Die Physik der Musikinstrumente.

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Die Physik der Musikinstrumente.
Yves Kemp
Ringvorlesung „Physik im Alltag“
19.1.2010 Universität Hamburg
Vortrag und Materialien: http://www.desy.de/~kemp/talks/musik
Programm
> Schwingungen, Einzeltöne, Obertöne und Schwebungen.
> Gezupft, geschlagen und gestrichen: Wie man Saiten zum
Schwingen bringt.
> Welches Material für das Musikinstrument?
> Wieso gibt’s 12 Halbtöne und unterschiedliche
Stimmungen?
Yves Kemp | Physik der Musikinstrumente | 19.1.2010 | Seite 2
Wieso Musik und Physik?
> Über Musik zu reden ist wie über Architektur zu tanzen. (Frank Zappa)
> Es geht nicht darum, eine mathematische und physikalische Erklärung
für gute und schlechte Musik zu finden.
 Das ist (zum Teil) Ihr persönlicher Geschmack - und soll so bleiben
> Viele Physiker waren begeisterte Musiker
> Musikinstrumente erzählen uns einiges über Physik:
 Besonders klassische Mechanik, aber auch Wellenmechanik
> Die meiste Lebensfreude kommt aus der Geige. (Albert Einstein)
Einfachstes System: Die Feder: Harmonischer Oszillator
x
> Mit Dämpfung:
m
> Ohne Dämpfung:
ζ : Dämpfungskoeffizient
Bestimmt Verhalten:
>1: Überdämpft, keine Schwingung
=1: Kritisch gedämpft, eine Schwingung
<1: schwach gedämpfte Schwingungen
oder:
Eine Lösung:
x
x(t) = A " sin(#t + $ )
Mit der Kreisfrequenz:
!
t
Amplitude A und Phase phi hängen
von Anfangsbedingungen ab.
Sinus klingt nicht wirklich gut
> Instrumente produzieren andere Wellenformen
> Aber: Jede periodische Funktion läßt sich mit Hilfe von sinus und cosinus
darstellen: Fourier-Reihe und Fourier-Transformation
> Implementierung oft: Fast Fourier Transform, FFT
 Wird auch für nicht-periodische Wellenformen verwendet
> Wir schauen und hören uns ein paar Wellenformen und ihre FourierTransformation an
 Unterschiedle Frequenzspektren haben unterschiedlichen Charakter
Empfinden der Tonhöhe
> Hören wir uns folgende Frequenzfolgen an:
 1) 100 Hz - 200 Hz - 300 Hz - 400 Hz - 500 - 600 - 700 Hz ( f(n+1)=f(n)+f(0) )
 2) 100 Hz - 200 Hz - 400 Hz - 800 Hz - 1600 - 3200 - 6400 Hz ( f(n+1)=f(n)*2) )
> Die zweite Folge empfinden wir als aus gleichen Schritten bestehend, während die
erste Folge “nach oben hin abflacht”
> Empfindung von Tonhöhe: Nicht die Frequenzdifferenz ist entscheidend, sondern
Verhältnis
> Der Mathematiker wendet in solchen Fällen eine logarithmische Skala an:
> Und der Musiker/Physiker sagt zur Frequenzverdopplung: Oktave
 … und bewundern die Leistungsfähigkeit des Ohres: ~16 Hz - 20 kHz: ~10 Oktaven
 Das Auge zum Vergleich: ~380 nm bis ~780 nm ist eine Oktave
Empfinden der Lautstärke
>
x(t) = A " sin(#t) (falsche) Annahmen:
 Verdopplung von A = Verdopplung der empfundenen Lautstärke
 Die Amplitude A bestimmt alleine die empfundene Lautstärke
(Quelle Wikipedia)
! > Lautstärkepegel wird in Phon gemessen
> Druckpegel in Dezibel
 Bei Sinus von 1000 Hz sind Schalldruckpegel (in
Dezibel) und Lautstärkepegel (in Phon) identisch
 Für andere Frequenzen werden
Vergleichsmessungen gemacht
> (Dezi)Bel, dB:
 P1 und P2 sind Druckpegel

und somit auch A2
> Verdopplung von A → +6 dB
Zwei gemeinsam erklingende Töne
> Wann kann man zwei Töne unterschiedlicher Frequenz als zwei
unterschiedliche Töne wahr nehmen?
> Mathematisch:
Langsam oszillierender Term
> Physikalisch: Es entsteht eine Schwebung
> Versuch: Akustische Wahrnehmung (bei 440 Hz):
 Unterschied kleiner als ~10 Hz: Schwebung deutlich
 Unterschied größer als ~30 Hz: Zwei Töne wahrnehmbar
 Mittelbereich: Reibung, Flattern
(Quelle Wikipedia)
Das erste Instrument: Die gezupfte Saite
(Quelle Ernst Schreier)
> Fourier-Analyse eines Dreieck-Signals ergibt Sinusanteile
> Physikalische Argumentation:
 Jegliche Schwingung muss an den beiden Enden einen Knoten haben
Kompliziertere, aber
allgemeingültige Herleitung:
Lösen der Wellengleichung:
 Bewegung der Saite muss symmetrisch sein (wenn in der Mitte gezupft)
> Größte Wellenlänge: 2L (L ist eine halbe Sinus-schwinung)
> Wellenlänge L geht nicht: Nicht symmetrisch, ebenso L/2n
> Wellenlängen: 2L/(2n+1)
> n sind die (Schwingungs-)Moden
… oder numerische Simulation,
z.B. finite Elemente
Der zeitliche Verlauf:
> Nach dem Zupfen keine Energiezufuhr
mehr
> Energieverlust durch
 Deformation, Reibung innerhalb der Saite
 Anregung der umgebenden Luftmoleküle
 Anregung des Resonanzkörpers
> Energieverluste recht klein, also
schwach gedämpftes System
 Dämpfung durch Resonanzkörper am
stärksten
> Die unterschiedlichen Obertöne haben
unterschiedliches Zeitverhalten
 Unterschiedliche Dämpfung
 Einfluss des Resonanzkörpers
(Quelle Fletcher&Rossing, 1997)
Die geschlagene Saite: Klavier
> Zwei wesentliche Unterschiede zur
gezupften Saite (z.B. Gitarre):
 Saite durch Hammer angeschlagen
 Mehrere Saiten (2-3) gleichzeitig angeschlagen
> Hammer, und das Anschlagen
 Hämmer haben unterschiedliche Härten, Härte
kann verändert werden
 Ort des Anschlagens hat sich im Laufe der Zeit
verändert, heute bei ~1/7, bei hohen Tönen bei
~1/15 der Saite
Zeitlicher Verlauf des Klanges
Zwei Gründe
1) Effekte durch parallele und senkrechte
Schwingungen der Saiten

Am Anfang senkrecht: Hoher Energieverlust

Gegen Ende paralell: Niedriger Energieverlust

Änderung der Polarisierung: Aufhängung und
spiralförmige Ummantelung der Saiten.
2) Effekte durch die Unisono-Saiten

Leichte Verstimmungen: Schwebungen im
Bereich von mehreren Sekunden

Gleiche Phase, aber leicht unterschiedliche
Amplituden (Unregelmässigkeiten des
Hammers): Energieaustausch zwischen Saiten
ähnlich zum gekoppelten Pendel
Quelle: Gabriel Weinreich
Die gestrichene Saite
Koninuierliche Energieaufnahme durch den Bogen
Wechsel zwischen
> Haftreibung: Der Bogen haftet an der Saite
> Gleitreibung: Die Saite gleitet frei, mit
kleinerem Reibungskoeffizienten
> Charakteristischen Sägezahn und
Dreiecksform der Saite: Helmholtzbewegung
Und was passiert bei Anfängern?
> Die ersten Töne auf der Geige sind ... nicht immer schön anzuhören
> Zusammenhang zwischen Bogenkraft und Bogenposition schwierig,
nicht immer entsteht eine Helmholtzbewegung
Schelleng-Diagramm,
Nach John C. Schelleng
Einfluss der Materialien auf den Klang
> Über das Geheimnis der Stradivaris wird seit Jahrhunderten gerätselt
und spekuliert
> Die Plastikblockflöten vom Jahrmarkt sind nicht gerade als
Konzertinstrumente bekannt
> Historische Orgelpfeifen haben andere Legierungen als moderne
> Manche Blasmusiker (Querflöte, Trompete,...) schwören auf bestimmte
Legierungen
> Was sagt die Physik dazu?
Materialien: Unterscheidung in drei Instrumente-Typen
> Idiophone Instrumente: Die direkt durch die externe Erregung
verursachte Schwingung ist für die Abstrahlung des wahrgenommenen
Tons verantwortlich
 Glocken, Becken
 Eventuell auch Saiten, Membran, Blätter von Holzblasinstrumenten, ...
> Resonante Instrumente: Die Abstrahlung des wahrgenommenen
Tons entsteht durch Mitschwingung eines indirekt erregten Körpers
 Körper von Saiteninstrumenten (Gitarre, Geigen, Klavier, ...)
 Kessel von Schlaginstrumenten
> Aerophone Instrumente: Das Instrument an sich vibriert nicht,
sondern die eingeschlossene Luft produziert den wahrgenommen Ton
 Trompeten, Orgelpfeifen (ohne Zungen), Querflöten und Blockflöten
 Korpus von Oboe, Saxophon,...
Die Stradivaris:
> Stradivari wohl der bekannteste und vermutlich auch einer der besten
Geigenbauer (1644-1737)
 Von ~1100 Instrumenten existieren noch ~600, hauptsächlich Geigen und Bratchen und Cellis.
 Sie werden regelmässig gespielt
> Das “Geheimnis” der Stradivaris, einige Ideen:
 Geringe Holzdichte wegen “kleiner Eiszeit” / Pilzbefall. Wieso sind andere Geigen aus der Zeit und
Gegend nicht so gut?
 Altes Holz, gut gelagert: verwendetes Holz normalerweise jünger als 20 Jahre
 Spezielle Lackierung: Verluste durch Abnutzung oder Neulackierung
> Aber auch:
 Veränderungen am Corpus und normalerweise andere Saiten.
 Kammerton seit Stradivari Halbton höher: Geigen klingen heute anders.
 Üblicherweise spielen nur herausragende Musiker Stradivaris.
 Moderne akustische Kopien werden von einigen Geigern als ebenbürtig bis überlegen angesehen
Moderne Geigenbauer und ihre Methoden
> Beispiel: Martin Schlescke, Stockdorf/München: Geigenbaumeister und Physiker
> Modalanalyse (Wie schwingt die Geige?), Schallanalyse (Wie klingt die Geige?),
Konstruktions- und Materialanalyse ergänzen sich bei der Untersuchung alter
Geigen und bei der Konstruktion neuer Instrumente.
Material: http://www.schlescke.de/
Orgelpfeifen
> Orgelfpeifen (wir betrachten jetzt nur Labialpfeifen):
 Aus Metall (vorwiegend rund) oder Holz (vorwiegend rechteckig)
 Beiden gemeinsam: Stabil (Statik und Einfluss der Schwingung), einfache
Handhabbarkeit bei Herstellung, Stimmung und Wartung, temperaturbestaendig,
keine Oxidation (Metalle) (und Kosten...)
→ Einfluss auf Materialwahl
> Altes Wissen und neue Forschung:
 Orgelpfeifen wurden testweise aus unterschiedlichsten Materialien wie Beton
oder Karton hergestellt: Wichtigster Faktoren nach der Form war Festigkeit.
 Allerdings: Pfeifen vibrieren leicht: Material hat Einfluss. Unterschiedliche
Legierungen beeinflussen Vibration, somit wahrnehmbarer und messbarer Effekt.
 Alte Pfeifen (Arp Schnitger, Gottfried Silbermann) haben konische nach oben
verjüngende Wände: Wahrnehmbarer und messbarer Effekt.
Zwei Schwingunsmoden
Konisch verjüngende Wände
Material: Steffen Bergweiler, Dissertation 2005 und Wikipedia
... Und andere Blasinstrumente
> Z.B. Querflöte: Ursprünglich aus Holz (deshalb auch Holzblasinstrument), heute
meist aus Metall: Silber, Gold, vergoldetes Silber, vergoldetes Silber, Weißgold,
Neusilber, Platin, Palladium, Nickel, Titan, Carbon, Messing, Edelstahl...
> Manchmal unterschiedliche Materialien für Kopfstück und Mittel/Fußstück - auch
unterschiedliche Instrumentenbauer
> Querflöte härter als Orgelpfeife: Schwingungen weniger stark (wenn überhaupt)
→ geringer bis kein Einfluss des Materials auf Klang
> Einfluss des Instrumentenbauers viel stärker
> Z.B. (Kontra)-Fagott: Kunststoff-Beschichtung innen, Teile
komplett aus Kunststoff hergestellt
> Z.B. Giora Feidmann spielt auf einer Plexiglas-Klarinette
(Quelle Wikipedia)
> Plastik hat teilweise Nachteile in der Fertigung: Schwerer als Holz. Allerdings
resistenter gegenüber Feuchtigkeit
> Plastikblockflöte: Akzeptanzprobleme eher durch Massenproduktion.
Ein Ton - mehrere Töne
> Wir haben gesehen, dass schwingende Systeme Obertöne haben
> “Melodie”-Instrumente bedienen sich bei den Obertönen aus der Reihe
fn=n.f0
> Was bedeutet das für mehrere gleichzeitig gespielte Töne?
 Und ein Tonsystem (Tonleiter)?
> Gibt es eventuell physikalisch erklärbare universelle Gesetze?
Erinnerung: Schwebungen
> Zwei (Sinus-)Töne ähnlicher Frequenz werden zusammen gespielt.
> Mathematisch:
Langsam oszillierender Term
> Physikalisch: Es entsteht eine Schwebung
> Wenn f1≈f2 Schwebung sehr lange Periode
(Quelle Wikipedia)
Und jetzt noch die Obertöne dazu
> Auch die Obertöne des Zweiklangs rufen Schwebungen hervor
 Obertöne des Grundton im Vergleich zu einem zweiten Ton
Zweiter Ton: Quinte
Grundton-Verhältnis 3/2
Frequenz und Oberton
Zweiter Ton: Tritonus (drei ganze Töne)
Grundton-Verhältnis √2/1 (=1.4142)
 Je “komplizierter” das Verhältnis, umso mehr Schwebungen treten hervor
> Dies kann man auch hören (und im spectrum analyzer sehen)
 Vergleich: Sinustöne und Sägezahn
Was bedeutet das für eine Tonleiter?
> Gut klingende Zweitöne sind die mit kleinem Frequenzverhältnis
 3/2 (Quinte), 4/3 (Quarte), 5/4 (grosse Terz), 6/5 (kleine Terz)
> Ein Tonleiter entspricht einem Tonvorrat an festen Tönen
> Wenn man eine Tonleiter konstruieren möchte, sollen die gut klingenden
Zweitöne so gut wie möglich Bestandteil sein
> Wegen der Spielbarkeit: Möglichst gleichbleibendes Frequenzverhältnis
zwischen zwei aufeinanderfolgenden Tönen
> Die Frequenzverdopplung (Oktave) MUSS exakt abgebildet sein
> Mathematische Formulierung des Problems
 Finde n (ganzzahlig) so dass
m
( 2 ) mit geeignetem m die vorherigen Intervalle bilden
n
> ... Und n soll nicht zu gross und nicht zu klein sein (spielbar)
!
Methode
> Probiere alle n zwischen 7 und 23,
und summiere die Fehler zu den
gewünschten Tönen
> Bei n=12 kleinster Fehler
> Dies sagt nur etwas über den
Tonvorrat aus
> Effektiv musikalisch benutzte
Töne können ein Subset sein
> n=19 auch OK. Hörbeispiele
http://parnasse.com/jh/blog/microtonal-index.html
Kleine Probleme bei der Stimmung: Die Kommas
> Wir benutzen also 12 Töne (die Musiker sagen Halbtöne,
meinen aber eigentlich das gleiche)
> Nach 12 aufsteigenden Quinten sind wir wieder am
Anfangston angelangt (Quintenzirkel), bzw. einer Oktave
davon
> Pythagoräisches Komma :
> Syntonisches Komma: Vier Quinten=Grosse Terz
 21,51 Cent Fehler
> Enharmonisches Komma: Drei Grosse Terzen = Oktave
 41,06 Cent Fehler
Nikolay Diletsky, 1679
Stimmungen: Die Kunst, diese Kommas gleich/ungleich zu verteilen
> Es gibt keine allgemeingültige “richtige” Stimmung.
Beispiel: Neue Orgel von Sankt Katharinen
> Angelehnt an historisches Instrument,
ungleichschwebende Temperatur nach
Heinrich Scheidemann
 Orgel noch im Aufbau
> Mehr Infos zur Orgel
 http://www.stiftung-johann-sebastian.de/
 http://www.katharinen-hamburg.de/
 Kontakt: KMD Andreas Fischer
> Hören, z.B.:
 23.1.2010, 19:00: Christoph Schoener
 28.2.2010, 19:00: Christian Skobowsky
Stiftung Johann-Sebastian
> Musikinstrumente und Musik erzählen uns viel über Physik.
> Die physikalische Analyse von Musikinstrumenten und Musik trägt zu
einem tieferen Verständnis bei, und ermöglicht Verbesserungen und
Innovationen.
> Ausschlaggebend für das ästhetische Empfinden ist aber nicht die Physik.
> It don’t mean a thing (If it ain’t got that swing). (Zitat Cootie Williams
und gleichnamiger Jazz-Standard)
Literaturauswahl
> Allgemeine Physikbücher (z.B. Gerthsen Phsyik)
> The Physics of Musical Instruments, Fletcher&Rossing, Springer 2997
> Das wohltemperierte Gehirn, Robert Jourdain
> Physikalische und psychoakustische Grundlagen der Musik, Juan G. Roederer
> Basiswissen Kirchenmusik, Band 4: Orgelbaukunde, Carus Verlag
> Zur Geige: http://www.schleske.de/
> Zu Orgelpfeifen: Steffen Bergweiler, Dissertation 2005, Uni Potsdam
> Five Lectures on the Acoustics of the Piano
 Online version http://www.speech.kth.se/music/5_lectures/
> Ausgewählte Wikipedia-Artikel
> Vortrag und Materialien: http://www.desy.de/~kemp/talks/musik
Zusatzfolien
Orgel
> Labial- und Zungenpfeifen: Der Orgelton braucht dauernde
Energiezufuhr: Luftstrom und Verwirbelung durch Labium oder Zungen.
> Offenen und gedackte Pfeifen, und Material siehe nächste Folie(n)
Allen gemeinsam:
> Erstmal muss der Impuls durch die Pfeife
gehen
> Danach bauen sich stehende Wellen auf
> Auch hier gilt wieder die Wellengleichung
und kann mathematisch gelöst werden
oder ...
Spektrum offener und gedackter Pfeifen
offen
gedackt
(Quelle Roederer, 1995)
Gedackte Pfeifen klingen bei gleicher Länge eine Oktave tiefer als offene Pfeifen.
Einige wichtige Namen (und Gesichter)
Pythagoras
Vincenzo Galilei
Ernst Chladni
Lord Rayleigh
Daniel Bernoulli
Max Mathews
Hermann von
Helmholtz
(Quelle Wikipedia)

Die Physik der Musikinstrumente.

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