דף בעיות בנושא פונקציות אריתמטיות

‫דף בעיות בנושא פונקציות אריתמטיות‬
‫אופיר גורודצקי‪ ,‬יוני ‪2013‬‬
‫לכל הערה‪/‬הארה‪/‬אבחנה‪:‬‬
‫‪bambaman1@gmail.com‬‬
‫פונקציה אריתמטית היא פונקציה מהטבעיים למרוכבים‪ .‬אפשר להגדיר את חוג הפונקציות האריתמטיות‪ :‬חיבור‬
‫)‪ (+‬מוגדר בו באופן נקודתי‪ ,‬והכפל מוגדר ע"י קונבולוציה )∗( ־‬
‫‪def‬‬
‫)‪f (i)g(j), (f + g)(n) = f (n) + g(n‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ij=n‬‬
‫‪def‬‬
‫= )‪∀n ∈ N : (f ∗ g)(n‬‬
‫‪ .1‬מבוא‪:‬‬
‫)א( הראו שכפל וחילוק מקיימים את חוקי החילוף והקיבוץ‪ .‬בנוסף הראו שמתקיים חוק הפילוג‪ ,‬ולכל‬
‫פונקציה יש הופכי חיבורי‪.‬‬
‫)ב( איזו פונקציה היא איבר האפס )איבר ניטרלי ביחס לחיבור(? איזו פונקציה היא איבר היחידה )איבר‬
‫ניטרלי ביחס לכפל(? האפס והיחידה יסומנו ב־‪ 0‬ו־‪ 1‬בהתאמה‪.‬‬
‫)ג( הוכיחו שאם ‪ 2 f, g‬פונקציות שאינן ‪ ,0‬אז ‪ f ∗ g‬גם אינה ‪.0‬‬
‫‪ 3‬הסעיפים האחרונים מראים שהפונקציות האריתמטיות מהוות תחום שלמות )חוג חילופי ללא מחלקי‬
‫אפס(‪.‬‬
‫)ד( אפיינו את הפונקציות ההפיכות )ביחס לכפל(‪ .‬הראו שאוסף הפונקציות הלא הפיכות סגור לחיבור‬
‫וכפל בסקלר‪ ,‬ושפונקציה כלשהי כפול פונקציה לא הפיכה היא פונקציה לא הפיכה‪.‬‬
‫במילים אחרות‪ ,‬האיברים הלא הפיכים מגדירים אידאל )מקסימלי!( והחוג הוא חוג מקומי‪.‬‬
‫)ה( הראו שאם ‪ f‬היא פונקציה אריתמטית שמקבלת ערכים שלמים ובנוסף }‪ ,f (1) ∈ {1, −1‬אז ההופכית‬
‫של ‪ f‬גם כן מקבלת ערכים שלמים‪.‬‬
‫מטריצות( עבור פונקציה אריתמטית ‪ f‬ומספר טבעי ‪ ,n‬נגדיר את המטריצה ‪ n × n‬הבאה‪:‬‬
‫)ו( )מימוש עם (‬
‫‪0‬‬
‫‪j-i‬‬
‫= ‪ .M (f )i,j‬הוכיחו שאם ‪ f ∗ g = h‬אז ‪ M (f )~g = ~h‬כאשר ‪~g = (g1 , · · · , gn )T‬‬
‫‪fj/i j | i‬‬
‫ו־ ‪ .~h = (h1 , · · · , hn )T‬הראו ש־‪ M (f ) · M (f −1 ) = I‬כאשר ‪ f‬הפיכה ו־ ‪ f −1‬ההופכית שלה )ביחס‬
‫לכפל(‪.‬‬
‫‪ .2‬פונקציות כפליות‪:‬‬
‫פונקציה אריתמטית נקראת כפלית אם היא מקיימת‪∀n, m ∈ N : gcd(n, m) = 1 =⇒ f (nm) = :‬‬
‫)‪.f (n)f (m‬‬
‫)א( הראו שחוג הפונקציות הכפליות הוא תת־חוג של חוג הפונקציות האריתמטיות‪ ,‬כלומר‪ :‬סגור לפעולות‬
‫הכפל והחיבור‪.‬‬
‫)ב( הראו שאם פונקציה אריתמטית כפלית היא הפיכה‪ ,‬אז גם ההופכית שלה כפלית‪.‬‬
‫)ג( הראו שאם ‪ f‬היא פונקציה כפלית אז ))‪ ,f (n)f (m) = f (gcd(n, m))f (lcm(n, m‬לכל ‪.n, m ∈ N‬‬
‫)ד( ?)ארדש( הוכיחו שפונקציה כפלית ‪ f‬שמקבלת ערכים חיוביים היא מונוטונית אמ"מ קיים ‪ α‬כך‬
‫ש־ ‪ f (n) = nα‬לכל ‪.n‬‬
‫‪ .3‬נגדיר ‪ 2‬פונקציות חשובות‪ :‬פונקציות זטא ־ הפונקציה הקבועה ‪ .∀n ∈ N : ζ(n) ≡ 1 :1‬פונקציית מביוס ־‬
‫ההופכית הכפלית של פונקצית זטא‪ ,‬כלומר הפיתרון של המשוואה ‪.µ ∗ ζ = 1‬‬
‫‪1‬‬
‫)א( הוכיחו ששתיהן כפליות‪ ,‬ומצאו נוסחה מפורשת לפונקציית מביוס‪.‬‬
‫‪k‬‬
‫)ב( הוכיחו‪ f :‬כפלית אמ"מ ‪ f ∗ µ‬כפלית אמ"מ ‪ f ∗ ζ‬כפלית‪ .‬הסיקו כי ‪d‬‬
‫כפלית לכל ‪.k‬‬
‫‪P‬‬
‫‪d|n‬‬
‫= )‪ σk (n‬היא פונקציה‬
‫)ג( השתמשו בסעיף הקודם כדי לחשב את ההופכית של הפונקציה ‪.∀n ∈ N : idk (n) = nk‬‬
‫‪ .4‬טורי דיריכלה‪:‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪−s‬‬
‫ˆ‬
‫אפשר להתאים לכל פונקציה אריתמטית ‪ f‬את טור דיריכלה הפורמלי ‪) f (s) = n=1 f (n)n‬נתייחס‬
‫לטור כאובייקט אלגברי ולא נעסוק בסוגיות של התכנסות(‪ .‬למען הנוחות נשמיט את ה"כובע" של ‪f (s)) f‬‬
‫יסמן את הטור ו־)‪ f (n‬את הפונקציה(‪.‬‬
‫)א( הראו שכפל )פורמלי( של טורי דיריכלה מתאים לכפל של פונקציות אריתמטיות‪ ,‬כלומר‪(f ∗ g)(s) = :‬‬
‫)‪.f (s)g(s‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪P‬‬
‫)ב( הראו ש ‪ f‬פונקציה כפלית אמ"מ ) ‪ .f (s) = p is prime ( r≥0 f (pr )p−rs‬מצאו הוכחה נוספת‬
‫ל־‪)2‬א‪,‬ב(‪.‬‬
‫)ג( הראו ש־‪ f 6= 0‬פונקציה כפלית לחלוטין ))‪ f (nm) = f (n)f (m‬לכל ‪ (n, m ∈ N‬אמ"מ‪:‬‬
‫‪− f (p)p−s )−1‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪p is prime (1‬‬
‫= ) ‪f (p)k p−ks‬‬
‫באופן פורמלי‪ .‬עבור ‪ f = ζ‬מקבלים את נוסחת אוילר‪− p−s )−1 :‬‬
‫להוכיח שיוויון )של מספרים ממשיים( עבור ‪?s > 1‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪p (1‬‬
‫=‬
‫‪P‬‬
‫‪k≥0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ns‬‬
‫‪Q‬‬
‫( ‪p is prime‬‬
‫= )‪f (s‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ . n≥1‬האם אתם יכולים‬
‫‪ .5‬היפוך מביוס‪:‬‬
‫)א( נתונות שתי פונקציות אריתמטיות ‪ f, g‬שמקיימות את היחס )‪g(d‬‬
‫את ‪ g‬כפונקציה של ‪) .f‬רמז‪(.f = g ∗ 1 :‬‬
‫‪P‬‬
‫‪d|n‬‬
‫= )‪ .∀n ∈ N : f (n‬הביעו‬
‫)ב( יהיו ‪ F, G‬פונקציות‬
‫מהממשיים החיוביים למרוכבים‪ ,‬שהקשר ביניהן הוא ) ‪F ( nx‬‬
‫‪P‬‬
‫הוכיחו כי ) ‪.F (x) = n≤x µ(n)G( nx‬‬
‫‪P‬‬
‫‪n≤x‬‬
‫= )‪.G(x‬‬
‫‪def‬‬
‫‪ .6‬פונקציית אוילר‪ ,φ ,‬מוגדרת בתור‪ .φ(n) = #{1 ≤ i ≤ n : gcd(i, n) = 1} :‬כלומר ‪ φ‬סופרת כמה‬
‫מספרים בין ‪ 1‬ל־‪ n‬זרים ל־‪.n‬‬
‫)א( הוכיחו ש־‪) .∀n ∈ N : (φ ∗ ζ)(n) = n‬רמז‪ :‬הסתכלו על השברים }‪ { ni |1 ≤ i ≤ n‬ביצוג מצומצם‪(.‬‬
‫)ב( הוכיחו כי ‪ φ‬פונקציה כפלית בעזרת הסעיף הקודם‪.‬‬
‫)ג( חשבו את ‪ φ‬על חזקות ראשוניים‪ ,‬ומצאו נוסחה מפורשת ל־‪.φ‬‬
‫)ד( חשבו את ההופכית של ‪.φ‬‬
‫‪r‬‬
‫)ה( מצאו את הפונקציה ‪ φr‬המקיימת ‪d|n φr (d) = n‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ ,∀n ∈ N :‬ואת ההופכית שלה‪.‬‬
‫‪) P‬בעזרת פונקציות אריתמטיות(‪ .‬האם יש דרך פשוטה‬
‫)ו( ? חשבו את סכום המספרים בין ‪ 1‬ל־‪ n‬הזרים ל‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫יותר? ומה בדבר הסכום הכללי ‪?Sk (n) = i=1,(i,n)=1 ik‬‬
‫)ז( חשבו את טור דיריכלה של ‪ φ‬במונחים של טור דיריכלה של ‪.ζ‬‬
‫‪ .7‬נגדיר‪.fk (n) = gcd(n, k) :‬‬
‫(‬
‫‪0‬‬
‫‪k<n‬‬
‫= )‪.(fk ∗ µ)(n‬‬
‫)א( הראו ש־ ‪ fk‬כפלית‪ ,‬וש־ ‪ .(fk ∗ µ)(n) = φ(n) · 1n|k‬בפרט‪,‬‬
‫‪φ(k) k = n‬‬
‫‪2‬‬
‫)ב( ?חשבו את הדטרמיננטה של המטריצה ‪ n × n‬הבאה‪.1 ≤ i, j ≤ n ,aij = gcd(i, j) :‬‬
‫‪P‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪k‬‬
‫)ג( הוכיחו כי ‪) .φ(n) = k=1 fk (n)e−2πi n‬רמז‪(.gcd(a, b) = d| gcd(a,b) φ(d) :‬‬
‫‪ ? .8‬קומבינטוריקה‪ :‬שרשרת מאורך ‪ n‬ב־‪ m‬צבעים היא מחרוזת באורך ‪ n‬שחרוזיה הם מספרים בין ‪ 0‬ל־‪m−1‬‬
‫)כולל(‪ .‬התו הראשון והאחרון מודבקים‪ ,‬כלומר אין לשרשרת התחלה או סוף‪ .‬לכן לדוגמא שתי המחרוזות‬
‫הבאות מייצגות אותה שרשרת‪.0111, 1011 :‬‬
‫)א( שרשרת תיקרא מחזורית אם היא מורכבת ממחרוזת קטנה יותר החוזרת על עצמה‪ ,‬לדוגמא‪0101 :‬‬
‫מחזורית ו־‪ 01010‬אינה מחזורית‪ .‬כמה שרשראות לא מחזוריות יש ב־‪ m‬צבעים ו־‪ n‬חרוזים?‬
‫)ב( ? כמה שרשראות שונות יש ב־‪ m‬צבעים ו־‪ n‬חרוזים?‬
‫‪P‬‬
‫)ג( נניח ו־ ‪ f‬מקיימת ‪ ,∀n ∈ N : d|n f (d) = mn‬עבור ‪ m‬טבעי כלשהו‪ .‬הראו ישירות‪ ,‬באמצעות חילוץ‬
‫‪ ,f‬שמתקיים )‪ n|f (n‬לכל ‪.n‬‬
‫‪P‬‬
‫‪Q‬‬
‫)ד( ? נניח ו־ ‪ f‬מקיימת ‪ ,∀n ∈ N : d|n f (d) p| n (1 − p) = mn‬עבור ‪ m‬טבעי כלשהו‪ .‬הראו ישירות‪,‬‬
‫‪d‬‬
‫באמצעות חילוץ ‪ ,f‬שמתקיים )‪ n|f (n‬לכל ‪.n‬‬
‫)ה( היפכו את סעיפים א' ו־ב' להוכחות קומבינטוריות ל־ג' ו־ד'‪.‬‬
‫)ו( היפכו את אחד הסעיפים הקודמים )לבחירתכם( להוכחה למשפט הקטן של פרמה‪ .‬בדומה‪ ,‬הסיקו גם‬
‫את משפט אוילר )‪ (gcd(a, n) = 1 =⇒ aφ(n) ≡ 1 mod n‬עבור ‪ n‬שהוא חזקה של ראשוני‪ .‬האם‬
‫אתם יכולים להוכיח את משפט אוילר עצמו מתוך כך?‬
‫)ז( ?תהי ‪ f‬פונקציה אריתמטית שמקבלת ערכים שלמים‪ .‬הוכיחו ששלושת התנאים הבאים שקולים‪:‬‬
‫‪pk |n =⇒ pk+1 |f (np) − f (n) .i‬‬
‫‪∀n ∈ N : n|(µ ∗ f )(n) .ii‬‬
‫‪∀n ∈ N : n|(φ ∗ f )(n) .iii‬‬
‫הבא‪ :‬אם ‪ A‬מטריצה ריבועית עם כניסות שלמות‪ ,‬אז‬
‫)ח( ? הכלילו את סעיפים ג' ו־ד'‬
‫‪P‬למטריצות באופן ‪P‬‬
‫המספרים ) ‪ d|n tr(Ad )µ( nd ), d|n tr(Ad )φ( nd‬מתחלקים ב־‪ .n‬נסו למצוא פירוש קומבינטורי‪.‬‬
‫)ט( ? מבין השרשראות ב־‪ m‬צבעים ו־‪ n‬חרוזים‪ ,‬נצטמצם לאלו שהצבע ‪ i‬מופיע בהן בדיוק ‪ ai‬פעמים‪.‬‬
‫כמה שרשראות שונות כאלו יש? וכמה שרשראות לא מחזוריות כאלו יש?‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2|n‬‬
‫‪0‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ .χ(n) = 1‬הוכיחו כי ‪ d|n χ(d) ≥ 0‬לכל ‪.n ≥ 1‬‬
‫‪ .9‬נגדיר את הקרקטר ‪ 1‬הבא‪n ≡ 1(4) :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪−1 n ≡ 3(4‬‬
‫הערה‪ χ ∗ ζ :‬סופרת את מספר ההצגות של מספר טבעי כסכומם של ‪ 2‬ריבועים‪.‬‬
‫‪ .10‬עוד מביוס‪:‬‬
‫‪P‬‬
‫)א( הוכיחו את הנוסחה הבאה‪ . n≤x µ(n)b nx c = 1 :‬האם אתם יכולים לתת לה הסבר תמציתי? )רמזים‪:‬‬
‫לחלק הראשון ־ ראו שאלה ‪ .13‬לחלק השני ־ ארטוסתנס‪(.‬‬
‫‪Pm‬‬
‫)‪ ,| n=1 µ(n‬לכל ‪ m‬טבעי‪.‬‬
‫)ב( באמצעות הסעיף הקודם‪ ,‬הראו ‪n | ≤ 1‬‬
‫הערה‪ :‬משפט המספרים הראשוניים‪ ,‬הגורס שכמות הראשוניים עד ‪ x‬אסימפטוטית ל־ ‪ , lnxx‬שקול לכך‬
‫∞‪P‬‬
‫)‪. n=1 µ(n‬‬
‫ש־‪n = 0‬‬
‫‪1‬‬
‫מהחבורה ×)‪ (Z/N Z‬למרוכבים‪ .‬פונקציה כזו‪ ,‬נסמנה ‪ ,χ‬אפשר להפוך לפונקציה אריתמטית באופן הבא‪:‬‬
‫קרקטר הוא פונקציה כפלית (‬
‫‪χ(n mod N ) gcd(n, N ) = 1‬‬
‫= )‪.f (n‬‬
‫‪0‬‬
‫‪gcd(n, N ) > 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫)ג( חשבו את )‪ d|n,(d,k)=1 µ(d‬ואת )‪. k|d|n µ(d‬‬
‫‪a‬‬
‫‪Pq‬‬
‫‪ .11‬סכומי רמנוג'אן‪ :‬נגדיר את הסכום הבא של שורשי יחידה‪e2πi q n :‬‬
‫החזקות ה־‪n‬־יות של שורשי היחידה הפרימיטיבים מסדר ‪(.q‬‬
‫(‬
‫‪Pn‬‬
‫‪k‬‬
‫‪0 q-n‬‬
‫)א( נגדיר ‪ .ηq (n) = k=1 e2πi q n‬הראו ש־‬
‫= )‪.ηq (n‬‬
‫‪n q|n‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫)ב( הראו ש־)‪ .ηq (n) = d|q cd (n‬הסיקו ש־‪ .cq (n) = d|(q,n) µ( dq )d‬בפרט‪.cq (1) = µ(q) ,‬‬
‫‪a=1,gcd(a,q)=1‬‬
‫= )‪) cq (n‬סכום‬
‫)ג( הראו ש־)‪ cq (n‬כפלית כפונקציה של ‪ n) q‬קבוע(‪ .‬חשבו את ‪ cq‬על ראשוניים וחזקות ראשוניים‪ ,‬והסיקו‪:‬‬
‫)‪φ(q‬‬
‫‪q‬‬
‫)‬
‫)‪gcd(q,n‬‬
‫‪q‬‬
‫)‪cq (n) = µ( gcd(q,n‬‬
‫(‪) φ‬‬
‫‪ ? .12‬מבנה של שדה סופי‪ :‬נסתכל על שדה סופי ‪ ,Fp‬כאשר ‪ p‬ראשוני‪ .‬נסמן ב־ ‪ ad‬את מספר הפתרונות ל‪xd = 1‬‬
‫בשדה‪.‬‬
‫)א( חשבו את ‪ .ap−1‬מתוך כך חשבו את ‪ ad‬לכל ‪.d|p − 1‬‬
‫‪i‬‬
‫)ב( עבור ‪ ,d|p − 1‬חשבו את מספר הפתרונות ל־‪ xd = 1‬שאינם פתרונות ל־‪ x = 1‬עבור ‪ .i < d‬הסיקו‬
‫ש ‪ F∗p‬חבורה ציקלית‪ ,‬כלומר יש לה יוצר )איבר שסדרו כסדר החבורה‪ ,‬כלומר תת־החבורה הציקלית‬
‫הנוצרת על־ידו היא החבורה עצמה(‪.‬‬
‫)ג( חשבו‪ ,‬מודולו ‪ ,p‬את סכום היוצרים של ‪) F∗p‬ידועים גם בתור "שורשים פרימיטיביים"(‪ .‬ומה בדבר סכום‬
‫הריבועים שלהם?‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫)ד( ?תזכורת‪ Fpn :‬הוא שדה הפיצול של ‪ ,xp − x‬כלומר השדה הקטן ביותר שמכיל את שורשי ‪,xp − x‬‬
‫ולמעשה איבריו הם בדיוק השורשים הללו‪ .‬היווכחו בכך שהוא מכיל שורשים של כל פולינום אי־פריק‬
‫ממעלה ‪ n‬מעל ‪ .Fp‬היווכחו בכך ש־ ‪ Fpn ⊆ Fpm‬אמ"מ ‪ .n|m‬חשבו את מספר האיברים שנמצאים‬
‫בשדה ‪ Fpn‬ולא נמצאים באף תת־שדה שלו‪ .‬הסיקו מכך את מספר הפולינומים האי־פריקים ממעלה‬
‫‪ n‬מעל ‪.Fp‬‬
‫)ה( ?פיתרו את הסעיף הקודם בעזרת שאלה ‪)8‬א(‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫)ו( ? הוכיחו שלמשוואה ‪) xp = x‬בסגור האלגברי ‪ (Fp‬יש ‪ p‬פתרונות שונים שמהווים שדה‪ ,‬למעשה‬
‫‪n‬‬
‫את השדה ‪ .Fpn‬הסיקו שהפולינום ‪ xp − x‬הוא מכפלת כל הפולינומים האי־פריקים מעל ‪ Fp‬ממעלה‬
‫המחלקת את ‪.n‬‬
‫)ז( חשבו‪ ,‬בעזרת הסעיף הקודם‪ ,‬את מכפלת הפולינומים האי־פריקים מעל ‪ Fp‬ממעלה בדיוק ‪.n‬‬
‫‪ .13‬אסימפטוטיקה‪:‬‬
‫פונקציות אריתמטיות‪.‬‬
‫)א( יהיו ‪P f, g‬‬
‫)‪ . n≤x g(n‬הוכיחו כי‬
‫‪P‬‬
‫= )‪F (x‬‬
‫= )‪∗ g)(n‬‬
‫‪P‬‬
‫נסמן ב־‪ F, G‬את הפונקציות = )‪f (n), G(x‬‬
‫) ‪g(n)F ( nx‬‬
‫‪n≤x‬‬
‫‪P‬‬
‫= ) ‪f (n)G( nx‬‬
‫‪P‬‬
‫‪n≤x‬‬
‫‪n≤x‬‬
‫‪n≤x (f‬‬
‫מה קורה כאשר ‪ g) g = ζ‬זהותית ‪?(1‬‬
‫)ב( נגדיר את פונקציית מספר המחלקים‪1 :‬‬
‫‪P‬‬
‫‪d|n‬‬
‫= )‪ .d(n‬הראו בעזרת הסעיף הקודם כי‬
‫)‪d(i) = n ln n + O(n‬‬
‫‪4‬‬
‫‪P‬‬
‫‪i≤n‬‬
‫)ג( )דיריכלה( שיפור של )א(‪ :‬הראו כי אם ‪ U V = x‬אזי‪:‬‬
‫) ‪F ( xb )g(b) − F (U )G(V‬‬
‫‪b≤V‬‬
‫‪P‬‬
‫‪f (a)G( xa ) +‬‬
‫‪P‬‬
‫‪a≤U‬‬
‫= )‪∗ g)(n‬‬
‫‪P‬‬
‫‪n≤x (f‬‬
‫)רמז‪ :‬למשפט קוראים 'שיטת ההיפרבולה'‪(.‬‬
‫‪0.5‬‬
‫)ד( השתמשו בסעיף הקודם כדי להראות שהשגיאה בסעיף )ב( היא )‬
‫‪.C‬‬
‫‪P‬‬
‫)ה( נגדיר את פונקציית סכום המחלקים‪ .σ(n) = d|n d :‬הוכיחו כי‪:‬‬
‫‪ ,Cn + O(n‬עבור קבוע אבסולוטי‬
‫)‪σ(i) = 21 ζ(2)n2 + O(n log n‬‬
‫‪P‬‬
‫‪i≤n‬‬
‫‪P‬‬
‫‪π2‬‬
‫‪1‬‬
‫= )‪ .ζ(2‬חישוב ערך זה של פונקציית זטא נקרא 'בעיית בזל'‪ ,‬על שם‬
‫הערה‪:‬‬
‫‪n≥1 n2 = 6‬‬
‫עיר בשוויץ בה )בין השאר( נוסדה מדינת היהודים ונולד אוילר‪ ,‬שלימים פתר את הבעיה‪ .‬להוכחות‬
‫אלמנטריות פנו למאמר ‪. http://empslocal.ex.ac.uk/people/sta/rjchapma/etc/zeta2.pdf‬‬
‫‪P‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪) . i≤n φ(i) = 2ζ(2‬רמז‪ :‬השתמשו ב)א( עם ‪ f, g‬כך ש־‪(.f ∗ g = φ‬‬
‫)ו( הוכיחו כי )‪n2 + O(n log n‬‬
‫)ז( חשבו את ההסתברות ששני מספרים טבעיים 'אקראיים' הם זרים‪ ,‬במובן הבא‪:‬‬
‫}‪#{(n,m):1≤n,m≤N,gcd(n,m)=1‬‬
‫‪N2‬‬
‫∞→ ‪.limN‬‬
‫)ח( חשבו את ההסתברות שמספר טבעי 'אקראי' הוא נטול ריבועים‪ ,‬במובן הבא‪:‬‬
‫}‪#{1≤n≤N :µ(n)6=0‬‬
‫‪N‬‬
‫∞→ ‪.limN‬‬
‫‪ .14‬תורת המספרים‪:‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪2πi‬‬
‫)א( נגדיר סדרה של פולינומים באופן הבא‪ φn (x) = 0≤i<n,gcd(i,n)=1 (x − wni ) :‬כאשר ‪.wn = e n‬‬
‫נמצאים על מעגל היחידה ־ הם בדיוק‬
‫פולינומים אלו נקראים פולינומים ציקלוטומיים )כי שורשיהם ‪Q‬‬
‫שורשי היחידה מסדר ‪ n‬בדיוק(‪ .‬הראו ש־‪. d|n φd (x) = xn − 1‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪n‬‬
‫)ב( הראו ש־ ) ‪ .φn (x) = d|n (xd − 1)µ( d‬הסיקו שלפולינומים הללו יש מקדמים רציונליים‪ .‬האם אתם‬
‫יכולים להראות שיש להם מקדמים שלמים?‬
‫)ג( סדרת פיבונאצ'י מוגדרת באופן הבא‪ F0 = 0, F1 = 1 :‬ו־ ‪ Fn = Fn−1 + Fn−2‬עבור ‪ .n ≥ 2‬הראו‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪−φ‬‬
‫‪ ,Fn = φφ−φ‬כאשר ‪ φ, φ‬שורשי המשוואה הריבועית ‪.x2 = x + 1‬‬
‫ש־‬
‫‪Q‬‬
‫)ד( הראו שקיימת סדרה ‪ {Gd }d≥1‬של מספרים טבעיים כך ש־ ‪ Fn = d|n Gd‬לכל ‪ .n ∈ N‬סדרה זו‬
‫נקראת "החלק הפרימיטיבי של פיבונאצ'י"‪.‬‬
‫)ה( הראו שלכל סדרה ‪ {an }n≥1‬של‪Q‬מספרים שלמים כך ש־ )‪ gcd(an , am ) = a(n,m‬קיימת סדרה‬
‫‪ {bn }n≥1‬של שלמים כך ש־ ‪.n ∈ N : an = d|n bd‬‬
‫‪5‬‬