docפתרון שאלה 4 ממבחן מועד 87 2015 א
download 
Report Transcription
פתרון שאלה 4 ממבחן מועד 87 2015 א
פתרון שאלה 4ממבחן :מועד 2015 – 87א 20109 - סעיף א' נתון כי הדרגה של 𝐴 היא ,4ולכן .𝑑𝑖𝑚𝐾𝑒𝑟 0 ∙ 𝐼 − 𝐴 = 𝑛 − 𝑟𝑎𝑛𝑘𝐴 = 3כלומר מימד המרחב העצמי השייך לערך העצמי 𝑡1 = 0הוא .3 הפולינום 𝑞 𝑡 = 𝑡 4 − 7𝑡 2 + 10מחלק את הפולינום האופייני של 𝐴 ,ולכן כל שורש של הפולינום 𝑡 𝑞 הוא שורש של הפולינום האופייני של 𝐴.נחשב שורשים של 𝑡 𝑞 ונקבל2 ,𝑡3 = − 5 ,𝑡2 = 5 : קיבלנו כי 2 ,𝑡3 = − 5 ,𝑡2 = 5 = . 𝑡5 = − 2 ,𝑡4 = 𝑡5 = − 2 ,𝑡4שורשים של הפולינום האופייני של 𝐴 . מכיוון שסכום הריבויים האלגבריים של הערכים העצמיים של 𝐴 הוא ,7נקבל כי 𝑡1 = 0ערך עצמי עם ריבוי אלגברי . 3 פולינום אופייני של 𝐴 : 𝑡− 2 𝑡+ 2 𝑡− 5 𝑡+ 5 3 𝑡 = 𝑡 𝐴𝑝 סעיף ב' קיבלנו ערך עצמי 𝑡1 = 0ערך עצמי עם ריבוי אלגברי 3וריבוי גיאומטרי . 3 קיבלנו ערכים עצמיים 2 ,𝑡3 = − 5 ,𝑡2 = 5 = 𝑡5 = − 2 ,𝑡4עם ריבי אלגברי 1וריבוי גיאומטרי . 1 כלומר ,לכל ערך עצמי של 𝐴 הריבוי האלגברי שווה לריבוי הגיאומטרי ולכן המטריצה 𝐴 לכסינה. מטריצה אלכסונית הדומה ל: 𝐴 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 − 5 © באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים 0 0 0 0 − 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 054-881-0530 1 0 0 0 0 0 0 0 =𝐷 alonbaumann.math@gmail.com סעיף ב' המטריצות 𝐴 ו 𝐷 -דומות ולכן גם המטריצות 𝐴2ו 𝐷2 -דומות. שתי מטריצות שומות הן בעלות אותה עקבה ,כלומר . 𝑡𝑟𝐴2 = 𝑡𝑟𝐷2 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 = 0 0 0 0 0 0 − 5 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 − 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 𝐷2 קיבלנו 𝑡𝑟𝐷2 = 14 © באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים 054-881-0530 2 alonbaumann.math@gmail.com
