Vorlesung WS04/05 Teil 1 (, ca. 2,9MB)

Numerische Methoden in der
Strömungstechnik
WS 2004/05
Dr.-Ing. Iris Pantle/Dr.-Ing. Franco Magagnato
Fachgebiet Strömungsmaschinen
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
VIII.
IX.
Einführung in die Numerischen Methoden (CFD)
Grundgleichungen der Strömungsmechanik
Diskretisierung: Finite-Differenzen Methode
Finite-Volumen Methode
Lösungsalgorithmen für stationäre und instationäre
Strömungen
Verfahren der inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen
Verfahren der kompressiblen Navier-Stokes Gleichungen
Fallbeispiele für technische Anwendungen
Turbulenzmodellierung
Literatur:
Joel H. Ferziger, Milovan Peric
“Computational Methods for Fluid Dynamics”
Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 1999 (2nd Edition)
Diese Vorlesung (.ppt):
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è Numerische Methoden in der Strömungstechnik
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I. Einführung in die Numerischen Methoden (CFD)
I.1 Was ist CFD?
I.2 Möglichkeiten und Grenzen von CFD
I.3 Modellbildung
I.3.1 Geometrisches Modell
I.3.2 Mathematisches Modell
I.3.3 Numerische Methode
I.3.4 Gittertypen
I.4 Diskretisierungsmethoden
I.4.1 Eigenschaften von numerischen Methoden
I.4.2 Finite-Differenzen Methode
I.4.3 Finite-Volumen Methode
I.4.4 Finite-Elemente Methode
Instationäre Strömung in einem Turbinengitter
Zuströmung
Zuströmung
Zuströmung
Isolinien der
Geschwindigkeitskomponente
in Zuströmungsrichtung
I.1 Was ist CFD (Computational Fluid Dynamics)?
Idealisierung des Strömungsprozesses (Geometrie, Thermodynamik,
Strömungsphysik, Strömungsgebiet, Randbedingungen)
• Näherung des physikalischen Prozesses durch numerische
Approximationen
• Aufteilung des Strömungsgebiets durch endlich große Zellen
• Annahme eines (meist konst.) Strömungszustandes (ρ,u,T,p usw.) in
einer Zelle
• Diskretisierung des mathematischen Modells (Differentialgleichungen)
è Gleichungssystem
• Vorgabe von geeigneten Rand- und Anfangsbedingungen
• Lösen des Gleichungssystems mit einer numerischen Methode
• Überprüfung der Lösung auf Plausibilität
• Auswertung der Ergebnisse
•
I.2 Möglichkeiten und Grenzen von CFD
Untersuchung von schwer messbaren Strömungen
• Berechnung vor der Prototypfertigung
• Berechnung von gefährlichen Strömungen (Explosionen, Chemische
Reaktionen)
• Variationen von Strömungsparametern (Re-, Ma-Zahlen, Temperatur usw.)
• Geometrievariationen können relativ schnell durchgeführt werden
• detaillierte Einblicke in das Strömungsgeschehen
•
Lösungen sind Approximationen!
• enthalten Idealisierungen (z.B. geometrische)
• Physik der Turbulenz, reale Chemie, Zweiphasenströmung, Akustik usw.
muß modelliert werden
• Lösungen werden iterativ erzeugt, d.h. sie enthalten Konvergenzfehler
•
Sorgfältige Überprüfung der Ergebnisse
I.3.1 Geometrisches Modell
• Idealisierung der realen Geometrie durch Beschränkung auf die
wesentlichen, strömungsmechanischen Merkmale
•
Auffüllen von schmalen Spalten
•
Glätten von Sicken, Absätze, Stufen
•
Eliminieren von Geometriedetails (z.B. Spiegel beim Automobil)
•
Verkleinern des Strömungsgebiets auf ein Minimum (Fernfeldrand
bei Außenströmung ca. 10-20 Fahrzeuglängen)
•
Beschränkung bei Innenströmungen auf adäquate Größe
Aufwand
I.3.2 Mathematisches Modell
•
Kompressible Navier-Stokes-Gleichungen
•
Inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen
•
Stationäre Strömung
•
Reibungsfreie Strömung (Euler)
r
• Potentialströmung (Drehungsfreiheit ∇ × u = 0)
•
Schleichende Strömung (Stokes-Strömung)
• Zweidimensional
•
Grenzschichtströmung
I.3.3 Numerische Methode
•
Finite-Differenzen Methode
•
Finite-Volumen Methode
•
Finite-Elemente Methode
•
Lattice Gas (Gitter-Gas) Methoden
•
Spektralmethode
•
Boundary Element (Rand-Elemente) Methode
•
Panel Methode
Werden in dieser
Vorlesung intensiver
besprochen
I.3.4 Gittertypen
•
Kartesische Koordinaten
•
Zylinderkoordinaten
•
Kugelkoordinaten
•
Orthogonale Rechengitter
•
Krummlinige orthogonale Rechengitter
•
Krummlinige nicht-orthogonale Rechengitter
•
Blockstrukturierte Rechengitter
•
Unstrukturierte Rechengitter
•
Hybride Rechengitter
I.3.4.1 Blockstrukturiertes Gitter
Rechengitter um den ONERA M6 Tragflügel
I.3.4.2 Unstrukturiertes Gitter
Rechengitter um das Kundencenter der Volkswagen AG
I.4.1 Eigenschaften von numerischen Methoden
• Konsistenz
• Stabilität
• Konvergenz (Lax: Konsistenz+Stabilität=Konvergenz)
• Erhaltung
• Beschränktheit
• Genauigkeit beschränkt durch:
– Modellfehler
– Diskretisierungsfehler
– Konvergenzfehler
I.4.2 Finite-Volumen Methode
Basiert auf der integralen Form der Transportgleichungen
Ein typisches Kontrollvolumen und die Notation für ein kartesisches
Netz in zwei Dimensionen
I.4.3 Finite-Differenzen Methode
Basiert auf der differentiellen Form der Transportgleichungen
Ein typisches Kartesisches Gitter der Finite-Differenzen Methode für 1-D
(oben) und 2-D (unten)
I.4.4 Finite-Elemente Methode
Basiert auf der gewichteten integralen Form der Transportgleichungen
Ein typisches Rechengitter für die Finite-Elemente Methode in 2-D
II. Grundgleichungen der Strömungsmechanik
II.1
Kompressible Navier-Stokes-Gleichungen
II.2
Inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen
II.3
Reynolds-gemittelte Navier-Stokes-Gleichungen
II.4
Reynolds-gemittelte Navier-Stokes-Gleichungen mit
chemischen Reaktionen
II.5
Reynolds-gemittelte Navier-Stokes-Gleichungen für
Mehrphasenströmungen
II.6
Klassifikation der Transportgleichungen
II.1.1 Kompressible Navier-Stokes-Gleichungen in
integraler Form
1.
r r
∂
ρdV + ∫∫ ρu ⋅ n dS = 0
∫∫∫
∂t V
S
r r
r
∂
ρui dV + ∫∫ ρui u ⋅ n dS = ∫∫ Ti ⋅ n dS + ∫∫∫ ρg i dV
2.-4.
∫∫∫
∂t V
S
S
V
5.
r r
rr
r
∂
ρEdV + ∫∫ ρEu ⋅ ndS = ∫∫ u n ⋅ Ti dS − ∫∫ q ⋅ n dS
∫∫∫
∂t V
S
S
S
II.1.1 Kompressible Navier-Stokes-Gleichungen in
integraler Form - Nomenklatur
1.
Kontinuitätsgleichung (continuity)
2.-4.
3 Impulsgleichungen für 3 Raumrichtungen
(momentum)
5.
Energiegleichung (energy)
Nicht iterativ zu lösen, aber zum Abgleich nötig:
Zustandsgleichung (equation of state)
II.1.2 Kompressible Navier-Stokes-Gleichungen in
differentieller Form
1.
∂ρ ∂( ρui )
+
=0
∂t
∂xi
2.-4.
∂ ( ρui ) ∂ ( ρuiu j )
∂p ∂Tij
+
=−
+
∂t
∂x j
∂ xi ∂ x j
5.
∂( ρE ) ∂ ( ρui E ) ∂ (qi − pui ) ∂ (uiTij )
+
=
+
∂t
∂xi
∂xi
∂x j
∂T
qi = λ
∂xi
1
p
E = ui ui +
2
ρ (γ − 1)
 ∂ui ∂u j 2 ∂uk 

Tij = µ 
+
− δ ij
 ∂x

∂
x
3
∂
x
j
i
k


II.2 Inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen
1.
∂u i
=0
∂xi
2.-4.
∂u i ∂ (u i u j )
1 ∂ p ∂ Tij
+
=−
+
+ gi
∂t
∂x j
ρ ∂ xi ∂ x j
 ∂ui ∂u j 

Tij = ν 
+

 ∂x
x
∂
i 
 j
µ
ν=
ρ
II.3 Reynolds-gemittelte Navier-Stokes-Gleichungen
1.
2.-4.
5.
∂ρ ∂ ( ρ u i )
+
=0
∂t
∂xi
∂ Tij
∂ τ ij
∂ ( ρ u i ) ∂ ( ρ u iu j )
∂p
+
= −
+
+
∂t
∂x j
∂ xi
∂x j
∂x j
∂ ( ρ E ) ∂ ( ρ u i E ) ∂ ( q i − pu i ) ∂ ( u i Tij ) ∂ θ i
+
=
+
+
∂t
∂xi
∂x i
∂x j
∂x i
∂T
qi = λ
∂ xi
1
p
E = uiu i +
2
ρ (γ − 1)
 ∂ui ∂ u j 2

∂
u
k

Tij = µ 
+
− δ ij
 ∂ x j ∂ xi 3

∂
x
k 

II.4 Reynolds-gemittelte Navier-Stokes-Gleichungen mit
chemischen Reaktionen
1.
∂ρ ∂ ( ρui )
+
=0
∂t
∂xi
2.-4.
∂ ( ρ ui ) ∂ ( ρ u i u j )
∂ p ∂ Tij ∂ τ ij
+
=−
+
+
∂t
∂x j
∂ xi ∂ x j ∂ x j
5.
∂ ( ρE ) ∂( ρu i E ) ∂ (qi − pui ) ∂ (ui Tij ) ∂θ i
+
=
+
+
∂t
∂xi
∂xi
∂x j
∂xi
∂ ρ Yi ∂ ( ρ Yi u j ) ∂ Dij ∂ M ij
+
=
+
+ ω& i
∂t
∂x j
∂x j
∂x j
 ∂ui ∂u j 2 ∂uk 

Tij = µ 
+
− δ
 ∂x j ∂xi 3 ij ∂xk 


g
∂T
qi = λ
− ∑ Dik hk
∂xi k =1
K
Dij = ρΓi
∂Yi
∂x j
K
g
1
p
E = uiui − + ∑ Yk hk
2
ρ k =1
II.5 Reynolds-gemittelte Navier-Stokes-Gleichungen für
Mehrphasenströmungen
1.
2.-4.
∂ (α k ρ k ) ∂ (α k ρ k uk ,i )
+
= Sk
∂t
∂xi
∂ (α k ρ k u k ,i )
∂t
+
∂ (α k ρ k u k ,i u k , j )
∂x j
+
5.
=−
∂ (α k p k )
+ α k ρ k gi
∂ xi
∂ (α k Tk , ij )
∂x j
+
∂ (α kτ k , ij )
∂x j
+ M k ,i
∂ (α k ρ k E k ) ∂ (α k ρ k uk , i Ek ) ∂ (α k qk ,i − α k pk uk , i )
+
=
∂t
∂xi
∂xi
+
2
∑ Sk = 0
k =1
2
∂ (α k u k , iTk ,ij )
∂x j
∑ M k ,i = M
k =1
σ
i
+
∂ (α kθ k ,i )
∂xi
2
+ Ek
σ
E
=
E
∑ k
k =1
II.6 Klassifikation der Transportgleichungen
Allgemeine Form der Differentialgleichung zweiter Ordnung:
∂ 2Φ
∂ 2Φ
∂ 2Φ
∂Φ
∂Φ
a 2 +b
+c 2 +d
+e
+ fΦ + g = 0
∂x
∂x∂y
∂y
∂x
∂y
• Hyperbolischer Charakter der Strömung wenn b2-4ac > 0
• Parabolischer Charakter der Strömung wenn b2-4ac = 0
• Elliptischer Charakter der Strömung b2-4ac < 0
• Gemischter Charakter wenn zwei oder mehr Typen im Strömungsgebiet
vorkommen
elliptisch
hyperbolisch
parabolisch
III. Finite Differenzen Methode
III.1
Einführung
III.2
Grundkonzept
III.3
Approximation der Ableitung ersten Grades
III.4
Approximation der Ableitung zweiten Grades
III.5
Implementierung der Randbedingungen
III.6
Das Algebraische Gleichungssystem
III.7
Diskretisierungsfehler
III.8
Beispiel
III.1 Einführung in die Finite Differenzen Methode
• Transportgleichungen haben alle die gleiche Struktur
• Hier: generische Transportgleichung mit konstanten Koeffizienten
• nur im kartesischen Koordinatensystem betrachtet
∂ ( ρφ ) ∂ ( ρu jφ )
∂
+
=
∂t
∂x j
∂x j
Instationärer
Term
Konvektionsterm
 ∂φ
Γ
 ∂x j

DiffusionsTerm

 + qφ


Quellterm
III.2 Grundkonzept
Ein typisches Kartesisches Gitter der Finite-Differenzen Methode für 1-D
(oben) und 2-D (unten)
φ ( xi + ∆x) − φ ( xi )
 ∂φ 
  = lim
∆x
 ∂x  xi ∆x →0
III.2 Grundkonzept
Rückwärts
Exakt
Zentral
∆xi
Vorwärts
∆xi+1
Definition der ersten Ableitung und deren Approximationen
III.3 Approximation der Ableitung ersten Grades
• Entwicklung einer stetigen und differenzierbaren Funktion φ
in einer Taylor-Reihe:
 ∂φ  ( x − xi )
φ ( x) = φ ( xi ) + ( x − xi )  +
2!
 ∂x  i
2
 ∂ 2φ 
 2  +
 ∂x i
( x − xi ) 3  ∂ 3φ 
( x − xi ) n  ∂ nφ 
 3  + ⋅ ⋅ ⋅ +
 n  + H
3!  ∂x i
n!  ∂x i
• Ersetzen von x durch xi+1 oder xi-1
 ∂φ  φi +1 − φi xi +1 − xi
−
  =
2
 ∂x  i xi +1 − xi
( xi +1 − xi ) 2  ∂ 3φ 
 3  + H
3!
 ∂x  i
 ∂ 2φ 
 2  −
 ∂x  i
Fortsetzung III.3
• Ersetzen von x durch xi-1:
 ∂φ  φi −1 − φi xi −1 − xi
−
  =
2
 ∂x  i xi −1 − xi
 ∂ 2φ 
 2  −
 ∂x  i
( xi −1 − xi ) 2  ∂ 3φ 
 3  + H
3!
 ∂x  i
• Verwendung von xi+1 und xi-1:
2
2
2
 ∂φ  φi +1 − φi −1 ( xi +1 − xi ) − ( xi − xi −1 )  ∂ φ 
 2  −
−
  =
2( xi +1 − xi −1 )
 ∂x  i xi +1 − xi −1
 ∂x  i
( xi +1 − xi )3 + ( xi − xi −1 )3  ∂ 3φ 
 3  + H
3!( xi +1 − xi −1 )
 ∂x i
Fortsetzung III.3
Unter Vernachlässigung der unbekannten Ableitungen höherer Ordnung ergeben sich:
 ∂φ  φi − φi −1
  ≈
 ∂x  i xi − xi −1
Rückwärtsdifferenz
 ∂φ  φi +1 − φi
  ≈
 ∂x  i xi +1 − xi
Vorwärtsdifferenz
 ∂φ  φi +1 − φi −1
  ≈
 ∂x  i xi +1 − xi −1
Zentraldifferenz
Fortsetzung III.3
Der Abbruchfehler ergibt sich:
ετ = (∆x ) m α m +1 + ( ∆x ) m +1α m + 2 + ... + (∆x ) n α n +1
wobei
∆xi = xi − xi −1
mit
∆xi +1
re =
∆xi
(1 − re )∆xi
ετ ≈
2
∆xi
ετ ≈
2
 ∂ 2Φ 
 2 
 ∂x i
 ∂ 2Φ 
 2 
 ∂x i
α m +1 =
höhere Ableitung von φ
Zentrale Differenz
Vorwärts- und
Rückwärtsdifferenz
Fortsetzung III.3
Verschiedene Approximationen der ersten Ableitung:
 ∂φ  φi − φi −1
+ O (∆x )
  =
 ∂x  i xi − xi −1
Rückwärtsdifferenz 1.Ord
 ∂φ  φi +1 − φi
+ O(∆x )
  =
 ∂x  i xi +1 − xi
 ∂φ  φi +1 − φi −1
+ O ( ∆x ) 2
  =
 ∂x  i xi +1 − xi −1
(
Vorwärtsdifferenz 1.Ord
)
Zentrale Differenz 2.Ord
 ∂φ  2φi +1 + 3φi − 6φi −1 + φi −2
+ O (∆x )3
  =
6 ∆x
 ∂x  i
(
)
Rückwärtsdifferenz 3.Ord
 ∂φ  − φi + 2 + 6φi +1 − 3φi − 2φi −1
+ O (∆x )3 Vorwärtsdifferenz 3.Ord
  =
6 ∆x
 ∂x  i
 ∂φ  − φi + 2 + 8φi +1 − 8φi −1 + φi −2
+ O (∆x ) 4 Zentrale Differenz 4.Ord
  =
12∆x
 ∂x  i
(
)
(
)
III.4 Approximation der Ableitungen zweiten Grades
Approximation der Ableitung zweiten Grades für äquidistante Gitter:
 ∂ 2φ  φi +1 − 2φi + φi −1
2
 2  =
+
∆
O
x
(
)
2
∂
∆
x
x
(
)

i
(
)
Zentral 2.Ord
 ∂ 2φ  − φi + 2 + 16φi +1 − 30φi + 16φi −1 − φi− 2
4
 2  =
+
O
∆
x
(
)
12(∆x ) 2
 ∂x  i
(
)
Zentral 4.Ord
Approximation des Diffusionsterms durch Zentrale Differenzen:
 ∂  ∂φ 
 ∂x  Γ ∂x 
 i
 
φi +1 − φi
φi − φi −1
 ∂φ 
 ∂φ 
− Γ 
Γi +1/ 2
− Γi −1/ 2
Γ 
xi +1 − xi
xi − xi −1
 ∂x  i +1/ 2  ∂x  i −1/ 2
≈
≈
1
1
( xi+1 − xi −1 )
( xi +1 − xi−1 )
2
2
III.5 Implementierung der Randbedingungen
Dirichlet und Neumann-Randbedingungen werden meist verwendet:
φ1 = Const. ⇒ Dirichlet − RB
 ∂φ 
  = Const. ⇒ Neumann − RB
 ∂x 1
φ −φ
 ∂φ 
  = 0 ⇒ 2 1 = 0 ⇒ φ1 = φ2
x2 − x1
 ∂x 1
Vorwärtsdifferenz 1.Ord
 ∂φ  − φ3 + 4φ2 − 3φ1
+ O (∆x ) 2
  =
2∆ x
 ∂x 1
Vorwärtsdifferenz 2.Ord
(
)
 ∂φ  2φ4 − 9φ3 + 18φ 2 − 11φ1
+ O ( ∆x) 3
  =
6∆x
 ∂x 1
(
)
Vorwärtsdifferenz 3.Ord
III.6 Das Algebraische Gleichungssystem
Die Finite-Differenzen Methode liefert ein lineares (bzw. nichtlineares)
algebraisches Gleichungssystem für lineare (nichtlineare) PDGl):
Apφp + ∑Alφl = Qp
l
Al = Koeffizienten, enthalten
geometrische Größen, Strömungseigenschaften und, bei nichtlinearen
Gleichungen, Lösungsvariablen
φp= Lösungsvariable
Qp= Quellterm
Rechengitter in 2-D
III.6 Fortsetzung
FDM liefert eine schwach besetzte Bandmatrix
Struktur der Koeffizientenmatrix für ein Fünf-Punkt-Rechenmolekül
III.7 Diskretisierungsfehler
Ersetzen der Differentialgleichung durch eine Differenzen-Gleichung
liefert einen Abbruchfehler τh
L(Φ) = Lh(Φ) + τh =0
Die exakte Lösung φh der diskretisierten Gleichung auf dem Gitter h
genügt der folgenden Gleichung:
Lh(φh) = (Aφ-Q)h =0
Diese Lösung weicht von der exakten Lösung der
Differentialgleichung um den Diskretisierungsfehler εdh ab:
Φ = φ h + ε hd
III.7 Fortsetzung
ε ≈ αh + H
d
h
p
Wobei H der Anteil der höheren Ableitungen ist.
α hängt von der Ableitung an dem entsprechenden Punkt und ist
unabhängig von der Netzweite h.
p ist die Ordnung des Schemas.
Φ = φh + αh p + H = φ2 h + α (2h) p + H
Die Ordnung und den Diskretisierungsfehler kann man mit
folgenden Formeln abschätzen:
 φ2 h − φ 4h 

log
φh − φ2 h 

p=
log 2
φh − φ2h
ε ≈ p
2 −1
d
h
III.8 Beispiel
Stationäre 1-D Konvektion-Diffusionsgleichung
∂ ( ρuφ ) ∂  ∂φ 
= Γ 
∂x
∂x  ∂x 
Randbed.: φ=φ0 bei x=0, φ=φl bei x=L (Dirichlet!!)
Die exakte Lösung lautet:
e xPe / L − 1
φ = φ0 + Pe
(φ L − φ0 )
e −1
ρuL
Pe =
Γ
III.8 Fortsetzung
φ
φL
Pe<0
Pe=0
φ0
Pe>0
0
L
x
RB des 1-D Problems und Lösungen als Funktion der Peclet-Zahl
III.8 Fortsetzung
Lösung für Pe=50 mit zentralen
Differenzen und 11 Gitterpunkten
Lösung für Pe=50 mit Upwind-Differenzen
und 11 Gitterpunkten
Zentrale Differenzen neigen zu Oszillationen, Upwind-Differenzen sind zu diffusiv wenn die
wenn die Zell-Pe-Zahl zu groß ist
Zell-Pe-Zahl zu groß ist
III.8 Fortsetzung
Lösung für Pe=50 mit zentralen
Differenzen und 41 Gitterpunkten
Zentrale Differenzen zeigen keine
Oszillationen mehr, wenn die Zell-Pe-Zahl
klein genug ist (Pe<2)
Lösung für Pe=50 mit Upwind-Differenzen
und 41 Gitterpunkten
Upwind-Differenzen sind immer noch diffusiv,
auch wenn die Zell-Pe-Zahl kleiner gewählt
wird
III.8 Fortsetzung
Mittlerer Fehler für 1-D Beispiel für Pe=50 als
Funktion des mittleren Gitterabstands
IV. Finite Volumen Methode
IV.1
Einführung
IV.2
Approximation der Oberflächenintegrale
IV.3
Approximation der Volumenintegrale
IV.4
Interpolation der Konvektion- und Diffusionsflüsse
IV.5
Implementierung der Randbedingungen
IV.6
Das Algebraische Gleichungssystem
IV.7
Beispiel
IV.1 Einführung
• Ausgangspunkt für FVM ist die Integralform der Erhaltungsgleichungen
r r
r
∫ ρφu ⋅ ndS = ∫ Γ ⋅ ∇φ ⋅ ndS + ∫ qφ dΩ
S
S
Ω
Zellmittelpunktschema:
Zelleckpunktschema:
Rechennetz definiert Ränder der
Kontrollvolumina, Mittelpunkte
definieren sich implizit
Netz definiert Zellmittelpunkte der
Kontrollvolumina, Ränder werden
implizit definiert
(wird am meisten verwendet)
IV.2 Approximation der Oberflächenintegrale
Der Nettofluss durch die KV-Ränder ist die Summe der Integrale über
die vier (im 2-D) bzw. sechs (im 3-D) KV-Flächen:
∫ fdS = ∑ ∫ fdS
S
k Sk
Kontrollvolumen und die entsprechende Notation für ein
2D-kartesisches Gitter
IV.2 Fortsetzung
Kontrollvolumen und die entsprechende Notation für ein 3-D-kartesisches Gitter
• Um der Erhaltungsform zu genügen, dürfen die Kontrollvolumina sich nicht
überlappen oder Hohlräume enthalten
• Die Approximation der Oberflächenintegrale umfasst zwei Stufen:
- Das Integral wird mit dem Variablenwert an einer oder mehreren Stellen auf
der Randfläche approximiert
- Zuvor: Randflächenwerte werden durch die Werte in der Zellenmitte
approximiert, die aus Volumenintegralen/Erhaltung stammen
IV.2 Fortsetzung
Einfachste Approximation ist die Integration mit der Mittelpunktsregel:
Fe =
∫ fdS = f S
e
e
≈ fe Se
2.Ordnung genau
Se
Eine weitere Approximation ist die Integration mit der Trapezregel:
Fe =
∫
Se
Se
fdS ≈ ( f ne + f se )
2
2.Ordnung genau
Eine Approximation 4. Ordnung erhält man mit der Simpson-Regel:
Fe =
∫
Se
Se
fdS ≈ ( f ne + 4 f e + f se )
6
4.Ordnung genau
IV.3 Approximation der Volumenintegrale
Die Quellterme erfordern die Integration über das Volumen
Die einfachste Approximation erhält man wieder mit der Mittelpunktsregel:
QP = ∫ qdΩ = q ∆Ω ≈ qP ∆Ω
2.Ordnung genau
Ω
Eine Approximation höherer Ordnung erhält man unter Verwendung mehrerer
Punkte innerhalb des Kontrollvolumens. Im 2-D z.B.:
∆x∆y
QP ≈
(16qP + 4qs + 4qn + 4qw + 4qe + qse + qsw + qne + qnw )
36
4.Ordnung genau
IV.4 Interpolation der Konvektions- und Diffusionsflüsse
• Um die Flüsse an den Randflächen berechnen zu können, müssen die
Berechnungsgrößen durch die Knotenpunktwerte angenähert werden
• Verwendet man nur einen Punkt, so nennt man dies ein Upwind-Schema
• Verwendet man zwei Punkte, so nennt man dies ein Zentrale-Differenzen-Schema
• Verwendet man drei Punkte, so nennt man dies ein Quadratisches Upwind-Schema
• Verwendet man mehr als drei Punkte, so nennt man dies ein Schema höherer
Ordnung
IV.4.1 Upwind-Schema
Das Upwind-Schema ist 1.Ordnung genau. Es ist dem Vorwärts- bzw.
Rückwärts-Differenzen-Verfahren 1.Ordnung der FDM äquivalent.
r r
φP → (u ⋅ n )e > 0
φe = 
r r
φE → (u ⋅ n )e < 0
1.Ordnung genau
IV.4.1 Upwind-Schema
Upwind-Schema
r istr numerisch diffusiv. Die Taylor-Reihenentwicklung um den
Punkt „p“ für (u ⋅ n ) e > 0 :
2
2

φ
(
)
φ
∂
−
∂
x
x
 
e
P
 2  + H
φe = φ P + ( xe − xP )  +
2
 ∂x  P
 ∂x  P
f
d
e
 ∂φ 
= Γe 

 ∂x  e
Γ
num
e
( ρu ) e ∆x
=
2
Abbruchfehler ist proportional zur 1. Ableitung. Man nennt ihn daher numerische,
künstliche oder falsche Diffusion.
Die numerische Diffusion ist bei mehrdimensionalen Problemen noch größer, weil
zusätzlich zur Diffusion in Strömungsrichtung noch diejenige in Normalenrichtung
hinzukommt
Das Upwind-Schema erfordert sehr feine Gitter, um akkurate Lösungen zu
erhalten
IV.4.2 Zentrale-Differenzen-Schema
Beim Zentrale-Differenzen-Schema approximiert man den Wert an der Zellfläche
durch eine lineare Interpolation der beiden nächsten Nachbarn:
φe = φ E λe + φ P (1 − λe )
xe − x P
λe =
xE − xP
Abbruchfehler ist 2. Ordnung genau.
( xe − xP )( xE − xe )  ∂ 2φ 
 2  + H
φe = φ E λe + φ P (1 − λe ) −
2
 ∂x  P
Die Annahme einer linearen Verteilung der Werte zwischen P und E führt zu einer
einfacheren Approximation der Ableitung in den Diffusionsflüssen:
 ∂φ  φ E − φ P
  ≈
 ∂x  e xE − xP
2.Ordnung genau
IV.4.3 Quadratisches Upwind-Schema (QUICK)
Für eine quadratische Interpolation des Randwerts benötigt man drei Punkte. Diese
werden so gewählt, dass in Stromaufrichtung zwei Punkte und ein weiterer Punkt
stromab gewählt werden:
 φ P + g1 (φ E − φ P ) + g 2 (φ P − φW ) → u x > 0
φe = 
φ E + g 3 (φ P − φ E ) + g 4 (φ E − φ EE ) → u x < 0
( xe − xP )( xe − xW )
g1 =
( xE − xP )( x E − xW )
( xe − xP )( xE − xe )
g2 =
( xP − xW )( xE − xW )
( xe − xE )( xe − xEE )
g3 =
( xP − xE )( xP − xEE )
( xe − xE )( x P − xe )
g4 =
( xE − xEE )( x P − xEE )
Das Schema ist 3.Ordnung genau für äquidistante und nicht-äquidistante Gitter:
6
3
1
3(∆x )3  ∂ 3φ 
 3  + H
φe = φ P + φ E − φW −
8
8
8
48  ∂x  P
IV.5 Implementierung der Randbedingungen
An den physikalischen Rändern muss man bei der FVM Flüsse vorgeben.
• direkte Vorgabe, wenn bekannt (z.B. Massen- bzw. Wärmeflüsse)
• Berechnung aus Kombinationen von Randwerten und inneren
Strömungswerten
Üblicherweise gibt man folgende Randbedingungen vor:
• An den Wänden: Massenflüsse zu Null setzen, Wärmeflüsse vorgeben
(adiabate Wand: Wärmefluss Null vorgeben)
• An Einströmrändern: Geschwindigkeiten, Temperaturen und Drücke
setzen
• An Ausströmrändern: Geschwindigkeiten und Temperaturen meist
extrapolieren, Druck setzen
• An Symmetrierändern: alle Flüsse normal zum Rand Null setzen
IV.6 Das Algebraische Gleichungssystem
Das resultierende algebraische Gleichungssystem gleicht dem der Finite
Differenzen Methode.
IV.7 Beispiel
2-D Konvektions- und Diffusionsproblem mit gegebenem
Geschwindigkeitsfeld ux=x und uy=-y:
r r
r
∫ ρφu ⋅ ndS = ∫ Γ ⋅ ∇φ ⋅ ndS
S
S
Mit folgenden Randbedingungen:
• φ=0 am Einströmrand (Norden)
• Lineare Variation von φ =0 bei
y=1 bis φ=1 bei y=0 am
westlichen Rand
• Symmetriebedingung am
südlichen Rand
• ? φ =0 am östlichen Austrittsrand
Die konvektiven Flüsse werden mit dem Upwind- und dem ZentraleDifferenzen-Verfahren diskretisiert
IV.7 Fortsetzung
Der konvektiver Fluss setzt sich zusammen aus dem Massenfluss und dem
mittleren Wert von φ (hier am Rand e diskretisiert):
r r
F = ∫ ρφu ⋅ n dS ≈ m& eφe
c
e
S
Dieser Fluss wird wie folgt diskretisiert:
max(m& e ,0)φ P + min(m& e ,0)φ E → UDS
F =
 m& e (1 − λe )φ P + m& e λeφ E → CDS
c
e
Der diffusive Fluss wird mit der Mittelpunktsregel und zentralen
Differenzen approximiert:
r
φE − φP
 ∂φ 
F = ∫ Γ ⋅ ∇φ ⋅ n dS ≈  Γ  ∆y = Γ
∆y
x E − xP
 ∂x  e
S
d
e
IV.7 Fortsetzung
Die Lösungen für verschiedene Werte von Γ sehen wie folgt aus:
Isolinien von φ für Γ=0.01 (links) und Γ=0.001 (rechts):
IV.7 Fortsetzung
Konvergenz des Totalflusses durch die westliche Wand (links) und des
Fehlers in dem berechneten Fluss als Funktion der Netzweite (rechts):
V. Lösungsalgorithmen für lineare Gleichungssysteme
• V.1 Direkte Methoden
• V.2 Iterative Methoden
• V.2.1
Unvollständige LU-Zerlegung
• V.2.2
ADI-Methode
• V.2.3
Runge-Kutta-Methode
• V.2.4
Mehrgitter-Methode
• V.3 Gekoppelte Gleichungssysteme
• V.4 Nichtlineare Gleichungen
• V.5 Methoden für instationäre Probleme
• V.5.1
Zweischritt-Verfahren
• V.5.2
Mehrschritt-Verfahren
• V.5.3
Implizite Verfahren
V.1 Direkte Methoden
LGS mit Koeffizientenmatrix A:
Aφ = Q
• Gaußsches Eliminationsverfahren
• LU-Zerlegung
• Thomas Algorithmus
Direkte Methoden können für beliebige, vollbesetzte Matrizen verwendet
werden und liefern exakte Lösungen.
Sind aber nicht effizient: Operationen zu Lösung des LGS ~ n3/3
(Gauß‘sches Verfahren) bzw. ~ n2/2 (LU-Zerlegung).
V.1 Fortsetzung
Schematische Darstellung
der Koeffizientenmatrix:
A = (Aij)
5.1.1 Gaußsches Eliminationsverfahren: Eliminierung der unteren
Dreieckselemente durch Multiplikation der ersten Zeile der Matrix mit
A21 / A11 und Subtraktion mit der zweiten Zeile.
 A11

 A21
A=
M

A
 n1
A12
A13
L
A22
A23
L
M
An 2
M
An3
O
L
A1n 

A2 n 
M 

Ann 
 A11

 0
U =
M

 0

A12
A13
L
A22
A23
L
M
0
M
0
O
L
A1n 

A2 n 
M 

Ann 
V.1.2 LU-Zerlegung
Bei der LU-Zerlegung wird die volle Matrix A in eine untere (lower)
Dreiecksmatrix L und in eine obere (upper) Dreiecksmatrix U zerlegt
A=LU.
Uφ = Y
LY = Q
Vorteil: gegenüber Gauß‘schem Eliminationsverfahren kann die
Faktorisierung ohne die Kenntnis des Vektors Q durchgeführt werden.
Der Aufwand ist proportional n2/2.
Nachteilig: dieses Verfahren ist, genau wie das Gauß‘sche
Eliminationsverfahren, nicht parallelisierbar oder vektorisierbar.
Aber: Varianten der LU-Zerlegung eignen sich gut für iterative Verfahren
V.1.3 Thomas Algorithmus
Wenn die Matrix A die Form einer tridiagonalen Bandmatrix hat (streng
genommen nur bei 1-D Problemen), dann ist das Gauß‘sche
Eliminationsverfahren sehr effizient (~ n) und einfach.
AWi φi −1 + APi φi + AEi φi +1 = Qi
*
i
A
Q
Qi* = Qi − W i −1i −1
AP
i
i −1
A
A
APi = APi − W i −1E
AP
Qi* − AEi φi −1
φi =
APi
Dieses Verfahren wird im angelsächsischen Sprachraum auch Tridiagonal
Matrix Algorithm (TDMA) genannt. Einige (iterative) Lösungsverfahren
nutzen diese Vorteile des Verfahrens durch Reduktion des Problems in eines
mit Tridiagonalstruktur.
V.2 Iterative Methoden
- Die Matrix A ist bei Strömungsproblemen leider nicht schwach besetzt:
è direkte Lösungsmethoden eignen sich kaum.
- Der Diskretisierungsfehler ist üblicherweise viel größer als der
Rundungsfehler durch die Computerarchitektur: è Lösung von
Strömungsproblemen durch Iterative Methoden sinnvoll.
Iterative Methoden: Eine angenäherte Anfangslösung wird sukzessive
durch eine verbesserte Zwischenlösung ersetzt, bis sich die Lösung
„nicht“ mehr ändert.
Aφ n = Q − ρ n
Der Konvergenzfehler εn = φ−φn
hierbei ρn = Residuum
Aε = ρ
n
n
Gegen Ende des Iterationsprozesses: das Residuum muss gegen Null
gehen. Dazu kann man ein iteratives Schema folgendermaßen schreiben:
Mφ n +1 = Nφ n + B
V.2 Fortsetzung
Da bei Konvergenz φn+1 = φn = φ ist, folgt daraus:
A= M −N
und
B =Q
M (φ n+1 − φ n ) = B − ( M − N )φ n
Ein iteratives Schema wird effektiv, wenn die Invertierung der Matrix M
und die Berechnung von Nφn einfach ist.
Das bedeutet: die Matrix M sollte diagonal, tridiagonal, block-tridiagonal
oder eine Dreiecksform haben.
Für gute Konvergenzeigenschaften sollte M eine gute Approximation von
A sein und N verhältnismäßig „klein“.
V.2 Fortsetzung
Konvergenz:
Bei Konvergenz φn+1 = φn = φ: è
Mφ = Nφ + B
Subtraktion dieser Gleichung von der Gleichung bei der n-ten Iteration
liefert:
Mε n +1 = Nε n
oder
ε n +1 = M −1 Nε n
n
lim
ε
= 0.
Ein Iteratives Verfahren konvergiert wenn
n →∞
Dies hängt bei den LGS von den Eigenwerten und den Eigenvektoren der
Iterationsmatrix (M-1N) ab. Sie sind wie folgt definiert:
M −1 NΨ k = λk Ψ k
k=1,...,K mit K = Zahl der Gleichungen
V.2 Fortsetzung
Der Anfangsfehler sei:
K
ε 0 = ∑ akψ k
k =1
Der Iterationsprozess liefert dann:
K
K
ε = M Nε = M N ∑ akψ = ∑ ak λk Ψ
1
−1
−1
0
k
k =1
k
k =1
Durch vollständige Induktion kann man dann leicht zeigen, dass
der Konvergenzfehler εn:
K
ε n = ∑ ak (λk ) nψ k
k =1
Damit das iterative Verfahren konvergiert, müssen alle Eigenwerte
kleiner eins (? k < 1) sein.
V.2 Fortsetzung
Der Konvergenzfehler wird nach einer Anzahl von Iterationen durch den
größten Eigenwert dominiert, den Spektralradius λ1:
ε ~ a1 (λ1 ) Ψ
n
n
1
Def. Konvergenz: Die Reduktion des Konvergenzfehlers bis unter eine
Schranke δ.
è
a1 (λ1 ) n ≈ δ
Auflösen nach der benötigten Anzahl von Iterationen:
δ 
ln 
a1 

n≈
ln λ1
Man erkennt, dass die Konvergenzrate (~ 1/n) kleiner
wird (n wird größer) für λ1 à 1.
V.2 Fortsetzung
Ein einfaches Beispiel für eine Gleichung zeigt:
ax = b
Löst man diese Gleichung mit einem iterativen Verfahren
(p=Iterationszähler):
mx p +1 = nx p + b
Dann erhält man für den Konvergenzfehler ε:
ε
p +1
n p
= ε
m
Man erkennt, dass der Konvergenzfehler schneller kleiner wird je kleiner
das Verhältnis n/m wird.
V.2 Fortsetzung
Die einfachste Methode für ein iteratives Verfahren: die Jacobi-Methode.
- Approximation der Matrix M durch eine Diagonalmatrix mit den
Diagonalelementen von A.
- Beispiel hier: die Laplace-Gleichung mit zentralen Differenzen.
φ
n +1
P
=
Q p − ASφ Sn − AW φWn − AN φ Nn − A E φ En
AP
Diese Methode ist sehr langsam und wird daher in dieser Form nicht
verwendet. Eine Variante davon wird als SOR-Verfahren (successive
over-relaxation) bezeichnet. Diese ist viel effizienter.
φ Pn +1 = ω
Q p − AS φ Sn +1 − AW φWn +1 − AN φ Nn − A E φ En
AP
+ (1 − ω )φ Pn
Der Relaxationsfaktor ω bestimmt die Konvergenzrate. Es gibt immer ein
optimales ω welches für ein gegebenes Problem die Konvergenzrate
minimiert. Leider kann man es nicht a priori bestimmen.
V.2.1 Unvollständige LU-Zerlegung (SIP)
Die LU-Zerlegung ist eine allgemeingültige Methode, aber sie nutzt die schwache
Besetzung der Matrizen nicht aus. Wenn man aber eine gute Approximation M der
Matrix A findet, dann erhält man ein gutes iteratives Verfahren:
M = LU = A + N
Die Methode nach Stone, genannt Strongly Implicit Procedure (SIP) zerlegt die
Matrix A in eine unvollständige L- und U-Matrix: alle Elemente von A, welche
Null sind, werden auch an den entsprechenden Stellen der L- und U-Matrix Null
gesetzt.
Schematische Darstellung der Matrizen L und U und das Produkt M: Diagonalelemente,
welche nicht in der Matrix A vorkommen, sind gepunktet dargestellt.
V.2.2 ADI (Alternating Direction Implicit)-Methode
Eine weit verbreitete Vorgehensweise zur Lösung von stationären, elliptischen
oder hyperbolischen Problemen ist die Erweiterung der Gleichungen mit einem
instationären Term. Bei diesem dann parabolischen Problem fällt der Zusatzterm
im auskonvergierten Zustand heraus (à 0). Man erhält die Lösung des
Ausgangsproblems.
Beispiel: Laplace-Gleichung:
 ∂ 2φ ∂ 2φ 
∂φ
= Γ 2 + 2 
∂t
∂y 
 ∂x
Die Zeitableitung muss z.B. mit einer Vorwärtsdifferenz in der Zeit diskretisiert
werden. Benutzt man das Crank-Nicolson-Verfahren (=Trapezregel bei PDEs), so
ergibt sich:
φ n +1 − φ n Γ   δ 2φ n δ 2φ n   δ 2φ n +1 δ 2φ n +1  
 + 

=   2 +
+
2 
2
2 
∆t
2   δx
δy   δx
δy  
Wobei folgende Abkürzungen verwendet werden:
δ 2φ φi +1, j − 2φi , j + φi −1, j
=
2
δx
(∆x ) 2
δ 2φ φi , j +1 − 2φi , j + φi , j −1
=
2
δy
(∆y ) 2
V.2.2 Fortsetzung
Stellt man diese Gleichung um, so sieht man, dass folgendes Gleichungssystem
gelöst werden muss:
 Γ∆t δ 2  Γ∆ t δ 2  n +1
1 −
1 −
φ =
2 
2 
2 δx 
2 δy 

 Γ∆ t δ 2  Γ∆ t δ 2  n (Γ∆t )2 δ 2  δ 2 φ n+1 − φ n 
φ −
1 +
1 +

2 
2 
2 
2
δ
δ
δ
δ
2
x
2
y
4
x
y





(
)
Da gilt φ n +1 − φ n ≈ ∆t∂φ / ∂t , ist der letzte Term proportional ∆t3 und kann
vernachlässigt werden. Der Rest kann dann in zwei einfachere Gleichungen
faktorisiert werden und durch die effiziente Thomas-Methode berechnet werden.
 Γ∆t δ 2  *  Γ∆t δ 2  n
1 −
φ = 1 +
φ
2 
2 
2 δx 
2 δy 


 Γ∆t δ 2  n +1  Γ∆t δ 2  *
1 −
φ = 1 +
φ
2 
2 
2 δy 
2 δx 


V.2.3 Runge-Kutta-Methode
Die klassische Runge-Kutta-Methode ist eine Mehrschritt-Methode für instationäre
Probleme. Jameson et al. haben sie dahingehend modifiziert, um sie auch für
stationäre Probleme verwenden zu können. Dazu haben sie die Stabilität des
Verfahrens auf Kosten der Genauigkeit erhöht.
Für die Laplace-Gleichung:
 ∂ 2φ ∂ 2φ 
∂φ
= Γ 2 + 2  = R φ n
∂t
∂y 
 ∂x
( )
φi0, j = φin, j
φ
1
i, j
φ
2
i, j
∆t 0
R
= φ − α1
Ωi , j
∆t 1
0
R
= φi , j − α 2
Ωi, j
m
φ n +1 = φ n + ∆t ∑ β k R k
0
i, j
M
φim, j = φi0, j − α m
φin, +j 1 = φim, j
∆t m −1
R
Ωi , j
} {
è
k =1
Konsistenz :
m
∑β
k =1
k
=1
wobei
R k = R(φ k )
V.2.3 Fortsetzung
Durch Einsetzen eines Komplexen Ansatzes in die Lösungsvariable und FourierAnalyse kann man die Stabilität des Verfahrens untersuchen:
iω ⋅∆t
φ = Ze
Die Stabilität hängt von den Koeffizienten αi und der Anzahl der Iterationsschritte
m ab. Die Stabilität ist um so größer, je größer der Imaginärteil sich bei Re = 0
erstreckt.
Ω = iω
p = Ordnung
Stabilitätsbereich in der komplexen
Zahlenebene für die klassische, explizite RKMethode.
V.2.4 Mehrgitter-Methode
- Verwendung unterschiedlich stark verfeinerter Gitter zur
Konvergenzbeschleunigung
-
- Konvergenzbeschleunigung = beschleunigte Abnahme des
Konvergenzfehlers/Residuums
Aε = ρ
mit
n
n
ε = φ −φ
n
Voraussetzung:
n
- Konvergenzfehler ist stetige
Funktion der Netzweite; z.B.
SIP-Verfahren
V.2.4 Fortsetzung
- Das „Update“ dn (Korrektur/Approximation des
Konvergenzfehlers) wird auf gröberen Netzen berechnet
-
- M ist die Näherungsmatrix des Ausgangsgleichungssystems:
-
M = LU = A + N (SIP-Verfahren)
i
?x
Mδ = ρ
mit
n
δ =φ
n
n +1
fein
n
?X
−φ
n
grob
I
Notwendig: Beziehung
zwischen den Residuen/Fehlern
des groben und des feinen
Netzes
Begriffe: Restriktion und
Prolongation
V.2.4 Fortsetzung
Ausgangs-DGL:
d 2φ
= f ( x)
2
dx
Lösung der n-ten
Iteration
1
n
n
n
n
(
2
)
φ
−
φ
+
φ
=
f
−
ρ
i −1
i
i +1
i
i
( ∆x ) 2
Fehlergleichung
fein:
1
n
n
n
n
(
ε
−
2
ε
+
ε
)
=
ρ
i −1
i
i +1
i
( ∆x ) 2
Fehlergleichung
grob:
1
n
n
n
n
(
ε
−
2
ε
+
ε
)
=
ρ
I −1
I
I +1
I
( ∆X ) 2
V.2.4 Fortsetzung
Restriktion fein:
1
1 n
n
n
n
n
n
ε
−
ε
+
ε
=
ρ
+
ρ
+
ρ
(
2
(
2
)
i
i+2
i−1
i
i+1)
2 i−2
4(∆x)
4
Ergibt Lösung
grob:
1
n
n
n
n
ε
−
ε
+
ε
=
ρ
(
2
)
I
I +1
I
2 I −1
(∆X)
- Von grober Lösung Prolongation auf feine Lösung
-
- Einfachste Prolongation: lineare Interpolation
- Verwendung von Lösungsapproximationen anstelle von
Fehler/Residuen èFull-Approximation-Schema (FAS)
V.2.4 Fortsetzung
Vorteil der Mehrgittermethode?
è weniger Rechenoperationen im groben Netz
- Herausnahme jeder 2. Linie
- 2D: 1/4 Rechenoperationen
- 3D: 1/8 Rechenoperationen
Full Multigrid
FMG-Methode
Multigrid
grob
fein
fein
V.3 Gekoppelte Gleichungssysteme
§
Mehrere dominante Variablen sind gekoppelt
§
Je eine Gleichung pro dominanter Variable
Dominante Variable erscheint auch in Gleichungen
anderer dominanter Variablen
§
?:
∂ρ ∂ ( ρui )
+
=0
∂t
∂xi
?ui:
∂ ( ρui ) ∂ ( ρui u j )
∂p ∂Tij
=−
+
+
∂t
∂x j
∂xi ∂x j
?E:
∂( ρE ) ∂( ρui E ) ∂ (qi − pui ) ∂ (uiTij )
+
=
+
∂t
∂xi
∂xi
∂x j
V.3 Fortsetzung
Lösungsverfahren:
§
simultane Lösung aller Variablen
sequentiell: jede Gleichung wird nach der dominanten
Variable gelöst, alle anderen sind temporär „bekannt“;
danach Iteration durch die Gleichungen
§
1. Simultan
§
Alle Gleichungen in ein LGS pressen
§
Problem der Fluiddynamik: blockgebundene Matrizenstruktur
§
Sehr teuer in 3D und bei nicht-linearen Anteilen
V.3 Fortsetzung
2. Sequentiell
§
bei nicht-linearen Anteilen besonders geeignet
§
Lösung der einzelnen Gleichungen nach einer Variablen
- ultimative Genauigkeit nicht angestrebt da ineffektiv
§
- „innere Iterationen“
§
§
Lösung angestrebt, die alle Gleichungen hinreichend erfüllt
- update der Koeffizientenmatrizen und der
Quellvektoren nach jedem Zyklus
§
- ein Zyklus geht einmal über alle Gleichungen
§
- ein Zyklus: „äußere Iteration“
§
- Multigrid-Methode für innere und äußere Iterationen
anwendbar
§
V.3 Fortsetzung
2. Sequentiell - Fortsetzung
Problem: Lösungen konvergieren nicht, sondern schaukeln
sich auf, die Berechnung wird instabil
§
Ansatz: Jede Variable darf sich pro äußerer Iteration nur um
einen bestimmten Faktor ändern
§
§
è Under-Relaxation Methoden:
Faktor :
0 < αφ < 1
A φ + ∑ A φ = Qp
n
p P
n
l l
l
wobei
φ =φ
n
n −1
+ α φ (φ
new
−φ
n −1
)
V.4 Nichtlineare Gleichungen
Nichtlineare Gleichungen enthalten nichtlineare Terme:
z.B. ?uiuj
§
Typische Methode: Newton-Iteration èanalog zur
Nullstellensuche einer nicht-linearen Funktion einer
Variable wird bei mehrere Variablen vorgegangen
§
§
Taylor-Reihe mehrerer Variablen:
f i ( x1 , x2 ,..., xn ) = 0
k
k
k
(
,
,...,
∂
f
x
x
x
k
k
k
k +1
k
i
1
2
n)
= f i ( x1 , x2 ,..., xn ) + ∑ ( x j − x j )
∂x j
j =1
n
V.4 Nichtlineare Gleichungen
Jacobi-Matrix des Systems:
∂f i ( x , x ,..., x )
aij =
∂x j
k
1
-
k
2
k
n
Komplizierte Berechnung, wenn
-
- große Systeme wie bei Strömungsproblemen
-
- implizite Berechnungsmethoden verwendet werden
Evaluation von n2 Elementen, Differentiation schwierig
V.4 Nichtlineare Gleichungen
Andere Methoden: Picard Iteration
ρui u j ≈ (ρui ) u j
0
Beispiel konvektive Terme der Navier-Stokes-Gleichungen:
Massenfluss aus äußerer Iteration bekannt
-
-- Buchtip --
Buch:
Press, Vetterling, Teukolsky, Flannery:
Numerical Recipes [in Fortran 77/90, Pascal, C etc…]
„The Art of Scientific Computation“
Cambridge University Press