docחזקות טורי - 5 פרק - אלון באומן – שיעורים פרטיים ומרתונים
download 
Report Transcription
חזקות טורי - 5 פרק - אלון באומן – שיעורים פרטיים ומרתונים
פרק - 5טורי חזקות טור חזקות הוא טור של פונקציות ,כאשר הפונקציה הבסיסית של הטור היא פונקציית חזקה .הצורה הכללית של טור חזקות היא: 𝑛 𝑥 − 𝑥0 ∞ 𝑛𝑎 𝑛=0 ,כאשר 𝑥0היא הנקודה שסביבה מפותח הטור ,ו 𝑎𝑛 -סדרה של מספרים. דוגמאות .1 𝑛 𝑥−2 𝑥 𝑛 .2 .3 𝑛 𝑛 ∞ 3 !𝑛 𝑛=0 𝑛 ∞ 𝑛 𝑛=1 𝑛 2 + 2𝑥 − 1 טור חזקות המפותח סביב 𝑥0 = 2וסדרת המספרים היא -טור חזקות המפותח סביב 𝑥0 = 0וסדרת המספרים היא 1 ∞ !𝑛 𝑛=0 𝑛3 !𝑛 = 𝑛𝑎. 𝑛 𝑛 𝑛 2+ = 𝑛𝑎. – נסדר את הביטוי כדי להגיע לצורה הכללית של טור חזקות: 𝑛 𝑛2 1 𝑥− !𝑛 2 ∞ 𝑛 = 𝑛=0 קיבלנו טור חזקות המפותח סביב 1 1 2 𝑥− !𝑛 2 1 2 ∞ = 𝑛=0 𝑛 1 2𝑥 − 1 !𝑛 ∞ 𝑛=0 = 𝑥0וסדרת המספרים היא 𝑛2 !𝑛 = 𝑛𝑎. משפט – רדיוס התכנסות בהינתן טור חזקות 𝑛 𝑥 − 𝑥0 ∞ 𝑛𝑎 𝑛=0 ,קיים מספר 𝑅 הנקרא "רדיוס התכנסות של הטור" כאשר ∞ < 𝑅 ≤ 0המקיים: א .אם ∞ < 𝑅 < 0אז הטור מתכנס בהחלט לכל 𝑥 בתחום 𝑅 < 𝑥 − 𝑥0ומתבדר לכל 𝑥 בתחום 𝑅 > . 𝑥 − 𝑥0 ב .אם 𝑅 = 0אז הטור מתכנס נקודתית רק עבור .𝑥 = 𝑥0 ג .אם ∞ → 𝑅 אז הטור מתכנס בהחלט לכל .𝑥 ∈ ℝ משפט – מציאת רדיוס התכנסות ניתן לחשב את רדיוס ההתכנסות של טור חזקות 𝑛 𝑥 − 𝑥0 ∞ 𝑛𝑎 𝑛=0 בשתי צורות :קושי ודאלמבר: .1צורת קושי: 1 𝑛𝑎 .2צורת דאלמבר: 𝑛 ∞→ 𝑛𝑅 = lim 𝑛𝑎 𝑎 𝑛 +1 ∞→𝑛𝑅 = lim © באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים 054-5-290106 1 alonbaumann.math@gmail.com דוגמא עבור הטור נסמן: 1 𝑛 2𝑛 3 𝑛 𝑥−5 1 ∞ 𝑛 𝑛=1 2 𝑛 3 נמצא את תחום ההתכנסות וההתבדרות של הטור. = 𝑛𝑎 .מתקיים: =2 1 3 𝑛 𝑛 1 𝑛 2 = lim 𝑛 2𝑛 3 1 ∞→𝑛 𝑛 𝑛 1 = lim ∞→𝑛 1 = 𝑅 = lim 𝑛 ∞→𝑛 1 𝑛𝑎 𝑅 = lim 𝑛 ∞→ 𝑛 3 𝑛 𝑛2 ולכן הטור מתכנס בהחלט לכל 𝑥 בתחום 𝑥 − 5 < 2ומתבדר לכל 𝑥 בתחום . 𝑥 − 5 > 2 נבדוק את התכנסות הטור בקצות הקטע: עבור 𝑥 = 7נקבל את הטור: 1 ∞ 𝑛 𝑛=1 3 עבור 𝑥 = 3נקבל את הטור: 𝑛 −1 ∞ 𝑛 𝑛=1 3 = 𝑛 = 7−5 𝑛 1 ∞ 𝑛 𝑛=1 2 𝑛 3 3−5 -הטור מתבדר 1 ∞ 𝑛 𝑛=1 2 𝑛 3 -הטור מתכנס בתנאי לסיכום: הטור מתכנס בהחלט כאשר 3 < 𝑥 < 7 הטור מתכנס בתנאי כאשר 𝑥 = 3 הטור מתבדר כאשר 𝑥 ≥ 7או 𝑥 < 3 תרגילים מצא את תחום ההתכנסות וההתבדרות של טורי החזקות הבאים: .1 𝑛 𝑥−2 𝑥 𝑛 .2 .3 𝑛 𝑛 ∞ 3 !𝑛 𝑛=0 𝑛 ∞ 𝑛 𝑛=1 𝑛 2 + 2𝑥 − 1 1 ∞ !𝑛 𝑛=1 פתרונות .1מתכנס בהחלט לכל 𝑥 ∈ ℝ .2מתכנס בהחלט −1 < 𝑥 < 1 .3מתכנס בהחלט לכל 𝑥 ∈ ℝ מתכנס בתנאי 𝑥 = −1 מתבדר 𝑥 ≥ 1או 𝑥 < −1 משפט התכנסות של טור חזקות 𝑛 𝑥 − 𝑥0 ∞ 𝑛𝑎 𝑛=0 בכל קטע סגור המוכל בתחום ההתכנסות היא התכנסות במידה שווה © באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים 054-5-290106 2 alonbaumann.math@gmail.com משפט אם לטור 𝑛 𝑥 − 𝑥0 ∞ 𝑛𝑎 𝑛=0 יש רדיוס התכנסות 𝑅 > 0אז פונקציית הסכום )𝑥(𝑆 מקיימת: א .רציפה בתחום ההתכנסות 𝑅 𝑥 ∈ 𝑥0 − 𝑅, 𝑥0 +מתקיים: ב .אינטגרציה איבר איבר -לכל ∞ 𝑥 − 𝑥0 𝑛+1 𝑛+1 אם הטור 𝑛 𝑥 − 𝑥0 = 𝑥𝑑 𝑛𝑎 𝑛 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥0 𝑛=0 ∞ 𝑛𝑎 𝑛=0 ∞ 𝑥 ∞ = 𝑥𝑑 𝑛 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥0 𝑛 =0 𝑥 0 (המקורי) מתכנס אזי גם הטור 𝑥 𝑥 = 𝑡𝑑 𝑡 𝑆 𝑥0 𝑥 0 𝑛=0 𝑛 +1 𝑥−𝑥 0 ∞ 𝑛𝑎 𝑛=0 𝑛+1 (לאחר אינטגרציה) מתכנס. 𝑅 𝑥 ∈ 𝑥0 − 𝑅, 𝑥0 +מתקיים: ג .גזירה איבר איבר -לכל ′ ∞ 𝑛+1 𝑛𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥0 ∞ 𝑛 = 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥0 𝑛=0 אם טור הנגזרות 𝑛+1 𝑥 − 𝑥0 ∞ 𝑛𝑎𝑛 𝑛=0 = 𝑥 𝑆′ 𝑛=0 מתכנס באחד הקצוות אזי גם הטור המקורי. דוגמא נתון 1 𝑥1− = ∞ 𝑛 𝑥 𝑛=0 לכל .𝑥 ∈ −1,1נחשב סכומי הטורים ∞ 𝑛−1 𝑥𝑛 𝑛=0 ו- 𝑛 +1 𝑥 ∞ 𝑛=0 𝑛+1 . 𝑛 ∞ הוא טור חזקות .רדיוס ההתכנסות של הטור הוא ,𝑅 = 1ולכן מתכנס הטור הנתון 𝑥 𝑛=0 בהחלט לכל .𝑥 ∈ −1,1טור חזקות מתכנס במידה שווה בתחום התכנסותו ,ולכן הטור מתכנס במידה שווה לכל .𝑥 ∈ −1,1 𝑥 ∈ −1,1ולכן ניתן לבצע גזירה איבר איבר: הטור מתכנס במידה שווה לכל 2 1 𝑥1− הטור מתכנס במידה שווה לכל 𝑥 = 𝑙𝑛 1 − 𝑥 0 ′ = 1 𝑥1− ′ ∞ 𝑛 = 𝑥 ∞ = 𝑛 ′ ∞ 𝑥 𝑛 =0 = 𝑛−1 𝑥𝑛 𝑛=0 𝑛=0 𝑥 ∈ −1,1ולכן ניתן לבצע אינטגרציה איבר איבר: 1 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑙𝑛 1 − 𝑥1− 𝑥 ∞ = 𝑥𝑑 𝑛 𝑥 0 𝑥 = 𝑥𝑑 𝑛 𝑥 0 𝑛=0 𝑥 ∞ 𝑛 =0 0 𝑥 𝑛+1 = 𝑛+1 ∞ 𝑛=0 קיבלנו: 𝑥 𝑛+1 𝑥 = 𝑙𝑛 1 − 𝑛+1 © באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים ∞ , 𝑛=0 2 1 = 𝑥1− 054-5-290106 3 ∞ 𝑛−1 𝑥𝑛 𝑛=0 alonbaumann.math@gmail.com .1לפני ביצוע פעולות על טור חזקות נתון ,יש לוודא כי הוא מוצג בצורה 𝑛 ∞ . הכללית של טור חזקות 𝑛=1 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥0 .2כאשר מחשבים רדיוס התכנסות ,התכנסות בהחלט של הטור מובטחת רק בקטע הפתוח 𝑅 . 𝑥0 − 𝑅, 𝑥0 +על מנת ללמוד על התכנסות הטור בקצוות הקטע ,יש לבדוק נקודתית את התכנסות הטור בנקודות אלה. .3כל טור חזקות מתכנס בהחלט בתחום ההתכנסות שלו. .4כל טור חזקות מתכנס במידה שווה לכל קטע סגור בתחום ההתכנסות שלו, ולכן בכל קטע כזה ניתן לבצע אינטגרציה איבר איבר וגזירה איבר איבר. © באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים 054-5-290106 4 alonbaumann.math@gmail.com
