docטורים של מספרים חיוביים - 1 פרק - אלון באומן – שיעורים פרטיים ומרתונים
download 
Report Transcription
טורים של מספרים חיוביים - 1 פרק - אלון באומן – שיעורים פרטיים ומרתונים
פרק - 1טורים של מספרים חיוביים 𝑛𝑎 בהינתן סדרת מספרים ממשיים באופן הבא: מגדירים סדרה חדשה ,אותה נסמן 𝑛𝑆 והיא מוגדרת = 𝑎1 = 𝑎1 + 𝑎2 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 ⋮ 𝑛𝑎 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + כלומר ,כל איבר 𝑖𝑆 בסדרה 𝑛𝑆 הוא סכום 𝑖 איברים ראשונים של הסדרה הסדרה 𝑛𝑆 נקראית סדרת הסכומים החלקיים של איברי הסדרה 𝑛𝑎 . 𝑆1 𝑆2 𝑆3 ⋮ 𝑛𝑆 𝑛𝑎 . נסמן 𝑆 = 𝑛𝑆 ∞→𝑛 limונגדיר טור של מספרים כסכום אינסופי של איברי הסדרה הבא: 𝑛𝑎 באופן ∞ )∗( 𝑆 = ⋯ 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑛=1 נפריד .1 .2 .3 למספר מקרים: אם 𝑆 מספר סופי ,אז נגיד כי הטור )∗( מתכנס. אם 𝑆 הוא אינסופי (חיובי או שלילי) ,אז נגיד כי הטור )∗( מתבדר. אם 𝑆 לא קיים אז נגיד כי הטור )∗( מתבדר. במילים אחרות ,כדי לבדוק האם טור מתכנס או מתבדר ,יש לחשב את האיבר ה-𝑛-י של סדרת הסכומים החלקיים שלו 𝑛𝑆 ,כלומר את 𝑛𝑆 .לאחר מכן לחשב את גבול האיבר ה-𝑛-י כאשר ∞ → 𝑛 .לפי תוצאת הגבול נדע האם הטור מתכנס או מתבדר. תרגילים בדוק התכנסות או התבדרות של הטורים הבאים: .1 .2 .3 𝑛 −1 ∞ 𝑛=1 1 ∞ 𝑛=1 𝑛 𝑛+1 (מתקיים: 1 1 𝑛+1 𝑛 = − 1 𝑛 𝑛+1 ) ∞ 𝑛 𝑛=1 פתרונות .1מתבדר .2מתכנס1 , .3מתבדר © באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים 054-5-290106 1 alonbaumann.math@gmail.com טורי מספרים בהם ניתן להגיע לנוסחת האיבר ה-𝑛-י של סדרת הסכומים החלקיים שלו 𝑛𝑆 : .1טור הנדסי (גיאומטרי) טור הנדסי (גיאומטרי) הוא טור מהצורה ∞ 𝑛 𝑞 𝑛=1 כאשר 𝑞 מספר ממשי קבוע. האיבר ה-𝑛-י של סדרת הסכומים החלקיים של טור הנדסי הוא: 𝑞𝑞 𝑛 +1 − 𝑞−1 = 𝑛𝑆. תנאי להתכנסות טור הנדסי: א .כאשר −1 < 𝑞 < 1הטור מתכנס ,ומתקיים: 𝑞 𝑞1− = ∞ 𝑛 𝑞 𝑛=1 ב .כאשר 𝑞 ≤ 1הטור מתבדר .2טור טלסקופי טור טלסקופי הוא טור מהצורה − 𝑏𝑛+1 ∞ 𝑛𝑏 𝑛=1 האיבר ה-𝑛-י של סדרת הסכומים החלקיים של טור טלסקופי הוא𝑆𝑛 = 𝑏1 − 𝑏𝑛+1 : תנאי להתכנסות טור הנדסי: הטור − 𝑏𝑛+1 ∞ 𝑛𝑏 𝑛=1 מתכנס כאשר הגבול lim𝑛→∞ 𝑏𝑛+1סופי. תרגילים בדוק התכנסות או התבדרות של הטורים הבאים .במידה והטור מתכנס חשב את סכום הטור. .1 ∞ 𝑛 𝑛=1 1 .2 𝑛 .3 .4 −2 𝑛 1 2 − ∞ 𝑛=1 ∞ 𝑛 𝑒 𝑛=1 − 3𝑛 . 5 .6 ∞ 𝑛=1 ∞ 𝑛+1 𝑛=1 3 1 𝑛+1 2 1− ∞ 𝑛=1 ln פתרונות .1מתבדר .2מתבדר .3מתכנס, © באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים 1 3 − .4מתבדר 054-5-290106 2 .5מתבדר .6מתכנס, 1 2 ln alonbaumann.math@gmail.com משפט -תנאי הכרחי להתכנסות של טור ∞ 𝑛𝑎 𝑛=1 אם הטור מתכנס ,אזי lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 0 הוכחה נתבונן באיבר ה-𝑛-י של סדרת הסכומים החלקיים ∞ 𝑛𝑎 𝑛=1 הטור 𝑛𝑆 .𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 : מתכנס ,ולכן 𝑆 = 𝑛𝑆 ∞→𝑛( limוגם 𝑆 = )lim𝑛→∞ 𝑆𝑛+1כאשר 𝑆 סופי. מתקיים: 𝑆𝑛+1 − 𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛+1 − 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛 +1 lim 𝑆𝑛+1 − 𝑆𝑛 = lim 𝑎𝑛+1 ∞→𝑛 ∞→𝑛 ולכן lim𝑛→∞ 𝑎𝑛+1 = 0ומכאן lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 0 תרגילים בדוק האם בהכרח הטורים הבאים מתכנסים או מתבדרים: .1 .2 .3 1 𝑛2 + ∞ 𝑛=1 1 ∞ 1 𝑛 𝑛=1 𝑛1+ ∞ 𝑛=1 ln פתרונות .1כן -מתבדר ∞ 1 𝑛 𝑛=1 הטור .2לא .3כן -מתבדר נקרא טור הרמוני .בתרגיל 2ראינו כי לא ניתן לקבוע ע"פ התנאי ההכרחי להתכנסות אם הטור מתכנס או מתבדר .נוכיח כי טור זה מתבדר: נניח בשלילה כי הטור מתכנס ,כלומר האיבר ה-𝑛-י של סדרת הסכומים החלקיים מקיים 𝑆 = 𝑛𝑆 ∞→𝑛( limוגם 𝑆 = 𝑛 )lim𝑛→∞ 𝑆2כאשר 𝑆 סופי .מתקיים: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 𝑆2𝑛 − 𝑆𝑛 = 1 + + ⋯ + + +⋯+ − 1+ +⋯+ = +⋯+ ∙𝑛> = 2 𝑛 𝑛+1 𝑛2 2 𝑛 𝑛+1 𝑛2 2𝑛 2 ולכן בהכרח .lim𝑛→∞ 𝑆2𝑛 − 𝑆𝑛 ≠ 0כלומר סתירה לכך שהטור מתכנס )∗( ,ולכן הטור ∞ 1 𝑛 𝑛=1 מתבדר © באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים 054-5-290106 3 alonbaumann.math@gmail.com
