S. 93-115] und [Jan93, vgl. S. 9].
Mit Kummer, der als Wolfskehls Lehrer eine schöne Überleitung bietet, soll dieser
grobe Überblick nun beendet werden, um auf den Preis an sich zu sprechen zu kommen.
16
2.3 Paul Wolfskehl
In diesem Kapitel geht es neben einer Biographie von Paul Wolfskehl und einer Vorstellung des Wolfskehlpreises auch darum, welchen Aufwand die Preisausschreibung verursachte und wie damit umgegangen wurde.
2.3.1 Wolfskehls Leben
Am 30. Juni 1856 wurde Paul Friedrich Wolfskehl
als Sohn einer wohlhabenden jüdischen Bankiersfamilie in Darmstadt geboren. Als 19-Jähriger nahm
Wolfskehl ein Medizinstudium auf, das er nach Stationen in Leipzig, Tübingen und Heidelberg 1880 vollendete. Um die selbe Zeit zeigten sich erste Anzeichen einer Erkrankung an Multipler Sklerose. Diese
Krankheit befällt nach und nach immer mehr Nerven
und verhindert aufgrund des fortschreitenden Bewegungsverlustes, dass Wolfskehl langfristig dem Beruf
des Arztes nachgehen würde können. In diesem Wissen entschloss sich Wolfskehl zu einem MathematikStudium, da er der Meinung war Mathematik weitaus
länger betreiben zu können als Medizin. Er begann
noch 1880 das Studium in Bonn und wechselte 1881
nach Berlin, wo er Schüler von Ernst Eduard Kummer wurde. Unter Kummers Anleitung beschäftigte
sich Wolfskehl vor allem mit Zahlentheorie und kam Abb. 2.2: Paul Wolfskehl,
dabei auch mit der Fermatschen Vermutung in Be[Sin98, S. 148]
rührung [Bar97, vgl. S. 1295-1296] und [Gra98, vgl.
S. 85-86].
Für den Fortlauf des Lebens von Paul Wolfskehl gibt es zwei Versionen: eine romantische von Philip Davis und eine nüchterne von Klaus Barner.
Zunächst möchte ich die Version von Philip J. Davis vorstellen. Davis bemerkte in
einer Fußnote, dass die Geschichte nicht von ihm, sondern von dem Mathematiker Alexander Ostrowski stammte, der versicherte, dass sie mehr als nur eine Legende sei [Dav85,
vgl. S. 1]. Davis schreibt, dass Wolfskehl - durch Kummers Erfolge motiviert - selbst versuchte die Fermatsche Vermutung zu beweisen. Er scheiterte jedoch daran und war von
der Mathematik sehr enttäuscht. Daraufhin soll er eine Affäre mit einer Unbekannten
begonnen haben, die ihn ebenfalls zurückwies, weshalb er auch von ihr enttäuscht war.
Wie Davis in seinem Buch „3.1415 and All That“ so schön formuliert: „Now that mathematics and romance were both out the window, he began to feel that life could offer
him very little else“ [Dav85, S. 4]. Deshalb beschloss Paul Wolfskehl Suizid zu begehen.
Als ordentlicher Mensch, der er war, setzte er eine bestimmte Stunde als Suizidtermin
17
fest und verbrachte die verbleibende Zeit damit, Abschiedsbriefe und sein Testament
zu schreiben, seine Angelegenheiten zu regeln und sich selbst vorzubereiten. Als er mit
allem fertig war bemerkte er jedoch, dass die festgelegte Stunde seines Todes noch nicht
da war und er ging in die Bibliothek, um sich die Zeit zu vertreiben. Durch Zufall fiel
ihm Kummers Arbeit zur Fermatschen Vermutung in die Hände und er beschäftigte sich
erneut mit dessen Werk. Dabei entdeckte Wolfskehl eine logische Lücke in der Beweisführung und setzte sich hin, um diese zu schließen und zu sehen, ob der Fehler von
Relevanz sei. Dabei vergaß er vollkommen die Zeit und als er die Lücke geschlossen hatte, die tatsächlich keinen Fehler darstellte, war die geplante Zeit für seinen Suizid schon
vorüber. Plötzlich - wieder begeistert von der Mathematik - sah er keinen Grund mehr
sich umzubringen und er änderte sein Testament aus Dankbarkeit für die Lebensrettung
zu Gunsten desjenigen, der die Fermatsche Vermutung als Erster beweist. Inhaltlich ist
dies nachzulesen in [Dav85, S. 4-6]
Klaus Barner hingegen recherchierte für seinen Artikel „Paul Wolfskehl and the Wolfskehl Prize“ sehr umfangreich und weitreichend und stieß dabei auch auf die von Davis niedergeschriebene Geschichte nach Ostrowski. Er bezeichnet sie als „strange story“ [Bar97,
S. 1296], die nicht mehr nachgeprüft werden kann, da Alexander Ostrowski 1986 starb.
Aufgrund weiterer Recherchen stellte er eine wahrscheinlichere Theorie auf:
Nachdem Wolfskehl als Schüler von Kummer Zahlentheorie studiert hatte, ging er ab
1887 an die Technische Hochschule nach Darmstadt, um dort selbst Zahlentheorie zu
lehren. Nur drei Jahre später, 1890, verschlimmerte sich sein gesundheitlicher Zustand
so sehr, dass er die Lehre aufgeben musste. Dies hinderte ihn jedoch nicht daran weiter
Mathematik zu betreiben. Auch wenn Wolfskehl kein brillanter Mathematiker war, so
veröffentlichte er doch immer wieder kleinere Artikel, in denen er verschiedene Probleme bewies. So zum Beispiel auch „Ueber eine Aufgabe der elementaren Arithmetik“,
nachzulesen in [Wol01]. Darin beweist er diesen Satz:
Satz 2.10. 30 ist die größte natürliche Zahl d, sodass aus 1 < a < d und ggT (a, d) = 1
stets folgt, dass a eine Primzahl ist. Alle anderen Zahlen dieser Eigenschaft sind 3, 4,
6, 8, 12, 18 und 24.
Dies hatte schon 1893 Schatunowsky bewiesen, wovon Wolfskehl bei der Veröffentlichung seines Beweises 1901 jedoch nichts wusste [Rib00, vgl. S. 351].
Da Wolfskehls Gesundheitszustand immer schlechter wurde, drängte ihn seine Familie
zu einer Heirat. Am 12. Oktober 1903 heiratete Paul Wolfskehl Susanne Margarethe
Marie Fröhlich, die sich laut Barner als „evil Xanthippe“ [Bar97, S. 1296] herausstellte.
Anstatt ihm ein angenehmeres Leben zu bieten und ihn zu pflegen wurde Wolfskehls
Eheleben zu einer „living hell“ [Bar97, S. 1296]. Daher änderte er 1905 sein Testament
und begünstigte statt seiner Frau denjenigen, der als Erster die Fermatsche Vermutung
bewies. Am 13. September 1906 verstarb Paul Wolfskehl.
18
2.3.2 Der Wolfskehlpreis
Paul Wolfskehl legte fest, dass 100.000 Mark aus seinem Nachlass für eine Preisausschreibung verwendet werden sollten. Als Thema bestimmte er den Beweis der Fermatschen
Vermutung. Am 27. Juni 1908 gab die Königliche Gesellschaft der Wissenschaften zu
Göttingen diese Preisausschreibung bekannt. Die 100.000 Mark Preisgeld waren im Jahre 1908 genau so viel wert, wie heute ca. 2 Millionen Dollar [Szp08, vgl. S. 255]. Die
Preisausschreibung enthält eine Beschreibung, was man unter der Fermatschen Vermutung versteht, eine Literaturliste und folgende Bedingungen für die Einsendungen an das
Komitee:
• Es werden nur Einsendungen berücksichtigt, die in Zeitschriften, Monographien
oder als ein Buch veröffentlicht wurden.
• Die Sprache muss den Bewertern geläufig sein oder es muss eine anerkannte Übersetzung eingesendet werden.
• Nicht eingesendete Arbeiten werden nicht berücksichtigt.
• Bei Beteiligung mehrerer an einem Beweis entscheidet die Gesellschaft über die
Aufteilung des Preises.
• Nach Veröffentlichung einer Arbeit müssen mindestens 2 Jahre vergehen, bis der
Preis verliehen wird. In diesem Zeitraum soll allen Mathematikern die Möglichkeit
gegeben werden, den Beweis zu überprüfen.
Neben diesen Bedingungen wurde der 13. September 2007 als Endtermin angegeben,
nach dem der Preis verfallen sollte.
Nachzulesen ist das vollständige Preisausschreiben in den Mathematischen Annalen von
1909, [dWzG09].
2.3.3 Auswirkung des Wolfskehlpreises
Was passierte nach der Veröffentlichung der Preisausschreibung?
Hans Wußing schreibt: „Es gab viel Ärger - bei den Autoren, die sich schon im Besitz
der Summe sahen, bei den Assistenten, die jedes mal den jeweiligen Fehlschluss in mühevoller Arbeit nachzuweisen hatten. Es soll an den großen mathematischen Instituten
mehrerer deutscher Hochschulen jeweils einen Assistenten gegeben haben, der speziell
mit dem ’Abtöten’ der vorgeblichen Fermat-Lösungen beschäftigt war“ [Wuß75, S. 163].
Dass die gesamte Aufgabe eines wissenschaftlichen Assistenten darin bestehen konnte
die Einsendungen zur Fermatschen Vermutung zu prüfen und eine Antwort zu schreiben, zeugt davon, dass eine beträchtliche Menge an Einsendungen vorliegen musste. Und
tatsächlich beschreibt Dr. F. Schlichting in einem Brief an Paulo Ribenboim, dass allein
im ersten Jahr nach der Preisausschreibung 621 mögliche Lösungen bei der Akademie
der Wissenschaften in Göttingen registriert wurden. Weiter schreibt er in seinem Brief,
dass im Jahr 1974 die Anzahl bei lediglich 3 bis 4 Briefen pro Monat liege [Rib79, vgl.
19
S. 15]. Als Klaus Barner 1997 einen Aufsatz darüber schreibt liegt die Quote der eingereichten Arbeiten immer noch bei knapp 4 pro Monat. Heinz Georg Wagner, ein Sekretär
der Akademie, schätzt die Gesamtzahl der Einsendungen bis 1997 auf über 5000 [Bar97,
vgl. S. 1297].
Es gab im Laufe der Zeit verschiedene Arten, wie mit den Einreichungen verfahren
wurde.
Umgang mit Einsendungen in Göttingen
Professor Edmund Landau, der von 1909-1934 Leiter des Fachbereichs Mathematik an
der Universität in Göttingen war, „ließ Hunderte von Karten drucken mit der Aufschrift:
Sehr geehrte/r ...,
ich danke Ihnen für Ihr Manuskript zum Beweis der Fermatschen Vermutung.
Der erste Fehler findet sich auf: Seite ... Zeile... Ihr Beweis ist daher wertlos.
Professor E. M. Landau“
[Sin98, S. 159]. Manche Studenten, die für Professor Landau arbeiteten, hatten die
Aufgabe die entsprechenden Lücken auszufüllen und mit dem Manuskript an dessen
Autor zurückzusenden.
1974 erzählte Dr. F. Schlichting von einer anderen Handhabung in Göttingen: Als
erstes begutachtet die Sekretärin der Akademie alle Arbeiten. Diejenigen, die wie reiner
Unsinn aussehen, werden unverzüglich an den Urheber zurück gesandt. Alle anderen, deren Inhalt Mathematik ähnelt, werden an den Mathematik-Fachbereich weitergegeben.
Dort ist ein wissenschaftlicher Assistent damit beschäftigt die Manuskripte zu lesen, die
Fehler zu finden und zu beantworten [Rib79, vgl. S. 15].
Umgang mit Einsendungen in Berlin
Auch Berlin ist eine „geplagte“ Universität. Albert Fleck schrieb 1913 von 300 archivierten Eingängen und fast täglich neuen Zusendungen [Fle13, vgl. S. 174]. Zwar war
Fleck „nur“ ein Hobby-Mathematiker - hauptberuflich war er Mediziner - doch keineswegs war er ein Amateur. „Jedem Einsender setzte er dessen Fehler kurz, aber genau
auseinander“ [Bie87, S. 26]. Dafür wurde ihm am 1. Juli 1915 von der Akademie der
Wissenschaften in Berlin die silberne Leibniz-Medaille verliehen [Bie87, vgl. S. 26].
Fleck selbst berichtete von seiner Arbeit in einem Artikel der Vossischen Zeitung (vgl.
[Fle13]) und widerlegte darin auch den Beweisversuch von Eugen Dühring. Als ersten
Irrtum sah er die Behauptung, dass der Inhalt des Dühringschen Beweises neu sei und
als zweiten, dass die Aussage, die Dühring zu beabsichtigen schien, allgemeiner als Fermats Vermutung sei und deshalb ebenfalls die Fermatsche Vermutung bewies. Doch
damit nicht genug. Georg Krohs, ein großer Befürworter Dührings, veröffentlichte eine
20
Schrift mit Titel „Dühring und Fermat. Eine gemeinverständliche und mathematische
Studie zum Wolfskehlpreise nebst einer Lösung des Fermatschen Problems“ [Kro14].
Darin schreibt er, dass er ebenso wenig wie Dühring und Metger - ein weiterer Freund
Dührings, der ebenfalls eine Schrift gegen Fleck heraus brachte - von Flecks Einwänden
überzeugt sei [Kro14, vgl. S. 8]. Bezüglich des ersten Irrtums schreibt er: „[D]as, was
Herr Fleck als den ersten Irrtum Dührings bezeichnet, [ist] nichts anderes als ein einziger großer Irrtum des Herrn Fleck selbst“ [Kro14, S. 9] und etwas später: Ich „wiederhole
[...] auch heute wieder - ja nun erst recht - meine bereits im ’Tag’ vorgetragene Meinung:
’Die Anwendung meiner durch Dühringsche Anregungen entstandenen Methode auf das
eigentliche Fermatproblem hat mir die Gewißheit gegeben, daß Dühring die vielumstrittene Lösung besitzt.’ Es ist ein Irrtum, wenn Herr Fleck glaubt, die algebraische Methode
könne das Fermatproblem nicht bewältigen“ [Kro14, S. 15].
Dass Krohs nicht Dührings Fehler einsehen wollte, ist kein Einzelfall. Biermann schreibt
über Albert Fleck: „Indem Albert Fleck die Autoren auf ihre oft ganz elementaren Fehler
aufmerksam machte, suchte er sie von dem Wahn zu heilen, die Fermatsche Vermutung
bewiesen oder auch andere alte mathematische Probleme gelöst zu haben. Der ’Heilerfolg’ war freilich gering - oft traf [...] schon nach kurzer Zeit eine ’verbesserte’ Lösung
ein“ [Bie87, S. 26]. Klaus Barner bemerkte sogar, dass der Rekordhalter ein Mann sei, der
über 60 Arbeiten bei der Akademie der Wissenschaften in Göttingen einreichte [Bar97,
vgl. S. 1299].
Einsendungen an anderen Universitäten und Anekdoten
Nicht nur Göttingen und Berlin wurden mit Briefen überschwemmt, „[j]eder Mathematikfachbereich der Welt hat vermutlich eine Schublade voll angeblicher Beweise“ [Sin98,
S. 161]. Barner schreibt erstaunt, dass selbst Kassel - eine vergleichsweise junge Universität - etwa ein Beweis pro Jahr erreicht, meist aus China oder Kasachstan [Bar97, vgl.
S. 1299].
Alle diese Einsendungen führten zu einer Fülle an Anekdoten, die kaum zu zählen sind.
Schlichting scheint genau dieser Ansicht zu sein, wenn er schreibt: „[T]here is a lot of
funny and curious material arriving“ [Rib79, S. 15]. Eine Einsendung beispielsweise enthielt nur die erste Hälfte der Lösung mit der Aufforderung, 1000 DM als Anzahlung des
Wolfskehlpreises zu leisten, um die zweite Hälfte der Lösung zu bekommen. Eine andere
Einsendung enthielt das Angebot, 10 Prozent aller Gelder aus Publikationen, Radio und
TV Interviews zu erhalten, falls der Korrektor den Autor bei seiner Arbeit unterstütze.
Andernfalls drohte der Autor die Lösung an eine Universität in Russland zu senden,
sodass der Ruhm statt der Göttinger der russischen Universität gebühre [Rib79, vgl. S.
15-16]. Weiter schrieb ein Fermatist - so werden Menschen genannt, die schon einmal
versuchten die Fermatsche Vermutung zu beweisen - als Antwort auf die Aussage, dass
sein Beweis falsch sei, der Korrektor sei unfähig, den Beweis zu untersuchen. Stattdessen
wolle er dem Korrektor Namen und Anschrift eines Experten geben, welcher sich später
21
als Autor einer weiteren falschen Einsendung herausstellte [Sin98, vgl. S. 161]. Selbst die
Korrektoren der etwaigen Beweise erlaubten sich Scherze, wie zum Beispiel einer, der
als Antwort schrieb: „Ich habe eine bemerkenswerte Widerlegung Ihres Beweisversuchs,
doch ist diese Seite leider nicht groß genug, um sie zu fassen“ [Sin98, S. 161].
Eigentlich war die Akademie der Wissenschaften in Göttingen nach Willen von Wolfskehl verpflichtet, einmal pro Jahr die Preisausschreibung in entsprechenden Monatszeitschriften zu veröffentlichen. Sie weigerte sich bereits nach dem ersten Jahr wegen der
Fülle und der Qualität der Einsendungen.
Nun stellt sich freilich die Frage, wer die Autoren solcher Einsendungen waren. Barner schreibt, dass keine der Einsendung auch nur im mindesten für die Problemlösung
weiterhalf [Bar97, vgl. S. 1300], nahezu alle Arbeiten waren auf einem sehr elementaren Level verfasst, das höchstens Schul-Mathematik verwendete, auch wenn sie deshalb
nicht weniger kompliziert zu verstehen waren [Rib79, vgl. S. 16]. Fleck macht deutlich,
dass es sich seiner Meinung nach ausschließlich um Laien handelt [Fle13, vgl. S. 173174]. Schlichting betont, dass es sich oftmals um Personen mit technischer Ausbildung
und gescheiterter Karriere handelt [Rib79, vgl. S. 16]. Warum genau die von Fleck und
Schlichting beschriebenen Menschen Fermatisten wurden, wird im analytischen Teil der
Arbeit geklärt.
Beispiele für Einsendungen
Exemplarisch für die Kuriositäten der eingesendeten Beweise werden hier drei angeführt.
Diese und viele andere sind von Underwood Dudley in seinem Buch „Mathematical
Cranks“ [Dud92] veröffentlich worden.
1. S. A. sandte 1972 ein 12-seitiges Skript ein, das neben anderen Fehlern auch die
Aussage enthielt, die Verneinung von
xn + y n = z n für alle n > 2
sei
xn + y n 6= z n für alle n > 2.
Dies ist nach den Gesetzen der Logik nicht der Fall und als ein Mathematiker S.
A. sehr harsch über diesen Fehler informierte, schrieb S. A. zurück:
„What you should do is to prove that an angle cannot be trisected, that a circle
cannot be squared, that proof of FLT cannot be found. Unless you can do these
things all you have is a distasteful feeling that these cannot be done, but no proof!“
Auf die Information, das die ersten beiden erwähnten Probleme bereits bewiesen
wären, antwortete er:
„What I meant was that none of these proofs are intelligible to ordinary people!
For instance, G. H. Hardy defines a ’transcendental number’ as ’a number which
22
is not algebraic’! Then he proves that e and π are transcendental, then he consludes from the latter that ’circle cannot be squared’! Even people with degrees in
Applied or Scientific or Engineering Mathematics would find these proofs difficult
to understand, so what chance has any layman?“ [Dud92, vgl. S. 111-113].
Dies ist ein gutes Beispiel für die Uneinsichtigkeit und Verwirrtheit der Autoren.
Der Fehler, den S. A. hier begeht, ist so grundlegend, dass ein tieferes Verständnis
der Mathematik nicht vorhanden sein kann. Doch statt seinen Fehler einzusehen,
schreibt er wirre Antworten, die fast wie Ausreden klingen.
2. R. B. ist der Autor des 1983 eingereichten 33-seitigen Manuskript, von dem ich nun
Seite 23 wiedergeben möchte, um einen Eindruck zu vermitteln, dass manche Einsendungen zwar wie Mathematik aussehen, deshalb aber trotzdem so verwirrend
und undurchsichtig geschrieben sind, dass man sie kaum als Mathematik auffassen
kann:
Lemma 2.11. Consider
R−t
X
i=1
and
R−t
X
i=t
!
R
(2xcm U1 )R−i (2c U2 )i
i
!
R
(2c U3 )R−i (2cm U4 )i
i
where
P U1 = P U2 = P U3 = P U4 = 0
and Pa means par of sigma-term for i = a.
For any t in I,
!
∆1 = PR−t−1 −PR−t
!
R
R
=P
+cm(t+1)+c(R−t−1)−P
−cmt−c(R−t)
t+1
t
for R > 2. And for any t in II,
!
!
R
R
+ c(R − t − 1) + cm(t + 1) − P
− c(R − t) − cmt
∆2 = Pt+1 − Pt = P
t+1
t
Thus, in either case,
∆ ≡ {cm − c + P [(R − t)!] + P (t!)} − {P [(R − t − 1)!] + P [(t + 1)!]} ≡ µ1 − µ2
⇒ ∆min = (µ1 )min − (µ2 )max
and
(µ1 )min = m − 1 + {P [(R − t)!] + P (t!)}min ≡ m − 1 + ξmin
⇒ ξmin = 1 ⇒ (µ1 )min = m
for 1 ≥ t ≥ R − 1.
23
In dieser Form ist die Manuskriptseite auch abgedruckt bei [Dud92, S. 110-111].
3. Noch einen weiteren Beweis, diesmal von R. D., möchte ich hier anführen. Der
Leser möge beim Durchlesen im Hinterkopf haben, dass jeder dieser Beweise vor
seiner Einsendung in einem mathematischen Magazin veröffentlicht werden muss.
Vorangestellt sei hier auch, dass die Gleichung xn + y n = z n umgeformt wurde,
wobei z ersetzt wurde durch K + H, x durch K − H und y durch f (K, H). In
[Dud92, S. 127] wurde der Beweis so abgedruckt:
P∗R∗O∗O∗F! This must-important procedure, immediately above, generates at
least once all potentially-admissible values of x, y, z – resulting in the following (in passing it would be of interest to see that one such admissible set of x, y, z
for a given n must admit of an infinity of such (different) sets for the same n):
(K + H)n + (K − H)n = f (K, H)n − −
an IDENTITY !
THE GUTS! This means in one simple transformation our problem changes - metamorphoses! - from the equation demanding the endless examination of an infinity of number-set-solutions (potential!) to the IDENTITY involving a GREATLYSIMPLIFIED REVIEW of the relatively very-few potentially-applicable „functionfroms“, to determine if any will satisfy the IDENTITY as to the replacement of y,
f (K, H),
(WHEW!)
In general this functionform examination is very economical of taut-time and
mathematical-maturity–not to mention elimination of vex-hexing dullness incident
to the monotony of endless applications-initerations of the same technique(s) in
attempting the equation-solution.
This ist well. „Ars est longis, vita brevis!“
Diesem Text mangelt es an klaren Aussagen, Verständlichkeit und einem roten
Faden. Es ist kaum nachzuvollziehen, warum der Autor dies als Beweis der Fermatschen Vermutung veröffentlichte.
Veränderungen der Preisgeldhöhe im Laufe der Zeit
Zum Abschluss dieses Kapitels möchte ich noch kurz klären, was mit den 100.000 Mark
von Wolfskehl passierte.
Schon bald nach der Preisausschreibung luden Klein, Hilbert und Minkowski als Wolfskehlkomission Henri Poinaré zu sechs Vorträgen nach Göttingen ein. Bezahlt wurde
dieses Unterfangen von den Zinsen, die das Preisgeld des Wolfskehlpreises einbrachte
[Rib79, vgl. S. 16]. Daran sieht man, nicht nur, dass die volle Summe noch vorhanden
war, sondern auch, dass die Zinsen einen Gewinn einbrachten, den die Akademie der
Wissenschaften in Göttingen zur Förderung der Mathematik verwenden konnte. 1938
schrieb Hasse in einem Brief an Hecke, dass man sich überlege, das Preisgeld für andere
24
Zwecke zu verwenden. Er sprach sich dagegen aus, da er meinte, der Beweis läge durchaus in greifbarer Nähe [Sch15, vgl. S. 24, Fußnote 88]. Tatsächlich wurde das Geld - so
schrieb zumindest Schlichting 1948 - nicht angerührt [Rib79, vgl. S. 16].
Es muss hier erwähnt werden, dass - als Andrew Wiles 1997 den Wolfskehlpreis überreicht bekam - nicht mehr das volle Geld vorhanden war. Während der Weltkriege und
der Inflationen zwang der Staat die Akademie der Wissenschaften in Göttingen immer
wieder von dem gesamten Geld Staatsanleihen zu kaufen. Dagegen wehrte sich die Akademie und legte einen geringen Teil des Geldes in Aktien an. Dieser Teil des Preisgeldes
blieb erhalten und somit konnten 75.000 DM an Wiles übergeben werden, was an Wert
ca. 2,5 Prozent der ursprünglichen Summe entspricht. Genauer ist dies nachzulesen bei
[Bar97, S. 1298].
25
2.4 Der Beweis der Fermatschen Vermutung
Im Juni 1993 hielt Andrew Wiles einen Vortrag mit dem Titel „P-adic Galois representations, Iwasawa theory and the Tamagawa number of motives“ [Jan93, S. 8]. Dieser
Vortrag stellte sich als die Veröffentlichung eines Beweises der Fermatschen Vermutung
heraus. Ebenso wie viele vor ihm war Wiles sehr früh von der Fermatschen Vermutung
inspiriert. Er wurde Mathematiker und vollbrachte in mühevoller, achtjähriger Arbeit
die Meisterleistung, das zu beweisen, woran so viele vor ihm gescheitert waren [Gra98,
vgl. S. 90]. Ich möchte hier kurz darstellen, worin seine Arbeit lag:
Elliptische Kurven kann man durch Gleichungen vom Grad 3 mit zwei Unbekannten
beschreiben, welche - nach einer Variable aufgelöst - keine doppelten Nullstellen haben
dürfen. Um dies zu untersuchen verwendet man Modulorechnung. Betrachtet man belibige Primzahlen p, so erhält man „eine wichtige Invariante der elliptischen Kurve, die
Anzahl [...] np der Lösung [obiger Gleichung] in Kongruenzen modulo p, bzw. die daraus
abgeleitete Invariante ap = p + 1 − np “ [Jan93, S. 10].
Modulformen sind komplexe, holomorphe Funktionen f auf der oberen Halbebene,
die den Vorschriften f (z + 1) = f (z) und f (z −1 ) = z −k f (z) genügen. Sie besitzen eine
Fourierentwicklung von der Form f (z) =
∞
P
bn e2πinz .
n=−∞
Yutaka Taniyama, Goro Shimura und André Weil führten oben Erklärtes zur ShimuraTaniyama-Weil-Vermutung zusammen. Diese lautet:
Vermutung 2.12 (Shimura-Taniyama-Weil-Vermutung). Jede elliptische Kurve über Q
ist modular, das heißt es gibt eine Modulform f derart, dass für alle hinreichend großen
Primzahlen p die Zahlen ap gleich den Fourierkoeffizienten bp von f sind.
In dieser Form steht die Vermutung bei [Jan93, S. 10-11], ebenso wie die nächste
Vermutung von Gerhard Frey, der folgenden Zusammenhang erkannte:
Vermutung 2.13 (Frey-Vermutung). Sind a, b, c ∈ N Lösungen für ap + bp = cp mit
p prim, dann führt die elliptische Kurve y 2 = x(x − ap )(x + bp ) wegen ihrer vielen
Eigenschaften zu einem Widerspruch.
Parallel zu Gerhard Frey erarbeitete sich auch Yves Hellegouarch diesen Zusammenhang, allerdings erlangte Frey in Deutschland einen höheren Bekanntheitsgrad, weshalb
man hier die Vermutung fälschlicherweise nur ihm zuschreibt. Kenneth Ribet bewies diese Vermutung und zusätzlich den Satz, dass aus der Shimura-Taniyama-Weil-Vermutung
die Fermatsche Vermutung folgt. Andrew Wiles bewies dann nach allen diesen Vorarbeiten, dass die Shimura-Taniyama-Weil-Vermutung für bestimmte elliptische Kurven
stimmte, was für den Beweis der Fermatschen Vermutung ausreichend war [Jan93, vgl.
S. 11].
Der Vollständigkeit halber muss hier noch erwähnt werden, dass Wiles’ Beweis eine
Lücke enthielt, die erst zwei Jahre später mit Hilfe von Richard Taylor geschlossen
werden konnte [Sin98, vgl. S. 301-311].
Am 27. Juni 1997, genau 89 Jahre nach der Veröffentlichung der Preisausschreibung,
konnte der Wolfskehlpreis zusammen mit 75.000 DM (aufgrund der Inflation während der
26
beiden Weltkriege war das Geld von ca. 2 Millionen Dollar auf 50.000 Dollar geschrumpft
[Szp08, vgl. S. 255]) an Andrew Wiles übergeben werden [Gra98, vgl. S. 84-89].
27
3 Analyse mathematischer Preise am
Beispiel des Wolfskehlpreises
Während der erste Teil der Arbeit hauptsächlich historische Fakten enthielt, möchte ich
im zweiten Teil analysieren und interpretieren, ob Preise die Mathematik beeinflussen
können. War dies auch beim Wolfskehlpreis der Fall? Spielt diese Aussage im Vergleich
zwischen dem Wolfskehlpreis und anderen Preisen eine Rolle?
3.1 Die Rolle von Preisen in der Mathematik
Die Rolle der Preise und die Preise selbst haben sich innerhalb der letzten 500 Jahre
stark verändert. Daher werde ich nun die Veränderungen der Preise in den jeweiligen
Jahrhunderten beschreiben.
3.1.1 Geschichte der Preise in der Mathematik
Der wohl bekannteste mathematische Wettstreit des 16. Jahrhunderts fand 1535 in Italien statt und betraf die Lösung kubischer Gleichungen. Antonio Fior forderte Niccoló
Tartaglia heraus, indem er ihm 30 Probleme zu einem bestimmten Typus von kubischen
Gleichungen stellte. Tartaglia seinerseits stellte Fior ebenfalls 30 Probleme. Beide hatten zwei Monate Zeit, die Probleme zu lösen. Da Tartaglia Fiors Methode rechtzeitig
herausfand, gewann er den Wettkampf. Als Preis erhielt Tartaglia 30 Festmahle für ihn
und seine Freunde [Gra06, vgl. S. 4].
Diese Wettkämpfe veränderten sich, als im 18. Jahrhundert in Paris, Berlin und St.
Petersburg die großen Akademien der Wissenschaften gegründet wurden. Ab dieser Zeit
wurden Preise - entweder eine Medaille oder ein Preisgeld - auf die Lösung bzw. den
Beweis eines speziellen Problems ausgesetzt. Als Zeitraum waren zwischen 18 Monate
und 2 Jahre vorgesehen. Hatte ein Mathematiker den Preis gewonnen, wurde die Lösung
im Journal der Akademie publiziert, wodurch der Autor berühmt werden konnte. So
beschreibt es der Historiker Adolf Harnack in seinem Buch „Geschichte der Königlich
Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin“ [Gra06, vgl. S. 5].
Der erste Preisfond wurde von Count Jean Rouillé de Meslay, einem wohlhabenden
Anwalt, eingerichtet, der 1714 der Akademie der Wissenschaften in Paris 125.000 Livres hinterließ. Ab 1719 wurde alle zwei Jahre ein Preis vergeben. Bald folgten auch
die Akademien in St. Petersburg, die 1725 öffnete, und in Berlin mit Preisvergaben. Die
Akademie der Wissenschaften in Berlin wurde zwar schon 1700 gegründet, gewann aber
28
erst ab 1743 an Einfluss und vergab 1745 ihren ersten Preis [Gra06, vgl. S. 6-7].
Im 19. Jahrhundert nahm die Anzahl der Preise erheblich zu. So richtete die Pariser
Akademie der Wissenschaften neben dem Grand Prix des sciences physiques auch den
Grand Prix des sciences mathémathiques ein. Beide waren mit 3000 Francs dotiert und
wurden im Wechsel vergeben. Auch unregelmäßige Preise wie 1809 Napoleons Wettbewerb entstanden. Allerdings war speziell dieser Wettbewerb ein einziges Debakel. Als
1811 die erste Frist für Einsendungen endete, war nur eine einzige Lösung geschickt worden und diese stammte von Sophie Germain, einer Frau. Die Preisrichter befanden die
Lösung als inadäquat und verlängerten die Einsendefrist bis 1813. Germain überarbeitete ihre vorherige Lösung und war wiederum die einzige, die eine Lösung einreichte.
Erneut verlängerte man bis 1815. In diesem Jahr schickte auch Poisson eine Lösung ein,
was ein großer Skandal war, da er 1813 als Preisrichter fungierte und Germains Lösungsversuch kannte. Daraufhin wurde 1815 der Preis doch noch Sophie Germain zugesichert;
das erste Mal, dass eine Frau einen Mathematikpreis erhielt [Gra06, vgl. S. 10-11].
Dass es bei einem Preisausschreiben keine Einsendungen gab, war kein Einzelfall. 1815
stellte die Pariser Akademie die Fermatsche Vermutung als Wettbewerb, es gab jedoch
keine Eingänge an Lösungen. Daraufhin wurde die Frist von 1817 auf 1819 verlängert. Als
zu diesem Zeitpunkt immer noch keine einzige Lösung eingesendet worden war, wurde
die Problemstellung verworfen. 1850 wurde die Fermatsche Vermutung erneut als GrandPrix-Aufgabe gestellt mit dem gleichen Erfolg. Auch hier brachte eine Verlängerung bis
1853 nichts und die Aufgabenstellung wurde verworfen [Szp08, vgl. S. 248] und [Gra06,
vgl. S. 11-12].
Ab Mitte des 19. Jahrhunderts spendeten Menschen immer wieder an die Akademien
und richteten Preisfonds ein, sodass in Paris 1850 bereits 13 verschiedene Preise vergeben
wurden, darunter auch der Prix Bordin, der ab 1854 jährlich vergeben wurde und ein
Preisgeld von 3.000 Francs enthielt, und der Prix Poncelet, der ab 1876 vergeben wurde
und mit 2.000 Francs dotiert war. Auch in Berlin wurden neue Preise eingeführt, wie der
Steiner Preis, der alle zwei Jahre vergeben wurde und 8.000 Taler umfasste [Gra06, vgl.
S. 14-15].
Ein Preisausschreiben, das es wert ist, dass man es gesondert betrachtet, ist das von
König Oscar II von Schweden und Norwegen. Anlässlich seines 60. Geburtstags im Jahr
1889 organisierte Magnus Gösta Mittag-Leffler einen Wettbewerb mit vier verschiedenen Aufgabenstellungen. Tatsächlich wurden auch zwölf Lösungsversuche eingereicht,
von denen der von Poincaré gewann. Poincaré erhielt 2.500 Kronen und eine goldene
Medaille. Allerdings fand sich in seiner Lösung ein so gravierender Fehler, dass es einige
Zeit dauerte ihn auszumerzen, und das Journal, in dem die Lösung veröffentlicht werden
sollte, neu gedruckt werden musste. Das verursachte so viele Kosten, dass Poincaré von
seinem Preisgeld nichts mehr blieb. Außerdem war der damit verbundene Aufwand dermaßen groß, dass keine weiteren königlichen Preisausschreiben folgten [Gra06, vgl. S. 20].
1900 begann eine neue Ära der Mathematikpreise. David Hilbert veröffentlichte zusammen mit Henri Poincaré 23 Probleme, die gelöst werden sollten. Es gab dabei weder
eine Frist für Einsendungen noch eine Medaille oder ein Preisgeld. Es ging allein um
29
den Wettbewerb, ein Problem lösen zu können. Inzwischen gelten 13 als gelöst, bei einigen anderen wurden bereits Teilerfolge erzielt. Landon T. Clay führt dies weiter, indem
er 2000 ein Preisausschreiben über sieben schwierige, unbewiesene Probleme initiierte,
ebenfalls ohne Frist. Anders als Hilbert dotierte er jedes einzelne Millenniums-Problem
mit 1 Million Dollar. Bisher gilt erst ein Problem als gelöst [Szp08, vgl. S. 249-255].
3.1.2 Do prizes motivate mathematics?
Ein sehr interessanter Aspekt zur Klärung, ob Preise zur Mathematik motivieren, ist die
Betrachtung der Zielgruppe.
Adolf Harnack schreibt in seinem Buch über die Geschichte der Berliner Akademie der
Wissenschaften von den Wissenschaftlern im 18. Jahrhundert als Universalphilosophen.
Die Männer damals hatten an vielen verschiedenen Disziplinen Interesse und waren in
jedem Teilbereich so tiefgreifend gebildet, dass sie die Bezeichnung als Mathematiker,
Philosophen, Physiker usw. alle verdient hätten. Ist man jedoch an so vielem interessiert,
kann man sich oftmals nicht entscheiden, welches Problem zuerst anzupacken ist oder
womit man sich als nächstes beschäftigen sollte. Hierbei geben die Preisausschreiben
eine entscheidende Hilfe. Adolf Harnack schreibt: „It presented him with a given theme
and assured him a universally interested audience“ [Gra06, S. 6]. Mit diesem universell
interessierten Publikum wurden aber auch hauptsächlich die großen Geister der damaligen Zeit, wie Euler, Lagrange oder d’Alembert angelockt, etablierte Wissenschaftler, die
ihr Können schon unter Beweis gestellt hatten. Junge Wissenschaftler waren bei solchen
Wettbewerben nicht in der Zielgruppe [Gra06, vgl. S. 6].
Szpiro schreibt über die heutige Zeit: „The truth is that mathematicians don’t prove
theorems for the money, and some don’t do it for the glory.“ [Szp08, S. 247]. Diejenigen,
die von Preisen angesprochen werden, sind hauptsächlich Amateure, die darauf aus sind,
durch etwas Nachdenken viel Geld zu machen. Dies wurde auch in Kapitel 2.3.3 bezüglich des Wolfskehlpreises bemerkt. Preisgelder ziehen also die Aufmerksamkeit vieler auf
sich, die eigentlich nichts von dem Problem gehört hätten, wäre kein Preis darauf ausgesetzt worden. Die Mathematiker, die dieses Problem wirklich interessiert und die das
entsprechende Handwerkszeug haben, kennen derartige Probleme und hätten mit oder
ohne Preis eine Lösung versucht.
Beeinflussen Preise die Richtung, in der Mathematik betrieben wird?
Wie im vorherigen Kapitel schon etwas anklang, veränderten sich die Preise ab Mitte des 19. Jahrhunderts sehr stark. Davor waren Preise immer prospektiv, also hatten
ein festgelegtes Thema und einen vorherbestimmten Endtermin. Dadurch konnten diejenigen, die Preise vergaben, bestimmen, welche Art von Mathematik in den nächsten
Jahren bis zum Endtermin ausführlicher betrieben werden sollte. Also konnte durch
einen Preis durchaus vorgegeben werden, mit welcher Mathematik sich die etablierten
Wissenschaftler beschäftigen sollten.
Im 18. Jahrhundert funktionierte dieses System noch, aber ab dem 19. Jahrhundert
trat immer öfter der Fall ein, dass keine Lösungsvorschläge zu Problemen und Peinlichkeiten führten. Daher begann man retrospektive Preise zu vergeben. Zuerst handelte es
30
sich um eine Mischform. Wusste ein Preisrichter von einem jungen, vielversprechenden
Talent, das gerade an einem bestimmten Thema arbeitete, so wurde dieses Thema als
Preisthema verwendet, sodass der junge Mathematiker durch den Preis berühmt werden
und weiterforschen konnte. Später wurde diese Entwicklung noch extremer, da oftmals
ein Preis nur auf die Anzahl der Verleihungen und nicht auf das Thema ausgelegt wurde.
So konnte zum Beispiel festgelegt werden, dass der Preis alle zwei Jahre vergeben werden
sollte, und man suchte daraufhin in den entsprechenden Abständen nach preiswürdigen
Arbeiten aus der Vergangenheit, für die der Preis verliehen werden konnte. In diesem Fall
ist ganz klar zu sehen, dass der Preis auf keinen Fall mehr die Richtung der Mathematik
bestimmt, da er erst im Nachhinein vergeben wurde.
Allerdings muss hier auch erwähnt werden, dass dieser Trend wieder rückläufig ist.
Als Hilbert 1900 seine 23 Probleme ausschrieb, war ganz klar festgelegt, woran geforscht
werden sollte. Szpiro schrieb: „His list defined the path that mathematics took for at
least the first half of the twentieth century and kept hundreds of mathematicians busy for
decades“ [Szp08, S. 249]. Genauso waren bei den Millennium-Problemen, dem Preis von
Landon T. Clay, die Probleme ganz klar festgelegt, die gelöst werden sollten. Trotzdem
darf der Schein nicht trügen. Die Fields-Medaille, die als der Nobelpreis der Mathematik angesehen wird, und einige andere Medaillen „are retrospectiv, as are almost all
contemporary prizes“ [Gra06, S. 26].
Die Einteilung in pro- und retrospektive Preise sowie einige Informationen habe ich
übernommen aus [Gra06, vgl. S. 12] und [Szp08, vgl. S. 248].
Wenn also die meisten Preise - bis auf einige Ausnahmen - retrospektiv sind und kaum
etwas dazu beitragen, in welcher Richtung geforscht werden soll, helfen Preisausschreiben, die Probleme zu lösen und Unbewiesenes zu beweisen? Bekommt ein Problem - oder
auch die Mathematik als ganzes - eine höhere Beachtung?
Szpiro lässt in seinem Buch „Poincaré’s Prize“ zwei Männer mit unterschiedlicher Ansicht zu Wort kommen. Zum einen ist da Anatoly Vershik, der schreibt: „[P]romoting mathematics is warped and unacceptable, it does not popularize mathematics as a science,
to the contrary, it only bewilders the public... Does mathematics need such an indecent
interest? [...] To transform serious research problems into something like a million-dollar
lottery is a totalistic [sic] means to indulge the bad taste of the mob“ [Szp08, S. 257].
Vershik ist also der Meinung, dass Preisgelder keinen Einfluss auf Mathematiker haben.
Die Mathematiker, die sich schon davor mit einem Thema auseinander setzten oder setzen wollen, werden dies auch in Zukunft ohne das Preisgeld tun. Die breite Masse jedoch,
die solch ein Preis anlockt, ist nicht in der Lage einen Beitrag zur Problemlösung zu geben. Arthur Jaffe entgegnet ihm: „’You understand nothing of the American way of live’
[...]Prizes with large amounts of money attached were not meant to channel more talent
toward a specific problem, but to popularize mathematics among the general public so
that parents would ’not discourage their children from choosing the profession’“ [Szp08,
S. 258]. Er beschreibt also, dass die Problemlösung nicht direkt im Vordergrund steht. Er
sieht das Ziel von solchen Preisen vielmehr darin, dass Mathematik beliebter wird und
einen höheren Stellenwert in der Gesellschaft erlangt. Dass die Beliebtheit der Mathematik heutzutage zu niedrig ist, darin sind sich beide einig und durch mehr Ansehen der
31
Mathematik werden auch mehr Kinder dazu ermutigt, den Beruf des Mathematikers zu
ergreifen. So können Talente, die vielleicht nie entdeckt worden wären, gefördert werden
und das ein oder andere Problem wird durch sie gelöst. Damit ist eine Folge dessen, dass
die Mathematik durch Preise eine höhere Beachtung erhält, auch, dass manches Problem
gelöst und mancher Beweis geführt werden kann.
Einen letzten Aspekt möchte ich noch hinzufügen. Barner sieht Preise als nötige Werbung für die Mathematik: „We live in a world where public interest in basic research and
the willingness of politicians to finance it is increasingly weak, a world in which the senior
writer of Scientific America, John Horgan, proclaims [...] ’The End of Science’“ [Bar97, S.
1300]. Derzeit ist es modern Mathematik nicht zu verstehen, Schulkinder finden es sogar
„cool“ zu behaupten, sie verstünden im Mathematikunterricht nichts. Aus Erfahrungen wie diesen ist es verständlich, dass Politiker nicht bereit sind, Geld in Forschungen
zu stecken, bei denen kein signifikanter Nutzen erkennbar ist. Warum sollte sich ein
Kultusminister neben all seinen anderen Aufgaben dafür einsetzen, dass ein mathematisches Theorem bewiesen wird, nur weil es spannend ist? Warum sind Gelder nötig für
Mathematiker, die der Physik und anderen Naturwissenschaften - welche für sichtbare
Erleichterungen im Leben verantwortlich sind - keinen Nutzen bringen? Natürlich ist
die Mathematik als Grundlage sehr wichtig, doch ist dies ergebnisorientierten Politikern
schwer verständlich zu machen. Wird ein Preis auf ein Problem ausgeschrieben, interessiert das die Öffentlichkeit. Medien berichten darüber und die Preisvergabe - und damit
auch das Lösen des Problems - rückt in das allgemeine Interesse. Dieser öffentliche Druck
kann Politiker dazu bewegen, die reinen Wissenschaften nicht vollkommen abzuschreiben, sondern Gelder in Problemlösungen zu investieren, die vielleicht erst in hunderten
Jahren einen Fortschritt mitverursachen.
Zusammenfassend ist folgendes zu sagen: Preise haben sich sehr verändert. Anstatt
prospektiv vergeben zu werden und damit die Forschungsrichtung zu beeinflussen, werden sie heute eher retrospektiv vergeben und haben somit keinen Einfluss auf die zukünftigen Arbeiten. Auch richtet sich ein Preisausschreiben nicht mehr an Universalphilosophen, die bereits tief in die Mathematik eingedrungen sind und durchaus in der Lage
sind, die Probleme zu lösen, sondern weckt das Interesse von Amateuren und der breiten
Masse, die zum Teil nur auf das Preisgeld aus ist.
Obwohl Preise also nicht Gelehrte ansprechen, weshalb die Lösung der Probleme eher
unwahrscheinlich ist, und momentan erst nach getaner Arbeit vergeben werden, also
nicht zur Richtungsweisung in der Forschung beitragen, darf das Interesse der Öffentlichkeit durch Preise nicht unterschätzt werden. Durch Preise wird der Beliebtheitsgrad
der Mathematik erhöht und somit zum einen der Weg für Talente geöffnet, sich einen
mathematischen Beruf zuzutrauen und zukünftige Probleme zu lösen, und zum anderen die Politik auf die Mathematikverdrossenheit aufmerksam gemacht, wodurch etwas
dagegen unternommen werden kann.
Es mag zwar der Eindruck entstehen, dass Preise keinen Einfluss auf Problemlösungen
oder die Richtung, in die Mathematik betrieben wird, hat, doch führen sie zu mehr
Popularität, was die Mathematik dringend nötig hat und was die Türen für zukünftige
32
Mathematiker und Forschungsgelder öffnet.
33
3.2 Analyse des Wolfskehlpreises durch Vergleich mit anderen
Preisen
Um den Wolfskehlpreis fundiert interpretieren zu können, ist es hilfreich ihn mit andern
Preisen zu vergleichen. Leider gibt es keinen einzelnen Preis, der dem Wolfskehlpreis so
ähnlich ist, dass ein Vergleich mit ausschließlich diesem einen Preis ausreichen würde.
Deshalb habe ich mich dazu entschlossen zu verschiedenen Eigenschaften verschiedene
Preise zu suchen, die dem Wolfskehlpreis ähneln und daher bei einem Vergleich behilflich
sind. Dazu gehören die Preisausschreiben der Akademie der Wissenschaften in Paris auf
die Fermatsche Vermutung 1813 und 1850, der Preis von König Oscar II von Schweden
und Norwegen, der Preis des Faber-and-Faber Verlags und die Millenniums-Probleme.
Im Vordergrund der Analyse soll immer stehen, ob der Wolfskehlpreis zur Mathematik
motiviert hat und ob er einen Beitrag zur Lösung brachte. Im vorherigen Kapitel wurde
dies für alle Preise im Allgemeinen betrachtet. Nun stellt sich die Frage, ob dies auch
für den Wolfskehlpreis im Speziellen gilt.
3.2.1 Vergleich der Initiatoren
Wie bereits im ersten Teil der Arbeit deutlich wurde, ist bezüglich des Wolfskehlpreises
Paul Wolfskehl derjenige, der das Preisausschreiben initiierte. Aus Liebe zur Fermatschen Vermutung legte er in seinem Testament fest, dass die Summe von 100.000 Mark
für einen Preis verwendet werden sollte, und bestimmte weitere Eigenschaften wie den
Endtermin.
König Oscar II von Schweden und Norwegen, geboren 1829, war sehr an Mathematik
interessiert. Als er in Uppsala studierte, belegte er auch einige Kurse in Mathematik.
Dies führte zu einer lebenslangen Unterstützung, angefangen bei finanziellen Hilfen für
den Mathematik-Fachbereich der Universität Uppsala bis hin zur Gründung der renommierten Mathematikfachzeitschrift Acta Mathematica [BG97, vgl. S. 51]. Als er 55 Jahre
alt war, stand eine Entscheidung an, wie sein 60. Geburtstag am 21. Januar 1889 gefeiert
werden sollte. Zusammen mit dem schwedischen Mathematiker Magnus Gösta MittagLeffler entschied sich Oscar für die Einführung eines Preises [Szp08, vgl. S. 35]. Barrow
Green schreibt dazu: „[I]t is not clear whether the idea of holding the competition came
from Mittag-Leffler or whether it can be attributed to the King himself“ [BG97, S. 53].
1885 wurde schließlich das Preisausschreiben in der Acta Mathematica und in einigen
anderen mathematischen Zeitschriften veröffentlicht zusammen mit einer Beschreibung
der vier Preisfragen bezüglich des n-Körper-Problems und dem Versprechen von 2.500
Kronen und einer goldenen Medaille für den Gewinner. Mittag-Leffler wurde die Organisation übertragen, die von der Auswahl der Preisrichter über die Entscheidung, wer den
Preis gewinnt, bis zum Ablauf der Preisüberreichung reichte. Als er diesen Auftrag von
Oscar annahm, begann er voll Eifer und Motivation und war sich des Aufwandes nicht
bewusst, den dieser Preis verursachte [Szp08, vgl. S. 35-36].
Bei den Millenniums-Problemen kann man von Arthur Jaffe als Initiator sprechen. Um
34
zu erklären, wie es zu dem Preis kam, muss man allerdings bei Landon T. Clay anfangen.
Dieser Mann, geboren 1926, war ein Multimillionär. Neben der finanziellen Unterstützung vieler gemeinnütziger Organisationen vergaß er nicht seine „Heimatuniverstität“,
Harvard. Clay finanziert zwei Professuren, von denen um die Jahrtausendwende eine
Arthur Jaffe innehatte, und gründete 1998 das Clay Mathematics Institute, eine Art
Ersatz für den von Harvard stark vernachlässigten Mathematik-Fachbereich. Jaffe, der
regelmäßig mit Clay verkehrte, schlug diesem in einer Notiz vor: „In association with
the millennium, I recommend a monetary prize for the solution of a small number of
outstanding, long-range mathematical problems“ [Szp08, vgl. S. 253]. Ziel war also, Hilberts Idee mit seinen 23 Problemen 100 Jahre später weiterzuführen. Und tatsächlich
willigte Clay ein einen Preis von jeweils $ 1 Million für sieben seit langem ungelöste und
wichtige Probleme zu finanzieren [Szp08, vgl. S. 249-255].
Im Vergleich zwischen dem Wolfskehlpreis, dem Oscar (George Szpiro nennt den Preis
von König Oscar in [Szp08] so) und den Millenniums-Problemen fallen zwei Dinge besonders auf:
1. Der Initiator muss nicht gleichzeitig auch der Geldgeber sein.
2. Es geht nicht immer nur um eine Preisfrage oder ein explizites Problem.
Um den ersten Punkt zu verdeutlichen, muss zunächst über den Begriff des Initiators
geschrieben werden. Mit Initiator meine ich nicht denjenigen, der als Erster an einen
solchen Preis dachte oder der alle Modalitäten bezüglich des Preises festlegt und ihn
organisiert. Unter Initiator verstehe ich die Person, die das mathematische Problem
festlegte, auf dessen Beweis der Preis ausgesetzt wurde.
Nun ist offensichtlich, worin der Unterschied zwischen dem Wolfskehlpreis und dem
Oscar bzw. den Millenniums-Problemen liegt: Beim Oscar war Gösta Mittag-Leffler der
Initiator, wobei das Geld von König Oscar II kam. Bei den Millenniums-Problemen
hatte Arthur Jaffe die Idee für einen Preis und wählte die Preisfragen aus, das Preisgeld
stammte aus Landon Clays Besitz. Dies war beim Wolfskehlpreis anders. Paul Wolfskehl
besaß das Geld, hatte die Idee für eine Preisausschreibung und legte das zu beweisende
Problem fest.
Jetzt könnte man sicherlich anmerken, dass Wolfskehl bestimmt kein Einzelfall ist.
Tatsächlich gab es mehrere reiche Personen, die, begeistert von der Mathematik, Gelder
für Preise hinterließen. Jedoch sind nahezu alle diese Gelder für regelmäßige und nicht für
einmalige Preise verwendet worden und eignen sich daher nicht für einen Vergleich. (Dass
ich den Oscar als einmaligen Preis behandle, obwohl er ursprünglich als regelmäßiger
Preis gedacht war und nur wegen des hohen Verwaltungsaufwandes kein zweites Mal
vergeben wurde, soll hier nur am Rand erwähnt werden.)
Der zweite Punkt springt ebenfalls sofort ins Auge. Wo bei Wolfskehl nur von dem
Beweis der Fermatschen Vermutung die Rede ist, geht es bei den Millenniums-Problemen
um sieben Probleme und beim Oscar um vier Fragestellungen.
Der Wolfskehlpreis zeichnet sich also durch zwei Besonderheiten aus: Zum einen war
Wolfskehl Initiator und Geldgeber seines Preises und zum anderen ist eine einmalige
35
Preisvergabe speziell für ein explizites Problem sehr selten. Auf diese zweite Besonderheit lohnt es sich einen genaueren Blick zu werfen. Dadurch, dass der Preis nur einmal vergeben wird, erregt das Gewinnen dieses Preises eine höhere Aufmerksamkeit als
ein regelmäßiger Preis, weshalb der Gewinner auch mehr Ruhm erhält, was den Preis
attraktiver und reizvoller macht. Beim Wolfskehlpreis liegt die hohe Aufmerksamkeit
wohl auch an der tragischen Geschichte, die man seit Ostrowski mit ihr verbindet (siehe
Kapitel 2.3.1). Trotzdem lässt eine einmalige Preisvergabe vermuten, dass es sich um
ein anspruchsvolleres Problem handelt als bei einem regelmäßigen Preis. Die explizite Problemstellung sichert zusätzlich die Konzentration aller Aufgaben auf dieses eine
Problem und lenkt durch die klare Zielsetzung den Blick auf das Problem. Also hat es
Paul Wolfskehl als Initiator, Organisator und Geldgeber geschafft einen Preis zu kreieren, der durch seine Einmaligkeit und Explizitheit im Vergleich zum Oscar und den
Millenniums-Problemen reizvoller und anspruchsvoller zu sein scheint.
3.2.2 Vergleich der Zeitlänge der Preisausschreiben
Die Zeiträume, bis wann die Einsendungen für ein Preisausschreiben erfolgen sollen,
sind sehr unterschiedlich. Während bei den Preisen für die Fermatschen Vermutung 1815
und 1850 jeweils zweimal zwei bzw. drei Jahre als Vorgabe gegeben waren, war der Oscar
aufgrund des 60. Geburtstags von König Oscar II auf vier Jahre festgesetzt worden. Beim
Wolfskehlpreis war ein Zeitraum von 99 Jahren vorgegeben und die Millenniums-Preise
haben überhaupt keinen Endtermin.
Dass jeder der genannten Preise für eine andere Zeitspanne ausgeschrieben war, ist
jeweils sinnvoll und angemessen. Bei den Preisen zur Fermatschen Vermutung (vor Wolfskehl) handelte es sich um regelmäßige Preise, die nicht speziell auf ein einzelnes Problem
zugeschnitten waren. Dennoch wurden hauptsächlich solche Probleme gewählt, zu denen in naher Vergangenheit Ergebnisse erzielt worden waren, sodass weitere Erfolge in
der Lösung entsprechender verwandter Aufgaben zu erwarten waren. Bei dem Oscar
wurde die Zeitspanne ebenfalls nicht wegen des Problems gewählt, sondern wegen des
60. Geburtstages von König Oscar II. Außerdem waren die vier Fragen so gestellt, dass
verschiedene Mathematiker ihre aktuellen Arbeiten einsenden konnten, die in gewisser
Weise zu den Beantwortungen der Fragen beitrugen und somit auch gewertet wurden.
Damit wurde sichergestellt, dass es auch wirklich Lösungsversuche gab [BG97, vgl. S.
58]. Bei der Festlegung der Länge der Wolfskehlpreisausschreibung spielten wohl zwei
Faktoren mit. Einerseits waren nach Kummers Erkenntnissen durchaus neue Erfolge zu
erwarten. Andererseits wusste Wolfskehl von der Komplexität des Problems. Daraus entstand ein Mittelweg zwischen den kurzen Zeitspannen der regelmäßigen Preise und eines
unbegrenzten Zeitraums. Solch eine unbegrenzte Zeitspanne liegt bei den MillenniumsProblemen vor. Clay und Jaffe ging es bei den Preisaufgaben nicht um Probleme, die in
möglichst naher Zeit gelöst werden sollten, sondern um langwierige Aufgaben. Mit der
dauerhaften Beschäftigung damit sollten langfristig Fortschritte in diesen Bereichen der
Aufgaben erzielt werden, die für die zukünftige Mathematik einen Beitrag leisten sollten.
Dass es eine vernünftige Erklärung für die Wahl der Zeitspannen entsprechend der
mathematischen Komplexität des Problems gibt, ist nicht immer der Fall. Beispielsweise
36
begrenzte der britische Verlag Faber-and-Faber seinen $1 Million-Preis für den Beweis
der Goldbachschen Vermutung auf zwei Jahre. Diese Zeitspanne ist für ein solches Problem viel zu kurz und wurde zusammen mit der Einschränkung, dass der Preis nur an
Briten und Amerikaner vergeben werden durfte, extra so von Faber-and-Faber gewählt,
dass sie auf keinen Fall die Gewinnsumme aufbringen mussten. Die Geldsumme war nämlich nicht Eigentum des Verlags, der Verlag hatte sich nur für den Fall, dass sie gewonnen
werden würde, versichert. Das Ziel von Faber-and-Faber war nämlich nicht die Lösung
der Goldbachschen Vermutung, sondern der Verkauf des im Zuge der Preisausschreibung
bekannt gemachten Buches über große Rätsel der Zahlentheorie [Thi00].
Insgesamt scheint es also zwei verschiedene Grundgedanken für die Festlegung der
Zeiträume für Preisausschreiben zu geben. Entweder wurden bereits Erfolge in dem entsprechenden Gebiet der Mathematik erzielt und die Lösung des Problems steht dadurch
in nächster Zeit zu erwarten, dann wird eher eine kurze Dauer gewählt, damit möglichst schnell die Lösung des Problems in Angriff genommen wird. Oder die Zeitspanne
wird nicht begrenzt, dann geht es zwar auch um die Lösung, hauptsächlich soll aber
die Richtung der Forschung in der Mathematik vorgegeben werden, also eine generelle
Beschäftigung mit diesem Aspekt der Mathematik erzielt werden.
Welche Absicht verfolgte Wolfskehl?
Ich denke nicht, dass Wolfskehl die Zeitspanne so kurz wählen wollte, dass nur ein
oberflächlicher Beweis voller Fehler möglich war. Genauso wenig wollte er wohl, dass
man sich nur generell mit dem Problem und dessen Auswirkungen für die Mathematik
beschäftigen sollen. Durch eine Begrenzung schuf er einen Anreiz, das Problem in Angriff
zu nehmen, und die Motivation durch das Gefühl, dass das Problem in der Zeitspanne
realistisch zu lösen sei. Die große Zeitspanne und die Begrenztheit zusammen ergeben
eine gute Zwischenlösung, um zu zeigen, dass das Thema Beachtung verdient und deshalb
eine Beschäftigung verlangt, trotzdem aber komplex genug ist, um erst innerhalb der
nächsten 100 Jahre gelöst zu werden.
3.2.3 Vergleich der Reaktionen auf die Preisausschreiben
Wenn es um die Reaktion auf ein Preisausschreiben geht, ist es besonders interessant
die Reaktionen auf Preise zu betrachten, die auf das selbe Problem ausgelobt wurden.
Daher möchte ich die Preisausschreiben der Akademie der Wissenschaften in Paris zur
Fermatschen Vermutung aus Kapitel 3.1.1 noch einmal näher betrachten.
Der erste Preis zur Fermatschen Vermutung wurde 1815 ausgeschrieben. Der Endtermin war 1817. Als keine Einsendung kam, erweiterte man den Zeitraum, um den
Personen, die bereits mit einer Lösung begonnen hatten, denen aber die Zeit zu knapp
war, eine weitere Chance zu geben. Doch auch bis 1819 wurde keine Lösung, ja noch
nicht einmal ein Lösungsansatz eingereicht. Paris musste das Problem als Aufgabenstellung verwerfen, ohne dass irgendein Fortschritt erzielt worden wäre [Gra06, vgl. S. 11].
Als Kummer zwischen 1840 und 1850 große Erfolge mit den regulären Primzahlen
37
erzielte, war man der Meinung, dass die Lösung schon in greifbarer Nähe sein musste.
Daher machte Paris einen zweiten Versuch. 1850 wurden erneut 3.000 Francs und eine
goldene Medaille für den Beweis der Fermatschen Vermutung versprochen. Der Preisrichter Cauchy berichtete 1856: „Eleven memoirs have been presented to the Secretary. But
none has solved the proposed question. [...] Thus, after being many times put for a prize,
the question remains at the point where M. Kummer left it. [...] [T]he Commissaries
think that the Academy would make an honourable and useful decision if, by withdrawing the question from the competition, it would adjugate the medal to M. Kummer,
for his beautiful researches on the complex numbers composed of roots of unity and
integers.“ [Rib79, S. 14]. Es gab also in diesem Fall Einsendungen, welche aber keinen
Fortschritt für den Beweis des Problems brachten.
Wie bereits in Kapitel 2.3.3 erwähnt, war die Resonanz auf den Wolfskehlpreis mit
621 Einsendungen allein im ersten Jahr weitaus größer. Was ist der Grund dafür, dass
die Reaktionen auf die gleiche Fragestellung so unterschiedlich ausfielen?
Zum einen spielte natürlich die Höhe des Geldes eine Rolle. Trotz des Währungsunterschieds ist wohl eindeutig erkennbar, dass 100.000 Mark einen größeren Anreiz bieten
als 3.000 Francs. Durch die Höhe des Wolfskehlpreises wurden also mehr Menschen angesprochen, was auch zu mehr Einsendungen führt.
Weiterhin hatte auch die „Preisära“ einen Einfluss auf die Reaktionen. Gegen Mitte
des 19. Jahrhunderts änderte sich das Verständnis von Preisen in der Mathematik. Davor
sah man Preise als Entscheidungshilfe für Universalwissenschaftler, mit welchem Problem
sie sich als nächstes beschäftigen sollten. Die Zielgruppe waren also ganz klar etablierte
und renommierte Mathematiker. Ab Ende des 19. Jahrhunderts versuchte man durch die
retrospektiven Preise eher junge, unbedeutende Mathematiker zu fördern und ihnen ein
Trittbrett in die Welt der Mathematiker zu liefern. Diese Veränderung der Zielgruppe
machte sich auch in der Art und Weise der Veröffentlichung bemerkbar. Dies führt wohl
bei vielen zu der Annahme, dass das Problem durchaus lösbar sei, woraufhin sie ihre
Beweisversuche einsendeten.
Der letzte und wichtigste Grund ist, dass der Wolfskehlpreis nur ein einziges Mal vergeben wurde, wohingegen die Preise 1815 und 1850 regelmäßiger Natur waren. Ein Preis,
der alle zwei Jahre vergeben wird, weckt bei weitem nicht so viel Aufmerksamkeit wie
ein Preis, der einzigartig ist. Natürlich ist das Prestige, das der Gewinner erhält, damit
auch weitaus höher.
Da nun der Vergleich bei gleicher Fragestellung und unterschiedlichen Reaktionen
gezogen wurde, lohnt sich ein Blick auf eine andere Fragestellung, die aber eine ähnliche
Reaktion wie der Wolfskehlpreis auslöste.
Beim Wolfskehlpreis war eine Bedingung für die Einsendungen, dass sie zuvor in einem
mathematischen Journal oder einer Zeitschrift veröffentlicht werden mussten. Durch das
Preisgeld angelockt veröffentlichten einige ihre Lösungen, um sie danach in Göttingen
einreichen zu können. Durch diese Veröffentlichungen wurde der Wolfskehlpreis noch bekannter und mehr Personen versuchten eine Lösung, was wiederum zu mehr Veröffentlichungen und einem höheren Bekanntheitsgrad führte. Die Folge waren 621 Einsendungen
38
im ersten Jahr und insgesamt bis zum tatsächlichen Beweis über 5.000 Einsendungen.
Als die Millenniums-Probleme für jeweils 1 Million Dollar pro Problem verkündet wurden, wurde ein Artikel darüber kurz darauf auf der Titelseite der Le Monde abgedruckt.
Die Le Monde-Zeitung gehört zu den führenden Blättern in Frankreich. Auch in Amerika wurde in hunderten von Zeitungen über die Millenniums-Probleme berichtet und die
Nature brachte sogar eine spezielle Zusatzausgabe heraus [Szp08, vgol. S. 256]. Die Folgen waren kaum abzusehen. Jeder wollte Gewinner dieses Preises werden und versuchte
auf der Webseite des Clay Mathematical Institute herauszufinden, welche Konditionen
für die Einsendungen notwendig waren. Die Seite brach innerhalb von Tagen unter dem
großen Ansturm zusammen. Als Lösung versuchte man die Seite auf den viel stärkeren
Server der American Mathematical Association zu spiegeln, doch die Anzahl der Aufrufe
der Seite war so groß, dass auch dieser Server zusammenzubrechen drohte.
Natürlich könnte man sich nun fragen, warum die Einsendungen von zwei Lösungen
pro Tag mit der Anzahl von so vielen Aufrufen auf einer Internetseite verglichen wird,
dass diese sogar zusammenbrach. Doch ist meiner Meinung nach die Reaktion unter
Berücksichtigung des Jahres eine ähnliche. Was um 1900 zwei Einsendungen pro Tag
waren, das ist ebenso viel wie in der modernen Welt des 21. Jahrhunderts das Zusammenbrechen einer Webseite wegen Überlastung [Szp08, vgl. S. 257].
Ebenso spannend wie die Menge der Interessenten ist das Klientel, das sich für Preise
interessiert interessiert. Im Kapitel 2.3.3 wurde bereits angedeutet, dass die Menschen,
die sich um das Gewinnen des Wolfskehlpreises bemühten, hauptsächlich Amateure waren. Szprio schreibt darüber bezüglich der Millenniums-Probleme: „Amateurs, drooling
over the promised prize money, started sending in their manuscripts to learned journals.
Not realizing the vast difficulties, they claimed to have solved a Millennium Problem,
and sometimes all.“ [Szp08, S. 257].
Betrachtet man oben genannte Gründe für die unterschiedlichen Reaktionen auf die
Preise der Pariser Akademie und den Wolfskehlpreis, so bemerkt man schnell, dass die
selben Gründe auch für die Ähnlichkeit der Reaktionen auf den Wolfskehlpreis und die
Millenniums-Probleme verantwortlich sind. Bei diesen Preisen ging es beide Male um für die jeweilige Zeit - sehr viel Geld, was einen hohen Anreiz schafft. Beide Preise sind
einzigartig und nicht regelmäßig.
Zum Abschluss diese Kapitels muss noch erwähnt werden, dass trotz der großen Resonanz auf die Millenniums-Probleme und den Wolfskehlpreis kein Beitrag zur Lösung
geliefert wurde. Andrew Wiles, der die Fermatsche Vermutung bewies, hätte dies auch
ohne Wolfskehlpreis getan und die Einsendungen zuvor brachten keinen Fortschritt für
den Beweis. Inzwischen ist auch eines der Millenniums-Probleme gelöst, die PoincaréVermutung, doch Grigori Perelman, der den Beweis führte, lehnte den Millenniums-Preis
sogar ab. Das verdeutlicht, dass die Preisgelder sowohl beim Wolfskehlpreis als auch bei
den Millenniums-Problemen zwar die Bekanntheit der Probleme und das Interesse vieler
Amateure fördert, aber aktiv nicht zur Lösung einer Vermutung oder zum Führen eines
Beweises beiträgt.
39
3.2.4 Vergleich der Gewinner
Zunächst interessiert vor allem der Gewinner des Wolfskehlpreises - Andrew Wiles. Der
1953 geborene Brite kam durch Eric Temple Bells Buch „The Last Problem“ in Berührung mit Fermats Vermutung. Ab diesem Zeitpunkt war ihm bewusst, dass er Mathematiker werden wollte, um dieses Problem zu lösen. Anfang der 80er nahm Wiles
eine Professur in Princton, Amerika, an und leistete dort große Beiträge zur modernen
Mathematik. Ab 1985 wurde es still um den großen Mathematiker und man hörte von
keinen neuen Fortschritten - im Gegenteil. Aufgrund der Abkapselung von seinen Kollegen hegte man den Verdacht, Wiles könnte ausgebrannt und am Ende sein. Erst kurz vor
seinem Vortrag am Isaac Newton Institute in Cambridge 1993 wurden Gerüchte breit,
dass Wiles an etwas sehr Bedeutendem arbeite. Schließlich hielt Andrew Wiles eine dreitägige Vorlesung, die seinen Beweis der Fermatschen Vermutung darstellte, und schloss
sie mit den bescheidenen Worten „I think I will stop here“. Als zurückgezogener Mensch,
der er ist, weiß man heute kaum, woran Wiles derzeit arbeitet. Er ist jedenfalls wieder
zu seiner Professur in Princton zurückgekehrt [Sin98, vgl. S. 25-26, 29-30, 56-57, 338-339].
Einen weiteren Gewinner einer Preisausschreibung möchte ich hier vorstellen: Grigori
Perelman, der 2002 das fünfte Millenniums-Problem, die Poincaré-Vermutung, bewies.
Perelman, geboren 1966 im damaligen Leningrad (heute St. Petersburg), bekam von seinem Vater, einem Elektroingenieur, oftmals logische und mathematische Rätsel gestellt,
an deren Knobelei und Lösung er viel Freude hatte. „Just one month after his sixteenth
birthday he called international attention to himself for the first time. At the Mathematical Olympiad in Budapest he answered all six questions perfectly and received a
gold medal with the maximal score of 42 points“ [Szp08, S. 206]. Nach einem Mathematikstudium in St. Petersburg erhielt er eine Forschungsstelle am Steklov Institut. Nach
einem Amerikaaufenthalt von 1992 bis 1993 erhielt er das Miller-Stipendium der Universität von Californien in Berkeley. Dort wurde sein Interesse an der Poincaré-Vermutung
geweckt. Als das Stipendium nach zwei Jahren zu Ende war, schlug er nachfolgende Stipendien von Stanford und Princeton aus und kehrte nach Russland zurück. Nach acht
Jahren harter und einsamer Arbeit schrieb Grigori Perelman drei Paper, die die Lösung
der Poincaré-Vermutung und darüber hinaus gehende Beweise enthielten. Perelman ist so beschreibt in Szpiro in seinem Buch über die Poincaré-Vermutung - eine sehr zurückgezogene Persönlichkeit. Er zieht es vor, nicht in Gesellschaft mit anderen Menschen zu
sein, vermeidet die Presse und verweigert sogar die Annahme von Preisen, da sie seinem
Gerechtigkeitsverständnis und seinen ethischen Grundsätzen widersprechen. So lebt er
auch heute noch in einer eher ärmlicheren Wohnung zusammen mit seiner Mutter und
hat gerade genug Geld zum Leben. Er hat das Preisgeld für die Lösung des MillenniumsProblems ebenso ausgeschlagen wie die Fields-Medaille, die als höchste Auszeichnung für
Mathematiker gilt, und viele andere Preise und Auszeichnungen [Szp08, vgl. S. 205-210].
Worin liegen nun die Gemeinsamkeiten der beiden Preisgewinner?
Beide - sowohl Andrew Wiles als auch Grigori Perelman - sind hochrangige Mathematiker. Sie haben nicht nur Mathematik studiert, sie haben sich auch ihr Leben lang
40
damit beschäftigt und zahlreiche Auszeichnungen wurden ihnen zugesprochen. Mit dem
entsprechenden Problem haben sie sich über Jahre hinweg zurückgezogen beschäftigt,
bis sie zu einer Lösung kamen. Außerdem zeigen beide ein eher geringes Interesse an
dem jeweiligen Preis. Perelman ist in dieser Hinsicht viel extremer als Wiles, indem er
eine Annahme des Preises kontinuierlich verweigert, doch auch für Wiles gehörte das
Gewinnen des Wolfskehlpreises nicht zu den Gründen für seine Beschäftigung mit der
Fermatschen Vermutung.
Welche Schlüsse kann man daraus bezüglich der Fragen ziehen, ob Preise zur Lösung
von Problemen in der Mathematik beitragen?
Es wird deutlich, dass diejenigen, die die Probleme lösen, nicht an den Preisen interessiert sind. Goldene Medaillen scheinen ebenso wenig Ansporn zu sein wie hohe Preisgelder. Die Klasse an Mathematiker, die genügend Wissen und Talent für die Lösung solcher
komplexer, jahrhunderte alter Aufgaben besitzen, beschäftigen sich mit diesen Aufgaben
aus Spaß an der Mathematik, aus Leidenschaft für das Problemlösen oder um sich einen
Kindheitstraum zu erfüllen. Ihre Aufmerksamkeit wird nicht durch Preise gewonnen. Sie
sind lediglich ein netter Zusatz zu dem eigentlichen Lohn: der inneren Befriedigung das
Problem endlich gelöst zu haben und den Beweis, der so lange ausstand, endlich vor
Augen zu haben.
3.2.5 Vergleich der Fehler in Beweisen
Als 1993 Andrew Wiles seinen Beweis vorgestellt hatte, wurden die Kapitel verschiedenen Mathematikern anvertraut, die die Richtigkeit des Beweises untersuchen sollten.
Nick Katz fand dabei eine Ungereimtheit, die sich nicht als harmlos erwies. Zunächst war
Wiles der Meinung, er könnte die irrtümliche Annahme in relativ kurzer Zeit beheben.
Doch stellte sich heraus, dass die Lösung eines Problems sofort weitere Probleme nach
sich zog. Als nach einem halben Jahr immer noch kein Beweis vorlag, wurde Wiles’ Arbeit von vielen als gescheitert betrachtet. Als Wiles kurz davor war aufzugeben, riet ihm
ein Freund, sich einen Mathematiker zu suchen, der auf dem entsprechenden Gebiet ein
Fachmann war und mit dem er jeden Tag über Fortschritte oder Probleme reden konnte.
Wiles suchte sich Richard Taylor aus. Dann, im Herbst 1994, gelang beiden Mathematikern zusammen der Durchbruch und sie konnten einen vollständigen und fehlerlosen
Beweis vorlegen [Sin98, vgl. S. 287-311].
Zum von Henri Poincaré gewonnen Oscar gibt es eine ähnliche Geschichte. Kurz nachdem Poincaré im Juli 1889 den Oscar, also eine goldene Medaille und 2.500 Kronen
erhielt, fand Edvard Phragmén, der Assistent von Mittag-Leffler, eine Ungereimtheit in
der Arbeit. Als Poincaré es im Dezember 1889 immer noch nicht geschafft hatte, den
Fehler zu beheben, informierte er Mittag-Leffler. Dieser hatte im Zuge des Drucks der
neusten Ausgabe der Acta Mathematica - die auch Poincarés Paper enthielt - schon
einige Vordruckexemplare verschickt und bemühte sich nun den Schaden zu begrenzen.
Mit einigen Mühen wurden alle Vordrucke vernichtet, Poincaré schrieb das Paper um
und ein Jahr später konnte die Acta Mathematica mit dem neuen Paper von Poincaré
gedruckt werden. Allerdings bestand Mittag-Leffler darauf, dass Poincaré die Druckkos-
41
ten der neuen Acta Mathematica-Ausgabe übernehmen musste, welche das Preisgeld
des Oscars überstiegen [BG97, vgl. S. 67-70], [Gra06, vgl. S. 20] und [Szp08, vlg. S.
38-46]. Letztendlich hat Poincaré zwar den Oscar gewonnen, doch das Preisgeld durch
sein Missgeschick wieder verloren und musste sogar dazu zahlen. Mittag-Leffler schaffte
es nur mit Mühen der Peinlichkeit zu entkommen, einen Preis für ein fehlerhaftes Skript
vergeben zu haben und König Oscar II war so von dem Aufwand des Preises erschüttert,
dass der ursprünglich regelmäßig gedachte Preis kein zweites Mal vergeben wurde.
Man kann an den oben beschriebenen Fällen sehen, wie komplex diese Probleme sind.
Selbst Wiles, der acht Jahre ununterbrochen an der Fermatschen Vermutung arbeitete
und ein hochrangiger Mathematiker ist, passierte ein Fehler in seinem Beweis. Wenn
aber schon so ausgezeichnete Mathematiker wie Wiles und Poincaré Fehler machen,
muss das Problem sehr schwer zu beweisen sein. Wäre es leichter zu beweisen, wäre
es möglicherweise auch schon früher bewiesen worden und es hätte gar keinen Preis
gegeben. Die Aussage, dass ein Problem sehr schwer und komplex ist, wenn ein Preis auf
den Beweis dieses Problems ausgeschrieben wurde, ist nicht allgemeingültig. Dennoch
trifft sie auf die meisten retrospektiven Preise zu.
Dass die meisten interessierten Mathematiker sich mit einem Problem beschäftigt hätten unabhängig davon, ob darauf ein Preis ausgeschrieben wurde, wirft ein Paradoxon
auf: Wie in Kapitel 2.3.3 beschrieben werden durch Preise hauptsächlich Amateure angesprochen. Diese haben jedoch nicht genügend mathematisches Wissen, um in der Lage
zu sein das Problem zu lösen. Wäre das Problem leicht genug, als dass es von diesen
Amateuren gelöst werden könnte, wäre es schon so kurz nach seiner Findung bewiesen
worden, dass es kein Thema für ein Preisausschreiben geworden wäre.
Also wäre die Schlussfolgerung, dass ein Preis allein zur Lösung des Problems überflüssig ist. Diejenigen, die das Problem lösen können, hätten sich auch ohne den Preis damit
beschäftigt und diejenigen, die durch den Preis auf das Problem aufmerksam werden,
können keinen Beitrag zur Lösung liefern.
Es muss hier noch angemerkt werden, dass genau diese beiden Beispiele - der Wolfskehlpreis und der Oscar - gewählt wurden, um zu verdeutlichen, dass einigen Preisgewinnern Fehlern passierten. Dies gilt nicht für alle. Ein Gegenbeispiel ist Grigori Perelman.
Als er eines der Millenniums-Probleme löste, machte er keinen einzigen Fehler und lieferte einen stichfesten Beweis.
3.2.6 Zusammenfassung der Analyse des Wolskehlpreises
Bei der allgemeinen Analyse von Preisen war das Ergebnis, dass Preise kaum richtungsweisend in die Mathematik eingreifen und eher keinen Einfluss auf die Lösung von Problemen haben. Dennoch verhelfen sie der Mathematik und mathematischen Problemen
zu mehr Bekanntheit, was zum einen zu Forschungsgelder von der Politik verhilft und
zum anderen junge Talente ermutigt, den Beruf als Mathematiker zu ergreifen. Dadurch
wird indirekt doch die Lösung von Problemen in der Zukunft gefördert.
42
In diesem Kapitel wurde nun der Wolfskehlpreis im Speziellen betrachtet. Um die
Übersichtlichkeit zu gewährleisten, möchte ich noch einmal die Resümees der einzelnen
Unterkapitel zusammenfassen.
Im Hinblick auf den Initiator ist der Wolfskehlpreis einzigartig, da Paul Wolfskehl
Geldgeber und Initiator in einem ist. Außerdem ist es eine Seltenheit, dass eine einmalige
Preisvergabe für nur ein spezielles Problem stattfindet. Dadurch kommt zum Ausdruck,
dass es sich um ein sehr schweres Problem handelt und dass der Preis einen sehr großen
Anreiz bietet, da ein solch einzigartiger Preis mehr Ruhm verspricht als ein regelmäßiger
Preis.
Bezüglich der Zeitlänge, die der Wolfskehlpreis ausgeschrieben war, ist zu sagen, dass
sie von Wolfskehl als Mittelweg gewählt wurde. Er wählte die Zeitspanne nicht zu knapp,
um dem Thema eine langfristige Beachtung zuzusichern, und ließ sie doch nicht unbegrenzt, um zu zeigen, dass die Erwartung einer Lösung in den nächsten 100 Jahren
durchaus realistisch ist.
Die Reaktionen auf den Wolfskehlpreis zeigten, dass durch die hohe Preissumme ein
großer Anreiz für Amateure geschaffen worden war. Diese Menschen sorgten zwar für
viele Einsendungen, trugen aber nichts zur Lösung der Fermatschen Vermutung bei.
Bei der Beschäftigung mit dem Gewinner des Wolfskehlpreises - Andrew Wiles - wurde
klar, dass es sich um einen zurückhaltenden, bescheidenen, hochrangigen Mathematiker
handelt, der durch jahrelange Arbeit den Beweis zustande brachte. Der Preis war dafür
- falls überhaupt - viel weniger Anreiz als vielmehr die Befriedigung das Problem endlich
gelöst zu haben.
Den Fehler im Beweis von Andrew Wiles betreffend ergab sich schließlich, dass wegen
der Schwierigkeit des Problems der Preis zur Problemlösung überflüssig war. Entweder
wäre das Problem aufgrund seiner Leichtigkeit schon gelöst worden, bevor überhaupt
die Idee zum Preis entstand, oder die Aufgabe ist so komplex, dass durch den Anreiz für
Amateure durch den Preis nichts für die Lösung bewirkt werden konnte.
Zusammenfassend hat der Wolfskehlpreis also aktiv nichts zur Lösung des Problems
beigetragen. Diejenigen, die aufgrund des Preises eine Lösung versuchten, waren fast
ausschließlich Amateure, die nicht das Wissen und das Können für den Beweis hatten.
Andrew Wiles hingegen hätte sich mit und ohne Wolfskehlpreis mit dem Rätsel seiner
Kindheit befasst.
Die Aussage, dass der Preis nicht richtungsweisend in die Mathematik eingriff, ist nicht
so leicht zu begründen. Natürlich beschäftigen sich die Berufsmathematiker heutzutage
hauptsächlich mit ihrem Spezialgebiet und lassen sich nicht so einfach durch einen Preis
von diesem Spezialgebiet abbringen wie die Universalwissenschaftler im 18. Jahrhundert.
Mathematiker heute haben es verlernt Universalmathematiker zu sein. Doch bewirkte der
Wolfskehlpreis bei Amateuren eine Flut an Arbeiten zu diesem Thema und womöglich
ist die Anzahl der Mathematiker, die sich im Zuge dessen mit der Fermatschen Vermutung befassten, die Unmöglichkeit eines Beweises durch die eigene Feder jedoch schnell
einsahen und deshalb nichts einschickten, gar nicht so gering. Dabei stellt sich allerdings
wiederum die Frage, ob jene Mathematiker sich nicht auch ohne den Wolfskehlpreis an
einer Lösung versucht hätten.
43
So verbleibt die Schlussfolgerung, dass der Wolfskehlpreis zwar die Bekanntheit der
Fermatschen Vermutung und der Mathematik im Allgemeinen gefördert hat und viele
Amateure zum Versuch einer Lösung bewegt hat, dennoch war er nicht für die Lösung
des Problems hilfreich oder gar richtungsweisend.
44
4 Schluss
Da sich im Lauf dieser Arbeit herausgestellt hat, dass Preise kaum Einfluss auf mathematische Probleme nehmen, stellt sich die Frage, ob es überhaupt sinnvoll ist Preise
auszuschreiben. Müsste man sich nicht eigentlich eingestehen, dass Preise zwar im 19.
Jahrhundert ganz hilfreich waren, heute aber ausgedient haben? Was bringen Preise
heutzutage überhaupt noch?
Meiner Meinung nach sind Preise nicht überflüssig. Natürlich haben sie keinen direkten
Einfluss auf die Lösung eines Problems und tragen vordergründig nichts zum Beweis
bei, doch sind Preise auch nicht vollkommen nutzlos. Ich glaube, dass die Wirkung,
die Preise auf Menschen ausüben, nicht unterschätzt werden darf. Unsere Gesellschaft
ist so leistungsorientiert, dass uns von Kindesbeinen an gezeigt wird, wie erfüllend es
ist, viel Geld zu haben und berühmt zu sein. Genau das ist es aber, was Preise uns
versprechen: sie versprechen eine hohe Gewinnsumme und den Ruhm ein Problem gelöst
zu haben. Dieser Ruhm entspricht nicht der Bekanntheit von Schauspielern oder anderen
Idolen, doch wissen auch Andrew Wiles und Grigori Perelman, was es heißt, in der
Aufmerksamkeit der Medien zu stehen. Durch die Chance sich alle Wünsche erfüllen zu
können, wird ein Anreiz geschaffen, der Mathematik beliebt und publik machen. Somit
wird auch dafür gesorgt, dass der Nachwuchs in der Mathematik nicht ausbleibt.
Außerdem möchte ich hier anmerken, dass sich die Preise in einem fortwährenden Wandel befinden. Im Gegensatz zum Wolfskehlpreis wurden zum Beispiel die MillenniumsProbleme gezielt danach ausgesucht, welche ungeklärten Aufgabenstellungen neue Bereiche in der Mathematik aufschlüsseln, für ein tieferes Verständnis in noch unbekannten
Gebieten nötig sind und den Weg für zukünftige Probleme weisen. Tatsächlich nehmen
solche Preise - wie auch die Hilbertprobleme von 1900 - Einfluss auf die Mathematik,
werden berühmt und weisen in gewisser Weise doch den Weg, den die Mathematik einschlagen soll.
Ich denke, dass wir nicht die Preise ändern oder abschaffen sollten, wir sollten unsere
Erwartungen ändern. Früher dienten Preise einer möglichst schnellen Lösung des gegebenen Problems. Jetzt wird den Berufsmathematikern in den Universitäten nicht mehr
genügend Raum gegeben, sich langfristig mit Problemen zu beschäftigen. Wenn man
erwartet, dass Mathematiker Zeit haben für Beweise und Problemlösungen, darf man sie
nicht einem Leistungsdruck aussetzen, wie er heute an den Universitäten herrscht. Wird
weniger Druck aufgebaut, haben sie Zeit sich mit den aktuellen und wichtigen Problemen
auseinanderzusetzen, zum Beispiel mit denen, für die ein Preis ausgeschrieben wurde.
Heute dienen Preise der Popularität der Mathematik, verhelfen der Mathematik zu
mehr Nachwuchsmathematikern, geben Impulse für die Forschungsrichtung und sind für
viele tausend Menschen der Anreiz Mathematik zu betreiben. Dies ist meiner Meinung
nach genug, um Preise wie den Wolfskehlpreis weiterhin zu vergeben und zu erhalten.
45
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[Wuß75]
Hans Wußing: Biographien bedeutender Mathematiker. Eine Sammlung von
Biographien. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt, 3. Auflage,
1975.
48
Erklärung
Hiermit versichere ich die vorliegende Abschlussarbeit selbstständig verfasst zu haben,
keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt zu haben, und die
Arbeit bisher oder gleichzeitig keiner anderen Prüfungsbehörde unter Erlangung eines
akademischen Grades vorgelegt zu haben.
Würzburg, den 25.06.2015
···························
Maria Schmid
49

Die Fermatsche Vermutung und der Wolfskehlpreis

Transcription

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