docהורדה
download 
Report Transcription
הורדה
חשבון אינפיניטסימלי 2
מבוסס על הרצאות פרופ' יורם לסט
בקורס "חשבון אינפיניטסימלי (80132) "2
האוניברסיטה העברית ,סמסטר ב' 2013
להערות:
nachi.avraham@gmail.com
נחי
תודה לכל מי ששלח הערות ותיקונים ,ובמיוחד לנעמה בויאר
1
תוכן עניינים
I
II
6
כלל לופיטל
המקרה של . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lim f (x) = lim g(x) = 0
6
2
המקרה של . . . . . . . . . . . . . . . . . . lim f (x) = lim g(x) = 0
7
3
המקרה של ∞ = ). . . . . . . . . . . . . . . . . . lim f (x) = lim g(x
8
4
5
6
המקרה של ∞ = ). . . . . . . . . . . . . . . . . lim f (x) = lim g(x
∞→x
∞→x
כלל לופיטל לפונקציות גזירות בקטע סגור . . . . . . . . . . . . . . . . .
חקירת פונקציות )מהתרגול( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
10
12
1
x→a
∞→x
x→a
∞→x
x→a
x→a
האינטגרל הלא־מסוים )או :פונקציות קדומות(
7
8
9
10
III
11
12
פונקציה קדומה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
יחידות הפונקציה הקדומה )עד־כדי קבוע( . . . . . . . . . . . . . . . . .
האינטגרל הלא־מסוים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
אריתמטיקה של האינטגרל הלא־מסוים . . . . . . . . . . . . . . .
9.1
אינטגרלים מיידיים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2
שיטות אינטגרציה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
אינטגרציה בחלקים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1
אינטגרציה בשיטת ההצבה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2
הצבות שימושיות לפונקציות רציונאליות . . . . . . . .
10.2.1
פירוק לשברים חלקיים )נוסחאות( . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3
האינטגרל המסוים
גישה
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
11.6
11.7
11.8
11.9
גישה
12.1
12.2
12.3
12.4
12.5
13
13
13
13
14
14
16
16
17
19
21
22
ראשונה :פונקציות מדרגות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
חלוקה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
פונקציית מדרגות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
תכונות של פונקציות מדרגות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
אינטגרל של פונקציית מדרגות . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
יחידות האינטגרל של פונקציית מדרגות . . . . . . . . .
11.4.1
אריתמטיקה ותכונות אינטגרלים של פונקציות מדרגות .
11.4.2
אינטגרביליות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
אפיונים שקולים לאינטגרביליות . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
דוגמה לחישוב אינטגרל מסויים לפי ההגדרה . . . . . . . . . . . .
רציפות ואינטגרביליות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
מונוטוניות ואינטגרביליות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
שנייה :סכומי רימן . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
סכום רימן . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
פרמטר החלוקה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
אינטגרביליות רימן . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
יחידות האינטגרל של רימן . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.1
קריטריון קושי לאינטגרביליות רימן . . . . . . . . . . . . . . . . .
חסימות ואינטגרביליות רימן . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
22
22
22
22
24
24
24
25
26
28
30
31
32
32
32
32
33
34
35
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
IV
הקשר בין הפונקציה הקדומה לאינטגרל המסוים
24
25
26
27
28
29
V
גישה שלישית :סכומי דארבו . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
סכומי דארבו . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1
הקשר בין סכומי רימן לסכומי דארבו . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2
אינטגרל עליון ותחתון של דארבו . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3
הקשר בין אינטגרל עליון ותחתון של דארבו לאינטגרל עליון ותחתון
13.4
אינטגרל דארבו . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.5
שקילות הגישות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
משפט דארבו . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1
השקילות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2
תנאי רימן לאינטגרביליות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
אינווריאנטיות האינטגרל תחת הזזה )מהתרגול( . . . . . . . . . . . . . . .
פונקציית רימן )מהתרגול( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
תנודה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
אריתמטיקה של האינטגרל המסוים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
הקבוצה ]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R [a, b
תכונות של תחום האינטגרביליות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
אינטגרביליות של פונקציה מורכבת . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
אי־שוויון המשולש האינטגרלי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
הפונקציה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F
רציפות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F
24.1
המשפט היסודי של החדו"א )ונספחים( . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
טענה F :1כפונקציה קדומה בנקודות שבהן fרציפה . . . . . . .
25.1
טענה F :2כפונקציה קדומה בקטע שבו fרציפה . . . . . . . . .
25.2
טענה :3נוסחת ניוטון־לייבניץ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25.3
חישוב אינטגרל מסוים באינטגרציה בחלקים . . . . . . . . . . . . . . . .
חישוב אינטגרל מסוים באינטגרציה בהצבה . . . . . . . . . . . . . . . . .
נקודות רציפות של פונקציה אינטגרבילית )מהתרגול( . . . . . . . . . . . .
קירוב פונקציות באמצעות המשפט היסודי של החדו"א )מהתרגול( . . . . .
טורים אינסופיים
30
31
32
33
36
36
37
38
39
40
40
42
43
44
46
47
50
50
51
53
55
56
58
58
58
59
59
60
61
63
65
67
69
71
מבוא מתורת הקבוצות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
יחס שקילות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30.1
עוצמה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30.2
קבוצות בנות־מניה )או :עוצמת הטבעיים( . . . . . . . . . . . . . .
30.3
עוצמת הרצף . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30.4
סכום של קבוצה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
עוצמה של קבוצה שסכומה סופי . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31.1
אפיון שקול לסכום של קבוצה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31.2
הרחבת מושג הסכום של קבוצה . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31.3
טור אינסופי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
התכנסות של טור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
הקשר בין סכום של קבוצה להתכנסות של טור . . . . . . . . . . .
33.1
3
71
71
71
72
74
74
75
75
77
78
78
79
.
.
.
.
34
35
36
37
38
39
40
41
42
VI
43
44
45
46
VII
47
48
49
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
קריטריון קושי להתכנסות טור . . . . . . . . . . . . . .
33.2
הטור ההרמוני . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33.3
תנאי להתכנסות טור . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33.4
הטור mזנב . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33.5
הקשר בין התכנסות טור להתכנסות הזנבות שלו . . . .
33.5.1
אריתמטיקה של טורים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33.6
טורים חיוביים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
קריטריון ההשוואה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34.1
מבחן המנה ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1
34.2
מבחן המנה ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2
34.3
מבחן קושי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34.4
מבחן דלאמבר . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34.5
34.6
הטור של . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n1β
מבחני התכנסות של טורים חיוביים )סיכום מהתרגול( . . . . . . . . . . .
משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים . . . . . . . . . . . . . . . .
התכנסות בהחלט/בתנאי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
מבחן דיריכלה לטורים חסומים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
מבחן אבל ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Abel
38.1
הכנסת סוגריים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
שינוי סדר הסכימה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
בטור חיובי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40.1
בטור מתכנס בהחלט . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40.2
משפט רימן לטורים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
מכפלת טורים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
משפט קושי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42.1
משפט מרטנס . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42.2
אינטגרלים לא־אמיתיים
80
81
81
82
82
83
84
84
85
85
86
87
87
89
91
92
93
95
96
99
99
99
101
105
106
107
109
אינטגרל לא־אמיתי של פונקציה חסומה בקטע לא־חסום . . . . . . . . . .
אריתמטיקה של אינטגרלים לא־אמיתיים . . . . . . . . . . . . . .
43.1
קריטריון קושי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43.2
קריטריון ההשוואה . . . . . . . . . . . . . ´. . . . . . . . . . . .
43.3
∞
האינטגרל לא־אמיתי . . . . . . . . . . . . a x1α dx
43.3.1
קריטריון המנה הגבולי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43.4
התכנסות בהחלט/בתנאי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43.5
קשר בין טורים אינסופיים לאינטגרלים לא־אמיתיים . . . . . . . . . . . .
אינטגרלים לא־אמיתיים של פונקציות לא־חסומות בקטע חסום . . . . . .
הקשר בין שני סוגי האינטגרלים הלא־אמיתיים . . . . . . . . . . . . . . .
∞´
). . . . . . . . . . . . . . . . . . a fx(x
46.1
האינטגרל לא־אמיתי α dx
סדרות פונקציות וטורי פונקציות
109
110
110
111
111
112
112
113
114
115
115
118
סדרת פונקציות 118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
טור פונקציות 118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
הקשר בין סדרות פונקציות לטורי פונקציות 119 . . . . . . . . . . . . . . . .
4
50
51
52
53
54
VIII
55
56
57
58
59
60
התכנסות של סדרת/טור פונקציות בשפת . . . . . . . . . . . . . . ε − N
התכנסות במידה־שווה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
קריטריון קושי להתכנסות במידה־שווה . . . . . . . . . . . . . . .
51.1
מבחן Mשל ויירשטראס להתכנסות במידה־שווה . . . . . . . . .
51.2
תכונות הקשורות בהתכנסות במידה־שווה . . . . . . . . . . . . . . . . .
רציפות של הפונקציה הגבולית . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52.1
אינטגרציה איבר־איבר . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52.2
בשפה של טורי פונקציות . . . . . . . . . . . . . . . .
52.2.1
גזירה איבר־איבר . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52.3
בשפה של טורי פונקציות . . . . . . . . . . . . . . . .
52.3.1
משפט דיני . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52.4
טורי־חזקות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
משפט אבל ) (Abelלטורי־חזקות . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53.1
נוסחת קושי־הדמר . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53.2
משפט דלאמבר לטורי־חזקות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53.3
התכנסות במידה־שווה של טורי־חזקות . . . . . . . . . . . . . . .
53.4
רציפות הפונקציה הגבולית של טורי־חזקות . . . . . . . . . . . . .
53.5
משפט הגבול של אבל ) (Abelלטורי־חזקות . . . . . . . . . . . . .
53.6
אינטגרציה איבר־איבר של טור־חזקות . . . . . . . . . . . . . . .
53.7
גזירה איבר־איבר של טור־חזקות . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53.8
טורי־טיילור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
אנליטיות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54.1
תכונות של פונקציות אנליטיות . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54.2
דוגמאות נפוצות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54.3
מבוא לתורת המידה
119
119
120
121
122
122
123
124
124
127
127
128
129
129
130
130
132
133
133
134
135
136
137
139
140
המידה החיצונית של לבג . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
קבוצות בעלות מידה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
55.1
משפט לבג . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
הלמה של היינה־בורל . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
הצגות של מספרים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
קבוצת קנטור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
פונקציית קנטור )מדרגות השטן( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
140
140
141
142
145
146
147
חלק
I
כלל לופיטל
הערה גבול חד־צדדי של ) f (xב־ ,aנסמן )) lim f (xמימין( ו־)) lim f (xמשמאל(
x&a
1
x%a
המקרה של lim f (x) = lim g(x) = 0
x→a
x→a
יהיו ) f (x) , g(xפונקציות גזירות בסביבה כלשהי של הנקודה ,aפרט אולי ל־ aעצמה.
נניח כי בסביבה זו מתקיים ,∀x 6= a g 0 (x) 6= 0
וכן נניח כי קיימים ושווים הגבולות . lim f (x) = lim g(x) = 0
x→a
0
)(x
) , lim fg0 (xאז קיים גם הגבול
אם קיים הגבול = L
x→a
x→a
)lim f (x
)x→a g(x
וגם הוא שווה ל־.L
הערה הגבול Lיכול להיות ממשי או אינסופי.
הוכחה
.1נשים לב כי במשפט לא הוצבה כל דרישה על ערך הפונקציה בנקודה aעצמה ,ולכן
נוכל לצורך הנוחות להגדיר .f (a) = g(a) = 0הנחה זו מגדירה את הפונקציות
כרציפות בנקודה .a
.2נניח כי תנאי המשפט מתקיימים בסביבה ימנית של ,aכלומר קיים h > 0כך ש־
)(x
) fg(xמוגדר היטב ו־) g(xלא
.∀x ∈ (a, a + h) g 0 (x) 6= 0מנתון זה נובע שהביטוי
מתאפסת בסביבה זו.
נימוק :נניח בשלילה שקיים ) x0 ∈ (a, a + hכך ש־ .g(x0 ) = 0אזי מההנחה
g(a) = 0נקבל כי מתקיים ) ,g(a) = g(x0וממשפט רול נובע שקיימת נקודה
) c ∈ (a, a + x0 ) ⊂ (a, a + hשבה ,g 0 (c) = 0בסתירה להנחה.
.3תנאי המשפט הופכים את הפונקציות לכאלה המקיימות את תנאי משפט קושי ,ולכן
ממשפט קושי נובע כי לכל ) x ∈ (a, a + hקיימת נקודה ) c ∈ (a, xכך ש־
)f (x) − f (a
f (x) − 0
)f (x
)f 0 (c
=
=
=
0
)g (c
)g(x) − g(a
g(x) − 0
)g(x
נשים לב כי ) c ∈ (a, xולכן אם x → aאזי גם .c → aולכן נסיק ־
)f (x
)f 0 (c
= lim 0
)x&a g(x
)c&a g (c
lim
]נשים לב ששינוי שם המשתנה מ־ xל־ cאינו משנה לערך הגבול .מה שחשוב זה
שהמשתנה שואף ל־[.0
.4באותו אופן נוכל לקבל את השוויון עבור הגבול משמאל ,בנקודה ) d ∈ (a − h, a־
)f (x
)f 0 (d
= lim 0
)x%a g(x
)d%a g (d
lim
6
.5נסיק כי אם שני הגבולות החד־צדדיים שווים )כפי שנתון בתנאי המשפט באופן
)(x
) , lim fg(xכמבוקש.
שניסחנו אותו( ,אז קיים הגבול הכללי
x→a
הערה ניתן להפעיל את כלל לופיטל כמה פעמים שצריך.
2
המקרה של lim f (x) = lim g(x) = 0
∞→x
∞→x
יהיו ) f (x) , g(xפונקציות גזירות בקרן )∞ .[a,
נניח כי בקרן זו מתקיים ,∀x ∈ [a, ∞) g 0 (x) 6= 0
וכן נניח כי קיימים ושווים הגבולות . lim f (x) = lim g(x) = 0
אם קיים הגבול = L
∞→x
)f 0 (x
0
)x→∞ g (x
, limאז קיים גם הגבול
∞→x
)f (x
)x→∞ g(x
limוגם הוא שווה ל־.L
הערה הגבול Lיכול להיות ממשי או אינסופי.
הוכחה
.1מהתנאי הראשון במשפט נובע שקיימת )∞ d ∈ [a,כך ש־לכל )∞ x ∈ [d,
מתקיים כי .g(x) 6= 0
נימוק :נניח בשלילה שהפונקציה ) g(xמתאפסת באופן שכיח ,אזי לא ייתכן
שהנגזרת בכלל לא מתאפסת.
נבחר לצורך הנוחות ) b = max(1, dונקבל ש־ b > 0וגם שלכל )∞ x ∈ [b,
מתקיים .g(x) 6= 0
.2עבור )∞ x ∈ [b,נסמן
1
t
= ,xונסמן גם ־
)F (t) = f 1t = f (x
)G (t) = g 1t = g(x
נסיק לפי כלל השרשרת ־
−1
1
t t2
1
−1
t2
t
= f0
= g0
1 0
t
1 0
t
F 0 (t) = f
G0 (t) = g
לב שלפי הסימון ,x = 1tתחום ההגדרה )∞ [b,עבור המשתנה xמוגדר
.3נשים
להיות 0, 1bעבור המשתנה .tלכן קיבלנו שהפונקציות ) F (t), G(tמוגדרות
וגזירות לכל .t ∈ 0, 1b
.4נשים לב שכאשר ∞ → xאז ,t → 0ולכן נקבל את השוויונים הבאים ־
lim F (t) = lim f (x) = 0
∞→x
t&0
lim G(t) = lim g(x) = 0
∞→x
7
t&0
.5ולכן קיבלנו שתי פונקציות ,F (t) , G (t) ,שמקיימות את תנאי המקרה הקודם
של כלל לופיטל ,ונוכל להסיק כי:
f 1
)F (t
)f (x
)F 0 (t
= lim 1t = lim
lim
= lim 0
=
)x→∞ g(x
t&0 g
)t&0 G (t
)t&0 G (t
t
)f 0 (x
)x→∞ g 0 (x
f0
= lim 0
t&0 g
1
t
1
t
= lim
−1
t2
−1
t2
1
t
1
t
f0
= lim 0
t&0 g
3
המקרה של ∞ = )lim f (x) = lim g(x
x→a
x→a
יהיו ) f (x) , g(xפונקציות גזירות בקטע מהצורה ].(a, b
נניח כי בקטע זה מתקיים ,∀x ∈ (a, b] g 0 (x) 6= 0
וכן נניח כי קיימים ושווים הגבולות ∞ = ). lim f (x) = lim g(x
x→a
0
x→a
)(x
)(x
) , lim fg0 (xאז קיים גם הגבול
אם קיים הגבול = L
) lim fg(xוגם הוא שווה ל־.L
x→a
x→a
הערה הגבול Lיכול להיות ממשי או אינסופי.
הוכחה
.1נניח תחילה כי .L ∈ R
)א( מהנתון ∞ = ) lim g(xנובע קיימת סביבה ימנית של aשבה תמיד .g(x) > 0
x&a
נסמן את הקטע שבו היא חיובית ].x ∈ (a, b
0
)(x
) lim fg0 (xנסיק שלכל > 0קיים δ1 > 0כך שלכל ∈ x
)ב( מהנתון = L
0
x→a
) (x
). fg0 (x
) (a, a + δ1מתקיים − L < 2
לפי משפט קושי שלכל ) x ∈ (a, a + δ1קיים ) c ∈ (a, xכך ש־=
)f 0 (c
)g 0 (c
)(x)−f (a
). fg(x)−g(a
נסיק מהנתון וממשפט קושי כי
שאם x → aאז גם .(c → a
2
) (x)−f (a
)) . fg(x)−g(aגם כאן נסתמך על כך
< − L
)ג( נאמוד את הביטוי הבא )בהמשך יובהר למה זה נדרש(:
)) f (x) f (x) − f (a) f (x) (g(x) − g (a)) − g(x) (f (x) − f (a
=
=
−
) g(x
)g(x) − g (a
))g(x) (g(x) − g (a
) f (x)g(x) − f (x)g (a) + g(x)f (a) − g(x)f (x) −f (x)g (a) + g(x)f (a
=
= )) = g(x) (g(x) − g (a
))g(x) (g(x) − g (a
) g (a) f (a) − f (x)g (a) + g(x)f (a) − g (a) f (a
=
=
))g(x) (g(x) − g (a
8
]) g (a) [f (a) − f (x)] + f (a) [g(x) − g (a
=
=
))g(x) (g(x) − g (a
) f (a) g (a) f (a) − f (x) f (a) g (a) f (x) − f (a
=
=
+
·
−
·
)g(x
)g(x) g(x) − g (a) g(x
)g(x) g (x) − g (a
)g(a) f (a
) g(xשואפים ל־) 0כי ) g(xשואפת
)ד( נשים לב שכאשר x & aהביטויים ), g(x
) f (x) f (x)−f (a
ל־∞( ,ולכן מהשוויון שקיבלנו נסיק שעבור δ2הביטוי ) g(x) − g(x)−g(aקטן
) (x) f (x)−f (a
). fg(x
כרצוננו ,ולמשל גם עבור 2מתקיים − g(x)−g(a) < 2
)ה( נבחר ) δ = min (δ1 , δ2ונחשב את הגבול שצריך להוכיח:
) f (x
) f (x) f (x) − f (a) f (x) − f (a
≤ g(x) − L = g(x) − g(x) − g (a) + g(x) − g (a) − L
) f (x) f (x) − f (a) f (x) − f (a
≤
+
−
= − L < +
)g(x
)g(x) − g (a
)g(x) − g (a
2 2
.2נניח כי ∞.L = ±
0
)(x
) lim fg0 (xנובע שקיימת סביבה ימנית של aשבה .f (x) 6= 0
)א( מהנתון ∞ = = L
x→a
0
0
)f (x
) , lim fg 0(xולכן נסיק על־פי מקרה קודם של כלל
)ב( אם ∞ = ) lim g 0 (xאזי (x) = 0
x→a
x→a
)(x
). lim fg(x
) , lim fg(xולכן ∞ =
לופיטל כי מתקיים (x) = 0
x→a
x→a
4
המקרה של ∞ = )lim f (x) = lim g(x
∞→x
∞→x
יהיו ) f (x) , g(xפונקציות גזירות בקרן מהצורה )∞ .[c,
נניח כי בקטע זה מתקיים ,∀x ∈ [c, ∞) g 0 (x) 6= 0
וכן נניח כי קיימים ושווים הגבולות ∞ = ). lim f (x) = lim g(x
אם קיים הגבול = L
∞→x
)f 0 (x
0
)x→∞ g (x
, limאז קיים גם הגבול
∞x→a
)f (x
)x→∞ g(x
limוגם הוא שווה ל־.L
הערה הגבול Lיכול להיות ממשי או אינסופי.
ההוכחה למקרה זה דומה להוכחה שבה הסקנו את מקרה 2ממקרה .1
9
דוגמה
תהי
1
sinx
) .f (x) = (1 + xנרצה לחשב את הגבול ). lim f (x
x→0
נוציא :log
1
)log (1 + x
= )log (1 + x
sinx
sinx
i
h
1
= logf (x) = log (1 + x) sinx
נחשב את הגבול של ) logf (xלפי כלל לופיטל:
1
)log (1 + x
= lim 1+x = 1
x→0
x→0 cosx
sinx
lim
נחזור לחשב את הגבול של ):f (x
= e1 = e
)log(1+x
sinx
1
= lim e sinx log(1+x) = elimx→0
x→0
1
sinx
)lim f (x) = lim (1 + x
x→0
x→0
]השוויון השלישי נובע מרציפות פונקציית ה־[.log
5
כלל לופיטל לפונקציות גזירות בקטע סגור
יהיו ) g(x) ,f (xפונקציות מוגדרות וגזירות בקטע סגור ].[a, b
נניח כי בקטע זה מתקיים ,f (a) = g(a) = 0וכן נניח כי .g 0 (a) 6= 0
)f (x
)f 0 (a
. lim
= 0
אזי קיימים הגבול והשוויון
)x&a g(x
)g (a
• הערה :1נשים לב שמקרה כזה הוא רק כאשר ,a ∈ R ,x → aכי כאשר ∞ → x
אין קצה שמוגדרת בו גזירות.
• הערה :2בניגוד למקרים הקודמים של כלל לופיטל שבהם המשפט קבע שאם קיים
0
)(x
)(x
) ,lim fg(xבמקרה זה המשפט קובע שתמיד קיים
) lim fg0 (xאז קיים הגבול
הגבול
)(x
הגבול
).lim fg(x
הוכחה
)g(x) − g(a
נתון ,g 0 (a) 6= 0כלומר קיימת סביבה מספיק קרובה ל־ aשבה מתקיים 6 0
=
x−a
כמו כן נשים לב שמכיוון שהפונקציות גזירות אז הן בפרט רציפות ,ולכן מתקיים
. lim
x&a
f (a) = g(a) = 0
נסיק מכך:
)f (x) − f (a
)f 0 (a
x−a
=
= 0
)g(x) − g(a
)g (a
lim
x&a
x−a
lim
x&a
)f (x)−f (a
x−a
)g(x)−g(a
x−a
10
)f (x
)f (x) − f (a
lim
= lim
= lim
)x&a g(x
)x&a g(x) − g(a
x&a
מסקנה
יהיו ) g(x),f (xפונקציות מוגדרות בסביבה של aוגזירות nפעמים בנקודה .a
נניח שמתקיים:
g(a) = g 0 (a) = g 00 (a) = ... = g (n−1) (a) = 0
g (n) 6= 0
0
00
f (a) = f (a) = f (a) = ... = f (n−1) (a) = 0
)לא משנה האם f (n) = 0או (.f (n) 6= 0
)f (x
)f (n) (a
אזי קיימים הגבול והשוויון
. lim
)= (n
)x&a g(x
)g (a
מסקנה זו מתקבלת מהפעלת הווריאציה האחרונה של כלל לופיטל nפעמים.
11
6
חקירת פונקציות )מהתרגול(
סדר פעולות בחקירת פונקציה:
.1מציאת תחום הגדרה ובדיקת סימטריות )זוגיות ,אי־זוגיות ,מחזוריות(
.2גבולות הפונקציה בקצוות תחום ההגדרה
.3תחום רציפות
.4אסימפטוטות מאונכות ומשופעות
.5תחום גזירות ומהי הנגזרת ,גבולות הנגזרת בתחום ההגדרה ונקודות התאפסות שלה.
.6נגזרת שנייה ונקודות התאפסות שלה.
.7חלוקת תחום ההגדרה לקטעים ,בהתאם לחיוביות\שליליות של הנגזרת הראשונה ושל
הנגזרת השנייה
.8מציאת נקודות מקסימום ומינימום מקומיות וכלליות.
.9תחומי קמירות וקעירות ,ונקודות פיתול.
.10ציור סקיצה של גרף הפונקציה.
אפיון של נקודות :תהי D ⊆ Rקבוצה ותהי .f : D → R
־ נקודה פנימית x ∈ D :נקראת נקודה פנימית ,אם קיים קטע פתוח משני צידי xשמוכל
ב־.D
־ נקודה מבודדת x ∈ D :נקראת נקודה מבודדת ,אם קיים קטע פתוח משני צידי xשאינו
חותך את Dבאף נקודה למעט .x
־ נקודת קצה x ∈ R :נקראת נקודת קצה של ,Dאם היא לא נקודה פנימית ,וכן כל קטע
סביב xמכיל נקודה כלשהי מ־.D
סימטריה :תהי D ⊆ Rקבוצה ,ותהי fפונקציה המוגדרת ב־ .D
־ קבוצה סימטרית D :נקראת קבוצה סימטרית סביב ,x = 0אם לכל x ∈ Dמתקיים
.x = −x
־ פונקציה אי־זוגית f (x) :נקראת אי־זוגית ב־ ,Dאם ) f (x) = −f (−xלכל .x ∈ D
]למשל.[sinx, x, x3 , tanx :
־ פונקציה זוגית f (x) :נקראת זוגית ב־ ,Dאם ) f (x) = f (−xלכל ] .x ∈ Dלמשל:
|.[cosx, x2 , |x
־ אינווריאנטיות :נאמר כי Dאינווריאנטית להזזה תחת מספר נתון ,Lאם .D + L ⊆ D
־ מחזוריות f (x) :נקראת מחזורית עם מחזור ,Lבקבוצה Dשהיא −Lאינווריאנטית ,אם
לכל x ∈ Dמתקיים ).f (x) = f (x + L
־ המחזור היסודי :המחזור Lנקרא המחזור היסודי ,אם הוא המחזור המינימלי שעבורו
) f (xמחזורית.
אסימפטוטות:
־ אסימפטוטה אנכית :נאמר כי ל־ fיש אסימפטוטה אנכית ב־ ,x0אם ∞. lim f (x) = ±
x→x0
∈ (x0
)ייתכן כי / D
־ אסימפטוטה משופעת :יהי ישר .y = mx + nנאמר כי ל־) f (xיש אסימפטוטה משופעת
ב־ yכאשר ∞ ,x → ±אם ) . lim (f (x) − y) = 0עבור m = 0זו אסימפטוטה אופקית(
∞x→±
־ תנאי שקול לקיום אסימפטוטה משופעת :נאמר כי ל־) f (xיש אסימפטוטה משופעת
)f (x
limוגם . lim (f (x) − mx) = n
ב־ ,y = mx + nאמ"מ גם = m
∞→x
x→±∞ x
נקודות חשודות כקיצון:
־ נקודות קריטיות :נקודות פנימיות שבהן קיימת נגזרת ,והיא מתאפסת
הפונקציה לא גזירה
־ נקודות סינגולריות :נקודות פנימיות שבהן 12
קמירות וקעירות) :הגדרה לא פורמלית(
פונקציה f : I → Rנקראת קמורה )או קעורה( אם לכל זוג נקודות ,x1 , x2 ∈ Iמתקיים
שהמיתר המחבר את הנקודות )) (x2 , f (x2 )),(x1 , f ((x1במערכת צירים ,נמצא מעל )או
מתחת ,בהתאמה( לגרף הפונקציה.
תנאי שקול לקמירות )וקעירות( :הפונקציה fקמורה )או קעורה( בסביבת x ∈ Iאמ"מ
בסביבה זו של xמתקיים כי ) f 00 (x) ≥ 0או ,f 00 (x) ≤ 0בהתאמה(.
חלק
II
האינטגרל הלא־מסוים )או :פונקציות
קדומות(
7
פונקציה קדומה
פונקציה Fנקראת פונקציה קדומה של fעל קטע כלשהו ,Iאם Fגזירה ומתקיים
).∀x∈I F 0 (x) = f (x
8
יחידות הפונקציה הקדומה )עד־כדי קבוע(
יהיו F, Gפונקציות קדומות של fעל קטע ,Iאזי קיים קבוע c ∈ Rכך שמתקיים
F (x) = G(x) + c
הוכחה
נתון כי F, Gפונקציות קדומות של ,fולכן לפי ההגדרה מתקיים .F 0 (x) = G0 (x) = f
נסיק מכך:
F 0 (x) − G0 (x) = f − f = 0
פונקציה שהנגזרת שלה מתאפסת היא בהכרח פונקציה קבועה ,ולכן נסיק כי:
F (x) − G(x) = c
9
האינטגרל הלא־מסוים
תהי fפונקציה המוגדרת בקטע כלשהו ,Iותהי Fפונקציה קדומה שלה בקטע זה.
נגדיר את האינטגרל הלא־מסוים של fבקטע Iלהיות הקבוצה }.{F (x) + c|c ∈ R
נסמן זאת:
ˆ
}f (x)dx = {F (x) + c|c ∈ R
ובקיצור:
ˆ
f (x)dx = F (x) + c
13
• הערה :1לא לכל פונקציה יש פונקציה קדומה.
כך למשל הוכחנו כמסקנה ממשפט דארבו ,שאם לפונקציה שאינה רציפה יש פונקציה
קדומה ,אז אי הרציפות שלה היא מסוג שני .לכן נוכל לבחור פונקציה שיש לה אי־
רציפות מסוג ראשון.
נבחר למשל ) f (x) = bxcפונקציית הערך השלם( ונסיק שאין לה פונקציה קדומה
בכל קטע ממשי שמכיל מספר שלם.
• הערה :2קיימות פונקציות שיש להן פונקציה קדומה ,שאינה ניתנת לביטוי באמצעות
2
פונקציות אלמנטריות .למשל .f (x) = e−x
9.1
אריתמטיקה של האינטגרל הלא־מסוים
כמסקנה מיידית ממשפטים שהוכחנו עבור נגזרות ,נסיק שמתקיים:
´
cf (x)dx = c f (x)dx
g(x)dx
9.2
´
f (x)dx ±
´
´
= (f (x) ± g(x)) dx
´
אינטגרלים מיידיים
הערה נביא כאן רשימה שכוללת כמה פונקציות קדומות של הרכבה של פונקציות אלמנטריות
עם פונקציה כלשהי ).f (x
בכל המקרים ניתן להציב ) f (x) = xכך ש־ (f 0 (x) = 1ולקבל את המקרה הפשוט.
.1
+c
f (x)α+1
α+1
ˆ
= f (x)α f 0 (x)dx
f (x) > 0, α 6= −1, α ∈ R
.2
1 0
f (x)dx = ln |f (x)| + c
)f (x
ˆ
.3
ˆ
sin (f (x)) f 0 (x)dx = −cos (f (x)) + c
.4
1
f 0 (x)dx = arctan (f (x)) + c
1 + f (x)2
14
ˆ
.5
f 0 (x)dx = arcsin (f (x)) + c
ˆ
1
1 − f (x)2
.6
p
1
p
f 0 (x)dx = f (x) + c
)2 f (x
p
ˆ
דוגמה 1
:f (x) = √x−1
.1נחשב את הפונקציה הקדומה של
1−x2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
x−1
x
1
2x
1
√
√
√
= dx
√ dx−
= dx
√ dx−
dx
2
2
2
2
1−x
1−x
1−x
2 1−x
1 − x2
נחשב את האיבר הראשון בביטוי שהתקבל ,ונשים לב שאם נציב f (x) = 1 − x2
ˆ
p
1
p
כך ש־ ,f 0 (x) = −2xנקבל אינטגרל מהצורה f 0 (x)dx = f (x) + c
)2 f (x
)מקרה 6בסעיף הקודם( ולכן ־
האיבר השני הוא נגזרת ידועה:
ˆ
1
√
dx = arcsinx + c
1 − x2
נסיק באופן כללי:
ˆ
p
x−1
√
dx = 1 − x2 − arcsinx + c
1 − x2
] c ∈ Rהוא קבוע כלשהו שערכו לא מעניין כרגע ,ולכן אין צורך לכתוב [.2c
דוגמה 2
נחשב את הפונקציה הקדומה של
1
2cos2 ( x
)2
dx
x
2
tan
1
sinx
= ).f (x
ˆ
= dx
x
2
cos
1
x
2
ˆ
2sin
1
ש־
2cos2 ( x
)2
1
= dx
sinx
ˆ
= ) ,f 0 (xנקבל אינטגרל מהצורה
נשים לב שאם נציב f (x) = tan x2כך
´ 1 0
)) f (xמקרה 3בסעיף הקודם( ולכן ־
f (x)dx = ln |f (x)| + c
1
2cos2 ( x
)2
x
dx = ln tan
+c
2
נסיק מאינטגרל זה שמתקיים:
+ c = ln tan x + π + c
2
4
π
2
x
2
ˆ
tan
1
tan x +
dx
=
ln
2
sin x + π2
15
ˆ
1
= dx
cosx
ˆ
10
שיטות אינטגרציה
10.1
אינטגרציה בחלקים
שיטה זו מבוססת על נוסחת הנגזרת של מכפלת פונקציות גזירות:
0
)(f (x)g(x)) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x
מהגדרת האינטגרל הלא־מסוים נובע כי הפונקציה f gהיא האינטגרל־הלא מסוים של
0
הפונקציה ) ,(f gומהשוויון שבנוסחת הנגזרת נסיק כי f gהיא גם האינטגרל הלא מסוים
0
0
של הפונקציה .f g + f g
כלומר:
ˆ
)[f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x)] dx = f (x)g(x
אינטגרל של סכום הוא סכום האינטגרלים ,ולכן בהעברת אגפים נקבל את הנוסחה:
ˆ
ˆ
0
f (x)g (x)dx = f (x)g(x) − f 0 (x)g(x)dx
ובאופן מעשי :בכל פעם שיש לחשב אינטגרל לא־מסוים של פונקציה שניתן להציג כמכפלה
כלשהי ,נוכל לבחור באופן חופשי את אחד מאיברי המכפלה להיות ה־ fואת האחר להיות
ה־ ,g 0ולהציב בנוסחה.
דוגמה 1
נחשב את האינטגרל של .lnx
מתקיים ,lnx = 1 · lnxונבחר את f = lnxכך
נציב בנוסחה:
ˆ
1dx = xlnx − x
1
dx = xlnx −
x
1
ש־ x
= ,f 0ואת g 0 = 1כך ש־.g = x
ˆ
·x
ˆ
1 · lnxdx = xlnx −
ˆ
= lnxdx
דוגמה 2
נחשב את האינטגרל של .ex sinx
נבחר את f = exכך ש־ ,f 0 = exונבחר את g = sinxכך ש־ .g = −cosxנציב בנוסחה:
0
ˆ
ex cosxdx
האינטגרל ex cosxdx
´
ˆ
x
x
e sinxdx = −e cosx +
עדיין קשה לחישוב.
16
נבחר הפעם באופן הפוך את f = sinxכך ש־ ,f 0 = cosxונבחר את g 0 = exכך ש־ .g = ex
נציב בנוסחה:
ˆ
ex cosxdx
ˆ
ex sinxdx = ex sinx −
´
שוב קיבלנו את האינטגרל ex cosxdxשקשה לחישוב.
אך נשים לב שמשני השלבים קיבלנו שתי משוואות שמבטאות את האינטגרל המבוקש ,ואם
נחבר אותן נקבל:
´
= ex sinxdx = 2 ex sinxdx
= ex cosxdx
´
´
ex sinxdx +
ex cosxdx + (−ex cosx) +
´
´
= ex sinx −
= ex sinx − ex cosx
מכיוון שחיברנו את שתי המשוואות קיבלנו ביטוי ששקול לפעמיים האינטגרל המבוקש ,ולכן
נסיק:
ˆ
ex sinx − ex cosx
= ex sinxdx
2
10.2
אינטגרציה בשיטת ההצבה
שיטה זו מבוססת על כלל השרשרת לגזירת הרכבה של פונקציות גזירות:
0
)(g (f (x))) = g 0 (f (x)) f 0 (x
´
נניח שמחפשים לפתור את המשוואה . f (x)dx = F (x) + c
נניח גם שקיימת פונקציה ϕשהיא פונקציה המוגדרת בתחום הגדרה שנותן את תחום
ההגדרה של .f
נניח עוד ש־ ϕמקיימת ) ,x = ϕ(tוכן שהיא הפיכה כך ש ,ϕ−1 (x) = t-וכן נניח שהיא
1 dx
גזירה כך ש. dt = ϕ0 (t)-
מהגדרת האינטגרל הלא־מסוים נובע כי )) F 0 (x) = f (xעד־כדי קבוע( ,נסיק מכך כי אם
נציב ) x = ϕ(tנקבל לפי כלל השרשרת:
0
)(F (ϕ (t))) = F 0 (ϕ(t)) ϕ0 (t) = f (ϕ (t)) ϕ0 (t
נשים לב שביטוי זה קושר בין fלבין הפונקציה הקדומה שלה ,Fשמהווה פתרון למשוואה
המבוקשת .נפעיל אינטגרל על שני צידי המשוואה שקיבלנו ,ומזה תנבע הנוסחה הבאה:
ˆ
f (ϕ(t)) ϕ0 (t)dt = F (ϕ(t)) + c
1כלומר ,גוזרים את שני צידי המשוואה ) x = ϕ(tלפי המשתנה .t
17
משוואה זו היא במונחי ,tולכן כדי לקבל את הפתרון במונחי xנציב את השוויונים הנתונים
−1
0
)(x) = t ⇔ x = ϕ(t
, dxונקבל את הפתרון למשוואה שרצינו לפתור
dt = ϕ (t) ,ϕ
מלכתחילה:
ˆ
f (x)dx = F (x) + c
דוגמה 1
נחשב את האינטגרל של
נציב x
√
6
√
x
√ .
3
x+ x2
= x = t6 ⇔ tכך ש־ :ϕ0 (t) = 6t5
=
t8
t6 +t4 dt
´
=6
t4
t2 +1 dt
√
t6
5
√
3 12 6t dt
t
´
=
t6 +
´
=6
´
t8
t4 (t2 +1) dt
√
x
√
3 2 dx
x
´
x+
=6
קיבלנו אינטגרל על פונקציה שהיא פולינום רציונאלי .הרבה פעמים באינטגרלים מסוג זה
דרך הפתרון הפשוטה ביותר היא הוספה והחסרה של איברים שווים במונה ,עד שמקבלים
מספר שברים שהאינטגרציה בכל אחד מהם מידית.
נחשב:
=
i
= − 1 dt
)t4 +(t2 +1)−(t2 +1
dt
t2 +1
1
t2 +1
t2 +
´h
=6
´
=6
t4
t2 +1 dt
´
6
)t2 (t2 +1)+1−(t2 +1
dt
t2 +1
i
h 3
i
1dt = 6 t3 + arctant − t + c
´
dt −
1
t2 +1
´
´
t2 dt +
=6
´h
=6
נבטא את האינטגרל במונחי xלפי משוואות ההצבה:
#
3
6
√
√
√
√
√
x
6
6
+ arctan x − x + c = 2 x + 6arctan 6 x − 6 6 x + c
3
√"
דוגמה 2
1
. sinx+cosx−1
נחשב את האינטגרל של dx
0
2
x
נציב ,x = 2arctantכך ש־ tan 2 = tו־ .(2arctant) = 1+t2
18
6
2
1+t2 dt
=
=
=
·
1
2
+ 1−t
−1
1+t2
1
2t−2t2 dt
1
1−t dt
+
1
t
´
´
´
2t
1+t2
=2
=
=
1
sinx+cosx−1 dx
1
2t+1−t2 −1−t2 dt
1
t(1−t) dt
= ln |t| − ln |t − 1| + c
´
=
1
t−1 dt
´
=2
1
t−t2 dt
´
−
´
1
t dt
´
´
=
=
t
= ln t−1
+c
נבטא את האינטגרל במונחי xלפי משוואות ההצבה:
tan x
2
ln
+c
tan x2 − 1
טריק שימושי:
טריגונומטיות באמצעות פונקציות רציונאליות ,ולהיפך.
פונקציות
לבטא
לעתים נוח
תחת ההצבה t = tan x2 ⇔ x = 2arctantמתקבלים השוויונים הבאים:
2t
1+t2
10.2.1
= sinx
1−t2
1+t2
= cosx
2t
1−t2
= tanx
הצבות שימושיות לפונקציות רציונאליות
.1עבור אינטגרל מהצורה:
p
R x, ±a2 ± x2 dx
ˆ
כאשר Rפונקציה רציונאלית ,נחלק לשלושה מקרים שתלויים בסימן האיברים שבשורש.
√
• אם a2 − x2כדאי להציב:
x = a · sint
• אם a2 + x2
√
כדאי להציב:
x = a · tant
2לא ייתכן ששני האיברים בשורש בעלי סימן שלילי ,כי אין שורש ממשי למספר שלילי.
19
2
• אם −a2 + x2
√
כדאי להציב:
a
cost
=x
.2עבור אינטגרל מהצורה:
p
R x, ax2 + bx + c dx
ˆ
כאשר Rפונקציה רציונאלית ,נחלק לשני מקרים שתלויים בסימן האיבר .a
• אם a > 0כדאי להציב:
p
√
ax2 + bx + c = x a + t
או באופן שקול לאחר העברת אגפים:
t2 − c
√
b − 2t a
=x
• אם ,a < 0משמע שעבור xמספיק גדול ו־ xמספיק קטן הפולינום שלילי והשורש לא
3
מוגדר.
לכן במקרים אלה יעניינו אותנו פולינומים שיש להם תחום הגדרה שבו הם מקבלים
ערכים חיוביים ,כלומר תחום ההגדרה שנמצא בין שני שורשים ,x1 , x2ובו ערכי
הפונקציה חיוביים.
משכך ניתן להציג את הפולינום באופן הבא:
) ax2 + bx + c = a (x − x1 ) (x − x2
במקרה זה כדאי להציב:
p
p
) ax2 + bx + c = a (x − x1 ) (x − x2 ) = t (x − x1
או באופן שקול לאחר העברת אגפים:
|a| x2 + t2 x1
|t2 + |a
=x
דוגמה )המקרה האחרון ,עבור (a > 0
נחשב את האינטגרל של . x√x21+x+1נשתמש בנוסחה ההצבה הכללית = ax2 + bx + c
√
−2t2 +2t−2
t2 −1
. dxנציב:
,x = 1−2t
x a + tשהוצעה קודם ,ונקבל
= dt
(1−2t)2
√
3כי פולינום שהמקדם של החזקה הגבוהה ביותר שלו הוא שלילי ,מתכנס באינסוף ובמינוס אינסוף ,למינוס
אינסוף.
20
=
dx
dt
21
)t −1+t(1−2t
)(1−2t
=
=
´
t2 −1
)(1−2t
(1−2t)2
dx
(t2 −1)(−t2 +t−1) dt
)2(−t2 +t−1
dt
(1−2t)2
·
=
´
(1−2t)2
)(t2 −1)(−t2 +t−1
= ln |1 − t| − ln |t + 1| + c = ln 1−t
t+1 + C
נציב בחזרה
10.3
t2 −1
1−2t
1
dx
dt
t2 −1
1−2t +t
t2 −1
1−2t
(1−2t)2
dx
(t2 −1)(t2 −1+t(1−2t)) dt
=
´
´
=
√ 1
dx
x x2 +x+1
−2t2 +2t−2
dt
(1−2t)2
=
1
(t+1) dt
1
)(t−1
−
·
´
´
=
(1−2t)2
)(t2 −1)(−t2 +t−1
=
´
2
(t+1)(t−1) dt
´
´
=
= dt
2
´
t2 −1
=
√
= x2 + x + 1 = x + t ⇔ xכדי לקבל תשובה במונחי המשתנה :x
1 − √x2 + x + 1 − x
√ ln
+c
x2 + x + 1 − x + 1
פירוק לשברים חלקיים )נוסחאות(
לכל פונקציה רציונלית קיימים ,k ∈ N ,Ai , Bi ∈ Rכך שלאחר פירוק המכנה לגורמים
מתקיים:
• אם הפירוק לגורמים במכנה נותן גורמים מסדר ראשון מריבוי :1
1
A1
Ak
=
+... +
) (a1 x + b1 ) · ... · (ak x + bk
) (a1 x + b1
) (ak x + bk
• אם הפירוק לגורמים במכנה נותן גורמים מסדר ראשון מריבוי גדול מ־:1
Ak
k
)(ax + b
+ ... +
A2
2
)(ax + b
+
A1
1
)(ax + b
=
1
k
)(ax + b
• אם הפירוק לגורמים במכנה נותן גורמים מסדר שני מריבוי :1
1
A1 x + B 1
Ak x + Bk
=
+... +
) (a1 x2 + b1 x + c1 ) · ... · (ak x2 + bk x + ck
) (a1 x2 + b1 x + c1
) (ak x2 + bk x + ck
• אם הפירוק לגורמים במכנה נותן גורמים מסדר שני מריבוי גדול מ־:1
Ak x + B k
k
)(a1 x2 + b1 x + c
2 +...+
A2 x + B 2
)(a1 x2 + b1 x + c
1+
A1 x + B 1
)(a1 x2 + b1 x + c
=
• וכן הלאה...
עבור השברים החלקיים ,האינטגרלים הם מיידיים או כמעט מיידיים.
21
1
k
) + b1 x + c1
x2
(a1
חלק
III
האינטגרל המסוים
נראה שלוש גישות להגדרת האינטגרל המסוים ,ולבסוף נוכיח את השקילות ביניהן.
11גישה ראשונה :פונקציות מדרגות
11.1
חלוקה
חלוקה של קטע סגור ] ,[a, bהיא קבוצה סגורה סופית של נקודות x0 , x1 , ..., xnהשייכות
לקטע ,המקיימות:
a = x0 < x1 < ... < xn = b
נסמן זאת ) p = (x0 , x1 , ..., xn
11.2
פונקציית מדרגות
תהי ϕפונקציה המוגדרת בקטע סגור ].[a, b
נאמר כי ϕהיא פונקציית מדרגות אם קיימת חלוקה ) p = (x0 , x1 , ..., xnשל הקטע ][a, b
וקיימים הקבועים c1 , c2 , ..., cnכך שמתקיים. ϕ|(xi−1 ,xi ) = ci :
במקרה כזה נאמר גם כי ϕמיוצגת ע"י החלוקה .p
הערה 1
לכל פונקציית מדרגות קיימות אינסוף חלוקות.
הערה 2
כל פונקציה קבועה על קטע סגור ,היא דוגמה לפונקציית מדרגות שמיוצגת על־ידי כל חלוקה
שנבחר.
הערה 3
תהי .f : S → Rנגדיר צמצום של fלקטע ) ,(a, bכפונקציה ,f ∗ : S ∩ (a, b) → Rכאשר
לכל ) s ∈ S ∩ (a, bמתקיים ).f ∗ (s) = f (s
הערה 4
נסמן את קבוצת כל פונקציות המדרגות על קטע סגור ] ,[a, bב־].S [a, b
11.3
תכונות של פונקציות מדרגות
S [a, b] .1סגורה לחיבור ולכפל בסקלאר ,ולכן היא מרחב וקטורי מעל .R
S [a, b] .2סגורה לכפל של שני איברים בה ,ולכן היא גם אלגברה.
4
"4אלגברה" משמשת גם לתיאור מבנה אלגברי .מרחב וקטורי שמוגדרת בו חוץ מחיבור וכפל בסקלאר ,גם
פעולת כפל בין שני וקטורים ,הוא אלגברה.
22
.3תהי ] ,ϕ ∈ S [a, bויהיו a ≤ c < d ≤ bממשיים ,אזי גם ].ϕ|[c,d] ∈ S [c, d
.4תהי ] ,ϕ ∈ S [c, dויהיו a ≤ c < d ≤ bממשיים ,אזי ניתן להגדיר פונקציה חדשה:
) 0 s ∈ [a, c
ϕ
][c, d
= ∗ϕ
0
](d, b
ומתקיים ].ϕ∗ ∈ S [a, b
במקרה כזה נקרא ל־ ∗ ϕהרחבה של ϕעל־ידי .0
הוכחות
.1יהיו ] .ϕ, ψ ∈ S [a, bנניח כי ϕמיוצגת על־ידי החלוקה pוכי ψמיוצגת על־ידי
החלוקה .q
נגדיר חלוקה חדשה ,r = p ∪ qונשתמש בה כדי לייצג את שתי הפונקציות .ϕ, ψ
נניח כי ) ,r = (x0 , x1 , ..., xnאז מהגדרת פונקציית מדרגות נובע שקיימים הקבועים
,d1 , d2, ..., dn ,c1 , c2 , ..., cnכך שמתקיים:
ϕ|(xi−1 ,xi ) = ci
ψ|(xi−1 ,xi ) = di
מכאן נסיק כי מתקיים:
(ϕ + ψ) |(xi−1 ,xi ) = ci + di
וכן גם כי מתקיים עבור α ∈ Rש:
(αϕ) |(xi−1 ,xi ) = αci
ולכן גם הסכום וגם כפל בסקלאר הן פונקציות מדרגות.
.2באותו אופן שהוכחנו את תכונה ,1קל גם לראות כי גם הכפלה של שתי פונקציות
מדרגות היא פונקציית מדרגות.
.3מההגדרה נובע כי זו פונקציה שמוגדרת על־ידי קבועים בקטע ] ,[a, bולכן היא בפרט
מוגדרת על־ידי קבועים בקטע הפנימי ].[c, d
לכן כדי להראות שזו פונקציית מדרגות ,מספיק להראות שקיימת חלוקה שמייצגת את
הפונקציה ].ϕ|[c,d
מהנתון ש־ ϕפונקציית מדרגות נובע שקיימת לה חלוקה .Pמכיוון ש־ ] ϕ|[c,dמוגדרת
על תחום חלקי לתחום ] ,[a, bנסיק שקיימת החלוקה:
}p∗ = (p ∩ [c, d]) ∪ {c, d
.4טענה זו ברורה מאליה.
23
11.4
אינטגרל של פונקציית מדרגות
תהי ] ,ϕ ∈ S [a, bמיוצגת על־ידי החלוקה ) ,p = (x0 , x1 , ..., xnונניח שקיימים הקבועים
c1 , ..., cnכך ש־ .ϕ|(xi−1 ,xi ) = ci
נגדיר ונסמן את האינטגרל של הפונקציה ϕבקטע ] ,[a, bשמיוצגת על־ידי החלוקה ,pבאופן
הבא:
) ci (xi − xi−1 ) = c1 (x1 − x0 ) + c2 (x2 − x1 ) + ... + (xn − xn−1
n
X
= )Ip (ϕ
i=1
11.4.1
יחידות האינטגרל של פונקציית מדרגות
אינטגרל של פונקציית מדרגות מוגדר באופן חד־משמעי ,ללא תלות בחלוקה.
הוכחה
∈ ∗.x
נניח כי ] ϕ ∈ S [a, bמיוצגת על־ידי החלוקה ,pותהי ) x∗ ∈ (a, bכך ש־ / p
נוכיח תחילה כי ).Ip (ϕ) = Ip∪{x∗ } (ϕ
∈ ∗ xנובע שקיים אינדקס ,1 ≤ j ≤ nכך ש־) .x∗ ∈ (xj−1 , xj
מהנתון )/ p ,x∗ ∈ (a, b
כלומר x∗ ,שייך לאחד האינטרוולים של החלוקה .p
נשים לב כי:
) (xj−1 , xj ) = (xj−1 , x∗ ) ∪ x∗ ∪ (x∗ , xj
ולכן:
)) cj (xj−1 , xj ) = cj ((xj−1 , x∗ ) ∪ x∗ ∪ (x∗ , xj
מכאן נסיק כי:
)Ip (ϕ) = I[a,xj−1 ]∪(xj−1 ,x∗ )∪x∗ ∪(x∗ ,xj )∪[xj ,b] (ϕ
באינדוקציה קל להסיק כי כל תוספת מספר סופי של נקודות לחלוקה לא תשנה את ערך
האינטגרל.
לכן לכל זוג חלוקות p, qמתקיים ) Ip∪q (ϕ) = Ip (ϕוכן ) ,Iq∪q (ϕ) = Iq (ϕומכאן שלכל
זוג חלוקות מתקיים ).Ip (ϕ) = Iq (ϕ
מסקנה
אינטגרל של פונקציית מדרגות מוגדרת באופן חד־משמעי ללא תלות בחלוקה ,ולכן נסמן
אותו פשוט ).I (ϕ
11.4.2
אריתמטיקה ותכונות אינטגרלים של פונקציות מדרגות
יהיו ] ψ, ϕ ∈ S [a, bויהי k ∈ R
.1אם ϕ ≥ 0אז I (ϕ) ≥ 0
24
.2אם ψ ≥ ϕאז )I (ψ) ≥ I (ϕ
I (ψ + ϕ) = I (ϕ) + I (ψ) .3
I (kϕ) = kI (ϕ) .4
.5נניח כי ,a < c < bאז )I[a,b] (ϕ) = I[a,c] (ϕ) + I[c,d] (ϕ
I[a,b] (1) = b − a .6
11.5
אינטגרביליות
מונחים
• נסמן ב־] S = S [a, bאת קבוצת פונקציות המדרגות על הקטע ].[a, b
• נסמן ב־] B = B [a, bאת קבוצת הפונקציות הממשיות החסומות על הקטע ].[a, b
• תהי fפונקציה ממשית .f ∈ B
נסמן ב־] Φf = Φf [a, bאת קבוצת המספרים } {I (ϕ) |ϕ ∈ S [a, b] ∧ ϕ ≤ f
נסמן ב־] Ψf = Ψf [a, bאת קבוצת המספרים } {I (ϕ) |ϕ ∈ S [a, b] ∧ ϕ ≥ f
למה
הקבוצה Φfלא ריקה וחסומה מלעיל ,והקבוצה Ψfלא ריקה וחסומה מלרע.
לפיכך משלמות הממשיים\אקסיומות החסם העליון נובע כי קיימים .inf Ψf ,sup Φf
הוכחה
.1נוכיח ש־ Φfאינה ריקה:
נתון כי f ∈ Bולפיכך היא חסומה ,ובפרט חסומה מלרע .לכן קיים m ∈ Rכך ש־.f ≥ m
נזכור כי כל פונקציה קבועה היא פונקציית מדרגות ,ולפיכך נגדיר פונקציית מדרגות ϕ = m
על הקטע ].[a, b
מצאנו פונקציית מדרגות שמקיימת ,ϕ ≤ fולפיכך I (ϕ) ∈ Φfולכן היא אינה ריקה.
.2נוכיח ש־ Φfחסומה מלעיל:
נתון כי f ∈ Bולפיכך היא חסומה ,ובפרט חסומה מלעיל .לכן קיים m∗ ∈ Rכך
ש־ ∗.f ≤ m
מהגדרת Φfנובע כי לכל I (ϕ) ∈ Φfמתקיים ,ϕ ≤ fומצירוף שני אי השוויונים נסיק כי
∗.ϕ ≤ f ≤ m
∗
∗
מהגדרת האינטגרל של פונקציית מדרגות נסיק כי אם ϕ ≤ mאז ).I (ϕ) ≤ m (b − a
אם כך מצאנו כי ) m∗ (b − aחסם מלעיל של הקבוצה .Φf
באופן דומה ניתן להראות כי הקבוצה Ψfלא ריקה וחסומה מלרע.
• נגדיר אינטגרל תחתון של fבקטעI (f ) = I [a,b] (f ) = sup Φf :
• נגדיר אינטגרל עליון של fבקטעI (f ) = I [a,b] (f ) = inf Ψf :
למה
) I (f ) ≤ I (f
25
הוכחה
יהיו .I (ϕ2 ) ∈ Ψf ,I (ϕ1 ) ∈ Φfמהגדרת הקבוצות נובע כי.ϕ1 ≤ f ≤ ϕ2 :
ממונוטוניות האינטגרל )לעיל סעיף (11.4.2אם ϕ1 ≤ ϕ2אז ) .I (ϕ1 ) ≤ I (ϕ2
נשים לב שטענה זו נכונה עבור ϕ1 , ϕ2כלשהם ,לכן נסיק ש־) I (ϕ2כלשהו לפי בחירתנו,
גדול או שווה מכל ) ,I (ϕ1משמע ) I (ϕ2חסם מלעיל של .Φf
מתכונות החסם העליון נסיק כי ) ,sup Φf ≤ I (ϕ2ומכיוון שהגדרנו ) sup Φf = I (fנסיק
כי ) .I (f ) ≤ I (ϕ2
נשים לב שוב שטענה זו נכונה עבור ϕ1 , ϕ2כלשהם ,לכן נסיק כי ) I (fחסם מלרע של .Ψf
מתכונות החסם התחתון נסיק כי ) ,inf Ψf ≥ I (fומכיוון שהגדרנו ) inf Ψf = I (fנסיק
כי ) .I (f ) ≤ I (f
איטגרביליות
אם ) I (f ) = I (fנאמר כי fאינטגרבילית ,והאינטגרל שלה בקטע ] [a, bהוא הערך
המשותף של האינטגרל העליון והתחתון.
במקרה כזה נסמן מעתה:
ˆb
= ) I[a,b] (f
f (x) dx
a
דוגמה
1
x∈Q
נבדוק האם הפונקציה
0 x ∈ R\Q
נמצא את קבוצת פונקציות המדרגה שמתחת ל־ ,Dשסימנו לעיל ב־ ,ΦDואת קבוצת פונקציות
המדרגה שמעל Dשסימנו לעיל ב־ ,ΨDונבדוק האם .supΦD = inf ΨD
מהגדרת Dנובע כי ΦD ≤ 0וכן ,ΨD ≥ 1מכאן שהחסם התחתון של ΨDגדול ממש
מהחסם העליון של ,ΦDולכן Dאינה אינטגרבילית.
= ) D (xאינטגרבילית.
11.6
אפיונים שקולים לאינטגרביליות
אפיון ראשון
תהי ].f ∈ B [a, b
מתקיים כי fאינטגרבילית אמ"מ לכל > 0קיימות ] ϕ ≤ f ≤ ψ ,ϕ , ψ ∈ S [a, bכך
ש־
< ) I (ψ ) − I (ϕ
הוכחה
צד א' :נניח כי התנאי שהגדרנו במשפט מתקיים .נסיק:
< ) I (f ) − I (f ) = inf Ψf − sup Φf ≤ I (ψ ) − I (ϕ
26
לכן מתכונות החסם העליון והתחתון נובע כי בהכרח מתקיים ,inf Ψf = sup Φfמשמע
) I (f ) = I (fולכן הפונקציה אינטגרבילית.
צד ב' :נניח כי הפונקציה fאינטגרבילית ,משמע ) .I (f ) = I (f
יהי . > 0
מהנתון שהפונקציה אינטגרבילית נובע כי קיימת ] ϕ ∈ S [a, bכך ש:
2
ˆb
f (x) dx −
> ) I (ϕ
a
וכן שקיימת ] ψ ∈ S [a, bכך ש:
2
ˆb
< ) I (ψ
f (x) dx +
a
נחבר את שני אי השוויונים ונקבל:
b
b
ˆ
ˆ
= I (ψ ) − I (ϕ ) < f (x) dx + − f (x) dx − = +
2
2
2 2
a
a
אפיון שני
נניח שקיימות סדרות ) (ϕn ) , (ψnשל פונקציות מדרגות על הקטע ] ,[a, bכך ש־≤ ϕn ≤ f
.ψn
ˆb
אם ורק אם
אזי fאינטגרבילית ומתקיים ) f (x) dx = lim I (ϕn ) = lim I (ψn
∞→n
∞→n
a
.(I (ψn ) − I (ϕn )) −→ 0
∞→n
הוכחה
.1נראה שהפונקציה אינטגרבילית:
מהאפיון הראשון לאינטגרביליות נובע כי מספיק לדרוש שלכל > 0יהיו קיימות
פונקציות מדרגות ϕ , ψכך ש־ < ) .I (ψ ) − I (ϕ
לכן ברור שאם נתון כי (I (ψn ) − I (ϕn )) −→ 0אז עבור nמספיק גדול ההפרש
∞→n
הזה יהיה קטן מכל , > 0משמע הפונקציה אינטגרבילית.
.2נראה שערך האינטגרל הוא אכן הערך המשותף:
ראינו כי fאינטגרבילית .נשים לב שמהגדרת האינטגרל נובע כי לכל nמתקיים:
ˆb
= I (ϕn ) ≤ sup Φf
) f (x) dx = inf Ψf ≤ I (ψn
a
27
נעביר אגפים ונקבל לפי האפיון הראשון לאינטגרביליות:
ˆb
< ) f (x) dx − I (ϕn ) ≤ I (ψn ) − I (ϕn
≤0
a
ˆb
→ .I (ϕn ) −
לכן לפי משפט הסנדוויץ' נסיק שמתקייםf (x) dx :
∞→n
a
דוגמה לחישוב אינטגרל מסויים לפי ההגדרה
11.7
מבוא :טור חשבוני
לכל n ∈ Nמתקיים:
.1
n2 + n
n
)= (n + 1
2
2
=k
n
X
k=1
.2
2
3
n
n
n
+
+
3
2
6
= k2
n
X
k=1
הוכחה
נשתמש בהוכחה בטריק של טור טלסקופי .כלומר ,טור שכל איבר שלו מבטל את הבא
אחריו ,כך שנשאר רק האיבר הראשון.
למשל:
1
n
X
= ])[k − (k − 1
k=1
n
X
= n = n − (n − 1) + (n − 1) − (n − 2) + (n − 2) ...
k=1
.1נשים לב שמתקיים:
n
n
X
2
X
= k − k 2 − 2k + 1
= )(2k − 1
k=1
=
i
2
)k 2 − (k − 1
k=1
k=1
Pn
Pn
1 = 2 k=1 k − n
Pn
נעביר אגפים בשוויון n2 = 2 k=1 k − nונקבל:
k=1
n + n2
2
28
=k
k−
n
X
k=1
n h
X
Pn
k=1
=2
= n2
.2נשים לב שמתקיים:
h
i
Pn
Pn
3
= n3 = k=1 k 3 − (k − 1) = k=1 k 3 − k 3 − 3k 2 + 3k − 1
2
Pn
Pn
Pn
= 3k − 3k + 1 = 3 k=1 k 2 − 3 k=1 k + k=1 1
2
Pn
+n
k 2 − 3 n+n
2
2
נעביר אגפים בשוויון + n
k 2 − 3 n+n
2
n
X
k=1
Pn
k=1
=
=3
n3 = 3ונקבל:
k=1
3
n 3
n + n2 − n = n3 + + n2
2
2
2
k 2 = n3 +
n
X
3
k=1
נחלק ב־:3
n2
n
n3
+
+
3
2
6
= k2
n
X
k=1
דוגמה
נוכיח באמצעות האפיון השני כי הפונקציה f (x) = x2אינטגרבילית בקטע ] ,[0, 1ושערך
האינטגרל שלה בקטע זה הוא:
1
3
ˆ1
= x2 dx
0
.1נוכיח כי הפונקציה אינטגרבילית:
לכל n ∈ Nנגדיר חלוקה pnשל הקטע ] [0, 1באופן הבא:
1 2
n
pn = 0, , , ...,
n n
n
נגדיר פונקציות מדרגה מתאימות :נסמן ב־ nkכאשר ,k = 0, 1, ..., nאת הקטעים
בחלוקה pnשהגדרנו ,ושבקטעים אלה הפונקציות יוגדרו כקבועות:
2
k
∀x ∈ k−1
ϕn (x) = k−1
n
n , n
k−1 k
n , n
∈ ∀x
k 2
n
= )ψn (x
נשים לב שמהגדרת ) ϕn (x) , ψn (xנובע שמתקיים ) ϕn (x) ≤ x2 ≤ ψn (xלכל
].x ∈ [0, 1
מהאפיון השני לאינטגרביליות נובע שמספיק להראות כי מתקיים:
I (ψn (x)) − I (ϕn (x)) −→ 0
∞→n
29
נשתמש בהגדרת האינטגרל של פונקציות מדרגה ,ונקבל:
2
n
n
2
X
X
1
k−1
)(k − 1
=
3
n
n
n
i=1
i=1
= ))I (ϕn (x
n 2
n
X
X
k
1
k2
= ))I (ψn (x
=
n
n
n3
i=1
i=1
נבדוק את ההפרש) :נשתמש בדרך בכך שמתקבל טור טלסקופי ובנוסחה של טור
חשבוני(
=
(k−1)2
n3
1
n
Pn
i=1
=
−
1 2
n3 n
k2
i=1 n3
=
Pn
i
2
= ))I (ψn (x)) − I (ϕn (x
)k 2 − (k − 1
h
Pn
i=1
1
n3
=
אם כך ברור שכאשר ∞ → nהפרש פונקציות המדרגות שואף ל־ ,0ולפיכך נסיק
מהאפיון השני לאינטגרביליות שהפונקציה f (x) = x2אינטגרבילית.
.2נחשב את ערך האינטגרל:
באפיון השני הראינו כי ערך האינטגרל של הפונקציה שווה לערך האינטגרל של סדרת
פונקציות המדרגות ,כאשר ∞ → .n
מהעובדה שהפונקציה אינטגרבילית נובע שערך האינטגרל של סדרת פונקציות המדרגות
העליונות והתחתונות שווה ,לכן מספיק לחשב אחד מהם) :נשתמש בנוסחה של טור
חשבוני(
n
n
X k2
1 n3
1 X 2
n2
n
1
1
1
= ))I (ψn (x
k
=
=
+
+
= +
+ 2
3
3
3
n
n
n
3
2
6
3
2n
6n
i=1
i=1
קל לראות שכאשר ∞ → nהביטוי שקיבלנו מתכנס ל־ , 13ולפיכך זהו ערך האינטגרל.
11.8
רציפות ואינטגרביליות
כל פונקציה רציפה בקטע סגור אינטגרבילית בו.
הוכחה
תהי fמוגדרת ורציפה בקטע הסגור ].[a, b
ממשפט החסימות של ויירשטראס נובע כי fחסומה על הקטע ,ולכן ניתן להגדיר עליה
אינטגרל.
ממשפט קנטור לרציפות במידה שווה נובע כי היא רציפה במידה שווה בקטע.
מהנתון ש־ fרציפה במידה שווה נובע שלכל > 0קיים δ > 0כך שלכל ]x, y ∈ [a, b
מתקיים כי
b−a
< |)|x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y
יהי , > 0ותהי ) p = (x0 , x1 , ..., xnחלוקה כלשהי של הקטע ].[a, b
30
נגדיר פונקציות מדרגה ϕ , ψבאופן הבא:
ψ |(xi−1 ,xi ) = sup {f (x) |x ∈ (xi−1 , xi )} ≡ Mi
ϕ |(xi−1 ,xi ) = inf {f (x) |x ∈ (xi−1 , xi )} ≡ mi
מהגדרת פונקציות המדרגה נובע כי בכל הקטע ] [a, bמתקיים .ϕ ≤ f ≤ ψ
נשים לב ש־ Mi , miהם ערכים כלשהם של הפונקציה ) 5 ,f (xולכן מרציפות במידה שווה
נובע כי עבור
b−aקיים δכלשהו כך שאם נעדן את החלוקה מספיק כך שלכל iיתקיים
|xi − xi−1 | < δאז לכל iיתקיים .|Mi − mi | < b−a
נשתמש בהגדרת האינטגרל של פונקציות מדרגות ,ונחשב:
= ) mi (xi − xi−1
n
X
Mi (xi − xi−1 ) −
i=1
i=1
= ) (xi − xi−1
b−a
n
X
= ) I (ψ ) − I (ϕ
n
X
< ) (Mi − mi ) (xi − xi−1
n
X
i=1
=
i=1
n
X
= ) (xi − xi−1
= )(b − a
=
b − a i=1
b−a
אם כך לפי האפיון הראשון לאינטגרביליות נוכל להסיק כי הפונקציה אינטגרבילית .
11.9
מונוטוניות ואינטגרביליות
כל פונקציה מונוטונית בקטע סגור אינטגרבילית בו.
הוכחה
תהי fמונוטונית עולה בקטע ] ,[a, bותהי ) p = (x0 , x1 , ..., xnחלוקה ,כך ש־
b−a
xi = a + i
n
6
נגדיר פונקציות מדרגה ϕ, ψבאופן הבא:
) ϕ|(xi−1 ,xi ) = f (xi−1
) ψ|(xi−1 ,xi ) = f (xi
מהגדרת זו נובע כי בקטע ] [a, bמתקיים .ϕ ≤ f ≤ ψ
5כי משפט המקסימום של ויירשטראס קובע שפונקציה רציפה בקטע סגור גם מקבלת בו מקסימום ומינימום.
b−a
.
6נשים לב שזו חלוקה של הקטע ] [a, bלקטעים באורך
n
31
נסיק מכך) :נשתמש בכך שבדרך נקבל טור טלסקופי(
= ) f (xi−1 ) (xi − xi−1
n
X
f (xi ) (xi − xi−1 ) −
i=1
i=1
b−a
−→ 0
∞→n n
n
X
= )I (ψ) − I (ϕ
])[f (xi ) − f (xi−1 )] (xi − xi−1 ) = [f (b) − f (a
n
X
=
i=1
ולכן לפי האפיון השני לאינטגרביליות הפונקציה אינטגרבילית .
12
12.1
גישה שנייה :סכומי רימן
סכום רימן
תהי fפונקציה המוגדרת בקטע סגור ] ,[a, bותהי ) p = (x0 , x1 , ..., xnחלוקה של הקטע
].[a, b
נגדיר ונסמן סכום רימן של fתחת החלוקה pכל ביטוי מהצורה הבאה:
f (ti ) ∆xi
n
X
= ) f (ti ) (xi − xi−1
i=1
n
X
=S
i=1
כאשר tiהיא נקודה שרירותית המקיימת ] ti ∈ [xi−1 , xiעבור .1 ≤ i ≤ n
12.2
פרמטר החלוקה
עבור חלוקה pנתונה ,נגדיר ונסמן את פרמטר החלוקה λלהיות אורך הקטע המקסימלי
בחלוקה .pכלומר:
}| λ (p) = max {|xi − xi−1
1≤i≤n
12.3
אינטגרביליות רימן
תהי fפונקציה מוגדרת בקטע סגור ].[a, b
נאמר כי fאינטגרבילית רימן בקטע זה ,אם קיים מספר ממשי I ∈ Rכך שלכל > 0קיים
,δ > 0כך שלכל סכום רימן Sשל ,fעבור כל חלוקה pבקטע ] ,[a, bמתקיים כי:
< |λ (p) < δ ⇒ |S − I
בכתיב לוגי:
< |∀>0 ∃δ>0 ∀S(f,p[a,b]) λ (p) < δ ⇒ |S − I
32
כאשר )] S (f, p [a, bהוא סכום רימן של fעל חלוקה pבקטע ].[a, b
ערך האינטגרל :אם fאינטגרבילית רימן בקטע ] ,[a, bנאמר כי Iשהגדרנו הוא אינטגרל
של fבקטע ].[a, b
12.3.1
יחידות האינטגרל של רימן
תהי fפונקציה מוגדרת בקטע סגור ].[a, b
אם קיים I ∈ Rשמקיים את ההגדרה לאינטגרביליות רימן של fבקטע זה ,אזי Iיחיד.
לכן נאמר כי Iשהגדרנו הוא האינטגרל של fבקטע ].[a, b
הוכחה
נניח כי ∗ I, Iמקיימים את את ההגדרה לאינטגרביליות של fבקטע ].[a, b
יהי . > 0
מהנתון נובע שקיימים ∗ δ, δבהתאמה ,כך שלכל סכום רימן Sשל fעבור כל חלוקה ,p
מתקיים התנאי גם עבור Iוגם עבור ∗ .Iכלומר:
< |λ (p) < δ ⇒ |S − I
< | ∗ λ (p∗ ) < δ ∗ ⇒ |S − I
יהי Sסכום רימן כלשהו.
כדי שני התנאים יתקיימו ,נבחר חלוקה ,p#כך שעבורה יתקיים:
}) ∗λ p# = min {λ (p) , λ (p
ונגדיר:
} ∗ δ # = min {δ, δ
מכאן שמתקיים עבור החלוקה p#כי:
< δ#
#
λ p
ומהבחירה של p# , δ #כמינימליים מבין השניים ,נובע כי אם λ p# < δ #אז מתקיימים
יחד שני התנאים:
< ||S − I
< | ∗ |S − I
נסיק מכך שלכל מתקיים:
|I − I ∗ | = |I − S + S − I ∗ | ≤ |I − S| + |S − I ∗ | < 2
מכאן שבהכרח ∗ ,I = Iכי אחרת ההפרש ביניהם לא היה קטן כרצוננו .
33
12.4
קריטריון קושי לאינטגרביליות רימן
תהי fפונקציה מוגדרת בקטע סגור ].[a, b
fאינטגרבילית רימן אם ורק אם לכל > 0קיים ,δ > 0כך שלכל זוג סכומי רימן ∗ S, S
של ,fעבור כל חלוקה pשל fבקטע ,מתקיים כי:
< | ∗ λ (p) < δ ⇒ |S − S
הערה :בדומה לקריטריון קושי עבור גבול של סדרה וגבול של פונקציה שלא מגלה את ערך
הגבול שאליו מתכנסת הסדרה או הפונקציה ,גם קריטריון קושי לאינטגרביליות רימן לא
עוסק בערך האינטגרל )שסימנו לעיל (Iשל הפונקציה.
הוכחה
צד א' :נניח כי fאינטגרבילית רימן ,ויהי . > 0
מהנתון נובע שקיים δ > 0כך שלכל סכום רימן Sועבור כל חלוקה pמתקיים:
< |λ (p) < δ ⇒ |S − I
יהיו ∗ S, Sסכומי רימן כלשהם של fעבור חלוקות ∗ p, pכלשהן בהתאמה ,ונסיק מהנתון
שהפונקציה אינטגרבילית רימן שהתנאי מתקיים עבור שתיהן.
כלומר ,עבור הנתון קיימים ∗ δ, δבהתאמה ,כך ש:
< |λ (p) < δ ⇒ |S − I
and
< |λ (p∗ ) < δ ∗ ⇒ |S ∗ − I
נסיק מכך:
|S − S ∗ | = |S − I + I − S ∗ | =≤ |S − I| + |I − S ∗ | < 2
משמע מתקיים קריטריון קושי לאינטגרביליות רימן.
צד ב' :נניח כי מתקיים קריטריון קושי לאינטגרביליות רימן.
תהי ) (Snסדרה של סכומי רימן של ,fשעבורה מתקיים כי סדרת חלוקות מתאימה ) (pn
1
7
מקיימת < ) .λ (pn
n
מהנתון שמתקיים קריטריון קושי נובע שלכל > 0קיים δ > 0מתאים ,כך שלכל זוג סכומי
רימן ∗ S, Sשל ,fעבור כל חלוקה pשל fבקטע ,מתקיים:
< | ∗ λ (p) < δ ⇒ |S − S
7ברור שניתן תמיד להגדיל את מספר הנקודות בכל חלוקה ,כך שהמרחק בין כל שתי נקודות שלה יהיה קטן
כרצוננו .כך למשל ניתן להגדיר סדרה של חלוקות ,כך שכל חלוקה בסדרה כוללת את נקודות החלוקה הקודמת,
בתוספת נקודה אמצעית לכל שתי נקודות בחלוקה הקודמת.
34
יהי > 0ו־ δ > 0מתאים עבורו כך שמתקיים התנאי .נבחר n0מסויים כך שיתקיים
1
= .δ
n0
נסיק מכך שלכל n, m > n0מתקיים קריטריון קושי הנתון:
1
< | ⇒ |Sn − Sm
n0
< )λ (p
מכאן נובע שהסדרה ) (Snהיא סדרת קושי ,ולפיכך היא מתכנסת לגבול כלשהו שנסמן
.I ∈ R
איננו יודעים מתוך קריטריון קושי מהו הערך של ,Iאבל נוכיח שמתקיים < ||S − I
ולפיכך נסיק שהפונקציה אינטגרבילית וערך האינטגרל שלה הוא :I
יהי > 0וה־ δ > 0המתאים עבורו ,כך שמתקיים קריטריון קושי עבור כל ∗ S, Sלכל
חלוקה ,pכפי שהוכחנו:
< | ∗ λ (p) < δ ⇒ |S − S
מכיוון שהסדרה ) (Snמתכנסת ל־ ,Iנבחר n0כלשהו ,כך שהאיבר Sn0בסדרה ) (Sn
מקיים:
1
< |⇒ |Sn0 − I
n0
נבחר
o
1
n0 , δ
n
8 , N1 = minונקבל שאם
1
N
< )λ (p
< ) λ (pאז מתקיימים שני התנאים:
< | |S − SN
< ||SN − I
נסיק מכך:
|S − I| = |S − SN + SN − I| ≤ |S − SN | + |SN − I| < 2
מכאן שהפונקציה אינטגרבילית רימן .
12.5
חסימות ואינטגרביליות רימן
פונקציה אינטגרבילית רימן בקטע סגור ,חסומה בו.
הוכחה
נוכיח כי אם fלא חסומה אז היא לא אינטגרבילית רימן.
תהי fמוגדרת בקטע ] ,[a, bונניח כי היא לא חסומה בקטע זה.
8או באופן שקול אפשר לבחור ,N = max n0 , 1δואז הטענה נכונה עבור .λ (p) < N
35
תהי ) p = (x0 , x1 , ..., xnחלוקה כלשהי של הקטע ] .[a, bמהנתון ש־ fלא חסומה ,נובע
שקיים קטע ) (xi−1 , xiוקיים ) ti ∈ (xi−1 , xiכך שמתקיים:
1
4xi
> |) |f (ti ) − f (xi
]נימוק f (xi ) , (xi − xi−1 ) :הם קבועים ממשיים כלשהם ,ואילו ) f (tiהוא ערך גדול
כרצוננו )גדול חיובי או גדול שלילי( ,שידוע שקיים בגלל אי החסימות של הפונקציה[.
נתבונן בסכום רימן פשוט Sעל החלוקה :p
f (xi ) ∆xi
n
X
=S
i=1
נגדיר סכום רימן אחר ∗ Sעל החלוקה pבאופן הבא:
S ∗ = f (x1 ) ∆x1 + f (x2 ) ∆x2 + ... + f (ti ) ∆xi + ... + f (xn−1 ) ∆xn−1 + f (xn ) ∆xn
נשים לב כי ∗ S, Sשניהם סכומי רימן על החלוקה ,pולכן לו הפונקציה הייתה אינטגרבילית
רימן ההפרש | ∗ |S − Sהיה קטן כרצוננו )כפי שהוכחנו בקריטריון קושי לאינטגרביליות
רימן(.
נחשב:
!
= f (xi ) ∆xi
n
X
i=1
|S ∗ − S| = f (x1 ) ∆x1 + ... + f (ti ) ∆xi + ... + f (xn ) ∆xn −
1
·∆xi = 1
∆xi
> = |f (ti ) − f (xi )| ∆xi
]נימוק :האיברים בסכומים מבטלים אחד את השני[.
לכן קריטריון קושי ששקול לאיטגרביליות רימן לא מתקיים ,ולפיכך מכך ש־ fלא חסומה
נובע כי היא לא אינטגרבילית רימן .
13גישה שלישית :סכומי דארבו
13.1
סכומי דארבו
תהי fפונקציה מוגדרת וחסומה בקטע סגור ] ,[a, bותהי ) p = (x0 , x1 , ..., xnחלוקה של
].[a, b
נתבונן בקבוצה }) .{f (t) |t ∈ (xi−1 , xiזו קבוצה חסומה כי נתון ש־ fחסומה ,וכן זו
קבוצה לא ריקה כי נתון ש־ fמוגדרת בקטע.
נסמן:
36
}] Mi = sup {f (t) |t ∈ [xi−1 , xi
}] mi = inf {f (t) |t ∈ [xi−1 , xi
ברור מההגדרה שמתקיים .mi ≤ f ≤ Mi
נגדיר פונקציות מדרגות ϕp , ψpהמתאימות לחלוקה הנתונה:
ψp |(xi−1 ,xi ) = Mi
ϕp |(xi−1 ,xi ) = mi
]בשביל שלמות ההגדרה אפשר להגדיר בנקודות הקצה את פונקציות המדרגה להיות שוות
לערך הפונקציה באותן נקודות[.
מההגדרה נובע כי .ϕp ≤ f ≤ ψp
נגדיר את סכום דארבו העליון ) (Upperוסכום דארבו התחתון ) (Lowerבאופן הבא:
Mi 4xi
n
X
= )U (p
i=1
mi 4xi
n
X
= )L (p
i=1
הערה
נשים לב כי לפי ההגדרה U (p) ,היא חסם תחתון של קבוצת פונקציות המדרגה שגדולות
מ־ ,fו־) L (pהיא חסם עליון של קבוצת פונקציות המדרגה שקטנות מ־ .f
לכן באופן שבו הגדרנו אינטגרל עליון ותחתון של פונקציות מדרגה ,מתקיים:
ˆb
= ) U (p) = I (ψp
ψp dx
a
ˆb
= ) L (p) = I (ϕp
ϕp dx
a
13.2
הקשר בין סכומי רימן לסכומי דארבו
תהי ] f ∈ B [a, bותהי ) p = (x0 , x1 , ..., xnחלוקה של הקטע ].[a, b
נסמן ב־) σ (pאת קבוצת כל סכומי רימן של הפונקציה fעבור החלוקה .p
אזי מתקיים:
)U (p) = sup σ (p
)L (p) = inf σ (p
37
הוכחה )נוכיח את המקרה של הסכומים העליונים(
ראשית נוכיח כי ) U (pחסם מלעיל של ).σ (p
מהגדרת סכומי רימן ,נובע כי לכל סכום רימן Sמתקיים:
)Mi ∆xi = U (p
n
X
≤ f (ti ) ∆xi
n
X
=S
i=1
i=1
כעת נוכיח כי ) U (pחסם מלעיל מינימלי של ) ,σ (pולכן נסיק שהוא חסם עליון.
נוכיח זאת באמצעות אפיון שקול של חסם עליון.
יהי . > 0
מההגדרה }] Mi = sup {f (t) |t ∈ [xi−1 , xiנובע שלכל 1 ≤ i ≤ nקיים ∗ tכך ש־
] ,t∗ ∈ [xi−1 , xiעבורו:
) n (xi − xi−1
f (t∗ ) > Mi −
משמע קיימים t∗1 , t∗2 , ..., t∗nמתאימים לחלוקה ,pשמגדירים סכום רימן f (t∗i ) ∆xi
n
X
= ∗ ,S
i=1
שעבורו מתקיים:
= ∆xi
) n (xi − xi−1
n
X
Mi −
> f (t∗i ) ∆xi
i=1
∆xi = U (p) −
) n (xi − xi−1
n
X
= ∗S
i=1
n
X
Mi ∆xi −
i=1
n
X
=
i=1
מכאן שלכל > 0קיים סכום רימן ∗ Sכך ש:
)U (p) − < S ∗ < U (p
משמע ) U (pחסם עליון של סכומי רימן .
13.3
אינטגרל עליון ותחתון של דארבו
עבור ] ,f ∈ B [a, bנסמן ב־}){L (p)} , {U (pאת סכומי דארבו העליונים והתחתונים
)בהתאמה( על אוסף כל החלוקות האפשריות.
נגדיר ונסמן אינטגרל עליון ותחתון של דארבו באופן הבא:
})I D (f ) = inf {U (p
})I D (f ) = sup {L (p
38
13.4
הקשר בין אינטגרל עליון ותחתון של דארבו לאינטגרל עליון ותחתון
לכל פונקציה ] f ∈ B [a, bמתקיים:
) I (f ) = I D (f
) I (f ) = I D (f
הוכחה )נוכיח את המקרה של הסכומים העליונים(
נוכיח אי־שוויונים חלשים מנוגדים ומזה נסיק שוויון.
.1נוכיח כי ) .I (f ) ≤ I D (f
נזכור שהגדרנו וסימנו את האינטגרל העליון באופן הבא:
} I (f ) = inf Ψf = inf {I (ψ) |ψ ∈ S [a, b] ∧ ψ ≥ f
נשים לב ש־) U (pעצמו הוא אינטגרל עליון של פונקציית מדרגות כלשהי ,ולכן עבור
כל חלוקה pמתקיים כי .U (p) ∈ Ψf
מכאן ברור כי ) .I (f ) = inf Ψf ≤ I D (f
.2נוכיח כי ) .I D (f ) ≤ I (f
מתווה ההוכחה :לפי ההגדרות של האינטגרלים הללו ,כדי להוכיח אי־שוויון זה צריך
להראות שלכל פונקציית מדרגות f < ψמתקיים ).inf {U (p)} ≤ I (ψ
נזכור שאפיון שקול לחסם תחתון הוא שלכל > 0קיימת חלוקה ∗ pכך ש־
.inf {U (p)} ≤ U (p∗ ) < inf {U (p)} +
לכן כדי להוכיח את אי השוויון ) ,inf {U (p)} ≤ I (ψמספיק להראות שלכל > 0
קיימת חלוקה ∗ pכלשהי כך ש:
U (p∗ ) < I (ψ) +
ההוכחה :יהי . > 0נוכיח קיום של חלוקה pכזאת המקיימת .U (p) < I (ψ) +
יהי .I (ψ) ∈ Ψfמשמע ψהיא פונקציית מדרגות המתאימה לאיזושהי חלוקה
) p = (x0 , x1 , ..., xnשל הקטע ].[a, b
מהנתון f ≤ ψנובע שבכל קטע ) (xi−1 , xiמתקיים:
) sup {f (t) |t ∈ (xi−1 , xi )} ≤ ψ|(xi−1 ,xi
כעת לכל > 0נבנה חלוקה חדשה ∗ pשתקיים את אי השוויון המבוקש < ) ∗U (p
,I (ψ) +באופן הבא:
} p∗ = {x0 , z0 , y1 , z1 , ..., yi , zi , ...yn−1 , zn−1 , yn , xn
כאשר עבור 2 ≤ i ≤ n − 1נבחר את yi , ziכך שיתקיים ,yi < xi < ziובקצוות
.x0 < z0 ,yn < xn
כמו כן עבור 2 ≤ i ≤ n − 1נבחר את yi , ziכך שיתקיים ,zi − yi = δובקצוות
.z0 − x0 = δ ,xn − yn = δ
נדאג שהחלוקה ∗ pתהיה מספיק קטנה עבור:
)λ (p
δ = min
,
4 (n + 1) M
39
כאשר }] ,M = sup {f (x) |x ∈ [a, bוכן ) λ (pהוא פרמטר החלוקה של = p
) .(x0 , x1 , ..., xn
נחשב לפי הגדרת סכום דארבו העליון:
= ) ∗U (p
sup f (t)· (z0 − x0 ) + sup f (t) · (y1 − z0 ) + ...+
] t∈[x0 ,z0
] t∈[z0 ,y1
+... + sup f (t) · (yi − zi−1 ) + sup f (t)· (zi − yi ) + ...+
] t∈[yi ,zi
] t∈[zi−1 ,yi
≤ ) +... + sup f (t) · (yn − zn−1 ) + sup f (t)· (xn − yn
] t∈[zn−1 ,yn
] t∈[yn ,xn
ψ|(xi−1 ,xi ) (xi − xi−1 ) + (n + 1) M · δ ≤ I (ψ) +
n
X
≤
i=1
מסקנה
לכל שתי חלוקות p1 , p2של ] ,[a, bמתקיים כי ) .L (p1 ) ≤ U (p2מסקנה זו נובעת מכך
שהוכחנו כבר כי ,I ≤ Iומהמשפט האחרון נובע כי גם .I D ≤ I D
לפי ההגדרה אלו הם החסם התחתון של אינטגרלי פונקציות המדרגה העליונות ,והחסם
העליון של אינטגרלי פונקציות המדרגה התחתונות ,ולכן המסקנה נכונה לכל זוג חלוקות
שנבחר.
אינטגרל דארבו
13.5
מהשקילות בין הגישה הראשונה של פונקציות מדרגות לגישה השלישית של סכומי דארבו,
נובע שניתן להגדיר אינטגרל דארבו באמצעות סכומי דארבו ,באותו אופן שמגדירים אינטגרל
באמצעות פונקציות מדרגות.
14שקילות הגישות
במטרה להוכיח את השקילות בין אינטגרביליות תחת ההגדרה של פונקציות מדרגות לאיטגרביליות
רימן נוכיח שתי טענות עזר.
למה
1
אם ∗ pחלוקה המתקבלת מחלוקה אחרת pבאמצעות הוספת נקודות ,אזי:
)L (p∗ ) ≥ L (p) , U (p∗ ) ≤ U (p
קל לראות שתוספת נקודות לחלוקה יכולה רק להקטין את האינטגרל העליון )או לא לשנות(
ורק להגדיל את האינטגרל התחתון )או לא לשנות(.
40
למה 2
אם ∗ pחלוקה המתקבלת מחלוקה אחרת pבאמצעות הוספת kנקודות ,אזי:
L (p) ≥ L (p∗ ) − kλ (p) Ω
U (p) ≤ U (p∗ ) + kλ (p) Ω
כאשר ) λ (pהוא פרמטר החלוקה )כלומר ,האינטרוול המקסימלי שבין כל שתי נקודות
בחלוקה( ,וכן:
|)sup |f (x) − f (y
= )Ω = sup f (x) − inf f (x
]x∈[a,b
]x,y∈[a,b
]x∈[a,b
הוכחה
חלק ראשון :נראה שמספיק להוכיח את הטענה עבור .k = 1כלומר עבור תוספת של נקודה
אחת.
נניח כי הטענה נכונה עבור כל המספרים ,1, 2, ..., k − 1ונניח כי ∗ pמתקבלת מ־ pעל־ידי
תוספת של k − 1נקודות ,וכן נניח כי ∗∗ pמתקבלת מ־ ∗ pבאמצעות תוספת של נקודה
9
אחת.
∗
נשים לב כי עבור כל תוספת של נקודות תמיד מתקיים ) ,λ (p ) ≤ λ (pונסיק כי:
≤ U (p) ≤ U (p∗ ) + (k − 1) λ (p) Ω
≤ U (p∗∗ ) + λ (p∗ ) Ω + (k − 1) λ (p) Ω ≤ U (p∗∗ ) + kλ (p) Ω
מכאן שאם הטענה נכונה עבור 1, 2, ..., k − 1אז היא נכונה גם עבור תוספת של kנקודות.
חלק שני :נוכיח את הלמה עבור .k = 1
נניח כי ∗ pמתקבלת מ־ pבאמצעות תוספת של נקודה אחת ,שנסמן ) .x∗ ∈ (xj−1 , xj
נתבונן בביטוי הבא:
"
#
∗
≤ ) sup f (t) (xj − x
] t∈[x∗ ,xj
∗
f (t) (x − xj−1 ) +
sup
∗
U (p) − U (p ) = Mj (xj − xj−1 ) −
] ∗t∈[xj−1 ,x
)≤ Mj (xj − xj−1 ) − mj (xj − xj−1 ) = (Mj − mj ) (xj − xj−1 ) ≤ Ωλ (p
]השוויון הראשון נובע מכך שכל האיברים בשני סכומי דארבו הללו מצטמצמים ,למעט
האיבר שסוכם את האינטרוול שבו התווספה נקודה .מלמה 1נובע כי הביטוי שמתקבל הוא
אי־שלילי.
האי־שוויון הבא נובע מכך ש־ mjהוא חסם תחתון של כל ערכי fעל הקטע ] ,[a, bולכן שני
האיברים בביטוי הימני גדולים ממנו.
האי־שוויון האחרון נובע מכך ש־) (xj − xj−1 ) ≤ λ (pכי פרמטר החלוקה מוגדר להיות
האינטרוול המקסימלי בקטע ] ,[a, bוכן מכך ש־ (Mj − mj ) ≤ Ωכי Mj , mjחסמים על
כל הקטע [.
9כלומר p∗∗ ,מתקבלת מ־ pבאמצעות תוספת של kנקודות.
41
משפט דארבו
14.1
תהי ] .f ∈ B [a, bמתקיים:
)I¯D = I¯ = lim U (p
λ(p)→0
)I D = I = lim L (p
)λ(p
קיים במובן זה שלכל > 0קיים δ > 0כך שאם λ (p) < δאז
הגבול המתואר
< .U (p) − I¯Dובדומה לכך בנוגע לאינטגרל התחתון.
הוכחה
יהי . > 0בגלל ¯
ש־ Iהוא אינפימום של אינטגרלי פונקציות המדרגה העליונות ,נובע שקיימת
חלוקה ∗ pכלשהי כך ש:
I¯ ≤ U (p∗ ) ≤ I¯ +
2
נבחר ,δ = 2M∗ Ωכאשר ∗ Mהוא מספר הנקודות של החלוקה ∗ ,pוכן כמו בלמה 2נגדיר
).Ω = sup f (x) − inf f (x
]x∈[a,b
]x∈[a,b
]הערה :ייתכן כי Ω = 0ואז δלא מוגדר ,אולם במקרה זה בהכרח fפונקציה קבועה ולכן
קל לראות שמשפט דארבו מתקיים לגביה[.
תהי pחלוקה כלשהי של ] [a, bשעבורה ,λ (p) < δ = 2M∗ Ωותהי ∗∗ pחלוקה המקיימת
∗.p∗∗ = p ∪ p
∗∗
נסמן ב־ kאת ההפרש בין מספר הנקודות של pלבין מספר הנקודות של .p
נחשב:
≤ I¯ ≤ U (p) ≤ U (p∗∗ ) + kλ (p) Ω ≤ U (p∗ ) + kλ (p) Ω
+ M ∗ 2M∗ Ω Ω = I¯ +
2
+ M ∗ δΩ = I¯ +
2
≤ U (p∗ ) + M ∗ λ (p) Ω ≤ I¯ +
]האי־שוויון השני נובע מלמה .2
האי־שוויון השלישי נובע מלמה .1
האי־שוויון הרביעי נובע מכך ש־ ∗ ,k ≤ Mלפי בחירת החלוקות.
האי־שוויון החמישי נובע מבחירת החלוקה ∗ pבתחילת ההוכחה כך ש־ ,U (p∗ ) ≤ I¯ + 2
ומכך שבהמשך ההוכחה בחרנו את pכך ש־[.λ (p) < δ
מכאן נובע כי:
I¯ ≤ U (p) ≤ I¯ +
⇓
< ¯U (p) − I
42
14.2
השקילות
פונקציה ] f ∈ B [a, bאינטגרבילית אמ"ם היא אינטגרבילית רימן.
כמו־כן ,ערך האינטגרל שלה הוא ערך אינטגרל רימן שלה.
חלק ראשון) :אינטגרביליות ⇐ אינטגרביליות רימן(
ˆb
¯
נניח כי fאינטגרבילית ,משמע .I = I = f dx
a
יהי . > 0ממשפט דארבו נובע כי קיים δ > 0כך שלכל חלוקה pשעבורה λ (p) < δ
מתקיים כי:
ˆb
< U (p) − f dx
a
ˆb
< L (p) − f dx
a
נשים לב כי לפי ההגדרות ,כל סכום רימן Sשל fעבור החלוקה pמקיים:
)L (p) ≤ S ≤ U (p
נסיק מכך:
f dx +
´b
a
≤ )f dx − ≤ L (p) ≤ S ≤ U (p
⇓
´b
< S − a f dx
´b
a
חלק שני) :אינטגרביליות רימן ⇐ אינטגרביליות(
מהנתון ש־ fאינטגרבילית רימן נובע שקיים מספר ממשי I ∈ Rכך שלכל > 0קיים
,δ > 0כך שלכל סכום רימן Sשל ,fעבור כל חלוקה pבקטע ] ,[a, bמתקיים כי:
< |λ (p) < δ ⇒ |S − I
בפרט גם עבור )) σ (pקבוצת כל סכומי רימן המתאימים לחלוקה נתונה (pמתקיים:
U (p) = sup σ (p) ≤ I +
L (p) = inf σ (p) ≥ I −
נסיק מכך:
43
I¯ = lim U (p) < I +
λ(p)→0
I = lim L (p) > I −
λ(p)→0
]כי ניתן להוציא גבול משני צידי אי השוויון ,וצד ימין לא משתנה כי הוא לא תלוי ב־)[.λ (p
נצרף את הטענה ¯ I ≤ Iונסיק כי:
0 ≤ I¯ − I ≤ 2
נשים לב שקיבלנו את האפיון הראשון לאינטגרביליות.
נשים לב גם כי:
I − ≤ I ≤ I¯ ≤ I +
ולכן גם נוכל להסיק כי לאינטגרל העליון והתחתון ערך אחד משותף ,וזהו ערך האינטגרל
של .f
15
תנאי רימן לאינטגרביליות
] f ∈ B [a, bאינטגרבילית אמ"מ מתקיים:
Wi 4xi = 0
n
X
i=1
lim
λ(p)→0
כאשר עבור כל חלוקה ) p = (x0 , x1 , ..., xnמסמנים:
}) {f (ti
inf
] t∈[xi−1 ,xi
{f (ti )} −
sup
= Wi = Mi − mi
] t∈[xi−1 ,xi
Wiנקרא התנודה של fבקטע הסגור ] .[xi−1 , xi
קיום הגבול שבתנאי רימן ,הוא במובן זה שלכל > 0קיים δ > 0כך שלכל חלוקה p
מתקיים כי:
n
X
⇒ λ (p) < δ
< Wi 4xi
i=1
הוכחה
נחשב עבור חלוקה pכלשהי:
44
= (Mi − mi ) 4xi
n
X
= Wi 4xi
n
X
i=1
i=1
)(Mi 4xi − mi 4xi ) = U (p) − L (p
n
X
=
i=1
לכן תנאי רימן לפיו Wi 4xi = 0
n
X
i=1
lim
שקול לתנאי:
λ(p)→0
lim (U (p) − L (p)) = 0
λ(p)→0
נשים לב שלפי משפט דארבו הביטוי האחרון שקול לכך ש:
lim I¯ − I = 0
λ(p)→0
וזה שקול לאינטגרביליות לפי האפיון הראשון שהוכחנו לאינטגרביליות .
סימון
קבוצת הפונקציות האינטגרביליות בקטע סגור ] [a, bמסומנת:
]R [a, b
45
16
אינווריאנטיות האינטגרל תחת הזזה )מהתרגול(
תהי f : [a, b] → Rפונקציה אינטגרבילית ,ויהי .d ∈ R
נתבונן בפונקציה ) .g (x) = f (x − dפונקציה זו היא .g : [a + d, b + d] → R
אזי מתקיים כי gאינטגרבילית ,וכן:
b+d
ˆ
= f (x) dx
g (x) dx
ˆb
a
a+d
הוכחה :נוכיח כי על התחומים המתאימים מתקיים:
Ψf = Ψg
Φf = Φg
כלומר ,קבוצת אינטגרלי פונקציות המדרגות העליונות של fשווה לקבוצת אינטגרלי פונקציות
המדרגות העליונות של ,gוכך גם לגבי פונקציות המדרגה התחתונות.
מטענה זו נסיק שמהנתון ש־ fאינטגרבילית ,משמע ,inf Ψf = supΦfאז גם g
אינטגרבילית כי ,inf Ψg = inf Ψf = supΦf = supΦgולכן גם ערך האינטגרל שווה.
כדי להוכיח את הטענה הזו נוכיח הכלה הדדית ,למשל בין הקבוצות .Ψf , Ψg
תהי g ≤ ψפוקציות מדרגות בקטע ] [a + d, b + dכך ש־ .I (ψ) ∈ Ψg
נניח כי ψנתמכת על החלוקה ).p = (a + d = x0 , x1 , ..., xn−1 , xn = b + d
נתבונן בפונקציית המדרגות ) ψ ∗ = ψ (x + dבקטע ] ,[a, bכך ש־ .I (ψ) ∈ Ψf
ברור כי פונקציית המדרגות ψנתמכת על החלוקה ,p = a = x∗0 , x∗1 , ..., x∗n−1 , x∗n = b
כאשר .x∗i = xi − d
∗
קל לראות כי מתקיים ,f ≤ ψכי:
)ψ ∗ (x) = ψ (x + d) ≥ g (x + d) = f (x + d − d) = f (x
וכי ) ∗ ) .I (ψ) = I (ψאינטגרל הוא מספר ממשי ,ולכן לא משנה שתחום ההגדרה השתנה(,
ולכן:
I (ψ) ∈ Ψg ⇒ I (ψ) ∈ Ψf
משמע .Ψg ⊆ Ψf
באופן דומה ניתן להראות את ההכלה הפוכה ,ולהסיק כי .Ψf = Ψg
46
17
פונקציית רימן )מהתרגול(
p
נניח כי .x ∈ Rאם x ∈ Qאז הוא ניתן לכתיבה באופן יחיד
q
א
וכן .gcd (p, q) = 1
נגדיר את פונקציית רימן:
(
0
∈ for x
/Q
p
= )f (x
1
= for x ∈ Q x
q
q
= xכאשר ,q ∈ N ,p ∈ Z
∈ xואינה רציפה בכל .x ∈ Q
טענה :פונקציית רימן רציפה בכל / Q
∈ .x0כדי להוכיח רציפות יש להראות כי לכל > 0קיים δ > 0כך ש:
הוכחה :יהי / Q
< |)|x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| = |f (x
]מכיוון ש־ x0אינו רציונלי ,אז לפי הגדרת פונקציית רימן [.f (x0 ) = 0
נבחר N ∈ Nהמקיים < . N1
נגדיר קבוצה Aבאופן הבא:
p
p
∧
) ∈ [x0 − 1, x0 + 1] ∧ (q ≤ N
= A = x ∈ Q| x
q
q
הקבוצה Aמכילה מספר סופי של איברים ,מכיוון ש:
p
≤ x0 + 1
q
⇓
)q (x0 − 1) ≤ p ≤ q (x0 + 1
≤ x0 − 1
ולכן אם נניח ש־ qחסום בהכרח שגם pחסום ,ולכן תמיד יהיה δ > 0מספיק קטן כך שאם
∈ .x
|x − x0 | < δאז / A
נבחר את δ > 0שמקיים את התנאי הנ"ל ,ונבחן את הביטוי |) |f (xבשני מקרים:
∈ xאז f (x) = 0ולכן ודאי < |).|f (x
אם / Q
p
∈ xולכן q > Nלפי הגדרת .Aמכאן
אם x = ∈ Qאז בסביבת δזו מתקיים כי / A
q
1
1
< = |) .|f (x
ש־ <
q
N
p
אכלומר ,השבר
q
הוא שבר מצומצם.
47
טענה :פונקציית רימן אינטגרבילית בכל קטע סגור ,וערך האינטגרל שלה הוא .0
נניח כי ] [a, bקטע כלשהו ונניח כי
הוכחה :נוכיח באמצעות סכומי דארבו.
) p = (a = p0 < p1 < ... < pn = bחלוקה של הקטע.
.1ראשית נשים לב שמהגדרת פונקציית רימן נובע עבור סכום דארבו התחתון מתקיים:
f (x) (pi+1 − pi ) = 0
inf
n−1
X
= ) mi (pi+1 − pi
] i=0 x∈[pi ,pi+1
n−1
X
= Lf,p
i=0
מכאן שאינטגרל דארבו התחתון שווה ל־.0
.2נוכיח כעת שגם אינטגרל דארבו העליון שווה ל־ .0לשם נראה שלכל > 0קיימת חלוקה
,pכך שעבור סכום דארבו העליון מתקיים:
< ) f (x) (pi+1 − pi
sup
n−1
X
= ) Mi (pi+1 − pi
] i=0 x∈[pi ,pi+1
n−1
X
= Uf,p
i=0
1
<
יהי . > 0נבחר N ∈ Nכך ש־
N
)2 (b − a
נגדיר קבוצה Aבאופן הבא:
≥ )A = x ∈ [a, b] |f (x
)2 (b − a
.
∈ xמתקיים תמיד (f (x) = 0וכן:
נשים לב שאם x ∈ Aאז ) x ∈ Qכי עבור / Q
1
p
1
>
f (x) = f
≥ =
q
q
)2 (b − a
N
מכאן שהקבוצה Aמוכלת בקבוצה Bהבאה:
1
1
p
> | ]∈ [a, b
q
q
N
1
1
>
נשים לב ש־ Bהיא קבוצה סופית ,כי
q
N
בהכרח בקבוצה Aיש מספר סופי של איברים.
48
=B
⇔ q < Nו־ q, Nמספרים טבעיים ,ולכן
.3נדון בשני מקרים A :ריקה או Aאינה ריקה.
אם Aריקה ,אז כל ] x ∈ [a, bמתקיים
)2 (b − a
עבור סכום דארבו העליון:
= ) (pi+1 − pi
)2 (b − a
n−1
X
< ) ,f (xולכן לכל חלוקה ,pמתקיים
≤ ) Mi (pi+1 − pi
n−1
X
= Uf,p
i=0
i=0
n−1
X
= ) (pi+1 − pi
< = )(a − b
2 (b − a) i=0
)2 (b − a
2
=
ותהי =
אם Aאינה ריקה ,נסמן ב־ kאת מספר האיברים ב־.A
) (a = p0 < p1 < ... < pn = bחלוקה כלשהי .נסמן:
p
}] I1 = {i = 0, ..., n − 1|∃x ∈ A x ∈ [pi , pi+1
∈ I2 = {i = 0, ..., n − 1|i
} / I1
נשים לב שכל נקודה ששייכת ל־ Aיכולה להיות שייכת לשני קטעים )כי קטעי החלוקה אינם
זרים( ולכן סך הכל ייתכנו 2kנקודות ב־ .I1
אם ] x ∈ [pi , pi+1עבור ,i ∈ I2אז מתקיים
∈ .x
< ) ,f (xכי / A
) 2 (b − a
p
1
,f (x) = fכי qמספר טבעי.
אם ] x ∈ [pi , pi+1עבור ,i ∈ I1אז מתקיים = ≤ 1
q
q
נחשב:
) Mi (pi+1 − pi
X
Mi (pi+1 − pi ) +
i∈I2
X
= ) Mi (pi+1 − pi
n−1
X
= Uf,p
i=0
i∈I1
נשים לב שמתקיים עבור כל אחד משני הביטויים:
)1 · λ (p) ≤ 2kλ (p
P
i∈I1
≤ )Mi λ (p
≤ ) (pi+1 − pi
)2 (b − a
X
P
i∈I1
≤ ) Mi (pi+1 − pi
≤ ) Mi (pi+1 − pi
i∈I2
i∈I2
≤ ) (pi+1 − pi
= )(b − a
)2 (b − a
)2 (b − a
2
מכאן ש< :
2
< ) λ (pמתקיים <
נסיק שעבור
4k
Uf,p ≤ 2kλ (p) +
.Uf,pנבחר
4k
49
X
2.
= .δ
n−1
X
i=0
≤
P
i∈I1
1.
תנודה
18
התנודה של פונקציה f : D → Rבתת־קטע ) I ⊆ Dפתוח או סגור( מוגדרת ומסומנת:
|)WI (f ) = MI − mI = supf (x) − inf f (x) = sup |f (x) − f (y
x∈I
x,y∈I
x∈I
]השוויון האחרון נובע מתכונות החסם העליון והתחתון[.
אריתמטיקה של האינטגרל המסוים
19
יהיו ] f, g ∈ B [a, bויהי .c ∈ Rאזי:
ˆb
f dx ≥ 0 .1
⇒ ) f ≥ 0טענה זו היא מקרה פרטי של הטענה הבאה(
a
ˆb
ˆb
≥ f dx
gdx .2
a
⇒f ≥g
a
ˆb
c · f ∈ R [a, b] .3וכן f dx
ˆb
· c · f dx = c
a
a
ˆb
ˆb
= (f ± g) dx
f dx ±
f ± g ∈ R [a, b] .4וכן gdx
ˆb
a
a
a
הוכחות
נזכור שהגדרנו אינטגרביליות רימן )סעיף (12.3עבור פונקציה כלשהי ] ,f ∈ B [a, bאם קיים
I ∈ Rכך שלכל חלוקה pשל הקטע ] [a, bולכל סכום רימן Sמתאים לחלוקה ,pמתקיים:
f (ti ) 4xi = I
n
X
i=1
lim S = lim
λ(p)→0
λ(p)→0
.1מהנתון f ≥ 0נובע שלכל tiמתקיים כי ,f (ti ) ≥ 0ולכן מתכונות של גבולות נובע
גם:
ˆb
f dx ≥ 0
a
.2הוכחה באותו אופן
50
.3טענה זו מכילה שתי טענות נפרדות :שהפונקציה c · fאינטגרבילית ,ושערך האינטגרל
ˆb
ˆb
שלה הוא . c · f dx = c · f dx
a
a
נוכיח את שתי הטענות יחד:
= (c · f ) (ti ) 4 xi
n
X
i=1
ˆb
c · f dx = lim
λ(p)→0
a
n
X
= c · f (ti ) 4 xi
i=1
ˆb
· f (ti ) 4 xi = c
f dx
= lim
λ(p)→0
n
X
i=1
a
= c · lim
λ(p)→0
.4גם טענה זו מכילה שתי טענות נפרדות מאותה צורה.
נוכיח את שתי הטענות יחד:
= (f ± g) (ti ) 4 xi
n
X
i=1
ˆb
(f ± g) dx = lim
λ(p)→0
a
= (f (ti ) ± g (ti )) 4 xi
n
X
i=1
= g (ti ) 4 xi
n
X
f (ti ) 4 xi ±
i=1
λ(p)→0
n
X
i=1
ˆb
= lim
λ(p)→0
ˆb
f dx ±
gdx
a
20
= lim
=
a
הקבוצה ]R [a, b
כמסקנה מהמשפט האחרון נובע שקבוצת הפונקציות האינטגרביליות בקטע ] [a, bשמסומנת
] ,R [a, bהיא מרחב וקטורי מעל .R
נוכיח מיד את הטענה כי ] R [a, bסגורה לכפל ,ולכן היא אלגברה.
הוכחה
נניח כי ].f, g ∈ R [a, b
51
נשתמש בתנאי רימן לאינטגרביליות שקובע שפונקציה ] h ∈ B [a, bכלשהי אינטגרבילית
אמ"מ מתקיים:
Wi 4xi = 0
n
X
i=1
lim
λ(p)→0
כאשר עבור כל חלוקה ) p = (x0 , x1 , ..., xnמסמנים:
)f (t
f (t) −
inf
] t∈[xi−1 ,xi
sup
= Wi
] t∈[xi−1 ,xi
נתון כי f, gחסומות בקטע ,ולכן קיימים k, l ∈ Rכך ש:
|f | ≤ k , |g| ≤ l
מכאן ברור שגם הפונקציה f · gחסומה ע"י .kl
מכאן נסיק שלכל חלוקה pנתונה ולכל זוג נקודות ] s, t ∈ [xi−1 , xiמתקיים:
= |)|(f g) (t) − (f g) (s)| = |f (t) g (t) − f (s) g (s
≤ |)= |f (t) g (t) − f (s) g (t) + f (s) g (t) − f (s) g (s
= |)≤ |f (t) g (t) − f (s) g (t)| + |f (s) g (t) − f (s) g (s
≤ |)= |f (t) − f (s)| |g (t)| + |g (t) − g (s)| |f (s
≤ W (f ) · l + Wi (g) · k
מכיוון שאי־שוויון זה נכון לכל זוג נקודות ] s, t ∈ [xi−1 , xiנסיק שמתקיים עבור התנודה
של המכפלה:
Wi (f g) ≤ W (f ) · l + Wi (g) · k
מכאן שעבור פונקציית המכפלה מתקיים תנאי רימן לאינטגרביליות:
= [Wi (f ) · l + Wi (g) · k] 4xi
n
X
i=1
= Wi (g) · k · 4xi
n
X
i=1
Wi (f g) 4xi ≤ lim
λ(p)→0
Wi (f ) · l · 4xi + lim
λ(p)→0
Wi (g) · 4xi = l · 0 + k · 0 = 0
n
X
i=1
i=1
n
X
i=1
52
λ(p)→0
= lim
λ(p)→0
Wi (f ) · 4xi + k · lim
λ(p)→0
n
X
lim
n
X
i=1
= l · lim
λ(p)→0
הערה
פונקציה Iשמחזירה את ערך האינטגרל של פונקציה מהקבוצה ] ,R [a, bהיא פונקציה
מהצורה I : R [a, b] → Rולכן היא פונקציונאל לינארי במרחב ].R [a, b
21
תכונות של תחום האינטגרביליות
טענה 1
אם ] f ∈ R [a, bאז גם לכל ] α, β ∈ [a, bמתקיים ].f ∈ R [α, β
מסקנה
] f ∈ R [a, bאמ"מ לכל ] [α, β] ⊆ [a, bמתקיים כי ].f ∈ R [α, β
הכיוון הראשון נובע מהטענה הנ"ל שמייד נוכיח ,והכיוון השני טריוויאלי.
הוכחה
נתון כי fאינטגרבילית על ].[a, b
מתנאי רימן נובע שלכל > 0קיים ,δ > 0כך שלכל חלוקה ) p = (x0 , x1 , ..., xnשעבורה
λ (p) < δמתקיים:
< Wi 4xi
n
X
i=1
תהי ) p∗ = (x∗0 , x∗1 , ..., x∗mחלוקה של קטע ] ,[α, βשעבורה גם כן מתקיים .λ (p∗ ) < δ
נרחיב את ∗ pלהיות חלוקה של הקטע ] ,[a, bתוך שמירה על פרמטר חלוקה ,λ (p∗ ) < δ
חלוקה.
ונניח שמתקבלות nנקודות
#
#
#
#
#
נסמן את החלוקה שהתקבלה ,p = x0 , x1 , ..., xnונשים לב כי pהיא חלוקה של
] [a, bשעבורה .λ p# < δ
לכן מתנאי רימן נובע כי:
Wi 4x#
< i
n
X
≤ Wi 4x∗i
i=1
m
X
i=1
טענה 2
יהי ] c ∈ [a, bממשי ותהי .f : [a, b] → R
אם ] f ∈ R [a, cוגם ] ,f ∈ R [c, bאזי ],f ∈ R [a, b
ˆb
f dx
10
וכן:
ˆc
f dx +
c
ˆb
= f dx
a
10גם הכיוון השני של המשפט נכון ,כפי שנובע מהמשפט הקודם.
53
a
מסקנה
] f ∈ R [a, bאמ"מ לכל ]) [α, β] ⊂ [a, bהכלה ממש( מתקיים כי ].f ∈ R [α, β
]מסקנה זו מרחיבה את המסקנה של המסקנה מהטענה הקודמת[.
הוכחה
תהי ) p = (x0 , x1 , ..., xnחלוקה של ] ,[a, bשעבורה מתקיים )]λ (p) < min ([c − a] , [b − c
עבור cפנימית כלשהי .קיים 0 < j < nיחיד שעבורו מתקיים .xj ≤ c < xj+1
.1נגדיר חלוקה ∗ pהמתקבלת מ־ pבאמצעות הוספת הנקודה cלחלוקה .אם c = xj
מתקיים ∗ ,p = pואחרת מתקיים ∗.p ⊂ p
נסמן את נקודות החלוקה החדשה באופן הבא:
) p∗ = (y0 , y1 , ..., ym
אם c = xjאז ∗ p = pולכן גם m = nואם לא אז .m = n + 1
בחלוקה ∗ pקיים 0 < l < mיחיד כך ש־ ,yl = cכאשר l = jאו ,l = j + 1בהתאמה ,כך
ש־ .xj ≤ yl = c < xj+1
.2נתבונן בסכום רימן Sשמתאים לפונקציה fעם החלוקה pולבחירה כלשהי של ערכים
] ,ti ∈ [xi−1 , xiכאשר :i = 1, ..., n
= ) f (ti ) (xi − xi−1
n
X
=S
i=1
= ) f (ti ) (xi − xi−1
n
X
f (ti ) (xi − xi−1 ) +
i=j+1
= ) f (ti ) (xi − xi−1
n
X
j
X
=
i=1
f (ti ) (xi − xi−1 ) + f (tj+1 ) (xj+1 − xj ) +
i=j+2
j
X
=
i=1
f (ti ) (xi − xi−1 ) + [(l − j) f (c) (yl − yl−1 ) +
j
X
=
i=1
f (ti ) (xi − xi−1 )+
n
X
+ f (c) (yl+1 − yl )] +
i=j+2
]) +f (tj+1 ) (xj+1 − xj ) − [(l − j) f (c) (yl − yl−1 ) + f (c) (yl+1 − yl
]השוויון השני הוא פיצול של הסכום לשני סכומים.
השוויון השלישי הוא פיצול של שני הסכומים לשלושה ,ללא שינוי של האיברים.
השוויון הרביעי הוא הוספה והחסרה של הביטוי ) [.(l − j) f (c) (yl − yl−1 )+f (c) (yl+1 − yl
נשים לב לביטוי האחרון שהתקבל:
54
• השורה הראשונה מייצגת את סכום רימן על הקטע ] ,[a, cעם חלוקה כלשהי שהפרמטר
שלה קטן מ־)) λ (pכי היא מוכלת בחלוקה .(p
מהנתון ש־ fאינטגרבילית על ] [a, cנסיק שסדרת סכומי רימן על ] [a, cתתכנס
ˆc
ל־f dx
a
• השורה השנייה )למעט האיבר האחרון( מייצגת את סכום רימן על הקטע ] ,[c, bעם
חלוקה כלשהי שהפרמטר שלה קטן מ־)) λ (pכי היא מוכלת בחלוקה .(p
מהנתון ש־ fאינטגרבילית על ] [c, bנסיק שסדרת סכומי רימן על ] [c, bתתכנס ל-
ˆb
. f dx
c
• השורה השלישית קטנה כרצוננו עבור ) λ (pמספיק קטן ,כי:
≤ ) f (tj+1 ) (xj+1 − xj ) − (l − j) f (c) (yl − yl−1 ) − f (c) (yl+1 − yl
)≤ f (tj+1 ) λ (p) − (l − j) f (c) λ (p) − f (c) λ (p
לכן לכל סכום רימן Sעל הקטע ] [a, bמתקיים שאם λ (p) < δאז < ,Sולכן מתנאי
רימן לאינטגרביליות נובע כי הפונקציה אינטגרבילית על ].[a, b
כמו־כן מהביטוי של סכום רימן הכללי Sכסכום של שני הסכומים המתאימים על תתי
הקטעים ,ניתן להסיק שהאינטגרל הוא סכום האינטגרלים בתתי הקטעים .
22
אינטגרביליות של פונקציה מורכבת
תהי ] ,f ∈ R [a, b] ,f : [a, b] → [c, dותהי g : [c, d] → Rפונקציה רציפה.
אזי להרכבה g ◦ f : [a, b] → Rמתקיים ].g ◦ f ∈ R [a, b
הוכחה
נוכיח שמתקיים תנאי רימן לאינטגרביליות.
נתון שהפונקציה gרציפה בקטע סגור ולכן היא חסומה,
ש־.|g| ≤ m
12
מאותו נתון גם נובע ש־ gרציפה במידה שווה בקטע.
יהי . > 0מכך ש־ gרציפה במידה שווה נובע שקיים δ1 > 0כך שלכל ] x, y ∈ [c, dאם
|x − y| < δ1אז
< |).|g (x) − g (y
)2 (b − a
מהנתון ש־ fאינטגרבילית על ] [a, bנובע מתנאי רימן לאינטגרביליות שעבור שבחרנו קיים
,δ2 > 0כך שלכל חלוקה ) p = (x0 , x1 , ..., xnשל ] [a, bמתקיים שאם λ (p) < δ2אז:
11
δ1
4m
< ) Wi (f ) (xi − xi−1
משמע קיים 0 < m ∈ Rכך
n
X
i=1
11ממשפט החסימות של ויירשטראס.
12ממשפט קנטור לרציפות במידה שווה.
55
נשים לב שמכאן נובע שלכל האיברים שעבורם Wi (f ) < δ1מתקיים:
)2 (b − a
≤ |))|g (f (s)) − g (f (t
= ) Wi (g ◦ f
sup
] s,t∈[xi−1 ,xi
כמו כן ,עבור אותם איברים שעבורם Wi (f ) ≥ δ1מתקיים:
δ1
4m
X
< ) Wi (f ) (xi − xi−1
X
≤ ) δ1 · (xi − xi−1
) δ1 ≤Wi (f
) δ1 ≤Wi (f
נצמצם את δ1משני צידי אי השוויון ונקבל:
4m
X
< ) (xi − xi−1
) δ1 ≤Wi (f
נחשב את הביטוי שנדרש בתנאי רימן לאינטגרביליות:
= ) Wi (g ◦ f ) (xi − xi−1
n
X
i=1
X
< ) Wi (g ◦ f ) (xi − xi−1
Wi (g ◦ f ) (xi − xi−1 ) +
) δ1 ≤Wi (f
) δ1 >Wi (f
= ) (xi − xi−1
)2 (b − a
< ) (xi − xi−1
X
) δ1 >Wi (f
X
(xi − xi−1 ) +
אי־שוויון המשולש האינטגרלי
תהי fפונקציה אינטגרבילית על ] ,[a, bאזי תמיד:
b
ˆ
ˆb
f dx ≤ |f | dx
a
הוכחה
56
X
) δ1 ≤Wi (f
מכאן שמתקיים תנאי רימן עבור ההרכבה .
a
<
) δ1 ≤Wi (f
) δ1 >Wi (f
)2 (b − a
X
2m (xi − xi−1 ) +
+
= (b − a) = +
)4m 2 (b − a
2 2
23
X
< 2m
= 2m
=
.1ראשית נראה כי הביטוי מוגדר.
הרכבה של פונקציה רציפה על fנותנת פונקציה אינטגרבילית 13 ,ולכן בפרט הרכבה
של פונקציית הערך המוחלט על fהיא פונקציה אינטגרבילית על ] ,[a, bולכן הביטוי
ˆb
מוגדר.
|f | dx
a
.2נוכיח כעת את אי השוויון.
נניח כי ) p = (x0 , x1 , ..., xnחלוקה כלשהי של הקטע ] ,[a, bותהי ] ti ∈ [xi−1 , xi
בחירה כלשהי של נקודות בקטעים המתאימים ,אזי מאי־שוויון המשולש נובע שמתקיים
עבור סכומי רימן המתאימים:
n
n
X
X
≤ ) f (ti ) (xi − xi−1
) |f (ti )| (xi − xi−1
i=1
i=1
לפי הגדרת אינטגרביליות רימן ,ערך האינטגרל של פונקציה הוא ערך הגבול של סכומי
רימן כאשר פרמטר החלוקה .λ (p) → 0
מאריתמטיקה של גבולות נובע שאם ניקח גבול משני צידי אי השוויון שהתקבל הוא
יישמר ,ולכן ערך האינטגרלים משמר את אי השוויון הנ"ל .
13הוכחנו בסעיף .22
57
חלק
IV
הקשר בין הפונקציה הקדומה לאינטגרל
המסוים
24
הפונקציה F
נניח כי ].f ∈ R [a, b
הוכחנו ש־ fגם אינטגרבילית בכל קטע מהצורה ] [a, xעבור .a ≤ x ≤ b
ˆx
נגדיר את הפונקציה Fלהיות .F (x) = f (t) dt
14
a
מהטענה שהזכרנו נובע שהביטוי מוגדר היטב ו־ Fפונקציה של xשמוגדרת בקטע ].[a, b
24.1
רציפות F
ˆx
אם ] ,f ∈ R [a, bאזי הפונקציה f dt
= ) F (xרציפה בקטע ].[a, b
15
a
הערה
עבור ] ,f ∈ R [a, bמטעמי נוחות מגדירים:
ˆa
ˆb
f dx = −
f dx
a
b
הוכחה
יהי a ≤ x ≤ bויהי 4xמספר ממשי כלשהו ,המקיים .a ≤ x + 4x ≤ b
נשים לב שמתקיים:
16
x+4x
ˆ
ˆx
= |)|F (x + 4x) − F (x
= f (t) dt − f (t) dt
a
a
!
|sup |f (t)| |4x
]t∈[a,b
x+4x
ˆ
=
≤ f (t) dt
x
ˆa
14כאשר x = aמגדירים f (t) dt = 0
.
a
15בתנאי המשפט הנוכחי Fלא בהכרח גזירה.
4x16מספר חיובי או שלילי ,ולכן הוא מוגדר היטב תחת תנאי זה.
58
מכאן שכאשר |4x| → 0אז הביטוי |) |F (x + 4x) − F (xשואף ל־ ,0ולכן Fרציפה
ב־ .x
המשפט היסודי של החדו"א )ונספחים(
25
בכל חלקי המשפט נעבוד תחת ההנחות הבאות:
f : [a, b] → Rפונקציה אינטגרבילית בתחום ההגדרה ,כלומר ].f ∈ R [a, b
ˆx
Fפונקציה המוגדרת להיות .F (x) = f (t) dt
a
25.1
טענה F :1כפונקציה קדומה בנקודות שבהן fרציפה
בכל נקודה ] x ∈ [a, bשבה fרציפה ,מתקיים כי הפונקציה ) F (xגזירה )ובפרט גם רציפה(,
ומתקיים השוויון:
)F 0 (x) = f (x
הערה 1
הטענה תקפה גם בנקודות שבקצות הקטע ,עבור רציפות וגזירות חד־צדדיות.
כלומר ,אם fרציפה בנקודת קצה מכיוון אחד ,מתקיים השוויון ) F 0 (x) = f (xעבור F 0
שהיא נגזרת חד־צדדית בכיוון המתאים.
הערה 2
0
הכיוון השני של הגרירה אינו נכון .כלומר ,ייתכן שקיימות פונקציות F, fכך ש־= )F (x
) ,f (xועדיין fלא תהיה רציפה ב־.x
הוכחה
תהי ] x0 ∈ [a, bנקודה שבה fרציפה .כדי להראות את השוויון ) F 0 (x0 ) = f (x0נוכיח
ביטוי שקול שמתקבל מהגדרת הנגזרת:
) F (x0 + ∆x) − F (x0
− f (x0 ) = 0
∆x
lim
∆x→0
נחשב תוך שימוש בהגדרת הפונקציה :F
)f (x0 ) (x + ∆x − x
=
∆x
x0ˆ+∆x
f (t) dt −
) F (x0 + ∆x) − F (x0
1
= ) − f (x0
∆x
∆x
x0
x0ˆ+∆x
(f (t) − f (x0 )) dt
x0ˆ+∆x
1
= f (x0 ) dt
∆x
x0
x0
59
x0ˆ+∆x
1
f (t) dt −
∆x
x0
1
=
∆x
נראה כי הביטוי שהתקבל מתכנס ל־.0
יהי . > 0מהנתון ש־ fרציפה נובע שקיים δ > 0כך שאם |t − x0 | < δאז
< |) .|f (t) − f (x0
נניח כי ,0 < |∆x| < δאז עבור ] t ∈ [x0 , x0 + ∆xמתקיים |t − x0 | < δולכן
< |) .|f (t) − f (x0
נסיק:
x +∆x
x +∆x
ˆ 0
ˆ 0
≤ |f (t) − f (x0 )| dt
≤ (f (t) − f (x0 )) dt
x0
x0
|≤ |f (t) − f (x0 )| · |∆x| < · |∆x
מכאן שמתקיים:
) F (x0 + ∆x) − F (x0
1
≤ ) − f (x0
= |· · |∆x
∆x
||∆x
מכאן שלכל > 0קיים δ > 0כך שערך הביטוי קטן מ־ ,ולכן מתקיים לכל x0שבו f
רציפה:
) F (x0 + ∆x) − F (x0
− f (x0 ) = 0
∆x→0
∆x
⇓
) F (x0 + ∆x) − F (x0
lim
) = f (x0
∆x→0
∆x
⇓
) F 0 (x0 ) = f (x0
lim
25.2
טענה F :2כפונקציה קדומה בקטע שבו fרציפה
.1אם fפונקציה רציפה על ] ,[a, bאז קיימת לה פונקציה קדומה בקטע זה.
.2אם fפונקציה רציפה על ] ,[a, bאז Fהיא פונקציה קדומה של fבקטע זה.
הוכחה
נוכיח כי Fפונקציה קדומה של fבקטע ] [a, bומכך ינבע כמובן קיום של פונקציה קדומה.
ˆx
נתון ש־ fרציפה על ] ,[a, bלכן היא אינטגרבילית בקטע 17 ,ולכן הפונקציה F (x) = f (t) dt
a
מוגדרת היטב בקטע ].[a, b
מהטענה הראשונה של המשפט היסודי של החדו"א נובע שכאשר fרציפה בנקודה ],x ∈ [a, b
הפונקציה Fגזירה ומקיימת ) ,F 0 (x) = f (xמשמע שבמקרה שהיא רציפה בכל נקודה
בקטע F ,היא פונקציה קדומה של fבקטע ].[a, b
17הוכחנו את הטענה הזו בסעיף .11.8
60
אזהרה
נשים לב שהמשפט היסודי של החדו"א קובע באופן שקול שאם אין ל־ fפונקציה קדומה לא
ייתכן כי fאינטגרבילית ורציפה.
עם זאת הכיוון השני אינו נכון :קיום של פונקציה קדומה לא גורר את זה ש־ fאינטגרבילית
ורציפה.
.1ייתכן ש־ fאינטגרבילית ואינה רציפה .למשל:
]x ∈ [−1, 0
]x ∈ (0, 1
0
1
= )f (x
קל לראות ש־ fאינטגרבילית ואינה רציפה ב־ ,0ומכיוון שיש לה אי־רציפות מסוג
ראשון בהכרח אין לה פונקציה קדומה.
הערה :נשים לב שקיימת ל־ fפונקציה קדומה למקוטעין:
]c x ∈ [−1, 0
= )F (x
]x x ∈ (0, 1
.2ייתכן ש־ fגם אינה אינטגרבילית )ובפרט גם אינה רציפה( ,ועדיין יש לה פונקציה
קדומה.
ניקח למשל את הפונקציה הקדומה:
1
2
x sin
x 6= 0
= )F (x
x2
0
x=0
אם נגזור אותה נקבל:
x 6= 0
1
x2
2
cos
x
−
x=0
1
x2
2xsin
0
= )f (x
הפונקציה fלא חסומה בכל קטע שמכיל את ,0ולכן היא אינה אינטגרבילית בקטעים
18
מסוג זה ,על־אף שיש לה פונקציה קדומה.
25.3
טענה :3נוסחת ניוטון־לייבניץ
נניח כי fפונקציה רציפה על ] ,[a, bונניח כי φהיא פונקציה קדומה של fבקטע זה .אזי
מתקיים:
ˆb
f dx = φ (b) − φ (a) ≡ φ (x) |ba
a
הערה
18קיימות דוגמאות מורכבות יותר ,שבהן fאינה אינטגרבילית גם אם היא חסומה וקיימת לה פונקציה קדומה.
61
המשפט תקף גם לכל תת־קטע ] ,[α, β] ⊂ [a, bשכן ממשפט שהוכחנו לעיל נובע כי אם f
19
אינטגרבילית ב־] [a, bאז היא גם אינטגרבילית בכל תת־קטע שלו.
הוכחה
ˆx
מהטענה הקודמת נובע כי f (t) dt
= ) F (xהיא פונקציה קדומה של fבקטע ].[a, b
a
מכאן שקיים קבוע c ∈ Rכך שלכל ] x ∈ [a, bמתקיים:
ˆ
)f dx = φ (x) + c = F (x
]סימון האינטגרל בשוויון זה הוא סימון לאינטגרל הלא־מסוים[.
ובפרט מתקיים עבור הנקודה aהשוויון:
ˆa
= φ (a) = F (a) − c
f dt − c = 0 − c = −c
a
ומכאן שלכל ] x ∈ [a, bמתקיים:
ˆx
)f dt = F (x) = φ (x) + c = φ (x) − (−c) = φ (x) − φ (a
a
הרחבה של נוסחת ניוטון־לייבניץ
נניח כי Fגזירה על ) (a, bפרט למספר סופי של נקודות ,או שהשוויון F 0 = fנכון בכל
הקטע ] [a, bפרט למספר סופי של נקודות.
אם ידוע כי Fפונקציה רציפה על ] ,[a, bאזי למרות שהשוויון F 0 = fאינו נכון לכל הקטע
] ,[a, bעדיין מתקיים:
ˆb
f dt = F (b) − F (a) ≡ F (x) |ba
a
הוכחה
נניח כי ) p = (x0 , x1 , ..., xnחלוקה של הקטע ] ,[a, bכך שנקודות החלוקה pכוללות את כל
הנקודות הבעייתיות .כלומר ,כל הנקודות שבהן Fאינה גזירה או שהיא גזירה אבל .F 0 6= f
בכל תת־קטע של החלוקה מהצורה ] [xi−1 , xiמתקיים כי Fרציפה על כולו וכי היא גזירה
בקטע הפתוח ) .(xi−1 , xi
19הוכחנו טענה זו בסעיף .21
62
נסיק ממשפט הערך הממוצע של לגראנז' שבתנאים אלה שלכל iקיימת נקודה ∈ ρi
) (xi−1 , xiשעבורה מתקיים:
) F (xi ) − F (xi−1 ) = F 0 (ρ) (xi − xi−1 ) = f (ρi ) (xi − xi−1
נסיק משוויון זה:
) f (ρi ) (xi − xi−1
n
X
n
X
= )) (F (xi ) − F (xi−1
= )F (b) − F (a
i=1
i=1
]השוויון הראשון נובע מכך שמדובר בסכום טלסקופי ,ולכן האיברים מבטלים אחד את
האחר ,למעט הראשון והאחרון[.
נשים לב שקיבלנו סכום רימן של הפונקציה fעבור החלוקה pעל הקטע ].[a, b
נתון ש־ fאינטגרבילית בקטע זה ,ולכן כאשר ) λ (p) → 0כלומר ,כאשר בוחרים כל סדרת
חלוקות שמתווספות להן נקודות שמקטינות את פרמטר החלוקה( מתקיים כי:
ˆb
= ) f (ρi ) (xi − xi−1
f dt
n
X
i=1
a
F (b) − F (a) = lim (F (b) − F (a)) = lim
λ(p)→0
λ(p)→0
26
חישוב אינטגרל מסוים באינטגרציה בחלקים
טענה 1
יהיו f, g, ϕפונקציות רציפות על ].[a, b
אם מתקיים השוויון:
ˆ
ˆ
f dx = ϕ (x) − gdx
]סימון האינטגרל בשוויון זה הוא סימון לאינטגרל הלא־מסוים[.
אזי גם:
ˆb
ˆb
f dx = ϕ (x) |ba −
gdx
a
a
הוכחה
נסמןf dx :
נתון כי:
´
= gdx ,F
´
= ,Gכך ש־ F, Gפונקציות קדומות של f, gבהתאמה.
)F (x) = ϕ (x) − G (x
63
ובפרט מתקיים עבור הנקודות a, bכי:
)F (a) = ϕ (a) − G (a
)F (b) = ϕ (b) − G (b
נחסר את שתי המשוואות ונקבל:
])F (b) − F (a) = ϕ (b) − G (b) − (ϕ (a) − G (a)) = [ϕ (b) − ϕ (a)] − [G (b) − G (a
⇓
ˆb
ˆb
b
f dx = ϕ (x) |a − gdx
a
a
טענה 2
נניח כי F, Gפונקציות גזירות על קטע סגור ] ,[a, bובפרט הן רציפות בקטע זה.
נניח גם כי הפונקציות F 0 = f, G0 = gאינטגרביליות בקטע )לא בהכרח רציפות( ,אזי:
ˆb
F G0 dx
ˆb
−
(F G) (x) |ba
0
= F Gdx
a
a
הוכחה
מהנתון ש־ F, Gרציפות נובע שהן אינטגרביליות,
21
אינטגרבילית.
לכן נוכל להסיק לפי נוסחת הנגזרת של מכפלה:
20
ומשכך גם המכפלה שלהן היא פונקציה
0
(F G) = F 0 G + F G0
נעביר אגפים כדי לקבל:
0
F 0 G = (F G) − F G0
נוציא פונקציה קדומה משני הצדדים ונקבל:
ˆ
F 0 Gdx = F G − F G0 dx
20הוכחנו טענה זו לעיל.
21הוכחנו גם טענה זו לעיל.
64
ˆ
ומטענה 1שהוכחנו לעיל נסיק כי גם האינטגרל המסוים מקיים את השוויון:
ˆb
F G0 dx
ˆb
−
(F G) (x) |ba
0
= F Gdx
a
a
חישוב אינטגרל מסוים באינטגרציה בהצבה
27
תהי fפונקציה רציפה על ] [a, bותהי ϕפונקציה גזירה ,כך ש־ ϕ0אינטגרבילית על קטע
שנסמן ] [α, βכך שמתקיים ].ϕ (β) = b ,ϕ (α) = a ,ϕ : [α, β] → [a, b
אזי מתקיים:
ˆβ
f (ϕ (t)) ϕ0 (t) dt
ˆb
= f (x) dx
α
a
הוכחה
.1ראשית נראה כי הביטוי מוגדר.
ˆb
נתון כי fרציפה על ] [a, bולכן היא בפרט גם אינטגרבילית עליו ,כך שקיים f (x) dx
.
a
נתון גם כי קיימת הנגזרת ϕ0ולכן בפרט גם ϕרציפה ,וכן נתון שהנגזרת אינטגרבילית
על ].[α, β
הפונקציה f ◦ ϕהיא הרכבה של פונקציות רציפות ולכן היא רציפה ובפרט גם
אינטגרבילית ,והפונקציה (f ◦ ϕ)·ϕ0היא מכפלה של פונקציות אינטגרביליות ,ומכפלת
פונקציות אינטגרביליות היא אינטגרבילית.
ˆβ
מוגדר.
לכן הביטוי f (ϕ (t)) ϕ0 (t) dt
α
.2נוכיח כעת את השוויון.
מהמשפט היסודי של החדו"א נובע כי מהנתון ש־ fרציפה קיימת לה פונקציה קדומה
שנסמן ,Fהמקיימת F 0 = fלכל ].x ∈ [a, b
נסמן .G = F ◦ ϕפונקציה זו מוגדרת היטב על ] [α, βומקיימת:
G0 = F 0 (ϕ) · ϕ0 = f (ϕ) · ϕ0
נסיק לפי נוסחת ניוטון־לייבניץ:
ˆb
= ))f (x) dx = F (b) − F (a) = F (ϕ (β)) − F (ϕ (α
a
ˆβ
f (ϕ (t)) ϕ0 (t) dt
= )= G (β) − G (α
α
65
גרסה אחרת של המשפט
22
ניתן להחליש את הדרישה על fובמקום לדרוש שהיא תהיה רציפה נדרוש שהיא רק תהיה
אינטגרבילית ,ובמקום זאת להחמיר את התנאי על ,ϕונקבל את המשפט הבא:
תהי fפונקציה אינטגרבילית על ] [a, bותהי ϕפונקציה עולה ממש וגזירה ,כך ש־ ϕ0רציפה
על קטע שנסמן ] [α, βכך שמתקיים .ϕ (β) = b ,ϕ (α) = a
אזי מתקיים:
ˆβ
f (ϕ (t)) ϕ0 (t) dt
= f (x) dx
α
22לא נוכיח את הגרסה הזו.
66
ˆb
a
28
נקודות רציפות של פונקציה אינטגרבילית )מהתרגול(
תזכורת :נניח כי f : D → Rוכי I ⊆ Dקטע .התנודה של fבקטע Iמוגדרת ומסומנת:
|)ωf (I) = supf (x) − inf f (x) = sup |f (x) − f (y
x,y∈I
x∈I
x∈I
אם x0 ∈ Iפנימית ממש לקטע ,Iאזי התנודה של fבנקודה x0מוגדרת ומסומנת:
))ωf (x0 ) = lim ωf ((x0 − δ, x0 + δ
δ→0
למה 1
תהי .f : D → Rאזי x0 ∈ Dנקודת רציפות של fאמ"מ מתקיים עבור התנודה של f
בנקודה זו ωf (x0 ) = 0
הוכחה
בכיוון ראשון :נניח כי fרציפה ב־ .x0כלומר ,לכל > 0קיים δ > 0כך שאם |x − x0 | < δ
אזי < |) .|f (x) − f (x0
נשים לב שמתקיים:
≤ |)|f (x) − f (y)| = |f (x) − f (x0 ) + f (x0 ) − f (y
≤ |f (x) − f (x0 )| + |f (x0 ) − f (y)| < 2
נסיק שמתקיים:
|f (x) − f (y)| = 0
sup
lim ωf ((x0 − δ, x0 + δ)) = lim
δ→0
)δ→0 x,y∈(x0 −δ,x0 +δ
בכיוון שני :נניח ש־ .ωf (x0 ) = 0כלומר ,לכל > 0קיים δ > 0כך שאם δ ∗ < δאז
< )) ∗ .ωf ((x0 − δ ∗ , x0 + δ
נסיק מכאן:
< |)|f (x) − f (y
sup
) ∗ x,y∈(x0 −δ ∗ ,x0 +δ
≤ |) |f (x) − f (x0
מכאן ש־ fרציפה ב־ .x0
למה 2
אם f : [a, b] → Rאינטגרבילית ,אז לכל > 0קיימות c, dהמקיימות ,a < c < d < b
כך ש־ < )] ωf ([c, dוכן < |.|c − d
הוכחה
נבחר ∗ a∗ , bנקודות פנימיות כלשהן של הקטע ] ,[a, bונתבונן בפונקציה האינטגרבילית
] ∗. f |[a∗ ,b
67
מקריטריון רימן לאינטגרביליות נובע שלכל > 0קיים δ > 0כך שלכל חלוקה pשל הקטע
] ∗ [a∗ , bהמקיימת ,λ (p) < δמתקיים:
) ∗ωf ∆pi < (b∗ − a
n−1
X
i=0
נשים לב שעבור החלוקה pבהכרח קיים iכך ש־ < ] .ωiכי אם נניח בשלילה שלכל i
מתקיים > ,ωiנקבל כי הביטוי הנ"ל אינו קטן מספיק[.
נבחר חלוקה pשהפרמטר שלה מקיים ,λ (p) < min 2δ , 2כך שמתקיים התנאי
n−1
X
,ונסיק שקיים בתוכה קטע ] [pi , pi+1כך שעבורו מתקיים:
) ∗ωf ∆pi < (b∗ − a
i=0
<
2
< pi+1 − pi
משפט
אם f : [a, b] → Rאינטגרבילית ,אז קיימת נקודה ] c ∈ [a, bשבה fרציפה.
הוכחה
נגדיר סדרה של קטעים בצורה הבאה:
עבור = 1נבחר קטע פנימי ל־] [a, bשנסמן ] ,[a1 , b1שמתאים לתנאי למה .2כלומר,
b1 − a1 < 1וכן .ω1 ([a1 , b1 ]) < 1
עבור = 21נצמצם את fלקטע ] [a1 , b1ונפעיל את למה 2שוב .נקבל קטע פנימי ל[a1 , b1 ]-
שנסמן ] [a2 , b2שמתאים לתנאי למה .2כלומר b2 − a2 < 21 ,וכן .ω2 ([a2 , b2 ]) < 12
נמשיך באינדוקציה ונקבל סדרה של קטעים [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ ...כך שלכל קטע ] [an , bn
מתקיים bn − an < n1וכן .ωn ([an , bn ]) < n1
סדרה זו עומדת בתנאי הלמה של קנטור ,ולכן קיימת נקודה יחידה ) c ∈ (a, bהמקיימת
∞
\
∈ .c
] [ai , bi
i=1
כדי להוכיח ש־ fרציפה בנקודה ,cנשתמש בלמה ,1ונוכיח כי .ωf (c) = 0
לכל > 0קיים Nכך ש־ < . N1נסיק שלכל > 0קיים קטע ] [aN , bNשבו התנודה
מספיק קטנה ,כך שמתקיים < .ωf ([an , bn ]) < N1
מכאן שלכל > 0קיים δ > 0קטן מספיק שעבורו ) ,(c − δ, c + δ) ⊂ (aN , bNולכן
בהכרח:
< )] ωf (c) = ωf ((c − δ, c + δ)) ≤ ωf ([aN , bN
מסקנה 1
לכל פונקציה אינטגרבילית יש אינסוף נקודות רציפות ,כי ניתן לחלק את תחום
האינטגרביליות שלה לתחומים קטנים כרצוננו שבהם היא אינטגרבילית ,ולהפעיל על כל
אחד מהם את המשפט שהוכחנו.
מסקנה 2
68
אם fפונקציה אינטגרבילית ומתקיים f > 0בתחום האינטגרביליות ,אזי גם האינטגרל שלה
בתחום זה גדול ממש מ־.0
ניתן לראות זאת מהמשפט שקבע ש־ fרציפה ב־ x0כלשהי ששייכת לתחום האינטגרביליות,
וידוע כי ,f (x0 ) > 0ומכאן שיש לה סביבה שלמה חיובית ולא קשה להוכיח שבסביבה זו
האינטגרל יהיה גדול ממש מ־.0
29
קירוב פונקציות באמצעות המשפט היסודי של החדו"א )מהתרגול(
משפט ערך הביניים האינטגרלי
לכל פונקציה fרציפה בקטע ] ,[a, bופונקציה gאינטגרבילית בקטע ] ,[a, bכך שמתקיים
∀x∈[a,b] g (x) ≥ 0או ,∀x∈[a,b] g (x) ≤ 0קיימת נקודה ] c ∈ [a, bכך שמתקיים:
ˆb
g (x) dx
ˆb
)f (x) g (x) dx = f (c
a
a
ובפרט עבור g = 1מתקיים:
ˆb
)f (x) dx = f (c) (b − a
a
קירוב פונקציות
תהי f : [a, b] → Rפונקציה רציפה ,נרצה למצוא פונקציה שתקרב את ערך הפונקציה .f
לשם כך נחפש פונקציה Fδגזירה ברציפות ,כך שלכל > 0ולכל ] x ∈ [a, bנתון יתקיים:
< |)|Fδ (x) − f (x
פונקציית הקירוב
נגדיר משפחה של פונקציות Fδבאופן הבא:
x+δ
ˆ
f (t) dt
1
= )Fδ (x
2δ
x−δ
נשים לב שמכיוון ש־ fאינטגרבילית בכל קטע ,ניתן להסיק מהמשפט היסודי שהפונקציה Fδ
רציפה וגזירה.
69
אם נגזור את Fδנקבל:
0
x
x+δ
ˆ
ˆ
1
= f (t) dt
f (t) dt +
= f (t) dt
2δ
0
x
x−δ
x+δ
ˆ
1
F 0δ (x) =
2δ
x−δ
1
)f (x + δ) − f (x − δ
= ))(f (x) − f (x − δ) + f (x + δ) − f (x
2δ
2δ
=
ממשפט ערך הביניים האינטגרלי נסיק שקיימת נקודה ] cx ∈ [x − δ, x + δכך שמתקיים:
x+δ
ˆ
) f (t) dt = f (cx
1
2δ
= )Fδ (x
x−δ
טיב הקירוב עבור נקודה כלשהי
לכל x0 ∈ Rמתקיים:
) lim Fδ (x0 ) = f (x0
δ→0+
הוכחה :מהנתון ש־ fרציפה נובע שלכל > 0קיים ) δ ∗ > 0להבדיל מהסביבה
] ([x − δ, x + δכך שאם ∗ |x − x0 | < δאז < |) .|f (x) − f (x0
נשים לב ש־] cx0 ∈ [x0 − δ, x0 + δולכן .|cx0 − x0 | < δמכאן שעבור δמספיק קטן,
מתקיים כי |cx − x| < δולכן:
< |)|Fδ (x0 ) − f (x0 )| = |f (cx ) − f (x
טיב הקירוב לכל קטע
לכל קטע ] [a, bולכל > 0מתקיים כי:
< |)∀x∈[a,b] |Fδ (x) − f (x
הוכחה :נתון כי fרציפה בפרט גם על כל קטע סגור מהצורה ] ,[a − 1, b + 1ולכן היא
א
רציפה במידה־שווה בו.
כלומר ,לכל > 0קיים ,δ > 0כך שלכל ] x, y ∈ [a − 1, b + 1המקיימים ,|x − y| < δ
מתקיים < |).|f (x) − f (y
נבחר } δ ∗ = min {δ, 1ונשים לב שלכל ] x ∈ [a, bולכל ] ,cx ∈ [x − δ, x + δמתקיים כי
∗ ,|cx − x| < δולכן:
< |)|Fδ (x) − f (x)| = |f (cx ) − f (x
אממשפט קנטור לרציפות במידה־שווה.
70
חלק
V
טורים אינסופיים
∞
X
.
בנושא זה המטרה היא לתת מובן מוגדר היטב לביטויים מהצורה ai
i=1
מבוא מתורת הקבוצות
30
30.1
יחס שקילות
−1
לכל פונקציה f : A → Bשהיא חח"ע ועל ,קיימת פונקציה הפוכה : B → A
היא חח"ע ועל.
f −1היא פונקציה הפוכה במובן זה שלכל a ∈ Aמתקיים .f −1 (f (a)) = a
במקרה שקיימת פונקציה כזאת בין שתי קבוצות ,A, Bאומרים כי fהיא יחס שקילות בין
Aל־ ,Bומסמנים .A ≈ B
30.2
,fשגם
עוצמה
עוצמה של קבוצה היא מונח שמתאר במובן מסוים גודל של קבוצה סופית או אינסופית.
מסמנים את העוצמה של קבוצה Aכלשהי ב־ #Aאו ב־|.|A
עוצמה של קבוצות נקבעת לפי יחס השקילות בינן לבין קבוצות אחרות .משמע ,אומרים כי
קבוצות ,A, Bסופיות או אינסופיות ,הן בעלות אותה עצמה ,אם קיים יחס שקילות ביניהן.
דוגמאות מרכזיות
• עוצמה של קבוצות סופיות היא מספר טבעי )או (0שמתאר את מספר האיברים
שבקבוצה .כך למשל העוצמה של הקבוצה } {1, 7, 10היא ,3והיא שווה לעוצמה של
הקבוצה } {@, &, $כי ניתן להגדיר ביניהן יחס שקילות.
• עוצמתה של קבוצת המספרים הטבעיים Nמסומנת ב־ .ℵ0בהמשך נוכיח את הטענה
המפתיעה שקבוצת המספרים הרציונליים Qעל אף צפיפותה היא בעלת עוצמת
הטבעיים ,כלומר .#Q = ℵ0
• עוצמתו של כל קטע ממשי מהצורה ] ,[a, bעבור ,a < bמסומנת ב־,(continuum) C
וכן עוצמת כל הישר הממשי Rשווה לעוצמה של כל קטע ,כלומר .#R = C
בהמשך נוכיח את הטענה ש־" ."C > ℵ0
יחס סדר של עוצמות
על קבוצת העוצמות עצמה ניתן להגדיר יחס־סדר באופן הבא:
עבור קבוצות ,A, Bאומרים כי #A ≤ #Bאם קיימת תת קבוצה B ∗ ⊆ Bכך ש־
.#B ∗ = #A
אומרים כי ) #A < #Bממש( אם מתקיים גם #A ≤ #Bוגם .#A 6= #B
71
30.3
קבוצות בנות־מניה )או :עוצמת הטבעיים(
קבוצה Aנקראת בת־מניה ,אם היא קבוצה אינסופית שקיימת פונקציה חח"ע ועל בינה לבין
קבוצת המספרים הטבעיים ,Nאו אם היא קבוצה סופית.
באופן שקול ,קבוצה Aהיא בת־מניה אם ניתן לסדר את כל איבריה בסדרה כך ש־
}.A = {a1 , a2 , ...
טענה נניח כי Aקבוצה אינסופית בת־מניה וכי B ⊆ Aתת־קבוצה אינסופית ,אזי גם B
קבוצה בת־מניה.
הוכחה נתון כי Aבת־מניה ,ולכן נוכל לזהות את כל איבריה עם סדרה מהצורה }.{a1 , a2 , ...
ע"י הסרת האיברים ששייכים ל־ Aולא ל־ Bנקבל תת־סדרה חדשה של כל איברי ,B
ולכן Bבת־מניה.
טענה אם A, Bקבוצות בנות־מניה ,אז גם A ∪ Bהיא קבוצה בת־מניה.
הוכחה נתון כי A, Bבנות־מניה ,ולכן ניתן להציג את כל איבריהם בסדרות מהצורה:
}A = {a1 , a2 , ...} , B = {b1 , b2 , ...
נסדר את כל איברי הסדרה A ∪ Bלמשל בסדרה בצורה } ,{a1 , b1 , a2 , b2 , ...ומכאן
ש־ A ∪ Bקבוצה בת־מניה.
מסקנה איחוד של כל מספר סופי של קבוצות בנות־מניה ,הוא קבוצה בת־מניה) .באינדוקציה(.
טענה תהי ) (Anסדרה אינסופית של קבוצות סופיות ,אזי גם הקבוצה Ai
∞
[
היא קבוצה
i=1
בת־מניה.
הוכחה נתון שכל קבוצה Anמכילה מספר סופי של איברים .נסמן ב־ knאת מספר האיברים
שבקבוצה ה־ .An
∞
[
בסדרה בצורה:
נסדר את כל איברי הקבוצה Ai
i=1
}{a11 , ..., a1k1 , a21 , ..., a2k2 , ..., an1 , ..., ankn , ...
ומכאן ש־ Ai
∞
[
קבוצה בת־מניה.
i=1
טענה תהי ) (Anסדרה אינסופית של קבוצות אינסופיות בנות־מניה ,אזי גם הקבוצה Ai
∞
[
i=1
היא קבוצה בת־מניה.
הוכחה נשתמש בשיטה שנקראת האלכסון של קנטור .נציג את כל איברי כל הסדרות באופן
72
הבא:
}A1 = {a11 , a12 , a13 , ...
}A2 = {a21 , a22 , a23 , ...
}A3 = {a31 , a32 , a33 , ...
.
.
.
}An = {an1 , an2 , an3 , ...
.
.
.
טבלה זו מכילה את כל האיברים שבכל הקבוצות .נסדר את כל איברי הטבלה בשיטה
הבאה:
נרכיב את הסדרה הכללית מתת־סדרות :הראשונה היא האיבר ,a11הבאה היא
האיברים ,a12 , a21זו שאחריה היא ,a13 , a22 , a31וכן הלאה ,כשכל תת־סדרה
מורכבת מאלכסון בטבלה המוצגת.
∞
[
קיבלנו סדרה שמכילה את כל איברי הקבוצה , Aiומכאן שזו קבוצה בת־מניה.
i=1
הערה בהתאם לגישה שהצגנו בהוכחה ,ניתן גם להציג את הקבוצה באופן הבא:
!
∞
∞
[
[
[
= Ai
} {Akl
k+l=n
i=2
i=1
כי ניתן לשים לב שכל קבוצה בסדרה שהגדרנו בהוכחה מכילה האיברים שסכום
∞
[
היא איחוד אינסופי בן־מניה של
שני האינדקסים שלהם קבוע .לכן הקבוצה Ai
i=1
קבוצות סופיות ,ומטענה קודמת נובע כי זו קבוצה בת־מניה.
טענה קבוצת המספרים השלמים Zהיא קבוצה בת מניה.
הוכחה נסדר את כל איברי הקבוצה בסדרה בצורה } ,Z = {0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, ...ומכאן
ש־ Zקבוצה בת־מניה.
טענה קבוצת המספרים הרציונליים Qהיא קבוצה בת־מניה.
p
q
= xכך ש,p ∈ N-
הוכחה נשים לב שהקבוצה Qמכילה רק מספרים ממשיים מהצורה
.q ∈ Z
מכאן שניתן להציג את Qכסכום כל הקומבינציות האפשריות של המונה והמכנה,
באופן הבא:
∞
[
[ p
⊂Q
q
q=1
p∈Z
23
צורה זו היא איחוד של אינסוף בן־מניה של קבוצות אינסופיות בנות־מניה ,ולכן היא
בת־מניה לפי טענה קודמת.
23הסיבה לכך שמתקיימת הכלה ולא שוויון ,היא ש־ Qמכילה רק שברים מצומצמים .כך למשל בקבוצה Qאין
הבדל בין האיבר 12לבין האיבר , 24אולם בקבוצה שהגדרנו יש הבדל.
73
30.4
עוצמת הרצף
לכל ,a < b ,a, b ∈ Rהקטע ] [a, bאינו בן־מניה.
הוכחה
נניח בשלילה שקטע מהצורה ] [a, bהוא קבוצה בת־מניה ,כך שכל איבריה מיוצגים בסדרה
) .(xn
נחלק את הקטע לשלושה תתי־קטעים שווים בגודלם ,ונשים לב שכל נקודה ] x ∈ [a, bשייכת
לכל היותר לשניים מתתי הקטעים שהגדרנו.
נתבונן בנקודה ] .x1 ∈ [a, bקיים תת־קטע שלא מכיל אותה ,שנסמן ] .[a1 , b1
נחלק את תת הקטע ] [a1 , b1לשלושה תתי־קטעים שווים בגודלם ,נבחר את הנקודה הבאה
,x2ונסמן את הקטע שהיא לא שייכת אליו ב־] .[a2 , b2
נמשיך את התהליך עד לאינסוף ,ונקבל סדרה של קטעים:
([an , bn ]) = [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ ...
∈ .xn
כך שלכל nמתקיים/ [an , bn ] :
1
, b−aמכאן
אורכי כל אחד מהקטעים הוא 3מאורך קודמו ,כך שאורך הקטע ] [an , bnהוא 3n
שכאשר ∞ → nאורכי הקטעים שואפים ל־.0
סדרה זו עומדת בתנאי הלמה של קנטור ,ולכן קיימת נקודה יחידה ] x0 ∈ [a, bשמקיימת:
] [an , bn
∞
\
∈ x0
i=1
∈ ,xnנסיק שלכל סדרה ניתן למצוא נקודה ]x0 ∈ [a, b
מכיוון שלכל nמתקיים ] / [an , bn
∈ ,x0בסתירה להנחה שכל האיברים ב־] [a, bמוצגים בסדרה כלשהי
כך ש־}/ {x1 , x2 , ...
בצורה } .{x1 , x2 , ...
31
סכום של קבוצה
תהי Aקבוצה סופית או אינסופית של מספרים ממשיים אי־שליליים.
נגדיר את הסכום של כל איברי Aבאופן הבא:
}a = sup {a1 + a2 + ... + an |a1 , a1 , ..., an ∈ A n ∈ N
X
a∈A
כלומר ,החסם העליון של כל הסכומים הסופיים האפשריים של איברים שונים ב־.A
• למשל אם } ,A = {1, 2, 3אז נקבל:
a = sup {1, 2, 3, 1 + 2, 1 + 3, 2 + 3, 1 + 2 + 3} = 6
X
a∈A
• למשל אם ] ,A = [0, 1אז נקבל:
∞=a
X
a∈A
כי אין חסם עליון לקבוצת כל הסכומים האפשריים שמורכבים מאיברי .A
74
הערה
ששונים לפי הגדרת הקבוצה ,אך ערכם הממשי זהה.
שני איברים
קבוצות מכילות
לעתים
למשל A = 1, 12או ].A = x2 |x ∈ [−1, 1
כדי לשמור על הגדרה עקבית של המונח "איברים שונים" ,ניתן להגדיר סכום באופן הבא:
נניח כי )∞ {aα }α∈A ⊆ [0,היא קבוצה ,אז נגדיר את הקבוצה Aשתתאים אינדקס לכל
איבר שונה בקבוצה המקורית ,ואז הסכום יוגדר באופן הבא:
X
aα
α∈A
31.1
עוצמה של קבוצה שסכומה סופי
נניח כי )∞ {aα }α∈A ⊆ [0,קבוצה המקיימת ∞ < aα
X
,אזי הקבוצה }{α|aα > 0
α∈A
היא קבוצה בת־מניה.
הוכחה
נניח כי מתקיים ∞ < aα = c
X
,אזי מההגדרה של סכום של קבוצה נובע שלכל n ∈ N
α∈A
קיים m ∈ Nכך שמתקיים:
= m ≤ nc
1
n
> # α|aα
כאשר mהוא סימון למספר האיברים בקבוצה . α|aα > n1
]נימוק :נניח בשלילה שקיים nשעבורו מתקיים .m > ncנסכום את mהאיברים שמקיימים
1
,m n1 > ncבניגוד להנחה שהחסם העליון של הסכומים
aα > nונקבל סכום שמקיים c = c
הוא [.c
נסיק מכך בפרט שמתקיים לכל n ∈ Nשהקבוצה α|aα > n1סופית.
מספרים חיוביים יהיו גדולים כרצוננו[.
]נימוק :כי סכומים מקבוצה
אינסופית של
מכאן שניתן להציג את הקבוצה α|aα > n1באופן הבא:
∞
[
1
= }{α|aα > 0
> α|aα
n
n=1
ומכיוון שזה איחוד בן־מניה של קבוצות סופיות ,נסיק שזו קבוצה בת־מניה.
31.2
אפיון שקול לסכום של קבוצה
תהי )∞ {aα }α∈A ⊆ [0,קבוצה בת־מניה ,כך שכל איבריה מוצגים בסדרה מהצורה:
∞
{aα }α∈A = {a1 , a2 , ...} = (an )n=1
אזי מתקיים:
!
an
N
X
n=1
aα = lim
∞→ N
75
X
α∈A
הוכחה
נסמן את האיבר הכללי בסדרה an = SN
N
X
.
n=1
.1ברור מהגדרת סכום של קבוצה בחסם עליון ,שלכל n ∈ Nמתקיים:
aα
X
≤ an
N
X
= SN
n=1
α∈A
כמו־כן נשים לב שמחיוביות הקבוצה נובע שהסדרה SNהיא סדרה מונוטונית לא־
יורדת:
SN +1 = SN + aN +1 ≥ SN
מכאן שהסדרה SNמתכנסת )התכנסות במובן הרחב( לחסם העליון )חסם במובן
הרחב( שלה.
X
.
.2נותר להוכיח כי החסם העליון של SNהוא הסכום aα
α∈A
לשם כך נדון בשני מקרים.
X
,אזי מהגדרת החסם העליון נובע שלכל > 0קיימים האיברים
• אם ∞ < aα
α∈A
a∗1 , a∗2 , ..., a∗mב־} ,{aαכך ש:
X
aα −
> a∗α = a∗1 + a∗2 + ... + a∗m
m
X
α=1
α∈A
מכיוון שזו קבוצה עם סכום סופי ,נסיק שקיים Nמספיק גדול כך ש:
} {a∗1 , a∗2 , ..., a∗m } ⊆ {a1 , a2 , ..., aN
נשים לב שמתקיים:
aα −
X
> SN > Sm
α∈A
ובצירוף הנתון מחלקה הראשון של ההוכחהaα ,
X
≤ ,SNנקבל:
α∈A
aα +
X
α∈A
< aα
X
≤ aα − < SN
α∈A
⇓
X
< aα
SN −
α∈A
76
X
α∈A
X
מכאן שלכל > 0קיים Nמספיק גדול המקיים < aα
,SN −ומכאן ש:
α∈A
aα
X
= lim SN
∞→ N
α∈A
• אם ∞ = aα
X
,אזי לכל M ∈ Rקיימים האיברים a∗1 , a∗2 , ..., a∗mב־} ,{aαכך ש:
α∈A
a∗α = a∗1 + a∗2 + ... + a∗m > M
m
X
α=1
ולכן עבור Nמספיק גדול ,לכל k > Nמתקיים כי ,Sk > Mמכאן שמתקיים:
∞ = lim SN
∞→ N
דוגמה
נניח כי } .A = {2−n |n ∈ Nנוכיח כי a = 1
X
באמצעות המשפט האחרון.
a∈A
נסדר את כל איברי Aבסדרה הבאה:
1 1 1
, , , ...
2 4 8
ונחשב לפי נוסחת הסכום של טור גאומטרי:
!
1 1 − 21N
1
=
lim
1
−
=1
∞→ N
2 1 − 12
2N
31.3
=A
!
= lim
∞→ N
N
X
1
n
2
n=1
a = lim
∞→ N
X
α∈A
הרחבת מושג הסכום של קבוצה
נניח כי {aα }α∈Aקבוצה של מספרים ממשיים כלשהם ,חיוביים או שליליים ,ונניח גם
X
.
שמתקיים ∞ < | |aα
α∈A
נגדיר את הסכום של הקבוצה באופן הבא:
X
X
X
= aα
aα −
) (−aα
α∈A
α∈A
aα <0
aα ≥0
α∈A
הבהרה :מההנחה שסכום הערכים המוחלטים של איברי הקבוצה הוא סופי ,נובע שכל אחד
משני הביטויים שמשמשים להגדרה הם סופיים ,ולכן זה מוגדר היטב.
77
טור אינסופי
32
∞
תהי (an )n=1סדרה של מספרים ממשיים ,חיוביים או שליליים ,אזי הביטוי an
∞
X
נקרא
n=1
"טור אינסופי" ,או בקיצור "טור".
24
סכום חלקי
יהי an
∞
X
טור אינסופי .נגדיר ונסמן את "הסכום החלקי ה־nי" את סכום nהאיברים
n=1
25
הראשונים:
ak
n
X
= Sn
k=1
33
התכנסות של טור
נאמר שטור מהצורה an
∞
X
∞
הוא "טור מתכנס" ,אם סדרת הסכומים החלקיים שלו (Sn )n=1
n=1
מתכנסת לגבול ממשי כלשהו .sכלומר:
lim Sn = s ∈ R
∞→n
במקרה זה נאמר כי sהוא סכום הטור an
∞
X
.אם לא קיים sכזה נאמר שהטור מתבדר.
n=1
הערה הטענה שטור מתבדר כוללת 3מקרים שונים:
.1לסדרה ) (Snאין גבול בשום מובן.
.2הסדרה ) (Snמתכנסת במובן הרחב ל־∞ .במקרה כזה נאמר כי הטור מתבדר ל־∞
∞
X
ונסמן ∞ = an
n=1
.3הסדרה ) (Snמתכנסת במובן הרחב ל־∞ .−במקרה כזה נאמר כי הטור מתבדר
∞
X
ל־∞ −ונסמן ∞an = −
n=1
24הוכחנו לעיל שכל קבוצה שיש לה סכום סופי היא בת־מניה ,ולכן אין טעם לדון בקבוצות שאינם בנות מניה
ונניח שהאיברים ניתנים לסידור.
25חשוב שהאיברים יהיו ראשונים ,כי בהמשך נראה שבטורים אינסופיים לעתים יש חשיבות לסדר הסכימה.
78
33.1
הקשר בין סכום של קבוצה להתכנסות של טור
נניח כי ) (anסדרה אינסופית של מספרים אי־שליליים.
ניתן להתייחס אליה כאל קבוצה ולדון על הסכום שלה an
X
במובן של סכום על קבוצה
n∈N
שהגדרנו ,שהוא החסם העליון של כל הסכומים החלקיים האפשריים ,ללא תלות בסדר
הסכימה.
∞
X
,שהוא הגבול של סדרת
וניתן גם להתייחס אליה כאל סדרה ולדון על הטור שלה an
n=1
הסכומים החלקיים של nהאיברים הראשונים.
מהמשפט שהוכחנו )אפיון שקול לסכום של קבוצה( נובעת שקילות בין שני סוגי הסכומים
הללו ,כלומר:
an
X
= an
∞
X
n=1
n∈N
ושוויון זה אינו רק בערך הסכום של הקבוצה והטור ,אלא גם בעצם קיום הסכום והטור.
∞
X
X
מתכנס .במקרה כזה גם סכומם
אמ"מ הטור an
כלומר ,קיים הסכום הסופי an
n=1
n∈N
שווה.
דוגמה ־ טור הנדסי
טור הנדסי מורכב מאיברים שמוגדרים באמצעות הפרמטרים a0 , α ∈ Rבצורה הבאה:
an = a0 αn
נשים לב לשוויון הטלסקופי:
26
)αn+1 − 1 = (α − 1) (αn + ... + α + 1
⇓
αn+1 − 1
)= (αn + ... + α + 1
α−1
מכאן שסכום חלקי כללי של טור מסוג זה ניתן לביטוי באופן הבא:
αn+1 − 1
α−1
⇓
n+1
n+1
α
−1
α
−α
−1 = a0
Sn = a0
α−1
α−1
· Sn + a0 = a0 (αn + ... + α + 1) = a0
בכדי לקבוע האם הטור מתכנס או מתבדר נשתמש באפיון השקול ונבדוק את הגבול של
סדרה הסכומים החלקיים:
n+1
−α
α
α
−α
a0 · α−1
= a0 · 1−α
for |α| < 1
lim a0
=
∞→n
∞
for |α| ≥ 1
α−1
26שוויון זה מתקיים רק עבור ,α 6= 1כדי שלא נחלק ב־ .0במקרה שבו α = 1קל לראות שסכום הטור ההנדסי
הוא .a0 n
79
לכן טור הנדסי מתכנס אמ"מ ,|α| < 1ובמקרה שהוא מתכנס סכום הטור הוא:
α
1−α
· a0 αn =a0
∞
X
n=1
דוגמה ־ טור טלסקופי
1
)n(n+1
= .an
נבחן את הטור של
נשים לב שמתקיים עבור כל סכום חלקי של הטור:
1
1
1
1
+
+
+ ... +
=
1·2 2·3 3·4
)n (n + 1
1
1 1
1 1
1
1
= 1−
+
−
+
−
+ ... +
−
=
2
2 3
3 4
n n+1
= Sn
1
n+1
= 1−
קל לראות שכאשר ∞ → nסדרה הסכומים החלקיים מתכנסת ל־ ,1ולכן:
∞
X
1
=1
n
(n
)+ 1
n=1
דוגמה
√1
n
= .an
נבחן את הטור של
נשים לב שמתקיים אי השוויון הבא:
√
1
1
1
n
1
1
Sn = 1 + √ + ... + √ ≥ √ + √ + ... + √ = √ = n
n
n
n
n
n
2
מכאן שעל־אף שהאיבר הכללי של הסדרה מתכנס ל־ ,0סדרת הסכומים החלקיים של הטור
מתכנסת לאינסוף ולכן הטור מתבדר.
33.2
קריטריון קושי להתכנסות טור
טור כלשהו an
מתקיים כי:
∞
X
מתכנס אמ"מ לכל > 0קיים N ∈ Nכך שלכל n > Nולכל k ∈ N
n=1
n+k
X
< al
l=n+1
80
הוכחה
תהי Snסדרת הסכומים החלקיים של הטור an
לפי הגדרת התכנסות של טור ,הטור an
∞
X
∞
X
.
n=1
מתכנס ⇔ הסדרה Snמתכנסת ⇔ Snסדרת
n=1
קושי.
המשמעות של הקביעה כי Snהיא סדרה קושי ,היא שלכל > 0קיים N ∈ Nכך שלכל
n > Nולכל k ∈ Nמתקיים:
n+k
n
X
n+k
X
X
= | |Sn+k − Sn
al −
= al
<
l=n+1
l=1
l=1
33.3
הטור ההרמוני
• נראה שהטור הריבועי של הטור ההרמוני מתכנס ,לפי קריטריון קושי:
n+k
X 1
1
1
1
+
+
...
+
=
≤
2
2
2
2
l
)(n + 1
)(n + 2
)(n + k
l=n+1
1
1
1
=
≤
+
+ ... +
)n (n + 1) (n + 1) (n + 2
)(n + k − 1) (n + k
1
1
1
1
1
1
=
−
−
−
=
+
+ ... +
)n (n + 1
)(n + 1) (n + 2
)(n + k − 1) (n + k
1
1
1
= −
<
−→ 0
n n+k
∞→n n
• נראה שהטור ההרמוני מתבדר:
נשים לב שאם טור כלשהו מתכנס ,סדרת הסכומים החלקיים שלו Snמתכנסת ל־s
כלשהו ,ובפרט גם תת הסדרה S2nמתכנסת לאותו גבול .מכאן שסדרת ההפרש
ביניהן צריכה להתכנס ל־.0
נראה שבטור ההרמוני זה לא כך:
1
1
1
1
1
+
+ ... +
·≥n
=
n+1 n+2
2n
2n
2
מכאן שסדרת הסכומים החלקיים של הטור ההרמוני לא מתכנסת .
= S2n − Sn
33.4
תנאי להתכנסות טור
אם טור an
∞
X
מתכנס ,אזי האיבר הכללי שלו שואף ל־ 0באינסוף.
27
n=1
27זה תנאי הכרחי אך לא מספיק .למשל הטור ההרמוני מתבדר למרות שהאיבר הכללי שלו שואף ל־.0
81
הוכחה
נתון שהטור מתכנס ,ולפיכך סדרת הסכומים החלקיים שלו Snמתכנסת ל־ sכלשהו ,ובפרט
גם כל תת־סדרה שלה ,למשל ,Sn+1מתכנסת ל־.s
מכאן שסדרת ההפרשים מתכנסת ל־ .0נסיק מכך:
an = (Sn+1 − Sn ) −→ 0
∞→n
33.5
הטור mזנב
בהינתן טור an
∞
X
ובהינתן ,m ∈ Nהטור " mזנב" הוא הטור שמוגדר:
n=1
∞
X
an
n=m+1
אם ה־ mזנב הוא טור מתכנס ,נסמן את סכומו:
n
X
ak
k=m+1
33.5.1
an = lim
∞→n
∞
X
= rm
n=m+1
הקשר בין התכנסות טור להתכנסות הזנבות שלו
.1אם an
∞
X
הוא טור מתכנס שסכומו ,sאזי לכל mמתקיים כי הטור mזנב מתכנס,
n=1
ומתקיים כי סכומו הוא .rm = s − Sm
.2אם ידוע שקיים m ∈ Nשעבורו mזנב הוא טור מתכנס ,אזי הטור an
∞
X
מתכנס,
n=1
ומתקיים כי סכומו הוא .s = rm + Sm
הוכחה
.1לפי הנתון מתקיים כי .Sn −→ sנסמן את סדרת הסכומים החלקיים של mזנב
∞→n
ב־ .σkכלומר an
m+k
X
= .σk
n=m+1
נשים לב שמתקיים:
σk = (Sm+k − Sm ) −→ s − Sm
∞→k
82
∞
X
.2נתון כי an
= rmטור מתכנס .נסיק מכך:
n=m+1
!
−→ Sm + rm
al
∞→n
n
X
= Sn
Sm +
l=m+1
מסקנות
.1אם מתבוננים בסדרת הזנבות ,rmמתקיים כי .rm −→ 0
∞→m
]הוכחנו שמתקיים ,rm = s − Smונשים לב כי [.Sm −→ s
∞→m
.2כל שינוי/הוספה/החסרה של מספר סופי מאיברי הטור ,לא משפיעה על שאלת
התכנסות הטור.
אריתמטיקה של טורים
33.6
יהיו an = α
∞
X
bn = β ,
n=1
∞
X
,ויהי .c ∈ R
n=1
α ≥ 0 ⇐ ∀n an ≥ 0 .1
α ≤ β ⇐ ∀n an ≤ bn .2
(an ± bn ) = α ± β .3
∞
X
בהתאמה.
n=1
הערה :ההפך לא נכון .כלומר ,ייתכן שהטור ) (an ± bn
מהטורים bn
∞
X
n=1
can = cα .4
an ,
∞
X
∞
X
מתכנס ,אבל כל אחד
n=1
אינו מתכנס.
28
n=1
∞
X
n=1
הוכחות
.1נתון כי 0 ≤ anלכל ,nולכן מתקיים לכל סכום חלקי ,Sn ≥ 0ומאריתמטיקה של
גבולות נובע כי .0 ≤ α
.2נתון כי an ≤ bnלכל ,nולכן מתקיים לכל סכום חלקי ,Sn,an ≤ Sn,bnומאריתמטיקה
של גבולות נובע כי .α ≤ β
28יש לבחון התכנסות של 4טורים(an − bn ) :
∞
X
(an + bn ) ,
n=1
∞
X
n=1
bn ,
∞
X
n=1
an ,
∞
X
.
n=1
אפשר לחשב ולראות שהתכנסות של כל שניים מהם גוררת את התכנסות גם השניים האחרים.
83
.3נחשב את הסכום החלקי של סדרת הסכום/הפרש:
!
N
N
N
X
X
X
=
= ) (an ± bn
an ±
bn −→ α ± β
∞→ N
n=1
n=1
SN
n=1
.4נחשב את הסכום החלקי של הסדרה המוכפלת בקבועֳ:
an −→ cα
∞→ N
34
N
X
can = c
N
X
= SN
n=1
n=1
טורים חיוביים
∞
אם (an )n=1סדרה אינסופית כך ש־ ,∀n an ≥ 0אזי הטור an
∞
X
נקרא טור חיובי.
n=1
תכונה 1במקרה של טור חיובי ,קל לראות שאין חשיבות לסדר הסכימה ,הן לגבי עצם
התכנסות הטור והם לגבי הסכום שלו.
תכונה 2במקרה של טור חיובי ,סדרת הסכומים החלקיים מונוטונית עולה ,ולפיכך הטור
מתכנס אמ"מ סדרת הסכומים החלקיים חסומה.
כמו־כן ,אם הטור מתבדר אז הוא בהכרח מתבדר ל־∞.
34.1
יהיו an
אזי:
קריטריון ההשוואה
∞
X
bn ,
n=1
.1אם bn
∞
X
טורים חיוביים ,ונניח שקיים N ∈ Nכך ש־ .∀n>N an ≤ bn
n=1
∞
X
מתכנס אז גם an
n=1
.2אם an
∞
X
n=1
∞
X
מתכנס.
n=1
מתבדר אז גם bn
∞
X
מתבדר.
n=1
הוכחה ]נשים לב ששני הסעיפים שקולים[
מהתכנסות bn
∞
X
נובע כי גם הטור Nזנב bn
n=1
∞
X
מתכנס.
n=N +1
מהנתון ש־ ∀n>N an ≤ bnנובע שסדרה הסכומים החלקיים an
k
X
חסומה לכל .k
n=N +1
מכיוון שאלו טורים חיוביים נסיק כי הטור Nזנב an
∞
X
מתכנס.
n=N +1
מטענה שהוכחנו לעיל נובע כי אם קיים זנב מתכנס אז גם הטור מתכנס .
84
∞
X
1
מסקנה כל טור מהצורה
nβ
n=1
34.2
עבור 0 ≤ β ≤ 1מתבדר ל־∞ ,כי מתקיים
1
nβ
≤
1
n
.∀n
מבחן המנה )(1
יהיו an
∞
X
bn ,
n=1
∞
X
טורים חיוביים.
n=1
אם קיימים ,0 < α, β ∈ Rו־ N ∈ Nכך שלכל n > Nמתקיים:
an
≤β
bn
≤0<α
אזי שני הטורים מתכנסים ומתבדרים יחד.
הוכחה
נסיק מההנחה שמתקיים:
0 < αbn ≤ an ≤ βbn
∞
X
לכן אם bn
מתכנס אז גם βbn
n=1
מתכנס.
n=1
באותו אופן נסיק כי אם an
נסיק שגם bn
∞
X
מתכנס ,ולפי מבחן ההשוואה נסיק שגם an
∞
X
∞
X
∞
X
n=1
∞
X
מתבדר אז גם βbn
n=1
מתבדר ,ולפיכך ממבחן ההשוואה
n=1
מתבדר .
n=1
an
מסקנה אם קיים הגבול −→ L
∞→bn n
∞
∞
X
X
an
bn ,
מתכנסים ומתבדרים יחד.
)גם אם גבול עליון( כאשר ,0 < L ∈ Rאזי הטורים
n=1
n=1
מכיוון שהסדרה abnnמתכנסת לגבול חיובי ,הרי שניתן לחסום אותה בין שני מספרים
חיוביים ,ולכן מתקיימים תנאי מבחן המנה.
34.3
יהיו an
מבחן המנה )(2
∞
X
bn ,
n=1
∞
X
טורים חיוביים.
n=1
אם קיים N ∈ Nכך שלכל n > Nמתקיים:
an+1
bn+1
≤
an
bn
אזי:
.1אם bn
∞
X
n=1
מתכנס אז גם an
∞
X
מתכנס.
n=1
85
.2אם an
∞
X
מתבדר אז גם bn
∞
X
מתבדר.
n=1
n=1
הוכחה ]נשים לב ששני הסעיפים שקולים[
נשים לב שלכל 1 < k ∈ Nמתקיים:
aN +k
aN +k
aN +2 aN +3 aN +4
·
·
· · ...
=
≤
aN +1 aN +2 aN +3
aN +k−1
aN +1
bN +2 bN +3 bN +4
abN +k
bN +k
·
·
· · ...
=
bN +1 bN +2 bN +5
bN +k−1
bN +1
≤
מכאן שמתקיים:
aN +k
bN +k
≤
aN +1
bN +1
⇓
bN +1 · aN +k ≤ bN +k · aN +1
נשים לב כי הביטויים bN +1 ,aN +1הם קבועים חיוביים כלשהם ,ואי השוויון הנ"ל נכון לכל
1 < k ∈ Nולכן מתקיימים תנאי מבחן ההשוואה .
מבחן קושי
34.4
יהי an
∞
X
טור חיובי .אזי:
n=1
√
.1אם קיימים 0 < q < 1ו־ N ∈ Nכך שלכל n > Nמתקיים , n an < qאז הטור
מתכנס.
√
.2אם קיימים אינסוף ערכים שעבורם , n an ≥ 1אז הטור מתבדר.
הוכחה
√
n
< 0נסיק כי .an < q n < 1
.1מההנחה an < q < 1
∞
X
הוא טור הנדסי שהפרמטר שלו קטן מ־ ,1ולכן מתכנס .לפי
נשים לב שהטור q n
n=1
מבחן ההשוואה נסיק כי an
∞
X
מתכנס.
n=1
√
n
.2אם קיימים אינסוף ערכים המקיימים an ≥ 1
האיבר הכללי לא מתכנס ל־.0
√
√
מסקנה אם lim n an < 1אז הטור מתכנס ,ואם lim n an > 1אז הטור מתבדר.
∞→n
∞→n
√
בפרט אם קיים הגבול הכללי lim n an = cקיים ,אז כל הגבולות החלקיים גם
∞→n
שווים ל־ ,cולכן ההתכנסות תלויה בערך .c
86
אז הם גם מקיימים ,an ≥ 1ולכן
34.5
יהי an
מבחן דלאמבר
∞
X
טור חיובי .אזי:
n=1
an+1
.1אם קיימים 0 < q < 1ו־ N ∈ Nכך שלכל n > Nמתקיים < q
an
מתכנס.
an+1
,אז הטור מתבדר.
.2אם קיים N ∈ Nכך שלכל n > Nמתקיים ≥ 1
an
,אז הטור
הוכחה
.1נגדיר ,bn = q nונשים לב שהטור bn
∞
X
מתכנס עבור .0 < q < 1
n=1
q n+1
bn+1
נשים לב כי מתקיים = n = q < 1
,ומכאן שעבור n > Nמתקיים
bn
q
an+1
bn+1
,ולכן ממבחן קודם נובע שהטור מתכנס.
≤
an
bn
an+1
אז ,an+1 ≥ anולכן האיבר הכללי של הטור לא מתכנס ל־.0
.2אם ≥ 1
an
an+1
an+1
limאז הטור מתכנס ,ואם > 1
מסקנה אם < 1
n→∞ an
n→∞ an
limאז הטור מתבדר.
∞
X
αn
מסקנה טור מהצורה
!n
n=1
34.6
הטור של
29
מתכנס ,לפי מבחן דלאמבר.
1
nβ
∞
X
1
נגדיר את הטור
β
n
n=1
אם β > 1הטור מתכנס ,ואם 0 < β ≤ 1הטור מתבדר.
עבור .0 ≤ β ∈ R
הוכחה הוכחנו את נכונות הטענה עבור הטור ההרמוני ,כלומר עבור .β = 1לכן ממבחן
ההשוואה נובע שלכל 0 < β < 1הטור מתבדר.
an+1
29נשים לב כי אם = 1
an
מתבדר )ניתן להוכיח לפי מבחן ההשוואה עם הטור של
limלא ניתן לדעת האם הטור מתכנס או מתבדר .למשל הטור של
∞→n
1
.( 2n
87
1
n+1
נניח כי ,β > 1אז לכל m ∈ Nמתקיים:
1
1
1
1
1
1
= + β + β + β + β + β + ...
β
2
3
4
5
6
7
= + ...
1
≤
nβ
1
1
1
1
+ β + β + β
β
4
5
6
7
m
2X
−1
n=2m−1
+
1
1
+ β
β
2
3
=
=
m−1
n
n=1
=1+
1
3
7
X
X
X
1
1
1
=
+
+
+ ... +
β
β
n
n
nβ
n=1
n=2
n=4
1
1
1
+ 4 β + ... + 2m−1
=
β
m−1
2β
4
(2
)
1−β
=1+
m
2X
−1
≤1+2
= 1 + 21−β + 41−β + ... + 2m−1
+ ... + 21−β
21−β
∞
X
≤1+
2
= 1 + 21−β + 21−β
n
n=1
21−β
m−1
X
=1+
n=1
מכיוון ש־ β > 1אז ,21−β < 1ולכן קיבלנו טור הנדסי עם פרמטר מתאים קטן מ־ ,1ולכן
הוא מתכנס.
∞
X
1
עבור β > 1חסומה ע"י סכום הטור
מכאן שסדרת הסכומים החלקיים של
nβ
n=1
∞
X
n
.1 +
21−β
n=1
מכיוון שמדובר בטור חיובי ,הרי שסדרת הסכומים החלקיים שלו מונוטונית עולה ממש,
ומכיוון שהיא גם חסומה הרי שהיא מתכנסת ,ולכן לפי הגדרה הטור מתכנס .
88
מבחני התכנסות של טורים חיוביים )סיכום מהתרגול(
35
יהיו an
∞
X
ו־ bn
n=1
∞
X
טורים חיוביים .כלומר an , bn > 0 ,לכל .n
n=1
מבחן ההשוואה :אם קיים N ∈ Nכך שלכל n > Nמתקיים ,an ≤ bnאזי:
∞
∞
∞
∞
X
X
X
X
מתבדר.
מתבדר אזי גם bn
מתכנס .אם an
מתכנס אזי גם an
אם bn
n=1
n=1
n=1
n=1
מבחן ההשוואה באמצעות מנה :יהיו 0 < α ≤ βממשיים ויהי .N ∈ N
אם קיים N ∈ Nכך שלכל n > Nמתקיים abnn ≤ βאזי:
∞
∞
∞
X
X
X
מתבדר אז גם
מתכנס .אם הטור an
מתכנס אז גם הטור an
.1אם הטור bn
הטור bn
∞
X
n=1
n=1
n=1
מתבדר.
n=1
.2אם קיים N ∈ Nכך שלכל n > Nמתקיים ≤ β
ו־ bn
∞
X
an
bn
≤ ,0 < αאזי הטורים an
∞
X
n=1
מתכנסים ומתבדרים יחד.
n=1
מבחן ההשוואה הגבולי:
an
טענה 1נכונה גם אם במקום התנאי הנתון ידוע שקיים הגבול =L
n→∞ bn
והגבול אי־שלילי ).(L ≥ 0
an
limבמובן הצר
טענה 2נכונה גם אם במקום התנאי הנתון ידוע שקיים הגבול = L
n→∞ bn
והגבול חיובי ).(L > 0
limבמובן הצר
מבחן השורש )מבחן קושי(:
√
.1אם קיימים הקבוע 0 < q < 1ו־ ,N ∈ Nכך שלכל n > Nמתקיים , n an ≤ qאזי
∞
X
מתכנס.
הטור an
n=1
√
n
.2אם עבור אינסוף ערכים של nמתקיים , an ≥ 1אזי הטור an
∞
X
מתבדר.
n=1
מבחן השורש הגבולי:
טענה 1נכונה גם אם במקום התנאי הנתון ידוע שקיים הגבול an < 1
∞→n
√
טענה 2גם אם במקום התנאי הנתון ידוע שקיים הגבול . lim n an > 1
√
n
∞→n
89
. lim
מבחן דלאמבר:
≤
q
מתקיים
n
>
N
שלכל
כך
N
∈
ו־N
0
<
q
<
1
מספר
.1אם קיים
, aan+1אזי הטור
n
∞
X
מתכנס.
an
n=1
.2אם קיים N ∈ Nכך שלכל n > Nמתקיים ≥ 1
, aan+1
n
אזי הטור an
∞
X
מתבדר.
n=1
מבחן דלאמבר הגבולי:
an+1
. lim
טענה 1נכונה גם אם במקום התנאי הנתון ידוע שקיים הגבול < 1
n→∞ an
an+1
. lim
טענה 2נכונה גם אם במקום התנאי הנתון ידוע שקיים הגבול > 1
n→∞ an
√
הערה :במבחן השורש מספיק שיתקיים n an ≥ 1עבור אינסוף ערכים ,ולכן מבחן השורש
הגבולי הוא עבור גבול עליון.
aan+1תמיד החל ממקום מסויים ,ולכן מבחן
≥
1
שיתקיים
צריך
לעומת זאת במבחן המנה
n
המנה הגבולי הוא עבור גבול תחתון.
∞
מבחן העיבוי של קושי :נניח כי (an )n=1סדרה של מספרים אי־שליליים שיורדת מונוטונית
∞
∞
X
X
חלש ,אזי הטורים an
ו־ mn amn
עבור 2 ≤ m ∈ Nכלשהו ,מתכנסים ומתבדרים
ביחד.
n=1
n=1
הערה :הרעיון מאחורי מבחני השורש והמנה הוא השוואה לטור גיאומטרי .מבחן השורש
חזק ממבחן המנה.
הרעיון מאחורי מבחן העיבוי של קושי הוא מעבר לסקלה לוגריתמית .אפשר להתייחס אליו
כאל סוג של שינוי משתנה באינטגרל.
90
משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים
36
∞
תהי (an )n=1סדרה של מספרים חיוביים .אם הסדרה מונוטונית ושואפת ל־ ,0אזי:
.1הטור an
n+1
)(−1
∞
X
מתכנס.
n=1
.2הסכום sשל הטור מקיים .0 ≤ s ≤ a1
.3לכל ,mה־ mזנב של הטור )כלומר ,הסכום החל מהאיבר ה (m + 1-מקיים ≤ | |rm
m
,am+1וכן .(−1) rm ≥ 0
הוכחה
.1תהי ak
k+1
)(−1
n
X
= Snסדרת הסכומים החלקיים של הטור.
k=1
)א( נשים לב שעבור תת הסדרה S2nמתקיים:
) S2n = (a1 − a2 ) + (a3 − a4 ) + ... + (a2n−1 − a2n
|
{z
}
} | {z } | {z
>0
>0
>0
בכל סוגריים של תת הסדרה הזו יש איבר חיובי בגלל המונוטוניות והחיוביות
של ,anולכן הסדרה S2nמונוטונית עולה.
נשים לב שגם מתקיים:
S2n = a1 − (a2 − a3 ) − (a4 − a5 ) − ... − (a2n−2 − a2n−1 ) −a2n
{z
} } | {z
|
{z
}
|
<0
<0
<0
למעט האיבר הראשון ) ,(a1בכל סוגריים של תת הסדרה הזו יש איבר שלילי
)גם האיבר האחרון( בגלל המונוטוניות והחיוביות של .an
מהשוויון הראשון הסקנו ש־ S2nחיובית ,ולכן בהכרח מהשוויון השני נובע כי
S2n ≤ a1לכל .n
מכאן ש־ S2nסדרה מונוטונית עולה וחסומה ,ולפיכך היא מתכנסת לגבול סופי
שנסמן .s
)ב( נשים לב שעבור תת הסדרה S2n−1מתקיים:
· (a2n ) = S2n + a2n
2n+1
)S2n−1 = S2n − (−1
נשים לב שלפי הנתון מתקיים כי ,a2n −→ 0ולכן הגבול של S2n−1שווה
∞→n
לגבול של ,S2nולכן S2n−1מתכנסת גם היא ל־.s
מצאנו ששתי תתי־סדרות שמכסות את כל איברי סדרת הסכומים החלקיים
)האיברים באינדקסים הזוגיים ובאינדקסים האי־זוגיים( מתכנסות לגבול סופי,
ולכן הטור מתכנס.
.2הוכחנו כי ,0 ≤ S2n ≤ a1ולכן מאריתמטיקה של גבולות נסיק כי .Sn −→ s ≤ a1
∞→n
91
.3נשים לב שלכל mזנב של הטור מתקיים:
an
n+1
)(−1
∞
X
= rm
n=m+1
)א( עבור mזוגי נסמן bk = am+kונקבל:
bk
k+1
)(−1
∞
X
= rm
k=1
וזה המקרה הכללי של המשפט ,ולכן מתקיים לגביו שסכום הטור קטן מהאיבר
הראשון .b1 = am+1
)ב( עבור mאי־זוגי נסמן bk = am+kונקבל:
bk
k+1
)(−1
∞
X
k
· (−1) bk = −1
∞
X
= rm
k=1
k=1
ולכן נסיק:
0 ≥ −rm ≥ −b1 = −am+1
⇓
0 ≤ |rm | ≤ am+1
n
מסקנה כל טור מהצורה (−1) an
∞
X
)ללא תלות בסימן האיבר הראשון( עבור סדרה
n=1
∞
(an )n=1מונוטונית ומתכנסת ל־ ,0הוא טור מתכנס.
37
התכנסות בהחלט/בתנאי
• הטור an
∞
X
מתכנס בהחלט ,אם הטור | |an
n=1
• הטור an
∞
X
∞
X
מתכנס.
n=1
מתכנס בתנאי ,אם הוא עצמו מתכנס ,אבל הטור | |an
n=1
משפט אם an
∞
X
הטור an
מתבדר.
n=1
מתכנס בהחלט ,אז הוא מתכנס .כלומר ,אם הטור | |an
n=1
∞
X
∞
X
∞
X
n=1
מתכנס.
n=1
92
מתכנס ,אז
∞
הוכחה מהתכנסות טור הערכים המוחלטים נובע שעבור סדרת הזנבות (rm )m=1מתקיים
∞
X
= .rm
|an | −→ 0
∞→m
n=m+1
משמע לכל > 0קיים N ∈ Nכך שלכל m > Nמתקיים < .rm
∞
X
,כי לכל > 0
נסיק שמתקיים קריטריון קושי להתכנסות טורים עבור הטור an
n=1
ולכל k ∈ Nקיים N ∈ Nכך שלכל n > Nמתקיים:
m+k
m+k
X
X
≤
a
< |an | ≤ rm
n
n=m+1
n=m+1
]מאי־שוויון המשולש[
הערה ממשפט זה נובע כי לכל טור ,חיובי או לא חיובי ,ניתן לבחון את טור הערכים
המוחלטים שלו באמצעות מבחני התכנסות של טורים חיוביים ,ובמידה וטור הערכים
מתכנס להסיק כי הטור מתכנס.
∞
X
αn
דוגמה נבחן את הטור מהצורה
n
n=1
,באמצעות מבחן דלאמבר:
n
||α| −→ |α
∞→n
n+1
=
|α|n+1
n+1
|α|n
n
מכאן שהתכנסות הטור תלויה בערך .αאם |α| > 1הטור מתבדר ,אם |α| < 1
הטור מתכנס .אם α = 1הטור מתבדר ואם α = −1הטור מתכנס.
38
מבחן דיריכלה לטורים חסומים
טור־חסום נאמר כי an
∞
X
הוא טור חסום ,אם סדרת הסכומים החלקיים ak
n=1
k=1
היא סדרה חסומה.
משפט נניח כי bn
an bn
∞
X
∞
X
N
X
= SN
טור חסום ,וכי הסדרה
∞
(an )n=1
מונוטונית ומתכנסת ל־ ,0אזי הטור
n=1
מתכנס.
n=1
למה )הטרנספורמציה של אבל ־ (Abel
יהיו .α1 , ..., αm , β1 , ..., βm ∈ Rנסמן Bk = β1 + ... + βkעבור .1 ≤ k ≤ mאזי:
) Bi (αi+1 − αi
m−1
X
i=1
93
αi βi = αm Bm −
m
X
i=1
הוכחה )של הלמה( לצורך שלמות ההגדרה במהלך החישוב נגדיר ,B0 = 0ונחשב:
= αi Bi−1
m
X
αi Bi −
m
X
= ) αi (Bi − Bi−1
= αi βi
i=1
i=1
i=1
i=1
m
X
= ) αi+1 Bi = (α1 B1 + ... + αm Bm ) − (α1 B0 + ... + αm Bm−1
m
X
m−1
X
α i Bi −
i=1
i=0
) Bi (αi+1 − αi
m−1
X
m
X
=
= αm Bm + (α1 − α2 ) B1 + ... + (αm−1 − αm ) Bm−1 = αm Bm −
i=1
למה )מסקנה(
יהיו .α1 , ..., αm , β1 , ..., βm ∈ Rנסמן Bk = β1 + ... + βkעבור .1 ≤ k ≤ m
נניח גם כי |Bi | < Lלכל ,1 ≤ i ≤ mוכן שהקבוצה α1 , ..., αmקבוצה סדורה
מונוטונית .כלומר:
α1 ≤ α2 ≤ ... ≤ αm
or
α1 ≥ α2 ≥ ... ≥ αm
אזי:
m
X
)| αi βi ≤ L (2 |αm | + |α1
i=1
הוכחה )של הלמה( ראשית מהנתון שהקבוצה α1 , ..., αmקבוצה סדורה מונוטונית נובע:
= | |αi+1 − αi | = |α2 − α1 | + ... + |αm − αm−1
m−1
X
i=1
= |α2 − α1 + ... + αm − αm−1 | = αm − α1
נשתמש בשוויון שקיבלנו בטרנספורמציה של אבל ,ונחשב:
m
m−1
X
X
αi βi = αm Bm −
≤ ) Bi (αi+1 − αi
i=1
≤ | |Bi | · |αi+1 − αi
i=1
m−1
X
≤ |αm | · |Bm | +
i=1
)| ≤ L · |αm | + L · |αm − α1 | ≤ L (2 |αm | + |α1
הוכחה )של מבחן דיריכלה(
94
.1נסמן bl
n
X
= .Snמההנחה נובע שקיים m ∈ Rכך שלכל nמתקיים .|Sn | < M
l=1
.2יהי . > 0מההנחה שהסדרה ) (anמתכנסת ל־ 0נובע שקיים N ∈ Nכך שלכל
n > Nמתקיים:
6M
< | |an
.3יהיו k ∈ N , N < m ∈ Nכלשהם ,נסמן לכל :1 ≤ l ≤ k
bn = Sm+l − Sm
m+l
X
= Bl
n=m+1
ונשים לב שמתקיים:
|Bl | = |Sm+l − Sm | ≤ |Sm+l | + |Sm | ≤ 2M
.4מהנתון ש־ Blמהווה סדרה חסומה ומהנתון ש־) (anמונוטונית ,נסיק שהביטוי an bn
n
X
i=1
עומד בתנאי הלמה שהוכחנו ,ולכן מתקיים:
m+k
X
+
=
an bn ≤ 2M (2 |am+k | + |am+1 |) < 2M 2
6M
6M
n=m+1
לפי קריטריון קושי להתכנסות של טורים נסיק שהטור מתכנס .
מסקנה משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים הוא מקרה פרטי של מבחן דיריכלה,
∞
X
n
הוא טור חסום ,ובהינתן שאר תנאי משפט לייבניץ מתקיימים
שכן הטור )(−1
n=1
תנאי משפט דיריכלה.
38.1
מבחן אבל )Abel
נניח כי הטור bn
∞
X
(
∞
מתכנס ,וכי הסדרה (an )n=1מונוטונית וחסומה ,אזי הטור an bn
n=1
∞
X
n=1
מתכנס.
]נשים לב שבתנאי מבחן דיריכלה דרשנו שהטור יהיה חסום ושהסדרה תתכנס ל־.0
במבחן אבל חיזקנו את הדרישה על הטור -שיתכנס -והחלשנו את הדרישה על הסדרה -
שתתכנס ,אבל לא בהכרח ל־[.0
הוכחה
95
נתון שהסדרה ) (anמונוטונית וחסומה ,ולכן היא מתכנסת לגבול סופי שנסמן .a
נשים לב שלפיכך הסדרה שמוגדרת ) (an − aהיא מונוטונית ומתכנסת ל־.0
∞
X
מתכנס ,ולכן בפרט הוא טור חסום.
נתון שהטור bn
n=1
נסיק ממבחן דיריכלה שהטור (an − a) bn
∞
X
מתכנס.
n=1
נשים לב שמתקיים לכל סכום חלקי N־י:
bn
N
X
(an − a) bn + a
N
X
= an bn
n=1
n=1
N
X
n=1
ומכאן שאם ∞ → ,Nמהתכנסות שני הטורים שבחלק הימני של השוויון נסיק את התכנסות
הטור המבוקש ,לפי הגדרת התכנסות של טור .
39
הכנסת סוגריים
נאמר כי הטור σn
∞
X
מתקבל מהטור an
n=1
∞
∞
X
על־ידי הכנסת סוגריים ,אם קיימת תת־סדרה
n=1
,(ank )k=1כך שלכל k ∈ Nמתקיים:
nk
X
al
= σk
l=nk−1 +1
כלומר ,אוגדים את איברי הטור an
∞
X
באופן הבא:
n=1
∞
X
an = (a1 + ... + an1 ) + (an1 +1 + ... + an2 ) + ... + ank−1 +1 + ... + ank
{z
}
|
{z
}
|
|
{z
}
n=1
=σ2
=σk
משפט )א( אם הטור an
∞
X
=σ1
מתכנס ,אזי כל טור המתקבל ממנו על־ידי הכנסת סוגריים,
n=1
יתכנס לאותו סכום.
)ב( אם בטור שהתקבל על־ידי הכנסת סוגריים ,מתקיים שבכל סוגריים כל האיברים
שווי־סימן ,אזי מהתכנסות הטור עם הסוגריים נובעת התכנסות הטור המקורי לאותו
סכום.
)ג( אם מתקיים כי ,(an ) −→ 0וכן בטור שהתקבל על־ידי הכנסת הסוגריים מתקיים
∞→n
שמספר האיברים שבכל סוגריים חסום ,אזי מהתכנסות הטור עם הסוגריים נובעת
התכנסות הטור המקורי לאותו סכום.
הערה במקרה שבו האיברים בכל סוגריים אינם שווי־סימן ,ייתכן שהטור המקורי מתבדר
והטור שמתקבל מהכנסת הסוגריים ייתכנס.
96
למשל הטור
n
)(−1
∞
X
מתבדר ,אולם הטור 0
n=1
n=1
n=1
מתכנס.
∞
X
=
n+1
n
)(−1) + (−1
∞
X
הוכחה )א( נתון שקיימת תת־סדרה כלשהי ) (ankשמגדירה טור עם הכנסת סוגריים
מהצורה:
σk
∞
X
k=1
כאשר מתקיים:
nk
X
al
= σk
l=nk−1 +1
נשים לב היטב שנובע מכך עבור סכום חלקי כלשהו של הטור:
al
nk
X
= σl
l=1
ולכן סדרת הסכומים החלקיים של הטור σk
החלקיים של הטור an
מכאן שאם הטור an
∞
X
n=1
∞
X
k
X
l=1
∞
X
היא תת־סדרה של סדרת הסכומים
k=1
.
מתכנס ,משמע סדרת הסכומים החלקיים שלו מתכנסת,
n=1
אזי גם כל תת־סדרה שלה מתכנסת לאותו הגבול ,ולכן הטור σk
∞
X
מתכנס לאותו
k=1
סכום .
הוכחה )ב( נניח כי σk
∞
X
טור מתכנס ל־ ,s ∈ Rוכן מנתוני המשפט כל האיברים שבכל
k=1
סוגריים הם שווי־סימן.
תת הסדרה ) (ankמוגדרת באמצעות סדרה עולה ממש של אינדקסים מהצורה ) .(nk
נשים לב שלכל M ∈ Nקיים k ∈ Nיחיד ,כך ש ,nk + 1 ≤ M ≤ nk+1 -ולכן
מתקיים:
∞ →k −
∞→ M
97
נוכיח כעת שסדרת הסכומים החלקיים של הטור an
∞
X
חסומה ומתכנסת ל־:s
n=1
M
n
k
X
X
≤ al + (ank +1 + ... + aM ) − s
= al − s
l=1
l=1
k
k
X
X
| σl − s + |σk+1
≤
≤ |) σl − s + |(ank +1 + ... + aM
l=1
l=1
נשים לב ש ,k −→ ∞-ולכן מהנתון שהטור עם הסוגריים מתכנס ל־ sנובע כי:
∞→ M
k
X
σl − s −→ 0
∞→ k
l=1
וכן מאותו נתון נובע גם:
|σk+1 | −→ 0
∞→k
כי איבר כללי של טור מתכנס מוכרח לשאוף ל.0-
הוכחה )ג( משמעותו של הנתון שמספר האיברים שבכל סוגריים חסום ,היא שלכל kמתקיים
nk+1 − nk ≤ mעבור mטבעי כלשהו.
נגדיר באותו אופן:
nk
X
al
= σk
l=nk−1 +1
כך שמתקיים:
al = Snk
nk
X
= σl
l=1
k
X
l=1
נתון כי הטור עם הסוגריים מתכנס ,ולכן מתקיים עבור סדרת הסכומים החלקיים:
Snk −→ L
∞→k
מהנתון (an ) −→ 0נסיק שמתקיים:
∞→n
(Sn+1 − Sn ) = (an ) −→ 0
∞→n
למה תהי ) (xnסדרה המקיימת (xn+1 − xn ) −→ 0ותהי ) (xnkתת־סדרה בקפיצות
∞→n
חסומות.
כלומר ,לכל kטבעי מתקיים .nk+1 − nk ≤ J
98
אזי מתקיים:
א (xn ) .ו (xnk )-מתכנסות ומתבדרות יחד לאותו גבול.
ב .התנאי (xn+1 − xn ) −→ 0הכרחי.
∞→n
ג .התנאי nk+1 − nk ≤ Jהכרחי.
נסיק מלמה זו שהסדרות ) (Snו (Snk )-עומדות בתנאי הלמה ,ולכן הן מתכנסות
ומתבדרות יחד לאותו הגבול.
]הוכחת הלמה הופיעה בתרגול[.
שינוי סדר הסכימה
40
בטור חיובי
40.1
אם an
∞
X
טור חיובי ,אזי כל טור שמתקבל ממנו באמצעות שינוי של סדר האיברים מתכנס
n=1
אמ"מ הטור מתכנס לאותו סכום.
]נשים לב שטענה זו שקולה לטענה המקבילה עבור התבדרות[.
הוכחה ראינו שמתקיים שוויון בין סכום של קבוצה לבין סכום של טור אינסופי ,כפי שהגדרנו
אותם .מכאן שסדר הסכימה אינו משנה.
כלומר:
∞
X
X
∞
= an
} ≡ sup {a˜1 + ... + a˜k |a˜1 , ..., a˜k ∈ (an )n=1
n∈N
40.2
בטור מתכנס בהחלט
מבוא :הטורים qn ,pnשל an
∞
X
בהינתן טור an
,נגדיר:
n=1
|an | + an
|an | − an
= pn
2
2
= qn
או באופן שקול:
an ≥ 0
an < 0
an ≤ 0
an > 0
an
0
−an
0
(
= pn
(
= qn
נשים לב שאלו טורים חיוביים ,וכן מתקיים:
|an | = pn + qn an = pn − qn
99
n=1
משפט )א( אם an
∞
X
מתכנס בהחלט ,אזי גם הטורים qn
∞
X
pn ,
n=1
n=1
n=1
qn
∞
X
pn −
n=1
∞
X
)ב( אם הטורים qn
pn ,
∞
X
∞
X
= an
n=1
∞
X
n=1
מתכנסים ,אזי גם הטור an
∞
X
מתכנס בהחלט.
n=1
n=1
n=1
∞
X
מתכנסים ,ומתקיים:
הוכחה )א( מהגדרת qn ,pnנובע שלכל n ∈ Nמתקיים | ,0 ≤ qn ≤ |an | ,0 ≤ pn ≤ |an
ולכן מהתכנסות טור הערכים המוחלטים נובעת לפי מבחן ההשוואה ההתכנסות של
שניהם.
מכיוון שלכל n ∈ Nהראינו שמתקיים ,an = pn − anנסיק שלכל סכום חלקי N־י
מתקיים:
qn
N
X
pn −
n=1
N
X
= ) (pn − qn
n=1
N
X
= an
n=1
N
X
n=1
אם נשאיף ∞ → Nנקבל גם שוויון בין סכומי הטורים.
הוכחה )ב( הראינו שלכל n ∈ Nמתקיים ,|an | = pn + qnנסיק שלכל סכום חלקי N־י
מתקיים:
qn
N
X
pn +
n=1
N
X
= ) (pn + qn
n=1
∞
X
ולכן מהתכנסות שני הטורים הטורים qn
מסקנה אם הטור an
= | |an
n=1
pn ,
n=1
∞
X
N
X
∞
X
n=1
נובעת התכנסות הטור | |an
n=1
הוכחה נתון כי an
מתכנס בתנאי ,אזי בהכרח הטורים pn
∞
X
qn ,
n=1
∞
X
האחרון לא ייתכן ששני הטורים pn
נניח בשלילה שלמשל הטור qn
∞
X
∞
X
qn ,
n=1
n=1
∞
X
יתכנסו ,ולפחות אחד מהם מתבדר.
n=1
מתכנס והטור pn
n=1
∞
X
מתבדר .אזי מתקיים עבור
n=1
סכום חלקי N־י כלשהו:
∞ →qn −
∞→ N
ולכן an
מתבדרים.
מתכנס בתנאי ,ולכן בפרט הוא לא מתכנס בהחלט .לכן מהמשפט
n=1
∞
X
∞
X
.
n=1
n=1
∞
X
N
X
N
X
n=1
pn −
N
X
n=1
מתבדר ,בסתירה להנחה.
n=1
100
= ) (pn − qn
N
X
n=1
= an
N
X
n=1
משפט
אם an
∞
X
טור מתכנס בהחלט ,אזי כל טור שמתקבל ממנו באמצעות שינוי של סדר
n=1
האיברים מתכנס אמ"מ הטור מתכנס לאותו סכום.
∞
X
הוכחה מההנחה שan -
qn
∞
X
n=1
) (−an
pn ,
∞
X
מתכנס בהחלט ,נובע מסעיף א של המשפט האחרון שהטורים
n=1
מתכנסים ,ומתקיים:
n=1
X
}{n|an <0
an −
X
= qn
X
pn −
n∈N
}{n|an ≥0
X
n∈N
= qn
∞
X
pn −
n=1
∞
X
= an
∞
X
n=1
n=1
קיבלנו סכומים של קבוצות שאין צורך בהגדרה של סדר כדי להגדיר אותם ,ולכן גם
∞
X
אינו תלוי בסדר הסכימה .
הטור an
n=1
הערה תהי קבוצה לאו־דווקא בת־מניה מהצורה {aα }α∈Aעבור ,A ⊆ Rונניח כי ∞ < | |aα
X
.
α∈A
מההוכחה של המשפט האחרון מובן מדוע בוחרים להגדיר:
X
X
X
= aα
aα −
) (−aα
41
α∈A
α∈A
α∈A
aα <0
aα ≥0
משפט רימן לטורים
יהי an
∞
X
טור מתכנס בתנאי ,כלומר טור הערכים המוחלטים המתאים | |an
n=1
a
˜( של הסדרה ) ,(anכך שהטור ˜n
אזי לכל }∞ s ∈ {R, ±קיים סידור ) an
∞
X
מתבדר.
n=1
∞
X
מתכנס ל־s
n=1
)במובן הרחב ,במקרים המתאימים( ,וכן קיים סידור כך שהטור לא מתכנס בשום־מובן.
הוכחה
.1נניח תחילה כי )∞ .s ∈ [0,
האסטרטגיה תהיה לסדר מחדש את הסדרה ,כך שהסכומים החלקיים שלה יהיו גדולים
וקטנים מ־ sלסירוגין ,בקצב דועך ל־.0
∞
X
n
n
,pn = |an |+a
נזכור שהגדרנו
שמתכנס
,qn = |an |−aוהוכחנו שעבור טור an
2
2
בתנאי ,שני הטורים המתאימים לו pn
∞
X
n=1
101
qn ,
∞
X
n=1
מתבדרים ל־∞.
n=1
∞
∞
∞
נגדיר סדרת סכומים (Ak )k=1באמצעות שתי סדרות אינדקסים ,(mk )k=1 ,(nk )k=1
באופן אינדוקטיבי.
נבנה אותה כך שתתכנס ל־ ,sולבסוף נראה שהיא מהווה סדרת סכומים חלקיים של
טור המתקבל מסידור מחודש של הסדרה ) .(an
• נגדיר סכום ,A1ולשם כך נגדיר את האינדקס :n1
)
n1
nX
n
1 −1
X
X
|n1 = min n ∈ N
⇒ pl > s
≥ pl > s
pl
(
l=1
l=1
נגדיר pl
n1
X
l=1
= A1ונקבל שמתקיים:
l=1
pl = pn1
nX
1 −1
pl −
n1
X
< 0 < A1 − s
l=1
l=1
• נגדיר סכום ,A2ולשם כך נגדיר את האינדקס :m1
)
m
m1
n
1 −1
X
X
X
ql
q l < s ≤ A1 −
m1 = min n ∈ N|A1 −
ql < s ⇒ A1 −
(
l=1
נגדיר ql
l=1
m1
X
l=1
A2 = A1 −ונקבל שמתקיים:
l=1
ql = qm1
m
1 −1
X
ql −
m1
X
≤ 0 < s − A2
l=1
l=1
• נגדיר סכום ,A3ולשם כך נגדיר את האינדקס :n2
(
)
nX
n2
n
2 −1
X
X
n2 = min n ∈ N|A2 +
pl > s ⇒ A2 +
p l > s ≥ A2 +
pl
l=n1 +1
נגדיר pl
l=n1 +1
nX
2 −1
l=n1 +1
A3 = A2 +ונקבל שמתקיים:
l=n1 +1
pl = pn2
nX
2 −1
n2
X
pl −
l=n1 +1
l=n1 +1
•
•
•
102
< 0 < A3 − s
• באופן כללי :עבור k ≥ 1נגדיר סכום ,Akולשם כך נגדיר אינדקס k־י מתאים:
(
)
n
X
nk+1 = min n ∈ N|A2k +
pl > s
l=nk +1
)
(
n
X
ql < s
mk+1 = min n ∈ N|A2k+1 −
l=mk +1
ונגדיר את הסכומים המתאימים:
nk
X
pl
A2k+1 = A2k +
l=nk−1 +1
mk
X
ql
A2k = A2k−1 −
l=mk−1 +1
∞
אם כך הגדרנו סדרה (Ak )k=1של סכומים באופן אינדוקטיבי .נגדיר כעת
סדרה של סכומים חלקיים באופן הבא:
pl
n1
X
= σ1 = A1
l=1
) (−ql
m1
X
= σ 2 = A2 − A1
l=1
pl
n2
X
= σ 3 = A3 − A2
l=n1 +1
•
•
•
pl
nk
X
= (−ql ) σ2k+1 = A2k+1 − A2k
l=nk−1
mk
X
= σ2k = A2k − A2k−1
l=mk−1 +1
•
•
•
נשים לב שמתקיים:
σk = (p1 + ... + pn1 )−(q1 + ... + qm1 )+(pn1 +1 + ... + pn2 )−(qm1 +1 + ... + qm2 )+...
∞
X
k=1
103
וזהו טור שמתקבל מהכנסת סוגריים לסדרה:
p1 , ..., pn1 , q1 , ..., qm1 , pn1 +1 , ..., pn2 , qm1 +1 , ..., qm2 , ...
כדי להיפטר מהסכומים שהם אפסים ,לכל אינדקס nשמקיים pn = 0או
) qn = 0ולא שניהם( נמחק את האיבר שהוא אפס ,ולכל אינדקס nשמקיים
pn = qn = 0נמחק את אחד מהם.
˜( .סדרה זו מגדירה את
נקבל סידור מחודש של הסדרה ) (anשנסמן ) an
∞
∞
∞
X
X
X
על־ידי הכנסת
a
מתקבל מהטור ˜n
,ונשים לב שהטור σk
a
הטור ˜n
n=1
n=1
k=1
סוגריים ,כאשר בכל סוגריים כל האיברים שווי־סימן.
k
X
,הרי שהסדרה
היות ולפי ההגדרה מתקיים σl = Ak
הסכומים החלקיים של הטור σk
∞
X
∞
(Ak )k=1היא סדרת
l=1
,ומתקיים לגביה:
k=1
|A2k+1 − s| < pnk
|A2k − s| < qmk
∞
X
מהנתון שהטור an
n=1
ולפיכך גם האיברים qnk ,pnk
מתכנס )בתנאי( נסיק כי האיבר הכללי שלו שואף ל,0-
לפי הגדרתם שואפים ל־ .0מכאן שסדרת הסכומים
∞
X
∞
מתכנס ל־ .sטור זה
החלקיים (Ak )k=1מתכנסת ל־ ,sולפיכך הטור σk
a
מתקבל מהטור ˜n
a
הטור ˜n
∞
X
∞
X
k=1
על־ידי הכנסת סוגריים שבהם האיברים שווי־סימן ,ולכן
n=1
שהוא סידור מחדש של איברי הטור an
n=1
∞
X
מתכנס ל־.s
n=1
.2נניח כי ∞ = .s
∞
∞
נבצע תהליך דומה ,אלא שנגדיר את סדרות האינדקסים (mk )k=1 ,(nk )k=1באופן
אחר:
(
)
n
X
nk+1 = min n ∈ N|A2k +
pl > k
l=nk +1
)
ql < k
(
n
X
mk+1 = min n ∈ N|A2k+1 −
l=mk +1
כך שמתקיים:
|A2k+1 − k| < pnk
|A2k − k| > qmk
104
מכאן שמתקיים ∞ → ,Ak −ולכן:
∞→k
a
∞ = ˜n
∞
X
⇒ ∞ = σk
n=1
∞
X
k=1
.3נניח כי ).s ∈ (−∞, 0
נבצע אותו התהליך ,אלא שבמקום להתחיל בסכומים החיוביים על pnשנסכמים עד
sחיובי כמו במקרה הראשון ,נתחיל בסכומים השליליים qnשייסכמו עד sשלילי.
.4כדי לקבל סידור שבו הטור לא מתכנס בשום־מובן ,נבצע תהליך דומה ,אלא שנגדיר
∞
∞
את סדרות האינדקסים (mk )k=1 ,(nk )k=1באופן אחר:
(
)
n
X
nk+1 = min n ∈ N|A2k +
pl > 1
l=nk +1
)
(
n
X
ql < −1
mk+1 = min n ∈ N|A2k+1 −
l=mk +1
ואז נקבל שסדרת הסכומים החלקיים מתבדרת ,כי מתקיים:
|A2k+1 − 1| < pnk
|A2k + 1| < qmk
משמע קיימים אינסוף סכומים חלקיים שקרובים ככל שנרצה ל־ 1וקיימים סכומים
חלקיים שקרובים ככל שנרצה ל־ ,−1ולכן סדרת הסכומים החלקיים לא מתכנסת
בשום־מובן ,והטור לא מתכנס בשום־מובן .
42
מכפלת טורים
יהיו הטורים an
∞
X
bn ,
n=1
∞
X
.
n=1
נתבונן בטבלה הבאה שמכילה את כל הקומבינציות
a1 b3 . . . a1 bj . . .
a2 b3 . . . a2 bj . . .
a3 b3 . . . a3 bj . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a i b3 . . . a i bj . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
של מכפלות בין איברים שלהם:
a1 b1 a1 b2
a2 b1 a2 b2
a3 b1 a3 b2
..
.
.
.
.
ai b1 ai b2
.
.
.
.
.
.
מכיוון שזו טבלה דו־ממדית ,אין סדר 'טבעי' שניתן להגדיר על קבוצה זו ,אולם היא קבוצה
בת־מניה וקיימים אינסוף סידורים אפשריים לכל איברי הקבוצה הזו .למשל סידור דומה
לאלכסון של קנטור.
105
משפט קושי
42.1
יהיו an
∞
X
n=1
bn ,
∞
X
טורים מתכנסים בהחלט ל־ Aול־ Bבהתאמה.
n=1
אזי כל טור המורכב מכל המכפלות האפשריות מהצורה ai bjהמסודר בכל סדר ,מתכנס
בהחלט ,וסכומו הוא .A · B
בסימונים מתאימים ,המשפט קובע שמתקיים:
! ∞ !
∞
X
X
X
an
bn = A · B
= ai bj
n=1
n=1
i,j∈N
הוכחה
∞
X
נסמן את טור המכפלות בwn -
,כאשר wnעובר על כל המכפלות בסדר כלשהו.
n=1
.1נוכיח שסדרת הסכומים החלקיים מתכנסת ,ונשים לב שמספיק להוכיח שטור המכפלות
עבור סידור כלשהו מתכנס ,כי בטורים חיוביים אין חשיבות לסדר הסכימה.
יהי n ∈ Nויהי mהאינדקס המקסימלי מבין i, jשמופיעים באיברים .w1 , ..., wn
נשים לב שמתקיים:
! m
∞ !
n
m
∞
X
X
X
X
X
≤ | |wl
|ai |
≤ |bj |
|ai |
|bj | = A · B
i=1
j=1
i=1
j=1
l=1
הקומבינציות האפשריות של i, jשמופיעות ב-
מכך שכל P
]האי־שוויון הראשון נובע
Pm
Pn
m
)| [.( i=1 |ai
|b
|
| l=1 |wlמופיעות גם ב-
j=1 j
מכאן שסדרת הסכומים החלקיים חסומה ,ומכיוון שזהו טור חיובי )טור הערכים
המוחלטים( היא מונוטונית עולה ,ולכן מתכנסת.
.2נוכיח שהסכום שאליו מתכנסת הסדרה הוא ,A · Bונשים לב שמכיוון שהוכחנו כבר
שסדרת הסכומים החלקיים מתכנסת ,בהכרח כל תת־סדרה שלה מתכנסת לאותו
גבול ,ולכן מספיק להראות שקיימת תת־סדרה שמתכנסת לגבול .A · B
נבחר סדר על איברי טור המכפלות מהצורה הבאה:
a1 b1 + (a1 b2 + a2 b2 + a2 b1 ) + (a1 b3 + a2 b3 + a3 b3 + a3 b2 + a3 b1 ) + ...
נתבונן בתת־סדרה של סדרת הסכומים החלקיים הללו:
!
−→ A · B
∞→n
bl
n
X
l=1
!
al
n
X
l=1
2
= wl
n
X
l=1
מכאן שגם סדרת הסכומים החלקיים עצמה מתכנסת ל .A · B-
106
משפט מרטנס
42.2
נניח כי an
∞
X
bn ,
n=0
∞
X
טורים מתכנסים ל A-ול B-בהתאמה ,כך שלפחות אחד מהם מתכנס
n=0
בהחלט.
נתייחס למכפלת הסדרות בסידור הבא:
(a0 b2 )6 . . . a1 bj . . .
(a1 b2 )9 . . . a2 bj . . .
(a2 b2 )13 . . . a3 bj . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ai b3
. . . a i bj . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
(a0 b1 )3
(a1 b1 )5
(a2 b1 )8
.
.
.
ai b2
.
.
.
.
.
.
.
(a0 b0 )1
(a1 b0 )2
(a2 b0 )4
..
.
ai b1
.
.
.
נגדיר ai bj
X
i+j=n
∞
X
אזי הטור dn
= .dnכך למשל .d3 = a0 b3 + a1 b2 + a2 b1 + a3 b0
}|{z
}|{z
}|{z
}|{z
2+1=3
3+0=3
1+2=3
0+3=3
מתכנס וסכומו הוא .A · B
n=0
הערה במשפט קושי דרשנו ששני הטורים יתכנסו בהחלט ,והסקנו את התכנסות הטור:
X
a i bj
i,j∈N
במשפט מרטנס דורשים שטור אחד יתכנס בהחלט ,ומסיקים את התכנסות הטור:
∞
X
X
ai bj
n=0
i+j=n
}
{z
=dn
|
.
הוכחה נסמן:
An = a0 + a1 + ... + an
Bn = b0 + b1 + ... + bn
Dn = d0 + d1 + ... + dn
βn = B − B n ⇔ B n = B − βn
107
:תחת סימונים אלה מתקיים
X
X
X
Dn =
ai bj +
ai bj + ... +
ai bj =
i+j=0
i+j=1
i+j=n
= (a0 b0 ) + (a0 b1 + a1 b0 ) + ... + (a0 bn + a1 bn−1 + ... + an−1 b1 + an b0 ) =
= a0 (b0 + b1 + ... + bn ) + a1 (b0 + b1 + ... + bn−1 ) + ... + an (b0 ) =
= a0 Bn + a1 Bn−1 + ... + an B0 = a0 (B − βn ) + a1 (B − βn−1 ) + ... + an (B − β0 ) =
= An B − (a0 βn + a1 βn−1 + ... + an β0 ) −→ A · B + lim (a0 βn + a1 βn−1 + ... + an β0 )
n→∞
n→∞
:נסיים את הוכחת המשפט בכך שנראה כי
lim (a0 βn + a1 βn−1 + ... + an β0 ) = 0
n→∞
.m −→ ∞ ונשים לב כי,m =
n→∞
n
2
אתn ∈ R נסמן לכל,לשם כך
:נחשב
|a0 βn + a1 βn−1 + ... + an β0 | =
= |(a0 βn + a1 βn−1 + ... + am bn−m ) + (am+1 bn−1−m + ... + an b0 )| ≤
≤ |(a0 βn + a1 βn−1 + ... + am bn−m )| + |(am+1 bn−1−m + ... + an b0 )| ≤
≤ (|a0 | + |a1 | + ... + |am |)
=
m
X
max
k=n−m,...,n
{|βk |} + (|am+1 | + ... + |an |)
!
|ak |
max
k=n−m,...,n
{|βk |} +
k=0
.מתכנס בהחלט
∞
X
n
X
max
k=0,...,n−1−m
!
|ak |
max
k=0,...,n−1−m
{|βk |}
k=m+1
an לפי הנתון שהטור,| חסוםak | נשים לב שכל סכום על
n=0
.βn לפי הגדרת,n → ∞ כאשר0-| מתכנס לβk | ־י עלn כמו־כן סכום
.0-| מתכנס לa0 βn + a1 βn−1 + ... + an β0 | ולכן הביטוי
108
{|βk |} =
חלק
VI
אינטגרלים לא־אמיתיים
43
אינטגרל לא־אמיתי של פונקציה חסומה בקטע לא־חסום
אינטגרל לא־אמיתי על קרן אינסופית
תהי ] f ∈ R [a, bעבור a ∈ Rקבוע ועבור כל .b > a
נאמר שהפונקציה אינטגרבילית במובן הלא־אמיתי על הקרן )∞ [a,ושהאינטגרל f dx
מתכנס ,אם קיים הגבול הבא במובן הצר:
ˆb
∞´
a
∞ˆ
f dx ≡ lim
f dx
∞→b
a
a
אינטגרל לא־אמיתי על הישר הממשי
תהי ] f ∈ R [a, bלכל ,a, b ∈ Rותהי c ∈ Rנקודה קבועה כלשהי.
f
dx
ושהאינטגרל
הממשי
נאמר שהפונקציה אינטגרבילית במובן הלא־אמיתי בכל הישר
∞−
´c
∞´
מתכנס ,אם קיימים האינטגרלים הלא־אמיתיים , −∞ f dx , c f dxואז נגדיר:
∞´
∞ˆ
f dx
∞ˆ
ˆc
≡ f dx
f dx +
∞−
c
∞−
לצורך החד־משמעיות של ההגדרה ,נוכיח שערך האינטגרל אינו תלוי בבחירת .c
∞´
טענה אם קיים האינטגרל הלא־אמיתי , −∞ f dxאזי ערכו אינו תלוי בבחירת .c
הוכחה תהי d ∈ Rהמקיימת בלי הגבלת הכלליות .d < cנחשב בהתאם להגדרה:
d
ˆc
∞ˆ
ˆ
ˆc
∞ˆ
= f dx + f dx
= f dx + f dx + f dx
c
∞−
d
c
c
ˆ
∞ˆ
ˆd
∞ˆ
= f dx + f dx + f dx
f dx + f dx
d
∞−
c
∞−
ˆd
=
∞−
d
הגדרה־שקולה תחת אותם סימונים ,האינטגרל הלא־אמיתי על הישר הממשי קיים אמ"מ
מתקיים:
ˆb
f dx
a
∞ˆ
lim
∞a → −
∞→b
109
≡ f dx
∞−
במובן זה שגבול זה קיים ואינו תלוי בסדר שבין השאיפה של aל −∞-לבין השאיפה
של bל.∞-
43.1
אריתמטיקה של אינטגרלים לא־אמיתיים
נשים לב שלפי הגדרת האינטגרל הלא־אמיתי ,כל התכונות של אינטגרלים רגילים שנשמרות
תחת הוצאת גבול ,תקפות גם לאינטגרל לא־אמיתי .נוכיח רשימה חלקית.
.1נניח כי )∞ f ∈ R [a,ותהי ,c ∈ Rאזי גם cfאינטגרבילית על )∞ [a,ומתקיים:
∞ˆ
f dx
∞ˆ
cf dx = c
a
a
.2נניח כי )∞ , f, g ∈ R [a,אזי גם f ± gאינטגרבילית על )∞ [a,ומתקיים:
∞ˆ
∞ˆ
f dx ±
gdx
a
∞ˆ
= f ± gdx
a
a
.3נניח כי )∞ f ∈ R [a,ותהי ,a < c ∈ Rאזי גם )∞ f ∈ R [c,ומתקיים:
ˆc
∞ˆ
f dx −
f dx
a
43.2
∞ˆ
= f dx
a
c
קריטריון קושי
תהי a ∈ Rקבועה ,ונניח כי ] f ∈ R [a, bלכל .b > a
אזי fאינטגרבילית על )∞ [a,אמ"מ לכל > 0קיים ,Bכך שלכל b1 , b2 > Bמתקיים:
b
ˆ 2
< f dx
b1
הוכחה מקריטריון קושי לקיום גבול באינסוף של פונקציה ) ,g (xנובע שקיום הגבול שקול
לכך שלכל > 0קיים m ∈ Rכך שלכל x, y > mמתקיים:
< |)|g (x) − g (y
נשים לב שההקבלה של הגדרה זו להגדרת הגבול שמגדיר את האינטגרל הלא־אמיתי,
היא:
b
ˆ 2
ˆb2
ˆb1
<= f dx − f dx = f dx
b1
110
a
a
43.3
קריטריון ההשוואה
תהי a ∈ Rויהיו ] f, g ∈ R [a, bעבור כל .b > a
אם קיים c > 0כך שלכל x ≥ aמתקיים:
)0 ≤ f (x) ≤ cg (x
∞ˆ
∞ˆ
אזי התכנסות gdxגוררת את התכנסות , f dxובאופן שקול ,התבדרות f dx
a
a
∞ˆ
את התבדרות . gdx
∞ˆ
גוררת
a
a
הערה לא צריך לדרוש שיהיה c > 0כך שלכל x ≥ aמתקיים אי השוויון הנ"ל ,אלא מספיק
0
שאי השוויון יתקיים החל מ a > a-כלשהו.
´b
´b
הוכחה נסמן את הפונקציות .J (b) = a gdx ,I (b) = a f dx
נשים לב שמחיוביות הפונקציות f, gנובע כי זו פונקציה מונוטונית לא־יורדת .מכאן
שמספיק להראות שהיא חסומה מלעיל כדי להסיק את ההתכנסות כאשר ∞ → .b
נניח כי ) J (bמתכנסת כאשר ∞ → ,bאזי היא בפרט גם חסומה מלעיל על־ידי
m ∈ Rכלשהו ,ולכן מתקיים:
0 ≤ I (b) ≤ cJ (b) ≤ cm
ומכאן שהפונקציה f dx
נסיק שהיא מתכנסת.
´b
a
= ) I (bחסומה מלעיל ,ומכאן שהיא מונוטונית לא יורדת
∞´
1
43.3.1האינטגרל לא־אמיתי xα dx
∞´
נתון האינטגרל הלא־אמיתי . a x1α dx
a
אינטגרל זה מתכנס/מתבדר כתלות בערכה של α
ובערכה של .a
• עבור α < 0האינטגרל בבירור מתבדר.
• עבור 0 ≤ α ≤ 1נשים לב שעבור xמספיק גדול ,כלומר } ,x ≥ max {a, 1מתקיים:
1
1
≥
α
x
x
נשים לב שלפי נוסחת ניוטון־לייבניץ ניתן לראות שהאינטגרל
∞´
לפי מבחן ההשוואה גם האינטגרל a x1α dxמתבדר.
1
x dx
∞´
a
מתבדר ,ולכן
• עבור α > 1מתקיים כי האינטגרל מתכנס וערכו מתקבל באמצעות הנוסחה הבאה:
x−α+1 b
b−α+1
a−α+1
b−α+1 a−α+1
a−α+1
1
1
dx
=
|
=
−
=
+
→−
=
a
xα
−α + 1
−α + 1 −α + 1
−α + 1 α − 1 b→∞ α − 1
(α − 1) aα−1
ˆb
a
נשים לב שקיבלנו תוצאה דומה לזו של התכנסות/התבדרות הטור
111
1
nα
∞P
. n=1
43.4
קריטריון המנה הגבולי
תהי a ∈ Rויהיו ] f, g ∈ R [a, bעבור כל ,b > aחיוביות ממש.
אם קיים הגבול:
)f (x
∞<=c
)g (x
´b
אזי האינטגרלים f dx, a gdx
´b
a
lim
∞→x
מתכנסים ומתבדרים יחד.
הוכחה נתון שהגבול קיים ,ולכן לכל > 0מתקיים עבור xמספיק גדול:
) f (x
<
−
c
) g (x
נבחר המקיים .c − > 0מקיום הגבול נובע שקיים x0 ≥ aכך שלכל x > x0
מתקיים:
)f (x
<c+
)g (x
⇓
) g (x) (c − ) < f (x) < g (x) (c +
<c−
´b
מאי השוויון הימני נובע לפי קריטריון ההשוואה שהתכנסות gdx
´b
התכנסות , a f dxומאי השוויון השמאלי נובע לפי קריטריון ההשוואה שהתכנסות
´b
´b
a f dxגוררת את התכנסות . a gdx
a
43.5
גוררת את
התכנסות בהחלט/בתנאי
תהי .a ∈ Rהוכחנו כי אם fאינטגרבילית על ] [a, bלכל ,b > aאזי גם | |fאינטגרבילית
כנ"ל.
´b
´b
נאמר כי האינטגרל a f dxמתכנס בהחלט אם האינטגרל a |f | dxמתכנס.
´b
´b
´b
אם האינטגרל a |f | dxמתבדר ובכל זאת האינטגרל a f dxמתכנס ,נאמר כי f dx
a
מתכנס בתנאי.
טענה אינטגרל שמתכנס בהחלט ,מתכנס.
הוכחה מקריטריון קושי להתכנסות אינטגרל לא־אמיתי נובע כי אם האינטגרל מתכנס
בהחלט ,אז לכל > 0קיים Bכך שלכל b1 , b2 > Bמתקיים כי:
ˆb2
< |f | dx
b1
נסיק מאי־שוויון המשולש לאינטגרלים:
b
ˆ 2
ˆb2
< f dx ≤ |f | dx
b1
112
b1
44
קשר בין טורים אינסופיים לאינטגרלים לא־אמיתיים
תהי fפונקציה חיובית לא־עולה בקרן )∞ ,[a,ואינטגרבילית בכל תת־קטע חסום של
)∞ .[a,
ˆb
∞
X
והאינטגרל f dx
מתכנסים ומתבדרים יחד) .כל אחד
אזי הטור האינסופי )f (a + k
k=0
a
מתכנס/מתבדר במובן שבו הוא הוגדר(.
הערה ניתן להתייחס לקשר שבין האינטגרל לבין הטור האינסופי ,אם מגדירים לכל קטע
באורך 1פונקציית מדרגות ,שערכה הקבוע בכל קטע הוא ערך האיבר בטור .כך ניתן
לבנות קבוצה של פונקציות מדרגות תחתונות ועליונות.
הוכחה מכך ש f -מונוטונית חיובית לא עולה נובע שלכל k ≥ 0מתקיים:
a+k+1
ˆ
a+k+1
ˆ
≤ f (a + k + 1) dx
≤ f dx
)f (a + k) dx = f (a + k
a+k+1
ˆ
a+k
a+k
´ a+k+1
= )f (a + k + 1
a+k
]נימוק :נשים לב שהביטוי a+k f (a + k) dxהוא אינטגרל על קטע באורך ,1
של קבוע כלשהו שאינו תלוי במשתנה האינטגרציה .xלכן ערך האינטגרל הוא בדיוק
ערך הקבוע[.
נקבל שמתקיים:
a+n
ˆ
ˆ
n a+k+1
n
X
X
≤ )f (a + k + 1) − f (a
= f dx
≤ f dx
)f (a + k
k=0
k=0 a+k
a
n
X
k=0
נשים לב שמכיוון שמדובר באינטגרל על פונקציה חיובית ,תנאי הכרחי ומספיק´b
להתכנסות/התבדרות הוא שהפונקציה I (b) = a f dxתהיה חסומה/לא חסומה
)בהתאמה( כאשר ∞ → ,bכי הפונקציה הזו מונוטונית לא יורדת.
הכרחי ומספיק להתכנסות/התבדרות
כמו כן מכיוון שמדובר בטור חיובי ,תנאי Pnהוא שסדרת הסכומים החלקיים ) Sn = k=0 f (a + kתהיה חסומה/לא חסומה
)בהתאמה( כאשר ∞ → ,Nכי הסדרה הזו מונוטונית לא יורדת.
´b
ממונוטוניות הפונקציה fנובע שהפונקציה f dx
´ a+n
aחסומה ,ומצידו הימני של אי השוויון שקיבלנו נובע שזה מתקיים אמ"מ
f dx
סדרת הסכומים החלקיים Snחסומה.
השוויון השמאלי נובע שסדרת הסכומים החלקיים Snחסומה אמ"מ
אופן ,מאי ´
באותו
a+n
חסומה ,וממונוטוניות הפונקציה fנובע שזה קורה אמ"מ
f
dx
הסדרה
a
´b
הפונקציה I (b) = a f dxחסומה .
a
= ) I (bחסומה אמ"מ הסדרה
הערה כאשר האינטגרל והטור מתכנסים ,מאי השוויון שפיתחנו בהוכחה נובע חסם על סכום
הטור ,כי אם ∞ → nנקבל:
∞
ˆ
∞
∞
X
X
≤ f (a + k) ≤ f dx
)f (a + k
k=0
a
113
k=1
45אינטגרלים לא־אמיתיים של פונקציות לא־חסומות בקטע
חסום
הגדרה נניח שקיימת פונקציה ,f : [a, b] → Rוקיימות ] c1 , c2 , ..., cn ∈ [a, bנקודות
קבועות.
נאמר כי } {ciהיא קבוצה של "נקודות מיוחדות" אם מתקיים:
א f .אינה חסומה באף סביבה של ciלכל .i
∈ ciלכל ,iמתקיים כי f
ב .בכל קטע סגור מהצורה ] [α, β] ⊆ [a, bהמקיים ]/ [α, β
אינטגרבילית )קיים האינטגרל "האמיתי"(.
אינטגרל לא־אמיתי של פונקציה עם נקודת קצה מיוחדת
תהי f : [a, b] → Rונניח כי נקודת הקצה aהיא נקודה מיוחדת יחידה של fבקטע.
נאמר שקיים האינטגרל הלא־אמיתי של fבקטע ,אם קיים הגבול:
ˆb
ˆb
f dx = lim
f dx
}
&0
a+
{z
a
|
∞<
אינטגרל לא־אמיתי של פונקציה עם שתי נקודות קצה מיוחדות
תהי f : [a, b] → Rונניח כי נקודות הקצה a, bהן נקודות מיוחדות יחידות של fבקטע.
נאמר שקיים האינטגרל הלא־אמיתי של fבקטע ,אם קיימת נקודה כלשהי ) d ∈ (a, bכך
שקיימים שני האינטגרלים הלא־אמיתיים הבאים:
ˆd
ˆb
f dx
f dx
a
d
כאשר שני האינטגרלים הלא־אמיתיים הללו קיימים ,נגדיר:
ˆb
f dx
ˆd
f dx +
ˆb
= f dx
a
d
a
]קל לראות שערך האינטגרל הלא־אמיתי הזה אינו תלוי בנקודה ,dולכן הוא מוגדר היטב[.
אינטגרל לא־אמיתי של פונקציה עם nנקודות מיוחדות
תהי f : [a, b] → Rונניח כי c1 < c2 < ... < cnנקודות מיוחדות יחידות של fבקטע.
נאמר שקיים האינטגרל הלא־אמיתי של fבקטע ,אם קיימים האינטגרלים הלא־אמיתיים
הבאים:
ˆb
f dx
} | {z
∞<
ˆc2
f dx ,
f dx , ... ,
cn
ˆc1
a
c
} | {z } |1 {z
∞<
114
∞<
אם האינטגרלים הלא־אמיתיים הללו קיימים ,נגדיר ונסמן:
ˆc2
ˆb
f dx + ... +
f dx
cn
46
ˆc1
f dx +
c1
ˆb
= f dx
a
a
הקשר בין שני סוגי האינטגרלים הלא־אמיתיים
נניח כי fפונקציה אינטגרבילית בכל קטע מהצורה ] [a + , bלכל ,0 < < b − aונניח כי
aנקודה מיוחדת יחידה בקטע.
כלומר ,זהו אינטגרל לא־אמיתי בקטע סגור ,עבור פונקציה שאינה חסומה בו.
נראה כיצד ניתן להגדיר אינטגרל לא־אמיתי שמוגדר בקרן אינסופית בה הפונקציה חסומה,
ששקול לאינטגרל לא־אמיתי זה.
לפי אינטגרציה בשיטת ההצבה ,נציב x = a + y1ונשים לב שמתקיים:
i
h
1
1
,y = x−aולכן אם ] ,x ∈ [a + , bאז , 1
כמו כן מתקיים
.y ∈ b−a
נחשב את האינטגרל הלא־אמיתי לפי הצבה זו:
−1
y2
. dx
= dy
1
1
ˆb−a
ˆ
1
−1
1 1
= f (x) dx
f a+
dy
=
f
a
+
dy
y
y2
y y2
1
1
b−a
ˆb
a+
נסיק משוויון זה שלפי הגדרת האינטגרל הלא־אמיתי מתקיים:
1
dy
y2
1
a+
y
1
∞ˆ
1
= dy
y2
f
1
a+
y
f
1
b−a
46.1
האינטגרל לא־אמיתי
)f (x
dx
xα
ˆ
ˆb
f (x) dx = lim
&0
1
b−a
∞´
a
משפט תהי a > 0נקודה קבועה ותהי f : [a, b] → Rרציפה לכל .b > a
אם קיים קבוע cהמקיים:
b
ˆ
f dx < c
a
לכל ,b > aאזי האינטגרל הלא־אמיתי הבא מתכנס לכל :α > 0
)f (x
dx
xα
∞ˆ
a
115
a
הערה ניתן לוותר על הרציפות במספר סופי של נקודות.
הוכחה נסמן:
ˆx
)f dx = F (x
a
מכיוון ש f -רציפה אזי מהמשפט היסודי נובע ש F -מוגדרת היטב לכל ,x ≥ aוהיא
הפונקציה הקדומה של .f
מהנתון נובע כי:
|F (x)| < c
ולכן מאינטגרציה בחלקים נסיק:
)F (u
du
uα+1
ˆx
)f (u
F (u) x
= du
| +α
α
u
uα a
a
ˆx
a
נשים לב שמתקיים:
F (u) x
)F (x
c
)F (x) F (a
= |
= − α
≤ α −→ 0
uα a
xα
a
xα
∞→x x
כמו־כן מתקיים:
) F (u
c
uα+1 < uα+1
ולכן אם נתון ש α > 0-אז ´α + 1 > 1ולכן קיבלנו אינטגרל מתכנס )בהחלט( לפי
∞
מבחן ההשוואה עם האינטגרל . a x1α dx
∞´
) 0 sin(xעבור α > 0עומד בתנאי המשפט ולפיכך מתכנס )בתנאי(.
מסקנה הטור xα dx
מסקנה עבור 0 < β ∈ R ,α ∈ Rנבדוק מתי האינטגרל הבא מתכנס/מתבדר:
∞ˆ
xα sin xβ dx
1
1
נציב .x = u β ⇔ xβ = uכך שאם )∞ x ∈ [1,אז גם )∞ .u ∈ [1,
כמו־כן מתקיים כי:
1 1
1 1−β
dx
= u β −1 = u β
du
β
β
α
ונשים לב כי תחת הצבה זו .xα = u β
נחשב:
sin (u) du
1−β+α
β
∞ˆ
u
1 1−β
1
= u sin (u) u β du
β
β
1
116
α
β
∞ˆ
1
ולכן קיבלנו אינטגרל מהצורה הקודמת ,שמתכנס אמ"מ המעריך של uשלילי .כלומר:
1−β+α
β
<0
⇓
1+α<β
מסקנה מעניינת שנובעת מכך ,היא שהאינטגרל x2 sin x4 dx
שהאיבר הכללי שלו מתבדר.
∞´
1
מתכנס על־אף
הערה נשים לב שבניגוד לטורים שבהם התכנסות האיבר הכללי ל 0-היא תנאי הכרחי
להתכנסות ,אינטגרל לא־אמיתי יכול להתכנס גם אם האיבר הכללי של הפונקציה
אינו שואף ל ,0-וייתכן אף כי הגבול העליון של הטור יתבדר לאינסוף.
למשל ,ניתן לבחור פונקציה שהיא 0בכל מקום ,למעט בסביבות של המספרים
הטבעיים שבהם היא ,1כאשר הסביבות הן בגודל . n12האינטגרל של פונקציה
זו הוא טור הריבועים של הטור ההרמוני.
באותו אופן ניתן לבנות פונקציה שגובהה בסביבות המספרים הטבעיים הוא ,n
בסביבות בגודל . n13גם האינטגרל של פונקציה זו הוא טור הריבועים של הטור
ההרמוני.
הערה נשים לב שהתנאי המקביל להתכנסות האיבר הכללי ל 0-בטורים ,הוא קריטריון קושי
להתכנסות של אינטגל לא־אמיתי.
117
חלק
VII
סדרות פונקציות וטורי פונקציות
47
סדרת פונקציות
∞
תהי (fn )n=1סדרה של פונקציות המוגדרות כולן בקטע .I ⊆ R
∞
לכל x0 ∈ Iמתקבלת סדרה של מספרים ממשיים .(fn (x0 ))n=1
התכנסות של סדרת פונקציות
∞
אם הסדרה (fn (x0 ))n=1מתכנסת ,אז הנקודה x0נקראת "נקודת התכנסות" של סדרת
∞
הפונקציות .(fn )n=1
קבוצת כל הנקודות {x} ⊆ Iשהן נקודות התכנסות ,נקראת "תחום ההתכנסות".
עבור xכלשהו מתחום ההתכנסות ,מסמנים:
}f (x) |{z
)= lim fn (x
∞→n
mark
∞
הפונקציה ) f (xנקראת "הפונקציה הגבולית" של סדרת הפונקציות ,(fn )n=1או "הגבול
הנקודתי" ,והיא מוגדרת על תחום ההתכנסות.
48
טור פונקציות
∞
תהי (uk )k=1סדרה של פונקציות המוגדרות כולן בקטע .I ⊆ R
∞
לכל x0 ∈ Iמתקבלת סדרה של מספרים ממשיים .(un (x0 ))k=1
טור פונקציות מבוטא בצורה:
∞
X
)uk (x
n=1
נסמן:
)uk (x
n
X
= )Sn (x
k=1
התכנסות של טור פונקציות
∞
אם עבור קבוצת ערכים Iמתקיים כי לכל x ∈ Iהסדרה (Sn (x))n=1מתכנסת כאשר
∞ → ,nנאמר כי Iהוא "תחום התכנסות" של טור הפונקציות.
עבור xבתחום ההתכנסות נסמן את סכום הטור:
)un (x
∞
X
n=1
118
= )S (x
49
הקשר בין סדרות פונקציות לטורי פונקציות
טענה כל סדרת פונקציות מגדירה טור פונקציות ,ולהיפך .כלומר ,קיימת התאמה חח"ע ועל
בין טורים וסדרות פונקציות.
∞
הוכחה נניח כי (fn )n=1סדרת פונקציות המוגדרות על .Iנגדיר באופן אינדוקטיבי:
u1 = f1
∀k > 1 uk = fk − fk−1
נקבל שמתקיים:
uk = f1 + (f1 − f1 ) + ... + (fn − fn−1 ) = fn
∞
X
= Sn
k=1
כך שסדרת הסכומים החלקיים של טור הפונקציות הזה מתלכדת עם ערכי סדרת
הפונקציות ,ולכן התכנסות הטור שקולה להתכנסות של סדרת פונקציות מתאימה.
בכיוון ההפוך ,ברור שכל סדרה מייצגת טור פונקציות ,אם מגדירים כל איבר בה
כסכום חלקי של הטור .
50
התכנסות של סדרת/טור פונקציות בשפת ε − N
נתרגם את ההגדרה המוכרת של גבול של סדרה לסדרת פונקציות ולטור פונקציות )ונזכור
שטור פונקציות הוא למעשה גבול של סדרה -סדרת הסכומים החלקיים(.
לסדרת־פונקציות נאמר שהסדרה ) (fnמתכנסת נקודתית ל f -על התחום ,I ⊆ Rונסמן:
)lim fn (x) = f (x
∞→n
אם לכל ,x ∈ Iלכל > 0קיים Nכך שלכל n > Nמתקיים:
< |)|fn (x) − f (x
∞P
מתכנס נקודתית ל s-בתחום ,I ⊆ Rאם לכל
לטור־פונקציות נאמר שהטור n=1 un
,x ∈ Iלכל > 0קיים Nכך שלכל n > Nמתקיים:
n
X
< )uk (x) − s (x
k=1
51
התכנסות במידה־שווה
הגדרה נאמר שסדרת פונקציות ) (fnכלשהי על תחום I ⊆ Rמתכנסת במידה־שווה
לפונקציה גבולית ,fאם לכל > 0קיים ,Nכך שלכל n > Nולכל x ∈ I
מתקיים:
< |)|fn (x) − f (x
119
הבהרה ההבדל הלוגי בין התכנסות רגילה להתכנסות במידה שווה הוא בסדר הכמתים.
בהתכנסות רגילה דורשים שלכל xו -נתונים יהיה קיים Nהמקיים את התנאי.
לעומת זאת בהתכנסות במידה שווה דורשים שלכל נתון יהיה קיים Nהמקיים את
התנאי לכל xללא תלות ב.x-
הגדרה־שקולה נאמר שסדרת פונקציות ) (fnכלשהי על תחום I ⊆ Rמתכנסת במידה־שווה
לפונקציה גבולית ,fאם מתקיים:
lim sup |fn (x) − f (x)| = 0
x∈I
∞→n
שלילת־התכנסות־במידה־שווה נאמר שסדרת פונקציות ) (fnכלשהי על תחום I ⊆ Rאינה
מתכנסת במידה־שווה לפונקציה גבולית ,fאם קיים > 0כך שלכל Nקיים n > N
וקיים x ∈ Iכך שמתקיים:
≥ |)|fn (x) − f (x
51.1
קריטריון קושי להתכנסות במידה־שווה
הגדרה נאמר שסדרת פונקציות ) (fnכלשהי על תחום I ⊆ Rהיא סדרת קושי במידה־שווה,
אם לכל > 0קיים Nכך שלכל n, m > Nולכל x ∈ Iמתקיים:
< |)|fn (x) − fm (x
הגדרה־שקולה נאמר שסדרת פונקציות ) (fnכלשהי על תחום I ⊆ Rהיא סדרת קושי
במידה־שווה ,אם מתקיים:
|fn (x) − fm (x)|
=0
sup
x∈I
lim
n→∞
n,m>N
במידה־שווה:
הערה הניסוח האנלוגי לטור קושי ∞P
נאמר שטור פונקציות k=1 ukכלשהו על Iהוא טור קושי במידה־שווה ,אם לכל
> 0קיים Nכך שלכל ,n > Nלכל m ∈ Nולכל ,x ∈ Iמתקיים:
n+m
n+m
n
X
X
X
uk (x) −
= )uk (x
< )uk (x
k=1
k=n+1
k=1
משפט סדרת פונקציות ) (fnעל Iמתכנסת במידה שווה ⇔ ) (fnעל Iסדרת קושי במידה־
שווה
120
הוכחה )כיוון ראשון( נתון כי ) (fnמתכנסת במ"ש לפונקציה גבולית .f
יהי . > 0מהנתון נובע שקיים Nכך שלכל x ∈ Iמתקיים עבור :n > N
< |)|fn (x) − f (x
2
וכן מתקיים עבור :m > N
< |)|fm (x) − f (x
2
נסיק מכך:
≤ |)|fn (x) − fm (x)| = |fn (x) − f (x) + f (x) − fm (x
=
2
+
2
< |)≤ |fn (x) − f (x)| + |f (x) − fm (x
הוכחה )כיוון שני( נתון כי ) (fnסדרת קושי במידה־שווה.
מכאן שלכל x ∈ Iסדרת המספרים )) (fm (xמקיימת את קריטריון קושי להתכנסות
קלסית של סדרת מספרים ולפיכך מתכנסת נקודתית ב x-כאשר ∞ → .mנסמן את
גבולה ב.f (x)-
עוד נובע מהנתון ,שלכל > 0קיים Nכך שלכל n, m > Nולכל x ∈ Iמתקיים:
< |)|fn (x) − fm (x
2
אם נקבע את nלהיות מספר כלשהו )ללא תלות איזה nנבחר( ונשאיף את mלאינסוף,
נקבל שמתקיים:
< ≤ |)|fn (x) − f (x
2
51.2
מבחן Mשל ויירשטראס להתכנסות במידה־שווה
∞P
יהי k=1 ukטור פונקציותPהמוגדרות על .I
∞
Pטור חיובי k=1 akשמתכנס ,כך שלכל x ∈ Iמתקיים ,|uk (x)| ≤ akאזי הטור
אם קיים
∞
k=1 ukמתכנס במידה־שווה על .I
הוכחה מהנתון שטור המספרים מתכנס ,נובע לפי קריטריון קושי להתכנסות קלאסית של
סדרה ,שלכל > 0קיים ,Nכך שלכל n > Nולכל ,m ∈ Nמתקיים:
< ak
n+m
X
k=n+1
ולכן עבור אותם n, mמתקיים לכל :x ∈ I
n+m
n+m
X
X
u
)(x
≤
< ak
k
k=n+1
k=n+1
מכאן שמתקיים קריטריון קושי להתכנסות טור פונקציות במידה־שווה ,ולכן הטור
מתכנס במידה־שווה.
121
הערה מההוכחה ניתן לראות שהטור אפילו מתכנס בהחלט במידה־שווה.
דוגמה עקרונית נראה שקיים טור המתכנס בתנאי במידה־שווה.
n
∞P
) k=1 (−1כאשר סדרת הפונקציות מוגדרת על ].[0, 1
נגדיר את הטור n+x2
ניתן לראות שטור זה אנו מתכנס בהחלט ,אך מתכנס בתנאי כי הוא טור לייבניץ.
נראה שהתכנסות טור זה בתנאי היא במידה־שוה ,ונשתמש בחסם על סכום של טור
בעל סימנים מתחלפים שהוכחנו במשפט לייבניץ:
∞
n
X
)(−1
1
1
≤
≤
−→ 0
2
2
∞→m
n
+
x
m
+
x
m
n=m
תכונות הקשורות בהתכנסות במידה־שווה
52
רציפות של הפונקציה הגבולית
52.1
תהי ) (fnסדרת פונקציות על ] [a, bהמתכנסת שם במידה־שווה לפונקציה גבולית .f
אם לכל nמתקיים כי fnרציפה בנקודה ] ,x0 ∈ [a, bאזי גם fרציפה ב־ .x0
האנלוגי לפונקציה הגבולית של טור פונקציות:
הערה הניסוח ∞P
אם n=1 unטור של פונקציות רציפות בקטע סגור ] ,[a, bהמתכנס במידה שווה
בקטע זה ,אזי סכום הטור הוא פונקציה רציפה על ].[a, b
הוכחה יהי . > 0מההתכנסות במידה־שווה נובע שקיים nכלשהו שעבורו לכל ]x ∈ [a, b
מתקיים:
3
< |)|fn (x) − f (x
מהנתון שלכל nמתקיים כי fnרציפה ב ,x0 -נובע שקיים δ > 0כך שמתקיים:
3
< |) |x − x0 | < δ ⇒ |fn (x) − fn (x0
נסיק משתי התוצאות שמתקיימת הגדרת הרציפות עבור הפונקציה הגבולית ב:f -
≤ |) |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| = |f (x) − fn (x) + fn (x) − fn (x0 ) + fn (x0 ) − f (x0
=
3
+
3
+
3
< |) ≤ |f (x) − fn (x)| + |fn (x) − fn (x0 )| + |fn (x0 ) − f (x0
(un ) ,(fn )Pסדרות של פונקציות רציפות ,ונניח כי הסדרה ) (fnוהטור
מסקנה נניח כי
∞
n=1 unמתכנסים במידה־שווה.
מרציפות הפונקציה הגבולית שהוכחנו ,נסיק שמתקיים עבור סדרת פונקציות:
lim lim fn (x) = lim fn (x0 ) = lim
)lim fn (x
x→x0
∞→n
∞→n
122
∞→n
x→x0
ועבור טור פונקציות:
)lim un (x
∞
X
x→x0
!
=
)un (x
∞
X
n=1
n=1
lim
x→x0
דוגמה נגדיר את סדרת הפונקציות fn (x) = xnעל הקטע ] .[0, 1נשים לב שמתקיים:
(
)0 x ∈ [0, 1
n
→x −
∞→n
1
x=1
נשים לב שזו דוגמה לסדרת פונקציות רציפות לכל ] ,x ∈ [0, 1והפונקציה הגבולית
אינה רציפה .מכאן שבהכרח הסדרה אינה מתכנסת במידה־שווה.
נראה ישירות שהפונקציה לא מתכנסת במ"ש:
sup |xn − f (x)| = 1 −→ 1 6= 0
∞→n
]x∈[0,1
]הבהרה :נשים לב שזהו הסופרימום מכיוון שניתן להתקרב ל 1-כמה שרוצים )בלי
להגיע( ועדיין הפונקציה הגבולית היא [.0
דוגמה נראה דוגמה לסדרת פונקציות רציפות שהפונקציה הגבולית שלהן רציפה ,אך ההתכנסות
שלהן אינה במידה־שווה.
נגדיר את הפונקציות fn (x) = xn (1 − xn ) :על הקטע ].[0, 1
נשים לב שמתקיים ,(fn (x)) −→ 0ולכן הפונקציה הגבולית קבועה ושווה ל0-
∞→n
ובוודאי רציפה.
נראה שההתכנסות אינה במידה־שווה:
n
n
1
1
1
1
n
n
=
→−
6= 0
1−
≥ |sup |x (1 − x ) − 0
1
1
∞→n
4
4
2n
2n
]x∈[0,1
]נימוק :נשים לב שלכל nמתקיים ] ,x = 11 ∈ [0, 1ומכיוון שהסופרימום הוא על
2n
כל האיברים בקטע ,הוא בפרט גדול מאיבר מסוים בקטע[.
52.2
אינטגרציה איבר־איבר
תהי fn : [a, b] → Rסדרת פונקציות רציפות בקטע ,המתכנסות במידה־שווה על התחום
] [a, bלפונקציה גבולית .f
אזי מתקיים:
b
ˆ
ˆb
ˆb
lim fn dx = f dx
lim
= fn dx
∞→n
a
∞→n
a
a
נשים לב שממשפט קודם נובע שמכיוון שהפונקציות רציפות ומתכנסות במידה שווה ,אז
´b
הפונקציה הגבולית רציפה .לפיכך היא אינטגרבילית והביטוי a f dxמוגדר.
123
הוכחה נחשב:
ˆb
ˆb
(f − fn ) dx +
fn dx
a
ˆb
= (f − fn + fn ) dx
a
ˆb
= f dx
a
a
אם ניקח גבול ב n → ∞-משני צידי השוויון ,כדי להוכיח את המשפט יספיק להראות
שמתקיים:
ˆb
(f − fn ) dx −→ 0
∞→n
a
מהנתון ש fn −→ f -במידה־שווה ,אזי לכל > 0קיים Nכך שלכל n > N
∞→n
מתקיים:
)(b − a
< |)sup |fn (x) − f (x
]x∈[a,b
נסיק שמתקיים:
b
ˆ
ˆb
ˆb
< (f − fn ) dx ≤ |f − fn | dx
= dx
= )(b − a
(b
−
)a
(b
−
)a
a
a
a
52.2.1בשפה של טורי פונקציות
∞P
יהי n=1 fnטור אינסופי של פונקציות רציפות על ] ,[a, bהמתכנס במידה־שווה שם.
אזי מתקיים:
b
!
ˆ
ˆb X
ˆb
∞
∞
X
= fn dx
fn dx = f dx
a
52.3
n=1
a
a
n=1
גזירה איבר־איבר
תהי fn : [a, b] → Rסדרת פונקציות גזירות בקטע.
נניח כי:
0
.1סדרת הנגזרות fnמתכנסת במידה־שווה על התחום ] [a, bלפונקציה גבולית .g
.2קיימת נקודה ) c ∈ (a, bשעבורה סדרת המספרים )) (fn (cמתכנסת.
אזי:
(fn ) .1מתכנסת במידה־שווה על ] [a, bלפונקציה גבולית .f
124
.2הפונקציה הגבולית fגזירה בקטע ,ולכל ] x ∈ [a, bמתקיים
0
= lim fn = g
0
∞→n
lim fn
∞→n
0
= f
הערה לו היה נתון שהנגזרות רציפות ,מהמשפט היסודי היה נובע שמתקיים:
0
ˆx
fn (x) = fn (c) + fn (x) − fn (c) = fn (c) +
fn (t) dt
c
ולכן היה קל להסיק את המשפט.
הוכחה ) (1נוכיח שסדרת הפונקציות ) (fnמתכנסת במידה־שווה ,לפי קריטריון קושי להתכנסות
במידה־שווה:
≤ |))|fn (x) − fm (x)| = |fn (x) − fm (x) − (fn (c) − fm (c)) + (fn (c) − fm (c
|))≤ |fn (x) − fm (x) − (fn (c) − fm (c))| + |(fn (c) − fm (c
נתייחס לביטוי )) fn (x) − fm (x) − (fn (c) − fm (cכאל פונקציה אחת מהצורה:
)(fn − fm ) (x) − (fn − fm ) (c
מכיוון שפונקציה זו היא הפרש של פונקציות גזירות היא גזירה .לכן ממשפט הערך
הממוצע של לגראנז' נובע שלכל ) x ∈ (a, bקיימת נקודה ) ξ ∈ (x, cכך שמתקיים:
0
)(fn − fm ) (x) − (fn − fm ) (c) = (x − c) (fn − fm ) (ξ
כעת נשתמש בכך שמרציפות הנגזרות במידה־שווה מתקיים קריטריון קושי להתכנסות
במידה־שווה ,ומהתכנסות הפונקציות fnמתקיים קריטריון קושי להתכנסות פשוטה.
נצרף את המסקנה ממשפט לגראנז' ונסיק שלכל > 0קיים Nמספיק גדול עבור
שני התנאים ,כך שלכל :n, m > N
0
< |))|fn (x) − fm (x)| ≤ (x − c) (fn − fm ) (ξ) + |(fn (c) − fm (c
מכאן שסדרת הפונקציות מקיימת את קריטריון קושי להתכנסת במידה־שווה ,ולכן
היא מתכנסת במידה־שווה.
הוכחה ) (2נשים לב שלפי הגדרת הנגזרת צריך להוכיח שלכל ] x0 ∈ [a, bמתקיים:
1
) (f (x0 + h) − f (x0 )) = g (x0
h→0 h
lim
.1נגדיר פונקציה :ϕ : [a − x0 , b − x0 ] → R
(f (x0 + h) − f (x0 )) h 6= 0
) g (x0
h=0
125
1
h
(
= )ϕ (h
נשים לב שאם נוכיח כי ϕרציפה בנקודה h = 0נוכיח את הטענה ,כי משמעות
הרציפות של ϕהיא:
1
) (f (x0 + h) − f (x0 )) = lim ϕ (h) = ϕ (0) = g (x0
h→0
h
lim
h→0
.2כדי להוכיח שזו פונקציה רציפה ,נוכיח שהיא מהווה פונקציה גבולית של סדרת
פונקציות רציפות על הקטע ] [a − x0 , b − x0המתכנסות אליה במידה־שווה.
זה יספיק להוכיח את הרציפות של ϕב־ ,0כי ממשפט שהוכחנו נובע שעבור סדרת
פונקציות המתכנסת במידה־שווה ,הפונקציה הגבולית שלהן רציפה.
)א( נגדיר סדרת פונקציות ) (ϕnעל הקטע ] [a − x0 , b − x0באופן הבא:
(
1
h (fn (x0 + h) − fn (x0 )) h 6= 0
= )ϕn (h
0
) fn (x0
h=0
נשים לב שלכל n ∈ Nמתקיים כי ϕnרציפה ב ,h = 0-כי נתון ש fn -גזירה
ב.h = 0-
כמו־כן מתקיים לפי נתוני המשפט ומחלקו הראשון ,כי:
)ϕn (h) −→ ϕ (h
∞→n
ומכאן שזו סדרת פונקציות שמתכנסת נקודתית ל.ϕ-
)ב( נוכיח כי ϕnמתכנסת ל ϕ-במידה־שווה על ] ,[a − x0 , b − x0באמצעות הטענה
כי זו סדרת קושי במידה־שווה.
0
יהי . > 0מהנתון שסדרת הנגזרות fnמתכנסת במידה־שווה נובע שקיים
Nכך שלכל n, m > Nולכל ] ξ ∈ [a − x0 , b − x0מתקיים:
0
0
< )fn (ξ) − fm (ξ
נסיק שעבור h 6= 0בקטע ] [a − x0 , b − x0מתקיים לפי הגדרת הפונקציה :ϕ
|) |ϕn (h) − ϕm (h)| = h1 |fn (x0 + h) − fn (x0 ) − fm (x0 + h) − fm (x0
נתייחס לביטוי ) fn (x0 + h)−fn (x0 )−fm (x0 + h)−fm (x0כאל פונקציה
אחת מהצורה:
) (fn − fm ) (x0 + h) − (fn + fm ) (x0
מכיוון שפונקציה זו היא הפרש של פונקציות גזירות היא גזירה .לכן ממשפט
הערך הממוצע של לגראנז' נובע שלכל ) ξ ∈ (a − x0 , b − x0קיימת נקודה
)) ξ0 ∈ (ξ, cהנקודה cהיא הנתונה בתנאי המשפט( כך שמתקיים:
0
) (fn − fm ) (x0 + h) − (fn + fm ) (x0 ) = h · (fn − fm ) (ξ0
126
כעת נשתמש בכך שמרציפות הנגזרות במידה־שווה מתקיים קריטריון קושי
להתכנסת במידה־שווה.
נצרף את המסקנה ממשפט לגראנז' ונסיק שלכל > 0קיים Nמספיק גדול
עבור שני התנאים ,כך שלכל :n, m > N
0
< ) |ϕn (h) − ϕm (h)| = (fn − fm ) (ξ0
נשים לב שזה לא מספיק כי לא כללנו בדיוק את המקרה של ,h = 0אבל זו לא
בעיה כי מתקיים לפי הגדרת הפונקציות :ϕn
0
< ) |ϕn (0) − ϕm (0)| = (fn − fm ) (ξ0
מכאן שהסדרה ) (ϕnסדרת קושי במידה־שווה ,ולכן היא מתכנסת לפונקציה
הגבולית ϕבמידה־שווה.
הראינו שאם סדרת פונקציות רציפות המתכנסת במידה שווה לפונקציה גבולית,
אז הפונקציה הגבולית רציפה ,ונימקנו לעיל מדוע רציפות הפונקציה ϕמספיקה
להוכיח את המשפט .
52.3.1בשפה של טורי פונקציות
∞P
יהי n=1 fnטור אינסופי של פונקציות גזירות על ].[a, b
נניח כי:
∞P
0
.1טור הנגזרות n=1 fnמתכנס על התחום ] [a, bלפונקציה גבולית .g
∞P
.2קיימת נקודה ) c ∈ (a, bכך שטור המספרים ) n=1 fn (cמתכנס.
אזי:
.1הטור fn
∞P
n=1
מתכנס במידה־שווה על ] [a, bלפונקציה גבולית .S
.2הפונקציה הגבולית Sגזירה בקטע ,ולכל ] x ∈ [a, bמתקיים:
!0
∞
∞
∞
X
X
X
0
0
= fn dx
= fn dx
fn dx = g
n=1
52.4
n=1
= S0
n=1
משפט דיני
תהי ) (fnסדרת פונקציות רציפות על ] [a, bהמתכנסות נקודתית לפונקציה גבולית ,fונניח
כי fרציפה.
אם לכל ] x ∈ [a, bסדרת המספרים )) (fn (xמונוטונית ,אזי (fn ) −→ fבמידה־שווה.
∞→n
הערה ייתכן שעבור חלק מהערכים הסדרה המתאימה תהיה מונוטונית עולה ,ועבור אחרים
יורדת.
∞P
מסקנה תהי ) (fnסדרת פונקציות ממשיות אי־שליליות על ] ,[a, bכך שהטור n=1 fn
מתכנס נקודתית לפונקציה גבולית רציפה .אזי הטור מתכנס במידה־שווה.
]נימוק :מכיוון שהפונקציות אי־שליליות ,סדרת הסכומים החלקיים מונוטונית עולה,
ולכן מתקיימים תנאי המשפט[.
127
הוכחה נניח בשלילה שההתכנסות אינה במידה־שווה .נוכיח שקיימת נקודה ] x0 ∈ [a, bכך
ש (fn (x0 ))-לא מתכנסת ל f (x0 )-בסתירה להתכנסות הנקודתית.
משלילת התכנסות במידה שווה נובע שקיים > 0כך שלכל Nקיים n > Nוקיים
] x ∈ [a, bכך ש:
≥ |)|fn (x) − f (x
∞
∞
מכאן שקיימות הסדרות (xk )k=1 ,(nk )k=1כך ש:
≥ |) |fnk (xk ) − f (xk
נשים לב שמהמונוטוניות נובע שמתקיים עבור :m < nk
≥ |) |fm (xk ) − f (xk )| ≥ |fnk (xk ) − f (xk
לכל kמתקיים ] ,xk ∈ [a, bולכן לכל nk ≥ mממשפט בולצאנו ויירשטראס נובע
שקיימת תת־סדרה כלשהי שמתכנסת ל x0 -כלשהו ,המקיים ].x0 ∈ [a, b
מרציפות fn , fנסיק שכאשר ∞ → kמתקיים עבור אי השוויון הנ"ל לכל :m ∈ N
≥ |) |fm (x0 ) − f (x0
בסתירה לכך ש .fm (x0 ) −→ f (x0 )-
∞→m
53
טורי־חזקות
הגדרה טור־חזקות סביב x0 ∈ Rכלשהו ,הוא טור פונקציות מהצורה:
n
) an (x − x0
∞
X
n=0
כאשר an ∈ Rמקדמים קבועים כלשהם.
נסמן את הסכום החלקי הn-־י של טור־חזקות:
k
) ak (x − x0
n
X
= )Sn (x
k=0
הערה 1כל טור חזקות מתכנס בנקודה x = x0וסכומו הוא ) .a0כי .(00 = 1
הערה 2לצורך הנוחות נפתח את התורה של טורי־חזקות סביב ,x0 = 0כך שטור החזקות
ייראה מהצורה:
an xn
∞
X
n=0
128
53.1
משפט אבל )Abel
( לטורי־חזקות
לכל טור חזקות קיים רדיוס־התכנסות יחיד R ∈ Rהמקיים ∞ ≤ ,0 ≤ Rכך שהטור
מתכנס בהחלט לכל xהמקיים |x| < Rומתבדר לכל xהמקיים .|x| > R
בקצוות רדיוס ההתכנסות ,דהיינו עבור ,|x| = Rלא ניתן לקבוע התכנסות בהחלט ,התכנסות
או התבדרות רק על־סמך הידוע לנו בתוך הרדיוס ומחוצה לו.
הוכחה נסמן ב E-את קבוצת כל המספרים הממשיים xשעבורם הטור מתכנס.
נשים לב ש 0 ∈ E-ולכן /
,E 6= Oומכאן שיש ל E-סופרימום .נסמן:
}|R = sup {|x
x∈E
יהי x ∈ Rכלשהו.
• אם xמקיים ,|x| < Rאזי מהגדרת Rכסופרימום נובע שקיים α ∈ Eהמקיים
,|x| < |α| ≤ Rכך ש:
∞ < an αn
∞
X
n=0
ולכן בהכרח .(an αn ) −→ 0
∞→n
סדרה מתכנסת היא בפרט חסומה ,ולכן קיים 0 < m ∈ Rכך שלכל n ∈ Nמתקיים
.|an αn | < m
נחשב:
∞
x n
x n X
m
≤ · | |an αn
α
α
n=0
n=0
∞
X
= | |an xn
∞
X
n=0
n
טור הנדסי
מכיוון שמתקיים | |x| < |αנסיק ש , αx < 1-ולכן n=1 m αxהוא
∞P
שמתכנס ,ולפי מבחן ההשוואה לטורים חיוביים נסיק שהטור | n=1 |an xnמתכנס.
מכאן שלכל |x| < Rהטור מתכנס.
∞P
• אם xמקיים ,|x| > Rאזי מהגדרת Rכסופרימום נובע שעבור xטור החזקות
מתבדר .
53.2
נוסחת קושי־הדמר
p
∞P
יהי n=0 an xnטור־חזקות כלשהו .נסמן.c = lim n |an | :
∞→n
1
אזי רדיוס ההתכנסות )באופן שבו הגדרנו לעיל( מקיים = .Rכלומר:
c
1
} c c ∈ {R/0
= )R (c
∞
c=0
0
∞=c
129
הוכחה יהי x ∈ Rכלשהו.
אם מתקיים ,|x| > 1cאז:
|an | = |x| c > 1
ואם מתקיים
1
c
p
n
|an xn | = |x| lim
p
n
∞→n
lim
∞→n
< | ,|xאז:
|an | = |x| c < 1
p
n
|an xn | = |x| lim
∞→n
p
n
lim
∞→n
נסיק ממבחן קושי לטורים שבמקרה הראשון הטור מתבדר ,ובשני הטור מתכנס .
הערה 1הוכחנו את מבחן קושי עבור טורים חיוביים ,אולם ניתן להשתמש בו לכל טור
באמצעות ערך־מוחלט באופן שבו השתמשנו בהוכחה זו.
הערה 2נשים לב שנוסחת קושי־הדמר הוא הוכחה נוספת למשפט אבל לטורי־חזקות.
53.3
משפט דלאמבר לטורי־חזקות
∞P
n
טור־חזקות כלשהו.
יהי n=0 an x
n
,c = lim aan+1אזי רדיוס ההתכנסות מקיים .c = R
אם קיים הגבול
∞→n
הוכחה יהי x ∈ Rכלשהו.
אם מתקיים ,|x| > cאז:
an xn
an
1
= 1 c<1
lim
=
lim
n→∞ an+1 xn+1
||x| n→∞ an+1 |x
ואם מתקיים ,|x| < cאז:
an xn
= 1 lim an = 1 c > 1
lim
n→∞ an+1 xn+1
||x| n→∞ an+1 |x
נסיק ממבחן דלאמבר לטורים שבמקרה הראשון הטור מתבדר ,ובשני הטור מתכנס.
הערה הוכחנו את מבחן דלאמבר עבור טורים חיוביים ,אולם ניתן להשתמש בו לכל טור
באמצעות ערך־מוחלט באופן שבו השתמשנו בהוכחה זו.
53.4
התכנסות במידה־שווה של טורי־חזקות
משפט 1
∞P
יהי an xn
הטור.
אזי לכל 0 < r < Rמתקיים כי הטור מתכנס בהחלט ובמידה־שווה על הקטע ].[−r, r
n=0
טור־חזקות כלשהו ,ונניח כי ∞ ≤ | 0 < |Rהוא רדיוס ההתכנסות של
130
הוכחה נשים לב שלכל ) x ∈ (−r, rמתקיים:
| |an xn | ≤ |an rn
∞P
רדיוס ההתכנסות נסיק שהטור an rn
מכיוון שr-
בתוךP
∞
הטור n=0 an xnמתכנס בהחלט.
מקריטריון ויירשטראס להתכנסות במידה־שווה )סעיף (52.2נסיק שהטור מתכנס
במידה־שווה .
∞P
מסקנה אם ידוע שעבור Rעצמו ) Rממשי( טור החזקות | n=1 |an Rnמתכנס בהחלט,
אזי טור החזקות מתכנס בהחלט ובמידה־שווה בכל הקטע ].[−R, R
n=1
מתכנס בהחלט ,ולכן
משפט 2
∞P
יהי an xn
הטור.
אזי:
א .אם הטור מתבדר ב R-עצמו ,אזי בקטע ) (−R, Rההתכנסות אינה במידה־שווה.
ב .אם הטור מתכנס ב R-עצמו ,אזי בקטע ] [0, Rההתכנסות היא במידה־שווה) .גם אם לא
30
בהחלט(.
31
ג .הטור מתכנס במידה־שווה בכל קטע סגור המוכל )גם אם חלש( בתחום ההתכנסות.
∞P
הוכחה )א( נניח בשלילה שהטור n=0 an xnמתכנס במידה־שווה ב.(−R, R)-
יהי . > 0מההתכנסות הטור במידה־שווה נובע לפי קריטריון קושי להתכנסות
במידה שווה שקיים ,Nכל שלכל m > n > Nולכל ) x ∈ (−R, Rמתקיים:
m
X
k
< ak x
n=0
טור־חזקות כלשהו ,ונניח כי ∞ < | 0 < |Rהוא רדיוס ההתכנסות של
k=n+1
מכיוון שלפי ההנחה מתקיימת התכנסות במידה־שווה לסכום סופי ,הוכחנו שבמקרה
זה הפונקציה הגבולית היא פונקציה רציפה של ,xולכן אם נשאיף x → R−נקבל
שלכל m > n > Nמתקיים:
m
X
< ak R k
k=n+1
ולכן מקריטריון קושי לטורי מספרים נקבל שהטור מתכנס עבור Rעצמו ,בסתירה
להנחה.
תזכורת )הוכחנו כמסקנה מהטרנספורמציה של אבל(
יהיו .α1 , ..., αm , β1 , ..., βm ∈ Rנסמן Bk = β1 + ... + βkעבור .1 ≤ k ≤ m
נניח גם כי |Bi | < Lלכל ,1 ≤ i ≤ mוכן שהקבוצה α1 , ..., αmקבוצה סדורה
מונוטונית .כלומר:
α1 ≤ α2 ≤ ... ≤ αm
or
α1 ≥ α2 ≥ ... ≥ αm
30באופן סימטרי ,אם היינו יודעים שהטור מתכנס ב ,−R-אזי בקטע ] [−R, 0ההתכנסות היא במידה־שווה.
31כלומר ,אם למשל תחום ההתכנסות הוא ] ,(−R, Rאז הטור מתכנס במידה־שווה בקטע ] [r, Rלכל rהמקיים
|.|r| < |R
131
אזי:
m
X
)| αi βi ≤ L (2 |αm | + |α1
i=1
הוכחה )ב( יהי . > 0מהתכנסות הטור ב R-נובע לפי קריטריון קושי להתכנסות טורי
מספרים שקיים ,Nכך שלכל n > Nולכל m ∈ Nמתקיים:
m
X
< an+i xn+i
3
i=1
x
יהי ] x ∈ [0, Rכלשהו .נשים לב שמתקיים ≤ 1
R
שאם נציב:
x n+i
αi = R
≤ .0לכן מהטענה שהזכרנו נובע
βi = an+i Rn+i
=L
3
נקבל שמתקיים לפי הטענה:
m
m
X
X
n+i
n+i
n+i x
= an+i x
an+i R
<
R
i=1
i=1
x n+m x n+1
<
2
+
≤
3
R
R
לכן מקריטריון קושי להתכנסות במידה־שווה ,הטור מתכנס עבור ]. x ∈ [0, R
הוכחה )ג( מהמשפט הקודם נסיק שעבור קטע סגור ]) [−r, r] ⊂ [−R, Rממש( הטור מתכנס
בהחלט ובמידה־שווה.
מסעיף ב של משפט זה נסיק שאם הטור מתכנס גם בשני הקצוות אז הוא מתכנס
במידה־שווה על כל קטע סגור שמוכל או שווה לתחום ההתכנסות .
53.5
n
רציפות הפונקציה הגבולית של טורי־חזקות
∞P
יהי n=0 an xטור חזקות עם רדיוס התכנסות .R > 0
אזי סכום הטור הוא פונקציה רציפה בקטע ).(−R, R
הוכחה לכל ) x0 ∈ (−R, Rקיים 0 < r < Rכך ש.|x0 | < r-
הוכחנו שבכל קטע מהצורה ] [−r, rטור החזקות מתכנס במידה־שווה ,ולכן ממשפט
קודם נובע שהפונקציה הגבולית רציפה שם ,ובפרט ב ,x0 -לכל ) .x0 ∈ (−R, R
132
53.6
משפט הגבול של אבל )Abel
( לטורי־חזקות
∞P
יהי n=0 an xnטור חזקות עם רדיוס התכנסות .R > 0
אם הטור מתכנס בנקודה x = Rאז הפונקציה הגבולית שלו רציפה משמאל ב.R-
הוכחה הטור מתכנס ב x = R-ולכן ממשפט קודם נובע שהוא מתכנס במידה־שווה בקטע
].[0, R
עוד ראינו שאם טור פונקציות רציפות כלשהו מתכנס במידה שווה ,הפונקציה הגבולית
שלו רציפה בתחום ההתכנסות ,ומכאן הטענה .
53.7
אינטגרציה איבר־איבר של טור־חזקות
יהי an xn
אזי:
∞P
n=0
טור חזקות עם רדיוס התכנסות .R > 0
.1טור האינטגרלים an tn dt
´x
∞P
n=0
0
מתכנס על אותו רדיוס התכנסות.
.2סכום טור האינטגרלים הוא אינטגרל של סכום הטור .כלומר לכל |x| < Rמתקיים:
x
!
ˆ
ˆx X
∞
∞
X
n
= an tn dt
an t
dt
n=0
0
0
n=0
.3אם ∞ < Rוהטור מתכנס ב ,x = R-אזי גם טור האינטגרלים מתכנס ב,x = R-
ומתקיים גם כאן:
R
!
ˆ
ˆR X
∞
∞
X
= an tn dt
an tn dt
n=0
0
0
n=0
הוכחה ) (1נשים לב שמתקיים עבור אינטגרל של פולינום:
x
ˆ
∞
∞
∞
X
X
an n+1 X an−1 n
= an tn dt
x
=
x
n+1
n
n=1
n=0
n=0
0
מכאן ניכר שטור האינטגרלים מתכנס )ואף נוטה להתכנס חזק יותר מהטור המקורי(.
נניח שרדיוס ההתכנסות של טור האינטגרלים הוא e
.Rנסיק מנוסחת קושי־הדמר
שמתקיים:
p
r
r
| lim n |an−1
p
1
a
a
1
∞→n
n n−1
n n−1
p
= lim
= | = lim n |an−1
= lim
=
n
∞→n
∞→n
∞→e n
n
n
R
R
lim
||n
∞→n
} | {z
=1
ולכן e = R
,Rמשמע רדיוס ההתכנסות של טור האינטגרלים שווה לזה של טור
החזקות.
133
הוכחה ) (2,3הוכחנו שלכל טור פונקציות רציפות המתכנס במידה־שווה ניתן לבצע אינטגרציה
איבר־איבר.
טור־חזקות מתכנס במידה שווה בכל קטע מהצורה ] [−r, rהמקיים ),r ∈ (−R, R
ולכן הוא מקיים את תנאי המשפט.
כאשר הטור מתכנס גם ב R-עצמה ,מאותו נימוק נובע שניתן לבצע אינטגרציה איבר־
איבר על התחום הסגור .
53.8
n
גזירה איבר־איבר של טור־חזקות
יהי an x
אזי:
∞P
n=0
טור חזקות עם רדיוס התכנסות .R > 0
0
.1טור הנגזרות ) (an xn
∞P
n=0
מתכנס על אותו רדיוס התכנסות.
.2סכום טור הנגזרות הוא נגזרת של סכום הטור .כלומר לכל |x| < Rמתקיים:
!0
n
an x
∞
X
n 0
= ) (an x
∞
X
n=0
n=0
.3אם ∞ < Rוטור הנגזרות מתכנס ב ,x = R-אזי גם הטור מתכנס ב,x = R-
ומתקיים גם כאן:
!0
∞
∞
X
X
n 0
n
= ) (an R
an R
n=0
n=0
]בניגוד לסעיף 3במשפט הקודם ,בו מהתכנסות הטור ב x = R-למדנו על התכנסות
טור האינטגרלים בנקודה זו ,במקרה זה מהתכנסות טור הנגזרות ב x = R-לומדים
על התכנסות הטור בנקודה זו[.
הוכחה ) (1נשים לב שמתקיים עבור נגזרת של פולינום:
(n + 1) an+1 xn
∞
X
= nan xn−1
n=0
∞
X
n=1
nan xn−1 = 0 +
∞
X
0
= ) (an xn
n=0
∞
X
n=0
נשתמש גם כאן בנוסחת קושי־הדמר:
p
√
1
= | |(n + 1) an+1 | = lim n n + 1 · lim n |an+1
∞→n
∞→n
R
|
{z
}
p
n
lim
∞→n
=1
הוכחה ) (2טור־חזקות מתכנס במידה שווה בכל קטע מהצורה ] [−r, rהמקיים ),r ∈ (−R, R
ולכן טור הנגזרות )שהוא טור־חזקות( מתכנס במידה־שווה בכל קטע מהצורה הנ"ל.
ממשפט קודם על גזירה איבר־איבר של טור פונקציות כלשהו נסיק שבתנאים אלה
ניתן לבצע גזירה איבר־איבר.
134
הוכחה ) (3נתון שטור הנגזרות מתכנס ב ,x = R-כלומר מתקיימת התכנסות לטור:
nan Rn−1
∞
X
0
= ) (an Rn
∞
X
n=0
n=0
נשים לב שהטור המקורי מתקבל מטור הנגזרות הזה באמצעות כפל בסדרה
שהיא מונוטונית־יורדת ל:0-
∞
∞
X
X
R
=
an Rn
nan Rn−1
n
n=0
n=0
∞ R
n n=1
ממבחן דיריכלה לטורים חסומים נסיק שהטור מתכנס ב) .R-כי טור הנגזרות מתכנס,
ובפרט חסום(.
מהנתון שטור הנגזרות מתכנס במידה־שווה בקטע ] ,[0, Rנסיק שניתן לבצע גזירה
איבר־איבר על הקטע הסגור .
מסקנה )באינדוקציה( עבור נגזרת k־ית כלשהי מתקיים:
n (n − 1) · ... · (n − k + 1) an Rn
∞
X
=
)(k
) (an Rn
n=0
∞
X
n=0
∞P
מסקנה )באינדוקציה( נסמן ב S (x)-את סכום הטור . n=0 an xn
אזי הפונקציה ) S (xגזירה מכל סדר )גזירה אינסוף פעמים( בכל קטע סגור מהצורה
) ,[−r, r] ⊂ (−R, Rולכל k ∈ Nמתקיים:
!
)(k
∞
∞
∞
X
X
X
)(k
)(k
n
n (n − 1)·...·(n − k + 1) an xn−k
= ) (an xn
= )S (x
an x
=
n=0
n=k
54
n=0
טורי־טיילור
∞P
נסמן an xn
הוכחנו שמתקיים:
n=0
= ) f (xונניח כי פונקציה זו מוגדרת על רדיוס התכנסות חיובי .R
n (n − 1) · ... · (n − k + 1) an xn−k
∞
X
= )f (k) (x
n=k
ובפרט עבור x = 0מתקיים:
!f (n) (0) = an n
⇓
= an
)f (n) (0
!n
קיבלנו נוסחה סגורה לאיבר הכללי של הפונקציה .f
∞P
מסקנה בהינתן שמתקיים f (x) = n=0 an xnההצגה של fכטור חזקות יחידה ,ומתקיים:
xk
∞
X
)f (k) (0
!k
135
k=0
= )f (x
54.1
אנליטיות
תהי ) f (xפונקציה כלשהי המוגדרת בסביבת .0נרצה לפתח את fכטור חזקות בסביבה
כלשהי של ,0כלומר שיתקיים שוויון ממש:
xk
∞
X
)f (k) (0
!k
= )f (x
k=0
.1תנאי הכרחי ומספיק לקיום טור טיילור מוגדר היטב ל f -סביב ,0הוא שהיא תהיה
גזירה מכל סדר )גזירה אינסוף פעמים( בנקודה .x = 0
.2תנאי הכרחי לכך שניתן יהיה להציג את fבאמצעות פיתוח טיילור סביב ,0הוא שהיא
תהיה גזירה מכל סדר בסביבה כלשהי של .0
.3תנאי מספיק לכך שניתן יהיה להציג את fבאמצעות פיתוח טיילור סביב ,0הוא
שהנגזרות שלה מכל סדר בסביבה כלשהי של 0חסומות.
הוכחה התנאי הראשון נובע מהגדרת טור טיילור .ברגע שהביטוי ) f (k) (0מוגדרת לכל k
מקבלים ביטוי מוגדר היטב.
נשים לב שהתנאי השני והתנאי השלישי אינם שקולים .כך למשל הפונקציה הבאה
מקיימת את התנאי השני ועדיין לא ניתנת לפיתוח טיילור סביב :0
( −1
e x2 x 6= 0
= )f (x
0
x=0
פונקציה זו גזירה אינסוף פעמים וב 0-ערך כל הנגזרות שלה הוא .0מכאן שטור
טיילור שלה הוא זהותית ,0ולכן ודאי שהיא לא ניתנת לפיתוח כטור טיילור סביב 0
על־אף שהיא מקיימת את התנאי השני.
נוכיח שאם מצרפים את התנאי השלישי מתקיימת אנליטיות .כלומר ניתן להציג את
הפונקציה כטור טיילור.
מהנתון ש f -גזירה מכל סדר בסביבה ] ,[−r, rנסיק שלכל xבסביבה זו קיים לפונקציה
קירוב באמצעות פולינום טיילור עם שארית אפסית ,מהצורה:
)xk + Rn (x
n
X
)f (k) (0
!k
= )f (x
k=0
הוכחנו שקיימת לשארית צורת לגראנז' ,לפיה קיים ) θ ∈ (0, 1כלשהו כך ש:
f (n+1) (θn ) n+1
x
!)(n + 1
= )Rn (x
מהנתון שהנגזרות מכל סדר חסומות ,נסיק שקיים m ∈ Rכך שלכל kולכל ∈ x
] [−r, rמתקיים:
) (k
f (x) < m
136
נסיק מכך:
m
m
f (n+1) (θn ) n+1
x
≤
≤ xn+1
rn+1 −→ 0
∞→n
!)(n + 1
!)(n + 1
!)(n + 1
= )Rn (x
ולכן מתקיים:
n
X
)f (k) (0
)xk + Rn (x
!k
k=0
⇓
!
n
X
f (k) (0) k
)x + Rn (x
f (x) = lim
∞→n
!k
k=0
⇓
!
n
)(k
X
f (0) k
f (x) = lim
x
)+ lim Rn (x
∞→n
∞→n
!k
{z
}
|
= )f (x
k=0
=0
xk
⇓
∞
X
)f (k) (0
!k
= )f (x
k=0
טרמינולוגיה אם קיים עבור fפיתוח טיילור סביב 0אומרים ש f -פונקציה אנליטית ב-
.x = 0
ניתן להגדיר אנליטיות בכל x0 ∈ Rכלשהי באופן אנלוגי ,באמצעות טור טיילור
מהצורה:
n
) an (x − x0
∞
X
= )f (x
n=0
אם קיימת סביבה ] [a, bכלשהי שעבורה מתקיים שלכל ] x0 ∈ [a, bהפונקציה )f (x
אנליטית ,אז אומרים כי fאנליטית על ].[a, b
54.2
תכונות של פונקציות אנליטיות
תכונה 1
אם fאנליטית בנקודה x0ורדיוס ההתכנסות שלה הוא Rסביב ,x0אזי fאנליטית בקטע
הפתוח ).(x0 − R, x0 + R
כמו־כן ,לכל ) x1 ∈ (x0 − R, x0 + Rקיים רדיוס התכנסות R1המקיים:
}R1 ≥ min {−x0 + x1 + R, x0 − x1 + R
137
תכונה 2
אם f, gאנליטיות ב ,x0 -אזי גם f ± gו f · g-אנליטיות ב.x0 -
הוכחה נתון כי f, gאנליטיות ב ,x0 -ונניח כי רדיוסי ההתכנסות שלהן הם Rf , Rgבהתאמה.
נסמן:
n
) bn (x − x0
∞
X
= )g (x
n
) an (x − x0
∞
X
= )f (x
n=0
n=0
מכאן שעבור רדיוס התכנסות Rהמקיים } R = min {Rf , Rgועבור x0המקיים
|x − x0 | < Rמתקיים:
n
) (an ± bn ) (x − x0
∞
X
= f ±g
n=0
ולכן f ± gאנליטית ב.x0 -
כמו־כן מתקיים לפי מכפלת קושי:
!
=
n
) bn (x − x0
∞
X
!
n
) an (x − x0
n=0
k
n−k
) ak (x − x0 ) bn−k (x − x0
∞
n
X
X
k=0
!
n
) (x − x0
= fg
n=0
!
=
∞
X
ak bn−k
∞
n
X
X
k=0
=
n=0
=
n=0
נשים לב שקיבלנו טור־חזקות כלשהו ,ולכן המכפלה אנליטית .
תכונה 3
אם fאנליטית ב x0 -וכן gאנליטית ב ,f (x0 )-אזי גם f ◦ gאנליטית ב) .x0 -לא נוכיח(
תכונה 4
אם f, gאנליטיות ב x0 -וכן ,g (x0 ) 6= 0אזי גם
1
x
f
1
gוg -
אנליטית ב.x0 -
אנליטית בכל נקודה :x0 6= 0
הוכחה ראשית נוכיח שהפונקציה
n
∞
1
1
1
1
1 X x0 − x
=
=
=
·
·
x
) x0 + (x − x0
x0 1 + x−x0
x0 n=0
x0
x0
כאשר השוויון האחרון נובע מנוסחת הסכום של טור גאומטרי.
אם נסמן ,h (x) = x1נשים לב שהפונקציה g1היא הרכבה של הפונקציה .h ◦ gלכן
g1היא הרכבה של פונקציות אנליטיות ,ומתכונה 3נובע שהיא אנליטית.
באותו אופן ניתן גם להוכיח
f
שg -
אנליטית .
138
54.3
דוגמאות נפוצות
.1טור טיילור של exסביב 0הוא:
∞
X
1 n
= e
x
!n
n=0
x
.2נוסחה כללית לנגזרת ה n-של sin xהיא:
even
n is
odd
n is
n
(−1) 2 sin x
cos x
n+1
2
)(−1
(
= )(x
)(n
sin
ולכן טור טיילור של sin xסביב 0הוא:
∞
n−1
X
x3
x5
x7
)(−1
x2n−1 = x −
+
−
+ ...
!)(2n − 1
!3
!5
!7
n=0
= sin x
)ניתן לראות מכאן ש sin-היא פונקציה אי־זוגית(.
.3באותו אופן נקבל שטור טיילור של cos xסביב 0הוא:
∞
n
X
(−1) 2n
x2
x4
x6
x =1−
+
−
+ ...
= cos x
!)(2n
!2
!4
!6
n=0
)ניתן לראות מכאן ש cos-היא פונקציה זוגית(.
139
חלק
VIII
מבוא לתורת המידה
55
המידה החיצונית של לבג
כיסוי־פתוח תהי .A ⊆ Rנאמר כי קבוצה כלשהי של קטעים פתוחים שנסמן σהיא "כיסוי
פתוח של ,"Aאם מתקיים:
[
⊆A
I
I∈σ
הגדרה תהי .A ⊆ Rנגדיר את פונקציית המידה החיצונית של לבג של Aבאופן הבא:
X
= )h1 (A
inf
||I
I∈σ
open covers
כאשר לכל קטע I ∈ σהסימון | |Iמציין את אורך הקטע.
55.1
קבוצות בעלות מידה 0
טענה לכל קטע מהצורה ]) J = [a, bלאו דווקא קטע סגור( מתקיים:
|h1 (J) = b − a = |J
ומכאן גם שעבור נקודה בודדת aמתקיים:
h1 (a) = 0
הגדרה תהי .A ⊆ Rנאמר כי Aהיא "בעלת מידה "0אם מתקיים:
h1 (A) = 0
הגדרה־שקולה ל A ⊆ R-מידה 0אמ"מ לכל > 0קיים כיסוי פתוח ל A-שסכום כל אורכי
הקטעים בו קטן מ.-
טענה אם A ⊆ Rקבוצה בת־מניה ,אזי היא בעלת מידה .0
הוכחה
∞
∞
נניח כי A = {an }n=1קבוצה בת־מניה ,ונגדיר עליה סדר כלשהו כך ש.A = (an )n=1 -
אזי לכל > 0מתקיים:
an − 2−n , an + 2n
∞
[
n=1
140
⊆A
נשים לב שמתקיים עבור סכום אורכי הקטעים:
2−n = 2
∞
X
∞
X
22−n = 2
n=1
n=1
} | {z
=1
∞
טענה תהי (An )n=1סדרה של קבוצות בעלות מידה ,0אזי גם הקבוצה An
∞
[
= Aהיא
n=1
בעלת מידה .0
)כלומר ,איחוד בן־מניה של קבוצות בעלות מידה 0הוא קבוצה בעלת מידה (.0
הוכחה יהי . > 0מהנתון שלכל הקבוצות ) (Anיש מידה ,0נסיק שלכל קבוצה Anקיים
כיסוי פתוח מהצורה:
∞
[
Inl
⊆ An
l=1
המקיים את התנאי השקול למידה :0
|Inl | < 2−n
∞
X
l=1
ולכן נסיק שקיים כיסוי פתוח לקבוצה :A
Inl
[ ∞
∞
[
⊆ An
n=1 l=1
∞
[
=A
n=1
כך שמתקיים:
∞
X
= 2−n
=
n=1
−n
2
∞
X
n=1
!
<
| |Inl
∞
∞
X
X
l=1
= | |Inl
n=1
∞
X
n,l=1
הערה כל קבוצה בת־מניה מידתה ,0אולם לא כל קבוצה שמידתה 0היא בת־מניה.
דוגמה :קבוצה כל המספרים בקטע ממשי נתון ,שלא מאפשרים לספרה מסוימת
להופיע בפיתוח העשרוני שלהם.
דוגמה מסוימת בכתיב פורמלי:
}{a ∈ [0, 1] |a = a1 a2 a3 ... and ai 6= 5
56
משפט לבג
פונקציה ]) f ∈ B [a, bכלומר חסומה על הקטע( אינטגרבילית רימן אמ"מ קבוצת נקודות
אי הרציפות שלה היא בעלת מידה .0
141
57
הלמה של היינה־בורל
]הטענה הראשונה היא הלמה עצמה ,והשתיים האחרות קשורות אליה[.
טענה 1לכל כיסוי פתוח σשל קטע סגור ] [a, bקיים תת־כיסוי סופי לקטע ].[a, b
"תת־כיסוי סופי" הוא קבוצה המוכלת ב ,σ-המכילה מספר סופי של קטעים פתוחים.
הוכחה נניח בשלילה שהטענה לא נכונה .כלומר ,קיים קטע סגור ] [a, bכלשהו ,וכיסוי פתוח
אינסופי שלו ,σכך שכל תת־קבוצה סופית של σאינה כיסוי פתוח של ].[a, b
נבצע תהליך איטרטיבי של חלוקת הקטע ] [a, bלשני תתי־קטעים שווים ,ובכל שלב
נבחר אחד משני תתי הקטעים ונמשיך איתו את התהליך ,באופן הבא.
ניתן לראות שמתקיים תמיד:
a+b
a+b
∪ a+
,b
[a, b] = a, a +
2
2
מההנחה שאין ל [a, b]-כיסוי סופי נובע בהכרח שלפחות לאחד משני תתי הקטעים
הללו אין כיסוי סופי) .אחרת איחוד שני הכיסויים הסופיים שלהם יהיה כיסוי סופי
לכל הקטע(.
נבחר תת־קטע שאין לו כיסוי סופי ונסמן אותו ] .[a1 , b1אורכו של תת־קטע זה הוא
.b1 − a1 = b−a
21
נחזור על אותו התהליך עבור ] ,[a1 , b1ונקבל שוב תת־קטע שאין לו כיסוי סופי ונסמן
1
.b2 − a2 = b12−a
= b−a
1
אותו ] .[a2 , b2אורכו של תת־קטע זה הוא 22
באופן כללי ,נקבל סדרה של קטעים ] [an , bnהמקיימת:
] [an+1 , bn+1 ] ⊂ [an , bn
אורכו של תת־קטע n־י הוא:
b−a
2n
= bn − an
ולכן נקבל סדרה של קטעים שאין להם כיסוי סופי ,ושאורכיהם מהווים סדרה
המתכנסת ל 0-כאשר ∞ → .n
מהלמה של קנטור נובע שקיית נקודה ] c ∈ [a, bיחידה ששייכת לכל הקטעים הללו.
כלומר:
[an , bn ] ⇔ ∀n an ≤ c ≤ bn
∞
\
∈c
i=1
נשים לב שמההנחה ש σ-כיסוי של הקטע ] [a, bנובע שקיים קטע פתוח כלשהו I ∈ σ
כך ש.c ∈ I-
נניח שאורכו של Iהוא .מכיוון שסדרת אורכי הקטעים מתכנסת ל ,0-נובע שעבור
nמספיק גדול ,הקטע ,[an , bn ] ⊂ Iבסתירה לכך שלכל nלקטע ] [an , bnאין כיסוי
סופי .
טענה 2נניח כי קטע פתוח כלשהו ) (a, bמקיים:
N
[
) (αn , βn
n=1
142
⊆ )(a, b
)כלומר יש לקטע כיסוי סופי(
אזי מתקיים:
) (βn − αn
N
X
≤b−a
n=1
הוכחה )באינדוקציה(
עבור ,N = 1אם ) (a, b) ⊆ (α, βאזי β ≥ b ,α ≤ aולכן מתקיים:
b−a≤β−α
נניח שהטענה נכונה עבור Nכלשהו ,ואינה נכונה עבור .N + 1
כלומר ,קיימים קטעים המקיימים:
) (αn , βn
[N
+1
⊆ )(a, b
n=1
ובכל זאת מתקיים:
) (βn − αn
N
+1
X
>b−a
n=1
מכיוון שהכיסוי הוא קבוצה שמוגדרת כאיחוד של קטעים ,סדר הקטעים לא משנה,
אז נגדיר:
) (βn
max
1≤n≤N +1
= βN +1
כלומר ,ניקח את הקטע ) (αN +1 , βN +1להיות הקטע בכל הקצה "הימני" הקיצוני
בכיסוי הקטע ) ,(a, bולכן בהכרח .b ≤ βN +1
נשים לב שמתקיים:
(βn − αn ) > βN +1 − αN +1
N
+1
X
>b−a
n=1
⇓
b − a > βN +1 − αN +1
⇓
a < αN +1
נדון בשני מקרים:
אם αN +1 ≥ bאז הקטע ) (αN +1 , βN +1אינו נדרש לכיסוי של ) ,(a, bולכן קיים
כיסוי מגודל Nלקטע ) .(a, bעבור מקרה זה מתקיימת הנחת האינדוקציה ,בסתירה
להנחה בשלילה שהטענה לא מתקיימת עבור .N + 1
אם αN +1 < bנשים לב שמתקיים:
(a, αN +1 ) ∩ (αN +1 , βN +1 ) = Ø
143
ולכן את הקטע ) (a, αN +1ניתן לכסות עם Nקטעים ,ומתקיימת לגביו הנחת
האינדוקציה:
) (βn − αn
N
X
≤ αN +1 − a
n=1
ומכאן נסיק שלכל הקטע ) (a, bמתקיים:
≤ )b − a ≤ βN +1 − a = (βN +1 − αN +1 ) + (αN +1 − a
) (βn − αn
N
+1
X
= ) (βn − αn ) + (βN +1 − αN +1
N
X
≤
n=1
n=1
בסתירה למה שהנחנו בשלילה .
טענה 3אם σכיסוי פתוח )סופי או אינסופי( של קטע סגור ] ,[a, bאזי מתקיים:
X
|I| ≥ b − a
I∈σ
כאשר | |Iהוא אורך הקטע ה.I-
||I
הביטוי
ולכן
חיובי,
ממשי
]נשים לב ש |I|-הוא מספר
I∈σ
אינסופי[.
P
מוגדר -סופי או
הוכחה נניח בשלילה שמתקיים:
|I| < b − a
X
I∈σ
σכך שמתקיים:
˜˜ ⊆ σ ,
מהלמה של היינה־בורל נובע שקיים תת־כיסוי סופי שנסמן σ
[
⊆ ][a, b
I
˜∈I
σ
ולכן מתקיים:
|I| < b − a
X
I∈σ
≤ ||I
X
˜∈I
σ
בסתירה לטענה .2
מסקנה לכל ,b, a ∈ Rהקטע ]) [a, bאו גם הקטע הפתוח החצי-פתוח המתאים( אינו בן־מניה
ואינו בעל מידה .0
הוכחה קבוצה בעלת מידה 0לפי הגדרה היא קבוצה שסכום אורכי הקטעים שלה קטן
כרצוננו.
הוכחנו שהגודל של כיסוי קטע מהצורה הנ"ל חסום מלרע על-ידי המספר ,b − aולכן
זו לא יכולה להיות קבוצה ממידה .0
הוכחנו שכל קבוצה בת־מניה היא בעלת מידה ,0ומכיוון שהקטע אינו בעל מידה 0
הוא בהכרח אינו בן־מניה .
144
מסקנה נניח ש A-קבוצה כלשהי ,ונניח כי σהיא קבוצת כל הכיסויים הפתוחים של .A
הגדרנו את "המידה החיצוני של לבג" של Aבאופן הבא:
(
)
X
h1 (A) = inf
||I
I∈σ
אזי המידה החיצונית של לבג של קטע ממשי ] [a, bכלשהו ,היא מה שנתפס אינטואיטיבית
כאורך הקטע .כלומר:
h1 ([a, b]) = b − a
הוכחה נשים לב שלכל > 0מתקיים:
) [a, b] ⊂ (a − , b +
מכאן שלכל > 0מתקיים כי ,(a − , b + ) ∈ σומהטענות שהוכחנו לעיל נסיק
שמתקיים בהכרח:
(
)
X
h1 ([a, b]) = inf
|I| = b − a
I∈σ
58
הצגות של מספרים
הצגה בבסיס כלשהו של מספרים בקטע ] [0, 1היא הצגה של כל מספר כסכום של טור
אינסופי גאומטרי.
ניתן שתי דוגמאות.
בסיס־ 10לכל מספר ממשי ] a ∈ [0, 1קיימת הצגה שמסמנים:
a = 0.a1 a2 a3 ...
ומשמעות סימון זה היא:
}an · 10−n , an ∈ {0, 1, 2, ..., 9
∞
X
=a
n=1
הצגה זו נקראת "הצגה בבסיס "10כי משתמשים ב 10-ספרות לייצוג כל מספר.
נשים לב שהצגה זו אינה יחידה ,כי למשל 1 = 1.000... = 0.999...וגם = 0.12999...
.0.13000...
בסיס־ 2לכל מספר ממשי ] a ∈ [0, 1קיימת הצגה שמסמנים:
a = 0.a1 a2 a3 ...
ומשמעות סימון זה היא:
}an · 2−n , an ∈ {0, 1
∞
X
=a
n=1
הצגה זו נקראת "הצגה בבסיס "2כי משתמשים ב 2-ספרות לייצוג כל מספר.
כך גם ניתן להציג כל מספר בבסיס כלשהו בצורה זו.
145
59
קבוצת קנטור
הגדרה קבוצת קנטור Cמוגדרת באופן הבא:
}}C = {a = 0.a1 a2 a3 ...|∀n an ∈ {0, 2
קבוצה זו כוללת את כל המספרים בקטע ] ,[0, 1למעט אלו שבפיתוח שלהם בבסיס 3
מופיע .1
אם נתבונן במספר כלשהו ב , 13 , 23 -נשים לב שהצגה שלו בבסיס 3כוללת את הספרה ,1
1
שלוכטור אינסופי גאומטרי עם פרמטר .q = 31
בהצגה 7
כי מספר מסוג זה מכיל את 31
8
1 2
כמו כן כל מספר ששייך לקטעים 9 , 9 , 9 , 9מכיל את הספרה ,1כי מספר מסוג זה
מכיל את 312 = 19בהצגה שלו כטור אינסופי גאומטרי עם פרמטר .q = 13
וכן הלאה.
המובן הגאומטרי של קבוצת קנטור ,הוא שמחלקים כל תת־קטע לשלושה תתי־קטעים,
ומסירים בכל שלב את תת הקטע האמצעי.
טענה Cקבוצה בעלת מידה .0
הוכחה נשים לב שמתקיים:
=Ø
=Ø
7
8
9, 9
2
3, 3
1
∩=C
∩C
1
2
9, 9
∩C
.
.
.
ולכן נקבל שמתקיים:
2
∪ 3, 1
1
C ⊂ 0, 3
C ⊂ 0, 91 ∪ 29 , 39
C ⊂ 0, 19 ∪ 92 , 39 ∪ 69 , 79 ∪ 89 , 1
.
.
.
ובפרט ,לכל nמתקיים כי Cמוכלת ב 2n -קטעים ,שאורך כל אחד מהם הוא ,3−n
ולכן לכל nניתן לכסות את Cבקבוצה של כיסויים פתוחים באורך 3−n + nלכל
. > 0
נבחר למשל n = 9−nונקבל שסכום אורך כל הכיסויים של Cהוא:
n n
2
2
n
−n
−n
+
−→ 0
2 3 +9
=
∞→n
3
9
ומכאן ש C-היא קבוצה בעלת מידה .0
146
טענה העוצמה של Cהיא עוצמת הרצף.
הוכחה כל המספרים שב C-לפי ההגדרה מיוצגים באמצעות הספרות .0, 2נהפוך את כל
הספרות 2ל־.1
נקבל את קבוצת כל ההצגות מהצורה 0.a1 a2 a3 ...כאשר }.an ∈ {0, 1
נשים לב שקבוצה זו שקולה בעוצמתה לקטע ] ,[0, 1כי הראינו שאת כל הקטע ][0, 1
ניתן להציג בבסיס .2
60
פונקציית קנטור )מדרגות השטן(
נגדיר פונקציה מהצורה ] F : [0, 1] → [0, 1באופן הבא:
היא שווה ,1ובנקודה 0היא שווה .0
בנקודה 1 121
שווה
היא
2
בקטע 13 , 321
שווה
היא
4
בקטע 79 , 983
שווה
היא
4
בקטע 9 , 9.
.
.
באופן כללי :בקטע Injשהוא באורך 3−nמתקיים:2j − 1
2n
= )f (x
אם כך הגדרנו את fעל התחום ,[0, 1] Cוהיא מקבלת בקטע זה את קבוצת הערכים:
k
n
|k, n ∈ N, k < 2
=A
2n
כעת נגדיר את fעל קבוצת קנטור .לכל x ∈ Cנגדיר:
})f (x) = sup {f (t
t<x
∈x
/C
קיבלנו פונקציה שמוגדרת על הקטע ] [0, 1והיא מונוטונית עולה )חלש(.
טענה fשהגדרנו רציפה בכל התחום ].[0, 1
הוכחה היות ו f -מונוטונית עולה ,כל נקודת אי־רציפות שלה חייבת להיות מסוג ראשון,
כלומר שנקבל קטע כלשהו של ערכים שלא מתקבל על־ידי הפונקציה.
אבל זה לא אפשרי ,כי f ([0, 1]) = Aכפי שסימנו לעיל ,ו A-היא קבוצה צפופה .
נתבונן בפונקציה חדשה gשמוגדרת להיות .g = f |Cנשים לב ש.g : C → [0, 1]-
טענה gמונוטונית עולה ממש ולכן היא חח"ע.
הוכחה יהיו x1 , x2 ∈ Cנקודות כלשהן המקיימות .x1 < x2
אזי מצפיפות הרציונליים נובע שקיימים k, l ∈ Nכך שמתקיים:
k
k+1
<
< x2
n
2
2n
< x1
ולכן מתקיים ) .g (x1 ) < g (x2 ) ⇐ f (x1 ) < f (x2
147
טענה gהיא פונקציה על בקטע ].[0, 1
הוכחה מכיוון ש f -רציפה והיא מונוטונית עולה ,נסיק כי ].f ([0, 1]) = [0, 1
כמו־כן מתקיים:
f ([0, 1] C) = A
ולכן:
g (C) ⊇ [0, 1] A
כמו־כן נשים לב שכל ערכי Aמתקבלים עבור gבנקודות הקצה של הקטעים הסגורים
שאינם שייכים לקבוצת קנטור ,ולכן הם גם כלולים בתמונה של .g
מסקנה קיימת פונקציה חח"ע ועל מקבוצת קנטור Cלקטע ] ,[0, 1ולכן יש לשתי הקבוצות
אותה עוצמה -עוצמת הרצף.
148
