docפרק 3 – מבחני התכנסות לטורים עם איברים בעלי סימנים מתחלפים
download 
Report Transcription
פרק 3 – מבחני התכנסות לטורים עם איברים בעלי סימנים מתחלפים
פרק - 3מבחני התכנסות לטורים עם איברים בעלי סימנים מתחלפים הגדרה – התכנסות בהחלט אם הטור ∞ 𝑛𝑎 𝑛=1 𝑛𝑎 מתכנס וגם הטור ∞ 𝑛=1 מתכנס ,נאמר שהטור ∞ 𝑛𝑎 𝑛=1 מתכנס בהחלט הגדרה – התכנסות בתנאי אם הטור ∞ 𝑛𝑎 𝑛=1 𝑛𝑎 מתכנס אבל הטור ∞ 𝑛=1 מתבדר ,נאמר שהטור ∞ 𝑛𝑎 𝑛=1 מתכנס בהחלט משפט אם הטור 𝑛𝑎 ∞ 𝑛=1 מתכנס אז גם הטור ∞ 𝑛𝑎 𝑛=1 מתכנס מבחן לייבניץ נתון טור מהצורה 𝑛𝑎 𝑛 −1 ∞ 𝑛=1 כאשר הסדרה 𝑛𝑎 מקיימת: 𝑎𝑛 ≥ 0 .1לכל 𝑛 ≥ 𝑛0 𝑎𝑛+1 ≤ 𝑎𝑛 .2לכל 𝑛 ≥ 𝑛0 lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 0 .3 אז: 𝑛 .1הטור 𝑛𝑎 −1 ∞ 𝑛=1 .2אם נסמן 𝑘𝑎 𝑘 −1 מתכנס 𝑛 𝑘=1 = 𝑛𝑆 ו−1 𝑛 𝑎𝑛 - ∞ 𝑛=1 = 𝑆 אז מתקיים𝑆 − 𝑆𝑛 ≤ 𝑎𝑛 : דוגמא 1 האם הטור cos 𝑛 2 ∞ 𝑛 𝑛=1 𝑛 3 +4 מתכנס בהחלט ,מתכנס בתנאי או מתבדר? תחילה נבדוק התכנסות בהחלט: 1 𝑛3 הטור 1 ∞ 𝑛=1 𝑛 3 ולכן ,הטור 2 ≤ 𝑛 cos 𝑛 +4 𝑛3 2 = 𝑛 cos 𝑛 +4 𝑛3 ≤0 מתכנס ,ולכן ע"פ מבחן ההשוואה הראשון ,גם הטור cos 𝑛 2 ∞ 𝑛 𝑛=1 𝑛 3 +4 cos 𝑛 2 ∞ 𝑛 𝑛=1 𝑛 3 +4 מתכנס. מתכנס בהחלט. © באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים 054-5-290106 1 alonbaumann.math@gmail.com דוגמא 2 האם הטור 𝑛 −1 𝑛 ∞ 𝑛=1 מתכנס בהחלט ,מתכנס בתנאי או מתבדר? תחילה נבדוק התכנסות בהחלט: 1 𝑛 הטור ∞ 1 𝑛 𝑛=1 𝑛 = −1 𝑛 ≤0 מתבדר ,ולכן הטור אינו מתכנס בהחלט. נבדוק התכנסות בתנאי ע"י משפט לייבניץ: נסמן: 1 𝑛 = 𝑛𝑎 ,ומתקיים: 𝑎𝑛 ≥ 0 .1לכל 𝑛 ≥ 1 𝑛 + 1 > 𝑛 .2ולכן: = 0 .3 1 𝑛 1 1 𝑛+1 𝑛 < ,כלומר 𝑛𝑎 < 𝑎𝑛+1לכל 𝑛 ≥ 1 ∞→𝑛lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = lim ולכן ע"פ משפט לייבניץ ,הטור 𝑛 −1 ∞ 𝑛 𝑛=1 מתכנס בתנאי. תרגילים בדוק התכנסות בהחלט ,התכנסות בתנאי או התבדרות של הטורים הבאים: .1 𝑛 −1 𝑛 ln ∞ 𝑛𝑛=1 5 𝑛 + .2 −1 𝑛 +1 ∞ 𝑛=1 𝑛 .3 𝑛 𝑛+1 ln 𝑛 .4 .5 −1 ∞ 𝑛=1 𝑛 𝑛 ∞ cos 𝑛𝑛=1 𝑛 3 + −1 𝑛 +1 𝑛 3 ∞ 𝑛=1 𝑛 3 +1 פתרונות .1מתכנס בהחלט .2מתכנס בתנאי © באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים .3מתכנס בתנאי 054-5-290106 2 .4מתכנס בהחלט .5מתבדר alonbaumann.math@gmail.com מבחן דיריכלה ∞ 𝑛𝑎 𝑛=1 אם הטור חסום ו- 𝑛𝑏 סדרה מונוטונית ואפסה אז הטור ∞ 𝑛𝑏 𝑛𝑎 𝑛=1 מתכנס דוגמא −1 𝑛 +1 ∞ 𝑛=1 𝑛 2 𝑛 3 +1 האם הטור מתכנס בהחלט ,מתכנס בתנאי או מתבדר? תחילה נבדוק התכנסות בהחלט: 1 𝑛2 𝑛3 + 1 נסמן הטור הסדרה 1 𝑛2 = 𝑛𝑎 ו- 1 ∞ 𝑛=1 𝑛 2 1 𝑛 3 +1 = 1 𝑛 3 +1 ∞ 𝑛𝑎 𝑛=1 = −1 𝑛+1 𝑛3 + 1 𝑛2 ≤0 = 𝑛𝑏 מתכנס ,ולכן חסום. = 𝑛𝑏 מונוטונית ואפסה ולכן ע"פ משפט דיריכלה ,הטור 𝑛 +1 −1 ∞ 𝑛=1 𝑛 2 𝑛 3 +1 מתכנס ,ולכן הטור 𝑛 +1 −1 ∞ 𝑛=1 𝑛 2 𝑛 3 +1 מתכנס בהחלט. מבחן אבל אם הטור ∞ 𝑛𝑎 𝑛=1 מתכנס ו- 𝑛𝑏 סדרה מונוטונית וחסומה אז הטור ∞ 𝑛𝑏 𝑛𝑎 𝑛=1 מתכנס .1כאשר בודקים התכנסות של טור בעל סימנים מתחלפים ,בודקים תחילה התכנסות בהחלט ע"י בדיקת טור הערכים המוחלטים תוך שימוש במבחנים לטורים עם איברים חיוביים (פרק .)2 .2אין דבר כזה התבדרות בתנאי או התבדרות בהחלט .אם הטור לא מתכנס בתנאי ולא מתכנס בהחלט הוא מתבדר! .3לא לשכוח לבדוק את התנאי ההכרחי להתכנסות טורים לפני בדיקת התכנסות. © באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים 054-5-290106 3 alonbaumann.math@gmail.com
