Angewandte Strömungssimulation

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Angewandte Strömungssimulation
6. Vorlesung
Stefan Hickel
Finite - Volumen - Methode
!   Das Rechengebiet wird in nicht überlappende Bereiche (= finite
Volumina) unterteilt.
!   Jedem Kontrollvolumen ( KV ) wird ein Knoten zugeordnet, an
welchem die diskreten Werte gespeichert werden.
Zellknoten
Finites Volumen
Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation
3
!   Das Rechengebiet wird in nicht überlappende Bereiche (= finite
Volumina) unterteilt.
!   Jedem Kontrollvolumen ( KV ) wird ein Knoten zugeordnet, an
welchem die diskreten Werte gespeichert werden.
!   Die Erhaltungsgleichungen werden über die KV integriert
∂ tϕ = ∇ • Ψ → ∂ t
∫∫∫ ϕ dV = ∫∫∫ ∇ • Ψ dV
!   Volumenintegrale können mit dem Satz von Gauss in
Oberflächenintegrale umgewandelt werden.
€
∫∫∫ ∇ • Ψ dV = ∫∫ n • Ψ dS = ∫∫ Ψ dS
rechts
−
∫∫ Ψ dS
links
+ −
4
Impulserhaltungsgleichung in integraler Form:
!   Es werden Flüsse
über die KV-Oberfläche S bilanziert!
Zellknoten
Finites Volumen
5
!   Approximationsvorschriften werden zur numerischen
Auswertung der Flüsse durch die Grenzflächen der
Kontrollvolumina benötigt.
!   Zur Approximation der Feldgrößen Ψ an anderen Punkten als
den Knotenpunkten (wo ja die Werte gespeichert sind) werden
Interpolationsvorschriften verwendet.
!   Die diskretisierten Erhaltungsgleichungen werden für jedes KV
ausgewertet.
!   Zusammen mit geeigneten Randbedingungen entsteht ein
algebraisches Gleichungssystem, welches numerisch gelöst
wird.
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Schwerpunkt dieser Vorlesung ist die notwendige
zweifache Näherung:
!   Der Wert der Integrale über die KV-Oberflächen wird
angenähert durch die diskreten Werte der Variablen an einer
oder mehreren Zellwänden.
!   Die Werte an den Zellwänden werden angenähert als Funktion
der Werte an den Zellknoten (KV Mitte).
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Kompass Notation
NW
N
nw
W
ne
P
w
sw
SW
n
NE
e
E
EE
se
s
S
SE
8
Oberflächenintegrale
!   Mittelpunktsregel (2ter Ordnung):
Tafel:
Taylorreihe
das Integral wird angenähert durch das Produkt
des Integranden am Mittelpunkt der Zellfläche
mit der Größe der Zellfläche
: Mittelwert
9
Oberflächenintegrale
!   Trapezregel (2ter Ordnung)
!   Simpson Regel (4ter Ordnung)
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Volumenintegrale
!   Integration 2ter Ordnung:
Exakt
wenn q konstant oder linear in V ist.
11
Interpolation der Werte an den Zellwänden
Für die Auswertung der im Impulssatz auftretenden
Integrale wird Ψ an den Zellwänden benötigt.
diese werden bestimmt durch:
räumliche INTERPOLATION
12
!   Upwind Interpolation (Upwind Differencing Scheme - UDS):
W
P
e
E
13
!   Lineare Interpolation (Central Differencing Scheme - CDS):
„Interpolationsfaktor“ :
W
P
e
E
14
!   Taylorreihenentwicklung:
!   Abbruchfehler E des UDS-Verfahrens :
EUDS ist proportional zur Gitterweite (xe-xp) , d.h.
es handelt sich um ein Verfahren 1. Ordnung.
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Abbruchfehler – Numerische Diffusion
!   Beispielbetrachtung des Abbruchfehlers für UDS
anhand der Advektionsgleichung (Transportgleichung):
!   Welchen Einfluss hat der Diskretisierungsfehler auf
die ursprünglich zu lösende Differentialgleichung?
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!   Entwicklung von u in eine Taylorreihe:
∂u Δt 2 ∂2 u
=
+ Δt
+
+…
2
∂t
2 ∂t
∂u Δx 2 ∂2 u
n
n
u i−1 = u i − Δx
+
+…
2
∂x
2 ∂x
u in +1
u in
n – Zeitpunkt
i - Gitterpunkt
€
17
!   Entwicklung von u in eine Taylorreihe.
!   Mit der Upwind-Vorschrift bei u>0 erhalten wir für
die Ableitungen:
n – Zeitpunkt
i - Gitterpunkt
Fehler
numerische Vorschrift
was wir eigentlich berechnen wollten
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!   Einsetzen in die Differentialgleichung liefert:
∂u
∂u
+u =0 ⇒
∂t
∂x
n
uin +1 − uin
uin − ui−1
Δt ∂2 u
Δx ∂2 u
+u
−
+u
=0
2
2
Δt
Δx 2∂t
2∂x


Abbruchfehler
!   Die Vernachlässigung des Abbruchfehlers im Lösungsprozess
liefert
die diskretisierte Gleichung:
€
19
!   Modifizierte Differentialgleichung
!   Weitere Umformung ergibt:
!   Der Abbruchfehler der hier verwendeten numerischen
Vorschrift hat den selben Charakter wie ein Diffusionsterm
und wird daher auch “numerische Diffusion” genannt.
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Abbruchfehler =
numerische Diffusion
!   Der Abbruchfehler kommt allein durch das numerische Diskretisierungsschema zustande und hat im allgemeinen nichts mit der Gleichung zu tun.
Daher ist es wichtig, die Diskretisierung passend zur zu lösenden
Differentialgleichung zu wählen.
!   Ein numerisches Verfahren ist instabil, wenn die numerische Viskosität
negativ ist.
-> Stabilitätskriterium für maximal erlaubten Zeitschritt Δt ≤ Δx / u
-> Maximale Genauigkeit bei maximalem Zeitschritt,
Stabilität vorausgesetzt.
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!   für eine Diffusionsgleichung, die bereits einen Term
2. Ableitung im Raum besitzt, wird bei entsprechender
Vorgehensweise ebenfalls zur Grundgleichung eine numerische
Dissipation hinzukommen, die zu einer effektiven Verringerung
der Reynoldszahl im numerischen Verfahren führt.
!   Die effektiv berechnete Lösung kann als die einer geringeren
Reynoldszahl entsprechende Strömung interpretiert werden.
ul
Re =
ν
→ Re effektiv
ul
=
ν + νN
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CFX mit UDS
CFX mit CDS
Unterexpandierter Überschall-Freistrahl.
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Abbruchfehler für lineare Interpolation
Lineare Interpolation (Central Differencing Scheme - CDS):
„Interpolationsfaktor“ :
!   Taylorreihenentwicklung:
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Abbruchfehler für lineare Interpolation
Umformung und Einsetzen ergibt:
Verfahren 2ter Ordnung
(für gleichförmige sowie nicht-gleichförmige Gitter)
Abbruchfehler:
ECDS ist proportional zur (Δx)2
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Numerische Diffusion vs. Dispersion
UDS
CDS
26
Anmerkung zum Diskretisierungsfehler
Schemata höherer Ordnung:
- versprechen genauere Lösungen bei gleichem Gitter
- führen zu sehr großen Differenzensternen
P
- einfach für explizite Methoden
- aufwändig/teuer für implizite Methoden
27
Anmerkung zum Diskretisierungsfehler
!   Ein Verfahren mit hoher Fehlerordnung bedeutet
nicht automatisch auch kleiner Fehler.
!   Die Angabe bezieht sich auf die Konvergenzrate bei
Gitterverfeinerung:
log E
1. Ordnung UDS
2. Ordnung Zentrale Differenz
Anzahl Gitterpunkte
geringe Auflösung
große Gitterweite
hohe Auflösung
kleine Gitterweite
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Interpolation in ANSYS-CFX
!   1st order Upwind Differencing Scheme (UDS)
!   2nd order Central Differencing Scheme (CDS)
!   1st-2nd order blend factor
(UDS <-> CDS, 0 ≤ β ≤1)
!   „High-Resolution“ Scheme
(automatische lokale Anpassung von β)
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Gradient an den Zellwänden
!   Für die Auswertung der diffusiven Terme der zellgemittelten
Erhaltungsgleichungen werden auch die Gradienten von Ψ an den
Grenzen des KV benötigt.
!   Ansatz entsprechend zentraler Differenzen (CDS) da dies dem
Charakter der Diffusion am besten entspricht.
!   Aus der Taylor-Reihenentwicklung folgt:
!   Bei Vernachlässigung des Abbruchfehlers ergibt sich eine
Approximation für die 1. Ableitung von Ψ
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!   Abbruchfehler:
~ Δx
~ Δx2
!   Für nicht gleichförmige Gitter ist das Verfahren von 1. Ordnung,
der dominante Fehlerterm ist proportional zu Δx
!   Für gleichförmige Gitter wird die Fehlerordnung um eine Stufe
erhöht, wir erhalten ein Verfahren 2. Ordnung!
31
Was passiert bei der Verfeinerung eines nicht
gleichförmigen Gitters?
1. Abstände zwischen den Zellen in gleich große
Anschnitte teilen:
-> Der erste Fehlerterm ist nur an den alten, aber nicht
an den neuen Gitterpunkten vorhanden.
-> Der globale Abbruchfehler wird nur geringfügig
weniger reduziert, als in einem Verfahren 2. Ordnung.
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2. Abstände zwischen den Zellen mit gleicher Streckung
teilen :
-> Die Streckung nimmt ab.
-> Der erste Abbruchfehlerterm verringert sich
schneller als der zweite Abbruchfehlerterm, wir
erhalten somit ein Verfahren 2. Ordnung.
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-> Systematische Gitterverfeinerung auf nicht
gleichförmigen Gittern kann die selbe Rate der
Reduzierung des Abbruchfehlers ergeben wie die
Verfeinerung auf gleichförmigen Gittern !
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Instationäre Probleme
!   bei instationären Problemen muss eine 4. Dimension
diskretisiert werden -> ZEIT
!   instationäre Probleme sind parabolisch in der Zeit
(kein „Rückwärts-Einfluss“)
!   instationäre Probleme sind Anfangsrandwertprobleme
(Anfangswertproblem AWP und Randwertproblem RWP)
!   für die Zeitdiskretisierung können analoge Techniken wie
für die Ortsdiskretisierung verwendet werden
36
Gewöhnliche DGL:
Ziel:
Finden der Lösung φ einen kurzen Zeitpunkt Δt nach t0
Um die Lösung bei tn=t0+nΔt zu berechnen, wird iterativ die
Lösung bei tn-1=tn-Δt als Startwert verwendet.
Lösung: Integration
umstellen
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Numerische Lösung des Integrals:
Euler vorwärts (explizit):
f
(1. Ordnung)
t0
t0+dt
t
Euler rückwärts (implizit) :
f
(1. Ordnung)
t0
t0+dt
t
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Mittelpunktsregel (implizit):
f
(2. Ordnung)
t0
Trapezregel (implizit):
t0+dt
t
f
(2. Ordnung)
t0
t0+dt
t
alle Verfahren geben gute Lösungen bei kleinen Δt
Ordnung des Verfahrens besagt, wie schnell der Abbruchfehler
gegen null geht, wenn Δt klein genug ist
„klein genug“ ist vom Verfahren und dem Problem abhängig
39
Eigenschaften expliziter Verfahren
!   keine weitere Iteration erforderlich
!   einfach zu implementieren
!   geringer Speicherbedarf
!   instabil bei größeren Zeitschritten
!   Zeitschrittbegrenzung abschätzten mittels Stabilitätsanalyse
Courant-Friedrichs-Levy (CFL) , … siehe GNSM Vorlesung
-> Zeitschritt muss der Strömung und
der räumlichen Gitterweite angepasst werden!
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Eigenschaften impliziter Verfahren
!   implizite Methoden: Werte von φ zur Zeit t>t0 werden benötigt
-> Integrale können nur iterativ gelöst werden
!   schwieriger zu programmieren
!   größerer Speicheraufwand
!   i.d.R. unbedingt stabil bei größeren Zeitschrittweiten als explizite
Verfahren.
!   der höhere numerische Aufwand pro Zeitschritt (Iterationen) wird
oftmals durch die Möglichkeit größerer Zeitschritte ausgeglichen.
41
Prädiktor-Korrektor-Methoden
!   Kombination aus expliziten und impliziten Verfahren
!   die Lösung zum neuen Zeitpunkt wird mit einem Eulerzeitschritt
vorhergesagt (Prädiktor):
!   Lösung wird korrigiert durch Anwendung des Prädiktors in der impliziten
Trapezregel (Korrektor):
!   Limit: Fehlerordnung 2
!   Vielzahl an verschiedenen Varianten
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Verfahren höherer Ordnung
!   zum Erzielen einer höheren Genauigkeitsordnung sind weitere
Stützstellen erforderlich
!   diese können entweder Punkte sein, an denen die Lösung bereits zu
früheren Zeitpunkten bestimmt wurde
Mehrschritt-Verfahren
!   oder zusätzliche Punkte zwischen tn und tn+1 , welche nur für numerische
Zwecke verwendet werden
Runge-Kutta-Verfahren
!   beliebige Genauigkeitsordnung ist erzielbar
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Mehrschrittverfahren
!   Interpolationspolynom durch f(t,φ) zu verschiedenen Zeitpunkten
!   Adams-Bashforth-Verfahren (explizit)
ϕ n +1 = ϕ n +
Δt
23 f (t n ,ϕ n ) −16 f (t n−1,ϕ n−1 ) + 5 f (t n−2 ,ϕ n−2 )]
[
12
(3. Ordnung)
!   €Adams-Moulton-Verfahren (implizit)
ϕ n +1 = ϕ n +
Δt
5 f (t n +1,ϕ n +1 ) + 8 f (t n ,ϕ n ) − f (t n−1,ϕ n−1 )]
[
12
(3. Ordnung)
!   Oder z.B. Adams-Bashforth-Verfahren als Prädiktor und Adams€
Moulton-Verfahren
als Korrektor
!   Problem: andere Methoden sind erforderlich, um die Simulation zu
starten
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Runge-Kutta-Verfahren
!   Hilfspunkte zwischen tn und tn+1 werden verwendet
!   z.B. Runge-Kutta-Verfahren 2. Ordnung:
Prädiktorschritt für n+1/2
(Euler explizit)
Korrektorschritt
(Mittelpunktsregel)
!   leicht zu implementieren
!   selbst startend
!   große Ähnlichkeit zu den Prädiktor-Korrektor-Methoden
45
Lokaler vs. physikalischer Zeitschritt
!   Die maximal erlaubte Zeitschrittweite ist Δt physikalisch und numerisch
limitiert.
!   Die Lösung darf sich physikalisch nicht schneller ausbreiten als dies
durch den Einflussbereich der numerischen Diskretisierung abgebildet
werden kann, sonst Instabilität bei expliziten Zeitschrittverfahren:
»  Einflussbereich:
h
(≈ Gitterweite)
»  Signalgeschwindigkeit:
S = |u| + c
S = |u|
(kompressibel)
(inkompressibel)
»  Max. Zeitschritt:
Δt ≈ min( h / S )
!   Der erlaubte (physikalische) Zeitschritt wird oft durch die kleinste
Zelle bestimmt und kann daher sehr klein sein.
!   Konvergenz zu stationärer Lösung kann durch lokalen Zeitschritt enorm
beschleunigt werden:
Δt = Δt(x)
46
47
!   Auskonvergiertes stationäres Ergebnis ist identisch,
wird aber mit lokalem Zeitschritt viel schneller erreicht.
!   Transiente ist bei lokalem Zeitschritt unphysikalisch.
Animation
daher Vorsicht: Unzureichend konvergiertes Ergebnis ist ebenfalls
unphysikalisch!
!   Lokaler Zeitschritt wird oft als Beschleuniger für sogenannte
Duale Zeitschrittverfahren eingesetzt.
48
Duales Zeitschrittverfahren
!   Zeitableitung wird aufgeteilt in
»  einen impliziten Teil mit (großer) physikalischer
Zeitschrittweite Δt
»  einen Pseudozeit-Anteil mit lokaler Zeitschrittweite Δτ
⎛ ∂ϕ
⎞
∂ϕ
∂ϕ
= f (ϕ (t)) ⇔ lim ⎜
=−
+ f (ϕ (τ )) ⎟
τ → ∞⎝ ∂τ
⎠
∂t
∂t
!   Diskretisierung mit Euler implizit für die physikalische Zeit und
Euler€explizit für die Pseudozeit:
⎛ ϕ (τ + Δτ ) − ϕ (τ )
⎞
ϕ (t + Δt) − ϕ (t)
lim ⎜
=−
+ f (ϕ (τ )) ⎟
τ → ∞⎝
⎠
Δτ
Δt
Und Iteration bis Konvergenz zu stationärer Lösung in τ.
Für die gesuchte Lösung gilt ϕ (t + Δt) → ϕ (τ + Δτ ) ≈ ϕ (τ )
€
f (ϕ (τ )) → f (ϕ (t + Δt))
49
Instationäre Probleme mit CFX
Zeitdiskretisierung in ANSYS CFX:
!   Euler implizit 1. Ordnung
!   Euler implizit 2. Ordnung
Es gibt (fast) immer ein Resultat!
50
Linearisierung
Linearisierung
!   Die Navier Stokes Gleichungen sind ein System nichtlinearer
partieller Differentialgleichungen
!   Viele wichtige Phänomene, wie beispielsweise die Interaktion von
Wirbeln und die Entstehung von Turbulenz, beruhen auf der
quadratischen Nichtlinearität.
52
Linearisierung
!   Bei impliziten Zeitintegrationsschemata wird meist eine
linearisierte Form der Navier-Stokes-Gleichungen gelöst.
!   Möglichkeiten der Linearisierung der quadratischen
Nichtlinearität:
(1)
un+1 un+1 ≈ un un+1
-> Fehler
(un+1 - un ) un+1 = O(Δt)
(2) un+1 un+1 ≈ 2 un un+1 - un un
-> Fehler
(un+1 - un )2 = O(Δt2)
53
Beispiel
Beispiel
1D Diffusions-Konvektionsgleichung
Euler implizit
Zentrale-Differenzen Approximation + äquidistantes Gitter
diskretisierte Gleichung:
55
Beispiel
diskretisierte Gleichung
Lösung
ϕ n +1 ist implizit gegeben durch
n +1 ⎛
ϕ i−1 ⎜−
Δt u Δt Γ ⎞
2Δt Γ ⎞
Δt Γ ⎞
n +1 ⎛
n +1 ⎛ Δt u
n
−
+
ϕ
1+
+
ϕ
−
=
ϕ
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
i
i+1
i
⎝ 2Δx Δx 2 ⎠
⎝
⎝ 2Δx Δx 2 ⎠
Δx 2 ⎠
€
€
56
Algebraische Gleichung
!   Aufsummieren der konvektiven und diffusiven Flüsse
liefert ein algebraisches Gleichungssystem:
»  für jede Transportgleichung folgt in
jedem Gitterpunkt eine algebraische
Gleichung
»  Index P – Punkt an dem die DGL
approximiert wurde
»  Index I – läuft über alle Knoten die in
die Formulierung eingebunden sind
»  Koeffizienten Ai – abhängig von der
Geometrie und den Fluideigenschaften
Matrix Struktur für
5 x 5 Netz
»  Koeffizient QP – enthält alle bekannten
Terme
57
Randbedingungen
Randbedingungen
Einströmrand
Ausströmrand
P
Wand
!   NSG -> System von DGL –> Anfangsproblem + Randwertproblem
!   nur bei Vorgabe der erforderlichen AB und RB kann die Lösung
eindeutig sein
59
Randbedingungen
Möglichkeiten:
1.)
Dirichlet Randbedingung: abhängige Variable (Ψ) auf dem
Rand vorgeben ; z.B. Randtemperatur
2.)
Neumann Randbedingung: Gradient (dΨ/dn) der abhängigen
Variable vorgeben ; z.B. Wärmestromdichte
3.)
Robbin Randbedingung (gemischte RB): Wärmestromdichte
mittels Wärmeübergangskoeffizienten α und
Umgebungstemperatur T angeben
4.)
Berandung so wählen, dass die abhängige Variable an den
Rechenfeldgrenzen periodisch wiederkehrt („periodische
Randbedingungen“)
60
Randbedingungen (Wand)
!   Haftbedingung (Dirichlet RB):
konvektive Flüsse durch die Wand sind NULL
!   Viskose Spannungen:
Haftbedingung plus Inkompressibilitätsbedingung
Viskose Normalspannungen werden NULL:
Übrig bleiben nur Tangentialspannungen.
61
Randbedingungen (Wand)
!   Schubspannung durch einseitige Differenz annähern:
!   Alternative: Diffusive Flussterme werden mit Wandmodell als
Quellterm vorgegeben.
62
Randbedingungen (Symmetrie)
!   Schubspannung wird NULL
!   Normalspannung ≠ NULL
Diffusiver Fluss in x1-Bilanz ist NULL
Diffusiver Fluss in x2-Bilanz wird approximiert durch:
63
Randbedingungen
Beispiel:
!   Einlass:
Dirichlet Randbedingung -> Ψ ist gegeben
!   Auslass:
Neumann Randbedingung -> dΨ/dn=0
!   Wand:
Konvektive Flussterme werden zu NULL
Diffusive Flussterme werden durch Wandmodell
als Quellterm vorgegeben.
64
Algebraische Gleichung
!   Aufsummieren der konvektiven und diffusiven Flüsse
liefert ein algebraisches Gleichungssystem:
»  für jede Transportgleichung folgt in
jedem Gitterpunkt eine algebraische
Gleichung
»  Index P – Punkt an dem die DGL
approximiert wurde
»  Index I – läuft über alle Knoten die in
die Formulierung eingebunden sind
»  Koeffizienten Ai – abhängig von der
Geometrie und den Fluideigenschaften
Matrix Struktur für
5 x 5 Netz
»  Koeffizient QP – enthält alle bekannten
Terme
65

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