הורדה

Transcription

הורדה
‫חשבון אינפיניטסימלי ‪2‬‬
‫מבוסס על הרצאות פרופ' יורם לסט‬
‫בקורס "חשבון אינפיניטסימלי ‪(80132) "2‬‬
‫האוניברסיטה העברית‪ ,‬סמסטר ב' ‪2013‬‬
‫להערות‪:‬‬
‫‪nachi.avraham@gmail.com‬‬
‫נחי‬
‫תודה לכל מי ששלח הערות ותיקונים‪ ,‬ובמיוחד לנעמה בויאר‬
‫‪1‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫‪I‬‬
‫‪II‬‬
‫‪6‬‬
‫כלל לופיטל‬
‫המקרה של ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . lim f (x) = lim g(x) = 0‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫המקרה של ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . lim f (x) = lim g(x) = 0‬‬
‫‪7‬‬
‫‪3‬‬
‫המקרה של ∞ = )‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . lim f (x) = lim g(x‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫המקרה של ∞ = )‪. . . . . . . . . . . . . . . . . lim f (x) = lim g(x‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫כלל לופיטל לפונקציות גזירות בקטע סגור ‪. . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫חקירת פונקציות )מהתרגול( ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫‪12‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x→a‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫‪x→a‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪x→a‬‬
‫האינטגרל הלא־מסוים )או‪ :‬פונקציות קדומות(‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫‪III‬‬
‫‪11‬‬
‫‪12‬‬
‫פונקציה קדומה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫יחידות הפונקציה הקדומה )עד־כדי קבוע( ‪. . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫האינטגרל הלא־מסוים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫אריתמטיקה של האינטגרל הלא־מסוים ‪. . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪9.1‬‬
‫אינטגרלים מיידיים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪9.2‬‬
‫שיטות אינטגרציה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫אינטגרציה בחלקים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪10.1‬‬
‫אינטגרציה בשיטת ההצבה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪10.2‬‬
‫הצבות שימושיות לפונקציות רציונאליות ‪. . . . . . . .‬‬
‫‪10.2.1‬‬
‫פירוק לשברים חלקיים )נוסחאות( ‪. . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪10.3‬‬
‫האינטגרל המסוים‬
‫גישה‬
‫‪11.1‬‬
‫‪11.2‬‬
‫‪11.3‬‬
‫‪11.4‬‬
‫‪11.5‬‬
‫‪11.6‬‬
‫‪11.7‬‬
‫‪11.8‬‬
‫‪11.9‬‬
‫גישה‬
‫‪12.1‬‬
‫‪12.2‬‬
‫‪12.3‬‬
‫‪12.4‬‬
‫‪12.5‬‬
‫‪13‬‬
‫‪13‬‬
‫‪13‬‬
‫‪13‬‬
‫‪14‬‬
‫‪14‬‬
‫‪16‬‬
‫‪16‬‬
‫‪17‬‬
‫‪19‬‬
‫‪21‬‬
‫‪22‬‬
‫ראשונה‪ :‬פונקציות מדרגות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫חלוקה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫פונקציית מדרגות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫תכונות של פונקציות מדרגות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫אינטגרל של פונקציית מדרגות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫יחידות האינטגרל של פונקציית מדרגות ‪. . . . . . . . .‬‬
‫‪11.4.1‬‬
‫אריתמטיקה ותכונות אינטגרלים של פונקציות מדרגות ‪.‬‬
‫‪11.4.2‬‬
‫אינטגרביליות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫אפיונים שקולים לאינטגרביליות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫דוגמה לחישוב אינטגרל מסויים לפי ההגדרה ‪. . . . . . . . . . . .‬‬
‫רציפות ואינטגרביליות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫מונוטוניות ואינטגרביליות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫שנייה‪ :‬סכומי רימן ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫סכום רימן ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫פרמטר החלוקה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫אינטגרביליות רימן ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫יחידות האינטגרל של רימן ‪. . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪12.3.1‬‬
‫קריטריון קושי לאינטגרביליות רימן ‪. . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫חסימות ואינטגרביליות רימן ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪22‬‬
‫‪22‬‬
‫‪22‬‬
‫‪22‬‬
‫‪24‬‬
‫‪24‬‬
‫‪24‬‬
‫‪25‬‬
‫‪26‬‬
‫‪28‬‬
‫‪30‬‬
‫‪31‬‬
‫‪32‬‬
‫‪32‬‬
‫‪32‬‬
‫‪32‬‬
‫‪33‬‬
‫‪34‬‬
‫‪35‬‬
‫‪13‬‬
‫‪14‬‬
‫‪15‬‬
‫‪16‬‬
‫‪17‬‬
‫‪18‬‬
‫‪19‬‬
‫‪20‬‬
‫‪21‬‬
‫‪22‬‬
‫‪23‬‬
‫‪IV‬‬
‫הקשר בין הפונקציה הקדומה לאינטגרל המסוים‬
‫‪24‬‬
‫‪25‬‬
‫‪26‬‬
‫‪27‬‬
‫‪28‬‬
‫‪29‬‬
‫‪V‬‬
‫גישה שלישית‪ :‬סכומי דארבו ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫סכומי דארבו ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪13.1‬‬
‫הקשר בין סכומי רימן לסכומי דארבו ‪. . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪13.2‬‬
‫אינטגרל עליון ותחתון של דארבו ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪13.3‬‬
‫הקשר בין אינטגרל עליון ותחתון של דארבו לאינטגרל עליון ותחתון‬
‫‪13.4‬‬
‫אינטגרל דארבו ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪13.5‬‬
‫שקילות הגישות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫משפט דארבו ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪14.1‬‬
‫השקילות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪14.2‬‬
‫תנאי רימן לאינטגרביליות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫אינווריאנטיות האינטגרל תחת הזזה )מהתרגול( ‪. . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫פונקציית רימן )מהתרגול( ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫תנודה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫אריתמטיקה של האינטגרל המסוים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫הקבוצה ]‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R [a, b‬‬
‫תכונות של תחום האינטגרביליות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫אינטגרביליות של פונקציה מורכבת ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫אי־שוויון המשולש האינטגרלי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫הפונקציה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F‬‬
‫רציפות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F‬‬
‫‪24.1‬‬
‫המשפט היסודי של החדו"א )ונספחים( ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫טענה ‪ F :1‬כפונקציה קדומה בנקודות שבהן ‪ f‬רציפה ‪. . . . . . .‬‬
‫‪25.1‬‬
‫טענה ‪ F :2‬כפונקציה קדומה בקטע שבו ‪ f‬רציפה ‪. . . . . . . . .‬‬
‫‪25.2‬‬
‫טענה ‪ :3‬נוסחת ניוטון־לייבניץ ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪25.3‬‬
‫חישוב אינטגרל מסוים באינטגרציה בחלקים ‪. . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫חישוב אינטגרל מסוים באינטגרציה בהצבה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫נקודות רציפות של פונקציה אינטגרבילית )מהתרגול( ‪. . . . . . . . . . . .‬‬
‫קירוב פונקציות באמצעות המשפט היסודי של החדו"א )מהתרגול( ‪. . . . .‬‬
‫טורים אינסופיים‬
‫‪30‬‬
‫‪31‬‬
‫‪32‬‬
‫‪33‬‬
‫‪36‬‬
‫‪36‬‬
‫‪37‬‬
‫‪38‬‬
‫‪39‬‬
‫‪40‬‬
‫‪40‬‬
‫‪42‬‬
‫‪43‬‬
‫‪44‬‬
‫‪46‬‬
‫‪47‬‬
‫‪50‬‬
‫‪50‬‬
‫‪51‬‬
‫‪53‬‬
‫‪55‬‬
‫‪56‬‬
‫‪58‬‬
‫‪58‬‬
‫‪58‬‬
‫‪59‬‬
‫‪59‬‬
‫‪60‬‬
‫‪61‬‬
‫‪63‬‬
‫‪65‬‬
‫‪67‬‬
‫‪69‬‬
‫‪71‬‬
‫מבוא מתורת הקבוצות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫יחס שקילות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪30.1‬‬
‫עוצמה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪30.2‬‬
‫קבוצות בנות־מניה )או‪ :‬עוצמת הטבעיים( ‪. . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪30.3‬‬
‫עוצמת הרצף ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪30.4‬‬
‫סכום של קבוצה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫עוצמה של קבוצה שסכומה סופי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪31.1‬‬
‫אפיון שקול לסכום של קבוצה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪31.2‬‬
‫הרחבת מושג הסכום של קבוצה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪31.3‬‬
‫טור אינסופי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫התכנסות של טור ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫הקשר בין סכום של קבוצה להתכנסות של טור ‪. . . . . . . . . . .‬‬
‫‪33.1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪71‬‬
‫‪71‬‬
‫‪71‬‬
‫‪72‬‬
‫‪74‬‬
‫‪74‬‬
‫‪75‬‬
‫‪75‬‬
‫‪77‬‬
‫‪78‬‬
‫‪78‬‬
‫‪79‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪34‬‬
‫‪35‬‬
‫‪36‬‬
‫‪37‬‬
‫‪38‬‬
‫‪39‬‬
‫‪40‬‬
‫‪41‬‬
‫‪42‬‬
‫‪VI‬‬
‫‪43‬‬
‫‪44‬‬
‫‪45‬‬
‫‪46‬‬
‫‪VII‬‬
‫‪47‬‬
‫‪48‬‬
‫‪49‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫קריטריון קושי להתכנסות טור ‪. . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪33.2‬‬
‫הטור ההרמוני ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪33.3‬‬
‫תנאי להתכנסות טור ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪33.4‬‬
‫הטור ‪ m‬זנב ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪33.5‬‬
‫הקשר בין התכנסות טור להתכנסות הזנבות שלו ‪. . . .‬‬
‫‪33.5.1‬‬
‫אריתמטיקה של טורים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪33.6‬‬
‫טורים חיוביים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫קריטריון ההשוואה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪34.1‬‬
‫מבחן המנה )‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1‬‬
‫‪34.2‬‬
‫מבחן המנה )‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2‬‬
‫‪34.3‬‬
‫מבחן קושי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪34.4‬‬
‫מבחן דלאמבר ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪34.5‬‬
‫‪34.6‬‬
‫הטור של ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n1β‬‬
‫מבחני התכנסות של טורים חיוביים )סיכום מהתרגול( ‪. . . . . . . . . . .‬‬
‫משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים ‪. . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫התכנסות בהחלט‪/‬בתנאי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫מבחן דיריכלה לטורים חסומים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫מבחן אבל )‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Abel‬‬
‫‪38.1‬‬
‫הכנסת סוגריים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫שינוי סדר הסכימה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫בטור חיובי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪40.1‬‬
‫בטור מתכנס בהחלט ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪40.2‬‬
‫משפט רימן לטורים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫מכפלת טורים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫משפט קושי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪42.1‬‬
‫משפט מרטנס ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪42.2‬‬
‫אינטגרלים לא־אמיתיים‬
‫‪80‬‬
‫‪81‬‬
‫‪81‬‬
‫‪82‬‬
‫‪82‬‬
‫‪83‬‬
‫‪84‬‬
‫‪84‬‬
‫‪85‬‬
‫‪85‬‬
‫‪86‬‬
‫‪87‬‬
‫‪87‬‬
‫‪89‬‬
‫‪91‬‬
‫‪92‬‬
‫‪93‬‬
‫‪95‬‬
‫‪96‬‬
‫‪99‬‬
‫‪99‬‬
‫‪99‬‬
‫‪101‬‬
‫‪105‬‬
‫‪106‬‬
‫‪107‬‬
‫‪109‬‬
‫אינטגרל לא־אמיתי של פונקציה חסומה בקטע לא־חסום ‪. . . . . . . . . .‬‬
‫אריתמטיקה של אינטגרלים לא־אמיתיים ‪. . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪43.1‬‬
‫קריטריון קושי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪43.2‬‬
‫קריטריון ההשוואה ‪. . . . . . . . . . . . . ´. . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪43.3‬‬
‫∞‬
‫האינטגרל לא־אמיתי ‪. . . . . . . . . . . . a x1α dx‬‬
‫‪43.3.1‬‬
‫קריטריון המנה הגבולי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪43.4‬‬
‫התכנסות בהחלט‪/‬בתנאי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪43.5‬‬
‫קשר בין טורים אינסופיים לאינטגרלים לא־אמיתיים ‪. . . . . . . . . . . .‬‬
‫אינטגרלים לא־אמיתיים של פונקציות לא־חסומות בקטע חסום ‪. . . . . .‬‬
‫הקשר בין שני סוגי האינטגרלים הלא־אמיתיים ‪. . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫∞´‬
‫)‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . a fx(x‬‬
‫‪46.1‬‬
‫האינטגרל לא־אמיתי ‪α dx‬‬
‫סדרות פונקציות וטורי פונקציות‬
‫‪109‬‬
‫‪110‬‬
‫‪110‬‬
‫‪111‬‬
‫‪111‬‬
‫‪112‬‬
‫‪112‬‬
‫‪113‬‬
‫‪114‬‬
‫‪115‬‬
‫‪115‬‬
‫‪118‬‬
‫סדרת פונקציות ‪118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫טור פונקציות ‪118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫הקשר בין סדרות פונקציות לטורי פונקציות ‪119 . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪4‬‬
‫‪50‬‬
‫‪51‬‬
‫‪52‬‬
‫‪53‬‬
‫‪54‬‬
‫‪VIII‬‬
‫‪55‬‬
‫‪56‬‬
‫‪57‬‬
‫‪58‬‬
‫‪59‬‬
‫‪60‬‬
‫התכנסות של סדרת‪/‬טור פונקציות בשפת ‪. . . . . . . . . . . . . . ε − N‬‬
‫התכנסות במידה־שווה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫קריטריון קושי להתכנסות במידה־שווה ‪. . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪51.1‬‬
‫מבחן ‪ M‬של ויירשטראס להתכנסות במידה־שווה ‪. . . . . . . . .‬‬
‫‪51.2‬‬
‫תכונות הקשורות בהתכנסות במידה־שווה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫רציפות של הפונקציה הגבולית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪52.1‬‬
‫אינטגרציה איבר־איבר ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪52.2‬‬
‫בשפה של טורי פונקציות ‪. . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪52.2.1‬‬
‫גזירה איבר־איבר ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪52.3‬‬
‫בשפה של טורי פונקציות ‪. . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪52.3.1‬‬
‫משפט דיני ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪52.4‬‬
‫טורי־חזקות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫משפט אבל )‪ (Abel‬לטורי־חזקות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪53.1‬‬
‫נוסחת קושי־הדמר ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪53.2‬‬
‫משפט דלאמבר לטורי־חזקות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪53.3‬‬
‫התכנסות במידה־שווה של טורי־חזקות ‪. . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪53.4‬‬
‫רציפות הפונקציה הגבולית של טורי־חזקות ‪. . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪53.5‬‬
‫משפט הגבול של אבל )‪ (Abel‬לטורי־חזקות ‪. . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪53.6‬‬
‫אינטגרציה איבר־איבר של טור־חזקות ‪. . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪53.7‬‬
‫גזירה איבר־איבר של טור־חזקות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪53.8‬‬
‫טורי־טיילור ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫אנליטיות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪54.1‬‬
‫תכונות של פונקציות אנליטיות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪54.2‬‬
‫דוגמאות נפוצות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪54.3‬‬
‫מבוא לתורת המידה‬
‫‪119‬‬
‫‪119‬‬
‫‪120‬‬
‫‪121‬‬
‫‪122‬‬
‫‪122‬‬
‫‪123‬‬
‫‪124‬‬
‫‪124‬‬
‫‪127‬‬
‫‪127‬‬
‫‪128‬‬
‫‪129‬‬
‫‪129‬‬
‫‪130‬‬
‫‪130‬‬
‫‪132‬‬
‫‪133‬‬
‫‪133‬‬
‫‪134‬‬
‫‪135‬‬
‫‪136‬‬
‫‪137‬‬
‫‪139‬‬
‫‪140‬‬
‫המידה החיצונית של לבג ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫קבוצות בעלות מידה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0‬‬
‫‪55.1‬‬
‫משפט לבג ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫הלמה של היינה־בורל ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫הצגות של מספרים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫קבוצת קנטור ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫פונקציית קנטור )מדרגות השטן( ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪5‬‬
‫‪140‬‬
‫‪140‬‬
‫‪141‬‬
‫‪142‬‬
‫‪145‬‬
‫‪146‬‬
‫‪147‬‬
‫חלק‬
‫‪I‬‬
‫כלל לופיטל‬
‫הערה גבול חד־צדדי של )‪ f (x‬ב־ ‪ ,a‬נסמן )‪) lim f (x‬מימין( ו־)‪) lim f (x‬משמאל(‬
‫‪x&a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x%a‬‬
‫המקרה של ‪lim f (x) = lim g(x) = 0‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪x→a‬‬
‫יהיו )‪ f (x) , g(x‬פונקציות גזירות בסביבה כלשהי של הנקודה ‪ ,a‬פרט אולי ל־‪ a‬עצמה‪.‬‬
‫נניח כי בסביבה זו מתקיים ‪,∀x 6= a g 0 (x) 6= 0‬‬
‫וכן נניח כי קיימים ושווים הגבולות ‪. lim f (x) = lim g(x) = 0‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪(x‬‬
‫)‪ , lim fg0 (x‬אז קיים גם הגבול‬
‫אם קיים הגבול ‪= L‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪x→a‬‬
‫)‪lim f (x‬‬
‫)‪x→a g(x‬‬
‫וגם הוא שווה ל־‪.L‬‬
‫הערה הגבול ‪ L‬יכול להיות ממשי או אינסופי‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫‪ .1‬נשים לב כי במשפט לא הוצבה כל דרישה על ערך הפונקציה בנקודה ‪ a‬עצמה‪ ,‬ולכן‬
‫נוכל לצורך הנוחות להגדיר ‪ .f (a) = g(a) = 0‬הנחה זו מגדירה את הפונקציות‬
‫כרציפות בנקודה ‪.a‬‬
‫‪ .2‬נניח כי תנאי המשפט מתקיימים בסביבה ימנית של ‪ ,a‬כלומר קיים ‪ h > 0‬כך ש־‬
‫)‪(x‬‬
‫)‪ fg(x‬מוגדר היטב ו־)‪ g(x‬לא‬
‫‪ .∀x ∈ (a, a + h) g 0 (x) 6= 0‬מנתון זה נובע שהביטוי‬
‫מתאפסת בסביבה זו‪.‬‬
‫נימוק‪ :‬נניח בשלילה שקיים )‪ x0 ∈ (a, a + h‬כך ש־‪ .g(x0 ) = 0‬אזי מההנחה‬
‫‪ g(a) = 0‬נקבל כי מתקיים ) ‪ ,g(a) = g(x0‬וממשפט רול נובע שקיימת נקודה‬
‫)‪ c ∈ (a, a + x0 ) ⊂ (a, a + h‬שבה ‪ ,g 0 (c) = 0‬בסתירה להנחה‪.‬‬
‫‪ .3‬תנאי המשפט הופכים את הפונקציות לכאלה המקיימות את תנאי משפט קושי‪ ,‬ולכן‬
‫ממשפט קושי נובע כי לכל )‪ x ∈ (a, a + h‬קיימת נקודה )‪ c ∈ (a, x‬כך ש־‬
‫)‪f (x) − f (a‬‬
‫‪f (x) − 0‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫)‪f 0 (c‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫)‪g (c‬‬
‫)‪g(x) − g(a‬‬
‫‪g(x) − 0‬‬
‫)‪g(x‬‬
‫נשים לב כי )‪ c ∈ (a, x‬ולכן אם ‪ x → a‬אזי גם ‪ .c → a‬ולכן נסיק ־‬
‫)‪f (x‬‬
‫)‪f 0 (c‬‬
‫‪= lim 0‬‬
‫)‪x&a g(x‬‬
‫)‪c&a g (c‬‬
‫‪lim‬‬
‫]נשים לב ששינוי שם המשתנה מ־‪ x‬ל־‪ c‬אינו משנה לערך הגבול‪ .‬מה שחשוב זה‬
‫שהמשתנה שואף ל־‪[.0‬‬
‫‪ .4‬באותו אופן נוכל לקבל את השוויון עבור הגבול משמאל‪ ,‬בנקודה )‪ d ∈ (a − h, a‬־‬
‫)‪f (x‬‬
‫)‪f 0 (d‬‬
‫‪= lim 0‬‬
‫)‪x%a g(x‬‬
‫)‪d%a g (d‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ .5‬נסיק כי אם שני הגבולות החד־צדדיים שווים )כפי שנתון בתנאי המשפט באופן‬
‫)‪(x‬‬
‫)‪ , lim fg(x‬כמבוקש‪.‬‬
‫שניסחנו אותו(‪ ,‬אז קיים הגבול הכללי‬
‫‪x→a‬‬
‫‬
‫הערה ניתן להפעיל את כלל לופיטל כמה פעמים שצריך‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫המקרה של ‪lim f (x) = lim g(x) = 0‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫יהיו )‪ f (x) , g(x‬פונקציות גזירות בקרן )∞ ‪.[a,‬‬
‫נניח כי בקרן זו מתקיים ‪,∀x ∈ [a, ∞) g 0 (x) 6= 0‬‬
‫וכן נניח כי קיימים ושווים הגבולות ‪. lim f (x) = lim g(x) = 0‬‬
‫אם קיים הגבול ‪= L‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫)‪f 0 (x‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪x→∞ g (x‬‬
‫‪ , lim‬אז קיים גם הגבול‬
‫∞→‪x‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫)‪x→∞ g(x‬‬
‫‪ lim‬וגם הוא שווה ל־‪.L‬‬
‫הערה הגבול ‪ L‬יכול להיות ממשי או אינסופי‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫‪ .1‬מהתנאי הראשון במשפט נובע שקיימת )∞ ‪ d ∈ [a,‬כך ש־לכל )∞ ‪x ∈ [d,‬‬
‫מתקיים כי ‪.g(x) 6= 0‬‬
‫נימוק‪ :‬נניח בשלילה שהפונקציה )‪ g(x‬מתאפסת באופן שכיח‪ ,‬אזי לא ייתכן‬
‫שהנגזרת בכלל לא מתאפסת‪.‬‬
‫נבחר לצורך הנוחות )‪ b = max(1, d‬ונקבל ש־‪ b > 0‬וגם שלכל )∞ ‪x ∈ [b,‬‬
‫מתקיים ‪.g(x) 6= 0‬‬
‫‪ .2‬עבור )∞ ‪ x ∈ [b,‬נסמן‬
‫‪1‬‬
‫‪t‬‬
‫= ‪ ,x‬ונסמן גם ־‬
‫‬
‫)‪F (t) = f 1t = f (x‬‬
‫)‪G (t) = g 1t = g(x‬‬
‫נסיק לפי כלל השרשרת ־‬
‫ ‪ −1‬‬
‫‪1‬‬
‫ ‪t t2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪t2‬‬
‫‪t‬‬
‫‪= f0‬‬
‫‪= g0‬‬
‫‬
‫‪1 0‬‬
‫ ‪t‬‬
‫‪1 0‬‬
‫‪t‬‬
‫‪F 0 (t) = f‬‬
‫‪G0 (t) = g‬‬
‫לב שלפי הסימון ‪ ,x = 1t‬תחום ההגדרה )∞ ‪ [b,‬עבור המשתנה ‪ x‬מוגדר‬
‫‪ .3‬נשים ‬
‫להיות ‪ 0, 1b‬עבור המשתנה ‪ .t‬לכן קיבלנו שהפונקציות )‪ F (t), G(t‬מוגדרות‬
‫וגזירות לכל ‪.t ∈ 0, 1b‬‬
‫‪ .4‬נשים לב שכאשר ∞ → ‪ x‬אז ‪ ,t → 0‬ולכן נקבל את השוויונים הבאים ־‬
‫‪lim F (t) = lim f (x) = 0‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫‪t&0‬‬
‫‪lim G(t) = lim g(x) = 0‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫‪7‬‬
‫‪t&0‬‬
‫‪ .5‬ולכן קיבלנו שתי פונקציות‪ ,F (t) , G (t) ,‬שמקיימות את תנאי המקרה הקודם‬
‫של כלל לופיטל‪ ,‬ונוכל להסיק כי‪:‬‬
‫‬
‫‪f 1‬‬
‫)‪F (t‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫)‪F 0 (t‬‬
‫‪= lim 1t = lim‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪= lim 0‬‬
‫=‬
‫)‪x→∞ g(x‬‬
‫‪t&0 g‬‬
‫)‪t&0 G (t‬‬
‫)‪t&0 G (t‬‬
‫‪t‬‬
‫)‪f 0 (x‬‬
‫)‪x→∞ g 0 (x‬‬
‫‪f0‬‬
‫‪= lim 0‬‬
‫‪t&0 g‬‬
‫‪1‬‬
‫‪t‬‬
‫‪1‬‬
‫‪t‬‬
‫‬
‫‪= lim‬‬
‫‪−1‬‬
‫ ‪t2‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪t2‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪t‬‬
‫‪1‬‬
‫‪t‬‬
‫‬
‫‪f0‬‬
‫‪= lim 0‬‬
‫‪t&0 g‬‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫המקרה של ∞ = )‪lim f (x) = lim g(x‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪x→a‬‬
‫יהיו )‪ f (x) , g(x‬פונקציות גזירות בקטע מהצורה ]‪.(a, b‬‬
‫נניח כי בקטע זה מתקיים ‪,∀x ∈ (a, b] g 0 (x) 6= 0‬‬
‫וכן נניח כי קיימים ושווים הגבולות ∞ = )‪. lim f (x) = lim g(x‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x→a‬‬
‫)‪(x‬‬
‫)‪(x‬‬
‫)‪ , lim fg0 (x‬אז קיים גם הגבול‬
‫אם קיים הגבול ‪= L‬‬
‫)‪ lim fg(x‬וגם הוא שווה ל־‪.L‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪x→a‬‬
‫הערה הגבול ‪ L‬יכול להיות ממשי או אינסופי‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫‪ .1‬נניח תחילה כי ‪.L ∈ R‬‬
‫)א( מהנתון ∞ = )‪ lim g(x‬נובע קיימת סביבה ימנית של ‪ a‬שבה תמיד ‪.g(x) > 0‬‬
‫‪x&a‬‬
‫נסמן את הקטע שבו היא חיובית ]‪.x ∈ (a, b‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪(x‬‬
‫)‪ lim fg0 (x‬נסיק שלכל ‪ > 0‬קיים ‪ δ1 > 0‬כך שלכל ∈ ‪x‬‬
‫)ב( מהנתון ‪= L‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪ x→a‬‬
‫)‪ (x‬‬
‫‬
‫)‪. fg0 (x‬‬
‫) ‪ (a, a + δ1‬מתקיים ‪− L < 2‬‬
‫לפי משפט קושי שלכל ) ‪ x ∈ (a, a + δ1‬קיים )‪ c ∈ (a, x‬כך ש־=‬
‫)‪f 0 (c‬‬
‫)‪g 0 (c‬‬
‫)‪(x)−f (a‬‬
‫)‪. fg(x)−g(a‬‬
‫נסיק מהנתון וממשפט קושי כי‬
‫שאם ‪ x → a‬אז גם ‪.(c → a‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‬
‫)‪ (x)−f (a‬‬
‫‬
‫)‪) . fg(x)−g(a‬גם כאן נסתמך על כך‬
‫< ‪− L‬‬
‫)ג( נאמוד את הביטוי הבא )בהמשך יובהר למה זה נדרש(‪:‬‬
‫ ‬
‫‬
‫‬
‫ ))‪ f (x) f (x) − f (a) f (x) (g(x) − g (a)) − g(x) (f (x) − f (a‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‬
‫‪−‬‬
‫)‪ g(x‬‬
‫‬
‫ )‪g(x) − g (a‬‬
‫))‪g(x) (g(x) − g (a‬‬
‫ ‬
‫‬
‫‬
‫ )‪ f (x)g(x) − f (x)g (a) + g(x)f (a) − g(x)f (x) −f (x)g (a) + g(x)f (a‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫=‬
‫= ))‪ = g(x) (g(x) − g (a‬‬
‫))‪g(x) (g(x) − g (a‬‬
‫‬
‫‬
‫ )‪ g (a) f (a) − f (x)g (a) + g(x)f (a) − g (a) f (a‬‬
‫=‬
‫ =‬
‫‬
‫))‪g(x) (g(x) − g (a‬‬
‫‪8‬‬
‫‬
‫‬
‫ ])‪ g (a) [f (a) − f (x)] + f (a) [g(x) − g (a‬‬
‫‬
‫=‬
‫=‬
‫‬
‫))‪g(x) (g(x) − g (a‬‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫ )‪ f (a) g (a) f (a) − f (x) f (a) g (a) f (x) − f (a‬‬
‫=‬
‫‬
‫ =‬
‫‪+‬‬
‫·‬
‫‪−‬‬
‫·‬
‫)‪g(x‬‬
‫)‪g(x) g(x) − g (a) g(x‬‬
‫ )‪g(x) g (x) − g (a‬‬
‫)‪g(a) f (a‬‬
‫)‪ g(x‬שואפים ל־‪) 0‬כי )‪ g(x‬שואפת‬
‫)ד( נשים לב שכאשר ‪ x & a‬הביטויים )‪, g(x‬‬
‫‬
‫‬
‫ )‪ f (x) f (x)−f (a‬‬
‫ל־∞(‪ ,‬ולכן מהשוויון שקיבלנו נסיק שעבור ‪ δ2‬הביטוי )‪ g(x) − g(x)−g(a‬קטן‬
‫‬
‫‬
‫ )‪ (x) f (x)−f (a‬‬
‫)‪. fg(x‬‬
‫כרצוננו‪ ,‬ולמשל גם עבור ‪ 2‬מתקיים ‪− g(x)−g(a) < 2‬‬
‫)ה( נבחר ) ‪ δ = min (δ1 , δ2‬ונחשב את הגבול שצריך להוכיח‪:‬‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫)‪ f (x‬‬
‫)‪ f (x) f (x) − f (a) f (x) − f (a‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫≤ ‪ g(x) − L = g(x) − g(x) − g (a) + g(x) − g (a) − L‬‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫)‪ f (x) f (x) − f (a) f (x) − f (a‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫≤‬
‫‪+‬‬
‫‪−‬‬
‫ = ‪− L < +‬‬
‫‬
‫)‪g(x‬‬
‫)‪g(x) − g (a‬‬
‫)‪g(x) − g (a‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪ .2‬נניח כי ∞‪.L = ±‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪(x‬‬
‫)‪ lim fg0 (x‬נובע שקיימת סביבה ימנית של ‪ a‬שבה ‪.f (x) 6= 0‬‬
‫)א( מהנתון ∞ = ‪= L‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫)‪ , lim fg 0(x‬ולכן נסיק על־פי מקרה קודם של כלל‬
‫)ב( אם ∞ = )‪ lim g 0 (x‬אזי ‪(x) = 0‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪x→a‬‬
‫)‪(x‬‬
‫)‪. lim fg(x‬‬
‫)‪ , lim fg(x‬ולכן ∞ =‬
‫לופיטל כי מתקיים ‪(x) = 0‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‬
‫‪4‬‬
‫המקרה של ∞ = )‪lim f (x) = lim g(x‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫יהיו )‪ f (x) , g(x‬פונקציות גזירות בקרן מהצורה )∞ ‪.[c,‬‬
‫נניח כי בקטע זה מתקיים ‪,∀x ∈ [c, ∞) g 0 (x) 6= 0‬‬
‫וכן נניח כי קיימים ושווים הגבולות ∞ = )‪. lim f (x) = lim g(x‬‬
‫אם קיים הגבול ‪= L‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫)‪f 0 (x‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪x→∞ g (x‬‬
‫‪ , lim‬אז קיים גם הגבול‬
‫∞‪x→a‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫)‪x→∞ g(x‬‬
‫‪ lim‬וגם הוא שווה ל־‪.L‬‬
‫הערה הגבול ‪ L‬יכול להיות ממשי או אינסופי‪.‬‬
‫ההוכחה למקרה זה דומה להוכחה שבה הסקנו את מקרה ‪ 2‬ממקרה ‪.1‬‬
‫‪9‬‬
‫דוגמה‬
‫תהי‬
‫‪1‬‬
‫‪sinx‬‬
‫)‪ .f (x) = (1 + x‬נרצה לחשב את הגבול )‪. lim f (x‬‬
‫‪x→0‬‬
‫נוציא ‪:log‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪log (1 + x‬‬
‫= )‪log (1 + x‬‬
‫‪sinx‬‬
‫‪sinx‬‬
‫‪i‬‬
‫‪h‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪logf (x) = log (1 + x) sinx‬‬
‫נחשב את הגבול של )‪ logf (x‬לפי כלל לופיטל‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪log (1 + x‬‬
‫‪= lim 1+x = 1‬‬
‫‪x→0‬‬
‫‪x→0 cosx‬‬
‫‪sinx‬‬
‫‪lim‬‬
‫נחזור לחשב את הגבול של )‪:f (x‬‬
‫‪= e1 = e‬‬
‫)‪log(1+x‬‬
‫‪sinx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= lim e sinx log(1+x) = elimx→0‬‬
‫‪x→0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪sinx‬‬
‫)‪lim f (x) = lim (1 + x‬‬
‫‪x→0‬‬
‫‪x→0‬‬
‫]השוויון השלישי נובע מרציפות פונקציית ה־‪[.log‬‬
‫‪5‬‬
‫כלל לופיטל לפונקציות גזירות בקטע סגור‬
‫יהיו )‪ g(x) ,f (x‬פונקציות מוגדרות וגזירות בקטע סגור ]‪.[a, b‬‬
‫נניח כי בקטע זה מתקיים ‪ ,f (a) = g(a) = 0‬וכן נניח כי ‪.g 0 (a) 6= 0‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫)‪f 0 (a‬‬
‫‪. lim‬‬
‫‪= 0‬‬
‫אזי קיימים הגבול והשוויון‬
‫)‪x&a g(x‬‬
‫)‪g (a‬‬
‫• הערה ‪ :1‬נשים לב שמקרה כזה הוא רק כאשר ‪ ,a ∈ R ,x → a‬כי כאשר ∞ → ‪x‬‬
‫אין קצה שמוגדרת בו גזירות‪.‬‬
‫• הערה ‪ :2‬בניגוד למקרים הקודמים של כלל לופיטל שבהם המשפט קבע שאם קיים‬
‫‪0‬‬
‫)‪(x‬‬
‫)‪(x‬‬
‫)‪ ,lim fg(x‬במקרה זה המשפט קובע שתמיד קיים‬
‫)‪ lim fg0 (x‬אז קיים הגבול‬
‫הגבול‬
‫)‪(x‬‬
‫הגבול‬
‫)‪.lim fg(x‬‬
‫הוכחה‬
‫)‪g(x) − g(a‬‬
‫נתון ‪ ,g 0 (a) 6= 0‬כלומר קיימת סביבה מספיק קרובה ל־‪ a‬שבה מתקיים ‪6 0‬‬
‫=‬
‫‪x−a‬‬
‫כמו כן נשים לב שמכיוון שהפונקציות גזירות אז הן בפרט רציפות‪ ,‬ולכן מתקיים‬
‫‪. lim‬‬
‫‪x&a‬‬
‫‪f (a) = g(a) = 0‬‬
‫נסיק מכך‪:‬‬
‫)‪f (x) − f (a‬‬
‫)‪f 0 (a‬‬
‫‪x−a‬‬
‫=‬
‫‪= 0‬‬
‫)‪g(x) − g(a‬‬
‫)‪g (a‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪x&a‬‬
‫‪x−a‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪x&a‬‬
‫)‪f (x)−f (a‬‬
‫‪x−a‬‬
‫)‪g(x)−g(a‬‬
‫‪x−a‬‬
‫‬
‫‪10‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫)‪f (x) − f (a‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪= lim‬‬
‫)‪x&a g(x‬‬
‫)‪x&a g(x) − g(a‬‬
‫‪x&a‬‬
‫מסקנה‬
‫יהיו )‪ g(x),f (x‬פונקציות מוגדרות בסביבה של ‪ a‬וגזירות ‪ n‬פעמים בנקודה ‪.a‬‬
‫נניח שמתקיים‪:‬‬
‫‪g(a) = g 0 (a) = g 00 (a) = ... = g (n−1) (a) = 0‬‬
‫‪g (n) 6= 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪00‬‬
‫‪f (a) = f (a) = f (a) = ... = f (n−1) (a) = 0‬‬
‫)לא משנה האם ‪ f (n) = 0‬או ‪(.f (n) 6= 0‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫)‪f (n) (a‬‬
‫אזי קיימים הגבול והשוויון‬
‫‪. lim‬‬
‫)‪= (n‬‬
‫)‪x&a g(x‬‬
‫)‪g (a‬‬
‫מסקנה זו מתקבלת מהפעלת הווריאציה האחרונה של כלל לופיטל ‪ n‬פעמים‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫‪6‬‬
‫חקירת פונקציות )מהתרגול(‬
‫סדר פעולות בחקירת פונקציה‪:‬‬
‫‪ .1‬מציאת תחום הגדרה ובדיקת סימטריות )זוגיות‪ ,‬אי־זוגיות‪ ,‬מחזוריות(‬
‫‪ .2‬גבולות הפונקציה בקצוות תחום ההגדרה‬
‫‪ .3‬תחום רציפות‬
‫‪ .4‬אסימפטוטות מאונכות ומשופעות‬
‫‪ .5‬תחום גזירות ומהי הנגזרת‪ ,‬גבולות הנגזרת בתחום ההגדרה ונקודות התאפסות שלה‪.‬‬
‫‪ .6‬נגזרת שנייה ונקודות התאפסות שלה‪.‬‬
‫‪ .7‬חלוקת תחום ההגדרה לקטעים‪ ,‬בהתאם לחיוביות\שליליות של הנגזרת הראשונה ושל‬
‫הנגזרת השנייה‬
‫‪ .8‬מציאת נקודות מקסימום ומינימום מקומיות וכלליות‪.‬‬
‫‪ .9‬תחומי קמירות וקעירות‪ ,‬ונקודות פיתול‪.‬‬
‫‪ .10‬ציור סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫אפיון של נקודות‪ :‬תהי ‪ D ⊆ R‬קבוצה ותהי ‪.f : D → R‬‬
‫־ נקודה פנימית‪ x ∈ D :‬נקראת נקודה פנימית‪ ,‬אם קיים קטע פתוח משני צידי ‪ x‬שמוכל‬
‫ב־‪.D‬‬
‫־ נקודה מבודדת‪ x ∈ D :‬נקראת נקודה מבודדת‪ ,‬אם קיים קטע פתוח משני צידי ‪ x‬שאינו‬
‫חותך את ‪ D‬באף נקודה למעט ‪.x‬‬
‫־ נקודת קצה‪ x ∈ R :‬נקראת נקודת קצה של ‪ ,D‬אם היא לא נקודה פנימית‪ ,‬וכן כל קטע‬
‫סביב ‪ x‬מכיל נקודה כלשהי מ־‪.D‬‬
‫סימטריה‪ :‬תהי ‪ D ⊆ R‬קבוצה‪ ,‬ותהי ‪ f‬פונקציה המוגדרת ב־ ‪.D‬‬
‫־ קבוצה סימטרית‪ D :‬נקראת קבוצה סימטרית סביב ‪ ,x = 0‬אם לכל ‪ x ∈ D‬מתקיים‬
‫‪.x = −x‬‬
‫־ פונקציה אי־זוגית‪ f (x) :‬נקראת אי־זוגית ב־‪ ,D‬אם )‪ f (x) = −f (−x‬לכל ‪.x ∈ D‬‬
‫]למשל‪.[sinx, x, x3 , tanx :‬‬
‫־ פונקציה זוגית‪ f (x) :‬נקראת זוגית ב־‪ ,D‬אם )‪ f (x) = f (−x‬לכל ‪] .x ∈ D‬למשל‪:‬‬
‫|‪.[cosx, x2 , |x‬‬
‫־ אינווריאנטיות‪ :‬נאמר כי ‪ D‬אינווריאנטית להזזה תחת מספר נתון ‪ ,L‬אם ‪.D + L ⊆ D‬‬
‫־ מחזוריות‪ f (x) :‬נקראת מחזורית עם מחזור ‪ ,L‬בקבוצה ‪ D‬שהיא ‪−L‬אינווריאנטית‪ ,‬אם‬
‫לכל ‪ x ∈ D‬מתקיים )‪.f (x) = f (x + L‬‬
‫־ המחזור היסודי‪ :‬המחזור ‪ L‬נקרא המחזור היסודי‪ ,‬אם הוא המחזור המינימלי שעבורו‬
‫)‪ f (x‬מחזורית‪.‬‬
‫אסימפטוטות‪:‬‬
‫־ אסימפטוטה אנכית‪ :‬נאמר כי ל־ ‪ f‬יש אסימפטוטה אנכית ב־ ‪ ,x0‬אם ∞‪. lim f (x) = ±‬‬
‫‪x→x0‬‬
‫∈ ‪(x0‬‬
‫)ייתכן כי ‪/ D‬‬
‫־ אסימפטוטה משופעת‪ :‬יהי ישר ‪ .y = mx + n‬נאמר כי ל־)‪ f (x‬יש אסימפטוטה משופעת‬
‫ב־‪ y‬כאשר ∞‪ ,x → ±‬אם ‪) . lim (f (x) − y) = 0‬עבור ‪ m = 0‬זו אסימפטוטה אופקית(‬
‫∞‪x→±‬‬
‫־ תנאי שקול לקיום אסימפטוטה משופעת‪ :‬נאמר כי ל־)‪ f (x‬יש אסימפטוטה משופעת‬
‫)‪f (x‬‬
‫‪ lim‬וגם ‪. lim (f (x) − mx) = n‬‬
‫ב־‪ ,y = mx + n‬אמ"מ גם ‪= m‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫‪x→±∞ x‬‬
‫נקודות חשודות כקיצון‪:‬‬
‫־ נקודות קריטיות‪ :‬נקודות פנימיות שבהן קיימת נגזרת‪ ,‬והיא מתאפסת‬
‫הפונקציה לא גזירה‬
‫־ נקודות סינגולריות‪ :‬נקודות פנימיות שבהן ‪12‬‬
‫קמירות וקעירות‪) :‬הגדרה לא פורמלית(‬
‫פונקציה ‪ f : I → R‬נקראת קמורה )או קעורה( אם לכל זוג נקודות ‪ ,x1 , x2 ∈ I‬מתקיים‬
‫שהמיתר המחבר את הנקודות )) ‪ (x2 , f (x2 )),(x1 , f ((x1‬במערכת צירים‪ ,‬נמצא מעל )או‬
‫מתחת‪ ,‬בהתאמה( לגרף הפונקציה‪.‬‬
‫תנאי שקול לקמירות )וקעירות(‪ :‬הפונקציה ‪ f‬קמורה )או קעורה( בסביבת ‪ x ∈ I‬אמ"מ‬
‫בסביבה זו של ‪ x‬מתקיים כי ‪) f 00 (x) ≥ 0‬או ‪ ,f 00 (x) ≤ 0‬בהתאמה(‪.‬‬
‫חלק‬
‫‪II‬‬
‫האינטגרל הלא־מסוים )או‪ :‬פונקציות‬
‫קדומות(‬
‫‪7‬‬
‫פונקציה קדומה‬
‫פונקציה ‪ F‬נקראת פונקציה קדומה של ‪ f‬על קטע כלשהו ‪ ,I‬אם ‪ F‬גזירה ומתקיים‬
‫)‪.∀x∈I F 0 (x) = f (x‬‬
‫‪8‬‬
‫יחידות הפונקציה הקדומה )עד־כדי קבוע(‬
‫יהיו ‪ F, G‬פונקציות קדומות של ‪ f‬על קטע ‪ ,I‬אזי קיים קבוע ‪ c ∈ R‬כך שמתקיים‬
‫‪F (x) = G(x) + c‬‬
‫הוכחה‬
‫נתון כי ‪ F, G‬פונקציות קדומות של ‪ ,f‬ולכן לפי ההגדרה מתקיים ‪.F 0 (x) = G0 (x) = f‬‬
‫נסיק מכך‪:‬‬
‫‪F 0 (x) − G0 (x) = f − f = 0‬‬
‫פונקציה שהנגזרת שלה מתאפסת היא בהכרח פונקציה קבועה‪ ,‬ולכן נסיק כי‪:‬‬
‫‪F (x) − G(x) = c‬‬
‫‬
‫‪9‬‬
‫האינטגרל הלא־מסוים‬
‫תהי ‪ f‬פונקציה המוגדרת בקטע כלשהו ‪ ,I‬ותהי ‪ F‬פונקציה קדומה שלה בקטע זה‪.‬‬
‫נגדיר את האינטגרל הלא־מסוים של ‪ f‬בקטע ‪ I‬להיות הקבוצה }‪.{F (x) + c|c ∈ R‬‬
‫נסמן זאת‪:‬‬
‫ˆ‬
‫}‪f (x)dx = {F (x) + c|c ∈ R‬‬
‫ובקיצור‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪f (x)dx = F (x) + c‬‬
‫‪13‬‬
‫• הערה ‪ :1‬לא לכל פונקציה יש פונקציה קדומה‪.‬‬
‫כך למשל הוכחנו כמסקנה ממשפט דארבו‪ ,‬שאם לפונקציה שאינה רציפה יש פונקציה‬
‫קדומה‪ ,‬אז אי הרציפות שלה היא מסוג שני‪ .‬לכן נוכל לבחור פונקציה שיש לה אי־‬
‫רציפות מסוג ראשון‪.‬‬
‫נבחר למשל ‪) f (x) = bxc‬פונקציית הערך השלם( ונסיק שאין לה פונקציה קדומה‬
‫בכל קטע ממשי שמכיל מספר שלם‪.‬‬
‫• הערה ‪ :2‬קיימות פונקציות שיש להן פונקציה קדומה‪ ,‬שאינה ניתנת לביטוי באמצעות‬
‫‪2‬‬
‫פונקציות אלמנטריות‪ .‬למשל ‪.f (x) = e−x‬‬
‫‪9.1‬‬
‫אריתמטיקה של האינטגרל הלא־מסוים‬
‫כמסקנה מיידית ממשפטים שהוכחנו עבור נגזרות‪ ,‬נסיק שמתקיים‪:‬‬
‫´‬
‫‪cf (x)dx = c f (x)dx‬‬
‫‪g(x)dx‬‬
‫‪9.2‬‬
‫´‬
‫‪f (x)dx ±‬‬
‫´‬
‫´‬
‫= ‪(f (x) ± g(x)) dx‬‬
‫´‬
‫אינטגרלים מיידיים‬
‫הערה נביא כאן רשימה שכוללת כמה פונקציות קדומות של הרכבה של פונקציות אלמנטריות‬
‫עם פונקציה כלשהי )‪.f (x‬‬
‫בכל המקרים ניתן להציב ‪) f (x) = x‬כך ש־‪ (f 0 (x) = 1‬ולקבל את המקרה הפשוט‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪+c‬‬
‫‪f (x)α+1‬‬
‫‪α+1‬‬
‫ˆ‬
‫= ‪f (x)α f 0 (x)dx‬‬
‫‪f (x) > 0, α 6= −1, α ∈ R‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪1 0‬‬
‫‪f (x)dx = ln |f (x)| + c‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫ˆ‬
‫‪.3‬‬
‫ˆ‬
‫‪sin (f (x)) f 0 (x)dx = −cos (f (x)) + c‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f 0 (x)dx = arctan (f (x)) + c‬‬
‫‪1 + f (x)2‬‬
‫‪14‬‬
‫ˆ‬
‫‪.5‬‬
‫‪f 0 (x)dx = arcsin (f (x)) + c‬‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫‪1 − f (x)2‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪p‬‬
‫‪1‬‬
‫‪p‬‬
‫‪f 0 (x)dx = f (x) + c‬‬
‫)‪2 f (x‬‬
‫‪p‬‬
‫ˆ‬
‫דוגמה ‪1‬‬
‫‪:f (x) = √x−1‬‬
‫‪ .1‬נחשב את הפונקציה הקדומה של‬
‫‪1−x2‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪x−1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪1‬‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫= ‪dx‬‬
‫√ ‪dx−‬‬
‫= ‪dx‬‬
‫√ ‪dx−‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1−x‬‬
‫‪1−x‬‬
‫‪1−x‬‬
‫‪2 1−x‬‬
‫‪1 − x2‬‬
‫נחשב את האיבר הראשון בביטוי שהתקבל‪ ,‬ונשים לב שאם נציב ‪f (x) = 1 − x2‬‬
‫ˆ‬
‫‪p‬‬
‫‪1‬‬
‫‪p‬‬
‫כך ש־‪ ,f 0 (x) = −2x‬נקבל אינטגרל מהצורה ‪f 0 (x)dx = f (x) + c‬‬
‫)‪2 f (x‬‬
‫)מקרה ‪ 6‬בסעיף הקודם( ולכן ־‬
‫האיבר השני הוא נגזרת ידועה‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫√‬
‫‪dx = arcsinx + c‬‬
‫‪1 − x2‬‬
‫נסיק באופן כללי‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪p‬‬
‫‪x−1‬‬
‫√‬
‫‪dx = 1 − x2 − arcsinx + c‬‬
‫‪1 − x2‬‬
‫]‪ c ∈ R‬הוא קבוע כלשהו שערכו לא מעניין כרגע‪ ,‬ולכן אין צורך לכתוב ‪[.2c‬‬
‫דוגמה ‪2‬‬
‫נחשב את הפונקציה הקדומה של‬
‫‪1‬‬
‫‪2cos2 ( x‬‬
‫)‪2‬‬
‫‪ dx‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪tan‬‬
‫‪1‬‬
‫‪sinx‬‬
‫= )‪.f (x‬‬
‫ˆ‬
‫= ‪ dx‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪cos‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫ˆ‬
‫‪2sin‬‬
‫‪1‬‬
‫ש־‬
‫‪2cos2 ( x‬‬
‫)‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪dx‬‬
‫‪sinx‬‬
‫ˆ‬
‫= )‪ ,f 0 (x‬נקבל אינטגרל מהצורה‬
‫‬
‫נשים לב שאם נציב ‪ f (x) = tan x2‬כך‬
‫‪´ 1 0‬‬
‫)‪) f (x‬מקרה ‪ 3‬בסעיף הקודם( ולכן ־‬
‫‪f (x)dx = ln |f (x)| + c‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2cos2 ( x‬‬
‫)‪2‬‬
‫‬
‫ ‪ x‬‬
‫‬
‫‪ dx = ln tan‬‬
‫‪+c‬‬
‫‪2‬‬
‫נסיק מאינטגרל זה שמתקיים‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪ + c = ln tan x + π + c‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫ˆ‬
‫‪tan‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪tan x +‬‬
‫‬
‫‪dx‬‬
‫=‬
‫‪ln‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪sin x + π2‬‬
‫‪15‬‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫= ‪dx‬‬
‫‪cosx‬‬
‫ˆ‬
‫‪10‬‬
‫שיטות אינטגרציה‬
‫‪10.1‬‬
‫אינטגרציה בחלקים‬
‫שיטה זו מבוססת על נוסחת הנגזרת של מכפלת פונקציות גזירות‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪(f (x)g(x)) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x‬‬
‫מהגדרת האינטגרל הלא־מסוים נובע כי הפונקציה ‪ f g‬היא האינטגרל־הלא מסוים של‬
‫‪0‬‬
‫הפונקציה )‪ ,(f g‬ומהשוויון שבנוסחת הנגזרת נסיק כי ‪ f g‬היא גם האינטגרל הלא מסוים‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫של הפונקציה ‪.f g + f g‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫ˆ‬
‫)‪[f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x)] dx = f (x)g(x‬‬
‫אינטגרל של סכום הוא סכום האינטגרלים‪ ,‬ולכן בהעברת אגפים נקבל את הנוסחה‪:‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪0‬‬
‫‪f (x)g (x)dx = f (x)g(x) − f 0 (x)g(x)dx‬‬
‫ובאופן מעשי‪ :‬בכל פעם שיש לחשב אינטגרל לא־מסוים של פונקציה שניתן להציג כמכפלה‬
‫כלשהי‪ ,‬נוכל לבחור באופן חופשי את אחד מאיברי המכפלה להיות ה־ ‪ f‬ואת האחר להיות‬
‫ה־ ‪ ,g 0‬ולהציב בנוסחה‪.‬‬
‫דוגמה ‪1‬‬
‫נחשב את האינטגרל של ‪.lnx‬‬
‫מתקיים ‪ ,lnx = 1 · lnx‬ונבחר את ‪ f = lnx‬כך‬
‫נציב בנוסחה‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪1dx = xlnx − x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dx = xlnx −‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫ש־ ‪x‬‬
‫= ‪ ,f 0‬ואת ‪ g 0 = 1‬כך ש־‪.g = x‬‬
‫ˆ‬
‫·‪x‬‬
‫ˆ‬
‫‪1 · lnxdx = xlnx −‬‬
‫ˆ‬
‫= ‪lnxdx‬‬
‫דוגמה ‪2‬‬
‫נחשב את האינטגרל של ‪.ex sinx‬‬
‫נבחר את ‪ f = ex‬כך ש־ ‪ ,f 0 = ex‬ונבחר את ‪ g = sinx‬כך ש־‪ .g = −cosx‬נציב בנוסחה‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫ˆ‬
‫‪ex cosxdx‬‬
‫האינטגרל ‪ex cosxdx‬‬
‫´‬
‫ˆ‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪e sinxdx = −e cosx +‬‬
‫עדיין קשה לחישוב‪.‬‬
‫‪16‬‬
‫נבחר הפעם באופן הפוך את ‪ f = sinx‬כך ש־‪ ,f 0 = cosx‬ונבחר את ‪ g 0 = ex‬כך ש־ ‪.g = ex‬‬
‫נציב בנוסחה‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪ex cosxdx‬‬
‫ˆ‬
‫‪ex sinxdx = ex sinx −‬‬
‫´‬
‫שוב קיבלנו את האינטגרל ‪ ex cosxdx‬שקשה לחישוב‪.‬‬
‫אך נשים לב שמשני השלבים קיבלנו שתי משוואות שמבטאות את האינטגרל המבוקש‪ ,‬ואם‬
‫נחבר אותן נקבל‪:‬‬
‫´‬
‫= ‪ex sinxdx = 2 ex sinxdx‬‬
‫= ‪ex cosxdx‬‬
‫´‬
‫´‬
‫‪ex sinxdx +‬‬
‫‪ex cosxdx + (−ex cosx) +‬‬
‫´‬
‫´‬
‫‪= ex sinx −‬‬
‫‪= ex sinx − ex cosx‬‬
‫מכיוון שחיברנו את שתי המשוואות קיבלנו ביטוי ששקול לפעמיים האינטגרל המבוקש‪ ,‬ולכן‬
‫נסיק‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪ex sinx − ex cosx‬‬
‫= ‪ex sinxdx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10.2‬‬
‫אינטגרציה בשיטת ההצבה‬
‫שיטה זו מבוססת על כלל השרשרת לגזירת הרכבה של פונקציות גזירות‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪(g (f (x))) = g 0 (f (x)) f 0 (x‬‬
‫´‬
‫נניח שמחפשים לפתור את המשוואה ‪. f (x)dx = F (x) + c‬‬
‫נניח גם שקיימת פונקציה ‪ ϕ‬שהיא פונקציה המוגדרת בתחום הגדרה שנותן את תחום‬
‫ההגדרה של ‪.f‬‬
‫נניח עוד ש־‪ ϕ‬מקיימת )‪ ,x = ϕ(t‬וכן שהיא הפיכה כך ש‪ ,ϕ−1 (x) = t-‬וכן נניח שהיא‬
‫‪1 dx‬‬
‫גזירה כך ש‪. dt = ϕ0 (t)-‬‬
‫מהגדרת האינטגרל הלא־מסוים נובע כי )‪) F 0 (x) = f (x‬עד־כדי קבוע(‪ ,‬נסיק מכך כי אם‬
‫נציב )‪ x = ϕ(t‬נקבל לפי כלל השרשרת‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪(F (ϕ (t))) = F 0 (ϕ(t)) ϕ0 (t) = f (ϕ (t)) ϕ0 (t‬‬
‫נשים לב שביטוי זה קושר בין ‪ f‬לבין הפונקציה הקדומה שלה ‪ ,F‬שמהווה פתרון למשוואה‬
‫המבוקשת‪ .‬נפעיל אינטגרל על שני צידי המשוואה שקיבלנו‪ ,‬ומזה תנבע הנוסחה הבאה‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪f (ϕ(t)) ϕ0 (t)dt = F (ϕ(t)) + c‬‬
‫‪1‬כלומר‪ ,‬גוזרים את שני צידי המשוואה )‪ x = ϕ(t‬לפי המשתנה ‪.t‬‬
‫‪17‬‬
‫משוואה זו היא במונחי ‪ ,t‬ולכן כדי לקבל את הפתרון במונחי ‪ x‬נציב את השוויונים הנתונים‬
‫‪−1‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪(x) = t ⇔ x = ϕ(t‬‬
‫‪ , dx‬ונקבל את הפתרון למשוואה שרצינו לפתור‬
‫‪dt = ϕ (t) ,ϕ‬‬
‫מלכתחילה‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪f (x)dx = F (x) + c‬‬
‫דוגמה ‪1‬‬
‫נחשב את האינטגרל של‬
‫נציב ‪x‬‬
‫√‬
‫‪6‬‬
‫√‬
‫‪x‬‬
‫√ ‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x+ x2‬‬
‫= ‪ x = t6 ⇔ t‬כך ש־ ‪:ϕ0 (t) = 6t5‬‬
‫=‬
‫‪t8‬‬
‫‪t6 +t4 dt‬‬
‫´‬
‫‪=6‬‬
‫‪t4‬‬
‫‪t2 +1 dt‬‬
‫√‬
‫‪t6‬‬
‫‪5‬‬
‫√‬
‫‪3 12 6t dt‬‬
‫‪t‬‬
‫´‬
‫=‬
‫‪t6 +‬‬
‫´‬
‫‪=6‬‬
‫´‬
‫‪t8‬‬
‫‪t4 (t2 +1) dt‬‬
‫√‬
‫‪x‬‬
‫√‬
‫‪3 2 dx‬‬
‫‪x‬‬
‫´‬
‫‪x+‬‬
‫‪=6‬‬
‫קיבלנו אינטגרל על פונקציה שהיא פולינום רציונאלי‪ .‬הרבה פעמים באינטגרלים מסוג זה‬
‫דרך הפתרון הפשוטה ביותר היא הוספה והחסרה של איברים שווים במונה‪ ,‬עד שמקבלים‬
‫מספר שברים שהאינטגרציה בכל אחד מהם מידית‪.‬‬
‫נחשב‪:‬‬
‫=‬
‫‪i‬‬
‫= ‪− 1 dt‬‬
‫)‪t4 +(t2 +1)−(t2 +1‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪t2 +1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪t2 +1‬‬
‫‪t2 +‬‬
‫‪´h‬‬
‫‪=6‬‬
‫´‬
‫‪=6‬‬
‫‪t4‬‬
‫‪t2 +1 dt‬‬
‫´‬
‫‪6‬‬
‫)‪t2 (t2 +1)+1−(t2 +1‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪t2 +1‬‬
‫‪i‬‬
‫‪h 3‬‬
‫‪i‬‬
‫‪1dt = 6 t3 + arctant − t + c‬‬
‫´‬
‫‪dt −‬‬
‫‪1‬‬
‫‪t2 +1‬‬
‫´‬
‫´‬
‫‪t2 dt +‬‬
‫‪=6‬‬
‫´‪h‬‬
‫‪=6‬‬
‫נבטא את האינטגרל במונחי ‪ x‬לפי משוואות ההצבה‪:‬‬
‫‪#‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫‪x‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪+ arctan x − x + c = 2 x + 6arctan 6 x − 6 6 x + c‬‬
‫‪3‬‬
‫√"‬
‫דוגמה ‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. sinx+cosx−1‬‬
‫נחשב את האינטגרל של ‪dx‬‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫נציב ‪ ,x = 2arctant‬כך ש־‪ tan 2 = t‬ו־ ‪.(2arctant) = 1+t2‬‬
‫‪18‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1+t2 dt‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫·‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪+ 1−t‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪1+t2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2t−2t2 dt‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1−t dt‬‬
‫‪+‬‬
‫‪1‬‬
‫‪t‬‬
‫´‬
‫´‬
‫´‬
‫‪2t‬‬
‫‪1+t2‬‬
‫‪=2‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪sinx+cosx−1 dx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2t+1−t2 −1−t2 dt‬‬
‫‪1‬‬
‫‪t(1−t) dt‬‬
‫‪= ln |t| − ln |t − 1| + c‬‬
‫´‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪t−1 dt‬‬
‫´‬
‫‪=2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪t−t2 dt‬‬
‫´‬
‫‪−‬‬
‫´‬
‫‪1‬‬
‫‪t dt‬‬
‫´‬
‫´‬
‫=‬
‫=‬
‫‬
‫‬
‫ ‪ t‬‬
‫‪= ln t−1‬‬
‫‪+c‬‬
‫נבטא את האינטגרל במונחי ‪ x‬לפי משוואות ההצבה‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‪ tan x‬‬
‫‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫ ‪ln‬‬
‫‪+c‬‬
‫ ‪ tan x2 − 1‬‬
‫טריק שימושי‪:‬‬
‫טריגונומטיות באמצעות פונקציות רציונאליות‪ ,‬ולהיפך‪.‬‬
‫פונקציות‬
‫לבטא‬
‫לעתים נוח‬
‫‬
‫תחת ההצבה ‪ t = tan x2 ⇔ x = 2arctant‬מתקבלים השוויונים הבאים‪:‬‬
‫‪2t‬‬
‫‪1+t2‬‬
‫‪10.2.1‬‬
‫= ‪sinx‬‬
‫‪1−t2‬‬
‫‪1+t2‬‬
‫= ‪cosx‬‬
‫‪2t‬‬
‫‪1−t2‬‬
‫= ‪tanx‬‬
‫הצבות שימושיות לפונקציות רציונאליות‬
‫‪ .1‬עבור אינטגרל מהצורה‪:‬‬
‫‪ p‬‬
‫‬
‫‪R x, ±a2 ± x2 dx‬‬
‫ˆ‬
‫כאשר ‪ R‬פונקציה רציונאלית‪ ,‬נחלק לשלושה מקרים שתלויים בסימן האיברים שבשורש‪.‬‬
‫√‬
‫• אם ‪ a2 − x2‬כדאי להציב‪:‬‬
‫‪x = a · sint‬‬
‫• אם ‪a2 + x2‬‬
‫√‬
‫כדאי להציב‪:‬‬
‫‪x = a · tant‬‬
‫‪2‬לא ייתכן ששני האיברים בשורש בעלי סימן שלילי‪ ,‬כי אין שורש ממשי למספר שלילי‪.‬‬
‫‪19‬‬
‫‪2‬‬
‫• אם ‪−a2 + x2‬‬
‫√‬
‫כדאי להציב‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫‪cost‬‬
‫=‪x‬‬
‫‪ .2‬עבור אינטגרל מהצורה‪:‬‬
‫‬
‫‪ p‬‬
‫‪R x, ax2 + bx + c dx‬‬
‫ˆ‬
‫כאשר ‪ R‬פונקציה רציונאלית‪ ,‬נחלק לשני מקרים שתלויים בסימן האיבר ‪.a‬‬
‫• אם ‪ a > 0‬כדאי להציב‪:‬‬
‫‪p‬‬
‫√‬
‫‪ax2 + bx + c = x a + t‬‬
‫או באופן שקול לאחר העברת אגפים‪:‬‬
‫‪t2 − c‬‬
‫√‬
‫‪b − 2t a‬‬
‫=‪x‬‬
‫• אם ‪ ,a < 0‬משמע שעבור ‪ x‬מספיק גדול ו־‪ x‬מספיק קטן הפולינום שלילי והשורש לא‬
‫‪3‬‬
‫מוגדר‪.‬‬
‫לכן במקרים אלה יעניינו אותנו פולינומים שיש להם תחום הגדרה שבו הם מקבלים‬
‫ערכים חיוביים‪ ,‬כלומר תחום ההגדרה שנמצא בין שני שורשים ‪ ,x1 , x2‬ובו ערכי‬
‫הפונקציה חיוביים‪.‬‬
‫משכך ניתן להציג את הפולינום באופן הבא‪:‬‬
‫) ‪ax2 + bx + c = a (x − x1 ) (x − x2‬‬
‫במקרה זה כדאי להציב‪:‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫) ‪ax2 + bx + c = a (x − x1 ) (x − x2 ) = t (x − x1‬‬
‫או באופן שקול לאחר העברת אגפים‪:‬‬
‫‪|a| x2 + t2 x1‬‬
‫|‪t2 + |a‬‬
‫=‪x‬‬
‫דוגמה )המקרה האחרון‪ ,‬עבור ‪(a > 0‬‬
‫נחשב את האינטגרל של ‪ . x√x21+x+1‬נשתמש בנוסחה ההצבה הכללית = ‪ax2 + bx + c‬‬
‫√‬
‫‪−2t2 +2t−2‬‬
‫‪t2 −1‬‬
‫‪ . dx‬נציב‪:‬‬
‫‪,x = 1−2t‬‬
‫‪ x a + t‬שהוצעה קודם‪ ,‬ונקבל‬
‫= ‪dt‬‬
‫‪(1−2t)2‬‬
‫√‬
‫‪3‬כי פולינום שהמקדם של החזקה הגבוהה ביותר שלו הוא שלילי‪ ,‬מתכנס באינסוף ובמינוס אינסוף‪ ,‬למינוס‬
‫אינסוף‪.‬‬
‫‪20‬‬
‫=‬
‫‪ dx‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪ 21‬‬
‫)‪t −1+t(1−2t‬‬
‫)‪(1−2t‬‬
‫=‬
‫=‬
‫´‬
‫‪t2 −1‬‬
‫)‪(1−2t‬‬
‫‬
‫‪(1−2t)2‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪(t2 −1)(−t2 +t−1) dt‬‬
‫)‪2(−t2 +t−1‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪(1−2t)2‬‬
‫·‬
‫=‬
‫´‬
‫‪(1−2t)2‬‬
‫)‪(t2 −1)(−t2 +t−1‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪= ln |1 − t| − ln |t + 1| + c = ln 1−t‬‬
‫‪t+1 + C‬‬
‫נציב בחזרה‬
‫‪10.3‬‬
‫‪t2 −1‬‬
‫‪1−2t‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ dx‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪t2 −1‬‬
‫‪1−2t +t‬‬
‫‪t2 −1‬‬
‫‪1−2t‬‬
‫‬
‫‪(1−2t)2‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪(t2 −1)(t2 −1+t(1−2t)) dt‬‬
‫=‬
‫´‬
‫´‬
‫=‬
‫‪√ 1‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪x x2 +x+1‬‬
‫‪−2t2 +2t−2‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪(1−2t)2‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪(t+1) dt‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪(t−1‬‬
‫‪−‬‬
‫·‬
‫´‬
‫´‬
‫=‬
‫‪(1−2t)2‬‬
‫)‪(t2 −1)(−t2 +t−1‬‬
‫=‬
‫´‬
‫‪2‬‬
‫‪(t+1)(t−1) dt‬‬
‫´‬
‫´‬
‫=‬
‫= ‪dt‬‬
‫‪2‬‬
‫´‬
‫‪t2 −1‬‬
‫=‬
‫√‬
‫= ‪ x2 + x + 1 = x + t ⇔ x‬כדי לקבל תשובה במונחי המשתנה ‪:x‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‪ 1 − √x2 + x + 1 − x‬‬
‫‬
‫‬
‫√ ‪ln‬‬
‫‪+c‬‬
‫ ‪ x2 + x + 1 − x + 1‬‬
‫פירוק לשברים חלקיים )נוסחאות(‬
‫לכל פונקציה רציונלית קיימים ‪ ,k ∈ N ,Ai , Bi ∈ R‬כך שלאחר פירוק המכנה לגורמים‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫• אם הפירוק לגורמים במכנה נותן גורמים מסדר ראשון מריבוי ‪:1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪A1‬‬
‫‪Ak‬‬
‫=‬
‫‪+... +‬‬
‫) ‪(a1 x + b1 ) · ... · (ak x + bk‬‬
‫) ‪(a1 x + b1‬‬
‫) ‪(ak x + bk‬‬
‫• אם הפירוק לגורמים במכנה נותן גורמים מסדר ראשון מריבוי גדול מ־‪:1‬‬
‫‪Ak‬‬
‫‪k‬‬
‫)‪(ax + b‬‬
‫‪+ ... +‬‬
‫‪A2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(ax + b‬‬
‫‪+‬‬
‫‪A1‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪(ax + b‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪k‬‬
‫)‪(ax + b‬‬
‫• אם הפירוק לגורמים במכנה נותן גורמים מסדר שני מריבוי ‪:1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪A1 x + B 1‬‬
‫‪Ak x + Bk‬‬
‫=‬
‫‪+... +‬‬
‫) ‪(a1 x2 + b1 x + c1 ) · ... · (ak x2 + bk x + ck‬‬
‫) ‪(a1 x2 + b1 x + c1‬‬
‫) ‪(ak x2 + bk x + ck‬‬
‫• אם הפירוק לגורמים במכנה נותן גורמים מסדר שני מריבוי גדול מ־‪:1‬‬
‫‪Ak x + B k‬‬
‫‪k‬‬
‫)‪(a1 x2 + b1 x + c‬‬
‫‪2 +...+‬‬
‫‪A2 x + B 2‬‬
‫)‪(a1 x2 + b1 x + c‬‬
‫‪1+‬‬
‫‪A1 x + B 1‬‬
‫)‪(a1 x2 + b1 x + c‬‬
‫=‬
‫• וכן הלאה‪...‬‬
‫עבור השברים החלקיים‪ ,‬האינטגרלים הם מיידיים או כמעט מיידיים‪.‬‬
‫‪21‬‬
‫‪1‬‬
‫‪k‬‬
‫) ‪+ b1 x + c1‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪(a1‬‬
‫חלק‬
‫‪III‬‬
‫האינטגרל המסוים‬
‫נראה שלוש גישות להגדרת האינטגרל המסוים‪ ,‬ולבסוף נוכיח את השקילות ביניהן‪.‬‬
‫‪ 11‬גישה ראשונה‪ :‬פונקציות מדרגות‬
‫‪11.1‬‬
‫חלוקה‬
‫חלוקה של קטע סגור ]‪ ,[a, b‬היא קבוצה סגורה סופית של נקודות ‪ x0 , x1 , ..., xn‬השייכות‬
‫לקטע‪ ,‬המקיימות‪:‬‬
‫‪a = x0 < x1 < ... < xn = b‬‬
‫נסמן זאת ) ‪p = (x0 , x1 , ..., xn‬‬
‫‪11.2‬‬
‫פונקציית מדרגות‬
‫תהי ‪ ϕ‬פונקציה המוגדרת בקטע סגור ]‪.[a, b‬‬
‫נאמר כי ‪ ϕ‬היא פונקציית מדרגות אם קיימת חלוקה ) ‪ p = (x0 , x1 , ..., xn‬של הקטע ]‪[a, b‬‬
‫וקיימים הקבועים ‪ c1 , c2 , ..., cn‬כך שמתקיים‪. ϕ|(xi−1 ,xi ) = ci :‬‬
‫במקרה כזה נאמר גם כי ‪ ϕ‬מיוצגת ע"י החלוקה ‪.p‬‬
‫הערה ‪1‬‬
‫לכל פונקציית מדרגות קיימות אינסוף חלוקות‪.‬‬
‫הערה ‪2‬‬
‫כל פונקציה קבועה על קטע סגור‪ ,‬היא דוגמה לפונקציית מדרגות שמיוצגת על־ידי כל חלוקה‬
‫שנבחר‪.‬‬
‫הערה ‪3‬‬
‫תהי ‪ .f : S → R‬נגדיר צמצום של ‪ f‬לקטע )‪ ,(a, b‬כפונקציה ‪ ,f ∗ : S ∩ (a, b) → R‬כאשר‬
‫לכל )‪ s ∈ S ∩ (a, b‬מתקיים )‪.f ∗ (s) = f (s‬‬
‫הערה ‪4‬‬
‫נסמן את קבוצת כל פונקציות המדרגות על קטע סגור ]‪ ,[a, b‬ב־]‪.S [a, b‬‬
‫‪11.3‬‬
‫תכונות של פונקציות מדרגות‬
‫‪ S [a, b] .1‬סגורה לחיבור ולכפל בסקלאר‪ ,‬ולכן היא מרחב וקטורי מעל ‪.R‬‬
‫‪ S [a, b] .2‬סגורה לכפל של שני איברים בה‪ ,‬ולכן היא גם אלגברה‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪"4‬אלגברה" משמשת גם לתיאור מבנה אלגברי‪ .‬מרחב וקטורי שמוגדרת בו חוץ מחיבור וכפל בסקלאר‪ ,‬גם‬
‫פעולת כפל בין שני וקטורים‪ ,‬הוא אלגברה‪.‬‬
‫‪22‬‬
‫‪ .3‬תהי ]‪ ,ϕ ∈ S [a, b‬ויהיו ‪ a ≤ c < d ≤ b‬ממשיים‪ ,‬אזי גם ]‪.ϕ|[c,d] ∈ S [c, d‬‬
‫‪ .4‬תהי ]‪ ,ϕ ∈ S [c, d‬ויהיו ‪ a ≤ c < d ≤ b‬ממשיים‪ ,‬אזי ניתן להגדיר פונקציה חדשה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ 0 s ∈ [a, c‬‬
‫‪ϕ‬‬
‫]‪[c, d‬‬
‫= ∗‪ϕ‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫]‪(d, b‬‬
‫ומתקיים ]‪.ϕ∗ ∈ S [a, b‬‬
‫במקרה כזה נקרא ל־ ∗‪ ϕ‬הרחבה של ‪ ϕ‬על־ידי ‪.0‬‬
‫הוכחות‬
‫‪ .1‬יהיו ]‪ .ϕ, ψ ∈ S [a, b‬נניח כי ‪ ϕ‬מיוצגת על־ידי החלוקה ‪ p‬וכי ‪ ψ‬מיוצגת על־ידי‬
‫החלוקה ‪.q‬‬
‫נגדיר חלוקה חדשה ‪ ,r = p ∪ q‬ונשתמש בה כדי לייצג את שתי הפונקציות ‪.ϕ, ψ‬‬
‫נניח כי ) ‪ ,r = (x0 , x1 , ..., xn‬אז מהגדרת פונקציית מדרגות נובע שקיימים הקבועים‬
‫‪ ,d1 , d2, ..., dn ,c1 , c2 , ..., cn‬כך שמתקיים‪:‬‬
‫‪ϕ|(xi−1 ,xi ) = ci‬‬
‫‪ψ|(xi−1 ,xi ) = di‬‬
‫מכאן נסיק כי מתקיים‪:‬‬
‫‪(ϕ + ψ) |(xi−1 ,xi ) = ci + di‬‬
‫וכן גם כי מתקיים עבור ‪ α ∈ R‬ש‪:‬‬
‫‪(αϕ) |(xi−1 ,xi ) = αci‬‬
‫ולכן גם הסכום וגם כפל בסקלאר הן פונקציות מדרגות‪.‬‬
‫‪ .2‬באותו אופן שהוכחנו את תכונה ‪ ,1‬קל גם לראות כי גם הכפלה של שתי פונקציות‬
‫מדרגות היא פונקציית מדרגות‪.‬‬
‫‪ .3‬מההגדרה נובע כי זו פונקציה שמוגדרת על־ידי קבועים בקטע ]‪ ,[a, b‬ולכן היא בפרט‬
‫מוגדרת על־ידי קבועים בקטע הפנימי ]‪.[c, d‬‬
‫לכן כדי להראות שזו פונקציית מדרגות‪ ,‬מספיק להראות שקיימת חלוקה שמייצגת את‬
‫הפונקציה ]‪.ϕ|[c,d‬‬
‫מהנתון ש־‪ ϕ‬פונקציית מדרגות נובע שקיימת לה חלוקה ‪ .P‬מכיוון ש־ ]‪ ϕ|[c,d‬מוגדרת‬
‫על תחום חלקי לתחום ]‪ ,[a, b‬נסיק שקיימת החלוקה‪:‬‬
‫}‪p∗ = (p ∩ [c, d]) ∪ {c, d‬‬
‫‪ .4‬טענה זו ברורה מאליה‪.‬‬
‫‪23‬‬
‫‪11.4‬‬
‫אינטגרל של פונקציית מדרגות‬
‫תהי ]‪ ,ϕ ∈ S [a, b‬מיוצגת על־ידי החלוקה ) ‪ ,p = (x0 , x1 , ..., xn‬ונניח שקיימים הקבועים‬
‫‪ c1 , ..., cn‬כך ש־ ‪.ϕ|(xi−1 ,xi ) = ci‬‬
‫נגדיר ונסמן את האינטגרל של הפונקציה ‪ ϕ‬בקטע ]‪ ,[a, b‬שמיוצגת על־ידי החלוקה ‪ ,p‬באופן‬
‫הבא‪:‬‬
‫) ‪ci (xi − xi−1 ) = c1 (x1 − x0 ) + c2 (x2 − x1 ) + ... + (xn − xn−1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪Ip (ϕ‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪11.4.1‬‬
‫יחידות האינטגרל של פונקציית מדרגות‬
‫אינטגרל של פונקציית מדרגות מוגדר באופן חד־משמעי‪ ,‬ללא תלות בחלוקה‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫∈ ∗‪.x‬‬
‫נניח כי ]‪ ϕ ∈ S [a, b‬מיוצגת על־ידי החלוקה ‪ ,p‬ותהי )‪ x∗ ∈ (a, b‬כך ש־ ‪/ p‬‬
‫נוכיח תחילה כי )‪.Ip (ϕ) = Ip∪{x∗ } (ϕ‬‬
‫∈ ∗‪ x‬נובע שקיים אינדקס ‪ ,1 ≤ j ≤ n‬כך ש־) ‪.x∗ ∈ (xj−1 , xj‬‬
‫מהנתון )‪/ p ,x∗ ∈ (a, b‬‬
‫כלומר‪ x∗ ,‬שייך לאחד האינטרוולים של החלוקה ‪.p‬‬
‫נשים לב כי‪:‬‬
‫) ‪(xj−1 , xj ) = (xj−1 , x∗ ) ∪ x∗ ∪ (x∗ , xj‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫)) ‪cj (xj−1 , xj ) = cj ((xj−1 , x∗ ) ∪ x∗ ∪ (x∗ , xj‬‬
‫מכאן נסיק כי‪:‬‬
‫)‪Ip (ϕ) = I[a,xj−1 ]∪(xj−1 ,x∗ )∪x∗ ∪(x∗ ,xj )∪[xj ,b] (ϕ‬‬
‫באינדוקציה קל להסיק כי כל תוספת מספר סופי של נקודות לחלוקה לא תשנה את ערך‬
‫האינטגרל‪.‬‬
‫לכן לכל זוג חלוקות ‪ p, q‬מתקיים )‪ Ip∪q (ϕ) = Ip (ϕ‬וכן )‪ ,Iq∪q (ϕ) = Iq (ϕ‬ומכאן שלכל‬
‫זוג חלוקות מתקיים )‪.Ip (ϕ) = Iq (ϕ‬‬
‫מסקנה‬
‫אינטגרל של פונקציית מדרגות מוגדרת באופן חד־משמעי ללא תלות בחלוקה‪ ,‬ולכן נסמן‬
‫אותו פשוט )‪.I (ϕ‬‬
‫‪11.4.2‬‬
‫אריתמטיקה ותכונות אינטגרלים של פונקציות מדרגות‬
‫יהיו ]‪ ψ, ϕ ∈ S [a, b‬ויהי ‪k ∈ R‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ ϕ ≥ 0‬אז ‪I (ϕ) ≥ 0‬‬
‫‪24‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ ψ ≥ ϕ‬אז )‪I (ψ) ≥ I (ϕ‬‬
‫‪I (ψ + ϕ) = I (ϕ) + I (ψ) .3‬‬
‫‪I (kϕ) = kI (ϕ) .4‬‬
‫‪ .5‬נניח כי ‪ ,a < c < b‬אז )‪I[a,b] (ϕ) = I[a,c] (ϕ) + I[c,d] (ϕ‬‬
‫‪I[a,b] (1) = b − a .6‬‬
‫‪11.5‬‬
‫אינטגרביליות‬
‫מונחים‬
‫• נסמן ב־]‪ S = S [a, b‬את קבוצת פונקציות המדרגות על הקטע ]‪.[a, b‬‬
‫• נסמן ב־]‪ B = B [a, b‬את קבוצת הפונקציות הממשיות החסומות על הקטע ]‪.[a, b‬‬
‫• תהי ‪ f‬פונקציה ממשית ‪.f ∈ B‬‬
‫נסמן ב־]‪ Φf = Φf [a, b‬את קבוצת המספרים } ‪{I (ϕ) |ϕ ∈ S [a, b] ∧ ϕ ≤ f‬‬
‫נסמן ב־]‪ Ψf = Ψf [a, b‬את קבוצת המספרים } ‪{I (ϕ) |ϕ ∈ S [a, b] ∧ ϕ ≥ f‬‬
‫למה‬
‫הקבוצה ‪ Φf‬לא ריקה וחסומה מלעיל‪ ,‬והקבוצה ‪ Ψf‬לא ריקה וחסומה מלרע‪.‬‬
‫לפיכך משלמות הממשיים\אקסיומות החסם העליון נובע כי קיימים ‪.inf Ψf ,sup Φf‬‬
‫הוכחה‬
‫‪ .1‬נוכיח ש־ ‪ Φf‬אינה ריקה‪:‬‬
‫נתון כי ‪ f ∈ B‬ולפיכך היא חסומה‪ ,‬ובפרט חסומה מלרע‪ .‬לכן קיים ‪ m ∈ R‬כך ש־‪.f ≥ m‬‬
‫נזכור כי כל פונקציה קבועה היא פונקציית מדרגות‪ ,‬ולפיכך נגדיר פונקציית מדרגות ‪ϕ = m‬‬
‫על הקטע ]‪.[a, b‬‬
‫מצאנו פונקציית מדרגות שמקיימת ‪ ,ϕ ≤ f‬ולפיכך ‪ I (ϕ) ∈ Φf‬ולכן היא אינה ריקה‪.‬‬
‫‪ .2‬נוכיח ש־ ‪ Φf‬חסומה מלעיל‪:‬‬
‫נתון כי ‪ f ∈ B‬ולפיכך היא חסומה‪ ,‬ובפרט חסומה מלעיל‪ .‬לכן קיים ‪ m∗ ∈ R‬כך‬
‫ש־ ∗‪.f ≤ m‬‬
‫מהגדרת ‪ Φf‬נובע כי לכל ‪ I (ϕ) ∈ Φf‬מתקיים ‪ ,ϕ ≤ f‬ומצירוף שני אי השוויונים נסיק כי‬
‫∗‪.ϕ ≤ f ≤ m‬‬
‫∗‬
‫∗‬
‫מהגדרת האינטגרל של פונקציית מדרגות נסיק כי אם ‪ ϕ ≤ m‬אז )‪.I (ϕ) ≤ m (b − a‬‬
‫אם כך מצאנו כי )‪ m∗ (b − a‬חסם מלעיל של הקבוצה ‪ .Φf‬‬
‫באופן דומה ניתן להראות כי הקבוצה ‪ Ψf‬לא ריקה וחסומה מלרע‪.‬‬
‫• נגדיר אינטגרל תחתון של ‪ f‬בקטע‪I (f ) = I [a,b] (f ) = sup Φf :‬‬
‫• נגדיר אינטגרל עליון של ‪ f‬בקטע‪I (f ) = I [a,b] (f ) = inf Ψf :‬‬
‫למה‬
‫) ‪I (f ) ≤ I (f‬‬
‫‪25‬‬
‫הוכחה‬
‫יהיו ‪ .I (ϕ2 ) ∈ Ψf ,I (ϕ1 ) ∈ Φf‬מהגדרת הקבוצות נובע כי‪.ϕ1 ≤ f ≤ ϕ2 :‬‬
‫ממונוטוניות האינטגרל )לעיל סעיף ‪ (11.4.2‬אם ‪ ϕ1 ≤ ϕ2‬אז ) ‪.I (ϕ1 ) ≤ I (ϕ2‬‬
‫נשים לב שטענה זו נכונה עבור ‪ ϕ1 , ϕ2‬כלשהם‪ ,‬לכן נסיק ש־) ‪ I (ϕ2‬כלשהו לפי בחירתנו‪,‬‬
‫גדול או שווה מכל ) ‪ ,I (ϕ1‬משמע ) ‪ I (ϕ2‬חסם מלעיל של ‪.Φf‬‬
‫מתכונות החסם העליון נסיק כי ) ‪ ,sup Φf ≤ I (ϕ2‬ומכיוון שהגדרנו ) ‪ sup Φf = I (f‬נסיק‬
‫כי ) ‪.I (f ) ≤ I (ϕ2‬‬
‫נשים לב שוב שטענה זו נכונה עבור ‪ ϕ1 , ϕ2‬כלשהם‪ ,‬לכן נסיק כי ) ‪ I (f‬חסם מלרע של ‪.Ψf‬‬
‫מתכונות החסם התחתון נסיק כי ) ‪ ,inf Ψf ≥ I (f‬ומכיוון שהגדרנו ) ‪ inf Ψf = I (f‬נסיק‬
‫כי ) ‪ .I (f ) ≤ I (f‬‬
‫איטגרביליות‬
‫אם ) ‪ I (f ) = I (f‬נאמר כי ‪ f‬אינטגרבילית‪ ,‬והאינטגרל שלה בקטע ]‪ [a, b‬הוא הערך‬
‫המשותף של האינטגרל העליון והתחתון‪.‬‬
‫במקרה כזה נסמן מעתה‪:‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫= ) ‪I[a,b] (f‬‬
‫‪f (x) dx‬‬
‫‪a‬‬
‫דוגמה‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪x∈Q‬‬
‫נבדוק האם הפונקציה‬
‫‪0 x ∈ R\Q‬‬
‫נמצא את קבוצת פונקציות המדרגה שמתחת ל־‪ ,D‬שסימנו לעיל ב־ ‪ ,ΦD‬ואת קבוצת פונקציות‬
‫המדרגה שמעל ‪ D‬שסימנו לעיל ב־ ‪ ,ΨD‬ונבדוק האם ‪.supΦD = inf ΨD‬‬
‫מהגדרת ‪ D‬נובע כי ‪ ΦD ≤ 0‬וכן ‪ ,ΨD ≥ 1‬מכאן שהחסם התחתון של ‪ ΨD‬גדול ממש‬
‫מהחסם העליון של ‪ ,ΦD‬ולכן ‪ D‬אינה אינטגרבילית‪.‬‬
‫= )‪ D (x‬אינטגרבילית‪.‬‬
‫‪11.6‬‬
‫אפיונים שקולים לאינטגרביליות‬
‫אפיון ראשון‬
‫תהי ]‪.f ∈ B [a, b‬‬
‫מתקיים כי ‪ f‬אינטגרבילית אמ"מ לכל ‪ > 0‬קיימות ]‪ ϕ ≤ f ≤ ψ ,ϕ , ψ ∈ S [a, b‬כך‬
‫ש־‬
‫ < ) ‪I (ψ ) − I (ϕ‬‬
‫הוכחה‬
‫צד א'‪ :‬נניח כי התנאי שהגדרנו במשפט מתקיים‪ .‬נסיק‪:‬‬
‫ < ) ‪I (f ) − I (f ) = inf Ψf − sup Φf ≤ I (ψ ) − I (ϕ‬‬
‫‪26‬‬
‫לכן מתכונות החסם העליון והתחתון נובע כי בהכרח מתקיים ‪ ,inf Ψf = sup Φf‬משמע‬
‫) ‪ I (f ) = I (f‬ולכן הפונקציה אינטגרבילית‪.‬‬
‫צד ב'‪ :‬נניח כי הפונקציה ‪ f‬אינטגרבילית‪ ,‬משמע ) ‪.I (f ) = I (f‬‬
‫יהי ‪. > 0‬‬
‫מהנתון שהפונקציה אינטגרבילית נובע כי קיימת ]‪ ϕ ∈ S [a, b‬כך ש‪:‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪f (x) dx −‬‬
‫> ) ‪I (ϕ‬‬
‫‪a‬‬
‫וכן שקיימת ]‪ ψ ∈ S [a, b‬כך ש‪:‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫< ) ‪I (ψ‬‬
‫‪f (x) dx +‬‬
‫‪a‬‬
‫נחבר את שני אי השוויונים ונקבל‪:‬‬
‫‪  b‬‬
‫‪‬‬
‫‪ b‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫ = ‪I (ψ ) − I (ϕ ) <  f (x) dx +  −  f (x) dx −  = +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‬
‫אפיון שני‬
‫נניח שקיימות סדרות ) ‪ (ϕn ) , (ψn‬של פונקציות מדרגות על הקטע ]‪ ,[a, b‬כך ש־≤ ‪ϕn ≤ f‬‬
‫‪.ψn‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫אם ורק אם‬
‫אזי ‪ f‬אינטגרבילית ומתקיים ) ‪f (x) dx = lim I (ϕn ) = lim I (ψn‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪a‬‬
‫‪.(I (ψn ) − I (ϕn )) −→ 0‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫הוכחה‬
‫‪ .1‬נראה שהפונקציה אינטגרבילית‪:‬‬
‫מהאפיון הראשון לאינטגרביליות נובע כי מספיק לדרוש שלכל ‪ > 0‬יהיו קיימות‬
‫פונקציות מדרגות ‪ ϕ , ψ‬כך ש־ < ) ‪.I (ψ ) − I (ϕ‬‬
‫לכן ברור שאם נתון כי ‪ (I (ψn ) − I (ϕn )) −→ 0‬אז עבור ‪ n‬מספיק גדול ההפרש‬
‫∞→‪n‬‬
‫הזה יהיה קטן מכל ‪ , > 0‬משמע הפונקציה אינטגרבילית‪.‬‬
‫‪ .2‬נראה שערך האינטגרל הוא אכן הערך המשותף‪:‬‬
‫ראינו כי ‪ f‬אינטגרבילית‪ .‬נשים לב שמהגדרת האינטגרל נובע כי לכל ‪ n‬מתקיים‪:‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫= ‪I (ϕn ) ≤ sup Φf‬‬
‫) ‪f (x) dx = inf Ψf ≤ I (ψn‬‬
‫‪a‬‬
‫‪27‬‬
‫נעביר אגפים ונקבל לפי האפיון הראשון לאינטגרביליות‪:‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫ < ) ‪f (x) dx − I (ϕn ) ≤ I (ψn ) − I (ϕn‬‬
‫≤‪0‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫→‪ .I (ϕn ) −‬‬
‫לכן לפי משפט הסנדוויץ' נסיק שמתקיים‪f (x) dx :‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪a‬‬
‫דוגמה לחישוב אינטגרל מסויים לפי ההגדרה‬
‫‪11.7‬‬
‫מבוא‪ :‬טור חשבוני‬
‫לכל ‪ n ∈ N‬מתקיים‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪n2 + n‬‬
‫‪n‬‬
‫)‪= (n + 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪k‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫= ‪k2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k=1‬‬
‫הוכחה‬
‫נשתמש בהוכחה בטריק של טור טלסקופי‪ .‬כלומר‪ ,‬טור שכל איבר שלו מבטל את הבא‬
‫אחריו‪ ,‬כך שנשאר רק האיבר הראשון‪.‬‬
‫למשל‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= ])‪[k − (k − 1‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪n = n − (n − 1) + (n − 1) − (n − 2) + (n − 2) ...‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪ .1‬נשים לב שמתקיים‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ X‬‬
‫= ‪k − k 2 − 2k + 1‬‬
‫= )‪(2k − 1‬‬
‫‪k=1‬‬
‫=‬
‫‪i‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪k 2 − (k − 1‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪1 = 2 k=1 k − n‬‬
‫‪Pn‬‬
‫נעביר אגפים בשוויון ‪ n2 = 2 k=1 k − n‬ונקבל‪:‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪n + n2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪28‬‬
‫=‪k‬‬
‫‪k−‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪n h‬‬
‫‪X‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪=2‬‬
‫= ‪n2‬‬
‫‪ .2‬נשים לב שמתקיים‪:‬‬
‫‪h‬‬
‫‪i‬‬
‫‬
‫‪Pn‬‬
‫ ‪Pn‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪n3 = k=1 k 3 − (k − 1) = k=1 k 3 − k 3 − 3k 2 + 3k − 1‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‬
‫‪Pn‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪Pn‬‬
‫= ‪3k − 3k + 1 = 3 k=1 k 2 − 3 k=1 k + k=1 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪+n‬‬
‫‪k 2 − 3 n+n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫נעביר אגפים בשוויון ‪+ n‬‬
‫‪k 2 − 3 n+n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪k=1‬‬
‫=‬
‫‪=3‬‬
‫‪ n3 = 3‬ונקבל‪:‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫‪n 3‬‬
‫‪n + n2 − n = n3 + + n2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k 2 = n3 +‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪3‬‬
‫‪k=1‬‬
‫נחלק ב־‪:3‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n3‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫= ‪k2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‬
‫דוגמה‬
‫נוכיח באמצעות האפיון השני כי הפונקציה ‪ f (x) = x2‬אינטגרבילית בקטע ]‪ ,[0, 1‬ושערך‬
‫האינטגרל שלה בקטע זה הוא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ˆ1‬‬
‫= ‪x2 dx‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ .1‬נוכיח כי הפונקציה אינטגרבילית‪:‬‬
‫לכל ‪ n ∈ N‬נגדיר חלוקה ‪ pn‬של הקטע ]‪ [0, 1‬באופן הבא‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1 2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪pn = 0, , , ...,‬‬
‫‪n n‬‬
‫‪n‬‬
‫נגדיר פונקציות מדרגה מתאימות‪ :‬נסמן ב־ ‪ nk‬כאשר ‪ ,k = 0, 1, ..., n‬את הקטעים‬
‫בחלוקה ‪ pn‬שהגדרנו‪ ,‬ושבקטעים אלה הפונקציות יוגדרו כקבועות‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‬
‫‪k‬‬
‫‪∀x ∈ k−1‬‬
‫‪ϕn (x) = k−1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n , n‬‬
‫‬
‫‪k−1 k‬‬
‫‪n , n‬‬
‫∈ ‪∀x‬‬
‫‬
‫‪k 2‬‬
‫‪n‬‬
‫= )‪ψn (x‬‬
‫נשים לב שמהגדרת )‪ ϕn (x) , ψn (x‬נובע שמתקיים )‪ ϕn (x) ≤ x2 ≤ ψn (x‬לכל‬
‫]‪.x ∈ [0, 1‬‬
‫מהאפיון השני לאינטגרביליות נובע שמספיק להראות כי מתקיים‪:‬‬
‫‪I (ψn (x)) − I (ϕn (x)) −→ 0‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪29‬‬
‫נשתמש בהגדרת האינטגרל של פונקציות מדרגה‪ ,‬ונקבל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫ ‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪k−1‬‬
‫)‪(k − 1‬‬
‫=‬
‫‪3‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫= ))‪I (ϕn (x‬‬
‫‪n 2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k‬‬
‫‪1‬‬
‫‪k2‬‬
‫= ))‪I (ψn (x‬‬
‫=‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n3‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫נבדוק את ההפרש‪) :‬נשתמש בדרך בכך שמתקבל טור טלסקופי ובנוסחה של טור‬
‫חשבוני(‬
‫=‬
‫‪(k−1)2‬‬
‫‪n3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪i=1‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪n3 n‬‬
‫‪k2‬‬
‫‪i=1 n3‬‬
‫=‬
‫‪Pn‬‬
‫‪i‬‬
‫‪2‬‬
‫= ))‪I (ψn (x)) − I (ϕn (x‬‬
‫)‪k 2 − (k − 1‬‬
‫‪h‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n3‬‬
‫=‬
‫אם כך ברור שכאשר ∞ → ‪ n‬הפרש פונקציות המדרגות שואף ל־‪ ,0‬ולפיכך נסיק‬
‫מהאפיון השני לאינטגרביליות שהפונקציה ‪ f (x) = x2‬אינטגרבילית‪.‬‬
‫‪ .2‬נחשב את ערך האינטגרל‪:‬‬
‫באפיון השני הראינו כי ערך האינטגרל של הפונקציה שווה לערך האינטגרל של סדרת‬
‫פונקציות המדרגות‪ ,‬כאשר ∞ → ‪.n‬‬
‫מהעובדה שהפונקציה אינטגרבילית נובע שערך האינטגרל של סדרת פונקציות המדרגות‬
‫העליונות והתחתונות שווה‪ ,‬לכן מספיק לחשב אחד מהם‪) :‬נשתמש בנוסחה של טור‬
‫חשבוני(‬
‫‬
‫‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X k2‬‬
‫‪1 n3‬‬
‫‪1 X 2‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫= ))‪I (ψn (x‬‬
‫‪k‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪= +‬‬
‫‪+ 2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪6n‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫קל לראות שכאשר ∞ → ‪ n‬הביטוי שקיבלנו מתכנס ל־ ‪ , 13‬ולפיכך זהו ערך האינטגרל‪.‬‬
‫‪11.8‬‬
‫רציפות ואינטגרביליות‬
‫כל פונקציה רציפה בקטע סגור אינטגרבילית בו‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫תהי ‪ f‬מוגדרת ורציפה בקטע הסגור ]‪.[a, b‬‬
‫ממשפט החסימות של ויירשטראס נובע כי ‪ f‬חסומה על הקטע‪ ,‬ולכן ניתן להגדיר עליה‬
‫אינטגרל‪.‬‬
‫ממשפט קנטור לרציפות במידה שווה נובע כי היא רציפה במידה שווה בקטע‪.‬‬
‫מהנתון ש־ ‪ f‬רציפה במידה שווה נובע שלכל ‪ > 0‬קיים ‪ δ > 0‬כך שלכל ]‪x, y ∈ [a, b‬‬
‫מתקיים כי‬
‫‬
‫‪b−a‬‬
‫< |)‪|x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y‬‬
‫יהי ‪ , > 0‬ותהי ) ‪ p = (x0 , x1 , ..., xn‬חלוקה כלשהי של הקטע ]‪.[a, b‬‬
‫‪30‬‬
‫נגדיר פונקציות מדרגה ‪ ϕ , ψ‬באופן הבא‪:‬‬
‫‪ψ |(xi−1 ,xi ) = sup {f (x) |x ∈ (xi−1 , xi )} ≡ Mi‬‬
‫‪ϕ |(xi−1 ,xi ) = inf {f (x) |x ∈ (xi−1 , xi )} ≡ mi‬‬
‫מהגדרת פונקציות המדרגה נובע כי בכל הקטע ]‪ [a, b‬מתקיים ‪.ϕ ≤ f ≤ ψ‬‬
‫נשים לב ש־ ‪ Mi , mi‬הם ערכים כלשהם של הפונקציה )‪ 5 ,f (x‬ולכן מרציפות במידה שווה‬
‫‬
‫נובע כי עבור‬
‫‪ b−a‬קיים ‪ δ‬כלשהו כך שאם נעדן את החלוקה מספיק כך שלכל ‪ i‬יתקיים‬
‫‬
‫‪|xi − xi−1 | < δ‬אז לכל ‪ i‬יתקיים ‪.|Mi − mi | < b−a‬‬
‫נשתמש בהגדרת האינטגרל של פונקציות מדרגות‪ ,‬ונחשב‪:‬‬
‫= ) ‪mi (xi − xi−1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪Mi (xi − xi−1 ) −‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‬
‫= ) ‪(xi − xi−1‬‬
‫‪b−a‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= ) ‪I (ψ ) − I (ϕ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫< ) ‪(Mi − mi ) (xi − xi−1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫=‬
‫‪i=1‬‬
‫‪n‬‬
‫‬
‫‪ X‬‬
‫= ) ‪(xi − xi−1‬‬
‫ = )‪(b − a‬‬
‫=‬
‫‪b − a i=1‬‬
‫‪b−a‬‬
‫אם כך לפי האפיון הראשון לאינטגרביליות נוכל להסיק כי הפונקציה אינטגרבילית‪ .‬‬
‫‪11.9‬‬
‫מונוטוניות ואינטגרביליות‬
‫כל פונקציה מונוטונית בקטע סגור אינטגרבילית בו‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫תהי ‪ f‬מונוטונית עולה בקטע ]‪ ,[a, b‬ותהי ) ‪ p = (x0 , x1 , ..., xn‬חלוקה‪ ,‬כך ש־‬
‫‬
‫‬
‫‪b−a‬‬
‫‪xi = a + i‬‬
‫‪n‬‬
‫‪6‬‬
‫נגדיר פונקציות מדרגה ‪ ϕ, ψ‬באופן הבא‪:‬‬
‫) ‪ϕ|(xi−1 ,xi ) = f (xi−1‬‬
‫) ‪ψ|(xi−1 ,xi ) = f (xi‬‬
‫מהגדרת זו נובע כי בקטע ]‪ [a, b‬מתקיים ‪.ϕ ≤ f ≤ ψ‬‬
‫‪5‬כי משפט המקסימום של ויירשטראס קובע שפונקציה רציפה בקטע סגור גם מקבלת בו מקסימום ומינימום‪.‬‬
‫‪b−a‬‬
‫‪.‬‬
‫‪6‬נשים לב שזו חלוקה של הקטע ]‪ [a, b‬לקטעים באורך‬
‫‪n‬‬
‫‪31‬‬
‫נסיק מכך‪) :‬נשתמש בכך שבדרך נקבל טור טלסקופי(‬
‫= ) ‪f (xi−1 ) (xi − xi−1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪f (xi ) (xi − xi−1 ) −‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪b−a‬‬
‫‪−→ 0‬‬
‫∞→‪n n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪I (ψ) − I (ϕ‬‬
‫])‪[f (xi ) − f (xi−1 )] (xi − xi−1 ) = [f (b) − f (a‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫=‬
‫‪i=1‬‬
‫ולכן לפי האפיון השני לאינטגרביליות הפונקציה אינטגרבילית‪ .‬‬
‫‪12‬‬
‫‪12.1‬‬
‫גישה שנייה‪ :‬סכומי רימן‬
‫סכום רימן‬
‫תהי ‪ f‬פונקציה המוגדרת בקטע סגור ]‪ ,[a, b‬ותהי ) ‪ p = (x0 , x1 , ..., xn‬חלוקה של הקטע‬
‫]‪.[a, b‬‬
‫נגדיר ונסמן סכום רימן של ‪ f‬תחת החלוקה ‪ p‬כל ביטוי מהצורה הבאה‪:‬‬
‫‪f (ti ) ∆xi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= ) ‪f (ti ) (xi − xi−1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫=‪S‬‬
‫‪i=1‬‬
‫כאשר ‪ ti‬היא נקודה שרירותית המקיימת ] ‪ ti ∈ [xi−1 , xi‬עבור ‪.1 ≤ i ≤ n‬‬
‫‪12.2‬‬
‫פרמטר החלוקה‬
‫עבור חלוקה ‪ p‬נתונה‪ ,‬נגדיר ונסמן את פרמטר החלוקה ‪ λ‬להיות אורך הקטע המקסימלי‬
‫בחלוקה ‪ .p‬כלומר‪:‬‬
‫}| ‪λ (p) = max {|xi − xi−1‬‬
‫‪1≤i≤n‬‬
‫‪12.3‬‬
‫אינטגרביליות רימן‬
‫תהי ‪ f‬פונקציה מוגדרת בקטע סגור ]‪.[a, b‬‬
‫נאמר כי ‪ f‬אינטגרבילית רימן בקטע זה‪ ,‬אם קיים מספר ממשי ‪ I ∈ R‬כך שלכל ‪ > 0‬קיים‬
‫‪ ,δ > 0‬כך שלכל סכום רימן ‪ S‬של ‪ ,f‬עבור כל חלוקה ‪ p‬בקטע ]‪ ,[a, b‬מתקיים כי‪:‬‬
‫ < |‪λ (p) < δ ⇒ |S − I‬‬
‫בכתיב לוגי‪:‬‬
‫ < |‪∀>0 ∃δ>0 ∀S(f,p[a,b]) λ (p) < δ ⇒ |S − I‬‬
‫‪32‬‬
‫כאשר )]‪ S (f, p [a, b‬הוא סכום רימן של ‪ f‬על חלוקה ‪ p‬בקטע ]‪.[a, b‬‬
‫ערך האינטגרל‪ :‬אם ‪ f‬אינטגרבילית רימן בקטע ]‪ ,[a, b‬נאמר כי ‪ I‬שהגדרנו הוא אינטגרל‬
‫של ‪ f‬בקטע ]‪.[a, b‬‬
‫‪12.3.1‬‬
‫יחידות האינטגרל של רימן‬
‫תהי ‪ f‬פונקציה מוגדרת בקטע סגור ]‪.[a, b‬‬
‫אם קיים ‪ I ∈ R‬שמקיים את ההגדרה לאינטגרביליות רימן של ‪ f‬בקטע זה‪ ,‬אזי ‪ I‬יחיד‪.‬‬
‫לכן נאמר כי ‪ I‬שהגדרנו הוא האינטגרל של ‪ f‬בקטע ]‪.[a, b‬‬
‫הוכחה‬
‫נניח כי ∗ ‪ I, I‬מקיימים את את ההגדרה לאינטגרביליות של ‪ f‬בקטע ]‪.[a, b‬‬
‫יהי ‪. > 0‬‬
‫מהנתון נובע שקיימים ∗ ‪ δ, δ‬בהתאמה‪ ,‬כך שלכל סכום רימן ‪ S‬של ‪ f‬עבור כל חלוקה ‪,p‬‬
‫מתקיים התנאי גם עבור ‪ I‬וגם עבור ∗ ‪ .I‬כלומר‪:‬‬
‫ < |‪λ (p) < δ ⇒ |S − I‬‬
‫ < | ∗ ‪λ (p∗ ) < δ ∗ ⇒ |S − I‬‬
‫יהי ‪ S‬סכום רימן כלשהו‪.‬‬
‫כדי שני התנאים יתקיימו‪ ,‬נבחר חלוקה ‪ ,p#‬כך שעבורה יתקיים‪:‬‬
‫‬
‫}) ∗‪λ p# = min {λ (p) , λ (p‬‬
‫ונגדיר‪:‬‬
‫} ∗ ‪δ # = min {δ, δ‬‬
‫מכאן שמתקיים עבור החלוקה ‪ p#‬כי‪:‬‬
‫‪< δ#‬‬
‫‬
‫‪#‬‬
‫‪λ p‬‬
‫‬
‫ומהבחירה של ‪ p# , δ #‬כמינימליים מבין השניים‪ ,‬נובע כי אם ‪ λ p# < δ #‬אז מתקיימים‬
‫יחד שני התנאים‪:‬‬
‫ < |‪|S − I‬‬
‫ < | ∗ ‪|S − I‬‬
‫נסיק מכך שלכל מתקיים‪:‬‬
‫‪|I − I ∗ | = |I − S + S − I ∗ | ≤ |I − S| + |S − I ∗ | < 2‬‬
‫מכאן שבהכרח ∗ ‪ ,I = I‬כי אחרת ההפרש ביניהם לא היה קטן כרצוננו‪ .‬‬
‫‪33‬‬
‫‪12.4‬‬
‫קריטריון קושי לאינטגרביליות רימן‬
‫תהי ‪ f‬פונקציה מוגדרת בקטע סגור ]‪.[a, b‬‬
‫‪ f‬אינטגרבילית רימן אם ורק אם לכל ‪ > 0‬קיים ‪ ,δ > 0‬כך שלכל זוג סכומי רימן ∗ ‪S, S‬‬
‫של ‪ ,f‬עבור כל חלוקה ‪ p‬של ‪ f‬בקטע‪ ,‬מתקיים כי‪:‬‬
‫ < | ∗ ‪λ (p) < δ ⇒ |S − S‬‬
‫הערה‪ :‬בדומה לקריטריון קושי עבור גבול של סדרה וגבול של פונקציה שלא מגלה את ערך‬
‫הגבול שאליו מתכנסת הסדרה או הפונקציה‪ ,‬גם קריטריון קושי לאינטגרביליות רימן לא‬
‫עוסק בערך האינטגרל )שסימנו לעיל ‪ (I‬של הפונקציה‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫צד א'‪ :‬נניח כי ‪ f‬אינטגרבילית רימן‪ ,‬ויהי ‪. > 0‬‬
‫מהנתון נובע שקיים ‪ δ > 0‬כך שלכל סכום רימן ‪ S‬ועבור כל חלוקה ‪ p‬מתקיים‪:‬‬
‫ < |‪λ (p) < δ ⇒ |S − I‬‬
‫יהיו ∗ ‪ S, S‬סכומי רימן כלשהם של ‪ f‬עבור חלוקות ∗‪ p, p‬כלשהן בהתאמה‪ ,‬ונסיק מהנתון‬
‫שהפונקציה אינטגרבילית רימן שהתנאי מתקיים עבור שתיהן‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬עבור הנתון קיימים ∗ ‪ δ, δ‬בהתאמה‪ ,‬כך ש‪:‬‬
‫ < |‪λ (p) < δ ⇒ |S − I‬‬
‫‪and‬‬
‫ < |‪λ (p∗ ) < δ ∗ ⇒ |S ∗ − I‬‬
‫נסיק מכך‪:‬‬
‫‪|S − S ∗ | = |S − I + I − S ∗ | =≤ |S − I| + |I − S ∗ | < 2‬‬
‫משמע מתקיים קריטריון קושי לאינטגרביליות רימן‪.‬‬
‫צד ב'‪ :‬נניח כי מתקיים קריטריון קושי לאינטגרביליות רימן‪.‬‬
‫תהי ) ‪ (Sn‬סדרה של סכומי רימן של ‪ ,f‬שעבורה מתקיים כי סדרת חלוקות מתאימה ) ‪(pn‬‬
‫‪1‬‬
‫‪7‬‬
‫מקיימת < ) ‪.λ (pn‬‬
‫‪n‬‬
‫מהנתון שמתקיים קריטריון קושי נובע שלכל ‪ > 0‬קיים ‪ δ > 0‬מתאים‪ ,‬כך שלכל זוג סכומי‬
‫רימן ∗ ‪ S, S‬של ‪ ,f‬עבור כל חלוקה ‪ p‬של ‪ f‬בקטע‪ ,‬מתקיים‪:‬‬
‫ < | ∗ ‪λ (p) < δ ⇒ |S − S‬‬
‫‪7‬ברור שניתן תמיד להגדיל את מספר הנקודות בכל חלוקה‪ ,‬כך שהמרחק בין כל שתי נקודות שלה יהיה קטן‬
‫כרצוננו‪ .‬כך למשל ניתן להגדיר סדרה של חלוקות‪ ,‬כך שכל חלוקה בסדרה כוללת את נקודות החלוקה הקודמת‪,‬‬
‫בתוספת נקודה אמצעית לכל שתי נקודות בחלוקה הקודמת‪.‬‬
‫‪34‬‬
‫יהי ‪ > 0‬ו־‪ δ > 0‬מתאים עבורו כך שמתקיים התנאי‪ .‬נבחר ‪ n0‬מסויים כך שיתקיים‬
‫‪1‬‬
‫= ‪.δ‬‬
‫‪n0‬‬
‫נסיק מכך שלכל ‪ n, m > n0‬מתקיים קריטריון קושי הנתון‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫ < | ‪⇒ |Sn − Sm‬‬
‫‪n0‬‬
‫< )‪λ (p‬‬
‫מכאן נובע שהסדרה ) ‪ (Sn‬היא סדרת קושי‪ ,‬ולפיכך היא מתכנסת לגבול כלשהו שנסמן‬
‫‪.I ∈ R‬‬
‫איננו יודעים מתוך קריטריון קושי מהו הערך של ‪ ,I‬אבל נוכיח שמתקיים < |‪|S − I‬‬
‫ולפיכך נסיק שהפונקציה אינטגרבילית וערך האינטגרל שלה הוא ‪:I‬‬
‫יהי ‪ > 0‬וה־‪ δ > 0‬המתאים עבורו‪ ,‬כך שמתקיים קריטריון קושי עבור כל ∗ ‪ S, S‬לכל‬
‫חלוקה ‪ ,p‬כפי שהוכחנו‪:‬‬
‫ < | ∗ ‪λ (p) < δ ⇒ |S − S‬‬
‫מכיוון שהסדרה ) ‪ (Sn‬מתכנסת ל־‪ ,I‬נבחר ‪ n0‬כלשהו‪ ,‬כך שהאיבר ‪ Sn0‬בסדרה ) ‪(Sn‬‬
‫מקיים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫ < |‪⇒ |Sn0 − I‬‬
‫‪n0‬‬
‫נבחר‬
‫‪o‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n0 , δ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ 8 , N1 = min‬ונקבל שאם‬
‫‪1‬‬
‫‪N‬‬
‫< )‪λ (p‬‬
‫< )‪ λ (p‬אז מתקיימים שני התנאים‪:‬‬
‫ < | ‪|S − SN‬‬
‫ < |‪|SN − I‬‬
‫נסיק מכך‪:‬‬
‫‪|S − I| = |S − SN + SN − I| ≤ |S − SN | + |SN − I| < 2‬‬
‫מכאן שהפונקציה אינטגרבילית רימן‪ .‬‬
‫‪12.5‬‬
‫חסימות ואינטגרביליות רימן‬
‫פונקציה אינטגרבילית רימן בקטע סגור‪ ,‬חסומה בו‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫נוכיח כי אם ‪ f‬לא חסומה אז היא לא אינטגרבילית רימן‪.‬‬
‫תהי ‪ f‬מוגדרת בקטע ]‪ ,[a, b‬ונניח כי היא לא חסומה בקטע זה‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‪8‬או באופן שקול אפשר לבחור ‪ ,N = max n0 , 1δ‬ואז הטענה נכונה עבור ‪.λ (p) < N‬‬
‫‪35‬‬
‫תהי ) ‪ p = (x0 , x1 , ..., xn‬חלוקה כלשהי של הקטע ]‪ .[a, b‬מהנתון ש־ ‪ f‬לא חסומה‪ ,‬נובע‬
‫שקיים קטע ) ‪ (xi−1 , xi‬וקיים ) ‪ ti ∈ (xi−1 , xi‬כך שמתקיים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4xi‬‬
‫> |) ‪|f (ti ) − f (xi‬‬
‫]נימוק‪ f (xi ) , (xi − xi−1 ) :‬הם קבועים ממשיים כלשהם‪ ,‬ואילו ) ‪ f (ti‬הוא ערך גדול‬
‫כרצוננו )גדול חיובי או גדול שלילי(‪ ,‬שידוע שקיים בגלל אי החסימות של הפונקציה‪[.‬‬
‫נתבונן בסכום רימן פשוט ‪ S‬על החלוקה ‪:p‬‬
‫‪f (xi ) ∆xi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫=‪S‬‬
‫‪i=1‬‬
‫נגדיר סכום רימן אחר ∗ ‪ S‬על החלוקה ‪ p‬באופן הבא‪:‬‬
‫‪S ∗ = f (x1 ) ∆x1 + f (x2 ) ∆x2 + ... + f (ti ) ∆xi + ... + f (xn−1 ) ∆xn−1 + f (xn ) ∆xn‬‬
‫נשים לב כי ∗ ‪ S, S‬שניהם סכומי רימן על החלוקה ‪ ,p‬ולכן לו הפונקציה הייתה אינטגרבילית‬
‫רימן ההפרש | ∗ ‪ |S − S‬היה קטן כרצוננו )כפי שהוכחנו בקריטריון קושי לאינטגרביליות‬
‫רימן(‪.‬‬
‫נחשב‪:‬‬
‫!‬
‫‬
‫‬
‫= ‪f (xi ) ∆xi‬‬
‫‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪|S ∗ − S| = f (x1 ) ∆x1 + ... + f (ti ) ∆xi + ... + f (xn ) ∆xn −‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪·∆xi = 1‬‬
‫‪∆xi‬‬
‫> ‪= |f (ti ) − f (xi )| ∆xi‬‬
‫]נימוק‪ :‬האיברים בסכומים מבטלים אחד את השני‪[.‬‬
‫לכן קריטריון קושי ששקול לאיטגרביליות רימן לא מתקיים‪ ,‬ולפיכך מכך ש־ ‪ f‬לא חסומה‬
‫נובע כי היא לא אינטגרבילית רימן‪ .‬‬
‫‪ 13‬גישה שלישית‪ :‬סכומי דארבו‬
‫‪13.1‬‬
‫סכומי דארבו‬
‫תהי ‪ f‬פונקציה מוגדרת וחסומה בקטע סגור ]‪ ,[a, b‬ותהי ) ‪ p = (x0 , x1 , ..., xn‬חלוקה של‬
‫]‪.[a, b‬‬
‫נתבונן בקבוצה }) ‪ .{f (t) |t ∈ (xi−1 , xi‬זו קבוצה חסומה כי נתון ש־ ‪ f‬חסומה‪ ,‬וכן זו‬
‫קבוצה לא ריקה כי נתון ש־ ‪ f‬מוגדרת בקטע‪.‬‬
‫נסמן‪:‬‬
‫‪36‬‬
‫}] ‪Mi = sup {f (t) |t ∈ [xi−1 , xi‬‬
‫}] ‪mi = inf {f (t) |t ∈ [xi−1 , xi‬‬
‫ברור מההגדרה שמתקיים ‪.mi ≤ f ≤ Mi‬‬
‫נגדיר פונקציות מדרגות ‪ ϕp , ψp‬המתאימות לחלוקה הנתונה‪:‬‬
‫‪ψp |(xi−1 ,xi ) = Mi‬‬
‫‪ϕp |(xi−1 ,xi ) = mi‬‬
‫]בשביל שלמות ההגדרה אפשר להגדיר בנקודות הקצה את פונקציות המדרגה להיות שוות‬
‫לערך הפונקציה באותן נקודות‪[.‬‬
‫מההגדרה נובע כי ‪.ϕp ≤ f ≤ ψp‬‬
‫נגדיר את סכום דארבו העליון )‪ (Upper‬וסכום דארבו התחתון )‪ (Lower‬באופן הבא‪:‬‬
‫‪Mi 4xi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪U (p‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪mi 4xi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪L (p‬‬
‫‪i=1‬‬
‫הערה‬
‫נשים לב כי לפי ההגדרה‪ U (p) ,‬היא חסם תחתון של קבוצת פונקציות המדרגה שגדולות‬
‫מ־ ‪ ,f‬ו־)‪ L (p‬היא חסם עליון של קבוצת פונקציות המדרגה שקטנות מ־ ‪.f‬‬
‫לכן באופן שבו הגדרנו אינטגרל עליון ותחתון של פונקציות מדרגה‪ ,‬מתקיים‪:‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫= ) ‪U (p) = I (ψp‬‬
‫‪ψp dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫= ) ‪L (p) = I (ϕp‬‬
‫‪ϕp dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪13.2‬‬
‫הקשר בין סכומי רימן לסכומי דארבו‬
‫תהי ]‪ f ∈ B [a, b‬ותהי ) ‪ p = (x0 , x1 , ..., xn‬חלוקה של הקטע ]‪.[a, b‬‬
‫נסמן ב־)‪ σ (p‬את קבוצת כל סכומי רימן של הפונקציה ‪ f‬עבור החלוקה ‪.p‬‬
‫אזי מתקיים‪:‬‬
‫)‪U (p) = sup σ (p‬‬
‫)‪L (p) = inf σ (p‬‬
‫‪37‬‬
‫הוכחה )נוכיח את המקרה של הסכומים העליונים(‬
‫ראשית נוכיח כי )‪ U (p‬חסם מלעיל של )‪.σ (p‬‬
‫מהגדרת סכומי רימן‪ ,‬נובע כי לכל סכום רימן ‪ S‬מתקיים‪:‬‬
‫)‪Mi ∆xi = U (p‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫≤ ‪f (ti ) ∆xi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫=‪S‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫כעת נוכיח כי )‪ U (p‬חסם מלעיל מינימלי של )‪ ,σ (p‬ולכן נסיק שהוא חסם עליון‪.‬‬
‫נוכיח זאת באמצעות אפיון שקול של חסם עליון‪.‬‬
‫יהי ‪. > 0‬‬
‫מההגדרה }] ‪ Mi = sup {f (t) |t ∈ [xi−1 , xi‬נובע שלכל ‪ 1 ≤ i ≤ n‬קיים ∗‪ t‬כך ש־‬
‫] ‪ ,t∗ ∈ [xi−1 , xi‬עבורו‪:‬‬
‫‬
‫) ‪n (xi − xi−1‬‬
‫‪f (t∗ ) > Mi −‬‬
‫משמע קיימים ‪ t∗1 , t∗2 , ..., t∗n‬מתאימים לחלוקה ‪ ,p‬שמגדירים סכום רימן ‪f (t∗i ) ∆xi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= ∗ ‪,S‬‬
‫‪i=1‬‬
‫שעבורו מתקיים‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫= ‪∆xi‬‬
‫) ‪n (xi − xi−1‬‬
‫ ‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪Mi −‬‬
‫> ‪f (t∗i ) ∆xi‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‪∆xi = U (p) −‬‬
‫) ‪n (xi − xi−1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= ∗‪S‬‬
‫‪i=1‬‬
‫ ‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪Mi ∆xi −‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫=‬
‫‪i=1‬‬
‫מכאן שלכל ‪ > 0‬קיים סכום רימן ∗ ‪ S‬כך ש‪:‬‬
‫)‪U (p) − < S ∗ < U (p‬‬
‫משמע )‪ U (p‬חסם עליון של סכומי רימן‪ .‬‬
‫‪13.3‬‬
‫אינטגרל עליון ותחתון של דארבו‬
‫עבור ]‪ ,f ∈ B [a, b‬נסמן ב־})‪{L (p)} , {U (p‬את סכומי דארבו העליונים והתחתונים‬
‫)בהתאמה( על אוסף כל החלוקות האפשריות‪.‬‬
‫נגדיר ונסמן אינטגרל עליון ותחתון של דארבו באופן הבא‪:‬‬
‫})‪I D (f ) = inf {U (p‬‬
‫})‪I D (f ) = sup {L (p‬‬
‫‪38‬‬
‫‪13.4‬‬
‫הקשר בין אינטגרל עליון ותחתון של דארבו לאינטגרל עליון ותחתון‬
‫לכל פונקציה ]‪ f ∈ B [a, b‬מתקיים‪:‬‬
‫) ‪I (f ) = I D (f‬‬
‫) ‪I (f ) = I D (f‬‬
‫הוכחה )נוכיח את המקרה של הסכומים העליונים(‬
‫נוכיח אי־שוויונים חלשים מנוגדים ומזה נסיק שוויון‪.‬‬
‫‪ .1‬נוכיח כי ) ‪.I (f ) ≤ I D (f‬‬
‫נזכור שהגדרנו וסימנו את האינטגרל העליון באופן הבא‪:‬‬
‫} ‪I (f ) = inf Ψf = inf {I (ψ) |ψ ∈ S [a, b] ∧ ψ ≥ f‬‬
‫נשים לב ש־)‪ U (p‬עצמו הוא אינטגרל עליון של פונקציית מדרגות כלשהי‪ ,‬ולכן עבור‬
‫כל חלוקה ‪ p‬מתקיים כי ‪.U (p) ∈ Ψf‬‬
‫מכאן ברור כי ) ‪.I (f ) = inf Ψf ≤ I D (f‬‬
‫‪ .2‬נוכיח כי ) ‪.I D (f ) ≤ I (f‬‬
‫מתווה ההוכחה‪ :‬לפי ההגדרות של האינטגרלים הללו‪ ,‬כדי להוכיח אי־שוויון זה צריך‬
‫להראות שלכל פונקציית מדרגות ‪ f < ψ‬מתקיים )‪.inf {U (p)} ≤ I (ψ‬‬
‫נזכור שאפיון שקול לחסם תחתון הוא שלכל ‪ > 0‬קיימת חלוקה ∗‪ p‬כך ש־‬
‫ ‪.inf {U (p)} ≤ U (p∗ ) < inf {U (p)} +‬‬
‫לכן כדי להוכיח את אי השוויון )‪ ,inf {U (p)} ≤ I (ψ‬מספיק להראות שלכל ‪ > 0‬‬
‫קיימת חלוקה ∗‪ p‬כלשהי כך ש‪:‬‬
‫ ‪U (p∗ ) < I (ψ) +‬‬
‫ההוכחה‪ :‬יהי ‪ . > 0‬נוכיח קיום של חלוקה ‪ p‬כזאת המקיימת ‪.U (p) < I (ψ) +‬‬
‫יהי ‪ .I (ψ) ∈ Ψf‬משמע ‪ ψ‬היא פונקציית מדרגות המתאימה לאיזושהי חלוקה‬
‫) ‪ p = (x0 , x1 , ..., xn‬של הקטע ]‪.[a, b‬‬
‫מהנתון ‪ f ≤ ψ‬נובע שבכל קטע ) ‪ (xi−1 , xi‬מתקיים‪:‬‬
‫) ‪sup {f (t) |t ∈ (xi−1 , xi )} ≤ ψ|(xi−1 ,xi‬‬
‫כעת לכל ‪ > 0‬נבנה חלוקה חדשה ∗‪ p‬שתקיים את אי השוויון המבוקש < ) ∗‪U (p‬‬
‫ ‪ ,I (ψ) +‬באופן הבא‪:‬‬
‫} ‪p∗ = {x0 , z0 , y1 , z1 , ..., yi , zi , ...yn−1 , zn−1 , yn , xn‬‬
‫כאשר עבור ‪ 2 ≤ i ≤ n − 1‬נבחר את ‪ yi , zi‬כך שיתקיים ‪ ,yi < xi < zi‬ובקצוות‬
‫‪.x0 < z0 ,yn < xn‬‬
‫כמו כן עבור ‪ 2 ≤ i ≤ n − 1‬נבחר את ‪ yi , zi‬כך שיתקיים ‪ ,zi − yi = δ‬ובקצוות‬
‫‪.z0 − x0 = δ ,xn − yn = δ‬‬
‫נדאג שהחלוקה ∗‪ p‬תהיה מספיק קטנה עבור‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫)‪λ (p‬‬
‫‬
‫‪δ = min‬‬
‫‪,‬‬
‫‪4 (n + 1) M‬‬
‫‪39‬‬
‫כאשר }]‪ ,M = sup {f (x) |x ∈ [a, b‬וכן )‪ λ (p‬הוא פרמטר החלוקה של = ‪p‬‬
‫) ‪.(x0 , x1 , ..., xn‬‬
‫נחשב לפי הגדרת סכום דארבו העליון‪:‬‬
‫= ) ∗‪U (p‬‬
‫‪sup f (t)· (z0 − x0 ) + sup f (t) · (y1 − z0 ) + ...+‬‬
‫] ‪t∈[x0 ,z0‬‬
‫] ‪t∈[z0 ,y1‬‬
‫‪+... + sup f (t) · (yi − zi−1 ) + sup f (t)· (zi − yi ) + ...+‬‬
‫] ‪t∈[yi ,zi‬‬
‫] ‪t∈[zi−1 ,yi‬‬
‫≤ ) ‪+... + sup f (t) · (yn − zn−1 ) + sup f (t)· (xn − yn‬‬
‫] ‪t∈[zn−1 ,yn‬‬
‫] ‪t∈[yn ,xn‬‬
‫ ‪ψ|(xi−1 ,xi ) (xi − xi−1 ) + (n + 1) M · δ ≤ I (ψ) +‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫≤‬
‫‪i=1‬‬
‫‬
‫מסקנה‬
‫לכל שתי חלוקות ‪ p1 , p2‬של ]‪ ,[a, b‬מתקיים כי ) ‪ .L (p1 ) ≤ U (p2‬מסקנה זו נובעת מכך‬
‫שהוכחנו כבר כי ‪ ,I ≤ I‬ומהמשפט האחרון נובע כי גם ‪.I D ≤ I D‬‬
‫לפי ההגדרה אלו הם החסם התחתון של אינטגרלי פונקציות המדרגה העליונות‪ ,‬והחסם‬
‫העליון של אינטגרלי פונקציות המדרגה התחתונות‪ ,‬ולכן המסקנה נכונה לכל זוג חלוקות‬
‫שנבחר‪.‬‬
‫אינטגרל דארבו‬
‫‪13.5‬‬
‫מהשקילות בין הגישה הראשונה של פונקציות מדרגות לגישה השלישית של סכומי דארבו‪,‬‬
‫נובע שניתן להגדיר אינטגרל דארבו באמצעות סכומי דארבו‪ ,‬באותו אופן שמגדירים אינטגרל‬
‫באמצעות פונקציות מדרגות‪.‬‬
‫‪ 14‬שקילות הגישות‬
‫במטרה להוכיח את השקילות בין אינטגרביליות תחת ההגדרה של פונקציות מדרגות לאיטגרביליות‬
‫רימן נוכיח שתי טענות עזר‪.‬‬
‫למה‬
‫‪1‬‬
‫אם ∗‪ p‬חלוקה המתקבלת מחלוקה אחרת ‪ p‬באמצעות הוספת נקודות‪ ,‬אזי‪:‬‬
‫)‪L (p∗ ) ≥ L (p) , U (p∗ ) ≤ U (p‬‬
‫קל לראות שתוספת נקודות לחלוקה יכולה רק להקטין את האינטגרל העליון )או לא לשנות(‬
‫ורק להגדיל את האינטגרל התחתון )או לא לשנות(‪.‬‬
‫‪40‬‬
‫למה ‪2‬‬
‫אם ∗‪ p‬חלוקה המתקבלת מחלוקה אחרת ‪ p‬באמצעות הוספת ‪ k‬נקודות‪ ,‬אזי‪:‬‬
‫‪L (p) ≥ L (p∗ ) − kλ (p) Ω‬‬
‫‪U (p) ≤ U (p∗ ) + kλ (p) Ω‬‬
‫כאשר )‪ λ (p‬הוא פרמטר החלוקה )כלומר‪ ,‬האינטרוול המקסימלי שבין כל שתי נקודות‬
‫בחלוקה(‪ ,‬וכן‪:‬‬
‫|)‪sup |f (x) − f (y‬‬
‫= )‪Ω = sup f (x) − inf f (x‬‬
‫]‪x∈[a,b‬‬
‫]‪x,y∈[a,b‬‬
‫]‪x∈[a,b‬‬
‫הוכחה‬
‫חלק ראשון‪ :‬נראה שמספיק להוכיח את הטענה עבור ‪ .k = 1‬כלומר עבור תוספת של נקודה‬
‫אחת‪.‬‬
‫נניח כי הטענה נכונה עבור כל המספרים ‪ ,1, 2, ..., k − 1‬ונניח כי ∗‪ p‬מתקבלת מ־‪ p‬על־ידי‬
‫תוספת של ‪ k − 1‬נקודות‪ ,‬וכן נניח כי ∗∗‪ p‬מתקבלת מ־ ∗‪ p‬באמצעות תוספת של נקודה‬
‫‪9‬‬
‫אחת‪.‬‬
‫∗‬
‫נשים לב כי עבור כל תוספת של נקודות תמיד מתקיים )‪ ,λ (p ) ≤ λ (p‬ונסיק כי‪:‬‬
‫≤ ‪U (p) ≤ U (p∗ ) + (k − 1) λ (p) Ω‬‬
‫‪≤ U (p∗∗ ) + λ (p∗ ) Ω + (k − 1) λ (p) Ω ≤ U (p∗∗ ) + kλ (p) Ω‬‬
‫מכאן שאם הטענה נכונה עבור ‪ 1, 2, ..., k − 1‬אז היא נכונה גם עבור תוספת של ‪ k‬נקודות‪.‬‬
‫חלק שני‪ :‬נוכיח את הלמה עבור ‪.k = 1‬‬
‫נניח כי ∗‪ p‬מתקבלת מ־‪ p‬באמצעות תוספת של נקודה אחת‪ ,‬שנסמן ) ‪.x∗ ∈ (xj−1 , xj‬‬
‫נתבונן בביטוי הבא‪:‬‬
‫"‬
‫‪#‬‬
‫∗‬
‫≤ ) ‪sup f (t) (xj − x‬‬
‫] ‪t∈[x∗ ,xj‬‬
‫∗‬
‫‪f (t) (x − xj−1 ) +‬‬
‫‪sup‬‬
‫∗‬
‫‪U (p) − U (p ) = Mj (xj − xj−1 ) −‬‬
‫] ∗‪t∈[xj−1 ,x‬‬
‫)‪≤ Mj (xj − xj−1 ) − mj (xj − xj−1 ) = (Mj − mj ) (xj − xj−1 ) ≤ Ωλ (p‬‬
‫]השוויון הראשון נובע מכך שכל האיברים בשני סכומי דארבו הללו מצטמצמים‪ ,‬למעט‬
‫האיבר שסוכם את האינטרוול שבו התווספה נקודה‪ .‬מלמה ‪ 1‬נובע כי הביטוי שמתקבל הוא‬
‫אי־שלילי‪.‬‬
‫האי־שוויון הבא נובע מכך ש־ ‪ mj‬הוא חסם תחתון של כל ערכי ‪ f‬על הקטע ]‪ ,[a, b‬ולכן שני‬
‫האיברים בביטוי הימני גדולים ממנו‪.‬‬
‫האי־שוויון האחרון נובע מכך ש־)‪ (xj − xj−1 ) ≤ λ (p‬כי פרמטר החלוקה מוגדר להיות‬
‫האינטרוול המקסימלי בקטע ]‪ ,[a, b‬וכן מכך ש־‪ (Mj − mj ) ≤ Ω‬כי ‪ Mj , mj‬חסמים על‬
‫כל הקטע‪ [.‬‬
‫‪9‬כלומר‪ p∗∗ ,‬מתקבלת מ־‪ p‬באמצעות תוספת של ‪ k‬נקודות‪.‬‬
‫‪41‬‬
‫משפט דארבו‬
‫‪14.1‬‬
‫תהי ]‪ .f ∈ B [a, b‬מתקיים‪:‬‬
‫)‪I¯D = I¯ = lim U (p‬‬
‫‪λ(p)→0‬‬
‫)‪I D = I = lim L (p‬‬
‫)‪λ(p‬‬
‫קיים במובן זה שלכל ‪ > 0‬קיים ‪ δ > 0‬כך שאם ‪ λ (p) < δ‬אז‬
‫הגבול המתואר ‬
‫‬
‫ < ‪ .U (p) − I¯D‬ובדומה לכך בנוגע לאינטגרל התחתון‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫יהי ‪ . > 0‬בגלל ¯‬
‫ש־‪ I‬הוא אינפימום של אינטגרלי פונקציות המדרגה העליונות‪ ,‬נובע שקיימת‬
‫חלוקה ∗‪ p‬כלשהי כך ש‪:‬‬
‫‬
‫‪I¯ ≤ U (p∗ ) ≤ I¯ +‬‬
‫‪2‬‬
‫נבחר ‪ ,δ = 2M∗ Ω‬כאשר ∗ ‪ M‬הוא מספר הנקודות של החלוקה ∗‪ ,p‬וכן כמו בלמה ‪ 2‬נגדיר‬
‫)‪.Ω = sup f (x) − inf f (x‬‬
‫]‪x∈[a,b‬‬
‫]‪x∈[a,b‬‬
‫]הערה‪ :‬ייתכן כי ‪ Ω = 0‬ואז ‪ δ‬לא מוגדר‪ ,‬אולם במקרה זה בהכרח ‪ f‬פונקציה קבועה ולכן‬
‫קל לראות שמשפט דארבו מתקיים לגביה‪[.‬‬
‫תהי ‪ p‬חלוקה כלשהי של ]‪ [a, b‬שעבורה ‪ ,λ (p) < δ = 2M∗ Ω‬ותהי ∗∗‪ p‬חלוקה המקיימת‬
‫∗‪.p∗∗ = p ∪ p‬‬
‫∗∗‬
‫נסמן ב־‪ k‬את ההפרש בין מספר הנקודות של ‪ p‬לבין מספר הנקודות של ‪.p‬‬
‫נחשב‪:‬‬
‫≤ ‪I¯ ≤ U (p) ≤ U (p∗∗ ) + kλ (p) Ω ≤ U (p∗ ) + kλ (p) Ω‬‬
‫ ‪+ M ∗ 2M∗ Ω Ω = I¯ +‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪+ M ∗ δΩ = I¯ +‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪≤ U (p∗ ) + M ∗ λ (p) Ω ≤ I¯ +‬‬
‫]האי־שוויון השני נובע מלמה ‪.2‬‬
‫האי־שוויון השלישי נובע מלמה ‪.1‬‬
‫האי־שוויון הרביעי נובע מכך ש־ ∗ ‪ ,k ≤ M‬לפי בחירת החלוקות‪.‬‬
‫האי־שוויון החמישי נובע מבחירת החלוקה ∗‪ p‬בתחילת ההוכחה כך ש־ ‪,U (p∗ ) ≤ I¯ + 2‬‬
‫ומכך שבהמשך ההוכחה בחרנו את ‪ p‬כך ש־‪[.λ (p) < δ‬‬
‫מכאן נובע כי‪:‬‬
‫ ‪I¯ ≤ U (p) ≤ I¯ +‬‬
‫ ⇓‬
‫‬
‫ < ¯‪U (p) − I‬‬
‫‬
‫‪42‬‬
‫‪14.2‬‬
‫השקילות‬
‫פונקציה ]‪ f ∈ B [a, b‬אינטגרבילית אמ"ם היא אינטגרבילית רימן‪.‬‬
‫כמו־כן‪ ,‬ערך האינטגרל שלה הוא ערך אינטגרל רימן שלה‪.‬‬
‫חלק ראשון‪) :‬אינטגרביליות ⇐ אינטגרביליות רימן(‬
‫‪ˆb‬‬
‫¯‬
‫נניח כי ‪ f‬אינטגרבילית‪ ,‬משמע ‪.I = I = f dx‬‬
‫‪a‬‬
‫יהי ‪ . > 0‬ממשפט דארבו נובע כי קיים ‪ δ > 0‬כך שלכל חלוקה ‪ p‬שעבורה ‪λ (p) < δ‬‬
‫מתקיים כי‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪ˆb‬‬
‫‬
‫‬
‫ < ‪U (p) − f dx‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪a‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪ˆb‬‬
‫‬
‫‬
‫ < ‪L (p) − f dx‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪a‬‬
‫נשים לב כי לפי ההגדרות‪ ,‬כל סכום רימן ‪ S‬של ‪ f‬עבור החלוקה ‪ p‬מקיים‪:‬‬
‫)‪L (p) ≤ S ≤ U (p‬‬
‫נסיק מכך‪:‬‬
‫ ‪f dx +‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪a‬‬
‫≤ )‪f dx − ≤ L (p) ≤ S ≤ U (p‬‬
‫ ⇓‬
‫‬
‫‪´b‬‬
‫‬
‫‬
‫ < ‪S − a f dx‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪a‬‬
‫חלק שני‪) :‬אינטגרביליות רימן ⇐ אינטגרביליות(‬
‫מהנתון ש־ ‪ f‬אינטגרבילית רימן נובע שקיים מספר ממשי ‪ I ∈ R‬כך שלכל ‪ > 0‬קיים‬
‫‪ ,δ > 0‬כך שלכל סכום רימן ‪ S‬של ‪ ,f‬עבור כל חלוקה ‪ p‬בקטע ]‪ ,[a, b‬מתקיים כי‪:‬‬
‫ < |‪λ (p) < δ ⇒ |S − I‬‬
‫בפרט גם עבור )‪) σ (p‬קבוצת כל סכומי רימן המתאימים לחלוקה נתונה ‪ (p‬מתקיים‪:‬‬
‫ ‪U (p) = sup σ (p) ≤ I +‬‬
‫ ‪L (p) = inf σ (p) ≥ I −‬‬
‫נסיק מכך‪:‬‬
‫‪43‬‬
‫ ‪I¯ = lim U (p) < I +‬‬
‫‪λ(p)→0‬‬
‫ ‪I = lim L (p) > I −‬‬
‫‪λ(p)→0‬‬
‫]כי ניתן להוציא גבול משני צידי אי השוויון‪ ,‬וצד ימין לא משתנה כי הוא לא תלוי ב־)‪[.λ (p‬‬
‫נצרף את הטענה ¯‪ I ≤ I‬ונסיק כי‪:‬‬
‫‪0 ≤ I¯ − I ≤ 2‬‬
‫נשים לב שקיבלנו את האפיון הראשון לאינטגרביליות‪.‬‬
‫נשים לב גם כי‪:‬‬
‫ ‪I − ≤ I ≤ I¯ ≤ I +‬‬
‫ולכן גם נוכל להסיק כי לאינטגרל העליון והתחתון ערך אחד משותף‪ ,‬וזהו ערך האינטגרל‬
‫של ‪ .f‬‬
‫‪15‬‬
‫תנאי רימן לאינטגרביליות‬
‫]‪ f ∈ B [a, b‬אינטגרבילית אמ"מ מתקיים‪:‬‬
‫‪Wi 4xi = 0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪λ(p)→0‬‬
‫כאשר עבור כל חלוקה ) ‪ p = (x0 , x1 , ..., xn‬מסמנים‪:‬‬
‫}) ‪{f (ti‬‬
‫‪inf‬‬
‫] ‪t∈[xi−1 ,xi‬‬
‫‪{f (ti )} −‬‬
‫‪sup‬‬
‫= ‪Wi = Mi − mi‬‬
‫] ‪t∈[xi−1 ,xi‬‬
‫‪ Wi‬נקרא התנודה של ‪ f‬בקטע הסגור ] ‪.[xi−1 , xi‬‬
‫קיום הגבול שבתנאי רימן‪ ,‬הוא במובן זה שלכל ‪ > 0‬קיים ‪ δ > 0‬כך שלכל חלוקה ‪p‬‬
‫מתקיים כי‪:‬‬
‫‪ n‬‬
‫‬
‫‪X‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫ ⇒ ‪λ (p) < δ‬‬
‫ < ‪Wi 4xi‬‬
‫‬
‫‬
‫‪i=1‬‬
‫הוכחה‬
‫נחשב עבור חלוקה ‪ p‬כלשהי‪:‬‬
‫‪44‬‬
‫= ‪(Mi − mi ) 4xi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪Wi 4xi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫)‪(Mi 4xi − mi 4xi ) = U (p) − L (p‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫=‬
‫‪i=1‬‬
‫לכן תנאי רימן לפיו ‪Wi 4xi = 0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪lim‬‬
‫שקול לתנאי‪:‬‬
‫‪λ(p)→0‬‬
‫‪lim (U (p) − L (p)) = 0‬‬
‫‪λ(p)→0‬‬
‫נשים לב שלפי משפט דארבו הביטוי האחרון שקול לכך ש‪:‬‬
‫‬
‫‪lim I¯ − I = 0‬‬
‫‪λ(p)→0‬‬
‫וזה שקול לאינטגרביליות לפי האפיון הראשון שהוכחנו לאינטגרביליות‪ .‬‬
‫סימון‬
‫קבוצת הפונקציות האינטגרביליות בקטע סגור ]‪ [a, b‬מסומנת‪:‬‬
‫]‪R [a, b‬‬
‫‪45‬‬
‫‪16‬‬
‫אינווריאנטיות האינטגרל תחת הזזה )מהתרגול(‬
‫תהי ‪ f : [a, b] → R‬פונקציה אינטגרבילית‪ ,‬ויהי ‪.d ∈ R‬‬
‫נתבונן בפונקציה )‪ .g (x) = f (x − d‬פונקציה זו היא ‪.g : [a + d, b + d] → R‬‬
‫אזי מתקיים כי ‪ g‬אינטגרבילית‪ ,‬וכן‪:‬‬
‫‪b+d‬‬
‫ˆ‬
‫= ‪f (x) dx‬‬
‫‪g (x) dx‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a+d‬‬
‫הוכחה‪ :‬נוכיח כי על התחומים המתאימים מתקיים‪:‬‬
‫‪Ψf = Ψg‬‬
‫‪Φf = Φg‬‬
‫כלומר‪ ,‬קבוצת אינטגרלי פונקציות המדרגות העליונות של ‪ f‬שווה לקבוצת אינטגרלי פונקציות‬
‫המדרגות העליונות של ‪ ,g‬וכך גם לגבי פונקציות המדרגה התחתונות‪.‬‬
‫מטענה זו נסיק שמהנתון ש־ ‪ f‬אינטגרבילית‪ ,‬משמע ‪ ,inf Ψf = supΦf‬אז גם ‪g‬‬
‫אינטגרבילית כי ‪ ,inf Ψg = inf Ψf = supΦf = supΦg‬ולכן גם ערך האינטגרל שווה‪.‬‬
‫כדי להוכיח את הטענה הזו נוכיח הכלה הדדית‪ ,‬למשל בין הקבוצות ‪.Ψf , Ψg‬‬
‫תהי ‪ g ≤ ψ‬פוקציות מדרגות בקטע ]‪ [a + d, b + d‬כך ש־ ‪.I (ψ) ∈ Ψg‬‬
‫נניח כי ‪ ψ‬נתמכת על החלוקה )‪.p = (a + d = x0 , x1 , ..., xn−1 , xn = b + d‬‬
‫נתבונן בפונקציית המדרגות )‪ ψ ∗ = ψ (x + d‬בקטע ]‪ ,[a, b‬כך ש־ ‪.I (ψ) ∈ Ψf‬‬
‫ברור כי פונקציית המדרגות ‪ ψ‬נתמכת על החלוקה ‪,p = a = x∗0 , x∗1 , ..., x∗n−1 , x∗n = b‬‬
‫כאשר ‪.x∗i = xi − d‬‬
‫∗‬
‫קל לראות כי מתקיים ‪ ,f ≤ ψ‬כי‪:‬‬
‫)‪ψ ∗ (x) = ψ (x + d) ≥ g (x + d) = f (x + d − d) = f (x‬‬
‫וכי ) ∗ ‪) .I (ψ) = I (ψ‬אינטגרל הוא מספר ממשי‪ ,‬ולכן לא משנה שתחום ההגדרה השתנה(‪,‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪I (ψ) ∈ Ψg ⇒ I (ψ) ∈ Ψf‬‬
‫משמע ‪.Ψg ⊆ Ψf‬‬
‫באופן דומה ניתן להראות את ההכלה הפוכה‪ ,‬ולהסיק כי ‪ .Ψf = Ψg‬‬
‫‪46‬‬
‫‪17‬‬
‫פונקציית רימן )מהתרגול(‬
‫‪p‬‬
‫נניח כי ‪ .x ∈ R‬אם ‪ x ∈ Q‬אז הוא ניתן לכתיבה באופן יחיד‬
‫‪q‬‬
‫א‬
‫וכן ‪.gcd (p, q) = 1‬‬
‫נגדיר את פונקציית רימן‪:‬‬
‫(‬
‫‪0‬‬
‫∈ ‪for x‬‬
‫‪/Q‬‬
‫‪p‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪for x ∈ Q x‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫=‪ x‬כאשר ‪,q ∈ N ,p ∈ Z‬‬
‫∈ ‪ x‬ואינה רציפה בכל ‪.x ∈ Q‬‬
‫טענה‪ :‬פונקציית רימן רציפה בכל ‪/ Q‬‬
‫∈ ‪ .x0‬כדי להוכיח רציפות יש להראות כי לכל ‪ > 0‬קיים ‪ δ > 0‬כך ש‪:‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי ‪/ Q‬‬
‫ < |)‪|x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| = |f (x‬‬
‫]מכיוון ש־ ‪ x0‬אינו רציונלי‪ ,‬אז לפי הגדרת פונקציית רימן ‪[.f (x0 ) = 0‬‬
‫נבחר ‪ N ∈ N‬המקיים < ‪. N1‬‬
‫נגדיר קבוצה ‪ A‬באופן הבא‪:‬‬
‫ ‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫∧‬
‫) ‪∈ [x0 − 1, x0 + 1] ∧ (q ≤ N‬‬
‫= ‪A = x ∈ Q| x‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫הקבוצה ‪ A‬מכילה מספר סופי של איברים‪ ,‬מכיוון ש‪:‬‬
‫‪p‬‬
‫‪≤ x0 + 1‬‬
‫‪q‬‬
‫⇓‬
‫)‪q (x0 − 1) ≤ p ≤ q (x0 + 1‬‬
‫≤ ‪x0 − 1‬‬
‫ולכן אם נניח ש־‪ q‬חסום בהכרח שגם ‪ p‬חסום‪ ,‬ולכן תמיד יהיה ‪ δ > 0‬מספיק קטן כך שאם‬
‫∈ ‪.x‬‬
‫‪ |x − x0 | < δ‬אז ‪/ A‬‬
‫נבחר את ‪ δ > 0‬שמקיים את התנאי הנ"ל‪ ,‬ונבחן את הביטוי |)‪ |f (x‬בשני מקרים‪:‬‬
‫∈ ‪ x‬אז ‪ f (x) = 0‬ולכן ודאי < |)‪.|f (x‬‬
‫אם ‪/ Q‬‬
‫‪p‬‬
‫∈ ‪ x‬ולכן ‪ q > N‬לפי הגדרת ‪ .A‬מכאן‬
‫אם ‪ x = ∈ Q‬אז בסביבת ‪ δ‬זו מתקיים כי ‪/ A‬‬
‫‪q‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫< = |)‪ .|f (x‬‬
‫ש־ <‬
‫‪q‬‬
‫‪N‬‬
‫‪p‬‬
‫אכלומר‪ ,‬השבר‬
‫‪q‬‬
‫הוא שבר מצומצם‪.‬‬
‫‪47‬‬
‫טענה‪ :‬פונקציית רימן אינטגרבילית בכל קטע סגור‪ ,‬וערך האינטגרל שלה הוא ‪.0‬‬
‫נניח כי ]‪ [a, b‬קטע כלשהו ונניח כי‬
‫הוכחה‪ :‬נוכיח באמצעות סכומי דארבו‪.‬‬
‫)‪ p = (a = p0 < p1 < ... < pn = b‬חלוקה של הקטע‪.‬‬
‫‪ .1‬ראשית נשים לב שמהגדרת פונקציית רימן נובע עבור סכום דארבו התחתון מתקיים‪:‬‬
‫‪f (x) (pi+1 − pi ) = 0‬‬
‫‪inf‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪X‬‬
‫= ) ‪mi (pi+1 − pi‬‬
‫] ‪i=0 x∈[pi ,pi+1‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪Lf,p‬‬
‫‪i=0‬‬
‫מכאן שאינטגרל דארבו התחתון שווה ל־‪.0‬‬
‫‪ .2‬נוכיח כעת שגם אינטגרל דארבו העליון שווה ל־‪ .0‬לשם נראה שלכל ‪ > 0‬קיימת חלוקה‬
‫‪ ,p‬כך שעבור סכום דארבו העליון מתקיים‪:‬‬
‫ < ) ‪f (x) (pi+1 − pi‬‬
‫‪sup‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪X‬‬
‫= ) ‪Mi (pi+1 − pi‬‬
‫] ‪i=0 x∈[pi ,pi+1‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪Uf,p‬‬
‫‪i=0‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫<‬
‫יהי ‪ . > 0‬נבחר ‪ N ∈ N‬כך ש־‬
‫‪N‬‬
‫)‪2 (b − a‬‬
‫נגדיר קבוצה ‪ A‬באופן הבא‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫≥ )‪A = x ∈ [a, b] |f (x‬‬
‫)‪2 (b − a‬‬
‫‪.‬‬
‫∈ ‪ x‬מתקיים תמיד ‪ (f (x) = 0‬וכן‪:‬‬
‫נשים לב שאם ‪ x ∈ A‬אז ‪) x ∈ Q‬כי עבור ‪/ Q‬‬
‫ ‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪p‬‬
‫‪1‬‬
‫>‬
‫‪f (x) = f‬‬
‫≥ =‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫)‪2 (b − a‬‬
‫‪N‬‬
‫מכאן שהקבוצה ‪ A‬מוכלת בקבוצה ‪ B‬הבאה‪:‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪p‬‬
‫> | ]‪∈ [a, b‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪N‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫>‬
‫נשים לב ש־‪ B‬היא קבוצה סופית‪ ,‬כי‬
‫‪q‬‬
‫‪N‬‬
‫בהכרח בקבוצה ‪ A‬יש מספר סופי של איברים‪.‬‬
‫‪48‬‬
‫‬
‫=‪B‬‬
‫⇔ ‪ q < N‬ו־ ‪ q, N‬מספרים טבעיים‪ ,‬ולכן‬
‫‪ .3‬נדון בשני מקרים‪ A :‬ריקה או ‪ A‬אינה ריקה‪.‬‬
‫‬
‫אם ‪ A‬ריקה‪ ,‬אז כל ]‪ x ∈ [a, b‬מתקיים‬
‫)‪2 (b − a‬‬
‫עבור סכום דארבו העליון‪:‬‬
‫‬
‫= ) ‪(pi+1 − pi‬‬
‫)‪2 (b − a‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪X‬‬
‫< )‪ ,f (x‬ולכן לכל חלוקה ‪ ,p‬מתקיים‬
‫≤ ) ‪Mi (pi+1 − pi‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪Uf,p‬‬
‫‪i=0‬‬
‫‪i=0‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪X‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫= ) ‪(pi+1 − pi‬‬
‫ < = )‪(a − b‬‬
‫‪2 (b − a) i=0‬‬
‫)‪2 (b − a‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫ותהי =‬
‫אם ‪ A‬אינה ריקה‪ ,‬נסמן ב־‪ k‬את מספר האיברים ב־‪.A‬‬
‫)‪ (a = p0 < p1 < ... < pn = b‬חלוקה כלשהי‪ .‬נסמן‪:‬‬
‫‪p‬‬
‫}] ‪I1 = {i = 0, ..., n − 1|∃x ∈ A x ∈ [pi , pi+1‬‬
‫∈ ‪I2 = {i = 0, ..., n − 1|i‬‬
‫} ‪/ I1‬‬
‫נשים לב שכל נקודה ששייכת ל־‪ A‬יכולה להיות שייכת לשני קטעים )כי קטעי החלוקה אינם‬
‫זרים( ולכן סך הכל ייתכנו ‪ 2k‬נקודות ב־ ‪.I1‬‬
‫‬
‫אם ] ‪ x ∈ [pi , pi+1‬עבור ‪ ,i ∈ I2‬אז מתקיים‬
‫∈ ‪.x‬‬
‫< )‪ ,f (x‬כי ‪/ A‬‬
‫)‪ 2 (b − a‬‬
‫‪p‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ,f (x) = f‬כי ‪ q‬מספר טבעי‪.‬‬
‫אם ] ‪ x ∈ [pi , pi+1‬עבור ‪ ,i ∈ I1‬אז מתקיים ‪= ≤ 1‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫נחשב‪:‬‬
‫) ‪Mi (pi+1 − pi‬‬
‫‪X‬‬
‫‪Mi (pi+1 − pi ) +‬‬
‫‪i∈I2‬‬
‫‪X‬‬
‫= ) ‪Mi (pi+1 − pi‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪Uf,p‬‬
‫‪i=0‬‬
‫‪i∈I1‬‬
‫נשים לב שמתקיים עבור כל אחד משני הביטויים‪:‬‬
‫)‪1 · λ (p) ≤ 2kλ (p‬‬
‫‪P‬‬
‫‪i∈I1‬‬
‫≤ )‪Mi λ (p‬‬
‫‬
‫≤ ) ‪(pi+1 − pi‬‬
‫)‪2 (b − a‬‬
‫‪X‬‬
‫‪P‬‬
‫‪i∈I1‬‬
‫≤ ) ‪Mi (pi+1 − pi‬‬
‫≤ ) ‪Mi (pi+1 − pi‬‬
‫‪i∈I2‬‬
‫‪i∈I2‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫≤ ) ‪(pi+1 − pi‬‬
‫= )‪(b − a‬‬
‫)‪2 (b − a‬‬
‫)‪2 (b − a‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫מכאן ש‪< :‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫< )‪ λ (p‬מתקיים <‬
‫נסיק שעבור‬
‫‪4k‬‬
‫‪Uf,p ≤ 2kλ (p) +‬‬
‫‬
‫‪ .Uf,p‬נבחר‬
‫‪4k‬‬
‫‪49‬‬
‫‪X‬‬
‫‪2.‬‬
‫= ‪ .δ‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=0‬‬
‫≤‬
‫‪P‬‬
‫‪i∈I1‬‬
‫‪1.‬‬
‫תנודה‬
‫‪18‬‬
‫התנודה של פונקציה ‪ f : D → R‬בתת־קטע ‪) I ⊆ D‬פתוח או סגור( מוגדרת ומסומנת‪:‬‬
‫|)‪WI (f ) = MI − mI = supf (x) − inf f (x) = sup |f (x) − f (y‬‬
‫‪x∈I‬‬
‫‪x,y∈I‬‬
‫‪x∈I‬‬
‫]השוויון האחרון נובע מתכונות החסם העליון והתחתון‪[.‬‬
‫אריתמטיקה של האינטגרל המסוים‬
‫‪19‬‬
‫יהיו ]‪ f, g ∈ B [a, b‬ויהי ‪ .c ∈ R‬אזי‪:‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪f dx ≥ 0 .1‬‬
‫⇒ ‪) f ≥ 0‬טענה זו היא מקרה פרטי של הטענה הבאה(‬
‫‪a‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫≥ ‪f dx‬‬
‫‪gdx .2‬‬
‫‪a‬‬
‫⇒‪f ≥g‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪ c · f ∈ R [a, b] .3‬וכן ‪f dx‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫· ‪c · f dx = c‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫= ‪(f ± g) dx‬‬
‫‪f dx ±‬‬
‫‪ f ± g ∈ R [a, b] .4‬וכן ‪gdx‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫הוכחות‬
‫נזכור שהגדרנו אינטגרביליות רימן )סעיף ‪ (12.3‬עבור פונקציה כלשהי ]‪ ,f ∈ B [a, b‬אם קיים‬
‫‪ I ∈ R‬כך שלכל חלוקה ‪ p‬של הקטע ]‪ [a, b‬ולכל סכום רימן ‪ S‬מתאים לחלוקה ‪ ,p‬מתקיים‪:‬‬
‫‪f (ti ) 4xi = I‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪lim S = lim‬‬
‫‪λ(p)→0‬‬
‫‪λ(p)→0‬‬
‫‪ .1‬מהנתון ‪ f ≥ 0‬נובע שלכל ‪ ti‬מתקיים כי ‪ ,f (ti ) ≥ 0‬ולכן מתכונות של גבולות נובע‬
‫גם‪:‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪f dx ≥ 0‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ .2‬הוכחה באותו אופן‬
‫‪50‬‬
‫‪ .3‬טענה זו מכילה שתי טענות נפרדות‪ :‬שהפונקציה ‪ c · f‬אינטגרבילית‪ ,‬ושערך האינטגרל‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫שלה הוא ‪. c · f dx = c · f dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫נוכיח את שתי הטענות יחד‪:‬‬
‫= ‪(c · f ) (ti ) 4 xi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪c · f dx = lim‬‬
‫‪λ(p)→0‬‬
‫‪a‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪c · f (ti ) 4 xi‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫· ‪f (ti ) 4 xi = c‬‬
‫‪f dx‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪λ(p)→0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪= c · lim‬‬
‫‪λ(p)→0‬‬
‫‪ .4‬גם טענה זו מכילה שתי טענות נפרדות מאותה צורה‪.‬‬
‫נוכיח את שתי הטענות יחד‪:‬‬
‫= ‪(f ± g) (ti ) 4 xi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪(f ± g) dx = lim‬‬
‫‪λ(p)→0‬‬
‫‪a‬‬
‫= ‪(f (ti ) ± g (ti )) 4 xi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫= ‪g (ti ) 4 xi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪f (ti ) 4 xi ±‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪λ(p)→0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪λ(p)→0‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪f dx ±‬‬
‫‪gdx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪20‬‬
‫‪= lim‬‬
‫=‬
‫‪a‬‬
‫הקבוצה ]‪R [a, b‬‬
‫כמסקנה מהמשפט האחרון נובע שקבוצת הפונקציות האינטגרביליות בקטע ]‪ [a, b‬שמסומנת‬
‫]‪ ,R [a, b‬היא מרחב וקטורי מעל ‪.R‬‬
‫נוכיח מיד את הטענה כי ]‪ R [a, b‬סגורה לכפל‪ ,‬ולכן היא אלגברה‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫נניח כי ]‪.f, g ∈ R [a, b‬‬
‫‪51‬‬
‫נשתמש בתנאי רימן לאינטגרביליות שקובע שפונקציה ]‪ h ∈ B [a, b‬כלשהי אינטגרבילית‬
‫אמ"מ מתקיים‪:‬‬
‫‪Wi 4xi = 0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪λ(p)→0‬‬
‫כאשר עבור כל חלוקה ) ‪ p = (x0 , x1 , ..., xn‬מסמנים‪:‬‬
‫)‪f (t‬‬
‫‪f (t) −‬‬
‫‪inf‬‬
‫] ‪t∈[xi−1 ,xi‬‬
‫‪sup‬‬
‫= ‪Wi‬‬
‫] ‪t∈[xi−1 ,xi‬‬
‫נתון כי ‪ f, g‬חסומות בקטע‪ ,‬ולכן קיימים ‪ k, l ∈ R‬כך ש‪:‬‬
‫‪|f | ≤ k , |g| ≤ l‬‬
‫מכאן ברור שגם הפונקציה ‪ f · g‬חסומה ע"י ‪.kl‬‬
‫מכאן נסיק שלכל חלוקה ‪ p‬נתונה ולכל זוג נקודות ] ‪ s, t ∈ [xi−1 , xi‬מתקיים‪:‬‬
‫= |)‪|(f g) (t) − (f g) (s)| = |f (t) g (t) − f (s) g (s‬‬
‫≤ |)‪= |f (t) g (t) − f (s) g (t) + f (s) g (t) − f (s) g (s‬‬
‫= |)‪≤ |f (t) g (t) − f (s) g (t)| + |f (s) g (t) − f (s) g (s‬‬
‫≤ |)‪= |f (t) − f (s)| |g (t)| + |g (t) − g (s)| |f (s‬‬
‫‪≤ W (f ) · l + Wi (g) · k‬‬
‫מכיוון שאי־שוויון זה נכון לכל זוג נקודות ] ‪ s, t ∈ [xi−1 , xi‬נסיק שמתקיים עבור התנודה‬
‫של המכפלה‪:‬‬
‫‪Wi (f g) ≤ W (f ) · l + Wi (g) · k‬‬
‫מכאן שעבור פונקציית המכפלה מתקיים תנאי רימן לאינטגרביליות‪:‬‬
‫= ‪[Wi (f ) · l + Wi (g) · k] 4xi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫= ‪Wi (g) · k · 4xi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪Wi (f g) 4xi ≤ lim‬‬
‫‪λ(p)→0‬‬
‫‪Wi (f ) · l · 4xi + lim‬‬
‫‪λ(p)→0‬‬
‫‪Wi (g) · 4xi = l · 0 + k · 0 = 0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‬
‫‪52‬‬
‫‪λ(p)→0‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪λ(p)→0‬‬
‫‪Wi (f ) · 4xi + k · lim‬‬
‫‪λ(p)→0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪= l · lim‬‬
‫‪λ(p)→0‬‬
‫הערה‬
‫פונקציה ‪ I‬שמחזירה את ערך האינטגרל של פונקציה מהקבוצה ]‪ ,R [a, b‬היא פונקציה‬
‫מהצורה ‪ I : R [a, b] → R‬ולכן היא פונקציונאל לינארי במרחב ]‪.R [a, b‬‬
‫‪21‬‬
‫תכונות של תחום האינטגרביליות‬
‫טענה ‪1‬‬
‫אם ]‪ f ∈ R [a, b‬אז גם לכל ]‪ α, β ∈ [a, b‬מתקיים ]‪.f ∈ R [α, β‬‬
‫מסקנה‬
‫]‪ f ∈ R [a, b‬אמ"מ לכל ]‪ [α, β] ⊆ [a, b‬מתקיים כי ]‪.f ∈ R [α, β‬‬
‫הכיוון הראשון נובע מהטענה הנ"ל שמייד נוכיח‪ ,‬והכיוון השני טריוויאלי‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫נתון כי ‪ f‬אינטגרבילית על ]‪.[a, b‬‬
‫מתנאי רימן נובע שלכל ‪ > 0‬קיים ‪ ,δ > 0‬כך שלכל חלוקה ) ‪ p = (x0 , x1 , ..., xn‬שעבורה‬
‫‪ λ (p) < δ‬מתקיים‪:‬‬
‫ < ‪Wi 4xi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫תהי ) ‪ p∗ = (x∗0 , x∗1 , ..., x∗m‬חלוקה של קטע ]‪ ,[α, β‬שעבורה גם כן מתקיים ‪.λ (p∗ ) < δ‬‬
‫נרחיב את ∗‪ p‬להיות חלוקה של הקטע ]‪ ,[a, b‬תוך שמירה על פרמטר חלוקה ‪,λ (p∗ ) < δ‬‬
‫חלוקה‪.‬‬
‫‬
‫ונניח שמתקבלות ‪ n‬נקודות ‬
‫‪#‬‬
‫‪#‬‬
‫‪#‬‬
‫‪#‬‬
‫‪#‬‬
‫נסמן את החלוקה שהתקבלה ‪ ,p = x0 , x1 , ..., xn‬ונשים לב כי ‪ p‬היא חלוקה של‬
‫‬
‫]‪ [a, b‬שעבורה ‪.λ p# < δ‬‬
‫לכן מתנאי רימן נובע כי‪:‬‬
‫‪Wi 4x#‬‬
‫< ‪i‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫≤ ‪Wi 4x∗i‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‬
‫טענה ‪2‬‬
‫יהי ]‪ c ∈ [a, b‬ממשי ותהי ‪.f : [a, b] → R‬‬
‫אם ]‪ f ∈ R [a, c‬וגם ]‪ ,f ∈ R [c, b‬אזי ]‪,f ∈ R [a, b‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪f dx‬‬
‫‪10‬‬
‫וכן‪:‬‬
‫‪ˆc‬‬
‫‪f dx +‬‬
‫‪c‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫= ‪f dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪10‬גם הכיוון השני של המשפט נכון‪ ,‬כפי שנובע מהמשפט הקודם‪.‬‬
‫‪53‬‬
‫‪a‬‬
‫מסקנה‬
‫]‪ f ∈ R [a, b‬אמ"מ לכל ]‪) [α, β] ⊂ [a, b‬הכלה ממש( מתקיים כי ]‪.f ∈ R [α, β‬‬
‫]מסקנה זו מרחיבה את המסקנה של המסקנה מהטענה הקודמת‪[.‬‬
‫הוכחה‬
‫תהי ) ‪ p = (x0 , x1 , ..., xn‬חלוקה של ]‪ ,[a, b‬שעבורה מתקיים )]‪λ (p) < min ([c − a] , [b − c‬‬
‫עבור ‪ c‬פנימית כלשהי‪ .‬קיים ‪ 0 < j < n‬יחיד שעבורו מתקיים ‪.xj ≤ c < xj+1‬‬
‫‪ .1‬נגדיר חלוקה ∗‪ p‬המתקבלת מ־‪ p‬באמצעות הוספת הנקודה ‪ c‬לחלוקה‪ .‬אם ‪c = xj‬‬
‫מתקיים ∗‪ ,p = p‬ואחרת מתקיים ∗‪.p ⊂ p‬‬
‫נסמן את נקודות החלוקה החדשה באופן הבא‪:‬‬
‫) ‪p∗ = (y0 , y1 , ..., ym‬‬
‫אם ‪ c = xj‬אז ∗‪ p = p‬ולכן גם ‪ m = n‬ואם לא אז ‪.m = n + 1‬‬
‫בחלוקה ∗‪ p‬קיים ‪ 0 < l < m‬יחיד כך ש־‪ ,yl = c‬כאשר ‪ l = j‬או ‪ ,l = j + 1‬בהתאמה‪ ,‬כך‬
‫ש־ ‪.xj ≤ yl = c < xj+1‬‬
‫‪ .2‬נתבונן בסכום רימן ‪ S‬שמתאים לפונקציה ‪ f‬עם החלוקה ‪ p‬ולבחירה כלשהי של ערכים‬
‫] ‪ ,ti ∈ [xi−1 , xi‬כאשר ‪:i = 1, ..., n‬‬
‫= ) ‪f (ti ) (xi − xi−1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫=‪S‬‬
‫‪i=1‬‬
‫= ) ‪f (ti ) (xi − xi−1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪f (ti ) (xi − xi−1 ) +‬‬
‫‪i=j+1‬‬
‫= ) ‪f (ti ) (xi − xi−1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪j‬‬
‫‪X‬‬
‫=‬
‫‪i=1‬‬
‫‪f (ti ) (xi − xi−1 ) + f (tj+1 ) (xj+1 − xj ) +‬‬
‫‪i=j+2‬‬
‫‪j‬‬
‫‪X‬‬
‫=‬
‫‪i=1‬‬
‫‪f (ti ) (xi − xi−1 ) + [(l − j) f (c) (yl − yl−1 ) +‬‬
‫‪j‬‬
‫‪X‬‬
‫=‬
‫‪i=1‬‬
‫‪f (ti ) (xi − xi−1 )+‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪+ f (c) (yl+1 − yl )] +‬‬
‫‪i=j+2‬‬
‫]) ‪+f (tj+1 ) (xj+1 − xj ) − [(l − j) f (c) (yl − yl−1 ) + f (c) (yl+1 − yl‬‬
‫]השוויון השני הוא פיצול של הסכום לשני סכומים‪.‬‬
‫השוויון השלישי הוא פיצול של שני הסכומים לשלושה‪ ,‬ללא שינוי של האיברים‪.‬‬
‫השוויון הרביעי הוא הוספה והחסרה של הביטוי ) ‪[.(l − j) f (c) (yl − yl−1 )+f (c) (yl+1 − yl‬‬
‫נשים לב לביטוי האחרון שהתקבל‪:‬‬
‫‪54‬‬
‫• השורה הראשונה מייצגת את סכום רימן על הקטע ]‪ ,[a, c‬עם חלוקה כלשהי שהפרמטר‬
‫שלה קטן מ־)‪) λ (p‬כי היא מוכלת בחלוקה ‪.(p‬‬
‫מהנתון ש־ ‪ f‬אינטגרבילית על ]‪ [a, c‬נסיק שסדרת סכומי רימן על ]‪ [a, c‬תתכנס‬
‫‪ˆc‬‬
‫ל־‪f dx‬‬
‫‪a‬‬
‫• השורה השנייה )למעט האיבר האחרון( מייצגת את סכום רימן על הקטע ]‪ ,[c, b‬עם‬
‫חלוקה כלשהי שהפרמטר שלה קטן מ־)‪) λ (p‬כי היא מוכלת בחלוקה ‪.(p‬‬
‫מהנתון ש־ ‪ f‬אינטגרבילית על ]‪ [c, b‬נסיק שסדרת סכומי רימן על ]‪ [c, b‬תתכנס ל‪-‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪. f dx‬‬
‫‪c‬‬
‫• השורה השלישית קטנה כרצוננו עבור )‪ λ (p‬מספיק קטן‪ ,‬כי‪:‬‬
‫≤ ) ‪f (tj+1 ) (xj+1 − xj ) − (l − j) f (c) (yl − yl−1 ) − f (c) (yl+1 − yl‬‬
‫)‪≤ f (tj+1 ) λ (p) − (l − j) f (c) λ (p) − f (c) λ (p‬‬
‫לכן לכל סכום רימן ‪ S‬על הקטע ]‪ [a, b‬מתקיים שאם ‪ λ (p) < δ‬אז < ‪ ,S‬ולכן מתנאי‬
‫רימן לאינטגרביליות נובע כי הפונקציה אינטגרבילית על ]‪.[a, b‬‬
‫כמו־כן מהביטוי של סכום רימן הכללי ‪ S‬כסכום של שני הסכומים המתאימים על תתי‬
‫הקטעים‪ ,‬ניתן להסיק שהאינטגרל הוא סכום האינטגרלים בתתי הקטעים‪ .‬‬
‫‪22‬‬
‫אינטגרביליות של פונקציה מורכבת‬
‫תהי ]‪ ,f ∈ R [a, b] ,f : [a, b] → [c, d‬ותהי ‪ g : [c, d] → R‬פונקציה רציפה‪.‬‬
‫אזי להרכבה ‪ g ◦ f : [a, b] → R‬מתקיים ]‪.g ◦ f ∈ R [a, b‬‬
‫הוכחה‬
‫נוכיח שמתקיים תנאי רימן לאינטגרביליות‪.‬‬
‫נתון שהפונקציה ‪ g‬רציפה בקטע סגור ולכן היא חסומה‪,‬‬
‫ש־‪.|g| ≤ m‬‬
‫‪12‬‬
‫מאותו נתון גם נובע ש־‪ g‬רציפה במידה שווה בקטע‪.‬‬
‫יהי ‪ . > 0‬מכך ש־‪ g‬רציפה במידה שווה נובע שקיים ‪ δ1 > 0‬כך שלכל ]‪ x, y ∈ [c, d‬אם‬
‫‬
‫‪ |x − y| < δ1‬אז‬
‫< |)‪.|g (x) − g (y‬‬
‫)‪2 (b − a‬‬
‫מהנתון ש־ ‪ f‬אינטגרבילית על ]‪ [a, b‬נובע מתנאי רימן לאינטגרביליות שעבור שבחרנו קיים‬
‫‪ ,δ2 > 0‬כך שלכל חלוקה ) ‪ p = (x0 , x1 , ..., xn‬של ]‪ [a, b‬מתקיים שאם ‪ λ (p) < δ2‬אז‪:‬‬
‫‪11‬‬
‫‪δ1‬‬
‫‪4m‬‬
‫< ) ‪Wi (f ) (xi − xi−1‬‬
‫משמע קיים ‪ 0 < m ∈ R‬כך‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪11‬ממשפט החסימות של ויירשטראס‪.‬‬
‫‪12‬ממשפט קנטור לרציפות במידה שווה‪.‬‬
‫‪55‬‬
‫נשים לב שמכאן נובע שלכל האיברים שעבורם ‪ Wi (f ) < δ1‬מתקיים‪:‬‬
‫‬
‫)‪2 (b − a‬‬
‫≤ |))‪|g (f (s)) − g (f (t‬‬
‫= ) ‪Wi (g ◦ f‬‬
‫‪sup‬‬
‫] ‪s,t∈[xi−1 ,xi‬‬
‫כמו כן‪ ,‬עבור אותם איברים שעבורם ‪ Wi (f ) ≥ δ1‬מתקיים‪:‬‬
‫‪δ1‬‬
‫‪4m‬‬
‫‪X‬‬
‫< ) ‪Wi (f ) (xi − xi−1‬‬
‫‪X‬‬
‫≤ ) ‪δ1 · (xi − xi−1‬‬
‫) ‪δ1 ≤Wi (f‬‬
‫) ‪δ1 ≤Wi (f‬‬
‫נצמצם את ‪ δ1‬משני צידי אי השוויון ונקבל‪:‬‬
‫‬
‫‪4m‬‬
‫‪X‬‬
‫< ) ‪(xi − xi−1‬‬
‫) ‪δ1 ≤Wi (f‬‬
‫נחשב את הביטוי שנדרש בתנאי רימן לאינטגרביליות‪:‬‬
‫= ) ‪Wi (g ◦ f ) (xi − xi−1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪X‬‬
‫< ) ‪Wi (g ◦ f ) (xi − xi−1‬‬
‫‪Wi (g ◦ f ) (xi − xi−1 ) +‬‬
‫) ‪δ1 ≤Wi (f‬‬
‫) ‪δ1 >Wi (f‬‬
‫‬
‫= ) ‪(xi − xi−1‬‬
‫)‪2 (b − a‬‬
‫< ) ‪(xi − xi−1‬‬
‫‪X‬‬
‫) ‪δ1 >Wi (f‬‬
‫‪X‬‬
‫‪(xi − xi−1 ) +‬‬
‫אי־שוויון המשולש האינטגרלי‬
‫תהי ‪ f‬פונקציה אינטגרבילית על ]‪ ,[a, b‬אזי תמיד‪:‬‬
‫‪ b‬‬
‫‬
‫ˆ‬
‫‪ ˆb‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ f dx ≤ |f | dx‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪a‬‬
‫הוכחה‬
‫‪56‬‬
‫‪X‬‬
‫) ‪δ1 ≤Wi (f‬‬
‫מכאן שמתקיים תנאי רימן עבור ההרכבה‪ .‬‬
‫‪a‬‬
‫<‬
‫) ‪δ1 ≤Wi (f‬‬
‫) ‪δ1 >Wi (f‬‬
‫‬
‫)‪2 (b − a‬‬
‫‪X‬‬
‫‪2m (xi − xi−1 ) +‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪+‬‬
‫ = ‪(b − a) = +‬‬
‫)‪4m 2 (b − a‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪23‬‬
‫‪X‬‬
‫‪< 2m‬‬
‫‪= 2m‬‬
‫=‬
‫‪ .1‬ראשית נראה כי הביטוי מוגדר‪.‬‬
‫הרכבה של פונקציה רציפה על ‪ f‬נותנת פונקציה אינטגרבילית‪ 13 ,‬ולכן בפרט הרכבה‬
‫של פונקציית הערך המוחלט על ‪ f‬היא פונקציה אינטגרבילית על ]‪ ,[a, b‬ולכן הביטוי‬
‫‪ˆb‬‬
‫מוגדר‪.‬‬
‫‪|f | dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ .2‬נוכיח כעת את אי השוויון‪.‬‬
‫נניח כי ) ‪ p = (x0 , x1 , ..., xn‬חלוקה כלשהי של הקטע ]‪ ,[a, b‬ותהי ] ‪ti ∈ [xi−1 , xi‬‬
‫בחירה כלשהי של נקודות בקטעים המתאימים‪ ,‬אזי מאי־שוויון המשולש נובע שמתקיים‬
‫עבור סכומי רימן המתאימים‪:‬‬
‫‪ n‬‬
‫‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ X‬‬
‫‬
‫‬
‫≤ ) ‪f (ti ) (xi − xi−1‬‬
‫) ‪|f (ti )| (xi − xi−1‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪i=1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫לפי הגדרת אינטגרביליות רימן‪ ,‬ערך האינטגרל של פונקציה הוא ערך הגבול של סכומי‬
‫רימן כאשר פרמטר החלוקה ‪.λ (p) → 0‬‬
‫מאריתמטיקה של גבולות נובע שאם ניקח גבול משני צידי אי השוויון שהתקבל הוא‬
‫יישמר‪ ,‬ולכן ערך האינטגרלים משמר את אי השוויון הנ"ל‪ .‬‬
‫‪13‬הוכחנו בסעיף ‪.22‬‬
‫‪57‬‬
‫חלק‬
‫‪IV‬‬
‫הקשר בין הפונקציה הקדומה לאינטגרל‬
‫המסוים‬
‫‪24‬‬
‫הפונקציה ‪F‬‬
‫נניח כי ]‪.f ∈ R [a, b‬‬
‫הוכחנו ש־ ‪ f‬גם אינטגרבילית בכל קטע מהצורה ]‪ [a, x‬עבור ‪.a ≤ x ≤ b‬‬
‫‪ˆx‬‬
‫נגדיר את הפונקציה ‪ F‬להיות ‪.F (x) = f (t) dt‬‬
‫‪14‬‬
‫‪a‬‬
‫מהטענה שהזכרנו נובע שהביטוי מוגדר היטב ו־ ‪ F‬פונקציה של ‪ x‬שמוגדרת בקטע ]‪.[a, b‬‬
‫‪24.1‬‬
‫רציפות ‪F‬‬
‫‪ˆx‬‬
‫אם ]‪ ,f ∈ R [a, b‬אזי הפונקציה ‪f dt‬‬
‫= )‪ F (x‬רציפה בקטע ]‪.[a, b‬‬
‫‪15‬‬
‫‪a‬‬
‫הערה‬
‫עבור ]‪ ,f ∈ R [a, b‬מטעמי נוחות מגדירים‪:‬‬
‫‪ˆa‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪f dx = −‬‬
‫‪f dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫הוכחה‬
‫יהי ‪ a ≤ x ≤ b‬ויהי ‪ 4x‬מספר ממשי כלשהו‪ ,‬המקיים ‪.a ≤ x + 4x ≤ b‬‬
‫נשים לב שמתקיים‪:‬‬
‫‪16‬‬
‫‪ x+4x‬‬
‫‬
‫ˆ ‬
‫‬
‫‪ˆx‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫ = |)‪|F (x + 4x) − F (x‬‬
‫= ‪f (t) dt − f (t) dt‬‬
‫‬
‫‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫!‬
‫|‪sup |f (t)| |4x‬‬
‫]‪t∈[a,b‬‬
‫‪ x+4x‬‬
‫‬
‫ˆ ‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫ =‬
‫≤ ‪f (t) dt‬‬
‫‬
‫‬
‫‪x‬‬
‫‪ˆa‬‬
‫‪14‬כאשר ‪ x = a‬מגדירים ‪f (t) dt = 0‬‬
‫‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪15‬בתנאי המשפט הנוכחי ‪ F‬לא בהכרח גזירה‪.‬‬
‫‪ 4x16‬מספר חיובי או שלילי‪ ,‬ולכן הוא מוגדר היטב תחת תנאי זה‪.‬‬
‫‪58‬‬
‫מכאן שכאשר ‪ |4x| → 0‬אז הביטוי |)‪ |F (x + 4x) − F (x‬שואף ל־‪ ,0‬ולכן ‪ F‬רציפה‬
‫ב־‪ .x‬‬
‫המשפט היסודי של החדו"א )ונספחים(‬
‫‪25‬‬
‫בכל חלקי המשפט נעבוד תחת ההנחות הבאות‪:‬‬
‫‪ f : [a, b] → R‬פונקציה אינטגרבילית בתחום ההגדרה‪ ,‬כלומר ]‪.f ∈ R [a, b‬‬
‫‪ˆx‬‬
‫‪ F‬פונקציה המוגדרת להיות ‪.F (x) = f (t) dt‬‬
‫‪a‬‬
‫‪25.1‬‬
‫טענה ‪ F :1‬כפונקציה קדומה בנקודות שבהן ‪ f‬רציפה‬
‫בכל נקודה ]‪ x ∈ [a, b‬שבה ‪ f‬רציפה‪ ,‬מתקיים כי הפונקציה )‪ F (x‬גזירה )ובפרט גם רציפה(‪,‬‬
‫ומתקיים השוויון‪:‬‬
‫)‪F 0 (x) = f (x‬‬
‫הערה ‪1‬‬
‫הטענה תקפה גם בנקודות שבקצות הקטע‪ ,‬עבור רציפות וגזירות חד־צדדיות‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬אם ‪ f‬רציפה בנקודת קצה מכיוון אחד‪ ,‬מתקיים השוויון )‪ F 0 (x) = f (x‬עבור ‪F 0‬‬
‫שהיא נגזרת חד־צדדית בכיוון המתאים‪.‬‬
‫הערה ‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫הכיוון השני של הגרירה אינו נכון‪ .‬כלומר‪ ,‬ייתכן שקיימות פונקציות ‪ F, f‬כך ש־= )‪F (x‬‬
‫)‪ ,f (x‬ועדיין ‪ f‬לא תהיה רציפה ב־‪.x‬‬
‫הוכחה‬
‫תהי ]‪ x0 ∈ [a, b‬נקודה שבה ‪ f‬רציפה‪ .‬כדי להראות את השוויון ) ‪ F 0 (x0 ) = f (x0‬נוכיח‬
‫ביטוי שקול שמתקבל מהגדרת הנגזרת‪:‬‬
‫) ‪F (x0 + ∆x) − F (x0‬‬
‫‪− f (x0 ) = 0‬‬
‫‪∆x‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪∆x→0‬‬
‫נחשב תוך שימוש בהגדרת הפונקציה ‪:F‬‬
‫)‪f (x0 ) (x + ∆x − x‬‬
‫=‬
‫‪∆x‬‬
‫‪x0ˆ+∆x‬‬
‫‪f (t) dt −‬‬
‫) ‪F (x0 + ∆x) − F (x0‬‬
‫‪1‬‬
‫= ) ‪− f (x0‬‬
‫‪∆x‬‬
‫‪∆x‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪x0ˆ+∆x‬‬
‫‪(f (t) − f (x0 )) dt‬‬
‫‪x0ˆ+∆x‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪f (x0 ) dt‬‬
‫‪∆x‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪59‬‬
‫‪x0ˆ+∆x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f (t) dt −‬‬
‫‪∆x‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪∆x‬‬
‫נראה כי הביטוי שהתקבל מתכנס ל־‪.0‬‬
‫יהי ‪ . > 0‬מהנתון ש־ ‪ f‬רציפה נובע שקיים ‪ δ > 0‬כך שאם ‪ |t − x0 | < δ‬אז‬
‫ < |) ‪.|f (t) − f (x0‬‬
‫נניח כי ‪ ,0 < |∆x| < δ‬אז עבור ]‪ t ∈ [x0 , x0 + ∆x‬מתקיים ‪ |t − x0 | < δ‬ולכן‬
‫ < |) ‪.|f (t) − f (x0‬‬
‫נסיק‪:‬‬
‫‬
‫‪ x +∆x‬‬
‫‪ x +∆x‬‬
‫‬
‫ˆ‪ 0‬‬
‫ˆ‪ 0‬‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫≤ ‪|f (t) − f (x0 )| dt‬‬
‫ ≤ ‪(f (t) − f (x0 )) dt‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫‪x0‬‬
‫‪x0‬‬
‫|‪≤ |f (t) − f (x0 )| · |∆x| < · |∆x‬‬
‫מכאן שמתקיים‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫) ‪ F (x0 + ∆x) − F (x0‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫≤ ) ‪− f (x0‬‬
‫ = |‪· · |∆x‬‬
‫‬
‫‪∆x‬‬
‫|‪|∆x‬‬
‫מכאן שלכל ‪ > 0‬קיים ‪ δ > 0‬כך שערך הביטוי קטן מ־‪ ,‬ולכן מתקיים לכל ‪ x0‬שבו ‪f‬‬
‫רציפה‪:‬‬
‫) ‪F (x0 + ∆x) − F (x0‬‬
‫‪− f (x0 ) = 0‬‬
‫‪∆x→0‬‬
‫‪∆x‬‬
‫⇓‬
‫) ‪F (x0 + ∆x) − F (x0‬‬
‫‪lim‬‬
‫) ‪= f (x0‬‬
‫‪∆x→0‬‬
‫‪∆x‬‬
‫⇓‬
‫) ‪F 0 (x0 ) = f (x0‬‬
‫‪lim‬‬
‫‬
‫‪25.2‬‬
‫טענה ‪ F :2‬כפונקציה קדומה בקטע שבו ‪ f‬רציפה‬
‫‪ .1‬אם ‪ f‬פונקציה רציפה על ]‪ ,[a, b‬אז קיימת לה פונקציה קדומה בקטע זה‪.‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ f‬פונקציה רציפה על ]‪ ,[a, b‬אז ‪ F‬היא פונקציה קדומה של ‪ f‬בקטע זה‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫נוכיח כי ‪ F‬פונקציה קדומה של ‪ f‬בקטע ]‪ [a, b‬ומכך ינבע כמובן קיום של פונקציה קדומה‪.‬‬
‫‪ˆx‬‬
‫נתון ש־ ‪ f‬רציפה על ]‪ ,[a, b‬לכן היא אינטגרבילית בקטע‪ 17 ,‬ולכן הפונקציה ‪F (x) = f (t) dt‬‬
‫‪a‬‬
‫מוגדרת היטב בקטע ]‪.[a, b‬‬
‫מהטענה הראשונה של המשפט היסודי של החדו"א נובע שכאשר ‪ f‬רציפה בנקודה ]‪,x ∈ [a, b‬‬
‫הפונקציה ‪ F‬גזירה ומקיימת )‪ ,F 0 (x) = f (x‬משמע שבמקרה שהיא רציפה בכל נקודה‬
‫בקטע‪ F ,‬היא פונקציה קדומה של ‪ f‬בקטע ]‪.[a, b‬‬
‫‪17‬הוכחנו את הטענה הזו בסעיף ‪.11.8‬‬
‫‪60‬‬
‫אזהרה‬
‫נשים לב שהמשפט היסודי של החדו"א קובע באופן שקול שאם אין ל־ ‪ f‬פונקציה קדומה לא‬
‫ייתכן כי ‪ f‬אינטגרבילית ורציפה‪.‬‬
‫עם זאת הכיוון השני אינו נכון‪ :‬קיום של פונקציה קדומה לא גורר את זה ש־ ‪ f‬אינטגרבילית‬
‫ורציפה‪.‬‬
‫‪ .1‬ייתכן ש־ ‪ f‬אינטגרבילית ואינה רציפה‪ .‬למשל‪:‬‬
‫]‪x ∈ [−1, 0‬‬
‫]‪x ∈ (0, 1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫= )‪f (x‬‬
‫קל לראות ש־ ‪ f‬אינטגרבילית ואינה רציפה ב־‪ ,0‬ומכיוון שיש לה אי־רציפות מסוג‬
‫ראשון בהכרח אין לה פונקציה קדומה‪.‬‬
‫הערה‪ :‬נשים לב שקיימת ל־ ‪ f‬פונקציה קדומה למקוטעין‪:‬‬
‫‬
‫]‪c x ∈ [−1, 0‬‬
‫= )‪F (x‬‬
‫]‪x x ∈ (0, 1‬‬
‫‪ .2‬ייתכן ש־ ‪ f‬גם אינה אינטגרבילית )ובפרט גם אינה רציפה(‪ ,‬ועדיין יש לה פונקציה‬
‫קדומה‪.‬‬
‫ניקח למשל את הפונקציה הקדומה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫ ‬
‫‪1‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪x sin‬‬
‫‪x 6= 0‬‬
‫= )‪F (x‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x=0‬‬
‫אם נגזור אותה נקבל‪:‬‬
‫‬
‫‪x 6= 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x2‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪cos‬‬
‫‪x‬‬
‫‬
‫‪−‬‬
‫‪x=0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x2‬‬
‫‬
‫‪2xsin‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪‬‬
‫הפונקציה ‪ f‬לא חסומה בכל קטע שמכיל את ‪ ,0‬ולכן היא אינה אינטגרבילית בקטעים‬
‫‪18‬‬
‫מסוג זה‪ ,‬על־אף שיש לה פונקציה קדומה‪.‬‬
‫‪25.3‬‬
‫טענה ‪ :3‬נוסחת ניוטון־לייבניץ‬
‫נניח כי ‪ f‬פונקציה רציפה על ]‪ ,[a, b‬ונניח כי ‪ φ‬היא פונקציה קדומה של ‪ f‬בקטע זה‪ .‬אזי‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪f dx = φ (b) − φ (a) ≡ φ (x) |ba‬‬
‫‪a‬‬
‫הערה‬
‫‪18‬קיימות דוגמאות מורכבות יותר‪ ,‬שבהן ‪ f‬אינה אינטגרבילית גם אם היא חסומה וקיימת לה פונקציה קדומה‪.‬‬
‫‪61‬‬
‫המשפט תקף גם לכל תת־קטע ]‪ ,[α, β] ⊂ [a, b‬שכן ממשפט שהוכחנו לעיל נובע כי אם ‪f‬‬
‫‪19‬‬
‫אינטגרבילית ב־]‪ [a, b‬אז היא גם אינטגרבילית בכל תת־קטע שלו‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫‪ˆx‬‬
‫מהטענה הקודמת נובע כי ‪f (t) dt‬‬
‫= )‪ F (x‬היא פונקציה קדומה של ‪ f‬בקטע ]‪.[a, b‬‬
‫‪a‬‬
‫מכאן שקיים קבוע ‪ c ∈ R‬כך שלכל ]‪ x ∈ [a, b‬מתקיים‪:‬‬
‫ˆ‬
‫)‪f dx = φ (x) + c = F (x‬‬
‫]סימון האינטגרל בשוויון זה הוא סימון לאינטגרל הלא־מסוים‪[.‬‬
‫ובפרט מתקיים עבור הנקודה ‪ a‬השוויון‪:‬‬
‫‪ˆa‬‬
‫= ‪φ (a) = F (a) − c‬‬
‫‪f dt − c = 0 − c = −c‬‬
‫‪a‬‬
‫ומכאן שלכל ]‪ x ∈ [a, b‬מתקיים‪:‬‬
‫‪ˆx‬‬
‫)‪f dt = F (x) = φ (x) + c = φ (x) − (−c) = φ (x) − φ (a‬‬
‫‪a‬‬
‫‬
‫הרחבה של נוסחת ניוטון־לייבניץ‬
‫נניח כי ‪ F‬גזירה על )‪ (a, b‬פרט למספר סופי של נקודות‪ ,‬או שהשוויון ‪ F 0 = f‬נכון בכל‬
‫הקטע ]‪ [a, b‬פרט למספר סופי של נקודות‪.‬‬
‫אם ידוע כי ‪ F‬פונקציה רציפה על ]‪ ,[a, b‬אזי למרות שהשוויון ‪ F 0 = f‬אינו נכון לכל הקטע‬
‫]‪ ,[a, b‬עדיין מתקיים‪:‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪f dt = F (b) − F (a) ≡ F (x) |ba‬‬
‫‪a‬‬
‫הוכחה‬
‫נניח כי ) ‪ p = (x0 , x1 , ..., xn‬חלוקה של הקטע ]‪ ,[a, b‬כך שנקודות החלוקה ‪ p‬כוללות את כל‬
‫הנקודות הבעייתיות‪ .‬כלומר‪ ,‬כל הנקודות שבהן ‪ F‬אינה גזירה או שהיא גזירה אבל ‪.F 0 6= f‬‬
‫בכל תת־קטע של החלוקה מהצורה ] ‪ [xi−1 , xi‬מתקיים כי ‪ F‬רציפה על כולו וכי היא גזירה‬
‫בקטע הפתוח ) ‪.(xi−1 , xi‬‬
‫‪19‬הוכחנו טענה זו בסעיף ‪.21‬‬
‫‪62‬‬
‫נסיק ממשפט הערך הממוצע של לגראנז' שבתנאים אלה שלכל ‪ i‬קיימת נקודה ∈ ‪ρi‬‬
‫) ‪ (xi−1 , xi‬שעבורה מתקיים‪:‬‬
‫) ‪F (xi ) − F (xi−1 ) = F 0 (ρ) (xi − xi−1 ) = f (ρi ) (xi − xi−1‬‬
‫נסיק משוויון זה‪:‬‬
‫) ‪f (ρi ) (xi − xi−1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= )) ‪(F (xi ) − F (xi−1‬‬
‫= )‪F (b) − F (a‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫]השוויון הראשון נובע מכך שמדובר בסכום טלסקופי‪ ,‬ולכן האיברים מבטלים אחד את‬
‫האחר‪ ,‬למעט הראשון והאחרון‪[.‬‬
‫נשים לב שקיבלנו סכום רימן של הפונקציה ‪ f‬עבור החלוקה ‪ p‬על הקטע ]‪.[a, b‬‬
‫נתון ש־ ‪ f‬אינטגרבילית בקטע זה‪ ,‬ולכן כאשר ‪) λ (p) → 0‬כלומר‪ ,‬כאשר בוחרים כל סדרת‬
‫חלוקות שמתווספות להן נקודות שמקטינות את פרמטר החלוקה( מתקיים כי‪:‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫= ) ‪f (ρi ) (xi − xi−1‬‬
‫‪f dt‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪F (b) − F (a) = lim (F (b) − F (a)) = lim‬‬
‫‪λ(p)→0‬‬
‫‪λ(p)→0‬‬
‫‬
‫‪26‬‬
‫חישוב אינטגרל מסוים באינטגרציה בחלקים‬
‫טענה ‪1‬‬
‫יהיו ‪ f, g, ϕ‬פונקציות רציפות על ]‪.[a, b‬‬
‫אם מתקיים השוויון‪:‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪f dx = ϕ (x) − gdx‬‬
‫]סימון האינטגרל בשוויון זה הוא סימון לאינטגרל הלא־מסוים‪[.‬‬
‫אזי גם‪:‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪f dx = ϕ (x) |ba −‬‬
‫‪gdx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫הוכחה‬
‫נסמן‪f dx :‬‬
‫נתון כי‪:‬‬
‫´‬
‫= ‪gdx ,F‬‬
‫´‬
‫= ‪ ,G‬כך ש־‪ F, G‬פונקציות קדומות של ‪ f, g‬בהתאמה‪.‬‬
‫)‪F (x) = ϕ (x) − G (x‬‬
‫‪63‬‬
‫ובפרט מתקיים עבור הנקודות ‪ a, b‬כי‪:‬‬
‫)‪F (a) = ϕ (a) − G (a‬‬
‫)‪F (b) = ϕ (b) − G (b‬‬
‫נחסר את שתי המשוואות ונקבל‪:‬‬
‫])‪F (b) − F (a) = ϕ (b) − G (b) − (ϕ (a) − G (a)) = [ϕ (b) − ϕ (a)] − [G (b) − G (a‬‬
‫⇓‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪b‬‬
‫‪f dx = ϕ (x) |a − gdx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‬
‫טענה ‪2‬‬
‫נניח כי ‪ F, G‬פונקציות גזירות על קטע סגור ]‪ ,[a, b‬ובפרט הן רציפות בקטע זה‪.‬‬
‫נניח גם כי הפונקציות ‪ F 0 = f, G0 = g‬אינטגרביליות בקטע )לא בהכרח רציפות(‪ ,‬אזי‪:‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪F G0 dx‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪−‬‬
‫‪(F G) (x) |ba‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪F Gdx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫הוכחה‬
‫מהנתון ש־‪ F, G‬רציפות נובע שהן אינטגרביליות‪,‬‬
‫‪21‬‬
‫אינטגרבילית‪.‬‬
‫לכן נוכל להסיק לפי נוסחת הנגזרת של מכפלה‪:‬‬
‫‪20‬‬
‫ומשכך גם המכפלה שלהן היא פונקציה‬
‫‪0‬‬
‫‪(F G) = F 0 G + F G0‬‬
‫נעביר אגפים כדי לקבל‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪F 0 G = (F G) − F G0‬‬
‫נוציא פונקציה קדומה משני הצדדים ונקבל‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪F 0 Gdx = F G − F G0 dx‬‬
‫‪20‬הוכחנו טענה זו לעיל‪.‬‬
‫‪21‬הוכחנו גם טענה זו לעיל‪.‬‬
‫‪64‬‬
‫ˆ‬
‫ומטענה ‪ 1‬שהוכחנו לעיל נסיק כי גם האינטגרל המסוים מקיים את השוויון‪:‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪F G0 dx‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪−‬‬
‫‪(F G) (x) |ba‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪F Gdx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‬
‫חישוב אינטגרל מסוים באינטגרציה בהצבה‬
‫‪27‬‬
‫תהי ‪ f‬פונקציה רציפה על ]‪ [a, b‬ותהי ‪ ϕ‬פונקציה גזירה‪ ,‬כך ש־ ‪ ϕ0‬אינטגרבילית על קטע‬
‫שנסמן ]‪ [α, β‬כך שמתקיים ]‪.ϕ (β) = b ,ϕ (α) = a ,ϕ : [α, β] → [a, b‬‬
‫אזי מתקיים‪:‬‬
‫‪ˆβ‬‬
‫‪f (ϕ (t)) ϕ0 (t) dt‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫= ‪f (x) dx‬‬
‫‪α‬‬
‫‪a‬‬
‫הוכחה‬
‫‪ .1‬ראשית נראה כי הביטוי מוגדר‪.‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫נתון כי ‪ f‬רציפה על ]‪ [a, b‬ולכן היא בפרט גם אינטגרבילית עליו‪ ,‬כך שקיים ‪f (x) dx‬‬
‫‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫נתון גם כי קיימת הנגזרת ‪ ϕ0‬ולכן בפרט גם ‪ ϕ‬רציפה‪ ,‬וכן נתון שהנגזרת אינטגרבילית‬
‫על ]‪.[α, β‬‬
‫הפונקציה ‪ f ◦ ϕ‬היא הרכבה של פונקציות רציפות ולכן היא רציפה ובפרט גם‬
‫אינטגרבילית‪ ,‬והפונקציה ‪ (f ◦ ϕ)·ϕ0‬היא מכפלה של פונקציות אינטגרביליות‪ ,‬ומכפלת‬
‫פונקציות אינטגרביליות היא אינטגרבילית‪.‬‬
‫‪ˆβ‬‬
‫מוגדר‪.‬‬
‫לכן הביטוי ‪f (ϕ (t)) ϕ0 (t) dt‬‬
‫‪α‬‬
‫‪ .2‬נוכיח כעת את השוויון‪.‬‬
‫מהמשפט היסודי של החדו"א נובע כי מהנתון ש־ ‪ f‬רציפה קיימת לה פונקציה קדומה‬
‫שנסמן ‪ ,F‬המקיימת ‪ F 0 = f‬לכל ]‪.x ∈ [a, b‬‬
‫נסמן ‪ .G = F ◦ ϕ‬פונקציה זו מוגדרת היטב על ]‪ [α, β‬ומקיימת‪:‬‬
‫‪G0 = F 0 (ϕ) · ϕ0 = f (ϕ) · ϕ0‬‬
‫נסיק לפי נוסחת ניוטון־לייבניץ‪:‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫= ))‪f (x) dx = F (b) − F (a) = F (ϕ (β)) − F (ϕ (α‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ˆβ‬‬
‫‪f (ϕ (t)) ϕ0 (t) dt‬‬
‫= )‪= G (β) − G (α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪65‬‬
‫‬
‫גרסה אחרת של המשפט‬
‫‪22‬‬
‫ניתן להחליש את הדרישה על ‪ f‬ובמקום לדרוש שהיא תהיה רציפה נדרוש שהיא רק תהיה‬
‫אינטגרבילית‪ ,‬ובמקום זאת להחמיר את התנאי על ‪ ,ϕ‬ונקבל את המשפט הבא‪:‬‬
‫תהי ‪ f‬פונקציה אינטגרבילית על ]‪ [a, b‬ותהי ‪ ϕ‬פונקציה עולה ממש וגזירה‪ ,‬כך ש־ ‪ ϕ0‬רציפה‬
‫על קטע שנסמן ]‪ [α, β‬כך שמתקיים ‪.ϕ (β) = b ,ϕ (α) = a‬‬
‫אזי מתקיים‪:‬‬
‫‪ˆβ‬‬
‫‪f (ϕ (t)) ϕ0 (t) dt‬‬
‫= ‪f (x) dx‬‬
‫‪α‬‬
‫‪22‬לא נוכיח את הגרסה הזו‪.‬‬
‫‪66‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪a‬‬
‫‪28‬‬
‫נקודות רציפות של פונקציה אינטגרבילית )מהתרגול(‬
‫תזכורת‪ :‬נניח כי ‪ f : D → R‬וכי ‪ I ⊆ D‬קטע‪ .‬התנודה של ‪ f‬בקטע ‪ I‬מוגדרת ומסומנת‪:‬‬
‫|)‪ωf (I) = supf (x) − inf f (x) = sup |f (x) − f (y‬‬
‫‪x,y∈I‬‬
‫‪x∈I‬‬
‫‪x∈I‬‬
‫אם ‪ x0 ∈ I‬פנימית ממש לקטע ‪ ,I‬אזי התנודה של ‪ f‬בנקודה ‪ x0‬מוגדרת ומסומנת‪:‬‬
‫))‪ωf (x0 ) = lim ωf ((x0 − δ, x0 + δ‬‬
‫‪δ→0‬‬
‫למה ‪1‬‬
‫תהי ‪ .f : D → R‬אזי ‪ x0 ∈ D‬נקודת רציפות של ‪ f‬אמ"מ מתקיים עבור התנודה של ‪f‬‬
‫בנקודה זו ‪ωf (x0 ) = 0‬‬
‫הוכחה‬
‫בכיוון ראשון‪ :‬נניח כי ‪ f‬רציפה ב־ ‪ .x0‬כלומר‪ ,‬לכל ‪ > 0‬קיים ‪ δ > 0‬כך שאם ‪|x − x0 | < δ‬‬
‫אזי < |) ‪.|f (x) − f (x0‬‬
‫נשים לב שמתקיים‪:‬‬
‫≤ |)‪|f (x) − f (y)| = |f (x) − f (x0 ) + f (x0 ) − f (y‬‬
‫‪≤ |f (x) − f (x0 )| + |f (x0 ) − f (y)| < 2‬‬
‫נסיק שמתקיים‪:‬‬
‫‪|f (x) − f (y)| = 0‬‬
‫‪sup‬‬
‫‪lim ωf ((x0 − δ, x0 + δ)) = lim‬‬
‫‪δ→0‬‬
‫)‪δ→0 x,y∈(x0 −δ,x0 +δ‬‬
‫בכיוון שני‪ :‬נניח ש־‪ .ωf (x0 ) = 0‬כלומר‪ ,‬לכל ‪ > 0‬קיים ‪ δ > 0‬כך שאם ‪ δ ∗ < δ‬אז‬
‫ < )) ∗ ‪.ωf ((x0 − δ ∗ , x0 + δ‬‬
‫נסיק מכאן‪:‬‬
‫ < |)‪|f (x) − f (y‬‬
‫‪sup‬‬
‫) ∗ ‪x,y∈(x0 −δ ∗ ,x0 +δ‬‬
‫≤ |) ‪|f (x) − f (x0‬‬
‫מכאן ש־ ‪ f‬רציפה ב־ ‪.x0‬‬
‫למה ‪2‬‬
‫אם ‪ f : [a, b] → R‬אינטגרבילית‪ ,‬אז לכל ‪ > 0‬קיימות ‪ c, d‬המקיימות ‪,a < c < d < b‬‬
‫כך ש־ < )]‪ ωf ([c, d‬וכן < |‪.|c − d‬‬
‫הוכחה‬
‫נבחר ∗‪ a∗ , b‬נקודות פנימיות כלשהן של הקטע ]‪ ,[a, b‬ונתבונן בפונקציה האינטגרבילית‬
‫] ∗‪. f |[a∗ ,b‬‬
‫‪67‬‬
‫מקריטריון רימן לאינטגרביליות נובע שלכל ‪ > 0‬קיים ‪ δ > 0‬כך שלכל חלוקה ‪ p‬של הקטע‬
‫] ∗‪ [a∗ , b‬המקיימת ‪ ,λ (p) < δ‬מתקיים‪:‬‬
‫) ∗‪ωf ∆pi < (b∗ − a‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=0‬‬
‫נשים לב שעבור החלוקה ‪ p‬בהכרח קיים ‪ i‬כך ש־ < ‪] .ωi‬כי אם נניח בשלילה שלכל ‪i‬‬
‫מתקיים > ‪ ,ωi‬נקבל כי הביטוי הנ"ל אינו קטן מספיק‪[.‬‬
‫נבחר חלוקה ‪ p‬שהפרמטר שלה מקיים ‪ ,λ (p) < min 2δ , 2‬כך שמתקיים התנאי‬
‫‪n−1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ ,‬ונסיק שקיים בתוכה קטע ] ‪ [pi , pi+1‬כך שעבורו מתקיים‪:‬‬
‫) ∗‪ωf ∆pi < (b∗ − a‬‬
‫‪i=0‬‬
‫‬
‫<‬
‫‪2‬‬
‫< ‪pi+1 − pi‬‬
‫משפט‬
‫אם ‪ f : [a, b] → R‬אינטגרבילית‪ ,‬אז קיימת נקודה ]‪ c ∈ [a, b‬שבה ‪ f‬רציפה‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫נגדיר סדרה של קטעים בצורה הבאה‪:‬‬
‫עבור ‪ = 1‬נבחר קטע פנימי ל־]‪ [a, b‬שנסמן ] ‪ ,[a1 , b1‬שמתאים לתנאי למה ‪ .2‬כלומר‪,‬‬
‫‪ b1 − a1 < 1‬וכן ‪.ω1 ([a1 , b1 ]) < 1‬‬
‫עבור ‪ = 21‬נצמצם את ‪ f‬לקטע ] ‪ [a1 , b1‬ונפעיל את למה ‪ 2‬שוב‪ .‬נקבל קטע פנימי ל‪[a1 , b1 ]-‬‬
‫שנסמן ] ‪ [a2 , b2‬שמתאים לתנאי למה ‪ .2‬כלומר‪ b2 − a2 < 21 ,‬וכן ‪.ω2 ([a2 , b2 ]) < 12‬‬
‫נמשיך באינדוקציה ונקבל סדרה של קטעים ‪ [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ ...‬כך שלכל קטע ] ‪[an , bn‬‬
‫מתקיים ‪ bn − an < n1‬וכן ‪.ωn ([an , bn ]) < n1‬‬
‫סדרה זו עומדת בתנאי הלמה של קנטור‪ ,‬ולכן קיימת נקודה יחידה )‪ c ∈ (a, b‬המקיימת‬
‫∞‬
‫\‬
‫∈ ‪.c‬‬
‫] ‪[ai , bi‬‬
‫‪i=1‬‬
‫כדי להוכיח ש־ ‪ f‬רציפה בנקודה ‪ ,c‬נשתמש בלמה ‪ ,1‬ונוכיח כי ‪.ωf (c) = 0‬‬
‫לכל ‪ > 0‬קיים ‪ N‬כך ש־ < ‪ . N1‬נסיק שלכל ‪ > 0‬קיים קטע ] ‪ [aN , bN‬שבו התנודה‬
‫מספיק קטנה‪ ,‬כך שמתקיים < ‪.ωf ([an , bn ]) < N1‬‬
‫מכאן שלכל ‪ > 0‬קיים ‪ δ > 0‬קטן מספיק שעבורו ) ‪ ,(c − δ, c + δ) ⊂ (aN , bN‬ולכן‬
‫בהכרח‪:‬‬
‫ < )] ‪ωf (c) = ωf ((c − δ, c + δ)) ≤ ωf ([aN , bN‬‬
‫מסקנה ‪1‬‬
‫לכל פונקציה אינטגרבילית יש אינסוף נקודות רציפות‪ ,‬כי ניתן לחלק את תחום‬
‫האינטגרביליות שלה לתחומים קטנים כרצוננו שבהם היא אינטגרבילית‪ ,‬ולהפעיל על כל‬
‫אחד מהם את המשפט שהוכחנו‪.‬‬
‫מסקנה ‪2‬‬
‫‪68‬‬
‫אם ‪ f‬פונקציה אינטגרבילית ומתקיים ‪ f > 0‬בתחום האינטגרביליות‪ ,‬אזי גם האינטגרל שלה‬
‫בתחום זה גדול ממש מ־‪.0‬‬
‫ניתן לראות זאת מהמשפט שקבע ש־ ‪ f‬רציפה ב־ ‪ x0‬כלשהי ששייכת לתחום האינטגרביליות‪,‬‬
‫וידוע כי ‪ ,f (x0 ) > 0‬ומכאן שיש לה סביבה שלמה חיובית ולא קשה להוכיח שבסביבה זו‬
‫האינטגרל יהיה גדול ממש מ־‪.0‬‬
‫‪29‬‬
‫קירוב פונקציות באמצעות המשפט היסודי של החדו"א )מהתרגול(‬
‫משפט ערך הביניים האינטגרלי‬
‫לכל פונקציה ‪ f‬רציפה בקטע ]‪ ,[a, b‬ופונקציה ‪ g‬אינטגרבילית בקטע ]‪ ,[a, b‬כך שמתקיים‬
‫‪ ∀x∈[a,b] g (x) ≥ 0‬או ‪ ,∀x∈[a,b] g (x) ≤ 0‬קיימת נקודה ]‪ c ∈ [a, b‬כך שמתקיים‪:‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪g (x) dx‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫)‪f (x) g (x) dx = f (c‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫ובפרט עבור ‪ g = 1‬מתקיים‪:‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫)‪f (x) dx = f (c) (b − a‬‬
‫‪a‬‬
‫קירוב פונקציות‬
‫תהי ‪ f : [a, b] → R‬פונקציה רציפה‪ ,‬נרצה למצוא פונקציה שתקרב את ערך הפונקציה ‪.f‬‬
‫לשם כך נחפש פונקציה ‪ Fδ‬גזירה ברציפות‪ ,‬כך שלכל ‪ > 0‬ולכל ]‪ x ∈ [a, b‬נתון יתקיים‪:‬‬
‫ < |)‪|Fδ (x) − f (x‬‬
‫פונקציית הקירוב‬
‫נגדיר משפחה של פונקציות ‪ Fδ‬באופן הבא‪:‬‬
‫‪x+δ‬‬
‫ˆ‬
‫‪f (t) dt‬‬
‫‪1‬‬
‫= )‪Fδ (x‬‬
‫‪2δ‬‬
‫‪x−δ‬‬
‫נשים לב שמכיוון ש־ ‪ f‬אינטגרבילית בכל קטע‪ ,‬ניתן להסיק מהמשפט היסודי שהפונקציה ‪Fδ‬‬
‫רציפה וגזירה‪.‬‬
‫‪69‬‬
‫אם נגזור את ‪ Fδ‬נקבל‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪x+δ‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪f (t) dt‬‬
‫‪f (t) dt +‬‬
‫= ‪f (t) dt‬‬
‫‪2δ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x−δ‬‬
‫‪x+δ‬‬
‫ˆ‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪F 0δ (x) = ‬‬
‫‪2δ‬‬
‫‪x−δ‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪f (x + δ) − f (x − δ‬‬
‫= ))‪(f (x) − f (x − δ) + f (x + δ) − f (x‬‬
‫‪2δ‬‬
‫‪2δ‬‬
‫=‬
‫ממשפט ערך הביניים האינטגרלי נסיק שקיימת נקודה ]‪ cx ∈ [x − δ, x + δ‬כך שמתקיים‪:‬‬
‫‪x+δ‬‬
‫ˆ‬
‫) ‪f (t) dt = f (cx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2δ‬‬
‫= )‪Fδ (x‬‬
‫‪x−δ‬‬
‫טיב הקירוב עבור נקודה כלשהי‬
‫לכל ‪ x0 ∈ R‬מתקיים‪:‬‬
‫) ‪lim Fδ (x0 ) = f (x0‬‬
‫‪δ→0+‬‬
‫הוכחה‪ :‬מהנתון ש־ ‪ f‬רציפה נובע שלכל ‪ > 0‬קיים ‪) δ ∗ > 0‬להבדיל מהסביבה‬
‫]‪ ([x − δ, x + δ‬כך שאם ∗ ‪ |x − x0 | < δ‬אז < |) ‪.|f (x) − f (x0‬‬
‫נשים לב ש־]‪ cx0 ∈ [x0 − δ, x0 + δ‬ולכן ‪ .|cx0 − x0 | < δ‬מכאן שעבור ‪ δ‬מספיק קטן‪,‬‬
‫מתקיים כי ‪ |cx − x| < δ‬ולכן‪:‬‬
‫ < |)‪|Fδ (x0 ) − f (x0 )| = |f (cx ) − f (x‬‬
‫טיב הקירוב לכל קטע‬
‫לכל קטע ]‪ [a, b‬ולכל ‪ > 0‬מתקיים כי‪:‬‬
‫ < |)‪∀x∈[a,b] |Fδ (x) − f (x‬‬
‫הוכחה‪ :‬נתון כי ‪ f‬רציפה בפרט גם על כל קטע סגור מהצורה ]‪ ,[a − 1, b + 1‬ולכן היא‬
‫א‬
‫רציפה במידה־שווה בו‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬לכל ‪ > 0‬קיים ‪ ,δ > 0‬כך שלכל ]‪ x, y ∈ [a − 1, b + 1‬המקיימים ‪,|x − y| < δ‬‬
‫מתקיים < |)‪.|f (x) − f (y‬‬
‫נבחר }‪ δ ∗ = min {δ, 1‬ונשים לב שלכל ]‪ x ∈ [a, b‬ולכל ]‪ ,cx ∈ [x − δ, x + δ‬מתקיים כי‬
‫∗ ‪ ,|cx − x| < δ‬ולכן‪:‬‬
‫ < |)‪|Fδ (x) − f (x)| = |f (cx ) − f (x‬‬
‫‬
‫אממשפט קנטור לרציפות במידה־שווה‪.‬‬
‫‪70‬‬
‫חלק‬
‫‪V‬‬
‫טורים אינסופיים‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪.‬‬
‫בנושא זה המטרה היא לתת מובן מוגדר היטב לביטויים מהצורה ‪ai‬‬
‫‪i=1‬‬
‫מבוא מתורת הקבוצות‬
‫‪30‬‬
‫‪30.1‬‬
‫יחס שקילות‬
‫‪−1‬‬
‫לכל פונקציה ‪ f : A → B‬שהיא חח"ע ועל‪ ,‬קיימת פונקציה הפוכה ‪: B → A‬‬
‫היא חח"ע ועל‪.‬‬
‫‪ f −1‬היא פונקציה הפוכה במובן זה שלכל ‪ a ∈ A‬מתקיים ‪.f −1 (f (a)) = a‬‬
‫במקרה שקיימת פונקציה כזאת בין שתי קבוצות ‪ ,A, B‬אומרים כי ‪ f‬היא יחס שקילות בין‬
‫‪ A‬ל־‪ ,B‬ומסמנים ‪.A ≈ B‬‬
‫‪30.2‬‬
‫‪ ,f‬שגם‬
‫עוצמה‬
‫עוצמה של קבוצה היא מונח שמתאר במובן מסוים גודל של קבוצה סופית או אינסופית‪.‬‬
‫מסמנים את העוצמה של קבוצה ‪ A‬כלשהי ב־‪ #A‬או ב־|‪.|A‬‬
‫עוצמה של קבוצות נקבעת לפי יחס השקילות בינן לבין קבוצות אחרות‪ .‬משמע‪ ,‬אומרים כי‬
‫קבוצות ‪ ,A, B‬סופיות או אינסופיות‪ ,‬הן בעלות אותה עצמה‪ ,‬אם קיים יחס שקילות ביניהן‪.‬‬
‫דוגמאות מרכזיות‬
‫• עוצמה של קבוצות סופיות היא מספר טבעי )או ‪ (0‬שמתאר את מספר האיברים‬
‫שבקבוצה‪ .‬כך למשל העוצמה של הקבוצה }‪ {1, 7, 10‬היא ‪ ,3‬והיא שווה לעוצמה של‬
‫הקבוצה }‪ {@, &, $‬כי ניתן להגדיר ביניהן יחס שקילות‪.‬‬
‫• עוצמתה של קבוצת המספרים הטבעיים ‪ N‬מסומנת ב־ ‪ .ℵ0‬בהמשך נוכיח את הטענה‬
‫המפתיעה שקבוצת המספרים הרציונליים ‪ Q‬על אף צפיפותה היא בעלת עוצמת‬
‫הטבעיים‪ ,‬כלומר ‪.#Q = ℵ0‬‬
‫• עוצמתו של כל קטע ממשי מהצורה ]‪ ,[a, b‬עבור ‪ ,a < b‬מסומנת ב־‪,(continuum) C‬‬
‫וכן עוצמת כל הישר הממשי ‪ R‬שווה לעוצמה של כל קטע‪ ,‬כלומר ‪.#R = C‬‬
‫בהמשך נוכיח את הטענה ש־" ‪."C > ℵ0‬‬
‫יחס סדר של עוצמות‬
‫על קבוצת העוצמות עצמה ניתן להגדיר יחס־סדר באופן הבא‪:‬‬
‫עבור קבוצות ‪ ,A, B‬אומרים כי ‪ #A ≤ #B‬אם קיימת תת קבוצה ‪ B ∗ ⊆ B‬כך ש־‬
‫‪.#B ∗ = #A‬‬
‫אומרים כי ‪) #A < #B‬ממש( אם מתקיים גם ‪ #A ≤ #B‬וגם ‪.#A 6= #B‬‬
‫‪71‬‬
‫‪30.3‬‬
‫קבוצות בנות־מניה )או‪ :‬עוצמת הטבעיים(‬
‫קבוצה ‪ A‬נקראת בת־מניה‪ ,‬אם היא קבוצה אינסופית שקיימת פונקציה חח"ע ועל בינה לבין‬
‫קבוצת המספרים הטבעיים ‪ ,N‬או אם היא קבוצה סופית‪.‬‬
‫באופן שקול‪ ,‬קבוצה ‪ A‬היא בת־מניה אם ניתן לסדר את כל איבריה בסדרה כך ש־‬
‫}‪.A = {a1 , a2 , ...‬‬
‫טענה נניח כי ‪ A‬קבוצה אינסופית בת־מניה וכי ‪ B ⊆ A‬תת־קבוצה אינסופית‪ ,‬אזי גם ‪B‬‬
‫קבוצה בת־מניה‪.‬‬
‫הוכחה נתון כי ‪ A‬בת־מניה‪ ,‬ולכן נוכל לזהות את כל איבריה עם סדרה מהצורה }‪.{a1 , a2 , ...‬‬
‫ע"י הסרת האיברים ששייכים ל־‪ A‬ולא ל־‪ B‬נקבל תת־סדרה חדשה של כל איברי ‪,B‬‬
‫ולכן ‪ B‬בת־מניה‪.‬‬
‫טענה אם ‪ A, B‬קבוצות בנות־מניה‪ ,‬אז גם ‪ A ∪ B‬היא קבוצה בת־מניה‪.‬‬
‫הוכחה נתון כי ‪ A, B‬בנות־מניה‪ ,‬ולכן ניתן להציג את כל איבריהם בסדרות מהצורה‪:‬‬
‫}‪A = {a1 , a2 , ...} , B = {b1 , b2 , ...‬‬
‫נסדר את כל איברי הסדרה ‪ A ∪ B‬למשל בסדרה בצורה }‪ ,{a1 , b1 , a2 , b2 , ...‬ומכאן‬
‫ש־‪ A ∪ B‬קבוצה בת־מניה‪.‬‬
‫מסקנה איחוד של כל מספר סופי של קבוצות בנות־מניה‪ ,‬הוא קבוצה בת־מניה‪) .‬באינדוקציה(‪.‬‬
‫טענה תהי ) ‪ (An‬סדרה אינסופית של קבוצות סופיות‪ ,‬אזי גם הקבוצה ‪Ai‬‬
‫∞‬
‫[‬
‫היא קבוצה‬
‫‪i=1‬‬
‫בת־מניה‪.‬‬
‫הוכחה נתון שכל קבוצה ‪ An‬מכילה מספר סופי של איברים‪ .‬נסמן ב־ ‪ kn‬את מספר האיברים‬
‫שבקבוצה ה־ ‪.An‬‬
‫∞‬
‫[‬
‫בסדרה בצורה‪:‬‬
‫נסדר את כל איברי הקבוצה ‪Ai‬‬
‫‪i=1‬‬
‫}‪{a11 , ..., a1k1 , a21 , ..., a2k2 , ..., an1 , ..., ankn , ...‬‬
‫ומכאן ש־ ‪Ai‬‬
‫∞‬
‫[‬
‫קבוצה בת־מניה‪.‬‬
‫‪i=1‬‬
‫טענה תהי ) ‪ (An‬סדרה אינסופית של קבוצות אינסופיות בנות־מניה‪ ,‬אזי גם הקבוצה ‪Ai‬‬
‫∞‬
‫[‬
‫‪i=1‬‬
‫היא קבוצה בת־מניה‪.‬‬
‫הוכחה נשתמש בשיטה שנקראת האלכסון של קנטור‪ .‬נציג את כל איברי כל הסדרות באופן‬
‫‪72‬‬
‫הבא‪:‬‬
‫}‪A1 = {a11 , a12 , a13 , ...‬‬
‫}‪A2 = {a21 , a22 , a23 , ...‬‬
‫}‪A3 = {a31 , a32 , a33 , ...‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫}‪An = {an1 , an2 , an3 , ...‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫טבלה זו מכילה את כל האיברים שבכל הקבוצות‪ .‬נסדר את כל איברי הטבלה בשיטה‬
‫הבאה‪:‬‬
‫נרכיב את הסדרה הכללית מתת־סדרות‪ :‬הראשונה היא האיבר ‪ ,a11‬הבאה היא‬
‫האיברים ‪ ,a12 , a21‬זו שאחריה היא ‪ ,a13 , a22 , a31‬וכן הלאה‪ ,‬כשכל תת־סדרה‬
‫מורכבת מאלכסון בטבלה המוצגת‪.‬‬
‫∞‬
‫[‬
‫קיבלנו סדרה שמכילה את כל איברי הקבוצה ‪ , Ai‬ומכאן שזו קבוצה בת־מניה‪.‬‬
‫‪i=1‬‬
‫הערה בהתאם לגישה שהצגנו בהוכחה‪ ,‬ניתן גם להציג את הקבוצה באופן הבא‪:‬‬
‫!‬
‫∞‬
‫∞‬
‫[‬
‫[‬
‫[‬
‫= ‪Ai‬‬
‫} ‪{Akl‬‬
‫‪k+l=n‬‬
‫‪i=2‬‬
‫‪i=1‬‬
‫כי ניתן לשים לב שכל קבוצה בסדרה שהגדרנו בהוכחה מכילה האיברים שסכום‬
‫∞‬
‫[‬
‫היא איחוד אינסופי בן־מניה של‬
‫שני האינדקסים שלהם קבוע‪ .‬לכן הקבוצה ‪Ai‬‬
‫‪i=1‬‬
‫קבוצות סופיות‪ ,‬ומטענה קודמת נובע כי זו קבוצה בת־מניה‪.‬‬
‫טענה קבוצת המספרים השלמים ‪ Z‬היא קבוצה בת מניה‪.‬‬
‫הוכחה נסדר את כל איברי הקבוצה בסדרה בצורה }‪ ,Z = {0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, ...‬ומכאן‬
‫ש־‪ Z‬קבוצה בת־מניה‪.‬‬
‫טענה קבוצת המספרים הרציונליים ‪ Q‬היא קבוצה בת־מניה‪.‬‬
‫‪p‬‬
‫‪q‬‬
‫= ‪ x‬כך ש‪,p ∈ N-‬‬
‫הוכחה נשים לב שהקבוצה ‪ Q‬מכילה רק מספרים ממשיים מהצורה‬
‫‪.q ∈ Z‬‬
‫מכאן שניתן להציג את ‪ Q‬כסכום כל הקומבינציות האפשריות של המונה והמכנה‪,‬‬
‫באופן הבא‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫∞‬
‫[‬
‫‪[ p‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫⊂‪Q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q=1‬‬
‫‪p∈Z‬‬
‫‪23‬‬
‫צורה זו היא איחוד של אינסוף בן־מניה של קבוצות אינסופיות בנות־מניה‪ ,‬ולכן היא‬
‫בת־מניה לפי טענה קודמת‪.‬‬
‫‪23‬הסיבה לכך שמתקיימת הכלה ולא שוויון‪ ,‬היא ש־‪ Q‬מכילה רק שברים מצומצמים‪ .‬כך למשל בקבוצה ‪ Q‬אין‬
‫הבדל בין האיבר ‪ 12‬לבין האיבר ‪ , 24‬אולם בקבוצה שהגדרנו יש הבדל‪.‬‬
‫‪73‬‬
‫‪30.4‬‬
‫עוצמת הרצף‬
‫לכל ‪ ,a < b ,a, b ∈ R‬הקטע ]‪ [a, b‬אינו בן־מניה‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫נניח בשלילה שקטע מהצורה ]‪ [a, b‬הוא קבוצה בת־מניה‪ ,‬כך שכל איבריה מיוצגים בסדרה‬
‫) ‪.(xn‬‬
‫נחלק את הקטע לשלושה תתי־קטעים שווים בגודלם‪ ,‬ונשים לב שכל נקודה ]‪ x ∈ [a, b‬שייכת‬
‫לכל היותר לשניים מתתי הקטעים שהגדרנו‪.‬‬
‫נתבונן בנקודה ]‪ .x1 ∈ [a, b‬קיים תת־קטע שלא מכיל אותה‪ ,‬שנסמן ] ‪.[a1 , b1‬‬
‫נחלק את תת הקטע ] ‪ [a1 , b1‬לשלושה תתי־קטעים שווים בגודלם‪ ,‬נבחר את הנקודה הבאה‬
‫‪ ,x2‬ונסמן את הקטע שהיא לא שייכת אליו ב־] ‪.[a2 , b2‬‬
‫נמשיך את התהליך עד לאינסוף‪ ,‬ונקבל סדרה של קטעים‪:‬‬
‫‪([an , bn ]) = [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ ...‬‬
‫∈ ‪.xn‬‬
‫כך שלכל ‪ n‬מתקיים‪/ [an , bn ] :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ , b−a‬מכאן‬
‫אורכי כל אחד מהקטעים הוא ‪ 3‬מאורך קודמו‪ ,‬כך שאורך הקטע ] ‪ [an , bn‬הוא ‪3n‬‬
‫שכאשר ∞ → ‪ n‬אורכי הקטעים שואפים ל־‪.0‬‬
‫סדרה זו עומדת בתנאי הלמה של קנטור‪ ,‬ולכן קיימת נקודה יחידה ]‪ x0 ∈ [a, b‬שמקיימת‪:‬‬
‫] ‪[an , bn‬‬
‫∞‬
‫\‬
‫∈ ‪x0‬‬
‫‪i=1‬‬
‫∈ ‪ ,xn‬נסיק שלכל סדרה ניתן למצוא נקודה ]‪x0 ∈ [a, b‬‬
‫מכיוון שלכל ‪ n‬מתקיים ] ‪/ [an , bn‬‬
‫∈ ‪ ,x0‬בסתירה להנחה שכל האיברים ב־]‪ [a, b‬מוצגים בסדרה כלשהי‬
‫כך ש־}‪/ {x1 , x2 , ...‬‬
‫בצורה }‪ .{x1 , x2 , ...‬‬
‫‪31‬‬
‫סכום של קבוצה‬
‫תהי ‪ A‬קבוצה סופית או אינסופית של מספרים ממשיים אי־שליליים‪.‬‬
‫נגדיר את הסכום של כל איברי ‪ A‬באופן הבא‪:‬‬
‫}‪a = sup {a1 + a2 + ... + an |a1 , a1 , ..., an ∈ A n ∈ N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪a∈A‬‬
‫כלומר‪ ,‬החסם העליון של כל הסכומים הסופיים האפשריים של איברים שונים ב־‪.A‬‬
‫• למשל אם }‪ ,A = {1, 2, 3‬אז נקבל‪:‬‬
‫‪a = sup {1, 2, 3, 1 + 2, 1 + 3, 2 + 3, 1 + 2 + 3} = 6‬‬
‫‪X‬‬
‫‪a∈A‬‬
‫• למשל אם ]‪ ,A = [0, 1‬אז נקבל‪:‬‬
‫∞=‪a‬‬
‫‪X‬‬
‫‪a∈A‬‬
‫כי אין חסם עליון לקבוצת כל הסכומים האפשריים שמורכבים מאיברי ‪.A‬‬
‫‪74‬‬
‫הערה‬
‫ששונים לפי הגדרת הקבוצה‪ ,‬אך ערכם הממשי זהה‪.‬‬
‫שני איברים‬
‫‬
‫קבוצות מכילות ‬
‫‬
‫לעתים ‬
‫למשל ‪ A = 1, 12‬או ]‪.A = x2 |x ∈ [−1, 1‬‬
‫כדי לשמור על הגדרה עקבית של המונח "איברים שונים"‪ ,‬ניתן להגדיר סכום באופן הבא‪:‬‬
‫נניח כי )∞ ‪ {aα }α∈A ⊆ [0,‬היא קבוצה‪ ,‬אז נגדיר את הקבוצה ‪ A‬שתתאים אינדקס לכל‬
‫איבר שונה בקבוצה המקורית‪ ,‬ואז הסכום יוגדר באופן הבא‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫‪aα‬‬
‫‪α∈A‬‬
‫‪31.1‬‬
‫עוצמה של קבוצה שסכומה סופי‬
‫נניח כי )∞ ‪ {aα }α∈A ⊆ [0,‬קבוצה המקיימת ∞ < ‪aα‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ ,‬אזי הקבוצה }‪{α|aα > 0‬‬
‫‪α∈A‬‬
‫היא קבוצה בת־מניה‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫נניח כי מתקיים ∞ < ‪aα = c‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ ,‬אזי מההגדרה של סכום של קבוצה נובע שלכל ‪n ∈ N‬‬
‫‪α∈A‬‬
‫קיים ‪ m ∈ N‬כך שמתקיים‪:‬‬
‫‬
‫‪= m ≤ nc‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‬
‫> ‪# α|aα‬‬
‫‬
‫‬
‫כאשר ‪ m‬הוא סימון למספר האיברים בקבוצה ‪. α|aα > n1‬‬
‫]נימוק‪ :‬נניח בשלילה שקיים ‪ n‬שעבורו מתקיים ‪ .m > nc‬נסכום את ‪ m‬האיברים שמקיימים‬
‫‪1‬‬
‫‪ ,m n1 > nc‬בניגוד להנחה שהחסם העליון של הסכומים‬
‫‪ aα > n‬ונקבל סכום שמקיים ‪c = c‬‬
‫הוא ‪[.c‬‬
‫‬
‫‬
‫נסיק מכך בפרט שמתקיים לכל ‪ n ∈ N‬שהקבוצה ‪ α|aα > n1‬סופית‪.‬‬
‫מספרים חיוביים יהיו גדולים כרצוננו‪[.‬‬
‫]נימוק‪ :‬כי סכומים מקבוצה‬
‫אינסופית של ‬
‫‬
‫מכאן שניתן להציג את הקבוצה ‪ α|aα > n1‬באופן הבא‪:‬‬
‫‬
‫ ∞‬
‫[‬
‫‪1‬‬
‫= }‪{α|aα > 0‬‬
‫> ‪α|aα‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n=1‬‬
‫ומכיוון שזה איחוד בן־מניה של קבוצות סופיות‪ ,‬נסיק שזו קבוצה בת־מניה‪.‬‬
‫‪31.2‬‬
‫אפיון שקול לסכום של קבוצה‬
‫תהי )∞ ‪ {aα }α∈A ⊆ [0,‬קבוצה בת־מניה‪ ,‬כך שכל איבריה מוצגים בסדרה מהצורה‪:‬‬
‫∞‬
‫‪{aα }α∈A = {a1 , a2 , ...} = (an )n=1‬‬
‫אזי מתקיים‪:‬‬
‫!‬
‫‪an‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪aα = lim‬‬
‫∞→ ‪N‬‬
‫‪75‬‬
‫‪X‬‬
‫‪α∈A‬‬
‫הוכחה‬
‫נסמן את האיבר הכללי בסדרה ‪an = SN‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪.‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪ .1‬ברור מהגדרת סכום של קבוצה בחסם עליון‪ ,‬שלכל ‪ n ∈ N‬מתקיים‪:‬‬
‫‪aα‬‬
‫‪X‬‬
‫≤ ‪an‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪SN‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪α∈A‬‬
‫כמו־כן נשים לב שמחיוביות הקבוצה נובע שהסדרה ‪ SN‬היא סדרה מונוטונית לא־‬
‫יורדת‪:‬‬
‫‪SN +1 = SN + aN +1 ≥ SN‬‬
‫מכאן שהסדרה ‪ SN‬מתכנסת )התכנסות במובן הרחב( לחסם העליון )חסם במובן‬
‫הרחב( שלה‪.‬‬
‫‪X‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .2‬נותר להוכיח כי החסם העליון של ‪ SN‬הוא הסכום ‪aα‬‬
‫‪α∈A‬‬
‫לשם כך נדון בשני מקרים‪.‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ ,‬אזי מהגדרת החסם העליון נובע שלכל ‪ > 0‬קיימים האיברים‬
‫• אם ∞ < ‪aα‬‬
‫‪α∈A‬‬
‫‪ a∗1 , a∗2 , ..., a∗m‬ב־} ‪ ,{aα‬כך ש‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫ ‪aα −‬‬
‫> ‪a∗α = a∗1 + a∗2 + ... + a∗m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫‪α=1‬‬
‫‪α∈A‬‬
‫מכיוון שזו קבוצה עם סכום סופי‪ ,‬נסיק שקיים ‪ N‬מספיק גדול כך ש‪:‬‬
‫} ‪{a∗1 , a∗2 , ..., a∗m } ⊆ {a1 , a2 , ..., aN‬‬
‫נשים לב שמתקיים‪:‬‬
‫ ‪aα −‬‬
‫‪X‬‬
‫> ‪SN > Sm‬‬
‫‪α∈A‬‬
‫ובצירוף הנתון מחלקה הראשון של ההוכחה‪aα ,‬‬
‫‪X‬‬
‫≤ ‪ ,SN‬נקבל‪:‬‬
‫‪α∈A‬‬
‫ ‪aα +‬‬
‫‪X‬‬
‫‪α∈A‬‬
‫< ‪aα‬‬
‫‪X‬‬
‫≤ ‪aα − < SN‬‬
‫‪α∈A‬‬
‫⇓‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪X‬‬
‫‬
‫‬
‫ < ‪aα‬‬
‫‪SN −‬‬
‫‬
‫‬
‫‪α∈A‬‬
‫‪76‬‬
‫‪X‬‬
‫‪α∈A‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫ ‪X‬‬
‫‬
‫מכאן שלכל ‪ > 0‬קיים ‪ N‬מספיק גדול המקיים < ‪aα‬‬
‫‪ ,SN −‬ומכאן ש‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪α∈A‬‬
‫‪aα‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪lim SN‬‬
‫∞→ ‪N‬‬
‫‪α∈A‬‬
‫• אם ∞ = ‪aα‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ ,‬אזי לכל ‪ M ∈ R‬קיימים האיברים ‪ a∗1 , a∗2 , ..., a∗m‬ב־} ‪ ,{aα‬כך ש‪:‬‬
‫‪α∈A‬‬
‫‪a∗α = a∗1 + a∗2 + ... + a∗m > M‬‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫‪α=1‬‬
‫ולכן עבור ‪ N‬מספיק גדול‪ ,‬לכל ‪ k > N‬מתקיים כי ‪ ,Sk > M‬מכאן שמתקיים‪:‬‬
‫∞ = ‪lim SN‬‬
‫∞→ ‪N‬‬
‫‬
‫דוגמה‬
‫נניח כי }‪ .A = {2−n |n ∈ N‬נוכיח כי ‪a = 1‬‬
‫‪X‬‬
‫באמצעות המשפט האחרון‪.‬‬
‫‪a∈A‬‬
‫נסדר את כל איברי ‪ A‬בסדרה הבאה‪:‬‬
‫‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪, , , ...‬‬
‫‪2 4 8‬‬
‫ונחשב לפי נוסחת הסכום של טור גאומטרי‪:‬‬
‫!‬
‫‬
‫‬
‫‪1 1 − 21N‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪lim‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪=1‬‬
‫∞→ ‪N‬‬
‫‪2 1 − 12‬‬
‫‪2N‬‬
‫‪31.3‬‬
‫‬
‫=‪A‬‬
‫!‬
‫‪= lim‬‬
‫∞→ ‪N‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪a = lim‬‬
‫∞→ ‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪α∈A‬‬
‫הרחבת מושג הסכום של קבוצה‬
‫נניח כי ‪ {aα }α∈A‬קבוצה של מספרים ממשיים כלשהם‪ ,‬חיוביים או שליליים‪ ,‬ונניח גם‬
‫‪X‬‬
‫‪.‬‬
‫שמתקיים ∞ < | ‪|aα‬‬
‫‪α∈A‬‬
‫נגדיר את הסכום של הקבוצה באופן הבא‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪aα‬‬
‫‪aα −‬‬
‫) ‪(−aα‬‬
‫‪α∈A‬‬
‫‪α∈A‬‬
‫‪aα <0‬‬
‫‪aα ≥0‬‬
‫‪α∈A‬‬
‫הבהרה‪ :‬מההנחה שסכום הערכים המוחלטים של איברי הקבוצה הוא סופי‪ ,‬נובע שכל אחד‬
‫משני הביטויים שמשמשים להגדרה הם סופיים‪ ,‬ולכן זה מוגדר היטב‪.‬‬
‫‪77‬‬
‫טור אינסופי‬
‫‪32‬‬
‫∞‬
‫תהי ‪ (an )n=1‬סדרה של מספרים ממשיים‪ ,‬חיוביים או שליליים‪ ,‬אזי הביטוי ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫נקרא‬
‫‪n=1‬‬
‫"טור אינסופי"‪ ,‬או בקיצור "טור"‪.‬‬
‫‪24‬‬
‫סכום חלקי‬
‫יהי ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫טור אינסופי‪ .‬נגדיר ונסמן את "הסכום החלקי ה־‪n‬י" את סכום ‪ n‬האיברים‬
‫‪n=1‬‬
‫‪25‬‬
‫הראשונים‪:‬‬
‫‪ak‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪Sn‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪33‬‬
‫התכנסות של טור‬
‫נאמר שטור מהצורה ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫∞‬
‫הוא "טור מתכנס"‪ ,‬אם סדרת הסכומים החלקיים שלו ‪(Sn )n=1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫מתכנסת לגבול ממשי כלשהו ‪ .s‬כלומר‪:‬‬
‫‪lim Sn = s ∈ R‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫במקרה זה נאמר כי ‪ s‬הוא סכום הטור ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪ .‬אם לא קיים ‪ s‬כזה נאמר שהטור מתבדר‪.‬‬
‫‪n=1‬‬
‫הערה הטענה שטור מתבדר כוללת ‪ 3‬מקרים שונים‪:‬‬
‫‪ .1‬לסדרה ) ‪ (Sn‬אין גבול בשום מובן‪.‬‬
‫‪ .2‬הסדרה ) ‪ (Sn‬מתכנסת במובן הרחב ל־∞‪ .‬במקרה כזה נאמר כי הטור מתבדר ל־∞‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫ונסמן ∞ = ‪an‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪ .3‬הסדרה ) ‪ (Sn‬מתכנסת במובן הרחב ל־∞‪ .−‬במקרה כזה נאמר כי הטור מתבדר‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫ל־∞‪ −‬ונסמן ∞‪an = −‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪24‬הוכחנו לעיל שכל קבוצה שיש לה סכום סופי היא בת־מניה‪ ,‬ולכן אין טעם לדון בקבוצות שאינם בנות מניה‬
‫ונניח שהאיברים ניתנים לסידור‪.‬‬
‫‪25‬חשוב שהאיברים יהיו ראשונים‪ ,‬כי בהמשך נראה שבטורים אינסופיים לעתים יש חשיבות לסדר הסכימה‪.‬‬
‫‪78‬‬
‫‪33.1‬‬
‫הקשר בין סכום של קבוצה להתכנסות של טור‬
‫נניח כי ) ‪ (an‬סדרה אינסופית של מספרים אי־שליליים‪.‬‬
‫ניתן להתייחס אליה כאל קבוצה ולדון על הסכום שלה ‪an‬‬
‫‪X‬‬
‫במובן של סכום על קבוצה‬
‫‪n∈N‬‬
‫שהגדרנו‪ ,‬שהוא החסם העליון של כל הסכומים החלקיים האפשריים‪ ,‬ללא תלות בסדר‬
‫הסכימה‪.‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪ ,‬שהוא הגבול של סדרת‬
‫וניתן גם להתייחס אליה כאל סדרה ולדון על הטור שלה ‪an‬‬
‫‪n=1‬‬
‫הסכומים החלקיים של ‪ n‬האיברים הראשונים‪.‬‬
‫מהמשפט שהוכחנו )אפיון שקול לסכום של קבוצה( נובעת שקילות בין שני סוגי הסכומים‬
‫הללו‪ ,‬כלומר‪:‬‬
‫‪an‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪n∈N‬‬
‫ושוויון זה אינו רק בערך הסכום של הקבוצה והטור‪ ,‬אלא גם בעצם קיום הסכום והטור‪.‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫מתכנס‪ .‬במקרה כזה גם סכומם‬
‫אמ"מ הטור ‪an‬‬
‫כלומר‪ ,‬קיים הסכום הסופי ‪an‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪n∈N‬‬
‫שווה‪.‬‬
‫דוגמה ־ טור הנדסי‬
‫טור הנדסי מורכב מאיברים שמוגדרים באמצעות הפרמטרים ‪ a0 , α ∈ R‬בצורה הבאה‪:‬‬
‫‪an = a0 αn‬‬
‫נשים לב לשוויון הטלסקופי‪:‬‬
‫‪26‬‬
‫)‪αn+1 − 1 = (α − 1) (αn + ... + α + 1‬‬
‫⇓‬
‫‪αn+1 − 1‬‬
‫)‪= (αn + ... + α + 1‬‬
‫‪α−1‬‬
‫מכאן שסכום חלקי כללי של טור מסוג זה ניתן לביטוי באופן הבא‪:‬‬
‫‪αn+1 − 1‬‬
‫‪α−1‬‬
‫⇓‬
‫‬
‫‪ n+1‬‬
‫‪ n+1‬‬
‫‪α‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪α‬‬
‫‪−α‬‬
‫‪−1 = a0‬‬
‫‪Sn = a0‬‬
‫‪α−1‬‬
‫‪α−1‬‬
‫· ‪Sn + a0 = a0 (αn + ... + α + 1) = a0‬‬
‫בכדי לקבוע האם הטור מתכנס או מתבדר נשתמש באפיון השקול ונבדוק את הגבול של‬
‫סדרה הסכומים החלקיים‪:‬‬
‫‪ n+1‬‬
‫ ‬
‫‪−α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪−α‬‬
‫‪a0 · α−1‬‬
‫‪= a0 · 1−α‬‬
‫‪for |α| < 1‬‬
‫‪lim a0‬‬
‫=‬
‫∞→‪n‬‬
‫∞‬
‫‪for |α| ≥ 1‬‬
‫‪α−1‬‬
‫‪26‬שוויון זה מתקיים רק עבור ‪ ,α 6= 1‬כדי שלא נחלק ב־‪ .0‬במקרה שבו ‪ α = 1‬קל לראות שסכום הטור ההנדסי‬
‫הוא ‪.a0 n‬‬
‫‪79‬‬
‫לכן טור הנדסי מתכנס אמ"מ ‪ ,|α| < 1‬ובמקרה שהוא מתכנס סכום הטור הוא‪:‬‬
‫‪α‬‬
‫‪1−α‬‬
‫· ‪a0 αn =a0‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=1‬‬
‫דוגמה ־ טור טלסקופי‬
‫‪1‬‬
‫)‪n(n+1‬‬
‫= ‪.an‬‬
‫נבחן את הטור של‬
‫נשים לב שמתקיים עבור כל סכום חלקי של הטור‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+ ... +‬‬
‫=‬
‫‪1·2 2·3 3·4‬‬
‫)‪n (n + 1‬‬
‫‬
‫ ‬
‫ ‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= 1−‬‬
‫‪+‬‬
‫‪−‬‬
‫‪+‬‬
‫‪−‬‬
‫‪+ ... +‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪3 4‬‬
‫‪n n+1‬‬
‫= ‪Sn‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n+1‬‬
‫‪= 1−‬‬
‫קל לראות שכאשר ∞ → ‪ n‬סדרה הסכומים החלקיים מתכנסת ל־‪ ,1‬ולכן‪:‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪(n‬‬
‫)‪+ 1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫דוגמה‬
‫‪√1‬‬
‫‪n‬‬
‫= ‪.an‬‬
‫נבחן את הטור של‬
‫נשים לב שמתקיים אי השוויון הבא‪:‬‬
‫√‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Sn = 1 + √ + ... + √ ≥ √ + √ + ... + √ = √ = n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫מכאן שעל־אף שהאיבר הכללי של הסדרה מתכנס ל־‪ ,0‬סדרת הסכומים החלקיים של הטור‬
‫מתכנסת לאינסוף ולכן הטור מתבדר‪.‬‬
‫‪33.2‬‬
‫קריטריון קושי להתכנסות טור‬
‫טור כלשהו ‪an‬‬
‫מתקיים כי‪:‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫מתכנס אמ"מ לכל ‪ > 0‬קיים ‪ N ∈ N‬כך שלכל ‪ n > N‬ולכל ‪k ∈ N‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ n+k‬‬
‫‬
‫ ‪ X‬‬
‫ < ‪al‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪l=n+1‬‬
‫‪80‬‬
‫הוכחה‬
‫תהי ‪ Sn‬סדרת הסכומים החלקיים של הטור ‪an‬‬
‫לפי הגדרת התכנסות של טור‪ ,‬הטור ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪.‬‬
‫‪n=1‬‬
‫מתכנס ⇔ הסדרה ‪ Sn‬מתכנסת ⇔ ‪ Sn‬סדרת‬
‫‪n=1‬‬
‫קושי‪.‬‬
‫המשמעות של הקביעה כי ‪ Sn‬היא סדרה קושי‪ ,‬היא שלכל ‪ > 0‬קיים ‪ N ∈ N‬כך שלכל‬
‫‪ n > N‬ולכל ‪ k ∈ N‬מתקיים‪:‬‬
‫‬
‫‪n+k‬‬
‫‬
‫‬
‫‪n‬‬
‫‬
‫‪X‬‬
‫‪ n+k‬‬
‫‪X‬‬
‫‬
‫ ‪ X‬‬
‫ = | ‪|Sn+k − Sn‬‬
‫‪al −‬‬
‫ = ‪al‬‬
‫<‬
‫‬
‫‬
‫ ‬
‫‪l=n+1‬‬
‫‪l=1‬‬
‫‪l=1‬‬
‫‬
‫‪33.3‬‬
‫הטור ההרמוני‬
‫• נראה שהטור הריבועי של הטור ההרמוני מתכנס‪ ,‬לפי קריטריון קושי‪:‬‬
‫‬
‫ ‬
‫‪ n+k‬‬
‫‬
‫ ‪ X 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪...‬‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫≤‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪l‬‬
‫)‪(n + 1‬‬
‫)‪(n + 2‬‬
‫ )‪(n + k‬‬
‫‪l=n+1‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫=‬
‫≤‬
‫‪+‬‬
‫‪+ ... +‬‬
‫)‪n (n + 1) (n + 1) (n + 2‬‬
‫ )‪(n + k − 1) (n + k‬‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪ 1‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫‪−‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫‪+ ... +‬‬
‫)‪n (n + 1‬‬
‫)‪(n + 1) (n + 2‬‬
‫ )‪(n + k − 1) (n + k‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫ ‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‪= −‬‬
‫<‬
‫‪−→ 0‬‬
‫‬
‫‪n n+k‬‬
‫∞→‪n n‬‬
‫• נראה שהטור ההרמוני מתבדר‪:‬‬
‫נשים לב שאם טור כלשהו מתכנס‪ ,‬סדרת הסכומים החלקיים שלו ‪ Sn‬מתכנסת ל־‪s‬‬
‫כלשהו‪ ,‬ובפרט גם תת הסדרה ‪ S2n‬מתכנסת לאותו גבול‪ .‬מכאן שסדרת ההפרש‬
‫ביניהן צריכה להתכנס ל־‪.0‬‬
‫נראה שבטור ההרמוני זה לא כך‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+ ... +‬‬
‫·‪≥n‬‬
‫=‬
‫‪n+1 n+2‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪2‬‬
‫מכאן שסדרת הסכומים החלקיים של הטור ההרמוני לא מתכנסת‪ .‬‬
‫= ‪S2n − Sn‬‬
‫‪33.4‬‬
‫תנאי להתכנסות טור‬
‫אם טור ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫מתכנס‪ ,‬אזי האיבר הכללי שלו שואף ל־‪ 0‬באינסוף‪.‬‬
‫‪27‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪27‬זה תנאי הכרחי אך לא מספיק‪ .‬למשל הטור ההרמוני מתבדר למרות שהאיבר הכללי שלו שואף ל־‪.0‬‬
‫‪81‬‬
‫הוכחה‬
‫נתון שהטור מתכנס‪ ,‬ולפיכך סדרת הסכומים החלקיים שלו ‪ Sn‬מתכנסת ל־‪ s‬כלשהו‪ ,‬ובפרט‬
‫גם כל תת־סדרה שלה‪ ,‬למשל ‪ ,Sn+1‬מתכנסת ל־‪.s‬‬
‫מכאן שסדרת ההפרשים מתכנסת ל־‪ .0‬נסיק מכך‪:‬‬
‫‪an = (Sn+1 − Sn ) −→ 0‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‬
‫‪33.5‬‬
‫הטור ‪ m‬זנב‬
‫בהינתן טור ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫ובהינתן ‪ ,m ∈ N‬הטור "‪ m‬זנב" הוא הטור שמוגדר‪:‬‬
‫‪n=1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪an‬‬
‫‪n=m+1‬‬
‫אם ה־‪ m‬זנב הוא טור מתכנס‪ ,‬נסמן את סכומו‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ak‬‬
‫‪k=m+1‬‬
‫‪33.5.1‬‬
‫‪an = lim‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫= ‪rm‬‬
‫‪n=m+1‬‬
‫הקשר בין התכנסות טור להתכנסות הזנבות שלו‬
‫‪ .1‬אם ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫הוא טור מתכנס שסכומו ‪ ,s‬אזי לכל ‪ m‬מתקיים כי הטור ‪ m‬זנב מתכנס‪,‬‬
‫‪n=1‬‬
‫ומתקיים כי סכומו הוא ‪.rm = s − Sm‬‬
‫‪ .2‬אם ידוע שקיים ‪ m ∈ N‬שעבורו ‪ m‬זנב הוא טור מתכנס‪ ,‬אזי הטור ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫מתכנס‪,‬‬
‫‪n=1‬‬
‫ומתקיים כי סכומו הוא ‪.s = rm + Sm‬‬
‫הוכחה‬
‫‪ .1‬לפי הנתון מתקיים כי ‪ .Sn −→ s‬נסמן את סדרת הסכומים החלקיים של ‪ m‬זנב‬
‫∞→‪n‬‬
‫ב־ ‪ .σk‬כלומר ‪an‬‬
‫‪m+k‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪.σk‬‬
‫‪n=m+1‬‬
‫נשים לב שמתקיים‪:‬‬
‫‪σk = (Sm+k − Sm ) −→ s − Sm‬‬
‫∞→‪k‬‬
‫‪82‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪ .2‬נתון כי ‪an‬‬
‫= ‪ rm‬טור מתכנס‪ .‬נסיק מכך‪:‬‬
‫‪n=m+1‬‬
‫!‬
‫‪−→ Sm + rm‬‬
‫‪al‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪Sn‬‬
‫‪Sm +‬‬
‫‪l=m+1‬‬
‫‬
‫מסקנות‬
‫‪ .1‬אם מתבוננים בסדרת הזנבות ‪ ,rm‬מתקיים כי ‪.rm −→ 0‬‬
‫∞→‪m‬‬
‫]הוכחנו שמתקיים ‪ ,rm = s − Sm‬ונשים לב כי ‪[.Sm −→ s‬‬
‫∞→‪m‬‬
‫‪ .2‬כל שינוי‪/‬הוספה‪/‬החסרה של מספר סופי מאיברי הטור‪ ,‬לא משפיעה על שאלת‬
‫התכנסות הטור‪.‬‬
‫אריתמטיקה של טורים‬
‫‪33.6‬‬
‫יהיו ‪an = α‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪bn = β ,‬‬
‫‪n=1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪ ,‬ויהי ‪.c ∈ R‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪α ≥ 0 ⇐ ∀n an ≥ 0 .1‬‬
‫‪α ≤ β ⇐ ∀n an ≤ bn .2‬‬
‫‪(an ± bn ) = α ± β .3‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫בהתאמה‪.‬‬
‫‪n=1‬‬
‫הערה‪ :‬ההפך לא נכון‪ .‬כלומר‪ ,‬ייתכן שהטור ) ‪(an ± bn‬‬
‫מהטורים ‪bn‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪can = cα .4‬‬
‫‪an ,‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫מתכנס‪ ,‬אבל כל אחד‬
‫‪n=1‬‬
‫אינו מתכנס‪.‬‬
‫‪28‬‬
‫‪n=1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=1‬‬
‫הוכחות‬
‫‪ .1‬נתון כי ‪ 0 ≤ an‬לכל ‪ ,n‬ולכן מתקיים לכל סכום חלקי ‪ ,Sn ≥ 0‬ומאריתמטיקה של‬
‫גבולות נובע כי ‪.0 ≤ α‬‬
‫‪ .2‬נתון כי ‪ an ≤ bn‬לכל ‪ ,n‬ולכן מתקיים לכל סכום חלקי ‪ ,Sn,an ≤ Sn,bn‬ומאריתמטיקה‬
‫של גבולות נובע כי ‪.α ≤ β‬‬
‫‪28‬יש לבחון התכנסות של ‪ 4‬טורים‪(an − bn ) :‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪(an + bn ) ,‬‬
‫‪n=1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪bn ,‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪an ,‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪.‬‬
‫‪n=1‬‬
‫אפשר לחשב ולראות שהתכנסות של כל שניים מהם גוררת את התכנסות גם השניים האחרים‪.‬‬
‫‪83‬‬
‫‪ .3‬נחשב את הסכום החלקי של סדרת הסכום‪/‬הפרש‪:‬‬
‫!‬
‫‪N‬‬
‫‪N‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫=‬
‫= ) ‪(an ± bn‬‬
‫‪an ±‬‬
‫‪bn −→ α ± β‬‬
‫∞→ ‪N‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪SN‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪ .4‬נחשב את הסכום החלקי של הסדרה המוכפלת בקבוע‪ֳ:‬‬
‫‪an −→ cα‬‬
‫∞→ ‪N‬‬
‫‪34‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪can = c‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪SN‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫טורים חיוביים‬
‫∞‬
‫אם ‪ (an )n=1‬סדרה אינסופית כך ש־‪ ,∀n an ≥ 0‬אזי הטור ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫נקרא טור חיובי‪.‬‬
‫‪n=1‬‬
‫תכונה ‪ 1‬במקרה של טור חיובי‪ ,‬קל לראות שאין חשיבות לסדר הסכימה‪ ,‬הן לגבי עצם‬
‫התכנסות הטור והם לגבי הסכום שלו‪.‬‬
‫תכונה ‪ 2‬במקרה של טור חיובי‪ ,‬סדרת הסכומים החלקיים מונוטונית עולה‪ ,‬ולפיכך הטור‬
‫מתכנס אמ"מ סדרת הסכומים החלקיים חסומה‪.‬‬
‫כמו־כן‪ ,‬אם הטור מתבדר אז הוא בהכרח מתבדר ל־∞‪.‬‬
‫‪34.1‬‬
‫יהיו ‪an‬‬
‫אזי‪:‬‬
‫קריטריון ההשוואה‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪bn ,‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪ .1‬אם ‪bn‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫טורים חיוביים‪ ,‬ונניח שקיים ‪ N ∈ N‬כך ש־ ‪.∀n>N an ≤ bn‬‬
‫‪n=1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫מתכנס אז גם ‪an‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪ .2‬אם ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫‪n=1‬‬
‫מתבדר אז גם ‪bn‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫מתבדר‪.‬‬
‫‪n=1‬‬
‫הוכחה ]נשים לב ששני הסעיפים שקולים[‬
‫מהתכנסות ‪bn‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫נובע כי גם הטור ‪ N‬זנב ‪bn‬‬
‫‪n=1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫‪n=N +1‬‬
‫מהנתון ש־ ‪ ∀n>N an ≤ bn‬נובע שסדרה הסכומים החלקיים ‪an‬‬
‫‪k‬‬
‫‪X‬‬
‫חסומה לכל ‪.k‬‬
‫‪n=N +1‬‬
‫מכיוון שאלו טורים חיוביים נסיק כי הטור ‪ N‬זנב ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫‪n=N +1‬‬
‫מטענה שהוכחנו לעיל נובע כי אם קיים זנב מתכנס אז גם הטור מתכנס‪ .‬‬
‫‪84‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫מסקנה כל טור מהצורה‬
‫‪nβ‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪34.2‬‬
‫עבור ‪ 0 ≤ β ≤ 1‬מתבדר ל־∞‪ ,‬כי מתקיים‬
‫‪1‬‬
‫‪nβ‬‬
‫≤‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪.∀n‬‬
‫מבחן המנה )‪(1‬‬
‫יהיו ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪bn ,‬‬
‫‪n=1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫טורים חיוביים‪.‬‬
‫‪n=1‬‬
‫אם קיימים ‪ ,0 < α, β ∈ R‬ו־‪ N ∈ N‬כך שלכל ‪ n > N‬מתקיים‪:‬‬
‫‪an‬‬
‫‪≤β‬‬
‫‪bn‬‬
‫≤‪0<α‬‬
‫אזי שני הטורים מתכנסים ומתבדרים יחד‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫נסיק מההנחה שמתקיים‪:‬‬
‫‪0 < αbn ≤ an ≤ βbn‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫לכן אם ‪bn‬‬
‫מתכנס אז גם ‪βbn‬‬
‫‪n=1‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫‪n=1‬‬
‫באותו אופן נסיק כי אם ‪an‬‬
‫נסיק שגם ‪bn‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫מתכנס‪ ,‬ולפי מבחן ההשוואה נסיק שגם ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫מתבדר אז גם ‪βbn‬‬
‫‪n=1‬‬
‫מתבדר‪ ,‬ולפיכך ממבחן ההשוואה‬
‫‪n=1‬‬
‫מתבדר‪ .‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪an‬‬
‫מסקנה אם קיים הגבול ‪−→ L‬‬
‫∞→‪bn n‬‬
‫∞‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪an‬‬
‫‪bn ,‬‬
‫מתכנסים ומתבדרים יחד‪.‬‬
‫)גם אם גבול עליון( כאשר ‪ ,0 < L ∈ R‬אזי הטורים‬
‫‪n=1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫מכיוון שהסדרה ‪ abnn‬מתכנסת לגבול חיובי‪ ,‬הרי שניתן לחסום אותה בין שני מספרים‬
‫חיוביים‪ ,‬ולכן מתקיימים תנאי מבחן המנה‪.‬‬
‫‪34.3‬‬
‫יהיו ‪an‬‬
‫מבחן המנה )‪(2‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪bn ,‬‬
‫‪n=1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫טורים חיוביים‪.‬‬
‫‪n=1‬‬
‫אם קיים ‪ N ∈ N‬כך שלכל ‪ n > N‬מתקיים‪:‬‬
‫‪an+1‬‬
‫‪bn+1‬‬
‫≤‬
‫‪an‬‬
‫‪bn‬‬
‫אזי‪:‬‬
‫‪ .1‬אם ‪bn‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=1‬‬
‫מתכנס אז גם ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪85‬‬
‫‪ .2‬אם ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫מתבדר אז גם ‪bn‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫מתבדר‪.‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫הוכחה ]נשים לב ששני הסעיפים שקולים[‬
‫נשים לב שלכל ‪ 1 < k ∈ N‬מתקיים‪:‬‬
‫‪aN +k‬‬
‫‪aN +k‬‬
‫‪aN +2 aN +3 aN +4‬‬
‫·‬
‫·‬
‫· ‪· ...‬‬
‫=‬
‫≤‬
‫‪aN +1 aN +2 aN +3‬‬
‫‪aN +k−1‬‬
‫‪aN +1‬‬
‫‪bN +2 bN +3 bN +4‬‬
‫‪abN +k‬‬
‫‪bN +k‬‬
‫·‬
‫·‬
‫· ‪· ...‬‬
‫=‬
‫‪bN +1 bN +2 bN +5‬‬
‫‪bN +k−1‬‬
‫‪bN +1‬‬
‫≤‬
‫מכאן שמתקיים‪:‬‬
‫‪aN +k‬‬
‫‪bN +k‬‬
‫≤‬
‫‪aN +1‬‬
‫‪bN +1‬‬
‫⇓‬
‫‪bN +1 · aN +k ≤ bN +k · aN +1‬‬
‫נשים לב כי הביטויים ‪ bN +1 ,aN +1‬הם קבועים חיוביים כלשהם‪ ,‬ואי השוויון הנ"ל נכון לכל‬
‫‪ 1 < k ∈ N‬ולכן מתקיימים תנאי מבחן ההשוואה‪ .‬‬
‫מבחן קושי‬
‫‪34.4‬‬
‫יהי ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫טור חיובי‪ .‬אזי‪:‬‬
‫‪n=1‬‬
‫√‬
‫‪ .1‬אם קיימים ‪ 0 < q < 1‬ו־‪ N ∈ N‬כך שלכל ‪ n > N‬מתקיים ‪ , n an < q‬אז הטור‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫√‬
‫‪ .2‬אם קיימים אינסוף ערכים שעבורם ‪ , n an ≥ 1‬אז הטור מתבדר‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫√‬
‫‪n‬‬
‫< ‪ 0‬נסיק כי ‪.an < q n < 1‬‬
‫‪ .1‬מההנחה ‪an < q < 1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫הוא טור הנדסי שהפרמטר שלו קטן מ־‪ ,1‬ולכן מתכנס‪ .‬לפי‬
‫נשים לב שהטור ‪q n‬‬
‫‪n=1‬‬
‫מבחן ההשוואה נסיק כי ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫‪n=1‬‬
‫√‬
‫‪n‬‬
‫‪ .2‬אם קיימים אינסוף ערכים המקיימים ‪an ≥ 1‬‬
‫האיבר הכללי לא מתכנס ל־‪.0‬‬
‫‬
‫√‬
‫√‬
‫מסקנה אם ‪ lim n an < 1‬אז הטור מתכנס‪ ,‬ואם ‪ lim n an > 1‬אז הטור מתבדר‪.‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫√‬
‫בפרט אם קיים הגבול הכללי ‪ lim n an = c‬קיים‪ ,‬אז כל הגבולות החלקיים גם‬
‫∞→‪n‬‬
‫שווים ל־‪ ,c‬ולכן ההתכנסות תלויה בערך ‪.c‬‬
‫‪86‬‬
‫אז הם גם מקיימים ‪ ,an ≥ 1‬ולכן‬
‫‪34.5‬‬
‫יהי ‪an‬‬
‫מבחן דלאמבר‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫טור חיובי‪ .‬אזי‪:‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪an+1‬‬
‫‪ .1‬אם קיימים ‪ 0 < q < 1‬ו־‪ N ∈ N‬כך שלכל ‪ n > N‬מתקיים ‪< q‬‬
‫‪an‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫‪an+1‬‬
‫‪ ,‬אז הטור מתבדר‪.‬‬
‫‪ .2‬אם קיים ‪ N ∈ N‬כך שלכל ‪ n > N‬מתקיים ‪≥ 1‬‬
‫‪an‬‬
‫‪ ,‬אז הטור‬
‫הוכחה‬
‫‪ .1‬נגדיר ‪ ,bn = q n‬ונשים לב שהטור ‪bn‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫מתכנס עבור ‪.0 < q < 1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪q n+1‬‬
‫‪bn+1‬‬
‫נשים לב כי מתקיים ‪= n = q < 1‬‬
‫‪ ,‬ומכאן שעבור ‪ n > N‬מתקיים‬
‫‪bn‬‬
‫‪q‬‬
‫‪an+1‬‬
‫‪bn+1‬‬
‫‪ ,‬ולכן ממבחן קודם נובע שהטור מתכנס‪.‬‬
‫≤‬
‫‪an‬‬
‫‪bn‬‬
‫‪an+1‬‬
‫אז ‪ ,an+1 ≥ an‬ולכן האיבר הכללי של הטור לא מתכנס ל־‪.0‬‬
‫‪ .2‬אם ‪≥ 1‬‬
‫‪an‬‬
‫‬
‫‪an+1‬‬
‫‪an+1‬‬
‫‪ lim‬אז הטור מתכנס‪ ,‬ואם ‪> 1‬‬
‫מסקנה אם ‪< 1‬‬
‫‪n→∞ an‬‬
‫‪n→∞ an‬‬
‫‪ lim‬אז הטור מתבדר‪.‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪αn‬‬
‫מסקנה טור מהצורה‬
‫!‪n‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪34.6‬‬
‫הטור של‬
‫‪29‬‬
‫מתכנס‪ ,‬לפי מבחן דלאמבר‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪nβ‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫נגדיר את הטור‬
‫‪β‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n=1‬‬
‫אם ‪ β > 1‬הטור מתכנס‪ ,‬ואם ‪ 0 < β ≤ 1‬הטור מתבדר‪.‬‬
‫עבור ‪.0 ≤ β ∈ R‬‬
‫הוכחה הוכחנו את נכונות הטענה עבור הטור ההרמוני‪ ,‬כלומר עבור ‪ .β = 1‬לכן ממבחן‬
‫ההשוואה נובע שלכל ‪ 0 < β < 1‬הטור מתבדר‪.‬‬
‫‪an+1‬‬
‫‪29‬נשים לב כי אם ‪= 1‬‬
‫‪an‬‬
‫מתבדר )ניתן להוכיח לפי מבחן ההשוואה עם הטור של‬
‫‪ lim‬לא ניתן לדעת האם הטור מתכנס או מתבדר‪ .‬למשל הטור של‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.( 2n‬‬
‫‪87‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n+1‬‬
‫נניח כי ‪ ,β > 1‬אז לכל ‪ m ∈ N‬מתקיים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪+ β + β + β + β + β + ...‬‬
‫‪β‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‬
‫= ‪+ ...‬‬
‫‪1‬‬
‫≤‬
‫‪nβ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+ β + β + β‬‬
‫‪β‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪m‬‬
‫‪2X‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪n=2m−1‬‬
‫‬
‫‬
‫‪+‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+ β‬‬
‫‪β‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪m−1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‬
‫‪=1+‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪7‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+ ... +‬‬
‫‪β‬‬
‫‪β‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪nβ‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪n=2‬‬
‫‪n=4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+ 4 β + ... + 2m−1‬‬
‫=‬
‫‪β‬‬
‫‪m−1‬‬
‫‪2β‬‬
‫‪4‬‬
‫‪(2‬‬
‫)‬
‫‪1−β‬‬
‫‪=1+‬‬
‫‪m‬‬
‫‪2X‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪≤1+2‬‬
‫‪= 1 + 21−β + 41−β + ... + 2m−1‬‬
‫‪+ ... + 21−β‬‬
‫‪21−β‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪≤1+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪= 1 + 21−β + 21−β‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪21−β‬‬
‫‪m−1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪=1+‬‬
‫‪n=1‬‬
‫מכיוון ש־‪ β > 1‬אז ‪ ,21−β < 1‬ולכן קיבלנו טור הנדסי עם פרמטר מתאים קטן מ־‪ ,1‬ולכן‬
‫הוא מתכנס‪.‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫עבור ‪ β > 1‬חסומה ע"י סכום הטור‬
‫מכאן שסדרת הסכומים החלקיים של‬
‫‪nβ‬‬
‫‪n=1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n‬‬
‫‪.1 +‬‬
‫‪21−β‬‬
‫‪n=1‬‬
‫מכיוון שמדובר בטור חיובי‪ ,‬הרי שסדרת הסכומים החלקיים שלו מונוטונית עולה ממש‪,‬‬
‫ומכיוון שהיא גם חסומה הרי שהיא מתכנסת‪ ,‬ולכן לפי הגדרה הטור מתכנס‪ .‬‬
‫‪88‬‬
‫מבחני התכנסות של טורים חיוביים )סיכום מהתרגול(‬
‫‪35‬‬
‫יהיו ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫ו־ ‪bn‬‬
‫‪n=1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫טורים חיוביים‪ .‬כלומר‪ an , bn > 0 ,‬לכל ‪.n‬‬
‫‪n=1‬‬
‫מבחן ההשוואה‪ :‬אם קיים ‪ N ∈ N‬כך שלכל ‪ n > N‬מתקיים ‪ ,an ≤ bn‬אזי‪:‬‬
‫∞‬
‫∞‬
‫∞‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫מתבדר‪.‬‬
‫מתבדר אזי גם ‪bn‬‬
‫מתכנס‪ .‬אם ‪an‬‬
‫מתכנס אזי גם ‪an‬‬
‫אם ‪bn‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫מבחן ההשוואה באמצעות מנה‪ :‬יהיו ‪ 0 < α ≤ β‬ממשיים ויהי ‪.N ∈ N‬‬
‫אם קיים ‪ N ∈ N‬כך שלכל ‪ n > N‬מתקיים ‪ abnn ≤ β‬אזי‪:‬‬
‫∞‬
‫∞‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫מתבדר אז גם‬
‫מתכנס‪ .‬אם הטור ‪an‬‬
‫מתכנס אז גם הטור ‪an‬‬
‫‪ .1‬אם הטור ‪bn‬‬
‫הטור ‪bn‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫מתבדר‪.‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪ .2‬אם קיים ‪ N ∈ N‬כך שלכל ‪ n > N‬מתקיים ‪≤ β‬‬
‫ו־ ‪bn‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪an‬‬
‫‪bn‬‬
‫≤ ‪ ,0 < α‬אזי הטורים ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=1‬‬
‫מתכנסים ומתבדרים יחד‪.‬‬
‫‪n=1‬‬
‫מבחן ההשוואה הגבולי‪:‬‬
‫‪an‬‬
‫טענה ‪ 1‬נכונה גם אם במקום התנאי הנתון ידוע שקיים הגבול ‪=L‬‬
‫‪n→∞ bn‬‬
‫והגבול אי־שלילי )‪.(L ≥ 0‬‬
‫‪an‬‬
‫‪ lim‬במובן הצר‬
‫טענה ‪ 2‬נכונה גם אם במקום התנאי הנתון ידוע שקיים הגבול ‪= L‬‬
‫‪n→∞ bn‬‬
‫והגבול חיובי )‪.(L > 0‬‬
‫‪ lim‬במובן הצר‬
‫מבחן השורש )מבחן קושי(‪:‬‬
‫√‬
‫‪ .1‬אם קיימים הקבוע ‪ 0 < q < 1‬ו־‪ ,N ∈ N‬כך שלכל ‪ n > N‬מתקיים ‪ , n an ≤ q‬אזי‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫הטור ‪an‬‬
‫‪n=1‬‬
‫√‬
‫‪n‬‬
‫‪ .2‬אם עבור אינסוף ערכים של ‪ n‬מתקיים ‪ , an ≥ 1‬אזי הטור ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫מתבדר‪.‬‬
‫‪n=1‬‬
‫מבחן השורש הגבולי‪:‬‬
‫טענה ‪ 1‬נכונה גם אם במקום התנאי הנתון ידוע שקיים הגבול ‪an < 1‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫√‬
‫טענה ‪ 2‬גם אם במקום התנאי הנתון ידוע שקיים הגבול ‪. lim n an > 1‬‬
‫√‬
‫‪n‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪89‬‬
‫‪. lim‬‬
‫מבחן דלאמבר‪:‬‬
‫≤‬
‫‪q‬‬
‫מתקיים‬
‫‪n‬‬
‫>‬
‫‪N‬‬
‫שלכל‬
‫כך‬
‫‪N‬‬
‫∈‬
‫ו־‪N‬‬
‫‪0‬‬
‫<‬
‫‪q‬‬
‫<‬
‫‪1‬‬
‫מספר‬
‫‪ .1‬אם קיים‬
‫‪ , aan+1‬אזי הטור‬
‫‪n‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫‪an‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪ .2‬אם קיים ‪ N ∈ N‬כך שלכל ‪ n > N‬מתקיים ‪≥ 1‬‬
‫‪, aan+1‬‬
‫‪n‬‬
‫אזי הטור ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫מתבדר‪.‬‬
‫‪n=1‬‬
‫מבחן דלאמבר הגבולי‪:‬‬
‫‪an+1‬‬
‫‪. lim‬‬
‫טענה ‪ 1‬נכונה גם אם במקום התנאי הנתון ידוע שקיים הגבול ‪< 1‬‬
‫‪n→∞ an‬‬
‫‪an+1‬‬
‫‪. lim‬‬
‫טענה ‪ 2‬נכונה גם אם במקום התנאי הנתון ידוע שקיים הגבול ‪> 1‬‬
‫‪n→∞ an‬‬
‫√‬
‫הערה‪ :‬במבחן השורש מספיק שיתקיים ‪ n an ≥ 1‬עבור אינסוף ערכים‪ ,‬ולכן מבחן השורש‬
‫הגבולי הוא עבור גבול עליון‪.‬‬
‫‪ aan+1‬תמיד החל ממקום מסויים‪ ,‬ולכן מבחן‬
‫≥‬
‫‪1‬‬
‫שיתקיים‬
‫צריך‬
‫לעומת זאת במבחן המנה‬
‫‪n‬‬
‫המנה הגבולי הוא עבור גבול תחתון‪.‬‬
‫∞‬
‫מבחן העיבוי של קושי‪ :‬נניח כי ‪ (an )n=1‬סדרה של מספרים אי־שליליים שיורדת מונוטונית‬
‫∞‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫חלש‪ ,‬אזי הטורים ‪an‬‬
‫ו־ ‪mn amn‬‬
‫עבור ‪ 2 ≤ m ∈ N‬כלשהו‪ ,‬מתכנסים ומתבדרים‬
‫ביחד‪.‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫הערה‪ :‬הרעיון מאחורי מבחני השורש והמנה הוא השוואה לטור גיאומטרי‪ .‬מבחן השורש‬
‫חזק ממבחן המנה‪.‬‬
‫הרעיון מאחורי מבחן העיבוי של קושי הוא מעבר לסקלה לוגריתמית‪ .‬אפשר להתייחס אליו‬
‫כאל סוג של שינוי משתנה באינטגרל‪.‬‬
‫‪90‬‬
‫משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים‬
‫‪36‬‬
‫∞‬
‫תהי ‪ (an )n=1‬סדרה של מספרים חיוביים‪ .‬אם הסדרה מונוטונית ושואפת ל־‪ ,0‬אזי‪:‬‬
‫‪ .1‬הטור ‪an‬‬
‫‪n+1‬‬
‫)‪(−1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪ .2‬הסכום ‪ s‬של הטור מקיים ‪.0 ≤ s ≤ a1‬‬
‫‪ .3‬לכל ‪ ,m‬ה־‪ m‬זנב של הטור )כלומר‪ ,‬הסכום החל מהאיבר ה‪ (m + 1-‬מקיים ≤ | ‪|rm‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ ,am+1‬וכן ‪.(−1) rm ≥ 0‬‬
‫הוכחה‬
‫‪ .1‬תהי ‪ak‬‬
‫‪k+1‬‬
‫)‪(−1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪ Sn‬סדרת הסכומים החלקיים של הטור‪.‬‬
‫‪k=1‬‬
‫)א( נשים לב שעבור תת הסדרה ‪ S2n‬מתקיים‪:‬‬
‫) ‪S2n = (a1 − a2 ) + (a3 − a4 ) + ... + (a2n−1 − a2n‬‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫} ‪| {z } | {z‬‬
‫‪>0‬‬
‫‪>0‬‬
‫‪>0‬‬
‫בכל סוגריים של תת הסדרה הזו יש איבר חיובי בגלל המונוטוניות והחיוביות‬
‫של ‪ ,an‬ולכן הסדרה ‪ S2n‬מונוטונית עולה‪.‬‬
‫נשים לב שגם מתקיים‪:‬‬
‫‪S2n = a1 − (a2 − a3 ) − (a4 − a5 ) − ... − (a2n−2 − a2n−1 ) −a2n‬‬
‫‪{z‬‬
‫} ‪} | {z‬‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫|‬
‫‪<0‬‬
‫‪<0‬‬
‫‪<0‬‬
‫למעט האיבר הראשון ) ‪ ,(a1‬בכל סוגריים של תת הסדרה הזו יש איבר שלילי‬
‫)גם האיבר האחרון( בגלל המונוטוניות והחיוביות של ‪.an‬‬
‫מהשוויון הראשון הסקנו ש־ ‪ S2n‬חיובית‪ ,‬ולכן בהכרח מהשוויון השני נובע כי‬
‫‪ S2n ≤ a1‬לכל ‪.n‬‬
‫מכאן ש־ ‪ S2n‬סדרה מונוטונית עולה וחסומה‪ ,‬ולפיכך היא מתכנסת לגבול סופי‬
‫שנסמן ‪.s‬‬
‫)ב( נשים לב שעבור תת הסדרה ‪ S2n−1‬מתקיים‪:‬‬
‫‪· (a2n ) = S2n + a2n‬‬
‫‪2n+1‬‬
‫)‪S2n−1 = S2n − (−1‬‬
‫נשים לב שלפי הנתון מתקיים כי ‪ ,a2n −→ 0‬ולכן הגבול של ‪ S2n−1‬שווה‬
‫∞→‪n‬‬
‫לגבול של ‪ ,S2n‬ולכן ‪ S2n−1‬מתכנסת גם היא ל־‪.s‬‬
‫מצאנו ששתי תתי־סדרות שמכסות את כל איברי סדרת הסכומים החלקיים‬
‫)האיברים באינדקסים הזוגיים ובאינדקסים האי־זוגיים( מתכנסות לגבול סופי‪,‬‬
‫ולכן הטור מתכנס‪.‬‬
‫‪ .2‬הוכחנו כי ‪ ,0 ≤ S2n ≤ a1‬ולכן מאריתמטיקה של גבולות נסיק כי ‪.Sn −→ s ≤ a1‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪91‬‬
‫‪ .3‬נשים לב שלכל ‪ m‬זנב של הטור מתקיים‪:‬‬
‫‪an‬‬
‫‪n+1‬‬
‫)‪(−1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫= ‪rm‬‬
‫‪n=m+1‬‬
‫)א( עבור ‪ m‬זוגי נסמן ‪ bk = am+k‬ונקבל‪:‬‬
‫‪bk‬‬
‫‪k+1‬‬
‫)‪(−1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫= ‪rm‬‬
‫‪k=1‬‬
‫וזה המקרה הכללי של המשפט‪ ,‬ולכן מתקיים לגביו שסכום הטור קטן מהאיבר‬
‫הראשון ‪.b1 = am+1‬‬
‫)ב( עבור ‪ m‬אי־זוגי נסמן ‪ bk = am+k‬ונקבל‪:‬‬
‫‪bk‬‬
‫‪k+1‬‬
‫)‪(−1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪k‬‬
‫· ‪(−1) bk = −1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫= ‪rm‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪k=1‬‬
‫ולכן נסיק‪:‬‬
‫‪0 ≥ −rm ≥ −b1 = −am+1‬‬
‫⇓‬
‫‪0 ≤ |rm | ≤ am+1‬‬
‫‬
‫‪n‬‬
‫מסקנה כל טור מהצורה ‪(−1) an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫)ללא תלות בסימן האיבר הראשון( עבור סדרה‬
‫‪n=1‬‬
‫∞‬
‫‪ (an )n=1‬מונוטונית ומתכנסת ל־‪ ,0‬הוא טור מתכנס‪.‬‬
‫‪37‬‬
‫התכנסות בהחלט‪/‬בתנאי‬
‫• הטור ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫מתכנס בהחלט‪ ,‬אם הטור | ‪|an‬‬
‫‪n=1‬‬
‫• הטור ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫‪n=1‬‬
‫מתכנס בתנאי‪ ,‬אם הוא עצמו מתכנס‪ ,‬אבל הטור | ‪|an‬‬
‫‪n=1‬‬
‫משפט אם ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫הטור ‪an‬‬
‫מתבדר‪.‬‬
‫‪n=1‬‬
‫מתכנס בהחלט‪ ,‬אז הוא מתכנס‪ .‬כלומר‪ ,‬אם הטור | ‪|an‬‬
‫‪n=1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=1‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪92‬‬
‫מתכנס‪ ,‬אז‬
‫∞‬
‫הוכחה מהתכנסות טור הערכים המוחלטים נובע שעבור סדרת הזנבות ‪ (rm )m=1‬מתקיים‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫= ‪.rm‬‬
‫‪|an | −→ 0‬‬
‫∞→‪m‬‬
‫‪n=m+1‬‬
‫משמע לכל ‪ > 0‬קיים ‪ N ∈ N‬כך שלכל ‪ m > N‬מתקיים < ‪.rm‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪ ,‬כי לכל ‪ > 0‬‬
‫נסיק שמתקיים קריטריון קושי להתכנסות טורים עבור הטור ‪an‬‬
‫‪n=1‬‬
‫ולכל ‪ k ∈ N‬קיים ‪ N ∈ N‬כך שלכל ‪ n > N‬מתקיים‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪m+k‬‬
‫‪ m+k‬‬
‫‬
‫‪X‬‬
‫‪ X‬‬
‫‬
‫≤‬
‫‪a‬‬
‫ < ‪|an | ≤ rm‬‬
‫‬
‫‪n‬‬
‫‬
‫‬
‫‪n=m+1‬‬
‫‪n=m+1‬‬
‫]מאי־שוויון המשולש[ ‬
‫הערה ממשפט זה נובע כי לכל טור‪ ,‬חיובי או לא חיובי‪ ,‬ניתן לבחון את טור הערכים‬
‫המוחלטים שלו באמצעות מבחני התכנסות של טורים חיוביים‪ ,‬ובמידה וטור הערכים‬
‫מתכנס להסיק כי הטור מתכנס‪.‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪αn‬‬
‫דוגמה נבחן את הטור מהצורה‬
‫‪n‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪ ,‬באמצעות מבחן דלאמבר‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫|‪|α| −→ |α‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪n+1‬‬
‫=‬
‫‪|α|n+1‬‬
‫‪n+1‬‬
‫‪|α|n‬‬
‫‪n‬‬
‫מכאן שהתכנסות הטור תלויה בערך ‪ .α‬אם ‪ |α| > 1‬הטור מתבדר‪ ,‬אם ‪|α| < 1‬‬
‫הטור מתכנס‪ .‬אם ‪ α = 1‬הטור מתבדר ואם ‪ α = −1‬הטור מתכנס‪.‬‬
‫‪38‬‬
‫מבחן דיריכלה לטורים חסומים‬
‫טור־חסום נאמר כי ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫הוא טור חסום‪ ,‬אם סדרת הסכומים החלקיים ‪ak‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪k=1‬‬
‫היא סדרה חסומה‪.‬‬
‫משפט נניח כי ‪bn‬‬
‫‪an bn‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪SN‬‬
‫טור חסום‪ ,‬וכי הסדרה‬
‫∞‬
‫‪(an )n=1‬‬
‫מונוטונית ומתכנסת ל־‪ ,0‬אזי הטור‬
‫‪n=1‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫‪n=1‬‬
‫למה )הטרנספורמציה של אבל ־ ‪(Abel‬‬
‫יהיו ‪ .α1 , ..., αm , β1 , ..., βm ∈ R‬נסמן ‪ Bk = β1 + ... + βk‬עבור ‪ .1 ≤ k ≤ m‬אזי‪:‬‬
‫) ‪Bi (αi+1 − αi‬‬
‫‪m−1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪93‬‬
‫‪αi βi = αm Bm −‬‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫הוכחה )של הלמה( לצורך שלמות ההגדרה במהלך החישוב נגדיר ‪ ,B0 = 0‬ונחשב‪:‬‬
‫= ‪αi Bi−1‬‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫‪αi Bi −‬‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫= ) ‪αi (Bi − Bi−1‬‬
‫= ‪αi βi‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫= ) ‪αi+1 Bi = (α1 B1 + ... + αm Bm ) − (α1 B0 + ... + αm Bm−1‬‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫‪m−1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪α i Bi −‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪i=0‬‬
‫) ‪Bi (αi+1 − αi‬‬
‫‪m−1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫=‬
‫‪= αm Bm + (α1 − α2 ) B1 + ... + (αm−1 − αm ) Bm−1 = αm Bm −‬‬
‫‪i=1‬‬
‫למה )מסקנה(‬
‫יהיו ‪ .α1 , ..., αm , β1 , ..., βm ∈ R‬נסמן ‪ Bk = β1 + ... + βk‬עבור ‪.1 ≤ k ≤ m‬‬
‫נניח גם כי ‪ |Bi | < L‬לכל ‪ ,1 ≤ i ≤ m‬וכן שהקבוצה ‪ α1 , ..., αm‬קבוצה סדורה‬
‫מונוטונית‪ .‬כלומר‪:‬‬
‫‪α1 ≤ α2 ≤ ... ≤ αm‬‬
‫‪or‬‬
‫‪α1 ≥ α2 ≥ ... ≥ αm‬‬
‫אזי‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫)| ‪αi βi ≤ L (2 |αm | + |α1‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪i=1‬‬
‫הוכחה )של הלמה( ראשית מהנתון שהקבוצה ‪ α1 , ..., αm‬קבוצה סדורה מונוטונית נובע‪:‬‬
‫= | ‪|αi+1 − αi | = |α2 − α1 | + ... + |αm − αm−1‬‬
‫‪m−1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪= |α2 − α1 + ... + αm − αm−1 | = αm − α1‬‬
‫נשתמש בשוויון שקיבלנו בטרנספורמציה של אבל‪ ,‬ונחשב‪:‬‬
‫‬
‫‪m‬‬
‫ ‬
‫‪m−1‬‬
‫‬
‫‪X‬‬
‫ ‬
‫‪X‬‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫‪αi βi = αm Bm −‬‬
‫≤ ) ‪Bi (αi+1 − αi‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫ ‬
‫‪i=1‬‬
‫≤ | ‪|Bi | · |αi+1 − αi‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪m−1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪≤ |αm | · |Bm | +‬‬
‫‪i=1‬‬
‫)| ‪≤ L · |αm | + L · |αm − α1 | ≤ L (2 |αm | + |α1‬‬
‫הוכחה )של מבחן דיריכלה(‬
‫‪94‬‬
‫‪ .1‬נסמן ‪bl‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪ .Sn‬מההנחה נובע שקיים ‪ m ∈ R‬כך שלכל ‪ n‬מתקיים ‪.|Sn | < M‬‬
‫‪l=1‬‬
‫‪ .2‬יהי ‪ . > 0‬מההנחה שהסדרה ) ‪ (an‬מתכנסת ל־‪ 0‬נובע שקיים ‪ N ∈ N‬כך שלכל‬
‫‪ n > N‬מתקיים‪:‬‬
‫‬
‫‪6M‬‬
‫< | ‪|an‬‬
‫‪ .3‬יהיו ‪ k ∈ N , N < m ∈ N‬כלשהם‪ ,‬נסמן לכל ‪:1 ≤ l ≤ k‬‬
‫‪bn = Sm+l − Sm‬‬
‫‪m+l‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪Bl‬‬
‫‪n=m+1‬‬
‫ונשים לב שמתקיים‪:‬‬
‫‪|Bl | = |Sm+l − Sm | ≤ |Sm+l | + |Sm | ≤ 2M‬‬
‫‪ .4‬מהנתון ש־ ‪ Bl‬מהווה סדרה חסומה ומהנתון ש־) ‪ (an‬מונוטונית‪ ,‬נסיק שהביטוי ‪an bn‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫עומד בתנאי הלמה שהוכחנו‪ ,‬ולכן מתקיים‪:‬‬
‫‪m+k‬‬
‫‪X‬‬
‫ ‬
‫ ‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫‪an bn ≤ 2M (2 |am+k | + |am+1 |) < 2M 2‬‬
‫‪6M‬‬
‫‪6M‬‬
‫‪n=m+1‬‬
‫לפי קריטריון קושי להתכנסות של טורים נסיק שהטור מתכנס‪ .‬‬
‫מסקנה משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים הוא מקרה פרטי של מבחן דיריכלה‪,‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n‬‬
‫הוא טור חסום‪ ,‬ובהינתן שאר תנאי משפט לייבניץ מתקיימים‬
‫שכן הטור )‪(−1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫תנאי משפט דיריכלה‪.‬‬
‫‪38.1‬‬
‫מבחן אבל )‪Abel‬‬
‫נניח כי הטור ‪bn‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫(‬
‫∞‬
‫מתכנס‪ ,‬וכי הסדרה ‪ (an )n=1‬מונוטונית וחסומה‪ ,‬אזי הטור ‪an bn‬‬
‫‪n=1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=1‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫]נשים לב שבתנאי מבחן דיריכלה דרשנו שהטור יהיה חסום ושהסדרה תתכנס ל־‪.0‬‬
‫במבחן אבל חיזקנו את הדרישה על הטור ‪ -‬שיתכנס ‪ -‬והחלשנו את הדרישה על הסדרה ‪-‬‬
‫שתתכנס‪ ,‬אבל לא בהכרח ל־‪[.0‬‬
‫הוכחה‬
‫‪95‬‬
‫נתון שהסדרה ) ‪ (an‬מונוטונית וחסומה‪ ,‬ולכן היא מתכנסת לגבול סופי שנסמן ‪.a‬‬
‫נשים לב שלפיכך הסדרה שמוגדרת )‪ (an − a‬היא מונוטונית ומתכנסת ל־‪.0‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫מתכנס‪ ,‬ולכן בפרט הוא טור חסום‪.‬‬
‫נתון שהטור ‪bn‬‬
‫‪n=1‬‬
‫נסיק ממבחן דיריכלה שהטור ‪(an − a) bn‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫‪n=1‬‬
‫נשים לב שמתקיים לכל סכום חלקי ‪N‬־י‪:‬‬
‫‪bn‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪(an − a) bn + a‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪an bn‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n=1‬‬
‫ומכאן שאם ∞ → ‪ ,N‬מהתכנסות שני הטורים שבחלק הימני של השוויון נסיק את התכנסות‬
‫הטור המבוקש‪ ,‬לפי הגדרת התכנסות של טור‪ .‬‬
‫‪39‬‬
‫הכנסת סוגריים‬
‫נאמר כי הטור ‪σn‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫מתקבל מהטור ‪an‬‬
‫‪n=1‬‬
‫∞‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫על־ידי הכנסת סוגריים‪ ,‬אם קיימת תת־סדרה‬
‫‪n=1‬‬
‫‪ ,(ank )k=1‬כך שלכל ‪ k ∈ N‬מתקיים‪:‬‬
‫‪nk‬‬
‫‪X‬‬
‫‪al‬‬
‫= ‪σk‬‬
‫‪l=nk−1 +1‬‬
‫כלומר‪ ,‬אוגדים את איברי הטור ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫באופן הבא‪:‬‬
‫‪n=1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‬
‫‪an = (a1 + ... + an1 ) + (an1 +1 + ... + an2 ) + ... + ank−1 +1 + ... + ank‬‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫|‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫‪n=1‬‬
‫‪=σ2‬‬
‫‪=σk‬‬
‫משפט )א( אם הטור ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪=σ1‬‬
‫מתכנס‪ ,‬אזי כל טור המתקבל ממנו על־ידי הכנסת סוגריים‪,‬‬
‫‪n=1‬‬
‫יתכנס לאותו סכום‪.‬‬
‫)ב( אם בטור שהתקבל על־ידי הכנסת סוגריים‪ ,‬מתקיים שבכל סוגריים כל האיברים‬
‫שווי־סימן‪ ,‬אזי מהתכנסות הטור עם הסוגריים נובעת התכנסות הטור המקורי לאותו‬
‫סכום‪.‬‬
‫)ג( אם מתקיים כי ‪ ,(an ) −→ 0‬וכן בטור שהתקבל על־ידי הכנסת הסוגריים מתקיים‬
‫∞→‪n‬‬
‫שמספר האיברים שבכל סוגריים חסום‪ ,‬אזי מהתכנסות הטור עם הסוגריים נובעת‬
‫התכנסות הטור המקורי לאותו סכום‪.‬‬
‫הערה במקרה שבו האיברים בכל סוגריים אינם שווי־סימן‪ ,‬ייתכן שהטור המקורי מתבדר‬
‫והטור שמתקבל מהכנסת הסוגריים ייתכנס‪.‬‬
‫‪96‬‬
‫למשל הטור‬
‫‪n‬‬
‫)‪(−1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫מתבדר‪ ,‬אולם הטור ‪0‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫=‬
‫‬
‫‪n+1‬‬
‫‪n‬‬
‫)‪(−1) + (−1‬‬
‫ ∞‬
‫‪X‬‬
‫הוכחה )א( נתון שקיימת תת־סדרה כלשהי ) ‪ (ank‬שמגדירה טור עם הכנסת סוגריים‬
‫מהצורה‪:‬‬
‫‪σk‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪k=1‬‬
‫כאשר מתקיים‪:‬‬
‫‪nk‬‬
‫‪X‬‬
‫‪al‬‬
‫= ‪σk‬‬
‫‪l=nk−1 +1‬‬
‫נשים לב היטב שנובע מכך עבור סכום חלקי כלשהו של הטור‪:‬‬
‫‪al‬‬
‫‪nk‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪σl‬‬
‫‪l=1‬‬
‫ולכן סדרת הסכומים החלקיים של הטור ‪σk‬‬
‫החלקיים של הטור ‪an‬‬
‫מכאן שאם הטור ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪k‬‬
‫‪X‬‬
‫‪l=1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫היא תת־סדרה של סדרת הסכומים‬
‫‪k=1‬‬
‫‪.‬‬
‫מתכנס‪ ,‬משמע סדרת הסכומים החלקיים שלו מתכנסת‪,‬‬
‫‪n=1‬‬
‫אזי גם כל תת־סדרה שלה מתכנסת לאותו הגבול‪ ,‬ולכן הטור ‪σk‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫מתכנס לאותו‬
‫‪k=1‬‬
‫סכום‪ .‬‬
‫הוכחה )ב( נניח כי ‪σk‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫טור מתכנס ל־‪ ,s ∈ R‬וכן מנתוני המשפט כל האיברים שבכל‬
‫‪k=1‬‬
‫סוגריים הם שווי־סימן‪.‬‬
‫תת הסדרה ) ‪ (ank‬מוגדרת באמצעות סדרה עולה ממש של אינדקסים מהצורה ) ‪.(nk‬‬
‫נשים לב שלכל ‪ M ∈ N‬קיים ‪ k ∈ N‬יחיד‪ ,‬כך ש‪ ,nk + 1 ≤ M ≤ nk+1 -‬ולכן‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫∞ →‪k −‬‬
‫∞→ ‪M‬‬
‫‪97‬‬
‫נוכיח כעת שסדרת הסכומים החלקיים של הטור ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫חסומה ומתכנסת ל־‪:s‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‬
‫‪M‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪k‬‬
‫‬
‫‪X‬‬
‫‪ X‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‬
‫≤ ‪al + (ank +1 + ... + aM ) − s‬‬
‫ = ‪al − s‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫ ‬
‫‪l=1‬‬
‫‪l=1‬‬
‫‪ k‬‬
‫‬
‫‪ k‬‬
‫‬
‫‪X‬‬
‫‬
‫‪X‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫| ‪σl − s + |σk+1‬‬
‫≤‬
‫ ≤ |) ‪σl − s + |(ank +1 + ... + aM‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪l=1‬‬
‫‪l=1‬‬
‫נשים לב ש‪ ,k −→ ∞-‬ולכן מהנתון שהטור עם הסוגריים מתכנס ל־‪ s‬נובע כי‪:‬‬
‫∞→ ‪M‬‬
‫‪ k‬‬
‫‬
‫‪X‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪σl − s −→ 0‬‬
‫‬
‫‬
‫∞→‪ k‬‬
‫‪l=1‬‬
‫וכן מאותו נתון נובע גם‪:‬‬
‫‪|σk+1 | −→ 0‬‬
‫∞→‪k‬‬
‫כי איבר כללי של טור מתכנס מוכרח לשאוף ל‪.0-‬‬
‫הוכחה )ג( משמעותו של הנתון שמספר האיברים שבכל סוגריים חסום‪ ,‬היא שלכל ‪ k‬מתקיים‬
‫‪ nk+1 − nk ≤ m‬עבור ‪ m‬טבעי כלשהו‪.‬‬
‫נגדיר באותו אופן‪:‬‬
‫‪nk‬‬
‫‪X‬‬
‫‪al‬‬
‫= ‪σk‬‬
‫‪l=nk−1 +1‬‬
‫כך שמתקיים‪:‬‬
‫‪al = Snk‬‬
‫‪nk‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪σl‬‬
‫‪l=1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪X‬‬
‫‪l=1‬‬
‫נתון כי הטור עם הסוגריים מתכנס‪ ,‬ולכן מתקיים עבור סדרת הסכומים החלקיים‪:‬‬
‫‪Snk −→ L‬‬
‫∞→‪k‬‬
‫מהנתון ‪ (an ) −→ 0‬נסיק שמתקיים‪:‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪(Sn+1 − Sn ) = (an ) −→ 0‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‬
‫למה תהי ) ‪ (xn‬סדרה המקיימת ‪ (xn+1 − xn ) −→ 0‬ותהי ) ‪ (xnk‬תת־סדרה בקפיצות‬
‫∞→‪n‬‬
‫חסומות‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬לכל ‪ k‬טבעי מתקיים ‪.nk+1 − nk ≤ J‬‬
‫‪98‬‬
‫אזי מתקיים‪:‬‬
‫א‪ (xn ) .‬ו‪ (xnk )-‬מתכנסות ומתבדרות יחד לאותו גבול‪.‬‬
‫ב‪ .‬התנאי ‪ (xn+1 − xn ) −→ 0‬הכרחי‪.‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫ג‪ .‬התנאי ‪ nk+1 − nk ≤ J‬הכרחי‪.‬‬
‫נסיק מלמה זו שהסדרות ) ‪ (Sn‬ו‪ (Snk )-‬עומדות בתנאי הלמה‪ ,‬ולכן הן מתכנסות‬
‫ומתבדרות יחד לאותו הגבול‪.‬‬
‫]הוכחת הלמה הופיעה בתרגול‪[.‬‬
‫שינוי סדר הסכימה‬
‫‪40‬‬
‫בטור חיובי‬
‫‪40.1‬‬
‫אם ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫טור חיובי‪ ,‬אזי כל טור שמתקבל ממנו באמצעות שינוי של סדר האיברים מתכנס‬
‫‪n=1‬‬
‫אמ"מ הטור מתכנס לאותו סכום‪.‬‬
‫]נשים לב שטענה זו שקולה לטענה המקבילה עבור התבדרות‪[.‬‬
‫הוכחה ראינו שמתקיים שוויון בין סכום של קבוצה לבין סכום של טור אינסופי‪ ,‬כפי שהגדרנו‬
‫אותם‪ .‬מכאן שסדר הסכימה אינו משנה‪.‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫∞‬
‫= ‪an‬‬
‫} ‪≡ sup {a˜1 + ... + a˜k |a˜1 , ..., a˜k ∈ (an )n=1‬‬
‫‪n∈N‬‬
‫‬
‫‪40.2‬‬
‫בטור מתכנס בהחלט‬
‫מבוא‪ :‬הטורים ‪ qn ,pn‬של ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫בהינתן טור ‪an‬‬
‫‪ ,‬נגדיר‪:‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪|an | + an‬‬
‫‪|an | − an‬‬
‫= ‪pn‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪qn‬‬
‫או באופן שקול‪:‬‬
‫‪an ≥ 0‬‬
‫‪an < 0‬‬
‫‪an ≤ 0‬‬
‫‪an > 0‬‬
‫‪an‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−an‬‬
‫‪0‬‬
‫(‬
‫= ‪pn‬‬
‫(‬
‫= ‪qn‬‬
‫נשים לב שאלו טורים חיוביים‪ ,‬וכן מתקיים‪:‬‬
‫‪|an | = pn + qn an = pn − qn‬‬
‫‪99‬‬
‫‪n=1‬‬
‫משפט )א( אם ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫מתכנס בהחלט‪ ,‬אזי גם הטורים ‪qn‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪pn ,‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪qn‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪pn −‬‬
‫‪n=1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫)ב( אם הטורים ‪qn‬‬
‫‪pn ,‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫= ‪an‬‬
‫‪n=1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=1‬‬
‫מתכנסים‪ ,‬אזי גם הטור ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫מתכנס בהחלט‪.‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫מתכנסים‪ ,‬ומתקיים‪:‬‬
‫הוכחה )א( מהגדרת ‪ qn ,pn‬נובע שלכל ‪ n ∈ N‬מתקיים | ‪,0 ≤ qn ≤ |an | ,0 ≤ pn ≤ |an‬‬
‫ולכן מהתכנסות טור הערכים המוחלטים נובעת לפי מבחן ההשוואה ההתכנסות של‬
‫שניהם‪.‬‬
‫מכיוון שלכל ‪ n ∈ N‬הראינו שמתקיים ‪ ,an = pn − an‬נסיק שלכל סכום חלקי ‪N‬־י‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫‪qn‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪pn −‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫= ) ‪(pn − qn‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪an‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n=1‬‬
‫אם נשאיף ∞ → ‪ N‬נקבל גם שוויון בין סכומי הטורים‪.‬‬
‫הוכחה )ב( הראינו שלכל ‪ n ∈ N‬מתקיים ‪ ,|an | = pn + qn‬נסיק שלכל סכום חלקי ‪N‬־י‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫‪qn‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪pn +‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫= ) ‪(pn + qn‬‬
‫‪n=1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫ולכן מהתכנסות שני הטורים הטורים ‪qn‬‬
‫מסקנה אם הטור ‪an‬‬
‫= | ‪|an‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪pn ,‬‬
‫‪n=1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=1‬‬
‫נובעת התכנסות הטור | ‪|an‬‬
‫‪n=1‬‬
‫הוכחה נתון כי ‪an‬‬
‫מתכנס בתנאי‪ ,‬אזי בהכרח הטורים ‪pn‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪qn ,‬‬
‫‪n=1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫האחרון לא ייתכן ששני הטורים ‪pn‬‬
‫נניח בשלילה שלמשל הטור ‪qn‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪qn ,‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫יתכנסו‪ ,‬ולפחות אחד מהם מתבדר‪.‬‬
‫‪n=1‬‬
‫מתכנס והטור ‪pn‬‬
‫‪n=1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫מתבדר‪ .‬אזי מתקיים עבור‬
‫‪n=1‬‬
‫סכום חלקי ‪N‬־י כלשהו‪:‬‬
‫∞ →‪qn −‬‬
‫∞→ ‪N‬‬
‫ולכן ‪an‬‬
‫מתבדרים‪.‬‬
‫מתכנס בתנאי‪ ,‬ולכן בפרט הוא לא מתכנס בהחלט‪ .‬לכן מהמשפט‬
‫‪n=1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪.‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪pn −‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n=1‬‬
‫מתבדר‪ ,‬בסתירה להנחה‪.‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪100‬‬
‫= ) ‪(pn − qn‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n=1‬‬
‫= ‪an‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n=1‬‬
‫משפט‬
‫אם ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫טור מתכנס בהחלט‪ ,‬אזי כל טור שמתקבל ממנו באמצעות שינוי של סדר‬
‫‪n=1‬‬
‫האיברים מתכנס אמ"מ הטור מתכנס לאותו סכום‪.‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫הוכחה מההנחה ש‪an -‬‬
‫‪qn‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=1‬‬
‫) ‪(−an‬‬
‫‪pn ,‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫מתכנס בהחלט‪ ,‬נובע מסעיף א של המשפט האחרון שהטורים‬
‫‪n=1‬‬
‫מתכנסים‪ ,‬ומתקיים‪:‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪X‬‬
‫}‪{n|an <0‬‬
‫‪an −‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪qn‬‬
‫‪X‬‬
‫‪pn −‬‬
‫‪n∈N‬‬
‫}‪{n|an ≥0‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n∈N‬‬
‫= ‪qn‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪pn −‬‬
‫‪n=1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫= ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫קיבלנו סכומים של קבוצות שאין צורך בהגדרה של סדר כדי להגדיר אותם‪ ,‬ולכן גם‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫אינו תלוי בסדר הסכימה‪ .‬‬
‫הטור ‪an‬‬
‫‪n=1‬‬
‫הערה תהי קבוצה לאו־דווקא בת־מניה מהצורה ‪ {aα }α∈A‬עבור ‪ ,A ⊆ R‬ונניח כי ∞ < | ‪|aα‬‬
‫‪X‬‬
‫‪.‬‬
‫‪α∈A‬‬
‫מההוכחה של המשפט האחרון מובן מדוע בוחרים להגדיר‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪aα‬‬
‫‪aα −‬‬
‫) ‪(−aα‬‬
‫‪41‬‬
‫‪α∈A‬‬
‫‪α∈A‬‬
‫‪α∈A‬‬
‫‪aα <0‬‬
‫‪aα ≥0‬‬
‫משפט רימן לטורים‬
‫יהי ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫טור מתכנס בתנאי‪ ,‬כלומר טור הערכים המוחלטים המתאים | ‪|an‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪a‬‬
‫˜( של הסדרה ) ‪ ,(an‬כך שהטור ‪˜n‬‬
‫אזי לכל }∞‪ s ∈ {R, ±‬קיים סידור ) ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫מתבדר‪.‬‬
‫‪n=1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫מתכנס ל־‪s‬‬
‫‪n=1‬‬
‫)במובן הרחב‪ ,‬במקרים המתאימים(‪ ,‬וכן קיים סידור כך שהטור לא מתכנס בשום־מובן‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫‪ .1‬נניח תחילה כי )∞ ‪.s ∈ [0,‬‬
‫האסטרטגיה תהיה לסדר מחדש את הסדרה‪ ,‬כך שהסכומים החלקיים שלה יהיו גדולים‬
‫וקטנים מ־‪ s‬לסירוגין‪ ,‬בקצב דועך ל־‪.0‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪,pn = |an |+a‬‬
‫נזכור שהגדרנו‬
‫שמתכנס‬
‫‪ ,qn = |an |−a‬והוכחנו שעבור טור ‪an‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫בתנאי‪ ,‬שני הטורים המתאימים לו ‪pn‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪101‬‬
‫‪qn ,‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=1‬‬
‫מתבדרים ל־∞‪.‬‬
‫‪n=1‬‬
‫∞‬
‫∞‬
‫∞‬
‫נגדיר סדרת סכומים ‪ (Ak )k=1‬באמצעות שתי סדרות אינדקסים ‪,(mk )k=1 ,(nk )k=1‬‬
‫באופן אינדוקטיבי‪.‬‬
‫נבנה אותה כך שתתכנס ל־‪ ,s‬ולבסוף נראה שהיא מהווה סדרת סכומים חלקיים של‬
‫טור המתקבל מסידור מחודש של הסדרה ) ‪.(an‬‬
‫• נגדיר סכום ‪ ,A1‬ולשם כך נגדיר את האינדקס ‪:n1‬‬
‫)‬
‫‪n1‬‬
‫‪nX‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1 −1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫|‪n1 = min n ∈ N‬‬
‫⇒ ‪pl > s‬‬
‫≥ ‪pl > s‬‬
‫‪pl‬‬
‫(‬
‫‪l=1‬‬
‫‪l=1‬‬
‫נגדיר ‪pl‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪l=1‬‬
‫= ‪ A1‬ונקבל שמתקיים‪:‬‬
‫‪l=1‬‬
‫‪pl = pn1‬‬
‫‪nX‬‬
‫‪1 −1‬‬
‫‪pl −‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪X‬‬
‫< ‪0 < A1 − s‬‬
‫‪l=1‬‬
‫‪l=1‬‬
‫• נגדיר סכום ‪ ,A2‬ולשם כך נגדיר את האינדקס ‪:m1‬‬
‫)‬
‫‪m‬‬
‫‪m1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1 −1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ql‬‬
‫‪q l < s ≤ A1 −‬‬
‫‪m1 = min n ∈ N|A1 −‬‬
‫‪ql < s ⇒ A1 −‬‬
‫(‬
‫‪l=1‬‬
‫נגדיר ‪ql‬‬
‫‪l=1‬‬
‫‪m1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪l=1‬‬
‫‪ A2 = A1 −‬ונקבל שמתקיים‪:‬‬
‫‪l=1‬‬
‫‪ql = qm1‬‬
‫‪m‬‬
‫‪1 −1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ql −‬‬
‫‪m1‬‬
‫‪X‬‬
‫≤ ‪0 < s − A2‬‬
‫‪l=1‬‬
‫‪l=1‬‬
‫• נגדיר סכום ‪ ,A3‬ולשם כך נגדיר את האינדקס ‪:n2‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪nX‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2 −1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n2 = min n ∈ N|A2 +‬‬
‫‪pl > s ⇒ A2 +‬‬
‫‪p l > s ≥ A2 +‬‬
‫‪pl‬‬
‫‪l=n1 +1‬‬
‫נגדיר ‪pl‬‬
‫‪l=n1 +1‬‬
‫‪nX‬‬
‫‪2 −1‬‬
‫‪l=n1 +1‬‬
‫‪ A3 = A2 +‬ונקבל שמתקיים‪:‬‬
‫‪l=n1 +1‬‬
‫‪pl = pn2‬‬
‫‪nX‬‬
‫‪2 −1‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪X‬‬
‫‪pl −‬‬
‫‪l=n1 +1‬‬
‫‪l=n1 +1‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫‪102‬‬
‫< ‪0 < A3 − s‬‬
‫• באופן כללי‪ :‬עבור ‪ k ≥ 1‬נגדיר סכום ‪ ,Ak‬ולשם כך נגדיר אינדקס ‪k‬־י מתאים‪:‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪nk+1 = min n ∈ N|A2k +‬‬
‫‪pl > s‬‬
‫‪l=nk +1‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ql < s‬‬
‫‪mk+1 = min n ∈ N|A2k+1 −‬‬
‫‪l=mk +1‬‬
‫ונגדיר את הסכומים המתאימים‪:‬‬
‫‪nk‬‬
‫‪X‬‬
‫‪pl‬‬
‫‪A2k+1 = A2k +‬‬
‫‪l=nk−1 +1‬‬
‫‪mk‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ql‬‬
‫‪A2k = A2k−1 −‬‬
‫‪l=mk−1 +1‬‬
‫∞‬
‫אם כך הגדרנו סדרה ‪ (Ak )k=1‬של סכומים באופן אינדוקטיבי‪ .‬נגדיר כעת‬
‫סדרה של סכומים חלקיים באופן הבא‪:‬‬
‫‪pl‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪σ1 = A1‬‬
‫‪l=1‬‬
‫) ‪(−ql‬‬
‫‪m1‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪σ 2 = A2 − A1‬‬
‫‪l=1‬‬
‫‪pl‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪σ 3 = A3 − A2‬‬
‫‪l=n1 +1‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫‪pl‬‬
‫‪nk‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪(−ql ) σ2k+1 = A2k+1 − A2k‬‬
‫‪l=nk−1‬‬
‫‪mk‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪σ2k = A2k − A2k−1‬‬
‫‪l=mk−1 +1‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫נשים לב שמתקיים‪:‬‬
‫‪σk = (p1 + ... + pn1 )−(q1 + ... + qm1 )+(pn1 +1 + ... + pn2 )−(qm1 +1 + ... + qm2 )+...‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪103‬‬
‫וזהו טור שמתקבל מהכנסת סוגריים לסדרה‪:‬‬
‫‪p1 , ..., pn1 , q1 , ..., qm1 , pn1 +1 , ..., pn2 , qm1 +1 , ..., qm2 , ...‬‬
‫כדי להיפטר מהסכומים שהם אפסים‪ ,‬לכל אינדקס ‪ n‬שמקיים ‪ pn = 0‬או‬
‫‪) qn = 0‬ולא שניהם( נמחק את האיבר שהוא אפס‪ ,‬ולכל אינדקס ‪ n‬שמקיים‬
‫‪ pn = qn = 0‬נמחק את אחד מהם‪.‬‬
‫˜(‪ .‬סדרה זו מגדירה את‬
‫נקבל סידור מחודש של הסדרה ) ‪ (an‬שנסמן ) ‪an‬‬
‫∞‬
‫∞‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫על־ידי הכנסת‬
‫‪a‬‬
‫מתקבל מהטור ‪˜n‬‬
‫‪ ,‬ונשים לב שהטור ‪σk‬‬
‫‪a‬‬
‫הטור ‪˜n‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪k=1‬‬
‫סוגריים‪ ,‬כאשר בכל סוגריים כל האיברים שווי־סימן‪.‬‬
‫‪k‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ ,‬הרי שהסדרה‬
‫היות ולפי ההגדרה מתקיים ‪σl = Ak‬‬
‫הסכומים החלקיים של הטור ‪σk‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫∞‬
‫‪ (Ak )k=1‬היא סדרת‬
‫‪l=1‬‬
‫‪ ,‬ומתקיים לגביה‪:‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪|A2k+1 − s| < pnk‬‬
‫‪|A2k − s| < qmk‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫מהנתון שהטור ‪an‬‬
‫‪n=1‬‬
‫ולפיכך גם האיברים ‪qnk ,pnk‬‬
‫מתכנס )בתנאי( נסיק כי האיבר הכללי שלו שואף ל‪,0-‬‬
‫לפי הגדרתם שואפים ל־‪ .0‬מכאן שסדרת הסכומים‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫∞‬
‫מתכנס ל־‪ .s‬טור זה‬
‫החלקיים ‪ (Ak )k=1‬מתכנסת ל־‪ ,s‬ולפיכך הטור ‪σk‬‬
‫‪a‬‬
‫מתקבל מהטור ‪˜n‬‬
‫‪a‬‬
‫הטור ‪˜n‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪k=1‬‬
‫על־ידי הכנסת סוגריים שבהם האיברים שווי־סימן‪ ,‬ולכן‬
‫‪n=1‬‬
‫שהוא סידור מחדש של איברי הטור ‪an‬‬
‫‪n=1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫מתכנס ל־‪.s‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪ .2‬נניח כי ∞ = ‪.s‬‬
‫∞‬
‫∞‬
‫נבצע תהליך דומה‪ ,‬אלא שנגדיר את סדרות האינדקסים ‪ (mk )k=1 ,(nk )k=1‬באופן‬
‫אחר‪:‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪nk+1 = min n ∈ N|A2k +‬‬
‫‪pl > k‬‬
‫‪l=nk +1‬‬
‫)‬
‫‪ql < k‬‬
‫(‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪mk+1 = min n ∈ N|A2k+1 −‬‬
‫‪l=mk +1‬‬
‫כך שמתקיים‪:‬‬
‫‪|A2k+1 − k| < pnk‬‬
‫‪|A2k − k| > qmk‬‬
‫‪104‬‬
‫מכאן שמתקיים ∞ →‪ ,Ak −‬ולכן‪:‬‬
‫∞→‪k‬‬
‫‪a‬‬
‫∞ = ‪˜n‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫⇒ ∞ = ‪σk‬‬
‫‪n=1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪ .3‬נניח כי )‪.s ∈ (−∞, 0‬‬
‫נבצע אותו התהליך‪ ,‬אלא שבמקום להתחיל בסכומים החיוביים על ‪ pn‬שנסכמים עד‬
‫‪ s‬חיובי כמו במקרה הראשון‪ ,‬נתחיל בסכומים השליליים ‪ qn‬שייסכמו עד ‪ s‬שלילי‪.‬‬
‫‪ .4‬כדי לקבל סידור שבו הטור לא מתכנס בשום־מובן‪ ,‬נבצע תהליך דומה‪ ,‬אלא שנגדיר‬
‫∞‬
‫∞‬
‫את סדרות האינדקסים ‪ (mk )k=1 ,(nk )k=1‬באופן אחר‪:‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪nk+1 = min n ∈ N|A2k +‬‬
‫‪pl > 1‬‬
‫‪l=nk +1‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ql < −1‬‬
‫‪mk+1 = min n ∈ N|A2k+1 −‬‬
‫‪l=mk +1‬‬
‫ואז נקבל שסדרת הסכומים החלקיים מתבדרת‪ ,‬כי מתקיים‪:‬‬
‫‪|A2k+1 − 1| < pnk‬‬
‫‪|A2k + 1| < qmk‬‬
‫משמע קיימים אינסוף סכומים חלקיים שקרובים ככל שנרצה ל־‪ 1‬וקיימים סכומים‬
‫חלקיים שקרובים ככל שנרצה ל־‪ ,−1‬ולכן סדרת הסכומים החלקיים לא מתכנסת‬
‫בשום־מובן‪ ,‬והטור לא מתכנס בשום־מובן‪ .‬‬
‫‪42‬‬
‫מכפלת טורים‬
‫יהיו הטורים ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪bn ,‬‬
‫‪n=1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪.‬‬
‫‪n=1‬‬
‫נתבונן בטבלה הבאה שמכילה את כל הקומבינציות‬
‫‪‬‬
‫‪a1 b3 . . . a1 bj . . .‬‬
‫‪a2 b3 . . . a2 bj . . .‬‬
‫‪‬‬
‫‪a3 b3 . . . a3 bj . . .‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪a i b3 . . . a i bj . . . ‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫של מכפלות בין איברים שלהם‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪a1 b1 a1 b2‬‬
‫‪a2 b1 a2 b2‬‬
‫‪‬‬
‫‪a3 b1 a3 b2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ai b1 ai b2‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫מכיוון שזו טבלה דו־ממדית‪ ,‬אין סדר 'טבעי' שניתן להגדיר על קבוצה זו‪ ,‬אולם היא קבוצה‬
‫בת־מניה וקיימים אינסוף סידורים אפשריים לכל איברי הקבוצה הזו‪ .‬למשל סידור דומה‬
‫לאלכסון של קנטור‪.‬‬
‫‪105‬‬
‫משפט קושי‬
‫‪42.1‬‬
‫יהיו ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪bn ,‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫טורים מתכנסים בהחלט ל־‪ A‬ול־‪ B‬בהתאמה‪.‬‬
‫‪n=1‬‬
‫אזי כל טור המורכב מכל המכפלות האפשריות מהצורה ‪ ai bj‬המסודר בכל סדר‪ ,‬מתכנס‬
‫בהחלט‪ ,‬וסכומו הוא ‪.A · B‬‬
‫בסימונים מתאימים‪ ,‬המשפט קובע שמתקיים‪:‬‬
‫! ∞ !‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪an‬‬
‫‪bn = A · B‬‬
‫= ‪ai bj‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪i,j∈N‬‬
‫הוכחה‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫נסמן את טור המכפלות ב‪wn -‬‬
‫‪ ,‬כאשר ‪ wn‬עובר על כל המכפלות בסדר כלשהו‪.‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪ .1‬נוכיח שסדרת הסכומים החלקיים מתכנסת‪ ,‬ונשים לב שמספיק להוכיח שטור המכפלות‬
‫עבור סידור כלשהו מתכנס‪ ,‬כי בטורים חיוביים אין חשיבות לסדר הסכימה‪.‬‬
‫יהי ‪ n ∈ N‬ויהי ‪ m‬האינדקס המקסימלי מבין ‪ i, j‬שמופיעים באיברים ‪.w1 , ..., wn‬‬
‫נשים לב שמתקיים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪! m‬‬
‫∞ !‬
‫‪n‬‬
‫‪m‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫≤ | ‪|wl‬‬
‫‪|ai | ‬‬
‫≤ ‪|bj |‬‬
‫‪|ai | ‬‬
‫‪|bj | = A · B‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪j=1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪j=1‬‬
‫‪l=1‬‬
‫הקומבינציות האפשריות של ‪ i, j‬שמופיעות ב‪-‬‬
‫מכך שכל ‪P‬‬
‫]האי־שוויון הראשון נובע ‬
‫‪Pm‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪m‬‬
‫)| ‪[.( i=1 |ai‬‬
‫‪|b‬‬
‫|‬
‫| ‪ l=1 |wl‬מופיעות גם ב‪-‬‬
‫‪j=1 j‬‬
‫מכאן שסדרת הסכומים החלקיים חסומה‪ ,‬ומכיוון שזהו טור חיובי )טור הערכים‬
‫המוחלטים( היא מונוטונית עולה‪ ,‬ולכן מתכנסת‪.‬‬
‫‪ .2‬נוכיח שהסכום שאליו מתכנסת הסדרה הוא ‪ ,A · B‬ונשים לב שמכיוון שהוכחנו כבר‬
‫שסדרת הסכומים החלקיים מתכנסת‪ ,‬בהכרח כל תת־סדרה שלה מתכנסת לאותו‬
‫גבול‪ ,‬ולכן מספיק להראות שקיימת תת־סדרה שמתכנסת לגבול ‪.A · B‬‬
‫נבחר סדר על איברי טור המכפלות מהצורה הבאה‪:‬‬
‫‪a1 b1 + (a1 b2 + a2 b2 + a2 b1 ) + (a1 b3 + a2 b3 + a3 b3 + a3 b2 + a3 b1 ) + ...‬‬
‫נתבונן בתת־סדרה של סדרת הסכומים החלקיים הללו‪:‬‬
‫!‬
‫‪−→ A · B‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪bl‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪l=1‬‬
‫!‬
‫‪al‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪l=1‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪wl‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪l=1‬‬
‫מכאן שגם סדרת הסכומים החלקיים עצמה מתכנסת ל‪ .A · B-‬‬
‫‪106‬‬
‫משפט מרטנס‬
‫‪42.2‬‬
‫נניח כי ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪bn ,‬‬
‫‪n=0‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫טורים מתכנסים ל‪ A-‬ול‪ B-‬בהתאמה‪ ,‬כך שלפחות אחד מהם מתכנס‬
‫‪n=0‬‬
‫בהחלט‪.‬‬
‫נתייחס למכפלת הסדרות בסידור הבא‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪(a0 b2 )6 . . . a1 bj . . .‬‬
‫‪(a1 b2 )9 . . . a2 bj . . .‬‬
‫‪‬‬
‫‪(a2 b2 )13 . . . a3 bj . . .‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ai b3‬‬
‫‪. . . a i bj . . . ‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪(a0 b1 )3‬‬
‫‪(a1 b1 )5‬‬
‫‪(a2 b1 )8‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ai b2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪(a0 b0 )1‬‬
‫‪(a1 b0 )2‬‬
‫‪‬‬
‫‪(a2 b0 )4‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ..‬‬
‫‪ .‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ai b1‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫נגדיר ‪ai bj‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i+j=n‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫אזי הטור ‪dn‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪ .dn‬כך למשל ‪.d3 =  a0 b3 + a1 b2 + a2 b1 + a3 b0 ‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫‪2+1=3‬‬
‫‪3+0=3‬‬
‫‪1+2=3‬‬
‫‪0+3=3‬‬
‫מתכנס וסכומו הוא ‪.A · B‬‬
‫‪n=0‬‬
‫הערה במשפט קושי דרשנו ששני הטורים יתכנסו בהחלט‪ ,‬והסקנו את התכנסות הטור‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫‪a i bj‬‬
‫‪i,j∈N‬‬
‫במשפט מרטנס דורשים שטור אחד יתכנס בהחלט‪ ,‬ומסיקים את התכנסות הטור‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪‬‬
‫‪ai bj ‬‬
‫‪n=0‬‬
‫‪i+j=n‬‬
‫}‬
‫‪{z‬‬
‫‪=dn‬‬
‫|‬
‫‪.‬‬
‫הוכחה נסמן‪:‬‬
‫‪An = a0 + a1 + ... + an‬‬
‫‪Bn = b0 + b1 + ... + bn‬‬
‫‪Dn = d0 + d1 + ... + dn‬‬
‫‪βn = B − B n ⇔ B n = B − βn‬‬
‫‪107‬‬
:‫תחת סימונים אלה מתקיים‬
X
X
X
Dn =
ai bj +
ai bj + ... +
ai bj =
i+j=0
i+j=1
i+j=n
= (a0 b0 ) + (a0 b1 + a1 b0 ) + ... + (a0 bn + a1 bn−1 + ... + an−1 b1 + an b0 ) =
= a0 (b0 + b1 + ... + bn ) + a1 (b0 + b1 + ... + bn−1 ) + ... + an (b0 ) =
= a0 Bn + a1 Bn−1 + ... + an B0 = a0 (B − βn ) + a1 (B − βn−1 ) + ... + an (B − β0 ) =
= An B − (a0 βn + a1 βn−1 + ... + an β0 ) −→ A · B + lim (a0 βn + a1 βn−1 + ... + an β0 )
n→∞
n→∞
:‫נסיים את הוכחת המשפט בכך שנראה כי‬
lim (a0 βn + a1 βn−1 + ... + an β0 ) = 0
n→∞
.m −→ ∞ ‫ ונשים לב כי‬,m =
n→∞
n
2
‫ את‬n ∈ R ‫ נסמן לכל‬,‫לשם כך‬
:‫נחשב‬
|a0 βn + a1 βn−1 + ... + an β0 | =
= |(a0 βn + a1 βn−1 + ... + am bn−m ) + (am+1 bn−1−m + ... + an b0 )| ≤
≤ |(a0 βn + a1 βn−1 + ... + am bn−m )| + |(am+1 bn−1−m + ... + an b0 )| ≤
≤ (|a0 | + |a1 | + ... + |am |)
=
m
X
max
k=n−m,...,n
{|βk |} + (|am+1 | + ... + |an |)
!
|ak |
max
k=n−m,...,n
{|βk |} +
k=0
.‫מתכנס בהחלט‬
∞
X
n
X
max
k=0,...,n−1−m
!
|ak |
max
k=0,...,n−1−m
{|βk |}
k=m+1
an ‫ לפי הנתון שהטור‬,‫| חסום‬ak | ‫נשים לב שכל סכום על‬
n=0
.βn ‫ לפי הגדרת‬,n → ∞ ‫ כאשר‬0-‫| מתכנס ל‬βk | ‫־י על‬n ‫כמו־כן סכום‬
.0-‫| מתכנס ל‬a0 βn + a1 βn−1 + ... + an β0 | ‫ולכן הביטוי‬
108
{|βk |} =
‫חלק‬
‫‪VI‬‬
‫אינטגרלים לא־אמיתיים‬
‫‪43‬‬
‫אינטגרל לא־אמיתי של פונקציה חסומה בקטע לא־חסום‬
‫אינטגרל לא־אמיתי על קרן אינסופית‬
‫תהי ]‪ f ∈ R [a, b‬עבור ‪ a ∈ R‬קבוע ועבור כל ‪.b > a‬‬
‫נאמר שהפונקציה אינטגרבילית במובן הלא־אמיתי על הקרן )∞ ‪ [a,‬ושהאינטגרל ‪f dx‬‬
‫מתכנס‪ ,‬אם קיים הגבול הבא במובן הצר‪:‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫∞´‬
‫‪a‬‬
‫∞ˆ‬
‫‪f dx ≡ lim‬‬
‫‪f dx‬‬
‫∞→‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫אינטגרל לא־אמיתי על הישר הממשי‬
‫תהי ]‪ f ∈ R [a, b‬לכל ‪ ,a, b ∈ R‬ותהי ‪ c ∈ R‬נקודה קבועה כלשהי‪.‬‬
‫‪f‬‬
‫‪dx‬‬
‫ושהאינטגרל‬
‫הממשי‬
‫נאמר שהפונקציה אינטגרבילית במובן הלא־אמיתי בכל הישר‬
‫∞‪−‬‬
‫‪´c‬‬
‫∞´‬
‫מתכנס‪ ,‬אם קיימים האינטגרלים הלא־אמיתיים ‪ , −∞ f dx , c f dx‬ואז נגדיר‪:‬‬
‫∞´‬
‫∞ˆ‬
‫‪f dx‬‬
‫∞ˆ‬
‫‪ˆc‬‬
‫≡ ‪f dx‬‬
‫‪f dx +‬‬
‫∞‪−‬‬
‫‪c‬‬
‫∞‪−‬‬
‫לצורך החד־משמעיות של ההגדרה‪ ,‬נוכיח שערך האינטגרל אינו תלוי בבחירת ‪.c‬‬
‫∞´‬
‫טענה אם קיים האינטגרל הלא־אמיתי ‪ , −∞ f dx‬אזי ערכו אינו תלוי בבחירת ‪.c‬‬
‫הוכחה תהי ‪ d ∈ R‬המקיימת בלי הגבלת הכלליות ‪ .d < c‬נחשב בהתאם להגדרה‪:‬‬
‫‪ d‬‬
‫‪‬‬
‫‪ˆc‬‬
‫∞ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪ˆc‬‬
‫∞ˆ‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪f dx + f dx‬‬
‫= ‪f dx + f dx + f dx‬‬
‫‪c‬‬
‫∞‪−‬‬
‫‪d‬‬
‫‪c‬‬
‫‪ c‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‬
‫∞ˆ‬
‫‪ˆd‬‬
‫∞ˆ‬
‫= ‪f dx +  f dx + f dx‬‬
‫‪f dx + f dx‬‬
‫‪d‬‬
‫∞‪−‬‬
‫‪c‬‬
‫∞‪−‬‬
‫‪ˆd‬‬
‫=‬
‫∞‪−‬‬
‫‪d‬‬
‫הגדרה־שקולה תחת אותם סימונים‪ ,‬האינטגרל הלא־אמיתי על הישר הממשי קיים אמ"מ‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪f dx‬‬
‫‪a‬‬
‫∞ˆ‬
‫‪lim‬‬
‫∞‪a → −‬‬
‫∞→‪b‬‬
‫‪109‬‬
‫≡ ‪f dx‬‬
‫∞‪−‬‬
‫במובן זה שגבול זה קיים ואינו תלוי בסדר שבין השאיפה של ‪ a‬ל‪ −∞-‬לבין השאיפה‬
‫של ‪ b‬ל‪.∞-‬‬
‫‪43.1‬‬
‫אריתמטיקה של אינטגרלים לא־אמיתיים‬
‫נשים לב שלפי הגדרת האינטגרל הלא־אמיתי‪ ,‬כל התכונות של אינטגרלים רגילים שנשמרות‬
‫תחת הוצאת גבול‪ ,‬תקפות גם לאינטגרל לא־אמיתי‪ .‬נוכיח רשימה חלקית‪.‬‬
‫‪ .1‬נניח כי )∞ ‪ f ∈ R [a,‬ותהי ‪ ,c ∈ R‬אזי גם ‪ cf‬אינטגרבילית על )∞ ‪ [a,‬ומתקיים‪:‬‬
‫∞ˆ‬
‫‪f dx‬‬
‫∞ˆ‬
‫‪cf dx = c‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ .2‬נניח כי )∞ ‪ , f, g ∈ R [a,‬אזי גם ‪ f ± g‬אינטגרבילית על )∞ ‪ [a,‬ומתקיים‪:‬‬
‫∞ˆ‬
‫∞ˆ‬
‫‪f dx ±‬‬
‫‪gdx‬‬
‫‪a‬‬
‫∞ˆ‬
‫= ‪f ± gdx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ .3‬נניח כי )∞ ‪ f ∈ R [a,‬ותהי ‪ ,a < c ∈ R‬אזי גם )∞ ‪ f ∈ R [c,‬ומתקיים‪:‬‬
‫‪ˆc‬‬
‫∞ˆ‬
‫‪f dx −‬‬
‫‪f dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪43.2‬‬
‫∞ˆ‬
‫= ‪f dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫קריטריון קושי‬
‫תהי ‪ a ∈ R‬קבועה‪ ,‬ונניח כי ]‪ f ∈ R [a, b‬לכל ‪.b > a‬‬
‫אזי ‪ f‬אינטגרבילית על )∞ ‪ [a,‬אמ"מ לכל ‪ > 0‬קיים ‪ ,B‬כך שלכל ‪ b1 , b2 > B‬מתקיים‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‬
‫‪ˆ 2‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫ < ‪ f dx‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪b1‬‬
‫הוכחה מקריטריון קושי לקיום גבול באינסוף של פונקציה )‪ ,g (x‬נובע שקיום הגבול שקול‬
‫לכך שלכל ‪ > 0‬קיים ‪ m ∈ R‬כך שלכל ‪ x, y > m‬מתקיים‪:‬‬
‫ < |)‪|g (x) − g (y‬‬
‫נשים לב שההקבלה של הגדרה זו להגדרת הגבול שמגדיר את האינטגרל הלא־אמיתי‪,‬‬
‫היא‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪ˆ 2‬‬
‫‪ ˆb2‬‬
‫‪ˆb1‬‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫ <= ‪ f dx − f dx = f dx‬‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫‪b1‬‬
‫‬
‫‪110‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪43.3‬‬
‫קריטריון ההשוואה‬
‫תהי ‪ a ∈ R‬ויהיו ]‪ f, g ∈ R [a, b‬עבור כל ‪.b > a‬‬
‫אם קיים ‪ c > 0‬כך שלכל ‪ x ≥ a‬מתקיים‪:‬‬
‫)‪0 ≤ f (x) ≤ cg (x‬‬
‫∞ˆ‬
‫∞ˆ‬
‫אזי התכנסות ‪ gdx‬גוררת את התכנסות ‪ , f dx‬ובאופן שקול‪ ,‬התבדרות ‪f dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫∞ˆ‬
‫את התבדרות ‪. gdx‬‬
‫∞ˆ‬
‫גוררת‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫הערה לא צריך לדרוש שיהיה ‪ c > 0‬כך שלכל ‪ x ≥ a‬מתקיים אי השוויון הנ"ל‪ ,‬אלא מספיק‬
‫‪0‬‬
‫שאי השוויון יתקיים החל מ‪ a > a-‬כלשהו‪.‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪´b‬‬
‫הוכחה נסמן את הפונקציות ‪.J (b) = a gdx ,I (b) = a f dx‬‬
‫נשים לב שמחיוביות הפונקציות ‪ f, g‬נובע כי זו פונקציה מונוטונית לא־יורדת‪ .‬מכאן‬
‫שמספיק להראות שהיא חסומה מלעיל כדי להסיק את ההתכנסות כאשר ∞ → ‪.b‬‬
‫נניח כי )‪ J (b‬מתכנסת כאשר ∞ → ‪ ,b‬אזי היא בפרט גם חסומה מלעיל על־ידי‬
‫‪ m ∈ R‬כלשהו‪ ,‬ולכן מתקיים‪:‬‬
‫‪0 ≤ I (b) ≤ cJ (b) ≤ cm‬‬
‫ומכאן שהפונקציה ‪f dx‬‬
‫נסיק שהיא מתכנסת‪.‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪a‬‬
‫= )‪ I (b‬חסומה מלעיל‪ ,‬ומכאן שהיא מונוטונית לא יורדת‬
‫∞´‬
‫‪1‬‬
‫‪ 43.3.1‬האינטגרל לא־אמיתי ‪xα dx‬‬
‫∞´‬
‫נתון האינטגרל הלא־אמיתי ‪. a x1α dx‬‬
‫‪a‬‬
‫אינטגרל זה מתכנס‪/‬מתבדר כתלות בערכה של ‪α‬‬
‫ובערכה של ‪.a‬‬
‫• עבור ‪ α < 0‬האינטגרל בבירור מתבדר‪.‬‬
‫• עבור ‪ 0 ≤ α ≤ 1‬נשים לב שעבור ‪ x‬מספיק גדול‪ ,‬כלומר }‪ ,x ≥ max {a, 1‬מתקיים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫≥‬
‫‪α‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫נשים לב שלפי נוסחת ניוטון־לייבניץ ניתן לראות שהאינטגרל‬
‫∞´‬
‫לפי מבחן ההשוואה גם האינטגרל ‪ a x1α dx‬מתבדר‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x dx‬‬
‫∞´‬
‫‪a‬‬
‫מתבדר‪ ,‬ולכן‬
‫• עבור ‪ α > 1‬מתקיים כי האינטגרל מתכנס וערכו מתקבל באמצעות הנוסחה הבאה‪:‬‬
‫‪x−α+1 b‬‬
‫‪b−α+1‬‬
‫‪a−α+1‬‬
‫‪b−α+1 a−α+1‬‬
‫‪a−α+1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dx‬‬
‫=‬
‫|‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫→‪−‬‬
‫=‬
‫‪a‬‬
‫‪xα‬‬
‫‪−α + 1‬‬
‫‪−α + 1 −α + 1‬‬
‫‪−α + 1 α − 1 b→∞ α − 1‬‬
‫‪(α − 1) aα−1‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪a‬‬
‫נשים לב שקיבלנו תוצאה דומה לזו של התכנסות‪/‬התבדרות הטור‬
‫‪111‬‬
‫‪1‬‬
‫‪nα‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪. n=1‬‬
‫‪43.4‬‬
‫קריטריון המנה הגבולי‬
‫תהי ‪ a ∈ R‬ויהיו ]‪ f, g ∈ R [a, b‬עבור כל ‪ ,b > a‬חיוביות ממש‪.‬‬
‫אם קיים הגבול‪:‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫∞<‪=c‬‬
‫)‪g (x‬‬
‫‪´b‬‬
‫אזי האינטגרלים ‪f dx, a gdx‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪lim‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫מתכנסים ומתבדרים יחד‪.‬‬
‫הוכחה נתון שהגבול קיים‪ ,‬ולכן לכל ‪ > 0‬מתקיים עבור ‪ x‬מספיק גדול‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫)‪ f (x‬‬
‫‬
‫‬
‫<‬
‫‪−‬‬
‫‪c‬‬
‫)‪ g (x‬‬
‫‬
‫נבחר המקיים ‪ .c − > 0‬מקיום הגבול נובע שקיים ‪ x0 ≥ a‬כך שלכל ‪x > x0‬‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫‪<c+‬‬
‫)‪g (x‬‬
‫⇓‬
‫) ‪g (x) (c − ) < f (x) < g (x) (c +‬‬
‫<‪c−‬‬
‫‪´b‬‬
‫מאי השוויון הימני נובע לפי קריטריון ההשוואה שהתכנסות ‪gdx‬‬
‫‪´b‬‬
‫התכנסות ‪ , a f dx‬ומאי השוויון השמאלי נובע לפי קריטריון ההשוואה שהתכנסות‬
‫‪´b‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪ a f dx‬גוררת את התכנסות ‪. a gdx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪43.5‬‬
‫גוררת את‬
‫התכנסות בהחלט‪/‬בתנאי‬
‫תהי ‪ .a ∈ R‬הוכחנו כי אם ‪ f‬אינטגרבילית על ]‪ [a, b‬לכל ‪ ,b > a‬אזי גם | ‪ |f‬אינטגרבילית‬
‫כנ"ל‪.‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪´b‬‬
‫נאמר כי האינטגרל ‪ a f dx‬מתכנס בהחלט אם האינטגרל ‪ a |f | dx‬מתכנס‪.‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪´b‬‬
‫אם האינטגרל ‪ a |f | dx‬מתבדר ובכל זאת האינטגרל ‪ a f dx‬מתכנס‪ ,‬נאמר כי ‪f dx‬‬
‫‪a‬‬
‫מתכנס בתנאי‪.‬‬
‫טענה אינטגרל שמתכנס בהחלט‪ ,‬מתכנס‪.‬‬
‫הוכחה מקריטריון קושי להתכנסות אינטגרל לא־אמיתי נובע כי אם האינטגרל מתכנס‬
‫בהחלט‪ ,‬אז לכל ‪ > 0‬קיים ‪ B‬כך שלכל ‪ b1 , b2 > B‬מתקיים כי‪:‬‬
‫‪ˆb2‬‬
‫ < ‪|f | dx‬‬
‫‪b1‬‬
‫נסיק מאי־שוויון המשולש לאינטגרלים‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‬
‫‪ˆ 2‬‬
‫‪ ˆb2‬‬
‫‬
‫‬
‫ < ‪ f dx ≤ |f | dx‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪b1‬‬
‫‬
‫‪112‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪44‬‬
‫קשר בין טורים אינסופיים לאינטגרלים לא־אמיתיים‬
‫תהי ‪ f‬פונקציה חיובית לא־עולה בקרן )∞ ‪ ,[a,‬ואינטגרבילית בכל תת־קטע חסום של‬
‫)∞ ‪.[a,‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫והאינטגרל ‪f dx‬‬
‫מתכנסים ומתבדרים יחד‪) .‬כל אחד‬
‫אזי הטור האינסופי )‪f (a + k‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪a‬‬
‫מתכנס‪/‬מתבדר במובן שבו הוא הוגדר(‪.‬‬
‫הערה ניתן להתייחס לקשר שבין האינטגרל לבין הטור האינסופי‪ ,‬אם מגדירים לכל קטע‬
‫באורך ‪ 1‬פונקציית מדרגות‪ ,‬שערכה הקבוע בכל קטע הוא ערך האיבר בטור‪ .‬כך ניתן‬
‫לבנות קבוצה של פונקציות מדרגות תחתונות ועליונות‪.‬‬
‫הוכחה מכך ש‪ f -‬מונוטונית חיובית לא עולה נובע שלכל ‪ k ≥ 0‬מתקיים‪:‬‬
‫‪a+k+1‬‬
‫ˆ‬
‫‪a+k+1‬‬
‫ˆ‬
‫≤ ‪f (a + k + 1) dx‬‬
‫≤ ‪f dx‬‬
‫)‪f (a + k) dx = f (a + k‬‬
‫‪a+k+1‬‬
‫ˆ‬
‫‪a+k‬‬
‫‪a+k‬‬
‫‪´ a+k+1‬‬
‫= )‪f (a + k + 1‬‬
‫‪a+k‬‬
‫]נימוק‪ :‬נשים לב שהביטוי ‪ a+k f (a + k) dx‬הוא אינטגרל על קטע באורך ‪,1‬‬
‫של קבוע כלשהו שאינו תלוי במשתנה האינטגרציה ‪ .x‬לכן ערך האינטגרל הוא בדיוק‬
‫ערך הקבוע‪[.‬‬
‫נקבל שמתקיים‪:‬‬
‫‪a+n‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪n a+k+1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫≤ )‪f (a + k + 1) − f (a‬‬
‫= ‪f dx‬‬
‫≤ ‪f dx‬‬
‫)‪f (a + k‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪k=0 a+k‬‬
‫‪a‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k=0‬‬
‫ נשים לב שמכיוון שמדובר באינטגרל על פונקציה חיובית‪ ,‬תנאי הכרחי ומספיק‬‫‪´b‬‬
‫להתכנסות‪/‬התבדרות הוא שהפונקציה ‪ I (b) = a f dx‬תהיה חסומה‪/‬לא חסומה‬
‫)בהתאמה( כאשר ∞ → ‪ ,b‬כי הפונקציה הזו מונוטונית לא יורדת‪.‬‬
‫הכרחי ומספיק להתכנסות‪/‬התבדרות‬
‫ כמו כן מכיוון שמדובר בטור חיובי‪ ,‬תנאי ‪Pn‬‬‫הוא שסדרת הסכומים החלקיים )‪ Sn = k=0 f (a + k‬תהיה חסומה‪/‬לא חסומה‬
‫)בהתאמה( כאשר ∞ → ‪ ,N‬כי הסדרה הזו מונוטונית לא יורדת‪.‬‬
‫‪´b‬‬
‫ממונוטוניות הפונקציה ‪ f‬נובע שהפונקציה ‪f dx‬‬
‫‬
‫‪´ a+n‬‬
‫‪ a‬חסומה‪ ,‬ומצידו הימני של אי השוויון שקיבלנו נובע שזה מתקיים אמ"מ‬
‫‪f dx‬‬
‫סדרת הסכומים החלקיים ‪ Sn‬חסומה‪.‬‬
‫השוויון השמאלי נובע שסדרת הסכומים החלקיים ‪ Sn‬חסומה אמ"מ‬
‫אופן‪ ,‬מאי ´‬
‫באותו ‬
‫‪a+n‬‬
‫חסומה‪ ,‬וממונוטוניות הפונקציה ‪ f‬נובע שזה קורה אמ"מ‬
‫‪f‬‬
‫‪dx‬‬
‫הסדרה‬
‫‪a‬‬
‫‪´b‬‬
‫הפונקציה ‪ I (b) = a f dx‬חסומה‪ .‬‬
‫‪a‬‬
‫= )‪ I (b‬חסומה אמ"מ הסדרה‬
‫הערה כאשר האינטגרל והטור מתכנסים‪ ,‬מאי השוויון שפיתחנו בהוכחה נובע חסם על סכום‬
‫הטור‪ ,‬כי אם ∞ → ‪ n‬נקבל‪:‬‬
‫∞‬
‫ˆ‬
‫∞‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫≤ ‪f (a + k) ≤ f dx‬‬
‫)‪f (a + k‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪a‬‬
‫‪113‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪ 45‬אינטגרלים לא־אמיתיים של פונקציות לא־חסומות בקטע‬
‫חסום‬
‫הגדרה נניח שקיימת פונקציה ‪ ,f : [a, b] → R‬וקיימות ]‪ c1 , c2 , ..., cn ∈ [a, b‬נקודות‬
‫קבועות‪.‬‬
‫נאמר כי } ‪ {ci‬היא קבוצה של "נקודות מיוחדות" אם מתקיים‪:‬‬
‫א‪ f .‬אינה חסומה באף סביבה של ‪ ci‬לכל ‪.i‬‬
‫∈ ‪ ci‬לכל ‪ ,i‬מתקיים כי ‪f‬‬
‫ב‪ .‬בכל קטע סגור מהצורה ]‪ [α, β] ⊆ [a, b‬המקיים ]‪/ [α, β‬‬
‫אינטגרבילית )קיים האינטגרל "האמיתי"(‪.‬‬
‫אינטגרל לא־אמיתי של פונקציה עם נקודת קצה מיוחדת‬
‫תהי ‪ f : [a, b] → R‬ונניח כי נקודת הקצה ‪ a‬היא נקודה מיוחדת יחידה של ‪ f‬בקטע‪.‬‬
‫נאמר שקיים האינטגרל הלא־אמיתי של ‪ f‬בקטע‪ ,‬אם קיים הגבול‪:‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪f dx = lim‬‬
‫‪f dx‬‬
‫}‬
‫‪&0‬‬
‫‪a+‬‬
‫‪{z‬‬
‫‪a‬‬
‫|‬
‫∞<‬
‫אינטגרל לא־אמיתי של פונקציה עם שתי נקודות קצה מיוחדות‬
‫תהי ‪ f : [a, b] → R‬ונניח כי נקודות הקצה ‪ a, b‬הן נקודות מיוחדות יחידות של ‪ f‬בקטע‪.‬‬
‫נאמר שקיים האינטגרל הלא־אמיתי של ‪ f‬בקטע‪ ,‬אם קיימת נקודה כלשהי )‪ d ∈ (a, b‬כך‬
‫שקיימים שני האינטגרלים הלא־אמיתיים הבאים‪:‬‬
‫‪ˆd‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪f dx‬‬
‫‪f dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪d‬‬
‫כאשר שני האינטגרלים הלא־אמיתיים הללו קיימים‪ ,‬נגדיר‪:‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪f dx‬‬
‫‪ˆd‬‬
‫‪f dx +‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫= ‪f dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪d‬‬
‫‪a‬‬
‫]קל לראות שערך האינטגרל הלא־אמיתי הזה אינו תלוי בנקודה ‪ ,d‬ולכן הוא מוגדר היטב‪[.‬‬
‫אינטגרל לא־אמיתי של פונקציה עם ‪ n‬נקודות מיוחדות‬
‫תהי ‪ f : [a, b] → R‬ונניח כי ‪ c1 < c2 < ... < cn‬נקודות מיוחדות יחידות של ‪ f‬בקטע‪.‬‬
‫נאמר שקיים האינטגרל הלא־אמיתי של ‪ f‬בקטע‪ ,‬אם קיימים האינטגרלים הלא־אמיתיים‬
‫הבאים‪:‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪f dx‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫∞<‬
‫‪ˆc2‬‬
‫‪f dx ,‬‬
‫‪f dx , ... ,‬‬
‫‪cn‬‬
‫‪ˆc1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫} ‪| {z } |1 {z‬‬
‫∞<‬
‫‪114‬‬
‫∞<‬
‫אם האינטגרלים הלא־אמיתיים הללו קיימים‪ ,‬נגדיר ונסמן‪:‬‬
‫‪ˆc2‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪f dx + ... +‬‬
‫‪f dx‬‬
‫‪cn‬‬
‫‪46‬‬
‫‪ˆc1‬‬
‫‪f dx +‬‬
‫‪c1‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫= ‪f dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫הקשר בין שני סוגי האינטגרלים הלא־אמיתיים‬
‫נניח כי ‪ f‬פונקציה אינטגרבילית בכל קטע מהצורה ]‪ [a + , b‬לכל ‪ ,0 < < b − a‬ונניח כי‬
‫‪ a‬נקודה מיוחדת יחידה בקטע‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬זהו אינטגרל לא־אמיתי בקטע סגור‪ ,‬עבור פונקציה שאינה חסומה בו‪.‬‬
‫נראה כיצד ניתן להגדיר אינטגרל לא־אמיתי שמוגדר בקרן אינסופית בה הפונקציה חסומה‪,‬‬
‫ששקול לאינטגרל לא־אמיתי זה‪.‬‬
‫לפי אינטגרציה בשיטת ההצבה‪ ,‬נציב ‪ x = a + y1‬ונשים לב שמתקיים‪:‬‬
‫‪i‬‬
‫‪h‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ,y = x−a‬ולכן אם ]‪ ,x ∈ [a + , b‬אז ‪, 1‬‬
‫כמו כן מתקיים‬
‫‪.y ∈ b−a‬‬
‫נחשב את האינטגרל הלא־אמיתי לפי הצבה זו‪:‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪y2‬‬
‫‪. dx‬‬
‫= ‪dy‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫ ‪ˆb−a‬‬
‫ ˆ‬
‫‪1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫= ‪f (x) dx‬‬
‫‪f a+‬‬
‫‪dy‬‬
‫=‬
‫‪f‬‬
‫‪a‬‬
‫‪+‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y2‬‬
‫‪y y2‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪b−a‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪a+‬‬
‫נסיק משוויון זה שלפי הגדרת האינטגרל הלא־אמיתי מתקיים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪y2‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪a+‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫∞ˆ‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫= ‪dy‬‬
‫‪y2‬‬
‫‪f‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪a+‬‬
‫‪y‬‬
‫‪f‬‬
‫‪1‬‬
‫‪b−a‬‬
‫‪46.1‬‬
‫האינטגרל לא־אמיתי‬
‫)‪f (x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪xα‬‬
‫ˆ‬
‫‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪f (x) dx = lim‬‬
‫‪&0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪b−a‬‬
‫∞´‬
‫‪a‬‬
‫משפט תהי ‪ a > 0‬נקודה קבועה ותהי ‪ f : [a, b] → R‬רציפה לכל ‪.b > a‬‬
‫אם קיים קבוע ‪ c‬המקיים‪:‬‬
‫‪ b‬‬
‫‬
‫ˆ‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪ f dx < c‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪a‬‬
‫לכל ‪ ,b > a‬אזי האינטגרל הלא־אמיתי הבא מתכנס לכל ‪:α > 0‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪xα‬‬
‫∞ˆ‬
‫‪a‬‬
‫‪115‬‬
‫‪a‬‬
‫הערה ניתן לוותר על הרציפות במספר סופי של נקודות‪.‬‬
‫הוכחה נסמן‪:‬‬
‫‪ˆx‬‬
‫)‪f dx = F (x‬‬
‫‪a‬‬
‫מכיוון ש‪ f -‬רציפה אזי מהמשפט היסודי נובע ש‪ F -‬מוגדרת היטב לכל ‪ ,x ≥ a‬והיא‬
‫הפונקציה הקדומה של ‪.f‬‬
‫מהנתון נובע כי‪:‬‬
‫‪|F (x)| < c‬‬
‫ולכן מאינטגרציה בחלקים נסיק‪:‬‬
‫)‪F (u‬‬
‫‪du‬‬
‫‪uα+1‬‬
‫‪ˆx‬‬
‫)‪f (u‬‬
‫‪F (u) x‬‬
‫= ‪du‬‬
‫‪| +α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪u‬‬
‫‪uα a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ˆx‬‬
‫‪a‬‬
‫נשים לב שמתקיים‪:‬‬
‫‪F (u) x‬‬
‫)‪F (x‬‬
‫‪c‬‬
‫)‪F (x) F (a‬‬
‫= |‬
‫= ‪− α‬‬
‫‪≤ α −→ 0‬‬
‫‪uα a‬‬
‫‪xα‬‬
‫‪a‬‬
‫‪xα‬‬
‫∞→‪x x‬‬
‫כמו־כן מתקיים‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫ )‪ F (u‬‬
‫‪c‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ uα+1 < uα+1‬‬
‫ולכן אם נתון ש‪ α > 0-‬אז ‪ ´α + 1 > 1‬ולכן קיבלנו אינטגרל מתכנס )בהחלט( לפי‬
‫∞‬
‫מבחן ההשוואה עם האינטגרל ‪ . a x1α dx‬‬
‫∞´‬
‫)‪ 0 sin(x‬עבור ‪ α > 0‬עומד בתנאי המשפט ולפיכך מתכנס )בתנאי(‪.‬‬
‫מסקנה הטור ‪xα dx‬‬
‫מסקנה עבור ‪ 0 < β ∈ R ,α ∈ R‬נבדוק מתי האינטגרל הבא מתכנס‪/‬מתבדר‪:‬‬
‫∞ˆ‬
‫‬
‫‪xα sin xβ dx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫נציב ‪ .x = u β ⇔ xβ = u‬כך שאם )∞ ‪ x ∈ [1,‬אז גם )∞ ‪.u ∈ [1,‬‬
‫כמו־כן מתקיים כי‪:‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1 1−β‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪= u β −1 = u β‬‬
‫‪du‬‬
‫‪β‬‬
‫‪β‬‬
‫‪α‬‬
‫ונשים לב כי תחת הצבה זו ‪.xα = u β‬‬
‫נחשב‪:‬‬
‫‪sin (u) du‬‬
‫‪1−β+α‬‬
‫‪β‬‬
‫∞ˆ‬
‫‪u‬‬
‫‪1 1−β‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪u sin (u) u β du‬‬
‫‪β‬‬
‫‪β‬‬
‫‪1‬‬
‫‪116‬‬
‫‪α‬‬
‫‪β‬‬
‫∞ˆ‬
‫‪1‬‬
‫ולכן קיבלנו אינטגרל מהצורה הקודמת‪ ,‬שמתכנס אמ"מ המעריך של ‪ u‬שלילי‪ .‬כלומר‪:‬‬
‫‪1−β+α‬‬
‫‪β‬‬
‫‪<0‬‬
‫⇓‬
‫‪1+α<β‬‬
‫‬
‫מסקנה מעניינת שנובעת מכך‪ ,‬היא שהאינטגרל ‪x2 sin x4 dx‬‬
‫שהאיבר הכללי שלו מתבדר‪.‬‬
‫∞´‬
‫‪1‬‬
‫מתכנס על־אף‬
‫הערה נשים לב שבניגוד לטורים שבהם התכנסות האיבר הכללי ל‪ 0-‬היא תנאי הכרחי‬
‫להתכנסות‪ ,‬אינטגרל לא־אמיתי יכול להתכנס גם אם האיבר הכללי של הפונקציה‬
‫אינו שואף ל‪ ,0-‬וייתכן אף כי הגבול העליון של הטור יתבדר לאינסוף‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬ניתן לבחור פונקציה שהיא ‪ 0‬בכל מקום‪ ,‬למעט בסביבות של המספרים‬
‫הטבעיים שבהם היא ‪ ,1‬כאשר הסביבות הן בגודל ‪ . n12‬האינטגרל של פונקציה‬
‫זו הוא טור הריבועים של הטור ההרמוני‪.‬‬
‫באותו אופן ניתן לבנות פונקציה שגובהה בסביבות המספרים הטבעיים הוא ‪,n‬‬
‫בסביבות בגודל ‪ . n13‬גם האינטגרל של פונקציה זו הוא טור הריבועים של הטור‬
‫ההרמוני‪.‬‬
‫הערה נשים לב שהתנאי המקביל להתכנסות האיבר הכללי ל‪ 0-‬בטורים‪ ,‬הוא קריטריון קושי‬
‫להתכנסות של אינטגל לא־אמיתי‪.‬‬
‫‪117‬‬
‫חלק‬
‫‪VII‬‬
‫סדרות פונקציות וטורי פונקציות‬
‫‪47‬‬
‫סדרת פונקציות‬
‫∞‬
‫תהי ‪ (fn )n=1‬סדרה של פונקציות המוגדרות כולן בקטע ‪.I ⊆ R‬‬
‫∞‬
‫לכל ‪ x0 ∈ I‬מתקבלת סדרה של מספרים ממשיים ‪.(fn (x0 ))n=1‬‬
‫התכנסות של סדרת פונקציות‬
‫∞‬
‫אם הסדרה ‪ (fn (x0 ))n=1‬מתכנסת‪ ,‬אז הנקודה ‪ x0‬נקראת "נקודת התכנסות" של סדרת‬
‫∞‬
‫הפונקציות ‪.(fn )n=1‬‬
‫קבוצת כל הנקודות ‪ {x} ⊆ I‬שהן נקודות התכנסות‪ ,‬נקראת "תחום ההתכנסות"‪.‬‬
‫עבור ‪ x‬כלשהו מתחום ההתכנסות‪ ,‬מסמנים‪:‬‬
‫}‪f (x) |{z‬‬
‫)‪= lim fn (x‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪mark‬‬
‫∞‬
‫הפונקציה )‪ f (x‬נקראת "הפונקציה הגבולית" של סדרת הפונקציות ‪ ,(fn )n=1‬או "הגבול‬
‫הנקודתי"‪ ,‬והיא מוגדרת על תחום ההתכנסות‪.‬‬
‫‪48‬‬
‫טור פונקציות‬
‫∞‬
‫תהי ‪ (uk )k=1‬סדרה של פונקציות המוגדרות כולן בקטע ‪.I ⊆ R‬‬
‫∞‬
‫לכל ‪ x0 ∈ I‬מתקבלת סדרה של מספרים ממשיים ‪.(un (x0 ))k=1‬‬
‫טור פונקציות מבוטא בצורה‪:‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫)‪uk (x‬‬
‫‪n=1‬‬
‫נסמן‪:‬‬
‫)‪uk (x‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪Sn (x‬‬
‫‪k=1‬‬
‫התכנסות של טור פונקציות‬
‫∞‬
‫אם עבור קבוצת ערכים ‪ I‬מתקיים כי לכל ‪ x ∈ I‬הסדרה ‪ (Sn (x))n=1‬מתכנסת כאשר‬
‫∞ → ‪ ,n‬נאמר כי ‪ I‬הוא "תחום התכנסות" של טור הפונקציות‪.‬‬
‫עבור ‪ x‬בתחום ההתכנסות נסמן את סכום הטור‪:‬‬
‫)‪un (x‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪118‬‬
‫= )‪S (x‬‬
‫‪49‬‬
‫הקשר בין סדרות פונקציות לטורי פונקציות‬
‫טענה כל סדרת פונקציות מגדירה טור פונקציות‪ ,‬ולהיפך‪ .‬כלומר‪ ,‬קיימת התאמה חח"ע ועל‬
‫בין טורים וסדרות פונקציות‪.‬‬
‫∞‬
‫הוכחה נניח כי ‪ (fn )n=1‬סדרת פונקציות המוגדרות על ‪ .I‬נגדיר באופן אינדוקטיבי‪:‬‬
‫‪u1 = f1‬‬
‫‪∀k > 1 uk = fk − fk−1‬‬
‫נקבל שמתקיים‪:‬‬
‫‪uk = f1 + (f1 − f1 ) + ... + (fn − fn−1 ) = fn‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫= ‪Sn‬‬
‫‪k=1‬‬
‫כך שסדרת הסכומים החלקיים של טור הפונקציות הזה מתלכדת עם ערכי סדרת‬
‫הפונקציות‪ ,‬ולכן התכנסות הטור שקולה להתכנסות של סדרת פונקציות מתאימה‪.‬‬
‫בכיוון ההפוך‪ ,‬ברור שכל סדרה מייצגת טור פונקציות‪ ,‬אם מגדירים כל איבר בה‬
‫כסכום חלקי של הטור‪ .‬‬
‫‪50‬‬
‫התכנסות של סדרת‪/‬טור פונקציות בשפת ‪ε − N‬‬
‫נתרגם את ההגדרה המוכרת של גבול של סדרה לסדרת פונקציות ולטור פונקציות )ונזכור‬
‫שטור פונקציות הוא למעשה גבול של סדרה ‪ -‬סדרת הסכומים החלקיים(‪.‬‬
‫לסדרת־פונקציות נאמר שהסדרה ) ‪ (fn‬מתכנסת נקודתית ל‪ f -‬על התחום ‪ ,I ⊆ R‬ונסמן‪:‬‬
‫)‪lim fn (x) = f (x‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫אם לכל ‪ ,x ∈ I‬לכל ‪ > 0‬קיים ‪ N‬כך שלכל ‪ n > N‬מתקיים‪:‬‬
‫ < |)‪|fn (x) − f (x‬‬
‫∞‪P‬‬
‫מתכנס נקודתית ל‪ s-‬בתחום ‪ ,I ⊆ R‬אם לכל‬
‫לטור־פונקציות נאמר שהטור ‪n=1 un‬‬
‫‪ ,x ∈ I‬לכל ‪ > 0‬קיים ‪ N‬כך שלכל ‪ n > N‬מתקיים‪:‬‬
‫‬
‫‪ n‬‬
‫‬
‫‪X‬‬
‫‬
‫‬
‫ < )‪uk (x) − s (x‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪k=1‬‬
‫‪51‬‬
‫התכנסות במידה־שווה‬
‫הגדרה נאמר שסדרת פונקציות ) ‪ (fn‬כלשהי על תחום ‪ I ⊆ R‬מתכנסת במידה־שווה‬
‫לפונקציה גבולית ‪ ,f‬אם לכל ‪ > 0‬קיים ‪ ,N‬כך שלכל ‪ n > N‬ולכל ‪x ∈ I‬‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫ < |)‪|fn (x) − f (x‬‬
‫‪119‬‬
‫הבהרה ההבדל הלוגי בין התכנסות רגילה להתכנסות במידה שווה הוא בסדר הכמתים‪.‬‬
‫בהתכנסות רגילה דורשים שלכל ‪ x‬ו‪ -‬נתונים יהיה קיים ‪ N‬המקיים את התנאי‪.‬‬
‫לעומת זאת בהתכנסות במידה שווה דורשים שלכל נתון יהיה קיים ‪ N‬המקיים את‬
‫התנאי לכל ‪ x‬ללא תלות ב‪.x-‬‬
‫הגדרה־שקולה נאמר שסדרת פונקציות ) ‪ (fn‬כלשהי על תחום ‪ I ⊆ R‬מתכנסת במידה־שווה‬
‫לפונקציה גבולית ‪ ,f‬אם מתקיים‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪lim sup |fn (x) − f (x)| = 0‬‬
‫‪x∈I‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫שלילת־התכנסות־במידה־שווה נאמר שסדרת פונקציות ) ‪ (fn‬כלשהי על תחום ‪ I ⊆ R‬אינה‬
‫מתכנסת במידה־שווה לפונקציה גבולית ‪ ,f‬אם קיים ‪ > 0‬כך שלכל ‪ N‬קיים ‪n > N‬‬
‫וקיים ‪ x ∈ I‬כך שמתקיים‪:‬‬
‫ ≥ |)‪|fn (x) − f (x‬‬
‫‪51.1‬‬
‫קריטריון קושי להתכנסות במידה־שווה‬
‫הגדרה נאמר שסדרת פונקציות ) ‪ (fn‬כלשהי על תחום ‪ I ⊆ R‬היא סדרת קושי במידה־שווה‪,‬‬
‫אם לכל ‪ > 0‬קיים ‪ N‬כך שלכל ‪ n, m > N‬ולכל ‪ x ∈ I‬מתקיים‪:‬‬
‫ < |)‪|fn (x) − fm (x‬‬
‫הגדרה־שקולה נאמר שסדרת פונקציות ) ‪ (fn‬כלשהי על תחום ‪ I ⊆ R‬היא סדרת קושי‬
‫במידה־שווה‪ ,‬אם מתקיים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪|fn (x) − fm (x)|‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪‬‬
‫‪sup‬‬
‫‪x∈I‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪lim ‬‬
‫‪n→∞ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪n,m>N‬‬
‫במידה־שווה‪:‬‬
‫הערה הניסוח האנלוגי לטור קושי ∞‪P‬‬
‫נאמר שטור פונקציות ‪ k=1 uk‬כלשהו על ‪ I‬הוא טור קושי במידה־שווה‪ ,‬אם לכל‬
‫‪ > 0‬קיים ‪ N‬כך שלכל ‪ ,n > N‬לכל ‪ m ∈ N‬ולכל ‪ ,x ∈ I‬מתקיים‪:‬‬
‫‪n+m‬‬
‫‪ n+m‬‬
‫‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ X‬‬
‫‬
‫‪X‬‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫‪uk (x) −‬‬
‫ = )‪uk (x‬‬
‫ < )‪uk (x‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫‪k=1‬‬
‫‪k=n+1‬‬
‫‪k=1‬‬
‫משפט סדרת פונקציות ) ‪ (fn‬על ‪ I‬מתכנסת במידה שווה ⇔ ) ‪ (fn‬על ‪ I‬סדרת קושי במידה־‬
‫שווה‬
‫‪120‬‬
‫הוכחה )כיוון ראשון( נתון כי ) ‪(fn‬מתכנסת במ"ש לפונקציה גבולית ‪.f‬‬
‫יהי ‪ . > 0‬מהנתון נובע שקיים ‪ N‬כך שלכל ‪ x ∈ I‬מתקיים עבור ‪:n > N‬‬
‫‬
‫< |)‪|fn (x) − f (x‬‬
‫‪2‬‬
‫וכן מתקיים עבור ‪:m > N‬‬
‫‬
‫< |)‪|fm (x) − f (x‬‬
‫‪2‬‬
‫נסיק מכך‪:‬‬
‫≤ |)‪|fn (x) − fm (x)| = |fn (x) − f (x) + f (x) − fm (x‬‬
‫=‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪+‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫< |)‪≤ |fn (x) − f (x)| + |f (x) − fm (x‬‬
‫הוכחה )כיוון שני( נתון כי ) ‪ (fn‬סדרת קושי במידה־שווה‪.‬‬
‫מכאן שלכל ‪ x ∈ I‬סדרת המספרים ))‪ (fm (x‬מקיימת את קריטריון קושי להתכנסות‬
‫קלסית של סדרת מספרים ולפיכך מתכנסת נקודתית ב‪ x-‬כאשר ∞ → ‪ .m‬נסמן את‬
‫גבולה ב‪.f (x)-‬‬
‫עוד נובע מהנתון‪ ,‬שלכל ‪ > 0‬קיים ‪ N‬כך שלכל ‪ n, m > N‬ולכל ‪ x ∈ I‬מתקיים‪:‬‬
‫‬
‫< |)‪|fn (x) − fm (x‬‬
‫‪2‬‬
‫אם נקבע את ‪ n‬להיות מספר כלשהו )ללא תלות איזה ‪ n‬נבחר( ונשאיף את ‪ m‬לאינסוף‪,‬‬
‫נקבל שמתקיים‪:‬‬
‫‬
‫ < ≤ |)‪|fn (x) − f (x‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‪51.2‬‬
‫מבחן ‪ M‬של ויירשטראס להתכנסות במידה־שווה‬
‫∞‪P‬‬
‫יהי ‪ k=1 uk‬טור פונקציות‪P‬המוגדרות על ‪.I‬‬
‫∞‬
‫‪P‬טור חיובי ‪ k=1 ak‬שמתכנס‪ ,‬כך שלכל ‪ x ∈ I‬מתקיים ‪ ,|uk (x)| ≤ ak‬אזי הטור‬
‫אם קיים‬
‫∞‬
‫‪ k=1 uk‬מתכנס במידה־שווה על ‪.I‬‬
‫הוכחה מהנתון שטור המספרים מתכנס‪ ,‬נובע לפי קריטריון קושי להתכנסות קלאסית של‬
‫סדרה‪ ,‬שלכל ‪ > 0‬קיים ‪ ,N‬כך שלכל ‪ n > N‬ולכל ‪ ,m ∈ N‬מתקיים‪:‬‬
‫ < ‪ak‬‬
‫‪n+m‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k=n+1‬‬
‫ולכן עבור אותם ‪ n, m‬מתקיים לכל ‪:x ∈ I‬‬
‫‬
‫‬
‫‪n+m‬‬
‫‪n+m‬‬
‫‪ X‬‬
‫‬
‫‪X‬‬
‫‬
‫‬
‫‪u‬‬
‫)‪(x‬‬
‫≤‬
‫ < ‪ak‬‬
‫‬
‫‬
‫‪k‬‬
‫‬
‫‬
‫‪k=n+1‬‬
‫‪k=n+1‬‬
‫מכאן שמתקיים קריטריון קושי להתכנסות טור פונקציות במידה־שווה‪ ,‬ולכן הטור‬
‫מתכנס במידה־שווה‪.‬‬
‫‪121‬‬
‫הערה מההוכחה ניתן לראות שהטור אפילו מתכנס בהחלט במידה־שווה‪.‬‬
‫דוגמה עקרונית נראה שקיים טור המתכנס בתנאי במידה־שווה‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫∞‪P‬‬
‫)‪ k=1 (−1‬כאשר סדרת הפונקציות מוגדרת על ]‪.[0, 1‬‬
‫נגדיר את הטור ‪n+x2‬‬
‫ניתן לראות שטור זה אנו מתכנס בהחלט‪ ,‬אך מתכנס בתנאי כי הוא טור לייבניץ‪.‬‬
‫נראה שהתכנסות טור זה בתנאי היא במידה־שוה‪ ,‬ונשתמש בחסם על סכום של טור‬
‫בעל סימנים מתחלפים שהוכחנו במשפט לייבניץ‪:‬‬
‫∞‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫)‪(−1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫≤‬
‫≤‬
‫‪−→ 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫∞→‪m‬‬
‫‪n‬‬
‫‪+‬‬
‫‪x‬‬
‫‪m‬‬
‫‪+‬‬
‫‪x‬‬
‫‪m‬‬
‫‪n=m‬‬
‫‬
‫תכונות הקשורות בהתכנסות במידה־שווה‬
‫‪52‬‬
‫רציפות של הפונקציה הגבולית‬
‫‪52.1‬‬
‫תהי ) ‪ (fn‬סדרת פונקציות על ]‪ [a, b‬המתכנסת שם במידה־שווה לפונקציה גבולית ‪.f‬‬
‫אם לכל ‪ n‬מתקיים כי ‪ fn‬רציפה בנקודה ]‪ ,x0 ∈ [a, b‬אזי גם ‪ f‬רציפה ב־ ‪.x0‬‬
‫האנלוגי לפונקציה הגבולית של טור פונקציות‪:‬‬
‫הערה הניסוח ∞‪P‬‬
‫אם ‪ n=1 un‬טור של פונקציות רציפות בקטע סגור ]‪ ,[a, b‬המתכנס במידה שווה‬
‫בקטע זה‪ ,‬אזי סכום הטור הוא פונקציה רציפה על ]‪.[a, b‬‬
‫הוכחה יהי ‪ . > 0‬מההתכנסות במידה־שווה נובע שקיים ‪ n‬כלשהו שעבורו לכל ]‪x ∈ [a, b‬‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫< |)‪|fn (x) − f (x‬‬
‫מהנתון שלכל ‪ n‬מתקיים כי ‪ fn‬רציפה ב‪ ,x0 -‬נובע שקיים ‪ δ > 0‬כך שמתקיים‪:‬‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫< |) ‪|x − x0 | < δ ⇒ |fn (x) − fn (x0‬‬
‫נסיק משתי התוצאות שמתקיימת הגדרת הרציפות עבור הפונקציה הגבולית ב‪:f -‬‬
‫≤ |) ‪|x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| = |f (x) − fn (x) + fn (x) − fn (x0 ) + fn (x0 ) − f (x0‬‬
‫=‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫‪+‬‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫‪+‬‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫< |) ‪≤ |f (x) − fn (x)| + |fn (x) − fn (x0 )| + |fn (x0 ) − f (x0‬‬
‫‬
‫‪ (un ) ,(fn )P‬סדרות של פונקציות רציפות‪ ,‬ונניח כי הסדרה ) ‪ (fn‬והטור‬
‫מסקנה נניח כי‬
‫∞‬
‫‪ n=1 un‬מתכנסים במידה־שווה‪.‬‬
‫מרציפות הפונקציה הגבולית שהוכחנו‪ ,‬נסיק שמתקיים עבור סדרת פונקציות‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪lim lim fn (x) = lim fn (x0 ) = lim‬‬
‫)‪lim fn (x‬‬
‫‪x→x0‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪122‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪x→x0‬‬
‫ועבור טור פונקציות‪:‬‬
‫‬
‫)‪lim un (x‬‬
‫ ∞‬
‫‪X‬‬
‫‪x→x0‬‬
‫!‬
‫=‬
‫)‪un (x‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪x→x0‬‬
‫דוגמה נגדיר את סדרת הפונקציות ‪ fn (x) = xn‬על הקטע ]‪ .[0, 1‬נשים לב שמתקיים‪:‬‬
‫(‬
‫)‪0 x ∈ [0, 1‬‬
‫‪n‬‬
‫→‪x −‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x=1‬‬
‫נשים לב שזו דוגמה לסדרת פונקציות רציפות לכל ]‪ ,x ∈ [0, 1‬והפונקציה הגבולית‬
‫אינה רציפה‪ .‬מכאן שבהכרח הסדרה אינה מתכנסת במידה־שווה‪.‬‬
‫נראה ישירות שהפונקציה לא מתכנסת במ"ש‪:‬‬
‫‪sup |xn − f (x)| = 1 −→ 1 6= 0‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫]‪x∈[0,1‬‬
‫]הבהרה‪ :‬נשים לב שזהו הסופרימום מכיוון שניתן להתקרב ל‪ 1-‬כמה שרוצים )בלי‬
‫להגיע( ועדיין הפונקציה הגבולית היא ‪[.0‬‬
‫דוגמה נראה דוגמה לסדרת פונקציות רציפות שהפונקציה הגבולית שלהן רציפה‪ ,‬אך ההתכנסות‬
‫שלהן אינה במידה־שווה‪.‬‬
‫נגדיר את הפונקציות‪ fn (x) = xn (1 − xn ) :‬על הקטע ]‪.[0, 1‬‬
‫נשים לב שמתקיים ‪ ,(fn (x)) −→ 0‬ולכן הפונקציה הגבולית קבועה ושווה ל‪0-‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫ובוודאי רציפה‪.‬‬
‫נראה שההתכנסות אינה במידה־שווה‪:‬‬
‫ ‪ n‬‬
‫ ‪ n‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‬
‫=‬
‫→‪−‬‬
‫‪6= 0‬‬
‫‪1−‬‬
‫ ≥ |‪sup |x (1 − x ) − 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪2n‬‬
‫]‪x∈[0,1‬‬
‫]נימוק‪ :‬נשים לב שלכל ‪ n‬מתקיים ]‪ ,x = 11 ∈ [0, 1‬ומכיוון שהסופרימום הוא על‬
‫‪2n‬‬
‫כל האיברים בקטע‪ ,‬הוא בפרט גדול מאיבר מסוים בקטע‪[.‬‬
‫‪52.2‬‬
‫אינטגרציה איבר־איבר‬
‫תהי ‪ fn : [a, b] → R‬סדרת פונקציות רציפות בקטע‪ ,‬המתכנסות במידה־שווה על התחום‬
‫]‪ [a, b‬לפונקציה גבולית ‪.f‬‬
‫אזי מתקיים‪:‬‬
‫‪ b‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‬
‫ ‪ˆb‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪lim fn dx = f dx‬‬
‫‪lim‬‬
‫= ‪fn dx‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪a‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫נשים לב שממשפט קודם נובע שמכיוון שהפונקציות רציפות ומתכנסות במידה שווה‪ ,‬אז‬
‫‪´b‬‬
‫הפונקציה הגבולית רציפה‪ .‬לפיכך היא אינטגרבילית והביטוי ‪ a f dx‬מוגדר‪.‬‬
‫‪123‬‬
‫הוכחה נחשב‪:‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪(f − fn ) dx +‬‬
‫‪fn dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫= ‪(f − fn + fn ) dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫= ‪f dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫אם ניקח גבול ב‪ n → ∞-‬משני צידי השוויון‪ ,‬כדי להוכיח את המשפט יספיק להראות‬
‫שמתקיים‪:‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪(f − fn ) dx −→ 0‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪a‬‬
‫מהנתון ש‪ fn −→ f -‬במידה־שווה‪ ,‬אזי לכל ‪ > 0‬קיים ‪ N‬כך שלכל ‪n > N‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫‬
‫)‪(b − a‬‬
‫< |)‪sup |fn (x) − f (x‬‬
‫]‪x∈[a,b‬‬
‫נסיק שמתקיים‪:‬‬
‫‪ b‬‬
‫‬
‫ˆ‬
‫‪ ˆb‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫< ‪ (f − fn ) dx ≤ |f − fn | dx‬‬
‫= ‪dx‬‬
‫ = )‪(b − a‬‬
‫‬
‫‬
‫‪(b‬‬
‫‪−‬‬
‫)‪a‬‬
‫‪(b‬‬
‫‪−‬‬
‫)‪a‬‬
‫‬
‫‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‬
‫‪ 52.2.1‬בשפה של טורי פונקציות‬
‫∞‪P‬‬
‫יהי ‪ n=1 fn‬טור אינסופי של פונקציות רציפות על ]‪ ,[a, b‬המתכנס במידה־שווה שם‪.‬‬
‫אזי מתקיים‪:‬‬
‫‪ b‬‬
‫‪‬‬
‫!‬
‫ˆ‬
‫‪ˆb X‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫∞‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫= ‪ fn dx‬‬
‫‪fn dx = f dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪52.3‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪n=1‬‬
‫גזירה איבר־איבר‬
‫תהי ‪ fn : [a, b] → R‬סדרת פונקציות גזירות בקטע‪.‬‬
‫נניח כי‪:‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪ .1‬סדרת הנגזרות ‪ fn‬מתכנסת במידה־שווה על התחום ]‪ [a, b‬לפונקציה גבולית ‪.g‬‬
‫‪ .2‬קיימת נקודה )‪ c ∈ (a, b‬שעבורה סדרת המספרים ))‪ (fn (c‬מתכנסת‪.‬‬
‫אזי‪:‬‬
‫‪ (fn ) .1‬מתכנסת במידה־שווה על ]‪ [a, b‬לפונקציה גבולית ‪.f‬‬
‫‪124‬‬
‫‪ .2‬הפונקציה הגבולית ‪ f‬גזירה בקטע‪ ,‬ולכל ]‪ x ∈ [a, b‬מתקיים‬
‫‪0‬‬
‫‪= lim fn = g‬‬
‫‪0‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪lim fn‬‬
‫‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪f‬‬
‫הערה לו היה נתון שהנגזרות רציפות‪ ,‬מהמשפט היסודי היה נובע שמתקיים‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ˆx‬‬
‫‪fn (x) = fn (c) + fn (x) − fn (c) = fn (c) +‬‬
‫‪fn (t) dt‬‬
‫‪c‬‬
‫ולכן היה קל להסיק את המשפט‪.‬‬
‫הוכחה )‪ (1‬נוכיח שסדרת הפונקציות ) ‪ (fn‬מתכנסת במידה־שווה‪ ,‬לפי קריטריון קושי להתכנסות‬
‫במידה־שווה‪:‬‬
‫≤ |))‪|fn (x) − fm (x)| = |fn (x) − fm (x) − (fn (c) − fm (c)) + (fn (c) − fm (c‬‬
‫|))‪≤ |fn (x) − fm (x) − (fn (c) − fm (c))| + |(fn (c) − fm (c‬‬
‫נתייחס לביטוי ))‪ fn (x) − fm (x) − (fn (c) − fm (c‬כאל פונקציה אחת מהצורה‪:‬‬
‫)‪(fn − fm ) (x) − (fn − fm ) (c‬‬
‫מכיוון שפונקציה זו היא הפרש של פונקציות גזירות היא גזירה‪ .‬לכן ממשפט הערך‬
‫הממוצע של לגראנז' נובע שלכל )‪ x ∈ (a, b‬קיימת נקודה )‪ ξ ∈ (x, c‬כך שמתקיים‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪(fn − fm ) (x) − (fn − fm ) (c) = (x − c) (fn − fm ) (ξ‬‬
‫כעת נשתמש בכך שמרציפות הנגזרות במידה־שווה מתקיים קריטריון קושי להתכנסות‬
‫במידה־שווה‪ ,‬ומהתכנסות הפונקציות ‪ fn‬מתקיים קריטריון קושי להתכנסות פשוטה‪.‬‬
‫נצרף את המסקנה ממשפט לגראנז' ונסיק שלכל ‪ > 0‬קיים ‪ N‬מספיק גדול עבור‬
‫שני התנאים‪ ,‬כך שלכל ‪:n, m > N‬‬
‫‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫ < |))‪|fn (x) − fm (x)| ≤ (x − c) (fn − fm ) (ξ) + |(fn (c) − fm (c‬‬
‫מכאן שסדרת הפונקציות מקיימת את קריטריון קושי להתכנסת במידה־שווה‪ ,‬ולכן‬
‫היא מתכנסת במידה־שווה‪.‬‬
‫הוכחה )‪ (2‬נשים לב שלפי הגדרת הנגזרת צריך להוכיח שלכל ]‪ x0 ∈ [a, b‬מתקיים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪(f (x0 + h) − f (x0 )) = g (x0‬‬
‫‪h→0 h‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪ .1‬נגדיר פונקציה ‪:ϕ : [a − x0 , b − x0 ] → R‬‬
‫‪(f (x0 + h) − f (x0 )) h 6= 0‬‬
‫) ‪g (x0‬‬
‫‪h=0‬‬
‫‪125‬‬
‫‪1‬‬
‫‪h‬‬
‫(‬
‫= )‪ϕ (h‬‬
‫נשים לב שאם נוכיח כי ‪ ϕ‬רציפה בנקודה ‪ h = 0‬נוכיח את הטענה‪ ,‬כי משמעות‬
‫הרציפות של ‪ ϕ‬היא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪(f (x0 + h) − f (x0 )) = lim ϕ (h) = ϕ (0) = g (x0‬‬
‫‪h→0‬‬
‫‪h‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪h→0‬‬
‫‪ .2‬כדי להוכיח שזו פונקציה רציפה‪ ,‬נוכיח שהיא מהווה פונקציה גבולית של סדרת‬
‫פונקציות רציפות על הקטע ] ‪ [a − x0 , b − x0‬המתכנסות אליה במידה־שווה‪.‬‬
‫זה יספיק להוכיח את הרציפות של ‪ ϕ‬ב־‪ ,0‬כי ממשפט שהוכחנו נובע שעבור סדרת‬
‫פונקציות המתכנסת במידה־שווה‪ ,‬הפונקציה הגבולית שלהן רציפה‪.‬‬
‫)א( נגדיר סדרת פונקציות ) ‪ (ϕn‬על הקטע ] ‪ [a − x0 , b − x0‬באופן הבא‪:‬‬
‫(‬
‫‪1‬‬
‫‪h (fn (x0 + h) − fn (x0 )) h 6= 0‬‬
‫= )‪ϕn (h‬‬
‫‪0‬‬
‫) ‪fn (x0‬‬
‫‪h=0‬‬
‫נשים לב שלכל ‪ n ∈ N‬מתקיים כי ‪ ϕn‬רציפה ב‪ ,h = 0-‬כי נתון ש‪ fn -‬גזירה‬
‫ב‪.h = 0-‬‬
‫כמו־כן מתקיים לפי נתוני המשפט ומחלקו הראשון‪ ,‬כי‪:‬‬
‫)‪ϕn (h) −→ ϕ (h‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫ומכאן שזו סדרת פונקציות שמתכנסת נקודתית ל‪.ϕ-‬‬
‫)ב( נוכיח כי ‪ ϕn‬מתכנסת ל‪ ϕ-‬במידה־שווה על ] ‪ ,[a − x0 , b − x0‬באמצעות הטענה‬
‫כי זו סדרת קושי במידה־שווה‪.‬‬
‫‪ 0‬‬
‫יהי ‪ . > 0‬מהנתון שסדרת הנגזרות ‪ fn‬מתכנסת במידה־שווה נובע שקיים‬
‫‪ N‬כך שלכל ‪ n, m > N‬ולכל ] ‪ ξ ∈ [a − x0 , b − x0‬מתקיים‪:‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫ < )‪fn (ξ) − fm (ξ‬‬
‫נסיק שעבור ‪ h 6= 0‬בקטע ] ‪ [a − x0 , b − x0‬מתקיים לפי הגדרת הפונקציה ‪:ϕ‬‬
‫ ‬
‫|) ‪|ϕn (h) − ϕm (h)| = h1 |fn (x0 + h) − fn (x0 ) − fm (x0 + h) − fm (x0‬‬
‫נתייחס לביטוי ) ‪ fn (x0 + h)−fn (x0 )−fm (x0 + h)−fm (x0‬כאל פונקציה‬
‫אחת מהצורה‪:‬‬
‫) ‪(fn − fm ) (x0 + h) − (fn + fm ) (x0‬‬
‫מכיוון שפונקציה זו היא הפרש של פונקציות גזירות היא גזירה‪ .‬לכן ממשפט‬
‫הערך הממוצע של לגראנז' נובע שלכל ) ‪ ξ ∈ (a − x0 , b − x0‬קיימת נקודה‬
‫)‪) ξ0 ∈ (ξ, c‬הנקודה ‪ c‬היא הנתונה בתנאי המשפט( כך שמתקיים‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫) ‪(fn − fm ) (x0 + h) − (fn + fm ) (x0 ) = h · (fn − fm ) (ξ0‬‬
‫‪126‬‬
‫כעת נשתמש בכך שמרציפות הנגזרות במידה־שווה מתקיים קריטריון קושי‬
‫להתכנסת במידה־שווה‪.‬‬
‫נצרף את המסקנה ממשפט לגראנז' ונסיק שלכל ‪ > 0‬קיים ‪ N‬מספיק גדול‬
‫עבור שני התנאים‪ ,‬כך שלכל ‪:n, m > N‬‬
‫‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫ < ) ‪|ϕn (h) − ϕm (h)| = (fn − fm ) (ξ0‬‬
‫נשים לב שזה לא מספיק כי לא כללנו בדיוק את המקרה של ‪ ,h = 0‬אבל זו לא‬
‫בעיה כי מתקיים לפי הגדרת הפונקציות ‪:ϕn‬‬
‫‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫ < ) ‪|ϕn (0) − ϕm (0)| = (fn − fm ) (ξ0‬‬
‫מכאן שהסדרה ) ‪ (ϕn‬סדרת קושי במידה־שווה‪ ,‬ולכן היא מתכנסת לפונקציה‬
‫הגבולית ‪ ϕ‬במידה־שווה‪.‬‬
‫הראינו שאם סדרת פונקציות רציפות המתכנסת במידה שווה לפונקציה גבולית‪,‬‬
‫אז הפונקציה הגבולית רציפה‪ ,‬ונימקנו לעיל מדוע רציפות הפונקציה ‪ ϕ‬מספיקה‬
‫להוכיח את המשפט‪ .‬‬
‫‪ 52.3.1‬בשפה של טורי פונקציות‬
‫∞‪P‬‬
‫יהי ‪ n=1 fn‬טור אינסופי של פונקציות גזירות על ]‪.[a, b‬‬
‫נניח כי‪:‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ .1‬טור הנגזרות ‪ n=1 fn‬מתכנס על התחום ]‪ [a, b‬לפונקציה גבולית ‪.g‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪ .2‬קיימת נקודה )‪ c ∈ (a, b‬כך שטור המספרים )‪ n=1 fn (c‬מתכנס‪.‬‬
‫אזי‪:‬‬
‫‪ .1‬הטור ‪fn‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪n=1‬‬
‫מתכנס במידה־שווה על ]‪ [a, b‬לפונקציה גבולית ‪.S‬‬
‫‪ .2‬הפונקציה הגבולית ‪ S‬גזירה בקטע‪ ,‬ולכל ]‪ x ∈ [a, b‬מתקיים‪:‬‬
‫‪!0‬‬
‫∞‬
‫∞‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪fn dx‬‬
‫= ‪fn dx‬‬
‫‪fn dx = g‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪52.4‬‬
‫‪n=1‬‬
‫= ‪S0‬‬
‫‪n=1‬‬
‫משפט דיני‬
‫תהי ) ‪ (fn‬סדרת פונקציות רציפות על ]‪ [a, b‬המתכנסות נקודתית לפונקציה גבולית ‪ ,f‬ונניח‬
‫כי ‪ f‬רציפה‪.‬‬
‫אם לכל ]‪ x ∈ [a, b‬סדרת המספרים ))‪ (fn (x‬מונוטונית‪ ,‬אזי ‪ (fn ) −→ f‬במידה־שווה‪.‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫הערה ייתכן שעבור חלק מהערכים הסדרה המתאימה תהיה מונוטונית עולה‪ ,‬ועבור אחרים‬
‫יורדת‪.‬‬
‫∞‪P‬‬
‫מסקנה תהי ) ‪ (fn‬סדרת פונקציות ממשיות אי־שליליות על ]‪ ,[a, b‬כך שהטור ‪n=1 fn‬‬
‫מתכנס נקודתית לפונקציה גבולית רציפה‪ .‬אזי הטור מתכנס במידה־שווה‪.‬‬
‫]נימוק‪ :‬מכיוון שהפונקציות אי־שליליות‪ ,‬סדרת הסכומים החלקיים מונוטונית עולה‪,‬‬
‫ולכן מתקיימים תנאי המשפט‪[.‬‬
‫‪127‬‬
‫הוכחה נניח בשלילה שההתכנסות אינה במידה־שווה‪ .‬נוכיח שקיימת נקודה ]‪ x0 ∈ [a, b‬כך‬
‫ש‪ (fn (x0 ))-‬לא מתכנסת ל‪ f (x0 )-‬בסתירה להתכנסות הנקודתית‪.‬‬
‫משלילת התכנסות במידה שווה נובע שקיים ‪ > 0‬כך שלכל ‪ N‬קיים ‪ n > N‬וקיים‬
‫]‪ x ∈ [a, b‬כך ש‪:‬‬
‫ ≥ |)‪|fn (x) − f (x‬‬
‫∞‬
‫∞‬
‫מכאן שקיימות הסדרות ‪ (xk )k=1 ,(nk )k=1‬כך ש‪:‬‬
‫ ≥ |) ‪|fnk (xk ) − f (xk‬‬
‫נשים לב שמהמונוטוניות נובע שמתקיים עבור ‪:m < nk‬‬
‫ ≥ |) ‪|fm (xk ) − f (xk )| ≥ |fnk (xk ) − f (xk‬‬
‫לכל ‪ k‬מתקיים ]‪ ,xk ∈ [a, b‬ולכן לכל ‪ nk ≥ m‬ממשפט בולצאנו ויירשטראס נובע‬
‫שקיימת תת־סדרה כלשהי שמתכנסת ל‪ x0 -‬כלשהו‪ ,‬המקיים ]‪.x0 ∈ [a, b‬‬
‫מרציפות ‪ fn , f‬נסיק שכאשר ∞ → ‪ k‬מתקיים עבור אי השוויון הנ"ל לכל ‪:m ∈ N‬‬
‫ ≥ |) ‪|fm (x0 ) − f (x0‬‬
‫בסתירה לכך ש‪ .fm (x0 ) −→ f (x0 )-‬‬
‫∞→‪m‬‬
‫‪53‬‬
‫טורי־חזקות‬
‫הגדרה טור־חזקות סביב ‪ x0 ∈ R‬כלשהו‪ ,‬הוא טור פונקציות מהצורה‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫) ‪an (x − x0‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=0‬‬
‫כאשר ‪ an ∈ R‬מקדמים קבועים כלשהם‪.‬‬
‫נסמן את הסכום החלקי ה‪n-‬־י של טור־חזקות‪:‬‬
‫‪k‬‬
‫) ‪ak (x − x0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪Sn (x‬‬
‫‪k=0‬‬
‫הערה ‪ 1‬כל טור חזקות מתכנס בנקודה ‪ x = x0‬וסכומו הוא ‪) .a0‬כי ‪.(00 = 1‬‬
‫הערה ‪ 2‬לצורך הנוחות נפתח את התורה של טורי־חזקות סביב ‪ ,x0 = 0‬כך שטור החזקות‬
‫ייראה מהצורה‪:‬‬
‫‪an xn‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=0‬‬
‫‪128‬‬
‫‪53.1‬‬
‫משפט אבל )‪Abel‬‬
‫( לטורי־חזקות‬
‫לכל טור חזקות קיים רדיוס־התכנסות יחיד ‪ R ∈ R‬המקיים ∞ ≤ ‪ ,0 ≤ R‬כך שהטור‬
‫מתכנס בהחלט לכל ‪ x‬המקיים ‪ |x| < R‬ומתבדר לכל ‪ x‬המקיים ‪.|x| > R‬‬
‫בקצוות רדיוס ההתכנסות‪ ,‬דהיינו עבור ‪ ,|x| = R‬לא ניתן לקבוע התכנסות בהחלט‪ ,‬התכנסות‬
‫או התבדרות רק על־סמך הידוע לנו בתוך הרדיוס ומחוצה לו‪.‬‬
‫הוכחה נסמן ב‪ E-‬את קבוצת כל המספרים הממשיים ‪ x‬שעבורם הטור מתכנס‪.‬‬
‫נשים לב ש‪ 0 ∈ E-‬ולכן ‪/‬‬
‫‪ ,E 6= O‬ומכאן שיש ל‪ E-‬סופרימום‪ .‬נסמן‪:‬‬
‫}|‪R = sup {|x‬‬
‫‪x∈E‬‬
‫יהי ‪ x ∈ R‬כלשהו‪.‬‬
‫• אם ‪ x‬מקיים ‪ ,|x| < R‬אזי מהגדרת ‪ R‬כסופרימום נובע שקיים ‪ α ∈ E‬המקיים‬
‫‪ ,|x| < |α| ≤ R‬כך ש‪:‬‬
‫∞ < ‪an αn‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=0‬‬
‫ולכן בהכרח ‪.(an αn ) −→ 0‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫סדרה מתכנסת היא בפרט חסומה‪ ,‬ולכן קיים ‪ 0 < m ∈ R‬כך שלכל ‪ n ∈ N‬מתקיים‬
‫‪.|an αn | < m‬‬
‫נחשב‪:‬‬
‫∞‬
‫‪ x n‬‬
‫‪ x n X‬‬
‫ ‬
‫ ‬
‫ ‪m‬‬
‫≤ · | ‪|an αn‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪n=0‬‬
‫‪n=0‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫= | ‪|an xn‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=0‬‬
‫ ‬
‫‪ n‬‬
‫טור הנדסי‬
‫מכיוון שמתקיים |‪ |x| < |α‬נסיק ש‪ , αx < 1-‬ולכן ‪ n=1 m αx‬הוא‬
‫∞‪P‬‬
‫שמתכנס‪ ,‬ולפי מבחן ההשוואה לטורים חיוביים נסיק שהטור | ‪ n=1 |an xn‬מתכנס‪.‬‬
‫מכאן שלכל ‪ |x| < R‬הטור מתכנס‪.‬‬
‫∞‪P‬‬
‫• אם ‪ x‬מקיים ‪ ,|x| > R‬אזי מהגדרת ‪ R‬כסופרימום נובע שעבור ‪ x‬טור החזקות‬
‫מתבדר‪ .‬‬
‫‪53.2‬‬
‫נוסחת קושי־הדמר‬
‫‪p‬‬
‫∞‪P‬‬
‫יהי ‪ n=0 an xn‬טור־חזקות כלשהו‪ .‬נסמן‪.c = lim n |an | :‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫אזי רדיוס ההתכנסות )באופן שבו הגדרנו לעיל( מקיים = ‪ .R‬כלומר‪:‬‬
‫‪c‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫}‪ c c ∈ {R/0‬‬
‫= )‪R (c‬‬
‫∞‬
‫‪c=0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫∞=‪c‬‬
‫‪129‬‬
‫הוכחה יהי ‪ x ∈ R‬כלשהו‪.‬‬
‫אם מתקיים ‪ ,|x| > 1c‬אז‪:‬‬
‫‪|an | = |x| c > 1‬‬
‫ואם מתקיים‬
‫‪1‬‬
‫‪c‬‬
‫‪p‬‬
‫‪n‬‬
‫‪|an xn | = |x| lim‬‬
‫‪p‬‬
‫‪n‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪lim‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫< |‪ ,|x‬אז‪:‬‬
‫‪|an | = |x| c < 1‬‬
‫‪p‬‬
‫‪n‬‬
‫‪|an xn | = |x| lim‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪p‬‬
‫‪n‬‬
‫‪lim‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫נסיק ממבחן קושי לטורים שבמקרה הראשון הטור מתבדר‪ ,‬ובשני הטור מתכנס‪ .‬‬
‫הערה ‪ 1‬הוכחנו את מבחן קושי עבור טורים חיוביים‪ ,‬אולם ניתן להשתמש בו לכל טור‬
‫באמצעות ערך־מוחלט באופן שבו השתמשנו בהוכחה זו‪.‬‬
‫הערה ‪ 2‬נשים לב שנוסחת קושי־הדמר הוא הוכחה נוספת למשפט אבל לטורי־חזקות‪.‬‬
‫‪53.3‬‬
‫משפט דלאמבר לטורי־חזקות‬
‫∞‪P‬‬
‫‪n‬‬
‫טור־חזקות כלשהו‪.‬‬
‫‬
‫יהי ‪ n=0 an x‬‬
‫ ‪ n‬‬
‫‪ ,c = lim aan+1‬אזי רדיוס ההתכנסות מקיים ‪.c = R‬‬
‫אם קיים הגבול ‬
‫∞→‪n‬‬
‫הוכחה יהי ‪ x ∈ R‬כלשהו‪.‬‬
‫אם מתקיים ‪ ,|x| > c‬אז‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫ ‪ an xn‬‬
‫ ‪ an‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪= 1 c<1‬‬
‫‪lim‬‬
‫=‬
‫‪lim‬‬
‫ ‪n→∞ an+1 xn+1‬‬
‫|‪|x| n→∞ an+1 |x‬‬
‫ואם מתקיים ‪ ,|x| < c‬אז‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫ ‪ an xn‬‬
‫‬
‫‪ = 1 lim an = 1 c > 1‬‬
‫ ‪lim‬‬
‫ ‪n→∞ an+1 xn+1‬‬
‫|‪|x| n→∞ an+1 |x‬‬
‫נסיק ממבחן דלאמבר לטורים שבמקרה הראשון הטור מתבדר‪ ,‬ובשני הטור מתכנס‪.‬‬
‫‬
‫הערה הוכחנו את מבחן דלאמבר עבור טורים חיוביים‪ ,‬אולם ניתן להשתמש בו לכל טור‬
‫באמצעות ערך־מוחלט באופן שבו השתמשנו בהוכחה זו‪.‬‬
‫‪53.4‬‬
‫התכנסות במידה־שווה של טורי־חזקות‬
‫משפט ‪1‬‬
‫∞‪P‬‬
‫יהי ‪an xn‬‬
‫הטור‪.‬‬
‫אזי לכל ‪ 0 < r < R‬מתקיים כי הטור מתכנס בהחלט ובמידה־שווה על הקטע ]‪.[−r, r‬‬
‫‪n=0‬‬
‫טור־חזקות כלשהו‪ ,‬ונניח כי ∞ ≤ |‪ 0 < |R‬הוא רדיוס ההתכנסות של‬
‫‪130‬‬
‫הוכחה נשים לב שלכל )‪ x ∈ (−r, r‬מתקיים‪:‬‬
‫| ‪|an xn | ≤ |an rn‬‬
‫∞‪P‬‬
‫רדיוס ההתכנסות נסיק שהטור ‪an rn‬‬
‫מכיוון ש‪r-‬‬
‫בתוך‪P‬‬
‫∞‬
‫הטור ‪ n=0 an xn‬מתכנס בהחלט‪.‬‬
‫מקריטריון ויירשטראס להתכנסות במידה־שווה )סעיף ‪ (52.2‬נסיק שהטור מתכנס‬
‫במידה־שווה‪ .‬‬
‫∞‪P‬‬
‫מסקנה אם ידוע שעבור ‪ R‬עצמו )‪ R‬ממשי( טור החזקות | ‪ n=1 |an Rn‬מתכנס בהחלט‪,‬‬
‫אזי טור החזקות מתכנס בהחלט ובמידה־שווה בכל הקטע ]‪.[−R, R‬‬
‫‪n=1‬‬
‫מתכנס בהחלט‪ ,‬ולכן‬
‫משפט ‪2‬‬
‫∞‪P‬‬
‫יהי ‪an xn‬‬
‫הטור‪.‬‬
‫אזי‪:‬‬
‫א‪ .‬אם הטור מתבדר ב‪ R-‬עצמו‪ ,‬אזי בקטע )‪ (−R, R‬ההתכנסות אינה במידה־שווה‪.‬‬
‫ב‪ .‬אם הטור מתכנס ב‪ R-‬עצמו‪ ,‬אזי בקטע ]‪ [0, R‬ההתכנסות היא במידה־שווה‪) .‬גם אם לא‬
‫‪30‬‬
‫בהחלט(‪.‬‬
‫‪31‬‬
‫ג‪ .‬הטור מתכנס במידה־שווה בכל קטע סגור המוכל )גם אם חלש( בתחום ההתכנסות‪.‬‬
‫∞‪P‬‬
‫הוכחה )א( נניח בשלילה שהטור ‪ n=0 an xn‬מתכנס במידה־שווה ב‪.(−R, R)-‬‬
‫יהי ‪ . > 0‬מההתכנסות הטור במידה־שווה נובע לפי קריטריון קושי להתכנסות‬
‫במידה שווה שקיים ‪ ,N‬כל שלכל ‪ m > n > N‬ולכל )‪ x ∈ (−R, R‬מתקיים‪:‬‬
‫‬
‫‪ m‬‬
‫‬
‫‪ X‬‬
‫‬
‫‪k‬‬
‫ < ‪ak x‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪n=0‬‬
‫טור־חזקות כלשהו‪ ,‬ונניח כי ∞ < |‪ 0 < |R‬הוא רדיוס ההתכנסות של‬
‫‪k=n+1‬‬
‫מכיוון שלפי ההנחה מתקיימת התכנסות במידה־שווה לסכום סופי‪ ,‬הוכחנו שבמקרה‬
‫זה הפונקציה הגבולית היא פונקציה רציפה של ‪ ,x‬ולכן אם נשאיף ‪ x → R−‬נקבל‬
‫שלכל ‪ m > n > N‬מתקיים‪:‬‬
‫‬
‫‪ m‬‬
‫‬
‫‪ X‬‬
‫‬
‫‬
‫ < ‪ak R k‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪k=n+1‬‬
‫ולכן מקריטריון קושי לטורי מספרים נקבל שהטור מתכנס עבור ‪ R‬עצמו‪ ,‬בסתירה‬
‫להנחה‪.‬‬
‫תזכורת )הוכחנו כמסקנה מהטרנספורמציה של אבל(‬
‫יהיו ‪ .α1 , ..., αm , β1 , ..., βm ∈ R‬נסמן ‪ Bk = β1 + ... + βk‬עבור ‪.1 ≤ k ≤ m‬‬
‫נניח גם כי ‪ |Bi | < L‬לכל ‪ ,1 ≤ i ≤ m‬וכן שהקבוצה ‪ α1 , ..., αm‬קבוצה סדורה‬
‫מונוטונית‪ .‬כלומר‪:‬‬
‫‪α1 ≤ α2 ≤ ... ≤ αm‬‬
‫‪or‬‬
‫‪α1 ≥ α2 ≥ ... ≥ αm‬‬
‫‪30‬באופן סימטרי‪ ,‬אם היינו יודעים שהטור מתכנס ב‪ ,−R-‬אזי בקטע ]‪ [−R, 0‬ההתכנסות היא במידה־שווה‪.‬‬
‫‪31‬כלומר‪ ,‬אם למשל תחום ההתכנסות הוא ]‪ ,(−R, R‬אז הטור מתכנס במידה־שווה בקטע ]‪ [r, R‬לכל ‪ r‬המקיים‬
‫|‪.|r| < |R‬‬
‫‪131‬‬
‫אזי‪:‬‬
‫‪m‬‬
‫‬
‫‪X‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫)| ‪αi βi ≤ L (2 |αm | + |α1‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪i=1‬‬
‫הוכחה )ב( יהי ‪ . > 0‬מהתכנסות הטור ב‪ R-‬נובע לפי קריטריון קושי להתכנסות טורי‬
‫מספרים שקיים ‪ ,N‬כך שלכל ‪ n > N‬ולכל ‪ m ∈ N‬מתקיים‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫< ‪an+i xn+i‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ 3‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪x‬‬
‫יהי ]‪ x ∈ [0, R‬כלשהו‪ .‬נשים לב שמתקיים ‪≤ 1‬‬
‫‪R‬‬
‫שאם נציב‪:‬‬
‫‬
‫‪x n+i‬‬
‫‪αi = R‬‬
‫≤ ‪ .0‬לכן מהטענה שהזכרנו נובע‬
‫‪βi = an+i Rn+i‬‬
‫‪=L‬‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫נקבל שמתקיים לפי הטענה‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ X‬‬
‫ ‪ n+i‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫ ‪n+i‬‬
‫‪n+i x‬‬
‫ = ‪an+i x‬‬
‫‪an+i R‬‬
‫<‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫ ‬
‫‪R‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫ ‬
‫‬
‫‬
‫‪x n+m x n+1‬‬
‫<‬
‫‪2‬‬
‫‪+‬‬
‫≤‬
‫‪3‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫לכן מקריטריון קושי להתכנסות במידה־שווה‪ ,‬הטור מתכנס עבור ]‪. x ∈ [0, R‬‬
‫הוכחה )ג( מהמשפט הקודם נסיק שעבור קטע סגור ]‪) [−r, r] ⊂ [−R, R‬ממש( הטור מתכנס‬
‫בהחלט ובמידה־שווה‪.‬‬
‫מסעיף ב של משפט זה נסיק שאם הטור מתכנס גם בשני הקצוות אז הוא מתכנס‬
‫במידה־שווה על כל קטע סגור שמוכל או שווה לתחום ההתכנסות‪ .‬‬
‫‪53.5‬‬
‫‪n‬‬
‫רציפות הפונקציה הגבולית של טורי־חזקות‬
‫∞‪P‬‬
‫יהי ‪ n=0 an x‬טור חזקות עם רדיוס התכנסות ‪.R > 0‬‬
‫אזי סכום הטור הוא פונקציה רציפה בקטע )‪.(−R, R‬‬
‫הוכחה לכל )‪ x0 ∈ (−R, R‬קיים ‪ 0 < r < R‬כך ש‪.|x0 | < r-‬‬
‫הוכחנו שבכל קטע מהצורה ]‪ [−r, r‬טור החזקות מתכנס במידה־שווה‪ ,‬ולכן ממשפט‬
‫קודם נובע שהפונקציה הגבולית רציפה שם‪ ,‬ובפרט ב‪ ,x0 -‬לכל )‪ .x0 ∈ (−R, R‬‬
‫‪132‬‬
‫‪53.6‬‬
‫משפט הגבול של אבל )‪Abel‬‬
‫( לטורי־חזקות‬
‫∞‪P‬‬
‫יהי ‪ n=0 an xn‬טור חזקות עם רדיוס התכנסות ‪.R > 0‬‬
‫אם הטור מתכנס בנקודה ‪ x = R‬אז הפונקציה הגבולית שלו רציפה משמאל ב‪.R-‬‬
‫הוכחה הטור מתכנס ב‪ x = R-‬ולכן ממשפט קודם נובע שהוא מתכנס במידה־שווה בקטע‬
‫]‪.[0, R‬‬
‫עוד ראינו שאם טור פונקציות רציפות כלשהו מתכנס במידה שווה‪ ,‬הפונקציה הגבולית‬
‫שלו רציפה בתחום ההתכנסות‪ ,‬ומכאן הטענה‪ .‬‬
‫‪53.7‬‬
‫אינטגרציה איבר־איבר של טור־חזקות‬
‫יהי ‪an xn‬‬
‫אזי‪:‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪n=0‬‬
‫טור חזקות עם רדיוס התכנסות ‪.R > 0‬‬
‫‬
‫‪ .1‬טור האינטגרלים ‪an tn dt‬‬
‫‪´x‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪n=0‬‬
‫‪0‬‬
‫מתכנס על אותו רדיוס התכנסות‪.‬‬
‫‪ .2‬סכום טור האינטגרלים הוא אינטגרל של סכום הטור‪ .‬כלומר לכל ‪ |x| < R‬מתקיים‪:‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪‬‬
‫!‬
‫ˆ‬
‫‪ˆx X‬‬
‫∞‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n‬‬
‫= ‪ an tn dt‬‬
‫‪an t‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪n=0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪n=0‬‬
‫‪ .3‬אם ∞ < ‪ R‬והטור מתכנס ב‪ ,x = R-‬אזי גם טור האינטגרלים מתכנס ב‪,x = R-‬‬
‫ומתקיים גם כאן‪:‬‬
‫‪ R‬‬
‫‪‬‬
‫!‬
‫ˆ‬
‫‪ˆR X‬‬
‫∞‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫= ‪ an tn dt‬‬
‫‪an tn dt‬‬
‫‪n=0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪n=0‬‬
‫הוכחה )‪ (1‬נשים לב שמתקיים עבור אינטגרל של פולינום‪:‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‬
‫∞‬
‫∞‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪an n+1 X an−1 n‬‬
‫= ‪ an tn dt‬‬
‫‪x‬‬
‫=‬
‫‪x‬‬
‫‪n+1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪n=0‬‬
‫‪n=0‬‬
‫‪0‬‬
‫מכאן ניכר שטור האינטגרלים מתכנס )ואף נוטה להתכנס חזק יותר מהטור המקורי(‪.‬‬
‫נניח שרדיוס ההתכנסות של טור האינטגרלים הוא ‪e‬‬
‫‪ .R‬נסיק מנוסחת קושי־הדמר‬
‫שמתקיים‪:‬‬
‫‪p‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‬
‫‬
‫| ‪lim n |an−1‬‬
‫‪p‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪1‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫ ‪n n−1‬‬
‫ ‪n n−1‬‬
‫‪p‬‬
‫‪= lim‬‬
‫= | ‪= lim n |an−1‬‬
‫‬
‫‪ = lim‬‬
‫‬
‫=‬
‫‪n‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫∞→‪e n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪lim‬‬
‫|‪|n‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫‪=1‬‬
‫ולכן ‪e = R‬‬
‫‪ ,R‬משמע רדיוס ההתכנסות של טור האינטגרלים שווה לזה של טור‬
‫החזקות‪.‬‬
‫‪133‬‬
‫הוכחה )‪ (2,3‬הוכחנו שלכל טור פונקציות רציפות המתכנס במידה־שווה ניתן לבצע אינטגרציה‬
‫איבר־איבר‪.‬‬
‫טור־חזקות מתכנס במידה שווה בכל קטע מהצורה ]‪ [−r, r‬המקיים )‪,r ∈ (−R, R‬‬
‫ולכן הוא מקיים את תנאי המשפט‪.‬‬
‫כאשר הטור מתכנס גם ב‪ R-‬עצמה‪ ,‬מאותו נימוק נובע שניתן לבצע אינטגרציה איבר־‬
‫איבר על התחום הסגור‪ .‬‬
‫‪53.8‬‬
‫‪n‬‬
‫גזירה איבר־איבר של טור־חזקות‬
‫יהי ‪an x‬‬
‫אזי‪:‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪n=0‬‬
‫טור חזקות עם רדיוס התכנסות ‪.R > 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ .1‬טור הנגזרות ) ‪(an xn‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪n=0‬‬
‫מתכנס על אותו רדיוס התכנסות‪.‬‬
‫‪ .2‬סכום טור הנגזרות הוא נגזרת של סכום הטור‪ .‬כלומר לכל ‪ |x| < R‬מתקיים‪:‬‬
‫‪!0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪an x‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n 0‬‬
‫= ) ‪(an x‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=0‬‬
‫‪n=0‬‬
‫‪ .3‬אם ∞ < ‪ R‬וטור הנגזרות מתכנס ב‪ ,x = R-‬אזי גם הטור מתכנס ב‪,x = R-‬‬
‫ומתקיים גם כאן‪:‬‬
‫‪!0‬‬
‫∞‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n 0‬‬
‫‪n‬‬
‫= ) ‪(an R‬‬
‫‪an R‬‬
‫‪n=0‬‬
‫‪n=0‬‬
‫]בניגוד לסעיף ‪ 3‬במשפט הקודם‪ ,‬בו מהתכנסות הטור ב‪ x = R-‬למדנו על התכנסות‬
‫טור האינטגרלים בנקודה זו‪ ,‬במקרה זה מהתכנסות טור הנגזרות ב‪ x = R-‬לומדים‬
‫על התכנסות הטור בנקודה זו‪[.‬‬
‫הוכחה )‪ (1‬נשים לב שמתקיים עבור נגזרת של פולינום‪:‬‬
‫‪(n + 1) an+1 xn‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫= ‪nan xn−1‬‬
‫‪n=0‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪nan xn−1 = 0 +‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪0‬‬
‫= ) ‪(an xn‬‬
‫‪n=0‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=0‬‬
‫נשתמש גם כאן בנוסחת קושי־הדמר‪:‬‬
‫‪p‬‬
‫√‬
‫‪1‬‬
‫= | ‪|(n + 1) an+1 | = lim n n + 1 · lim n |an+1‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪R‬‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫‪p‬‬
‫‪n‬‬
‫‪lim‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪=1‬‬
‫הוכחה )‪ (2‬טור־חזקות מתכנס במידה שווה בכל קטע מהצורה ]‪ [−r, r‬המקיים )‪,r ∈ (−R, R‬‬
‫ולכן טור הנגזרות )שהוא טור־חזקות( מתכנס במידה־שווה בכל קטע מהצורה הנ"ל‪.‬‬
‫ממשפט קודם על גזירה איבר־איבר של טור פונקציות כלשהו נסיק שבתנאים אלה‬
‫ניתן לבצע גזירה איבר־איבר‪.‬‬
‫‪134‬‬
‫הוכחה )‪ (3‬נתון שטור הנגזרות מתכנס ב‪ ,x = R-‬כלומר מתקיימת התכנסות לטור‪:‬‬
‫‪nan Rn−1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪0‬‬
‫= ) ‪(an Rn‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=0‬‬
‫‪n=0‬‬
‫נשים לב שהטור המקורי מתקבל מטור הנגזרות הזה באמצעות כפל בסדרה‬
‫שהיא מונוטונית־יורדת ל‪:0-‬‬
‫‬
‫‬
‫∞‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪R‬‬
‫=‬
‫‪an Rn‬‬
‫‪nan Rn−1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n=0‬‬
‫‪n=0‬‬
‫‬
‫∞ ‪R‬‬
‫‪n n=1‬‬
‫ממבחן דיריכלה לטורים חסומים נסיק שהטור מתכנס ב‪) .R-‬כי טור הנגזרות מתכנס‪,‬‬
‫ובפרט חסום(‪.‬‬
‫מהנתון שטור הנגזרות מתכנס במידה־שווה בקטע ]‪ ,[0, R‬נסיק שניתן לבצע גזירה‬
‫איבר־איבר על הקטע הסגור‪ .‬‬
‫מסקנה )באינדוקציה( עבור נגזרת ‪k‬־ית כלשהי מתקיים‪:‬‬
‫‪n (n − 1) · ... · (n − k + 1) an Rn‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫=‬
‫)‪(k‬‬
‫) ‪(an Rn‬‬
‫‪n=0‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=0‬‬
‫∞‪P‬‬
‫מסקנה )באינדוקציה( נסמן ב‪ S (x)-‬את סכום הטור ‪. n=0 an xn‬‬
‫אזי הפונקציה )‪ S (x‬גזירה מכל סדר )גזירה אינסוף פעמים( בכל קטע סגור מהצורה‬
‫)‪ ,[−r, r] ⊂ (−R, R‬ולכל ‪ k ∈ N‬מתקיים‪:‬‬
‫!‬
‫)‪(k‬‬
‫∞‬
‫∞‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫)‪(k‬‬
‫)‪(k‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n (n − 1)·...·(n − k + 1) an xn−k‬‬
‫= ) ‪(an xn‬‬
‫= )‪S (x‬‬
‫‪an x‬‬
‫=‬
‫‪n=0‬‬
‫‪n=k‬‬
‫‪54‬‬
‫‪n=0‬‬
‫טורי־טיילור‬
‫∞‪P‬‬
‫נסמן ‪an xn‬‬
‫הוכחנו שמתקיים‪:‬‬
‫‪n=0‬‬
‫= )‪ f (x‬ונניח כי פונקציה זו מוגדרת על רדיוס התכנסות חיובי ‪.R‬‬
‫‪n (n − 1) · ... · (n − k + 1) an xn−k‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫= )‪f (k) (x‬‬
‫‪n=k‬‬
‫ובפרט עבור ‪ x = 0‬מתקיים‪:‬‬
‫!‪f (n) (0) = an n‬‬
‫⇓‬
‫‪= an‬‬
‫)‪f (n) (0‬‬
‫!‪n‬‬
‫קיבלנו נוסחה סגורה לאיבר הכללי של הפונקציה ‪.f‬‬
‫∞‪P‬‬
‫מסקנה בהינתן שמתקיים ‪ f (x) = n=0 an xn‬ההצגה של ‪ f‬כטור חזקות יחידה‪ ,‬ומתקיים‪:‬‬
‫‪xk‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫)‪f (k) (0‬‬
‫!‪k‬‬
‫‪135‬‬
‫‪k=0‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪54.1‬‬
‫אנליטיות‬
‫תהי )‪ f (x‬פונקציה כלשהי המוגדרת בסביבת ‪ .0‬נרצה לפתח את ‪ f‬כטור חזקות בסביבה‬
‫כלשהי של ‪ ,0‬כלומר שיתקיים שוויון ממש‪:‬‬
‫‪xk‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫)‪f (k) (0‬‬
‫!‪k‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪ .1‬תנאי הכרחי ומספיק לקיום טור טיילור מוגדר היטב ל‪ f -‬סביב ‪ ,0‬הוא שהיא תהיה‬
‫גזירה מכל סדר )גזירה אינסוף פעמים( בנקודה ‪.x = 0‬‬
‫‪ .2‬תנאי הכרחי לכך שניתן יהיה להציג את ‪ f‬באמצעות פיתוח טיילור סביב ‪ ,0‬הוא שהיא‬
‫תהיה גזירה מכל סדר בסביבה כלשהי של ‪.0‬‬
‫‪ .3‬תנאי מספיק לכך שניתן יהיה להציג את ‪ f‬באמצעות פיתוח טיילור סביב ‪ ,0‬הוא‬
‫שהנגזרות שלה מכל סדר בסביבה כלשהי של ‪ 0‬חסומות‪.‬‬
‫הוכחה התנאי הראשון נובע מהגדרת טור טיילור‪ .‬ברגע שהביטוי )‪ f (k) (0‬מוגדרת לכל ‪k‬‬
‫מקבלים ביטוי מוגדר היטב‪.‬‬
‫נשים לב שהתנאי השני והתנאי השלישי אינם שקולים‪ .‬כך למשל הפונקציה הבאה‬
‫מקיימת את התנאי השני ועדיין לא ניתנת לפיתוח טיילור סביב ‪:0‬‬
‫‪( −1‬‬
‫‪e x2 x 6= 0‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x=0‬‬
‫פונקציה זו גזירה אינסוף פעמים וב‪ 0-‬ערך כל הנגזרות שלה הוא ‪ .0‬מכאן שטור‬
‫טיילור שלה הוא זהותית ‪ ,0‬ולכן ודאי שהיא לא ניתנת לפיתוח כטור טיילור סביב ‪0‬‬
‫על־אף שהיא מקיימת את התנאי השני‪.‬‬
‫נוכיח שאם מצרפים את התנאי השלישי מתקיימת אנליטיות‪ .‬כלומר ניתן להציג את‬
‫הפונקציה כטור טיילור‪.‬‬
‫מהנתון ש‪ f -‬גזירה מכל סדר בסביבה ]‪ ,[−r, r‬נסיק שלכל ‪ x‬בסביבה זו קיים לפונקציה‬
‫קירוב באמצעות פולינום טיילור עם שארית אפסית‪ ,‬מהצורה‪:‬‬
‫)‪xk + Rn (x‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫)‪f (k) (0‬‬
‫!‪k‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪k=0‬‬
‫הוכחנו שקיימת לשארית צורת לגראנז'‪ ,‬לפיה קיים )‪ θ ∈ (0, 1‬כלשהו כך ש‪:‬‬
‫‪f (n+1) (θn ) n+1‬‬
‫‪x‬‬
‫!)‪(n + 1‬‬
‫= )‪Rn (x‬‬
‫מהנתון שהנגזרות מכל סדר חסומות‪ ,‬נסיק שקיים ‪ m ∈ R‬כך שלכל ‪ k‬ולכל ∈ ‪x‬‬
‫]‪ [−r, r‬מתקיים‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫)‪ (k‬‬
‫‬
‫‪f (x) < m‬‬
‫‪136‬‬
‫נסיק מכך‪:‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪f (n+1) (θn ) n+1‬‬
‫‪x‬‬
‫≤‬
‫≤ ‪xn+1‬‬
‫‪rn+1 −→ 0‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫!)‪(n + 1‬‬
‫!)‪(n + 1‬‬
‫!)‪(n + 1‬‬
‫= )‪Rn (x‬‬
‫ולכן מתקיים‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫)‪f (k) (0‬‬
‫)‪xk + Rn (x‬‬
‫!‪k‬‬
‫‪k=0‬‬
‫⇓‬
‫!‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪f (k) (0) k‬‬
‫)‪x + Rn (x‬‬
‫‪f (x) = lim‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫!‪k‬‬
‫‪k=0‬‬
‫⇓‬
‫!‬
‫‪n‬‬
‫)‪(k‬‬
‫‪X‬‬
‫‪f (0) k‬‬
‫‪f (x) = lim‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪+ lim Rn (x‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫!‪k‬‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫|‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪xk‬‬
‫⇓‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫)‪f (k) (0‬‬
‫!‪k‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‬
‫טרמינולוגיה אם קיים עבור ‪ f‬פיתוח טיילור סביב ‪ 0‬אומרים ש‪ f -‬פונקציה אנליטית ב‪-‬‬
‫‪.x = 0‬‬
‫ניתן להגדיר אנליטיות בכל ‪ x0 ∈ R‬כלשהי באופן אנלוגי‪ ,‬באמצעות טור טיילור‬
‫מהצורה‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫) ‪an (x − x0‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪n=0‬‬
‫אם קיימת סביבה ]‪ [a, b‬כלשהי שעבורה מתקיים שלכל ]‪ x0 ∈ [a, b‬הפונקציה )‪f (x‬‬
‫אנליטית‪ ,‬אז אומרים כי ‪ f‬אנליטית על ]‪.[a, b‬‬
‫‪54.2‬‬
‫תכונות של פונקציות אנליטיות‬
‫תכונה ‪1‬‬
‫אם ‪ f‬אנליטית בנקודה ‪ x0‬ורדיוס ההתכנסות שלה הוא ‪ R‬סביב ‪ ,x0‬אזי ‪ f‬אנליטית בקטע‬
‫הפתוח )‪.(x0 − R, x0 + R‬‬
‫כמו־כן‪ ,‬לכל )‪ x1 ∈ (x0 − R, x0 + R‬קיים רדיוס התכנסות ‪ R1‬המקיים‪:‬‬
‫}‪R1 ≥ min {−x0 + x1 + R, x0 − x1 + R‬‬
‫‪137‬‬
‫תכונה ‪2‬‬
‫אם ‪ f, g‬אנליטיות ב‪ ,x0 -‬אזי גם ‪ f ± g‬ו‪ f · g-‬אנליטיות ב‪.x0 -‬‬
‫הוכחה נתון כי ‪ f, g‬אנליטיות ב‪ ,x0 -‬ונניח כי רדיוסי ההתכנסות שלהן הם ‪ Rf , Rg‬בהתאמה‪.‬‬
‫נסמן‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫) ‪bn (x − x0‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫= )‪g (x‬‬
‫‪n‬‬
‫) ‪an (x − x0‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪n=0‬‬
‫‪n=0‬‬
‫מכאן שעבור רדיוס התכנסות ‪ R‬המקיים } ‪ R = min {Rf , Rg‬ועבור ‪ x0‬המקיים‬
‫‪ |x − x0 | < R‬מתקיים‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫) ‪(an ± bn ) (x − x0‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫= ‪f ±g‬‬
‫‪n=0‬‬
‫ולכן ‪ f ± g‬אנליטית ב‪.x0 -‬‬
‫כמו־כן מתקיים לפי מכפלת קושי‪:‬‬
‫!‬
‫=‬
‫‪n‬‬
‫) ‪bn (x − x0‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫!‬
‫‪n‬‬
‫) ‪an (x − x0‬‬
‫‪n=0‬‬
‫‪k‬‬
‫‪n−k‬‬
‫) ‪ak (x − x0 ) bn−k (x − x0‬‬
‫∞‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k=0‬‬
‫!‬
‫‪n‬‬
‫) ‪(x − x0‬‬
‫= ‪fg‬‬
‫‪n=0‬‬
‫!‬
‫=‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪ak bn−k‬‬
‫∞‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k=0‬‬
‫=‬
‫‪n=0‬‬
‫=‬
‫‪n=0‬‬
‫נשים לב שקיבלנו טור־חזקות כלשהו‪ ,‬ולכן המכפלה אנליטית‪ .‬‬
‫תכונה ‪3‬‬
‫אם ‪ f‬אנליטית ב‪ x0 -‬וכן ‪ g‬אנליטית ב‪ ,f (x0 )-‬אזי גם ‪ f ◦ g‬אנליטית ב‪) .x0 -‬לא נוכיח(‬
‫תכונה ‪4‬‬
‫אם ‪ f, g‬אנליטיות ב‪ x0 -‬וכן ‪ ,g (x0 ) 6= 0‬אזי גם‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ g‬ו‪g -‬‬
‫אנליטית ב‪.x0 -‬‬
‫אנליטית בכל נקודה ‪:x0 6= 0‬‬
‫הוכחה ראשית נוכיח שהפונקציה‬
‫‪n‬‬
‫ ∞‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 X x0 − x‬‬
‫‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫·‬
‫·‬
‫‪x‬‬
‫) ‪x0 + (x − x0‬‬
‫‪x0 1 + x−x0‬‬
‫‪x0 n=0‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪x0‬‬
‫כאשר השוויון האחרון נובע מנוסחת הסכום של טור גאומטרי‪.‬‬
‫אם נסמן ‪ ,h (x) = x1‬נשים לב שהפונקציה ‪ g1‬היא הרכבה של הפונקציה ‪ .h ◦ g‬לכן‬
‫‪ g1‬היא הרכבה של פונקציות אנליטיות‪ ,‬ומתכונה ‪ 3‬נובע שהיא אנליטית‪.‬‬
‫באותו אופן ניתן גם להוכיח‬
‫‪f‬‬
‫ש‪g -‬‬
‫אנליטית‪ .‬‬
‫‪138‬‬
‫‪54.3‬‬
‫דוגמאות נפוצות‬
‫‪ .1‬טור טיילור של ‪ ex‬סביב ‪ 0‬הוא‪:‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪1 n‬‬
‫= ‪e‬‬
‫‪x‬‬
‫!‪n‬‬
‫‪n=0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .2‬נוסחה כללית לנגזרת ה‪ n-‬של ‪ sin x‬היא‪:‬‬
‫‪even‬‬
‫‪n is‬‬
‫‪odd‬‬
‫‪n is‬‬
‫‪n‬‬
‫‪(−1) 2 sin x‬‬
‫‪cos x‬‬
‫‪n+1‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(−1‬‬
‫(‬
‫= )‪(x‬‬
‫)‪(n‬‬
‫‪sin‬‬
‫ולכן טור טיילור של ‪ sin x‬סביב ‪ 0‬הוא‪:‬‬
‫∞‬
‫‪n−1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪x5‬‬
‫‪x7‬‬
‫)‪(−1‬‬
‫‪x2n−1 = x −‬‬
‫‪+‬‬
‫‪−‬‬
‫‪+ ...‬‬
‫!)‪(2n − 1‬‬
‫!‪3‬‬
‫!‪5‬‬
‫!‪7‬‬
‫‪n=0‬‬
‫= ‪sin x‬‬
‫)ניתן לראות מכאן ש‪ sin-‬היא פונקציה אי־זוגית‪(.‬‬
‫‪ .3‬באותו אופן נקבל שטור טיילור של ‪ cos x‬סביב ‪ 0‬הוא‪:‬‬
‫∞‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪(−1) 2n‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪x6‬‬
‫‪x =1−‬‬
‫‪+‬‬
‫‪−‬‬
‫‪+ ...‬‬
‫= ‪cos x‬‬
‫!)‪(2n‬‬
‫!‪2‬‬
‫!‪4‬‬
‫!‪6‬‬
‫‪n=0‬‬
‫)ניתן לראות מכאן ש‪ cos-‬היא פונקציה זוגית‪(.‬‬
‫‪139‬‬
‫חלק‬
‫‪VIII‬‬
‫מבוא לתורת המידה‬
‫‪55‬‬
‫המידה החיצונית של לבג‬
‫כיסוי־פתוח תהי ‪ .A ⊆ R‬נאמר כי קבוצה כלשהי של קטעים פתוחים שנסמן ‪ σ‬היא "כיסוי‬
‫פתוח של ‪ ,"A‬אם מתקיים‪:‬‬
‫[‬
‫⊆‪A‬‬
‫‪I‬‬
‫‪I∈σ‬‬
‫הגדרה תהי ‪ .A ⊆ R‬נגדיר את פונקציית המידה החיצונית של לבג של ‪ A‬באופן הבא‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪h1 (A‬‬
‫‪inf‬‬
‫|‪|I‬‬
‫‪I∈σ‬‬
‫‪open covers‬‬
‫כאשר לכל קטע ‪ I ∈ σ‬הסימון |‪ |I‬מציין את אורך הקטע‪.‬‬
‫‪55.1‬‬
‫קבוצות בעלות מידה ‪0‬‬
‫טענה לכל קטע מהצורה ]‪) J = [a, b‬לאו דווקא קטע סגור( מתקיים‪:‬‬
‫|‪h1 (J) = b − a = |J‬‬
‫ומכאן גם שעבור נקודה בודדת ‪ a‬מתקיים‪:‬‬
‫‪h1 (a) = 0‬‬
‫הגדרה תהי ‪ .A ⊆ R‬נאמר כי ‪ A‬היא "בעלת מידה ‪ "0‬אם מתקיים‪:‬‬
‫‪h1 (A) = 0‬‬
‫הגדרה־שקולה ל‪ A ⊆ R-‬מידה ‪ 0‬אמ"מ לכל ‪ > 0‬קיים כיסוי פתוח ל‪ A-‬שסכום כל אורכי‬
‫הקטעים בו קטן מ‪.-‬‬
‫טענה אם ‪ A ⊆ R‬קבוצה בת־מניה‪ ,‬אזי היא בעלת מידה ‪.0‬‬
‫הוכחה‬
‫∞‬
‫∞‬
‫נניח כי ‪ A = {an }n=1‬קבוצה בת־מניה‪ ,‬ונגדיר עליה סדר כלשהו כך ש‪.A = (an )n=1 -‬‬
‫אזי לכל ‪ > 0‬מתקיים‪:‬‬
‫‬
‫ ‪an − 2−n , an + 2n‬‬
‫∞‬
‫[‬
‫‪n=1‬‬
‫‪140‬‬
‫⊆‪A‬‬
‫נשים לב שמתקיים עבור סכום אורכי הקטעים‪:‬‬
‫‪2−n = 2‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪22−n = 2‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫‪=1‬‬
‫‬
‫∞‬
‫טענה תהי ‪ (An )n=1‬סדרה של קבוצות בעלות מידה ‪ ,0‬אזי גם הקבוצה ‪An‬‬
‫∞‬
‫[‬
‫= ‪ A‬היא‬
‫‪n=1‬‬
‫בעלת מידה ‪.0‬‬
‫)כלומר‪ ,‬איחוד בן־מניה של קבוצות בעלות מידה ‪ 0‬הוא קבוצה בעלת מידה ‪(.0‬‬
‫הוכחה יהי ‪ . > 0‬מהנתון שלכל הקבוצות ) ‪ (An‬יש מידה ‪ ,0‬נסיק שלכל קבוצה ‪ An‬קיים‬
‫כיסוי פתוח מהצורה‪:‬‬
‫∞‬
‫[‬
‫‪Inl‬‬
‫⊆ ‪An‬‬
‫‪l=1‬‬
‫המקיים את התנאי השקול למידה ‪:0‬‬
‫ ‪|Inl | < 2−n‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪l=1‬‬
‫ולכן נסיק שקיים כיסוי פתוח לקבוצה ‪:A‬‬
‫‪Inl‬‬
‫[ ∞‬
‫∞‬
‫[‬
‫⊆ ‪An‬‬
‫‪n=1 l=1‬‬
‫∞‬
‫[‬
‫=‪A‬‬
‫‪n=1‬‬
‫כך שמתקיים‪:‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‬
‫ = ‪2−n‬‬
‫= ‬
‫‪n=1‬‬
‫‪−n‬‬
‫‪2‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=1‬‬
‫!‬
‫<‬
‫| ‪|Inl‬‬
‫∞‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪l=1‬‬
‫= | ‪|Inl‬‬
‫‪n=1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n,l=1‬‬
‫‬
‫הערה כל קבוצה בת־מניה מידתה ‪ ,0‬אולם לא כל קבוצה שמידתה ‪ 0‬היא בת־מניה‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬קבוצה כל המספרים בקטע ממשי נתון‪ ,‬שלא מאפשרים לספרה מסוימת‬
‫להופיע בפיתוח העשרוני שלהם‪.‬‬
‫דוגמה מסוימת בכתיב פורמלי‪:‬‬
‫}‪{a ∈ [0, 1] |a = a1 a2 a3 ... and ai 6= 5‬‬
‫‪56‬‬
‫משפט לבג‬
‫פונקציה ]‪) f ∈ B [a, b‬כלומר חסומה על הקטע( אינטגרבילית רימן אמ"מ קבוצת נקודות‬
‫אי הרציפות שלה היא בעלת מידה ‪.0‬‬
‫‪141‬‬
‫‪57‬‬
‫הלמה של היינה־בורל‬
‫]הטענה הראשונה היא הלמה עצמה‪ ,‬והשתיים האחרות קשורות אליה‪[.‬‬
‫טענה ‪ 1‬לכל כיסוי פתוח ‪ σ‬של קטע סגור ]‪ [a, b‬קיים תת־כיסוי סופי לקטע ]‪.[a, b‬‬
‫"תת־כיסוי סופי" הוא קבוצה המוכלת ב‪ ,σ-‬המכילה מספר סופי של קטעים פתוחים‪.‬‬
‫הוכחה נניח בשלילה שהטענה לא נכונה‪ .‬כלומר‪ ,‬קיים קטע סגור ]‪ [a, b‬כלשהו‪ ,‬וכיסוי פתוח‬
‫אינסופי שלו ‪ ,σ‬כך שכל תת־קבוצה סופית של ‪ σ‬אינה כיסוי פתוח של ]‪.[a, b‬‬
‫נבצע תהליך איטרטיבי של חלוקת הקטע ]‪ [a, b‬לשני תתי־קטעים שווים‪ ,‬ובכל שלב‬
‫נבחר אחד משני תתי הקטעים ונמשיך איתו את התהליך‪ ,‬באופן הבא‪.‬‬
‫ניתן לראות שמתקיים תמיד‪:‬‬
‫ ‬
‫‬
‫‬
‫‪a+b‬‬
‫‪a+b‬‬
‫‪∪ a+‬‬
‫‪,b‬‬
‫‪[a, b] = a, a +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫מההנחה שאין ל‪ [a, b]-‬כיסוי סופי נובע בהכרח שלפחות לאחד משני תתי הקטעים‬
‫הללו אין כיסוי סופי‪) .‬אחרת איחוד שני הכיסויים הסופיים שלהם יהיה כיסוי סופי‬
‫לכל הקטע(‪.‬‬
‫נבחר תת־קטע שאין לו כיסוי סופי ונסמן אותו ] ‪ .[a1 , b1‬אורכו של תת־קטע זה הוא‬
‫‪.b1 − a1 = b−a‬‬
‫‪21‬‬
‫נחזור על אותו התהליך עבור ] ‪ ,[a1 , b1‬ונקבל שוב תת־קטע שאין לו כיסוי סופי ונסמן‬
‫‪1‬‬
‫‪.b2 − a2 = b12−a‬‬
‫‪= b−a‬‬
‫‪1‬‬
‫אותו ] ‪ .[a2 , b2‬אורכו של תת־קטע זה הוא ‪22‬‬
‫באופן כללי‪ ,‬נקבל סדרה של קטעים ] ‪ [an , bn‬המקיימת‪:‬‬
‫] ‪[an+1 , bn+1 ] ⊂ [an , bn‬‬
‫אורכו של תת־קטע ‪n‬־י הוא‪:‬‬
‫‪b−a‬‬
‫‪2n‬‬
‫= ‪bn − an‬‬
‫ולכן נקבל סדרה של קטעים שאין להם כיסוי סופי‪ ,‬ושאורכיהם מהווים סדרה‬
‫המתכנסת ל‪ 0-‬כאשר ∞ → ‪.n‬‬
‫מהלמה של קנטור נובע שקיית נקודה ]‪ c ∈ [a, b‬יחידה ששייכת לכל הקטעים הללו‪.‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫‪[an , bn ] ⇔ ∀n an ≤ c ≤ bn‬‬
‫∞‬
‫\‬
‫∈‪c‬‬
‫‪i=1‬‬
‫נשים לב שמההנחה ש‪ σ-‬כיסוי של הקטע ]‪ [a, b‬נובע שקיים קטע פתוח כלשהו ‪I ∈ σ‬‬
‫כך ש‪.c ∈ I-‬‬
‫נניח שאורכו של ‪ I‬הוא ‪ .‬מכיוון שסדרת אורכי הקטעים מתכנסת ל‪ ,0-‬נובע שעבור‬
‫‪ n‬מספיק גדול‪ ,‬הקטע ‪ ,[an , bn ] ⊂ I‬בסתירה לכך שלכל ‪ n‬לקטע ] ‪ [an , bn‬אין כיסוי‬
‫סופי‪ .‬‬
‫טענה ‪ 2‬נניח כי קטע פתוח כלשהו )‪ (a, b‬מקיים‪:‬‬
‫‪N‬‬
‫[‬
‫) ‪(αn , βn‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪142‬‬
‫⊆ )‪(a, b‬‬
‫)כלומר יש לקטע כיסוי סופי(‬
‫אזי מתקיים‪:‬‬
‫) ‪(βn − αn‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫≤‪b−a‬‬
‫‪n=1‬‬
‫הוכחה )באינדוקציה(‬
‫עבור ‪ ,N = 1‬אם )‪ (a, b) ⊆ (α, β‬אזי ‪ β ≥ b ,α ≤ a‬ולכן מתקיים‪:‬‬
‫‪b−a≤β−α‬‬
‫נניח שהטענה נכונה עבור ‪ N‬כלשהו‪ ,‬ואינה נכונה עבור ‪.N + 1‬‬
‫כלומר‪ ,‬קיימים קטעים המקיימים‪:‬‬
‫) ‪(αn , βn‬‬
‫[‪N‬‬
‫‪+1‬‬
‫⊆ )‪(a, b‬‬
‫‪n=1‬‬
‫ובכל זאת מתקיים‪:‬‬
‫) ‪(βn − αn‬‬
‫‪N‬‬
‫‪+1‬‬
‫‪X‬‬
‫>‪b−a‬‬
‫‪n=1‬‬
‫מכיוון שהכיסוי הוא קבוצה שמוגדרת כאיחוד של קטעים‪ ,‬סדר הקטעים לא משנה‪,‬‬
‫אז נגדיר‪:‬‬
‫) ‪(βn‬‬
‫‪max‬‬
‫‪1≤n≤N +1‬‬
‫= ‪βN +1‬‬
‫כלומר‪ ,‬ניקח את הקטע ) ‪ (αN +1 , βN +1‬להיות הקטע בכל הקצה "הימני" הקיצוני‬
‫בכיסוי הקטע )‪ ,(a, b‬ולכן בהכרח ‪.b ≤ βN +1‬‬
‫נשים לב שמתקיים‪:‬‬
‫‪(βn − αn ) > βN +1 − αN +1‬‬
‫‪N‬‬
‫‪+1‬‬
‫‪X‬‬
‫>‪b−a‬‬
‫‪n=1‬‬
‫⇓‬
‫‪b − a > βN +1 − αN +1‬‬
‫⇓‬
‫‪a < αN +1‬‬
‫נדון בשני מקרים‪:‬‬
‫אם ‪ αN +1 ≥ b‬אז הקטע ) ‪ (αN +1 , βN +1‬אינו נדרש לכיסוי של )‪ ,(a, b‬ולכן קיים‬
‫כיסוי מגודל ‪ N‬לקטע )‪ .(a, b‬עבור מקרה זה מתקיימת הנחת האינדוקציה‪ ,‬בסתירה‬
‫להנחה בשלילה שהטענה לא מתקיימת עבור ‪.N + 1‬‬
‫אם ‪ αN +1 < b‬נשים לב שמתקיים‪:‬‬
‫‪(a, αN +1 ) ∩ (αN +1 , βN +1 ) = Ø‬‬
‫‪143‬‬
‫ולכן את הקטע ) ‪ (a, αN +1‬ניתן לכסות עם ‪ N‬קטעים‪ ,‬ומתקיימת לגביו הנחת‬
‫האינדוקציה‪:‬‬
‫) ‪(βn − αn‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫≤ ‪αN +1 − a‬‬
‫‪n=1‬‬
‫ומכאן נסיק שלכל הקטע )‪ (a, b‬מתקיים‪:‬‬
‫≤ )‪b − a ≤ βN +1 − a = (βN +1 − αN +1 ) + (αN +1 − a‬‬
‫) ‪(βn − αn‬‬
‫‪N‬‬
‫‪+1‬‬
‫‪X‬‬
‫= ) ‪(βn − αn ) + (βN +1 − αN +1‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫≤‬
‫‪n=1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫בסתירה למה שהנחנו בשלילה‪ .‬‬
‫טענה ‪ 3‬אם ‪ σ‬כיסוי פתוח )סופי או אינסופי( של קטע סגור ]‪ ,[a, b‬אזי מתקיים‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫‪|I| ≥ b − a‬‬
‫‪I∈σ‬‬
‫כאשר |‪ |I‬הוא אורך הקטע ה‪.I-‬‬
‫|‪|I‬‬
‫הביטוי‬
‫ולכן‬
‫חיובי‪,‬‬
‫ממשי‬
‫]נשים לב ש‪ |I|-‬הוא מספר‬
‫‪I∈σ‬‬
‫אינסופי‪[.‬‬
‫‪P‬‬
‫מוגדר ‪ -‬סופי או‬
‫הוכחה נניח בשלילה שמתקיים‪:‬‬
‫‪|I| < b − a‬‬
‫‪X‬‬
‫‪I∈σ‬‬
‫‪ σ‬כך שמתקיים‪:‬‬
‫˜‪˜ ⊆ σ ,‬‬
‫מהלמה של היינה־בורל נובע שקיים תת־כיסוי סופי שנסמן ‪σ‬‬
‫[‬
‫⊆ ]‪[a, b‬‬
‫‪I‬‬
‫˜∈‪I‬‬
‫‪σ‬‬
‫ולכן מתקיים‪:‬‬
‫‪|I| < b − a‬‬
‫‪X‬‬
‫‪I∈σ‬‬
‫≤ |‪|I‬‬
‫‪X‬‬
‫˜∈‪I‬‬
‫‪σ‬‬
‫בסתירה לטענה ‪ .2‬‬
‫מסקנה לכל ‪ ,b, a ∈ R‬הקטע ]‪) [a, b‬או גם הקטע הפתוח החצי‪-‬פתוח המתאים( אינו בן־מניה‬
‫ואינו בעל מידה ‪.0‬‬
‫הוכחה קבוצה בעלת מידה ‪ 0‬לפי הגדרה היא קבוצה שסכום אורכי הקטעים שלה קטן‬
‫כרצוננו‪.‬‬
‫הוכחנו שהגודל של כיסוי קטע מהצורה הנ"ל חסום מלרע על‪-‬ידי המספר ‪ ,b − a‬ולכן‬
‫זו לא יכולה להיות קבוצה ממידה ‪.0‬‬
‫הוכחנו שכל קבוצה בת־מניה היא בעלת מידה ‪ ,0‬ומכיוון שהקטע אינו בעל מידה ‪0‬‬
‫הוא בהכרח אינו בן־מניה‪ .‬‬
‫‪144‬‬
‫מסקנה נניח ש‪ A-‬קבוצה כלשהי‪ ,‬ונניח כי ‪ σ‬היא קבוצת כל הכיסויים הפתוחים של ‪.A‬‬
‫הגדרנו את "המידה החיצוני של לבג" של ‪ A‬באופן הבא‪:‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪X‬‬
‫‪h1 (A) = inf‬‬
‫|‪|I‬‬
‫‪I∈σ‬‬
‫אזי המידה החיצונית של לבג של קטע ממשי ]‪ [a, b‬כלשהו‪ ,‬היא מה שנתפס אינטואיטיבית‬
‫כאורך הקטע‪ .‬כלומר‪:‬‬
‫‪h1 ([a, b]) = b − a‬‬
‫הוכחה נשים לב שלכל ‪ > 0‬מתקיים‪:‬‬
‫) ‪[a, b] ⊂ (a − , b +‬‬
‫מכאן שלכל ‪ > 0‬מתקיים כי ‪ ,(a − , b + ) ∈ σ‬ומהטענות שהוכחנו לעיל נסיק‬
‫שמתקיים בהכרח‪:‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪X‬‬
‫‪h1 ([a, b]) = inf‬‬
‫‪|I| = b − a‬‬
‫‪I∈σ‬‬
‫‪58‬‬
‫הצגות של מספרים‬
‫הצגה בבסיס כלשהו של מספרים בקטע ]‪ [0, 1‬היא הצגה של כל מספר כסכום של טור‬
‫אינסופי גאומטרי‪.‬‬
‫ניתן שתי דוגמאות‪.‬‬
‫בסיס־‪ 10‬לכל מספר ממשי ]‪ a ∈ [0, 1‬קיימת הצגה שמסמנים‪:‬‬
‫‪a = 0.a1 a2 a3 ...‬‬
‫ומשמעות סימון זה היא‪:‬‬
‫}‪an · 10−n , an ∈ {0, 1, 2, ..., 9‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫=‪a‬‬
‫‪n=1‬‬
‫הצגה זו נקראת "הצגה בבסיס ‪ "10‬כי משתמשים ב‪ 10-‬ספרות לייצוג כל מספר‪.‬‬
‫נשים לב שהצגה זו אינה יחידה‪ ,‬כי למשל ‪ 1 = 1.000... = 0.999...‬וגם = ‪0.12999...‬‬
‫‪.0.13000...‬‬
‫בסיס־‪ 2‬לכל מספר ממשי ]‪ a ∈ [0, 1‬קיימת הצגה שמסמנים‪:‬‬
‫‪a = 0.a1 a2 a3 ...‬‬
‫ומשמעות סימון זה היא‪:‬‬
‫}‪an · 2−n , an ∈ {0, 1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫=‪a‬‬
‫‪n=1‬‬
‫הצגה זו נקראת "הצגה בבסיס ‪ "2‬כי משתמשים ב‪ 2-‬ספרות לייצוג כל מספר‪.‬‬
‫כך גם ניתן להציג כל מספר בבסיס כלשהו בצורה זו‪.‬‬
‫‪145‬‬
‫‪59‬‬
‫קבוצת קנטור‬
‫הגדרה קבוצת קנטור ‪ C‬מוגדרת באופן הבא‪:‬‬
‫}}‪C = {a = 0.a1 a2 a3 ...|∀n an ∈ {0, 2‬‬
‫קבוצה זו כוללת את כל המספרים בקטע ]‪ ,[0, 1‬למעט אלו שבפיתוח שלהם בבסיס ‪3‬‬
‫מופיע ‪.1‬‬
‫‬
‫‬
‫אם נתבונן במספר כלשהו ב‪ , 13 , 23 -‬נשים לב שהצגה שלו בבסיס ‪ 3‬כוללת את הספרה ‪,1‬‬
‫‪1‬‬
‫שלוכטור אינסופי גאומטרי עם פרמטר ‪.q = 31‬‬
‫בהצגה ‪ 7‬‬
‫כי מספר מסוג זה מכיל את ‪ 31‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1 2‬‬
‫כמו כן כל מספר ששייך לקטעים ‪ 9 , 9 , 9 , 9‬מכיל את הספרה ‪ ,1‬כי מספר מסוג זה‬
‫מכיל את ‪ 312 = 19‬בהצגה שלו כטור אינסופי גאומטרי עם פרמטר ‪.q = 13‬‬
‫וכן הלאה‪.‬‬
‫המובן הגאומטרי של קבוצת קנטור‪ ,‬הוא שמחלקים כל תת־קטע לשלושה תתי־קטעים‪,‬‬
‫ומסירים בכל שלב את תת הקטע האמצעי‪.‬‬
‫טענה ‪ C‬קבוצה בעלת מידה ‪.0‬‬
‫הוכחה נשים לב שמתקיים‪:‬‬
‫‪=Ø‬‬
‫‪=Ø‬‬
‫‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9, 9‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪3, 3‬‬
‫‪1‬‬
‫∩‪=C‬‬
‫∩‪C‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪9, 9‬‬
‫∩‪C‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫ולכן נקבל שמתקיים‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‪∪ 3, 1‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‪C ⊂ 0, 3‬‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫‪C ⊂ 0, 91 ∪ 29 , 39‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‬
‫ ‬
‫ ‬
‫‪C ⊂ 0, 19 ∪ 92 , 39 ∪ 69 , 79 ∪ 89 , 1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫ובפרט‪ ,‬לכל ‪ n‬מתקיים כי ‪ C‬מוכלת ב‪ 2n -‬קטעים‪ ,‬שאורך כל אחד מהם הוא ‪,3−n‬‬
‫ולכן לכל ‪ n‬ניתן לכסות את ‪ C‬בקבוצה של כיסויים פתוחים באורך ‪ 3−n + n‬לכל‬
‫‪. > 0‬‬
‫נבחר למשל ‪ n = 9−n‬ונקבל שסכום אורך כל הכיסויים של ‪ C‬הוא‪:‬‬
‫‪ n n‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪−n‬‬
‫‪−n‬‬
‫‪+‬‬
‫‪−→ 0‬‬
‫‪2 3 +9‬‬
‫=‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪3‬‬
‫‪9‬‬
‫ומכאן ש‪ C-‬היא קבוצה בעלת מידה ‪.0‬‬
‫‪146‬‬
‫טענה העוצמה של ‪ C‬היא עוצמת הרצף‪.‬‬
‫הוכחה כל המספרים שב‪ C-‬לפי ההגדרה מיוצגים באמצעות הספרות ‪ .0, 2‬נהפוך את כל‬
‫הספרות ‪ 2‬ל־‪.1‬‬
‫נקבל את קבוצת כל ההצגות מהצורה ‪ 0.a1 a2 a3 ...‬כאשר }‪.an ∈ {0, 1‬‬
‫נשים לב שקבוצה זו שקולה בעוצמתה לקטע ]‪ ,[0, 1‬כי הראינו שאת כל הקטע ]‪[0, 1‬‬
‫ניתן להציג בבסיס ‪ .2‬‬
‫‪60‬‬
‫פונקציית קנטור )מדרגות השטן(‬
‫נגדיר פונקציה מהצורה ]‪ F : [0, 1] → [0, 1‬באופן הבא‪:‬‬
‫היא שווה ‪ ,1‬ובנקודה ‪ 0‬היא שווה ‪.0‬‬
‫ בנקודה ‪ 1 12‬‬‫‪1‬‬
‫שווה‬
‫היא‬
‫‪2‬‬
‫ בקטע ‪ 13 , 32‬‬‫‪1‬‬
‫שווה‬
‫היא‬
‫‪4‬‬
‫ בקטע ‪ 79 , 98‬‬‫‪3‬‬
‫שווה‬
‫היא‬
‫‪4‬‬
‫ בקטע ‪9 , 9‬‬‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫ באופן כללי‪ :‬בקטע ‪ Inj‬שהוא באורך ‪ 3−n‬מתקיים‪:‬‬‫‪2j − 1‬‬
‫‪2n‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫אם כך הגדרנו את ‪ f‬על התחום ‪ ,[0, 1] C‬והיא מקבלת בקטע זה את קבוצת הערכים‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪k‬‬
‫‪n‬‬
‫‪|k, n ∈ N, k < 2‬‬
‫=‪A‬‬
‫‪2n‬‬
‫כעת נגדיר את ‪ f‬על קבוצת קנטור‪ .‬לכל ‪ x ∈ C‬נגדיר‪:‬‬
‫})‪f (x) = sup {f (t‬‬
‫‪t<x‬‬
‫∈‪x‬‬
‫‪/C‬‬
‫קיבלנו פונקציה שמוגדרת על הקטע ]‪ [0, 1‬והיא מונוטונית עולה )חלש(‪.‬‬
‫טענה ‪ f‬שהגדרנו רציפה בכל התחום ]‪.[0, 1‬‬
‫הוכחה היות ו‪ f -‬מונוטונית עולה‪ ,‬כל נקודת אי־רציפות שלה חייבת להיות מסוג ראשון‪,‬‬
‫כלומר שנקבל קטע כלשהו של ערכים שלא מתקבל על־ידי הפונקציה‪.‬‬
‫אבל זה לא אפשרי‪ ,‬כי ‪ f ([0, 1]) = A‬כפי שסימנו לעיל‪ ,‬ו‪ A-‬היא קבוצה צפופה‪ .‬‬
‫נתבונן בפונקציה חדשה ‪ g‬שמוגדרת להיות ‪ .g = f |C‬נשים לב ש‪.g : C → [0, 1]-‬‬
‫טענה ‪ g‬מונוטונית עולה ממש ולכן היא חח"ע‪.‬‬
‫הוכחה יהיו ‪ x1 , x2 ∈ C‬נקודות כלשהן המקיימות ‪.x1 < x2‬‬
‫אזי מצפיפות הרציונליים נובע שקיימים ‪ k, l ∈ N‬כך שמתקיים‪:‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k+1‬‬
‫<‬
‫‪< x2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2n‬‬
‫< ‪x1‬‬
‫ולכן מתקיים ) ‪ .g (x1 ) < g (x2 ) ⇐ f (x1 ) < f (x2‬‬
‫‪147‬‬
‫טענה ‪ g‬היא פונקציה על בקטע ]‪.[0, 1‬‬
‫הוכחה מכיוון ש‪ f -‬רציפה והיא מונוטונית עולה‪ ,‬נסיק כי ]‪.f ([0, 1]) = [0, 1‬‬
‫כמו־כן מתקיים‪:‬‬
‫‪f ([0, 1] C) = A‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪g (C) ⊇ [0, 1] A‬‬
‫כמו־כן נשים לב שכל ערכי ‪ A‬מתקבלים עבור ‪ g‬בנקודות הקצה של הקטעים הסגורים‬
‫שאינם שייכים לקבוצת קנטור‪ ,‬ולכן הם גם כלולים בתמונה של ‪ .g‬‬
‫מסקנה קיימת פונקציה חח"ע ועל מקבוצת קנטור ‪ C‬לקטע ]‪ ,[0, 1‬ולכן יש לשתי הקבוצות‬
‫אותה עוצמה ‪ -‬עוצמת הרצף‪.‬‬
‫‪148‬‬