Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen

R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 1
14.05.2011
Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen
Drei unterschiedliche Punkte, die alle auf einer Parabel liegen sollen sind gegeben.
Daraus soll die Funktionsgleichung der Parabel bestimmt werden.
P1 (1| 2 ) ; P2 ( 5 | 4 ) ; P3 ( 3 | −1) Funktionsgleichung allgemein: f ( x ) = a2 x 2 + a1x + a0
Zur Bestimmung der Funktionsgleichung müssen für die allgemeinen Koeffizienten
a2, a1 und a0 die entsprechenden Zahlenkomponenten bestimmt werden.
Da alle drei gegebenen Punkte P1 , P2 und P3 Punkte der zu bestimmenden Parabel
sind, kann durch dreimaliges Einsetzen der Koordinaten dieser Punkte an den
Stellen x und y der allgemeinen Funktionsgleichung ein Gleichungssystem aus drei
Gleichungen mit drei Unbekannten erzeugt werden, aus denen sich die Koeffizienten
a1, a2 und a3 bestimmen lassen.
Aufstellen des Gleichungssystems:
P (x | y)
P1 (1| 2 )
P2 ( 5 | 4 )
P3 ( 3 | −1)
f(x) = a2 x 2 + a1x + a0
f(1) = 1 a2 + 1 a1 + 1 a0
f(5) = 25 a2 + 5 a1 + 1 a0
f(3) = 9 a2 + 3 a1 + 1 a0
=y
=2
=4
= −1
Das ist ein Gleichungssystem bestehend
aus drei linearen Gleichungen mit drei
Unbekannten.
Mit dem Additionsverfahren lässt sich die
Lösung finden.
Additionsverfahren:
a2 + a1 + a0 = 2
25a2 + 5a1 + a0 = 4 | II − 25 ⋅ I
9a2 + 3a1 + a0 = −1| III − 9 ⋅ I
a2 + a1 + a0 = 2
−20a1 − 24a0 = −46 | II − 3 ⋅ III
−6a1 − 8a0 = −19
a2 + a1 + a0 = 2
−2a1 = 11
−6a1 − 8a0 = −19
−2a1 = 11 ⇒ a1 = −
11
2
⎛ 11 ⎞
−6a1 − 8a0 = −19 ⇔ −6 ⋅ ⎜ − ⎟ − 8a0 = −19
⎝ 2⎠
⇔ 33 − 8a0 = −19 | − 33
−52 13
=
2
−8
11 13
a2 + a1 + a0 = 2 ⇔ a2 − +
=2
2
2
⇔ a2 = 2 − 1 = 1
⇔ −8a0 = −52 | : ( −8 ) ⇔ a0 =
Damit lautet die Funktionsgleichung: f(x) = x 2 −
11
13
x+
2
2
Punktprobe:
11
13
2
⋅1+
= 1+ = 1+ 1 = 2 ( w )
2
2
2
11
13
55 13
42
P2 ( 5 | 4 ) : f(5) = 52 − ⋅ 5 +
= 25 −
+
= 25 −
= 25 − 21 = 4 ( w )
2
2
2
2
2
11
13
33 13
20
= 9−
+
= 9−
= 9 − 10 = −1 ( w )
P3 ( 3 | −1) : f(3) = 32 − ⋅ 3 +
2
2
2
2
2
P1 (1| 2 ) :
f(1) = 12 −
Erstellt von R. Brinkmann p2_quad_fkt_05.doc
10.12.2004 10:38
1 von 1
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 2
14.05.2011
Das Additionsverfahren lässt sich schematisieren. Das führt zum Gauß –
Algorithmus.
Beim Gauß – Algorithmus rechnet man nur mit den Koeffizienten.
Gauß – Algorithmus:
Lösung durch einsetzen: Beim Gauß - Algorithmus wird
−4a = −4 | −4 ⇔ a = 1 zeilenweise gearbeitet.
a0 a1 a2
1 1 1
2
1 5 25 4
( )
2
II − I
1
1
0
3
1
4
9
−1 III − I
1
2
24 2 : 2
0
1
0
2
1
2
8
−3
1
2
12 1
2
2a1 + 12a2 = 1
⇔ 2a1 + 12 ⋅ 1 = 1| − 12
⇔ 2a1 = −11| : 2
11
2
a0 + a1 + a2 = 2
⇔ a1 = −
Zeilen darf man:
- vertauschen
- mit einer Zahl multiplizieren
- durch eine Zahl dividieren
- addieren
- subtrahieren
Werden die Spalten vertauscht,
dann müssen auch die
Koeffizienten mitgenommen
werden
11
⇔ a0 − + 1 = 2
2
0 2 8
−3 III − II
9
4
9
1 1 1
2
⇔ a0 − = | +
2 2
2
0 2 12 1
13
⇔ a0 =
0 0 −4 −4
2
11
13
Funktionsgleichung: f ( x ) = x 2 − x +
2
2
Das Ziel ist es auf eine
Dreiecksform zu kommen.
x x x x
0 x x x
0 0 x x
Der Funktionsgraph:
Um die Funktionsgleichung einer
quadratischen Funktion zu erhalten
sind drei Punkte nötig.
9
9
8
7
Wir erinnern uns:
Bei einer linearen Funktion
(Gerade) waren es nur zwei Punkte.
6
5
4
f ( x)
3
Y
2
Um den Graphen einer Parabel
sauber zeichnen zu können, sind
außer den vorgegebenen drei
Punkten noch der Scheitelpunkt und
die Achsenschnittpunkte nötig.
1
1
0
1
2
3
4
5
6
7
1
Wenn wir zudem auch noch die
Symmetrie zur Senkrechten durch
den Scheitelpunkt berücksichtigen,
benötigen wir in den meisten Fällen
keine weiteren Punkte.
2
3
−4
4
−1
x, X
Erstellt von R. Brinkmann p2_quad_fkt_05.doc
7
10.12.2004 10:38
2 von 2
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 3
14.05.2011
Sonderfälle bei Parabeln
In einigen Fällen können wir die Funktionsgleichung mit weniger Angaben
bestimmen.
Beispiel:
Eine Parabel ist achsensymmetrisch zur y − Achse und geht durch die
Punkte P1 ( −1| −2 ) und P2 ( 2 | 7 ) .
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x) und zeichnen Sie den Graphen.
8
7
8
Ansatz über die Scheitelpunktform:
f(x) = a2 ( x − x s ) + y s
Bei Achsensymmetrie ist x s = 0
und y s = a0
⇒ f(x) = a2 x 2 + a0
2
6
5
4
3
Gleichungssystem:
P1 ( −1| −2 ) : f( −1) = 1⋅ a2 + 1⋅ a0 = −2
P2 ( 2 | 7 ) : f(2) = 4 ⋅ a2 + 1⋅ a0 = 7
a0 a 2
3a2 = 9 ⇒ a2 = 3
1 1 −2
1 4 7 II − I a0 + 3 = −2 ⇒ a0 = −5
1 1 −2
f(x) = 3x 2 − 5
0 3 9
2
1
f ( x)
Y
3
2
1 0 1
1
2
3
4
2
3
5
6
−6
−3
x, X
3
Beispiel:
Die Nullstellen einer Parabel sind: Px1 ( 3 | 0 ) und Px2 ( −5 | 0 ) . Ihr größter Funktionswert ist 3.
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x) und zeichnen Sie den Graphen.
Ansatz über Linearfaktoren: x1 = 3 ; x 2 = −5
4
3
2
1
4
f(x) = a2 ( x − x1 )( x − x 2 ) = a2 ( x − 3 )( x + 5 )
Der größte Funktionswert liegt im Scheitel S ( x s | 3 )
x + x 2 3 + ( −5 )
xs = 1
=
= −1
2
2
f(x s ) = 3 ⇔ f( −1) = a2 ( −1 − 3 )( −1 + 5 ) = a2 ( −16 ) = 3
3
3
⇒ f(x) = − ( x − 3 )( x + 5 )
16
16
45
3 2
3 2 3
x − x+
=−
x + 2x − 15 = −
16
8
16
16
⇒ a2 = −
(
)
Erstellt von R. Brinkmann p2_quad_fkt_05.doc
10.12.2004 10:38
f ( x)
−3
6 5 4 3 2 11 0 1 2 3 4
2
3
−6
x
4
Aus der Angabe, dass der Größte
Funktionswert 3 ist, kann man
schließen, das die Parabel nach unten
geöffnet ist. Was die Rechnung auch
bestätigt.
3 von 3
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 4
14.05.2011
Beispiel:
Der Graph einer ganzrationalen Funktion 2. Grades berührt die x - Achse an der
Stelle x = 4 und geht durch den Punkt P ( −1| 2 ) .
Bestimmen Sie den Funktionsterm und zeichnen Sie den Graphen.
Berührungspunkt = Scheitelpunkt S ( 4 | 0 )
f(x) = a2 ( x − x s ) + y s = a2 ( x − 4 )
P1 ( −1| 2 ) :
2
2
f ( x)
f( −1) = a2 ( −1 − 4 ) = 2
2
2
⇔ a2 ( −5 ) = 25a2 = 2 ⇒ a2 =
25
2
2
f(x) =
x 2 − 8x + 16
( x − 4 )2 =
25
25
2 2 16
32
f(x) =
x −
x+
25
25
25
−1
2
(
2
1.5
1
0.5
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0.5
1
−1
)
x
9
Anwendungsbeispiel:
Der Parabelförmige Bogen einer Brücke mit der Spannweite 40 m hat eine maximale
Höhe von 10 m.
Berechnen Sie die Längen der 7 in gleichen Abständen vertikal angebrachten
Spannstäbe.
10 m
Straße
Straße
40 m
Modellierung:
Wird das Koordinatensystem so
gewählt, dann sind folgende
Punkte bekannt.
Nullstellen:
y
10
5
Px1 ( 0 | 0 ) ; Px2 ( 40 | 0 )
0
Scheitel:
S(20 | 10)
0
5
10
15
20
25
Erstellt von R. Brinkmann p2_quad_fkt_05.doc
30
35
40 x
10.12.2004 10:38
4 von 4
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 5
14.05.2011
Lösung:
Scheitelpunktform : f(x) = a2 ( x − 20 ) + 10
2
Px1 ( 0 | 0 ) : f(0) = a2 ( −20 ) + 10 = 0
2
10
1
=−
400
40
1
1
⇒ f(x) = −
( x − 20 )2 + 10 = − x 2 + x
40
40
⇔ 400a2 = −10 ⇔ a2 = −
Berechnung der Stablängen durch einsetzen der x − Werte :
1
5 40 35
f(5) = −
⋅ 25 + 5 = − +
=
= 4,375
40
8 8
8
1
5 20 15
f(10) = −
⋅ 100 + 10 = − +
=
= 7,5
40
2 2
2
1
45 120 75
f(15) = −
⋅ 225 + 15 = −
+
=
= 9,375
40
8
8
8
f(20) = 10 wegen Scheitelkoordinate
f(25) = f(15) = 9,375 aus Symmetriegründen
f(30) = f(10) = 7,5 aus Symmetriegründen
f(35) = f(5) = 4,375 aus Symmetriegründen
Erstellt von R. Brinkmann p2_quad_fkt_05.doc
10.12.2004 10:38
5 von 5