chapitre 8: activités

Chapitre 8 - Trigonométrie -activités
1- Le cercle trigonométrique et le radian
Enoncé 1 : quelques rappels
On considère (O,I,J) un repère orthonormé du plan et C le cercle trigonométrique.
𝜋 𝜋 3𝜋
𝜋
1- Construire C et représenter sur le cercle les points associés aux réels 0 ; ; ; ; 4𝜋; − ; 𝜋; −𝜋.
4 2
2
2
2- Déterminer le point auquel on peut associer tout nombre réel s’écrivant – 𝜋 + 𝑘 ∗ 2𝜋 avec k entier
𝜋
positif ou négatif. Reprendre la question avec : tout nombre s’écrivant + 𝑘 ∗ 2𝜋 k entier positif ou
2
négatif
Enoncé 2 : le radian
A et B sont deux points du cercle trigonométrique.
� est l’angle au centre qui intercepte l’arc 𝐴𝐵 .
L’angle 𝐴𝑂𝐵
On sait que la mesure de l’arc est proportionnelle à la mesure de l’angle au centre qui l’intercepte.
1- Faire une figure.
2- Compléter le tableau suivant :
� en °
Mesure de L’angle 𝐴𝑂𝐵
Longueur de l’arc AB pour r=1
360°
180°
45°
𝜋
𝜋
𝜋
7
2
12
3
3- Quel est le coefficient de proportionnalité qui permet de passer de la deuxième ligne à la première.
4- L’observation du tableau conduit à définir une nouvelle unité d’angle , le radian, telle que la mesure
d’un angle soit égale à la longueur de l’arc intercepté sur un cercle de rayon 1.
a- Quelle est la mesure en radian d’un angle de 45° ? de 35° ?
𝜋
5𝜋
b- Quelle est la mesure en degrés d’un angle de radians ? de ?
3
6
2- Angles orientés et mesure principale :
Enoncé 3 : angles orientés
Une bille se déplace sur une piste circulaire de rayon un mètre dans les deux sens de parcours possibles. Les
points A,B,C,D,E,F, G et H du cercle sont les sommets d’un octogone régulier.
� ? de l’angle géométrique 𝐴𝑂𝐻
�?
1- Quelle est la mesure, en radians , de l’angle géométrique 𝐴𝑂𝐵
�����⃗, 𝑂𝐵
�����⃗ ) dont une mesure
Pour aller de A à B , la bille parcourt le cercle dans le sens positif. On définit l’angle (𝑂𝐴
𝜋
est . Donner un réel associé au point B par enroulement.
4
�����⃗, 𝑂𝐻
������⃗ ) dont une
Pour aller de A à H , la bille parcourt le cercle dans le sens négatif. On définit l’angle (𝑂𝐴
−𝜋
mesure est . Donner un réel associé au point H par enroulement.
4
2- La bille part de A et parcourt le cercle dans le sens positif. Pour chacune des longueurs parcourues
𝜋
5𝜋 25𝜋
suivantes, indiquer le point d’arrivée : ; 𝜋; ;
2
4
4
3- La bille part de D et parcourt le cercle dans le sens négatif. Pour chacune des longueurs parcourues
𝜋
5𝜋 47𝜋
suivantes, indiquer le point d’arrivée : ; 𝜋; ;
4
4
4
4- Pour aller de D à A, dans le sens positif, quelle est la longueur du trajet le plus court ? Indiquer la
������⃗ , 𝑂𝐴
�����⃗).
mesure correspondante de l’angle (𝑂𝐷
5- Pour aller de H à B, dans le sens positif, quelle est la longueur du trajet le plus court ? Indiquer la
������⃗ , 𝑂𝐵
�����⃗ ).
mesure correspondante de l’angle (𝑂𝐻
17𝜋
�����⃗, ������⃗
6- Placer le point M tel qu’une mesure de (𝑂𝐴
𝑂𝑀) est
3
Enoncé 4 : mesure principale
Donner la mesure principale d’un angle dont la mesure est :
43𝜋
a4
b- 425𝜋
c-
d-
72𝜋
5
46𝜋
4
3- Cosinus et Sinus – angles associés
Enoncé 5 : Rappels - Cosinus et sinus des angles remarquables :
compléter le tableau ci-dessous :
𝑹é𝒆𝒍 𝒙
𝝅
𝟔
𝟎
𝑪𝒐𝒔 𝒙
𝝅/𝟒
𝝅/𝟑
𝝅/𝟐
𝑺𝒊𝒏 𝒙
Enoncé 6 : Utilisation des Angles associés
On considère (O,I,J) un repère orthonormé du plan et C le cercle trigonométrique.
𝜋
𝜋 5𝜋 29𝜋
1- Construire C et placer les points A,B,C et D respectivement associés à − ; − ;
3
2- En vous aidant du tableau de l’énoncé 5, calculer les valeurs exactes de :
𝜋
5𝜋
a- 𝑐𝑜𝑠(− )
c- 𝑐𝑜𝑠 � �
3
𝜋
b- sin (− )
d- sin (
6
Enoncé 7 : Utilisation des Angles associés
𝜋
Soit 𝑥 un réel de l’intervalle [ ; 𝜋]. M est le point du cercle C associé à 𝑥.
2
𝑠𝑖𝑛( + 𝑥)
2
6
4
;
6
)
2
1- Placer M tel que sin(𝑥 ) =
5
2- Placer les points du cercle associés aux réels :
𝜋
𝜋
a+𝑥
b−𝑥
2
2
3- Calculer 𝑐𝑜𝑠(𝑥)
4- Calculer:
𝜋
𝜋
a- 𝑐𝑜𝑠( + 𝑥)
b- 𝑐𝑜𝑠( − 𝑥)
2
𝜋
4
29𝜋
6
2
𝜋
𝑠𝑖𝑛( − 𝑥)
2
𝜋+𝑥
d-
𝜋−𝑥
c- 𝑐𝑜𝑠( 𝜋 + 𝑥)
d-
cos (𝜋 − 𝑥)
c-
𝑠𝑖𝑛( 𝜋 + 𝑥)
sin (𝜋 − 𝑥)
4- Formules et résolutions d’équations
Enoncé 8 : utilisation des formules du cours
𝜋
𝜋
7𝜋
1- Calculer + . En déduire la valeur exacte de sin( )
3
4
3𝜋
3𝜋
12
2- Déterminer la valeur exacte de 𝑐𝑜𝑠( ) et 𝑠𝑖𝑛( ). Après avoir observé que
3𝜋
3𝜋
valeur exacte de 𝑐𝑜𝑠( ) et 𝑠𝑖𝑛( ).
8
8
4
4
𝜋
𝜋
3𝜋
4
= 2∗
3𝜋
8
, calculer la
3- Montrer que pour tout réel x : 𝑐𝑜𝑠 �𝑥 − � = 𝑠𝑖𝑛 �𝑥 + �
6
3
Enoncé 9 : Résolution d’équations :
1- Résoudre dans ] − 𝜋; 𝜋] l’équation sin(𝑥 ) = sin (𝜋6) et représenter ses solutions sur le cercle
2-
trigonométrique.
2𝜋
Résoudre dans ℝ l’équation cos(𝑥) = cos � � .
3
3- Résoudre dans ] − 𝜋; 𝜋] l’équation cos(𝑥 ) = √22 et représenter ses solutions sur le cercle
trigonométrique.