Résumé trigonométrie

Résumé Trigonométrie
Première S
1/4
1 Point image d’un réel
Le cercle trigonométrique est un cercle de centre O de rayon 1 orienté. Ce la signifie qu’on a choisi un sens de parcours
positif sur le cercle. Par convention, le sens positif est celui inverse des aiguilles d’une montre.
2.4
3π/4
Propriété
2.2
A tout réel x de l’axe d on associe un unique point M
sur le cercle trigonométrique
• Si x Ê 0 x représente la distance à parcourir dans le
sens positif sur le cercle pour aller de I à M
(éventuellement en faisant plusieurs tours)
• Si x É 0 −x représente la distance à parcourir dans
le sens négatif sur le cercle pour aller de I à M
(éventuellement en faisant plusieurs tours)
2
2
1.8
π/2
1.6
1.4
1.2
J
1
1
B
A
0.8
M ainsi défini s’appelle le point image du réel x
π/4
0.6
Exemples :
• à x = π/2 on associe le point J
• à x = π/4 on associe le point A
• à x = 3π/4 on associe le point B
• à x = −π/3 on associe le point C
0.4
0.2
I
−1 −0.8
O
−0.4
0.2 0.4 0.6 0.8
1
1.2 1.4
−0.2
Propriété
−0.4
Pour tout point M du cercle trigonométrique, il existe
donc une infinité de réels x associés à M. Si x 0 est un
autre réel associé à M alors x 0 = x + k × 2π où k ∈ Z
−0.6
−0.8
C
−1
−1
−π/3
• π/4 + 2π = 9π/4 a aussi pour point image A de même
que π/4 + 6π = 25π/4 ou que π/4 − 4π = −15π/4 etc...
• π, −π, 3π, 5π, −3π, etc.... ont le même point image K
−1.2
−1.4
Propriété
Deux réels x et x 0 ont le même point image si et seulement si x 0 − x = k × 2π où k ∈ Z
2π
341π
et x 0 =
ont-ils le même point image ?
3
3
341π − 2π 339π
On calcule x 0 − x =
=
= 113π = 66,5 × 2π comme 66,5 6∈ Z, on peut dire que x et x 0 n’ont pas le même
3
3
point image.
Exemple :
x=
Définition
Le radian est une unité de mesure d’angles . Elle est proportionnelle au degré. Soit A sur le cercle trigonométrique,
‘ en radian est égale à la longueur de l’arc de cercle IA
ı
la mesure de l’angle IOA
On a donc le tableau de proportionnalité suivant :
Degrés 0
30
45
60
90
180 360
Radians 0 π/6 π/4 π/3 π/2
π
2π
Pour convertir en radians :
par exemple α = 36◦
180
π
36
?
réponse α = 36 ×
π
36π π
=
= rad
180 180 5
Pour convertir en degrés :
par exemple α = 7π/12
180
π
?
7π/12
réponse α = 180 ×
7π/12 180 × 7
=
= 105◦
π
12
Résumé Trigonométrie
2π/3
J
Première S
π/2
π/3
3π/4
Le cercle ci-contre (avec les principaux points images)
est à connaître par coeur.
π/4
π/6
5π/6
K
π
2/4
Par exemple si on parcourt le cercle trigonométrique de
π/6 en π/6 (30◦ ), on part de 0 puis π/6 puis 2π/6 = π/3
puis 3π/6 : π/2, puis 4π/6 = 2π/3, puis 5π/6 puis 6π/6 = π
on arrive au point K.
Si on continue 7π/6 qui a le même point image que
−5π/6 car −5π/6 + 2π = 7π/6 etc....on termine avec
12π/6 = 2π qui a le même point image que 0 soit I.
I
0
−5π/6
−π/6
−π/4
−3π/4
−2π/3
−π/3
−π/2
2 Angles orientés de vecteurs
→
−
u
→
−
v
J
B
Définition
Un angle orienté de vecteurs est un couple de
−
−
vecteurs non nuls. On note (→
u ,→
v ).
L’ordre des vecteurs est important, l’angle
−
−
−
−
(→
v ,→
u ) est l’opposé de l’angle (→
u ,→
v ).
A
→
−
u
→
−
v
I
O
Concrètement, on trace les représentants des vec−
−
teurs →
u et →
v d’origine O et la mesure de l’angle
−
−
(→
u ,→
v ) vaut la distance sur le cercle trigonométrique pour aller de A à B (comptée positivement
si on suit le sens direct, négativement si on suit le
sens indirect.)
Remarque :
−
−
Avec les notations précédentes α = (→
u ,→
v ) = x − x 0 où A est le point image du réel x et B le point image du réel x 0 .
Exemples :
Avec la figure ci-contre (ABCD carré de centre I) on a :
−→ −→
(BD , BA ) = π/4 + k × 2π
−→ −→
(BD , AC ) = −π/2 + k × 2π
−→ −−→
(AD , CD ) = −π/2 + k × 2π
−→ −−→
(BA , CD ) = 0 + k × 2π
−
→ −→
(ID , CA ) = +π/2 + k × 2π
−→ −→
(AD , BD ) = −3π/4 + k × 2π
On remarque qu’on ajoute +k × 2π à la mesure d’un angle pour rappeler qu’un
angle orienté de vecteurs possède une infinité de mesures. Dès qu’on en connait
une, on connait toutes les autres en ajoutant un multiple entier de 2π
−→ −→
−→ −→
Au lieu de (BD , BA ) = π/4 + k × 2π on note parfois (BD , BA ) = π/4 [2π]
(on dit π/4 modulo 2π)
+
A
I
B
D
C
Propriété
• Un angle orienté possède une infinité de mesures.
−
−
• Si α est une mesure de l’angle (→
u ,→
v ) alors toute autre mesure est de la forme α + k × 2π
• Parmi toutes les mesures d’un angle orienté une seule est dans l’intervalle ] − π; π], elle s’appelle la mesure
principale de l’angle orienté de vecteurs
Exemple :
−
→ −
→
Avec la figure ci dessus du carré ABCD, on a (ID , IC ) = +3π/2 mais 3π/2 > π donc 3π/2 n’est pas dans l’intervalle ] − π; π]
−
→ −
→
donc ce n’est pas la mesure principale de l’angle (ID , IC ). On remarque que 3π/2 − 2π = −π/2 donc −π/2 est aussi une
−
→ −
→
−
→ −
→
mesure de l’angle (ID , IC ). Et comme −π/2 ∈] − π; π], c’est la mesure principale de l’angle (ID , IC ).
Résumé Trigonométrie
Première S
3/4
3 Sinus Cosinus
J
C
Soit x un réel et M le point image de x sur le cercle trigonométrique.
−
→ −−→
On a donc (OI , OM ) = x + 2kπ
On appelle cos(x) l’abscisse de M et sin(x) l’ordonnée de M.
M(x)
sin(x)
Propriété
I
x
O
• cos 2 x + sin2 x = 1
cela provient du fait que la distance OM=1
• −1 É cos x É 1 et −1 É sin x É 1
• cos(x + 2π) = cos x et sin(x + 2π) = sin x et de façon plus générale :
• cos(x + 2kπ) = cos x et sin(x + 2kπ) = sin x k ∈ Z
cos(x)
J
A(π/3)
p
3/2
A connaître par coeur :
B(π/4)
p
2/2
α
0
sin(α)
0
cos(α)
1
π/6
C(π/6)
1/2
I
O
1/2
1
2
p
3
2
π/4
p
2
2
p
2
2
π/3
p
3
2
1
2
π/2
1
0
p
p
2/2 3/2
Configurations
J
B(2π/3)
J
A(π/3)
p
3/2
B(3π/4)
J
c
p
2/2
A(π/4)
B(5π/6)
I
−1/2
O
p
− 2/2
1/2
p
2/2
O
I
1/2
p
3/2
A(π/6)
p
− 3/2
I
O
D(−π/6)
p
− 3/2
C(−2π/3)
C(−3π/4)
H(π/2 + x)
J
Multiples de π/4
D(−π/4)
Multiples de π/6
Angles associés
M(x)
sin x
I
O
Equations
−1/2
R(π/2 − x)
cos x
Q(π + x)
C(−5π/6)
D(−π/3)
Multiples de π/3
P(π − x)
p
− 2/2
N(−x)
Propriété
• sin(−x) = − sin(x) et cos(−x) = cos(x)
• sin(x + π) = − sin(x) et cos(x + π) = − cos(x)
• sin(π − x) = sin(x) et cos(π − x) = − cos(x)
• sin(x + π/2) = cos(x) et cos(x + π/2) = − sin(x)
• sin(π/2 − x) = cos(x) et cos(π/2 − x) = sin(x)
Résumé Trigonométrie
Première S
4/4
Propriété
•
x = α + 2kπ k ∈ Z
cos(x) = cos(α) ⇐⇒ ou
x = −α + 2k 0 π k 0 ∈ Z
•
x = α + 2kπ k ∈ Z
sin(x) = sin(α) ⇐⇒ ou
x = π − α + 2k 0 π k 0 ∈ Z
♥
4 Savoir Faire
1. Savoir si deux réels ont le même point image (voir propriété 2 paragraphe 1)
2. Etant donné un réel placer son point image M
Cas simple il n’y a pas de tours inutiles :
exemple x = 2π/3. On sait que π correspond à un demi cercle, on le divise en 3 (on a alors π/3) et on reporte deux fois
on a bien 2π/3
‘ = 120◦ )
(On peut aussi calculer l’angle en degré π = 180◦ donc 2π/3 = 120◦ donc IOM
Cas plus compliqué il y a des tours inutiles :
exemple x = 53π/4
On enlève les tours inutiles pour se ramener au cas précédent.
Méthode 1 :
On divise 53 par le double du dénominateur soit ici par 8. on obtient 53 = 6 × 8 + 5 donc 53π = 6 × 8π + 5π donc
53π/4 = 6 × 8π/4 + 5π/4 = 6 × 2π + 5π/4. Donc x a le même point image que 5π/4 car 6 × 2π est un multiple entier de
2π. Pour placer le point image de 5π/4 on partage π en 4 et on le remporte 5 fois.
Méthode 2 :
On cherche l’entier k pour que x = 53π/4 + k × 2π ∈] − π; π] ⇐⇒ −π < 53π/4 + k × 2π É π
on divise les trois membres par π : −1 < 53/4 + 2k É 1 on multiplie les trois membres par 4 :
−4 < 53 + 8k É 4
on ajoute −53 de chaque côté : −57 < 8k É −49 on divise par 8 : −57/8 < k É −49/8 ⇐⇒ −7,125 < k É −6,125
Comme k est entier la seule possibilité est k = −7 donc :
x = 53π/4 a le même point image que 53π/4 − 7 × 2π = 53π/4 − 14π = −3π/4 et on est ramené au cas simple.
On remarque que les deux méthodes donne le même point image car −3π/4 + 2π = 5π/4
3. Lire une mesure d’angle orienté de vecteurs.
Etant donné une figure simple comme le carré du paragraphe 2, savoir lire la mesure des angles dans se tromper dans
le sens.
4. Calculer la mesure principale d’un angle orienté de vecteurs
C’est exactement la méthode 2 de ce paragraphe
5. Calculer des cosinus ou sinus d’angles particuliers ( en utilisant les trois configurations : carré et deux rectangles)
6. Savoir résoudre des équations du type cos x = a ou sin x = b sur R ou sur un intervalle donné.
(méthode graphique : utilisation du cercle trigonométrique) ou (calcul utilisation des formules cos x = cos a ou sin x =
sin a)