docמבנים אלגבריים 80446 II
download 
Report Transcription
מבנים אלגבריים 80446 II
מבנים אלגבריים 80446 II
אור דגמיor@digmi.org ,
27במרץ 2012
אתר אינטרנטhttp://digmi.org :
סיכום הרצאות של פרופ׳ אלכס לובוצקי בשנת לימודים 2012
1
תוכן עניינים
1
2
3
שדות
1.1
1.2
תזכורת מהעבר . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
מרחבים וקטורים מעל שדות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
5
1.3
1.4
איבר אלגברי ופולינום מינימלי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
שדה סגור אלגברית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
10
1.5
שדות סופיים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1שורשים מרובים של פולינום . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
12
לבנות בעזרת סרגל ומחוגה
2.1לרבע את המעגל . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
16
2.2
פריקות של פולינומים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.3
קריטריון אייזנשטיין ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Eisenstein
2.2.1
השדה ה p־ציקלוטומי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
23
2
פרק 1
שדות
1.1תזכורת מהעבר
הגדרה 1.1.1שדה(F, +, ·, 0, 1) :
כך ש:
(F, +, 0) .1־ חבורה אבלית
(F\ {0} , ·, 1) .2־ חבורה אבלית
הערה 1.1.2מכאן מסיקים שאין שדה עם איבר אחד ,כי הוצאנו את האפס ועדיין נשארה יחידה.
.3
∀a, b, c ∈ F, a · (b + c) = a · b + a · c
מה זה חבורה? אפשר לקרוא במבנים אלגבריים .1אבל בגדול:
הגדרה 1.1.3חבורה:
• מוגדרת פעולה.
• הפעולה היא אסוציאטיביתa (bc) = (ab) c :
• קיים הופכי∃a−1 , a · a−1 = 1 :
כמו כן ,חבורה נקראת אבילת אםab = bc :
∀a,
אנו מכירים הרבה דוגמאות לשדות ,נצפה במספר דוגמאות:
דוגמה ,Q 1.1.4ראינו כבר כי זה שדה עוד באלגברה לינארית .1
[
√
√
דוגמה ) Q (i) = a + b −1 | a, b ∈ Q 1.1.5כאשר (i = −1
נבחין כי Q (i) ⊆ Cלכן הפעולות אסוציאטיביות וקומוטטיביות .נרצה להראות סגירות לכפל וכי קיים הופכי .נבחין כי:
√
√
√
a + b −1 c + d −1 = (ac − bd) + (ad + bc) −1
ומסגירות Qלכפל וחיבור נקבל כי אכן המקדמים הם ב.Q
נראה הופכי:
בהנתן .a, bאנו מחפשים c, dכך ש:
ac − bd = 1
bc + ad = 0
3
(
פרק .1שדות
נסמן d = y
.1.1תזכורת מהעבר
c = x,ונרצה לפתור מערכת משוואת:
ax − −by = 1
bx + ay = 0
(
נבחן את המערכת באופן מטריציוני:
−b
x
1
=
a
y
0
a
b
נבחין כי:
−b
= a2 + b 2
a
a
det
b
כלומר ,אם a 6= 0או b 6= 0המטריצה הפיכה ולכן קיימים x, yאשר יהיו ההופכי.
דרך יותר קלה לראות זאת היא לזכור כי:
z
z·z
=
z
2
kzk
= z −1
כלומר:
a − bi
a2 + b 2
= (a + bi)−1
אבל בכך אנחנו מניחים ששדה המרוכבים קיים.
הערה 1.1.6נבחין כי זה לא נכון באופן כללי a + bi .כאשר a, b ∈ Fשדה כלשהו לא בהכרח שדה.
כדי שזה כן יהיה נדרש כי a2 + b2 6= 0עבור a 6= 0או ,b 6= 0אבל זה לא קורה תמיד .לדוגמה מעל .C
דוגמה Q ⊆ R ⊆ C 1.1.7וכמו כן .Fp = Z/pZ
דוגמה F 1.1.8שדה כלשהו .ראינו כי ] F [xהוא חוג הפולינומים מעל .F
) = F (xשדה המנות של ] F [xכלומר:
)f (x
]f (x) , g (x) ∈ F [X
|
= )F (x
) g (xלא פולינום ה־0
)g (x
שדה זה נקרא שדה הפונקציות הרציונליות מעל Fואם עושים את זה פעם אין שום סיבה לא לעשות את זה פעמיים .כלומר
) (F (x)) (yכלומר ,פונצקיות רציונליות ב yשהמקדמים שלהם פונקציות רציונליות ב .xנסמן:
)F (x, y) := (F (x)) (y
למעשה מדובר בפונקציות עם שני משתנים .x, y
ובאינדוקציה ניתן לדבר על:
) F (x1 , . . . , xn ) := (F (x1 , . . . , xn−1 )) (xn
דוגמה 1.1.9שדה המספרים הפיאדים:
לוקחים את המספרים הרציונליים .מתבוננים בסדרות קושי מעל ,Qלא בהכרח קיים להם גבול )אנחנו לא מכירים את המספרים
האי רציונליים( נגיד כי שתי מחלקות קושי הם שקולות אם הן שואפות לאותו איבר .כלומר אם היה להם גבול הן היו מתכנות לאותו
גבול .לוקחים את את הסדרות קושי הנ״ל ולהם קוראים .R
נבחין כי על המספרים הרציונליים אנחנו לא צריכים לדעת דבר פרט לכך שהם מרחב מרחב מטרי .אבל אפשר להגדיר מרחב מטרי
נוסף על הרציונליים .לכל ראשוני pאפשר להגדיר מטריקה על המספרים הרציונליים .ואיכשהו לקבל שדה )לא הצלחתי לעקוב כמו
שצריך( ,המספרים הפיאדים ,כך ש Qיהיה צפוף בו.
זה נשמע כאילו אפשר לעשות את זה בדרכים נוספות ,אך זה לא עובד .יש משפט שאומר שזה ההגבלה .אם יהיה זמן נגיע לזה
בהמשך.
4
.1.2מרחבים וקטורים מעל שדות
1.2
פרק .1שדות
מרחבים וקטורים מעל שדות
חלק גדול מהדוגמאות שראינו הופיעו בזוגות ,כלומר שדה אחד הוא תת שדה של השדה השני.
ולכן אם F ⊂ Eשדות אזי אפשר לראות את Eכמרחב וקטורי מעל .Fבמובן שאם R ∈ Fו α ∈ Eאזי:
=
Rα
}|{z
מכלפה בשדה E
נסמן ).degF E = [E : F] = dimF (E
טענה 1.2.1
Rα
}|{z
מכפלת סקלר Rבוקטור α
F ⊆ E ⊆ Kשדות .אזי) [K : F] = [K : E] · [E : F] :כלומר המימד של Kמעל Fשווה למימד של Kמעל Eכפול המימד של E
מעל .(F
הערה 1.2.2לא הנחנו שהם סופיים .נבחן אם Eאינסופי ,אז ברור כי גם Kאינסופי .ולכן אם אז גם ∞ = ] .[K : Fכמו כן אם K
מעל Eאינסופי ,אז יש אינסוף איברים בלתי תלויים מעל Eובפרט מעל .F
נניח בהוכחה כי זה סופי.
הוכחה :אם [K : E] = m ,[E : F] = nנוכיח כי.[K : F] = mn :
יהי α1 , . . . , αn ∈ Eהמהוים בסיס מעל .Fויהיו β1 , . . . , βm ∈ Kמהוים בסיס ל Kמעל .Eנראה כי
בסיס ל Kמעל .F
נראה כי זו קבוצה בלתי תלוייה:
נניח ש:
ai,j αi βj = 0
1≤i≤n
1≤j≤m
| αi , βj
m
n X
X
i=1 j=1
כאשר . ai,j ∈ Fנרצה להראות ש αi,j = 0לכל iו.j
נכתוב את הנ״ל בצורה הבאה:
!
ai,j αi
βj
אבל נבחין כי האיבר ai,j αi
n
P
}
{z
E
n
m
X
X
i=1
= αi,j αi βj
j=1
n X
m
X
i=1 j=1
|
הוא ב . Eאבל מאחר ו β1 , . . . , βmבת״ל מעל ,Eאזי לכל jנקבל כיai,j αi = 0 :
i=1
n
P
.כעת ה
i=1
αiהם ב Eוה ai,jהם ב ,Fומכיוון ש α1 , . . . , αnהם בלתי תלויים לינארית מעל Fלכן αi,j = 0לכל iולכל .jכלומר מדובר
בקבוצה בלתי תלויה.
הערה 1.2.3נבחין כי בהוכחה של האי תלות השתמשנו רק באי תלות של הקבוצה ולא בכך שהיא בסיס .כלומר מכפלה של כל שתי
קבוצות בלתי תלויות באופן הנ״ל הייתה מניבה קבוצה בלתי תלויה.
1≤i≤n
1≤j≤m
| αi βj
קבוצה פורשת כי אם γ ∈ Kאזי קיימים e1 , . . . , em ∈ Eכך ש ej βj = γ
ועכשיו את ejאנו יכולים לרשום כצירוף לינארי מעל Fשל α1 , . . . , αnכי היא בסיס ולכן:
ai,j αi
n
X
= ej
i=1
עבור ai,j ∈ Fכלשהו .ובסה״כ קיבלנו כי:
ai,j αi βj
m X
n
X
j=1 i=1
5
=γ
m
P
j=1
מהיות β1 , . . . , βmבסיס.
פרק .1שדות
1.3
.1.3איבר אלגברי ופולינום מינימלי
איבר אלגברי ופולינום מינימלי
הגדרה 1.3.1אם F ⊂ Eשדות ,ו α ∈ Eנסמן = F (α) :תת השדה המינימלי של Eהמכיל את Fואת .α
למעשה ,זה שווה לחיתוך כל התת־שדות של Eהמכילים את Fו .α
טענה 1.3.2
אם ∞ < ] [F (α) : Fאזי קיים פולינום ] f (x) ∈ F [xשונה מ־ 0כך ש .f (α) = 0
הוכחה :נניח [F (α) : F] = nנסתכל בקבוצה .1, α, α2 , . . . , αn ∈ F (α) :אבל זו קבוצה בת n + 1איברים ולכן היא תלויה
לינארית מעל .Fדהיינו ,קיימים a0 , a1 , . . . , anכאשר לא כולם אפסים כך ש:
ai αi = 0
n
X
i=0
)כאשר .(α0 = 1ולכן αשורש של הפולינום:
ai xi
n
X
= )f (x
i=0
וזה פולינום =. 06
הערה 1.3.3הוכחנו שאם [F (α) : F] = nאזי יש פולינום ממעלה ≥ nהמאפס את .α
הגדרה 1.3.4איבר אלגברי α ∈ E , F ⊆ E :נקרא אלגברי מעל Fאם קיים פולינום ] 0 6= f (x) ∈ F [Xכך ש .f (α) = 0
הגדרה 1.3.5אם αאלגברי ,אזי נסמן ב ) pα (x) = p (xאת הפולינום המתקון מהמעלה הקטנה ביותר המאפס את .α
הערה 1.3.6מתוקן :המקדם הכי גבוה שלו הוא ) 1כלומר .(an = 1
טענה 1.3.7
.1הפולינום המינימלי של αיחיד ואי פריק.
.2אם ] f (x) ∈ F [xפולינום כך ש f (α) = 0אזי.pα (x) | f (x) :
הוכחה :יחידות:
אם יש שניים אזי הפרשם ממעלה קטנה יותר ומאפס .ולכן חייב להיות פולינום .0ולכן הם שווים.
אי פריקות :אם ) p (x) = h (x) g (xאזי 0 = p (α) = h (α) g (α) :אבל h (α) , g (α) ∈ Eולכן לפחות אחד מהם הוא .0ולכן
אם deg h, deg g < deg p :וזו סתירה למינימליות של ) .pכלומר אחד מהם חייב להתאפס על ,αואם הוא שונה מפולינום האפס אזי
קיבלנו פולינום ממעלה נמוכה יותר אשר מתאפס על αוקיבלנו סתירה(.
נוכיח את החלק השני.
נחלק את ) f (xעם שארית ב ):p (x
)f (x) = q (x) p (x) + r (x
כאשר ) r (x) = 0פולינום האפס( או )) deg (r (x)) < deg (p (xנציב αונקבל:
)0 = f (α) = q (α) p (α) + r (α
אבל p (α) = 0ולכן חייב להתקיים כי .r (α) = 0אבל דרגתו של rקטנה משל !pולכן ממינימליות ) p (xנסיק כי r (x) = 0
)פולינום האפס( .ולכן אין שארית ,דהיינו ) p (x) | f (xכנדרש.
משפט 1.3.8
F ⊆ Kו α ∈ Kאזי αאלגברי מעל .[F (α) : F] < ∞F
6
פרק .1שדות
.1.3איבר אלגברי ופולינום מינימלי
הוכחה :ראינו כיוון אחד ,אם ∞ < ] [F (α) : Fאזי αאלגברי.
כיוון שני:
נניח ש αאלגברי ויהא ) p (xהפולינום המינימלי שלו .נגדיר הומומורפיזם של חוגים ϕ : F [x] → K :באופן הבא.ϕ (f (x)) = f (α) :
זהו הומומורפיזם מכיוון שאם ניקח סכום של הומומורפיזם של חוגים ־ בדוק(
הערה 1.3.9אם אני זוכר נכון ראינו את זה במבנים אלגבריים . 1
נבחין כי:
))ker ϕ = {f (x) | f (α) = 0} = (p (x
)כלומר האידיאל הנוצר מ) ,p (xמכיוון שהוא מאפס את ,αהכפולות שלו מאפסות את αורק הן(.
ולכן ממשפט ההומומורפיזם הראשון:
∼ Im ϕ
))= F[x]/(p(x
))F[x]/(p(x
אבל )) (p (xאידיאל מקסימלי מאחר והוא פולינום אי פריק .ולכן חוג המנה
שמימדו מעל Fהוא .deg p (x) = n
ולכן תמונת ϕזה שדה המכיל את Fואת αואת )הפולינום .α = ϕ (xכלומר Im ϕ ⊃ F (α) ,ולכן ∞ < ] [F (α) : Fכנדרש.
הוא שדה )הראנו במבנים אלגבריים (1
תזכורת 1.3.10תזכורת ממבנים אלגבריים :1
Fשדה R = F [x] ,־ חוג אוקלידי.
כל אידיאל ב ] F [xהוא ראשי .I = (f (x)) = Rf (x) ,I ⊳ F [x] ,אם ) g (x) | f (xאזי.(f (x)) ⊂ (g (x)) :
)) (g (xאידיאל מקסימלי ⇒⇐ ) g (xפולינום אי ־פריק.
באופן כללי :חוג המנה F[x]/(f (x)) :הוא מרחב וקטורי ממימד )) n = deg f (xכאשר 1, x, . . . , xn−1מהוים בסיס לחוג מנה זה מעל
.(F
כאשר ) f (xהוא פולינום אי פריק ,אז )) (f (x־ אידיאל מקסימלי ולכן F[x]/(f (x)) :הוא שדה.
מסקנה 1.3.11
Im ϕהוא תת שדה של .E
הערה 1.3.12זה קצת מפתיע ,מה הוא ?Im ϕזה לקחת את כל הפולינומים ולהציב בהם αכלומר:
)
) (n−1
( ℓ
X
X
ai ∈ F
i
−i
ai x | ai ∈ F
=
| ai α
= Im ϕ
ℓ∈N
i=0
i=0
כאשר nהיא הדרגה של הפולינום המינימלי המאפס את .αמה שמפתיע כאן הוא קיום ההופכי .למה הוא מופיע?
נקח את הפולינום המתוקן האי־פריק המאפס את :α
p (x) = a0 + a1 x + . . . + an−1 xn−1 + xn
כאשר .p (α) = 0נשים לב כי ) a0 6= 0אחרת הפולינום xהיא מחלק אותו ,אבל ) p (xאי־פריק(.
a0 + a1 α + . . . + an−1 αn−1 + αn = 0
נעביר את a0אגפים ונקבל:
a0
⇒
α
a2
an−1 n−2 αn−1
1
α
− α...−
α
+
=
−
a0
a0
a0
a0
α
a1 α + . . . + an−1 αn + αn = −a0 ⇒ a1 + a2 α . . . + an−1 αn−2 + αn−1 = −
כלומר ,קיבלנו פולינום שאם מציבים בו αנקבלים .α−1
משפט 1.3.13
α ∈ E ,F ⊂ Eאלגברי מעל Fאם״ם ∞ < ] .[F (α) : Fיתר על כן [F (α) : F] = deg p (x) ,כאשר ) p (xהוא הפולינום המינימלי
של .α
7
.1.3איבר אלגברי ופולינום מינימלי
פרק .1שדות
טענה 1.3.14
F ⊂ Eשדות α, β ∈ E ,אלגבריים אזי α ± β, α · β, α/β :גם הם אלגבריים )כאשר β 6= 0במנה(
הוכחה :נסמן ) ,K = F (αהוא תת־שדה של ) Eממעלה שווה ל) deg pα (x־ הפולינום המינימלי שמאפס את .(α
נתבונן ב) K (β) :כלומר ,לוקחים את Kומספחים אליו את .(βאז זו הרחבה סופית של ,Kכי βאלגברי מעל Fולכן אלגברי מעל
.Kולכן:
))[K (β) : K] ≤ deg (pβ (x
) pβ (x־ הפולינום המינימלי של βמעל ) Fלא מעל Kלכן זה ≤ ולא שיוויון(.
לכן:
∞ < )[K (β) : F] = [K (β) : K] [K : F] = [K (β) : K] [F (α) : F] ≤ deg pβ (x) deg pα (x
לכן ) K (βהרחבה סופית של Fהמכילה את α/β ,α · β ,α ± βולכן כולם אלגבריים.
הגדרה 1.3.15סימון: :
)F (α, β) = F (α) (β
הגדרה F ⊂ E 1.3.16שדות α ∈ E ,אלגברי .נאמר ש α־אלגברי ממעלה nאם הפולינום המינימלי של αמעל Fהוא ממעלה .n
מסקנה 1.3.17
אם α, β ∈ Eאלגבריים ממעלות סופיות mו nבהתאמה ,אזי α ± β, α · β, α/βאלגבריים ממעלה קטנה או שווה ל .m · n
√
5
דוגמה 7 1.3.18
5+
√
7
אלגברי ממעלה הקטנה מ. 35
מסקנה 1.3.19
F ⊂ Eשדות ,אזי אוסף האיברים של Eשאלגבריים מעל ,Fמהווה תת שדה של .E
הערה 1.3.20נבחין כי כל איבר ב Fהוא אלגברי מעל ) Fלדוגמה a ∈ F :הפולינום a − x :מאפס את (a
תזכורת F ⊂ E 1.3.21הרחבה של שדות.
α ∈ E .1אלגברי )כלומר ,קיים פולינום ] 0 6= f (x) ∈ F [xכך ש (f (α) = 0אם״ם[F (α) : F] < ∞ :
α, β 6= 0 .2אלגבריים אזי α/β ,α · β ,α ± βכולם אלגבריים.
ולכן אוסף האיברים האלגבריים מעל Fב Eהוא תת שדה של .E
דוגמה ˜ 1.3.22
= Qאוסף האיברים האלגבריים מעל Qב .C
∼ ).F (α
ראינו שאם αאלגברי ,עם פולינום מינימלי )וראינו כי הוא אי־פריק( ) ,p (xאזי= F[x]/(p(x)) :
נשים לב שמכאן נובע שטפוס האיזומורפיזם של ) F (αתלוי רק בפולינום המינימלי שלו .כלומר ,אם α, β ∈ Eיש את אותו פולינום
∼ ) .F (αוהאיזומורפיזם הזה מעביר בין αו .βמכיוון שהראשון מעביר את xל αוהשני את xל.β
מינימלי אזי= F (β) :
יתר על כן ,איזומורפיזם זה מקבע את אברי Fבמקומם )כלומר ,כל איבר α ∈ Fעובר להיות הפולינום הקבוע .(αולכן גם
האיזומורפיזם בין )) F[x]/(p(xל ) F (αזו העתקה לינארית מעל .Fאנו יכולים לחשוב עליה גם כהעתקה לינארית בין מרחבים
וקטורים .כלומר ϕ : F [x] → Eהמוגדרת ϕ (f (x)) = f (α) :משרה איזומורפיזםϕ : F[x]/ker ϕ → Im ϕ = F (α) :
)ϕ a · f (x) = ϕ (a)ϕ (f (x)) = af (α) = aϕ f (x
כאשר .f (x) = f (x) + ker ϕוהמעבר האחד לפני אחרון הוא מההצבה של aבפולינום הקבוע.
ולכן גם האיזומורפיזם בין ) F (αל ) F (βהוא F־לינארי.
האם יכול להיות כי ) F (αממש שווה ל )?F (β
8
פרק .1שדות
.1.3איבר אלגברי ופולינום מינימלי
דוגמה p1 (x) = x2 + 1 1.3.23ו p2 (x) = x2 + 4 :מעל .Qשניהם אי פריקים )אין להם שורשים ,והם פולינומים ממעלה ,2לכן אי
פריקים(
השורשים של הפולינום הראשון הם .±iכלומר ,אם ניקח את שדה ההרחבהQ (i) = {a + bi | a, b ∈ Q} :
רגע ,למה זה שדה בכלל? כיוון ש:
a − bi
)(a + bi) (a − bi
= )(a + bi
והמכנה הוא ממשי לכן קיבלנו את אותו מבנה.
אבל עכשיו אנו מבינים את זה בדרך יותר קונספטואלי .למעשה מדובר בהצבה של iבפולינומים מעל Qממעלה עד .2כלומר:
∼ )Q (i
))= Q[x]/(p1 (x
ואילו הפולינום השני ,השורשים שלו הוא ,±2iאבל מה זה שדה אשר מספחים אליו את ?2iזה בדיוק אותו שדה כמו שמספחים אליו
את .iכלומר ).Q (2i) = Q (i
עד כה עסקנו בשאלה הבאה ,יש לנו שדה Fויש לנו שדה הרחבה Eכך שיש איבר α ∈ Fהאם יש פולינום שמאפס אותו.
כעת אנו רוצים לעסוק בשאלה ההפוכה ,כלומר האם יש שדה שעבורו פולינום נתון מתאפס.
משפט 1.3.24
יהי Fשדה f (x) ∈ F [x] ,פולינום לא קבוע )כלומר ממעלה הגדולה או שווה ל (1אזי קיים שדה Eהמכיל את Fשבו יש ל) f (xשורש.
הוכחה :בלי הגבלת הכלליות ניתן להניח ש ) f (xפולינום אי־פריק ב ]) F [xאחרת נפרק אותו לפולינומים אי פריקים ,הם לא קבועים
מההגדרה ,נקח אחד מהם ונמצא לו שורש(.
נסתכל בשדה )) .E = F[x]/(f (xמאחר ו ) f (xאי פריק אזי זהו שדה E .״מכיל״ את ) Fעד כדי איזומורפיזם( כיוון שאנחנו לוקחעים
את Fואז:
))a ∈ F 7→ a + (f (x
לוקחים את aומעבירים אותו למחלקה שמכילה את .aכלומר:
π
))F ֒→ F [x] −→ F[x]/(f (x
נסמן xלהיות המחלקה x + (f (x)) :נבחין כי .E ∈ xנטען כי xהוא שורש של ) .f (xנבחין כי:
ai xi
n
X
= )f (x
i=0
כאשר .ai ∈ Fנציב את :x
n
X
= ))ai xi + (f (x
= ))ai x + (f (x
i
i=0
ai xi + (f (x)) = f (x) + (f (x)) = 0 + (f (x)) = 0
n
X
n
X
i
= ai x
i=0
n
X
= )f (x
i=0
i=0
וזהו האיבר ה 0של . E
כלומר מצאנו שדה שמרחיב את Fובתוכו מצאנו שורש אשר מאפס את הפולינום.
דוגמה 1.3.25נקח את .F = Rונקח .f (x) = x2 + 1מה למעשה עשינו פה?
נניח כי לא ידענו על קיומם של המרוכבים .אם היינו מבצעים את תהליך ההוכחה :נקח את ] R [xונחלק אותו ב x + 1כלומר:
) .R[x]/(x2 +1אבל זה כל האיברים מהצורה .a + bxכלומר:
R[x]/(x2 +1) = a + bx | a, b ∈ R
2
ואם נחשב מה הוא נקבל0 + 1x = (x) + 1 = 0 :
9
2
.1.4שדה סגור אלגברית
1.4
פרק .1שדות
שדה סגור אלגברית
הגדרה 1.4.1שדה סגור אלגברית :שדה Kנקרא שדה סגור אלגברית אם לכל פולינום ) f (xממעלה גדולה או שווה ל 1ב∈ )f (x
] K [xיש שורש ב.K
באופן שקול :לכל פולינום אי פריק ב ] K [xיש שורש.
ובאופן שקול :כל פולינום ] f (x) ∈ K [xניתן לכתיבה כ:
) f (x) = a (x − λ1 ) · . . . · (x − λn
כאשר .a, λ1 , . . . , λn ∈ K
משפט 1.4.2המשפט היסודי של האלגברה
) Cהמרוכבים( הוא שדה סגור אלגברית.
לא נוכיח את המשפט הזה במסגרת הקורס .למעשה ,אין לו הוכחה אלגברית .נוכיח את זה בפונקציות מרוכבות.
משפט 1.4.3
נסמן ˜
= Qאוסף המספרים האלגבריים )מעל (Qב .Cהוא שדה סגור אלגברית.
בהוכחה נשתמש במשפט היסודי של האלגברה ,ונקבל שדה סגור אלגברית שהוא בן מנייה )כבר ציינו כי ˜
Qהוא בן מנייה( .הוכחה:
n
יהי ]˜ [x
.ai ∈ Qצריך להוכיח שיש ˜
f (x) ∈ Qפולינום ממעלה גדולה או שווה ל .1נסמן f (x) = P ai xi :כאשר ˜
α ∈ Qכך ש:
i=0
.f (α) = 0
˜
יהי αשורשת של ) f (xב) Cקיום שורש כזה מובטח ע״י המשפט היסודי של האלגברה( .צריך להוכיח ש .α ∈ Qכלומר ש αעצמו
אלגברי מעל ) Qולא רק מעל ˜
.(Q
נתבונן ב) Q (a0 , a1 , a2 , . . . , an , α) :כלומר Qאשר סיפחנו לו את המקדמים של הפולינום ואת (αנבחן את:
][Q (a0 , . . . , an , α) : Q] = [Q (a0 , . . . , an , α) : Q (a0 , . . . , an )] [Q (a0 , . . . , an ) : Q
אבל ]) [Q (a0 , . . . , an , α) : Q (a0 , . . . , anסופי ,כי αהוא אלגברי מעל ) ) Q (a0 , . . . , anהוא שורש של פולינום עם מקדמים ב:
) Q (a0 , . . . , an־ כלומר אלגברי מעל שדה זה ־ ואף ניתן להגיד כי ערכו קטן או שווה ל nמכיוון שיש פולינום ממעלה nאשר מאפס
אותו אבל לא מובטח לנו שהוא אי־פריק( .אבל גם ] [Q (a0 , . . . , an ) : Qסופי ,מכיוון ש a0 , . . . , anאלגבריים מעל Qלפי הגדרה
ולכן גם נקבל כי:
≤ n [Q (a0 , . . . , an ) : Q (a0 , . . . , an−1 )] [Q (a0 , . . . , an−1 ) : Q (a0 , . . . , an−2 )] . . .
אבל מכיוון ש anאלגברי מעל Qהוא בוודאי אלגברי מעל ) Q (a0 , . . . , an−1ולכן כל הכפולות הנ״ל הן סופיות.
הערה 1.4.4מסתתרת כאן למה כללית יותר:
אם a0 , . . . an ∈ Eאלגבריים מעל Fאזי.[F (a0 , . . . , an ) : F] < ∞ :
לסיכום ,אם ניקח את ) Q (α) ⊆ Q (a0 , . . . , an , αומאחר והשדה בצד ימין הוא ממימד סופי מעל Qקל וחומר ש ∞ < ][Q (α) : Q
ולכן αאלגברי מעל Qולכן ˜
α ∈ Qכנדרש.
טענה 1.4.5
אם ] f (x) ∈ R [xאי־פריק אזי .1 ≤ deg (f (x)) ≤ 2
הוכחה :נניח ] f (x) ∈ R [xאי פריק ,יש לו ) α ∈ Cעל פי המשפט היסודי( ולכן
.אבל R ⊆ R (α) ⊆ Cולכן:
))R[x]/(f (x
הוא שדה אבל זה גם איזומורפי ל )R (α
1 ≤ dimR (R (α)) ≤ 2
ולכן .deg (f (x)) = dim R[x]/(f (x)) ≤ 2 :כנדרש.
הערה 1.4.6אם ] f (x) ∈ R [xואם αשורש לא ממשי של ) f (xאז גם ) αהצמוד המרוכב של (αהוא שורש .ולכן | )(x − α) (x − α
) .f (xאבל מה זו המכפלה הזו? .x2 − (α + α) x + α · α
מסקנה 1.4.7
כל פולינום לא קבוע ] f (x) ∈ R [xמתפרק למכפלה של פולינומים ב] R [xממעלות 1או .2
מיידי מהמסקנה הקודמת.
10
.1.5שדות סופיים
פרק .1שדות
מסקנה 1.4.8
כל פולינום ] f (x) ∈ R [xממעלה אי־זוגית יש שורש ב.R
נבחין מהמסקנה הקודמת ,לא יכול להיות שכל הפולינומים המפרקים אותו הם זוגיים מכיוון שאז המעלה הייתה יוצאת זוגית.
הוכחה נוספת היא בעזרת αו ,αהרי מעל Cהוא פריק לגורמים לינארים ,ואז יש לו לכל היותר nשורשים כאלה ,כלומר לא לכל
אחד יש את הצמוד המרוכב שלו ־ אזי יש שם איבר ממשי.
הוכחה שלישית כמו שכבר ראינו באינפי f (x) ∈ R [x] ,ממעלה אי זוגית )אפשר להניח שמתוקן( אזי lim f (x) = ∞ :לעומת זאת:
∞→x
∞lim f (x) = −
∞x→−
)מכיוון שהאיבר המוביל הוא החזקה הגדולה ביותר ,האחרים הופכים לזניחים ביחס אליו( ואז ממשפט ערך
הביניים ,מכך שפולינום הוא פונקציה רציפה ,יש x ∈ Rכך ש .f (x) = 0
מסקנה 1.4.9
אם ] f (x) ∈ F [xפולינום ממעלה ,nאזי ל Fהרחבה Eממעלה לכל היותר ! nשבה ) f (xמתפרק לגורמים לינארים.
הוכחה :באינדוקציה על :n
יש הרחבה E1ממעלה nשבה יש שורש .αלכן∈ E1 [x] :
או שווה n − 1שבה יש שורש βשל
ונמשיך באינדוקציה.
)f (x
x−α
)f (x
x−α
כלומר∈ E2 [x] :
זה פולינום ממעלה n − 1ולכן יש הרחבה E2של E1ממעלה קטנה
)f (x
). (x−α)(x−β
משפט 1.4.10
F ⊆ Fכך ש ˜
,Fכלומר ˜
לכל שדה Fיש הרחבה ˜
Fסגור אלגברית.
˜
יתר על כן ,אם Fאינסופי ,אזי יש Fמאותה עוצמה של .F
בפרט אם Fבן־מנייה אזי יש ˜
Fהוא בן מניה.
אנחנו לא אומרים שהיא יחידה )למרות שכן במובן מה( ,לא נוכיח את זה במסגרת הקורס.
1.5
שדות סופיים
|1 + .{zאזי ל־ nהקטן ביותר המקיים זאת נקרא
הגדרה 1.5.1מציין\קרקטריסטיקה :אם Fשדה וקיים 0 6= n ∈ Nכך ש . . + 1} = 0
nפעמים
המציין של . F
הערה 1.5.2אם לא קיים nכנ״ל ,נאמר שהמציין של Fהוא .0
טענה 1.5.3
המציין של Fהוא מספר ראשוני.
הוכחה :אם 1 + . . . + 1 = 0ו n = m · kאזי 1 + . . . + 1 1 + . . . + 1 = 1 + . . . + 1 = 0 :אבל בשדה אין מחלקי אפס,
} | {z
} | {z
} | {z
} | {z
nפעמים
nפעמים
kפעמים
לכן אחד מ 1 + . . . + 1:או 1 + . . . + 1חייב להיות אפס ,בסתירה למינימליות של .n
} | {z
} | {z
mפעמים
kפעמים
טענה 1.5.4
.1אם Fשדה עם מציין ראשוני ,pאזי Fמכיל את ) Fpכלומר מכיל שדה
איזומורפי ל .(Fp
.2אם Fשדה עם מציין ,0אזי מכיל את .Q
הוכחה:
11
mפעמים
פרק .1שדות
.1.5שדות סופיים
.1נסתכל ב pהאיברים:
0
1
1+1
1+1+1
..
.
1 + 1 + ...+ 1 + 1
{z
}
|
p − 1פעמים
יש כאן pאיברים שחוקי החבור והכל בינהם מתנהגים בדיוק כמו ב Fp = Z/pZ :המוכר.
עבןר החיבור הנ״ל ברור ,עבור הכפל נובע מהדיסטרבטיביות ושוב ברור .לכן יש באמת איזומורפיזם בין Fpאליו.
.2לא נוכיח בשלב זה.
מסקנה 1.5.5
n
אם Fשדה סופי ,אזי קיים ראשוני pושלם חיובי nכך ש .|F| = p
הוכחה :ברור שהמציין של Fאינו ,0ולכן הוא pלאיזשהו ראשוני .p
ולכן Fמכיל את ,Fpולכן Fמרחב וקטורי מעל Fpממימד סופי ,ולכן כמרחב וקטורי הוא איזומורפי
ל Fnp
n
ובפרט |F| = p ,כנדרש.
1.5.1שורשים מרובים של פולינום
יהי ] f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 ,f (x) ∈ F [xכאשר .ai ∈ F
נגדיר את הנגזרת להיות:
f ′ (x) = nan xn−1 + (n − 1) an−1 xn−1 + . . . + 2a2 x + a1
כאשר עבור a ∈ Fו m ∈ Nאנו מסמנים:
ma = a + a + . . . + a
{z
}
|
mפעמים
הערה 1.5.6בניגוד לאינפי הנגזרת מוגדרת להיות כך ,ולא עם גבולות.
אנו רגילים כי נגזרת של פולינום ממעלה nהוא פולינום ממעלה ,n − 1אבל הדבר לא בהכרח קורה בשדה עם מציין .pלדוגמה:
′
(1 · xp ) = p · 1xp−1 = 0
טענה 1.5.7
אם ] f (x) , g (x) ∈ F [xאזי:
′
(f (x) + g (x)) = f ′ (x) + g ′ (x) .1
′
(f (x) · g (x)) = f ′ (x) g (x) + f (x) g ′ (x) .2
☎
✆ תרגיל :להוכיח את הטענה הנ״ל.
✞
✝
)f (x
. x−α
הגדרה 1.5.8שורש פשוט\שורש מרובה :אם ] f (x) ∈ F [xו αשורש של ) f (xיקרא שורש פשוט אם αאינו שורש של
)f (x
ו αיקרא שורש מרובה אם αשורש גם של
. x−α
2
במקרה השני ,נקבל כי )(x − α) | f (x
12
פרק .1שדות
.1.5שדות סופיים
טענה 1.5.9
′
אם ] f (x) ∈ F [xאזי כל השורשים של ) f (xהם פשוטים אם״ם) (f (x) , f (x)) = 1 :כלומר זרים gcd ,שלהם הוא (1
הערה 1.5.10כדי לבדוק אם הם זרים ,אפשר בעזרת האלגוריתם של אוקלידס.
הוכחה :ניח αשורש מרובה אזי .(x − α)2 | f (x) :כלומר f (x) = (x − α)2 g (x) :לאיזשהו ).g (x
נחשב את ):f ′ (x
′
)f ′ (x) = (x − α)2 g (x
נשתמש בנוסחת המכפלה:
i′
h
2
2
′
′
2
)f ′ (x) = (x − α) g (x) + (x − α) g ′ (x) = (x − α) (x − α) + (x − α) (x − α) g (x) + (x − α) g ′ (x
2
מכאן ש ) x − α | f ′ (xוכזכור ) (x − α) | f (xולכן x − α | (f (x) , f ′ (x)) :ובפרט.(f (x) , f ′ (x)) 6= 1 :
נניח כי (f (x) , f ′ (x)) 6= 1נרצה להראות כי יש שורש מרובה.
נניח שאין שורש מרובה אזי:
) (x − λi
n
Y
f (x) = a
i=1
וכל ה λiשונים ו .a 6= 0
אפשר לחשב את הנגזרת:
n Y
Y
X
′
(x − λi ) (x − λj ) = a
) (x − λj
j6=i
i=1 j6=i
n
X
f ′ (x) = a
i=1
ולכן עבור r = 1, . . . , nנקבל כי:
) (λj − λr
Y
f ′ (λr ) = a
j6=r
אם אין שורש מרובה הרי f ′ (λr ) 6= 0לכל .r = 1, . . . , nכלומר אין ל ) f (xו ) f ′ (xשורשים משותפים באף שדה הרחבה .ולכן
לא ייתכן שיהיה להם מחלק משותף
נשתמש בטענות הנ״ל באופן הבא:
יהיה F = Fp = Z/pZהשדה מסדר p) pראשוני(.
n
נקבע n ∈ Nונתבונן בפולינום . f (x) = xp − x
ראשית נציין ש .f ′ (x) = −1בפרט (f (x) , f ′ (x)) = 1 ,ולכן בשדה הרחבה Eשבו ) f (xמתפצל לגורמים לינארים כל שורשי
) f (xהם שונים זה מזה.
יהי Eשדה שבו אכן ) f (xמתפרק לגורמים לינארים ונסמן ב Kאת אוסף שורשי ):f (x
n
o
n
K = α ∈ E | αp − α = 0
Kהנ״ל קבוצה מסדר |K| = pn .pn
טענה 1.5.11
Kמהוה שדה.
הוכחה :ננבחין כי .0, 1 ∈ K
יהיו .α, k ∈ Kנבחין כי:
pn
).(α + β
13
פרק .1שדות
.1.5שדות סופיים
למה 1.5.12
יהי Dשדה ממציין pראשוני .יהיו α, β ∈ Dאזי:
(α + β)p = αp + β p .1
(α · β)p = αp · β p .2
הוכחה 2 :ברור.
נראה את .1נבחין כי:
p
X
p i p−i
αβ
i
i=0
אבל נשים לב שעבור p > i > 0מתקיים
p
i
p
= )(α + β) = (α + β) (α + β) . . . (α + β
| pכיוון ש:
!p
p
=
!)i! (p − i
i
pהוא ראשוני ,אבל p > i > 0ולכן לא מופיע במכנה ,ולכן הוא לא מצטמצם.
כלומר בסכום הנ״ל אנו צריכים להסתכל רק על הראשון והאחרון כיוון שאם אנו מחברים pפעמים את אותו איפה אנו מקבלים אפס
)זו המשמעות של מציין (pולכן נקבל כי:
p 0 p−0
p p p−p
= (α + β)p
α β
+
α ·β
= a0 β p + αp β 0 = αp + β p
0
p
כנדרש.
מסקנה 1.5.13
p
Dשדה ממציין .0 < pאזי העתקה Φ : D → Dהמוגדרת באופן הבא Φ (α) = α :היא הומומורפיזם של שדה הנקרא הומומורפיזם
של פרודיניוס.
נבדוק ש Kסגור לחיבור\כפל ולקיחת הופכי.
לגבי החיבור ,אם α, β ∈ Kנבחין כי:
n
n
n
(α + β)p = Φn (α + β) = Φn (α) + Φn (β) = αp + β p = α + β
הערה 1.5.14כאשר Φזה ההומומורפיזם של פרודיניוס .ולכן גם Φnהומומורפיזם.
הערה .K = Fix (Φn ) 1.5.15
n
n
pn
אם ,α, β ∈ Kנבחין כי גם= αp β p = αβ ⇒ α · β ∈ K :
n −1
pn
α−1כלומר∈ K ,
= αp
לבסוף ,נבחין כי אם 0 6= α ∈ Kאזי= α−1 :
).(α · β
.α−1
מסקנה 1.5.16
לכל pראשוני ולכל 1 ≤ n ≤ Nיש שדה מסדר .pn
מסקנה 1.5.17
לכל l | n′יש שדה ביניים יחיד בין Fpל Kמסדר .p
l
הוכחה :ראינו שיש Lכזה .מדוע הוא יחיד?
אם Lשדה נוסף מסדר plבתוך Kאזי איברי Lהשונים מ 0נמצאים ב } (L ) = L \ {0זו חבורה סופית מסדר p − 1ולכן
l
l
l
מקימים .γ p −1 = 1ולכן γ p = γכלומר שורשי הפולינום xp − xוכך גם ,0אזי .L′ = L
′
′
14
∗ ′
l
פרק .1שדות
.1.5שדות סופיים
הערה 1.5.18לשדה Kמסדר pnיש בדיוק nאוטומואפיזם .למעשה:
Aut (K) = Id, Φ, Φ2 , . . . , Φn−1
אם Hחבורה חלקית של Φאז Hציקלית ונוצרת ע״י Φrכאשר .r | nנסתכל על }˜ = {α ∈ K | ψ (α) = α ∀ψ ∈ H
,Hזהו שדה
מסדר .pr
15
פרק 2
לבנות בעזרת סרגל ומחוגה
נתונה קבוצת נקודות Sבמישור .בידינו סרגל )הכוונה למוט ישר בלי סימוני קורדינטות עליו ,ארוך כרצונינו(
ומחוגה .מתוך הקבוצה Sאפשר לבנות נקודות חדשות במישור באופן הבא:
בין כל 2נקודות ב Sאפשר למתוח קו ישר ולהמשיכו לשני הצדדים כרצוננו.
כמו כן ניתן לפתוח את המחוגה כך שקצותיה יהיו בנדוקות s1 , s2 ∈ Sואז לצייר מעגל ברדיוס ) dist (s1 , s2מסביב הנקודה .s3 ∈ S
הנקודות החדשות הן נקודות מפגש של קוים ומעגלים שנבנו כך מ.S
נבחין שעם נקודה אחת אני לא יכולים לעשות כלום.
לעומת זאת בעזרת 2נקודות אנו ראשית יכולים להעביר בניהם ישר .וכמו כן לבנות מעגל כאשר הרדיוס שלו יהיה המרחק בניהם
סביב הנקודה הראשונה וסביב השניה )לא מדובר באותו מעגל!(.
יצרנו כאן 2נקודות חדשות ,אם נעביר ישר בין הנקודות החדשות נקבל חיתוך עם הישר הראשון ,אשר יחתוך אותו בדיוק באמצע
בין הנקודות.
כלומר בעזרת סרגל ומחוגה ,ניתן לחלק כל קטע לחצי ואנו גם יכולים לבנות אנך )כיוון שהוא יהיה מאונך כי מתקבל מעויין למעשה(.
נבחין כי אנו מקבלים למעשה את כל השלים בצורה זו גם על ציר ה xוגם על ציר ה) yהחיתוך של הנוצר מהמחוגה עם הישר(.
ולכן אנו יכולים גם לקבל חלוקה ב .nלדוגמה נשיג את 3בכך שנעביר ישר בין ) (0, 3ל ) .(1, 0ונעביר לו ישר מקביל העובר ב )(0, 1
ואז הוא יחתוך את ציר ה xבשליש.
איך מעבירים מקביל?
נפתח מעגל סביב הנקודה הראשונה בקטע העובר בנקודה שבא אנו רוצים את המקביל .באופן דומה עם הנקודה השניה .מהקודקוד
החדש נקבל דלתון )האלכסונים ניצבים!( .על מנת לקבל מקביל ניצור באופן דומה לבניית השלמים נקודה בהמשך הישר כך שנקבל
שהנקודה שלנו בדיוק במרכזו ,ונשתמש בטכניקה ממקודם על מנת לקבל ניצב.
למעשה אנו יכולים לבנות כל מספר רציונליים ,אבל לא רק!
√
√
לדוגמה ניתן גם לבנות את 2־ נבנה ריבוע ,הרדיוס מ) (0, 0ל ) (1, 1הוא , 2נבנה עיגול ,החיתוך עם ציר ה xהוא שורש .2
2.1
לרבע את המעגל
נותנים לנו קטע בין 0ל 1ובונים סביבו מעגל.
אנו מחפשים ריבוע שההקף שלו הוא כמו ההקף של המעגל ,כלומר ריבוע שההקף שלו הוא ,2πכלומר צלע שהיא
לבנות את הנקודה . π2אבל πהוא לא אלגברי! לכן גם π2ולכן אין דרך להגיע לזה בעזרת סרגל ומחוגה!
. π2
דהיינו ,הם רצו
הגדרה 2.1.1ניתן לבניה :מספר ממש αנקרא ניתן לבניה אם להגיע ל) (α, 0במספר סופי של צעדי בניה החל מ) (0, 0ו) (1, 0ע״י
סרגל ומחוגה.
הערה α 2.1.2ניתן לבניה אם״ם קיים βכך שניתן להגיע במספר סופי של צעדי בניה ל ) (α, βואם״ם ניתן להגיע ל ).(0, α
ראינו כי כל מספר רציונלי הוא ניתן לבניה.
למה 2.1.3
אם α, βניתנים ולבנייה אזי a + βניתן לבניה.
הוכחה :אם אנו יודעים להגיע ל ) (α, 0ו) (β, 0אז אנו שמים מחוגה בניהם ומגיעים ל α + βעל ידי סיבוב ב 180מעלות.
16
.2.1לרבע את המעגל
פרק .2לבנות בעזרת סרגל ומחוגה
טענה 2.1.4
אם αמספר ממשי חיובי ניתן לבניה ,אזי גם α
√
ניתן לבניה.
הוכחה :אם αניתן לבניה גם α + 1ניתן לבניה.
נצייר מעגל שקוטרו .1 + α
הערה 2.1.5מוצאים את
α+1
2
ומשתמשים בו כרדיוס.
יש לנו גם את הנקודה ) (1, 0נעביר דרכה אנך .ונסמן ) (1, βאת הנקודת החיתוך עם המעגל.
המשולש ) (0, 0) , (1, β) , (α + 1, 0הוא ישר זווית )משולש שהיתר שלו הוא הקוטר הוא ישר זווית(.
כמו כן ,האנך מפצל את המשולשים לדומים )קל להראות שהזוויות שוות(
ולכן נשמרים יחסים בין הצלעות .ונקבל:
1
β
= ⇒ β2 = α
α
β
ולכן מצאנו שורש ל.α
טענה 2.1.6
אוסף המפרים הניתנים לבניה Kהוא תת־שדה ש .R
הוכחה ,0, 1 ∈ K :ראינו שאם α, β ∈ Kאזי .α + b ∈ Kנראה שגם .α · β ∈ K
נבחין כי אנו יודעים לבנות את ) ,(0, 1נעביר קו בין ) (α, 0ל ) .(0, 1נעביר דרך ) (β, 0מקביל לישר הקודם.
המשולשים שנוצרו על ידי הישרים והצירים דומים .לנקודת החיתוך של הישר העובר דרך ) (β, 0נקרא ).(0, γ
β
נקראה שגם ∈ K
. αנבחין כי:
1
γ
=
β
α
β
γ = αו γ :ניתן לבניה.
ולכן:
נראה ש .α · β ∈ Kהפעם נמקם את βדווקא על ציר .y
נעביר קו בין ) (α, 0ל ) (0, 1ונעביר גם בין ) (0, βל) (γ, 0קו מקביל לקודם.
נקבל שוב משולשם דומים ,ונקבל:
γ
α
= ⇒γ = α·β
β
1
ולכן Kאכן תת שדה.
נניח ש 2נקודות ) (a, bו ) (c, dבמישור ניתנות בניה ,אזי משוואת הישר בניהן היא:
d−b
d−b
= )ℓ (x
x+b−
·a
c−a
c−a
מה שחשוב הוא ,שהמקדמים של הישר ניתנים לבנייה.
אם ) (a, b) , (c, d) , (e, fניתנים לבנייה אז אנו יכולים לקבל את המעגל:
2
2
(x − e) + (y − f ) = r2
כאשר:
2
2
)r2 = dist2 ((a, b) , (c, d)) = (a − c) + (b − d
17
.2.1לרבע את המעגל
פרק .2לבנות בעזרת סרגל ומחוגה
ניתן לפתוח את זה ,ולקב:
x2 + y 2 − 2ex − 2f y + g = 0
עבור gכלשהו.
לא כל־כך מעניין אותנו הדיוק ,מה שמעניין אותנו הוא שהמעגל שיצרנו הוא מהצורה:
x2 + y 2 + αx + βγ + δ = 0
כאשר α, β, δניתנות לבנייה.
איך מקבלים נקודה חדשה הניתנת לבנייה )מתוך הנקודות שכבר בנינו בשלבים שלנו(.
נקודה חדשה שניתנת לבנייה מתקבלת ע״י:
.1חיתוך ישר עם ישר
.2חיתוך ישר עם מעגל
.3חיתוך מעגל עם מעגל
הערה 2.1.7בכל אחד מהמקרים מקדמי משוואת הישר או המעגל נמצאים בשדה הנוצר מעל Qבעזרת הנקודות שנבנו עד כה.
טענה 2.1.8
אם ρ ∈ Rמספר ממשי ניתן לבניה בסדרה סופית של פעולות ,אזי יש סדרה של שדות:
Q ⊆ K1 ⊆ K2 ⊆ . . . ⊆ Km
כך ש [Ki : Ki−1 ] ≤ 2לכל i = 1, . . . , mו.ρ ∈ Km :
הוכחה :בתהליך הבניה מתחילים בנקודות }) S0 = {(0, 0) , (1, 0וכל פעם בונים קבוצה גדולה יותר בנקודה אחת:
S0 ⊆ S1 ⊆ S2 ⊆ . . . ⊆ Sm
עד .ρ ∈ Sm
הקורדנטות של S0נמצאות ב .Qבהוספת נקודה חדשה מ
נתבונן בנקודה חדשה שהתקבלה:
Si−1ל Siמה עושים?
.1חתוך של שני ישרים:
y = αx + β
y = α′ x + β ′
(
אם יש פתרון ,אזי הוא לא יוצא מהשדה שבו מקדמי המשוואותץ
.2חיתוך ישר ומעגל:
y = αx + β
x2 + y 2 + γx + δy + η = 0
(
מציבי את yמהמשוואה הראשונה בשניה ומקבלים:
x2 + (αx + β)2 + γx + δ (αx + β) + η = 0
לא מספיק מעניין לפתוח את זה ,בגדול נקבל:
√
בשדה ∗ ±
=
∗
x1,2
יכול להיות שנחרוג מהשדה ,כיוון שיכול להיות שהשורש לא בשדה ,לכן כאן עלינו לכל היותר עלינו בשדה ב 2מעלות.
18
פרק .2לבנות בעזרת סרגל ומחוגה
.2.1לרבע את המעגל
.3חיתוך מעגל עם מעגל ,נקבל 2משוואות:
(
x2 + y 2 + αx + βy + δ = 0
x2 + y 2 + α′ x + β ′ y + δ ′ = 0
פתרון זוג משוואות זה שקול לפתרון של:
x2 + y 2 + αx + βy + δ = 0
(a − a′ ) x + (β − b′ ) y + (δ − d′ ) = 0
(
)הפחתנו את המשוואה השניה מהראשונה( .אבל זו משוואה של ישר כבר ,וזה מקרה ב׳.
טענה 2.1.9
α ∈ Rניתן לבנייה אם״ם קיימת סדרת שדות
Q ⊆ K1 ⊆ K2 ⊆ . . . ⊆ Km
כך ש [Ki : Ki−1 ] ≤ 2לכל i = 1, . . . , mו.α ∈ Km :
הערה 2.1.10נבחין כי הוכחנו את הטענה בכיוון ⇐ אנו כעת רוצים להראות כי זה אכן אם״ם.
הוכחה :כאמור את הכיוון ⇐ ראינו.
נראה את ⇒ .נניח שיש סדרה כנ״ל .וצריך להוכיח ש αניתן לבנייה .ראשית נוכיח את הלמה הבאה:
למה 2.1.11
√
אם Fשדה כלשהו ממציין = 2 6ו E :הרחבה של Fכך ש [E : F] = 2אזי קיים β ∈ Fכך ש .E = F β
√
הערה 2.1.12זהירות .זה לא נכון במציין .2למשל .F4נבחין את .[F4 : F2 ] = 2אבל כל . β ∈ F2 β ∈ F2
∈ .γיהא ) p (xהפולינום המתוקן המינימלי של γמעל .F
הוכחה :נבחר γ ∈ Eכך ש / F
.deg p (x) = [E : F] = 2אזי p (x) = x2 + bx + c :ושורשיו הם:
√
−b ± b2 − 4c
= x1,2
2
ברור ש ).E = F (γ
אזי:
הערה 4 2.1.13זו המשמעות של ,4כלומר .c + c + c + c :אבל מה זה אומר לחלק ב ?2זה אומר לפתור את המשוואה.x + x = y :
כלומר:
p
−b + b2 − 4c
−1
)= (1 + 1
√
√
נקח .F ∋ β = b2 − 4c :נבחין כיβ = F (γ) = E :
.γ
√
נזכיר שהראנו שאם γניתן לבנייה אזי גם γניתן לבנייה .ולכן באינדוקציה על ) mתוך שימוש בלמה( כל איברי
וכך גם .α
אנו יכולים להגיד:
p
βi−1
Ki = Ki−1
.Fכלומר . γ = x1 ∨ x2 :וסיפוח β
עבור βi−1 ∈ Ki−1כלשהו.
19
יחד עם סגירות בשדה ⇐ סיפוח
Kmניתנים לבניה
.2.1לרבע את המעגל
פרק .2לבנות בעזרת סרגל ומחוגה
מסקנה 2.1.14
ℓ
אם α ∈ Rניתן לבנייה אזי αאלגברי [Q (α) : Q] = 2לאיזשהו }.ℓ ∈ N ∪ {0
הוכחה :בסימונים הקודמים Q (α) ⊆ Km :ולכן:
[Q (α) : Q] | [Km : K] | 2m
הערה 2.1.15יתכן כי [Q (α) : Q] = 2ℓו αלא ניתן לבניה! )זהו לא תנאי הכרחי ומספיק(.
משפט 2.1.16
.1אי אפשר לרבע את המעגל.
.2אי אפשר לרבע את העיגול.
הוכחה :ראשית נבחין כי:
.1שקול לכך שלא ניתן לבנות את . π2
√
.2שקול לכך שלא ניתן לבנות את . π
√
ושניהם נכונים בגלל משפט לינדנמם )אשם לא נוכיח( האומר כי π :לא אלגברי .ולכן π
π
ו2
לא אלגברי.
משפט 2.1.17
אי אפשר להכפיל את הקובייהץ
כלומר איננו יכולים לבנות ע״י סרגל ומחוגה צלע של קוביה שנפחה פעמיים נפח קוביה נתונהץ
√
הערה 2.1.18במילים אחרותץ לא ניתן לבנות את . 3 2
√
הוכחה :זה כך בגלל ש α = 3 2הוא שורש של x3 − 2אבל x3 − 2הוא פולינום אי־פריק מעל .Qבגלל שאין לו שורש רציונלי ,אבל
הוא ממעלה ,3לכן אם היה פריק היה חייב להיות לו שורש.
משפט 2.1.19
אי אפשר לחלק זווית כללית לתונה ל 3ע״י סרגל ומחוגה.
הערה 2.1.20למעשה נוכיח שאת הזווית ◦ 60אי אפשר לחלק ל .3באופן שקול :המספר הממשי ) ◦ cos (20לא ניתן לבנייה.
הוכחה :מטרתנו להוכיח כי ) ◦ cos (20לא ניתן לבנייה .נסמןβ = 2 cos (20◦ ) :ץ
זהות טריגונומטרית כללית ψ :זוית כלשהי אזי מתקיים:
)cos (3ψ) = 4 cos3 (ψ) − 3 cos (ψ
נישם עבור ◦ .ψ = 20נבחין כי:
1
) ◦= 4 cos3 (20◦ ) − 3 cos (20
2
כאמור:
β
2
= ) ◦ cos (20ולכן:
3
β
1
4
3
β
− 3 ⇒ = β 3 − β ⇒ β 3 − 3β − 1 = 0
2
2
2
8
2
20
1
=4
2
.2.2פריקות של פולינומים
פרק .2לבנות בעזרת סרגל ומחוגה
למה 2.1.21
הפולינום x3 − 3x − 1 = 0הוא פולינום אי־פריק.
הוכחה :נחליף את xב x + 1ונקבל:
3
= (x + 1) x2 + 2x + 1 − 3x − 4
= f (x + 1) = (x + 1) − 3 (x + 1) − 1
= x3 + 2x2 + x + x2 + 2x + 1 − 3x − 4
x3 + 3x2 − 3
למה 2.1.22
2
3
הפולינום x + 3x − 3הוא אי פריק.
הערה 2.1.23למה ⇐ 2למה cos (20◦ ) ⇐ 1לא ניתן לבנייה.
הוכחה :נגררת מיידית מקריטריון אייזנשטיין אשר נראה עוד רגע עבור .p = 3
ובכך למעשה סיימנו את הוכחה המשפט מכיוון שמזה נובע כי:
]3 = [Q (β) : Q] = [Q (cos (20◦ )) : Q
וזה גורר כי ) ◦ cos (20לא ניתן לבנייה.
2.2פריקות של פולינומים
טענה 2.2.1
אם ] f (x) ∈ F [xפולינום ו a ∈ F :אזי ) f (xאי פריק אם״ם ) f (x + aאי פריק.
הוכחה :מספיק להוכיח שאם ) f (xפריק אזי גם ) f (x + aפריק.
הערה 2.2.2כי אם ) f (x + a) = g (xאזי.f (x) = g (x − a) :
וזה טריוויאלי כי f (x) = h (x) k (x) :אז.f (x + a) = h (x + a) k (x + a) :
2.2.1
קריטריון אייזנשטיין )(Eisenstein
משפט 2.2.3קריטריון אייזנשטיין
אם f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0פולינום ב] Q [xעם מקדמים שלמים .ai ∈ Z
נניח שקיים pראשוני כך ש:
p ∤ an .1
p | ai .2לכל i = 0, . . . , n − 1
p2 ∤ a0 .3
אזי ) f (xפולינום אי־פריק ב ].Q [x
למה 2.2.4למת גאוס
אם ] f (x) ∈ Z [xאי פריק ב] Z [xאזי הוא גם אי פריק ב ].Q [x
או :אם קיימים פולינומים ] h (x) , g (x) ∈ Q [xלא קבועים כך ש f (x) = g (x) h (x) :אזי קיימים ] g ′ (x) , h′ (x) ∈ Z [xלא קבועים
כך ש ).f (x) = g ′ (x) h′ (x
21
.2.2פריקות של פולינומים
פרק .2לבנות בעזרת סרגל ומחוגה
הוכחה :נניח ) f (x) = g (x) h (xכאשר ] g (x) , h (x) ∈ Q [xפוינומים לא קבועים.
ע״י הכפלה במכנה המשותף הקטן ביותר )נסמנו (mשל כל המכנים של כל מקדמי ) g (x) , h (xאפשר להניח שmf (x) = :
) .g (x) h (xכך ש m ∈ Nו:
]g (x) , h (x) ∈ Z [x
נניח ש pמחלק את .mנוכיח שעבור או ) g (xאו ) h (xהוא גם מחלק את כל המקדמים שלהם .וזה יסיק את ההוכחה.
נניח בשלילה כי pאינו מחלק את כל מקדמי ) g (xואינו מחלק את כל מקדמי ).h (x
נסמן:
ai xi
n
X
= )mf (x
i=1
ואילו:
bi xi
k
X
= )g (x
i=0
ci xi
l
X
= )h (x
i=0
יהיו i0 , j0האינדקסים הקטנים ביותר כך ש p ∤ bi0 :ו .p ∤ cj0 :נבחין כי:
ai0 +j0 = b0 ci0 +j0 + b1 · ci0 +j0 −1 + . . . + bi0 cj0 + bi0 +1 cj0 −1 + . . . + bi0 +j0 c0
אבל נבחין כי כולם פרט למסומן מתחלקים ב pמכיוון שהנחנו כי i0 , j0הם הראשונים שלא מחלקים.
כלומר רק bi0 cj0לא מתחלק ב pולכן p ∤ ai0 +j0וזו סתירה.
כעת יש לנו את הכלים להוכיח את קריטריון אייזנשטיין:
משפט 2.2.5קריטריון אייזנשטיין
אם f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0פולינום ב] Q [xעם מקדמים שלמים .ai ∈ Z
נניח שקיים pראשוני כך ש:
p ∤ an .1
p | ai .2לכל i = 0, . . . , n − 1
p2 ∤ a0 .3
אזי ) f (xפולינום אי־פריק ב ].Q [x
הוכחה :על פי למת גאוס ,מספיק להוכיח שאי אפשר לכתוב את ) f (x) = g (x) h (xכאשר ] g (x) , h (x) ∈ Z [xפולינומים לא
קבועים.
נניח שכן ,נכתוב:
bi xi
k
X
= )g (x
i=0
ci xi
l
X
= )h (x
i=0
כאשר .bi , ci ∈ Z ,n > k, l ≥ 1
נשים לב כי:
a0 = b 0 c0
22
פרק .2לבנות בעזרת סרגל ומחוגה
.2.3השדה ה p־ציקלוטומי
ועל פי ההנחה p2 ∤ b0 c0ו p | b0 c0 :לכן אחד מ b0 c0מתחלק ב pאבל לא שניהם .בלי הגבלת הכלליות ,נניח p | b0ו.p ∤ c0 :
נשים לב שלא ייתכן ש p | biלכל i = 0, . . . , kכי .p ∤ an
יהא i0האינדקס הראשון כך ש .i0 ≤ k n p ∤ bi0
נחשב את :ai0
ai0 = b0 ci0 + b1 ci0 −1 + . . . + bi0 −1 c1 + bi0 c0
|
{z
}
מתחלק בp
ואילו האיבר הממוסגר אינו מתחלק ב) pכיוון שהנחנו בה״כ כי p ∤ bi0וגם .(p ∤ bi0
וזו סתירה להנחה ש ) p ∤ ai0נזכור ש .( i0 < k
דוגמה 2.2.6לכן xn − pהוא אי פריק ,וגם xn + px + pועוד רבים אחרים...
מסקנה 2.2.7
.1לכל nיש פולינום אי פריק ממעלה ב]. Q [x
.2וכמו כן ,לכל nיש ל Qהרחבה Eכך ש .[E : Q] = n
.3לכל ,nיש ל Qהרחבה E ⊂ Cממעלה .n
.4לכל n ∈ Nיש E ⊆ Rהרחבה של Qעם .[E : Q] = n
הוכחה:
√
נקח n p
.4יהי p > 0 ,p (x) = xn − pראשוני ב .Z
[E : Q] = deg (p (x)) = n
= ) αהשורש הממשי של .(pואז E = Q (α) ⊂ Rומתקיים
טענה 2.2.8
p
2
יהא pמספר ראשוני .נתבונן בפולינום .x − 1 :נפרק אותו+ . . . + x + x + 1 :
p−1
P i
p−1
= f (x) = xx−1הוא אי־פריק.
אזי x
p−2
+x
p
p−1
x − 1 = (x − 1) x
i=0
הוכחה :נתבונן ב ).f (x + 1
p p−1
p
p 1
p
p−2
=
x
+
x
+ ...+
x +
1
p
p−1
2
1
i
x −1
x
p
i
p
P
i=0
p
(x + 1) − 1
=
= )f (x + 1
(x + 1) − 1
הנ״ל ,אפשר להפעיל את קריטריון אייזנשטיין ,מאחר ו p | pi :לכל ) 0 < i < pואלה בדיוק מופיעים שם( .ו:
נבחין כי על הפולינום
.p ∤ pp = 1וגם .p2 ∤ p1 = p :ולכן מקריטריון אייזנשטיין נקבל כי ) f (x + 1אי פריק ,ולכן גם ) f (xאי פריק וסיימנו.
2.3
השדה ה p־ציקלוטומי
pראשוני .נסתכל ב pשורשי היחידה של 1ב:C
o
| k = 0, . . . , p − 1
2π
p k
n
µ (p) = ei
נרצה לספח את כולם.
נסמן )) .E = Q (µ (pנשים לב שמאחר ו pראשוני ,אז אם ) 1 6= λ ∈ µ (pאזי )) .Q (λ) = Q (µ (pבגלל ש) µ (pהיא למעשה
חבורה ציקלית מסדר ראשוני ,וכל איבר λ 6= 1בתוכה יוצר אותה.
23
.2.3השדה ה p־ציקלוטומי
הפולינום:
.λולכן:
xp −1
x−1
פרק .2לבנות בעזרת סרגל ומחוגה
= 1 + x + x2 + . . . + xp−1הוא אי פריק ,לפי הטענה האחרונה .הוא מאפס את λולכן זה הפולינום המינימלי של
[Q (µ (p)) : Q] = [Q (λ) : Q] = p − 1
24
