TD 15 magnétostatique - Le site de M. Barthes

PHYSIQUE
TD 15 magnétostatique
Exercice 1
D’après Banque PT 08, Oral CCP 12
On considère un fil infini parcouru par un courant I.
1 - Justifier l’orientation du champ magnétique dans tout l’espace.
2 - Établir l’expression du champ magnétique créé par ce fil infini.
Il sera tenu compte dans la correction de la façon dont le calcul est
mené (symétries du problème, application des théorèmes, rigueur,
etc).
3 - Calculer le flux magnétique à travers le carré de côté a dont le
centre est situé à une distance d du fil.
Oz
a
I
d
♣♣♣
Solution
z
1 - Tout plan contenant Oz est plan de symétrie des courants donc
⃗
B(M)
= B(M) ⃗eθ
O
I
r
eq
er
La distribution des courants est invariante par translation selon Oz et par
rotation selon θ
⃗ θ, z) = B(r) ⃗eθ
Ainsi,
B(r,
L’application du théorème d’Ampère sur un cercle de rayon r permet de conclure :
H
⃗ ⃗ℓ = 2πrB(r) = µ0 I
Bd
µ0 I
⃗
soit B(r)
=
⃗eθ
2πr
2 - Découpons la spire carrée en tranches de hauteur a et de largeur dr.
Le champ magnétique est uniforme et perpendiculaire à cette surface
y
dl
donc :
dq
R
⃗ ⃗S = µ0 I adr
dΦ = Bd
2πr
x
Par intégration, on obtient :
∫ d+a/2
µ0 I
µ0 I
d + a/2
Φ=
adr =
a ln
2π
d − a/2
d−a/2 2πr
♣♣♣
Exercice 2
Le tokamak Tore-Supra est équipé de bobines supraconductrices, appelées bobines toroïdales (refroidies
dans l’Hélium superfluide à 1,8 K) régulièrement réparties de façon quasi-jointive autour du tore de rayon
intérieur Ri et extérieur Re . Le tout comporte N spires
circulaires parcourues par un courant permanent d’intensité I.
M.Barthes
D’après ESIM 03
Re
Ri
ez
O
I
eq
er
PHYSIQUE
1 - Montrer par une étude des symétries du problème
que le champ magnétique toroïdal peut s’exprimer sous la forme :
⃗ = B(r, z) ⃗eθ
B
2 - Dans le plan équatorial du tore, en appliquant le théorème d’Ampère sur un cercle de
⃗ créé
rayon r et d’axe (Oz), déterminer, en fonction de r, l’expression du champ magnétique B
par les bobines toroïdales. On distinguera l’intérieur de l’extérieur du tore.
3 - Donner l’allure de la courbe représentant B(r) dans le plan équatorial.
♣♣♣
Solution
⃗
1 - Tout plan O, ⃗er , ⃗ez est plan de symétrie pour la distribution des courants. On en déduit que B
est perpendiculaire à ce plan
⃗ = B(r, θ, z) ⃗eθ
B
De plus, l’invariance de la distribution des courants selon θ permet de conclure que
⃗ = B(r, θ, z) ⃗eθ = B(r, z) ⃗eθ
B
2 - Pour Ri < r < Re , le cercle de rayon r enlace les N spires parcourues par un courant I de façon
directe, le théorème d’Ampère permet donc d’écrire
2πrB = µ0 NI
µ0 NI
2πr
Pour r < Ri , le cercle de rayon r n’enlace aucune spire et pour r > Re , il y a autant de d’intensité
qui traverse le disque de rayon r dans un sens que dans l’autre. Ainsi, le théorème d’Ampère donne
dans ces deux cas
soit
B(r) =
Pour r > Re et r < Ri , B = 0
d’où
B(r) =
µ0 NI
si Re < r < Ri et B(r) = 0 sinon.
2πr
3 - Allure de B(r)
B
r
O R
i
Re
♣♣♣
Exercice 3
M.Barthes
D’après Banque PT 07
PHYSIQUE
Oz
Un cylindre infini d’axe Oz et de rayon R est parcouru par
une courant volumique uniforme et permanent de densité
⃗j = j ⃗ez .
1 - Donner l’expression du courant I parcourant le cylindre.
2 - À l’aide du théorème d’Ampère, déterminer le champ
magnétique créé en tout point de l’espace.
3 - Montrer que pour r > R, le champ magnétique est le
même que celui crée par un fil infini parcouru par un courant
I.
j
O
R
♣♣♣
Solution
1 - Le cylindre étant infini, la distribution de courant est invariante par translation selon Oz et
rotation selon θ.
⃗ θ, z) = B(r)
⃗
Ainsi,
B(r,
Tout plan contenant l’axe Oz est plan de symétrie pour la distribution de courant donc
⃗
B(r)
= B(r) ⃗eθ
Utilisons le théorème d’Ampère sur un cercle de rayon r. Il vient :
H
⃗ = 2 pirB(r) = µ0 I
⃗ dℓ
B.
Distinguons deux cas :
- cas r > R, le courant enlacé vaut : I = πR2 j
d’où
2
⃗ > R) = µ0 R j ⃗eθ
B(r
2r
- cas r < R, le courant enlacé vaut : I = πr2 j
d’où
⃗ < R) = µ0 rj ⃗eθ
B(r
2
2 - D’après la définition du potentiel vecteur :
⃗ = rot
⃗
⃗ A
B
⃗ = 1 ∂Az ⃗er − ∂Az ⃗eθ = β 1 ⃗eθ
⃗ A
rot
r ∂θ
∂r
Rr
⃗ il vient
Par identification avec la valeur de B
Or
β = µ0 Rj
♣♣♣
Exercice 4
D’après Oral CCP 05
Un câble coaxial est constitué de deux cylindres d’axes Oz isolés l’un de l’autre par une
épaisseur e = R2 − R1 d’isolant. Le cylindre intérieur de rayon R1 est parcouru par un courant
I et celui compris entre R2 et R3 par un courant −I.
1 - Déterminer les vecteurs densité de courant dans le cylindre intérieur et le cylindre extérieur.
M.Barthes
PHYSIQUE
Oz
âme
isolant
I
blindage
I
R1
R2
R3
2 - En déduire l’expression du champ magnétique en tout point de l’espace.
3 - Donner l’allure de la varation du champ magnétique en fonction de la distance r à l’axe
Oz.
♣♣♣
Solution
1 - Tout plan contenant Oz est plan de symétrie pour la distribution des courants donc le champ est
perpendiculaire à ces plans :
⃗ = B(r, θ, z) ⃗eθ
B
L’invariance par translation selon z et par rotation selon θ de la distribution des courants permet
d’écrire
⃗ = B(r, θ, z) ⃗eθ = B(r) ⃗eθ
B
Pour appliquer le théorème d’Ampère, prenons un cercle de rayon r orienté selon ⃗eθ .
Oz
j
2
r
j
1
O
Si r < R1 , ce cercle n’enlace aucun courant
d’où
⃗ = ⃗0
Pour r < R1 , B
Si R1 < r < R2 , le cercle de rayon r enlace le premier cylindre qui est parcouru par un courant
I = 2πR1 jS . Ainsi l’application du théorème d’Ampère donne
2πrB(r) = µ0 I = 2πµ0 R1 jS
Ainsi,
⃗ = µ0 R1 jS ⃗eθ
Pour R1 < r < R2 , B
r
Si r > R2 , le cercle de rayon r enlace les deux cylindres. Le courant enlacé vaut donc I = 2πR1 jS −
2πR2 jS . L’application du théorème d’Ampère permet de conclure que
⃗ = µ0 (R1 − R2 )jS ⃗eθ
Pour r > R2 , B
r
M.Barthes
PHYSIQUE
2 - Allure du champ B(r) en fonction de distance à l’axe
B
R1
R2
r
3 - Pour que champ à l’extérieur soit nul, il faut que le courant enlacé par un cercle de rayon r > R2
soit nul
soit
R1⃗j1 + R2⃗j2 = ⃗0
♣♣♣
M.Barthes