Correction - La physique-chimie en BCPST 1A au lycée Hoche

A. Guillerand – BCPST 1 A
Feuille d’exercices
Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015
Correction du TD P8 – Thermodynamique – Eléments de statique des fluides
et
sont dans le cyclohexane, on peut donc écrire
l’équation de la statique des fluides incompressibles, avec
l’axe orienté vers le haut.
Exercices d’entraînement
1
L’expérience de crève tonneau de Pascal
De la même manière,
et
sont dans l’eau. Par
Notons le point à la surface de l’eau dans le tube et un conséquent :
point dans l’eau sur la surface supérieure du tonneau. Ces
deux points étant dans l’eau, on peut appliquer la relation
de la statique des fluides incompressibles :
Enfin,
et
sont au contact de l’atmosphère, par
conséquent
. En reportant ces expressions
dans les équations (1) et (2) :
Comme
et
, on a :
or la masse d’eau contenue dans le tube est
donc :
Le tonneau crève si
. On a Ainsi :
soit :
On cherche
, or
encore en utilisant la définition de
, Soit
:
d’où
Application numérique :
Vérification : dans l’hypothèse où les deux liquides ont la
même masse volumique (que de l’eau par exemple), on
trouve bien les deux surfaces à la même altitude.
Application numérique :
2
Tube en U contenant deux liquides non
miscibles
3
Mesure de la masse volumique d’un liquide
Figure 1 : Tube en U contenant deux liquides non miscibles
Soit
un point à l’interface entre les deux liquides et
l’altitude des différents points.
Figure 2 : Tube en U contenant trois liquides non miscibles
TD P8 : Thermodynamique – Eléments de statique des fluides : correction des exercices
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Notons
un point à l’interface air-eau,
un point à
l’interface eau-mercure, un point à l’interface mercureéthanol, un point à l’interface éthanol-air et l’altitude
des différents points (axe orienté vers le haut). Appliquons
la loi fondamentale de la statique des fluides
incompressibles dans le champ de pesanteur entre deux
points aux extrémités d’un même liquide :
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Faisons de même au sein de la croûte épaissie :
Les points et sont en contact avec l’atmosphère, donc
sont à la même pression. D’autre part, les points et sont
sur la surface de compensation isostatique, donc sont à la
même pression. On tire donc la relation :
Faisons la somme de ces trois équations :
Application numérique :
Application numérique :
2.2.2. Altiplano
L’épaisseur est de
4
. On a donc :
Application en géologie
1. Croûte épaissie
Application numérique :
1.1.Relation entre racine et altitude
Résultat numérique en accord avec la géométrie.
2.2.3. Diminution d’altitude
La nouvelle altitude est
nouvelle racine :
ce qui conduit à une
La nouvelle épaisseur de la croûte est
l’épaisseur effectivement enlevée est donc :
et
Figure 3 : modélisation géologique
Appliquons l’équation de la statique des fluides
incompressibles au sein de la croûte normale et du manteau
lithosphérique sous-jacent, et en choisissant l’altitude zéro
au point et en orientant l’axe vers le haut. :
TD P8 : Thermodynamique – Eléments de statique des fluides : correction des exercices
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Application numérique :
Comme
(atmosphère) et
isostatique), on a :
On constate donc qu’une érosion visible se traduit par une
diminution totale de croûte 6,6 fois plus grande !
or
(compensation
, on a donc :
2.2.4. Chaîne hercynienne
L’érosion est de 7000 m, donc on a une tranche de 6,6 fois
7 km = 46 km de roche qui a disparu.
e1 = 46 km
2.3.2. Croûte amincie
2.2.5. Pression p1
Les roches qui affleurent aujourd’hui étaient donc à cette
profondeur. La pression qui y régnait était donc de :
On a :
Application numérique :
2.3.3. Comblement du bassin
2.2.6. Température des roches
Le comblement du bassin entraîne une disparition de
La température augmente de 30° C par km. On a donc une l’antiracine (les sédiments qui se déposent comble le bassin
température T = (25 + 30 46)°C = 1400 °C. Les roches mais provoque l’enfoncement de la croûte en même temps).
sont donc de natures métamorphique et plutonique Il faut donc une épaisseur de sédiment de :
(granites) (voir les cours de géologie !).
2.3. Croûte amincie
2.3.1. Antiracine
Le temps nécessaire au dépôt de sédiment est donc de :
Application numérique :
9,2 millions d’années
Figure 4 : Modélisation géologique
En appliquant l’équation de la statique des fluides
incompressibles au niveau de la croûte amincie, on a :
De même, au niveau de la croûte normale, on a :
TD P8 : Thermodynamique – Eléments de statique des fluides : correction des exercices
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Analyse à partir d’un document
Modèles d’atmosphère
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1. Atmosphère isotherme
Atmosphère non isotherme
1.1. Evolution isotherme
Dans l’approximation des gaz parfaits, la masse volumique
de l’air est :
On a donc :
qui s’intègre compte tenu des conditions proposées en :
Analyse du document :
Le modèle de l’atmosphère isotherme ne semble ici
applicable qu’entre les altitudes
et
.
1.2. Application numérique
Dans les autres domaines, la température peut être
considérée comme suivant une loi affine de l’altitude :
entre
2. Atmosphère de température variable
et
En lisant sur le graphe dans cette gamme :
2.1. Nouvelle expression de la pression
L’équation différentielle devient :
On en déduit :
entre
entre
et
et
En lisant sur le graphe dans cette gamme :
2.2. Application numérique
On en déduit :
2.3. Ecart relatif
Hypothèses de travail :
Reprenons les hypothèses de travail classiques :
-
Atmosphère considérée comme un gaz parfait
Sa masse molaire est
Le champ de pesanteur
est uniforme sur une
verticale
Résolution générale :
-
Expression de la masse volumique
TD P8 : Thermodynamique – Eléments de statique des fluides : correction des exercices
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Ainsi :
-
-
Equation différentielle :
-
Résolution :
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Pour
et
et
A ce stade, l’atmosphère n’est pas considérée comme Avec
(calcul à partir de l’expression du cas précédent).
isotherme. Notons
la température avec les
équations établies précédemment.
Analyse graphique :
Le tracé des courbes dans le cas d’une atmosphère
isotherme à la température du sol ou dans le cacs étudié est
présenté figure suivante.
On intègre entre une origine
et une altitude quelconque
Trois cas :
-
Pour
A première vue, il y a peu d’écart. Faisons toutefois un
agrandissement dans la zone des faibles pressions :
Avec
-
et
Pour
Modèle de l’atmosphère isotherme :
On constante qu’il y a une modification d’un facteur 3 dans
le domaine des faibles pressions.
Avec
et
l’expression du cas précédent).
(calcul à partir de
TD P8 : Thermodynamique – Eléments de statique des fluides : correction des exercices
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Résolution de problème
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Masse du dioxyde de carbone terrestre
Première approche : autour de la loi des gaz parfaits
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La température n’est pas non plus uniforme. Prenons une
valeur de
en moyenne (il fait froid en
altitude…)
Le rayon terrestre doit être connu des étudiants en
géologie :
Les étudiants en géologie savent que
avec
Analyser : Décomposer le problème en des problèmes plus
simples
Réaliser :
On peut commencer à dégager quelques questions
On aurait alors :
préliminaires : pour connaître la masse de dioxyde de
carbone dans l’atmosphère, il faut connaître la masse de
l’atmosphère et la proportion de dioxyde de carbone dans
l’atmosphère.
Analyser : Expliciter la modélisation choisie, Déterminer
Ainsi :
et énoncer les lois qui seront utilisées
S’approprier : identifier les grandeurs pertinentes, leur
attribuer un symbole
La masse de
Le problème fait référence à l’atmosphère. On peut dans un
premier temps imaginer travailler sur la loi des gaz parfaits.
est :
Les grandeurs physiques qui a priori vont sembler utiles
sont : le volume de l’atmosphère, la pression moyenne
Soit
milliards de tonnes
de l’atmosphère, la quantité de matière de l’atmosphère,
sa température moyenne .
Valider : Exercer son esprit critique sur la pertinence
Notons la proportion molaire de dioxyde de carbone dans d’un résultat
l’air :
L’estimation semble plutôt bonne (le site wikipédia donne
milliairds de tonnes)
En appliquant la loi des gaz parfaits :
Evaluer la masse de dioxyde de carbone de l’atmosphère
terrestre.
S’approprier : Evaluer quantitativement les grandeurs Le raisonnement sera clairement explicité. Les données
numériques nécessaires à la résolution de ce problème
inconnues et non précisées
peuvent être recherchées sur internet. La valeur trouvée
Il reste à donner des valeurs numériques réalistes.
devra être validée par une recherche bibliographique.
Le volume de l’atmosphère n’est pas parfaitement défini
puisqu’il n’y a pas de limite réelle à l’atmosphère. On peut
dans un premier temps estimer qu’à plus de
il
n’y a plus une quantité significative d’air.
La surface au sol est de
où
est le rayon
terrestre. Le volume est donc de
. Même si ce
n’est pas l’expression réelle du volume d’une coque, il
s’agit d’une bonne approximation dans la mesure où
.
La pression de l’atmosphère terrestre suit une évolution
exponentielle avec l’altitude (dans le modèle de
l’atmosphère isotherme. Il est difficile de donner une
estimation de la pression moyenne. Une première idée
consiste à dire que la pression moyenne est la moitié de la
pression au sol :
.
TD P8 : Thermodynamique – Eléments de statique des fluides : correction des exercices
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A. Guillerand – BCPST 1 A
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Deuxième approche : autour de la statique des fluides
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Réaliser :
Analyser : Décomposer le problème en des problèmes plus On aurait alors :
simples
On peut commencer à dégager quelques questions
préliminaires : pour connaître la masse de dioxyde de
carbone dans l’atmosphère, il faut connaître la masse de
l’atmosphère et la proportion de dioxyde de carbone dans
l’atmosphère.
La quantité de matière d’air vaut donc :
Analyser : Expliciter la modélisation choisie, Déterminer
et énoncer les lois qui seront utilisées
S’approprier : identifier les grandeurs pertinentes, leur la quantité de
attribuer un symbole
Le problème fait référence à l’atmosphère. On peut dans un
deuxième temps imaginer travailler sur la notion de force La masse de
pressante s’exerçant à la surface de la terre.
:
:
Les grandeurs physiques qui a priori vont sembler utiles
sont : la pression qui s’exerce au niveau du sol, la surface
au sol, la masse totale d’air dans l’atmosphère (la quantité
de matière totale d’air dans l’atmosphère, la masse molaire
de l’air)
Notons
l’air :
la proportion molaire de dioxyde de carbone dans
Soit 32
milliards de tonnes
Valider : Exercer son esprit critique sur la pertinence
Par définition de la pression, la pression atmosphérique à la d’un résultat
surface de la terre est la force qu’exerce l’atmosphère sur la L’estimation semble plutôt bonne (le site wikipédia donne
surface de la terre divisée par cette surface. Or dans le
milliairds de tonnes)
champ de pesanteur cette force est le poids de la totalité de
Cette seconde méthode semble meilleure que la première
l’atmosphère.
car elle fait appel à moins d’hypothèses
Hypothèses dans le cadre de la première méthode : pression
moyenne, température moyenne, hauteur limite de
S’approprier : Evaluer quantitativement les grandeurs l’atmosphère, formule approché du volume d’une coque
inconnues et non précisées
Hypothèses dans le cadre de la deuxième méthode :
Il reste à donner des valeurs numériques réalistes.
uniforme,
La surface au sol est de
où
est le rayon Remarque : en réalité la formule de la force pressante
terrestre. Le rayon terrestre doit être connu des étudiants en utilisée est valable dans le cadre de pression uniforme sur
géologie :
une surface plane (ce qui n’est pas le cas ici, mais l’étude
La pression de l’atmosphère au niveau du sol pourra être serait très complexe pour un résultat à peine amélioré)
prise à bar.
Les étudiants en géologie savent que
avec
La masse molaire de l’air sera prise égale à
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