Aufstellen von Funktionstermen

Aufstellen von Funktionstermen
Bisher haben wir uns mit der Untersuchung von Funktionstermen beschäftigt, um Eigenschaften des
Graphen zu ermitteln. Nun wollen wir die Betrachtungsweise ändern. Wir gehen jetzt davon aus, dass wir
schon einiges über den Funktionsgraph wissen und den zugehörigen Funktionsterm suchen (z.B. um auf
weitere Eigenschaften zu schließen).
Ein Firmenchef könnte z.B. wissen, welche Gewinne er momentan macht und welche er im 5 Jahre
machen möchte. Wenn er annimmt, dass seine Gewinne linear steigen sollen (d.h. der Graph als Gerade
gezeichnet werden kann – mit dem Lineal), so kann er feststellen, wie die Gewinne im nächsten, im
übernächsten Jahr, in 10 Jahren usw. sein müssten, wenn die Entwicklung tatsächlich anhält. Es liegt also
die schon erwähnte Interpolation (gesucht werden Zwischenwerte) und Extrapolation vor (gesucht werden
Werte außerhalb).
Natürlich sind nicht nur Geraden interessant - hat man mehr Punkte, so bekommt man i.a. Funktionsterme
höheren Grades. Drei Punkte, die nicht zufällig auf einer Geraden liegen, legen eine Parabel fest; vier
Punkte i.a. eine Funktion 3. Grades usw. Setzt man f(x) = ax³ + bx² + cx + d an, so liefern 4 Punkte
4 Gleichungen für 4 Unbekannte. (Ergäbe sich hier zufällig a = 0, b 6= 0, so würden alle Punkte auf einer
Parabel liegen).
Auch Eigenschaften wie Achsensymmetrie zu ..., WP bei ..., Scheitel bei ... liefern
weitere Bedingungen für die Koeffizienten a, b, c...
Betrachten wir nun einige Beispiele :
1.1 Alle NST sind bekannt
Eine Funktion n-ten Grades besitzt höchstens n Nullstellen. Liegen wirklich n
NST vor (mit Vielfachheit gezählt), so kann man den Funktionsterm in Linearfaktoren
zerlegen:
f(x) = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn).
Dass x1, x2, ..., xn hier NST sind, sieht man sofort (ein Faktor wird 0). Würde
man ausmultiplizieren, so erhielte man f(x) = axn+ ..., es liegt also wirklich
eine Funktion n − ten Grades vor (und man kann sogar durch bloßes Hinsehen
das Verhalten für x gegen ± ∞ bestimmen). Der Leitkoeffizient a beeinflusst die
NST nicht und kann z.B. durch einen zusätzlichen Punkt festgelegt werden.
Beispiel : x1 = −1, x2/3 = 2 (doppelte NST), P(3, 1).
Der Graph kann sofort skizziert werden:
Es gilt: f(x) = a(x + 1)(x − 2)2, P liefert:1 = a · 4 · 12 , also a = ¼.
1.2 Das Symmetrieverhalten ist bekannt
1.2.1
Punktsymmetrie zum Ursprung
Beispiel: Gesucht wird eine Funktion 3. Grades, deren Graph punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft
und durch die Punkte A(1,−2) und B(2, 8) geht.
Ansatz : f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
Die Funktion verläuft durch den Ursprung : 0 = f(0) = d.
Punktsym. zum Ursprung (nur ungerade Potenzen ): b = 0
Wir haben also: f(x) = ax3 + cx
A: −2 = a + c, also c = −2 − a
B: 8 = 8a + 2c; c eingesetzt: 8 = 8a + 2(−2 − a) = 8a − 4 − 2a
damit 12 = 6a, also a = 2, c = −2 − a = −4
Somit haben wir: f(x) = 2x3 − 4x.
Die NST liegen bei 2x(x² − 2) = 0, also x1 = 0, x2/3 = ± √2.
Mit A und B liegen übrigens auch (−1, 2) und (−2,−8) auf dem Graphen (wegen der Punktsymmetrie).
Als Graph ergibt sich:
1.2.2
Achsensymmetrie zur y-Achse
Beispiel: Gesucht wird eine Funktion 4. Grades, deren Graph achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft,
die y-Achse bei y = −0, 5 schneidet und die Punkte A(2;−4,5) und B(−3;−32) enthält.
Ansatz: f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e
Achsensymmetrie zur y-Achse (nur gerade Potenzen ): b = d = 0
Schnittpunkt mit der y-Achse : (0;−0,5) : −0, 5 = f(0) = e
Damit haben wir schon: f(x) = ax4 + cx2 − 0, 5
A: −4,5 = 16a + 4c − 0,5, also c = −4a − 1
B: −32 = 81a + 9c − 0, 5, also −31, 5 = 81a − 36a − 9 => −22, 5 = 45a => a = −0, 5 =>
c = −4a − 1 = 2 − 1 = 1
Damit: f(x) = −0, 5x4 + x² − 0,5
Für die NST gilt mit f(z) = −0,5z²+z−0,5 : z1/2 = -1 ± √(1-1) = 1, also x² = 1(doppelt) => : x1/2 = ±1 (jeweils
doppelt). Das führt zu folgendem Graphen:
1.2.3
Der Scheitel einer Parabel ist gegeben
Beispiel: Eine Parabel hat ihren Scheitel bei (2;−1) und schneidet die y-Achsebei y = −3.
Ansatz mit der Scheitelform (f(x) = a(x − xS) 2+ yS)): f(x) = a(x − 2)² − 1
(0;−3) : −3 = a(−2)2 − 1 => −2 = 4a => a = −0,5
f(x) = −0, 5(x − 2)2 − 1. Schon aus den y-Werten der Angabe ist klar, dass f keine NST besitzt.
Aus Symmetriegründen muss auch (4;−3) auf dem Graphen liegen. Natürlich könnte man auch (0;−3),
(4;−3), (2;−1) in f(x) = ax2 + bx + c einsetzen und so (mit etwas mehr Aufwand freilich) a, b, c berechnen.
Oder Sie verwenden: xS = - b/2a => b = −2 · 2a = −4a.
1.2.4
Der Wendepunkt ist bekannt
Eine Funktion 3. Grades hat ihren Wendepunkt bei (1; 1), eine NST bei x = 2 und geht durch den Punkt
(3; 5).
Ansatz : f(x) = ax3 + bx² + cx + d
(1; 1) : I.) 1 = a + b + c + d
(2; 0) : II.) 0 = 8a + 4b + 2c + d
(3; 5) : III.) 5 = 27a + 9b + 3c + d
xWP = 1 : IV.) 1 = −b/3a => b = -3a
IV.) in I.) : I’.) 1 = −2a + c + d
IV.) in II.) : II’.) 0 = −4a + 2c + d
IV.) in III.) : III‘.) 5 = 3c + d => d = 5 − 3c
III’.) in I’.) : I’’.) 1 = −2a − 2c + 5
III’.) in II’) : II’’) 0 = −4a − c + 5 => c = −4a + 5
II00.) in I00.) : 1 = −2a + 8a − 10 + 5 => 6 = 6a => a = 1
in II00.)c = −4 + 5 = 1, in III0.) d = 5 − 3 = 2, IV.) b = −3
Damit gilt : f(x) = x³ − 3x² + x + 2
Aus der Symmetrie hätte man auch schließen können: (0; 2) und (−1;−3) liegen auf dem Graphen. Damit
hätten wir d = 2 sofort gewusst.
Für die NST gilt: x1 = 2 laut Angabe. Polynomdivision ergibt:
(x³− 3x² + x + 2) : (x − 2) = x² − x − 1
−(x³ − 2x²)
− x2 + x
−(−x2 + 2x)
−x+2
−(−x + 2)
0
Damit : x2/3 = 1± √5.
Der Graph sieht folgendermaßen aus:
Analog zur Scheitelform bei Parabeln könnte man eine Wendepunktsform für Funktionen 3. Grades
definieren: f(x) = a(x − xWP )3 + b(x − xWP ) + yWP
Dass f(xWP ) = yWP gilt, sieht man unmittelbar durch Einsetzen (die Klammern werden 0). Die Symmetrie
sieht man daran, dass nur ungerade Potenzen verwendet werden.
Mit diesem Ansatz lässt sich die gegebene Aufgabe so bearbeiten :
f(x) = a(x − 1)3 + b(x − 1) + 1
(2; 0): 0 = a + b + 1 => b = −a − 1
(3; 5): 5 = a _ 8 + b _ 2 + 1 => 5 = 8a − 2a − 2 + 1 => 6 = 6a => a = 1 => b = −2
f(x) = (x − 1)3 − 2(x − 1) + 1
Anmerkung zum Lösen eines Gleichungssystems:
Aus 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten möge man sich immer 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten ableiten,
z.B. indem man eine Gleichung nach einer Unbekannten auflöst und dies in alle drei anderen Gleichungen
einsetzt. Aus diesen 3 man dann analog 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten und schließlich eine mit einer
Unbekannten.
Sicherheitshalber sollte man wohl die neuen drei Gleichungen erst hinschreiben. Erst wenn man alle neuen
Gleichungen hat, möge man diese umformen und mit Ihnen weiterrechnen. Ansonsten ist die Gefahr sehr
groß, dass man im Kreis rechnet, d.h. in eine Gleichung, die man schon verwendet hat, wieder einsetzt und
so zu 0 = 0 kommt. Manchmal merkt man diesen Fehler gar nicht, weil man sich zwischenzeitlich
verrechnet hat und so zu einer ”Scheinlösung“ gelangt. Das ist umso schlimmer, weil man sich dann selbst
was vormacht – was der Lehrer freilich durchschauen wird.
Man kann statt des Einsetzverfahrens natürlich auch das Additionsverfahren verwenden (womit man sich
in vielen Fällen lästige Brüche ersparen kann). Im Allgemeinen ist das sogar eleganter. Aber auch hier
sollte gelten: Aus 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten eliminiere man eine Unbekannte so, dass danach 3
Gleichungen mit den 3 anderen (gleichen) Unbekannten übrigbleiben. Dazu sind i.a. 3 Additionen nötig
(mit vorherigen Multiplikationen), es sei denn eine Variable kommt in 1 oder 2 Gleichungen gar nicht vor.
Ein Beispiel für 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten :
I.) 4a + 3b − 5c = 15
II.) 2a − 2b + 4c = −6
III.) 3a − 5b − 2c = −5
1. Schritt: Wir beschließen z.B. c zu eliminieren. Dazu werden alle Gleichungen auf 20c gebracht,
wobei eine oder zwei Gleichungen −20c haben sollten, damit beim Addieren c wirklich rausfällt.
Hätte man immer das gleiche Vorzeichen, müsste subtrahiert werden.
I’.) = 4 I.)
16a + 12b − 20c = 60
II’.) = 5 II.)
10a − 10b + 20c = −30
III’.) = 10III.) 30a − 50b − 20c = −50
Daraus folgt nun durch Addition:
IV.) = I’.) + II’) 26a + 2b = 30
V.) = II’) + III’) 40a − 60b = −80
Nun können beide Gleichungen auf 6b gebracht werden, um b zu eliminieren:
IV’.) = 3 IV.) 78a + 6b = 90
V’.) = V 10.) 4a – 6b = −8
IV’.) + V’)
82a = 82
Damit erhalten wir a = 1, durch Einsetzen etwa in V’) b = 2 und in I.) c = −1.
Ich hoffe, anhand dieses Beispiels konnten Sie sich das Prinzip des Additionsverfahrens wieder gut in
Erinnerung rufen.
1.3 Eine NST ist doppelt
Beispiel: Eine Funktion 3. Grades besitzt bei x = 2 eine doppelte NST, schneidet die y-Achse bei y = 4
und geht durch (1; 2).
Eine Funktion dritten Grades mit einer doppelten NST muss auch noch eine 3. NST besitzen. Mit Hilfe
von Linearfaktoren lässt sich f(x) = a(x − 2)²(x − x3) ansetzen.
Einsetzen der Punkte ergibt:
(0; 4) : 4 = a(−2)² (−x3) => 1 = −ax3
(1; 2) : 2 = a(−1)²(1 − x3) => 2 = a − ax3
Hier lässt sich –ax3 durch 1 ersetzen : 2 = a + 1.
Damit a = 1 und somit 1 = −x3, also f(x) = (x − 2)2(x + 1).
Ich hoffe, Sie stören sich nicht daran, dass hier nicht nur die Variable x3 oder a allein ersetzt wird, sondern
gleich –ax3 ersetzt werden kann.
Möglich wäre auch der Ansatz: f(x) = (x − 2)²(ax + b)
((ax+b) ergibt sich aus f durch zweifache Polynomdivision jeweils mit (x−2)).
(0; 4) : 4 = (−2)²b => b = 1
(1; 2) : 2 = (−1)²(a + 1) => a = 1
f(x) = (x − 2)²(x + 1)
Die dritte NST ist übrigens bei −1.
Um den Wendepunkt zu bestimmen, muss man die Funktion wohl ausmultiplizieren:
f(x) = (x²−4x+4)(x+1) = x³+x²−4x²−4x+4x+4 = x³−3x²+4.
Der Wendepunkt liegt also bei xWP = −(−3)/3 = 1, d.h. (1; 2) ist der WP.
Graph: (Wegen der Sym. muss der Graph auch bei (0; 4) umkehren).
Hat eine Funktion 4. Grades eine doppelte NST bei x = 2, so könnte man f(x) = (x − 2)²(ax² + bx + c)
ansetzen.
Übungsaufgaben
Bestimmen Sie jeweils den Funktionsterm, diskutieren Sie die Funktion und skizzieren Sie den Graphen:
1.) 3. Grad, NST bei x = −2 (einfach), x = 2 (doppelt), P(1;−6).
2.) 3. Grad, punktsym. zum Ursprung, P(1;−1), Q(2;−14).
3.) 4. Grad, achsensym. zur y-Achse, schneidet y-Achse bei y = 2, P(1; 3), Q(2, 30).
4.) 3. Grades, punktsym. zum Ursprung, NST bei x = 2, P(1; 3)
a.) Weitere NST ?
b.) Funktionsterm und Skizze
5.) NST bei x = 1 (einfach), x = 2 (dreifach), x = 3 (doppelt) und Punkt (0, 3). Grad so klein, wie möglich.
6.) Achsensym. zur y-Achse, Punkte (2;−6), (−3;−61), (0; 2).
7.) Punktsym. zum Ursprung, dreif. NST bei x = 3, einf. NST bei x = 5, Punkt (1; 4).
Weitere NST ? Welcher Grad ist nötig ?
8. )WP bei (2,−2), Schnittpunkt mit der y-Achse bei y = 2, 3. Grad, NST bei x = −1.
9.) Parabel mit Scheitel bei (4;2) und Punkt (1;-1).