דיפרנציאביליות פונקציה בשני משתנים - אלון באומן – שיעורים פרטיים ומרתונים

‫פרק ‪ – 6‬דיפרנציאביליות פונקציה בשני משתנים‬
‫הגדרה‬
‫תהי פונקציה‬
‫בנקודה‬
‫𝑏 ‪𝑎,‬‬
‫𝑏 ‪ . 𝑎,‬נאמר ש‪-‬‬
‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬המוגדרת בסביבה של נקודה‬
‫𝑏 ‪𝑎,‬‬
‫אם קיימות הנגזרות החלקיות בנקודה‬
‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬דיפרנציאבילית‬
‫ובנוסף ניתן להציג את הביטוי‬
‫𝑘 ‪ 𝑓 𝑎 + ℎ, 𝑏 +‬ע"י‪:‬‬
‫הבא‬
‫𝑘 ‪𝑓 𝑎 + ℎ, 𝑏 + 𝑘 = 𝑓 𝑎, 𝑏 + 𝑓𝑥 𝑎, 𝑏 ∙ ℎ + 𝑓𝑦 𝑎, 𝑏 ∙ 𝑘 + 𝑟 ℎ,‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫𝑘 ‪𝑟 ℎ,‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪ℎ2 + 𝑘 2‬‬
‫‪ℎ ,𝑘 → 0,0‬‬
‫אם ערכיהם של ‪ ℎ‬ו‪ 𝑘 -‬קטנים מספיק (שואפים לאפס)‪ ,‬הנקודה‬
‫𝑘 ‪ℎ,‬‬
‫קרובה מספיק לנקודה‬
‫𝑏 ‪ , 𝑎,‬והמרחק ביניהן הוא ‪. ℎ2 + 𝑘 2‬‬
‫עבור המחובר‬
‫𝑘 ‪ 𝑟 ℎ,‬מתקיים‪:‬‬
‫‪ℎ2 + 𝑘 2 = 0‬‬
‫מהגבול ‪= 0‬‬
‫𝑘‪𝑟 ℎ ,‬‬
‫‪ℎ 2 +𝑘 2‬‬
‫𝑘‪𝑟 ℎ ,‬‬
‫אז 𝜀 <‬
‫‪ℎ 2 +𝑘 2‬‬
‫‪→ 0,0‬‬
‫𝑘‪ lim ℎ ,‬נובע כי לכל ‪ ,𝜀 > 0‬אם הנקודה‬
‫𝑘 ‪ℎ,‬‬
‫‪ ,‬כלומר ‪< 𝜀 ∙ ℎ2 + 𝑘 2‬‬
‫המסקנה היא כי עבור הנקודה‬
‫𝑘 ‪ 𝑟 ℎ,‬ולקרב את‬
‫הרכיב‬
‫𝑘 ‪𝑟 ℎ,‬‬
‫= 𝑘 ‪𝑟 ℎ,‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪ℎ2 + 𝑘 2‬‬
‫‪ℎ ,𝑘 → 0,0‬‬
‫‪ℎ ,𝑘 → 0,0‬‬
‫קרובה מספיק ל‪-‬‬
‫‪0,0‬‬
‫𝑘 ‪. 𝑟 ℎ,‬‬
‫𝑘 ‪𝑎 + ℎ, 𝑏 +‬‬
‫הקרובה מספיק לנקודה‬
‫𝑏 ‪𝑎,‬‬
‫ניתן להזניח את‬
‫𝑘 ‪ 𝑓 𝑎 + ℎ, 𝑏 +‬כך ש‪:‬‬
‫𝑘 ∙ 𝑏 ‪𝑓 𝑎 + ℎ, 𝑏 + 𝑘 ≅ 𝑓 𝑎, 𝑏 + 𝑓𝑥 𝑎, 𝑏 ∙ ℎ + 𝑓𝑦 𝑎,‬‬
‫אם נסמן 𝑥 = ‪ 𝑎 + ℎ‬ו‪ 𝑏 + ℎ = 𝑦 -‬אז עבור ערכים מספיק קטנים של ‪ ℎ‬ו‪ 𝑘 -‬הנקודה‬
‫קרובה מספיק לנקודה‬
‫𝑦 ‪𝑥,‬‬
‫𝑏 ‪ , 𝑎,‬ולכן ניתן לרשום‪:‬‬
‫𝑏 ‪𝑓 𝑎 + ℎ, 𝑏 + 𝑘 ≅ 𝑓 𝑎, 𝑏 + 𝑓𝑥 𝑎, 𝑏 ∙ 𝑥 − 𝑎 + 𝑓𝑦 𝑎, 𝑏 ∙ 𝑦 −‬‬
‫נסמן‬
‫𝑘 ‪ 𝑧 = 𝑓 𝑎 + ℎ, 𝑏 +‬ונקבל‪:‬‬
‫𝑏 ‪𝑧 = 𝑓 𝑎, 𝑏 + 𝑓𝑥 𝑎, 𝑏 ∙ 𝑥 − 𝑎 + 𝑓𝑦 𝑎, 𝑏 ∙ 𝑦 −‬‬
‫‪𝑧 − 𝑓𝑥 𝑎, 𝑏 ∙ 𝑥 − 𝑓𝑦 𝑎, 𝑏 ∙ 𝑦 − 𝑓 𝑎, 𝑏 + 𝑓𝑥 𝑎, 𝑏 ∙ 𝑎 + 𝑓𝑦 𝑎, 𝑏 ∙ 𝑏 = 0‬‬
‫המשוואה האחרונה מתארת מישור במרחב‪.‬‬
‫קיבלנו כי אם 𝑓 דיפרנציאבילית בנקודה‬
‫של‬
‫𝑏 ‪𝑎,‬‬
‫נקודה‬
‫𝑏 ‪𝑎,‬‬
‫אז ניתן לקרב את ערכי 𝑓 בנקודות בסביבה‬
‫ע"י המישור ‪ 𝑧 − 𝑓𝑥 𝑎, 𝑏 ∙ 𝑥 − 𝑓𝑦 𝑎, 𝑏 ∙ 𝑦 − 𝑓 𝑎, 𝑏 + 𝑓𝑥 𝑎, 𝑏 ∙ 𝑎 + 𝑓𝑦 𝑎, 𝑏 ∙ 𝑏 = 0‬העובר דרך‬
‫𝑏 ‪𝑎, 𝑏, 𝑓 𝑎,‬‬
‫עם וקטור ניצב‬
‫‪.𝑛 = −𝑓𝑥 𝑎, 𝑏 , −𝑓𝑦 𝑎, 𝑏 , 1‬‬
‫מישור זה נקרא המישור המשיק למשטח‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬בנקודה‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑏 ‪. 𝑎, 𝑏, 𝑓 𝑎,‬‬
‫‪alonbaumann.math@gmail.com‬‬
‫משפט ‪1‬‬
‫אם פונקציה‬
‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬דיפרנציאבילית בנקודה‬
‫𝑏 ‪𝑎,‬‬
‫אזי‬
‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬רציפה בנקודה‬
‫𝑏 ‪. 𝑎,‬‬
‫משפט ‪2‬‬
‫אם פונקציה‬
‫בנקודה‬
‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬דיפרנציאבילית בנקודה‬
‫𝑏 ‪𝑎,‬‬
‫אזי הנגזרות החלקיות של‬
‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬קיימות‬
‫𝑏 ‪. 𝑎,‬‬
‫משפט ‪3‬‬
‫אם הנגזרות החלקיות של פונקציה‬
‫פונקציה‬
‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬מוגדרות בסביבת הנקודה‬
‫𝑏 ‪𝑎,‬‬
‫ורציפות בה אזי‬
‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬דיפרנציאבילית‪.‬‬
‫משפט ‪4‬‬
‫פונקציה‬
‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬דיפרנציאבילית בנקודה‬
‫‪=0‬‬
‫𝑏 ‪𝑎,‬‬
‫אם ורק אם מתקיים‪:‬‬
‫𝑘 ∙ 𝑏 ‪𝑓 𝑎 + ℎ, 𝑏 + 𝑘 − 𝑓 𝑎, 𝑏 − 𝑓𝑥 𝑎, 𝑏 ∙ ℎ − 𝑓𝑦 𝑎,‬‬
‫‪ℎ2 + 𝑘 2‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪ℎ ,𝑘 → 0,0‬‬
‫דוגמאות‬
‫נמצא את תחום הדיפרנציאביליות של הפונקציה‬
‫𝑓 כאשר‪:‬‬
‫𝑦𝑥‬
‫‪+ 𝑦2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪𝑥, 𝑦 ≠ 0,0‬‬
‫‪𝑥, 𝑦 = 0,0‬‬
‫‪𝑥2‬‬
‫= 𝑦 ‪𝑓 𝑥,‬‬
‫כדי למצוא באיזה תחום 𝑓 דיפרנציאבילית‪ ,‬נמצא תחילה את התחום בו 𝑓 רציפה‪:‬‬
‫לכל‬
‫‪𝑥, 𝑦 ≠ 0,0‬‬
‫הפונקציה‬
‫𝑦𝑥‬
‫‪𝑥 2 +𝑦 2‬‬
‫= 𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬רציפה‪ .‬נחשב נגזרות חלקיות‪:‬‬
‫𝑦 ‪𝜕𝑓 𝑦 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 2‬‬
‫=‬
‫𝑥𝜕‬
‫‪𝑥 2 + 𝑦2 2‬‬
‫‪𝜕𝑓 𝑥 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥𝑦 2‬‬
‫=‬
‫𝑦𝜕‬
‫‪𝑥 2 + 𝑦2 2‬‬
‫הנגזרות החלקיות לכל ‪𝑥, 𝑦 ≠ 0,0‬‬
‫דיפרנציאבילית לכל ‪. 𝑥, 𝑦 ≠ 0,0‬‬
‫קיימות ורציפות ולכן הפונקציה‬
‫נבדוק האם הפונקציה רציפה בנקודה‬
‫התלויות בפרמטר 𝑚 כאשר 𝑥𝑚 = 𝑦‪:‬‬
‫‪𝑚𝑥 2‬‬
‫𝑚‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑥 𝑚‪𝑥 +‬‬
‫‪1 + 𝑚2‬‬
‫הגבול של 𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬כאשר ‪𝑥, 𝑦 → 0,0‬‬
‫דיפרנציאבילית בנקודה ‪0,0‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫𝑦 ‪𝑓 𝑥,‬‬
‫‪ . 𝑥, 𝑦 = 0,0‬לצורך כך נבחר סדרה של עקומות‬
‫‪lim‬‬
‫‪𝑥 ,𝑦 → 0,0‬‬
‫𝑦𝑥‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫𝑥𝑚=𝑦| ‪𝑥 + 𝑦 2‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪𝑥,𝑦 → 0,0‬‬
‫תלוי בפרמטר 𝑚 ולכן אינו קיים‪ ,‬ולכן‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬אינה‬
‫‪alonbaumann.math@gmail.com‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .1‬האם הפונקציה ‪𝑥 2 + 𝑦 2‬‬
‫‪ .2‬האם הפונקציה )𝑦𝑥(‪cos‬‬
‫= 𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬דיפרנציאבילית בנקודה‬
‫𝑦‪2 +3‬‬
‫‪? 0,0‬‬
‫𝑥 𝑒 = 𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬דיפרנציאבילית לכל נקודה‬
‫‪ .3‬האם הפונקציה 𝑓 דיפרנציאביליות בנקודה‬
‫‪0,0‬‬
‫𝑦 ‪? 𝑥,‬‬
‫𝑦‪𝑥2‬‬
‫‪𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑦 2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪𝑥, 𝑦 ≠ 0,0‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪𝑥, 𝑦 = 0,0‬‬
‫(השתמש במשפט ‪)4‬‬
‫‪ .4‬האם הפונקציה 𝑓 דיפרנציאביליות בנקודה‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑥, 𝑦 ≠ 0,0‬‬
‫‪: 0,0‬‬
‫‪+ 𝑦2‬‬
‫‪𝑥2‬‬
‫‪𝑥, 𝑦 = 0,0‬‬
‫(השתמש במשפט ‪)4‬‬
‫‪𝑥 2 + 𝑦 2 sin‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .5‬האם הפונקציה 𝑓 דיפרנציאביליות בנקודה‬
‫‪0,0‬‬
‫‪𝑥, 𝑦 ≠ 0,0‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪𝑥, 𝑦 = 0,0‬‬
‫𝑦𝑥‬
‫‪2‬‬
‫‪𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 4‬‬
‫‪0‬‬
‫פתרונות‬
‫‪ .1‬לא‬
‫‪ .2‬כן‬
‫‪ .3‬לא‬
‫‪ .4‬כן‬
‫‪ .5‬לא‬
‫הגדרה‬
‫אם פונקציה‬
‫בנקודה‬
‫𝑏 ‪𝑎,‬‬
‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬דיפרנציאבילית בנקודה‬
‫𝑏 ‪𝑎,‬‬
‫𝑦 ‪𝑓 𝑥,‬‬
‫אז מגדירים את הדיפרנציאל של‬
‫כפונקציה לינארית ע"י‪𝑑𝑓 𝑎,𝑏 = 𝑓𝑥 𝑎, 𝑏 ∙ ℎ + 𝑓𝑦 𝑎, 𝑏 ∙ 𝑘 :‬‬
‫הדיפרנציאל 𝑏‪ 𝑑𝑓 𝑎,‬מקרב את השינוי של הפונקציה מהנקודה‬
‫𝑘 ‪ , 𝑎 + ℎ, 𝑏 +‬ומתקיים‪:‬‬
‫𝑏 ‪𝑎,‬‬
‫לנקודה קרובה‬
‫𝑏 ‪.𝑑𝑓 𝑎,𝑏 ℎ, 𝑘 = 𝑓 𝑎 + ℎ, 𝑏 + 𝑘 − 𝑓 𝑎,‬‬
‫סימון נוסף לדיפרנציאל‪:‬‬
‫𝑏 ‪.∆𝑓 𝑎,‬‬
‫דוגמא‬
‫נתונה הפונקציה 𝑦𝑥 𝑒 ‪ .𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 2‬נמצא קירוב של ערך הפונקציה בנקודה‬
‫נחשב נגזרות חלקיות של הפונקציה‬
‫‪. 1.25,0.3‬‬
‫𝑦 ‪:𝑓 𝑥,‬‬
‫𝑓𝜕‬
‫𝑦𝑥 𝑒𝑦 ‪= 2𝑥𝑒 𝑥𝑦 + 𝑥 2‬‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑓𝜕‬
‫𝑦𝑥 𝑒 ‪= 𝑥 3‬‬
‫𝑦𝜕‬
‫הנגזרות החלקיות של הפונקציה‬
‫דיפרנציאבילית לכל‬
‫נגדיר‪, 𝑎, 𝑏 = 1,0 :‬‬
‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬קיימות ורציפות לכל‬
‫𝑦 ‪𝑥,‬‬
‫ולכן הפונקציה‬
‫𝑦 ‪ . 𝑥,‬כלומר‪ ,‬ניתן לבצע קירוב של ערך הפונקציה הנקודה‬
‫𝑦 ‪𝑓 𝑥,‬‬
‫‪. 1.25,0.3‬‬
‫‪ . ℎ, 𝑘 = 0.25,0.3‬נקבל‪:‬‬
‫‪𝑓 𝑎 + ℎ, 𝑏 + 𝑘 = 𝑓 𝑎, 𝑏 + 𝑓𝑥 𝑎, 𝑏 ∙ ℎ + 𝑓𝑦 𝑎, 𝑏 ∙ 𝑘 = 𝑓 1,0 + 𝑓𝑥 1,0 ∙ 0.25 + 𝑓𝑦 1,0 ∙ 0.3 = 1.8‬‬
‫קיבלנו כי הערך של הפונקציה‬
‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬בנקודה‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪1.25,0.3‬‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪3‬‬
‫= 𝑦 ‪𝑓 𝑥,‬‬
‫הוא בקירוב ‪.𝑓 1.25,0.3 ≅ 1.8 :1.8‬‬
‫‪alonbaumann.math@gmail.com‬‬
‫‪ .1‬תרשים עבור המשפטים שהוצגו בפרק זה‪:‬‬
‫𝑓‬
‫𝑓 רציפה‬
‫𝑓 לא‬
‫רציפה‬
‫דיפרנציאבילית‬
‫𝑓 לא‬
‫דיפרנציאבילית‬
‫נגזרות חלקיות‬
‫לא קיימות או‬
‫לא רציפות‬
‫נגזרות חלקיות‬
‫קיימות ורציפות‬
‫‪ .2‬ניתן לבדוק דיפרנציאביליות ע"י חישוב הגבול‪:‬‬
‫𝑘 ∙ 𝑏 ‪𝑓 𝑎 + ℎ, 𝑏 + 𝑘 − 𝑓 𝑎, 𝑏 − 𝑓𝑥 𝑎, 𝑏 ∙ ℎ − 𝑓𝑦 𝑎,‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪ℎ2 + 𝑘 2‬‬
‫‪ .3‬קירוב ערך הפונקציה‬
‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬בנקודה‬
‫𝑘 ‪𝑎 + ℎ, 𝑏 +‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪ℎ ,𝑘 → 0,0‬‬
‫הוא‪:‬‬
‫𝑘 ∙ 𝑏 ‪𝑓 𝑎 + ℎ, 𝑏 + 𝑘 = 𝑓 𝑎, 𝑏 + 𝑓𝑥 𝑎, 𝑏 ∙ ℎ + 𝑓𝑦 𝑎,‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪4‬‬
‫‪alonbaumann.math@gmail.com‬‬