פתרון שאלה 4 ממבחן מועד 87 2015 א

Transcription

פתרון שאלה 4 ממבחן מועד 87 2015 א
‫פתרון שאלה ‪ 4‬ממבחן‪ :‬מועד ‪2015 – 87‬א ‪20109 -‬‬
‫סעיף א'‬
‫נתון כי הדרגה של 𝐴 היא ‪ ,4‬ולכן ‪ .𝑑𝑖𝑚𝐾𝑒𝑟 0 ∙ 𝐼 − 𝐴 = 𝑛 − 𝑟𝑎𝑛𝑘𝐴 = 3‬כלומר מימד המרחב העצמי השייך לערך‬
‫העצמי ‪ 𝑡1 = 0‬הוא ‪.3‬‬
‫הפולינום ‪ 𝑞 𝑡 = 𝑡 4 − 7𝑡 2 + 10‬מחלק את הפולינום האופייני של 𝐴‪ ,‬ולכן כל שורש של הפולינום 𝑡 𝑞 הוא שורש של‬
‫הפולינום האופייני של 𝐴‪.‬נחשב שורשים של 𝑡 𝑞 ונקבל‪2 ,𝑡3 = − 5 ,𝑡2 = 5 :‬‬
‫קיבלנו כי ‪2 ,𝑡3 = − 5 ,𝑡2 = 5‬‬
‫= ‪. 𝑡5 = − 2 ,𝑡4‬‬
‫= ‪ 𝑡5 = − 2 ,𝑡4‬שורשים של הפולינום האופייני של 𝐴 ‪.‬‬
‫מכיוון שסכום הריבויים האלגבריים של הערכים העצמיים של 𝐴 הוא ‪ ,7‬נקבל כי ‪ 𝑡1 = 0‬ערך עצמי עם ריבוי אלגברי ‪. 3‬‬
‫פולינום אופייני של 𝐴 ‪:‬‬
‫‪𝑡− 2 𝑡+ 2 𝑡− 5 𝑡+ 5‬‬
‫‪3‬‬
‫𝑡 = 𝑡 𝐴𝑝‬
‫סעיף ב'‬
‫קיבלנו ערך עצמי ‪ 𝑡1 = 0‬ערך עצמי עם ריבוי אלגברי ‪ 3‬וריבוי גיאומטרי ‪. 3‬‬
‫קיבלנו ערכים עצמיים ‪2 ,𝑡3 = − 5 ,𝑡2 = 5‬‬
‫= ‪ 𝑡5 = − 2 ,𝑡4‬עם ריבי אלגברי ‪ 1‬וריבוי גיאומטרי ‪. 1‬‬
‫כלומר‪ ,‬לכל ערך עצמי של 𝐴 הריבוי האלגברי שווה לריבוי הגיאומטרי ולכן המטריצה 𝐴 לכסינה‪.‬‬
‫מטריצה אלכסונית הדומה ל‪: 𝐴 -‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 − 5‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪− 2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪054-881-0530‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫=𝐷‬
‫‪alonbaumann.math@gmail.com‬‬
‫סעיף ב'‬
‫המטריצות 𝐴 ו‪ 𝐷 -‬דומות ולכן גם המטריצות ‪ 𝐴2‬ו‪ 𝐷2 -‬דומות‪.‬‬
‫שתי מטריצות שומות הן בעלות אותה עקבה‪ ,‬כלומר ‪. 𝑡𝑟𝐴2 = 𝑡𝑟𝐷2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪− 5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪− 2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪𝐷2‬‬
‫קיבלנו ‪𝑡𝑟𝐷2 = 14‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-881-0530‬‬
‫‪2‬‬
‫‪alonbaumann.math@gmail.com‬‬