ומשפטים ות הגדר - אלגברה לינארית טרנספורמציות לינאריות – 7 פרק

‫אלגברה לינארית ‪ -‬הגדרות ומשפטים‬
‫פרק ‪ – 7‬טרנספורמציות לינאריות‬
‫הגדרה ‪ – 7.1‬טרנספורמציה לינארית‬
‫יהיו 𝑉 ו‪ 𝑈 -‬מרחבים וקטורים‪ .‬טרנספורמציה 𝑇 מ‪ 𝑉 -‬ל‪ 𝑈 -‬מסומנת 𝑈 → 𝑉 ‪ 𝑇:‬היא פונקציה‬
‫המתאימה לכל וקטור 𝑉 ∈ 𝑥 וקטור 𝑈 ∈ )𝑥(𝑇‪.‬‬
‫)‪ – T(x‬נקרא התמונה של הוקטור 𝑥‪.‬‬
‫𝑥 – נקרא המקור של )‪.T(x‬‬
‫טרנספורמציה 𝑇 היא טרנספורמציה לינארית אם היא מקיימת‪:‬‬
‫‪ 𝑇 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑥2 = 𝑎𝑇 𝑥1 + 𝑏𝑇 𝑥2‬לכל 𝑉 ∈ ‪ 𝑥1 , 𝑥2‬ולכל 𝑏 ‪ 𝑎,‬סקלרים‪.‬‬
‫טענה ‪7.2‬‬
‫יהיו 𝑉 ו‪ 𝑈 -‬מרחבים וקטורים‪ ,‬ותהי 𝑈 → 𝑉 ‪ 𝑇:‬טרנספורמציה לינארית‪ .‬אזי‪:‬‬
‫‪ .1‬מתקיים‬
‫‪ .2‬מתקיים‬
‫‪ 𝑇 𝑥1 + 𝑥2 = 𝑇 𝑥1 + 𝑇 𝑥2‬לכל 𝑉 ∈ ‪𝑥1 , 𝑥2‬‬
‫𝑥 𝑇𝑎 = 𝑥𝑎 𝑇 לכל 𝑉 ∈ 𝑥 ולכל סקלר 𝑎‬
‫טענה ‪7.3‬‬
‫יהיו 𝑉 ו‪ 𝑈 -‬מרחבים וקטורים‪ ,‬ותהי 𝑈 → 𝑉 ‪ 𝑇:‬טרנספורמציה לינארית‪ .‬אזי‪.𝑇 0𝑣 = 0𝑢 :‬‬
‫טענה ‪7.4‬‬
‫ותהי 𝑚‪ 𝑇: ℝ𝑛 → ℝ‬טרנספורמציה המוגדרת ע"י 𝑥𝐴 = 𝑥 𝑇 עבור מטריצה 𝐴 נתונה מסדר 𝑛𝑥𝑚‬
‫אזי 𝑇 טרנספורמציה לינארית‬
‫טענה ‪7.5‬‬
‫יהיו 𝑉 ו‪ 𝑈 -‬מרחבים וקטורים‪ ,‬ותהי 𝑈 → 𝑉 ‪ 𝑇:‬טרנספורמציה לינארית‪ .‬אזי‪:‬‬
‫𝑛𝑥 𝑇 𝑛𝑎 ‪𝑇 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 𝑎1 𝑇 𝑥1 + 𝑎2 𝑇 𝑥2 + ⋯ +‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪1‬‬
‫‪alonbaumann.math@gmail.com‬‬
‫טענה ‪7.6‬‬
‫יהיו 𝑉 ו‪ 𝑈 -‬מרחבים וקטורים‪ ,‬ותהי 𝑈 → 𝑉 ‪ 𝑇:‬טרנספורמציה לינארית‪ .‬נתון בסיס של 𝑉‪:‬‬
‫𝑛𝑥 ‪ ,𝐵 = 𝑥1 , 𝑥2 , … ,‬ונתונים‬
‫𝑥 𝑇 ידוע‬
‫𝑛𝑥 𝑇 ‪( 𝑇 𝑥1 , 𝑇 𝑥2 , … +,‬תמונות וקטורי הבסיס)‪ ,‬אזי‬
‫לכל 𝑥‪.‬‬
‫הגדרה ‪ – 7.7‬מטריצה של העתקה לינארית‬
‫יהיו 𝑉 ו‪ 𝑈 -‬מרחבים וקטורים כאשר 𝑚 = 𝑈𝑚𝑖𝑑‪ ,‬ותהי 𝑈 → 𝑉 ‪ 𝑇:‬טרנספורמציה לינארית‪.‬‬
‫𝑛𝑥 ‪ 𝐵1 = 𝑥1 , 𝑥2 , … ,‬בסיס ל‪ ,𝑉 -‬ו‪ 𝐵2 -‬בסיס ל‪.𝑈 -‬‬
‫נתון‬
‫מתקיים‪∈ ℝ𝑚 :‬‬
‫‪𝐵2‬‬
‫𝑛𝑥 𝑇‬
‫‪𝐵2 , … ,‬‬
‫‪𝑇 𝑥2‬‬
‫‪𝐵2 ,‬‬
‫‪. 𝑇 𝑥1‬‬
‫מטריצה של טרנספורמציה לינארית לפי הבסיסים ‪ 𝐵1‬ו‪ 𝐵2 -‬מסומנת‬
‫‪𝐵2‬‬
‫𝑛𝑥𝑚‬
‫⋮‬
‫𝑛𝑥 𝑇‬
‫⋮‬
‫…‬
‫…‬
‫…‬
‫‪𝐵1‬‬
‫‪𝐵2‬‬
‫‪𝐵2‬‬
‫𝑇 ומוגדרת כך‪:‬‬
‫⋮‬
‫‪𝑇 𝑥2‬‬
‫⋮‬
‫‪𝐵2‬‬
‫⋮‬
‫‪𝑇 𝑥1‬‬
‫⋮‬
‫=‬
‫‪𝐵1‬‬
‫‪𝐵2‬‬
‫𝑇‬
‫משפט ‪7.8‬‬
‫יהיו 𝑉 ו‪ 𝑈 -‬מרחבים וקטורים כאשר 𝑚 = 𝑈𝑚𝑖𝑑‪ 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛,‬ותהי 𝑈 → 𝑉 ‪ 𝑇:‬טרנספורמציה‬
‫לינארית‪ 𝐵1 .‬בסיס ל‪ ,𝑉 -‬ו‪ 𝐵2 -‬בסיס ל‪.𝑈 -‬‬
‫תהי‬
‫‪𝐵1‬‬
‫‪𝐵2‬‬
‫𝑇 מטריצה של העתקה לינארית מבסיס ‪ 𝐵1‬לבסיס ‪ 𝐵2‬מסדר 𝑛𝑥𝑚‪ ,‬אזי 𝑚‪∈ ℝ‬‬
‫ו‪∈ ℝ𝑚 -‬‬
‫‪𝐵1‬‬
‫𝑥 ומתקיים‪:‬‬
‫‪𝐵2‬‬
‫𝑥 𝑇 =‬
‫‪𝐵1‬‬
‫𝑥 ∙‬
‫‪𝐵1‬‬
‫‪𝐵2‬‬
‫‪𝐵2‬‬
‫𝑥 𝑇‬
‫𝑇‬
‫הגדרה ‪ – 7.9‬גרעין של טרנספורמציה לינארית‬
‫יהיו 𝑉 ו‪ 𝑈 -‬מרחבים וקטורים‪ ,‬ותהי 𝑈 → 𝑉 ‪ 𝑇:‬טרנספורמציה לינארית‪ .‬הגרעין של‬
‫טרנספורמציה לינארית 𝑇 מסומן 𝑇𝑟𝑒𝐾 ומוגדר כך‪.𝐾𝑒𝑟𝑇 = 𝑥 ∈ 𝑉|𝑇 𝑥 = 0 ∈ 𝑈 :‬‬
‫טענה ‪7.10‬‬
‫הגרעין 𝑇𝑟𝑒𝐾 של טרנספורמציה לינארית 𝑇 הוא תת מרחב של 𝑉‪.‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪2‬‬
‫‪alonbaumann.math@gmail.com‬‬
‫הגדרה ‪ – 7.11‬תמונה של טרנספורמציה לינארית‬
‫יהיו 𝑉 ו‪ 𝑈 -‬מרחבים וקטורים‪ ,‬ותהי 𝑈 → 𝑉 ‪ 𝑇:‬טרנספורמציה לינארית‪ .‬התמונה של‬
‫טרנספורמציה לינארית 𝑇 מסומן 𝑇𝑚𝐼 ומוגדר כך‪:‬‬
‫קיים 𝑉 ∈ 𝑥‬
‫כך ש ∶ 𝑦 = 𝑥 𝑇‬
‫|𝑈 ∈ 𝑦 = 𝑇𝑚𝐼‪.‬‬
‫טענה ‪7.12‬‬
‫התמונה 𝑇𝑚𝐼 של טרנספורמציה לינארית 𝑇 הוא תת מרחב של 𝑉‪.‬‬
‫טענה ‪7.13‬‬
‫יהיו 𝑉 ו‪ 𝑈 -‬מרחבים וקטורים‪ ,‬ותהי 𝑈 → 𝑉 ‪ 𝑇:‬טרנספורמציה לינארית‪ .‬יהי 𝐵 בסיס ל‪:𝑉 -‬‬
‫𝑛𝑥 ‪ .𝐵 = 𝑥1 , 𝑥2 , … ,‬אזי‬
‫𝑛𝑥 𝑇 ‪𝐼𝑚𝑇 = 𝑠𝑝 𝑇 𝑥1 , 𝑇 𝑥2 , … ,‬‬
‫טענה ‪ – 7.14‬משפט המימד בטרנספורמציות לינאריות‬
‫יהיו 𝑉 ו‪ 𝑈 -‬מרחבים וקטורים‪ ,‬ותהי 𝑈 → 𝑉 ‪ 𝑇:‬טרנספורמציה לינארית‪ .‬אזי מתקיים‪:‬‬
‫𝑉𝑚𝑖𝑑 = 𝑇𝑚𝐼𝑚𝑖𝑑 ‪𝑑𝑖𝑚𝐾𝑒𝑟𝑇 +‬‬
‫הגדרה ‪ – 7.15‬טרנספורמציה חד‪-‬חד‪-‬ערכית‬
‫יהיו 𝑉 ו‪ 𝑈 -‬מרחבים וקטורים‪ ,‬ותהי 𝑈 → 𝑉 ‪ 𝑇:‬טרנספורמציה לינארית‪ .‬העתקה 𝑇 נקראת‬
‫טרנספורמציה חד‪-‬חד‪-‬ערכית (חח"ע) אם עבור‬
‫‪ 𝑇 𝑥1 = 𝑇 𝑥2‬מתקיים ‪.𝑥1 = 𝑥2‬‬
‫טענה ‪7.16‬‬
‫יהיו 𝑉 ו‪ 𝑈 -‬מרחבים וקטורים‪ ,‬ותהי 𝑈 → 𝑉 ‪ 𝑇:‬טרנספורמציה לינארית‪ .‬אזי 𝑇 נקראת‬
‫טרנספורמציה חח"ע אם ורק אם }‪.𝐾𝑒𝑟𝑇 = {0‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪3‬‬
‫‪alonbaumann.math@gmail.com‬‬
‫הגדרה ‪ – 7.16‬טרנספורמציה על‬
‫יהיו 𝑉 ו‪ 𝑈 -‬מרחבים וקטורים‪ ,‬ותהי 𝑈 → 𝑉 ‪ 𝑇:‬טרנספורמציה לינארית‪ .‬אזי 𝑇 נקראת‬
‫טרנספורמציה על (על 𝑈) אם ורק אם 𝑈 = 𝑇𝑚𝐼‪.‬‬
‫טענה ‪7.17‬‬
‫יהיו 𝑉 ו‪ 𝑈 -‬מרחבים וקטורים מאותו מימד‪ .𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑑𝑖𝑚𝑈 ,‬ותהי 𝑈 → 𝑉 ‪ 𝑇:‬טרנספורמציה‬
‫לינארית‪ .‬אזי 𝑇 חח‪,‬ע אם ורק אם 𝑇 על‪.‬‬
‫הגדרה ‪ – 7.18‬טרנספורמציה הפיכה‬
‫יהיו 𝑉 ו‪ 𝑈 -‬מרחבים וקטורים מאותו מימד‪ .𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑑𝑖𝑚𝑈 ,‬ותהי 𝑈 → 𝑉 ‪ 𝑇:‬טרנספורמציה‬
‫לינארית‪ .‬הטרנספורמציה הלינארית ההפיכה מסומנת 𝑉 → 𝑈 ‪ 𝑇 −1 :‬ומוגדרת 𝑥 = 𝑦 ‪ 𝑇 −1‬כאשר‬
‫𝑦 = 𝑥 𝑇‪.‬‬
‫משפט ‪7.19‬‬
‫תהי 𝑈 → 𝑉 ‪ 𝑇:‬טרנספורמציה לינארית‪ 𝑇 .‬טרנספורמציה לינארית הפיכה אם ורק אם ‪ T‬היא‬
‫חח"ע ועל‪.‬‬
‫משפט ‪ – 7.20‬ייצוג העתקה לינארית בעזרת המטריצה המייצגת‬
‫תהי 𝑈 → 𝑉 ‪ 𝑇:‬טרנספורמציה לינארית‪ 𝐵1 .‬בסיס ל‪ ,𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑚 ,𝑉 -‬ו‪ 𝐵2 -‬בסיס ל‪,𝑈 -‬‬
‫𝑛 = 𝑈𝑚𝑖𝑑‪ .‬המטריצה‬
‫‪𝐵2‬‬
‫𝑥 𝑇 =‬
‫‪𝐵1‬‬
‫𝑥 ∙‬
‫‪𝐵1‬‬
‫‪𝐵2‬‬
‫‪𝐵1‬‬
‫‪𝐵2‬‬
‫𝑇 היא המטריצה המייצגת לפי הבסיסים ‪ 𝐵1‬ו‪ 𝐵2 -‬והיא מקיימת‬
‫𝑇‪.‬‬
‫שתי מטריצות המייצגות את אותה טרנספורמציה לפי בסיסים שונים נקראות מטריצות‬
‫דומות‪.‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪4‬‬
‫‪alonbaumann.math@gmail.com‬‬