DS 6

Devoir surveillé no 6
PCSI 1
2014/2015
Samedi 7 mars
4h
Les résultats doivent être encadrés.
Les calculatrices sont interdites.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé,
il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition
en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.
i. Etudier le signe de g sur [0, π] puis les variations de f sur [0, π].
Exercice 1.
1. Déterminer le développemement limité, à l’ordre 3, au voisinage de 0, de :
tan x
(cos x)
.
2. Déterminer le développemement limité, à l’ordre 2, au voisinage de 0, de :
√
sin x − sh x
1 + x − 1 − x2 +
x2
8
.
3. Déterminer le développemement limité, à l’ordre 10, au voisinage de 0, de :
7
(ex − 1) .
4. Déterminer :
ln(1 + sin x) − x
.
x→0
(ex − 1)2
lim
Problème 1.
Considérons la fonction f définie sur
R+ par :
∀x ∈ R∗+ , f (x) =
sin(x)
x
et f (0) = 1.
1. Représentation graphique de la fonction f .
(a) Montrer que f est de classe C 1 sur
R∗+ et calculer f 0 sur R∗+ .
(b) Montrer que f est continue en 0, dérivable en 0 et préciser f 0 (0).
L’application f est-elle de classe C 1 sur R+ ?
(c) Afin d’étudier les variations de f sur R+ ,
nous introdusions la fonction g : x 7−→ x cos(x) − sin(x).
ii. Soit n appartenant à N∗ .
Montrer que l’équation (En ) : x cos(x) = sin(x), x ∈ [nπ, (n + 1)π]
admet une unique solution xn ,
et en déduire le signe de g sur [nπ, (n + 1)π] puis les variations de f
sur [nπ, (n + 1)π].
Une discussion sur la parité de n intervient.
(d) Etudier la limite de f en +∞.
(e) Tracer l’allure de la courbe représentative de f sur [0, 6π].
R+ .
sur R∗+ .
2. Etude des dérivées successives de f sur
(a) Montrer que f est de classe C
∞
Nous rappelons que pour tout entier naturel n, la dérivée nème de f se
note f (n) , la dérivée nème de la fonction cosinus se note donc cos(n) .
(b) Montrer par récurrence, que pour tout entier naturel n :
Z x
1
∀x ∈ R∗+ , f (n) (x) = n+1
un cos(n) (u) du.
x
0
(c) Soit Zn appartenant à N, x appartenant à R∗+ , calculer :
x
1
un cos(n) (0) du.
xn+1 0
L’expression attendue dépend de cos(n) (0), valeur que vous ne chercherez
ni à évaluer, ni à simplifier.
(d) Soit n appartenant à
N, x appartenant à R∗+ , montrer que :
Z x (n)
(n)
n
(n)
(n)
f (x) − cos (0) ≤ 1
u
(u)
−
cos
(0)
cos
du.
n + 1 xn+1 0
(e) Soit n appartenant à
N, montrer que :
(e) Montrer que pour tout entier naturel n et tout réel strictement positif
x:

X (−1)n−k x2k
n!
sin(x)
f (n) (x) =
n+1
x
(2k)!
0≤2k≤n

n−k−1 2k+1
X
(−1)
x
.
+cos(x)
(2k + 1)!
∀u ∈ R+ , cos(n) (u) − cos(n) (0) ≤ u.
(f) En déduire que pour tout entier naturel n :
(n)
cos(n) (0) x
∗
∀x ∈ R+ , f (x) −
≤
.
n+1
n+2
cos(n) (0)
(g) Soit n appartenant à N, montrer que : lim+ f (x) =
.
n+1
x→0
1
(h) Montrer que f est deux fois dérivable en 0 et que : f 00 (0) = − ,
3
puis montrer que f est de classe C 2 sur R+ .
0≤2k+1≤n
Problème 2.
Les polynômes de Tchebychev de première espèce (Tn )n∈N sont définis par la relation :
∀n ∈ N, ∀θ ∈ R, Tn (cos(θ)) = cos(nθ).
(n)
(i) Montrer que pour tout entier naturel n, f est de classe C n sur
préciser la valeur de f (n) (0).
Nous avons donc montré que f est de classe C ∞ sur
3. Expression des dérivées successives de f sur
R
R+
On ne demande pas de justifier l’existence et l’unicité de la famille de polynômes
définie par cette relation.
1. Polynômes de première espèce
(a) Déterminer T0 , T1 , T2 et T3 .
(b) En remarquant que pour tout réel θ, on a einθ = (eiθ )n , montrer que :
X n ∀n ∈ N, Tn =
(X 2 − 1)k X n−2k .
2k
et
R+ .
∗
+.
(a) Montrer que pour tout entier naturel k :
0≤k≤n/2
∀x ∈ R , sin
∗
+
(k)
π
(x) = sin x + k .
2
(c) Montrer que la suite (Tn )n∈N vérifie la relation de récurrence :
∀n ∈ N, Tn+2 = 2XTn+1 − Tn .
1
(b) Considérons la fonction inverse b : x 7−→ .
x
Montrer que pour tout entier naturel k :
∀x ∈ R∗+ , b(k) (x) =
En déduire, pour tout entier naturel n, le degré et le coefficient dominant
de Tn . Retrouver ce résutat avec l’expression de la question 1.b.
(d) Montrer que, pour tout entier naturel n, le polynôme Tn est scindé sur
R, à racines simples appartenant à ] − 1, 1[. Déterminer les racines de
Tn .
2. Polynômes de deuxième espèce
On définit les polynômes (Un )n∈N de Tchebychev de deuxième espèce par :
(−1)k k!
.
xk+1
(c) Pour n appartenant à N, exprimer la dérivée nème de f en fonction des
dérivées successives des fonctions sin et b,
et en déduire que :
∀x ∈ R∗+ , f (n) (x) =
1
xn+1
∀n ∈ N, Un =
n X
n
k=0
π k
(−1)n−k (n − k)! sin x + k
x .
k
2
1
T0 .
n + 1 n+1
(a) Montrer que :
(d) Soit k appartenant à N, x appartenant à R∗+ .
Exprimer sin(2k) (x) en fonction de sin(x) et de k, puis sin(2k+1) (x) en
fonction de cos(x) et de k.
∀n ∈ N, ∀θ ∈ R \ π Z, Un (cos θ) =
(b) En déduire les propriétés suivantes :
2
sin((n + 1)θ)
.
sin θ
i. La suite (Un )n∈N vérifie la même relation de récurrence que la suite
(Tn )n∈N .
ii. Pour tout entier naturel n, le polynôme Un est scindé sur R à racines
simples appartenant à ] − 1, 1[. Déterminer les racines de U .
3. Division euclidienne
(a) Montrer que :
Tm .Tn =
i. On suppose m < n < 3m. Montrer que :
Qn,m = 2Tn−m et Rn,m = −T|n−2m|
ii. Déterminer Qn,m et Rn,m lorsque n est de la forme (2p + 1)m avec
p ∈ N∗ .
1
(Tn+m + Tn−m ) pour tous entiers 0 ≤ m ≤ n
2
iii. On suppose que m > 0 et que n n’est pas le produit de m par un
entier impair. Montrer qu’il existe un unique entier p ≥ 1 tel que
|n − 2pm| < m et que :
1
(Un+m−1 + Un−m−1 ) pour tous entiers 0 ≤ m < n
2
(b) Pour m et n entiers naturels tels que m ≤ n, on se propose de déterminer
le quotient Qn,m et le reste Rn,m de la division euclidienne de Tn par
Tm .
Tm .Un−1 =
Qn,m = 2(Tn−m −Tn−3m +· · ·+(−1)p−1 Tn−(2p−1)m ) et Rn,m = (−1)p T|n−2pm|
3