Institut für Angewandte Mathematik 24.04.2015 Universität

Institut für Angewandte Mathematik
Universität Heidelberg
Prof. Ekaterina Kostina
24.04.2015
Übungen Nr. 2 zur Numerik 0
Sommersemester 2015
Aufgabe 1.1: (4 + 2 Punkte) Für n ∈ N und x = 1/n ∈ R betrachten wir die folgenden
beiden Verfahren zur Berechnung von ck = cos(kx), k = 0, . . . , n:
Algorithmus A:
Algorithmus B:
c0 := 1, c1 := cos(x)
ck+1 := 2c1 ck − ck−1 ,
k = 1, . . . , n − 1
c0 := 1, d0 := −2 sin2 (x/2)
)
ck := ck−1 + dk−1
k = 1, . . . , n
dk := 2d0 ck + dk−1
a) Zeigen Sie mit Hilfe der Additionstheoreme (für trigonometrische Funktionen), dass
beide Algorithmen das Ergebnis ck = cos(kx) liefern (2 Bonuspunkte).
b) Man untersuche die Kondition der Berechnung von ck+1 aus den Größen ck und ck−1 in
Abhängigkeit von k und x bei Algorithmus A. Der Wert c1 kann hierbei als störungsfrei
angenommen werden.
c) Man begründe, warum einer der beiden Algorithmen wesentlich stabiler ist als der
andere.
Aufgabe 1.2: (4 Punkte)
Auf der Gruppe GLn (R) der regulären (n, n)-Matrizen ist die Inversion
Inv : GLn (R) → GLn (R)
A → Inv(A) = A−1
definiert. Man berechne in erster Näherung den Fehler ∆Inv = (A0 + ∆A)−1 − A−1
0 der
Inversion A−1
,
den
eine
Störung
∆A
der
Ausgangsmatrix
A
verursacht,
also
die
Rich0
0
tungsableitung von Inv an der Stelle A0 in Richtung ∆A:
.
∆Inv =
∂
Inv(A0 )[∆A].
∂A
Hinweis: Für alle A ∈ GLn (R) gilt A · Inv(A) = In , wobei In die Einheitsmatrix ist.
Bitte wenden!
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Aufgabe 1.3: (4 Punkte)
a) Man zeige, dass zu beliebiger Vektornorm k · k : Rn → R+ durch die Vorschrift
kAk :=
kAxk
x∈Rn , x6=0 kxk
sup
für A ∈ Rn×n eine verträgliche Matrizennorm gegeben ist.
b) Man zeige, dass die Frobeniusnorm
kAkF :=
n
X
! 12
a2ij
,
i,j=1
von keiner Vektornorm induziert sein kann.
Hinweis zu a): Zu zeigen sind die Eigenschaften: Norm, Matrizennorm, verträgliche Norm.
Aufgabe 1.4 (Praktische Aufgabe): Man schreibe ein Programm zur Berechnung der
reellen Lösungen der quadratischen Gleichung
p(x) = ax2 + bx + c = 0,
zu gegebenen a, b, c ∈ R . Es sollen alle möglichen Fälle der Degenerierung (z.B. a = 0)
berücksichtigt und der Einfluss des Rundungsfehlers minimiert werden. Man erprobe das
Programm anhand der folgenden Fälle:
a:
0 0 0 0 2 2
2
4
1
1 1 −1 −1 −4 −1 −4 −1 −1 2, 5 · 109
b:
0 0 1 2 0 0
0
2
2
2 2
0
0
0
2
8
c:
0 1 0 1 0 1 −4 0 −3 1 2
0
−1
2
0
12 −1 −5
2
2
−105
1
Die berechneten Lösungen sollen akzeptiert werden, wenn das heuristische Kriterium
p(˜
z) 0
< 10−12
p (˜
z )˜
z
erfüllt ist. Hierzu überlege man sich zunächst, dass zu einer einfachen Nullstelle z 6= 0 in
erster Näherung die folgende Abschätzung gilt:
z˜ − z p(˜
˙ z) ≤ 0
.
z
p (z)z
(Hinweis: Die Überlegung ist leichter als sie aussieht; Taylor-Entwicklung.)
Abgabe: am 29.04. in der Vorlesung, oder am 30.04 um 14 Uhr in Zi. 219, oder 220, URZ
(INF 293); die praktischen Aufgaben bis zum 08.05 in den praktischen Übungen
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