פרק 11 – האינטגרל המשולש - אלון באומן – שיעורים פרטיים ומרתונים

Transcription

פרק 11 – האינטגרל המשולש - אלון באומן – שיעורים פרטיים ומרתונים
‫פרק ‪ – 11‬האינטגרל המשולש‬
‫𝑧 ‪ 𝑓 𝑥, 𝑦,‬המוגדרת בתחום זה‪ .‬נגדיר ריבוע החוסם את‬
‫יהי 𝐷 תחום במרחב ותהי פונקציה‬
‫התחום 𝐷 שצלעותיו מקבילות לצירים ונחלק אותו באופן הבא‪ :‬כמות הישרים המקבילים‬
‫לציר ה‪ 𝑥 -‬זהה לכמות הישרים המקבילים לציר ה‪ 𝑦 -‬וזהה לכמות הישרים המקבילים לציר‬
‫𝑧 כך שהקטעים שנקבעים על הצירים יהיו מאורך שווה עבור כל ציר‪ .‬חלוקה כזו תיתן שאם‬
‫כמות הישרים גדול המאוד אז תת המלבנים שיגדירו יהיו בעלי נפח קטן מאוד‪.‬‬
‫נתייחס לריבועים המוכלים ב‪ 𝐷 -‬ונניח כי קיימים 𝑛 מלבנים כאלה‪ .‬נבחר נקודה כלשהי‬
‫בריבוע ה‪ 𝑖 -‬ונסמן אותה‬
‫ואת נפח המלבן ב‪ ∆𝑉𝑖 -‬כך שמתקיים‪.∆𝑉𝑖 = 𝑥𝑖 ∙ 𝑦𝑖 ∙ 𝑧𝑖 :‬‬
‫𝑖𝑧 ‪𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ,‬‬
‫נניח כי קיים מספר 𝐼 כך שלכל ‪ 𝜀 > 0‬קיים ‪ 𝑛0 ∈ ℕ‬כך שאם 𝑛 > ‪ ,𝑛0‬אם מחלקים את 𝐷 כפי‬
‫שהוסבר‪ ,‬עבור כל נקודה נקבל‪𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 ∆𝑉𝑖 − 𝐼 < 𝜀 :‬‬
‫𝑛‬
‫𝑓 ‪𝑖=1‬‬
‫‪ .‬במקרה זה אומרים כי הפונקציה‬
‫𝑧 ‪ 𝑓 𝑥, 𝑦,‬אינטגרבילית בתחום 𝐷 ונגדיר‪𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝐼 :‬‬
‫ובסימון אחר‪𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 :‬‬
‫𝐷‬
‫‪,‬‬
‫𝐷‬
‫‪.‬‬
‫משפט‬
‫אם פונקציה‬
‫𝑧 ‪ 𝑓 𝑥, 𝑦,‬אינטגרבילית ב‪.𝐷 -‬‬
‫𝑧 ‪ 𝑓 𝑥, 𝑦,‬רציפה בתחום 𝐷 אזי‬
‫משפט – תכונות אינטגרל משולש‬
‫‪ .1‬אם‬
‫𝑧 ‪ 𝑓 𝑥, 𝑦,‬ו‪-‬‬
‫𝑧 ‪ 𝑔 𝑥, 𝑦,‬אינטגרבילית ב‪ ,𝐷 -‬אזי‬
‫𝑧 ‪ 𝑎𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 + 𝑏𝑔 𝑥, 𝑦,‬אינטגרבילית‬
‫ב‪ 𝐷 -‬לכל ‪ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ‬ומתקיים‪:‬‬
‫𝑏 ‪𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 +‬‬
‫𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧 ‪𝑔 𝑥, 𝑦,‬‬
‫𝐷‬
‫‪ .2‬אם‬
‫𝑎 = 𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧 ‪𝑎𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 + 𝑏𝑔 𝑥, 𝑦,‬‬
‫𝐷‬
‫𝐷‬
‫𝑧 ‪ 𝑓 𝑥, 𝑦,‬אינטגרבילית בתחומים ‪ 𝐷1‬ו‪ 𝐷2 -‬אזי‬
‫𝑧 ‪ 𝑓 𝑥, 𝑦,‬אינטגרבילית בתחום‬
‫‪( 𝐷 = 𝐷1 ∪ 𝐷2‬כאשר ∅ = ‪ )𝐷1 ∩ 𝐷2‬ומתקיים‪:‬‬
‫‪𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 +‬‬
‫𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬
‫‪𝐷2‬‬
‫‪ .3‬אם‬
‫𝑧 ‪ 𝑓 𝑥, 𝑦,‬ו‪-‬‬
‫= 𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬
‫𝐷‬
‫‪𝐷1‬‬
‫𝑧 ‪ 𝑔 𝑥, 𝑦,‬אינטגרבילית ב‪ 𝐷 -‬ולכל 𝐷 ∈ 𝑧 ‪𝑥, 𝑦,‬‬
‫מתקיים‬
‫𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 ≤ 𝑔 𝑥, 𝑦,‬‬
‫אז מתקיים‪:‬‬
‫≤ 𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬
‫𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧 ‪𝑔 𝑥, 𝑦,‬‬
‫𝐷‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐷‬
‫‪alonbaumann.math@gmail.com‬‬
‫חישוב האינטגרל המשולש‬
‫נחלק את חישוב האינטגרל המשולש לשני תחומים בסיסיים‪:‬‬
‫‪ .1‬אינטגרל משולש בתיבה‬
‫משפט‬
‫אם 𝑧 ‪ 𝑓 𝑥, 𝑦,‬רציפה בתיבה 𝑙 ‪( 𝐷 = 𝑎, 𝑏 𝑥 𝑐, 𝑑 𝑥 𝑘,‬כלומר 𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎‪ )𝑘 ≤ 𝑧 ≤ 𝑙 ,𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 ,‬אז‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫𝑙‬
‫𝑙‬
‫= 𝑦𝑑 𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬
‫𝑏‬
‫𝑑‬
‫𝑥𝑑‬
‫= 𝑦𝑑 𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬
‫𝑐‬
‫𝑏‬
‫𝑧𝑑‬
‫𝑘‬
‫𝑙‬
‫𝑥𝑑‬
‫𝑘‬
‫𝑧𝑑‬
‫𝑎‬
‫𝑙‬
‫= 𝑧𝑑 𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬
‫𝑎‬
‫𝑏‬
‫𝑘‬
‫𝑑‬
‫𝑦𝑑‬
‫𝑘‬
‫𝑙‬
‫= 𝑥𝑑 𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬
‫𝑏‬
‫𝑧𝑑‬
‫𝑥𝑑‬
‫𝑐‬
‫𝑑‬
‫𝑦𝑑‬
‫𝑘‬
‫𝑎‬
‫= 𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬
‫𝑎‬
‫𝑙‬
‫𝑏‬
‫= 𝑧𝑑 𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬
‫𝑐‬
‫𝑑‬
‫𝑥𝑑‬
‫𝑘‬
‫𝑏‬
‫𝑥𝑑 𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬
‫𝑦𝑑‬
‫=‬
‫𝑎‬
‫𝑑‬
‫𝑦𝑑‬
‫𝑎‬
‫𝐷‬
‫𝑐‬
‫𝑙‬
‫𝑧𝑑‬
‫𝑐‬
‫=‬
‫𝑘‬
‫‪ .2‬אינטגרל משולש בתחום נורמלי‬
‫משפט‬
‫אם 𝑧 ‪ 𝑓 𝑥, 𝑦,‬רציפה בתחום‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫𝑦 ‪𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑔1 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 𝑔2 𝑥 , 𝑕1 𝑥, 𝑦 ≤ 𝑧 ≤ 𝑕2 𝑥,‬‬
‫𝑧𝑑 𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬
‫𝑦‪𝑕 2 𝑥,‬‬
‫𝑦𝑑‬
‫𝑦‪𝑕 1 𝑥,‬‬
‫𝑥 ‪𝑔2‬‬
‫= 𝐷 אזי‬
‫𝑏‬
‫𝑥𝑑‬
‫𝑥 ‪𝑔1‬‬
‫= 𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬
‫𝑎‬
‫באופן כללי יותר ניתן להגדיר‪:‬‬
‫𝑦 ‪𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐷1 , 𝑕1 𝑥, 𝑦 ≤ 𝑧 ≤ 𝑕2 𝑥,‬‬
‫𝐷‬
‫𝑧 ‪𝑥, 𝑦,‬‬
‫=𝐷‬
‫כאשר ‪ 𝐷1‬הוא ההיטל של 𝐷 על המישור 𝑦 ‪ 𝑥 −‬אזי מתקיים‪:‬‬
‫𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧𝑑 𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬
‫𝑦‪𝑕 2 𝑥 ,‬‬
‫𝑦‪𝑕 1 𝑥,‬‬
‫= 𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬
‫𝐷‬
‫𝐷‬
‫)‪Z=f(x,y‬‬
‫)‪h2(x,y‬‬
‫‪D‬‬
‫)‪h1(x,y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪a‬‬
‫)‪g2(x‬‬
‫‪D1‬‬
‫)‪g1(x‬‬
‫‪b‬‬
‫‪x‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪2‬‬
‫‪alonbaumann.math@gmail.com‬‬
‫דוגמא‬
‫נחשב את האינטגרל 𝑉𝑑‬
‫‪−3‬‬
‫𝑧‪1+𝑥+𝑦+‬‬
‫𝐷‬
‫כאשר 𝐷 הוא גוף המוגבל ע"י מישורי הצירים‬
‫והמישור ‪.𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1‬‬
‫כדי לשרטט את 𝐷 נחשב את היטל המישור ‪ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1‬על המישורים 𝑦 ‪ 𝑦 − 𝑧 ,𝑥 −‬ו‪:𝑥 − 𝑧 -‬‬
‫אם ‪ 𝑧 = 0‬ונקבל ‪- 𝑦 = −𝑥 + 1‬ישר זה הוא החיתוך של המישור ‪ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1‬עם המישור 𝑦 ‪.𝑥 −‬‬
‫אם ‪ 𝑦 = 0‬ונקבל ‪- 𝑧 = −𝑥 + 1‬ישר זה הוא החיתוך של המישור ‪ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1‬עם המישור 𝑧 ‪.𝑥 −‬‬
‫אם ‪ 𝑥 = 0‬ונקבל ‪- 𝑧 = −𝑦 + 1‬ישר זה הוא החיתוך של המישור ‪ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1‬עם המישור 𝑧 ‪.𝑦 −‬‬
‫שרטוט התחום 𝐷‪:‬‬
‫‪z‬‬
‫‪z=-y+1‬‬
‫‪z=-x+1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y=-x+1‬‬
‫‪x‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫= 𝑧𝑑‬
‫‪−3‬‬
‫‪−𝑥+1‬‬
‫𝑦‪1−𝑥−‬‬
‫𝑦𝑑‬
‫𝑧‪1+𝑥+𝑦+‬‬
‫𝑥𝑑‬
‫‪0‬‬
‫‪−2‬‬
‫= 𝑦𝑑‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ln 2 −‬‬
‫‪2‬‬
‫‪16‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑦‪1+𝑥+‬‬
‫‪− +‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−𝑥+1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3 1 1‬‬
‫‪𝑥2 3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑥− +‬‬
‫= 𝑥𝑑‬
‫𝑥 ‪− 𝑥 + ln 1 +‬‬
‫‪8‬‬
‫𝑥‪8 2 1+‬‬
‫‪16 8‬‬
‫‪2‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪0‬‬
‫𝑦‪−2 1−𝑥−‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑥𝑑‬
‫‪1‬‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫𝑥‪−1 1−‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐷‬
‫𝑧‪1+𝑥+𝑦+‬‬
‫‪−2‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫= 𝑉𝑑‬
‫‪−3‬‬
‫𝑧‪1+𝑥+𝑦+‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−𝑥+1‬‬
‫𝑦𝑑‬
‫‪1‬‬
‫𝑥𝑑‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑦‪1+𝑥+‬‬
‫‪𝑑𝑥 − 𝑦 +‬‬
‫‪8‬‬
‫‪−2‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫‪alonbaumann.math@gmail.com‬‬
‫החלפת משתנים‬
‫כאשר תחום האינטגרציה 𝐷 אינו תיבה או נורמלי יש לבצע החלפת משתנים‪.‬‬
‫הגדרה – החלפת משתנים‬
‫החלפת משתנים היא העתקה ‪ 𝜑: 𝐻 ⊆ ℝ3 → ℝ3‬כאשר‬
‫𝑤 ‪𝜑 𝑢, 𝑣, 𝑤 = 𝑥 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑦 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑧 𝑢, 𝑣,‬‬
‫המוגדרת בתחום פתוח 𝑈 המכיל את 𝐻 ומקיימת‪:‬‬
‫𝑤 ‪,𝑥 𝑢, 𝑣,‬‬
‫‪ .1‬הפונקציות‬
‫𝑤 ‪ 𝑦 𝑢, 𝑣,‬ו‪-‬‬
‫𝑤 ‪ 𝑧 𝑢, 𝑣,‬בעלות נגזרות חלקיות רציפות מסדר ראשון‬
‫ב‪. 𝑈 -‬‬
‫‪ .2‬הפונקציה‬
‫𝑤 ‪ 𝜑 𝑢, 𝑣,‬היא חד‪-‬חד‪-‬ערכית‬
‫‪ .3‬היעקוביאן‪:‬‬
‫𝑤𝑥‬
‫‪𝑦𝑤 ≠ 0‬‬
‫𝑤𝑧‬
‫𝑣𝑥‬
‫𝑣𝑦‬
‫𝑣𝑧‬
‫𝑢𝑥‬
‫𝑢𝑦 =‬
‫𝑢𝑧‬
‫𝑧‪𝐷 𝑥 ,𝑦,‬‬
‫𝑤‪𝜑 𝑢,𝑣,‬‬
‫= 𝑤 ‪ 𝐽 𝑢, 𝑣,‬לכל 𝑈 ∈ 𝑤 ‪𝑢, 𝑣,‬‬
‫משפט‬
‫בתנאיי ההגדרה הקודמת‪ ,‬קיימת העתקה הפוכה‬
‫הפונקציות‬
‫‪1‬‬
‫𝑤‪𝐽 𝑢,𝑣,‬‬
‫𝑤 ‪,𝑥 𝑢, 𝑣,‬‬
‫= 𝑧 ‪ 𝐽 𝑥, 𝑦,‬לכל‬
‫𝑤 ‪ 𝑦 𝑢, 𝑣,‬ו‪-‬‬
‫𝑧 ‪𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑣 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑤 𝑥, 𝑦,‬‬
‫‪−1‬‬
‫𝜑 כאשר‬
‫𝑤 ‪ 𝑧 𝑢, 𝑣,‬בעלות נגזרות חלקיות רציפות ומתקיים‪:‬‬
‫𝑧 ‪𝑥, 𝑦,‬‬
‫משפט‬
‫אם 𝑓 אינטגרבילית בתחום חסום וסגור 𝐷 בעך נפח 𝑉 שתמונתו 𝐻 היא גם נפח אזי‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫𝑤𝑑𝑣𝑑𝑢𝑑 𝑤 ‪𝐽 𝑢, 𝑣,‬‬
‫= 𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬
‫𝑧 ‪𝑓 𝑥 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑦 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑤 𝑥, 𝑦,‬‬
‫𝐻‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪4‬‬
‫𝐷‬
‫‪alonbaumann.math@gmail.com‬‬
‫החלפות משתנים נפוצות‪:‬‬
‫‪ .1‬החלפת משתנים גלילית‬
‫𝜃 𝑠𝑜𝑐𝑟 = 𝑧 ‪𝑥 𝑟, 𝜃,‬‬
‫‪z‬‬
‫נגדיר העתקה ע"י‪ , 𝑥, 𝑦, 𝑧 → 𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃, 𝑟𝑠𝑖𝑛 𝜃, 𝑧 :‬כך ש‪𝑦 𝑟, 𝜃, 𝑧 = 𝑟𝑠𝑖𝑛 𝜃 -‬‬
‫𝑧 = 𝑧 ‪𝑧 𝑟, 𝜃,‬‬
‫)‪P(x,y,z‬‬
‫ומתקיים‪:‬‬
‫𝜋‪𝑥, 𝑦, 𝑧 |𝑟 > 0,0 ≤ 𝜃 ≤ 2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 =𝑟≠0‬‬
‫‪1‬‬
‫𝜃 𝑛𝑖𝑠𝑟‪−‬‬
‫𝜃 𝑠𝑜𝑐𝑟‬
‫‪0‬‬
‫𝑧𝑥‬
‫𝜃 𝑠𝑜𝑐‬
‫= 𝑧𝑦‬
‫𝜃 𝑛𝑖𝑠‬
‫𝑧𝑧‬
‫‪0‬‬
‫=𝑈‬
‫𝜃𝑥‬
‫𝜃𝑦‬
‫𝜃𝑧‬
‫‪y‬‬
‫‪r‬‬
‫‪θ‬‬
‫𝑟𝑥‬
‫=𝐽‬
‫𝑟𝑦 =‬
‫𝑧 ‪𝜑 𝑟, 𝜃,‬‬
‫𝑟𝑧‬
‫𝑧 ‪𝐷 𝑥, 𝑦,‬‬
‫‪x‬‬
‫חישוב האינטרגל יתבצע באופן הבא‪:‬‬
‫𝑧𝑑 𝑟 𝑧 ‪𝑓 𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃, 𝑟𝑠𝑖𝑛 𝜃,‬‬
‫𝜃‪𝜓 2 𝑟,‬‬
‫𝑟𝑑‬
‫𝜃‪𝜓 1 𝑟,‬‬
‫𝜃 ‪𝑟2‬‬
‫𝜃𝑑‬
‫𝜃 ‪𝑟1‬‬
‫‪𝜃2‬‬
‫= 𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬
‫𝐷‬
‫‪𝜃1‬‬
‫‪ .2‬החלפת משתנים כדורית‬
‫𝜑 ‪𝑥 𝑟, 𝜃, 𝜑 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 sin‬‬
‫נגדיר העתקה ע"י‪ , 𝑥, 𝑦, 𝑧 → 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 sin 𝜑 , 𝑟𝑠𝑖𝑛 𝜃 sin 𝜑 , 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 :‬כך ש‪𝑦 𝑟, 𝜃, 𝜑 = 𝑟𝑠𝑖𝑛 𝜃 sin 𝜑 -‬‬
‫𝜑𝑠𝑜𝑐𝑟 = 𝜑 ‪𝑧 𝑟, 𝜃,‬‬
‫ומתקיים‪:‬‬
‫𝜋‪𝑥, 𝑦, 𝑧 |𝑟 > 0,0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋, ,0 ≤ 𝜑 ≤ 2‬‬
‫𝜑𝑠𝑜𝑐𝜃 𝑠𝑜𝑐𝑟‬
‫‪𝑟𝑠𝑖𝑛 𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 = 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛𝜑 ≠ 0‬‬
‫𝜑𝑠𝑜𝑐𝑟‪−‬‬
‫𝜑 ‪−𝑟𝑠𝑖𝑛 𝜃 sin‬‬
‫𝜑𝑠𝑜𝑐𝜃 𝑠𝑜𝑐𝑟‬
‫‪0‬‬
‫𝜑𝑥‬
‫𝜑𝑠𝑜𝑐𝜃 𝑠𝑜𝑐‬
‫𝜑 ‪𝑦 𝜑 = 𝑠𝑖𝑛 𝜃 sin‬‬
‫𝜑𝑧‬
‫𝜑𝑠𝑜𝑐‬
‫=𝑈‬
‫𝜃𝑥‬
‫𝜃𝑦‬
‫𝜃𝑧‬
‫‪z‬‬
‫𝑟𝑥‬
‫=𝐽‬
‫𝑟𝑦 =‬
‫𝜑 ‪𝜑 𝑟, 𝜃,‬‬
‫𝑟𝑧‬
‫𝑧 ‪𝐷 𝑥, 𝑦,‬‬
‫)‪P(x,y,z‬‬
‫‪φ‬‬
‫‪y‬‬
‫‪r‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪x‬‬
‫חישוב האינטרגל יתבצע באופן הבא‪:‬‬
‫𝑧𝑑 𝜑𝑛𝑖𝑠 ‪𝑓 𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃, 𝑟𝑠𝑖𝑛 𝜃, 𝑧 𝑟 2‬‬
‫𝜃‪𝜓 2 𝑟,‬‬
‫𝜃‪𝜓 1 𝑟,‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫𝑟𝑑‬
‫𝜃 ‪𝑟2‬‬
‫𝜃 ‪𝑟1‬‬
‫𝜃𝑑‬
‫‪𝜃2‬‬
‫‪𝜃1‬‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪5‬‬
‫= 𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬
‫𝐷‬
‫‪alonbaumann.math@gmail.com‬‬
‫דוגמא‬
‫נחשב את האינטגרל 𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 ‪𝑥 2‬‬
‫‪𝑧 = 9 − 𝑥 2 + 𝑦2‬‬
‫כאשר 𝐷 הוא גוף החסום ע"י המשטחים‬
‫𝐷‬
‫ו‪. 𝑧 = 0 -‬‬
‫הגוף 𝐷‪:‬‬
‫היטל הגוף 𝐷 על‬
‫המישור 𝑦 ‪:𝑥 −‬‬
‫נבצע החלפת משתנים גלילית כאשר‪:‬‬
‫‪0≤𝑟≤3‬‬
‫‪z‬‬
‫‪y‬‬
‫𝜋‪0 ≤ 𝜃 ≤ 2‬‬
‫‪9‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0 ≤ 𝑧 ≤ 9 − 𝑥 2 + 𝑦2 = 9 − 𝑟2‬‬
‫‪D‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫= 𝑧𝑑 𝜃 ‪𝑟 3 �𝑐𝑜𝑠 2‬‬
‫‪9−𝑟 2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪9𝑟 4 𝑟 6‬‬
‫𝜃 𝑠𝑜𝑐 𝜃𝑑‬
‫‪−‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫𝑟𝑑‬
‫𝜋‪2‬‬
‫𝜋‪2‬‬
‫𝜃𝑑‬
‫‪0‬‬
‫‪5‬‬
‫= 𝑧𝑑 𝑟 𝜃 ‪𝑟 2 �𝑐𝑜𝑠 2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫= 𝑟𝑑 𝑟 ‪�𝑐𝑜𝑠 𝜃 9𝑟 −‬‬
‫‪0‬‬
‫𝜋‪2‬‬
‫𝜋‪= 60.75‬‬
‫‪0‬‬
‫‪9−𝑟 2‬‬
‫𝜋‪2‬‬
‫𝜃𝑑‬
‫‪0‬‬
‫=‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪6‬‬
‫𝜃𝑑‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫𝐷‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫𝜋‪2‬‬
‫𝑟 ‪𝑑𝑟 𝑟 �𝑐𝑜𝑠 𝜃 9 −‬‬
‫‪0‬‬
‫𝜃‪1 + cos 2‬‬
‫𝜃‪sin 2‬‬
‫‪𝑑𝜃 = 30.375 𝜃 +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪3‬‬
‫𝑟𝑑‬
‫𝜋‪2‬‬
‫= 𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 ‪𝑥 2‬‬
‫𝜃𝑑‬
‫‪0‬‬
‫𝜋‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪𝑐𝑜𝑠 2 𝜃𝑑𝜃 = 60.75‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫𝜋‪2‬‬
‫‪= 60.75‬‬
‫‪0‬‬
‫‪alonbaumann.math@gmail.com‬‬
‫שימושים של אינטגרל משולש‬
‫‪ .1‬חישוב נפחים – נפח של גוף 𝐺 נתון ע"י‪:‬‬
‫=𝑉‬
‫𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬
‫𝐷‬
‫‪ .2‬מסה של גוף – אם לגוף יש צפיפות שאינה קבועה במרחב 𝐷‪ ,‬נגדיר פונקציית‬
‫צפיפות התלויה בקואורדינטות 𝑥‪ 𝑦 ,‬ו‪ 𝑧 -‬ע"י‪:‬‬
‫נתונה ע"י‪:‬‬
‫𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧 ‪𝜌 𝑥, 𝑦,‬‬
‫𝑧 ‪ 𝜌 𝑥, 𝑦,‬כך שהמסה הכוללת שלו‬
‫=𝑀‬
‫𝐷‬
‫מרכז הכובד של הגוף מתקבל בנקודה‬
‫𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧 ‪𝑥𝜌 𝑥, 𝑦,‬‬
‫𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧 ‪𝜌 𝑥, 𝑦,‬‬
‫𝐷‬
‫;‬
‫= ‪𝑥0‬‬
‫𝐷‬
‫‪𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0‬‬
‫𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧 ‪𝑦𝜌 𝑥, 𝑦,‬‬
‫𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧 ‪𝜌 𝑥, 𝑦,‬‬
‫𝐷‬
‫כאשר‪:‬‬
‫= ‪𝑦0‬‬
‫;‬
‫𝐷‬
‫𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧 ‪𝑧𝜌 𝑥, 𝑦,‬‬
‫𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑧 ‪𝜌 𝑥, 𝑦,‬‬
‫𝐷‬
‫= ‪𝑧0‬‬
‫𝐷‬
‫תרגילים‬
‫‪ .1‬חשב 𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑦𝑥 𝑛𝑖𝑠𝑧𝑥‬
‫‪ .2‬חשב 𝑉𝑑𝑦‪3‬‬
‫כאשר‬
‫𝐷‬
‫‪,0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋 ,0 ≤ 𝑧 ≤ 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫≤ 𝑥 ≤ | 𝑧 ‪𝑥, 𝑦,‬‬
‫= 𝐷‪.‬‬
‫כאשר 𝐷 מוגבל ע"י הגליל ‪ 𝑧 = 1 − 𝑥 2‬והמישורים ‪𝑦 = 0 ,𝑧 = 0‬‬
‫𝐷‬
‫ו‪. 𝑧 + 𝑦 = 2 -‬‬
‫‪ .3‬חשב 𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧𝑦𝑥‬
‫𝐷‬
‫כאשר ‪𝑥, 𝑦, 𝑧 |𝑥 2 + 𝑥 2 + 𝑥 2 ≤ 0, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 ≥ 𝑧 ≥ 0‬‬
‫= 𝐷‪.‬‬
‫פתרונות‬
‫‪.1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪12‬‬
‫‪+‬‬
‫‪3−2‬‬
‫𝜋‪4‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪368‬‬
‫‪70‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪36‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪7‬‬
‫‪alonbaumann.math@gmail.com‬‬

Similar documents