פרק 3 – מבחני התכנסות לטורים עם איברים בעלי סימנים מתחלפים

Transcription

פרק 3 – מבחני התכנסות לטורים עם איברים בעלי סימנים מתחלפים
‫פרק ‪ - 3‬מבחני התכנסות לטורים עם איברים בעלי סימנים מתחלפים‬
‫הגדרה – התכנסות בהחלט‬
‫אם הטור‬
‫∞‬
‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬
‫𝑛𝑎‬
‫מתכנס וגם הטור‬
‫∞‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫מתכנס‪ ,‬נאמר שהטור‬
‫∞‬
‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬
‫מתכנס בהחלט‬
‫הגדרה – התכנסות בתנאי‬
‫אם הטור‬
‫∞‬
‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬
‫𝑛𝑎‬
‫מתכנס אבל הטור‬
‫∞‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫מתבדר‪ ,‬נאמר שהטור‬
‫∞‬
‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬
‫מתכנס בהחלט‬
‫משפט‬
‫אם הטור‬
‫𝑛𝑎‬
‫∞‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫מתכנס אז גם הטור‬
‫∞‬
‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬
‫מתכנס‬
‫מבחן לייבניץ‬
‫נתון טור מהצורה 𝑛𝑎 𝑛 ‪−1‬‬
‫∞‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫כאשר הסדרה 𝑛𝑎 מקיימת‪:‬‬
‫‪ 𝑎𝑛 ≥ 0 .1‬לכל ‪𝑛 ≥ 𝑛0‬‬
‫‪ 𝑎𝑛+1 ≤ 𝑎𝑛 .2‬לכל ‪𝑛 ≥ 𝑛0‬‬
‫‪lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 0 .3‬‬
‫אז‪:‬‬
‫𝑛‬
‫‪ .1‬הטור 𝑛𝑎 ‪−1‬‬
‫∞‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫‪ .2‬אם נסמן 𝑘𝑎 𝑘 ‪−1‬‬
‫מתכנס‬
‫𝑛‬
‫‪𝑘=1‬‬
‫= 𝑛𝑆 ו‪−1 𝑛 𝑎𝑛 -‬‬
‫∞‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫= 𝑆 אז מתקיים‪𝑆 − 𝑆𝑛 ≤ 𝑎𝑛 :‬‬
‫דוגמא ‪1‬‬
‫האם הטור‬
‫‪cos 𝑛 2‬‬
‫∞‬
‫𝑛 ‪𝑛=1 𝑛 3 +4‬‬
‫מתכנס בהחלט‪ ,‬מתכנס בתנאי או מתבדר?‬
‫תחילה נבדוק התכנסות בהחלט‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑛3‬‬
‫הטור‬
‫‪1‬‬
‫∞‬
‫‪𝑛=1 𝑛 3‬‬
‫ולכן‪ ,‬הטור‬
‫‪2‬‬
‫≤‬
‫𝑛 ‪cos‬‬
‫𝑛 ‪+4‬‬
‫‪𝑛3‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫𝑛 ‪cos‬‬
‫𝑛 ‪+4‬‬
‫‪𝑛3‬‬
‫≤‪0‬‬
‫מתכנס‪ ,‬ולכן ע"פ מבחן ההשוואה הראשון‪ ,‬גם הטור‬
‫‪cos 𝑛 2‬‬
‫∞‬
‫𝑛 ‪𝑛=1 𝑛 3 +4‬‬
‫‪cos 𝑛 2‬‬
‫∞‬
‫𝑛 ‪𝑛=1 𝑛 3 +4‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫מתכנס בהחלט‪.‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪1‬‬
‫‪alonbaumann.math@gmail.com‬‬
‫דוגמא ‪2‬‬
‫האם הטור‬
‫𝑛 ‪−1‬‬
‫𝑛‬
‫∞‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫מתכנס בהחלט‪ ,‬מתכנס בתנאי או מתבדר?‬
‫תחילה נבדוק התכנסות בהחלט‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑛‬
‫הטור‬
‫‪∞ 1‬‬
‫𝑛 ‪𝑛=1‬‬
‫𝑛‬
‫=‬
‫‪−1‬‬
‫𝑛‬
‫≤‪0‬‬
‫מתבדר‪ ,‬ולכן הטור אינו מתכנס בהחלט‪.‬‬
‫נבדוק התכנסות בתנאי ע"י משפט לייבניץ‪:‬‬
‫נסמן‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑛‬
‫= 𝑛𝑎‪ ,‬ומתקיים‪:‬‬
‫‪ 𝑎𝑛 ≥ 0 .1‬לכל ‪𝑛 ≥ 1‬‬
‫‪ 𝑛 + 1 > 𝑛 .2‬ולכן‪:‬‬
‫‪= 0 .3‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑛‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑛+1‬‬
‫𝑛‬
‫< ‪ ,‬כלומר 𝑛𝑎 < ‪ 𝑎𝑛+1‬לכל ‪𝑛 ≥ 1‬‬
‫∞→𝑛‪lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = lim‬‬
‫ולכן ע"פ משפט לייבניץ‪ ,‬הטור‬
‫𝑛 ‪−1‬‬
‫∞‬
‫𝑛 ‪𝑛=1‬‬
‫מתכנס בתנאי‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫בדוק התכנסות בהחלט‪ ,‬התכנסות בתנאי או התבדרות של הטורים הבאים‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫𝑛 ‪−1 𝑛 ln‬‬
‫∞‬
‫𝑛‪𝑛=1 5 𝑛 +‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪−1 𝑛 +1‬‬
‫∞‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫𝑛‬
‫‪.3‬‬
‫𝑛 ‪𝑛+1 ln‬‬
‫𝑛‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪−1‬‬
‫∞‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫𝑛‬
‫𝑛 ‪∞ cos‬‬
‫𝑛‪𝑛=1 𝑛 3 +‬‬
‫‪−1 𝑛 +1 𝑛 3‬‬
‫∞‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫‪𝑛 3 +1‬‬
‫פתרונות‬
‫‪ .1‬מתכנס בהחלט‬
‫‪ .2‬מתכנס בתנאי‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪ .3‬מתכנס בתנאי‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .4‬מתכנס בהחלט‬
‫‪ .5‬מתבדר‬
‫‪alonbaumann.math@gmail.com‬‬
‫מבחן דיריכלה‬
‫∞‬
‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬
‫אם הטור‬
‫חסום ו‪-‬‬
‫𝑛𝑏‬
‫סדרה מונוטונית ואפסה אז הטור‬
‫∞‬
‫𝑛𝑏 𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬
‫מתכנס‬
‫דוגמא‬
‫‪−1 𝑛 +1‬‬
‫∞‬
‫‪𝑛=1 𝑛 2 𝑛 3 +1‬‬
‫האם הטור‬
‫מתכנס בהחלט‪ ,‬מתכנס בתנאי או מתבדר?‬
‫תחילה נבדוק התכנסות בהחלט‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑛2 𝑛3 + 1‬‬
‫נסמן‬
‫הטור‬
‫הסדרה‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑛2‬‬
‫= 𝑛𝑎 ו‪-‬‬
‫‪1‬‬
‫∞‬
‫‪𝑛=1 𝑛 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑛 3 +1‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑛 3 +1‬‬
‫∞‬
‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬
‫=‬
‫‪−1 𝑛+1‬‬
‫‪𝑛3 + 1‬‬
‫‪𝑛2‬‬
‫≤‪0‬‬
‫= 𝑛𝑏‬
‫מתכנס‪ ,‬ולכן חסום‪.‬‬
‫= 𝑛𝑏 מונוטונית ואפסה‬
‫ולכן ע"פ משפט דיריכלה‪ ,‬הטור‬
‫‪𝑛 +1‬‬
‫‪−1‬‬
‫∞‬
‫‪𝑛=1 𝑛 2 𝑛 3 +1‬‬
‫מתכנס‪ ,‬ולכן הטור‬
‫‪𝑛 +1‬‬
‫‪−1‬‬
‫∞‬
‫‪𝑛=1 𝑛 2 𝑛 3 +1‬‬
‫מתכנס‬
‫בהחלט‪.‬‬
‫מבחן אבל‬
‫אם הטור‬
‫∞‬
‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬
‫מתכנס ו‪-‬‬
‫𝑛𝑏‬
‫סדרה מונוטונית וחסומה אז הטור‬
‫∞‬
‫𝑛𝑏 𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬
‫מתכנס‬
‫‪ .1‬כאשר בודקים התכנסות של טור בעל סימנים מתחלפים‪ ,‬בודקים תחילה‬
‫התכנסות בהחלט ע"י בדיקת טור הערכים המוחלטים תוך שימוש במבחנים‬
‫לטורים עם איברים חיוביים (פרק ‪.)2‬‬
‫‪ .2‬אין דבר כזה התבדרות בתנאי או התבדרות בהחלט‪ .‬אם הטור לא מתכנס‬
‫בתנאי ולא מתכנס בהחלט הוא מתבדר!‬
‫‪ .3‬לא לשכוח לבדוק את התנאי ההכרחי להתכנסות טורים לפני בדיקת‬
‫התכנסות‪.‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪3‬‬
‫‪alonbaumann.math@gmail.com‬‬