פונקציות של מספר משתנים - 2 פרק - אלון באומן – שיעורים פרטיים ומרתונים

‫פרק ‪ - 2‬פונקציות של מספר משתנים‬
‫בפרק זה נעסוק בפונקציות שתחומן מורכב מזוגות סדורים של מספרים ממשיים או משלשה‬
‫סדורה של מספרים ממשיים‪.‬‬
‫הגדרה‬
‫פונקציה 𝑓 של ‪ 2‬או ‪ 3‬משתנים מוגדרת ע"י ‪ 𝑓: 𝐷 → ℝ‬כאשר‪:‬‬
‫א‪ - 𝐷 ⊆ ℝ2 .‬התחום הוא זוגות סדורים ‪(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2‬‬
‫או‬
‫ב‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ - 𝐷 ⊆ ℝ‬התחום הוא שלשות סדורות‬
‫‪3‬‬
‫‪(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ‬‬
‫דוגמאות‬
‫‪.𝑓 𝑥, 𝑦 = ln 𝑦 − 𝑥 2 − 1‬‬
‫‪ .1‬נתונה הפונקציה ‪ 𝑓: 𝐷 ⊆ ℝ2 → ℝ‬המוגדרת ע"י‪:‬‬
‫תחום ההגדרה של הפונקציה הוא‪ 𝑦 − 𝑥 2 − 1 > 0 :‬כלומר ‪,𝑦 > 𝑥 2 + 1‬‬
‫ולכן‪𝑥, 𝑦 |𝑦 > 𝑥 2 + 1 :‬‬
‫= 𝐷‪ .‬נשרטט את התחום 𝐷‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫‪D‬‬
‫‪x‬‬
‫𝑦𝑥‪ln 4−‬‬
‫‪ .2‬נתונה הפונקציה ‪ 𝑓: 𝐷 ⊆ ℝ2 → ℝ‬המוגדרת ע"י‪:‬‬
‫𝑦𝑥‬
‫= 𝑦 ‪.𝑓 𝑥,‬‬
‫תחום ההגדרה של הפונקציה הוא‪ 4 − 𝑥𝑦 > 0 :‬וגם ‪.𝑥𝑦 > 0‬‬
‫ולכן‪ 𝑥𝑦 < 4 :‬וגם ‪𝑥, 𝑦 |𝑥𝑦 > 0‬‬
‫= 𝐷‪ .‬נשרטט את התחום 𝐷‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫‪xy=4‬‬
‫‪D‬‬
‫‪x‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪D‬‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪1‬‬
‫‪xy=4‬‬
‫‪alonbaumann.math@gmail.com‬‬
‫‪ .3‬נתונה הפונקציה ‪ 𝑓: 𝐷 ⊆ ℝ3 → ℝ‬המוגדרת ע”י‪𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 :‬‬
‫= 𝑧 ‪.𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬
‫תחום ההגדרה של הפונקציה הוא‪.𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 > 0 :‬‬
‫ולכן‪𝑥, 𝑦, 𝑧 |𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 > 0 :‬‬
‫= 𝐷‪ .‬נשרטט את התחום 𝐷‪:‬‬
‫פונקציות בשני משתנים ‪𝑓(𝑥, 𝑦) -‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪ .𝑓: 𝐷 ⊆ ℝ2 → ℝ‬גרף הפונקציה )𝑦 ‪ 𝑓(𝑥,‬מורכב מאוסף כל הנקודות‬
‫𝑦 ‪ , 𝑥, 𝑦, 𝑓 𝑥,‬כאשר לכל נקודה 𝐷 ∈ )𝑦 ‪ (𝑥,‬מותאם ערך )𝑦 ‪ 𝑓(𝑥,‬המייצג את גובה הפונקציה‬
‫במרחב‪.‬‬
‫בצורה גרפית‪ ,‬עבור כל נקודה )𝑦 ‪ (𝑥,‬במשטח 𝐷 נתון כלשהו במישור 𝑦 ‪ ,𝑥 −‬מתאימה‬
‫הפונקציה 𝑓 ערך כלשהו במרחב‪ .‬כלל הנקודות שמתאימה הפונקציה 𝑓 יוצרות משטח במרחב‪.‬‬
‫)‪Z=f(x,y‬‬
‫)‪f(x,y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪D‬‬
‫)‪(x,y‬‬
‫‪x‬‬
‫הגדרה – קווי גובה של פונקציה )𝒚 ‪𝒇(𝒙,‬‬
‫תהי פונקציה ‪ 𝑓: 𝐷 ⊆ ℝ2 → ℝ‬ומספר ממשי ‪ .𝑘 ∈ ℝ‬נגדיר קבוצה 𝐷 ⊆ 𝑘 = 𝑦 ‪𝑥, 𝑦 |𝑓 𝑥,‬‬
‫= 𝑘𝐶‪.‬‬
‫הקבוצה 𝑘𝐶 היא כל הנקודות בתחום 𝐷 שהפונקציה 𝑓 מתאימה להן את אותו הערך 𝑘‪.‬‬
‫קבוצה 𝑘𝐶 נקראת קו גובה 𝑘 של הפונקציה‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫𝑦 ‪.𝑓 𝑥,‬‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪2‬‬
‫‪alonbaumann.math@gmail.com‬‬
‫דוגמא‬
‫נשרטט את מפת קווי הגובה של הפונקציה ‪𝑥 2 + 𝑦 2‬‬
‫נמצא את הקבוצה 𝑘𝐶 עבור הפונקציה הנתונה‪:‬‬
‫כלומר‪ ,‬קו הגובה 𝑘 של הפונקציה ‪𝑥 2 + 𝑦 2‬‬
‫= 𝑦 ‪.𝑓 𝑥,‬‬
‫‪𝑥, 𝑦 |𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑘 2‬‬
‫= 𝑘 = ‪𝑥, 𝑦 | 𝑥 2 + 𝑦 2‬‬
‫= 𝑘𝐶‪.‬‬
‫= 𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬הוא מעגל ברדיוס 𝑘 סביב ראשית‬
‫הצירים‪ .‬נמצא מספר קווי גובה עבור ערכי 𝑘 שונים ונשרטט אותם במישור 𝑦 ‪:𝑥 −‬‬
‫עבור ‪ 𝑘 = 0‬נקבל מעגל ברדיוס אפס‪ ,‬כלומר ‪. 𝑥, 𝑦 = 0‬‬
‫עבור ‪ 𝑘 = 1‬נקבל מעגל ברדיוס ‪ ,1‬כלומר ‪.𝑥 2 + 𝑦 2 = 1‬‬
‫וכן הלאה עבור ‪ 𝑘 > 0‬נקבל מעגל ברדיוס 𝑘‪ ,‬כלומר ‪.𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑘 2‬‬
‫מפת קווי הגובה של הפונקציה ‪𝑥 2 + 𝑦 2‬‬
‫= 𝑦 ‪:𝑓 𝑥,‬‬
‫‪y‬‬
‫‪K=2‬‬
‫‪K=1‬‬
‫‪K=0‬‬
‫‪x‬‬
‫ברור כי קיימים אינסוף קווי גובה מעגליים‬
‫ברדיוסים שונים‪.‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪3‬‬
‫‪alonbaumann.math@gmail.com‬‬