הגדרות ומשפטים - אלון באומן – שיעורים פרטיים ומרתונים

‫אלגברה לינארית – הגדרות ומשפטים‬
‫פרק ‪ – 5‬מרחבים וקטורים א'‬
‫הגדרה ‪ – 5.1‬מרחב וקטורי‬
‫מרחב וקטורי הוא קבוצה של איברים יחד עם פעולת חיבור וכפל בסקלר המקיימים את‬
‫התכונות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬סגירות לחיבור – לכל 𝑉 ∈ 𝑦 ‪ 𝑥,‬מתקיים 𝑉 ∈ 𝑦 ‪ .𝑥 +‬תכונות‪:‬‬
‫א‪ .‬לכל 𝑉 ∈ 𝑦 ‪ 𝑥,‬מתקיים 𝑥 ‪𝑥 + 𝑦 = 𝑦 +‬‬
‫ב‪ .‬לכל 𝑉 ∈ 𝑧 ‪ 𝑥, 𝑦,‬מתקיים 𝑧 ‪𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 +‬‬
‫ג‪ .‬קיים איבר ‪ 0‬המקיים 𝑥 = ‪ 0 + 𝑥 = 𝑥 + 0‬לכל 𝑉 ∈ 𝑥‬
‫ד‪ .‬לכל 𝑉 ∈ 𝑥 קיים איבר נגדי 𝑥 – המקיים ‪– 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 + – 𝑥 = 0‬‬
‫‪ .2‬סגירות לכפל בסקלר – לכל 𝑉 ∈ 𝑥 ולכל 𝐹 ∈ ‪ α‬מתקיים 𝑉 ∈ 𝑥‪ .α‬תכונות‪:‬‬
‫א‪ .‬לכל 𝑉 ∈ 𝑥 ולכל שני סקלרים 𝐹 ∈ 𝛽 ‪ α,‬מתקיים‪:‬‬
‫𝑥𝛽 𝑎 = 𝑥 𝛽‪α‬‬
‫ב‪ .‬לכל 𝑉 ∈ 𝑦 ‪ 𝑥,‬ולכל 𝐹 ∈ ‪ α‬מתקיים‪α 𝑥 + 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 :‬‬
‫ג‪ .‬לכל 𝑉 ∈ 𝑥 ולכל שני סקלרים 𝐹 ∈ 𝛽 ‪ α,‬מתקיים‪α + 𝛽 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝛽𝑦 :‬‬
‫ד‪ .‬לכל 𝑉 ∈ 𝑥 מתקיים‪– 1 𝑥 = −𝑥 :‬‬
‫‪1𝑥 = 𝑥 ,‬‬
‫מרחבים וקטורים נפוצים‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫𝑛‪– 𝑉 = ℝ‬‬
‫𝑛‪– 𝑉 = ℂ‬‬
‫𝐹‬
‫𝑛𝑥𝑚‪𝑉 = ℳ‬‬
‫‪𝑉 = 𝑃𝑛 ℝ‬‬
‫המרחב האוקלידי ה‪ 𝑛-‬מימדי מעל שדה המספרים הממשיים‬
‫המרחב האוקלידי ה‪ 𝑛-‬מימדי מעל שדה המספרים המרוכבים‬
‫– מרחב המטריצות מסדר 𝑛𝑥𝑚 מעל שדה 𝐹‬
‫‪ -‬מרחב הפולינומים ממעל קטנה שווה ‪ 𝑛 − 1‬מעל שדה המספרים הממשיים‬
‫הגדרה ‪ – 5.2‬תת מרחב וקטורי‬
‫יהי 𝑉 מרחב וקטורי‪ .‬תהי 𝑊 תת קבוצה לא ריקה של 𝑉‪ .‬אז 𝑊 הוא תת מרחב של 𝑉 אם‪:‬‬
‫א‪ .‬לכל 𝑊 ∈ 𝑦 ‪ 𝑥,‬מתקיים 𝑊 ∈ 𝑦 ‪𝑥 +‬‬
‫ב‪ .‬לכל 𝑊 ∈ 𝑥 ולכל 𝐹 ∈ ‪ α‬מתקיים 𝑊 ∈ 𝑥‪α‬‬
‫הגדרה ‪ – 5.3‬צירוים לינאריים‬
‫יהי 𝑉 מרחב וקטורי ותהי‬
‫𝑘𝑥 ‪ 𝑆 = 𝑥1 , 𝑥2 , … ,‬קבוצה של 𝑘 וקטורים מתוך 𝑉‪ .‬הוקטור 𝑉 ∈ 𝑥‬
‫נקרא צירוף לינארי של הקבוצה 𝑆 אם קיימים סקלרים 𝑘‪ α1 , α2 , … , α‬כך ש‪:‬‬
‫𝑘𝑥 𝑘‪𝑥 = α1 𝑥1 + α2 𝑥2 + ⋯ + α‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪1‬‬
‫‪alonbaumann.math@gmail.com‬‬
‫טענה ‪5.4‬‬
‫יהי 𝑉 מרחב וקטורי ותהי‬
‫𝑘𝑥 ‪ 𝑆 = 𝑥1 , 𝑥2 , … ,‬קבוצה של 𝑘 וקטורים מתוך 𝑉‪ .‬הקבוצה‬
‫𝐹 ∈ 𝑘‪ 𝑊 = α1 𝑥1 + α2 𝑥2 + ⋯ + α𝑘 𝑥𝑘 |α1 , α2 , … , α‬היא תת מרחב של 𝑉‪.‬‬
‫תת מרחב זה מסומן 𝑆 𝑝𝑠 = 𝑊‪ ,‬ונאמר ש‪ 𝑊 -‬הוא תת מרחב הנפרש ע"י הקבוצה 𝑆‪ ,‬והקבוצה‬
‫𝑆 פורשת את התת מרחב 𝑊‪.‬‬
‫הגדרה ‪ – 5.5‬תלות לינארית‬
‫תהי‬
‫𝑘𝑥 ‪ 𝑆 = 𝑥1 , 𝑥2 , … ,‬קבוצה של 𝑘 וקטורים מתוך 𝑉‪ .‬נאמר ש‪ 𝑆 -‬קבוצה תלויה לינארית (או‬
‫שנאמר הוקטורים 𝑘𝑥 ‪ 𝑥1 , 𝑥2 , … ,‬תלויים לינארית) אם קיימים סקלרים 𝑘‪ α1 , α2 , … , α‬כאשר לפחות‬
‫אחד מהם שונה מאפס‪ ,‬כך ש‪α1 𝑥1 + α2 𝑥2 + ⋯ + α𝑘 𝑥𝑘 = 0 :‬‬
‫הגדרה ‪ – 5.6‬אי תלות לינארית‬
‫תהי 𝑘𝑥 ‪ 𝑆 = 𝑥1 , 𝑥2 , … ,‬קבוצה של 𝑘 וקטורים מתוך 𝑉‪ .‬נאמר ש‪ 𝑆 -‬קבוצה בלתי תלויה‬
‫לינארית (או שנאמר הוקטורים 𝑘𝑥 ‪ 𝑥1 , 𝑥2 , … ,‬בלתי תלויים לינארית) אם מתקיים‬
‫‪ α1 𝑥1 + α2 𝑥2 + ⋯ + α𝑘 𝑥𝑘 = 0‬רק עבור ‪.α1 = 0, α2 = 0, … , α𝑘 = 0‬‬
‫הגדרה ‪ – 5.7‬בסיס‬
‫קבוצה פורשת ובלתי תלויה לינארית היא בסיס של המרחב או התת מרחב אותו היא פורשת‬
‫משפט ‪5.8‬‬
‫𝑛𝑥 ‪ 𝐵 = 𝑥1 , 𝑥2 , … ,‬בסיס ל‪ .𝑉 -‬תהי‬
‫יהי 𝑉 מרחב וקטורי ויהי‬
‫וקטורים מתוך 𝑉‪ .‬אזי‪:‬‬
‫א‪ .‬אם 𝑛 > 𝑘 אז הקבוצה 𝑆 תלויה לינארית‬
‫ב‪ .‬אם 𝑛 < 𝑘 אז הקבוצה 𝑆 לא פורשת את 𝑉‬
‫𝑘𝑦 ‪ 𝑆 = 𝑦1 , 𝑦2 , … ,‬קבוצה של 𝑘‬
‫משפט ‪5.9‬‬
‫𝑛𝑥 ‪ 𝐵 = 𝑥1 , 𝑥2 , … ,‬בסיס ל‪ .𝑉 -‬תהי‬
‫יהי 𝑉 מרחב וקטורי ויהי‬
‫וקטורים מתוך 𝑉‪ .‬אזי‪:‬‬
‫א‪ .‬אם 𝑆 קבוצה בלתי תלויה לינארית אז 𝑛 ≤ 𝑘‬
‫ב‪ .‬אם 𝑆 פורשת את 𝑉 אז 𝑛 ≥ 𝑘‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑘𝑦 ‪ 𝑆 = 𝑦1 , 𝑦2 , … ,‬קבוצה של 𝑘‬
‫‪alonbaumann.math@gmail.com‬‬