הורדה

‫מבוא לטופולוגיה‬
‫‪ 2‬ביולי ‪2014‬‬
‫‪.‬‬
‫מבוסס על הרצאות פרופ' תמי ציגלר‬
‫בקורס "מבוא לטופולוגיה" )‪(80516‬‬
‫האוניברסיטה העברית‪ ,‬סמסטר ב' ‪2014‬‬
‫להערות‪nachi.avraham@gmail.com :‬‬
‫נחי‬
‫תודה לכל מי ששלח הערות ותיקונים‪ ,‬ובמיוחד ל‪:‬‬
‫נריה גושן‪ ,‬עודד הייננמן‪ ,‬רון מור‪ ,‬אוריאל עצמון‪ ,‬רון קסטל‪ ,‬דוד רייטבלט וקרן שרייבר‬
‫‪1‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫‪I‬‬
‫מרחבים מטריים‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫מרחב מטרי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫מרחבי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rn‬‬
‫‪1.1‬‬
‫מרחבי )]‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C ([a, b‬‬
‫‪1.2‬‬
‫מכפלת מרחבים מטריים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫פתיחות במרחב מטרי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ II‬מרחבים טופולוגיים‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫טופולוגיה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫בסיס טופולוגי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪4.1‬‬
‫מרחבים טופולוגיים מיוחדים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫צמצום של מרחב טופולוגי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪5.1‬‬
‫מכפלת מרחבים טופולוגיים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪5.2‬‬
‫סגירות במרחב טופולוגי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫סגור‪ ,‬פנים ושפה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪6.1‬‬
‫רציפות במרחב טופולוגי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫הגדרות שקולות לרציפות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪7.1‬‬
‫הומאומורפיזם ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪7.2‬‬
‫‪ III‬הפרדה‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫‪11‬‬
‫אקסיומות הפרדה‬
‫הלמה של אוריסון‬
‫אקסיומות המניה‬
‫משפט המטריזציה‬
‫‪. .‬‬
‫‪. .‬‬
‫‪. .‬‬
‫של‬
‫‪. . . . .‬‬
‫‪. . . . .‬‬
‫‪. . . . .‬‬
‫אוריסון‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪18‬‬
‫‪22‬‬
‫‪24‬‬
‫‪25‬‬
‫‪27‬‬
‫קשירות של איחוד ומכפלה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫קשירות מקומית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫קשירות מסילתית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ V‬קומפקטיות‬
‫‪15‬‬
‫‪16‬‬
‫‪17‬‬
‫‪18‬‬
‫‪19‬‬
‫‪20‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫‪11‬‬
‫‪13‬‬
‫‪14‬‬
‫‪14‬‬
‫‪17‬‬
‫‪18‬‬
‫‪ IV‬קשירות‬
‫‪12‬‬
‫‪13‬‬
‫‪14‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪28‬‬
‫‪30‬‬
‫‪31‬‬
‫‪34‬‬
‫קומפקטיות במרחבים מטריים ‪. . . .‬‬
‫קומפקטיות ורציפות בממשיים ‪. . . .‬‬
‫משפט טיכונוף ‪. . . . . . . . . . . . .‬‬
‫קומפקטיות במרחבי פונקציות רציפות‬
‫קומפקטיות במרחבי האוסדורף ‪. . . .‬‬
‫קומפקטיפיקציה ‪. . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪36‬‬
‫‪39‬‬
‫‪40‬‬
‫‪43‬‬
‫‪43‬‬
‫‪44‬‬
‫‪ VI‬דלילות )‪(nowhere dense‬‬
‫‪ 21‬משפט הקטגוריה של בייר ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪46‬‬
‫‪ VII‬מרחבי מנה‬
‫‪48‬‬
‫‪ VIII‬החבורה היסודית‬
‫‪22‬‬
‫‪23‬‬
‫‪24‬‬
‫‪25‬‬
‫‪26‬‬
‫‪27‬‬
‫‪46‬‬
‫‪51‬‬
‫הומוטופיה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫שרשור ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫החבורה היסודית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫החבורות היסודיות של מרחבים הומאומורפיים ‪. . . . . . . . . . .‬‬
‫‪24.1‬‬
‫מרחבי כיסוי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫הרמה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪25.1‬‬
‫החבורה היסודית של המעגל ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫מסקנה‪ :‬המשפט היסודי של האלגברה ‪. . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪26.1‬‬
‫מסקנה‪ :‬משפט נקודת השבת של בראואר ‪. . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪26.2‬‬
‫∼‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R2 6‬‬
‫‪26.3‬‬
‫מסקנה‪= R3 :‬‬
‫משפט זייפרד ‪ -‬ואן־קמפן ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪51‬‬
‫‪53‬‬
‫‪54‬‬
‫‪57‬‬
‫‪58‬‬
‫‪59‬‬
‫‪61‬‬
‫‪62‬‬
‫‪62‬‬
‫‪63‬‬
‫‪63‬‬
‫חלק‬
‫‪I‬‬
‫מרחבים מטריים‬
‫מרחב מטרי‬
‫‪1‬‬
‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ X‬קבוצה‪ .‬נאמר שהפונקציה ‪ d : X × X → R‬היא מטריקה או פונקציית‬
‫מרחק מעל ‪ ,X‬אם לכל ‪ x, y, z ∈ X‬מתקיימים שלושת התנאים הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬סימטריה‪d (x, y) = d (y, x) :‬‬
‫‪ .2‬חיוביות‪ ,x 6= y =⇒ d (x, y) > 0 :‬וגם ‪d (x, x) = 0‬‬
‫‪ .3‬אי־שוויון המשולש‪d (x, z) ≤ d (x, y) + d (y, z) :‬‬
‫הגדרה‪ :‬הזוג )‪ (X, d‬נקרא מרחב מטרי‪ ,‬כאשר ‪ X‬קבוצה ו‪ d-‬מטריקה‪.‬‬
‫הערה‪ :‬אם )‪ (X, d‬מרחב מטרי וכן ‪ ,Y ⊂ X‬מתקבל תת־מרחב מטרי ) ‪ ,(X, dY‬כאשר‬
‫‪ dY = d : Y × Y → R‬היא הצמצום של ‪ d‬ל‪.Y -‬‬
‫מטרי הוא קבוצה ‪ X‬כלשהי עם המטריקה הדיסקרטית‪,‬‬
‫דוגמה‪ :‬דוגמה בסיסית למרחב (‬
‫‪1 x 6= y‬‬
‫= )‪ .d (x, y‬קל לוודא שזו אכן מטריקה‪.‬‬
‫המוגדרת‬
‫‪0 x=y‬‬
‫‪1.1‬‬
‫מרחבי ‪Rn‬‬
‫‪n‬‬
‫ניתן להגדיר את ‪ R‬כמרחב מטרי‪ ,‬למשל באמצעות אחת משלוש המטריקות הבאות‪:‬‬
‫)מסמנים ‪ x, y ∈ Rn‬על־ידי ) ‪(y = (y1 , ..., yn ) ,x = (x1 , ..., xn‬‬
‫‪ .1‬מטריקת ‪|xi − yi | :L1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪dL1 (x, y‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪! 21‬‬
‫‪ .2‬מטריקת ‪:L2‬‬
‫‪2‬‬
‫| ‪|xi − yi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪dL2 (x, y‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪ .3‬מטריקת ∞‪dL∞ (x, y) = max |xi − yi | :L‬‬
‫‪1≤i≤n‬‬
‫תרגיל‪ :‬להוכיח שהפונקציות ∞‪ L1 , L2 , L‬הנ"ל הן אכן מטריקות‪) .‬יש להשתמש באי־שוויון‬
‫קושי שוורץ במקרה של ‪.(L2‬‬
‫הערה‪ :‬ניתן להגדיר באופן דומה מטריקת ‪ Lp‬לכל ‪.1 ≤ p‬‬
‫הערה‪" :‬כדור היחידה" הוא אוסף הנקודות ב‪ Rn -‬שמרחקן מהנקודה )‪ (0, 0‬הוא ‪ .1‬מושג‬
‫המרחק שונה בין שלוש המטריקות שהגדרנו‪ ,‬ולכן כדור היחידה משתנה בהתאם‬
‫למטריקה‪.‬‬
‫נתבונן למשל בכדור היחידה במרחב ‪:R2‬‬
‫• תחת ‪ L1‬כדור היחידה הוא הווקטורים )‪ (x, y‬המקיימים ‪.|x| + |y| < 1‬‬
‫‪4‬‬
‫– במערכת צירים קרטזית הגרף של שפת הכדור יהיה ריבוע ‪ 1 × 1‬סביב‬
‫הראשית‪ ,‬שקודקודיו על הצירים )♦(‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫• תחת ‪ L2‬כדור היחידה הוא הווקטורים )‪ (x, y‬המקיימים ‪.|x| + |y| < 1‬‬
‫– במערכת צירים קרטזית הגרף של שפת הכדור יהיה מעגל ברדיוס ‪ 1‬סביב‬
‫הראשית )⊕(‪.‬‬
‫• תחת ∞‪ L‬כדור היחידה הוא הווקטורים )‪ (x, y‬המקיימים ‪.max {|x| , |y|} < 1‬‬
‫– במערכת צירים קרטזית הגרף של שפת הכדור יהיה ריבוע ‪ 1 × 1‬סביב‬
‫הראשית‪ ,‬שאמצעי צלעותיו על הצירים )(‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬בהינתן קבוצה ‪ X‬ומטריקות ‪ d1 , d2‬עליה‪ ,‬אומרים כי המטריקות הללו שקולות‪ ,‬אם‬
‫קיימים קבועים ‪ A, B ∈ R‬כך שלכל ‪ x, y ∈ X‬מתקיים )‪d1 (x, y) ≤ A · d2 (x, y‬‬
‫וכן )‪.d2 (x, y) ≤ B · d1 (x, y‬‬
‫תרגיל‪:‬‬
‫‪ .1‬להוכיח שכל הנורמות במרחב סוף־ממדי ‪ V‬הן שקולות‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .2‬להסיק שהמטריקות ∞‪ L1 , L2 , L‬במרחב ‪ Rn‬שקולות‪ ,‬על־ידי כך שהן מושרות‬
‫בהתאמה מהנורמות‪:‬‬
‫‪! 12‬‬
‫| ‪kvk∞ = max |vi‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1≤i≤n‬‬
‫‪i=1‬‬
‫במרחב ‪.Rn‬‬
‫‪1.2‬‬
‫| ‪|vi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪kvk2‬‬
‫| ‪|vi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪kvk1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪2‬‬
‫מרחבי )]‪C ([a, b‬‬
‫הגדרה‪ C ([a, b]) :‬הוא מרחב הפונקציות הרציפות מהצורה ‪.a, b ∈ R ,f : [a, b] → R‬‬
‫גם מרחב זה יכול להיות מוגדר כמרחב נורמי‪ ,‬וממילא גם כמרחב מטרי‪ ,‬למשל על־ידי‬
‫אחת הנורמות הבאות‪:‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫= ‪kf k1‬‬
‫‪|f (x)| dx .1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ b‬‬
‫‪ 21‬‬
‫ˆ‬
‫‪2‬‬
‫‪kf k2 =  |f (x)|  .2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪kf k∞ = max |f (x)| .3‬‬
‫]‪x∈[a,b‬‬
‫תרגיל‪ :‬להוכיח שאלו אכן נורמות‪) .‬יש להשתמש באי־שוויון המשולש של המכפלה הפנימית‬
‫‪´b‬‬
‫‪ hf, gi = a f (x) g (x) dx‬במקרה של ‪.(k·k2‬‬
‫‪1‬כאשר שקילות של נורמות מוגדרת באופן אנלוגי לגמרי לשקילות של מטריקות‪.‬‬
‫‪2‬כל נורמה ‪ k·k‬במרחב וקטורי ‪ V‬משרה גם מטריקה במרחב‪ ,‬על־ידי ‪.∀x,y∈V d (x, y) =: kx − yk‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫מכפלת מרחבים מטריים‬
‫הגדרה‪ :‬יהיו ) ‪ (Y, dY ) ,(X, dX‬מרחבים מטריים‪ .‬ניתן לקבל מהם מרחב מטרי חדש‬
‫)‪ ,(X × Y, ρ‬כאשר מגדירים מטריקה ‪ ρ : (X × Y ) × (X × Y ) → R‬להיות‪:‬‬
‫) ‪ρ ((x, y) , (x0 , y 0 )) = d (x, x0 ) + d (y, y 0‬‬
‫‪Qn‬‬
‫‪n‬‬
‫הגדרה‪ :‬יהיו ‪ {(Xi , di )}i=1‬מרחבים מטריים‪ .‬נסמן ‪Xi =: X1 × X2 × ... × Xn‬‬
‫)כקבוצה(‪.‬‬
‫‪Qn‬‬
‫‪Qn‬‬
‫‪Q‬מטרי חדש )‪ ,( i=1 Xi , ρ‬כאשר מגדירים מטריקה ×) ‪ρ : ( i=1 Xi‬‬
‫ניתן לקבל מרחב‬
‫‪n‬‬
‫‪ ( i=1 Xi ) → R‬להיות‪:‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪n‬‬
‫‬
‫‪ 0‬‬
‫‪ X‬‬
‫‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ρ (x1 , ..., xn ) , x1 , ..., xn‬‬
‫=‬
‫‪di xi , xi‬‬
‫‪i=1‬‬
‫הערה‪ :‬הגדרנו כאן "מטריקת ‪ ,"1‬אולם ניתן גם להגדיר "מטריקת ‪ "2‬או "מטריקת ∞"‬
‫בקבוצה זו ברוח המטריקות השקולות ‪ L‬שהגדרנו לעיל‪ ,‬וגם כאן כולן יהיו שקולות‪.‬‬
‫∞‬
‫ניתן לקבל מהם מרחב מטרי‬
‫הגדרה‪ :‬יהיו ‪)}i=1‬‬
‫בסימון הקודם‪Q∞ ,‬‬
‫‪ {(Xi , diQ‬מרחבים מטריים‪Q∞ .‬‬
‫∞‬
‫)‪ ,( i=1 Xi , ρ‬עם מטריקה ‪ ρ : ( i=1 Xi ) × ( i=1 Xi ) → R‬המוגדרת‪:‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫) ‪di (xi , yi‬‬
‫‪1‬‬
‫·‬
‫= )‪ρ (x, y‬‬
‫) ‪i 1 + d (x , y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i i‬‬
‫‪i=1‬‬
‫כאשר מסמנים )‪.y = (y1 , y2 , ...) ,x = (x1 , x2 , ...‬‬
‫נשים לב כי ‪≤ 1‬‬
‫) ‪di (xi ,yi‬‬
‫) ‪1+di (xi ,yi‬‬
‫תמיד ולכן הביטוי שהגדרנו הוא טור ממשי מתכנס‪.‬‬
‫תרגיל‪ :‬להוכיח שההגדרה האחרונה אכן מגדירה מטריקה‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬ניקח את הקבוצה }‪ {0, 1‬עם המטריקה הדיסקרטית ‪ .d‬אז עבור הקבוצה × }‪{0, 1‬‬
‫∞‪P‬‬
‫)‪.ρ (x, y) = i=1 d(x,y‬‬
‫‪ {0, 1} × ...‬ניתן להגדיר מטריקה ‪ ρ‬למשל על־ידי‬
‫‪2i‬‬
‫תחת מטריקה זו‪ ,‬זוג נקודות בקבוצת המכפלה יהיו יותר קרובות ככל שיהיו להן‬
‫רישאות זהות ארוכות יותר‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫פתיחות במרחב מטרי‬
‫הגדרה‪ :‬יהי )‪ (X, d‬מרחב מטרי‪ ,‬תהי ‪ x ∈ X‬ויהי ‪ .0 < r ∈ R‬כדור פתוח סביב ‪ x‬ברדיוס‬
‫‪ r‬הוא הקבוצה }‪.Br (x) =: {y ∈ X|d (x, y) < r‬‬
‫הגדרה‪ :‬יהי )‪ (X, d‬מרחב מטרי‪ .‬אומרים כי ‪ U ⊂ X‬היא קבוצה פתוחה‪ ,‬אם היא איחוד‬
‫כלשהו של כדורים פתוחים‪.‬‬
‫טענה‪ :‬איחוד כלשהו של קבוצות פתוחות הוא קבוצה פתוחה‪ .‬חיתוך של מספר סופי של‬
‫קבוצות פתוחות הוא קבוצה פתוחה‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫חלק‬
‫‪II‬‬
‫מרחבים טופולוגיים‬
‫‪4‬‬
‫טופולוגיה‬
‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ X‬קבוצה כלשהי ותהי )‪ 3 ,T ⊂ P (x‬כלומר ‪ T‬היא אוסף כלשהו של תתי־‬
‫קבוצות של ‪.X‬‬
‫אומרים כי ‪ T‬היא טופולוגיה על ‪ ,X‬אם מתקיימות כל התכונות הבאות‪:‬‬
‫‪ ∅ ∈ T .1‬וכן ‪.X ∈ T‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ {Uα }α∈I‬ל‪ I-‬קבוצת אינדקסים כלשהי‪ ,‬מקיימת ‪ ,Uα ∈ T‬אזי גם‬
‫[‬
‫‪. Uα ∈ T‬‬
‫‪α∈I‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ {Ui }i=1‬סופית‪ ,‬מקיימת ‪ ,Ui ∈ T‬אזי גם ‪Ui ∈ T‬‬
‫‪n‬‬
‫\‬
‫‪.‬‬
‫‪i=1‬‬
‫בהינתן קבוצה ‪ X‬וטופולוגיה עליה ‪ ,T‬אומרים כי הזוג ) ‪ (X, T‬הוא מרחב טופולוגי‪.‬‬
‫הערה‪ :‬המוטיבציה להגדיר מרחבים טופולוגיים הגיעה מהתובנה שלתכונות חשובות של‬
‫מרחבים מטריים לא נדרשת מטריקה ולעתים מספיקה טופולוגיה‪ .‬כלומר מרחב‬
‫טופולוגי הוא מושג כללי יותר ממרחב מטרי‪ ,‬כפי שנראה מיד‪ .‬לצורך הגדרת המושגים‪,‬‬
‫נשכח בינתיים את ההגדרה של "פתיחות" במרחב מטרי‪ ,‬ונכנה את הקבוצות של‬
‫טופולוגיה ‪ T‬על קבוצה ‪ X‬בשם "קבוצות פתוחות"‪ .‬כלומר‪ ,‬נתרגם את העובדה‬
‫ש‪ U ∈ T -‬לכך ש‪ U -‬פתוחה ב‪ X-‬תחת הטופולוגיה ‪.T‬‬
‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ X‬קבוצה ויהיו ‪ T1 , T2‬טופולוגיות עליה‪ .‬אומרים כי ‪ T1‬חזקה יותר מ‪ T2 -‬וכי‬
‫‪ T2‬חלשה יותר מ‪ ,T1 -‬אם מתקיים ‪.T2 ⊂ T1‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪ .1‬לכל קבוצה ‪ X‬קיימות שתי טופולוגיות יסודיות‪:‬‬
‫• הטופולוגיה הטריוויאלית‪T = {∅, X} :‬‬
‫• הטופולוגיה הדיסקרטית‪ .T = P (X) :‬דהיינו כל תתי הקבוצות של ‪.X‬‬
‫נשים לב שמבין כל הטופולוגיות האפשריות על קבוצה כלשהי ‪ ,X‬הטופולוגיה‬
‫הטריוויאלית היא הטופולוגיה החלשה ביותר‪ ,‬והטופולוגיה הדיסקרטית היא‬
‫הטופולוגיה החזקה ביותר‪.‬‬
‫‪ .2‬טופולוגיה המושרית ממטריקה‪ :‬בהינתן מרחב מטרי )‪ ,(X, d‬המטריקה ‪d‬‬
‫מגדירה מהי קבוצה פתוחה ב‪ :X-‬כל איחוד כלשהו של כדורים פתוחים‪.‬‬
‫נגדיר טופולוגיה ‪ T‬על ‪ X‬להיות אוסף כל הקבוצות הפתוחות ב‪ X-‬תחת‬
‫המטריקה ‪.d‬‬
‫מתקיים כי ‪ T‬היא אכן טופולוגיה מהתכונות שהראינו לעיל עבור קבוצות פתוחות‬
‫במרחבים מטריים‪.‬‬
‫‪3‬נהוג לסמן ב‪ P (X)-‬את קבוצת החזקה של ‪ .X‬כלומר )‪ P (X‬היא קבוצת כל תתי הקבוצות של ‪.X‬‬
‫‪7‬‬
‫הערה‪ :‬קל לראות שהטופולוגיה הדיסקרטית מושרית מהמטריקה הדיסקרטית‪,‬‬
‫שכן כל נקודה היא קבוצה פתוחה תחת מטריקה זו‪.‬‬
‫הערה‪ :‬הראינו שכל מטריקה משרה טופולוגיה‪ ,‬אולם קיימות הרבה טופולוגיות‬
‫שאינן מושרות ממטריקות והן המוטיבציה העיקרית לעיסוק בטופולוגיה‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬נציג טופולוגיה שאינה מושרית ממטריקה‪ .‬ניקח }‪ X = {a, b‬ונגדיר‬
‫עליה טופולוגיה }‪ .T = {∅, {a} , X‬קל לוודא שזו טופולוגיה‪.‬‬
‫לו הייתה מטריקה ‪ d‬שתחתיה }‪ {a‬הייתה קבוצה פתוחה‪ ,‬אז בהכרח מכיוון‬
‫ש‪ a 6= b-‬נובע שיש ‪ 0 < r‬המקיים ‪ d (a, b) = r‬ולכן גם }‪ {b‬צריכה להיות‬
‫קבוצה פתוחה‪ ,‬שכן }‪ ,{b} = Br (b) = {x ∈ X|d (b, x) < r‬כלומר היה‬
‫צריך להתקיים ‪ ,{b} ∈ T‬בעוד שזה לא המצב‪.‬‬
‫טענה‪ :‬אם ‪ d1 , d2‬מטריקות שקולות על קבוצה ‪ ,X‬אזי הן משרות את אותה‬
‫הטופולוגיה‪.‬‬
‫מסקנה‪ :‬הראינו שבמרחב ‪ Rn‬כל הנורמות שקולות‪ ,‬ולכן יש טופולוגיה יחידה ב‪-‬‬
‫‪ Rn‬המושרית ממטריקה שמושרית מנורמה‪ .‬טופולוגיה זו מכונה הטופולוגיה‬
‫הסטנדרטית של ‪.Rn‬‬
‫הערה‪ :‬קיימות מטריקות שאינן שקולות‪ ,‬ושעדיין ישרו את אותה הטופולוגיה‪.‬‬
‫‪ .3‬טופולוגיית המשלים הסופי‪ :‬בהינתן קבוצה ‪ ,X‬נגדיר את ‪ T‬להיות כל הקבוצות‬
‫‪) U ⊂ X‬כולל ∅( המקיימות כי ‪ X − U‬קבוצה סופית‪.‬‬
‫נשים לב שבמקרה של ‪ X‬קבוצה סופית‪ ,‬טופולוגיית המשלים הסופי היא‬
‫הטופולוגיה הדיסקרטית‪.‬‬
‫‪4.1‬‬
‫בסיס טופולוגי‬
‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ X‬קבוצה כלשהי ותהי )‪ .B ⊂ P (X‬אומרים כי ‪ B‬היא בסיס על ‪ ,X‬אם‬
‫מתקיימות שתי התכונות הבאות‪:‬‬
‫‪ B .1‬היא כיסוי‪ .‬כלומר לכל ‪ x ∈ X‬קיימת ‪ B ∈ B‬כך ש‪.x ∈ B-‬‬
‫‪ .2‬לכל ‪ ,B1 , B2 ∈ B‬לכל ‪ x ∈ B1 ∩ B2‬קיימת ‪ B3 ∈ B‬כך ש‪x ∈ B3 ⊂-‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.B1 ∩ B2‬‬
‫לקבוצות ‪ B ∈ B‬קוראים קבוצות בסיס‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ T‬טופולוגיה על ‪ X‬אז היא בסיס‪.‬‬
‫קל לראות ש‪ T -‬היא כיסוי של ‪ X‬כי ‪ .X ∈ T‬התנאי השני מתקיים גם הוא‪ ,‬כי‬
‫חיתוך סופי של קבוצות ב‪ T -‬שייך ל‪.T -‬‬
‫‪ .2‬בהינתן )‪ (X, d‬מרחב מטרי‪ ,‬אזי אוסף הכדורים הפתוחים ב‪ X-‬תחת המטריקה‬
‫‪ ,d‬הוא בסיס לטופולוגיה שמושרית מהמטריקה ‪.d‬‬
‫טענה‪ :‬בהינתן קבוצה ‪ X‬ובסיס ‪ B‬עליה‪ ,‬אזי אוסף כל האיחודים של קבוצות־בסיס ב‪B-‬‬
‫)כולל ∅( הוא טופולוגיה‪ ,‬והיא מכונה הטופולוגיה הנוצרת על־ידי ‪ B‬על ‪.X‬‬
‫‪4‬המוטיבציה להגדרה זו מגיעה מכדורים פתוחים במרחב מטרי‪ :‬כל נקודה שנמצאת בחיתוך של שני כדורים‬
‫פתוחים‪ ,‬מוכלת בכדור פתוח שלישי שכולו מוכל בשני הכדורים הפתוחים גם יחד‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסמן את האוסף הנ"ל ב‪ .T -‬קל לראות כי ‪ ,∅, X ∈ T‬וכן כל איחוד של איברי‬
‫‪ T‬הוא איחוד של איברי ‪ B‬ולכן גם הוא ב‪ .T -‬נוודא באינדוקציה שמתקיים התנאי‬
‫השלישי‪.‬‬
‫יהיו ‪ ,U1 , U2 ∈ T‬נראה כי ‪ .U1 ∩ U2 ∈ T‬אם החיתוך ריק סיימנו כי ‪ ,∅ ∈ T‬לכן‬
‫נניח שלא ותהי ‪.x ∈ U1 ∩ U2‬‬
‫‪ B‬כיסוי‪ ,‬ולכן ל‪ U1 , U2 ∈ T -‬קיימות ‪ B1 , B2 ∈ B‬בהתאמה‪ ,‬כך ש‪,x ∈ B1 ⊂ U1 -‬‬
‫‪.x ∈ B2 ⊂ U2‬‬
‫‪ B‬בסיס ולכן מהתנאי השני נובע שלפי הנתון ‪ x ∈ B1 ∩ B2‬קיימת ‪Bx ⊂ B1 ∩ B2‬‬
‫כך שמתקיים ‪.x ∈ Bx‬‬
‫[‬
‫נסיק כי ‪Bx‬‬
‫= ‪ U1 ∩ U2‬כאשר ‪ ,Bx ∈ B‬ולכן מההגדרה ‪.U1 ∩ U2 ∈ T‬‬
‫‪x∈U1 ∩U2‬‬
‫באינדוקציה הטענה נובעת לכל חיתוך סופי של קבוצות‪ .‬‬
‫דוגמה‪ :‬ניקח את ‪ X = R‬ונציג לה שני בסיסים שונים‪:‬‬
‫}‪B1 = {(a, b) |a, b ∈ R} , B2 = {[a, b) |a, b ∈ R‬‬
‫הטופולוגיות הנוצרות על־ידי בסיסים אלו הן שונות‪ .‬נסמנן בהתאמה ‪ T1 , T2‬ונשים לב‬
‫∞‬
‫[‬
‫‬
‫‬
‫כי ‪ T2‬חזקה יותר מ‪ ,T1 -‬שכן כל קטע ‪ (a, b) ∈ T1‬מקיים ‪a + n1 , b‬‬
‫= )‪(a, b‬‬
‫‪n=1‬‬
‫ולכן הוא מוכל ב‪.T2 -‬‬
‫טענה‪:‬‬
‫‪ .1‬יהי ) ‪ (X, T‬מרחב טופולוגי ויהי ‪ B ⊂ T‬בסיס‪ .‬אם לכל ‪ U ∈ T‬ולכל ‪x ∈ U‬‬
‫קיימת ‪ B ∈ B‬כך ש‪ ,x ∈ B ⊂ U -‬אזי ‪ T‬נוצרת על־ידי ‪.B‬‬
‫‪ .2‬יהיו ‪ T , T 0‬טופולוגיות על ‪ ,X‬ויהיו ‪ B, B0‬בסיסים יוצרים מתאימים‪ .‬אם כל‬
‫קבוצת בסיס של ‪ B0‬שייכת גם ל‪ ,B-‬אזי ‪ T‬חזקה יותר מ‪.T 0 -‬‬
‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ X‬קבוצה‪ .‬תת־בסיס של ‪ X‬הוא אוסף של תתי־קבוצות המקיים את תכונת‬
‫הכיסוי‪ .‬כלומר ‪ C‬היא תת־בסיס אם לכל ‪ x ∈ X‬קיימת ‪ C ∈ C‬כך ש‪.x ∈ C-‬‬
‫הגדרה‪ :‬הטופולוגיה הנוצרת על־ידי תת־בסיס ‪ ,C‬היא אוסף כל האיחודים של חיתוכים‬
‫סופיים של איברי ‪.C‬‬
‫)ההוכחה שזו אכן טופולוגיה מושארת כתרגיל(‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5.1‬‬
‫מרחבים טופולוגיים מיוחדים‬
‫צמצום של מרחב טופולוגי‬
‫נראה שמכל מרחב טופולוגי ניתן לקבל טופולוגיה חדשה על תת־קבוצה‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬יהי ) ‪ (X, T‬מרחב טופולוגי ותהי ‪ .Y ⊂ X‬נגדיר את הטופולוגיה המושרית מ‪X-‬‬
‫על ‪ Y‬להיות } ‪.TY = {U ∩ Y |U ∈ T‬‬
‫)ההוכחה שזו אכן טופולוגיה מושארת כתרגיל‪ .‬נשים לב כי ‪.(Y = X ∩ Y ∈ TY‬‬
‫‪9‬‬
‫הערה‪ :‬לא כל קבוצה ששייכת ל‪ TY -‬גם שייכת ל‪ .T -‬כלומר תכונת הפתיחות לא בהכרח‬
‫נשמרת לאחר צמצום‪.‬‬
‫דוגמה פשוטה לכך היא כל מקרה של ‪ Y ⊂ X‬כאשר ‪ Y‬אינה פתוחה ב‪ ,X-‬שכן ‪Y‬‬
‫בכל מקרה פתוחה ביחס לצמצום של הטופולוגיה לעצמה‪.‬‬
‫נוספת היא המרחב ‪ X = R‬עם הטופולוגיה הסטנדרטית‪ ,‬וכן )‪.Y = [0, 1‬‬
‫דוגמה ‬
‫הקבוצה ‪ 0, 12‬פתוחה ב‪ Y -‬אך אינה פתוחה ב‪.X-‬‬
‫‪5.2‬‬
‫מכפלת מרחבים טופולוגיים‬
‫נראה שמכל אוסף סופי או בן־מניה של מרחבים טופולוגיים ניתן לקבל מרחב טופולוגי חדש‪,‬‬
‫על קבוצת המכפלה שלהם‪.‬‬
‫נתחיל במכפלה של שני מרחבים טופולוגיים‪ ,‬נכליל למספר סופי כלשהו של מ"ט‪ ,‬ולבסוף‬
‫נכליל לקבוצה כלשהי של מ"ט‪.‬‬
‫הערה‪ :‬בפרק זה כדאי לשים לב מתי עוסקים ביצירה של טופולוגיה על־ידי בסיס לבין יצירה‬
‫שלה על־ידי תת־בסיס‪.‬‬
‫• מכפלת שני מרחבים‬
‫יהיו ) ‪ (Y, TY ) ,(X, TX‬מרחבים טופולוגיים‪ .‬נגדיר את טופולוגיית המכפלה שלהם על‬
‫הקבוצה ‪ X×Y‬להיות הטופולוגיה הנוצרת על־ידי הבסיס } ‪.B = {U × V |U ∈ TX , V ∈ TY‬‬
‫תרגיל‪ :‬להראות שזו אכן טופולוגיה‪ ,‬כלומר יש להראות כי ‪ B‬אכן בסיס‪ .‬נשים לב‬
‫לצורך כך כי ) ‪.(U1 × V1 ) ∩ (U2 × V2 ) = (U1 ∩ U2 ) × (V1 ∩ V2‬‬
‫טענה‪ :‬אם ‪ BX , BY‬בסיסים לטופולוגיות ‪ TX , TY‬בהתאמה‪ ,‬אזי קיים בסיס לטופולוגיית‬
‫המכפלה שהגדרנו‪ ,‬והוא‪:‬‬
‫} ‪BX × BY = {B1 × B2 |B1 ∈ BX , B2 ∈ BY‬‬
‫הוכחה‪ :‬נשתמש בטענה שהזכרנו לעיל‪ ,‬שבסיס ‪ B‬יוצר טופולוגיה ‪ T‬אם לכל ‪,U ∈ T‬‬
‫לכל ‪ x ∈ U‬קיימת ‪ B ∈ B‬כך ש‪.x ∈ B ⊂ U -‬‬
‫תהי ‪ W‬קבוצה פתוחה ב‪ X × Y -‬ויהי ‪ .(x, y) ∈ W‬מהגדרת טופולוגיית המכפלה‬
‫נובע שקיימות ‪ U, V‬פתוחות כך ש‪.(x, y) ∈ U × V ⊂ W -‬‬
‫אבל מהיות ‪ BX , BY‬בסיסים נובע שקיימות ‪ B1 , B2‬פתוחות בהתאמה כך ש‪-‬‬
‫‪ ,(x, y) ∈ B1 × B2 ⊆ U × V ⊆ W‬ולכן מתקיים התנאי שהזכרנו‪ .‬‬
‫הגדרה‪ :‬יהיו ) ‪ (X1 , T1 ) ,(X2 , T2‬מרחבים טופולוגיים‪ .‬נגדיר שתי העתקות באופן‬
‫הבא‪:‬‬
‫‪π1 : X1 × X2 → X1 , π1 (x1 , x2 ) = x1‬‬
‫‪π2 : X1 × X2 → X2 , π2 (x1 , x2 ) = x2‬‬
‫העתקות אלו נקראות הטלות של ‪ X1 × X2‬על ‪ X1 , X2‬בהתאמה‪.‬‬
‫נשים לב כי ‪ π1−1 (U ) = U × X2‬ל‪ U ∈ T1 -‬ובדומה ‪(V ) = X1 × V‬‬
‫ל‪.V ∈ T2 -‬‬
‫‪10‬‬
‫‪π2−1‬‬
‫‪ −1‬‬
‫ ‬
‫‬
‫טענה‪ :‬הקבוצה ‪π1 (U ) |U ∈ T1 ∪ π2−1 (V ) |V ∈ T2‬‬
‫שיוצר את טופולוגיית המכפלה‪.‬‬
‫= ‪ C‬היא תת־בסיס‬
‫• מכפלת מספר סופי של מרחבים‬
‫‪n‬‬
‫יהי ‪ {(Xi , Ti )}i=1‬ל‪ n-‬טבעי כלשהו‪ ,‬אוסף של מרחבים טופולוגיים‪ .‬נגדיר את‬
‫טופולוגיית המכפלה שלהם על הקבוצה ‪ X1 × X2 × ... × Xn‬להיות הטופולוגיה‬
‫הנוצרת על־ידי הבסיס } ‪.B = {U1 × U2 × ... × Un |Ui ∈ Ti‬‬
‫הערה‪ :‬גם במקרה זה ניתן להגדיר באופן שקול את טופולוגיית המכפלה להיות זו‬
‫הנוצרת על־ידי התת־בסיס‪:‬‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪C = π1−1 (U1 ) |U1 ∈ T1 ∪ π2−1 (U2 ) |U2 ∈ T2 ∪...∪ πn−1 (Un ) |Un ∈ Tn‬‬
‫• מכפלה כלשהי של מרחבים‬
‫יהי ‪ {(Xα , Tα )}α∈I‬לקבוצת אינדקסים ‪ I‬כלשהי‪ ,‬אוסף של מרחבים טופולוגיים‪.‬‬
‫‪Y‬‬
‫נגדיר שתי טופולוגיות שונות על קבוצת המכפלה ‪. Xα‬‬
‫‪α∈I‬‬
‫‬
‫‪ .1‬טופולוגיית המכפלה‪ :‬מסומנת ‪ .Tproduct‬נגדיר ‪,Sα = πα−1 (Uα ) |Uα ∈ Tα‬‬
‫את טופולוגיית המכפלה להיות זו שנוצרת על־ידי התת־בסיס = ‪S‬‬
‫ונגדיר ‪S‬‬
‫‪. α∈I Sα‬‬
‫‪Q‬‬
‫‬
‫‪.‬‬
‫‪ .2‬טופולוגיית הקופסה‪ :‬מסומנת ‪ .Tbox‬נוצרת על־ידי הבסיס ‪α∈I Uα |Uα ∈ Tα‬‬
‫‬
‫נשים לב שבמקרים של מכפלה סופית ההגדרות המקבילות היו שקולות‪ ,‬אך באופן‬
‫כללי הן עלולות להיות שונות‪ ,‬וטופולוגיית הקופסה חזקה יותר מטופולוגיית המכפלה‪.‬‬
‫‬
‫‪Q‬‬
‫‪Q‬‬
‫דוגמה‪ :‬ניקח את המכפלה ]‪ α∈I [−1, 1‬ונתבונן בקבוצה ‪ .U = α∈I − 21 , 12‬אם‬
‫‪ I‬לא סופית‪ ,‬אז ‪ U‬פתוחה בטופולוגיית הקופסה‪ ,‬כי כל אחת מקבוצות המכפלה‬
‫פתוחה ב‪ ,[−1, 1]-‬אבל ‪ U‬לא פתוחה בטופולוגיית המכפלה‪.‬‬
‫הערה‪ :‬בהינתן מרחבים ‪ {Xα }α∈I‬והעתקות מתאימות ‪ ,{πα }α∈I‬טופולוגיית המכפלה‬
‫היא הטופולוגיה החלשה ביותר על מכפלת המרחבים שתחתיה ההטלות ‪πα‬‬
‫רציפות‪ .‬למעשה‪ ,‬ניתן להגדיר מראש את טופולוגיית המכפלה להיות החלשה‬
‫ביותר שתחתיה ההטלות רציפות‪.‬‬
‫הערה‪ :‬ידוע כי פונקציה ‪ f : R → Rn‬רציפה בטופולוגיה הסטנדרטית אם ורק אם‬
‫היא רציפה בכל קואורדינטה שלה בטווח‪.‬‬
‫טופולוגיית המכפלה של מכפלה כלשהי היא הטופולוגיה שבה‬
‫באופן דומה‪Q ,‬‬
‫פונקציה ‪ f : Y → α Xα‬היא רציפה‪ ,‬אם ורק אם היא רציפה בכל אחת‬
‫מהקואורדינטות‪ .‬כלומר אם הפונקציות ‪ πα ◦ f‬רציפות כולן‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫סגירות במרחב טופולוגי‬
‫הגדרה‪ :‬יהי ) ‪ (X, T‬מרחב טופולוגי‪ .‬אומרים כי ‪ C ⊂ X‬קבוצה סגורה‪ ,‬אם ‪ X − C‬היא‬
‫קבוצה פתוחה‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫‪ .1‬נסמן ב‪ C-‬את אוסף הקבוצות הסגורות ב‪ .X-‬קל לראות כי ‪.∅, X ∈ C‬‬
‫‪ .2‬באופן הפוך לקבוצות הפתוחות‪ ,‬איחוד סופי של סגורות הוא קבוצה סגורה‪,‬‬
‫וחיתוך אינסופי של סגורות הוא קבוצה סגורה‪.‬‬
‫‪T‬‬
‫‪C‬‬
‫גם‬
‫אז‬
‫כלשהי‪,‬‬
‫אינדקסים‬
‫כלומר‪ ,‬אם ‪ {Cα }α∈I‬סגורות ל‪ I-‬קבוצת‬
‫‪α∈I α‬‬
‫‪Sn‬‬
‫‪n‬‬
‫סגורה‪ .‬וכן אם ‪ {Ci }i=1‬ל‪ n-‬טבעי כלשהו‪ ,‬אז גם ‪ i=1 Ci‬סגורה‪.‬‬
‫‪ .3‬נשים לב שאוסף הקבוצות הסגורות מגדיר בדיוק את אוסף הקבוצות הפתוחות‪,‬‬
‫ולכן ניתן היה להגדיר טופולוגיה באמצעות אוסף הקבוצות הסגורות‪ ,‬כלומר כל‬
‫אוסף קבוצות המקיים את שתי התכונות הנ"ל‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪ .1‬במרחב טופולוגי דיסקרטי כל קבוצה היא סגורה‪ ,‬כי כל קבוצה בו פתוחה‪.‬‬
‫‪ .2‬אם )‪ (X, d‬מרחב מטרי‪ ,‬אז הכדורים מהצורה }‪ {y|d (x, y) ≤ r‬ל‪x ∈ X-‬‬
‫ו‪ 0 ≤ r ∈ R-‬כלשהם‪ ,‬הם קבוצה סגורה‪.‬‬
‫הטופולוגיה של פורסטנברג ואינסופיות הראשוניים‬
‫נראה הוכחה יפה בכלים טופולוגיים שקיימים אינסוף ראשוניים‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬נתבונן בקבוצת כל הסדרות החשבוניות )‪ B = {aZ + b|a, b ∈ Z} ⊂ P (Z‬כבסיס‪,‬‬
‫ונגדיר על ‪ Z‬את הטופולוגיה הנוצרת על־ידי בסיס זה‪.‬‬
‫הערה‪ :‬קל לראות ש‪ B-‬כיסוי של ‪ ,Z‬ולכן כדי להראות שקבוצה זו היא בסיס נותר להראות‬
‫את תכונת החיתוך‪.‬‬
‫יהיו ‪ A1 = a1 Z + b1 , A2 = a2 Z + b2‬שתי סדרות חשבוניות‪ .‬אם חיתוכן ריק סיימנו‪ ,‬לכן‬
‫נניח כי ‪ ,x ∈ A1 ∩ A2‬ונרצה למצוא סדרה חשבונית שמכילה את ‪ x‬ומוכלת בחיתוך‪ ,‬אבל‬
‫נשים לב כי הסדרה ‪ x + a1 a2 Z‬מקיימת את הדרוש‪.‬‬
‫טענה‪ :‬כל סדרה חשבונית היא גם קבוצה סגורה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬המשלימה של ‪ aZ + b‬כלשהי היא הקבוצה‪:‬‬
‫[‬
‫= )‪Z − (aZ + b‬‬
‫]) ‪[aZ + (b + bi‬‬
‫‪bi =1,...,|a|−1‬‬
‫כלומר היא איחוד של ‪ |a| − 1‬סדרות חשבוניות‪ ,‬ולכן היא איחוד של קבוצות פתוחות‬
‫בטופולוגיה שהגדרנו ומכאן שהמשלים הנ"ל קבוצה פתוחה‪ .‬לכן ‪ aZ + b‬סגורה‪ .‬‬
‫מסקנה‪ :‬קיימים אינסוף מספרים ראשוניים‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬ידוע שלכל מספר שלם יש פירוק סופי לראשוניים‪ .‬לכן אם ‪) a = p1 ·...·pn‬נניח[לצורך‬
‫‪,‬‬
‫הפשטות שייתכנו חזרות( אז ברור שלמשל ‪ .a ∈ p1 Z‬מכאן כי }‪pZ = Z − {±1‬‬
‫‪is prime‬‬
‫‪p‬‬
‫כי ל‪ ±1-‬אין פירוק לראשוניים‪.‬‬
‫אם בשלילה היה רק מספר סופי של ראשוניים אז הקבוצה }‪ Z − {±1‬הייתה סגורה‪ ,‬כי‬
‫היא איחוד סופי של סדרות חשבוניות שהן קבוצות סגורות‪ .‬כלומר המשלימה שלה‪,{±1} ,‬‬
‫הייתה קבוצה פתוחה‪ .‬אבל זה בבירור שגוי כי }‪ {±1‬אינה סדרה חשבונית‪ .‬‬
‫‪12‬‬
‫‪6.1‬‬
‫סגור‪ ,‬פנים ושפה‬
‫הגדרה‪ :‬יהי ) ‪ (X, T‬מרחב טופולוגי ותהי ‪ A ⊆ X‬כלשהי‪ .‬הסגור של ‪ A‬הוא הקבוצה‬
‫הסגורה המינימלית שמכילה את ‪ ,A‬והיא מסומנת ב‪.A-‬‬
‫באפן שקול‪ ,‬הסגור של ‪ A‬הוא חיתוך כל הקבוצות הסגורות שמכילות את ‪) .A‬חיתוך‬
‫כלשהו של סגורות הוא קבוצה סגורה(‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬ניקח }‪ X = {a, b‬וטופולוגיה }‪ .T = {∅, {a} , X‬אז ‪ {a} = X‬וכן }‪.{b} = {b‬‬
‫הגדרה‪ :‬יהי ) ‪ (X, T‬מרחב טופולוגי ותהי ‪ .x ∈ X‬סביבה של ‪ x‬היא קבוצה ‪ E ⊂ X‬כך‬
‫שקיימת פתוחה ‪ U ⊂ E‬כך ש‪.x ∈ U -‬‬
‫‬
‫דוגמה‪ :‬ב‪ R-‬עם הטופולוגיה הסטנדרטית‪ [0, 1] ,‬היא סביבה של ‪ , 21‬כי ]‪. 21 ∈ 13 , 23 ⊂ [0, 1‬‬
‫טענה‪ :‬בהינתן מרחב טופולוגי ) ‪ (X, T‬וקבוצה ‪ ,A‬מתקיים כי ‪ x ∈ A‬אם ורק אם לכל‬
‫סביבה ‪ E‬של ‪ x‬מתקיים ∅ =‪.E ∩ A 6‬‬
‫מסקנה‪ :‬הסגור ‪ A‬הוא אוסף כל ה‪ ,x ∈ X-‬כך שלכל סביבה ‪ E‬של ‪ x‬מתקיים‬
‫∅ =‪.E ∩ A 6‬‬
‫∈ ‪ x‬אם ורק‬
‫הוכחה‪ :‬נראה כי השלילות של שתי התכונות הללו שקולות‪ .‬כלומר נראה כי ‪/ A‬‬
‫אם קיימת סביבה ‪ E‬של ‪ x‬כך שמתקיים ∅ = ‪.E ∩ A‬‬
‫∈ ‪ .x‬הקבוצה ‪ X − A‬היא פתוחה‪ ,‬ובפרט היא סביבה של‬
‫)כיוון ראשון( נניח כי ‪/ A‬‬
‫‪ x‬המקיימת ∅ = ‪. X − A ∩ A‬‬
‫)כיוון שני( נניח שקיימת סביבה ‪ E‬של ‪ x‬כך שמתקיים ∅ = ‪ .E ∩ A‬מהיות ‪ E‬סביבה‬
‫נובע שקיימת קבוצה פתוחה ‪ U ⊂ E‬כך ש‪ ,x ∈ U -‬ובפרט גם ∅ = ‪.U ∩ A‬‬
‫‪ U‬פתוחה ולכן ‪ X − U‬סגורה המקיימת ‪ .A ⊂ X − U‬מהגדרת הסגור נובע כי‬
‫∈ ‪ .x‬‬
‫‪ .A ⊂ X − U‬אבל ‪ x ∈ U‬ולכן בהכרח ‪/ A‬‬
‫למה‪:‬‬
‫‪) A ∪ B = A ∪ B .1‬ובאינדוקציה הטענה נכונה לכל איחוד סופי(‪.‬‬
‫‪A ∩ B ⊂ A ∩ B .2‬‬
‫דוגמה להכלה ממש‪ A = Q ,B = R − Q :‬עם הטופולוגיה הסטנדרטית‪.‬‬
‫מתקיים ∅ = ∅ = ‪ A ∩ B‬ומצד שני ‪.A ∩ B = R ∩ R = R‬‬
‫הגדרה‪ :‬אם ) ‪ (X, T‬מרחב טופולוגי ו‪ .A ⊂ X-‬אומרים כי ‪ A‬צפופה ב‪ X-‬אם ‪.A = X‬‬
‫הגדרה‪ :‬יהי ) ‪ (X, T‬מרחב טופולוגי ותהי ‪ A ⊂ X‬כלשהי‪ .‬הפנים של ‪ A‬הוא הקבוצה‬
‫הפתוחה המקסימלית שמוכלת ב‪ ,A-‬והיא מסומנת ◦‪.A‬‬
‫באופן שקול‪ ,‬הפנים של ‪ A‬הוא איחוד הקבוצות הפתוחות שמוכלות ב‪) .A-‬איחוד‬
‫כלשהו של פתוחות הוא קבוצה פתוחה(‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬יהי ) ‪ (X, T‬מרחב טופולוגי ותהי ‪ A ⊆ X‬כלשהי‪ .‬השפה של ‪ A‬היא הקבוצה‬
‫◦‪.∂A =: A − A‬‬
‫הגדרה‪ :‬יהי ) ‪ (X, T‬מרחב טופולוגי ויהיו ‪ x ∈ X ,A ⊆ X‬כלשהן‪ .‬אומרים כי ‪ x‬היא נקודת‬
‫הצטברות של ‪ ,A‬אם כל סביבה של ‪ x‬מכילה נקודה ב‪ ,A-‬השונה מ‪.x-‬‬
‫‪13‬‬
‫טענה‪ :‬בהינתן מרחב טופולוגי ) ‪ (X, T‬וקבוצה ‪ ,A ⊂ X‬נסמן ב‪ A0 -‬את כל נקודות‬
‫ההצטברות של ‪ .A‬אזי מתקיים ‪.A = A ∪ A0‬‬
‫הוכחה‪ :‬נראה את השוויון באמצעות הכלות הדדיות‪.‬‬
‫נראה כי ‪ :A ∪ A0 ⊂ A‬אם ‪ ,x ∈ A ∪ A0‬אז מההגדרות מתקיים כי ‪ x ∈ A‬או‬
‫∈ ‪ x‬וקיימת בכל סביבה שלה נקודה מ‪ A-‬שונה ממנה‪.‬‬
‫ש‪/ A-‬‬
‫∈ ‪ x‬נקודת‬
‫ברור כי אם ‪ x ∈ A‬אז ‪ .x ∈ A ⊂ A‬נראה שבמקרה השני‪ ,‬אם ‪/ A‬‬
‫הצטברות‪ ,‬אז גם ‪ .x ∈ A‬אבל הראינו שהסגור הוא אוסף הנקודות שכל סביבה‬
‫שלהם נחתכת עם ‪ A‬באופן לא ריק‪ ,‬וקל לראות כי כל נקודת הצטברות מקיימת את‬
‫התנאי הזה מהגדרתה‪ ,‬ולכן ‪.x ∈ A‬‬
‫נראה כי ‪ :A ⊂ A ∪ A0‬אם ‪ ,x ∈ A‬אז מאיפיון שקול לסגור שהראינו נובע שכל‬
‫סביבה ‪ E‬של ‪ x‬מקיימת ∅ =‪.E ∩ A 6‬‬
‫תהי סביבה ‪ E‬ותהי ‪ .y ∈ E ∩ A‬אם ‪ y = x‬אז ‪ x ∈ A‬וסיימנו‪ ,‬ואם ‪ y 6= x‬אז‬
‫‪ y ∈ E‬וגם ‪ ,y ∈ A‬כלומר בסביבה השרירותית ‪ E‬קיימת ‪ ,y 6= x‬ולכן ‪ x‬נקודת‬
‫הצטברות‪ ,‬כלומר ‪ .x ∈ A0‬‬
‫רציפות במרחב טופולוגי‬
‫‪7‬‬
‫הגדרה‪ :‬יהיו ‪ X, Y‬מרחבים טופולוגיים ותהי העתקה ‪ .f : X → Y‬אומרים כי ‪ f‬העתקה‬
‫‪5‬‬
‫רציפה‪ ,‬אם לכל ‪ U‬פתוחה ב‪ Y -‬מתקיים כי ) ‪ f −1 (U‬פתוחה ב‪.X-‬‬
‫ → ‪ ,f : X‬ניתן‬
‫הערה‪ :‬בהינתן קבוצה ‪ X‬כלשהי‪ ,‬מרחב טופולוגי ) ‪ (Y, TY‬והעתקה ‪Y‬‬
‫להגדיר טופולוגיה על ‪ X‬על־ידי התת־בסיס ‪. f −1 (U ) |U ∈ TY‬‬
‫ברור ש‪ f -‬רציפה תחת טופולוגיה זו‪ ,‬ויותר מכך‪ :‬זוהי הטופולוגיה החלשה ביותר‬
‫שעבורה ‪ f‬הנתונה רציפה‪.‬‬
‫‪f :X‬‬
‫באופן דומה‪ ,‬בהינתן קבוצה ‪ Y‬כלשהי‪ ,‬מרחב‬
‫טופולוגי ) ‪ (X, TX‬והעתקה → ‬
‫‬
‫‪ ,Y‬ניתן להגדיר טופולוגיה על ‪ Y‬על־ידי התת־בסיס ‪. U ⊂ Y |f −1 (U ) ∈ TX‬‬
‫ברור ש‪ f -‬רציפה תחת טופולוגיה זו‪ ,‬ויותר מכך‪ :‬זוהי הטופולוגיה החזקה ביותר‬
‫שעבורה ‪ f‬הנתונה רציפה‪.‬‬
‫‪7.1‬‬
‫הגדרות שקולות לרציפות‬
‫יהיו ‪ X, Y‬מרחבים טופולוגיים ותהי העתקה ‪ .f : X → Y‬אזי כל התנאים הבאים שקולים‪:‬‬
‫‪ f .1‬רציפה )במובן שהגדרנו(‪.‬‬
‫‪ .2‬לכל קבוצה סגורה ‪ C‬ב‪ ,Y -‬הקבוצה )‪ f −1 (C‬סגורה ב‪.X-‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ B‬בסיס לטופולוגיה של ‪ ,Y‬אז לכל ‪ B ∈ B‬הקבוצה )‪ f −1 (B‬פתוחה ב‪.X-‬‬
‫‪5‬מגדירים ‪f −1 (U ) =: {x ∈ X|∃u∈U f (x) = u} ⊂ X‬‬
‫‪6‬למעשה מספיק גם לטעון זאת על תת־בסיס‪ ,‬בגלל שתמונה הפוכה משמרת איחוד וחיתוך‪ .‬כלומר‪:‬‬
‫!‬
‫!‬
‫[‬
‫[‬
‫\‬
‫\‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪f‬‬
‫= ‪Uα‬‬
‫‪f‬‬
‫) ‪(Uα‬‬
‫‪f‬‬
‫= ‪Uα‬‬
‫) ‪f −1 (Uα‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪14‬‬
‫‪α‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ .4‬לכל ‪ ,x ∈ X‬לכל סביבה ‪ W ⊂ Y‬של )‪ f (x‬מתקיים כי ‪ f −1 (W ) ⊂ X‬היא סביבה‬
‫של ‪.x‬‬
‫הערה טרמינולוגית‪ :‬אם תנאי ‪ 4‬מתקיים ל‪ x ∈ X-‬מסויימת אז ‪ f‬רציפה בנקודה זו‪.‬‬
‫כשתנאי זה מתקיים לכל ‪ ,x ∈ X‬הוא שקול לרציפות במובן הכללי שהגדרנו‪.‬‬
‫‪ .5‬קיים ל‪ X-‬כיסוי פתוח כלשהו ‪ 7 ,{Uα }α∈I‬כך שלכל ‪ α ∈ I‬הפונקציה המצומצמת‬
‫‪8‬‬
‫‪ fα =: f |Uα‬רציפה‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ .6‬קיים ל‪ X-‬כיסוי סגור סופי ‪ ,{Ci }i=1‬כך שלכל ‪ 1 ≤ i ≤ n‬הפונקציה המצומצמת‬
‫‪ fi =: f |Ci‬רציפה‪.‬‬
‫‬
‫‪ .7‬לכל ‪ A ⊂ X‬מתקיים כי )‪.f A ⊂ f (A‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫• )‪ (2 ⇐⇒ 1‬מהזהות הכללית )‪ f −1 (Y − C) = X − f −1 (C‬קל לראות את‬
‫השקילות‪.‬‬
‫• )‪ (3 ⇐⇒ 1‬נובע מההגדרת בסיס‪.‬‬
‫• )‪(4 ⇐= 1‬‬
‫יהי ‪ x ∈ X‬ותהי ‪ W ⊂ Y‬סביבה של )‪ .f (x‬לכן יש קבוצה פתוחה ∈ )‪f (x‬‬
‫‪ .U ⊂ W‬מרציפות ‪ f‬נובע כי ) ‪ f −1 (U‬פתוחה ב‪ X-‬וקל לראות כי ∈ ‪x‬‬
‫) ‪.f −1 (U ) ⊂ f −1 (W‬‬
‫• )‪(1 ⇐= 4‬‬
‫תהי ‪ U ⊆ Y‬קבוצה פתוחה‪ ,‬נרצה להראות כי ) ‪ f (U‬פתוחה‪ .‬תהי ∈ ‪x‬‬
‫) ‪ ,f −1 (U‬אז ‪ f (x) ∈ U‬ולכן מההנחה נובע כי ) ‪ f −1 (U‬סביבה של ‪ .x‬כלומר‬
‫יש קבוצה פתוחה ) ‪ Ux ⊂ f −1 (U‬המכילה את ‪.x‬‬
‫[‬
‫= ) ‪ f −1 (U‬ולכן היא איחוד של קבוצות‬
‫כעת קל לראות כי ‪Ux‬‬
‫‪−1‬‬
‫) ‪x∈f −1 (U‬‬
‫פתוחות‪ ,‬ומכאן כי היא פתוחה‪.‬‬
‫• )‪ (5 ⇐⇒ 1‬נובע בקלות מהגדרת הרציפות‪.‬‬
‫• )‪ (6 ⇐⇒ 5‬נובע מהגדרת קבוצות פתוחות וסגורות‪ ,‬ומזהויות יסודיות של‬
‫איחוד וחיתוך תחת תמונה הפוכה‪.‬‬
‫• )‪(7 ⇐= 1‬‬
‫יהי ‪ .x ∈ A ⊂ X‬נראה כי )‪ ,f (x) ∈ f (A‬כלומר שכל סביבה של )‪f (x‬‬
‫נחתכת עם )‪ .f (A‬תהי ‪ U‬סביבה של )‪ .f (x‬מרציפות ‪ f‬נובע כי ) ‪f −1 (U‬‬
‫סביבה פתוחה של ‪ .x‬אבל ‪ x ∈ A‬ולכן קיימת נקודה ‪ .y ∈ f −1 (U ) ∩ A‬מכאן‬
‫כי )‪.f (y) ∈ U ∩ f (A‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ S‬שקבוצה ‪ {Uα }α∈I ⊆ T‬ל‪ I-‬קבוצת אינדקסים כלשהי היא‬
‫הגדרה‪ :‬בהינתן מרחב טופולוגי ) ‪ ,(X, T‬אומרים‬
‫כיסוי פתוח של ‪ ,X‬אם מתקיים ‪.X ⊆ α∈I Uα‬‬
‫‪8‬כפי שהזכרנו לעיל‪ ,‬כל ‪ Uα ⊆ X‬היא מרחב טופולוגי תחת הטופולוגיה המושרית מ‪.X-‬‬
‫‪15‬‬
‫• )‪(2 ⇐= 7‬‬
‫תהי ‪ C ⊆ Y‬קבוצה סגורה‪ ,‬נראה כי ‪(C) ⊆ X‬‬
‫להראות כי )‪.f −1 (C) = f −1 (C‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪ f‬סגורה‪ .‬לשם כך מספיק‬
‫‬
‫‬
‫מהנתון נובע שמתקיים ‪) f f −1 (C) ⊂ f (f −1 (C)) ⊂ C = C‬כי ‪ C‬סגורה(‬
‫ולכן )‪.f −1 (C) ⊂ f −1 (C‬‬
‫אבל מצד שני מהגדרת סגור ברור כי )‪ ,f −1 (C) ⊂ f −1 (C‬ומההכלות ההדדיות‬
‫נסיק )‪ ,f −1 (C) = f −1 (C‬כנדרש‪ .‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪ .1‬כל פונקציה קבועה בין מרחבים טופולוגיים היא רציפה‪.‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ X‬מרחב טופולוגי ו‪ ,E ⊂ X-‬אז "העתקת ההכלה" המוגדרת ‪iE : E → X‬‬
‫המעתיקה ‪) x 7→ x‬שזו למעשה צמצום של העתקת הזהות לתת־מרחב ‪ ,(E‬היא‬
‫רציפה‪.‬‬
‫הערה‪ :‬ניתן היה להגדיר את הצמצום של טופולוגיה לתת־קבוצה כלשהי‪ ,‬על־ידי‬
‫הטופולוגיה החלשה ביותר כך ש‪ iE -‬רציפה‪.‬‬
‫‪g‬‬
‫‪f‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ X, Y, Z‬מרחבים טופולוגיים ונתונות ההעתקות ‪ ,X −→ Y −→ Z‬קל‬
‫לראות מהגדרת הרציפות שההרכבה ‪ g ◦ f : X → Z‬היא העתקה רציפה‪.‬‬
‫‪ .4‬אם ‪ f : X → Y‬העתקה רציפה בין מרחבים טופולוגיים‪ ,‬אז → ‪f |E : E ⊆ X‬‬
‫‪ Y‬גם היא רציפה‪ .‬ניתן לראות זאת מצירוף שתי הדוגמאות האחרונות‪ ,‬שכן‬
‫‪.f |E = f ◦ iE‬‬
‫‪ .5‬יהי ‪ {Uα }α∈I‬כיסוי פתוח של מרחב טופולוגי ‪ .X‬נניח שלכל ‪ α ∈ I‬מוגדרת‬
‫העתקה רציפה ‪ fα : Uα ⊂ X → Y‬וכן גם מתקיים ‪,fα |Uα ∩Uβ = fβ |Uα ∩Uβ‬‬
‫אזי ניתן לבנות העתקה רציפה ‪ f : X → Y‬באופן הבא‪:‬‬
‫לכל ‪ x ∈ X‬קיים )‪ α (x‬כך ש‪ .x ∈ Uα(x) -‬נגדיר )‪.f (x) = fα(x) (x‬‬
‫‪ .6‬אם ‪ f, g : X → R‬העתקות רציפות‪ ,‬אז ‪,f · g ,f ± g‬‬
‫העתקות רציפות‪.‬‬
‫‪f‬‬
‫‪g‬‬
‫)אם ‪ g 6= 0‬תמיד(‬
‫‪ .7‬נניח כי ‪Q{Xα }α∈I‬קבוצה כלשהי של מרחבים טופולוגיים‪ .‬נתבונן בקבוצת‬
‫= ‪ X‬ועל‪ Q‬ההטלות ‪ πβ : X → Xβ‬שכפי שהגדרנו‬
‫המכפלה ‪α∈I Xα‬‬
‫לעיל מעתיקות ‪ . α∈I xα 7→ xβ‬כלומר ‪ πβ‬מעתיקה כל ווקטור באורך ‪I‬‬
‫לקואורדינטה ה‪ β-‬שלו(‪.‬‬
‫נראה שההטלות המתאימות ‪ {πα }α∈I‬הן העתקות רציפות תחת טופולוגיית‬
‫המכפלה ‪ ,Tproduct‬ומזה גם ינבע כי הן העתקות רציפות תחת טופולוגיית‬
‫הקופסה ‪ ,Tbox‬כי האחרונה חזקה יותר מהראשונה‪.‬‬
‫נשים לב שכדי להראות רציפות של העתקה מספיק להראות רציפות על קבוצות‬
‫של תת־בסיס שלה‪ .‬אבל הגדרנו את תת הבסיס שיוצר את ‪ Tproduct‬להיות‬
‫האוסף ) ‪ πα−1 (Uα‬ל‪ Uα -‬פתוחות ב‪ ,Xα -‬ולכן קל לראות כי הן רציפות‪.‬‬
‫→ ‪ .t‬ניתן להראות‬
‫‪7‬‬
‫‪ .8‬נגדיר העתקה ∞‪ f : R → R‬על־ידי )‪(t, t, ..., t, ...‬‬
‫שהעתקה זו רציפה תחת טופולוגיית המכפלה ‪ Tproduct‬ולא רציפה תחת‬
‫טופולוגיית הקופסה ‪.Tbox‬‬
‫‪16‬‬
‫שהיא לא רציפה תחת טופולוגיית הקופסה נובע מכך שהקבוצה = ‪B‬‬
‫זה∞‬
‫‪−1 1‬‬
‫פתוחה בטופולוגיה זו‪ ,‬אבל מתקיים }‪ ,f −1 (B) = {0‬וזו‬
‫‪,‬‬
‫‪n n‬‬
‫‪n=1‬‬
‫קבוצה סגורה‪ .‬לעומת זאת בטופולוגיית המכפלה רציפות שקולה לרציפות בכל‬
‫קואורדינטה‪ ,‬ובמקרה זה ‪ f‬בכל קואורדינטה היא הזהות‪ ,‬ולפיכך רציפה‪.‬‬
‫‪7.2‬‬
‫הומאומורפיזם‬
‫הגדרה‪ :‬יהיו ‪ X, Y‬מרחבים טופולוגיים ותהי ‪ .f : X → Y‬אומרים כי ‪ f‬היא הומאומורפיזם‪,‬‬
‫אם מתקיימים כל התנאים הבאים‪:‬‬
‫‪ f .1‬העתקה חד־חד־ערכית ועל ‪Y‬‬
‫‪ f : X → Y .2‬העתקה רציפה‬
‫‪ f −1 : Y → X .3‬העתקה רציפה‬
‫אם קיימת ‪ f‬כנ"ל אומרים כי המרחבים הטופולוגיים ‪ X, Y‬הם הומאומורפיים‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪ .1‬המרחבים ‪ (−1, 1) , R‬עם הטופולוגיה הסטנדרטית הם הומאומורפיים על־ידי‬
‫‪x‬‬
‫‪.x 7→ 1−x‬‬
‫‪ f : (−1, 1) → R‬שמעתיקה ‪2‬‬
‫‪ .2‬נגדיר את "הספרה ה‪n-‬־ממדית" כקבוצה הבאה‪:‬‬
‫‬
‫‪S n = x = (x1 , ..., xn , xn+1 ) ⊂ Rn+1 |d (x, 0) = 1 ⊂ Rn+1‬‬
‫‬
‫כלומר אוסף כל הנקודות שמרחקן מ‪ 0 = (0, ..., 0)-‬הוא ‪ .1‬למשל הספירה‬
‫החד־ממדית היא מעגל היחידה‪ ,‬והספירה הדו־ממדית היא כדור היחידה‪.‬‬
‫נגדיר העתקה ‪ f : S 2 − {(0, 0, 1)} → R2‬להיות "ההטלה הסטריאוגרפית"‪.‬‬
‫כלומר ההעתקה לוקחת כל נקודה ‪ ,s ∈ S 2‬ומעתיקה אותה לנקודה על המישור‬
‫שנחתכת עם הישר היחיד שעובר ב‪ s-‬וב‪ .(0, 0, 1)-‬העתקה זו היא הומאומורפיזם‬
‫בין ‪ R2‬לבין })‪.S 2 − {(0, 0, 1‬‬
‫‪ .3‬אנטי־דוגמה‪ :‬נגדיר העתקה ‪) f : [0, 2π] → S 1‬דהיינו אל מעגל היחידה( על‬
‫ידי ))‪ .t 7→ (cos (t) , sin (t‬קל לראות שהעתקה זו חח"ע ועל וכי היא רציפה‪,‬‬
‫אבל ]‪ f −1 : S 1 → [0, 2π‬אינה רציפה‪ .‬כך למשל ‪ f −1‬הקבוצה הפתוחה )‪[0, 1‬‬
‫מתקבלת על־ידי ‪ f −1‬מקבוצה לא־פתוחה ב‪) S 1 -‬קשת כלשהי על המעגל(‪.‬‬
‫‪17‬‬
‫חלק‬
‫‪III‬‬
‫הפרדה‬
‫הגדרות‪ :‬יהי ) ‪ (X, T‬מרחב טופולוגי‪.‬‬
‫‪ .1‬יהיו ‪ A, B ⊂ X‬תתי־קבוצות זרות‪ .‬נאמר כי ‪ A, B‬ניתנות להפרדה על־ידי‬
‫קבוצות פתוחות‪ ,‬אם קיימות ‪ U, V‬פתוחות כך שמתקיים ‪ B ⊂ V ,A ⊂ U‬וגם‬
‫∅ = ‪.U ∩ V‬‬
‫‪ .2‬יהיו ‪ x, y ∈ X‬זוג נקודות שונות‪ .‬נאמר כי ‪ x, y‬ניתנות להפרדה אם הקבוצות‬
‫הזרות }‪ {x} , {y‬ניתנות להפרדה במובן של קבוצות‪.‬‬
‫∈ ‪ .x‬נאמר כי ‪ x, A‬ניתנות‬
‫‪ .3‬יהיו ‪ A ⊂ X ,x ∈ X‬נקודה ותת־קבוצה כך ש‪/ A-‬‬
‫להפרדה אם הקבוצות הזרות ‪ {x} , A‬ניתנות להפרדה במובן של קבוצות‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫אקסיומות הפרדה‬
‫הגדרה‪ :‬יהי ) ‪ (X, T‬מרחב טופולוגי‪ .‬נגדיר כמה תכונות שייתכן ומתקיימות במרחב‪:‬‬
‫‪ .1‬אקסיומת ההפרדה ‪ :T0‬לכל זוג נקודות שונות קיימת פתוחה שמכילה אחת מהן‬
‫ולא את השנייה‪.‬‬
‫‪ .2‬אקסיומת ההפרדה ‪ :T1‬לכל זוג נקודות שונות קיימת פתוחה שמכילה אחת מהם‬
‫ולא את השנייה‪ ,‬וקיימת פתוחה שמכילה את השנייה ולא את הראשונה‪ .‬באופן‬
‫‪9‬‬
‫שקול‪ :‬כל יחידון הוא קבוצה סגורה‪.‬‬
‫‪ .3‬אקסיומת ההפרדה ‪) T2‬האוסדורף(‪ :‬כל זוג נקודות שונות ניתנות להפרדה‪.‬‬
‫‪ .4‬אקסיומת ההפרדה ‪ :T3‬מתקיימת ‪ T1‬וגם מתקיימת רגולריות; כלומר גם כל‬
‫נקודה וקבוצה סגורה )שלא מכילה את הנקודה( ניתנות להפרדה‪.‬‬
‫‪ .5‬אקסיומת ההפרדה ‪ :T4‬מתקיימת ‪ T1‬וגם מתקיימת נורמליות; כלומר גם כל זוג‬
‫קבוצות זרות וסגורות ניתנות להפרדה‪.‬‬
‫‪9‬נראה את השקילות‪ :‬בכיוון ראשון‪ ,‬אם כל יחידון הוא סגור אז לכל ‪ x, y ∈ X‬שונים הקבוצה }‪X − {x‬‬
‫פתוחה ומקיימת את הנדרש‪.‬‬
‫יהי ‪ .x ∈ X‬לכל }‪ y ∈ X − {x‬יש ‪ Uy‬פתוחה המכילה את ‪ y‬ולא את ‪ .x‬לכן = }‪X − {x‬‬
‫בכיוון שני‪S ,‬‬
‫‪ y∈X−{x} Uy‬וזה איחוד של קבוצות פתוחות ולכן זו קבוצה פתוחה‪ .‬מכאן כי }‪ {x‬סגורה‪.‬‬
‫‪18‬‬
‫המחשה )מוויקיפדיה(‪:‬‬
‫א‬
‫אנקודה שחורה היא נקודה במרחב; ריבוע אדום הוא קבוצה סגורה; ויריעה כחולה היא קבוצה פתוחה‪.‬‬
‫הערה‪T4 =⇒ T3 =⇒ T2 =⇒ T1 =⇒ T0 :‬‬
‫‪ :T4 =⇒ T3‬אם ניתן להפריד כל זוג קבוצות זרות וסגורות‪ ,‬אז ניתן להפריד גם‬
‫קבוצה סגורה ונקודה‪ ,‬כי מהנחת ‪ T1‬כל יחידון הוא קבוצה סגורה‪.‬‬
‫‪ :T3 =⇒ T2‬מתקבל כמקרה פרטי‪.‬‬
‫‪ :T2 =⇒ T1‬נובע מהאיפיון השקול שהראינו ל‪.T1 -‬‬
‫‪ :T1 =⇒ T0‬מתקבל כמקרה פרטי‪.‬‬
‫טענה‪ :‬מרחב טופולוגי הוא רגולרי אם ורק אם לכל ‪ ,x ∈ X‬לכל פתוחה ‪ U‬שמכילה את ‪x‬‬
‫קיימת פתוחה ‪ V‬שמכילה את ‪ x‬כך שמתקיים ‪.x ∈ V ⊂ V ⊂ U‬‬
‫טענה‪ :‬מרחב טופולוגי הוא נורמלי אם ורק אם לכל קבוצה סגורה ‪ ,A‬לכל פתוחה ‪ U‬שמכילה‬
‫את ‪ A‬קיימת פתוחה ‪ V‬שמכילה את ‪ A‬כך שמתקיים ‪.A ⊂ V ⊂ V ⊂ U‬‬
‫הוכחה‪) :‬כיוון ראשון( נניח כי ‪ X‬מרחב טופולוגי נורמלי‪ .‬תהי ‪ A‬קבוצה סגורה ותהי ‪U‬‬
‫פתוחה שמכילה את ‪ .A‬לכן ‪ X − U‬סגורה וזרה ל‪.A-‬‬
‫מהנחת הנורמליות קיימות ‪ V, W‬פתוחות וזרות שעבורן ‪,X − U ⊂ W ,A ⊂ V‬‬
‫ומכאן‪:‬‬
‫‪A⊂V ⊂V ⊂X −W ⊂U‬‬
‫כאשר ההכלה השלישית נובעת מכך ש‪ V , W -‬קבוצות זרות‪ ,‬שכן ‪ V, W‬פתוחות‬
‫‪10‬‬
‫וזרות‪.‬‬
‫)כיוון שני( נניח את התנאי המצוין בטענה‪ ,‬ויהיו ‪ A, B‬סגורות וזרות‪ .‬מתקיים כי‬
‫‪ A ⊂ X − B‬ו‪ X − B-‬פתוחה ולכן היא פתוחה שמכילה את ‪.A‬‬
‫מההנחה נובע שקיימת ‪ V‬פתוחה כך שמתקיים ‪ .A ⊂ V ⊂ V ⊂ X − B‬אבל‬
‫‪ ,B ⊂ X − V‬ולכן הקבוצות ‪ V, X − V‬פתוחות וזרות שמפרידות את ‪ .A, B‬‬
‫טענה‪ :‬מרחב טופולוגי ‪ X‬הוא האוסדורף ) ‪ (T2‬אם ורק אם ⊂ }‪4 =: {(x, x) |x ∈ X‬‬
‫‪ X × X‬היא קבוצה סגורה בטופולוגיית המכפלה על המרחב ‪.X × X‬‬
‫‪10‬כי ‪ X − W‬סגורה וכן ‪ V ⊆ X − W‬מזרותן‪ .‬מהגדרת הסגור נובע ‪ V ⊆ X − W‬ומכאן כי ‪ V , W‬זרות‪.‬‬
‫‪19‬‬
‫הוכחה‪) :‬כיוון ראשון(‬
‫‪c‬‬
‫‪c‬‬
‫נניח כי ‪ X‬מרחב האוסדורף ונוכיח כי ‪ 4‬קבוצה פתוחה‪ .‬תהי ‪ ,(x, y) ∈ 4‬כלומר‬
‫‪ .x 6= y‬מהיות ‪ X‬האוסדורף נובע שניתן להפריד את ‪ x, y‬על־ידי זוג קבוצות פתוחות‬
‫וזרות ‪ U, V‬בהתאמה‪ .‬מכאן כי ‪ (x, y) ∈ U × V ⊂ X × X‬ומתקיים ‪U × V ⊂ 4c‬‬
‫מזרות‪.‬‬
‫)כיוון שני(‬
‫‪c‬‬
‫אם ‪ 4‬קבוצה סגורה ב‪ X × X-‬עם טופולוגיית המכפלה אז ‪ 4‬פתוחה‪ .‬לכן לכל‬
‫‪ x, y ∈ X‬שונות קיימת קבוצה פתוחה ‪ W‬כך שמתקיים ‪ .(x, y) ∈ W‬אבל קבוצה‬
‫פתוחה בטופולוגיית המכפלה היא מהצורה ‪ W = U × V‬כאשר ‪ U, V‬פתוחות ב‪,X-‬‬
‫ולכן ‪ (x, y) ∈ U × V‬כך ש‪ .y ∈ V ,x ∈ U -‬נשים לב ש‪ U, V -‬זרות כי אם היה‬
‫‪ t ∈ U ∩ V‬אז ‪ ,(t, t) ∈ U × V‬בסתירה לכך ש‪ .U × V ⊂ 4c -‬‬
‫טענה‪ :‬עבור ‪ ,T1 , T2 , T3‬אם ‪ X‬הוא מרחב טופולוגי ‪ ,Ti‬אז גם כל תת־מרחב שלו הוא ‪.Ti‬‬
‫‪11‬‬
‫הוכחה‪ :‬נוכיח ל‪ .T1 , T3 -‬יהי ‪ X‬מרחב טופולוגי ‪ ,T3‬כלומר ‪ X‬הוא ‪ T1‬ורגולרי‪ ,‬ויהי ‪E ⊂ X‬‬
‫תת־מרחב עם הטופולוגיה המושרית‪.‬‬
‫נראה ש‪ E-‬הוא ‪ :T1‬תהי ‪ .x ∈ E‬מתקיים כי }‪ {x‬סגורה ב‪ X-‬מהנחת ‪ ,T1‬ולכן‬
‫}‪ X − {x‬פתוחה ב‪ .X-‬נשים לב כי )}‪ ,E − {x} = E ∩ (X − {x‬ולכן זו קבוצה‬
‫פתוחה בטופולוגיה המושרית‪ ,‬ומכאן כי }‪ {x‬סגורה ב‪.E-‬‬
‫∈ ‪ .x‬מהגדרת‬
‫נראה ש‪ E-‬הוא ‪ :T3‬תהי ‪ x ∈ E‬ותהי ‪ A ⊂ E‬סגורה ב‪ E-‬כך ש‪/ A-‬‬
‫‪12‬‬
‫∈ ‪.x‬‬
‫הטופולוגיה המושרית נובע שקיימת ‪ C‬סגורה ב‪ X-‬כך ש‪ A = E ∩ C-‬וכן ‪/ C‬‬
‫מכך ש‪ X-‬הוא ‪ T3‬נובע שניתן להפריד את ‪ x, C‬על־ידי ‪ U, V‬פתוחות וזרות כלשהן‬
‫בהתאמה‪ ,‬ומכאן ‪ ,A ⊂ E∩V ,x ∈ E∩U‬שאלו קבוצות פתוחות מהגדרת הטופולוגיה‬
‫המושרית‪ .‬‬
‫טענה‪ :‬עבור ‪ ,T1 , T2 , T3‬אם ‪ X, Y‬הם מרחבים טופולוגיים ‪ ,Ti‬אז גם ‪ X × Y‬הוא ‪Ti‬‬
‫‪13‬‬
‫בטופולוגיית המכפלה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נוכיח ל‪ .T3 -‬יהיו ‪ X, Y‬מרחבים טופולוגיים ‪ ,T3‬נוכיח שמתקיים את התנאי השקול‬
‫לרגולריות שהראינו לעיל‪.‬‬
‫תהי ‪ A‬סגורה ותהי ‪ W‬סביבה של ‪ .(x, y) ∈ X × Y‬מהיות ‪ W‬סביבה נובע שקיימות‬
‫‪ V1 , V2‬פתוחות כך ש‪.(x, y) ∈ V1 × V2 ⊂ W -‬‬
‫מרגולריות ‪ X, Y‬נובע שקיימות ‪ U1 , U2‬כך שמתקיים‪:‬‬
‫‪x ∈ U1 ⊂ U1 ⊂ V1‬‬
‫‪y ∈ U2 ⊂ U2 ⊂ V 2‬‬
‫ומכאן כי‪:‬‬
‫‪(x, y) ∈ U1 × U2 ⊂ U1 × U2 = U1 × U2 ⊂ V1 × V2‬‬
‫כאשר את השוויון לא קשה להראות בטופולוגיית המכפלה‪.‬‬
‫‪14‬‬
‫‬
‫‪11‬נשים לב שזה לא נכון ל‪ .T4 -‬נציין מדוע במהלך ההוכחה‪.‬‬
‫‪12‬בשלב זה ההוכחה לא תעבוד ל‪ .T4 -‬כי בהינתן ‪ A, B‬סגורות וזרות ב‪ E-‬זה לא אומר שהן גם זרות ב‪.X-‬‬
‫לכן אפילו אם ‪ X‬הוא ‪ T4‬ייתכן שהן חופפות ב‪ X-‬ולכן לא ניתנות להפרדה‪.‬‬
‫‪13‬גם זה לא נכון ל‪ ,T4 -‬מסיבה דומה‪.‬‬
‫‪14‬הוא לא בהכרח נכון בטופולוגיית הקופסה של מכפלה אינסופית‪.‬‬
‫‪20‬‬
‫טענה‪ :‬כל מרחב מטרי הוא ‪) .T4‬וממילא גם ‪.(T1 , T2 , T3‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהיו ‪ A, B‬קבוצות סגורות וזרות במרחב מטרי ‪ .X‬ראשית קל לראות שלכל ‪x ∈ X‬‬
‫היחידון }‪ {x‬סגור‪ ,‬כי }‪ .{x} = {y ∈ X|d (y, x) ≤ 0‬נראה שמתקיימת נורמליות‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬בהינתן נקודה ‪ t ∈ X‬וקבוצה ‪ ,E ⊂ X‬נגדיר }‪.d (t, E) =: inf e∈E d {t, e‬‬
‫נשים לב שלכל ‪ x ∈ A‬מתקיים ‪ d (x, B) > 0‬ממש‪ ,‬כי אחרת ‪ x ∈ B = B‬בסתירה‬
‫לזרות ‪ .A, B‬ובאופן דומה גם ל‪.x ∈ B-‬‬
‫אם כך לכל ‪ a ∈ A‬נסמן ‪ ,d (a, B) = ra,B > 0‬וכן לכל ‪ b ∈ B‬נסמן = )‪d (b, A‬‬
‫‪.rb,A > 0‬‬
‫כעת נשים לב שמתקיים‪:‬‬
‫[‬
‫)‪B rb,A (b‬‬
‫‪B ⊂ V =:‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪B ra,B (a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪b∈B‬‬
‫[‬
‫‪A ⊂ U =:‬‬
‫‪a∈A‬‬
‫אם כך מספיק להראות ש‪ U, V -‬הנ"ל זרות‪ ,‬ובזאת נפריד את ‪.A, B‬‬
‫נניח בשלילה כי ‪ .x ∈ U ∩ V‬לכן יש ‪ b0 ∈ B ,a0 ∈ A‬כך ש‪x ∈ B ra0 ,B (a0 ) ∩-‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪ .B rb0 ,A (b0‬נקבל מאי־שוויון המשולש‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪= d (a0 , b0‬‬
‫) ‪d(a0 ,b0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪+‬‬
‫) ‪d(a0 ,b0‬‬
‫‪2‬‬
‫≤‬
‫)‪d(b0 ,A‬‬
‫‪2‬‬
‫‪+‬‬
‫)‪d(a0 ,B‬‬
‫‪2‬‬
‫< ) ‪d (a0 , b0 ) ≤ d (a0 , x) + d (x, b0‬‬
‫וזו סתירה‪ .‬‬
‫דוגמאות‪ :‬ראינו שמתקיים ‪ .T4 =⇒ T3 =⇒ T2 =⇒ T1 =⇒ T0‬נראה דוגמה נגדית לכל‬
‫אחת מהגרירות ההפוכות‪.‬‬
‫‪ .1‬דוגמה למרחב שאינו ‪ :T0‬כל מרחב עם לפחות שתי נקודות שונות והטופולוגיה‬
‫הטריוויאלית‪.‬‬
‫‪ .2‬דוגמה למרחב ‪ T0‬שאינו ‪ :T1‬ניקח את הקבוצה }‪ X = {a, b‬עם הטופולוגיה‬
‫}‪.T = {∅, {a} , X‬‬
‫‪15‬‬
‫‪ .3‬דוגמה למרחב ‪ T1‬ולא ‪ :T2‬כל מרחב אינסופי עם טופולוגיית המשלים הסופי‪.‬‬
‫קל לראות שכל נקודה היא סגורה‪ ,‬אבל לא ניתן להפריד נקודות כי כלל לא‬
‫קיימות זוג קבוצות פתוחות וזרות‪.‬‬
‫‪ .4‬דוגמה למרחב ‪ T2‬ולא ‪ :T3‬נגדיר את המרחב הטופולוגי ‪ R N1‬להיות הקבוצה ‪R‬‬
‫עם הטופולוגיה הנוצרת על־ידי הבסיס‪:‬‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫\ )‪{(a, b) |a, b ∈ R} ∪ (a, b‬‬
‫‪|a, b ∈ R‬‬
‫‪n n∈N‬‬
‫קל לראות כי ‪ R N1‬הוא ‪ ,T2‬כי הטופולוגיה עליו חזקה יותר מהטופולוגיה‬
‫הסטנדרטית שבה כל זוג נקודות ניתנות להפרדה‪ .‬נראה שהוא אינו ‪.T3‬‬
‫‪S‬‬
‫ראשית נשים לב כי ‪ N1‬סגורה‪ ,‬כי ‪ .R N1 − N1 = a,b∈R (a, b) \ N1‬נראה שלא‬
‫ניתן להפריד את הנקודה ‪ 0‬מהקבוצה הסגורה ‪. N1‬‬
‫‪15‬כלומר הקבוצות הפתוחות הן אלו שהמשלימות שלהן סופיות‪.‬‬
‫‪21‬‬
‫נניח כי ‪ U, V‬פתוחות המקיימות ‪ . N1 ⊂ V ,0 ∈ U‬מהיות ‪ U‬פתוחה נובע שהיא‬
‫מכילה קבוצת בסיס כלשהי סביב ‪ ,0‬ולכן היא בהכרח מהצורה ‪(a0 , b0 ) \ N1‬‬
‫‪1‬‬
‫ל‪ 16 .a0 < 0 < b0 -‬כלומר עבור ‪ m‬מספיק גדול מתקיים ‪\ N1 ⊂ U‬‬
‫‪0 ∈ a0 , m‬‬
‫ל‪.a0 < 0-‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫נתבונן בנקודה ‪ . 2m ∈ N‬מהנתון ‪ N ⊂ V‬נובע שקיימת קבוצת בסיס שמכילה‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 2m‬ל‪ c, d-‬כלשהם‪ .‬אבל )‪ (c, d‬ו‪\ N1 -‬‬
‫אותה‪ ,‬כלומר ‪∈ (c, d) ⊂ V‬‬
‫‪a0 , m‬‬
‫בבירור אינן זרות‪ ,‬ולכן ‪ U, V‬בהכרח אינן זרות‪ .‬כלומר לא קיימות ‪U, V‬‬
‫פתוחות וזרות שמפרידות את ‪ 0‬ו‪. N1 -‬‬
‫‪ .5‬דוגמה למרחב ‪ T3‬ולא ‪ :T4‬נסמן ב‪ Rl -‬את הקבוצה ‪ R‬עם הטופולוגיה הנוצרת‬
‫על־ידי הבסיס }‪ .{[a, b) |a, b ∈ R‬זה מרחב ‪) T4‬תרגיל(‪ .‬בפרט אמנם זה מרחב‬
‫‪ T3‬ולכן גם ‪ Rl × Rl‬הוא ‪ ,T3‬אך נראה ש‪ Rl × Rl -‬אינו ‪ .T4‬מרחב זה יהווה‬
‫גם דוגמה לכך שמכפלת מרחבי ‪ T4‬אינה בהכרח ‪.T4‬‬
‫)א( נתבונן בקבוצה ‪ ,4 =: {(x, −x) |x ∈ R} ⊂ Rl × Rl‬עם טופולוגיית‬
‫המכפלה המושרית מ‪ .Rl × Rl -‬נסמן ב‪ A-‬את אוסף הנקודות הרציונליות‬
‫שב‪ 4-‬וב‪ B-‬את אוסף הנקודות האי רציונליות שב‪ .4-‬נראה כי ‪A, B‬‬
‫קבוצות סגורות בטופולוגיית המכפלה המושרית מ‪ ,Rl × Rl -‬ולבסוף נראה‬
‫שהן לא ניתנות להפרדה‪ ,‬כלומר ‪ Rl × Rl‬אינו ‪.T4‬‬
‫)ב( ‪ A, B‬סגורות‪ :‬נשים לב ש‪ Ac -‬כוללת את הנקודות שמחוץ ל‪ 4-‬ואת‬
‫הנקודות האי־רציונליות שב‪ .4-‬ניתן לבטא זאת‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫[‬
‫‪Ac = ‬‬
‫}‪[r, ∞) × [−r, ∞) ∪ {(x, y) |x < −y‬‬
‫‪r∈R\Q‬‬
‫כלומר ‪ Ac‬פתוחה ולכן ‪ A‬סגורה‪ .‬באופן דומה ניתן לראות גם כי ‪ B‬סגורה‪.‬‬
‫)ג( ‪ A, B‬לא ניתנות להפרדה‪ :‬נניח בשלילה שקיימות ‪ U, V‬פתוחות וזרות‬
‫קבוצה‬
‫נגדיר‬
‫ב‪ ,Rl × Rl -‬והן מפרידות את ‪A, B‬‬
‫‬
‫טבעי ‬
‫בהתאמה‪ .‬לכל ‪ n‬‬
‫‬
‫ה‪ r ∈ R\Q-‬שמקיימים ‪. r, r + n1 × −r, −r + n1 ⊂SV‬‬
‫‪ ,In‬להיות כל ‪S‬‬
‫מתקיים ‪ ,R = Q ∪ n∈N In‬כי ‪ n∈N In‬כוללת את כל האי־רציונליים‪.‬‬
‫נתייחס כעת ל‪ R-‬כמרחב עם הטופולוגיה הסטנדרטית‪ .‬ממשפט שנוכיח‬
‫בהמשך )משפט בייר( ינבע שלא ניתן להציג את הישר הממשי כאיחוד‬
‫בן־מניה של קבוצות סגורות וזרות ובעלות פנים ריק‪ .‬אבל נשים לב שכל‬
‫הנקודות ב‪ Q-‬הן קבוצות סגורות וזרות ובעלות פנים ריק בטופולוגיה‬
‫הסטנדרטית‪ ,‬ולכן מהשוויון הנ"ל בהכרח קיים ‪ m‬טבעי כך ש‪ Im -‬בעלת‬
‫כלומר היא מכילה קטע ממשי פתוח שנסמן )‪.(a, b‬‬
‫פנים שאינו ריק‪.‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫מכאן נובע כי ‪⊂ V‬‬
‫‪ . (x, −x + ε) |a < x < b, 0 < ε < m‬לכן כל‬
‫)‪ (q, −q‬ל‪ q ∈ (a, b)-‬היא נקודת גבול של אי רציונליים מ‪ .Im -‬אבל באופן‬
‫כללי ‪ (q, −q) ∈ U‬וכן הנחנו כי ‪ U, V‬פתוחות‪ ,‬ולכן ‪,(−q, q) ∈ U ∩ V‬‬
‫בסתירה להנחה כי ‪ U, V‬זרות‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫הלמה של אוריסון‬
‫משפט‪ :‬יהי ‪ X‬מרחב ‪ ,T4‬אזי לכל ‪ C, D ⊂ X‬סגורות‪ ,‬לא ריקות וזרות‪ ,‬קיימת פונקציה‬
‫רציפה ]‪ ,f : X → [0, 1‬כך שמתקיים ‪.f |C = 0, f |D = 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ , n‬ואז ‪ U, V‬לא היו זרות‪.‬‬
‫‪16‬אם היא הייתה מהצורה )‪ (a, b‬ל‪ ,a < 0 < b-‬היא הייתה מכילה איזושהי נקודה‬
‫‪22‬‬
‫הוכחה‪ :‬הראינו לעיל שנורמליות שקולה לכך שלכל סגורה ‪ A‬ולכל פתוחה ‪ U‬המכילה את‬
‫‪ ,A‬קיימת פתוחה ‪ V‬וסגורה ‪) Z‬ניתן לבחור אותה להיות ‪ (V‬כך שמתקיים ⊂ ‪A ⊂ V‬‬
‫‪.Z ⊂ U‬‬
‫‪ .1‬בהינתן מרחב נורמלי ‪ X‬וקבוצות ‪ C, D‬סגורות‪ ,‬לא ריקות וזרות‪ ,‬נשתמש‬
‫באיפיון הנ"ל כדי להגדיר אינדוקטיבית סדרה אינסופית ועולה ביחס להכלה של‬
‫קבוצות פתוחות וסגורות לסירוגין‪.‬‬
‫נשים לב שהקבוצות ‪ C, D‬הנתונות הן סגורות וזרות ולפיכך ‪V1 =: X −‬‬
‫‪ D‬פתוחה המכילה את ‪ C0 =: C‬הסגורה‪ .‬כלומר השלב הראשון בהגדרה‬
‫האינדוקטיבית ‪.C0 ⊂ V1‬‬
‫מהאיפיון שהזכרנו נובע שקיימות סגורה ‪ C 21‬ופתוחה ‪ V 12‬כך שמתקיים‪:‬‬
‫‪C0 ⊂ V 21 ⊂ C 12 ⊂ V1‬‬
‫מהאיפיון שהזכרנו נובע שוב שקיימות שתי סגורות ‪ C 14 , C 34‬ושתי פתוחות‬
‫‪ V 14 , V 43‬כך שמתקיים‪:‬‬
‫‪C0 ⊂ V 14 ⊂ C 14 ⊂ V 21 ⊂ C 12 ⊂ V 34 ⊂ C 43 ⊂ V1‬‬
‫ובאופן אינדוקטיבי‪ ,‬לכל ‪ k‬טבעי נקבל בשלב ה‪ k-‬סדרה מהצורה‪:‬‬
‫‪⊂ ... ⊂ V 2k −1 ⊂ C 2k −1 ⊂ V1‬‬
‫‪2k‬‬
‫‪2k‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2k‬‬
‫‪⊂C‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2k‬‬
‫‪C0 ⊂ V‬‬
‫כאשר ‪ Cj‬כולן סגורות ו‪ Vj -‬כולן פתוחות‪.‬‬
‫‪ .2‬נגדיר פונקציה ]‪ f : X → [0, 1‬על־ידי‪:‬‬
‫‪∃t x ∈ Vt‬‬
‫‪otherwise‬‬
‫‪‬‬
‫}‪ inf {t‬‬
‫‪x∈Vt‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫נוכיח כי ‪ f‬רציפה ומקיימת ‪.f |C = 0, f |D = 1‬‬
‫∈ ‪ .x‬אבל כל ‪Vt ⊂ V1‬‬
‫)א( ‪ :f |D = 1‬לכל ‪ x ∈ D‬מתקיים ‪/ X − D = V1‬‬
‫∈ ‪ x‬לכל ‪ t‬ומכאן ‪.f (x) = 1‬‬
‫ולכן ‪/ Vt‬‬
‫)ב( ‪ :f |C = 0‬נשים לב כי ‪ C = C0 ⊂ V 1k‬לכל ‪ k‬טבעי‪ .‬לכן לכל ‪x ∈ C‬‬
‫‪2‬‬
‫מתקיים ‪ x ∈ V 1k‬לכל ‪ k‬טבעי‪ ,‬ומכאן ‪.f (x) = 0‬‬
‫‪2‬‬
‫)ג( ‪ f‬רציפה‪ :‬לשם כך מספיק להראות כי ‪ f‬רציפה לקבוצות תת־בסיס‬
‫כלשהו של הטופולוגיה הסטנדרטית של ]‪ .[0, 1‬אז ניקח את התת־בסיס‬
‫}‪ {[0, b) |0 ≤ b ≤ 1}∪{(b, 1] |0 ≤ b ≤ 1‬ונראה כי )]‪f −1 ([0, b)) , f −1 ((b, 1‬‬
‫פתוחות לכל ‪.0 ≤ b ≤ 1‬‬
‫ש‪ f −1 ([0, b))-‬פתוחה‪ .‬לשם כך די להראות כי = ))‪f −1 ([0, b‬‬
‫‪ .i‬נראה ‪S‬‬
‫‪ , t<b Vt‬שכן ‪ Vt‬פתוחה לכל ‪.t‬‬
‫מצד אחד‪ ,‬אם ))‪ x ∈ f −1 ([0, b‬אז מההגדרה ‪ ,f (x) < b ≤S1‬ולכן‬
‫‪ .f (x) < tS‬כלומר ‪.x ∈ Vt0 ⊂ t<b Vt‬‬
‫קיים ‪ t0‬המקיים ‪0 < b‬‬
‫מצד שני‪ ,‬אם ‪ x ∈ t<b Vt‬אז יש ‪ t0 < b‬כך ש‪ .x ∈ Vt0 -‬כלומר‬
‫‪ f (x) ≤ t0 < b‬מהגדרת הפונקציה‪ ,‬ולכן ))‪.x ∈ f −1 ([0, b‬‬
‫‪23‬‬
‫‪ .ii‬נראה ש‪ f −1 ((b,T1])-‬פתוחה‪ .‬לשם כך די להראות כי המשלימה שלה‬
‫היא ‪ ,f −1 ([0, b]) = b<t Ct‬שכן ‪ Ct‬סגורה לכל ‪.t‬‬
‫במקרה ‪ b = 1‬מתקיים ∅ = )]‪ f −1 ((b, 1‬וזו קבוצה סגורה‪ .‬לכן נניח‬
‫‪ 0 ≤ b < 1‬ונראה את השוויון הנ"ל‪.‬‬
‫מצד אחד‪ ,‬אם )]‪ x ∈ f −1 ([0, b‬אז ‪ ,f (x) ≤ b < 1‬ולכן ‪x ∈ Vt‬‬
‫‪ .b T‬אבל תמיד ‪ Vt ⊂ Ct‬ולכן ‪ x ∈ Ct‬לכל ‪ ,b < t‬כלומר‬
‫לכל ‪< t‬‬
‫‪.x ∈ b<t Ct‬‬
‫∈ ‪ x‬אז )‪ ,b < f (x‬ולכן קיימים ‪t1 , t2‬‬
‫מצד שני‪ ,‬אם )]‪/ f −1 ([0, b‬‬
‫‪ tT‬נובע כי‬
‫כך ש‪ .b < t1 < t2 < f (x)-‬אבל מכך ש‪2 < f (x)-‬‬
‫∈ ‪ .x‬‬
‫∈ ‪ ,x‬ומכך שגם ‪ b < t1‬נוכל להסיק כי ‪/ b<t Ct‬‬
‫‪/ Vt2 ⊂ Ct1‬‬
‫‪10‬‬
‫אקסיומות המניה‬
‫הגדרות‪ :‬יהי ‪ X‬מרחב טופולוגי ותהי ‪.x ∈ X‬‬
‫• אוסף של פתוחות ‪ {Ui }i∈I‬המכילות את ‪ x‬הוא בסיס לפתוחות של ‪ ,x‬אם לכל‬
‫קבוצה פתוחה ‪ V‬המכילה את ‪ ,x‬קיים ‪ i‬כך ש‪.x ∈ Ui ⊂ V -‬‬
‫• ‪ X‬מקיים את אקסיומת המניה הראשונה אם לכל ‪ x ∈ X‬קיים בסיס בן־מניה‬
‫לפתוחות שלו‪.‬‬
‫• ‪ X‬מקיים את אקסיומת המניה השנייה אם לטופולוגיה שלו קיים בסיס בן־מניה‪.‬‬
‫• ‪ X‬נקרא לינדלוף )‪ (Lindelöf‬אם לכל כיסוי פתוח של המרחב קיים תת־כיסוי‬
‫בן־מניה‪.‬‬
‫• ‪ X‬נקרא ספרבילי אם קיימת בו קבוצה צפופה שהיא בת־מניה‪.‬‬
‫טענה‪ :‬מרחב רגולרי המקיים את אקסיומת המניה השניה‪ ,‬הוא נורמלי‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ X‬מרחב רגולרי המקיים את אקסיומת המניה השנייה‪ .‬נניח כי ‪ B‬בסיס בן‬
‫מניה לטופולוגיה על ‪ ,X‬ויהיו ‪ A, B ⊂ X‬קבוצות סגורות וזרות‪.‬‬
‫∈ ‪ .a‬לכן ‪ X − B‬סביבה פתוחה של ‪ ,a‬ומאיפיון שקול‬
‫לכל ‪ a ∈ A‬מתקיים ‪/ B‬‬
‫לרגולריות יש קבוצה פתוחה ‪ Ua ∈ B‬המקיימת ‪ .a ∈ Ua ⊂ Ua ⊂ X − B‬נשים‬
‫לב שהאוסף ‪ {Ua }a∈A‬הוא בן מניה כי הקבוצות בו נלקחו רק מתוך ‪ .B‬לכן קיימת‬
‫∞‬
‫∞‬
‫סדרה ‪ {an }n=1 ⊂ A‬כך ש‪ {Uan }n=1 -‬כיסוי פתוח של ‪ ,A‬וכל ‪ Uan‬לא נחתכת עם‬
‫‪.B‬‬
‫∞‬
‫∞‬
‫באותו אופן קיימת סדרה ‪ {bm }m=1 ⊂ B‬כך ש‪ {Vbm }m=1 -‬כיסוי פתוח של ‪ ,B‬וכל‬
‫‪ Vbm‬לא נחתכת עם ‪.A‬‬
‫‪Sk‬‬
‫‪Sk‬‬
‫לכל ‪ k‬טבעי נגדיר ‪ Sk = Uk − i=1 Vi‬וכן ‪ .Tk = Vk − j=1 Uj‬קל לראות‬
‫∞‪S‬‬
‫∞‪S‬‬
‫שאלו קבוצות פתוחות‪ .‬נסמן ‪ .O = k=1 Sk , P = k=1 Tk‬אלו קבוצות פתוחות‪,‬‬
‫ונראה שהן מפרידות את ‪.A, B‬‬
‫∞‪S‬‬
‫נשים לב כי ‪ A ⊂ n=1 Uan‬וכן ∅ = ‪ A ∩ Vbm‬לכל ‪ ,m‬ולכן ‪ .A ⊂ O‬באותו אופן‬
‫ניתן לראות כי ‪ .B ⊂ P‬ההוכחה כי ∅ = ‪ O ∩ P‬מושארת כתרגיל‪ 17 .‬‬
‫‪17‬אם בשלילה היה ‪ t ∈ O ∩ P‬אז היו אינדקסים ‪ n, m‬כך ש‪.t ∈ Sn ∩ Tm -‬‬
‫‪24‬‬
‫‪11‬‬
‫משפט המטריזציה של אוריסון‬
‫הגדרה‪ :‬מרחב טופולוגי ‪ X‬נקרא מטריזבילי‪ ,‬אם קיימת מטריקה על ‪ X‬שמשרה את‬
‫הטופולוגיה הנתונה‪.‬‬
‫הערה‪ :‬אם ‪ X‬מרחב טופולוגי מטריזבילי‪ ,‬אז כל תת־מרחב מושרה שלו גם הוא מטריזבילי‪.‬‬
‫‪N‬‬
‫הערה‪ :‬המרחב }‪ {0, 1‬הוא המכפלה בת המניה של המרחב הדיסקרטי }‪ {0, 1‬עם טופולוגיית‬
‫המכפלה‪ .‬מרחב זה מטריזבילי‪ ,‬כי הטופולוגיה שלו מושרית מהמטריקה‪:‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫) ‪di (xi , yi‬‬
‫‪2i‬‬
‫‪d ((x1 , x2 , ...) , (y1 , y2 , ...)) =:‬‬
‫‪i=1‬‬
‫כאשר ‪ di‬המטריקה הדיסקרטית על }‪ .{0, 1‬ההוכחה מושארת כתרגיל‪.‬‬
‫‪N‬‬
‫הוכחה דומה תראה כי המרחב ]‪ [0, 1‬כמכפלה בת־מניה של הקטעים ]‪ [0, 1‬עם‬
‫הטופולוגיה הסטנדרטית‪ ,‬גם הוא מטריזבילי‪.‬‬
‫משפט‪ :‬אם ‪ X‬מרחב טופולוגי ‪ T3‬המקיים גם את אקסיומת המניה השנייה‪ ,‬ולפיכך בפרט‬
‫גם נורמלי כפי שהראינו‪ ,‬אז הוא מטריזבילי‪.‬‬
‫‪N‬‬
‫הוכחה‪ :‬נראה שבתנאים אלו ‪ X‬הומאומורפי לתת־קבוצה כלשהי ‪ E‬של ]‪ ,[0, 1‬שהיא‬
‫מטריזבילית כתת־מרחב של מרחב מטריזבילי‪ 18 .‬מכאן ברור שאם ‪f : X → E‬‬
‫הומאומורפיזם וכן ‪ E‬מטריזבילי על־ידי המטריקה ‪ ,d‬אז המטריקה ‪ρ (x, y) =:‬‬
‫))‪ d (f (x) , f (y‬משרה את הטופולוגיה על ‪.X‬‬
‫‪ X .1‬מקיים את אקסיומת המניה השנייה‪ ,‬אז יהי ‪ B‬בסיס בן־מניה של ‪.X‬‬
‫לכל זוג קבוצות בסיס ‪ U, V‬לא ריקות המקיימות ‪ ,U ⊂ V‬הקבוצות ‪U , X − V‬‬
‫סגורות וזרות‪ .‬לכן מהלמה של אוריסון קיימת פונקציה רציפה ]‪f : X → [0, 1‬‬
‫כך שמתקיים ‪ .f |U = 0, f |X−V = 1‬עבור כל קבוצות הבסיס ‪ B‬נקבל אוסף‬
‫לכל היותר בן־מניה של פונקציות כנ"ל‪ ,‬שנסמן ‪.{fn }n∈N‬‬
‫‪ .2‬למה‪ :‬לכל ‪ x ∈ X‬ולכל ‪ C ⊂ X‬סגורה שאינה מכילה את ‪ ,x‬קיים ‪ n‬טבעי כך‬
‫שמתקיים ‪.fn (x) = 0, fn |C = 1‬‬
‫הוכחת הלמה‪ :‬מהנתון נובע ‪ .x ∈ X − C‬הנחנו כי ‪ X‬הוא ‪ ,T3‬ובהתאם‬
‫לאיפיון שקול שהראינו לרגולריות נובע שקיימת פתוחה ‪ ,V‬ללא הגבלת הכלליות‬
‫‪ 19 ,V ∈ B‬כך שמתקיים ‪ .x ∈ V ⊂ V ⊂ X − C‬נשים לב כי ‪ V , C‬סגורות‬
‫וזרות‪ ,‬ולכן מהלמה של אוריסון קיים ‪ n‬טבעי כך ש‪ fn : X → [0, 1]-‬רציפה‬
‫ומקיימת ‪ .fn |V = 0, fn |C = 1‬אבל ‪ x ∈ V‬וכן ‪ ,C ⊂ X − V‬ומכאן הטענה‪.‬‬
‫‬
‫‪N‬‬
‫‪ .3‬נגדיר העתקה ]‪ F : X → [0, 1‬על־ידי )‪ ,x 7→ (f1 (x) , f2 (x) , ...‬ונראה כי‬
‫‪ F‬הומאומורפיזם של ‪ X‬על תמונתה‪.‬‬
‫)א( ‪ F‬חח"ע‪ :‬בהינתן ‪ x, y ∈ X‬כך ש‪ ,x 6= y-‬הקבוצה }‪ {y‬סגורה )הנחנו‬
‫‪ ,(T3‬ולכן קיים ‪ m‬טבעי כך ש‪ .fm (x) = 0, fm (y) = 1-‬מכאן שבגלל‬
‫הקואורדינטה ה‪ m-‬מתקיים )‪.F (x) 6= F (y‬‬
‫‪18‬זו אחת הסיבות שדרשנו ש‪ X-‬יקיים את אקסיומת המניה השנייה‪ .‬כי אם לא‪ ,‬נוכל לכל היותר להראות שהוא‬
‫הומאומורפי לתת־קבוצה של ‪ [0, 1]A‬ל‪ A-‬כלשהי‪ ,‬ומרחב זה אינו מטריזבילי בהכרח‪ .‬הסיבה השנייה היא כדי‬
‫שהמרחב יהיה נורמלי ולפיכך נוכל להשתמש בלמה של אוריסון‪ ,‬כפי שיפורט בהמשך ההוכחה‪.‬‬
‫‪ V 19‬היא איחוד של קבוצות בסיס‪ ,‬נבחר את קבוצת הבסיס ש‪ x-‬מוכל בה‪.‬‬
‫‪25‬‬
‫)ב( ‪ F‬רציפה‪ :‬לכל ‪ ,i‬הפונקציה ‪ fi‬רציפה לפי הלמה של אוריסון‪ ,‬ובטופולוגיית‬
‫המכפלה רציפות קואורדינטה־קואורדינטה שקולה לרציפות‪.‬‬
‫)ג( ‪ F −1‬רציפה‪ :‬נשים לב כי ‪ ,F −1 : F (X) → X‬לכן צריך להראות שבהינתן‬
‫‪ U ⊂ X‬פתוחה‪ ,‬גם )‪ F (U ) ⊂ F (X‬פתוחה‪ .‬כלומר‪ ,‬מהגדרת תת־מרחב‬
‫‪N‬‬
‫טופולוגי יש להראות שקיימת קבוצה פתוחה ]‪ V ⊂ [0, 1‬כך שמתקיים‬
‫)‪.F (U ) = V ∩ F (X‬‬
‫תהי ‪ U‬פתוחה ויהי ‪ .x ∈ U‬מהלמה ב‪ 2-‬נובע שקיים )‪ k (x‬טבעי מתאים‬
‫כך שמתקיים ‪.fk(x) (x) = 0, fk(x) |X−U = 1‬‬
‫‪−1‬‬
‫)‪ .fk(x‬כמו־כן נשים לב שאם ‪ πi‬היא‬
‫נשים לב שמתקיים ‪([0, 1)) ⊂ U‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫ההטלה על הקואורדינטה ה‪ i-‬אז ‪ ,fi = πi ◦ F‬ולכן ‪.fi = F ◦ πi‬‬
‫מכאן נסיק‪:‬‬
‫[‬
‫[‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫=‪U‬‬
‫)‪fk(x‬‬
‫= ))‪([0, 1‬‬
‫)‪F −1 ◦ πk(x‬‬
‫))‪([0, 1‬‬
‫‪x∈U‬‬
‫‪x∈U‬‬
‫⇓‬
‫‪−1‬‬
‫)‪πk(x‬‬
‫)‪([0, 1)) ∩ F (X‬‬
‫[‬
‫= ) ‪F (U‬‬
‫‪x∈U‬‬
‫‪ 20‬אבל טופולוגיית המכפלה מוגדרת על־ידי התת־בסיס שקבוצותיו הן ‪,π −1‬‬
‫ולכן ) ‪ F (U‬פתוחה‪ .‬‬
‫‪20‬כי באופן כללי אם )‪ f : X → f (X‬ו‪ ,A ⊂ f (X)-‬אז )‪.f −1 (f (A)) = A ∩ f (X‬‬
‫‪26‬‬
‫חלק‬
‫‪IV‬‬
‫קשירות‬
‫הגדרה‪ :‬מרחב טופולוגי ‪ X‬נקרא קשיר‪ ,‬אם לא קיימת הצגה מהצורה ‪ X = U ∪ V‬ל‪U, V -‬‬
‫כלשהן פתוחות‪ ,‬זרות ולא ריקות‪.‬‬
‫באופן טבעי‪ ,‬תת קבוצה נקראת קשירה אם היא מהווה תת־מרחב קשיר בטופולוגיה‬
‫המושרית‪.‬‬
‫הערה‪ :‬באופן שקול ניתן להגדיר מרחב טופולוגי ‪ X‬כקשיר‪ ,‬אם לא קיימת הצגה מהצורה‬
‫‪ X = C ∪ D‬ל‪ C, D-‬סגורות‪ ,‬זרות ולא ריקות‪.‬‬
‫טענה‪ :‬מרחב טופולוגי ‪ X‬שהוא ‪ T4‬הוא קשיר אם ורק אם לא קיימת פונקציה רציפה‬
‫}‪ ,f : X → {0, 1‬שהיא על‪ .‬כלומר כל פונקציה מהצורה הנ"ל היא קבועה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬בכיוון אחד‪ ,‬אם ‪ X‬לא קשיר אז ‪ ,X = U ∪ V‬ולכן מהלמה של אוריסון קיימת‬
‫פונקציה כזאת‪.‬‬
‫בכיוון שני‪ ,‬שעבורו לא צריך את ‪ ,T4‬אם קיימת פונקציה כנ"ל אז נפריד = ‪X‬‬
‫)‪ .f −1 (0) ∪ f −1 (1‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪ .1‬כל מרחב מהצורה ]‪ [a, b] ∪ [c, d‬ל‪ a < b < c < d ∈ R-‬הוא לא קשיר‬
‫מהגדרתו‪.‬‬
‫ √‬
‫√‬
‫‬
‫∪ ‪.Q = −∞, 2‬‬
‫‪ Q .2‬בטופולוגיה הסטנדרטית אינו קשיר‪ ,‬כי ∞ ‪2,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .3‬מרחב המטריצות ההפיכות )‪ GLn (R‬בטופולוגיה המושרית מ‪ Rn -‬אינו קשיר‪.‬‬
‫לעומת זאת המרחב )‪ GLn (C‬הוא קשיר‪.‬‬
‫‪21‬‬
‫טענה‪ :‬קשירות היא תכונה טופולוגית‪ .‬כלומר היא נשמרת תחת הומאומורפיזם‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬מספיק להראות שאם ‪ f : X → Y‬רציפה ו‪ X-‬קשיר‪ ,‬אז גם ‪ Y‬קשיר‪ .‬שכן‬
‫בהינתן הומאומורפיזם נוכל להסיק זאת לשני הכיוונים‪ .‬אבל אם ‪ Y‬אינו קשיר‪ ,‬כלומר‬
‫‪ ,Y = U ∪ V‬אז ) ‪ X = f −1 (U ) ∪ f −1 (V‬שכן ‪ f‬רציפה‪ ,‬ולכן ‪ X‬אינו קשיר‪ .‬‬
‫טענה‪ :‬תת־קבוצה של ‪ R‬בטופולוגיה הסטנדרטית היא קשירה אם ורק אם היא קטע‪.‬‬
‫הוכחה‪) :‬כיוון ראשון(‬
‫תהי ‪ A ⊂ R‬תת־קבוצה קשירה‪ .‬לכל ‪ ,a, b ∈ A‬לכל ‪ a < c < b‬מתקיים כי ‪,c ∈ A‬‬
‫כי אחרת היה ]‪ A = [(−∞, c) ∩ A] ∪ [(c, ∞) ∩ A‬בסתירה לקשירות ‪ .A‬מכאן קל‬
‫להסיק כי ‪ A‬הוא קטע שקצותיו הם }‪) inf a∈A {a} , supa∈A {a‬קטע פתוח‪/‬סגור‪/‬חצי‬
‫בהתאם לשאלה האם ה‪ inf / sup-‬מתקבלים(‪.‬‬
‫)כיוון שני(‬
‫‪21‬כי ניתן להציג אותו כאיחוד זר של אוסף המטריצות המקיימות ‪ det < 0‬ואוסף המטריצות המקיימות ‪.det > 0‬‬
‫קבוצות אלו פתוחות בטופולוגיה הסטנדרטית על )‪ ,GLn (R‬כי פונקציית הדטרמיננטה היא פולינומיאלית ולכן‬
‫רציפה‪ ,‬ומכאן שהתמונה ההפוכה של הפתוחות ‪ R≥0 , R≤0‬תחת ‪ det‬פתוחה גם היא‪.‬‬
‫‪27‬‬
‫נוכיח שכל קטע מהצורה ]‪ [a, b‬הוא קשיר‪ .‬נניח בשלילה כי ‪ [a, b] = U ∪ V‬ל‪U, V -‬‬
‫פתוחות‪ ,‬ונניח ללא הגבלת הכלליות ‪.a ∈ U‬‬
‫נתבונן בקבוצה } ‪ ,S =: {x|a ≤ x ≤ b, [a, x] ⊂ U‬ונסמן )‪ .m =: sup (S‬ודאי‬
‫∈ ‪ ,m‬כי אם‬
‫‪ ,a < m‬כי אם לא אז }‪ U = {a‬בסתירה לפתיחותה‪ .‬כמו־כן ‪/ U‬‬
‫‪ ,m ∈ U‬כדי לשמור על ‪ U‬פתוחה בהכרח ‪ ,m = b‬ואז ∅ = ‪ ,V‬בסתירה להגדרת‬
‫קשירות‪ .‬לכן בהכרח ‪ .m ∈ V‬אבל מההגדרה )‪ m = sup (S‬נובע שבכל סביבה‬
‫של ‪ m ∈ V‬קיים משמאל איבר שאינו ב‪ ,V -‬בסתירה לפתיחות ‪ .V‬לכן בהכרח קטע‬
‫מהצורה ]‪ [a, b‬הוא קשיר‪.‬‬
‫כעת בהינתן קטע כללי ‪ ,I‬אם בשלילה ‪ I = U ∪ V‬אז נבחר זוג ‪.a ∈ U, b ∈ V‬‬
‫נקבל כי )]‪ ,[a, b] = (U ∩ [a, b]) ∪ (V ∩ [a, b‬סתירה‪ .‬‬
‫משפט ערך הביניים‪ :‬תהי ‪ f : X → R‬פונקציה רציפה ל‪ X-‬מרחב טופולוגי קשיר‪ .‬יהיו‬
‫‪ x, y ∈ X‬כך ש‪ ,f (x) < f (y)-‬אזי לכל )‪ f (x) < t < f (y‬קיים ‪ z ∈ X‬כך‬
‫שמתקיים ‪.f (z) = t‬‬
‫הוכחה‪ :‬משפט ערך הביניים קובע במילים אחרות שתמונה של פונקציה רציפה על תחום‬
‫קשיר היא קטע‪ .‬אבל ראינו שב‪ R-‬קבוצה קשירה היא מילה נרדפת לקטע‪ .‬‬
‫למה‪ :‬אם ‪ X‬מרחב טופולוגי לא קשיר כך ש‪ ,X = U ∪ V -‬וכן ‪ A ⊂ X‬תת־קבוצה קשירה‪,‬‬
‫אז ‪ A ⊂ U‬או ‪.A ⊂ V‬‬
‫הוכחה‪ :‬לו בשלילה ‪ A‬נחתכת עם ‪ U‬ו‪ V -‬יחד‪ ,‬אז )‪ ,A = (U ∩ A) ∪ (V ∩ A‬בסתירה‬
‫לקשירות ‪ .A‬‬
‫‪12‬‬
‫קשירות של איחוד ומכפלה‬
‫טענה‪:‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ X‬מרחב קשיר ו‪ f : X → Y -‬פונקציה רציפה‪ ,‬אז )‪ f (X‬קשירה‪.‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ A ⊂ X‬קשירה אזי גם ‪ A‬קשירה‪.‬‬
‫שקיים ‪ β ∈ I‬כך‬
‫‪ .3‬למת "כוכב"‪ :‬אם ‪ {Aα }α∈I‬אוסף של קבוצות קשירות‪ ,‬ונניח ‪S‬‬
‫שמתקיים ∅ =‪ Aα ∩ Aβ 6‬לכל ‪ ,α ∈ I‬אזי גם האיחוד ‪ α∈I Aα‬קבוצה קשירה‪.‬‬
‫‪ .4‬מכפלה כלשהי של מרחבים היא קשירה אם ורק אם כל אחד מהמרחבים קשיר‪.‬‬
‫‪22‬‬
‫הוכחה‪ :‬במהלך ההוכחה נשתמש בכך שאם ‪ X‬מרחב קשיר אז כל פונקציה רציפה → ‪X‬‬
‫}‪ {0, 1‬היא קבועה‪.‬‬
‫‪ .1‬תהי }‪ g : f (X) → {0, 1‬פונקציה רציפה‪ ,‬ונניח בשלילה שהיא על‪ .‬לכן ההרכבה‬
‫}‪ g ◦ f : X → {0, 1‬רציפה ועל‪ ,‬בסתירה לקשירות ‪.X‬‬
‫פונקציה רציפה‪ ,‬ונניח בשלילה שהיא לא קבועה‪.‬‬
‫‪ .2‬תהי }‪g : A → {0, 1‬‬
‫‬
‫מהרציפות נובע כי )‪ .{0, 1} = g A ⊂ g (A‬מכאן כי }‪g (A) = {0, 1‬‬
‫כי בטופולוגיה הדיסקרטית כל קבוצה היא סגורה‪ ,‬בסתירה לקשירות ‪.A‬‬
‫‪22‬מדובר במרחב המכפלה עם טופולוגיית המכפלה‪ .‬הטענה אינה נכונה בהכרח בטופולוגיית הקופסה‪.‬‬
‫‪28‬‬
‫‪S‬‬
‫‪ .3‬תהי }‪ g : α∈I Aα → {0, 1‬פונקציה רציפה‪ .‬מקשירות כל ‪ Aα‬נובע כי ‪g|Aα‬‬
‫קבועה ובפרט גם ‪ g|Aβ‬קבועה‪ .‬נניח ללא הגבלת הכלליות ‪ .g|SAβ = 0‬אבל‬
‫כל חיתוך ‪ Aα ∩ Aβ‬אינו ריק ולכן ‪ g = 0‬תמיד‪ ,‬ומכאן כי ‪ α∈I Aα‬קבוצה‬
‫קשירה‪.‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪ .4‬יהי ‪ {Xα }α∈I‬אוסף של מרחבים ויהי ‪ α∈I Xα‬מרחב המכפלה שלהם עם‬
‫טופולוגיית המכפלה‪.‬‬
‫כיוון ראשון‪ :‬אם קיים ‪ β ∈ I‬כך שהמרחב ‪ Xβ‬אינו קשיר‪ ,‬אז ניתן להפריד‬
‫‪ Xβ = U ∪V‬ל‪ U, V -‬פתוחות ב‪ .Xβ -‬נשים לב שבטופולוגיית המכפלה הקבוצות‬
‫) ‪ πβ−1 (U ) , πβ−1 (V‬פתוחות‪ .‬כמו כן בגלל הקואורדינטה ה‪ β-‬במכפלה הן גם‬
‫‪Q‬‬
‫זרות‪ ,‬וכן קל לראות ש‪ . α∈I Xα = πβ−1 (U ) ∪ πβ−1 (V )-‬כלומר מרחב‬
‫המכפלה אינו קשיר‪.‬‬
‫כיוון שני‪ :‬ההוכחה שאם כל ‪ Xα‬קשיר אז גם המכפלה קשירה מורכבת יותר‪,‬‬
‫ונעשה אותה בשלבים‪ .‬תחילה נראה את הטענה למכפלות סופיות ואז נכליל‪.‬‬
‫)א( נוכיח את הטענה למכפלה של שני מרחבים קשירים‪:‬‬
‫יהיו ‪ X, Y‬מרחבים קשירים ונניח בשלילה כי ‪ X × Y‬אינו קשיר‪ .‬לכן‬
‫קיימת פונקציה רציפה }‪ f : X ×Y → {0, 1‬שאינה קבועה‪ .‬כלומר קיימות‬
‫הנקודות ) ‪ (x0 , y0 ) , (x1 , y1‬כך שמתקיים = ) ‪f (x0 , y0 ) = 0, f (x1 , y1‬‬
‫‪.1‬‬
‫∼ ‪,X 0‬‬
‫נסמן } ‪ .Y 0 =: {x0 } × Y ,X 0 =: X × {y1‬קל לראות כי ‪= X‬‬
‫∼ ‪ Y 0‬על־ידי ההעתקות ) ‪ .y 7→ (x0 , y) ,x 7→ (x, y1‬מכאן שגם‬
‫‪= Y‬‬
‫‪ X 0 , Y 0‬מרחבים קשירים‪ ,‬ולכן כל פונקציה רציפה מהם ל‪ {0, 1}-‬היא‬
‫קבועה‪ .‬נשים לב‪ ,‬אם כך‪ ,‬שמכיוון ש‪ y0 ∈ Y ,x1 ∈ X-‬ניתן להסיק כי‪:‬‬
‫‪f |X 0 = f (X, y1 ) = 1 , f |Y 0 = f (y0 , Y ) = 0‬‬
‫אבל מתקיים כי ‪ ,(x0 , y1 ) ∈ X 0 ∩ Y 0‬כלומר חיתוכם אינו ריק‪ ,‬ולכן מלמת‬
‫כוכב נובע כי ‪ X 0 ∪ Y 0‬מרחב קשיר‪ .‬לכן לא תיתכן פונקציה רציפה שאינה‬
‫קבועה במרחב זה‪ ,‬סתירה‪.‬‬
‫)ב( קל להסיק את הטענה באינדוקציה לכל מכפלה סופית של מרחבים קשירים‪.‬‬
‫קשירים‪:‬‬
‫)ג( נכליל את הטענה למכפלה כלשהי של מרחבים‬
‫‪Q‬‬
‫‪23‬‬
‫מאקסיומת הבחירה המכפלה לא ריקה‪ ,‬יהי ‪.x =: (xα )α∈I ∈ α∈I Xα‬‬
‫לכל ‪ J ⊂ I‬קבוצת אינדקסים סופית נגדיר‪:‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪Y‬‬
‫= ‪XJ‬‬
‫× ‪Xα‬‬
‫} ‪{xα‬‬
‫‪α∈I−J‬‬
‫‪α∈J‬‬
‫הוא קבוע בקואורדינטות ה‪ I − J-‬ולכן הומאומורפי‬
‫כל ‪ XJ‬קשיר כי ‪Q‬‬
‫למכפלה ‪ α∈J Xα‬והראינו שמכפלות סופיות של מרחבים קשירים הן‬
‫קשירות‪.‬‬
‫\‬
‫כי ‪x ∈ XJ‬‬
‫נתבונן באוסף ‪ .{XJ }J isf inite‬מתקיים ∅ =‪XJ 6‬‬
‫לכל ‪ .J‬לכן מלמת כוכב נובע שהאיחוד ‪XJ‬‬
‫[ ‪is nite‬‬
‫‪is nite‬‬
‫‪23‬כלומר ‪ x‬הוא וקטור באורך ‪ ,I‬שהרכיב ה‪ α-‬שלו הוא ‪.xα‬‬
‫‪29‬‬
‫‪J‬‬
‫קשיר‪.‬‬
‫‪J‬‬
‫[וקשירה אז‬
‫נשים לב שבאופן כללי מטענה ‪ 2‬נובע שאם ‪ A‬צפופה ב‪B-‬‬
‫צפופה‬
‫גם ‪ B‬קשירה‪ ,‬כי ‪ .A = B‬לכן מספיק להראות כי ‪XJ‬‬
‫‪is nite‬‬
‫‪J‬‬
‫‪Q‬‬
‫במכפלה ‪. α∈I Xα‬‬
‫אבל‬
‫קבוצת בסיס בטופולוגיית המכפלה היא מהצורה × ‪α∈I−K Xα‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪ α∈K Vα‬ל‪ K ⊂ I-‬קבוצה סופית כלשהי של אינדקסים‪ ,‬ול‪ Vα -‬פתוחה‬
‫ב‪ Xα -‬ל‪ .α ∈ K-‬לכן קל לראות שהאיחוד נחתך עם קבוצה זו על־ידי‬
‫בחירת ‪ K‬האינדקסים המתאימים בווקטור ‪ x‬שהגדרנו‪ .‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪13‬‬
‫קשירות מקומית‬
‫הגדרות‪:‬‬
‫• יהי ‪ X‬מרחב טופולוגי ותהי ‪ .x ∈ X‬אומרים כי ‪ X‬קשיר מקומית ב‪ ,x-‬אם לכל‬
‫סביבה ‪ W‬של ‪ x‬קיימת ‪ V‬פתוחה וקשירה המקיימת ‪.x ∈ V ⊂ W‬‬
‫• אומרים כי ‪ X‬קשיר מקומית אם הוא קשיר מקומית בכל ‪.x ∈ X‬‬
‫• יהי ‪ X‬מרחב טופולוגי ותהי ‪ .x ∈ X‬מרכיב הקשירות של ‪ x‬הוא איחוד כל‬
‫הקבוצות הקשירות המכילות את ‪.x‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫‪ .1‬מלמת כוכב נובע שאיחוד זה עצמו הוא קשיר‪ ,‬ולכן מרכיב הקשירות של ‪ x‬הוא‬
‫הקבוצה הקשירה המקסימלית המכילה את ‪.x‬‬
‫‪ .2‬אוסף מרכיבי הקשירות על מרחב טופולוגי ‪ X‬מגדירים יחס שקילות על ‪.X‬‬
‫כלומר ‪ x1 ∼ x2‬אם ורק אם הם באותו מרכיב קשירות‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪ .1‬במרחב ‪ Q‬עם הטופולוגיה הסטנדרטית כל יחידון מהווה מרכיב קשירות‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .2‬במרחב )‪ GLn (R‬בטופולוגיה המושרית מ‪ Rn -‬יש שני מרכיבי קשירות‪ :‬אוסף‬
‫המטריצות עם דטרמיננטה חיובית‪ ,‬ואוסף המטריצות עם דטרמיננטה שלילית‪.‬‬
‫הערה‪ :‬לא ניתן ללמוד על קשירות מקשירות מקומית‪ ,‬וגם לא להפך‪ .‬נראה דוגמאות לכך‪:‬‬
‫‪ .1‬מרחב קשיר מקומית אבל לא קשיר‪ X = {a, b} :‬עם הטופולוגיה הדיסקרטית‪.‬‬
‫המרחב אינו קשיר כי }‪ ,X = {a} ∪ {b‬אבל הוא קשיר מקומית כי לכל סביבה‬
‫של ‪ x ∈ X‬ניתן לבחור }‪.V = {x‬‬
‫מקומית‪" :‬מרחב המסרק" הוא המרחב ∪)]‪({0} × [0, 1‬‬
‫‪ .2‬מרחב קשיר אבל לא קשיר ‬
‫‪24‬‬
‫)}‪: n1 × [0, 1] ∪ ([0, 1] × {0‬‬
‫‪24‬כפי שניתן לראות באיור הבא‪ ,‬במערכת צירים זה הקטע ]‪ [0, 1‬בציר ה‪ ,x-‬הקטע ]‪ [0, 1‬בציר ה‪ ,y-‬ועוד ‪N‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.n‬‬
‫העמודות המקבילות לציר ה‪ y-‬בגובה ]‪ ,[0, 1‬שמרחק כל אחת מציר ה‪ y-‬הוא‬
‫‪30‬‬
‫)מוויקיפדיה(‬
‫כאשר הטופולוגיה בו היא זו המושרית מ‪ .R2 -‬כל ישר מ‪ 2 + N-‬הישרים במרחב‬
‫הוא קשיר כי הוא קטע‪ ,‬וכן כל הישרים הללו נחתכים עם הישר }‪,[0, 1] × {0‬‬
‫ולכן מלמת כוכב המרחב כולו קשיר‪.‬‬
‫שבאיור‪.‬‬
‫מקומית בנקודה במרכז העיגול האדום ‬
‫לעומת זאת המרחב אינו קשיר ‬
‫כך למשל כל סביבה של הנקודה ‪ 0, 12‬מכילה קבוצת בסיס מהצורה × ‪0, n1‬‬
‫‪) 12 − n1 , 21 + n1‬חתוכה עם המסרק( ל‪ n-‬מספיק גדול‪ ,‬ולכן ניתן להציג אותה‬
‫כאיחוד די פשוט של שתי פתוחות זרות‪.‬‬
‫‪14‬‬
‫קשירות מסילתית‬
‫הגדרות‪:‬‬
‫• יהי ‪ X‬מרחב טופולוגי‪ .‬פונקציה רציפה ‪ α : [a, b] → X‬ל‪,a < b ,a, b ∈ R-‬‬
‫נקראת מסילה‪.‬‬
‫• יהי ‪ X‬מרחב טופולוגי ויהיו ‪ .p, q ∈ X‬נאמר כי מסילה ‪ α : [a, b] → X‬מחברת‬
‫את ‪ ,p, q‬אם ‪.α (a) = p, α (b) = q‬‬
‫• מרחב טופולוגי ‪ X‬נקרא קשיר מסילתית‪ ,‬אם לכל זוג נקודות בו קיימת מסילה‬
‫המחברת אותן‪.‬‬
‫• ניתן להגדיר יחס שקילות על מרחב טופולוגי‪ ,‬על־ידי ‪ x ∼ y‬אם ורק אם יש‬
‫מסילה המחברת ביניהן‪ .‬למחלקות השקילות של יחס זה נקרא מרכיבי קשירות‬
‫מסילתית‪.‬‬
‫• יהי ‪ X‬מרחב טופולוגי ותהי ‪ .x ∈ X‬אומרים כי ‪ X‬קשיר מסילתית מקומית‬
‫ב‪ ,x-‬אם לכל סביבה ‪ W‬של ‪ x‬קיימת ‪ V‬פתוחה וקשירה מסילתית המקיימת‬
‫‪.x ∈ V ⊂ W‬‬
‫• אומרים כי ‪ X‬קשיר מסילתית מקומית‪ ,‬אם הוא כזה בכל ‪.x ∈ X‬‬
‫טענה‪:‬‬
‫‪31‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ X‬קשיר מסילתית אז ‪ X‬קשיר‪.‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ X‬קשיר מסילתית ו‪ f : X → Y -‬רציפה‪ ,‬אז )‪ f (X‬קשירה מסילתית‪.‬‬
‫‪ .3‬מכפלה כלשהי של מרחבים היא קשירה מסילתית אם ורק אם כל אחד מהמרחבים‬
‫‪25‬‬
‫קשיר מסילתית‪.‬‬
‫‪ .4‬אם ‪ X‬קשיר וקשיר מסילתית מקומית‪ ,‬אז הוא קשיר מסילתית‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ .1‬נניח כי ‪ X‬קשיר מסילתית ונניח בשלילה שהוא אינו קשיר‪ .‬מההנחה שהוא‬
‫אינו קשיר נובע שקיימת פונקציה }‪ f : X → {0, 1‬רציפה ועל‪ .‬לכן קיימים‬
‫‪ x, y ∈ X‬כך ש‪ .f (x) = 0, f (y) = 1-‬מההנחה ש‪ X-‬קשיר מסילתית נובע‬
‫שקיימת מסילה ‪ α : [0, 1] → X‬כך ש‪.α (0) = x, α (1) = y-‬‬
‫נתבונן בהרכבה }‪ .f ◦ α : [0, 1] → {0, 1‬מההנחות נובע שהיא רציפה ועל‪,‬‬
‫כלומר המרחב ]‪ [0, 1‬אינו קשיר‪ ,‬בסתירה להיותו קטע‪.‬‬
‫‪ .2‬יהיו )‪ .f (p) , f (q) ∈ f (X‬מהנתון כי ‪ X‬קשיר מסילתית נובע שיש מסילה‬
‫‪ α : [0, 1] → X‬המקיימת ‪ .α (0) = p, α (1) = q‬מכאן כי → ]‪f ◦ α : [0, 1‬‬
‫)‪ f (X‬היא מסילה המחברת את )‪.f (p) , f (q‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪ .3‬יהי ‪ {Xα }α∈I‬אוסף של מרחבים ויהי ‪ α∈I Xα‬מרחב המכפלה שלהם עם‬
‫טופולוגיית המכפלה‪.‬‬
‫נניח שמרחב המכפלה קשיר מסילתית‪ .‬לכל ‪ β ∈ I‬ההטלה‬
‫כיוון ראשון‪Q :‬‬
‫‪ πβ : α∈I Xα → Xβ‬רציפה‪ ,‬ומכאן שבהינתן זוג נקודות ב‪ Xβ -‬כלשהו‪ ,‬נוכל‬
‫להרכיב את ההטלה על המסילה שמוגדרת במרחב המכפלה ולקבל את המסילה‬
‫הדרושה ל‪.Xβ -‬‬
‫כיוון שני‪ :‬נניח שכל ‪ Xα‬קשיר מסילתית ויהיו ‪ (pα )α∈I , (qα )α∈I‬איברים‬
‫במכפלה‪ .‬לכל ‪ α ∈ I‬יש מסילה ‪ gβ : [0, 1] → Xβ‬המחברת את הקואורדינטות‬
‫‪ ,pβ , qβ‬כלומר ‪.gβ (0) = pβ , gβ (1) = qβ‬‬
‫‪Q‬‬
‫נגדיר פונקציה ‪ g : [0, 1] → α∈I Xα‬על־ידי ‪ .t 7→ (gα (t))α∈I‬היא רציפה‬
‫בכל קואורדינטה ולכן רציפה‪ ,‬וברור כי ‪.g (0) = (pα )α∈I , g (1) = (qα )α∈I‬‬
‫‪ .4‬בהתאם לקשירות המסילתית המקומית‪ ,‬לכל ‪ x ∈ X‬נסמן את הסביבה הקשירה־‬
‫מסילתית ב‪ .Ux -‬תהי ‪ .y ∈ X‬נגדיר את ‪ A‬להיות רכיב הקשירות המסילתית‬
‫של ‪ .y‬לכל ‪ a ∈ A‬יש סביבה קשירה מסילתית ‪ ,Ua‬ולכן ‪ A‬פתוחה‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫נשים לב כי ‪ ,X − A = x∈X−A Ux‬ולכן )‪ X = A ∪ (X − A‬כאיחוד זר של‬
‫פתוחות‪ ,‬ולכן בהכרח אחת מהן ריקה‪ .‬אבל ‪ y ∈ A‬ולכן ∅ = ‪ ,X − A‬כלומר‬
‫‪ .A = X‬‬
‫הערה‪ :‬ראינו שקשירות מסילתית גוררת קשירות‪ .‬אולם ההפך לא נכון‪ .‬גם קשירות מסילתית‬
‫מקומית לא גוררת קשירות מסילתית‪ ,‬וגם לא להפך‪ .‬נראה דוגמאות לכך‪.‬‬
‫נגדיר את המרחב‬
‫קשיר אבל לאקשיר‬
‫מסילתית‪ :‬‬
‫‬
‫‪ .1‬מרחב ‬
‫‪26‬‬
‫כאשר ‪.Γ sin x1 =: x, sin x1 |0 < x < 1‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪,X = Γ sin‬‬
‫‪25‬‬
‫הטענה אינה נכונה בהכרח בטופולוגיית הקופסה‪.‬‬
‫מדובר במרחב המכפלה עם טופולוגיית המכפלה‪ .‬‬
‫‪26‬כפי שניתן לראות באיור‪ ,‬הסגור של גרף הפונקציה ‪ ,sin x1‬הוא הגרף יחד עם הקטע ]‪ [−1, 1‬בציר ה‪.y-‬‬
‫‪32‬‬
‫‬
‫• ‪ X‬קשיר‪ :‬הגרף‬
‫‪ Γ sin x1‬קשיר‪ ,‬כי בשתי הקואורדינטות שלו הוא‬
‫פונקציה רציפה ‪ -‬בקואורדינטה הראשונה‬
‫תחת‬
‫קשירה‬
‫קבוצה‬
‫תמונה של‬
‫‬
‫זו הזהות ובקואורדינטה השניה זו ‪ ,sin x1‬ובאופן כללי מכפלת מרחבים‬
‫קשירים היא קשירה‪ .‬באופן כללי סגור של קבוצה קשירה הוא קבוצה‬
‫‬
‫קשירה‪ ,‬ולכן ‪ X = Γ sin x1‬קשיר‪.‬‬
‫• ‪ X‬אינו קשיר מסילתית‪ :‬נראה שלא קיימת מסילה המחברת בין )‪(0, 0‬‬
‫ל‪ . π1 , sin (π) = π1 , 0 -‬נניח בשלילה כי ‪ α : [0, 1] → X‬מסילה‬
‫המקיימת ‪ .α (0) = (0, 0) , α (1) = π1 , 0‬נסמן את שתי הקואורדינטות‬
‫שלה ))‪.α (t) = (β (t) , γ (t‬‬
‫∞‬
‫מרציפות ‪ α‬נובע ממשפט ערך הביניים שקיימת סדרה ‪ ,(tn )n=1‬כך שעליה‬
‫∞‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ . 3π‬כלומר ‪ (tn )n=1‬סדרה‬
‫‪, 5π‬‬
‫‪, ..., (2n+1)π‬‬
‫‪ β‬תקבל את ערכי הביניים ‪, ...‬‬
‫‪2‬‬
‫חיובית יורדת‪ ,‬כך שמתקיים ‪ .β (tn ) = (2n+1)π‬הסדרה ‪ tn‬יורדת וחסומה‬
‫שגם הסדרה ) ‪ γ (tn‬צריכה להתכנס‪ .‬אולם נשים לב‬
‫ולכן מתכנסת‪ ,‬ומכאן ‬
‫‪n‬‬
‫כי )‪= (−1‬‬
‫‪(2n+1)π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ,γ (tn ) = sin‬בסתירה לרציפות ‪.γ‬‬
‫‪ .2‬מרחב קשיר מסילתית מקומית אבל לא קשיר מסילתית‪ :‬זוג קטעים ממשיים‬
‫זרים‪.‬‬
‫‪ .3‬מרחב קשיר מסילתית אבל לא קשיר מסילתית מקומית‪ :‬מרחב המסרק שהגדרנו‬
‫לעיל‪.‬‬
‫מסקנה‪ :‬לכל ‪ ,1 < n‬המרחבים ‪ Rn ,R‬אינם הומאומורפיים‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח בשלילה שקיים הומאומורפיזם ‪ .f : Rn → R‬נתבונן בצמצום ‪f |Rn \{0} :‬‬
‫})‪ .Rn \ {0} → R\ {f (0‬צמצום של פונקציה רציפה הוא פונקציה רציפה‪ ,‬ולכן אם‬
‫התחום קשיר גם הטווח צריך להיות קשיר‪ .‬אבל ברור כי }‪ Rn \ {0‬קשיר ל‪,1 < n-‬‬
‫בעוד })‪ R\ {f (0‬אינו קשיר‪ .‬‬
‫‪33‬‬
‫‪V‬‬
‫חלק‬
‫קומפקטיות‬
‫הגדרות‪:‬‬
‫• יהי ‪ X‬מרחב טופולוגי‪ ,‬תהי ‪ {xn }n∈N ⊂ X‬סדרה ויהי ‪ .x ∈ X‬אומרים כי‬
‫‪ {xn }n∈N‬מתכנסת ל‪ ,x-‬אם כל סביבה של ‪ x‬מכילה את כל ‪ {xn }n∈N‬למעט‪,‬‬
‫אולי‪ ,‬מספר סופי של מקרים‪.‬‬
‫• מרחב טופולוגי ‪ X‬נקרא קומפקטי סדרתית‪ ,‬אם לכל סדרה ‪ {xn }n∈N‬קיימת‬
‫תת־סדרה מתכנסת‪.‬‬
‫קבוצות פתוחות ב‪ .X-‬אומרים‬
‫• יהי ‪ X‬מרחב טופולוגי ויהי ‪ {Uα }α∈I‬אוסף ‪S‬‬
‫שאוסף זה הוא כיסוי פתוח של ‪ ,X‬אם ‪.X = α∈I Uα‬‬
‫• מרחב טופולוגי ‪ X‬נקרא קומפקטי‪ ,‬אם לכל כיסוי פתוח שלו יש תת־כיסוי סופי‪.‬‬
‫• יהי ‪ X‬מרחב טופולוגי ויהי ‪ {Vα }α∈I‬אוסף קבוצות סגורות ב‪ .X-‬אומרים‬
‫שמתקיימת תכונת החיתוך הסופי לאוסף‪ ,‬אם חיתוך כל תת־אוסף סופי לא ריק‪.‬‬
‫טענה‪:‬‬
‫‪ .1‬מרחב טופולוגי ‪ X‬הוא קומפקטי אם ורק אם כל אוסף של קבוצות סגורות‬
‫המקיים את תכונת החיתוך הסופי‪ ,‬מקיים גם שהחיתוך של האוסף כולו לא ריק‪.‬‬
‫‪ .2‬יהי ‪ X‬מרחב טופולוגי קומפקטי ותהי ‪ f : X → Y‬רציפה‪ ,‬אזי גם )‪f (X‬‬
‫קומפקטי‪.‬‬
‫מטענה זו נובע שקומפקטיות היא תכונה טופולוגית‪ ,‬כלומר נשמרת תחת הומאומורפיזם‪.‬‬
‫‪ .3‬קבוצה סגורה במרחב קומפקטי‪ ,‬היא קומפקטית בטופולוגיה המושרית עליה‪.‬‬
‫‪ .4‬קבוצה קומפקטית במרחב האוסדורף‪ ,‬היא סגורה‪.‬‬
‫‪ {Xα }α∈I Q‬אוסף של מרחבים קומפקטיים‪ ,‬אזי גם מרחב‬
‫‪ .5‬משפט טיכונוף‪ :‬אם‬
‫המכפלה ‪ α∈I Xα‬בטופולוגיית המכפלה הוא מרחב קומפקטי‪.‬‬
‫זה משפט קשה‪ ,‬ואת ההוכחה שלו ניתן בהמשך‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ .1‬כיוון ראשון‪ :‬נניח כי ‪ X‬קומפקטי וכי ‪ {Vα }α∈I‬אוסף של סגורות המקיים את‬
‫תכונת החיתוך הסופי‪ .‬נניח בשלילה שהחיתוך של האוסף כולו הוא ריק‪.‬‬
‫מההנחה בשלילה נובע שהאוסף ‪ {X − Vα }α∈I‬מהווה כיסוי פתוח של ‪ ,X‬כי‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫[‬
‫\‬
‫‪X − Vα = X −‬‬
‫‪Vα = X − ∅ = X‬‬
‫‪α∈I‬‬
‫‪α∈I‬‬
‫מקומפקטיות ‪ X‬קיים תת־כיסוי סופי‪ ,‬שנסמן ‪ .{X − Vi }i=1,...,n‬מכאן שמתקיים‪:‬‬
‫∅ = ‪Vi‬‬
‫\‬
‫‪i=1,...,n‬‬
‫\‬
‫⇒= ‪Vi‬‬
‫‪i=1,...,n‬‬
‫‪34‬‬
‫‪X − Vi = X −‬‬
‫[‬
‫‪i=1,...,n‬‬
‫=‪X‬‬
‫בסתירה לתכונת החיתוך הסופי‪.‬‬
‫כיוון שני‪ :‬נניח שכל אוסף של סגורות שמקיים את תכונת החיתוך הסופי‪ ,‬החיתוך‬
‫של האוסף כולו אינו ריק‪ .‬יהי ‪ {Uα }α∈I‬כיסוי פתוח של ‪ ,X‬ונניח בשלילה שאין‬
‫לו תת־כיסוי סופי‪.‬‬
‫מההנחה בשלילה נובע שאוסף הסגורות ‪ {X − Uα }α∈I‬מקיים את תכונת‬
‫החיתוך הסופי‪ ,‬כי לכל ‪ n‬טבעי מתקיים‪:‬‬
‫\‬
‫[‬
‫‪X − Ui = X −‬‬
‫∅ =‪Ui 6‬‬
‫‪i=1,...,n‬‬
‫‪i=1,...,n‬‬
‫נובע שהחיתוך של כל האוסף ‪ {X − Uα }α∈I‬אינו ריק‪ .‬אבל‬
‫לכן מההנחה ‪S‬‬
‫מתקיים ‪ ,X = α∈I Uα‬ולכן‪:‬‬
‫[‬
‫\‬
‫‪∅=X−‬‬
‫= ‪Uα‬‬
‫‪X − Uα‬‬
‫‪α∈I‬‬
‫‪α∈I‬‬
‫וזו סתירה‪.‬‬
‫‪ .2‬יהי ‪ {Uα }α∈I‬כיסוי פתוח של )‪ .f (X‬מהיות )‪ f (X‬תת־מרחב של ‪ Y‬נובע‬
‫שקבוצה פתוחה בו היא מהצורה )‪ W ∩ f (X‬ל‪ W -‬פתוחה ב‪ .Y -‬יהי לפיכך‬
‫‪ {Wα}α∈I‬אוסףהפתוחות המקיימות )‪ .Uα = Wα ∩ f (X‬מכאן כי האוסף‬
‫‪ f −1 (Wα ) α∈I‬הוא כיסוי פתוח של ‪ ,X‬כי לכל ‪ x ∈ X‬קיים ‪f (x) ∈ Y‬‬
‫שעבורו קיימת ‪ f (x) ∈ Wα‬ולכן ) ‪ ,x ∈ f −1 (Wα‬וכן מרציפות ‪ f‬נובע שכל‬
‫) ‪ f −1 (Wα‬פתוחה‪ .‬מקומפקטיות ‪ X‬נובע שקיים תת־כיסוי סופי של ‪ X‬מהצורה‬
‫‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ .i ∈ I , f −1 (Wi ) i=1‬מכאן נובע שהאוסף ‪ {Ui }i=1‬כיסוי פתוח של )‪.f (X‬‬
‫‪ .3‬תהי ‪ A‬סגורה במרחב קומפקטי ‪ ,X‬ויהי ‪ {Uα }α∈I‬כיסוי פתוח של ‪ .A‬כבהוכחה‬
‫של ‪ ,2‬יהי ‪ {Wα }α∈I‬אוסף מתאים של פתוחות ב‪ .X-‬מכאן כי האוסף‬
‫}‪ {Wα }α∈I ∪ {X − A‬הוא כיסוי פתוח של ‪ ,X‬ומקומפקטיות ‪ X‬קיים תת־‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫כיסוי סופי מהצורה }‪ ,i ∈ I ,{Wi }i=1 ∪ {X − A‬ומכאן שהאוסף ‪{Ui }i=1‬‬
‫תת־כיסוי סופי של ‪.A‬‬
‫‪ .4‬נוכיח כי ‪ X − A‬פתוחה‪ .‬תהי ‪ ,x ∈ X − A‬ונמצא סביבה פתוחה של ‪ x‬שמוכלת‬
‫ב‪.X − A-‬‬
‫מהיות ‪ X‬האוסדורף נובע שלכל ‪ a ∈ A‬קיימות פתוחות ‪ Ua , Va‬זרות ולא ריקות‬
‫שמפרידות ‪ .a ∈ Va ,x ∈ Ua‬לכן האוסף ‪ {Va ∩ A}a∈A‬הוא כיסוי פתוח של‬
‫‪k‬‬
‫‪ ,A‬ומקומפקטיות ‪ A‬נובע שקיים תת כיסוי סופי ‪.{Vi ∩ A}i=1‬‬
‫‪Tk‬‬
‫כעת נקבל כי ‪ U = i=1 Ui‬היא סביבה פתוחה של ‪ x‬שמוכלת ב‪ ,X − A-‬וזאת‬
‫כי היא חיתוך סופי של פתוחות ולכן פתוחה‪ ,‬והיא לא נחתכת עם ‪ A‬כי כל ‪Ui‬‬
‫זרה ל‪ .Vi -‬‬
‫מסקנה‪ :‬יהי ‪ X‬מרחב קומפקטי ויהי ‪ Y‬מרחב האוסדורף‪ ,‬אזי כל העתקה רציפה ‪f : X → Y‬‬
‫שהיא חח"ע ועל‪ ,‬היא הומאומורפיזם‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬הכל נתון למעט העובדה ש‪ f −1 : Y → X-‬רציפה‪ .‬נראה את הטענה השקולה ש‪f -‬‬
‫היא העתקה סגורה‪ .‬כלומר לכל ‪ A ⊂ X‬סגורה‪ f (A) ⊂ Y ,‬סגורה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ X‬קומפקטי =⇐ ‪ A ⊂ X‬סגורה ולכן גם קומפקטית =⇐ ‪ f‬רציפה ולכן )‪f (X‬‬
‫‪4‬‬
‫קומפקטית =⇐ ‪ Y‬האוסדורף ולכן ‪ f (X) ⊂ Y‬סגורה‪ .‬‬
‫‪35‬‬
‫דוגמה‪ :‬כל תת־קבוצה במרחב }‪ X = {a, b‬עם הטופולוגיה הטריוויאלית‪ ,‬היא דוגמה‬
‫‪27‬‬
‫לקבוצה קומפקטית ולא סגורה במרחב קומפקטי‪.‬‬
‫‪15‬‬
‫קומפקטיות במרחבים מטריים‬
‫הגדרות‪:‬‬
‫∞‬
‫• יהי )‪ (X, d‬מרחב מטרי‪ .‬סדרה ‪ (xn )n=1 ⊂ X‬נקראת סדרת קושי‪ ,‬אם לכל‬
‫‪ 0 < ε‬קיים ‪ N‬טבעי‪ ,‬כך שלכל ‪ N < n, m‬מתקיים ‪.d (xn , xm ) < ε‬‬
‫• מרחב מטרי נקרא שלם‪ ,‬אם לכל סדרת קושי קיים גבול במרחב‪.‬‬
‫• מרחב מטרי נקרא חסום לחלוטין‪ ,‬אם לכל ‪ 0 < ε‬קיים למרחב כיסוי סופי של‬
‫כדורים ברדיוס ‪.ε‬‬
‫טענה‪ :‬יהי )‪ (X, d‬מרחב מטרי‪ ,‬אז התנאים הבאים שקולים‪:‬‬
‫‪ X .1‬קומפקטי‪.‬‬
‫‪ X .2‬קומפקטי סדרתית‪.‬‬
‫‪ X .3‬שלם וחסום לחלוטין‪.‬‬
‫הערה‪ :‬מהאיפיון השלישי נובע שכל קבוצה סגורה וחסומה ב‪ Rn -‬כלשהו‪ 28 ,‬היא קומפקטית‪.‬‬
‫הוכחה‪(2 ⇐= 1) :‬‬
‫∞‬
‫‪{xn }n=1‬‬
‫סדרה‪ ,‬ונניח בשלילה שלא קיימת לה תת־סדרה מתכנסת‪ .‬נוסיף‬
‫תהי ‪⊂ X‬‬
‫‪29‬‬
‫ללא הגבלת הכלליות את ההנחה שכל האיברים שונים זה מזה‪.‬‬
‫לכל ‪ n‬טבעי קיימת קבוצה פתוחה ‪ Un‬כך ש‪ .xn ∈ Un -‬מהיות ‪ X‬מרחב מטרי‬
‫נוכל להניח שמדובר בקבוצה בעלת רדיוס מספיק קטן‪ ,‬כך שלכל ‪ k 6= n‬מתקיים‬
‫∈ ‪ 30 .xk‬כי אם לא הייתה קבוצה כזאת עבור ‪ xn‬כלשהו‪ ,‬אז ‪ xn‬הייתה נקודת‬
‫‪/ Un‬‬
‫הצטברות של הסדרה‪ ,‬כלומר ‪ xn‬הייתה גבול של תת־סדרה כלשהי‪ ,‬בניגוד להנחה‬
‫שאין תת־סדרה מתכנסת‪.‬‬
‫∞‬
‫∞‬
‫נגדיר ‪ .U0 = X − {xn }n=1‬זו קבוצה פתוחה כי אם היה ‪ y ∈ X − {xn }n=1‬שכל‬
‫סביבה שלו מכילה ‪ xn‬כלשהו‪ ,‬אז ‪ y‬הייתה נקודת הצטברות של הסדרה‪ ,‬בניגד להנחה‬
‫שאין תת־סדרה מתכנסת‪.‬‬
‫∞‬
‫מכאן שהאוסף } ‪ {Un }n=1 ∪ {U0‬הוא כיסוי פתוח של ‪ ,X‬ומקומפקטיות ‪ X‬נובע שיש‬
‫‪m‬‬
‫תת־כיסוי סופי מהצורה ‪ .{Ui }i=1‬אבל תת־כיסוי זה לא מכיל את כל איברי הסדרה‬
‫‪m‬‬
‫אלא רק את ‪ {xi }i=1‬המתאימים‪ ,‬ולכן לא ייתכן שזה תת־כיסוי ל‪ .X-‬סתירה‪.‬‬
‫)‪(3 ⇐= 2‬‬
‫∞‬
‫‪{xn }n=1‬‬
‫סדרת קושי‪ .‬מקומפקטיות סדרתית‬
‫תחילה נראה שהמרחב שלם‪ :‬תהי ‪⊂ X‬‬
‫∞‬
‫נובע בפרט שקיימת תת־סדרה ‪ {xnk }k=1‬מתכנסת ל‪ x0 ∈ X-‬כלשהו‪ .‬אבל מהיותה‬
‫‪27‬המרחב קומפקטי כי כל מרחב טופולוגי סופי הוא קומפקטי‪.‬‬
‫‪28‬קבוצה חסומה במרחב מטרי היא קבוצה שמוכלת בכדור פתוח‪.‬‬
‫‪29‬כי ניתן לקחת נציג מכל קבוצת איברים שווים ולקבל סדרה חדשה שבה כל האיברים שונים‪ .‬לו היה רק מספר‬
‫סופי של כאלה‪ ,‬קל לוודא שיש תת־סדרה מתכנסת בניגוד להנחה בשלילה‪.‬‬
‫‪30‬במרחב טופולוגי כללי לא ניתן להניח כך‪ .‬למשל מרחב טופולוגי אינסופי עם הטופולוגיה הטריוויאלית‪.‬‬
‫‪36‬‬
‫סדרת קושי נובע שגבול של תת־סדרה הוא גבול של הסדרה כולה‪ ,‬ולכן קיים לסדרה‬
‫גבול‪ ,‬כלומר המרחב שלם‪.‬‬
‫כעת נראה שהמרחב חסום לחלוטין‪ :‬נניח בשלילה שהמרחב אינו חסום לחלוטין‪,‬‬
‫כלומר קיים ‪ 0 < ε‬שעבורו לא ניתן לכסות את ‪ X‬במספר סופי של כדורים ברדיוס‬
‫‪ .ε‬נבנה סדרה שאין לה תת־סדרה מתכנסת‪ ,‬ובכך נגיע לסתירה‪.‬‬
‫נקבע ‪ x1 ∈ X‬ונבנה סדרה‪ .‬נבחר ) ‪ x2 ∈ X − Bε (x1‬וכן הלאה‪ .‬כלומר באופן‬
‫‪Sk−1‬‬
‫כללי נבחר ) ‪ .xk ∈ X − i=1 Bε (xi‬נשים לב שקיים ‪ xk‬כזה לכל ‪ k‬מתוך ההנחה‬
‫שכל אוסף סופי של כדורים ברדיוס ‪ ε‬אינו מכסה את המרחב‪ .‬אם כך נקבל סדרה‬
‫∞‬
‫‪ ,{xk }k=1‬שקל לראות שהמרחק בין כל זוג איברים שונים בה הוא לפחות ‪ ε‬ולכן לא‬
‫יכולה להיות לה תת־סדרה מתכנסת‪ ,‬בסתירה לקומפקטיות הסדרתית של ‪.X‬‬
‫∞‬
‫)‪ (2 ⇐= 3‬תהי ‪ {xn }n=1 ⊂ X‬סדרה‪ .‬מהיות ‪ X‬חסום לחלוטין נובע שעבור‬
‫‪ ε = 1‬קיים אוסף סופי של כדורים פתוחים ברדיוס ‪ 1‬המהווה כיסוי של ‪ .X‬ברור‬
‫כדור פתוח ‪ B1‬המכיל אינסוף איברי הסדרה‪ ,‬כלומר יש תת־סדרה‬
‫איזשהו ‬
‫שקיים ∞‬
‫‪ . x1n n=1 ⊂ B1‬מהיות ‪ X‬חסום לחלוטין נובע שגם עבור ‪ ε = 21‬קיים ל‪ X-‬כיסוי‬
‫של כדורים פתוחים ברדיוס ‪ , 21‬ולכן קיים כדור ‪ B 12‬שנחתך עם ‪ ,B1‬כך שיש תת־‬
‫∞ ‬
‫סדרה )של התת־סדרה( המקיימת ‪ . x2n n=1 ⊂ B1 ∩ B 21‬באופן איטרטיבי‪ ,‬לכל ‪k‬‬
‫∞ ‬
‫‪Tk−1‬‬
‫טבעי קיים כדור ‪ B k1‬כך שמתקיים ‪ . xkn n=1 ⊂ i=1 B 1‬נשים לב שהקוטר של‬
‫‪i‬‬
‫‪Tk−1‬‬
‫‪31 2‬‬
‫כל קבוצה מהצורה ‪ i=1 B 1‬הוא לכל היותר ‪. k‬‬
‫‪i‬‬
‫∞ ‪ k‬‬
‫‪k‬‬
‫לכל כדור ‪ B k1‬נבחר נציג ‪ xn‬ונקבל סדרה מהצורה ‪) xn k=1‬סדרה ב‪ .(k-‬קל‬
‫לראות שזו סדרת קושי‪ ,‬ולכן מההנחה ש‪ X-‬שלם נובע שיש לתת־סדרה זו גבול‬
‫במרחב‪ .‬מכאן ש‪ X-‬קומפקטי סדרתית‪.‬‬
‫)‪ (1 ⇐= 2‬לצורך ההוכחה הזו נגדיר מונח חדש‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬יהי ‪ X‬מרחב מטרי ויהי ‪ U‬כיסוי פתוח כלשהו של ‪ .X‬נאמר כי ‪ 0 < ε‬כלשהו‬
‫נקרא מספר לבג של ‪ ,U‬אם לכל כדור ברדיוס ‪ ε‬ב‪ X-‬קיימת פתוחה ‪U ∈ U‬‬
‫המכילה את הכדור כולו‪.‬‬
‫למה‪ :‬אם ‪ X‬מרחב מטרי קומפקטי סדרתית‪ ,‬אז לכל כיסוי פתוח שלו יש מספר לבג‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ X‬מרחב מטרי קומפקטי סדרתית ויהי ‪ U‬כיסוי פתוח שלו‪ .‬נניח בשלילה‬
‫שאין לו מספר לבג‪ .‬לכן לכל ‪ n‬טבעי קיימת נקודה ‪ xn ∈ X‬וכדור פתוח‬
‫) ‪ B n1 (xn‬שאינו מוכל כולו באף אחד מאיברי הכיסוי‪.‬‬
‫∞‬
‫נתבונן בסדרה ‪ .{xn }n=1‬מקומפקטיות סדרתית של ‪ X‬נובע שקיימת תת־‬
‫∞‬
‫סדרה מתכנסת ‪ .{xnk }k=1 −→ x0 ∈ X‬מהיות ‪ U‬כיסוי נובע שקיימת‬
‫∞→‪k‬‬
‫פתוחה ‪ U ∈ U‬המכילה את ‪ .x0‬מהיות ‪ U‬פתוחה נובע שקיים ‪ 0 < r‬כך‬
‫שמתקיים ‪.x0 ∈ Br (x0 ) ⊂ U‬‬
‫‪1‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫כעת נבחר ‪ k‬טבעי מספיק גדול כך שמתקיים גם ‪ d (x0 , xnk ) < 2‬וגם ‪nk < 2‬‬
‫ונקבל כי ‪ ,B 1 (xn ) ⊂ Br (x0 ) ⊂ U ∈ U‬וזו סתירה‪ .‬‬
‫‪k‬‬
‫‪n‬‬
‫‪k‬‬
‫נשתמש בתוצאה זו כדי להשלים את הוכחת ‪ .1 ⇐= 2‬יהי ‪ {Uα }α∈I‬כיסוי פתוח של‬
‫‪ X‬קומפקטי סדרתית‪ .‬יהי ‪ ε‬מספר לבג של הכיסוי‪.‬‬
‫‪31‬קוטר הוא סופרימום המרחקים בין זוגות כלשהם של נקודות בקבוצה‪.‬‬
‫‪37‬‬
‫נתבונן בקבוצה }‪ ,B = {Bε (x) |x ∈ X‬שהיא כמובן כיסוי פתוח של המרחב‪.‬‬
‫מהגדרת מספר לבג נובע שלכל ‪ x ∈ X‬קיימת ‪ Uα‬כך שמתקיים ‪.Bε (x) ⊂ Uα‬‬
‫לכן מספיק למצוא תת־כיסוי סופי של ‪.B‬‬
‫‪ S‬ונגדיר איטרטיבית‪,‬‬
‫נניח בשלילה שלא קיים תת־כיסוי סופי ל‪ .B-‬נקבע ‪x1 ∈ X‬‬
‫‪k−1‬‬
‫כמו בחלק קודם של ההוכחה‪ ,‬לכל ‪ k‬טבעי את ) ‪ ,xk ∈ X − i=1 Bε (xi‬ונקבל‬
‫∞‬
‫‪ε‬‬
‫סדרה ‪ {xk }k=1‬שהמרחק בין כל שני איברים שונים בה גדול מ‪ , 2 -‬ולכן לא תיתכן‬
‫לה תת־סדרה מתכנסת‪ ,‬סתירה‪ .‬‬
‫הערה‪ :‬הראינו שבמרחב מטרי קומפקטיות שקולה לקומפקטיות סדרתית‪ .‬אולם במרחב‬
‫טופולוגי כללי לא ניתן ללמוד מקומפקטיות על קומפקטיות סדרתית‪ ,‬ולא להיפך‪.‬‬
‫נראה דוגמאות לכך‪.‬‬
‫‪ .1‬מרחב טופולוגי קומפקטי שאינו קומפקטי סדרתית‪ :‬נסמן ]‪ I = [0, 1‬ונגדיר את‬
‫המרחב ‪ .X = I I‬כלומר זו מרחב מכפלה של ‪I‬־ים מאורך ‪ ,I‬עם טופולוגיית‬
‫המכפלה‪.‬‬
‫בהמשך נוכיח את משפט טיכונוף שממנו ינבע כי ‪ X‬הוא קומפקטי‪ ,‬כמכפלה של‬
‫מרחבים קומפקטיים‪ .‬נראה כי ‪ X‬אינו קומפקטי סדרתית‪.‬‬
‫נתייחס למרחב ‪ X‬כאל אוסף הפונקציות }‪ .{f : I → I‬זהו מרחב ולכן מוגדרת‬
‫בו התכנסות של סדרת פונקציות‪ .‬נשאיר כתרגיל להוכיח שמתקיים כי סדרה‬
‫∞‬
‫‪ {fn }n=1‬מתכנסת ל‪ ,f -‬אם ורק אם לכל ‪ t ∈ I‬מתקיים )‪.fn (t) → f (t‬‬
‫לכל ‪ t ∈ I‬נתבונן בפיתוח הבינארי שלו‪ ,‬כלומר נציג אותו ‪ t = 0.t1 t2 ...‬ל‪-‬‬
‫}‪ .ti ∈ {0, 1‬נגדיר לכל ‪ n‬טבעי העתקה ‪ ,fn (t) = tn‬ונראה שלסדרה זו אין‬
‫תת־סדרה מתכנסת‪.‬‬
‫∞‬
‫תהי ‪ {nk }k=1‬תת־סדרת אינדקסים כלשהי‪ .‬כפי שהזכרנו‪ ,‬כדי להראות שהתת־‬
‫∞‬
‫סדרה המתאימה ‪ {fnk }k=1‬אינה מתכנסת‪ ,‬די להראות שקיים ‪ t0 ∈ I‬שעבורו‬
‫}) ‪ {fnk (t0‬אינה מתכנסת‪.‬‬
‫נגדיר ‪ t0 = 0.t1 t2 ...‬כאשר לכל ‪ k‬זוגי ‪ tnk = 0‬ולכל ‪ k‬אי־זוגי ‪ .tnk = 1‬בשאר‬
‫∞‬
‫המקומות נבחר ‪ ti‬שרירותי‪ .‬נבחין כי הסדרה ‪ {fnk (t0 )}k=1‬היא ‪0, 1, 0, 1, ...‬‬
‫ולכן לא יכולה להתכנס‪.‬‬
‫‪ .2‬מרחב טופולוגי קומפקטי סדרתית שאינו קומפקטי‪ :‬נסמן ]‪ I = [0, 1‬ונתבונן‬
‫‪I‬‬
‫במרחב }‪ X = {0, 1‬כאשר }‪ {0, 1‬מרחב דיסקרטי‪ .‬המרחב ‪ X‬הוא קומפקטי‪,‬‬
‫כפי שנובע ממשפט טיכונוף שנוכיח בהמשך‪ .‬נתבונן בתת־מרחב שלו ‪ Y‬שכולל‬
‫את כל ה‪ x =: (xα )α∈[0,1] ∈ X-‬שעבורם מתקיים ‪ xα = 1‬לכל היותר במספר‬
‫בן־מניה של מקרים‪.‬‬
‫• נראה כי ‪ Y‬אינו קומפקטי‪ :‬לכל ]‪ α ∈ [0, 1‬נסמן }‪.Uα = {x ∈ Y |xα = 0‬‬
‫כלומר ה‪x-‬־ים שעבורם ‪ xα‬נמצא מחוץ לקבוצה בת המניה הנ"ל‪.‬‬
‫נשים לב שלכל ]‪ α ∈ [0, 1‬מתקיים כי )}‪ ,Uα = Y ∩ πα−1 ({0‬ולכן היא‬
‫פתוחה‪ .‬כמו־כן הקבוצה ]‪ {Uα }α∈[0,1‬היא כיסוי פתוח ל‪ ,Y -‬כי לכל‬
‫‪ x ∈ Y‬יש קבוצה בת־מניה לכל היותר של אינדקסים שבהם הוא ‪ ,1‬ולכן‬
‫קיים ]‪ β ∈ [0, 1‬כלשהו )כי ]‪ [0, 1‬אינו בן־מניה( שעבורו ‪ xβ = 0‬ומכאן כי‬
‫‪ .x ∈ Uβ‬אבל ברור מאליו שלכיסוי זה אין תת־כיסוי סופי‪ ,‬ולכן ‪ Y‬אינו‬
‫קומפקטי‪.‬‬
‫∞‬
‫• נראה כי ‪ Y‬קומפקטי סדרתית‪ :‬תהי ‪ {xn }n=1 ⊂ Y‬סדרה כלשהי‪ .‬לכל‬
‫‪ xn‬בסדרה יש קבוצה לכל היותר בת־מניה של אינדקסים בהם הוא ‪,1‬‬
‫‪38‬‬
‫נגדיר את ‪ J‬להיות איחוד כל הקבוצות הללו על כל איברי הסדרה‪J .‬‬
‫קבוצות בנות־מניה ולכן היא בת־מניה‪ .‬נתבונן במרחב‬
‫איחוד בן־מניה של ‪Q‬‬
‫המכפלה ‪ . α∈J {0, 1}α‬ממשפט טיכונוף שנוכיח בהמשך נובע כי זה‬
‫מרחב קומפקטי‪ ,‬ומהיות ‪ J‬בת־מניה נובע כי מרחב זה מטריזבילי‪ 32 .‬לכן‬
‫מהקומפקטיות נובעת גם קומפקטיות סדרתית‪.‬‬
‫‪16‬‬
‫קומפקטיות ורציפות בממשיים‬
‫משפט‪ :‬יהי ‪ X‬מרחב טופולוגי קומפקטי ותהי ‪ f : X → R‬העתקה רציפה‪ .‬אזי מתקיים‪:‬‬
‫‪ f .1‬חסומה ב‪R-‬‬
‫‪ f .2‬מקבלת מקסימום ומינימום‬
‫‪ .3‬אם ‪ X‬מטריזבילי‪ ,‬אז ‪ f‬רציפה במידה־שווה ביחס למטריקה המשרה‪.‬‬
‫‪33‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ .1‬קל לראות כי הקבוצה ‪ {(−n, n)}n∈N‬היא כיסוי פתוח של ‪.R‬‬
‫‬
‫‬
‫מרציפות ‪ f‬נובע כי ‪ f −1 ((−n, n)) n∈N‬כיסוי פתוח של ‪ .X‬מקומפקטיות ‪X‬‬
‫‬
‫‪k‬‬
‫נובע שקיים תת־כיסוי סופי מהצורה ‪ . f −1 ((−ni , ni )) i=1‬כלומר מתקיים‬
‫‪Sk‬‬
‫)) ‪ ,X = i=1 f −1 ((−ni , ni‬ומכאן כי ) ‪) f (X) ⊂ (−nk , nk‬כאשר ‪ nk‬הוא‬
‫הקטע המקסימלי( ולכן ‪ f‬חסומה‪.‬‬
‫להראות כי ‪M‬‬
‫‪ .2‬נסמן |)‪ .M = supx∈X |f (x‬הראינו כי ∞ < ‪ ,M‬כעת יש ‬
‫מתקבל כערך של ‪ .f‬נתבונן באוסף ‪ . f −1 ([M − ε, M ]) ε∈R‬מרציפות ‪f‬‬
‫נובע שקבוצות אלו סגורות‪ ,‬וקל לראות שמתקיימת לגביהן תכונת החיתוך הסופי‪.‬‬
‫שגם החיתוך כולו אינו ריק‪ ,‬משמע קיים ‪ x ∈ X‬המקיים‬
‫מקומפקטיות ‪ X‬נסיק ‪T‬‬
‫)] ‪ ,x ∈ ε∈R f −1 ([M − ε, M‬ולכן בהכרח ‪ .f (x) = M‬באותו אופן ניתן‬
‫לראות כי ‪ f‬מקבלת גם מינימום‪.‬‬
‫את הטופולוגיה שלו‪ .‬יהי ‪ .0 < ε‬נתבונן‬
‫‪ .3‬תהי ‪d‬‬
‫‬
‫מטריקה על ‪ X‬שמשרה ‬
‫באוסף‬
‫‪ , f −1 t − 2ε , t + 2ε‬שמרציפות ‪ f‬נובע שהוא כיסוי פתוח של‬
‫‪t∈R‬‬
‫‪ .X‬מקומפקטיות ‪ X‬נובע שקיים לכיסוי זה מספר לבג‪ ,‬נבחר את ‪ δ‬להיות מספר‬
‫לבג זה‪ .‬מתכונת מספרלבג נובע שלכל ‪ x, y ∈ X‬המקיימים )‪ y ∈ Bδ (x‬קיים‬
‫‪ t ∈ R‬כך שמתקיים ‪ ,Bδ (x) ⊂ f −1 t − 2ε , t + 2ε‬משמע ⊂ ))‪f (Bδ (x‬‬
‫‪ t − 2ε , t + 2ε‬ולכן ‪ .d (f (x) , f (y)) < ε‬‬
‫‪P‬‬
‫‪−i‬‬
‫‪32‬‬
‫∞ ‪.d (x, y) =:‬‬
‫על־ידי המטריקה ) ‪i=0 2 di (xi , yi‬‬
‫‪33‬הגדרה‪ :‬בהינתן מרחבים מטריים )‪ (X, d) ,(Y, ρ‬והעתקה ‪ ,f : X → Y‬אומרים כי ‪ f‬רציפה במידה־שווה‬
‫אם לכל ‪ 0 < ε‬קיים ‪ ,0 < δ‬כך שלכל ‪ x1 , x2 ∈ X‬אם ‪ d (x1 , x2 ) < δ‬אז ‪.ρ (f (x1 ) , f (x2 )) < ε‬‬
‫‪39‬‬
‫‪17‬‬
‫משפט טיכונוף‬
‫משפט‪ :‬מכפלה כלשהי של מרחבים טופולוגיים קומפקטיים‪ ,‬היא קומפקטית בטופולוגיית‬
‫המכפלה‪.‬‬
‫הערה‪ :‬משפט זה שקול לאקסיומת הבחירה‪.‬‬
‫‪34‬‬
‫באקסיומת הבחירה‪.‬‬
‫במהלך ההוכחה נציין את השימוש‬
‫סקירת ההוכחה‪ :‬נוכיח את המשפט על דרך השלילה‪ .‬נניח בשלילה שמרחב המכפלה אינו‬
‫קומפקטי‪ ,‬לכן יש כיסוי פתוח ‪ O‬שאין לו תת־כיסוי סופי‪.‬‬
‫נבנה איבר ‪ x‬במכפלה שמקיים תכונה משונה למדי‪ :‬כל קבוצת בסיס של טופולוגיית‬
‫המכפלה שמכילה את ‪ ,x‬אינה ניתנת לכיסוי על־ידי מספר סופי של איברי ‪.O‬‬
‫זו תכונה לגמרי לא הגיונית‪ ,‬כי מהיות ‪ O‬כיסוי נובע שיש קבוצת בסיס ‪O ∈ O‬‬
‫שמכילה את ‪ .x‬לכן ‪ O‬היא סביבה של ‪ x‬שמכוסה על־ידי עצמה‪ ,‬מן הסתם‪ ,‬וזו‬
‫סתירה לתכונה של ‪.x‬‬
‫את הקיום של ‪ x‬הנ"ל נבנה באינדוקציה‪ .‬תחילה אינדוקציה סטנדרטית‪ ,‬עבור‬
‫אוספים סופיים ובני־מניה‪ ,‬ולבסוף נשלים את ההוכחה למקרה הכללי באינדוקציה‬
‫טרנספיניטית )ובמקרה הכללי נשתמש באסיומת הבחירה(‪.‬‬
‫טענה ‪ :1‬יהיו ‪ X1 , X2‬מרחבים טופולוגיים ונניח כי ‪ X1‬קומפקטי‪ ,‬ויהי ‪ O‬כיסוי פתוח של‬
‫‪.X1 × X2‬‬
‫אזי קיימת ‪ ,x1 ∈ X1‬כך שלכל סביבה פתוחה ‪ U ⊂ X1‬של ‪ ,x1‬הקבוצה ‪U × X2‬‬
‫אינה מכוסה סופית על־ידי איברי ‪.O‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח בשלילה שאין ‪ x1‬כנ"ל‪ .‬לכן לכל ‪ x ∈ X1‬קיימת סביבה פתוחה ‪ Ux‬של ‪ ,x‬כך‬
‫שהקבוצה ‪ Ux × X2‬מכוסה סופית על־ידי איברי ‪.O‬‬
‫האוסף ‪ {Ux }x∈X1‬הוא כיסוי פתוח של ‪ ,X1‬ומקומפקטיות ‪ X1‬יש לו תת־כיסוי סופי‬
‫‪Sn‬‬
‫‪n‬‬
‫מהצורה ‪ 35 .{Uxi }i=1‬נשים לב שמתקיים ‪.X1 × X2 = i=1 Uxi × X2‬‬
‫מההנחה בשלילה שבראשית הוכחה זו נובע שכל ‪ Uxi × X2‬מכוסה סופית על־ידי‬
‫איברי ‪ ,O‬ולכן ‪ X1 × X2‬מכוסה סופית על־ידי איברי ‪ ,O‬בסתירה להנחה בשלילה‬
‫הכללית של‪ O-‬אין תת־כיסוי סופי‪ .‬‬
‫טענה ‪ :2‬יהיו ‪ X1 , X2‬מרחבים טופולוגיים ונניח כי שניהם קומפקטיים‪ ,‬ויהי ‪ O‬כיסוי פתוח‬
‫של ‪.X1 × X2‬‬
‫נשים לב שבפרט ‪ X1‬קומפקטי‪ .‬לכן אנו עומדים בתנאי הטענה הקודמת וקיימת‬
‫‪ x1 ∈ X1‬כנ"ל‪.‬‬
‫אזי קיימת גם ‪ ,x2 ∈ X2‬כך שלכל סביבה פתוחה ‪ V ⊂ X2‬של ‪ x2‬ולכל סביבה‬
‫פתוחה ‪ U ⊂ X1‬של ‪ ,x1‬הקבוצה ‪ U × V‬אינה מכוסה סופית על־ידי איברי ‪.O‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח בשלילה שאין ‪ x2‬כנ"ל‪ .‬לכן לכל ‪ y ∈ X2‬קיימת סביבה פתוחה ‪ Vy‬של ‪y‬‬
‫וסביבה פתוחה ‪ Uy‬של ‪ x1‬המתאימה ל‪ ,y-‬כך שהקבוצה ‪ Uy × Vy‬מכוסה סופית‬
‫על־ידי איברי ‪.O‬‬
‫‪34‬בערך ‪ Tychono's theorem‬בוויקיפדיה מצויה הוכחה של אקסיומת הבחירה מתוך משפט טיכונוף‪.‬‬
‫‪35‬הסימון פה לא מושלם כי ‪ x1‬כאן אינו ‪ x1‬מתחילת ההוכחה‪ ,‬אבל זה לא יפריע‪.‬‬
‫‪40‬‬
‫האוסף ‪ {Vy }y∈X2‬הוא כיסוי פתוח של ‪ ,X2‬ומקומפקטיות ‪ X2‬יש לו תת־כיסוי סופי‬
‫‪ m‬‬
‫מהצורה ‪. Vyj j=1‬‬
‫‪Sm‬‬
‫‪Sm‬‬
‫‪Tm‬‬
‫נגדיר ‪ .U = j=1 Uyj‬מתקיים ‪.U × X2 = j=1 U × Vyj ⊂ j=1 Uyj × Vyj‬‬
‫מההנחה בשלילה שבהוכחה זו נובע שכל ‪ Uyj × Vyj‬מכוסה סופית על־ידי איברי ‪,O‬‬
‫ולכן ‪ U × X2‬מכוסה סופית על־ידי איברי ‪ ,O‬סתירה לטענה ‪ .1‬‬
‫• מסקנת ביניים ‪ -‬משפט טיכונוף למכפלות סופיות‪ :‬מכפלה סופית של מרחבים טופולוגיים‬
‫קומפקטיים‪ ,‬היא קומפקטית בטופולוגיית המכפלה‪.‬‬
‫הערה‪ :‬עקרונית אין צורך להוכיח את המסקנה הזו בנפרד‪ ,‬כי מיד נוכיח את המשפט‬
‫באופן כללי‪ .‬אבל ההוכחה למכפלות סופיות תיתן אינטואיציה להמשך‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נוכיח באינדוקציה על מספר המרחבים‪ .‬למקרה ‪ n = 2‬מתקיים כי אם‬
‫‪ O‬כיסוי פתוח כלשהו של ‪ X1 × X2‬ל‪ X1 , X2 -‬קומפקטיים‪ ,‬ובשלילה אין לו‬
‫תת־כיסוי סופי‪ ,‬אז מטענה ‪ 2‬נובע שיש ‪ (x1 , x2 ) ∈ X1 × X2‬כך שלכל סביבה‬
‫פתוחה ‪ U ⊂ X1‬של ‪ x1‬ולכל סביבה פתוחה ‪ V ⊂ X2‬של ‪ x2‬הקבוצה ‪U × V‬‬
‫אינה מכוסה סופית על־ידי ‪ ,O‬אבל זה כמובן לא הגיוני כי ‪ O‬כיסוי של כל‬
‫‪.X1 × X2‬‬
‫וכעת קל להסיק את המקרה הסופי הכללי באינדוקציה‪.‬‬
‫טענה ‪ :3‬יהיו ‪ X1 , X2 , X3‬מרחבים טופולוגיים ונניח כי ‪ X2‬קומפקטי‪ ,‬ויהי ‪ O‬כיסוי פתוח‬
‫של ‪.X1 × X2 × X3‬‬
‫נניח עוד שקיים ‪ ,x1 ∈ X1‬כך שלכל סביבה פתוחה ‪ U ⊂ X1‬שמכילה את ‪,x1‬‬
‫הקבוצה ‪ U × X2 × X3‬אינה מכוסה סופית על־ידי איברי ‪.O‬‬
‫אזי קיימת ‪ ,x2 ∈ X2‬כך שלכל סביבה פתוחה ‪ U ⊂ X1 ,V ⊂ X2‬המכילות את‬
‫‪ x1 , x2‬בהתאמה‪ ,‬הקבוצה ‪ U × V × X3‬אינה מכוסה סופית על־ידי איברי ‪.O‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח בשלילה שאין ‪ x2‬כנ"ל‪ .‬לכן לכל ‪ y ∈ X2‬קיימת סביבה פתוחה ‪ Vy‬של ‪y‬‬
‫וסביבה פתוחה ‪ Uy‬של ‪ x1‬המתאימה ל‪ ,y-‬כך שהקבוצה ‪ Uy × Vy × X3‬מכוסה‬
‫סופית על־ידי איברי ‪.O‬‬
‫האוסף ‪ {Vy }y∈X2‬הוא כיסוי פתוח של ‪ ,X2‬ומקומפקטיות ‪ X2‬יש לו תת־כיסוי סופי‬
‫‪ m‬‬
‫מהצורה ‪. Vyj j=1‬‬
‫‪Tm‬‬
‫נגדיר ‪ .U = j=1 Uyj‬מתקיים‪:‬‬
‫‪Uyj × Vyj × X3‬‬
‫‪m‬‬
‫[‬
‫⊂ ‪U × Vyj × X3‬‬
‫‪j=1‬‬
‫‪m‬‬
‫[‬
‫= ‪U × X2 × X3‬‬
‫‪j=1‬‬
‫מההנחה בשלילה שבהוכחה זו נובע שכל ‪ Uyj × Vyj × X3‬מכוסה סופית על־ידי איברי‬
‫‪ ,O‬ולכן ‪ U × X2 × X3‬מכוסה סופית על־ידי איברי ‪ ,O‬סתירה לטענה ‪ .1‬‬
‫בנות־מניה‪ :‬נראה שאם ‪ {Xi }i∈N‬אוסף של מרחבים‬
‫הוכחת משפט טיכונוף למכפלות‬
‫‪Q‬‬
‫קומפקטיים‪ ,‬אז המכפלה ‪ i∈N Xi‬היא מרחב קומפקטי בטופולוגיית המכפלה‪.‬‬
‫יהי ‪ O‬כיסוי פתוח כלשהו של מרחב המכפלה‪ ,‬ונניח בשלילה שאין לו תת־כיסוי סופי‪.‬‬
‫‪41‬‬
‫‪Q‬‬
‫נבנה באינדוקציה איבר ‪ x ∈ i∈N Xi‬שכל סביבה שלו אינה מכוסה סופית על־‬
‫ידי איברי ‪ ,O‬וברגע שנמצא איבר כזה נקבל סתירה כפי שהוסבר בסקירה בתחילת‬
‫ההוכחה‪.‬‬
‫‪Q‬‬
‫נסמן באופן כללי את "זנבות" המכפלה ‪ .Yk =: k≤i∈N Xi‬כעת נבנה את האיבר‬
‫המבוקש )‪ x =: (x1 , x2 , ...‬באינדוקציה‪.‬‬
‫‪ :x1‬נתבונן ב‪ .X1 × Y2 -‬טענה ‪ 1‬קובעת שיש ‪ ,x1 ∈ X1‬כך שלכל סביבה פתוחה‬
‫‪ U1 ⊂ X1‬של ‪ ,x1‬הקבוצה ‪ U1 × Y2‬אינה מכוסה סופית על־ידי איברי ‪.O‬‬
‫‪ :x2‬נתבונן ב‪ .X1 ×X2 ×Y3 -‬טענה ‪ 3‬קובעת שיש ‪ ,x2 ∈ X2‬כך שלכל סביבה פתוחה‬
‫‪ U2 ⊂ X2‬של ‪ x2‬ולכל סביבה פתוחה ‪ U1 ⊂ X1‬של ‪ ,x1‬הקבוצה ‪U1 × U2 × Y3‬‬
‫אינה מכוסה סופית על־ידי איברי ‪.O‬‬
‫‪...‬‬
‫‪ :xn‬נתבונן ב‪ .X1 × X2 × ... × Xn−1 × Xn × Yn+1 -‬מהנחת האינדוקציה יש‬
‫נקודה ‪ (x1 , x2 , ..., xn−1 ) ∈ X1 × X2 × ... × Xn−1‬כך שלכל אוסף סביבות פתוחות‬
‫‪Qn−1‬‬
‫‪ Ui ⊂ Xi‬של ‪ i = 1, ..., n − 1 ,xi‬בהתאמה‪ ,‬הקבוצה ‪ i=1 Ui × Yn‬אינה מכוסה‬
‫‪36‬‬
‫‪ xn ∈ XQ‬כך שלכל סביבה פתוחה‬
‫סופית על־ידי איברי ‪ .O‬טענה ‪ 3‬קובעת‬
‫שיש ‪n‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪ Un ⊂ Xn‬של ‪ xn‬הקבוצה ‪ i=1 Ui × Xn × Yn‬אינה מכוסה סופית על־ידי איברי‬
‫‪.O‬‬
‫התכונה הרצויה‪.‬‬
‫אם כך האיבר ‪ x =: (xn )n∈N‬מוגדר‪ .‬נראה שהוא אכן מקיים את ‪Q‬‬
‫נשים לב שבטופולוגיית המכפלה סביבה של ‪ x‬היא מהצורה ‪ , i∈N Wi‬כאשר = ‪Wi‬‬
‫‪ Xi‬לכל ‪ ,i‬למעט מספר סופי של מקרים‪.‬‬
‫שלכל ‪ N < n‬מתקיים ‪ ,Wn = Xn‬ונקבל שהקבוצה‬
‫האינדקס המקיים‬
‫‪QN‬‬
‫נסמן ב‪ N -‬את ∞‪Q‬‬
‫הפתוחה ‪ i=1 Wi × i=N +1 Xi‬לא מכוסה סופית על־ידי איברי ‪ O‬לפי בניית ‪,x‬‬
‫וזו סתירה כפי שהסברנו בסקירה בתחילת ההוכחה‪ .‬‬
‫הכללי‪ :‬נראה שאם ‪ {Xα }α∈I‬אוסף של מרחבים קומפקטיים‪ ,‬אז‬
‫הוכחת משפט טיכונוף ‪Q‬‬
‫‪37‬‬
‫המכפלה ‪ α∈I Xα‬היא מרחב קומפקטי בטופולוגיית המכפלה‪.‬‬
‫יהי ‪ O‬כיסוי פתוח כלשהו של מרחב המכפלה‪ ,‬ונניח בשלילה שאין לו תת־כיסוי סופי‪.‬‬
‫כעת נניח את אקסיומת הבחירה‪ ,‬השקולה למשפט הסידור הטוב‪ ,‬ונניח שקיים סדר‬
‫טוב על קבוצת האינדקסים‪ .IQ‬מהיות ‪ I‬סדורה היטב נוכל לבנות באינדוקציה‬
‫טרנספיניטית איבר ‪ x ∈ α∈I XI‬שכל סביבה שלו אינה מכוסה סופית על־ידי‬
‫איברי ‪ ,O‬וברגע שנמצא איבר כזה נקבל סתירה כפי שהוסבר בסקירה בתחילת‬
‫ההוכחה‪.‬‬
‫יהי ‪ .α ∈ I‬נניח שלכל ‪ β ∈ I‬המקיים ‪ β < α‬הגדרנו את הרכיב ‪ ,xβ ∈ Xβ‬כך‬
‫סביבות פתוחות‪ Uβ ⊂ XβQ‬המכילות את ‪xβ‬־ים‪ ,‬על כל ‪ ,β < α‬הקבוצה‬
‫שלכל ‪Q‬‬
‫‪ β<α Uβ × α≤β Xβ‬אינה מכוסה סופית על־ידי ‪.O‬‬
‫‪ Q‬כך שלכל סביבה פתוחה ‪ Uα ⊂ Xα‬של ‪ xα‬הקבוצה‬
‫קובעת שיש ‪xα ∈ Xα‬‬
‫טענה ‪Q 3‬‬
‫‪ β<α Uβ × Xα × α<β Xβ‬אינה מכוסה סופית על־ידי איברי ‪.O‬‬
‫אם כך האיבר ‪ x =: (xα )α∈I‬מוגדר‪ ,‬וכמו במקרה של מכפלות בנות־מניה ניתן‬
‫לראות שכל סביבה של ‪ x‬לא מכוסה סופית על־ידי ‪ ,O‬וזו סתירה‪ .‬‬
‫‪36‬בסימוני טענה ‪ ”X1 ” ,3‬הוא ‪ X1 × ... × Xn−1‬כאן‪ ”X2 ” ,‬הוא ‪ Xn‬כאן‪ ,‬ו‪ ”X3 ”-‬הוא ‪ Yn+1‬כאן‪.‬‬
‫‪37‬למעט הנחת אקסיומת הבחירה‪ ,‬לא יהיה הבדל מהותי בין הוכחה זו לבין ההוכחה למכפלות בנות־מניה‪.‬‬
‫‪42‬‬
‫דוגמה נגדית למשפט טיכונוף בטופולוגיית הקופסה‪ :‬המרחב ]‪ [0, 1‬קומפקטי‪ ,‬אולם נראה‬
‫‪N‬‬
‫שבטופולוגיית הקופסה המרחב ]‪ [0, 1‬אינו קומפקטי‪ ,‬על־ידי בניית כיסוי פתוח שאין‬
‫לו תת־כיסוי סופי‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫נסמן ‪ .U1 = 31 , 1 ,U0 = 0, 23‬קל לראות שאלו קבוצות פתוחות ב‪ ,[0, 1]-‬וכי‬
‫שתיהן יחד מהוות כיסוי‪.‬‬
‫‪N‬‬
‫כל ]‪ (xn )n∈N ∈ [0, 1‬ניתן לייצג כפונקציה‪ .f : N → [0, 1]Q‬אם כך לכל איבר‬
‫במכפלה שמיוצג על־ידי ‪ f‬כלשהי‪ ,‬נגדיר )‪ .Uf = n∈N Uf (n‬האוסף }]‪{Uf |f : N → [0, 1‬‬
‫‪N‬‬
‫‪N‬‬
‫מהווה כיסוי פתוח של ]‪ .[0, 1‬מצד שני לא ניתן לקבל את כל איברי ]‪ [0, 1‬מתוך‬
‫אף תת־קבוצה סופית של אוסף זה‪.‬‬
‫‪18‬‬
‫קומפקטיות במרחבי פונקציות רציפות‬
‫הגדרות‪:‬‬
‫• יהי )‪ (X, d‬מרחב מטרי קומפקטי‪ .‬נגדיר את הקבוצה }‪,C (X) =: {f : X → C|f is continuous‬‬
‫ונגדיר עליה את "מטריקת הסופרימום" |)‪.ρ (f, g) =: supx∈X |f (x) − g (x‬‬
‫ניתן להראות שתחת מטריקה זו‪ C (X) ,‬הוא מרחב מטרי שלם‪.‬‬
‫• )‪ F ⊂ C (X‬נקראת רציפה במידה אחידה‪ ,‬אם לכל ‪ 0 < ε‬קיים ‪ 0 < δ‬כך‬
‫שלכל ‪ x, y ∈ X‬ולכל ‪ ,f ∈ F‬אם ‪ d (x, y) < δ‬אז ‪.|f (x) − f (y)| < ε‬‬
‫• )‪ F ⊂ C (X‬נקראת חסומה‪ ,‬אם קיים ‪ M ∈ R‬כך שלכל ‪ f ∈ F‬ולכל ‪x ∈ X‬‬
‫מתקיים ‪.|f (x)| < M‬‬
‫משפט ארזלה־אסקולי‪ :‬לכל תת־קבוצה )‪ F ⊂ C (X‬שהיא חסומה ורציפה במידה אחידה‪,‬‬
‫קיימת סדרה מתוכה שמתכנסת‪.‬‬
‫מסקנה‪ :‬תת־קבוצה )‪ F ⊂ C (X‬היא קומפקטית‪ ,‬אם ורק אם היא סגורה‪ ,‬חסומה ורציפה‬
‫במידה אחידה‪.‬‬
‫משפט זה הוכח בקורס קודם‪.‬‬
‫‪19‬‬
‫קומפקטיות במרחבי האוסדורף‬
‫תזכורת‪:‬‬
‫• מרחב טופולוגי נקרא האוסדורף‪ ,‬אם כל זוג נקודות שונות ניתנות להפרדה‪.‬‬
‫• מרחב טופולוגי נקרא נורמלי‪ ,‬אם כל זוג קבוצות סגורות וזרות ניתנות להפרדה‪.‬‬
‫– מרחב טופולוגי הוא נורמלי אם ורק אם לכל קבוצה סגורה ‪ ,A‬לכל סביבה‬
‫‪ U‬של ‪ A‬קיימת ‪ V‬פתוחה כך שמתקיים ‪.A ⊂ V ⊂ V ⊂ U‬‬
‫טענה‪ :‬מרחב האוסדורף קומפקטי הוא נורמלי‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ X‬מרחב האוסדורף קומפקטי‪ ,‬ויהיו ‪ A, B ⊂ X‬סגורות וזרות‪ .‬נרצה למצוא‬
‫להן הפרדה‪.‬‬
‫‪43‬‬
‫מהיות ‪ X‬האוסדורף נובע שלכל זוג ‪ b ∈ B ,a ∈ A‬קיימות ‪ Va,b ,Ua,b‬פתוחות וזרות‪,‬‬
‫עבורן ‪.b ∈ Va,b ,a ∈ Ua,b‬‬
‫לכל ‪ ,b ∈ B‬האוסף ‪ {Ua,b ∩ A}a∈A‬מהווה כיסוי פתוח של ‪ .A‬הראינו שקבוצה‬
‫סגורה במרחב קומפקטי היא קומפקטית בטופולוגיה המושרית עליה‪ .‬לכן ‪ A‬קיים‬
‫‪n‬‬
‫תת־כיסוי סופי מהצורה ‪.{Uai ,b ∩ A}i=1‬‬
‫‪S‬‬
‫עבור ‪ b‬הנ"ל נגדיר ‪˜b = n Ua ,b − B‬‬
‫‪ .U‬קל לראות שזו קבוצה פתוחה )איחוד של‬
‫‪i‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪T‬‬
‫‪n‬‬
‫פתוחות‪ ,‬פחות סגורה( וזרה ל‪ .B-‬נגדיר ‪ .V˜b = i=1 Vai ,b‬קל לראות שזו קבוצה‬
‫פתוחה )חיתוך סופי של פתוחות(‪ ,‬ומכיוון שכל ‪ Vai ,b‬זרה ל‪ ,Uai ,b -‬אז גם ‪ V˜b‬זרה‬
‫‪ .U‬אם כך קיבלנו כי ‪˜b , V˜b‬‬
‫ל‪˜b -‬‬
‫‪ U‬פתוחות וזרות‪ ,‬ומפרידות את ‪ A‬מ‪.b-‬‬
‫‪n‬‬
‫‪o‬‬
‫‪ V˜b ∩ B‬מהווה כיסוי פתוח של ‪.B‬‬
‫כעת נשחרר את ‪ ,b‬ונקבל שהאוסף‬
‫‪b∈B‬‬
‫‪) B‬כקבוצה סגורה במרחב קומפקטי( קיים תת־כיסוי סופי מהצורה‬
‫מקומפקטיות ‪n‬‬
‫‪om‬‬
‫‪. V˜bj ∩ B‬‬
‫‪j=1‬‬
‫˜ ‪Tm‬‬
‫˜ ‪Sn‬‬
‫כעת נגדיר ‪ .U = j=1 Ubj ,V = i=1 Vbi‬הן פתוחות וזרות‪ ,‬וניתן לראות מהבנייה‬
‫כי ‪ U, V‬מפרידות את ‪ A, B‬בהתאמה‪ .‬‬
‫הגדרה‪ :‬מרחב טופולוגי נקרא קומפקטי מקומית‪ ,‬אם לכל נקודה בו קיימת קבוצה קומפקטית‬
‫המכילה סביבה של ‪.x‬‬
‫דוגמה‪ Q :‬אינו קומפקטי מקומית‪ ,‬כי כל סביבה פתוחה של ‪ ,0‬למשל‪ ,‬מכילה קטע מהצורה‬
‫‪ .(−ε, ε) ∩ Q‬ניקח סדרת קושי שיש לה גבול לא רציונלי‪ ,‬ולא תהיה לה תת־סדרה‬
‫מתכנסת‪.‬‬
‫טענה‪ :‬מרחב האוסדורף הוא קומפקטי מקומית אם ורק אם לכל נקודה בו יש סביבה פתוחה‬
‫בעלת סגור קומפקטי‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ X‬מרחב האוסדורף‪ .‬בכיוון אחד‪ ,‬אם לכל נקודה יש קבוצה סגורה קומפקטית‬
‫שמכילה אותה‪ ,‬אז בבירור מתקיימת קומפקטיות מקומית‪ .‬נראה את הכיוון השני‪.‬‬
‫נניח ש‪ X-‬גם קומפקטי מקומית ותהי ‪ .x ∈ X‬לכן קיימת סביבה קומפקטית ‪W ⊂ X‬‬
‫המכילה את ‪ .x‬מהיות ‪ W‬סביבה נובע שקיימת פתוחה ‪ U ⊂ W‬המכילה את ‪ .x‬מהיות‬
‫‪ X‬האוסדורף נובע שכל קבוצה קומפקטית בו היא סגורה‪ ,‬ולכן ‪.x ∈ U ⊂ U ⊂ W‬‬
‫קיבלנו ש‪ U -‬סגורה בקבוצה קומפקטית‪ ,‬ולכן קומפקטית בעצמה‪ .‬‬
‫‪20‬‬
‫קומפקטיפיקציה‬
‫הגדרה‪ :‬יהיו ‪ X, Y‬מרחבים טופולוגיים‪ .‬אומרים כי ‪ Y‬הוא קומפקטיפיקציה של ‪ ,X‬אם ‪Y‬‬
‫קומפקטי‪) X ⊂ Y ,‬אולי עד כדי הומאומורפיזם( וכן ‪.X = Y‬‬
‫הגדרה‪ :‬יהי ) ‪ (X, T‬מרחב טופולוגי‪ .‬נגדיר את הקומפקטיפיקציה החד־נקודתית של ‪X‬‬
‫באופן הבא‪:‬‬
‫ˆ‬
‫נסמן ב‪ ”∞”-‬נקודה כלשהי שאינה ב‪ .X-‬נגדיר קבוצה חדשה }∞{∪ ‪ X = X‬ונגדיר‬
‫עליה את הטופולוגיה‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪o‬‬
‫‪ˆ − C|C ⊂ X is compact‬‬
‫‪Tˆ =: T ∪ X‬‬
‫‪44‬‬
‫תרגיל‪ :‬לבדוק שזו אכן טופולוגיה‪.‬‬
‫ב‪ .X-‬וזאת כי כל פתוחה ˆ‬
‫הערה‪ :‬אם ‪ X‬אינו קומפקטי אז ‪ X‬צפוף ˆ‬
‫ב‪ X-‬המכילה את ∞‬
‫‪ ,X‬ואם ‪ X‬אינו קומפקטי אז תמיד }∞{ =‪ˆ − C 6‬‬
‫היא מהצורה ‪ˆ − C‬‬
‫‪ X‬ולכן מכיל‬
‫נקודה ב‪.X-‬‬
‫‬
‫‬
‫טענה‪ˆ Tˆ :‬‬
‫‪ X,‬מרחב קומפקטי‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ O‬כיסוי פתוח כלשהו של ˆ‬
‫‪ .X‬ככיסוי‪ O ,‬צריך להכיל בפרט גם את ∞ ולכן‬
‫ˆ‬
‫לפחות קבוצה אחת מהצורה ‪ X − C‬ל‪ C ⊂ X-‬קומפקטית ב‪ .X-‬נשים לב‬
‫יש בו‬
‫‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫שמתקיים ‪ .X = C ∪ X − C‬את ‪ C‬ניתן לכסות סופית על־ידי איברי ‪ O‬כי היא‬
‫קומפקטית‪ ,‬ו‪ˆ − C-‬‬
‫‪ X‬פתוחה מהגדרת ˆ‪ T‬ובחרנו אותה להיות ב‪ ,O-‬לכן סך הכל‬
‫מתקבל תת־כיסוי סופי של איברי ‪ .O‬‬
‫‬
‫‬
‫טענה‪ :‬אם ) ‪ (X, T‬קומפקטי מקומית והאוסדורף‪ ,‬אזי ˆ‪ˆ T‬‬
‫‪ X,‬האוסדורף‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהיו ˆ‬
‫‪ .x, y ∈ X‬אם ‪ x, y ∈ X‬אז הן ניתנות להפרדה כי ‪ X‬האוסדורף‪ ,‬לכן נניח‬
‫‪ .y = ∞ ,x ∈ X‬מקומפקטיות מקומית של ‪ X‬קיימת סביבה קומפקטית ‪U ⊂ X‬‬
‫של ‪ .x‬לכן נקבל שהפתוחות ‪ˆ − U‬‬
‫‪ U o , X‬מפרידות את ‪ .x, y‬‬
‫‪45‬‬
‫חלק‬
‫‪VI‬‬
‫דלילות )‪(nowhere dense‬‬
‫הגדרה‪ :‬יהי ‪ X‬מרחב טופולוגי‪ .‬קבוצה ‪ A ⊂ X‬נקראת דלילה אם ‪ X − A‬צפופה ב‪.X-‬‬
‫‬
‫במילים אחרות‪ :‬לכל קבוצה פתוחה ולא ריקה ‪ U ⊂ X‬מתקיים כי ∅ =‪. X − A ∩U 6‬‬
‫ ‬
‫דוגמה‪ :‬הקבוצות ‪ Z, n1 n∈N‬דלילות ב‪.R-‬‬
‫הערה‪ :‬קל לראות שאם קבוצה ‪ A ⊂ X‬לא צפופה באף קבוצה פתוחה ‪) U ⊂ X‬בטופולוגיה‬
‫המושרית(‪ ,‬אז היא דלילה‪.‬‬
‫הערה‪ :‬קבוצה ‪ A ⊂ X‬דלילה אם ורק אם ל‪ A-‬פנים ריק‪) .‬ההוכחה מושארת כתרגיל(‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬אומרים שקבוצה ‪ A ⊂ X‬היא מקטגוריה ראשונה‪ ,‬אם היא איחוד בן־מניה לכל‬
‫‪38‬‬
‫היותר של קבוצות דלילות‪ .‬אחרת אומרים שהיא מקטגוריה שנייה‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬הקבוצה ‪ Q‬אינה דלילה ב‪S,R-‬כי ‪ Q = R‬ולכן ∅ = ‪ .R − Q‬אולם היא בכל זאת‬
‫מקטגוריה ראשונה‪ ,‬כי }‪ Q = q∈Q {q‬וזה איחוד בן־מניה של קבוצות דלילות‪.‬‬
‫‪21‬‬
‫משפט הקטגוריה של בייר‬
‫מטרי שלם‪ .‬אזי לכל אוסף‬
‫משפט‪ :‬יהי ‪ X‬מרחב טופולוגי קומפקטי האוסדורף או מרחב ‪S‬‬
‫בן־מניה של קבוצות דלילות ‪ {An }n∈N‬מתקיים כי ‪ X − n∈N An‬צפופה ב‪.X-‬‬
‫מסקנה‪ :‬כל מרחב טופולוגי קומפקטי האוסדורף וכל מרחב מטרי שלם הם מקטגוריה שנייה‪.‬‬
‫‪ S‬הם היו איחוד בן־מניה של דלילות ‪{An }n∈N‬‬
‫כי אם הם היו מקטגוריה ראשונה אז‬
‫כלשהן‪ ,‬והיינו מקבלים ∅ = ‪.X − n∈N An‬‬
‫הוכחה‪39 :‬יהי ‪ X‬מרחב טופולוגי קומפקטי האוסדורף‪ ,‬ויהי ‪ {An }n∈N‬אוסף כלשהו של‬
‫קבוצות דלילות במרחב‪ .‬נניח ללא הגבלת הכלליות שכולן סגורות )כי נוכל לקחת את‬
‫אוסף הסגורים שלהן(‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫כדי להראות כי ‪ X − n∈N An‬צפופה ב‪ X-‬די להראות שלכל קבוצה פתוחה ולא‬
‫‪S‬‬
‫ריקה ‪ U ⊂ X‬מתקיים ∅ =‪. X − n∈N An ∩ U 6‬‬
‫נשתמש בכך ש‪ X-‬קומפקטי האוסדורף‪ ,‬ולכן כפי שהראינו לעיל נובע שהוא נורמלי‪.‬‬
‫‪40‬‬
‫נתון כי ‪ A1‬דלילה וסגורה‪ ,‬ולכן מההגדרה נובע כי ∅ =‪ U1 =: U ∩ (X − A1 ) 6‬וזו‬
‫קבוצה פתוחה‪ .‬תהי ‪.a1 ∈ U1‬‬
‫‪ X‬נורמלי ולכן קיימת ‪ V1‬פתוחה המקיימת ‪.a1 ∈ V1 ⊂ V1 ⊂ U1 ⊂ U‬‬
‫נשים לב כי ∅ = ‪ U1 ∩ A1‬וכי ‪ ,V1 ⊂ U1‬ולכן ∅ = ‪.V1 ∩ A1‬‬
‫נתון כי ‪ A2‬דלילה וסגורה‪ ,‬ולכן מההגדרה נובע כי ∅ =‪ U2 =: (X − A2 ) ∩ V1 6‬וזו‬
‫קבוצה פתוחה‪ .‬תהי ‪.a2 ∈ U2‬‬
‫‪ X‬נורמלי ולכן קיימת ‪ V2‬פתוחה המקיימת ‪.a2 ∈ V2 ⊂ V2 ⊂ U2 ⊂ V1 ⊂ U‬‬
‫‪38‬קטגוריה ראשונה במרחבים טופולוגיים היא המקבילה הטופולוגית למידה אפס במרחבים מטריים‪.‬‬
‫‪39‬נוכיח את הנוסח למרחבים טופולוגיים‪ .‬ההוכחה למרחבים מטריים בנויה באופן דומה‪ ,‬בשינויים קטנים‪.‬‬
‫‪40‬בשלב זה בהוכחת הנוסח למרחבים מטריים משתמשים בכך שכל מרחב מטרי הוא נורמלי‪.‬‬
‫‪46‬‬
‫נשים לב כי ∅ = ) ‪ U2 ∩ (A1 ∪ A2‬וכי ‪ ,V2 ⊂ U‬ולכן ∅ = ) ‪.V2 ∩ (A1 ∪ A2‬‬
‫‪n‬‬
‫ובאופן כללי‪ ,‬לאחר ‪ n‬צעדים נקבל אוסף פתוחות ‪ {Vj }j=1‬המקיימות ‪Vj ⊂ Vj−1‬‬
‫‪S‬‬
‫‬
‫‪n‬‬
‫∩ ‪.Vn‬‬
‫וכן גם ∅ = ‪j=1 Aj‬‬
‫ ‬
‫לכן ‪ Vn n∈N‬הוא אוסף של סגורות המקיים את תכונת החיתוך הסופי‪ ,‬ומקומפקטיות‬
‫‪T‬‬
‫‪ X‬נובע שהחיתוך כולו אינו ריק‪ 41 .‬תהי ‪.a ∈ n∈N Vn ⊂ U‬‬
‫‬
‫‪S‬‬
‫‪S‬‬
‫∈ ‪ ,a‬ולכן ‪ ,a ∈ X − n∈N An ∩ U‬כנדרש‪ .‬‬
‫נשים לב כי ‪/ n∈N An‬‬
‫הגדרה‪ :‬מרחב טופולוגי נקרא מושלם‪ ,‬אם כל נקודה בו היא נקודת הצטברות‪.‬‬
‫כלומר מרחב טופולוגי ‪ X‬הוא מושלם אם לכל ‪ x ∈ X‬ולכל ‪ U ⊂ X‬פתוחה המכילה‬
‫את ‪ x‬קיים ‪ y ∈ U‬כך ש‪.x 6= y-‬‬
‫מסקנה‪ :‬אם ‪ X‬מרחב טופולוגי קומפקטי האוסדורף וגם מושלם‪ ,‬אז הוא לא בן־מניה‪.‬‬
‫הוכחה‪ X :‬מושלם והאוסדורף ולכן כל יחידון }‪ {x‬הוא קבוצה דלילה‪ ,‬כי מהיות המרחב‬
‫‪o‬‬
‫‪o‬‬
‫האוסדורף‪ .{x} = {x} = ∅S‬נניח בשלילה כי ‪ X‬קומפקטי ובן מניה‪ ,‬אזי מתקיים‬
‫}‪ X = x∈X {x‬כאיחוד בן־מניה של קבוצות דלילות‪ ,‬בסתירה למסקנה ממשפט‬
‫בייר‪ .‬‬
‫‪41‬בשלב זה בהוכחת הנוסח למרחבים מטריים משתמשים בהנחת השלמות‪.‬‬
‫‪47‬‬
‫חלק‬
‫‪VII‬‬
‫מרחבי מנה‬
‫תזכורת‪ :‬תהי ‪ X‬קבוצה‪ .‬אומרים שקבוצה ‪ R ⊂ X × X‬היא יחס שקילות על ‪ ,X‬אם‬
‫מתקיימים שלושת התנאים הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬לכל ‪ x ∈ X‬מתקיים ‪(x, x) ∈ R‬‬
‫‪ .2‬לכל ‪ x, y ∈ X‬מתקיים כי אם ‪ (x, y) ∈ R‬אז גם ‪(y, x) ∈ R‬‬
‫‪ .3‬לכל ‪ x, y, z ∈ X‬מתקיים כי אם ‪ (x, y) ∈ R‬וגם ‪ (y, z) ∈ R‬אז גם ‪(x, z) ∈ R‬‬
‫באופן כללי‪ ,‬אם ‪ (x, y) ∈ R‬מסמנים ‪.x ∼ y‬‬
‫בהינתן קבוצה ‪ X‬עם יחס שקילות ‪ R‬עליה‪ ,‬מחלקת שקילות של איבר ‪ x ∈ X‬מוגדרת‬
‫להיות }‪ .[x] =: {y ∈ X|x ∼ y‬לכל ‪ x ∈ X‬מתקיים ∅ =‪ ,[x] 6‬כי ]‪.x ∈ [x‬‬
‫בהינתן קבוצה ‪ X‬עם יחס שקילות ‪ R‬עליה‪ ,‬מסמנים את אוסף כל מחלקות השקילות‬
‫‪42‬‬
‫של ‪ X‬ב‪ .X/R-‬קל לראות שהאוסף ‪ X/R‬מגדיר חלוקה של ‪.X‬‬
‫הגדרה‪ :‬יהי ‪ X‬מרחב טופולוגי ויהי ‪ R‬יחס שקילות עליו‪ .‬נגדיר העתקה ‪P : X → X/R‬‬
‫על־ידי ]‪.x 7→ [x‬‬
‫נרצה להפוך את ‪ X/R‬למרחב טופולוגי‪ .‬נעשה זאת על־ידי בחירת הטופולוגיה החזקה‬
‫ביותר שתחתיה ‪ P‬רציפה‪ .‬לשם כך נגדיר קבוצה ‪ U ⊂ X/R‬להיות פתוחה אם ורק‬
‫אם ‪ P −1 (U ) ⊂ X‬פתוחה‪.‬‬
‫הערה‪ :‬ההעתקה ‪ P‬אינה בהכרח העתקה פתוחה‪.‬‬
‫ניקח למשל את המרחב ]‪ [0, 1‬ונגדיר יחס שקילות }]‪R = {(x, x) , (0, 1) , (1, 0) |x ∈ [0, 1‬‬
‫הטופולוגי של מחלקות השקילות(‪.‬‬
‫אחת במרחב ‬
‫מזהים ‪1‬את הנקודות ‪ 0, 1‬כנקודה‬
‫)כלומר ‬
‫‪ ,P −1 P 21 , 1‬וזו קבוצה‬
‫‪ ,[0,‬אבל ‪= {0} ∪ 21 , 1‬‬
‫ב‪1]-‬‬
‫פתוחה‬
‫‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫הקבוצה‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫שאינה פתוחה ב‪ .[0, 1]-‬לכן ‪ P 12 , 1‬אינה פתוחה ב‪.[0,1]/R-‬‬
‫למה‪ :‬יהי ‪ X‬מרחב טופולוגי ויהי ‪ R‬יחס שקילות עליו‪ .‬אזי‪:‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ X‬קומפקטי אז גם ‪ X/R‬קומפקטי‪.‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ X‬קשיר או קשיר מסילתית‪ ,‬אז גם ‪ X/R‬קשיר או קשיר מסילתית‪ ,‬בהתאמה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬תכונות אלו הן תכונות טופולוגיות‪ ,‬כלומר נשמרות תחת העתקה רציפה‪ ,‬ומתקיים‬
‫‪ .P (X) = X/R‬תחת הטופולוגיה שהגדרנו על ‪ X/R‬זו העתקה רציפה‪ ,‬ולכן התמונה‬
‫משמרת את התכונות הללו‪ .‬‬
‫למה‪ :‬יהיו ‪ X‬מרחב טופולוגי‪ ,‬יהי ‪ R‬יחס שקילות עליו ותהי ‪ P : X → X/R =: X‬שהגדרנו‪.‬‬
‫יהי ‪ Y‬מרחב טופולוגי נוסף ותהי ‪ f : X → Y‬העתקה רציפה‪ ,‬שהיא קבועה על‬
‫מחלקות השקילות של ‪ .X‬אזי‪:‬‬
‫‪ .1‬קיימת העתקה רציפה ‪ f : X → Y‬כך ש‪.f ◦ P = f -‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ f‬הנ"ל חח"ע ועל וגם ‪ f‬העתקה פתוחה )או סגורה(‪ ,‬אזי ‪ f‬היא הומאומורפיזם‪.‬‬
‫‪42‬כלומר אוסף תתי־קבוצות זרות בזוגות שאיחודן מכסה את ‪.X‬‬
‫‪48‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ f‬הנ"ל חח"ע ועל וגם ‪ X‬קומפקטי ו‪ Y -‬האוסדרוף‪ ,‬אזי ‪ f‬היא הומאומורפיזם‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ .1‬נגדיר את הפונקציה ‪ f : X → Y‬על־ידי )‪ .[x] 7→ f (x‬מההנחה כי ‪ f‬קבועה‬
‫על מחלקות השקילות נובע כי ‪ f‬מוגדרת היטב‪ .‬נוודא שזו העתקה רציפה‪.‬‬
‫‪−1‬‬
‫תהי ‪ A‬פתוחה ב‪ .Y -‬צריך להראות כי )‪ f (A‬פתוחה‬
‫ ב‪ .X-‬כלומר‪ ,‬לפי‬
‫‪−1‬‬
‫הגדרת הטופולוגיה על ‪ ,X‬צריך להראות כי )‪ P −1 f (A‬פתוחה ב‪.X-‬‬
‫נשים לב שמתקיים‪:‬‬
‫‬
‫)‪(A) = {[x] |f (x) ∈ A} = P f −1 (A‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪f‬‬
‫מההנחה ש‪ f -‬קבועה על מחלקות השקילות נובע כי‪:‬‬
‫‪ −1‬‬
‫‬
‫‬
‫)‪f −1 (A) = P −1 P f −1 (A) = P −1 f (A‬‬
‫ומההנחה ש‪ f -‬רציפה נובע כי קבוצה זו פתוחה ב‪.X-‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪ f‬רציפה‪ ,‬לשם כך נראה כי ‪ f‬העתקה פתוחה‪ .‬תהי ‪A‬‬
‫‪ .2‬צריך להראות כי‬
‫פתוחה ב‪ ,X-‬נראהכי )‪ f (A‬פתוחה ב‪ .Y -‬מההנחה ש‪ f -‬קבועה על מחלקות‬
‫מהיות ‪ A‬פתוחה נובע כי‬
‫השקילות נובע כי )‪ .f (A) = f P −1 (A‬אבל‬
‫‬
‫‪−1‬‬
‫)‪ P −1 (A‬פתוחה‪ ,‬ומההנחה כי ‪ f‬העתקה פתוחה נובע ש‪ f P (A) -‬פתוחה‪.‬‬
‫‪ .3‬הראינו לעיל שכל העתקה רציפה ‪ X → Y‬שהיא חח"ע ועל‪ ,‬ל‪ X-‬קומפקטי ו‪Y -‬‬
‫האוסדורף‪ ,‬היא הומאומורפיזם‪ .‬‬
‫דוגמה כללית‪ :‬יהי ‪ X‬מרחב טופולוגי ויהיו ‪ A, B ⊂ X‬עם העתקה ‪ f : A → B‬כלשהי‪.‬‬
‫נגדיר יחס שקילות על ‪ ,X‬על־ידי ‪ a ∼ a0‬אם ורק אם ) ‪.f (a) = f (a0‬‬
‫אם ‪ f‬היא העתקה על‪ ,‬אז המרחב ‪ X/∼f‬הוא "הדבקה" של ‪ A‬ל‪ B-‬במרחב ‪.X‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫∼‬
‫‪ X = [a, b] ∪ [c, d] .1‬קטעים ממשיים‪ .f : {b, c} → {c} ,‬מתקיים =‬
‫]‪ .[a, d − c + b‬כלומר זה הומאומורפי לקטע שאורכו כסכום אורכי שני הקטעים‪.‬‬
‫∼ ‪.X/∼f‬‬
‫‪ .f : {0, 1} → {0} ,X = [0, 1] .2‬מתקיים ‪= S 1‬‬
‫‪X/∼f‬‬
‫‪ .(0, t) 7→ (1, t) ,f : {0} × [0, 1] → {1} × [0, 1] ,X = [0, 1] × [0, 1] .3‬מתקיים‬
‫כי ‪ X/∼f‬הומאומורפי לגליל בגובה ‪ 1‬ובהיקף ‪.1‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ .4‬נסמן את דיסק היחידה ‪ .D = x ∈ R2 | kxk ≤ 1 ⊂ R2‬נגדיר עליו יחס‬
‫שקילות ‪ x ∼ y‬אם ורק אם ‪ .x, y ∈ S 1‬כלומר כל נקודות השפה ‪ S 1‬שקולות‪.‬‬
‫∼ ∼‪D/‬‬
‫טענה‪= S 2 :‬‬
‫‪1‬‬
‫בגובה ‪ .2‬נגדיר העתקה ‪g :‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסמן ]‪ √.X = S × [−1, 1‬זה הגליל √‬
‫‪ X → S 2‬על־ידי ‪1 − t2 x1 , 1 − t2 x2 , t‬‬
‫→‪ .(x1 , x2 , t) 7‬העתקה זו‬
‫מכווצת כל מעגל בגובה ‪ t‬על הגליל‪ ,‬למעגל בגובה ‪ t‬על הספרה‪.‬‬
‫‪49‬‬
‫‪ g‬מגדירה שתי מחלקות שקילות לא טריוויאליות על הגליל‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪(x1 , x2 , 1) |x1 , x2 ∈ S 1‬‬
‫‬
‫‪(x1 , x2 , −1) |x1 , x2 ∈ S 1‬‬
‫‬
‫כל שאר האיברים בגליל מועתקים לאיבר יחיד ב‪.S 2 -‬‬
‫‪ g‬רציפה וקבועה על מחלקות השקילות‪ ,‬ולכן מהלמה נובע שקיימת ‪g :‬‬
‫‪ X/∼g → S 2‬רציפה‪ ,‬חח"ע ועל‪ X .‬קומפקטי ו‪ D-‬האוסדורף‪ ,‬ולכן מהלמה‬
‫נובע כי ‪ g‬היא הומאומורפיזם‪.‬‬
‫‬
‫‪t+1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪,‬‬
‫‪x‬‬
‫על־ידי‬
‫‪f‬‬
‫נגדיר העתקה ‪: X → D‬‬
‫‪.(x1 , x2 , t) 7→ t+1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫העתקה זו מעבירה את הגליל למעגלים על ‪.D‬‬
‫מחלקת‬
‫האחרונה )עבור ‪ .(t = 1‬‬
‫‪ f‬חח"ע בכל מקום‪ ,‬למעט בנקודה ‬
‫השקילות הלא־טריוויאלית היחידה היא ‪ , (x1 , x2 , −1) |x1 , x2 ∈ S 1‬וכל‬
‫שאר האיברים בגליל מועתקים לאיבר יחיד על ‪.S 2‬‬
‫לכן כמקודם קיימת ‪ f : X/∼f → D‬רציפה‪ ,‬חח"ע ועל‪ ,‬ומהיות ‪ X‬קומפקטי‬
‫ו‪ D-‬האוסדורף‪ ,‬נובע כי ‪ f‬הומאומורפיזם‪.‬‬
‫נסיק מכאן‪:‬‬
‫∼ ‪S2‬‬
‫∼‪= D/‬‬
‫∼ ‪= (X/∼f )/∼g‬‬
‫∼ ‪= X/∼g‬‬
‫כאשר המעבר השני נובע מכך שהיחס ‪ ∼ f‬מוכל ביחס ‪ ,∼ g‬והסימון‬
‫הוא ליחס השקילות שהגדרנו בראשית הדוגמה‪ .‬‬
‫‪n‬‬
‫הערה‪ :‬בדרך דומה ניתן להראות שכל ‪ Dn = {x ∈ R | kxk ≤ 1} ⊂ Rn‬ניתן‬
‫להדביק באופן שיהיה הומאומורפי ל‪.S n -‬‬
‫∼‪D/‬‬
‫הגדרה‪ :‬יהי ‪ X‬מרחב טופולוגי‪ .‬אומרים כי ‪ X‬הוא יריעה ‪n‬־ממדית‪ ,‬אם לכל ‪ x ∈ X‬קיימת‬
‫סביבה הומאומורפית ל‪.Rn -‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪ .1‬הספרה ‪ S n‬היא יריעה ‪n‬־ממדית‪) .‬נוכיח בהמשך(‪.‬‬
‫‪ .2‬תהי ‪ G‬חבורה ותהי ‪ H ≤ G‬תת־חבורה‪ .‬מגדירים את ‪ G/H‬כאוסף מחלקות‬
‫השקילות המתקבלות מהיחס ‪.x−1 y ∈ H ⇐⇒ xH = yH ⇐⇒ x ∼ y‬‬
‫∼ ‪) .R/Z‬מחלקות השקילות בחבורת המנה הן }‪.({r + Z|r ∈ R‬‬
‫טענה‪= S 1 :‬‬
‫הוכחה‪ :‬נגדיר העתקה ‪ f : R → S 1‬על־ידי ))‪.t 7→ (cos (2πt) , sin (2πt‬‬
‫מתקיים כי ‪ f‬רציפה וקבועה על מחלקות השקילות‪ ,‬ולכן קיימת העתקה‬
‫רציפה ‪ f : R/Z → S 1‬שהיא חח"ע ועל‪ .‬ההעתקה ‪ f‬פתוחה ולכן ‪f‬‬
‫הומאומורפיזם‪ .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪R‬‬
‫הערה‪ :‬באופן דומה‪ ,‬הטורוס )בייגל( הומאומורפי ל‪. /Z -‬‬
‫‪50‬‬
‫חלק‬
‫‪VIII‬‬
‫החבורה היסודית‬
‫תזכורת‪ :‬קבוצה ‪ G‬עם פעולת כפל דו־מקומית ‪ ,· : G × G → G‬נקראת חבורה‪ ,‬אם‬
‫מתקיימות התכונות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬אסוציאטיביות‪ :‬לכל ‪ g1 , g2 , g3 ∈ G‬מתקיים ) ‪.(g1 · g2 ) · g3 = g1 · (g2 · g3‬‬
‫‪ .2‬קיום איבר נייטרלי לכפל )או יחידה(‪ :‬קיים ‪ e ∈ G‬כך שלכל ‪ g ∈ G‬מתקיים‬
‫‪.e · g = g · e = g‬‬
‫‪ .3‬קיום הופכי‪ :‬לכל ‪ g ∈ G‬קיים ‪ h ∈ G‬כך שמתקיים ‪ .g · h = h · g = e‬נהוג‬
‫לסמן את ההופכי של ‪ g‬ב‪.g −1 -‬‬
‫בהינתן חבורות ‪ G, H‬והעתקה ‪ ,ϕ : G → H‬אומרים כי ‪ ϕ‬היא הומומורפיזם של‬
‫חבורות‪ ,‬אם מתקיימות התכונות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬לכל ‪ g1 , g2 ∈ G‬מתקיים ) ‪.ϕ (g1 · g2 ) = ϕ (g1 ) · ϕ (g2‬‬
‫‪43‬‬
‫‪ .2‬עבור ‪ eG‬איבר יחידה של ‪ G‬ו‪ eH -‬איבר יחידה של ‪ ,H‬מתקיים ‪.ϕ (eG ) = eH‬‬
‫מבוא‪ :‬כמו בכל בנייה של חבורה‪ ,‬כדי לבנות את החבורה היסודית נדרשת קבוצה ופעולה‬
‫דו־מקומית מתאימה‪.‬‬
‫הפרק הבא יוקדש להגדרת הקבוצה באמצעות מושג חדש‪" ,‬הומוטופיה"‪ ,‬והפרק‬
‫שלאחריו יוקדש לפעולה שנגדיר‪" ,‬שרשור"‪.‬‬
‫‪22‬‬
‫הומוטופיה‬
‫סימון‪ :‬נסמן מעתה והלאה }‪.I =: [0, 1] =: {t ∈ R|0 ≤ t ≤ 1‬‬
‫הגדרה‪ :‬בהינתן מרחב טופולוגי ‪ ,X‬מסילה היא העתקה רציפה מהצורה ‪.f : I → X‬‬
‫הגדרה‪ :‬יהי ‪ X‬מרחב טופולוגי‪ .‬הומוטופיה היא משפחה של מסילות }]‪{ft : I → X|t ∈ [0, 1‬‬
‫המקיימת את שני התנאים הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬קיימים ‪ x0 , x1 ∈ X‬כך שלכל ]‪ t ∈ [0, 1‬מתקיים ‪.ft (0) = x0 ,ft (1) = x1‬‬
‫‪ .2‬ההעתקה ‪ F : I × I → X‬המוגדרת על־ידי )‪ (s, t) 7→ ft (s‬העתקה רציפה‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬אומרים שזוג מסילות ‪ f, g : I → X‬הן הומוטופיות‪ ,‬אם קיימת הומוטופיה } ‪{ft‬‬
‫‪4544‬‬
‫כך שמתקיים כי ‪.f0 = f ,f1 = g‬‬
‫‪43‬נשים לב שהכפל שבצד שמאל הוא הכפל המוגדר ב‪ ,G-‬ואילו הכפל בצד ימין הוא הכפל המוגדר ב‪.H-‬‬
‫‪44‬בפרט הנקודות ‪ x0 , x1‬צריכות להיות )‪.x0 = f (0) = g (0) ,x1 = f (1) = g (1‬‬
‫‪45‬השתמשנו במינוח "‪ f, g‬הומוטופיות"‪ ,‬למרות שאין סימטריה בין ‪ f‬ל‪ g-‬בהגדרה‪ .‬בהמשך נראה שאם ‪f‬‬
‫הומוטופית ל‪ g-‬אז גם ‪ g‬הומוטופית ל‪.f -‬‬
‫‪51‬‬
‫בשרטוט )מוויקיפדיה( נראות זוג המסילות ‪ γ0 , γ1‬המקיימות ‪.γi (0) = x ,γi (1) = y‬‬
‫המסילות הללו הומוטופיות כי ההעתקה )‪ H (t, s) = γs (t‬רציפה‪ .‬ברור אינטואיטיבית שלו‬
‫היה "חור" באמצע היריעה‪ ,‬המסילות ‪ γ0 , γ1‬לא היו הומוטופיות‪ .‬נוכיח זאת בהמשך‪.‬‬
‫טענה‪ :‬בכל קבוצה קמורה במרחבי ‪,Rn‬‬
‫הומוטופיות‪.‬‬
‫‪46‬‬
‫מסילות בעלות אותה נקודת התחלה וסיום הן‬
‫הוכחה‪ :‬יהיו ‪ f, g : I → A ⊂ Rn‬ל‪ A-‬קמורה‪ ,‬מסילות המתחילות ב‪ x0 -‬ונגמרות ב‪.x1 -‬‬
‫נגדיר הומוטופיה }‪ {ft : I → A‬על־ידי )‪ .ft (s) = tg (s) + (1 − t) f (s‬תמונת‬
‫ההומוטופיה הזו אכן בתוך ‪ A‬מהנחת הקמירות‪ .‬קל לראות כי ‪ .f0 = f ,f1 = g‬כמו‬
‫כן ברור שההעתקה )‪ F (s, t) = tg (s) + (1 − t) f (s‬רציפה כהרכבה של העתקות‬
‫רציפות‪ .‬‬
‫טענה‪ :‬יהי ‪ X‬מרחב טופולוגי ויהיו ‪ .x0 , x1 ∈ X‬נתבונן באוסף כל המסילות המקיימות‬
‫‪.f (0) = x0 ,f (1) = x1‬‬
‫נגדיר על קבוצה זו יחס על־ידי הומוטופיה‪ .‬כלומר ‪ f ∼ g‬אם ורק אם הן הומוטופיות‪.‬‬
‫אזי יחס זה הוא יחס שקילות‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬צריך להראות שהיחס ∼ מקיים רפלקסיביות‪ ,‬סימטריות וטרנזיטיביות‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫• רפלקסיביות‪ :‬בהינתן מסילה ‪ f‬ניקח את ההומוטופיה הקבועה ‪. ft |∀t∈[0,1] ft = f‬‬
‫קל לראות שזו הומוטופיה ולכן ‪.f ∼ f‬‬
‫• סימטריות‪ :‬יהיו ‪ f, g‬מסילות ונניח כי ‪ f ∼ g‬על־ידי ההומוטופיה } ‪ .{ft‬כלומר‬
‫‪.f0 = f ,f1 = g‬‬
‫נגדיר את ההומוטופיה } ‪ {f1−t‬ונקבל את אותה קבוצה ללא כל שינוי‪ ,‬אלא‬
‫ש‪ .f0 = g ,f1 = f -‬כלומר גם ‪.g ∼ f‬‬
‫• טרנזיטיביות‪ :‬יהיו ‪ f, g, h : I → X‬מסילות‪ .‬נניח כי ‪ f ∼ g‬על־ידי ההומוטופיה‬
‫} ‪) {ft‬כלומר ‪ (f0 = f ,f1 = g‬עם ההעתקה ‪ F : I × I → X‬הנדרשת‪ ,‬ונניח‬
‫שגם ‪ g ∼ h‬על־ידי ההומוטופיה } ‪) {gt‬כלומר ‪ (g0 = g ,g1 = h‬עם ההעתקה‬
‫‪ G : I × I → X‬הנדרשת‪.‬‬
‫‪46‬הגדרה‪ :‬אומרים כי ‪ A ⊂ Rn‬קבוצה קמורה‪ ,‬אם לכל ‪ a, b ∈ A‬ולכל ]‪ t ∈ [0, 1‬מתקיים ‪.ta + (1 − t) b ∈ A‬‬
‫‪52‬‬
‫(‬
‫‬
‫‬
‫‪t ∈ 0, 21‬‬
‫‬
‫‬
‫= ‪.ht‬‬
‫כדי להראות כי ‪ f ∼ h‬נגדיר הומוטופיה } ‪ {ht‬על־ידי‬
‫‪g2t−1 t ∈ 12 , 1‬‬
‫הומוטופיה זו מוגדרת היטב בנקודה ‪ ,t = 12‬כי ‪ .f1 = g = g0‬קל לראות כי‬
‫‪.h0 = f0 = f ,h1 = g1 = h‬‬
‫נותר אם כך להראות שההעתקה )‪ H (s, t) = ht (s‬רציפה‪ .‬נשים לב שמתקיים‪:‬‬
‫‪f2t‬‬
‫)‪H|t∈[0, 1 ] = F (s, 2t‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪H|t∈[ 1 ,1] = G (s, 2t − 1‬‬
‫‪2‬‬
‫וההעתקות ‪ F, G‬הנ"ל רציפות כהרכבה של העתקות רציפות‪ .‬הלמה הבאה‬
‫תסיים את ההוכחה ש‪ H-‬העתקה רציפה‪.‬‬
‫למה‪ :‬יהיו ‪ β : B ⊂ X → Y ,α : A ⊂ X → Y‬העתקות רציפות בין מרחבים‬
‫טופולוגיים‪ ,‬ונניח כי ‪ A, B‬קבוצות סגורות‪.‬‬
‫|‪ ,α‬אזי ההעתקה ‪ γ : A ∪ B ⊂ X → Y‬המוגדרת‬
‫אם מתקיים ‪(A∩B = β|A∩B‬‬
‫‪α (x) x ∈ A‬‬
‫= )‪ ,γ (x‬גם היא רציפה‪ .‬‬
‫על־ידי‬
‫‪β (x) x ∈ B‬‬
‫הגדרה‪ :‬בהינתן מרחב טופולוגי ‪ X‬ונקודה ‪ ,x0 ∈ X‬לולאה היא מסילה ‪f : I → X‬‬
‫המתחילה ומסתיימת באותה נקודה‪ .‬כלומר )‪.f (0) = f (1‬‬
‫כפי שראינו הומוטופיה מגדירה יחס שקילות על אוסף הלולאות בבסיס ‪.x0 ∈ X‬‬
‫נסמן אם כך ב‪ [f ]-‬את מחלקת השקילות של לולאה ‪.f‬‬
‫את אוסף מחלקות השקילות של לולאות ב‪ ,x0 ∈ X-‬נסמן ) ‪ .π1 (X, x0‬זוהי הקבוצה‬
‫של החבורה היסודית‪ .‬כעת נגדיר את הפעולה בה‪.‬‬
‫‪23‬‬
‫שרשור‬
‫הגדרה‪ :‬יהי ‪ X‬מרחב טופולוגי ומסילות ‪ f, g : I → X‬כלשהן המחוברות בקצותיהן‪ .‬כלומר‬
‫)‪ .f (1) = g (0‬נסמן ב‪ π1 (X, xi , xj )-‬את אוסף המסילות בין ‪ xi‬ל‪.xj -‬‬
‫שרשור הוא פעולה מהצורה ) ‪,? : π1 (X, x0 , x1 ) × π1 (X, x1 , x2 ) → π1 (X, x0 , x2‬‬
‫המוגדרת על־ידי‪:‬‬
‫(‬
‫‬
‫‬
‫)‪f (2s‬‬
‫‪s ∈ 0, 21‬‬
‫‬
‫‬
‫‪f ? g (s) =:‬‬
‫‪g (2s − 1) s ∈ 12 , 1‬‬
‫למה‪ :‬שרשור שומר על מחלקות הומוטופיה‪.‬‬
‫כלומר‪ :‬נניח כי ‪ f0 ∼ f1‬וגם ‪ .g0 ∼ g1‬אם ‪ f0 , g0‬מחוברות בקצותיהן )כלומר‬
‫)‪ ,(f0 (1) = g0 (0‬אזי ‪.f0 ? g0 ∼ f1 ? g1‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח כי ‪ f0 ∼ f1‬על־ידי ההומוטופיה } ‪ {ft‬וכן ‪ g0 ∼ g1‬על־ידי ההומוטופיה } ‪.{gt‬‬
‫נגדיר הומוטופיה } ‪ ,{ft ? gt‬ונראה שזו ההומוטופיה המבוקשת‪.‬‬
‫‪53‬‬
‫צריך להראות שההעתקה ‪ H : I × I → X‬המוגדרת על־ידי )‪H (s, t) = ft ? gt (s‬‬
‫רציפה‪ .‬מההגדרה מתקיים‪:‬‬
‫(‬
‫(‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫)‪ft (2s‬‬
‫‪s ∈ 0, 12‬‬
‫)‪F (2s, t‬‬
‫‪s ∈ 0, 21‬‬
‫ ‬
‫‬
‫‬
‫= )‪H (s, t) =: ft ?gt (s‬‬
‫=‬
‫‪gt (2s − 1) s ∈ 12 .1‬‬
‫‪G (2s − 1, t) s ∈ 12 , 1‬‬
‫ומכאן כי היא רציפה )מנימוק דומה לזה שהזכרנו בהוכחת הטרנזיטיביות לעיל(‪ .‬‬
‫הגדרה‪ :‬יהי ‪ X‬מרחב טופולוגי ותהי ‪ f : I → X‬מסילה‪ .‬רה־פרמטריזציה של ‪ f‬היא הרכבה‬
‫‪ ,f ◦ ϕ : I → X‬כאשר ‪ ϕ : I → I‬מסילה המקיימת ‪.ϕ (0) = 0 ,ϕ (1) = 1‬‬
‫טענה‪f ∼ f ◦ ϕ :‬‬
‫הוכחה‪ :‬נשים לב כי זוג המסילות ‪ ϕ, Id : I → I‬הומוטופיות על ידי ההומוטופיה = )‪ϕt (s‬‬
‫)‪ .ts + (1 − t) ϕ (s‬מכאן שגם ‪ f ◦ ϕ ∼ f ◦ I = f‬על־ידי } ‪ .{f ◦ ϕt‬‬
‫‪24‬‬
‫החבורה היסודית‬
‫הגדרה‪ :‬כפי שהזכרנו לעיל‪ ,‬בהינתן מרחב טופולוגי ‪ X‬ונקודה ‪ ,x0 ∈ X‬מוגדר אוסף מחלקות‬
‫השקילות של לולאות ב‪ x0 -‬שסימנו ) ‪.π1 (X, x0‬‬
‫נגדיר על קבוצה זו פעולה דו־מקומית ) ‪? : π1 (X, x0 ) × π1 (X, x0 ) → π1 (X, x0‬‬
‫‪47‬‬
‫על־ידי שרשור ]‪.[f ] ? [g] = [f ? g‬‬
‫נגדיר את איבר היחידה ‪ e‬להיות מחלקת השקילות של הלולאה הקבועה ‪.e (s) = x0‬‬
‫נגדיר את האיבר ההופכי ללולאה ‪ f : I → X‬על־ידי )‪.f (s) = f (1 − s‬‬
‫נרצה להראות שמתקבלת חבורה ‪ -‬החבורה היסודית‪.‬‬
‫• נראה שהפעולה מוגדרת היטב‪ :‬צריך להראות שההגדרה ]‪ [f ] ? [g] = [f ? g‬אינה‬
‫תלויה בבחירת הנציגים ‪ f, g‬של מחלקת השקילות‪.‬‬
‫‪h i‬‬
‫‪h‬‬
‫‪i‬‬
‫˜[ ? ˜‪f‬‬
‫אבל הראינו שאם ˜‪ f ∼ f‬וכן ˜‪ ,g ∼ g‬אז ˜‪ .f ? g ∼ f˜ ? g‬לכן = ˜‪g ] = f˜ ? g‬‬
‫]‪.[f ? g] = [f ] ? [g‬‬
‫• נראה שמתקיימים המאפיינים של חבורה‪:‬‬
‫‪ .1‬אסוציאטיביות‪ :‬יהיו ‪ f, g, h‬לולאות‪ .‬צריך להראות כי = ]‪([f ] ? [g]) ? [h‬‬
‫)]‪ .[f ] ? ([g] ? [h‬לשם כך נוכיח טענה זו באופן כללי למסילות‪.‬‬
‫טענה‪ :‬יהיו ‪ f, g, h‬מסילות המקיימות )‪ f (1) = g (0‬וכן )‪ .g (1) = h (0‬אזי‬
‫)‪.(f ? g) ? h ∼ f ? (g ? h‬‬
‫הוכחה‪ :‬נתבונן ברה־פרמטריזציה מהצורה הבאה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪s ∈ 0, 21‬‬
‫‪ 2s‬‬
‫‬
‫‬
‫= )‪ϕ (s‬‬
‫‪s − 14 s ∈ 21 , 34‬‬
‫‪‬‬
‫‬
‫‬
‫‪‬‬
‫‪2s − 1 s ∈ 34 , 1‬‬
‫‪47‬במקרה של שרשור מסילות כלליות פעולת השרשור אינה בהכרח דו־מקומית‪ .‬מכיוון שכאן עוסקים בלולאות‬
‫זו אכן פעולה דו־מקומית‪.‬‬
‫‪54‬‬
‫נוכיח שמתקיים )‪ ((f ? g) ? h) ◦ ϕ = f ? (g ? h‬ובזאת נסיים‪ ,‬כי צד שמאל‬
‫הומוטופי ל‪) (f ? g) ? h-‬כפי שהוכחנו לכל רה־פרמטריזציה(‪.‬‬
‫נתבונן היטב בהגדרה של שרשור ונסיק את שני השוויונים הבאים‪:‬‬
‫(‬
‫‬
‫‬
‫‪f ? g (2s) s ∈ 0, 21‬‬
‫ ‪1‬‬
‫= )‪(f ? g) ? h (s‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪by def h (2s − 1) s ∈ 2 , 1‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‬
‫‬
‫)‪f (2s‬‬
‫‪s ∈ 0, 21‬‬
‫‬
‫‬
‫‪g (2s − 1) s ∈ 12 , 1‬‬
‫(‬
‫=‬
‫‪by def‬‬
‫)‪f ? g (s‬‬
‫נציב את שוויון ‪ 2‬בתוך שוויון ‪ 1‬ונקבל‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‬
‫‬
‫)‪f (4s‬‬
‫‪s ∈ 0, 14‬‬
‫‬
‫‬
‫= )‪(f ? g) ? h (s‬‬
‫‪g (4s − 1) s ∈ 14 , 12‬‬
‫‪‬‬
‫‬
‫‬
‫‪‬‬
‫‪h (2s − 1) s ∈ 12 , 1‬‬
‫באותו אופן ניתן לראות מההגדרה כי ‪ f ?(g ? h)◦ϕ‬מקיימת את אותן משוואות‪.‬‬
‫‬
‫‪ .2‬קיום איבר יחידה‪ :‬נראה שהלולאה הקבועה ‪ e (s) = x0‬היא איבר היחידה‪.‬‬
‫נשים לב שבהינתן מסילה כללית ‪ ,f : I → X‬אם נגדיר מסילה קבועה ‪C1 :‬‬
‫‪ I → X‬על־ידי )‪ ,C1 (s) = f (1‬אז מתקיים ‪ ,f ? C1 ∼ f ◦ ϕ ∼ f‬כאשר ‪ϕ‬‬
‫היא הרה־פרמטריזציה‪:‬‬
‫(‬
‫‬
‫‬
‫‪2s s ∈ 0, 21‬‬
‫‬
‫‬
‫= )‪ϕ (s‬‬
‫‪1 s ∈ 12 , 1‬‬
‫באותו אופן אם נגדיר מסילה קבועה ‪ C0 : I → X‬על־ידי )‪ ,C0 (s) = f (0‬אז‬
‫מתקיים ‪ ,C0 ? f ∼ ϕ ◦ f ∼ f‬כאשר ‪ ϕ‬היא הרה־פרמטריזציה‪:‬‬
‫(‬
‫‬
‫‬
‫‪0 s ∈ 0, 21‬‬
‫‬
‫‬
‫= )‪ϕ (s‬‬
‫‪2s s ∈ 12 , 1‬‬
‫לכן כאשר ‪ f : I → X‬לולאה שבסיסה ב‪ x0 -‬ומתקיים ‪ ,C0 = C1 = e‬זה אכן‬
‫איבר יחידה‪.‬‬
‫‪ .3‬קיום הופכי‪ :‬תהי ‪ f‬לולאה‪ ,‬נראה שהלולאה )‪ f (s) = f (1 − s‬היא ההופכית‬
‫שלה‪.‬‬
‫( ? ‪ ,f‬בגלל ההומוטופיה } ‪{ft‬‬
‫נשים לב שלכל מסילה ‪ ,f‬מתקיים )‪f ∼ Cf (0‬‬
‫)‪f (s‬‬
‫]‪s ∈ [0, t‬‬
‫המתקבלת על־ידי‬
‫]‪f (1 − s) s ∈ [t, 1‬‬
‫מתקיים )‪.f ? f ∼ Cf (1‬‬
‫לכן כאשר ‪ f : I → X‬לולאה שבסיסה ב‪ , f (0) = f (1) = x0 -‬זה אכן איבר‬
‫הופכי‪.‬‬
‫= )‪.ft (s‬‬
‫‪48‬המסילה ה‪ t-‬בהומוטופיה זו הולכת על ‪ f‬עד ‪ ,t‬ואז חוזרת לנקודת המוצא‪.‬‬
‫‪55‬‬
‫‪48‬‬
‫באופן דומה גם‬
‫‬
‫משפט‪ :‬יהי ‪ X‬מרחב טופולוגי ויהיו ‪ x0 , x1 ∈ X‬שייכים לאותו רכיב קשירות מסילתית‪.‬‬
‫∼ ) ‪) π1 (X, x0‬איזומורפיות כחבורות(‪.‬‬
‫אזי ) ‪= π (X, x1‬‬
‫הוכחה‪ x0 , x1 :‬באותו רכיב קשירות מסילתית ולכן יש מסילה ‪ h : [0, 1] → X‬המקיימת‬
‫‪.h (0) = x0 , h (1) = x1‬‬
‫‬
‫‬
‫נגדיר העתקה ) ‪ β : π1 (X, x0 ) → π1 (X, x1‬על־ידי ‪) [f ] 7→ h ? f ? h‬כאשר‬
‫)‪ ,(h (s) = h (1 − s‬ונראה שהיא האיזומורפיזם המבוקש‪.‬‬
‫‪ .1‬ראשית נראה שאכן מתקבלת לולאה שבסיסה ב‪.x1 -‬‬
‫שרשור של מסילות נותן מסילה‪ .‬נותר להראות ‪.h?f ?h (0) = h?f ?h (1) = x1‬‬
‫נסמן )‪ g (s) = f ? h (s‬ונקבל מהגדרת שרשור‪:‬‬
‫(‬
‫‬
‫‬
‫)‪h (2s‬‬
‫‪s ∈ 0, 21‬‬
‫‬
‫‬
‫= )‪h ? g (s‬‬
‫‪g (2s − 1) s ∈ 21 , 1‬‬
‫לכן עבור ‪ s = 0‬אכן מתקיים ‪.h ? g (0) = h (0) = h (1) = x1‬‬
‫נקבל עוד מהגדרת שרשור‪:‬‬
‫(‬
‫‬
‫‬
‫)‪f (2s‬‬
‫‪s ∈ 0, 21‬‬
‫‬
‫‬
‫= )‪g (s) = f ? h (s‬‬
‫‪h (2s − 1) s ∈ 12 , 1‬‬
‫ולכן עבור ‪ s = 1‬מתקיים ‪.h ? g (1) = g (1) = h (1) = x1‬‬
‫‪ .2‬נראה ש‪ β-‬הומומורפיזם של חבורות‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫= ‪β ([f ] ? [g]) = β ([f ? g]) = h ? f ? g ? h‬‬
‫‬
‫‬
‫= ‪= h?f ?h?h?g?h‬‬
‫ ‬
‫‬
‫‬
‫)]‪= h ? f ? h ? h ? g ? h = β ([f ]) ? β ([g‬‬
‫כאשר המעבר השני נובע מהעובדה הכללית למסילות ‪.h ? h ∼ e‬‬
‫‪ .3‬נראה של‪ β-‬קיימת העתקה הופכית )ביחס להרכבה(‪ ,‬ומכך נסיק שהיא חח"ע‬
‫ועל‪.‬‬
‫נגדיר העתקה ) ‪ β : π1 (X, x1 ) → π1 (X, x0‬על־ידי ‪ .f 7→ h ? f ? h‬נרכיב‪:‬‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫] ‪β ◦ β ([f ]) = β h ? f ? h = h ? h ? f ? h ? h = [f‬‬
‫‬
‫מסקנה‪ :‬החבורה היסודית של כל מרחב )או קבוצה( ‪ X‬קשיר מסילתית אינה תלויה בבחירת‬
‫נקודת הבסיס‪ ,‬עד־כדי איזומורפיזם‪ .‬לכן במקרה כזה נסמן )‪.π1 (X‬‬
‫הגדרה‪ :‬יהי ‪ X‬מרחב טופולוגי‪ .‬כל לולאה הומוטופית ל‪ e-‬נקראת נול־הומוטופית‪.‬‬
‫‪56‬‬
‫הגדרה‪ :‬מרחב טופולוגי ‪ X‬נקרא פשוט־קשר‪ ,‬אם הוא קשיר מסילתית וגם )‪ π1 (X‬טריוויאלית‪.‬‬
‫כלומר }]‪.π1 (X) = {[e‬‬
‫ניתן להגדיר באופן שקול מרחב פשוט־קשר‪ ,‬על־ידי כך שכל הלולאות בו הן נול־‬
‫הומוטופיות‪.‬‬
‫טענה‪ :‬מרחב הוא פשוט־קשר אם ורק אם כל זוג מסילות בעלות אותן נקודות התחלה וסיום‬
‫הן הומוטופיות‪.‬‬
‫הוכחה‪) :‬כיוון ראשון(‬
‫נניח כי ‪ X‬פשוט קשר‪ ,‬ויהיו ‪ f, g : I → X‬מסילות בעלות נקודות התחלה וסיום‬
‫‪ x0 , x1‬בהתאמה‪.‬‬
‫השרשור ‪ f ? g : I → X‬הוא לולאה שבסיסה ‪ ,x0‬ומהיות ‪ X‬פשוט־קשר נובע כי‬
‫‪ .f ? g ∼ Cx0‬מכאן נובע ‪ f ? Cx0 ∼ f ? (g ? g) = (f ? g) ? g ∼ Cx0 ? g‬ולכן‬
‫‪.f ∼ g‬‬
‫)כיוון שני(‬
‫אם ‪ f, g : I → X‬מסילות בעלות נקודות התחלה וסיום ‪ x0 , x1‬בהתאמה והן לא‬
‫הומוטופיות‪ ,‬נקבל כי הלולאות ‪ f ? g, g ? f‬שבסיסיהן ‪ x0 , x1‬אינן הומוטופיות‪ ,‬ולכן‬
‫החבורה היסודית אינה טריוויאלית‪ .‬‬
‫החבורות היסודיות של מרחבים הומאומורפיים‬
‫‪24.1‬‬
‫מבוא‪ :‬בפסקה זו נראה כי החבורות היסודיות של מרחבים הומאומורפיים הן איזומורפיות‪.‬‬
‫עובדה זו תשמש כלי נוסף לבדיקת הומאומורפיות של מרחבים‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬יהיו ‪ X, Y‬מרחבים טופולוגיים ויהיו ‪ .x0 ∈ X, y0 ∈ Y‬תהי גם ‪ϕ : X → Y‬‬
‫העתקה רציפה המשמרת ‪.x0 7→ y0‬‬
‫אזי ההעתקה ‪ ϕ‬משרה העתקה חדשה ) ‪ ϕ∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (Y, y0‬המוגדרת‬
‫על־ידי ] ‪.ϕ∗ ([f ]) = [ϕ ◦ f‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫‪ ϕ∗ .1‬מוגדרת היטב‪ ,‬כי אם ‪ f, g : I → X‬לולאות הומוטופיות אז ‪ϕ ◦ f, ϕ ◦ g‬‬
‫גם הן הומוטופיות‪.‬‬
‫‪ ϕ∗ .2‬היא הומומורפיזם של חבורות‪ ,‬כי ]‪.[ϕ ◦ f ] ? [ϕ ◦ g] = [ϕ ◦ f ? g‬‬
‫טענה‪ :‬נניח כי ‪ X, Y, Z‬מרחבים טופולוגיים‪ ,‬עם נקודות ‪ x0 , y0 , z0‬בהתאמה‪.‬‬
‫‪ϕ‬‬
‫‪ψ‬‬
‫יהיו גם ‪ X −→ Y −→ Z‬העתקות רציפות המעתיקות ‪ .x0 7→ y0 7→ z0‬אזי‪:‬‬
‫‪ .(ϕ ◦ ψ)∗ = ϕ∗ ◦ ψ∗ .1‬כלומר ללולאה ‪ f : I → X‬בבסיס ‪ x0‬המועתקת על־ידי‬
‫∗‪ ϕ ◦ ψ‬ללולאה מהצורה ‪ I → Z‬בבסיס ‪ ,z0‬מתקיים‪:‬‬
‫)])] ‪(ϕ ◦ ψ∗ ) ([f ]) = ϕ∗ ([ψ∗ ([f‬‬
‫‪ .2‬להעתקת הזהות הטופולוגית ‪ ,Id : X → X‬ההעתקה → ) ‪Id∗ : π1 (X, x0‬‬
‫) ‪ (X, x0‬היא העתקת הזהות של החבורות‪.‬‬
‫‪57‬‬
‫)ההוכחה מושארת כתרגיל(‬
‫טענה‪ :‬יהיו ‪ X, Y‬מרחבים טופולוגיים ויהיו ‪ .x0 ∈ X, y0 ∈ Y‬תהי גם ‪ϕ : X → Y‬‬
‫הומאומורפיזם המשמר ‪.x0 7→ y0‬‬
‫אזי ההעתקה המתאימה ) ‪ ϕ∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (Y, y0‬היא איזומורפיזם של חבורות‪.‬‬
‫)ההוכחה מושארת כתרגיל(‬
‫מסקנה יסודית‪ :‬אם החבורות היסודיות של שני מרחבים טופולוגיים אינן איזומורפיות‪ ,‬אז‬
‫המרחבים אינם הומאומורפיים‪.‬‬
‫‪25‬‬
‫מרחבי כיסוי‬
‫הגדרה‪ :‬יהיו ‪ E, X‬מרחבים טופולוגיים‪ .‬אומרים שהעתקה רציפה ועל ‪ p : E → X‬היא‬
‫העתקת כיסוי‪ ,‬אם לכל ‪ x ∈ X‬קיימת סביבה פתוחה ‪ U ⊂ X‬המכילה את ‪,x‬‬
‫כך ש‪ p−1 (U ) ⊂ E-‬היא איחוד זר של פתוחות ‪ ,{Vα }α‬כך שלכל ‪ ,α‬הצמצום‬
‫‪ p|Vα : Vα → U‬מהווה הומאומורפיזם על ‪.U‬‬
‫במקרה שקיימת העתקת כיסוי‪ ,‬אומרים ש‪ E-‬הוא מרחב כיסוי של ‪.X‬‬
‫דוגמה‪ R :‬מרחב כיסוי של ‪ ,S 1‬עם העתקת הכיסוי ‪ p : R → S 1‬המוגדרת ))‪.s 7→ (cos (2πs) , sin (2πs‬‬
‫האיור הבא ממחיש זאת‪:‬‬
‫קל לראות שלכל ‪ ,x0 ∈ S 1‬נוכל לבחור את ‪ U ⊂ S 1‬להיות למשל קטע פתוח באורך‬
‫‪ 31‬סביב ‪ x0‬על המעגל‪ ,‬ונקבל שהקבוצה ‪ p−1 (x0 ) ⊂ R‬היא איחוד הקטעים באורך‬
‫˜־ים כל הדרך עד למעלה‪ .‬כל קטע כזה ב‪ R-‬הוא איזשהו קטע פתוח סביב‬
‫‪ 31‬סביב ‪x0‬‬
‫‪ x‬כלשהי‪ ,‬ולכן הומאומורפי ל‪.U -‬‬
‫‪˜0‬‬
‫הגדרה‪ :‬נניח כי ‪ p : E → X‬העתקת כיסוי‪ ,‬ונניח כי ‪ X‬קשיר מסילתית וכי ‪ E‬מרחב פשוט‬
‫קשר‪ .‬כלומר )‪ π1 (E‬טריוויאלית‪.‬‬
‫אומרים כי ‪ E‬הוא מרחב כיסוי אוניברסלי של ‪) X‬עד כדי הומאומורפיזם(‪ ,‬אם לכל‬
‫העתקת כיסוי ‪ p0 : E 0 → X‬אחרת‪ ,‬קיימת העתקת כיסוי ‪ q : E → E 0‬המקיימת‬
‫‪.p0 ◦ q = p‬‬
‫‪58‬‬
‫במילים אחרות‪ ,‬הדיאגרמה הבאה מתחלפת‪:‬‬
‫‪/ E0‬‬
‫‪q‬‬
‫‪E‬‬
‫‪p‬‬
‫~ ‬
‫‪X‬‬
‫‪p0‬‬
‫‪25.1‬‬
‫הרמה‬
‫הגדרה‪ :‬נניח כי מרחב טופולוגי ‪ E‬הוא מרחב כיסוי של מרחב טופולוגי ‪ X‬על ידי העתקת‬
‫כיסוי ‪ .p : E → X‬יהי ‪ Y‬מרחב טופולוגי כלשהו ותהי ‪ f : Y → X‬העתקה רציפה‪.‬‬
‫אומרים שהעתקה ‪ f˜ : Y → E‬היא הרמה של ‪ ,f‬אם מתקיים ‪.p ◦ f˜ = f‬‬
‫במילים אחרות‪ ,‬הדיאגרמה הבאה מתחלפת‪:‬‬
‫‪>E‬‬
‫‪p‬‬
‫‬
‫‪/X‬‬
‫˜‪f‬‬
‫‪f‬‬
‫‪Y‬‬
‫משפט‪ :‬יהי ‪ E‬מרחב כיסוי של מרחב ‪ X‬על ידי העתקת כיסוי ‪ .p : E → X‬אזי לכל מסילה‬
‫˜‪ ,‬קיימת ויחידה הרמה למסילה‬
‫‪ f : I → X‬המתחילה ב‪ x0 -‬ולכל ) ‪x0 ∈ p−1 (x0‬‬
‫˜‪.‬‬
‫‪ f˜ : I → E‬המתחילה ב‪x0 -‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ f : I → X‬מסילה שבסיסה ‪.x0 ∈ X‬‬
‫˜( ‪ .p‬מהגדרת העתקת כיסוי‪ ,‬לכל ‪x ∈ X‬‬
‫‪ x‬המקיים ‪x0 ) = x0‬‬
‫• קיום‪ :‬יהי ‪˜0 ∈ E‬‬
‫יש סביבה פתוחה ‪ Ux‬מתאימה‪ .‬ניקח את האוסף ‪ U = {Ux }x∈X‬המהווה‬
‫כיסוי פתוח של ‪.X‬‬
‫ניקח חלוקה של הקטע ‪ I‬מהצורה ‪ ,0 = s0 < s1 < ... < sn = 1‬ונדאג שהיא‬
‫תהיה מספיק חזקה כך שכל תת קטע ] ‪ [si , si+1‬יהיה מספיק קטן כך שיתקיים‬
‫‪49‬‬
‫‪ f ([si , si+1 ]) ⊂ Ui‬לאיזו ‪.Ui ∈ U‬‬
‫˜‬
‫כעת נגדיר את ההרמה ‪ f˜ : I → E‬בתהליך אינדוקטיבי‪ :‬תחילה נגדיר = )‪f (0‬‬
‫˜‪ .‬נניח באינדוקציה כי ˜‪ f‬מוגדרת על איחוד קטעי החלוקה ] ‪ .[0, si‬מתקיים‬
‫‪x0‬‬
‫‪ ,f ([si , si+1 ]) ⊂ Ui‬ומהיות ‪ p‬העתקת כיסוי נובע שקיים ל‪ p−1 (Ui )-‬כיסוי‬
‫‪ {Vβ }β‬כך שלכל ‪ β‬מתקיים ‪ p|Vβ : Vβ → Ui‬הומאומורפיזם‪ .‬מתקיים כי‬
‫‪−1‬‬
‫‪ f˜ (si ) ∈ V 0‬לאיזו } ‪ ,V 0 ∈ {Vβ‬ולכן נוכל להגדיר ‪.f˜|[s ,s ] = (p|V 0 ) ◦ f‬‬
‫‪β‬‬
‫‪i+1‬‬
‫‪i‬‬
‫מהיות ‪ p|V 0‬הומאומורפיזם נובע שההעתקה נותרת רציפה‪.‬‬
‫ברור מההגדרה שאכן מתקיים ‪ p ◦ f˜ = f‬על כל ‪ ,I‬שכן שוויון זה מתקיים‬
‫מקומית לכל ‪ s ∈ I‬מבניית ˜‪.f‬‬
‫‬
‫‬
‫‪49‬נימוק‪ :‬האוסף ‪ f −1 (UX ) x∈X‬מהווה כיסוי פתוח של ‪ .I‬הראינו שלמרחב מטרי קומפקטי סדרתית‪ ,‬לכל‬
‫כיסוי פתוח יש מספר לבג‪ .‬כלומר מספר ‪ 0 < ε‬כך שכל כדור פתוח ברדיוס ‪ ε‬מוכל בקבוצה כלשהי מהכיסוי‪.‬‬
‫נבחר אם כך חלוקה ‪ 0 = s0 < s1 < ... < sn = 1‬כך שאורך כל אינטרוול הוא ‪ , 2ε‬ונקבל שלכל ‪ i‬מתקיים‬
‫‬
‫‬
‫‪s‬‬
‫‪+s‬‬
‫) ‪ [si , si+1 ] $ Bε i+12 i ⊂ f −1 (Ui‬לאיזו ‪ .Ui ∈ U‬כלומר ‪.f ([si , si+1 ]) ⊂ Ui‬‬
‫‪59‬‬
‫• יחידות‪ :‬גם זאת נראה באינדוקציה‪ .‬נניח כי ‪ f˜, f˜0 : I → E‬זוג הרמות‬
‫˜( ‪ ,p‬כלומר‬
‫‪ x‬המקיים ‪x0 ) = x0‬‬
‫של ‪ f : I → X‬שבסיס שתיהן הוא ‪˜0 ∈ E‬‬
‫)‪.f˜ (0) = f˜0 (0‬‬
‫נניח אינדוקטיבית כי ‪ f˜ = f˜0‬על איחוד קטעי החלוקה ] ‪ .[0, si‬בהינתן ⊂ ‪V 0‬‬
‫‪−1‬‬
‫) ‪ p−1 (Ui‬בסימוני מקודם‪ ,‬הגדרנו ‪.f˜|[si ,si+1 ] = (p|V 0 ) ◦ f‬‬
‫מההנחה כי ‪ f˜0‬הרמה של ‪ f‬נובע כי ‪ p ◦ f˜0 = f‬בפרט על ] ‪ .[si , si+1‬אבל ‪p|V 0‬‬
‫‪−1‬‬
‫היא הומאומורפיזם‪ ,‬ולכן נסיק ˜‪ .f˜0 = (p|V 0 ) ◦ f = f‬‬
‫משפט‪ :‬יהי ‪ E‬מרחב כיסוי של מרחב ‪ X‬על ידי העתקת כיסוי ‪ .p : E → X‬אזי לכל‬
‫˜‪ ,‬קיימת ויחידה‬
‫הומוטופיה ‪ F : I × I → X‬המתחילה ב‪ x0 -‬ולכל ) ‪x0 ∈ p−1 (x0‬‬
‫˜‪.‬‬
‫הרמה להומוטופיה ‪ F˜ : I × I → E‬המתחילה ב‪x0 -‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ F : I × I → X‬הומוטופיה שבסיסה ‪ .x0 ∈ X‬כלומר ‪.F (0, t) = x0‬‬
‫˜( ‪ .p‬מהגדרת העתקת כיסוי‪ ,‬לכל ‪x ∈ X‬‬
‫‪ x‬המקיים ‪x0 ) = x0‬‬
‫• קיום‪ :‬יהי ‪˜0 ∈ E‬‬
‫יש סביבה פתוחה ‪ Ux‬מתאימה‪ .‬ניקח את האוסף ‪ U = {Ux }x∈X‬המהווה‬
‫כיסוי פתוח של ‪.X‬‬
‫‪0 = s0 < s1 < ... < sm = 1‬‬
‫נתונים שני עותקים של ‪ ,I‬אז נבחר חלוקות של שניהם‬
‫‪0 = t0 < t1 < ... < tn = 1‬‬
‫כך שאם נסמן ] ‪ Ii ×Ji =: [si , si+1 ]×[tj , tj+1‬מתקיים כי ‪F (Ii × Jj ) ⊂ Uij‬‬
‫‪50‬‬
‫לאיזו ‪.Uij ∈ U‬‬
‫˜‬
‫כעת נגדיר את ההרמה ‪ F : I → E‬בתהליך אינדוקטיבי‪ ,‬והפעם האינדוקציה‬
‫‪,F˜ (0, 0) = x‬‬
‫תהיה לא על קטעים אלא על ריבועים‪ .‬כלומר‪ :‬תחילה נגדיר ‪˜0‬‬
‫ואז נגדיר את ‪ Ii × J1‬לפי הסדר ‪ i = 1, ..., m‬ואז נגדיר את ‪ Ii × J2‬לפי הסדר‬
‫‪ ,i = 1, ..., m‬וכן הלאה עד שנגדיר את ‪ Ii × Jn‬לפי הסדר ‪.i = 1, ..., m‬‬
‫‪S‬‬
‫נניח באינדוקציה כי ˜‪ F‬מוגדרת על האיחוד ‪ . 1≤i≤i −1 Ii × Jj‬מתקיים כי‬
‫‪0‬‬
‫‪1≤j≤j0 −1‬‬
‫‪ ,F (Ii0 × Jj0 ) ⊂ Ui0 j0‬ומהיות ‪ p‬העתקת כיסוי נובע שקיים ל‪p−1 (Ui0 j0 )-‬‬
‫כיסוי ‪ {Vβ }β‬כך שלכל ‪ β‬מתקיים ‪ p|Vβ : Vβ → Ui0 j0‬הומאומורפיזם‪ .‬מתקיים‬
‫כי ‪) F˜ (si0 , tj0 ) ∈ V 0‬נזכור ] ‪ (Ii0 × Jj0 =: [si0 , si0 +1 ] × [tj0 , tj0 +1‬לאיזו‬
‫‪−1‬‬
‫‪ ,V 0 ∈ {Vβ }β‬ולכן נוכל להגדיר ‪ .F˜ |Ii0 ×Jj0 = (p|V 0 ) ◦ F‬מהיות ‪p|V 0‬‬
‫הומאומורפיזם נובע שההעתקה נותרת רציפה‪.‬‬
‫ובאותו אופן גם כאן קל לראות כי ‪.p ◦ F˜ = F‬‬
‫• יחידות‪ :‬נניח כי ‪ F˜ , F˜ 0 : I × I → E‬זוג הרמות של ‪ .F : I → X‬נשים לב‬
‫שלכל ‪ s ∈ I‬מתקיים ‪ F˜ , F˜ 0 : I × {t} → E‬הן מסילות המהוות הרמה של‬
‫המסילה ‪ ,F : I × {t} → X‬ולכן היחידות נובעת מהמשפט הקודם‪ .‬‬
‫מסקנה‪ :‬נניח כי ) ‪ p : (E, e0 ) → (X, x0‬העתקת כיסוי‪ ,‬כלומר ‪ e0 7→ x0‬תחת ‪ ,p‬אזי‬
‫ההעתקה המושרית ) ‪ p∗ : π1 (E, e0 ) → π1 (X, x0‬היא הומומורפיזם חח"ע‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬ראינו כבר שההעתקה המושרית המתקבלת על ידי ‪ f 7→ p ◦ f‬היא הומומורפיזם‪.‬‬
‫נראה את החח"ע על ידי כך שנראה כי הגרעין טריוויאלי‪.‬‬
‫נניח כי ‪ p ◦ f˜ ∼ Cx0‬על ידי ההומוטופיה ‪ .F : I × I → X‬נרים אותה להומוטופיה‬
‫‪ ,F˜ : I × I → E‬ומיחידות ההרמה נסיק ‪ .f˜ ∼ Ce0‬‬
‫‪50‬מאותו נימוק כמקודם‪ ,‬שכן גם ‪ I × I‬מרחב מטרי קומפקטי סדרתית‪.‬‬
‫‪60‬‬
‫‪26‬‬
‫החבורה היסודית של המעגל‬
‫מבוא‪ :‬המעגל ‪ S 1 ⊂ R2‬קשיר מסילתית‪ ,‬ולכן החבורה היסודית שלו אינה תלויה בבחירת‬
‫הנקודה‪ .‬בפרק זה נרצה לחשב את החבורה במפורש‪ ,‬בעזרת מרחב הכיסוי ‪ R‬של ‪.S 1‬‬
‫נראה שהחבורה הזו איזומורפית לחבורת השלמים ‪ .Z‬כפי שנראה‪ ,‬המשמעות של זה‬
‫תהיה שמחלקות ההומוטופיה של לולאות על המעגל נגזרות ממספר הסיבובים סביב‬
‫המעגל‪ .‬כלומר כל הלולאות שמסתובבות ‪ n‬פעמים סביב המעגל שייכות למחלקת‬
‫הומוטופיה אחת‪ ,‬ורק הן שייכות למחלקה זו‪.‬‬
‫משפט‪ :‬החבורה היסודית של המעגל איזומורפית לחבורת השלמים‪.‬‬
‫‬
‫∼ )‪.π1 S 1 , (1, 0‬‬
‫הוכחה‪ :‬נקבע את הנקודה ‪ (1, 0) ∈ S 1‬ונראה כי ‪= Z‬‬
‫ראינו כי ‪ R‬מהווה מרחב כיסוי של‪ S 1 i‬על ‪h‬ידי ההעתקה ‪ .p (s) = e2πis‬נגדיר העתקה‬
‫‬
‫)‪ φ : Z → π1 S 1 , (1, 0‬על ידי ‪ ,φ (n) = p ◦ f˜n‬כאשר ‪ f˜n : I → R‬היא מסילה‬
‫המתחילה ב‪ 0-‬ומסתיימת ב‪ .n-‬נשים לב כי ‪ φ‬מוגדרת היטב‪ ,‬שכן אם ‪f˜n , f˜n0 : I → R‬‬
‫˜ ‪51‬‬
‫מסילות בין ‪ 0‬ל‪ ,n-‬מהיות ‪ R‬קמור נובע כי ‪.fn ∼ f˜n0‬‬
‫• ‪ φ‬הומומורפיזם‪ :‬מתקיים‪:‬‬
‫‪h‬‬
‫‪i h‬‬
‫‪i h‬‬
‫‪i h‬‬
‫‪i‬‬
‫)‪φ (n + m) = p ◦ f˜n+m = p ◦ f˜n ? f˜m = p ◦ f˜n ? p ◦ f˜m = φ (n)?φ (m‬‬
‫כל השוויונים ברורים‪ ,‬למעט השוויון השני‪ .‬כלומר יש להראות כי ∼ ‪p ◦ f˜n+m‬‬
‫‪.p ◦ f˜n ? f˜m‬‬
‫נגדיר משפחה של העתקות ‪ .{τk : R → R|τk (x) = x + k}k∈Z‬נשים לב‬
‫˜‬
‫נובע כי‬
‫שהמסילה‪ τm ◦ fn : I → R‬היא מסילה בין ‪ m‬לבין ‪ .n+ m‬לכן ‬
‫‪ f˜m ? τm ◦ f˜n : I → R‬מסילה בין ‪ 0‬לבין ‪ ,n + m‬ולכן ∼ ‪f˜m ? τm ◦ f˜n‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ .f˜n+m‬כלומר ‪ .p ◦ f˜m ? τm ◦ f˜n ∼ p ◦ f˜n+m‬אבל נשים לב כי‬
‫‪ ,p ◦ τm ◦ f˜n ∼ p ◦ f˜n‬כי האורך של שתיהן הוא ‪.n‬‬
‫‬
‫• ‪ φ‬על‪ :‬תהי )‪ .f ∈ π1 S 1 , (1, 0‬מהיות ‪ R‬מרחב כיסוי של ‪ S 1‬נובע שקיימת‬
‫˜‬
‫הרמה יחידה ‪ f˜ : I → R‬המתאימה ל‪ .f -‬אבל = )‪˜ (1) = f (1‬‬
‫‪e2πif (1) = p ◦ f‬‬
‫‪ h‬‬
‫‪i‬‬
‫)‪ ,(1, 0‬ולכן ‪ .f˜ (1) ∈ Z‬מכאן נסיק ] ‪.φ f˜ (1) = p ◦ f˜ = [f‬‬
‫• ‪ φ‬חח"ע‪ :‬יהיו ‪ n, m‬שלמים שעבורם )‪ .φ (n) = φ (m‬צריך להראות ‪.n = m‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ .‬נתבונן במסילות ‪ .f˜n , f˜m : I → R‬מההנחה = )‪p ◦ f˜n = φ (n) = φ (m‬‬
‫‪h‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ p ◦ f˜m‬נובע כי ‪ ,p ◦ f˜n ∼ p ◦ f˜m‬על ידי הומוטופיה שנסמן ‪,F : I × I → S 1‬‬
‫כלומר )‪ .F (0, s) = p ◦ f˜n (s) , F (1, s) = p ◦ f˜m (s‬אבל מהיות ‪ R‬מרחב‬
‫כיסוי של ‪ S 1‬נובע שקיימת הרמה יחידה להומוטופיה ‪ F˜ : I × I → R‬המקיימת‬
‫‪ ,p ◦ F˜ = F‬ומיחידות ההרמה נובע ‪ .f˜n ∼ f˜m‬כלומר ‪ .n = m‬‬
‫‪h‬‬
‫‪51‬על ידי ההומוטופיה )‪.ft (s) = tf˜n (s) + (1 − t) f˜n (s‬‬
‫‪61‬‬
‫‪26.1‬‬
‫מסקנה‪ :‬המשפט היסודי של האלגברה‬
‫משפט‪ :‬לכל פולינום ]‪ p ∈ C [x‬שאינו קבוע קיים שורש ב‪.C-‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ p (z) = z n + a1 z n−1 + ... + an−1 z + an‬פולינום כלשהו )ההנחה שהוא מתוקן‬
‫לא מפריעה(‪ .‬נראה שאם לא קיים שורש אז ‪ p‬קבוע‪ .‬כלומר נניח |)‪ 0 < |p (z‬לכל‬
‫‪ z ∈ C‬ונסיק ש‪.n = 0-‬‬
‫סימון‪ :‬נקצר ונסמן נרמול‬
‫‪z‬‬
‫‪kzk‬‬
‫‪z‬‬
‫על־ידי‬
‫‪. kk‬‬
‫‪ .1‬נגדיר לולאות ‪ fr : I → S 1 ⊂ C‬על־ידי‬
‫)‪p(re2πis )/p(r‬‬
‫‪kk‬‬
‫= )‪ fr (s‬לכל ‪.r ∈ C‬‬
‫נשים לב ש‪ ,fr (0) = fr (1) = 1-‬וכן שזוהי הומוטופיה בין ‪) f0 (s) = 1‬הלולאה‬
‫הקבועה ‪ (1‬לבין כל )‪.fr (s‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪ .2‬יהי ‪ r ∈ C‬מספיק גדול כך שיתקיים ‪.max {1, i=1 ai } < r‬‬
‫נתבונן במעגל ברדיוס ‪ ,r‬כלומר }‪ .{z ∈ C| |z| = r‬לכל ‪ z‬במעגל מתקיים‪:‬‬
‫‪ Pn‬‬
‫‪ Pn‬‬
‫‪ Pn‬‬
‫ ‪n−i‬‬
‫‪t‬‬
‫≤ ‪≤ i=1 ai z n−i ≤ i=1 ai rn−i‬‬
‫‪i=1 ai z‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪n‬‬
‫‪≤ rn−1‬‬
‫|‪ai < rn−1 · r = rn = |z‬‬
‫‬
‫‪Pn‬‬
‫‪n−i‬‬
‫‪ pt (z) = z n + t‬עבור ]‪.t ∈ [0, 1‬‬
‫נגדיר את הפולינומים‬
‫‪i=1 ai z‬‬
‫מאי־שוויון המשולש ומאי השוויון האחרון נובע‪:‬‬
‫‪ Pn‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪P‬‬
‫‪n‬‬
‫ ‪n−i‬‬
‫ ‪n−i‬‬
‫‪≤ |pt (z)| + t‬‬
‫‪|z n | = pt (z) − t‬‬
‫‪i=1 ai z‬‬
‫‪i=1 ai z‬‬
‫‪i=1‬‬
‫⇓‬
‫‪ Pn‬‬
‫‬
‫ ‪n−i‬‬
‫‪|pt (z)| ≥ |z n | − t‬‬
‫‪>0‬‬
‫‪i=1 ai z‬‬
‫‪ .3‬נגדיר‬
‫)‪pt (re2πis )/pt (r‬‬
‫‪kk‬‬
‫= )‪ gt (s‬ל‪ .t ∈ [0, 1]-‬נשים לב כי‪:‬‬
‫‪p0 (z) = z n =⇒ g0 (s) = e2πisn‬‬
‫)‪p1 (z) = p (z) =⇒ g1 (s) = fr (s‬‬
‫לכן זוהי הומוטופיה בין הלולאה הקבועה ‪ g0 (s) = e2πisn‬לבין )‪.fr (s‬‬
‫‪ .4‬משלב ‪ 3‬נובע )‪ e2πisn = g0 (s) ∼ fr (s‬ומשלב ‪ 1‬נובע ‪.fr (s) ∼ f0 (s) = 1‬‬
‫כלומר ‪.e2πisn ∼ 1‬‬
‫אבל נשים לב כי הלולאה ‪ e2πisn‬מקיפה ‪ n‬פעמים את מעגל היחידה‪ ,‬והלולאה‬
‫‪ 1‬היא הלולאה הקבועה‪ .‬הראינו שהחבורה היסודית של המעגל איזומורפית ל‪Z-‬‬
‫בהתאם למספר הסיבובים סביב מעגל היחידה‪ ,‬ולכן ‪ .n = 0‬‬
‫‪26.2‬‬
‫מסקנה‪ :‬משפט נקודת השבת של בראואר‬
‫משפט‪ :‬נסמן את דיסק היחידה }‪ .D = {z ∈ C| |z| ≤ 1‬לכל העתקה רציפה מהצורה‬
‫‪ f : D → D‬קיימת נקודת שבת‪ .‬כלומר קיימת ‪ z ∈ D‬כך ש‪.f (z) = z-‬‬
‫‪62‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח בשלילה כי ‪ f (z) 6= z‬לכל ‪ .z ∈ D‬מההנחה נובע שלכל זוג ))‪ (z, f (z‬קיים‬
‫ישר יחיד שראשיתו ב‪ f (z)-‬וחוצה את ‪ .z‬אם כך נגדיר העתקה ‪ r : D → S 1‬כך‬
‫ש‪ r (z)-‬היא נקודת החיתוך של הישר הנ"ל עם המעגל ‪ .S 1‬בפרט לכל ‪z ∈ S 1‬‬
‫מתקיים ‪ .r (z) = z‬קל להשתכנע גאומטרית ש‪ r-‬רציפה‪.‬‬
‫תהי ‪ f0 : [0, 1] → S 1‬לולאה שמקיפה את ‪ S 1‬עם בסיס ‪ x0 ∈ D‬כלשהו‪.‬‬
‫נתבונן בלולאות ‪ .ft (s) = (1 − t) f0 (s) + tx0‬מקמירות ‪ D‬נובע שזוהי הומוטופיה‬
‫בין ‪ f0‬לבין הלולאה הקבועה ‪.Cx0 : [0, 1] → {x0 } ∈ D‬‬
‫מרציפות ‪ r‬נובע כי })‪ {r ◦ ft (s‬הומוטופיה בין ‪ r ◦ f0‬לבין ‪ .r ◦ Cx0‬אבל נשים לב‬
‫כי ‪ f0 (s) ∈ S 1‬לכל ‪ ,s‬ולכן ‪ ,r ◦ f0 = f0‬ומצד שני ‪ r ◦ Cx0‬היא הלולאה הקבועה‬
‫) ‪ ,r (x0‬סתירה‪ .‬‬
‫‪26.3‬‬
‫∼ ‪R2‬‬
‫מסקנה‪6= R3 :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח בשלילה שקיים ‪ f : R → R‬הומאומורפיזם‪ .‬מכך נקבל שהצמצום מהצורה‬
‫})‪ f : R2 \ {(0, 0)} → R3 \ {f (0, 0‬הומאומורפיזם‪.‬‬
‫‬
‫נשים לב שכל זוג לולאות ב‪ R3 \ {f (0, 0)}-‬הומוטופיות ולכן })‪π1 R3 \ {f (0, 0‬‬
‫היא טריוויאלית‪.‬‬
‫ב‪ ,R2 \ {(0, 0)}-‬הלולאה שמקיפה את הראשית אינה הומוטופית ללולאה‬
‫לעומת זאת ‬
‫‪52‬‬
‫הקבועה‪ ,‬ולכן })‪ π1 R2 \ {(0, 0‬אינה טריוויאלית‪.‬‬
‫הזכרנו כי אם החבורות היסודיות של זוג מרחבים אינן איזומורפיות אז המרחבים‬
‫אינם הומאומורפיים‪ ,‬סתירה‪ .‬‬
‫‪27‬‬
‫משפט זייפרד ‪ -‬ואן־קמפן‬
‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ G = {Gα }α‬משפחה של חבורות‪ .‬נגדיר את חבורת המכפלה החופשית של ‪G‬‬
‫להיות קבוצת ה"מילים" }‪ ,?α Gα =: {(g1 ...gm ) |m ∈ N‬כאשר לכל ‪ m‬טבעי‪ ,‬לכל‬
‫‪ 1 ≤ i ≤ m‬בוחרים } ‪ gi ∈ Gα \ {eGα‬כלשהו לאיזו ‪ ,Gα ∈ G‬וכן לכל ‪1 ≤ i ≤ m−1‬‬
‫האיברים ‪ gi , gi+1‬אינם באותה חבורה‪.‬‬
‫נסמן ב‪ e-‬את המילה מאורך ‪ .0‬היא תהיה איבר היחידה של ‪.?α Gα‬‬
‫נגדיר על ‪ ?α Gα‬פעולת כפל צעד אחר צעד‪:‬‬
‫• עבור זוג מילים )‪ (g) , (h‬שתיהן באורך ‪:1‬‬
‫– אם ‪ g, h‬שייכים לאותה חבורה ‪ ,Gα‬אז נבחן את ‪:g · h‬‬
‫∗ אם ‪ g · h = eGα‬נגדיר ‪) .(g) · (h) = e‬מילה באורך ‪.(0‬‬
‫∗ אם ‪ g · h 6= eGα‬נגדיר )‪) .(g) · (h) = (g · h‬מילה באורך ‪.(1‬‬
‫– אם ‪ g, h‬לא שייכים לאותה חבורה‪ ,‬נגדיר )‪) .(g) (h) = (gh‬מילה באורך ‪.(2‬‬
‫• עבור זוג מילים ) ‪ (g1 ...gk ) , (h1 ...hl‬באורכים כלשהם‪ ,‬נתחיל לבצע את התהליך‬
‫שהסברנו לעיל על ‪ ,gk , h1‬וכן הלאה עד שנסיים‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‪52‬ניתן להראות שלכל ‪ x0 ∈ R2‬מתקיים } ‪∼ π1 R2 \ {x0‬‬
‫∼ ‪.Z‬‬
‫= ‪= π1 S 1‬‬
‫‪63‬‬
‫הערה‪ :‬קל לראות שקיים איבר יחידה‪ ,‬וכמו כן ההופכי של איבר ) ‪ (g1 ...gm‬כלשהו הוא‬
‫‪−1‬‬
‫‪ . gm‬כדי לוודא שזו אכן חבורה נותר להראות שפעולה זו אסוציאטיבית‪.‬‬
‫‪...g1−1‬‬
‫ניתן לעשות זאת באמצעות התיחסות לכל איבר ) ‪ (g1 ...gm‬כפונקציה כלשהי‪ ,‬ולהסיק‬
‫את הנדרש מאסוציאטיביות של הרכבת פונקציות‪ .‬אבל לא נלמד זאת כאן‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪ .1‬החבורה החופשית על שני יוצרים‪ :‬ניקח זוג חבורות ‪ hai , hbi‬להיות חבורות‬
‫החופשית שלהן היא‬
‫ציקליות אינסופיות‪ ,‬כלומר שני עותקים של ‪ .Z‬אז המכפלה ‬
‫}‪hai ? hbi = e, a±1 , b±1 = {e, an1 bm1 ...ank bmk |k ∈ N, ni , mi ∈ Z‬‬
‫‪ .2‬ניקח זוג חבורות }‪ {1, a} , {1, b‬להיות שני עותקים של החבורה היחידה מגודל‬
‫‪ .2‬אזי }‪.{0, a} ? {0, b} = {e, a, b, ab, ba, aba, bab, ...‬‬
‫סימון‪ :‬יהיו ‪ .H ≤ G‬נסמן ב‪ N (H)-‬את תת החבורה הנורמלית הקטנה ביותר של ‪G‬‬
‫המכילה את ‪.H‬‬
‫הגדרה‪ :‬יהיו ‪ G1 , G2 , L‬חבורות‪ ,‬ויהיו הומומורפיזמים ‪.ϕ1 : L → G1 , ϕ2 : L → G2‬‬
‫‪−1‬‬
‫נגדיר יחס שקילות על ‪ ϕ1 (L) ? ϕ2 (L) ≤ G1 ? G2‬על ידי = ))‪ϕ1 (l) (ϕ2 (l‬‬
‫)‪ e ⇐⇒ ϕ1 (l) ∼ ϕ2 (l‬לכל ‪ .l ∈ L‬נסמן את אוסף האיברים הללו ב‪.H ≤ G1 ?G2 -‬‬
‫נגדיר ונסמן את המכפלה החופשית הממוזגת של ‪ G1 , G2‬על ידי‪:‬‬
‫)‪G1 ?L G2 = G1 ?G2/N (H‬‬
‫‪i1‬‬
‫‪i2‬‬
‫טענה‪ :‬בסימוני ההגדרה‪ ,‬קיימים שיכונים טבעיים ‪.G1 ,→ G1 ?L G2 , G2 ,→ G1 ?L G2‬‬
‫‪ψ2‬‬
‫‪ψ1‬‬
‫תהי גם ‪ K‬חבורה כלשהי‪ ,‬כך שקיימים גם השיכונים ‪ .G1 −→ K, G2 −→ K‬אזי‬
‫הדיאגרמה הבאה היא ”‪:”pushout diagram‬‬
‫‪/ G1‬‬
‫‪i1‬‬
‫‪ϕ1‬‬
‫‪L‬‬
‫‪ϕ2‬‬
‫‬
‫‪/ G1 ?L G2‬‬
‫‪i2‬‬
‫‬
‫‪G2‬‬
‫כלומר‪ ,‬אם ‪ φ : G1 ?L G2 → K‬הומומורפיזם‪ ,‬אז הדיאגרמה הבאה מתחלפת‪:‬‬
‫‪/ G1‬‬
‫‪ϕ1‬‬
‫‪ϕ2‬‬
‫‪i1‬‬
‫‬
‫‪/ G1 ?L G2‬‬
‫‪ψ1‬‬
‫‪φ‬‬
‫‪K‬‬
‫ *‪$‬‬
‫‪ψ2‬‬
‫‪64‬‬
‫‪L‬‬
‫‪i2‬‬
‫‬
‫‪G2‬‬
‫∼ ‪ G1 ?L G2‬וכן ‪ ϕ1 , ϕ2‬הומומורפיזמים טריוויאליים‪.‬‬
‫הערה‪ :‬אם }‪ ,L = {e‬אז ‪= G1 ? G2‬‬
‫במקרה זה מתקבל ההומומורפיזם ‪ φ : G1 ? G2 → K‬על ידי →‪(g1 ...gm ) 7‬‬
‫)) ‪ ,(ψi (g1 ) ...ψi (gm‬כאשר לכל ‪ ,gj‬ההומומורפיזם ‪ ψi‬הוא המתאים לחבורה ‪Gi‬‬
‫המכילה את ‪ ,gj‬כאשר ‪ i = 1, 2‬ו‪.j = 1, ..., m-‬‬
‫הערה‪ pushout diagram :‬הוא מונח כללי מתורת הקטגוריות ולא נגדיר אותו כאן באופן‬
‫פורמלי‪ .‬לצרכים שלנו ‪ -‬בהקשר של מרחבים טופולוגיים וחבורות ‪ -‬קל לנחש מהי‬
‫‪ pushout diagram‬לפי הדוגמה שהראינו‪.‬‬
‫משפט‪ :‬יהיו ‪ U, V‬זוג קבוצות פתוחות וקשירות מסילתית במרחב טופולוגי כלשהו‪ ,‬ונניח כי‬
‫∅ =‪ U ∩ V 6‬וגם הוא קשיר מסילתית‪.‬‬
‫‪iU‬‬
‫‪jU‬‬
‫‪iV‬‬
‫‪jV‬‬
‫קיימים השיכונים הטבעיים ‪ U ∩ V ,→ U ,→ U ∪ V‬ו‪.U ∩ V ,→ V ,→ U ∪ V -‬‬
‫נניח שהדיאגרמה הבאה היא ‪:pushout diagram‬‬
‫‪/U‬‬
‫‪jU‬‬
‫‪iU‬‬
‫‬
‫‪/ U ∪V‬‬
‫‪iV‬‬
‫‪U ∩V‬‬
‫‬
‫‪V‬‬
‫‪jV‬‬
‫∼ ) ‪.π1 (U ) ?π1 (U ∩V ) π1 (V‬‬
‫אזי מתקיים כי ) ‪= π1 (U ∪ V‬‬
‫כלומר‪ ,‬הדיאגרמה המתאימה של החבורות היסודיות גם היא ‪:pushout diagram‬‬
‫∗‪jU‬‬
‫) ‪/ π1 (U‬‬
‫∗‪iU‬‬
‫) ‪π1 (U ∩ V‬‬
‫∗‪jV‬‬
‫‬
‫) ‪/ π1 (U ∪ V‬‬
‫∗‪iV‬‬
‫‬
‫) ‪π1 (V‬‬
‫כאשר ההעתקות ∗ הן הומומורפיזמים בין החבורות היסודיות המושרים מהשיכונים‪.‬‬
‫הוכחה חלקית‪ :‬נתאר את מתווה ההוכחה למקרה הפרטי בו ‪ U ∩ V‬מרחב פשוט קשר‪.‬‬
‫∼ ) ‪ .π1 (U ) ?{e} π1 (V‬כלומר‬
‫∼ ) ‪ ,π1 (U ∩ V‬ולכן ) ‪= π1 (U ) ? π1 (V‬‬
‫כלומר }‪= {e‬‬
‫‪π‬‬
‫‪(U‬‬
‫∪‬
‫‪V‬‬
‫)‬
‫להראות‬
‫מספיק‬
‫∼ ) ‪.π1 (U ) ? π1 (V‬‬
‫‪= 1‬‬
‫נקבע ‪ .x0 ∈ U ∩ V‬נסמן ב‪ [γ]U ∈ π1 (U, x0 )-‬וב‪ [γ]V ∈ π1 (V, x0 )-‬לולאות‬
‫כלליות‪ .‬בהתאם‪ ,‬נשים לב שאיבר כללי ב‪ π1 (U, x0 ) ? π1 (V, x0 )-‬הוא מילה מהצורה‬
‫‪ , [γ1 ]J1 [γ2 ]J2 ... [γk ]Jk‬כאשר ‪ Ji‬הוא ‪ U‬או ‪.V‬‬
‫נגדיר העתקה ) ‪ ,Φ : π1 (U, x0 ) ? π1 (V, x0 ) → π1 (U ∩ V, x0‬על ידי שרשור לולאות‬
‫באופן הבא‪:‬‬
‫‬
‫‪[γ1 ]J1 [γ2 ]J2 ... [γk ]Jk 7→ [γ]J1 ? [γ]J2 ? ... ? [γ]Jk‬‬
‫קל לראות שהתמונה היא לולאה כלשהי ב‪.π1 (U ∩ V, x0 )-‬‬
‫מתברר גם שההעתקה ‪ Φ‬היא הומומורפיזם חח"ע ועל‪.‬‬
‫‪65‬‬